zbrika zadataka iz statistike

Emina mr Resić

SAPREGLEDOM POTREBNIHFORMULAI TABLICA

Sarajevo, 2006. godine

Nazivdjela:Zbirka zadataka iz Statistike sa pregledom

potrebnih formula i tablica

Drugo, izmjenjeno i dopunjeno izdanje

Autor:Emina mr Resić

Izdavač:Ekonomski fakul tet u Sarajevu

Izdavačka djelatnost

Glavni i odgovorni urednik:Dekan, prof. dr. Muris Čičić

Urednik:Prof. dr. Hasan Muratović

Recenzen ti :Prof. dr. Blagota Lučić

Doc. dr. Rabija Somun-Kapetanović

DTP:Engin Mešanović

Štampa:

Za štampariju:

Tiraž:

Godina izdanja:2006.

CIP - Katalogizacija u publikacijiNacionalna i univerzitetska bibliotekaBosne i Hercegovine, Sarajevo

519.23(075.8)(076.1/. 2)

RESIĆEminaZbirka zadataka iz statistike sa pregledom

potrebnih formula i tablica / Emina Resić. -Sarajevo: Ekonomski fakultet, 2003. - 296 str. :graf. prikazi ; 25 cm

Bibliografija: str. 296

ISBN 9958-605-51-1

COBISS , BiH-ID 12373254

Mojoj majciuz bezgrani~nu ljubav i zahvalnost

SADRŽAJ

Predgovor ....................................................................................................................................... 5

Grafičko predstavljanje statističkih serija ...................................................................................... 7

Riješeni zadaci ............................................................................................................. 9

Jednodimenzionalna statistika ....................................................................................................... 25

Riješeni zadaci ........................................................................................................... 27

Zadaci za vježbu sa kratkim rješenjima ...................................................................... 54

Kombinatorika .............................................................................................................................. 59

Riješeni zadaci ........................................................................................................... 61


Vjerovatnoća ................................................................................................................................. 69

Riješeni zadaci ........................................................................................................... 71


Teorijski rasporedi ....................................................................................................................... 83

Riješeni zadaci ........................................................................................................... 85


Intervalne procjene ..................................................................................................................... 103

Riješeni zadaci ......................................................................................................... 105

Zadaci za vježbu sa kratkim rješenjima .................................................................... 112

Statistički testovi ......................................................................................................................... 115

Riješeni zadaci ......................................................................................................... 117


Regresiona i korelaciona analiza ................................................................................................ 151

Riješeni zadaci ......................................................................................................... 153


Dinamička analiza ....................................................................................................................... 185

Riješeni zadaci ......................................................................................................... 187


Pregled formula ........................................................................................................................... 217

Statističke tablice ........................................................................................................................ 267

Literatura ..................................................................................................................................... 296

5

Predgovor

OvaZbirka zadatakanastala jekao rezultat mogvišegodišnjegrada na mjestu asistenta iz predmetaStatistika na Ekonomskom fakultetuu Sarajevu inamjenjena jeprvenstveno studentima Ekonomskogfakulteta,jerprati plan iprogramza predmet Statistika na Ekonomskom fakultetu uSarajevu koji se slušana prvoj godini studija, ali obuhvata i neke elemente statističke analize koju nisu obuhvaćeni planom iprogramom. Izbor izloženog gradiva i obim materijala podešeni su, kao prvo, da olakšaju studentimausvajanjematerije vezane zaovaj predmet i da im pomognu dase lakše išto bolje pripreme zapolaganjepismenogispita iz Statistike, ali i dazadovoljezahtjeve ekonomistekoji praktično,u svomsvakodnevnomposlu,koristi statističke metodeanalize.

Zadaci u Zbirci su grupisani pooblastima, i to uprvom dijelu svakogpoglavlja zadaci su riješeni upotpunosti, a nakon toga dat je idio sazadacima zavježbusa kratkimrješenjima,kako bi studenti moglitestiratisvoj nivousvojenogznanja.Zbirka sadržiidetaljan pregled formulapotrebnihza rješavanjezadatakaiz statistike sa objašnjenjima. Prije rješavanja zadataka potrebno je preraditi određeni dio gradiva izpogodnogudžbenika statistike. Na krajudat je pregled tablica odabranih teorijskih statističkihdistribucija.Kodvećine zadataka podacisu fiktivni. Unarednimizdanjimauložiću naporda uzadatke uvrstim realnepodatkeiz naše ekonomske stvarnosti.Također, neki zadaciurađeni suprimjenomExcela, da bistudentimogli vidjeti pogodnosti korištenjaovogprograma za rješavanje zadataka iz statistike.

Koristim ovu priliku da sezahvalim, prvenstveno,recenzentima i svimakoji sudoprinijeli daovajmaterijalbude kompletiran,a posebnu zahvalnost dugujemmojoj majci zasvuljubav, podršku inesebičnozalaganje.

Sarajevo, mart 2006.

Grafičko predstavljanjestatističkih serija

9

GRAFIČKO PREDSTAVLJANJE STATISTIČKIH SERIJA

Grafičkopredstavljanjestatističkih serija možebiti:

I Kvalitativna varijabla:

- jednostavni stupci

- strukturni stubac

- strukturni krug ili polukrug

Ako je nominalna varijabla poredak nije bitan, ako je ordinalna varijabla poredak stubaca je bitan i nesmije se mijenjati.

U slučaju kombinovanja više varijabli:

- strukturni - razdijeljeni stubac

- višestruki stupci

- razdijeljeni stupci

Kod geografske serije moguće je nacrtati i kartogram.

II Kvantitativna varijabla:

1. mali broj podataka, negrupisana serija:

- Tukey-ev stablo - list dijagram (S-L)

- x - osa

2.grupisana serija:

- razdijeljeni stupci (prekidna serija: ako su intervali po nominalnim granicama ili ako jeneintervalno grupisanje)

- strukturni stubac

- strukturni krug

- histogram - spojeni stupci (prekidna serija sa pravim intervalnim granicama i neprekidnaserija)

- poligon apsolutnih frekvencija*

- poligon kumulanti

- linijski dijagram (prekidna neintervalno grupisana serija)

U slučaju da imamo intervalene možemo histogram crtati saapsolutnim frevencijama većsakorigovanim

frekvencijama:i

ii l

ff '

* Kod prekidne serije se mora crtati izlomljena kriva, kod neprekidne serije može i glatka kriva.

10

Grafičko predstavljanje statističkih serija

Grafički predstaviti sljedeće statističkeserije:

1.atributivna serija

Strukturnistubac:

Strukturnikrug:

Jednostavni stupci: (smjeli bi mijenjati poredak)

11


2.ordinalna serija

Strukturnistubac:

Strukturnikrug:

Jednostavni stupci: (ne smijemo mijenjati poredak)

12


3. geografska serija:

Strukturnistubac:

Strukturnikrug:

Jednostavni stupci:(poredak semože mijenjati):

Kartogram u ovom primjeru ne možemo napraviti (da možemo područje Sarajeva bilo binajintenzivnije označeno, a područje Zenicenajslabije).

13


4.kombinovana tabela (atributivna i ordinalnavarijabla)

Jednostavnirazdijeljeni stupci:

0

20

40

60

80

100

odličan vrlo dobar dobar dovoljan nedovoljan

uspjeh (pre ma spolu)

ap

solu

tne

frek

ven

cije

Strukturnirazdjeljeni stupci:

Dvostrukistupci:

14


5.numeričko obilježje,mali broj podataka, nemagrupisanja

Stablo list dijagram:

X-osa:

6.numeričko prekidno obilježje,mali brojmodaliteta

Razdijeljeni stupci:

15


Strukturnistubac:

Strukturni krug:

Poligon apsolutnih frekvencija*

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

ocjena

bro

jst

ude

nata

Poligon kumulativnih frekvencija:


16


Linijski dijagram:

7. prekidno obilježje, velik broj modaliteta

Strukturni stubac:

17


Strukturni krug:

Razdvojeni stupci (sa nominalnim granicama i korigovanim frekvencijama):

Histogram (sa pravim granicama i korigovanim frekvancijama):

0

0,5

1

1,5

2

0-21 21-41 41-61 61-81 81-100

broj bodova

kori

go

van

efr

ekve

nci

je

Poligon apsolutnih frekvencija:*

0

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100

broj bodova

bro

juče

nik

a


18



020

406080

100120

0 20 40 60 80 100

Broj bodova - razredne sredine

ku

mu

lati

vne

fre

kven

cije

Poligon kumulativnih relativnih frekvencija – kumulativna kriva:

00,2

0,40,60,8

11,2

0 20 40 60 80 100

broj bodova - razre dne sredine

ku

mu

lati

vne

rela

tivn

efr

ekv

enc

ije

8.neprekidno obilježje:

19


Strukturni stubac:

Strukturni krug:

Histogram (korigovane frekvencije):

0

2

4

6

8

60-65 65-70 70-75 75-80 80-85

težina

kori

go

van

efr

ekve

nci

je

Poligon apsolutnih frekvencija:

0

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100

broj bodova

bro

juče

nik

a


20



0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

težina - razredne sredine

kum

ula

tiv

na

frek

ven

cija

Poligon kumulativnih relativnih frekvencija – kumulativna kriva:

00,2

0,40,60,8

11,2

0 20 40 60 80 100

težina - razre dne sredine

ku

mu

lati

vna

rela

tivn

afr

ekv

enc

ija

9. vremenska serija

Aritmetički dijagram:

21


Polulogaritamski dijagram:


10.više serija praćenih uistom vremenskom periodu:

Aritmetički dijagram:

22


Polulogaritamski dijagram:

Dvostruki stupci:


23


11. pojava uvremenupo mjesecima ili kvartalima - polarni dijagram

12. Kako grafički predstaviti obim pojave?

cmf

r ii

5,814,3

7,228

3

1

Jednodimenzionalnastatistika

27

RIJEŠENI ZADACI IZ JEDNODIM ENZIONALNE STATISTIKE

1. U uzorak je uzeto 10 turističkih centara iispitivan jebroj turista kojiu toku sezone posjete te centre.Podacisu sljedeći (izraženiu 1000 turista):

5 7 11 17 9 4 14 3 8 5

a)Koliko u prosjeku ljudi posjeti turističke centre u tokusezone?

b)Odreditii objasniti kvartile.

c) Ocjeniti disperziju preko x i QI .

Rješenje:

a) 3,8831011 10

1

i

ixN

X

Turističke centre u tokusezone uprosjeku posjeti 8300 turista.

b) 34

30104

3)1(,314

1014

1)1(,1,4 21

NNCNCiq

52 3

)1()1(1

21

xxx

Q CC

54

20104

2)2(,614

2014

2)2(,2,4 21

NNCNCiq

5,72

8722

65)2()2(2

21

xxxx

QM CCe

84

10104

1)3(,814

3014

3)3(,3,4 21

NNCNCiq

28

Jednodimenzionalna statistika

112 8

)3()3(3

21

xxx

Q CC

25 %podataka je niže ili jednako 5, a 75 % podatakaje više.50 % podataka je niže ili jednako7,5, a50 % podataka je više. 75 % podataka je niže ili jednako od 11, a 25 % podataka jeviše.

c)10 22 2

1

1 1875 8,3 4,31

10x ii

x XN

Prosječnolinearnoodstupanje podataka odaritmetičke sredine iznosi4310turista.

651113 QQIQ

Variranjeoko medijane iznosi 6000 turista.

2. U tabelije predstavljenadistribucijaX:

a)Koristećistrukturni krugpredstaviti seriju.

b) Izračunati i objasniti X , eM i oM iobjasniti.

c)Izrazitivarijabilitet prekokoeficijentavarijacije i koeficijentainterkvartilnogodstupanja.

d) Izračunati i objasniti 3 i 4 .

Rješenje:

a) u Excelu:

29

Riješeni zadaci

b)

47,17305241 6

1

i

ii fxN

X Prosjek iznosi 17,47.

189max oMf Najčešće se javlja modalitet 18.

,5,7430

4

Nf =12 165,7 1 Q

,15230

2

Nf =21 1815 eM Modalitet kojipolovi seriju je18.

,5,22490

43

N

328 22,5 20f Q

c) 55,247,1730

93521 26

1

22 i

ii XfxN

2,55( ) 100 100 14,596 %

17, 47V X

X

%1,1110016201620

10013

13

QQQQ

VQ

d) 22 2 22 2,55 17, 47 311,7034Xm X

63

31

1 1701445671,47

30i ii

m x fN

93,10495830

31487681 6

1

44

iii fx

Nm

186,147,17247,177034,311347,567123 33

233 XXmm

21,1347,17347,177034,311647,1747,5671493,104958

36442

42

2344

XXmXmm

30


07,055,2186,1

333

3

X

skoro neprimjetna lijeva asimetrija

31,055,2

21,1344

44

X

spljošten raspored

3. Sprovedenojeispitivanje kolikoneispravanautomobilu prosjekučeka na popravak idobivenirezultati:

a)Pomoću histogramai poligonakumulanti predstaviti pojavu.

b) Izračunati prosječno vrijemečekanja na popravak.

c)Računski i grafički odrediti kvartilei modus i objasniti.

d)Izračunati i objasniti .x

e ) Koliko iznosi variranje podataka okomedijane u relativnomiznosu?

Rješenje:

a)

31

Riješeni zadaci

b) 45,140581 6

1

i

ii fsN

X

Prosječno vrijeme čekanja na popravak iznosi 1,45 h.

c) 5,1111max oMf

3,1911811

8115,01

11

1

MoMoMoMo

MoMoMoo ffff

fflLM

Najčešće se javljaju automehaničarske radnje sa vremenom čekanja 1,3 h.

Grafički je modus određen na histogramu.

9375,08

3105,05,0415,010

4,4

1

1

1

1

11

Q

Q

Q f

fN

lLQQN

q

41,111

11205,0125,1120

2

1

e

e

eM

M

Mee f

fN

lLMMN

94,19

22305,05,1425,130

43

3

3

3

1

33

Q

Q

Q f

fN

lLQQN

25 % podataka je niže ili jednako 0,9375, a 75 % podataka je više. 50 % podataka je niže ilijednako 1,41, a50 % podataka je više. 75% podatakaje niže ili jednako1,94,a 25 % podatakaje više.

Grafičkisu kvartili određenina poligonu kumulanti.

d) 68,045,15,1024011 226

1

2

XfsN i

iix

Prosječnolinearno odstupanje podataka odaritmetičkesredine iznosi 0,68 h.

32


e)

3484,09375,094,19375,094,1

13

13

QQQQ

VQ Variranje oko medijane iznosi 34,84 %.

4. U toku ispitivanja vijeka trajanja 100 katoda utvrđeno je:

a)Pojavu predstavitistupcimai strukturnimkrugom.

b) Izračunatiprosječan vijek trajanja katode.

c)Izračunati iobjasniti modus i kvartile.

d) Koliki je rasponvarijacije ikoeficijent kvartilnedevijacije?

Rješenje:

a)

b)

15,102801,3100

2056,301log

1log

5

1

GxfN

Gi

ii

Prosječan vijek trajanja katode je 1028,15h.

c) 100034max oMf

Najčešće se javlja katoda sa vijekom trajanja 1000h.

33

Riješeni zadaci

9002540254 1 QfN

10005074502

eMf

N

12007589754

33

QfN

25 % podataka je niže ili jednako 900, a 75 % podataka je više. 50 % podataka je niže ilijednako 1000, a 50 % podataka je više. 75 % podataka je niže od 1200, a 25 % podataka jeviše.

d) 7508501600minmax xxRv h

3 1

3 1

1200 9000,1428 14, 28%

1200 900Q

Q QI

Q Q

je variranje oko medijane.

5. Odreditiaritmetičku sredinu,standardnudevijaciju, mjere asimetrije i spljoštenosti za pojavu - iznosdonacije (pri radu obaveznokoristiti transformisano obilježje):

Rješenje:

104010001,04001,04041

4001000

0

5

1

0

sYlXfyN

Y

sl

ssy

iii

iii

34


59,471

22440039,140039,11,040561 5

1

22222222

X

iYXiiY lYfy

N

40100010400 xX

22440022 XX

5 3

3 33 0 2 0

1

13X i i X

i

l y f X x X xN

3 31400 16 3 40 224400 40 1392000

40

4

02

2

030

5

1

444 64

1xXxXxXfy

Nl XX

iiiX

11424 10107,1402244004061392000404176401

400

0013,059,471

139200033

33

X

Xsimetrija

238,259,47110107,1

4

11

44

4X

Xspljošten raspored

6. Varijabla X imala je sljedeće vrijednosti:

a) Odrediti X , eM i oM i objasniti.

b)Izračunativarijansu iobjasniti.

c) Ako je poznato da varijabla Y ima aritmetičku sredinu 27 sa standardnom devijacijom 8, za kojuvarijablukažemo da ima veći varijabilitet?

35

Riješeni zadaci

Rješenje:

a)

78,188454511 5

1

i

ii fsN

X

Kako su upitanjuintervali različitih širina koristimokorigovanefrekvencije zamodus:

302625,2max, oMf

26,26025,2125,225,2

125,225,2426

1,,

1,,

1,,

MoMoMoMo

MoMoMoo ffff

fflLM

Podatak koji se najčešće javlja je 26,26.

65,1917

195,22818

226185,22245

2

1

e

e

e

M

M

Mee f

fN

lLMMN

Podatak koji polovi serijuje 19,65.

b) 88,5013,778,1845

181611 225

1

22 i

ii XfsN

Prosječno kvadratno odstupanje podataka od aritmetičke sredine je50,88.

c) %96,3710078,1813,7

100)(

X

XV X

%63,29100278

100)(

Y

YV Y

Veći varijabilitet je prisutan kod varijableX.

ix if is il

if'

if ii fs ii fs 2

2-4 2 3 2 2 1 6 184-12 6 8 8 8 0,75 48 384

12-18 11 15 6 19 1,83 165 247518-26 17 22 8 36 2,125 374 822826-30 9 28 4 45 2,25 252 7056

45 845 18161

36


7. Za transformaciju:5

65 i

i

xy ; izračunali smo daje:

5 5 5 52 3 4

1 1 1 1

100, 15, 97, 33, 253.i i i i i i i ii i i i

n y f y f y f y f

Odrediti za varijablu X : X , x i 3 i objasniti dobivene parametre.

Rješenje:

5650 ii

ix

lxxy

75,656515,0515,0100151

0

5

1

sYlXfyN

Yi

ii

Prosječna vrijednost je 65,75.

5

1

22222222 6875,239475,059475,015,0100971

iYXiiY lYfy

N

87,4X

Prosječno linearno odstupanje podatakaod aritmetičke sredine je4,87.

75,06575,650 xX

6875,2322 XX

3

020

5

1

333 3

1xXxXfy

Nl X

iiiX

4875,1275,06875,2375,03331001

5 33

4

02

2

030

5

1

444 64

1xXxXxXfy

Nl XX

iiiX

45,153875,06875,2375,064875,1275,04253100

15 424

108,087,44875,12

333

3X

X skoro neprimjetna lijeva asimetrija

73,287,4

45,153844

44 malo spljošten raspored

37

Riješeni zadaci

8. Koliki jeprosječan vijekobrtasredstava u jednoj firmi akose zna da je u sredstva sa vijekomtrajanja15 godina uloženo 30000$, usredstva sa vijekom 7godinaangažovano 14000$, a usredstva sa vijekomobrta 3 mjeseca angažovano 40000$?

Rješenje:

obrt sredstava i uložena sredstva indirektna veza harmonijskasredina

146,664,13666

840003

1

3

1

i i

i

ii

xf

fH

Okopola godine iznosi prosječan vijek obrtasredstava.

9. Cijene dionica Ai B, kojima se trgovali na londonskoj berzi, u terminu od 5 dana bile su (u nekimnovčanim jedinicama -nj):

a)Uporediti prosječne cijene tihdionica.

b) Kod koje dionice izračunata prosječna cijenabolje aproksimira dobivene podatke?

Rješenje:

a)

38


5 5

1 1

1 125 1 12525 25

5 5A Ai B Bii i

X x X xN N

U tomvremenskom periodu prosječna cijenaza objedionice bila je ista i iznosila je 25 nj.

b) 73,5255

32891 225

1

2

Ai

AiA XxN

2255

31451 225

1

2

Bi

BiB XxN

Kod dionice B prosječna ocjena 25njbolje aproksimira empirijske podatke.

10. Naispituiz matematike studentisu dobili sljedeće ocjene:

4 4 4 2 5 3 1 1 3 3

3 3 4 1 4 4 3 2 2 1

2 1 4 5 3 1 1 2 2 3

3 3 2 1 4 1 4 3 2 2

5 3 3 4 2 2 1 4 2 3

a)Niz prikazatigrafički.

b) Kolika je prosječna ocjena?

c)Koristećimetod prekocentralnih momenata odrediti iobjasnitimjeru asimetrije i spljoštenosti.

Rješenje:

a)

b) 7,250

1351 5

1

i

ii fxN

X

Prosječna ocjena iznosi2,7.

39

Riješeni zadaci

c) 187,150

5,701 5

1

2

iii fXx

N

156,050

8,71 5

1

3

3 i

ii fXxN

0377,450

885,2011 5

1

4

4 i

ii fXxN

0093,0187,1156,0

333

3

simetrija

3034,2187,10377,4

444

4

spljošten raspored

11. Zanumerički niz 17,24,14,18,9,16,5,12,3,8,2,6 :

a)odrediti i objasniti srednjuvrijednost preko aritmetičkesredine, modusa imedijane.

b)izračunati i objasniti standardnu devijaciju i varijabilitet oko 50% podataka.

Rješenje:

a) 18509001 6

1

i

ii fxN

X

Prosječan modalitet ovognumeričkogniza je18.

2417max oMf

Najčešće se javlja modalitet koji iznosi 24.

40


18252

eMN

50%podataka ima vrijednost manju ili jednaku 18, dok 50% podataka ima vrijednost veću od18.

b) 32,51850

176161 226

1

2

XfxN i

ii

Prosječnoodstupanje podatakaod aritmetičke sredine iznosi 5,32.

%20100408100

81624245,374

3165,12

4

13

13

1331

QQQQ

V

QQIQN

QN

Q

Q

Variranje oko 50% podataka iznosi 20%.

12. Izračunati prosječnuplaću za 70zaposlenihPR kompanije akoje:

U kom intervalu bi sekretala prosječna plaćaako odbacimopodatke o 10% radnika sa najnižom plaćomi 10%radnika sanajvišom plaćom?

Rješenje:

43,8170

57001 7

1

i

ii fsN

X

41

Riješeni zadaci

Prosječna plaćaiznosi 81,43 $.

)(

)(110)(160,501,10,7

10 1

11

11111 Rf

RfN

RlLQJQjqN

75,588

01070

1050

9

9 1

9 19 99

963, 10, 9 100, 110 6

10709 ( ) 9 59

10 10( ) 100 10 105( ) 8

Nq j Q J

N f RQ L l R

f R

U slučaju da odbacimo podatke o 10% radnika sa najnižom plaćomi 10%radnika sa najvišomplaćom, plaća bi se kretala u intervalu 105,75,58 .

13. Mjesečni lični dohodak (u 100 DM) za 40 radnika bio je:

a) Izračunati prosječan mjesečni lični dohodak.

b) Izračunati (računski igrafički) najčešći dohodak idohodak koji polovi datu seriju.

Rješenje:

a)

42


025,72814011

)(7

1

i

ii fsN

XA

Prosječan mjesečni lični dohodak bio je 702,5 DM.

b) 5,75,610max oMf

17,7810610

61015,6

11

1

MoMoMoMo

MoMoMoo ffff

fflLM

Najčešćese javlja radniksa ličnim dohodkom 717 DM.

1,710

142015,625,75,620

2

1

e

e

eM

M

Mee f

fN

lLMMN

50 %radnika ima plaćunižu ili jednaku 710 DM,a 50 %višu.

14. Provjeritida li Košijeva teorema važi za sljedeći niz podataka:

5 7 9 4 12 10 8.

Rješenje:

7

1 557,86

7

ii

xX

N

43

Riješeni zadaci

915,60123,17

17

1

i ix

NH

395,786895,07

082639,6log

1log

7

1

GxN

Gi

i

VažiKošijeva teorema: HGX .

15. Prvikvartil anketiranihčetvoročlanih radničkih domaćinstava prema veličini prosječnih mjesečnihraspoloživih sredstava bio je 650 nj, dok je trećikvartil iznosio1280 nj. Medijalna vrijednost raspoloživihsredstava iznosilaje 830nj.

a)Izračunati odgovarajući pokazateljdisperzije iobjasniti.

b)Izračunati i objasniti odgovarajuću mjeru asimetrije.

Rješenje:

a) 830,1280,650 31 eMQQ

%64,32%1006501280

630%100

6306501280

13

13

QQI

V

njQQI

QQ

Q

Variranje okomedijane iznosi 32,64%.

b)

42,0630

83026501280213

Q

ebQ I

MQQS vrlo blaga desna asimetrija.

16. Investicionisavjetnik napravioje selekciju 50 vrsta vrijednosnihpapira koje bi preporučio svojimklijentima. U tabeli je prikazan procjenjeni procenat porasta cijena tih vrijednosnih papira za narednugodinu:

Zaovaj uzorakrazličitih vrsta vrijednosnihpapira:

a)Pomoću relativnih frekvencijaprikazati strukturuskupa.

b) Koliki je prosječni % porasta cijene vrijednosnogpapira?

c)Izračunati i objasnitistandardnudevijaciju.

44


d)Izračunatii objasnitimodus.

Rješenje:

a)Analiza strukture: % 100ip najvišeučešće (28%)imajuVP sa očekivanim% porastacijena u intervalu 8-10 %,dok najniže učešće (4%)imajuVP sa očekivanim% porasta cijena uintervalu 2-4%.

b) 88,8 ii psX Prosječan očekivani % porasta cijenaVP iznosi8,88%.

c) 22 2 288, 26 8,88 9,4056 3, 067i is p X Pros ječno linearno

odstupanje odaritmetičke sredineiznosi3,067%.

d) 10828,0max oMp

4,816,028,024,028,0

24,028,028

11

1

MoMoMoMo

MoMoMoo pppp

pplLM

Najčešćese javlja vrijednosni papir sa % porasta cijena od 8,4%.

17. Raspolažemo podacima o broju prodanih automobila popojedinim poslovnicama u gradu:

a)Pomoćustubaca grafički prikazati seriju.

b)Izračunati iX i interpretirati.

c)Odrediti i objasnitimedijanu.

45

Riješeni zadaci

Rješenje:

a)

b)

4,20085

10042

5

1

N

xX i

i

U jednoj poslovnici prosječno se proda 2008,4 automobila.

492,518

52,1344171

2

N

Xx i

Prosječno linearno ostupanje prodaje u jednoj poslovnici od prosječne prodaje iznosi518,492 automobila.

c) 5N

1 2

5 1 5 1( ) 1 1 3, ( ) 5 3

2 2e e

N q jN jC M C M N

q q

3 2082eM x 50% poslovnica ima manje od 2082 prodanih automobila, dok 50%poslovnica ima više od 2082 prodanih automobila.

46


18. Za intervalno grupisanu statističku seriju poznato je:

a) Izračunati podatak koji se najčešće pojavljuje u seriji.

b) Izračunati podatak koji polovi statističku seriju.

Rješenje:

a) 4030026,0,max oMp

125,33015,0026,0021,0026,0

021,0026,01030

,1

,,1

,

,1

,

1

oooo

oo

oo

MMMM

MMMMo pppp

pplLM

b) 1 ip

0, 5 0,55 ( ) 30 40i ep M

08,3826,0

29,05,01030

5,0 11

o

e

ee

M

MMMe p

plLM

47

Riješeni zadaci

19. Statistička distribucija za varijablu – broj neispravnih proizvoda sa mašine Au uzorcima od po1000 proizvoda bila je:

Izračunati računske mjere srednje vrijednosti i komentarisati.

Rješenje:

8,16

1 1( ) 7, 49

0,13355

( ) antilogaritam( log ) antilogaritam(0,89437) 7,841

i i

i

i

i i

X x p

H Xpx

G X p x

Komentar: ( ) ( )X G X H X važi Košijeva teorema.

20. Zapreduzeće Xsagledali smo sljedeću distribuciju plata:

a)Izračunati Ginijev koeficijent. Zaključak.

b)Izračunati medijalu.

48


Rješenje:

a) Ginijev koeficijent

- metoda trapeza

1176,0882343,01

013,01974,0026,0974,0928,0039,0928,0867,0

078,0867,0765,026,0765,0487,0584,0487,00

1

16

11

iiii pRARAG

Kako je Ginijev koeficijent bliži 0 nego 1 kažemo da je riječo relativno ravnomjernojraspodjeli (koncentracija je slaba).

- metoda trouglova

109,0

974,011987,0928,0987,0974,0961,0876,0961,0928,0922,0

765,0922,0867,0844,0487,0844,0765,0584,0

1

111

n

iiiii RApRApG

Isti komentar.

b) Gledamo u kolonu 500400765,05,0: lei MRA

KM68,404278,0

487,05,0100400

5,0)(1

le

le

leleM

MMMle RA

RARlLM

vrijednost varijable pridružena vrijednosti 50% relativne rastuće kumulativne globalnevrijednosti.

49

Riješeni zadaci

21. Sljedećih 25 mjerenja predstavlja broj poslovnih putovanja godišnje za 25 agenata životnogosiguranja firme ACC:

33, 12, 24, 17, 8, 17, 2, 15, 27, 10, 21, 48, 12, 38, 9, 15, 16, 5, 22, 18, 28, 18, 10, 20, 12.

a) Konstruisati dist ribuciju frekvencija sa 5 razreda i nacrtati histogram i poligon apsolutnihfrekvencija.

b) Izračunati računske i pozicione mjere srednje vrijednosti.

c) Izračunati varijansu.

d) Odrediti i objasniti mjere asimetrije i spljoštenosti.

Rješenje: (uz pomoćExcela):

Originalni podaci:

Prvo ćemo formirati intervalno grupisanu seriju (f+ - su rastuće kumulativne frekvencijeodređene upotrebom opcije frequency iz Paste function, pri čemu smo predhodno zadaligornje granice odozgo zatvorenih intervala.

Originalni rezultati uređeni u rastućem redoslijedu smješteni su u području K3:K27.

gornjegranice

intervala(nominalnih)

f+gornjegranicepravih

intervala

f

pravegranice

(zahistogram)

f

razrednesredine

(zapoligon)

f

9 4 10 4 0-10 4 5 419 16 20 12 10-20 12 15 1229 22 30 6 20-30 6 25 639 24 40 2 30-40 2 35 249 25 50 1 40-50 1 45 1

50


22. Za statističku seriju:

odrediti računske mjere srednje vrijednosti.

Rješenje (korištenjem Excela):

u zagradama zaglavlja tabele date su informacije o mjestu podataka u Exel-ovom Sheet –u:

51

Riješeni zadaci

23. U posljednih 5 godina u kompaniji ICC desilo se 121 povreda na radu i broj sati izgubljenihzbog povreda bio je:

Izračunati i objasniti:

a) prosječan broj povreda na radu,

b) standardnu devijaciju i srednje apsolutno odstupanje, i

c) mjere asimetrije i spljoštenosti.

52


Rješenje (primjena Excela) :

a) arit metička sredina - {=SUMPRODUCT (C38:C45;B38:B45)/SUM(B38:B45)} -12,66529

Prosječan broj izgubljenih sati zbogpovrede na radu iznosi 12,66529 h.

b) varijansa - {=SUM((C38:C45-12,66529)^2*B38:B45)/121} - 56,58425

Prosječno kvadratno odstupanje podataka od aritmetičke sredine iznosi 56,58425 h2.

standardna devijacija - {=SQRT(56,58425)} - 7,52225

Prosječno linearno odstupanje podataka od aritmetičke sredine iznosi 7,52225 h.

srednje apsolutno ods tupanje - {=SUM(ABS(C38:C45-12,66529)*B38:B45/121} -5,681306

Prosječno apsolutno odstupanje podataka od aritmetičke sredine iznosi 5,681306 h.

c) koeficijent asimetrije -

{=(SUM((C38:C45-12,66529)^3*B38:B45)/121)/SQRT(56,58425)^3} - 0,744708

koeficijent spljoštenosti -

{=(SUM((C38:C45-12,66529)^4*B38:B45)/121)/SQRT(56,58425)^4} - 3,374338

Raspored je pozitivno ili desno asimetričan i izdužen.

24. Za niz podataka:

143 178 165 198 152 129 134 163 176

172 158 163 152 197 186 154 134 168

165 171 187 190 178 132 146 149 178

123 186 199 127 186 154 157 168 172

izračunati:

a) vrijednost najnižeg i najvišeg podatka

b) računske mjere srednje vrijednosti

53

Riješeni zadaci

c) pozicione mjere srednje vrijednosti

d) apsolutne mjere varijacije

e) mjere asimetrije i spljoštenosti.

Rješenje (primjena Excel-a):

Podaci su u Excel-ovom worksheet-u na mjestima od A101:I104. Primjenjujemo Pastefunction:

a) minx {=MIN(A101:I104)} = 123

maxx {=MAX(A101:I104)} = 199

b) X {=AVERAGE(A101:I104)} = 163,61111

)(XH {=HARMEAN(A101:I104)} = 160,8195

)(XG {=GEOMEAN(A101:I104)} = 162,2344

c) eM {=MEDIAN(A101:I104)} = 165

oM {=MODE(A101:I104)} = 178

1Q {=QUARTILE(A101:I104;1)} =151,25

3Q {=QUARTILE(A101:I104;3)} = 178

d) 2= {=VAR(A101:I104)} = 449,3873

= {=STDEV(A101:I104)} =21,19876

MAD ={=AVEDEVA101:I104)} = 17,29938

e) 3 {=SKEW(A101:I104)} = -0,20352 negativna - lijeva asimetrija

34 {=KURT(A101:I104)} = -0,79298 spljošten

54


ZADACI ZAVJEŽBU SAKRATKIM RJEŠENJIMA

1. Za niz: 15 20 14 21 28, aritmetička sredina je:

a) 2

b) 19,6

c) 40

d) 10,24

(19,6)

2. U 32 auto kuće u predhodnoj godini prodano je automobila (u 100 komada):

17 15 25 30 21 19 35 42

29 31 23 39 18 26 17 24

14 45 43 31 21 22 20 23

26 27 28 29 31 34 39 36

a) Formirati odgovarajući statistički niz i nacrtati histogram.

b) Izračunati prosječan broj prodanih automobila u nekoj prodavnici.

c) Grafički i računski odrediti modus i objasniti.

d) Izračunati i objasniti standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

(b- X 27,97, c - oM 25, d - %1,30,42,8 V )

3. Broj zaposlenih u slučajno odabranom uzorku 10 malih preduzeća bio je:

15 11 33 25 16 7 17 34 4 3

a) Nacrtati S-L dijagram.

b) Izračunati prosječan broj zaposlenih u jednoj banci.

c) Odrediti i objasniti kvartile.

d) Koliko iznosi variranje oko 50% podataka?

(b - 5,16X , c - 25,5,15,7 321 QMQQ e , d - %)25,56QV

4. Distribucija zaposlenih u jednoj firmi prema starosti je sljedeća:

a) Nacrtati poligon kumulante “manje od”.

b) Kolika je prosječna starost zaposlenih?

55

Zadaci za vježbu

c) Izračunati i objasniti standardnu devijaciju.

d) Računski i grafički odrediti i objasniti kvartile.

Napomena: U dijelu zadatka pod b) i c) obavezno koristiti transformisano obilježje.

(a - 96,40X , b - 84,13x , c - )1,48,8,39,07,32 31 QMQ e

5. Prosječna ocjena za 60 studenata treće godine studija Ekonomskog Fakulteta bila je:

a) Nacrtati histogram.

b) Izračunati srednju prosječnu ocjenu.

c) Računski i grafički odrediti modus.

d) Izračunati i objasniti koeficijent varijacije.

e ) Ako odbacimo 20% studenata sa najnižom prosječnom ocjenom, u kom intervalu će se kretatiprosječna ocjena.

(b - 62,7X , b - 725,7oM , c - %49,9,723,0 V , d - interval 1094,6 ).

6. Za 50 slučajno odabranih studenata, visina je iznosila:

a) Izračunati prosječnu visinustudenta.

b) Izračunati i objasniti varijansu i standardnu devijaciju.

c) Odrediti i objasniti najčešću visinu.

d) Izračunati i objasniti medijanu.

(a - X 172,68, b - 9,11 , c - 67,181oM , d - 375,171eM )

56


7. Za 40 slučajno odabranih studenata, težina je bila:

Koristeći transformisano obilježje:

a) izračunati prosječnu težinu studenta.

b) odrediti i objasniti standardnu devijaciju, mjere asimetrije i spljoštenosti.

(a - 125,64X , b - )34,3,35,0,46,6 43

8. Broj zaposlenih u sektoru za marketing za slučajno odabranih 11 firmi koje se bave istomdjelatnošću, bio je:

3 12 7 3 8 11 5 13 4 6 10

a) Podatke predstaviti na x osi.

b) Pokazati da važi Košijeva teorema.

c) Izračunati i objasniti standardnu devijaciju i srednje apsolutno odstupanje.

d) Odrediti i objasniti kvartile.

(c - 041,3,46,3 MAD , d - 11,7,4 31 QMQ e )

9. Na bazi ispitivanja 35 gradova na teritoriji Zeničko dobojskog kantona dobili smo sljedećepodatke o broju osnovnih škola:

1 1 2 3 5 6 1 2 2 4 6 4 23 1 2 7 2 2 4 4 3 4 2 2 34 3 3 5 3 1 5 2 2

a)formiratiodgovarajuću statističkudistribuciju

b)nacrtati strukturnikrug.

c) izračunati prosječan brojškola, najčešći brojškola i brojškola koji polovi seriju.

(a - 1,2,3,6,7,11,5:7,6,5,4,3,2,1: ii fx , c - 32023,3 eo MMX )

10. U cilju jednogstatističkogistraživanja posmatrano je 592 porodice prema potrošnji ulja tokomjednogmjeseca i dobili smo podatke:

57

Zadaci za vježbu

Izračunati i grafički odrediti:

a) najtipičniju (najčešću) vrijednost obilježja,

b) drugi kvartil.

( a - 01,3oM , b - 1475,3eM )

11. U skupu od 50 telefonskih razgovora, vrijeme trajanja razgovora imalo je sljedeći raspored:

Odrediti aritmetičku sredinu, medijanu i modus i opisati simetriju ovog rasporeda.

3, 2, 666 1, 6e o e oX M M X M M pozitivnaili desnaasimetrija)

12. 18studenata dobilo je stipendijeu sljedećimiznosima:

Odreditii prokomentarisati:

a)prosječan iznosstipendije,

b) koeficijent varijacije,

c)mjere asimetrije i spljoštenosti.

(a – 794,4; b – 2,84; c - 3 40,916 2,959

58


13. Prost uzorak iz normalno raspoređenog skupa građana grada A koji koriste usluge gradskogsaobraćaja dao je sljedeći rezultat:

a) Odrediti medijanu računski i grafički.*

b) Na bazi medijane i ostalih pozicionih mjera srednje vrijednosti ispitati asimetičnost rasporeda.

(a - 714,9eM , b - XMMMX eoo 545,10;077,9 negativna ililijeva asimet rija)

14. U preduzeću radi 50 radnika. Navedeni su podaci o dužini radnog staža za svakog radnika:

1 4 2 5 6 7 8 7 9 8 10 18 1112 13 12 14

14 11 10 13 15 11 14 15 12 16 17 17 1819 19 19 20

19 17 21 21 22 23 23 24 25 27 28 31 3237 39 36.

a)Iz ovako datih podataka izračunati prosječan radni staž.

b)Formirati statističkudistribuciju sa razredimaširine5.

c)Iz tako formiranogniza izračunatiprosječan radni staž.

Objasnitezašto postojirazlikaudobivenim prosječnim vrijednostima.

( a – 16,44; c – 16,07; razlika jenastala zboggrupisanja jedinica u klase ili razrede u kojima segubeindividualne razlike članova jednograzreda, tako da je precizniji podatak pod a).

* Napomena: napraviti intervale istihširina.

Kombinatorika

61

RIJEŠENI ZADACI IZ KOMBINATORIKE

1. Nakoliko različitih načinaod cifara 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 možemo formiratičetvorocifrene brojeve,

ako:

a) nema ograničenja,

b) ponavljanje cifara nije dozvoljeno,

c) zadnja cifra mora biti0 i ponavljanje nijedozvoljeno?

Rješenje:

a) 10, 4,n k moguće ponavljanje, bitan redosljed, nula ne može doći na prvo mjesto

4 334(10) (9) 10 9 9271V V broj.

b) 10, 4,n k nemoguće ponavljanje, bitan redosljed,nula ne može doći na prvo mjesto

4 3

10 9 10! 9!(10) (9) 4! 3! 4536

4 3 6! 6!V V

brojeva.

c) 10, 4,n k nemoguće ponavljanje, bitanredosljed, nula mora doći na posljednje mjesto(dakle 0 jefiksirana, nije predmet raspoređivanja)

3

9 9!(9) 3! 504

3 6!V

broja.

2. Dječakimapet novčića (svaki novčićse odnosina različiti iznos). Koliko različitih sumaod tih novčićadječakmože napraviti?

Rješenje:

Redosljedje u svakom slučaju nebitan (komutativnost kod sabiranja). Nemoguće je da se istinovčićizabere više puta.

- ako uzima samo po jedan novčić 1

55, 1 (5) 5

1n k C

- ako uzima po dva novčića 2

5 5!5, 2 (5) 10

2 2! 3!n k C

- ako uzima potri novčića 3

5 5!5, 3 (5) 10

3 3! 2!n k C

- ako uzima početiri novčića 4

55, 4 (5) 5

4n k C

- ako uzimasvih pet novčića 5

55, 5 (5) 1

5n k C

Dakle,on može formirati: 5 +10 + 10 + 5 + 1 = 31 različitih sumanovca.

62

Kombinatorika

3. Na koliko načina profesor može odabrati 8 pitanja za neki kviz test ako raspolaže sa 14 mogućihpitanja(svako pitanjenosiisti brojbodova)?

Rješenje:

14, 8,n k ista funkcija,nebitan redosljed,nemoguće ponavljanje

8

14 14!(14) 3003

8 6! 8!C

načina.

4. Na izradi jednogposlovnogplana angažovano je 7 ekonomista, 4 pravnika i 2 inžinjerainformatike.Prilikom prezentacije togplana učešće treba dauzme grupa od 5članova i to2 ekonomista, 2 pravnika i1inžinjer informatike.Kolikotakvihgrupa možemo formirati?

Rješenje:

1 1: 7, 2E n k 2 2: 4, 2P n k 3 3: 2, 1I n k , nije moguće ponavljanje, ista funkcija

nebitan redosljed.

2 2 1

7 4 2 7! 4!(7) (4) (2) 2 21 6 2 252

2 2 1 2! 5! 2! 2!C C C

grupe.

5. Na raspolaganju imamo cifre 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 . Koliko petocifrenih brojeva možemoformirati od

tih cifara:

a) ako se ista cifrane smije višeputa pojaviti u nekom broju?

b) nula nesmije doći na krajtogbroja i nema ponavljanja?

Rješenje:

a) 8, 5,n k bitan je redosljed i nije dozvoljeno ponavljanje, ali moramo umanjiti za brojmogućnostida se0 pojavi na prvom mjestu (jer to više nije petocifrenvećčetvorocifren broj)

5 4

8! 7!(8) (7) 5880

3! 3!V V takvih brojeva.

b) 8, 5,n k bitan je redosljed i nije dozvoljeno ponavljanje, ali moramo umanjiti za brojmogućnostida se 0 pojavi na prvom mjestu (jer to više nije petocifren većčetvorocifren broj) iza broj mogućnosti da 0bude na zadnjem mjestu.

5 4

8! 7!(8) 2 (7) 2 5040

3! 3!V V takvih brojeva.

6. Pet različitih knjiga iz Menadžmenta,tri različiteknjigeiz Marketinga išest različitihknjiga iz Organizacijeu biblioteci treba smjestitina jednu policu. Na koliko načina jeto moguće učinitiako:


b) knjige iz iste oblasti morajustajati jedna do druge,

c) samoknjige iz Organizacijemoraju stajati jedna krajdruge?

Rješenje:

a) 5 3 6 14n , svaku knjigu možemo smjestiti bilo gdje i sve ih moramo rasporediti

1014 14! 8,71782912 10P načina za raspoređivanje tih knjiga.

b) svaka oblast je grupa za sebe, pa te grupe možemo rasporediti na 3 3! 6P načina

u okviru grupe Menadžment knjige možemo rasporediti na 5 5! 120P načina

u okviru grupe Marketing knjige moižemo rasporediti na 3 3! 6P načina

u okviru grupe Organizacija knjige možemo rasporediti na 6 6! 720P načina

Dakle: 6 120 6 720 3110400 načina da knjige rasporedimo tako da knjige iz iste oblastistoje jedna kraj druge.

c) knjige iz Organizacije su jedna grupa, dok su sve ostale knjige grupa za sebe imamo 9grupa,koje međusobno možemo razmjestiti na 9 9! 362880P različitihnačina

u okviru grupe Organizacija knjige možemo rasporediti na 6 6! 720P načina

Dakle: 362880 720 261273600 načina da se knjige razmjeste uz uslov da knjige izOrganizacije stojejedna poreddruge.

7. Nakoliko različitihnačina8 osoba može sjesti za okrugli stoako:

a)stolice nisu numerisane,

b)stolice sunumerisane,

c) stolice su numerisane i dvije osobe,tačno znamo koje, moraju sjestijedna krajdruge,

d) stolice nisu numerisane itri osobe, tačno znamo koje, moraju sjesti jedna kraj druge,

e) stolice nisu numerisane i tri osobe, tačno znamo koje: X, Y i Z, moraju sjesti jedna kraj druge i to uporetkuXZY.

Rješenje:

a) Ako stolice nisu numerisane onda moramo izabrati jednu osobu i nju fiksirati, a potomostalih 7 raspoređivati u odnosu na njega i to na 7 7! 5040P načina.

b) Tu osobu koju smo fiksirali možemo od raspoloživih 8 izabrati na 8 različitih načina, paonda ostalih 7 osoba rasporediti na 5040 načina. Dakle: na 8 5040 8! 40320 načina 8osoba može sjesti za okrugli sto, ako su stolice numerisane.

c) Prvo te dvije osobe posmatramo kao jednu osobu i onda 7 osoba za okrugli sto sanumerisanim stolicama možemo rasporediti na 7 6! 7! 5040 načina. Međutim, te dvije

osobe koje sjede jedna kraj druge međusobno možemo razmjestiti na 2 2! 2P načina.Dakle: na 5040 2 10080 načina 8 osoba može sjesti z a okrugli sto, ako su st olicenumerisane i dvije osobe, tačno znamo koje, moraju sjesti jedna kraj druge.

64

Kombinatorika

d) Prvo te tri osobe posmatramo kao jednu osobu i onda 6 osoba za okrugli sto sa stolicamakoje nisu numerisane možemo rasporediti na 5! 120 načina. Međutim, te tri osobe koje

sjede jedna kraj druge međusobno možemo razmjestiti na 3 3! 6P načina. Dakle: na

120 6 720 načina 8 osoba može sjesti za okrugli sto, ako stolice nisu numerisane i triosobe, tačno znamo koje, moraju sjesti jedna kraj druge.

e) Prvo te tri osobe posmatramo kao jednu osobu i onda 6 osoba za okrugli sto sa stolicamakoje nisu numerisane možemo rasporediti na 5! 120 načina. Međutim, tetriosobe koje sjedejednakraj druge međusobnonemožemorazmještati, jer onemorajusjediti tačnoprema zadanomporetku. Dakle: na 120 načina 8osoba može sjesti za okrugli sto, ako stolicenisu numerisane itri osobe, tačno znamo koje, moraju sjesti jedna kraj druge i to prema unaprijed određenomporetku XZY.

8. U užiizbor zaupravniodbor ušlo je 10 muškaraca i 8žena.Na koliko načina možemo odabrati:

a) 2 muškarca i 2 žene kao članove odbora,

b) dva muškarca kao predsjednika i zamjenika i trižene kaočlanove.

Rješenje:

1 210, 8n n

a)svi imaju istu funkciju kaočlanovi odbora

2 2

10! 8!(10) (8) 1260

2! 8! 2! 6!C C

načina

b)izabrani muškarciimaju različite funkcije, kod izabranihženafunkcija je ista

2 2

10! 8!(10) (8) 2520

8! 2! 6!V C

načina.

9. Na koliko načina 10osoba može sjesti ako su na raspolaganju samo 4 mjesta?

Rješenje:

10, 4,n k bitanje redosljed

4

10!(10) 5040

6!V načina.

10. Od 5 statističara i 6 ekonomista treba formirati komitet koji bi se sastojao od 3 statističara i 2ekonomista.Nakoliko različitihnačina možemo formirati taj komitet ako:


b)dva statističara i jedan ekonomista, tačno znamo koji, moraju biti ukomitetu,

c)jedanekonomista i dvastatističara, tačno znamokoji,ne smiju biti ukomitetu.

Rješenje:

a) 1 1 2 25, 3, 6, 2n k n k , ista funkcija nebitanredosljed

3 2

5! 6!(5) (6) 150

3! 2! 2! 4!C C

načina

b) 1 1 2 23, 1, 5, 1n k n k , ista funkcija nebitan redosljed

1 1(3) (5) 3 5 15C C načina

c) 1 1 2 23, 3, 5, 2n k n k , ista funkcija nebitan redosljed

3 2

5!(3) (5) 1 10

2! 3!C C

načina.

11. Od 7 suglasnika i 5 samoglasnika, koliko različitih riječi koje sadrže 4 različita suglasnika i 3različita samoglasnika možemo formirati? Riječne mora imati značenje u našem jeziku.

Rješenje:

4 različit a suglasnika možemo iz abrati na 4

7!(7) 35

4! 3!C

načina, dok 3 raz ličita

samoglasnika možemo formirati na 3

5!(5) 10

3! 2!C

načina. Takoćemo dobiti 7 različitih

slova i od njih možemo formirati 7 5040P riječi.

Dakle: na 35 10 5040 1764000 načina možemo formirati riječkoja zadovoljava traženiuslov.

12. Od slova koje sadrži riječ“uspjeh” koliko petoslovnih riječi možemo formirati, bez obzira nanjihovo značenje i ako se isto slovo samo jednom može pojaviti u nekoj riječi?

Rješenje:

6, 5,n k nema ponavljanja, bitan redosljed

5

6!(6) 720

1!V riječi

13. Na raspolaganju imamo 6 suglasnika i 3 samoglasnika. Na koliko načina možemo formiratiriječod 4 slova tako da budu tačno 2 suglasnika i dozvoljeno je ponavljanje kod suglasnika, a nijemoguće ponavljanje kod samoglasnika?

Rješenje:

1 16, 2n k , moguće ponavljanje

2 23, 2,n k nije moguće ponavljanje

22 2

3!(6) (3) 6 36 6 216

1!V V riječi.

66

Kombinatorika

14. Na koliko načina 6 osoba može sjesti u jedan red:

a) ako nema nikakvih ograničenja,

b) ako se radi o tri bračna para koji žele da sjede zajedno?

Rješenje:

a) 6 6! 720P načina

b) Dakle možemo razmiještati međusobno tri para, kao i u okviru svakog para dvije osobe:

3 2 2 2 3! 2! 2! 2! 48P P P P načina

15. Na stolu je 5 različitih predmeta. Na koliko različitih načina se mogu poredati u niz?

Rješenje: (primjena Excela):

Sve knjige će biti raspoređene, 55 5! 120n P

ili pomoću Paste function:

{=PERMUT(5;5)}=120

16. U firmi radi 28 uposlenih. Na kraju poslovne godine dodjeljuju se nagrade za tri uposlenikakoji su u toj godini imali najbolje rezultate i to u iznosu: 1000, 500 i 300 KM. Na koliko načina je tenagrade moguće dodijeliti?

Rješenje: ( primjena Excel-a):

nisu isti iznosi bitan redosljed

nije moguće ponavljanje

Dakle, u pitanju su varijacije bez ponavljanja. Koristimo Paste function:

{=PERMUT(28;3)}= 19565

67

Zadaci za vježbu

ZADACI ZAVJEŽBU SAKRATKIM RJEŠENJIMA

1. Ako u upravnom odboru imamo 7 ekonomista i 5 pravnika, na koliko načina možemo formiratigrupu od 4člana togupravnogodbora tako da 2 budu ekonomisti i 2 pravnici, tako da ekonomista Xbude sigurno u toj grupi?

(60 načina)

2. U razredu je 10 odličnih i 22 učenika slabijeguspjeha. Na koliko načina možemo formirati grupuza takmičenje od 5 učenika tako da makar 4 člana grupe budu odlični učenici?

(4872 načina)

3 Na koliko načina može 5 osoba sjesti za okrugli sto uz uslov da dvije osobe, tačno se zna koje,moraju sjesti jedna kraj druge?

(48 načina)

4 Ako u upravnom odboru imamo 10 ekonomista i 8 pravnika, na koliko načina možemo izabratipredsjednika upravnog odborauz uslov da on budeekonomista i2 zamjenikakoji supravnici?

(280 načina)

5. Za niz skup { , , , }Y koliko kombinacija reda 3 možemo formirati? Koje su?

(4 kombinacije i to: { , , }, { , , }, { , , }, { , , } ).

6. Nakoliko načinamožemo 8različitih knjigasložitinapolici, akosezna datriknjige,tačno znamokoje,moraju stajati jedna kraj druge?

(4320načina)

7. U grupi imamo 5 dječaka i 6djevojčica. Nakoliko načinamožemoformirati ekipuod 4člana tako damakar 3 budu dječaci?

(65 načina)

8. Od 15 TVaparata,3 nisu ispravna. Na slučaj biramo uzorak od4 TV aparataiz togskupa. Koliko jemogućnosti dase u uzorkunađenajviše 2 neispravna proizvoda?

(1353načina)

68

Kombinatorika

9. a) Za skup napisati sve kombinacije reda 2? Koliko ih ima?

b) Ako u upravnom odboru imamo 10 ekonomista i 8 pravnika, na koliko načina možemo izabratipredsjednika upravnog odborauz uslov da on budeekonomista i2 zamjenikakoji supravnici?

(a- ima ih 6, b - 280 načina)

10. Na koliko se načina može smjestiti 3 radnika ako za stolomima 5 slobodnih mjesta?

(60 načina)

11. Tržišni inspektor uzme skup od30 finansijskihdokumenatau kome senalazi25 pravilno riješenih i5nepravilno riješenih. Na kolikonačina može formirati uzorakod 5 predmeta da sadržitačno 2 nepravilnoriješena?

(23000)

12. U općinskoj upravisu dva ministarstva. MinistarstvoAima 18 radnika, aministarstvo B 16 radnika.Svakoministarstvo birapo3 radnika ukolegijalne organe. Navedite koliko različitih mogućnosti postojizatajizbor.

(456960)

13. Test sadrži 20 pitanja, od kojih student trebada izabere 15 pitanja iodgovorina njih. Među kolikorazličitihtestovastudent vršiizbor?

(15504testa)

14. Od 10 osoba jedne radne grupe (6 muškaraca i 4žene )četiri osobe je moguće unaprijediti u višezvanje.Koliki jebrojmogućih kombinacija unaprijeđenih:

a) ako nema nikakvih ograničenja,

b) ako treba unaprijediti dvamuškarcai dviježene,

c) ako treba unaprijeditibarem jednuženu?

(a - 210, b - 90, c - 195)

Vjerovatnoća

71

RIJEŠENI ZADACI IZ VJEROVATNOĆE

1. Neka je eksperiment istovremeno bacanje dvije kocke. Razviti skup elementarnih događaja. Datiprimjer za siguran, nemogući složen događaj.

Rješenje:

Eksperiment je istovremeno bacanje dvije kocke. Elementarni događaj je svaki uređeni par 21, xx , gdje je 1x broj koji je pao na prvoj kocki i 2x broj koji je pao na drugoj kocki. Skup

elementarnih događaja je skup E: 6,5,4,3,2,16,5,4,3,2,1, 2121 xixxxE . Ili urazvijenomobliku:

6,65,64,63,62,61,66,55,54,53,52,51,56,45,44,43,42,41,46,35,34,33,32,31,36,25,24,23,22,21,26,15,14,13,12,11,1

Događaj“zbir palihbrojevaje manji od 14” je sigurandogađaj. Događaj“proizvod palihbrojevaje veći od 40” je nemogućdogađaj. Događaj “na prvoj kocki pao je broj veći od 4” je složendogađaj.

2. Akoistovremeno bacamo trinovčića,izračunativjerovatnoćuda ishod bude “paloje pismodva putai grb jednom”.

Rješenje:

Istovremenosmobacili 3 novčića. Utom slučajuformiraćemoalgebruili skup svih elementarnihdogađaja: GGGGPGGGPPGGPGPPPGGPPPPP ;;,;;,;,,;,,,,,,,,,,,,, .

Dakle, vjerovatnoća svakog od ovih elementarnih događaja pojedinačno je811

)( n

ep i .

Neka je složeni događajA“palo je pismo dva puta i grbjednom”, tada je83)(

)( nAm

Ap .

3. U skupu od 60proizvoda iste vrste nalazese 3proizvoda koja imaju grešku.Ako na slučajizvlačimojedan proizvod kolika je vjerovatnoća da seizvučeproizvod sa greškom?

Rješenje:

događajA - izvučen je proizvod sagreškom

%505,0603)(

)( nAm

Ap

72

Vjerovatnoća

4. Standardna pošiljka sastojise od 90 proizvoda. Pošiljalac nas je informisao dapostoje 4 proizvodasagreškom.Ako pri kontroli uzimamo uzorak od 5 proizvoda, kolika je vjerovatnoćada se u tomuzorkunađe jedan neispravan proizvod?

Rješenje:

događajA- izvučen je neispravanproizvod

%1919,0439492688494220)(

)( nAm

Ap

849422021235554)86()4()( 41 CCAm

43949268)90(5 Cn

5. U jednoj korpise nalazi 20 crvenih i10 plavih kuglica.Akona slučaj biramo2 kuglicei to uzastopno,kolika je vjerovatnoća da budu izvučene:

a) obje crvene

b)kuglice različitih bojac) kuglice istihboja

akose prva izvučena kuglica vraća ukutijuprije izvlačenja druge.

Rješenje:

Ako se prva izvučena kuglica vraća ukutijuprijeizvlačenja drugeriječjeo nezavisnim događajima.

A - prva izvučena kuglica je crvena32

3020

)( Ap

B - prva izvučenakuglica je plava31

3010

)( Bp

C - druga izvučena kuglica je crvena32

)()( ApCp

D - druga izvučenakuglica je plava31

)()( BpDp

a) %4444,094

32

32

)()()( CpApCApdogađajinezavisni

b)

)()()()()()( CpBpDpApCBpDApCBDApdogađajidisjunktni

= %4444,094

32

31

31

32

c) )()()()()()( DpBpCpApDBpCApDBCAp

= %5656,095

31

31

32

32

73

Riješeni zadaci

6. U jednoj korpise nalazi 20 crvenih i10 plavih kuglica.Akona slučaj biramo2 kuglicei to uzastopno,kolika jevjerovatnoća da budu izvučene kuglice različitih boja ili obje plavekuglice akose prva izvučenakuglica ne vraća ukutiju prije izvlačenja druge.

Rješenje:

Ako seprva izvučenakuglicanevraća ukutiju prijeizvlačenja drugeriječjeo zavisnim događajima.

A - prva izvučena kuglica je crvena32

3020

)( Ap

B - prva izvučenakuglica je plava31

3010

)( Bp

DBpCBpDApDBCBDAp

( ) )( ) ( ) )( ) ( ) )( )p D A p A p C B p B p D B p B

10 2 20 1 9 1 490,56 56%

29 3 29 3 29 3 87

7. Na konkurs zaposao tržišnoginspektora prijavilo se12 kandidata: 5pravnikai 7 ekonomista.Bićeprimljeno 4inspektora. Izračunati vjerovatnoćuda:

a)neće biti primljen ni jedanpravnik.

b)biće primljeno makar tripravnika.

Rješenje:

a) %707,0495

351

412

47

05

ap

b) %1515,0495

570

412

07

45

17

35

bp

8. U terminu od 30 dana 16 dana je bilokišno.Ako biramo na slučaj jedan dan iz togperioda kolika jevjerovatnoća daćemo izabrati dan kadanije bilokišno?

Rješenje:

Događaji A - “bilo je kišno” i A - “nije bilo kišno” susuprotni događaji,pa je

4667,03014

3016

1)(1)( ApAp traženavjerovatnoćaiznosi 46,67%.

74

Vjerovatnoća

9. Ako 75% potrošača koristi kafu, 80% potrošača korističaj, 65%potrošača koristi oboje, kolika jevjerovatnoćada:

a) korisnikčaja koristi kafu,

b) potrošačkoristi makarjedno?

Rješenje:

A -potrošačkoristi kafu, 75,0)( Ap

B - potrošačkorističaj, 8,0)( Bp

BA - potrošačkoristi i kafu ičaj, 65,0)( BAp

a)Događaj “korisnikčajakoristi kafu” ili “koristikafu uz uslov da većkorističaj”:

%25,818125,08,065,0

)()(

)(

Bp

BApBAp

b) Događaj “koristi makar jedno”:

%909,065,08,075,0)()()()( BApBpApBAp

10. Vjerovatnoća da na slučaj izabrani radnik ima više od 5 godina radnog staža iznosi 0,6. Koja jevjerovatnoća da na slučajizabraniradnik nema više od5 godina staža?

Rješenje:

A - radnik ima više od 5 godina radnogstaža

%404,0)(1)( ApAp

11. U velikom gradu 70%domaćinstava kupujednevnuštampu, a 90%imaTVprijemnik. Pretpostavimodasu ta dva događaja međusobno nezavisna.Kolika je vjerovatnoća daćenaslučaj odabranodomaćinstvokupovatištampu i imatiTVprijemnik?

Rješenje:

%8363,09,07,0)()()(.

BpApBApdognezavisni

12. Međuturistima ujednom skijaškomcentru60%su muškarci. Poredtoga, 80%žena i60%muškaracasudomaći turisti. Izračunati vjerovatnoćuda ćena slučajizabrana osoba biti:

a)državljanin našezemlje.

b)strana turistkinja.

Rješenje:

A -turista je muškarac

B - turista ježena

C - turista jedržavljanin naše zemlje

D- turista jestranidržavljanin

75

Riješeni zadaci

a) )()()()()()()()( BpBCpApACpCBpCApCBCAp

0,6 0,6 0,8 0, 4 0,68 68%

b) %808,04,02,0)()()( BpBDpBDp

13. U jednoj robnoj kući odabrano je200 kupovinavećih od5 hiljada nji zabilježena sljedeća strukturakupovina prema načinuplaćanja i vrijednosti robe:

Akoslučajnimputem biramo jednukupovinu,odrediti vjerovatnoću daje:

a)kupovina plaćenagotovinom,

b) kupovina bila veća od 10 hiljada nj i plaćena ječekovima,

c) kupovina u iznosudo 10 hiljada njplaćenačekom ili na kredit.

Rješenje:

Označićemodogađaje:

a) %4545,020090

)1( Ap

b) %202,0200

25152)32(

ABBp

c) %101,0200

1010321

AABp

14. Berzanskianalitičarje proučavaoperformanse dionica velikogbrojakorporacijai klasifikovao ihnadobre i loše. Nakon godinu dana ponovo su analizirane te dionicei otkriveno da je35% bolje od tržišnogprosjeka,40% oko prosjeka i25% ispod prosjeka.40% dionica koje jetaj analitičar svrstao udobrebiloje pri ponovnoj analizi bolje od prosjeka, 25% oko prosjekai 15% ispod. Kolika je vjerovatnoća da sedionice uz uslov da ih je analitičar smatraodobrimnađu iznadprosjeka?

Rješenje:

H1 - iznad prosjeka 35,0)1( Hp

76

Vjerovatnoća

H2 -oko prosjeka 4,0)1( Hp

H3 - ispod prosjeka 25,0)3( Hp

A -dionice koje je analitičar smatrao dobrom investicijom

Prema Bayes-ovoj teoremi:

15,0)3(25,0)2(4,0)1( HApHApHAp

%45,505045,025,015,04,025,035,04,0

35,04,0

)()(

)1()1()1( 3

1

i

HipHiAp

HpHApAHp

15. Nova sekretarica je dobila n šifri za kompjuter, od kojih samo jedna omogućava pristup fajlukompjutera.Kako ona nijeimala ideju koja ješifra prava, izabrala je jednuna slučaj i isprobalaje. Ako ješifra koju je izabrala bila neispravna ona bije eliminisala i naslučaj uzeladrugu iponavljala taj postupakdoknije pronašla pravušifru.

a) Kolika je vjerovatnoća da je pri prvompokušaju izabrala bašpravušifru?

b) Kolika je vjerovatnoćada nađepravušifru pri drugom pokušaju? (pri trećem pokušaju)

c)Sigurnosni sistemjetako dizajniran daakojetri putauzeta neispravnašifra, fajlsezaključava inemogućemuje pristupiti.Ako je 7n , izračunati vjerovatnoću daće sekretarica uspjeti pristupitifajlu.

Rješenje:

a)A– pri prvom pokušaju izvučena pravašifra

nAp

1)(

b) B – tek pri drugom pokušaju izabrana je pravašifra

A - pri prvom pokušaju nije izabrana pravašifra, nn

ApAp1

)(1)(

1B - pri drugompokušaju izvučena pravašifra

11

)( 1

nABp

nn

nn

ApABpBApBp11

11

)()( 11

C –tek pri trećem pokušajuizvučena pravašifra

1C - pri trećempokušaju izvučena pravašifra

2

11

n

BACp

12

1

2

)()(

nn

nn

nn

ApABp

ABp

77

Riješeni zadaci

n

nABp

2

nnnn

nn

BACpABpApCBApCp1

21

121

)()()()()( 1

c)D -uspjetće pristupitifajlu

733

0000111

)()()()()()()()()(

nnnn

CBApCBpCApBApCpBpApCBApDp

16. Na izgradnji kuća rade tri firme G, J i B. Zbog različitih stopa učešća, firma G je odgovorna zakompletiranje30% kuća, firma Jza 25% ifirma B za 45%.U prosjeku 5%, 10%i 12% njihovih radovarespektivno je ispod zadanih standardai mora se ponovo raditi.Ako je kuća slučajno odabrana bila saradovima ispod standarda, izračunati vjerovatnoću da je radove na njoj vršila firma G?

Rješenje:

Definišimo događaje:

S– radovi su ispod standarda

G – radila firma G

J – radila firma J

B – radila firma B

Tražimo vjerovatnoću: GSp .Dati podaci su:

05,0)(05,0)(05,0)(45,0)(25,0)(3,0)(

BSpJSpGSpBpJpGp

Prema Bayes-ovoj formulije:

%1616,012,045,01,025,005,03,0

05,03,0)()()()()()(

)()(

BSpBpJSpJpGSpGp

GSpGpSGp

17. Ugrupi od50studenata 20 jeuzelo engleski jezik kaoizborni, 25 francuski i15oba jezika.Izračunativjerovatnoću da smo na slučaj odabrali studenta koji jeizabrao francuskijezikuz uslov daje uz to uzeo iengleski jezik.

78

Vjerovatnoća

Rješenje:

Tako bi izgledao Venov dijagram.

Imamoda je:

5015

)(5025

)(5020

)( FEpFpEp

Onda je: %7575,050

2050

15

)()(

)(

Ep

EFpEFp

18. Grupase sastoji od 10 ljudi: 4 muškarca i 6žena. Pri tomepušači su 3muškarca i2 žene. Odreditivjerovatnoću da je na slučaj odabran:

a) muškarac pušač,

b)žena nepušač,

c) pušač,

d)žena.

Rješenje:

a) 3,0103

)( pušačmuškaracp

b) 4,0104)( nepušačženap

c) 5,0105

)( pušačp

79

Riješeni zadaci

d) 6,0106

)( ženap

19. U testiranoj serijičašagdje je ispitivana termičkaotpornost dobiveni supodaci( u W/mK):

1,35 0,83 0,85 1,45 0,69 0,97 1,33 0,84 0,76 0,96

0,95 1,02 1,05 1,15 0,71 1,45 1,37 1,84 1,36 1,27

1,27 1,16 1,08 1,18 1,09 1,12 1,03 0,94 1,04 0,73

1,12 1,79 1,26 1,17 1,154 1,03 0,92 0,99 0,89 0,89

1,05 1,07 1,16 1,11 1,21 1,18 1,34 1,25 1,17 1,37

1,26 1,15 0,93 0,87 0,99 1,45 1,29 1,85 0,87 0,56

Odreditivjerovatnoću daakoiz togskupa slučajnoizaberemo jednučašunjenatermička otpornost budeniža od 1,05?

Rješenje:

%406024)(

)( nAm

Ap

20. Vjerovatnoća daće zastupnik kompanije imatiautomobilskunesreću udatoj godinije 0,08.Odreditivjerovatnoću daće on:

a) utoku narednečetiri godineproći bez automobilske nesreće,

b) imati najmanje jednu nesreću u četiri godine.

Rješenje:

a)A– nije imao automobilsku nesreću udatoj godini 92,008,01)( Ap

716,092,0)()( 44 ApAAAAp

b) Ovo je događajsuprotan predhodnom (imao je makar jednu nesreću):

1- 284,0)(1)( 4 ApAAAAp

80

Vjerovatnoća

ZADACI ZA VJEŽBU SA KRATKIM RJEŠENJIMA

1. Nekaod 10 radio aparata 2 ne rade. Biramo na slučaj uzorakod 3 radio aparata iz te skupine. Kolikaje vjerovatnoća da u uzorku budu makar 2 radio aparata koji ne rade?

(6,7%)

2. Broker raspolaže sa 7 vrsta obveznica i 6 vrsta dionica. Kolika je vjerovatnoća da investitor, kojisarađuje samo sa tim brokerom, u svoj portfolio izabere 2 vrste dionica i3 vrsteobveznica?

(40,79%)

3. Izračunati vjerovatnoću da ako istovremeno bacimo kocku i novčić, na kocki padne broj2 ili 3, a nanovčiću padne pismo?

( 61

)

4. Proizvođačocjenjuje daje vjerovatnoćakomercijalnog uspjeha novogproizvodaA jednaka0,6; dokzanovitip proizvodaBocjenjujuvjerovatnoću uspjehasa0,2.Ako jenoviproizvodAuspješan vjerovatnoćauspjeha novogtipaproizvoda Bće biti0,9.Izračunati vjerovatnoću dasuobaproizvoda postiglakomercijalniuspjeh.

(54%)

5. U odjeljenju ima 30 učenika i od toga je 9 odličnih. Ako na slučaj biramo 4 učenika, izračunativjerovatnoćuda:

a) sve budu odlični učenici.

b) makar 3 buduodlični učenici.

(a - 0,46%, b - 6,89%)

6. Od 5 različitih knjiga (B1, B2, B3, B4, B5) biramo dvije. Kolika je vjerovatnoća da knjiga B2 nijemeđuodabranim?

(60%)

7. Bacamo par kocki: jednu crnu i jednu bijelu.Zabilježimo uređene parove brojeva koji su ishod tihbacanja. Kolika je vjerovatnoća da je broj koji je pao na bijeloj kocki bio manji od 3 i da je broj koji jepao na crnoj kocki veći od 5?

(5,5%)

8. Ukutiji se nalazi17bijelihi 8crnih kuglica.Naslučajuzastopnobiramo2 kuglice.Izračunativjerovatnoćuda budu obje bijele ili obje crne, ako prvu izvučenu kuglicu ne vraćamo u kutiju prije izvlačenja drugekuglice.

(54,66%)

9. Neka od15 TVaparata 3nisu ispravna. Naslučaj biramo uzorak od 4TVaparata iz togskupa. Kolikaje vjerovatnoća dase u uzorku nađe najviše 2 neispravna proizvoda?

(99,12%)

81

Zadaci za vježbu

10. Od 5različitih knjiga (C1, C2, C3, C4, C5)biramotri. Kolika je vjerovatnoća da knjige C2 i C4budumeđuodabranim?

(30%)

11. U jednoj fabricimašinaAproizvodi10%, mašina B 40%i mašina C 50%odukupne proizvodnje.Odartikalaproizvedenihna mašiniAje5% neispravnih.Odartikalaproizvedenih namašiniBje 3% neispravnih.Odartikala proizvedenihnamašiniC je4%neispravnih. Kolika jevjerovatnoća da je neispravan proizvodkoji smona slučaj izabrali proizveden na mašiniC?

(54%)

12. Bacamo novčićtri puta. Kolika je vjerovatnoća da se u prvom bacanju sigurno pojavi pismo, a udrugom bacanju grb?

(25%)

13. U jednoj fabrici mašinaAproizvodi 10 %, mašina B 40 % i mašina C 50% od ukupne proizvodnje.Od artikala proizvedenih na mašiniA je 5 % neispravnih. Od artikala proizvedenih na mašini B je 6 %neispravnih.Odartikala proizvedenih na mašiniC je3 %neispravnih. Kolikajevjerovatnoća da jeproizvodkoji smona slučajizabrali neispravan?

(4,4%)

14. U kutiji se nalazi 15 bijelih i 10 crnih kuglica. Na slučaj uzastopno biramo 2 kuglice. Izračunativjerovatnoću da budu: jedna bijela jedna crna ili obje crne, ako prvuizvučenu kuglicune vraćamou kutijuprije izvlačenja druge kuglice.

(65%)

15. Formiramo petocifrene brojeve permutujući cifre6 6 6 5 5.Sve permutacije su jednako vjerovatne.Zahtjevajućida je dobijeni broj paran,kolika je vjerovatnoća dase dvije 5-ice pojave zajedno jedna dodruge?

(30%)

16. Neka je32

)(21

)(,21

)( BAPiBPAP . Da li su događaji A i B nezavisni? Ako je

43

)( BAP , dali su događajiAi B nezavisni? Objasniti.

17. Među10prijavljenih kandidatana konkursza 4radna mjestaprijavilo se i4lica satehničkim fakultetom.Poduslovom da seizbor vrši slučajnimputem,koja je vjerovatnoćada neće bitiizabrano ni jedno lice satehničkimfakultetom?

(7,14%)

18. Vjerovatnoćadaće trgovačkiputnik prodati proizvod je 0,8. Koja je vjerovatnoća, uz uslov davažinezavisnost, da će uspješno obaviti dvijeprodaje?

(0,64)

19. U velikom gradu 70% domaćinstava kupujednevnuštampu, a 90% ima tvaparat. Pretpostavimodasu dva događaja među sobom nezavisna. Kolika je vjerovatnoća daće na slučaj odabrano domaćinstvokupovatidnevnuštampuiimati TVaparat?

(0,63)

82

Vjerovatnoća

20. Posmatrajmo osnovni skup od10000 zaposlenih ujednom preduzeću,čija je struktura po spolu istepenustručnosti prikazana tabelom:

Ako svizaposleni imajuistuvjerovatnoću da buduizabranii ako se eksperiment sastojiu slučajnom izborujedne zaposlene osobe,izračunati vjerovatnoću sljedećihdogađaja:

a) izabrana osoba je muškarac,

b) izabrana je osobasa visokom školskom spremom,

c) izabrana ježenska osoba sa osnovnim obrazovanjem,

d)izabran je muškarac sasrednjom ili višom stručnomspremom.

(a - 0,6, b - 0,16, c - 0,04, d - 0,44)

21. Poznato je da 7,7% vozača imaju manje od 20 godina. Također znamo da je vjerovatnoća da vozačkojiima manje od20 godina ima fatalnunesreću 0,082% i daje vjerovatnoća da vozačkoji ima20 ilivišeod 20 godina ima fatalnu nesreću 0,039%.Izračunati vjerovatnoću da vozačkoji je imao fatalnu nesrećuima:

a) manje od 20 godina,

b) 20 ili višeod 20 godina.

(a – 0,149, b – 0,851)

22. Jedančovjek ima dva automobila. Uzimskimuslovima sa snijegom vjerovatnoćadaće voziloAupalitiiznosi 0,8, Vjerovatnoća daće vozilo B upaliti iznosi 0,4 i vjerovatnoća da će oba upaliti iznosi 0,3.Odrediti vjerovatnoću da :

a) makar jedno voziloće upaliti,

b)nijednovozilo neće upaliti.

(a – 0,9, b – 0,1 )

Teorijski rasporedi

85

RIJEŠENI ZADACI IZ TEORIJSKIH RASPOREDA

1. Neka je funkcija vjerovat noće prekidne slučajne promjenjive definisana na sljedeći način:

9

1

9

4

9

2

9

24321

:X .Kako tumačimo tu definiciju?Izračunati matematskoočekivanjete slučajnevarijable.

Izračunati )3(F .

Rješenje:

1,91

,94

,92

,92

,4,3,2,14

14321

iipppppx

44,291

494

392

292

1)(4

1

i

ii pxXE

94

92

92

)3( F

2. Neka je funkcijavjerovatnoće (funkcija gustine rasporeda vjerovatnoća) neprekidne slučajne varijable

definisana:

,8,0

8,1,632

)1,,0

)(

x

xx

x

xf .Odrediti vrijednost funkcije rasporeda ove slučajnevarijableza

40 x . Koliko iznosi matematsko očekivanjeove slučajnevarijable?

Rješenje:

8,1,263

2632

632

)()( 01

2

1110

0

000

x

xdxxdxxdxxgxF x

xxx

f

6315

21

24

632

2632

)4(22

41

2

xF

4074,531

38

632

3632

632

)()(33

81

38

1

28

1

xdxxdxxgxXE f

3. Bacamo istovremeno 3 novčića. Definišimo slučajnu promjenjivu X- broj pada pisma kod jednogbacanja.Odrediti: zakon vjerovatnoće, očekivanu vrijednost istandardnudevijaciju slučajne promjenjiveX.

Rješenje:

Mogućih ishoda ovogeksperimenta ima 82)( 3 rr nnV itosu:

86

Teorijski rasporedi

),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,( PPPPPGPGPGPPPGGGPGGGPGGG

Naša slučajna varijabla X- brojpada pismakodjednogbacanja može uzeti vrijednosti :0,1,2,3.Možemo odrediti odgovarajućevjerovatnoće:

81)3(

83)2(8

3)1(

81)0(

Xp

Xp

Xp

Xp

Dakle, sada matematski definišemo slučajnu varijablu pomoću zakona vjerovatnoće:

8

1

8

3

8

3

8

13210

:X .

4

1

1 3 3 1 12( ) 0 1 2 3 1,5

8 8 8 8 8k kk

X E X x p

242 2 2 2

1

1 3 3 1( ( ) (0 1,5) (1 1,5) (2 1,5) (3 1,5)

8 8 8 8i ii

x E X p

= 0,866

4. Funkcija vjerovatnoće slučajnepromjenjive X data je tabelom:

Akoseuvede funkcija: 12 ii xy , odreditiočekivanu vrijednost i standardnudevijaciju nove slučajnevarijable Y.

Rješenje:

Novaslučajna varijabla ima iste vjerovatnoće:

8,3025,07475,05375,03125,01)(4

1

k

kk pyYEY

47,1025,0)8,37(475,0)8,35(375,0)8,33(125,0)8,31(0

)((

2222

24

1

ii

iY pYEy

x 0 1 2 3p 0,125 0,375 0,475 0,025

y 1 3 5 7p 0,125 0,375 0,475 0,025

87

Riješeni zadaci

5. Imamo zadatak da napravimo uzorak od 400 proizvoda. Poznato je da vjerovatnoća pojavljivanjaneispravnogproizvoda iznosi 15%. Odreditiaritmetičku sredinu istandardnu devijaciju odgovarajućegbinomnograsporeda.

Rješenje:

40085,015,0

nqp

6015,0400)( pnXE Očekujemo da će se pojaviti u prosjeku 60 neispravnih

proizvoda utom uzorku. 14,75185,015,04002 qpn

Očekivano variranje broja neispravnih proizvodaokoprosjeka60iznosi 7proizvoda(60-7,60+7ili 53-67 neispravna proizvoda).

6. Izračunati vjerovatnoću da ako 10 puta bacimo kocku 3 puta padne broj 5.

Rješenje:

%5,15155,065

61

310

33,

65

,61

,1073

333

nqp

npkqpn

7. Prekidna varijabla Xse ponaša pozakonu binomne distribucije 75,3,5)( 2 XEX .Kakoglasi

zakonvjerovatnoće? Izračunati vjerovatnoćudaslučajna varijabla uzmevrijednosti: 5,3,0 XXX .

Rješenje:

75,3175,3,55)( 2 ppnpnXE . Imamo dvije jednačine sa dvije

nepoznate ikadaih riješimo dobivamo: 20,75,0,25,0 nqp .Dakle, zakon vjerovatnoćeglasi:

kkkk

k

kkxpp

kkxX 2075,025,0

20)(

20,0,: .

%3,0003,075,075,025,0020

0 202000

pX

Vjerovatnoća da varijabla uzme vrijednost 3 je 0,3%.

%5,77775,0)134,0067,0021,0003,0(1

75,025,0320

75,025,0220

75,025,0120

003,01

)(1)3(1)3(3

173182191

3210

ppppXpXpX

Vjerovatnoća da varijabla uzmevrijednost veću od 3 je 77,5%.

88

Teorijski rasporedi

616,0202,0189,0225,0

75,025,0520

75,025,0420

003,0134,0067,0021,0003,0

)5(5

155164

543210

ppppppXpX

Vjerovatnoća da varijabla uzme vrijednost manju od5 ili 5 je61,6%.

8. Revizor kontroliše tačnost knjiženja knjigovostvenih promjena. Na bazi iskustva je poznato da jeknjiženje neispravno u5%slučajeva.Ako se kontroli podvrgne 20slučajnoodabranih knjiženja, kolikajevjerovatnoća: da su sva knjiženja tačna, da 3 sadrže grešku?

Rješenje:

20,95,0,05,0 nqp - imamo podatke u tablici binomnograsporeda.

Svaknjiženja ispravna 35849,0,0 0 pk 35,849%.

3 knjiženja neispravna 05958,0,3 3pk 5,958%.

9. Automat proizvodi nekiproizvodsa20%škarta.Odabirase na slučajan načinuzorakod 6proizvoda.

a)Kolikaje vjerovatnoća daće u navedenom uzorkubiti sve ispravniproizvodi?

b) Koliko iznosi vjerovatnoća daće biti 2 ili 3 lošaproizvoda?

c) Kolika je vjerovatnoća da bude makar 1lošproizvod?

Rješenje:

8,0,6,2,0 qnp binomni rasporedknk qp

kn

kP

)(

a)

262144,08,02,0

06

)0( 60kP Vjerovatnoća da se u uzorku nađusamoispravni

proizvodi je 26,2144 %.

b)2 4 3 36 6

( 2) ( 3) 0,2 0,8 0, 2 0,8 0,24576 0,081922 3

P k P k

=0,32768

Vjerovatnoća da u uzorku budu 2ili 3 loša proizvoda je 32,768 %.

c) 737856,0262144,01)0(1)0( kPkP Vjerovatnoćada se u uzorku nađemakar jedan lošproizvod je 73,7856 %.

10. Kontrolišućirad jednogautomata, kontrolor uzima uzorakod po 10 jedinica.Na bazi 50 na taj načinpregledanih uzoraka dobili smo sljedeće podatke o kvalitetu analiziranogproizvoda:

89

Riješeni zadaci

Ovu empirijsku distribuciju aproksimirati odgovarajućim teorijskim rasporedom i izračunati greškuaproksimacije.

Rješenje:

Riječje oprekidnoj varijabli.Imamo dvijevarijante, ili ispravan,ilineispravan proizvod,štonasasocira na binomni raspored.

10,50 nN

18,250

109

Nfx

X kk

71,118,250323 22

22

X

Nfx kk

7,11018,2

118,21

nX

X

Zadovoljenisu uslovi za aproksimaciju binomnimrasporedom:

nXX

nX

1

1218,00

2

brojneispravnihproizvoda

brojuzoraka

0 61 112 153 104 75 1 50

90

Teorijski rasporedi

Tadaje: 2,0nX

p (zaokružićemo da bi moglikoristiti tablice) 8,0q

210 ,10,0,8,02,010

kkkbk

bk

kkbk ffdNpfk

kp

1947,1111417,13

11 22

kb dn greška aproksimacije je 1,09.

11. Vjerovatnoća da je neka osoba pozitivna na virus “XY” je 0,001. Odrediti vjerovatnoću da je od5000 slučajno odabranih osoba na taj virus pozitivno:

a) 2

b) više od 3.

Rješenje:

Vjerovatnoća da je neka osoba pozitivna na virus “XY” je 0,001, što je jako malo pa se tosmatra rijetkim događajem. Stoga primjenjujemo Poissonovraspored.

5001,05000 pnm!

55

kep

k

k

a) %42,80842,02 tabliceiz

k

b) )(1)3(1)3(3 3210 ppppkPkPk

%5,73735,0)1404,00842,00337,00067,0(1

12. U jednoj službi koristi se automat za umnožavanje. Želi se utvrditikoliko prosječno kopija trebaodbaciti.Svakiput se uzmeskup od 100kopija, broj izvršenih serija je 250 i dobiveni su rezultati:

Ovaj empirijski raspored aproksimiratiodgovarajućim teorijskimrasporedom.

91

Riješeni zadaci

Rješenje:

100,250 nN

65,3250912

N

fxX kk

75,365,32504268 22

22

X

Nfx kk

Kako je 2X Poissonov raspored, 65,3Xm !65,365,3

kep

kpk

Npf pk

pk

13. U razredu je 10 odličnih učenika, dok je ostalih 22 lošijeg uspjeha. Kolika je vjerovatnoća da uuzorak od 8 učenika budeizabrano samo 3 učenika koji nisu odlični?

Rješenje:

3,22,8,32 kMnN

%7,3037,0

832

510

322

nN

knMN

kM

p hk

14. Slučajna varijabla seponašaprema normalnom rasporedu )4,8(NX . Izračunati vjerovatnoću da

je: 62,10 xx .

92

Teorijski rasporedi

Rješenje:

28

)4,8(

ii

xzNX

%134,8484134,0)1()1(2

810)10(

tablicazpzpxp

%731,1515731,084134,099865,0)1()3(

)3(1)1(1)3()1()13(2

862

82)62(

tablica

zpzpxp

15. Akoneprekidna slučajna varijabla imanormalan raspored )16,15(NX , kolikaje vjerovatnoćadaslučajna varijabla uzmevrijednost veću od18?

Rješenje:

4,15)( XE

%66,222266,07734,01)75,0(1)75,0(4

1518)18(

zpzpxp

16. Visina čovjeka jenormalna slučajna varijabla sa matematskim očekivanjem 164cm i devijacijom 15cm. Iznad koje visine je 6 % ljudi? Ispod koje visineje 15 % ljudi? Koliki je postotakljudi višihod 170cm?

Rješenje:

( ) 164 15XE X 15

164)(

iii

xXExz

555,1)(555,194,0)(06,0)(06,0)( X

ooooo

XExzzzPzzPxxP

325,187555,115

164o

o xx

6% ljudi je iznad visine 187,325 cm.

035,1)(035,115,0)(15,0)( X

oooo

XExzzzPxxP

475,148035,115

164o

o xx

15% ljudi je ispod visine 148,475 cm.

3446,06554,01)4,0(1)4,0(

15164170)170( zPzPzPxP

Ljudiviših od 170 cm ima 34,46%.

93

Riješeni zadaci

17. U skupu (za koji se pretpostavlja da se ponaša prema normalnom rasporedu) poznato jeA(X) = 22 i σ2 = 4

a) ako sugranice tolerancije 18 i 23, koliki se procenat može očekivati u granicama tolerancije?

b) izračunati granice x1 i x2 takoda simetričnost oko aritmetičke sredine bude96 %.

Rješenje:

422)( 2 XE 222)(

ii

i

xXExz

a)

%871,6666871,097725,0169146,0

)2(1)5,0()5,02(2

22232

2218)2318(

zPzPxP

U granicama tolerancije se očekuje 66,871%elemenataskupa.

b) 055,298,0)(96,01)(2)( 000 zzzzzzP

11,262

22055,2

)(

89,172

22055,2)(

222

0

111

0

xxXEx

z

xxXExz

18. Jedno preduzeće proizvodi ležajeveza automobile. Neka je rasporednjihovih prečnika normalansaA(X) = 2,6 cm i 2 = 0,03 cm. Ako su granice tolerancije 2,55 i 2,62, koliko će se odbaciti škartaprilikom kontrole10 000 proizvedenih ležajeva?

Rješenje:

17,06,2)(

17,003,06,2)( 2

iii

xXExzXE

)12,029,0(

17,06,262,2

17,06,255,2

)62,255,2( zPzPxP

1619,06141,015478,0)29,0(15478,0)29,0()12,0(

Dakle škarta će biti %81,83%100)1619,01( ako su to granice tolerancije i na 10 000proizvedenihležajevabiće ih8381neispravan.

19. Data je serija:

94

Teorijski rasporedi

Uz pretpostavku normalnograsporeda,izračunati broj radnika koji ima plaću:

a) između3000 i 5500

b) veću od 5500

c) do 3000

d) između prosječne plaće i5500.

Rješenje:

73,467082

383000

6

1

N

fxX i

ii 16,1395

824,159609754

6

1

2

N

fXxi

ii

a)3000 4670, 73 5500 4670,73

(3000 5500)1395,16 1395,16

p x p z

1,2 0,59 (0,59) 1 (1,2 0, 7224 1 0,88493z

0, 60733 0, 60733 82 50 radnika

b) 23822776,02776,07224,01)59,0(1)59,0()5500( zpxpradnika

c) 98211507,011507,088493,01)2,1(1)2,1()3000( zpxpradnika

d) (4670,73 5500) (0 0,59) (0, 59) (0) 0,7224 0,5 0, 2224p x p z

0, 2224 82 18 radnika

20. Za 100 učenika jedne srednješkole poznate su težine:

95

Riješeni zadaci

Ovaj empirijski rasporedaproksimirajte pomoćunormalnograsporedai izračunajte grešku aproksimacije.

Rješenje:

5

1

1 6518( ) 65,18

100i ii

A X s fN

52 2 2

1

1 1( ) 425204 65,18 1, 9

100x i ii

s f A XN

9,118,65)(

i

x

ii

sXAaz

1 1( ) ( )i i i ti ip z z f N p

4,15817,9

)(1 5

1

2

itiin ff

n greška aproksimacije

21. Za vrijednost stepeni slobode 9n , odrediti vrijednost za 0t , ako je:

a) 05,0)( 0 ttP

b) 99,0)( 00 tttP

c) 9,0)( 0 ttP

Rješenje:

a) 05,0)(1)(1)( 0900 tSttPttP 85,195,0)( 009 ttStablicaiz

b) 3,3995,0)(99,01)(2)( 0090900 ttStStttP

c) 4,19,0)()( 0090 ttSttP

22. Ako je riječo Snedecor-ovom rasporedu odrediti 0F ako je 05,0)(,7,4 021 FFP .

Rješenje:

12,47,4,05,0 021 Fptablicaiz

x f s s·f s2·f ai zi )( iz p ft (f-ft)2

- -0 060-62 5 61 305 18605 62 -1,67 0,0475 0,0475 4,75 0,062562-64 20 63 1260 79380 64 -0,62 0,2676 0,2201 22,01 4,040164-66 42 65 2730 177450 66 0,43 0,6664 0,3988 39,88 4,494466-68 27 67 1809 121203 68 1,48 0,9306 0,2642 26,42 0,336468-70 6 69 414 28566 + + 1 0,0694 6,94 0,8836= 100 6518 425204 100 9,817

96

Teorijski rasporedi

23. a)Ako je 207 i 20,n odrediti )()( 2

022

02 PiP ,

b) Za 5 stepeni slobode i zadatu vjerovatnoću 0,9 naći odgovarajuću vrijednost 20, ako se vjerovatnoća

odnosi na relaciju 20

2 . Uz identične uslove naći 20 uz relaciju 2

02 .

Rješenje:

a) 7n

995,0)20( 2 P

005,0995,01)20(1)20( 22 PP

b) 5n

5,99,0)( 20

20

2 P

5,11,0)(9,0)( 20

20

220

2 PP

24. Bacamo istovremeno 4 novčića. Neka je slučajna promjenjiva X “broj pojavljivanja grba kod jednogtakvogeksperimenta. Odreditizakon vjerovatnoće slučajne varijable X.Prikazati grafički funkcijurasporedai odrediti )3( XP .

Rješenje (primjena Excela):

Riječje o Binomnom rasporedu vjerovatnoće. Modaliteti varijable X:0,1,2,3,4.

5,05,0 qp

nkkk

kxPp

kkxX kk

kbk

k

,0,5,04

5,05,04

)(

4,0,: 44 - zakon vjerovatnoće

U Paste function dobićemo vjerovatnoće prema binomnom zakonu vjerovatnoće na sljedećinačin ( za svako X pojedinačno) - {=BINOM DIST( kx ;4;0,5;FALSE)} i kumulativnevjerovatnoće zafunkciju rasporedana sljedećinačin - {=BINOMDIST(;4;0,5;TRUE)}.

97

Riješeni zadaci

)3( XP dobijamo iz Pastefunction:{=BINOMDIST(3;4;0,5;TRUE)}=0,8125.

25. Na1000 jedinicaproizvoda nađe se 28 neispravnih proizvoda.Ako na slučajuzimamouzorak od14proizvoda, kolika je vjerovatnoćada :

a)u uzorku budu tačno 4 neispravna;

b)u uzorkubudunajviše 2neispravna;

c)u uzorku budu makar 3 neispravna.


Riječje o Binomnom rasporeduvjerovatnoće. Modaliteti varijableX: 0,1,2,3,4,...,14.

972,0028,01000

28 qp

kkk

bk

k

kkxPp

kkxX 14972,0028,0

14)(

14,0,:

a) {=BINOMDIST(4;14;0,028;FALSE)}= 0,000463 0,0463%

b) {=BINOMDIST(2;14;0,028;TRUE)}= 0,993662 99,3662

c) 1-{=BINOMDIST(2;14;0,028;TRUE)}=1- 0,993662=0,006338 0,6338%

26. U osnovnom skupu ima 30 jedinica nekog proizvoda i to 30% neispravnih. Biramo uzorak od 4proizvodai to takodaizvučeni proizvod nevraćamo u skup prijeizvlačenjanarednogproizvoda.Izračunativjerovatnoćudase izvukunajvišedvaneispravna proizvoda uuzorak.


30% neispravnih u osnovnomskupu ima9 neispravnihproizvoda

izvučeniproizvod ne vraćamo u skup prije izvlačenja narednogproizvoda izvlačenjasu zavisnidogađaj hipergeometrijski raspored.

najviše dva neispravna ili nijedan ilijedan ili dva neispravna proizvoda

PrimjenjujemoPaste function:

- vjerovatnoća da ne bude izvučennitijedanneispravanproizvod

={=HYPGEOMDIST(0;4;9;30)} = 0,218391

98

Teorijski rasporedi

- vjerovatnoća da bude izvučen jedanneispravanproizvod

={=HYPGEOMDIST(1;4;9;30)} = 0,436782

- vjerovatnoća da budu izvučena dva neispravna proizvoda

={=HYPGEOMDIST(2;4;9;30)} = 0,275862

- konačno, vjerovatnoća da buduizvučena najviše 2 neispravna jednaka je zbiru vjerovatnoćaprethodna događaja ( kaovjerovatnoća unije - događaja ili - za isključive događaje) - 0,931034 93,1034%

27. Zadistribuciju koja se ponaša po normalnomrasporedupoznate su aritmetičkasredina 8 i standardnadevijacija 2,32. Izračunati vjerovatnoću da slučajna varijabla xbude:

a) u intervaluod 8,5 do 10,2.

b) veća od 9.

c) manja od 7,6.


8 2,32

a)PrimjenjujemoPaste function:

{=NORM DIST(10,6;8;2,32;TRUE)-NORM DIST (8,5;8;2,32;TRUE)}= 0,283472%3472,28

b)Primjenjujemo Pastefunction:

1-{=NORMDIST(9;8;2,32;TRUE)}=1-0,66778 = 0,33222 %222,33

c)Primjenjujemo Pastefunction:

{=NORMDIST(7,6;8;2,32;TRUE)}=0,414682 %4682,41

28. Ako je vjerovatnoća da je neka osoba alergična na vakcinu jednaka 0,3%, izračunativjerovatnoćuda su od 2800 osoba alergične:

a) 4

b) više od 3

c) najviše 2.


003,0p rijedak događaj Poissonov raspored

2800 0,003 8,4m n p

KoristićemoPaste function:

a) )4(XP {=POISSON(4;8,4;FALSE)}= 0,046648 4,6648%

b) 1- )3(XP 1-{=POISSON(3;8,4;TRUE)}=1- 0,03226= 0,96774 96,774%

c) )2(XP {=POISSON(2;8,4;TRUE)}=0,010047 1,0047 %

99

Zadaci za vježbu


1. Iz iskustva jepoznato da 8 %proizvodaproizvedenih u Ismjeni imagrešku.

a)Akopravimo uzorakod30 proizvoda izračunati vjerovatnoćuda se uuzorkunađunajviše 2neispravnaproizvoda.

b)U uzorku veličine 50 proizvoda, kolikoneispravnihproizvoda možemoočekivati?

(a - 56,53%, b - 4)

2. Eksperiment bacanja homogene kocke za igru ponavljamo 30 puta. Kolika je vjerovatnoća se da uokviru toga 12puta neće pojaviti broj 1?Kolikije očekivani brojishoda sa rezultatom 1?

( 81055,9 5)

3. Neka je funkcija vjerovatnoće p rekidne slučajne promjenjive definisana na sljedeći način:

10

2

10

3

10

3

10

25432

:X . Iz računat i matemat sko očekivanje i varijansu te slučajne varijable.

Izračunati )4(F .

)21

)4(;05,1)(;5,3)(( FXVarXE

4. Vjerovatnoćada pri kontroliproizvodnje nađemoneispravanproizvod je 14%.Ako prikontroliuzimamouzorak od18 naslučaj odabranihproizvoda, izračunati vjerovatnoćuda:

a)nijedan proizvod ne bude neispravan,

b)najviše 3 proizvoda suneispravna.

(a - 6,6%, b - 76,16%)

5. Neka je funkcija vjerovatnoće (funkcijagustine rasporeda vjerovatnoća) neprekidne slučajnevarijable

definisana:

,7,0

7,2,452

)2,,0

)(

x

xx

x

xg f . Koliko iznosimatematskoočekivanje ivarijansa ove slučajne

varijable?

( 87,1)(,27

134)( XVarXE )

6. U skupu (za koji sepretpostavlja da se ponašaprema normalnomrasporedu)poznato je )( XE =20

i 2 = 1,3;

a) ako su granice tolerancije 19 i20,8, koliki se procenat može očekivati u granicama tolerancije?

b) izračunati granice x1 i x2 takoda simetričnost oko aritmetičke sredine bude92%.

(a - 56,86%, b - 01,22;99,17 )

100

Teorijski rasporedi

7. Za binomnu raspodjelu E(X) = 9i p = 1/3. Odrediti:

a)koje vrijednosti može uzeti slučajna promjenjivaX?

b) vjerovatnoću da je X između 2 i 6.

c) σ, α3 iα4

(a - 27,0x , b - 7%, c - 94,2,018,0,45,2 43 )

8. Eksperiment se sastoji uistovremenom bacanjudvije kocke. Neka je slučajnavarijabla X:zbir ishodapada te dvije kocke.

a) Odrediti funkciju vjerovatnoće te slučajne varijable, matematsko očekivanje i varijansu, pa nacrtatihistogram.

b)Izračunati iobjasniti vrijednost funkcije rasporeda vjerovatnoćaza X: 6, 12,15.

c)Ako događaj Bdefinišemona sljedećinačin:“Definisanavarijabla Xuzimavrijednostiveće ili jednake8”,izračunati vjerovatnoću togdogađaja.

(a - 83,5,7)( 2 XE , b - 1)15(,3635

)12(,3610

)6( FFF , c - 3615

)

9. Slučajnaprekidna varijabla imala je sljedeću empirijsku distribuciju:

Zadatu empirijsku seriju procjeniti pomoću odgovarajućeg teorijskograsporeda i izračunati grešku teprocjene, ako je veličina uzoraka koji su formiranibila .5n

( 81,0b )

10. Težinačovjeka je normalna slučajna varijablasa matematskim očekivanjem 70 kgi devijacijom6 kg.Ispod koje težine je 5% ljudi? Iznad koje težineje 10% ljudi? Kolikije postotak ljudi lakših od 64 kg?

(5%, 77,74kg, 15,87%)

11. Useriji od 20elemenata ispitivali smo pojavljivanje neispravnogproizvoda.Akoje vjerovatnoćadasepribiranjujednogproizvodapojavineispravanproizvod iznosila0,09,izračunatiaritmetičku sredinu,varijansu,standardnudevijaciju, koeficijente asimetrije ispljoštenosti iobjasniti.Kolika je vjerovatnoćada se userijipojave manje od 3 neispravnaproizvoda?

( 3 4( ) 1,8, 1,28, 0, 41, 3, 31 ( 3) 73,34%E X P k )

12. Standardna devijacija Poissonove slučajne varijable je 3. Odrediti:

a) vjerovatnoću da se ta slučajna varijabla nalaziizmeđu 3 i 7,

101

Zadaci za vježbu

b)očekivanje, koeficijente asimetrije i spljoštenosti,

c) vjerovatnoću daslučajna varijabla uzme vrijednost 2.

(a - 18,56%; b - 11,3,33,0,9)( 43 XE ; c - 0,5%)

13. Za100 učenika jedne srednješkole poznate su težine:

Ovaj empirijski raspored aproksimirajtepomoću normalnograsporeda.

14. Binomna raspodjela ima očekivanje 4 i standardnu devijaciju 2 . Odrediti koeficijent asimetrije ispljoštenosti,kao ivjerovatnoćuda varijabla X uzme vrijednosti X ?7.

( 3 40, 2,75, ( 7) 96,5%P k )

15. Poissonova slučajna varijabla ima P (k = 2) = 0,27067. Odrediti X , σ,α3 iα4, i P (k< 3).

)6767,0)3(,21

3,2

1,2,2( 43 kPX

16. Radniku u prosjeku treba 1 sat da uradi određeni posao sa standardnomdevijacijom od 10 minuta.Uz pretpostavkunormalnog rasporeda, odreditivjerovatnoćuda radnik završi posao unutar perioda od82minute.

(98,6%)

Intervalne procjene

105

RIJEŠENI ZADACI IZ INTERVALNIH PROCJENA

1. U tehnološkom procesu seproizvode kutije kockešećera. Težina tihkutijau populaciji je normalnoraspoređena sastandardnom devijacijom12 gr. U uzorkuod 25kutija prosječnatežina iznosila je 198gr.Sa99%signifikantnosti odrediti intervalukom bi se kretala prosječna težinakutijekockešećera upopulaciji.

Rješenje:

12,198,25 oXn

a) 0, 01 poznatavarijansau populaciji ( ) 1 0,995 2,582t tz z

)01,0(gr192,204808,1914,258,21984,258,2198

4,25

12

MM

zXMzXn XtXto

X

2. Na ostrvu koje ima 1500 domaćinstava slučajno smo odabrali 35 domaćinstava i ispitivali kolikohektara obradivogzemljištaposjeduju.Prosječnaveličina obradivogzemljištva podomaćinstvu u tomuzorku bilaje 1,85 ha sa devijacijom 0,35 ha.

35,0,85,1,35,1500 uXnN

a) Uz 95% vjerovatnosti procjeniti u komintervalu se kreće prosječnaveličina obradivog zemljištva podomaćinstvu za osnovniskup.

b) Koliki uzorak treba bitida se uz 5% grešku postigne preciznost 2= 0,4.

Rješenje:

35,0,85,1,35,1500 uXnN

a) 0, 05 veliki uzorak ( ) 1 0,975 1,962t tz z

)05,0(9676,17324,106,096,185,106,096,185,1

06,083,535,0

1

MM

SzXMSzXn

SXtXt

uX

b) 0, 05 ( ) 1 0,975 1,962t tz z

2,0

22

0

0

1,96 0,35 150011,7649

1 14990,2 1 111,7649

tz Nn n

Nn

11,68 12

elemenata.

3. Odabrano je 10 studenatačije su težine bile (u kg):

106

Intervalne procjene

65 71 69 68 65 66 67 68 66 67

Savjerovatnoćom95 %odreditiinterval povjerenja za aritmetičkusredinutežine svih studenata.

Rješenje:

2,676721011 10

1

i

ixN

X

78,12,67451901011 2210

1

2

XxN i

iu

3,2975,02α

1)(,59,0978,1

1,10,05,0α 9

tt

uX ttS

nSn

)05,0α(557,68843,65

59,03,22,6759,03,22,67

M

MStXMStX XtXt

4. U prostom uzorku sa 15elemenata izračunali smo standardnu devijaciju0,8. Sa pouzdanošću 0,9odreditiintervalpovjerenja za varijansu osnovnogskupa.

Rješenje:

215,8,0 nu raspored, 1,0

2

2

22

2

21

2

u

ou nn

24295,0,14

2

21,0

1,14

2

21,1

n

5,6205,0,14

2

21,0

,14

2

2,1

n

107

Riješeni zadaci

%)10(48,14,05,68,015

248,015 2

22

2

oo

5. Za uzorak od 40 paketa proizvoda B nađena je varijansa 1,12. Ocijeniti varijansu populacije sarizikom greške 10%.

Rješenje:

40,12,12 nu normalan raspored, 1,0

22

22

2

32

2

32

2

zn

n

zn

n uo

u

0,1( ) 1 1 0,95 1,65

2 2z z

%)10(765,1824,065,13402

12,1402

65,13402

12,1402 22

22

oo

6. U uzorak je uzeto 400radnika radi ocjenjivanja stambene situacije. U uzorku jebilo 220 radnika sastanom.Sa vjerovatnoćom92%ocijeniti proporciju radnika bez stana u osnovnom skupu.

Rješenje:

08,0,220,180,400 ban

55,01,45,0400180

pqna

p

76,196,004,012

1 zz

pp SzpPSzp

025,0400

55,045,0

nqp

S p

%)8(494,0406,0025,076,145,0025,076,145,0 PP

7. Stratifikovani uzorak o prinosu jedne žitarice po hektaru dao je sljedeće rezultate (stratumi su 3poljoprivredne oblasti):

108

Intervalne procjene

a) Sa vjerovatnoćom 95% odrediti interval povjerenjaza prosječan prinosu populacji koja obuhvatasve3poljoprivredne oblasti.

b)Koliko treba uzeti jedinica u uzorakiz svakogstratuma dase postigne proporcionalan izbor?

c)uz istu vjerovatnoću(95%)odrediti optimalnu veličinu uzorka dapreciznost bude 6,0 .

Rješenje:

a) 0, 05, 1000, ( ) 1 0,975 1,962

n z z

9,351000359001 3

1

i

ii Xnn

X

1887,01000356001 3

1

2 i

uiiXn

n

%)5(27,3653,351887,096,19,351887,096,19,35

MM

zXMzXXX

b)N

nNn i

i

- proporcionalan izbor

20050000

100010000

36050000

100018000

44050000

100022000

3

2

1

n

n

n

c) 34450000284000

6,096,11 2

2

223

12

2

i

uiiNN

zn elementau uzorku.

109

Riješeni zadaci

8. Za uzorak od100 fluorescentnih lampi izračunalismo prosječan vijek trajanja 2135 h sa varijansom1000 2h . U kom intervaluće se kretati prosječan vijektrajanjafluorescentne lampe,ako dozvoljavamogrešku 4%?

Rješenje:

6,311000,2135,100 uXn

0, 04 veliki uzorak ( ) 1 0,98 2,0552t tz z

XtXtu

XSzXMSzX

nS

17,3

95,96,31

1

2135 2,055 3,17 2135 2, 055 3,17 2128,48 2141,51 ( 0,04)M M

9. U osnovnoj školi prosječna ocjena u uzorku od 32 dječaka bila je 75 poena sa devijacijom 9.Procijenitiu kom bise intervalukretala prosječnaocjena svihdječaka na nivouosnovnogskupa (škole)sagreškom 2 %.

Rješenje:

0, 02 veliki uzorak ( ) 1 0,99 2,332t tz z

)02,0(7746782254,7162,133,27562,133,275

62,157,59

11

1

,MM

SzXMSzXn

SXtXt

uX

10. Uzorakveličine 18 elemenataimaoje varijansu15.Sa rizikom greške4%ocijeniti intervalpovjerenjazavarijansu osnovnogskupa.

Rješenje:

04,0,15,18 2 un

5,327

98,02

1

02,02)( 22

17

ttP

%4,57,38307,871518

5,321518 22

2

2

22

2

21

2

oou

ou nn

11. Ispitivanje slučajnog uzorka od 185 elemenata opreme pokazalo je da je 17 elemenata bilonezadovoljavajućeprema utvrđenom kriterijumu.Sasignifikantnošću 96% odreditibroj ispravnihelemenataopreme ako je upopulaciji 3000 elemenata opreme.

110

Intervalne procjene

Rješenje:

092,01,908,0185168

,16817185,17,185 pqpabn

pp SzpPSzp

02,0185

092,0908,0

nqp

S p

04,0 055,298,02

1)( ..

teorteor zz

%49491,08669,002,0055,2908,002,0055,2908,0 PP

2847elemenataispravnihbroj260130009491,0elemenataispravnihbroj30008669,0

12. Zadan je 99% interval pouzdanosti aritmetičke sredine osnovnogskupa od 3100 do 3300 sastavljeniz uzorka od 256 elemenata. Kolika je aritmetičkasredinai standardna devijacija uzorka?

Rješenje:

n = 256

XXSzXMSzX

330058,2

310058,2

58,201,0,3300,3100

X

X

XX

SX

SX

zSzXSzX

Uvrstimo 1

nS u

X

Rješenjem dvije jednačinesa dvije nepoznate dobivamo rezultat: 3200X , 76,38X

S

Dakle, 94,61825576,381,3200 nSXXu

13. Na slučajje izabran uzorak od20 radnika izabilježili smo njihove visine:

111

Riješeni zadaci

Izračunatiintervalpovjerenja za aritmetičku sredinuosnovnogskupanabazi ovoguzorka,sapouzdanošću97%.

Rješenje: (primjena Excel-a):

Prvo tražimo aritmetičkusredinu i standardnudevijacijuza uzorak.

X {=AVERAGE(A56:E59)}=176,035i {=STDEV(A56:E59)}=8,053262

Za grešku 3%, veličinu uzorka 20 i izračunatu standardnu devijaciju pozivamo funkcijuCONFIDENCEi dobićemo:

XSt ={=CONFIDENCE(0,03;8,053262;20)} = 3,907822

Dakle interval povjerenjaglasi:

);;( nX CONFIDENCE 176,035 3,907822 172,12718; 179,94282 sa

pouzdanošću 97%.

112

Intervalne procjene


1. Metodom slučajnoguzorka ispitano je 15 studenata o količini vremena koje oni utroše na putu dofakulteta.Rezultati ispitivanja dali su prosječno vrijeme 42min sa standardnomdevijacijom12 min. Nabazi tih rezultata procijenitisa vjerovatnošću 94% intervalu kome će senaćiprosječno potrebnovrijemezasvestudente togfakulteta.

( 6,484,35 )

2. Za uzorak od 90 fluoroscentnih lampi izračunali smo prosječan vijek trajanja 2250h sa varijansom1000h2.U kom intervaluće se kretati prosječan vijek trajanja fluoroscentne lampe, ako dozvoljavamogrešku 9%?Šta će se desiti sa tim intervalom ako greška bude 4%?

( 7,22553,2244 ,Što je greška manja interval je širi 9,22561,2243 )

3. Od 200 elemenata jednogosnovnog skupa slučajnosmo izabrali 25 jedinica.Aritmetička sredina toguzorka iznosi 2,54 sadevijacijom 1,2. Uz 91%pouzdanosti procijenitiaritmetičku sredinuposmatranogskupa.Ako u osnovnom skupu ima 1000 elemenata kolikibi trebaobiti uzorak dase uz istu pouzdanostpostignepreciznost 2?? = 0,4?

( 94,96,212,2 n )

4. U tvornici cigareta ispitujemo % škartanovogstroja za pakovanje. Od 99slučajno odabranih kutijapronašli smo9 kutija sa greškom. Sa 88 % signifikantnostiodrediti broj kutija uosnovnom skupu (kojeproizvede tamašina) koje suneispravne, ako je veličina osnovnogskupa 12500 kutija.

( 1362,004558,0 )

5.U tri velikeregije ispitivali smoprosječnu potrošnjuartikla Bpodomaćinstvu i dobili informacije:

a)Na baziovoguzorkaocijeniti prosječnupotrošnjuzaoblast kojučineove tri regije,sagreškom 6%.

b)Odrediti strukturu uzorka da bise obezbijedio proporcionalan izbor.

( a - 856,4803,4 , b - 308,392,140 321 nnn )

6. Uzorak od 45 jedinica dao je ove rezultate: 3,6,10 uX . Sa 89% pouzdanosti procijeniti

aritmetičku sredinu i varijansu osnovnogskupa iz kogje izvađen tajuzorak?

)564,13781,6,32,1188,9( 2 oM

113

Zadaci za vježbu

7.Pretpostavljase dajeosnovniskup normalnoraspoređen. Uzelismo uzorak sa 16elemenata i izračunaliaritmetičkusredinu 12,5sastandardnom devijacijom 2.U kom intervaluće senalaziti varijansa osnovnogskupasa greškom prve vrste 4%?

)667,10427,2(

8. Od 12 000 gostiju jednog područja anketirano je 250 slučajno izabranih osoba. 14% anketiranihgostiju dalo jenegativan odgovorna pitanje: “Da liste zadovoljni smještajem?”.Procijeniti sa 1% greškeproporcijunezadovoljnih gostijuu tom osnovnom skupu.

)1968,00832,0(

9.Na ostrvu koje ima 162 domaćinstva slučajnosmoodabrali 18domaćinstava iispitivali koliko hektaraobradivogzemljišta posjeduju. Prosječnaveličina obradivogzemljištva podomaćinstvuu tom uzorku bilaje 1,8 ha sa devijacijom 0,15 ha.

a)Uz 96%vjerovatnosti procijeniti u kom intervaluse kreće prosječna veličina obradivog zemljištva podomaćinstvu za osnovniskup.

b) Odrediti interval u kom bibila varijansaosnovnogskupa sa greškom 5%.

( a - 8819,17181,1 , b - 054,00135,0 )

10.U tvornicimotoraispitivalismo kvalitet proizvodnjeventilaza pumpuiod 90ventilabiloje 6neispravnih.Voljni smo tolerisati grešku 0,04. Odrediti interval u komćese kretati procenat škarta za sveproizvedeneventile.

))1206,00127,0(

11. Iz proizvodnje brodskih ventila u tvornici motora “XY” slučajnim izborom uzet je uzorak od 100ventila. Rezultati dobiveniovim uzorkom bili su:

Pomoćutoguzorka procijenitiprosječnu težinu brodskih ventilau tvornici sa 98% pouzdanosti.

( 5647,124753,12 )

12. Metodom slučajnoguzorka ispitanoje235 studenatanazavršnomispitu. Odnjihje73 dobilonegativnuocjenu.Odrediti savjerovatnoćom 94% u komintervalućese kretati proporcija svih studenata koji suuspjeli na završnom ispitu.

( 7467,06333,0 )

13.U uzorku od 470 anketiranihlica na postavljenopitanjenjih 230 je dalo potvrdan odgovor. Koliki biuzoraktrebali izabrati da uz pouzdanost 0,94 postignemo preciznost 2 0,03,akou osnovnomskupuima 45000 lica?

( 3617n )

14. U uzorku od 14 jedinica izračunali smo standardnu devijaciju 5,8. U kom intervaluće se kretativarijansaosnovnogskupa kom pripadataj uzorak uz grešku9%?

( 6,859,20 )

15.Za uzorakod200proizvoda tipaNizračunalismo prosječnudužinu0,75inča sastandardnomdevijacijom0,005inča. Ako je u osnovnom skupu 5000takvih proizvodaodreditiintervalpovjerenja za prosječnudužinusvih prizvoda sa greškom 6%.

)7506,07494,0(

Statistički testovi

117

RIJEŠENI ZADACI IZ STATISTIČKIH TESTOVA

Parametarski testovi

1. PogoniA, Bi C proizvodeistiproizvod. Ispitujese utrošak radnogvremena po jedinici proizvoda.Izsvakogpogona izabranje slučajni uzorak radnika i mjereno utrošeno vrijeme poproizvodu uminutama.Rezultatiispitivanja su:

a) Da li se može prihvatiti pretpostavka da ne postoji značajna razlika u prosječnom utrošenomvremenu u pogonima A i B na nivou signifikantnosti 97%?

b) Da li je tačna pretpostavka da utrošak radnog vremena po jedinici proizvoda u pogonu B iznosinajviše 25 minuta sa greškom 4%?

Rješenje:

64,2214317

1

11

nx

X 15,39304,964,2214

73151

221

1

212

1 Xnx

86,207

146

2

22

nx

X 98,28604,886,207

31081

222

2

222

2 Xnx

11 1

22 2

1 2

14 22,64 3,15

7 20,86 2,98

2 14 7 2 19 30

n X

n X

n n t

118


a ) 211210 :/: MMHMMH 03,0

1 2 2 14 7 2 19

0, 0152 2,35; 2,350, 985

12

n n t t tS t S t t

19,15,1

86,2064,2221

d

i SXX

t

5,127,2714

2119

8604,879304,9142 21

21

21

222

211

nnnn

nnnn

Sd

0Htt ti možese prihvatiti navedena pretpostavka.

b ) 0 2 0 1 2 0 0: / : , 25, 0, 04H M M H M M M

2 1 6 1 0, 96 2,1n t tS t t

4,3

1798,2

2586,20

2

02

Xi S

MXt 0i tt t H tačna pretpostavka.

2. Ponekompitanju sprovelismoanketu međustudentima isrednjoškolcima. Uuzorku od 200 studenatanjih 142 imalo je pozitivan stav, dok je u uzorku od 150 srednjoškolaca 48 imalo negativan stav. Sagreškom 6% testirati hipotezu da sestav kod tedvijepopulacije ne razlikuje.

Rješenje:

1. 211210 :/: PPHPPH

2. 88,1;88,197,003,0

21

2)(

tt zz ,

06,00496,0

68,071,021

dp

i Spp

z

0496,0150200150200

15020068,015071,0200

1150200

68,015071,0200

121

21

21

2211

21

2211

nnnn

nnpnpn

nnpnpnSdp

119

Riješeni zadaci

4. 0Hzz ti populacijeimaju isti stav..

3. Prosječna ocjena studenata univerziteta je slučajna varijablanormalno raspoređena saaritmetičkomsredinom 7,83 i devijacijom 0,86. Za uzorak od 150 studenata izračunali smo prosječnu ocjenu i ona jeiznosila7,72. Testiratihipotezuda je došlo dopada aritmetičke sredine ove varijable u osnovnom skupusa greškom 0,05.

Rješenje:

83,7,86,0,72,7,150 0 MXn o

1. 000 /: MMMMH

2. veliki uzorak 645,195,01)( .. teorteor zz

57,1

15086,0

83,772,7.3 0

.

X

izr

MXz

4. 0.. Hzz teroizr tvrdnja o paduaritmetičke sredine je tačna.

4. Proizvođačtvrdi da najmanje 90%potrošačazahtjeva dodatne usluge. Zauzorak od200 potrošačanjih174 imalo je posebne zahtjeve. Sa greškom4% testirati tvrdnju proizvođača.

Rješenje:

04,0,9,0,174,200 oPan

1. oo PPHPPH :/: 10

2. 75,104,0)( tt zz

3.

174 0, 9200 1,410,0212

oi

p

p Pz

0,9 0,10,0212

200o o

p

P Qn

4. 0Hzz ti tvrdnja proizvođača je tačna.

5. Poznato je davarijansaza% neispravnih proizvoda u staromtehnološkomprocesu iznosila 25.Uvodisenovatehnologija kojapredviđa porast varijanse. Sa novomtehnologijom proizvedeno je 55 proizvodai izračunata jevarijansa 28.Sa greškom 5% ispitati opravdanost predviđanja.

Rješenje:

05,0,28,55,25 22 uoo n

1. 22220 /: ooooooH

120


2. veliki uzorak, ( ) 0, 05 1,65t tz z , 541nk

2 22 1 1

2 1 1,65 2 54 1 37,82 2t tz k

3. 6,6125

28552

22

oo

ui

n

4. 220

22 : oooti H

6. Sa ciljemda se dostignestandard pretpostavka jeda varijansa % učešća materije C u nekojhemikalijineprelazipreko 4. Za uzorakod 12bočica te hemikalije izračunalismovarijansu5,62. Sa signifikantnošću85% testirati navedenu pretpostavku.

Rješenje:

15,0,62,5,12,4 22 uoo n

1. 22220 /: ooooooH

2. mali uzorak, 1685,01)( 22211 ttP

3. 86,164

62,5122

22

oo

ui

n

4. 221

22 : oooti H

7. Test inteligencije za 16 studenata oblastiY daoje prosječan rezultat 107 sadevijacijom10, dok je istitest za 18 studenataoblasti Z dao prosječan rezultat 112 sa devijacijom 8. Sa greškom1% zaključiti dalipostojirazlikaizmeđu prosječnogrezultatatesta inteligencije za studenteiz ove dvijeoblasti.

Rješenje:

211210 :/: MMHMMH 01,0

1 2 2 16 18 2 32

0, 0052 2,58; 2,580,995

12

n n t t tS t S t z

57,119,311210721

di S

XXz

19,315,101816

3432

6418100162 21

21

21

222

211

nnnn

nnnn

Sd

121

Riješeni zadaci

0Hzz ti možese prihvatiti navedena pretpostavka.

8. Pretpostavlja se da tržišno učešćekorporacije jednako varira u industrijisa čistomkonkurencijom iindustriji sa oligopolom.Za istu korporaciju u prvečetiri godine sačistomkonkurencijom varijansa jeiznosila 114,0895 azasljedećih sedamgodinau oligopoluiznosilaje 96,078. Testiratiistinitost pretpostavkesa greškom 1%.

Rješenje:

078,96,7,0895,114,4, 222

21121 nn

1. 22

211

22

210 :/: oooo HH

2. tFFnn 92,12,61,31 22211

3. 19,1078,960895,114

22

21

iF

4. 0HFF ti

9. Metodom slučajnoguzorka ispitano je 180 studenata na završnom ispitu. Od njih je 120 dobilopozitivnuocjenu. Pretpostavili smo dana završnom ispitu ne zadovolji najviše 30% studenata. Testiratiispravnost tepretpostavke sapouzdanošću 94%.

Rješenje:

33,0,67,0180120

120,180 pnb

qan

3,0/3,0:.1 000 PPPPH

2. 06,0 555,194,01)( .. teorteor zz

,857,0035,0

3,033,0.3 0

.

p

izr SPp

z 0 0 0,3 0, 70, 035

180p

P Qn

. . 04. izr teorz z H ispravna pretpostavka.

10. Proizvođačtvrdi da najmanje 96 % opreme koju koristiu svojoj proizvodnji odgovara ekološkimstandardima. Ispitivanje slučajnoguzorka od 185 elemenata te opreme pokazalo je da je 17elemenatabilo nezadovoljavajuće prema navedenom kriterijumu. Testiratitvrdnju proizvođačasa signifikantnošću98 %.

Rješenje:

092,01,908,0185168

,185 pqpn

0 0 0,96 0,040, 014

185p

P Qn

122


96,0/96,0:.1 000 PPPPH

2. 06,0 055,202,0)( .. teorteor zz

61,302,0

96,0908,0.3 0

.

p

izr SPp

z

4. 1.. Hzz teorizr neispravnapretpostavka.

11. Uzorak veličine 18 elemenata imao je varijansu 15.Sa rizikom greške 4%:

a)ocijeniti intervalpovjerenja zavarijansu osnovnogskupa.

b) testirati tvrdnju daje varijansaosnovnog skupa najviše 15,5.

Rješenje:

04,0,15,18 2 un

a ) 5,327

98,02

1

02,02)( 22

17

ttP

%4,57,38307,871518

5,321518 22

2

2

22

2

21

2

oou

ou nn

b ) 1. 5,15:/5,15: 220

220 oooooo HH

2. 2896,01)( 2217 ttP

3. 4,175,151518

2

22

oo

ui

n

4. 022 Hti .

12. Nastavaiz statistike izvodi se nastavnom metodomAi nastavnom metodomB. Uspjeh naispitumjeren brojem bodova za 10 slučajno odabranih studenata koji su pratili nastavupo metodiA bioje kakoslijedi:

uspjehna ispitu

67 51 89 72 80 55 74 92 58 72

Na bazi broja bodova na ispitu 10 slučajno odabranih studenata, koji su pratili nastavu po metodi Bizračunate su sljedeće veličine: obični momenat prvog reda je 84 i centralni momenat drugog redaje 140.

a)Da li se može prihvatiti pretpostavkada uprosjeku nema značajnerazlikeu efikasnosti metodaAi Bsagreškom 8%?

123

Riješeni zadaci

b)Sa greškom 2%testiratitvrdnju da studenti koji pohađajunastavu pometodi Bpostižu naispituprosječanrezultat najmanje 80 bodova.

Rješenje:

7110710

1

11

nx

X 03,138,1697110

521081

221

1

212

1 Xnx

83,111408410 2222122 22

mXn

a ) 1. 211210 :/: MMHMMH 08,0

2. 1 2 2 10 10 2 18

0,042 1,85;1,850,96

12

n n t t tS t S t t

3. 21,287,5

847121

d

i SXX

t

87,542,341010

2018

140108,169102 21

21

21

222

211

nnnn

nnnn

Sd

4. 1Htt ti nemože se prihvatiti navedena pretpostavka.

b ) 1. 02,0,80,:/: 0021020 MMMHMMH

2. 2 1 9 0, 02 2, 4n t tS t t

3. 01,1

11083,118084

2

02

Xi S

MXt

124


4. 0Htt ti tačna pretpostavka.

Neparametarski testovi

13.Za 100 učenika jedne srednješkole poznate su težine:

Ovaj empirijski raspored aproksimirajte pomoću normalnog rasporeda i izračunajte greškuaproksimacije. Testirati ispravnost aproksimacije koju smo izveli sa greškom 8 %.

Rješenje:

5

1

1 6518( ) 65,18

100i ii

A X s fN

52 2 2

1

1 1( ) 425204 65,18 1,9

100x i ii

s f A XN

9,118,65)(

i

x

ii

sXAaz 1 1( ) ( )i i i ti ip z z f N p

4,15817,9

)(1 5

1

2

itiin ff

ngreška aproksimacije

tiitii ffHffH :/:.1 10

x f s s·f s2·f ai zi ( )iz p ft (f-ft)2

ti

2tii

f)f-(f

- - 0 060-62 5 61 305 18605 62 -1,67 0,0475 0,0475 4,75 0,0625 0,01362-64 20 63 1260 79380 64 -0,62 0,2676 0,2201 22,01 4,0401 0,18364-66 42 65 2730 177450 66 0,43 0,6664 0,3988 39,88 4,4944 0,20466-68 27 67 1809 121203 68 1,48 0,9306 0,2642 26,42 0,3364 0,01268-70 6 69 414 28566 + + 1 0,0694 6,94 0,8836 0,127

? 100 6518 425204 100 9,817 0,539

125

Riješeni zadaci

022

2

222125

21

.4

539,0.3

592,008,01)(1.2

H

PP

ti

i

tttrm

ti

2tii

f)f-(f

Ovaaproksimacijabila je ispravna.

14. Eksperiment se sastoji u istovremenom bacanju pet novčića i ponovljen je 1000 puta. Dobili smosljedeće rezultate:

Ovajempirijski raspored aproksimirati odgovarajućim teorijskim rasporedom. Sa greškom 2% testiratiispravnost aproksimacije.

Rješenje:

Kako je u pitanju diskretna varijabla ispitujemo da li je riječo binomnom rasporedu:

2431,147,2344,747,210002470 22

5

0

2

2

5

0

X

N

fx

N

fxX k

kkk

kk

225,1

547,2

147,21nX

X binomni raspored

126


N - broj ponavljanja eksperimenta(broj uzoraka)

n - veličina uzorka

5,0,506,0494,01494,0 kqnX

p

kkk k

p

5506,0494,0

5Npf ktk

05,0,:/6,1,: 10 tiitii ffHiffH

2 21 6 2 1 3 1 0,98 10m r t tP

2

2 8,1376i tii

ti

f ff

022 Hti ispravna aproksimacija.

Ispitivali smo prodaju proizvodaAu komadima po radnojsmjeni u trgoviniX.

15. Posmatranjem 400 radnihsmjenadobilismo sljedećerezultate:

a) Ovu empirijsku distribuciju aproksimirati pomoću Poissonovog rasporeda.

b) Testirati ispravnost aproksimacije sa greškom 3%.

Rješenje:

127

Riješeni zadaci

a) 6,0,!

2400800

iim

epmN

fxX

im

iii koristimo tablice Npf titi

b) 03,0,:/6,0,: 10 tiitii ffHiffH

1297,01 2251171 ttrmP

2

2 18,32625i tii

ti

f ff

122 Hti loša aproksimacija.

16. Tvornicakonfekcijeproizvodi 4modelaodijela:A, B,Ci D,čiji se udiou ukupnoj proizvodnjiodnosikao 9:3:3:1. Na osnovuanketiranjaodređenogbroja prodavnicau trgovininamaloregistrovana jeslijedećaprodajapo modelima:

Testirati na nivougreške 6% da li struktura proizvodnjeodgovara strukturiprodaje?

Rješenje:


5,794,01 223141 ttrmP

470024,02

2 ti

tiii f

ff

022 Hti struktura proizvodnje odgovara strukturi prodaje.

17. Organizovanoje dobrovoljno davanje krvi u tripreduzeća koja imaju jednak broj radnika. Iz prvogpreduzećakrv je dalo25 radnika, iz drugog20i i trećeg30radnika. Može lise, sagreškom 1%,tvrditi dasvatri preduzeća imaju podjednaku zainteresovanost radnika zadobrovoljno davanje krvi?

modelodjela

prodanokomada-

iftif

ti

tii

fff 2

A 315 312,75 0,016187B 101 104,25 0,101319C 108 104,25 0,134892D 32 34,75 0,217626

suma 556 556 0,470024

128


Rješenje:

Ako svi imajuistiinteresza davanje krvisvakom bipreduzeću pripadalaista teorijskafrekvencija:

253751

m

ff

m

ii

ti.

Na bazi empirijskihpodataka nismo procijenili niti jedanparametar, pa je r=0 i broj stepenislobode je: 2131 mk .


999,01 222131 ttrmP

2

2 2i tii

ti

f ff

022 Hti Tačna tvrdnja.

18. Na4 odvojena područja ispitujemo kupovinu kafe.Pretpostavkaje da kafu uistoj proporcijikupujupotrošačinasvakom odova4područja. Izabrali smo uzorak potrošača kafedabitestirali tu pretpostavku.

Možemo li prihvatiti pretpostavku da je proporcija kupaca kafe jednaka zasvako područje sa greškom5%?

Rješenje:

129

Riješeni zadaci

022

1

1

1

22

222314

1

210

.4

19286,0700135

,17304,3.3

815,795,005,01)(.2

,1,:

......:.1

'

H

n

fppnf

fff

P

mkPPH

PPPPPH

ti

m

kk

m

kk

ikt

m

k kt

ktki

ttk

k

mk

jegdje

područjusvakomukafekupacaproporcijaistanije

područjusvakomukafekupacaproporcijaista

Dakle, možemo reći da je u svakom području proporcijakupaca kafe jednaka.

19. Veza između sklonosti potrošnji proizvodaAi veličine dohotka potrošačanekog područja ispitujesenaosnovu uzorka. Rezultatidobiveni ispitivanjem su:

Do kakvog se zaključka dolazi vezano za nezavisnost obilježja sa greškom 5%?

Rješenje:

jiijjiij pppHpppH ..1..0 :/:.1 , 3,1,4,1 ji

iliriječimanulta hipotezaglasi:klasifikacijakupaca premaobilježjuplata i prema obilježju sklonostpotrošnjisu nezavisne.

Računamoočekivane frekvencije:

130


...72900

6001081..111

..

nnn

ennn

pne jiijij

Dakle,empirijskei očekivanefrekvencijesu:

Očekivanih frekvencija treba izračunati onoliko koliko ima step eni slobode, jer z biročekivanih frekvencija mora biti jednak zbiru empirijskih frekvencija.

2 24 3

2.

1 1 1 1

2 2 2

11 11 12 12 43 43

11 12 43

... 18, 633

r cij ij ij ij

ii j i jij ij

m e m e

e e

m e m e m ee e e

6

623)13()14(11

59,1295,005,011)(

''

''

22.

26

k

crk

P tteor

122 Hti Dakle, neprihvatase pretpostavka dasklonost potrošačane zavisi odnjihove

platei obratno.

U našem p rimjeru je p okaz ana z avisnos t p a je koeficijent kont igencije:

142,0633,18900

633,18C nije jaka zavisnost.

20. (Kendallovprimjer) Jedna fabrikasijalica treba da ispitakoji od4 raspoloživakvaliteta vlakana trebadakoristi u svojojproizvodnji,to jeste, sa kojim vlaknomsijalica imanajduži vijek. Na slučaj jeizabrano

7 sijalicasa vlaknom 1A , 8 sijalica sa vlaknom 2A , 5 sijalica sa vlaknom 3A ,6 sijalicasa vlaknom 4A .

Vijek trajanja ( uh) bio je sljedeći:

131

Riješeni zadaci

:1A 1600, 1610, 1650, 1680, 1700, 1720, 1800

:2A 1580, 1640, 1640, 1700, 1750

:3A 1460, 1550, 1600, 1620, 1640, 1660, 1740, 1820

:4A 1510, 1520,1530, 1570, 1600, 1680.

Rješenje:

Radimojednofaktorsku analizuvarijanse.Izračunali smo aritmetičkesredine za svaki uzorak i:

3,16376857

3,156862,1636816625168071 4

1

iii Xn

nX

1957113,16371510...3,16371460...3,16371580...3,16371600 2222

1 1

22

k

i

n

jijt

i

XxS

1513513,15681510...2,16361460...16621580...16801600 2222

1 1

22

k

i

n

jiijr

i

XxS

4436016373,1568616372,16368163716625163716807 2222

1

222

k

iiiAA XXnSS

Onda je: 15,2,688022

151351,14787

344360

1

22

r

Ai

rr

AA W

WF

knS

WkS

W

Za 3 i 22 stepena slobode i grešku 5% je 05,3tF , pa kako je ti FF zaključujemo daheterogenost u rezultatima ne možemo smatrati značajnom te dasmo indiferentni pri izborukvalitetevlakna.

21. U uzorku od 12 finansijskih analitičara sprovedena je anketa da predvide % porasta cijena za 2dionice A i B u narednoj godini i dobiveni rezultati:

132


Koristećitest predznaka testiratihipotezuda u populacijifinansijskihanalitičaranema razlikeupreferencijamaza te dvije dionice. ( 05,0 )

Rješenje:

:0H identičnesu preferencije/ :1H nisuidentične

12,212

1

nui

i binomni raspored, 62

npnU , 73,1

212

2

nu

96,105,0 z

:39,3439,31298,02

,4622 1Hn

znuo

postoji razlika u preferencijama.

22. Zagrupu od 32 studentakoji supolagali ispite iz fizikei hemije poznate su ocjene dobivene na ispitu:

Ispitati da li je raspored ocjenaiz fizikei iz hemije identičanza populacijusvihstudenata sagreškom1%.(signum test)

Rješenje:

133

Riješeni zadaci

:0H identičnisu/ :1H nisuidentični

32,1932

10 nuu

ii normalan raspored

58,2,58,258,2095,0

21)(

58,2005,02

)(.

teor

tt

ttz

zz

zz

0

0 06,1232

19322

22

Hzz

nU

nz

ti

i

Dakle,rasporedi suidentični.

23. Za uzorak od 8 studenata zabilježili smo prosječne ocjene na Igodini studija: 7,2; 7;7,5; 8; 9,3;8,8;9; 8,7. Može li se prihvatititvrdnja da je medijalna ocjena svih studenata 8,5 sa greškom 2%?

Rješenje:

8,1,.2

5,0:/5,0:5,8:/5,8:.1

10

10

iMxd

pHpHMMHMMH

eoii

eoeueoeu

;;;;;;:2,05,0,3,0;8,0;5,0;1;5,1;3,1:

znakd i

4),min(,4,4 ccccc

64,05,05,048

...5,05,018

5,05,08

4 44174

0

8

k

kk

kkP

oHkP 01,02

64,0)4(,01,02

134


24. Dat je niz 10,12,15,14,20,23,21,25.KoristećiWilcoxonov test rangasapredznakom ispitatiispravnosthipotezeda jemedijana uzorka jednakapretpostavljenoj medijani populacije kojaiznosi16, sa greškom5%.

Rješenje:

16:/16:.1 10 eoeueoeu MMHMMH

8,5,7,5,3,2,1,5,3,6:

8,5,7,5,3,2,1,5,3,6:

9,5,7,4,2,1,4,6:

9,5,7,4,2,1,4,6:

znakomsarangdrang

d

d

i

i

i

5,23)8575,3(

5,12215,36

TT

5,12),min( TTTi

3,38,5,0 tTtablican

0HTT ti

25. Slučajnim izboromizabranisuuzorci od7 redovnih i 9 vanrednih studenataiz odgovarajućihosnovnihskupova.Rezultati pismenogispita iz statistike (ubodovima ) dati su:

Da li se može prihvatiti pretpostavka da se uspjeh vanrednih studenata ne razlikuje od uspjeharedovnih studenata, ako uspjeh mjerimo medijalnim brojem bodova sa greškom 5%?

Rješenje:

0:/0:.1 10 eDeD MHMH

Test veličina je 561 T .

Kritičnevrijednosti za5%greške su: 11,62,79,40 UL TT .Kako se test vrijednost nalaziizmeđu teorijskih granica prihvatamo hipotezu da su uzorci odabrani iz skupova sa istommedijanom.

135

Riješeni zadaci

26. Pretpostavimo da menadžer za dizajn proizvodaželi da ispita uticaječetiri moguća tipa pakovanjajednog kozmetičkog proizvoda (faktor A) na prodaju. U analizu je uključio i drugi faktor B – vrstaprodavnice (B1- robne kuće, B2- samoposluge, B3 – parfimerije). Na slučaj je odabrao 12 prodavnica(po 4 za svaku vrstu) i zatim na slučajan način alocirao pojedine tipove pakovanja po prodavnicama.Pri tome je, da bi eliminisao uticaj cijene, kod svakog pakovanja dao istu cijenu. Dobio je rezultate:

Uz rizik greške 5% kako bi glasio njegov zaključak?

Rješenje:

Radimo višefaktorsku analizu varijanse.

:0H Faktor A nema uticaja na na prodaju.

:0H Faktor B nema uticaja na na prodaju.

46)78657(781

7834

9424

296100)(

65734

9423

223812)(

78134

94266...7580

)(

2222

221

2

2

221

2

2

1 1

2222

222

BAt

s

jj

B

k

ii

A

k

i

s

jijt

SSSSsk

Sk

SS

skS

s

SS

skS

xS

r

136


67,7

646

11

39278

1

2193

6571

2

2

2

skS

W

sS

W

kS

W

rr

BB

AA

08,567,7

39

56,2867,7

219

r

BiB

r

AiA

WW

F

WW

F

105,0,6,3 ,76,4 HFFFF tAiAtA

faktorAsistematskiutiče na varijabilitet pojave.

005,0,6,2 ,14,5 HFFFF tAiAtB

faktorB sistematski ne utiče na varijabilitet pojave.

27. Pregledane su dvije različite vrste proizvodaAiB sa različitim brojem komadai dobijeni rezultati:

Testirati hipotezuda je proporcijaloših proizvoda 1:1.( )01,0


empirijskefrekvencije = ijf

teorijske frekvencije =

ij

ji

ijt f

fff

..

137

Riješeni zadaci

Tražimo prvo empirijskuvjerovatnoću -{=CHITEST(B24:C25;H24:I25)}=0,230962 ovoj

vjerovatnoći uz jedan stepen slobodeodgovara vrijednost za 2e {=CHIINV(0,230962;1)}=

1,434927.

Sadatražimoteorijsku hi-kvadrat vrijednost: 2t {=CHIINV(0,01;1)}= 6,634891

Kakoje 2e

2e razlike empirijskih i teorijskih frekvencija nisu značajne, pa možemoreći

da je odnosproporcija loših proizvoda 1:1.

28. Za 2528 osoba analizirali smo boju kose i boju očijui dobili rezultate:

Testirati hipotezuda su boja kosei bojaočijunezavisna obilježja kod ljudi. ( )05,0 .


empirijskefrekvencije

teorijskefrekvencije

Tražimo prvo empirijsku vjerovatnoću- {=CHITEST(B36:D38;H36:J38)}= 0,83603636ovoj vjerovat noći uz jedan s t ep en s lobode odgovara vrijednos t z a

2e {=CHIINV(0,83603636;4)}= 1,46714.

138


Sadatražimo teorijsku hi- kvadrat vrijednost: 2t {=CHIINV(0,05;4)}= 9,487728

Kakoje 2 2e e obilježja su nezavisna.

29. Zadistribuciju:

pretpostavljamoda seponašapoPoisonovom rasporedu.Testiratiispravnost te pretpostavke.( %4 )


Obzirom da je za Poissonov raspored karakterističan jedan parametar m i on je isti kaoaritmetičkasredina,prvo računamo aritmetičku sredinuserije (pomoću Pastefunction):

m X {=SUMPRODUCT(A45:A50;B45:B50)/SUM(B45:B50)}=0,873. Ondaračunamoteorijske frekvencije Poissonovograsporeda na sljedeći način:

{=324*POISSON(x;1,046296;FALSE)} za svako xod 0 do 5.

Obziromda imamo klasesa frekvencijama manjimod 5moramo izvršiti pregrupisavanje:

Primjenjujemohi kvadrat test:

modaliteti(A45:A50)

frekvencije(B45:B50)

teorijskefrekvencije(C45:C50)

0 150 135,431 100 118,262 50 51,523 15 14,904 7 6,485 2 0,97

suma 324 327,56

modaliteti(E45:E49)

frekvencije(F45:F49)

teorijskefrekvencije(G45:G49)

0 150 135,431 100 118,262 50 51,523 15 14,904 9 7,49

139

Riješeni zadaci

{=CHITEST(F45:F49;G45:G49)} empirijska vjerovatnoća je0,31388 i na bazi nje sa 3

stepena slobode dobićemo 2e {=CHIINV(0,31388;3)}= 3,553573.

Sadatražimo teorijsku hi-kvadrat vrijednost: {=CHIINV(0,04;3)}= 8,311154761

Kako je 2e

2e pretpostavka nije tačna.

30. Iz proizvodnje nadvijerazličite mašine uzeta sudva uzorka proizvoda i dobijenipodaci o njihovojtežini:

Testiratihipotezu daosnovni skupoviiz kojih su uzetiuzorci imajujednaku varijansu,uz pretpostavkudasuuzorci uzeti iz osnovnih skupova koji sunormalnograsporeda.Greška je1%.


Računamo empirijsku vrijednost F-a primjenom Paste function: (za prvu oblast uzimamouzorak sa manje elemenata: 6,4 21 nn ):

{=FTEST(B64:G64;B63:E63)} = 0,423743

Onda računamo teorijsku vrijednost F-a primjenom Paste function:

tF {=FINV(0,99;3;5)}= 0,035414

Kako je izračunata vrijednost F-a veća od teorijske znači da nije tačna hipoteza varijansenisu jednake.

Ili primjena Data analysis ( F-test two-sample for variances - mjesto prve varijable B64:E64,mjesto druge varijable B63:G64 u Excel-ovom worksheet-u, greška 0,01):

Zaključak isti.

140


31. Da bi se ocijenilo djelovanjenovog vještačkogđubriva učinjeno jesljedeće:

uzeta su dva uzorkai to takodaje na parceleiz prvoguzorka primjenjeno to novo vještačko đubrivo,doknaparcele iz drugoguzorka nijeprimjenjeno nikakvođubrivoi dobili smo sljedeće rezultate:

Testirati ispravnost pretpostavke da vještačko đubrivo pozitivno djeluje na prinos, sa greškom 2%.


Riječje o testu razlike aritmetičkih sredina dva osnovna skupa na bazi njihovih uzoraka(mali uzorci t test).

Koristićemo Paste function:TTEST (izaberemo Two tailed ilidvosmjerni test – 2i opcijutwosampleassumingunequal variances –3),da bi odredili vjerovatnoću potrebnu za određivanje it :{=TTEST(A193:A201;B193:B199;2;3)}= 0,046323.

Onda tražimo emp irijsku vrijednost z a t koja odgovara t oj vjerovat noći: it ={=TINV(0,046323;14)}= 2,186875.

Zatimtražimo odgovarajućuteorijsku vrijednost za t: tt {=TINV(0,02;14)}=2,624492

624492,2;624492,2tt .

Kako je 210 MMHtt ti đubrivo nema očekivano dejstvo.

Ovojemoguće uraditii pomoćuData analysis ( t-Test:TwoSample AssumingUnequalVariances):

141

Riješeni zadaci

Zaključak je isti.

32. Slučajnim izborom dobijeni su sljedećirezultati o brojustudenatakoji su položili ispit iz statistike uprošlomroku:

Sa rizikom greške 5% ispitati da li faktori: uspjeh na parcijali i posjećenost predavanja utiču navarijabilitet broja studenata koji su položili ispit.


Originalni podaci u Excel-ovom worksheet-u (A218-C221):

Data analysis – Anova

142


Dakle:

- Po kolonama: Za faktor posjećenost predavanja 14,5465,14 ti FF taj faktor(posjećenost predavanja) sistematski ne utiče.

- Po redovima: Za faktor uspjeh na parcijalnom dijelu ispita 76,4136,3 ti FF taj(uspjeh na parcijalnom dijelu ispita) faktor sistematskiutiče.

33. Mjesečna potrošnja jednogproizvoda u kg na bazi uzoraka od po 6 domaćinstava, s obzirom navisinu dohotka, iznosila je:

Sa greškom 4% ispitati da li visina dohotka sistematski utiče na varijabilitet potrošnje.


Originalni podaci u worksheet-u na mjestima A252:C257:

Koristimo Data analysis – Anova single factor:

143

Riješeni zadaci

Kako je 358846,6269094,2 ti FF visina dohotka ne utiče sistematski na variranjepotrošnje.

144



1. Pretpostavka je da je aritmetička sredina osnovnogskupa najmanje 123. Uzeli smo uzorak od 18jedinica tog osnovnog skupa i izmjerili aritmetičku sredinu 122 sa varijansom 9. Sa pouzdanošću92% testiratiispravnost navedene pretpostavke.

000 45,137,1: HttttMMH titi

tačnapretpostavka )

2.Iz dva osnovnaskupauzelismo uzorkei dobilisljedeće informacije: 5,5,5,11,9 2121 uunn .Uz grešku 0,1 testirati hipotezu o jednakosti varijansita dva osnovnaskupa.

0202

2010 46,31,1: HFFFFH titi

varijansejednake)

3.Dabi saznali da li postoji razlikauvisiniučenika razredatipaAi B izvršilismo mjerenje. Prosječna visinau nekom razreduA, koji broji 40 učenika, iznosila je 161cm sa devijacijom10. Prosječna visina u nekomrazredu B, koji broji 32 učenika, iznosila je 157 cm sa devijacijom 8cm. Na razini signifikantnosti 0,92odrediti dali postoji statističkiznačajnarazlika između ovadvarazreda uvisini učenika.

( 1210 76,1;76,182,1: HzzzzMMH titi

postoji statistički značajna razlika )

4.Nanivou 4% greškepotrebnoje testirati hipotezudane postojiznačajnarazlikaudjela izvrsnihstudenatasvečetiri studijske godine. Rezultatiprikupljanja podatakaprikazani su u tabeli:

02222

43210 5,86,4: HPPPPPH titi

nepostojistatistički značajna razlika )

5. Dvije grupe od po 90 bolesnikaAi B imaju istu bolest. Novi lijek primjenjen je kod liječenjabolesnikaiz grupe A.Nakon određenogvremena izvršenajekontrola i ustanovljenoje da jeiz grupeA izliječeno75,a iz grupe B65 pacijenata.Testirati hipotezuda novi lijek pomaže (dapostoji statistički značajnarazlikarezultatagrupaA i B ) sa greškom 5%.

0210 96,1;96,176,1: HzzzzPPH titi

novi lijek nepomaže)

145

Zadaci za vježbu

6.U uzorku od350 glasača proveli smoanketu sa pitanjem “ da lićete glasatina predstojećimizborima?“. Od njih je 295 odgovorilopotvrdno. Testirati hipotezu da se pretpostavka daćeodziv kandidatabitinajmanje 80% statistički značajno ne razlikujeod rezultatadobivenih iz ankete uz signifikantnost 90%.

0 0 0: 2,04 1, 29i t i tH P P z z z z H odziv je najmanje80%)

7.Pretpostavka jedanatestu inteligencijeprosječanrezultat ispitanikaiznosi104sa standardnom devijacijom7,5. Uzorak od 25 studenata jeprošao specijalan kurs i njihov rezultat na testu inteligencije u prosjekujeiznosio107. Sagreškom 4% testirati hipotezudaseprosječan rezultat dobijen uuzorku statističkiznačajnonerazlikuje od navedenepretpostavke.

( 000 06,2;06,22: HzzzzMMH titi

ispravnahipoteza )8. ProizvođačTV i video aparataželi da zna kojidio populacije iz osnovnogskupa vlasnika TV-a imavideo. U uzorak smo slučajno odabrali 105 vlasnika TV-a i 78 od njih imalo je i video. Proizvođačjepretpostavljaoda učešćeonih kojiimaju video nijeniže od 76%.Testiratiispravnost njegovepretpostavkesa greškom 3%.

0 0 0: 0, 408 1,89i t i tH P P z z z z H tačnapretpostavka )

9. Prosječna ocjena studenata univerziteta je slučajna varijablanormalno raspoređena sa aritmetičkomsredinom 8,53 i devijacijom 0,86. Za uzorak od 150 studenata izračunali smo prosječnu ocjenu iona je iznosila 8,32. Testirati hipotezu da je došlo do pada aritmetičke sredine ove varijable uosnovnomskupusa greškom 0,05.

( 000 65,13: HzzzzMMH titi

tačna hipoteza, došlo je do pada aritmetičke sredine)10. Pretpostavka je da na testu inteligencije prosječan rezultat ispitanika iznosi 84 sa standardnomdevijacijom 7,5. Uzorak od 20 st udenata je prošao specijalan kurs i njihov rezult at na t estuinteligencije u prosjeku je iznosio 88. Sa greškom 3% testirati hipotezu da se prosječan rezultatdobijenu uzorku statistički značajno nerazlikuje odnavedene pretpostavke.

( 100 17,2;17,238,2: HzzzzMMH titi

pogrešna pretpostavka )11. Tri kocke za igru bacali smo istovremeno 400 puta i dobili sljedeće podatke: broj 1 pao je 205puta, broj 2 pao je 232 puta, broj 3 pao je 240 puta, broj 4 pao je 204 puta, broj 5 pao je 173 puta,broj6 pao je146 puta. Testirati hipotezu da su kocke ispravne (homogene)sa greškom 9%.

( 12222

0 1255,23,: HiffH tititii

kocke nisu ispravne)12. Dvije mašine proizvode iste proizvode. Dimenzija u uzorku od 14 proizvoda sa prve mašineima standardnu devijaciju 1,8, dok dimenzija 10 proizvoda sa druge mašine ima standardnu devijaciju2,2.Da li možemo sagreškom 5% tvrditi da na obje mašine dimenzija proizvoda jednako varira?

( 0202

2010 45,3

219,471,248,1: HFFFFH titi

jednako variranje)

146


13. Dva proizvođača proizvode hljeb. Za 6 hljebovauzetih od prvogproizvođača dobili smo sljedećevrijednosti težine hljebova u gramima: 842 847 855 843 865 849.

Za 7 hljebova uzetih od drugog proizvođača dobilismo sljedećevrijednosti težine hljebova u gramima:849 844 853 843 862 848 851. Da li sa greškom 4% možemo zaključiti da proizvođači proizvodehljebjednakih prosječnihtežina?

( 0210 35,2;35,2041,0: HttttMMH titi

proizvode hljeb jednakih prosječnih težina )

14. Uobičajenom ishranom pilića očekivani prinos mase za prva 3 mjeseca života je najmanje 650grama. Za uzorak smo uzeli 14 pilića i prinos mase u gramima bio je:

580 630 540 650 635 610 590 600 620 585 605 615 570 625. Da li je očekivanje statističkiispravno sa greškom7%?

( 100 6,189,5: HttttMMH titi

očekivanje nije ispravno)

15. U osnovnoj školi prosječna ocjena u uzorku od 32 dječaka bila je 75 poena sa devijacijom 9,dok je za 35 djevojčica ta ocjena bila 73 sa devijacijom 4. Testirati hipotezu da na nivou škole nepostoji statistički značajna razlika između prosječne ocjene dječaka i djevojčica, sa vjerovatnoćom98%.

( 0210 33,2;33,217,1: HzzzzMMH titi

tačna hipoteza )

16. Proizvođačtvrdi danajmanje 96 % opreme koju koristi u svojoj proizvodnji odgovara ekološkimstandardima. Ispitivanje slučajnoguzorka od 190 elemenata te opreme pokazalo je da je 17elemenatabilo nezadovoljavajuće prema navedenom kriterijumu. Test irati t vrdnju p roiz vođača sasignifikantnošću97 %.

0 0 1: 3, 4847 1,88i t i tH P P z z z z H tvrdnja nije tačna )

17. Proizvođačodređene vrste deterdženta anketirao je domaćinstva i postavio im pitanje koju vrstudeterdženata kupuju. 20% anketiranihizjasniloseda kupujenjegovdeterdžent.U ciljuunapređenjaprodajesprovelisu reklamu na TV-u i nakon izvjesnogvremenaanketirali250 slučajno odabranihdomaćinstava.Ovog puta 60 domaćinstava se izjasnilo da kupuje njegov proizvod. Uz 2% greške zaključiti da li jereklama uticala na opredjeljenjekupaca oizboru vrstedeterdženta?

0 0 0: 1, 59 2, 06i t i tH P P z z z z H reklamaje uticala naopredeljenje kupca )

18.S ciljem dase ispita njihova sklonost i izbor studija,anketirano je 220 maturanata:

147

Zadaci za vježbu

Uz 5%greške zaključitidali se možeprihvatitipretpostavka da od ukupnogbroja maturanata 30% neželistudirati,50%želi studirati društvenenauke, 10%želistudiratitehničke nauke i10%želi studiratiprirodnenauke i medicinu .

( 02222

0 864,3,: HiffH tititii može se prihvatiti navedena pretpostavka )

19. Izračunali smo za30firmi daprosječangodišnji profit iznosi30877 KM. Predhodne godineprosječanprofit u toj industriji godišnje iznosio je 28000KM sa devijacijom 3000 KM. Da li je pretpostavka oporastu prosječnoggodišnjeg profita ispravna akotolerišemo grešku3%?

( 000 89,125,5: HzzzzMMH titi

porast godišnjeg profita )

20. Razvijena je nova vakcina protiv gripe. U slučajnom uzorku sa 80 osoba koje su vakcinisanegripu su ipak dobile 20 osoba. Na drugoj strani od 120 nevakcinisanih 50 osoba je dobilo gripu. Dali je vakcina efikasna uz pouzdanost 96%?

( 1210 06,2;06,243,2: HzzzzPPH titi

efikasna vakcina )

21. Proizvođačsapuna tvrdi da najmanje jedna od 4 osobe koriste njegov proizvod. U uzorku sa400 osoba 80 je koristilo tajnjegov proizvod. Da lije njegova tvrdnja pouzdana sa greškom 6%?

0 0 1: 2, 27 1,56i t i tH P P z z z z H nepouzdana tvrdnja )

22. Pretpostavimo daispitujemo tvrdnju potrošača da medijana kapacitetaakumulatoraAiznosi manjeod150 amper-časova. Radi provjere ove tvrdnje uzeli smo uzorak od 12 akumulatora i dobili sljedećepodatke:

147, 146, 150, 147, 148, 154, 143, 143, 150,149, 143, 151.

Da li je tvrdnja potrošača ispravna sa greškom5%?

( 000 45,1047: HTTTTMMH iiee

tvrdnja potrošača je tačna )

23. Prilikom ispitivanja uticaja privredne propagande na potrošnju proizvoda Z, uzet je uzorak od14 domaćinstava i formirani su usklađeni parovi tako da se svakom domaćinstvu pridružio štosličnijipar. Jednoj grupi domaćinstava (eksperimentalnoj) prikazani su reklamni spotovi kojiukazujuna relativne prednosti proizvoda Z i nakon mjesec dana utvrđena je potrošnja kod obje grupedomaćinstava:

148


Primjenom Wilcoxon-ovogtestaranga sapredznakomispitatidaliprivredna propagandaznačajnopozitivnoutiče na potrošnjuproizvodaZ,sa pouzdanošću 95%.

( 0210 8,2527: HTTTTMMH iiee pozitivnoutiče)

24. Raspolažemo podacima o dva nezavisna uzorka o vijeku trajanja ( u mjesecima ) akumulatoraproizvođača A i B:

Sa greškom 5% provjeriti da li je kvalitet akumulatora u pogledu vijeka trajanja kod oba proizvođačajednak.

( 010 93,51520: HTTTTTMH titieD

kvalitet je jednak kod oba proizvođača )

25. Broj neispravnih proizvoda u jednom pogonu, na osnovu slučajnog uzorka, s obzirom na vrstumašine, dat je u tabeli:

Analizom varijanse na nivou pouzdanosti 99% utvrditi da li vrsta mašina sistematski utiče navarijabilitet neispravnihproizvoda utompogonu.

0 1 2 3 . 0: 2,34 6,36i t izr tH M M M F F F F H ne utiče)

26. Iz prispjele pošiljke od 1000 pakovanja kafe, čija je ugovorena težina 200 gr., a varijansa 49 gr2formiran je uzorak od 80 pakovanja. Prosječna težina u uzorku je 198,5 gr. Sa rizikom greške 0,05provjeriti da li pošiljka zadovoljava ugovorom predviđenu težinu.

( 100 96,1;96,199,1: HzzzzMMH titi

ne zadovoljava )

27. Proizvođačcigareta tvrdi da količina katrana u novoj vrsti cigarete iznosi 17 miligrama. Slučajniuzorak od 16 cigareta pokazao je sljedeće vrijednosti katrana u miligramima:

Da li se može zaključiti da je medijalna vrijednost količine katrana ove vrste nove cigarete različitaod 17 miligrama ( 01,0 )?

( 000 1662: HTTTTMMH iiee nijerazličita )

149

Zadaci za vježbu

28. Na osnovu slučajnog uzorka dobili smo sljedeće rezultate o prodaji jedne vrste proizvoda (u 000komada):

Sapouzdanošću 95%ispitatidali markaproizvodai način plaćanjasistematskiutičuna prodajuproizvoda.

(radimo dvofaktorsku analizu varijanse::0H marka proizvoda ne utiče, 1;76,4;68,6 HFFFF tAiAtAiA

marka proizvoda utiče na prodaju proizvoda; :0H način plaćanjane utiče,

1;14,5;86,30 HFFFF tBiBtBiB način plaćanja utičena prodaju proizvoda).

29.Prost uzorak iz normalno raspoređenog skupagrađanagrada Akojikoristeusluge gradskogsaobraćajadaoje sljedećirezultat:

U prostom uzorku od 15 stanovnika grada B prosječna dužina čekanja na gradski prevoz oznosilaje 8,2 minuta sa devijacijom 4 minute. Sa rizikom greške 6% testirati da li se kvalitet usluga razlikujeu ova dva grada.

( 0210 88,1;88,1,832,0,: HzzzzMMH teorizrteoizr )

Regresiona ikorelaciona analiza

153

RIJEŠENI ZADACI IZ REGRESIONE I KORELACIONE ANALIZE

Prosta regresiona i korelaciona analiza

1. Neka su za10 domaćinstava poznati godišnji neto prihodi ( u000 $)- xi godišnjitroškovi za odjeću( u 00 $) – y:

Primjenom normalnih jednačina odrediti oblik linearne zavisnosti.

Rješenje:

10

1

210

1

10

1

10

1

10

1

ii

ii

iii

ii

ii

xbxayx

xbNay

154

Regresiona i korelaciona analiza

bababa

4066011226176010170

68,322,246102406617601122 abbbb

Linearnioblikveze glasi: ii xy 22,268,3ˆ

2. Za10 majki injihovihnajstarijih kćerki poznate sutežine:

a) Nacrtati dijagram rasipanja.

b) Odrediti regresione linije xiy ˆˆ i objasniti dobivene parametre.

c) Izračunati i objasniti jačinu veze.

d) Ako je majka imala težinu 60 kg, koliku težinu kćerke očekujemo sa greškom 3%?

Rješenje:

a)

b)

iiiiii yyxxxbay 84,047,9ˆ48,062,35ˆ

155

Riješeni zadaci

66106601

3,67106731 10

1

10

1

i

ii

i xN

xyN

y

102 2 2 2

1

102 2 2 2

1

453251 67,3 3, 2110

436161 66 5,610

y ii

x ii

y yN

x xN

7,2663,6710

444451 10

1

xyxyN

Covi

iixy

2

2,70,48, 1 0,48

5,6

67,3 0, 48 66 35,62, 0 35,62

xy

x

Covb x y

a y b x x y

2

2,7 0,84, 1 0,843,21

66 0,84 67,3 9, 47, 0 9,47

xy

y

Covy x

x y y x

c)

4055,021,36,5

7,2 2

22

2

2

yx

xyCovr srednje jaka veza – 40,55% varijabileteta težine

kćerke objašnjeno je varijabilitetom težine majke i obratno. ( 6368,0r stepen linearnogkvantitativnogslaganja dvijevarijable)

d) 42,646048,062,35ˆ60 ii yx

65,2985,02

1)(10,03,0α 82 ttn ttSn

38,1908,121,34055,0111 2222

22 yyy

y

y SrSS

r

)03,0α(077,68ˆ763,60

38,165,242,64ˆ38,165,242,64ˆˆˆ

i

iytiiyti

Y

YStyYSty

3. Nakvizu iz fizike ihemije 10 studenata pokazaloje sljedeći uspjeh:

a) Primjenom linearnog koeficijenta korelacije odrediti jačinu veze između ove dvije pojave.

b) Primjenom koeficijenta korelacije ranga odrediti jačinu veze između ove dvije pojave.

156


Rješenje:

a)

710701

4,710741 10

1

10

1

i

ii

i xN

xyN

y

3710520184,24,7

105761 22

10

1

222210

1

22

xxN

yyN i

ixi

iy

274,7105381 10

1

xyxyN

Covi

iixy

4695,0384,2

422

2

2

yx

xyCovr

srednje jaka veza ( )6852,0r

b) 6939,0306,0110105,506

16

1 33

10

1

2

2

NN

di

i

4. Poznatisu podacio količini utrošenog mineralnogđubriva i prinosu jednežitarice:

Odgovarajućimmatematskim modelom odreditioblikvezeove dvijevarijable.Izračunati koliki je stepenslaganja njihovih varijacija.

157

Riješeni zadaci

Rješenje:

Nacrtamo dijagram rasipanja:

Na bazi ovogdijagrama zaključujemo da bi empirijskim podacima odgovarao krak parabolei zato uzimamo paraboličnu vezu:

5

1

45

1

35

1

25

1

2

5

1

35

1

25

1

5

1

5

1

25

1

5

1

ii

ii

ii

iii

ii

ii

ii

iii

ii

ii

ii

xcxbxayx

xcxbxayx

xcxbNay

Ili:cba

cbacba

978225558972255515231

5515570

Kada riješimotri jednačine satri nepoznate dobivamo da je:

207,067,12,8ˆ07,0,67,1,2,8 iii xxycba

Jačina veze je:

158


98,0

468316,1

1

ˆ

11 5

1

2

5

1

2

2

2

N

yy

N

yy

S

ii

iii

y

y

Kaošto vidimo 96,04 % varijacija u prinosu nastalo je usljed varijacija u količini utrošenogmineralnogđubriva.

5. Zakretanjenivoa društvenogproizvoda (Y)i ličnepotrošnje(X)u periodu’90-’99godina ustatističkom

zavodu dobili smo sljedeće informacije: N= 10, ,3255jx 573392,1759 jjj yxy ,

3939752jy . Ocijeniti potrošnju kao linearnu funkciju dohotka. Koja ograničenja u pogledu ove

funkcijepostavlja ekonomska teorijai da li suona ispunjena uovom slučaju? Koliku potrošnju možemoočekivati za dohodak od 400 nj?

Rješenje:

iii yyx 01,0741,323ˆ

5,32510

325519,175

1017591 10

1

10

1

i

ii

i xN

xyN

y

75,835,3259,17510

5733921

69,84569,17510

3939751

10

1

2210

1

22

xyxyNCov

yyN

iiixy

iiy

741,3230,741,3239,17501,05,325

01,01,01,069,8456

75,832

xyyx

xyCov

y

xy

741,32740001,0741,323ˆ400 ii xy

6. Ukupanprihod ostvaren prodajom artiklaAi broj prodatih komada tog artiklau razdobljuod 8godinabilisu:

a) Koliko se u prosjekupoveća ukupan prihod, ako se prodaja poveća za 1 komad?

b) Kolika je jačina veze ovihpojava?

c)Ako se postigne prodaja uiznosu 80 komada koliki ukupan prihod možemoočekivati?

159

Riješeni zadaci

Rješenje:

a)

875,468

3751375,77

86191 8

1

8

1

i

ii

i xN

xyN

y

86,294875,468

199371

98,185375,778

493831

228

1

22

228

1

22

xxN

yyN

iix

iiy

797,203875,46375,778

306461 8

1

xyxyN

Covi

iixy

69,01,69,086,294797,203

2

yxCov

bx

xyPoveća se za 0,69.

03,450,03,45875,4669,0375,77 yxxbya

ixy 69,003,45ˆ

c)

7574,098,18586,294

797,203 2

22

2

2

yx

xyCovr jaka veza ( )87,0r

d) 23,1008069,003,45ˆ80 ii yx nj ukupnog prihoda za 80 prodatih proizvodaA.

160


7. Broj prometnih nezgoda (Y) ujednom graduu odnosu naprekršajnekazne (X) bio je:

a) Nacrtati oblak rasipanja.

b) Odrediti odgovarajući oblik regresione veze.

c) Koliki se broj nezgoda može očekivati ako je kazna 70 nj?

Rješenje:

a)

b)

305

1501732

536601 5

1

5

1

i

ii

i xN

xyN

y

200305

55001

42967325

27006001

225

1

22

225

1

22

xxN

yyN

iix

iiy

920307325

1144001 5

1

xyxyN

Covi

iixy

6,41,6,4200920

2

yxCov

bx

xyPoveća se za 4,6.

5940,594306,4732 yxxbya

xy 6,4594ˆ

njyx i 9166,470594ˆ70

161

Riješeni zadaci

8. Regresijski pravac y prolazi kroz tačkuAA 72,1;1 .

Regresijski pravac x prolazikroz tačkuB 2;85,1 .

Regresijski pravci se sijeku u tački C 5;75,3 .

Poznato je da je .40iy

a) Kako glase regresione jednačine y i x .

b) Koliki je koeficijent linearne korelacije?

Rješenje:

ba 172,1

285,1

ba 75,35

575,3

a)

ii xyabbbba 19,153,0ˆ53,019,128,375,275,3572,1

ii yxb 63,059,0ˆ59,063,09,13575,3285,1

b) %87,063,019,1 br Jačina veze izražena koeficijentom linearne korelacije

je 87%.

9. Analizom obima prodaje proizvodaA (u 1000 komada) -y i broja stanovnika (u 1000) - xna 17odabranih područja dobili smo s ljedeću regresionu jednačinu: ii xy 625,0250ˆ . Koeficijent

determinacije iznosi 0,8464, dok je 625,97652yy i i 425002xx i .

a) Koliki je koeficijent linearne korelacije?

b) Ukom intervalu možemo očekivati prosječnu prodaju proizvodaA akoje broj stanovnika 295000 sapouzdanošću 98%.

Rješenje:

8464,0625,025017 2 rbaN

625,97652yy i i 425002xx i .

a) 92,08464,02 rr Jačina veze je 92%.

b) xy 625,0250

502500

1742500

2

2

x

ix N

Xx

162


97,2345,574

17625,9765

2

2

y

iy N

Yy

39,923,888464,0145,5741 222 yyy SrS

375,434295625,0250ˆ iy

2 15 1 0,99 2,62N t tS t t

ytiiyti StyYSty ˆˆˆ

02,0789,458ˆ961,40939,96,2375,434ˆ39,96,2375,434 ii YY

10. Za 6studenata dati su podaci o vremenu učenja vanškole irezultatima testa:

Sa 4% rizika procijenite rezultat studenta koji bi za test van škole učio 40 sati.

Rješenje:

163

Riješeni zadaci

83,176

107130

61801 6

1

6

1

i

ii

i xN

xyN

y

62 2 2 2

1

62 2 2 2

1

62501 30 141,676

23791 17,83 78, 596

y ii

x ii

y yN

x xN

43,10383,17306

38301 6

1

xyxyN

Covi

iixy

32,11,32,159,7843,103

2

yxCov

bx

xy

46,60,46,683,1732,130 yxxbya ixy 32,146,6ˆ

9608,067,14159,78

43,103 2

22

2

2

yx

xyCovr vrlo jaka veza, ( )9802,0r

26,594032,146,6ˆ40 ii yx

36,267,1419608,011 22 yy rS 4 ( ) 1 0,98 32t tS t t


36,2326,59ˆ36,2326,59 iY

)04,0(34,66ˆ18,52 iY

11. Šefaproizvodnje interesuje dali postoji veza između broja proizvoda sa greškom i broja danakojejenovozaposleni proveo naposlu.On je jednogdana na bazi slučajnoguzorkaizabrao 10novozaposlenihradnika izabilježio broj proizvodasa greškom za njih 8:

164


Na bazi odgovarajuće regresione veze ocijeniti broj proizvoda sa greškom koji možemo očekivati odradnika koji radi 8 dana.

Rješenje:

Sa grafa vidimo da je riječo stepenoj vezi.

iib

ii ubAvxay ˆˆ

53999,1

890848,4

881147,3

838345,10

890848,4

814158,5

22

22

UNu

VUN

vuC

bi

ii

u

uv

24281,28

90848,45399,1

838345,10

UbVA

ii uv 53999,124281,2ˆ

90309,08log8 ii ux

11,790309,053999,124281,2ˆ tamantilogariiy

Radnik koji radi 8 dana u prosjeku će proizvesti 7 neispravnih proizvoda.

165

Riješeni zadaci

12. Uvoz i izvoz različitih 6vrsta proizvoda bilisu (u 000 KM):

Za uvoz od 27 000 KM koliki izvoz možemo očekivati sa greškom procjene 2%.

Rješenje:

Sa grafa vidimo da možemo iskoristiti eksp onencijalnu ili linearnu vezu. Odabraćemoonu gdje je greška manja.

166


Eksponencijalnaveza:

ixi bay ˆ ili ii xy 00120896,0780627,0ˆ tamantilogari

00120896,0

61723

6817493

676681,6

61723

634113,2333

22

22

XN

x

VXN

vxC

Bi

ii

x

xv

780627,06

172300120896,0

6

76681,6 XBVA

Linearna veza:

iii xxbay 048,038,3

048,014,5378414,2575

61723

6817493

6103

61723

645029

22

22

XN

x

YXN

yxC

bi

ii

x

xy

38,36

1723048,0

6103

XbYa

Kako je greška izražena preko 2ˆ( )i iy y punomanja kod linearneveze biramo nju.

676,427048,038,3ˆ27 ii yx

79,2

684,46ˆ2

N

yyS ii

y

7,399,02

1)(42 ttN ttS


79,27,3676,4ˆ79,27,3676,4 iY

99,14ˆ65,5 iY

13. U nekom skupu egzistiraju dvije varijable koje su u korelaciji. Pravci regresije su: 1ˆ xy i

yx 5,01ˆ .Ako je za varijablu x: 42 , odreditikoeficijent korelacije zate dvije varijablei njihovevarijable i objasniti.

Rješenje:

1,11ˆ abxy

167

Riješeni zadaci

5,0,15,01ˆ yx

244 22 xx

2284

1 222

yy

xx

xyCb

7071,02

1

222

4

yx

xyCr relativno jaka veza,stepen linearnogkvantitativnog

slaganja varijabilitetatih varijablije 0,7071.

14. U sljedećoj tabeli prikazani su rezultati 9 studenata prema radu u laboratoriji i prema teorijskomznanju:

Izračunati i objasniti koeficijent korelacije ranga.

Rješenje:

%909,099

1261

61 33

22

NN

d je jačina veze između pojava rezultat na

teorijskom radu i rezultat u laboratoriji.

15. Kao personalni direktor velikefirme dobili smo sljedeću informaciju sačinjenu na bazi ispitivanjaslučajnoguzorkaod 100 radnika:

ii xy 4,050ˆ

gdjeje: ix - rezultat na testu

iy - ocjena rada od strane pretpostavljenihšefova

2050 22 yy S

168


a)Odrediti jačinu vezeposmatranihpojava.

b)Objasniti značenje regresionih parametara.

Rješenje:

a) 7746,06,05020

11 2

22

y

yS

Jačina vezeje 60%učešćaobjašnjenogu ukupnom varijabilitetu..

b) Radnik koji jena testuimao 0 bodova imao je ocjenu pretpostavljenih 50.

Kako rezultat testaporaste zajedinicu tako ocjenapretpostavljenihraste za 0,4.

16. Poznato je: ii xy 16,008,17ˆ

05,4yS , 210ix , 98502ix , 5N

Sa greškom 5% ocijeniti interval povjerenja za y ako je x=50.

Rješenje:

2,3975,02

1,32 tN

08,255016,008,17ˆ iy

04,38ˆ12,12

05,42,308,25ˆ05,42,308,25

ˆˆˆ

i

i

yiiyi

Y

Y

StyYSty

17. Za 10 prodavača imali smo informacije o broju narudžbi (x) i broju prodanihproizvoda (y) nabazikojih smoodredili postojanjelinearne veze i izračunalisljedeće:

199ix , 408 iy , 9661 ii yx , 205102iy 7601,1a

Izračunati iobjasniti koeficijent korelacije.

Rješenje:

%36,929236,049,866,19

18,154

yx

xyCr

je jačina stepena linearnog kvantitativnog

slaganja varijabiliteta tih varijabli..

18,15410408

10199

109661

yxN

yxC ii

xy

66,1936,38610408

1020510 2

22

2

x

iy y

Ny

169

Riješeni zadaci

1387,29,198,407601,1 bbxbya

49,809,7218,154

1387,2 222 yxxx

xyCb

18. Za dvije pojave: trošakmarketinške reklame – x i obim prodaje – y, kod10 različitih tržnih centarapratilismokretanje i dobili podatke:


b) Odrediti odgovarajući oblik i jačinu regresione veze.

c) Za trošak reklame 30, koliki obim prodaje očekujete sa greškom 5%?

d) Koristeći koeficijent korelacije ranga utvrditi jačinu veze.

Rješenje (korištenje Excela):

170


a)

b)primjena Data analysis - Regresion):

Input y range : $B$60:$B$69

Input xrange: $A$60:$A69

Primjena Paste function:

{=INTERCEPT(B60:B69;A60:A69)} - a = 1,021341

{=SLOPE(B60:B69;A60:A69)} - b = 2,734756

171

Riješeni zadaci

{=CORREL(B60:B69;A60:A69)} - r = 0,980802

{=RSQ(B60:B69;A60:A69)} - 961974,02 r

c)Predviđanje: (Paste function)

Donja granica intervala –

{=FORECAST(30;B60:B69;A60:A69)-TINV(5%;10-2)*STEYX(B60:B69;A60:A69)}-558909¸,71ˆ yi Sty

Gornja granica intervala –

{=FORECAST(30;B60:B69;A60:A69)+TINV(5%;10-2)*STEYX(B60:B69;A60:A69)}-9721579,94ˆ yi Sty

d) Odredimo za svaki podatak njegov rang: (recimo da su rangovi u kolonama J60-J69 zax i K60-K69 za y):

{=RANK(A60;A60:A69)} ili {=RANK(B62;B60:B69)}...

tada je koeficijent korelacije ranga jednak –

{=1-(6*(SUMXMY2(K60:K69;J60:J69))/(10^3-10))} - 987879,02

19. Za dvije pojave utvrditi oblik i jačinu regresione veze:

Rješenje (primjenom EXCELA):

Biramo eksponencijalnu vezu.

Logaritmiramo svaku vrijednost y-a primjenom Paste function: npr. {=LOG(B108;10)}... idobijemoniz:

172


Tražimo linearnu vezuizmeđuvarijabli xi logy (koristiomoData analysis - Regresion):

Input y range : $C$108:$C$112

Input x range:$A$108:$A$112

695,11002293,1ˆ001038,0058966,1ˆlog ixii yy (antilogaritmiranjem).

Multipla (višedimenzionalna)regresija i korelacija

20. Podaci o troškovimareklame, realizovanojprodaji i broju agenata kojisu radilina promociji prodajeodređenogproizvodana nivou osamdijelovajedne korporacije bilisu:

173

Riješeni zadaci

Kakva se prodaja može očekivati ako je broj agenata bio 25, a troškovi reklame 300 000 DM?

Rješenje:

?3 X 213 1775,10467,0203,3ˆ XXX 65,46ˆ25300 321 XXX

1775,1523,01

523,0478,0482,0997,205,11

1

0467,0523,01

523,0482,0478,046,7305,11

1

203,3625,171775,1625,2760467,0875,36

2212

131223

2

31.32

2212

231231

1

32.31

21.3212.3133

rrrr

b

rrrr

b

XbXbXa

625,2768

221321

Nx

X 625,178

14122

Nx

X

875,368

29533

Nx

X

46,73625,2768

655339 221

21

1 XN

x

174


997,2625,178

2557 222

22

2 XNx

05,11875,368

11855 223

23

3 XNx

23,115625,17625,276839926

2121

12

XXN

xxC

08,388875,36625,276884709

3131

13

XXN

xxC

95,15875,36625,1785327

3232

23

XXN

xxC

523,0997,246,73

23,115

21

1212

Cr 478,0

05,1146,7308,388

31

1313

Cr

482,005,11997,2

95,15

32

2323

Cr

21. Posmatrali smo međusobnu zavisnost tri pojave 321 ,, XXX i dobili podatke:

a) ocijeniti multiplu regresiju za 1X i objasniti parametre.

b) izračunati i objasniti koeficijente parcijalne korelacije.

Rješenje:

a) ?1 X 321 78,446,25,12ˆ XXX

78,443,01

43,03,071,0238,9

1

46,243,01

43,071,03,083,238,9

1

5,12378,4446.28

2223

231213

3

12.13

2223

231312

2

13.12

32.1323.1211

rrrr

b

rrrr

b

XbXbXa

175

Riješeni zadaci

8252001

1 N

xX 4

251002

2 N

xX 3

25753

3 Nx

X

38,9825

3800 221

21

1 XN

x83,24

25600 22

2

22

2 XNx

2325325 22

3

23

3 XNx

848251000

2121

12

XXN

xxC

83825800

3131

13

XXN

xxC

43425200

3232

23

XXN

xxC

3,083,238,9

8

21

1212

Cr 43,0

238,98

31

1313

Cr

71,0283,2

4

32

2323

C

r

b) 952,0

6357736,06053,0

71,0143,01

71,043,03,0

11 22223

213

2313123.12

rr

rrrr

Ako isključimo uticaj varijable 3X , jačina veze između varijabli 1X i 2X je 95,2%.

957,0

6717656,0643,0

71,013,01

71,03,043,0

11 22223

212

2312132.13

rr

rrrr

Ako isključimo uticaj varijable 2X , jačina veze između varijabli 1X i 3X je 95,7%.

675,0

861244,0581,0

43,013,01

43,03,071,0

11 22213

212

1312231.23

rr

rrrr

Ako isključimo uticaj varijable 1X , jačina veze između varijabli 2X i 3X je 67,5% i vezaje indirektna.

22. Instruktor iz matematike ježelio da sagleda kako se rezultati na testu1( 1X )i testu 2( 2X )odražavaju

na ocjenu na konačnom ispitu ( 3X ). Napravio je istraživanje sa 120 studenata i izračunao korelacinumatricu:

176


165,017,06,01

.

Izračunatii objasnitikoeficijent multiplekorelacije. Izračunatii objasnitikoeficijente parcijalnekorelacije.

Rješenje:

- Koeficijent multiple korelacije:

I metod:

%7676,0

573,06,01

6,065,07,0265,07,01

2

12.3

2

22

212

1223132

232

13212.3

Rr

rrrrrR

76% variranja konačne ocjeneduguje se variranju ocjena na testovima 1 i 2.

IImetod:

Formiramomatricu kofaktora:

64,023,051,031,0145,05775,0

*R

5775,065,01165,065,01

1 2211 R

51,07,0117,07,01

1 2422 R

64,06,0116,06,01

1 2633 R

145,07,065,06,017,065,06,0

1 312 R

31,07,065,06,065,07,016,0

1 413 R

23,07,06,065,065,07,06,01

1 523 R

%7676,0573,064,0

2735,011 12.3

33

212.3 R

RR

R

177

Riješeni zadaci

Dakle, 76%variranja konačne ocjene duguje se variranju ocjena na testovima 1 i 2.

2735,031,07,0145,06,05775,01

65,07,016,0

7,017,065,06,0

6,0165,065,01

1

R

- Koeficijenti parcijalnekorelacije

Obziromda imamomatricukofaktora upotrijebićemo nju:

%2727,051,05775,0

145,0

2211

123.12

RR

Rr variranja rezultata na testu 1objašnjava

variranje rezultata na drugom testu i obratno ako isključimo uticaj varijable konačna ocjena.

%5151,064,05775,0

31,0

3311

132.13

RR

Rr variranja rezultatana testu 1 objašnjava

variranje konačne ocjene i obratno ako isključimo uticaj varijable rezultat na testu 2.

%404,064,051,0

23,0

3322

231.23

RR

Rr variranja rezultata na testu 2 objašnjava

variranje konačne ocjene i obratno ako isključimo uticaj varijable rezultat na testu 1.

variranje konačneocjene iobratno ako isključimo uticaj varijable rezultat na testu 1.

23. Zatri varijable poznate suvrijednosti:

Ako je X3 zavisna varijabla odrediti odgovarajući regresioni model i koeficijent višestruke korelacije.

Rješenje (primjena Excela – Data analysis - Regresion):

178


Input y range : $C$141:$C$146

Input x range: $A$141:$B$146

iii XXX 213 538462,264615,34,61ˆ

179

Zadaci za vježbu


1. Neka je 5,2879,8,2993,2891,165,15910

1

10

1

210

1

210

1

10

1

i

iii

ii

ii

ii

i yxyxyx . Kako

glase regresione linije .ˆ xy i

( iiii yxxy 94,039,0ˆ,7,037,5ˆ )

2. Izračunalismo: .572370,635950,531933,5,277,875,2488

1

8

1

28

1

2 i

iii

ii

i yxyxyx

Kako glasi regresionalinija y ? Izračunati iobjasniti jačinulinearne veze.

( 738,0,545,086,141ˆ rxy ii )

3. Za dvije pojave x- stopapovrata na tržištukapitala i y-stopapovratana dionice dobili smo podatke:

iiyx xyyx 72,194,0ˆ,94,5,31,5,2,2 22 . Objasniti parametre linaerne veze. Kako

glasi regresionalinija ako jexzavisna promjenjiva? Objasnitiparametre.

( ii yx 5764,0559,0ˆ )

4. Ako je 9,33,1,526,339,20,263 2xyiiiii Covxxyyxxyx .

Izračunati i objasniti parametre linearne veze.

( ii xy 64,0832,14ˆ )

5. Ako je:

9

1

9

1

229

1

9

1

9

1

97,5,364,14,3,21,36i i

iii i

iiii

i yyxxyyxxyx .

Izračunati jačinulinerane veze iobjasniti.

( )9825,0r

6. Neka je

23

1

223

1

29,272,11,428,65,0i

ii

ii yyyyxx . Izračunati i objasniti b

parametar linearne veze.

(b = 0,2688)

7. Naispitu za studijsku grupu“matematika- statistika”posmatrajućirezultate 10 studenataprirješavanjutesta iz matematikeodnosnofizike, dobili smo sljedeće rezultate:od mogućih 20 bodovana svakom testupojedinačno; prvi student jeosvojio15 bodova iz matematike i6 bodovaiz fizike; drugi 10 iz matematikei 8 iz fizike; treći (14,4); četvrti (5,1);peti (11,18); šesti (14,5); sedmi (6,7); osmi (18,5); deveti (9,9); ideseti (4,3). Na bazi tih rezultata odreditipravce regresijei koeficijent linearne korelacije (prvi podatak uzagradiseodnosi na rezultat iz matematike, a drugina rezultat iz fizike).

( vezaslabavrlo097,0,0998,0941,9ˆ,094,06036,5ˆ ryxxy iiii )

180


8. U nekom skupu egzistirajudvije varijable xi y. Između njih postoji korelacija tako da je prvi pravac

regresije 3ˆ xy i 2ˆ yx .Ako je varijansa za varijablu y jednaka 2, odreditiočekivanja tih slučajnih

varijabli, standardnedevijacije i koeficijent korelacije, pa objasniti dobivenerezultate.

( 7072,0,2,1,6,3 rYX yx )

9. Nakvizu iz fizikei hemije 10 studenata pokazaloje sljedećiuspjeh:

Primjenom koeficijenta korelacije ranga odrediti jačinu veze između ove dvije pojave.

( 6939,0 )

10. Između varijabli X i Y postojilinearna regresionaveza.Koeficijent determinacije iznosi 0,9409.ZaX i Y poznate su respektivno: standardne devijacije 50 i 400, i aritmetičke sredine 921 i3600.

a)Izračunatii objasniti koeficijent korelacije.

b) Naći parametre regresione prave i objasniti.

c) Za X =900, koliko Y možemo očekivati?

(a - 97,0r , b - ii xy 76,796,3546ˆ , c - 04,3437y )

11. Unekoj firmi analiziranje odnos izmeđutroškovana službenom putovanju (u $) kaozavisnevarijablei trajanja službenogputovanja (udanima) kaonezavisne varijable za100 službenih putovanja i dobivenipodaci:

.740200,4150,54900,7140,510 22 yxxyyx

a) Odrediti jednačinu linearneregresije i objasnitiparametre.

b)Izračunati i objasniti koeficijent determinacije i korelacije.

c) Za službeno putovanje koje bi trajalo 20 dana koliki bi trošak mogliočekivati uz dozvoljenu grešku5%?

( a - ii xy 93,11557,10ˆ , b - ,978,0r c - 66,26865,229 )

12. Broj prometnihnezgoda (Y) u jednomgradu u odnosu na prekršajne kazne (X) bio je:

a) nacrtati oblak rasipanja.

b) odrediti odgovarajući oblik regresione veze.

c) koliki se broj nezgoda može očekivati ako je kazna 65 nj?

(b - 203,042,14,53ˆ iii xxy , c - 19 nezgoda)

181

Zadaci za vježbu

13. Na bazi podatakadatih u sljedećoj tabeli:

Izračunati koeficijent multiple korelacije.

(0,9628)

14. Sljedeća tabela sadrži podatkeo obimu prometa(u 000komada) jednogprehrambenogartikla premaveličini poslovnog prostora ( u 00 m2) i udaljenosti od centra grada (u km), u slučajnom uzorku od 7prodavnica:

a) ocijeniti parametre odgovarajućeg regresionog modela,

b) ocijeniti prosječan obim prometa za prodavnicu sa poslovnim prostorom 370 m2 koja je udaljena

od centra 1 km sa greškom 5% ako je 62,4ˆyS ,

c) izračunati koeficijente parcijalne i multiple korelacije.

( a - iii xxx 321 258,3794,91016,187ˆ , b - 74,128,07,103 , c - 9896,023.1 R )

15. Za date podatke odrediti odgovarajućioblik regresione veze ijačinuveze:

a)

182


b)

16. Na osnovupodataka datih u tabeli:

a) Ocijeniti parametre odgovarajućeg regresionog modela

b) Ocijeniti koeficijente parcijalne linearne korelacije između zavisne promjenjive i nez avisnihpromjenjivih.

( zavisna promjenjiva je prihod – X3,nezavisne promjenjive su izdaci za reklamu – X1 i broj prodajnih mjesta – X2 ;

a - iii XXX 213 848,0115,0399,0ˆ ,

b - 2076,0,2076,0 1.322.31 rr )

17. Iz skupa pripravnika jedne fabrikeizabralismo8 radnika izabilježili:

183

Zadaci za vježbu

Odrediti odgovarajući regresioni model i sa vjerovatnoćom 99% odrediti procenat škarta u proizvodnjijednogradnika saradnim stažom od 5 mjeseci.

( ii xy 63,096,11ˆ , predviđanje z 67,1395,35 ix a)

18. Dati supodaci o troškovima reklame ( u000 nj), cijenii prodaji (u 000komada) jednogproizvodafabrike«T»:

a) Ako je prodaja zavisna promjenjiva ocijeniti odgovarajući regresioni model.

b) Ispitati da li na prodaju veći relativni uticaj imaju troškovi reklame ili cijena.

(a – neka je 1X - prodaja, 2X - trošak reklame,

3X - cijena ii XXX 3211 656,0278,1647,0ˆ ,

b - 636,0,976,0 2.133..12 rr veći uticaj ima cijena)

Dinamička analiza

187

RIJEŠENI ZADACI IZ DINAMIČKE ANALIZE

Analizatrenda

1. Za period 1982-1990 dati su podaci o godišnjem prometu u jednoj robnoj kući:

a) Nacrtati aritmetički dijagram.

b) Grafički, primjenom metoda pokretnih prosjeka odrediti trend.

Rješenje:

a)

b)

311

iiii

yyyy graf je prikazan pod a).

2. Proizvodnja ujednojgrani privrede bila je:

188

Dinamička analiza

a)Nacrtati aritmetičkidijagram.

b) Naći i ucrtati odgovarajući trend.

c)Izolovati trend iobjasniti.

d) Kolika se proizvodnja očekuje 2002. i 2003. godine?

Rješenje:

a)

b)

U pitanju je parabolični trend: 263,7325,5648,355 iiti xxy

25,5628

157548,355

728

63,737

45507

1

2

7

1

7

1

2

ii

iii

ii

x

yxb

N

xcYa

63,73281967

455028243857227

1

27

1

4

7

1

7

1

27

1

2

ii

ii

ii

ii

iii

xxN

yxyxNc

c) Isključujemo trend: 100ti

i

yy

.

189

Riješeni zadaci

Sve dok je graf ispod normale 100 rezidium je negativno uticao na pojavu i obratno.

d) Za 2002. god.

66,33433663,73625,5648,35563,7325,5648,3556 2 iitii xxyx

Za 2003. god.

1,43574963,73725,5648,35563,7325,5648,3557 2 iitii xxyx

3. Za period 1990- 1995. godinadati su podaci o izdacima prosječnogdomaćinstva (u 100 DM):

a) Nacrtati oblak rasipanja.

b) Ocijeniti i ucrtati linearni trend.

c) Koliki nivo izdataka se može očekivati ’95. godine.

d) Isključiti trend i objasniti podatke.

Rješenje:

a)

b)

190

Dinamička analiza

6

1

6

1

10

ii

ii y

NYax

65,070

4,4567,40

68,242

6

1

2

6

1

ii

iii

x

yxb

iti xy 65,067,40

c) za 1995. godinuočekivani izdatak bio bi43,92.

d)

Svedok jegrafiznad normale 100 rezidium je pozitivno uticao na pojavu i obratno.

4. Poznati su podaci oprometutrgovine na malo u jednom preduzeću uperiodu1980-1988. godina (umilionimadinara):

Odreditiodgovarajuću linijutrenda.

Rješenje:

Riječje o eksponencijalnom trendu.

god. '80 '81 '82 '83 '84 '85 '86 '87 '88promet 395 459 558 607 751 816 956 1137 1328

191

Riješeni zadaci

ii xxti bay 161,14,727

161,106474,060

88445,3loglog

4,72786166,29

75497,25loglog

2

bx

yxb

an

ya

i

ii

i

5. Podacio dobiti neke firme u periodu ’86-’94. godina bili su:


b) Preko pokretnih sredina odrediti trend i ucrtati.

c) Metodom najmanjih kvadrata odrediti trend i ucrtati.

d) Koliku dobit možemo očekivati u 2000- toj godini.

Rješenje:

a)

192

Dinamička analiza

311

iiii

yyyy graf je prikazan pod a).

c)717,0

6043

567,11960

285,0987

7

1

2

7

1

7

1

2

ii

iii

ii

x

yxb

N

xcYa

285,0607089

87604939227

1

27

1

4

7

1

7

1

27

1

2

ii

ii

ii

ii

iii

xxN

yxyxNc

2285,0717,0567,11 iiti xxy

d) 2000 ˆ10 11,567 0,717 10 0,285 100 9,763tx y

6. Indeksi produktivnosti rada u graniAbili susljedeći:

a) Ako je produktivnost rada u 1986-toj godini iznosila 12, odrediti kolika je bila produktivnostrada u ostalim godinama navedenog intervala, pa nacrtati aritmetički dijagram.

b) Utvrditi odgovarajuću jednačinu trenda i na bazi nje odrediti prosječnu godišnju stopu porastaproduktivnost rada u navedenom razdoblju.

b)

193

Riješeni zadaci

c)Koliki nivo produktivnosti rada jemogao biti u 1995-toj godini akoje nastavljenaista tendencija rasta?

Rješenje:

a) 100100

12100 0

0

yIy

yyy

I ii

iii

b) Sa aritmetičkog dijagrama vidimo da je riječo linearnom trendu

99,187

96,132

Ny

ya i 18,228

96,602

i

ii

x

yxb

iti xy 18,299,18 Prosječno godišnje produktivnost raste za 2,18 jedinica.

c) 07,32618,299,1861995 tii yx .

7. Podacio kretanju investicija za period 1985 -1992. godina bili su:

194

Dinamička analiza

a)Nacrtati aritmetičkidijagram.

b) Koliki nivo pojave možemoočekivati u 2001-oj godini?

c)Kada je rezidiumpozitivno djelovao na kretanje investicija?

Rješenje:

a)

b) Nije moguće formirati niz tako da bude 0x jer su preskočene neke godine kod

zadavanja podataka.

iiti xxbay 703,112,18

12,18626

703,16

153 xbya

703,1556,6167,11

626

6152

626

6153

6730

1

1

222

xxN

yxyxNb

i

ii

774,4818703,112,18182001 tii yx

c) Rezidium je pozitivno djelovao na kretanje investicija u periodu 1987-1989. godina, jer

je tada .100100 ti

i

yy

195

Riješeni zadaci

Indeksni brojevi

8. Pratili smo kretanje društvenogproizvoda u periodu 1985-1990 (podaci dati u 1000DM):

a) Izračunati srednji apsolutni prirast, bazne indekse (100=1985) i lančane indekse.

b) Lančane indekse preračunati u bazne indekse (100=1987).

c) Naći i objasniti gg SL i .

d) Ako se nastavi ista tendencija koliki nivo pojave možemo očekivati 2000 godine.

e) Ako se nastavi ista tendencija koliko godina treba da prođe od 1985 godine da se nivo pojaveudvostruči u odnosu na tu godinu.

Rješenje:

a) 975

4851

2

n

ySAP

n

ii

U periodu ’85-’90 društveni proizvod je prosječno godišnje u apsolutnom iznosu rastao97000 DM.

1007528

10085'

0

i

jebaza

ii

yyy

I 1001

i

ii y

yL

196

Dinamička analiza

b) 100100 1

1

i

ii

iii L

IIi

ILI .

c )

n

i2

log L10,02712

antilogaritam antilogaritam 101,257n-1 5

igL

ili

1log logantilogaritam

n-1

log8013 log 7528antilogaritam 1, 01256 101,2565

ng

y yL

Daje temporastabiokonstantan utom periodu lančani indeks bi svake godine iznosio101,256ilibi društveni proizvod prosječnogodišnje rastaou relativnom iznosu1,256%.

d) 01256,11-nloglog

tamantilogari 1

yy

L ng

01256,11-11loglog

tamantilogari 19902000

yy

900005,08013loglog01256,1log1-11

8013loglog20002000

2000

yyy

Društveniproizvod u 2000-tojgodinije trebao biti 9 000 000DM.

e) 01256,11-nloglog

tamantilogari 1

yy

L ng

01256,11-n

log2logtamantilogari 85'85'

yy

6101256,1log1-n2log

01256,11-n2log

tamantilogari

n

Treba da prođe 61 godina.

197

Riješeni zadaci

9. Poznatisu bazni indeksi sabazomu 1996. godiniza pojavu površinazasijana pšenicom:

a) Bazne indeksepreračunati u lančane indekse.

b)Akose zna daje 1994. godine površina zasijana pšenicom iznosila2000 hektara,odrediti po godinamanivo za datu pojavu.

Rješenje:

a)

a) 1001

i

ii I

IL

b) 100100

100 11

1

i

ii

iii

i

ii L

yyi

yLy

yy

L

100100 0

0

yIy

yy

I ii

ii

.

198

Dinamička analiza

10. Na bazi informacija o cijenama i količinama nekihroba:

naći grupniindeks vrijednosti,cijena ikoličina. Objasniti dobivene rezultate.

Rješenje:

%39,1331006316084250

1003

1 0

1 j j

jW W

WI

Vrijednost je 2000-te godine porasla 33,39% u odnosu na 1999-tu godinu.

05,1051006316066350

1003

100

3

10

),(

jjj

jijj

Lmap

pq

pqI

199

Riješeni zadaci

15,10510063160

2,664161003

10

3

10

0),(

jj

jj

j

ij

Lmpp

W

Wp

p

I

44,1051007990084250

1003

10

3

1),(

jjij

jijij

Pmap

pq

pqI

11,1051008001584250

1003

1

0

3

1),(

jij

ij

j

jij

Pmpp

Wp

p

WI

24,10544,10505,105)()()( PpFpFp III

Po Fisheru cijene su 2000-te godine porasle 5,24% u odnosu na 1999-tugodinu.

27,105100

143060150600

1003

100

3

10

)(

jijjj

jijjij

MEp

qqp

qqpI

PoMarshal- Edgworth-u cijene su2000-te godine porasle5,27%u odnosu na1999-tu godinu.

5,1261006316079990

1003

100

3

10

),(

jjj

jjij

Lmaq

pq

pqI

47,12610063160

6,798771003

10

3

10

0),(

jj

jj

j

ij

Lmpq

W

Wq

q

I

98,1261006635084250

1003

10

3

1),(

jijj

jijij

Pmaq

pq

pqI

200

Dinamička analiza

25,1271005,66207

84250100

3

1

0

3

1),(

jij

ij

j

jij

Pmpq

Wq

q

WI

86,12625,12747,126)()()( PqFqFq III

Po Fisheru količine su 2000-te godine porasle 26,86% uodnosu na 1999-tu godinu.

75,126100

129510164150

1003

100

3

10

)(

m

jijjj

jijjij

MEq

ppq

ppqI

PoMarshal-Edgworth-ukoličine su2000-tegodineporasle 26,75%u odnosuna 1999-tugodinu.

11. Za period 1990- 1996poznatisu lančani indeksi:

a) Preračunati u bazne indekse sa bazom u 1990. godini.

b) Izračunati srednji tempo rasta i prosječnu stopu rasta, pa objasniti.

c) Ako se nastavi isti tempo rasta, koliki će biti nivo te pojave u 2001-oj godini. (nivo pojave u1994-toj bio je 545).

Rješenje:

a)100

1 ii

i

ILI

201

Riješeni zadaci

b)

00902,26

05421,12log

11

log6

1iig L

nL

099,2099,102 gg SL Prosječno godišnje pojava je rasla 2,099%.

c) 00902,002099,1logloglog1

1log 1

yy

nL Ng

2001 1994 2001

2001 2001 2001

1 10, 00902 log log log log545

8 1 70, 00902 0,143 log 2,7364 log 2, 7995 630,2

y y y

y y y

12. Za 4proizvoda imamopodatke o cijenama iprodanimkoličinama:

Naći i objasniti indeks cijena i količina koristeći metodu agregata po Fisher-u.

Rješenje:

1 1( , )

1 0

0 1( , )

0 0

3528100 100 111, 053177

3006100 100 110, 23

2727

q ma P

q ma L

p qI

p q

p qI

p q

64,11023,11005,111),(),()( LmaqPmaqFq III Količine su porasle 10,64% ’96 u

odnosu na ’95 godinupo Fisher-u.

1 1( , )

0 1

1 0( , )

0 0

3528100 100 117,363006

3177100 100 116,5

2727

p ma P

p ma L

p qI

p q

p qI

p q

202

Dinamička analiza

93,1165,11636,117),(),()( LmapPmapFp III Cijene su porasle 16,93% ’96 u

odnosu na ’95 godinupo Fisher-u.

13. Poznatisu nivoiinvesticija (u 000$):

a)Izračunati srednji apsolutniprirast.

b) Kolika je prosječna stopa rastai šta to znači?

c)Ako se nastavi takva tendencija rasta u kojoj godini ćese pojava dostići nivo za200% viši nego nivopojaveiz 1990. godine?

Rješenje:

a)

2,8541

11 6

2iiy

nSAP

Investicije su u prosjeku godišnje rasle u iznosu od 8200 $.

b)

%95,40495,1

021,05

150log191logloglog

11

log 90'95'

gg

g

SL

yyn

L

Prosječan relativnirast investicija godišnje bio je 4,95 %.

c) 021,03

log1

1021,0log3log

11

log90'

90'90'90'

yy

nyy

nLg

72,2372,22021,0

3log1021,03log

11

nnn

Nivopojaveće se udvostručitiu toku 2013-te godine.

203

Riješeni zadaci

14. Za tri proizvoda uperiodu1990 i 1991. godina poznate su cijenei količine:

a)Izračunati iobjasnitiagregatni indeksvrijednosti.

b) Primjenom metode agregata i odgovarajućih pondera naći Laspeyres-ov indeks cijena i Paache-ovindekskoličina.Interpretirati dobivene podatke.

Rješenje:

a)

97,141100274389

1003

100

3

1

i

iii

w

qp

qpI Vrijednos t je 1991 u odnosu na 1990

godinu porasla za 41,97%.

b)

65,153100274421

1003

100

3

10

),(

i

ii

Lmap

qp

qpI Cijene su po Lasperes-u porasle 1991

u odnosu na 1990 za 53,65%.

4,92100421389

1003

10

3

1),(

ii

iii

Pmaq

qp

qpI Količinesu poPashe-u opale 1991 u odnosu

na 1990 za 7,6%.

15. 1988.godine utvrđen je nacionalnidohodak poglavistanovnika u iznosu796dolara. Premadugoročnojprognozi, nacionalnidohodak po glavi stanovnikaće 2005-te godinebitiza 167% većiu odnosu na 1988-ugodinu.

a) Koliki bi trebaoiznositi per capitadohodaku 2005-toj godini?

b)Uz koju prosječnu godišnju stopuje prognoziranporast?

204

Dinamička analiza

c) Koje bi godine dohodak per capita mogao dostići nivo 2500 dol. računajući od 1988-e godine uznastavak iste tendencije?

Rješenje:

a) 7961988 y

32,212579667,267,2 19882005 yy

2005 19881b) antilogaritam log log

11

antilogaritam log 2125,32 log79618 1

3,327424 2,900913antilogaritam

17ant ilogaritam 0,0250889 1,05947 105,947%

gL y yn

Dakle, prosječnastopa rasta korištenapri prognozi je 5,947%.

1c) antilogaritam log 2500 log 796 1,05947

11

log 2500 log796 0,02508891

1 3,39794 2,900913 0,025088910, 497027

1 19,8 21 1988 21 20090, 0250889

gLn

n

n

n n

Ako se nastavi ista tendencija to ćese desiti 2009-te godine.

Isključenje trenda

16. Poznati su nivoi pojave za 10 godina po kvartalima:

205

Riješeni zadaci

Metodomodnosa prema opštemprosjeku izraziti sezonskevarijacije.

Rješenje:

4,634

6,253Y

Tumačenje: I kvartal ima sezonski indeks106,15 nivopojave je uI kvartalu većiod prosjekaza 6,15% pod uticajem sezone.

Kod ove metode problem jeto što nijemoguće isključiti trend (eliminiše se samo C i N), pa jeovametoda preporučljiva samo kada nije prisutna promjena trenda.


Metodom odnosa prema opštem prosjeku izraziti sezonske varijacije.

Rješenje:

Prvo smo odredili trend na godišnjem nivou:

206

Dinamička analiza

iti

ii

iii

xyx

yxbya

2,136,2532,135,82

1091,6,253

102536

10

1

10

1

Nakon toga određujemo kvartalni trend:

ijti xyb

ba

a 825,04,63'825,016

',4,634

'

sezonskiindeksi - ijS


Metodom promjene lančanih indeksa izraziti sezonske varijacije.

207

Riješeni zadaci

Rješenje:

lančani indeksi - ijL

19. Pojava se u periodu 1995-1998. god. kretala na sljedeći način:

Koristećimetodu odnosa premapokretnim sredinamaizraziti uticajsezone.

208

Dinamička analiza

Rješenje:

20. U periodu 1991-1999. god. pojava se kretala na sljedeći način:

a) Metodom pokretnih prosjeka utvrditi i ucrtati trend.

b) Izračunati jednačinu linearnog trenda.

c) Koliki nivo pojave se očekuje u 2004-toj godini ako se nastavi isti trend?


A)Data analyisis–Movingaverage (output result):

209

Riješeni zadaci

b)Svakojgodini damonjenrednibroj od 1 do9 i to su naši x-ovi ionda pravimo regresiju (Dataanalysis):

iti xy 9,0833,40

c) Predviđanje za 2004-tu xi = 14

{=FORECAST(14;Q3:Q11;S3:S11)} 433,53tiy

210

Dinamička analiza

21. Za period od10 godina poznati su podaci o prometu u oblasti trgovine na veliko (u000 000KM):

Odreditijednačinu eksponencijalnogtrenda.


Za eksponencijalni trend: ixti bay , parametre računamo primjenom Paste fuction -

Logest:

a = {=INDEX(LOGEST(B87:B96;C87:C96);2)} = 357,5445

b = {=INDEX(LOGEST(B87:B96,C87:C96);1)} = 1,15832

Dakle, jednačina eksponencijalnog trenda glasi:

ixtiy 15832,15445,357

211

Zadaci za vježbu


1. Promet jednogpreduzećakoje se bavi proizvodnjom namještaja bio je:

a)Izračunatigrupne indeksevrijednosti, cijenei količine(koristitipondereiz baznogperioda)(1997=100)

b)Odrediti Fisher-ov idealni indekskoličine.

(a - 159,150,238 ),(),( LmapLmaqw III , b - 150)( FqI ).

2. Lančani indeksi proizvodnje bili su:

Preračunati lančane indekse u bazne sa bazom u 1995 godini.

( 18,249,...,96,87 19981992 LL )

3. Neka je:

Metodom agregata izračunati ponderisaneindekse količina, cijena ivrjednosti za 1998.(1995=100).

( 3,162,9,109,9,174 ),(),( LmapLmaqw III ).

4. Indeksi izvoza iuvoza bili su:

količinavrstaproizvoda 1997 1999

vrijednost 1997.(u milionima nj)

indeks cijena 1999(1997=100)

A 2000 3000 100 180B 4000 6000 400 190C 2000 3000 1600 150

priozvodnja u tvrstaproizvoda 1995 1998

cijena1995.(u 000 nj)

indeks vrijednosti1998 (1995=100)

A 33 40,6 15 140B 50 65 27 200C 80 72 21 165

212

Dinamička analiza

Izračunati koliki je bio uvoz i izvoz prema godinama, ako jeizvoz 1978. godineiznosio 107 milijardi nj, auvoz u 1976. godini 140 milijardinj.

5. U periodu od 9 godina pojava Ykretala se ovako:

a) Nacrtati aritmetički dijagram,

b) Odrediti odgovarajuću jednačinu linearnog trenda i objasniti parametre.

( b - 9,1 19951987 xx iti xy 8,157,29 )

6. Neka je pojava praćena u vremenu i dobili smopodatke:

Odrediti lančane indekse i prosječnu stopu rasta.

213

Zadaci za vježbu

( %)92,393,103 gg SL

7. Za tri proizvoda (A,B,C) datisu podaci o cijenama i količinama:

Primjenom metode agregata naći individualne i grupni indeks vrjednosti.

( 12,10135,8436,912,117 wCwBwAw IIII )

8. Broj diplomiranih studenata na jednomfakultetu utokujedne godine bioje:

a) Odrediti i nacrtati odgovarajuću liniju trenda

b) Koliki broj diplomiranih studenata se mogao očekivati 2002. god?

(a - 219971992 0059,0215,128,12061 iiti xxyxx ,

b – tii yx 11 107,63)

9. Troškoviprosječnog domaćinstva bilisu:

iL-108,396,15108103,7

214

Dinamička analiza

a)Ocjeniti i ucrtatilinearnitrend i obrazložitiparametre,

b)Isključititrend iobjasniti.

( a - iti xyxx 1539622 19841980 ,b –rezidiumnegativnodjelovao odsredine1981. godine do sredine 1983. godine)

10. Neka pojava je praćena u vremenu i dobiveni podaci:

a) Izračunati prosječnu stopu rasta.

b) Ako se nastavi isti tempo rasta, koliko godina treba da prođe da nivo pojave bude veći za 50% uodnosu na 1990-tu godinu?

( a - 929,3gS , b – 11,5 godina)

11. Za period 1990 -1996. god. lančani indeksi su bili:

a) Lančane indekse pretvoriti u bazne sa bazom u 1993.godini.

b) Izračunati i objasniti prosječnu stopu rasta.

(a - 1191994 I , b – 19,77%)

12. U tabeli sudati podaci ocijenama i vrijednostima:

Metodom prosjeka odrediti grupni indeks cijena i objasniti.

215

Zadaci za vježbu

( 74,136),( LmppI )

13. Za period 1982-1990dati su podaci o godišnjem prometu u jednoj robnoj kući:

a) Nacrtati aritmetički dijagram i stupce.

b) Grafički (metodom pokretnih prosjeka) odrediti trend.

( :y -, 20; 20,3; 20,6; 21,3; 22; 23,3; 24,3; -)

14. Za period 1990-1996 poznatisu lančaniindeksi:

a) Preračunati u bazne indekse sa bazom u 1991. godini.

b) Izračunati srednji tempo rasta i prosječnu stopu rasta, pa objasniti.

c) Ako se nastavi isti tempo rasta, koliki će nivo pojave biti u 2001-oj godini (nivo pojave u 1994-toj bio je 545).

( a - 15,10494' I , b - %0984,20984,102 gg SL , c – 2001y 630,27)

15. Poznati su nivoi ulaganjau vrijednosne papire (u 000$):

a) Izračunati srednji apsolutni prirast.

b) Kolika je prosječna stopa rasta i šta to znači?

c) Ako se nastavi takva tendencija rasta u kojoj godiniće se utrostručiti nivo pojave iz 1990. godine?

(a - 6SAP , b - %53,3gS , c – 2023. godina)

16. Za 3 proizvoda(A,B,C)dati su podaci:

216

Dinamička analiza

Primjenommetode agregata odreditii objasniti Marshal– Edgworth-ov indeks cijena.

( %83,97)( MEpI cijene su pale za 2,17%)

17. U tabeli sudati lančani indeksiinvesticijau neki proizvod:

a) Ako su investicije 1995. godine iznosile 250 miliona nj utvrditi funkciju koja odgovaraempirijskimpodacima i ocjenite bazni indeks investicija u 2002. godini (baza je 1990-ta godina).

b) Uporedite eksponencijalnu sa geometrijskom stopom rasta.

( a – eksponencijalni t rend ixtiyxx 10367,164642,2365,0;5,0 19951994 ,

3262002 I , b - 3,10;4,10 eg SS približno su iste)

18. Kretanje proizvodnje artiklaAu jednojfabricitokom perioda 1988-1994. god.prikazano je sljedećomtabelom:

Utvrditi koja funkcija trenda (linearna ili parabolična) bolje odgovara za prikazivanje dugoročnetendencije i predvidjeti nivo pojave za 1997.god. (Kriterij za izbor funkcije neka bude standardnagreška ocjene funkcije trenda).

( 01991x , linearni t rend 998,471

tyS , parabolični t rend (krak

parabole) 6,352tyS bolje odgovara parabolični trend, 04,8641997, ty t )

Pregled formula

Jednodimenzionalna statistička analiza

219

JEDNODIMENZIONALNA STATISTIČKA ANALIZA

MJERE SREDNJE VRIJEDNOSTI

Računske mjere srednje vrijednosti1 Aritmetička sredina negrupisanih podataka

∑=

⋅=N

iix

NX

1

1

N - veličina osnovnog skupa, ukupan broj podataka

ix - i-ti modalitet posmatranog obilježja

Aritmetička sredina grupisanih podataka

∑=

⋅⋅=∑ ⋅=

=∑ ⋅⋅=∑ ⋅⋅=

=

==

=∑

n

i iPixipix

ifixNifixX

n

i

n

i

n

in

iif

11001

11

1

11

1

Nf

p ii = , 100⋅= ii pP

Nfn

ii =∑

=1

, 11

=∑=

n

iip , 100

1

=∑=

n

iiP

if - apsolutna frekvencija, učestalost (broj pojavljivanja) i-tog modaliteta (razreda, intervala) n- broj modaliteta (razreda, intervala)

ip - relativna frekvencija

iP - procentualna frekvencija

Harmonijska sredina negrupisanih podataka

∑=

= N

i ix

NH

1

1

Harmonijska sredina grupisanih podataka

∑∑∑∑

∑

====

= ====n

i i

in

i i

in

i i

in

i i

i

n

ii

xP

xp

xf

N

xf

fH

1111

1 1001

Geometrijska sredina negrupisanih podataka

N

N

iixG ∏

=

=1

ili ∑=

⋅=N

iix

NG

1

log1log

Geometrijska sredina grupisanih podataka

N

n

i

fi

ixG ∏=

=1

ili

∑ ∑

∑

= =

=

⋅⋅=⋅=

=⋅⋅=

n

i

n

iiiii

n

iii

xPxp

xfN

G

1 1

1

log100

1log

log1log

1 Treba da važi Košijeva teorema: HGX ≥≥ .

Pregled formula

220

Aritmetička sredina - primjena transformisanog obilježja

transformisano obilježje: l

xxy i

i0−

=

∑ ⋅⋅==

n

i ifiyN

Y1

1YlxX ⋅+=⇒ 0

0x - modalitet ili razredna sredina koji se nalazi na sredini niza ili koji ima najvišu frekvenciju

il - rastojanje među modalitetima ili širina intervala ( =il const.=l,

ni ,1=∀ ) Pozicione mjere srednje vrijednosti2 Modus na osnovu

oMff =max čita se modus ili se iz pročitanog intervala određuje na bazi formule:

( ) ( )11

11

+−

−

−+−

−⋅+=

oooo

oo

oo

MMMM

MMMMo ffff

fflLM

Ili pomoću relativnih frekvencija: na osnovu

oMpp =max čita se modus ili se iz pročitanog intervala određuje na bazi formule:

( ) ( )11

11

+−

−

−+−

−⋅+=

oooo

oo

oo

MMMM

MMMMo pppp

pplLM

Ili pomoću procentualnih frekvencija:

na osnovu oMPP =max čita se modus ili se iz pročitanog

intervala određuje na bazi formule:

( ) ( )11

11

+−

−

−+−

−⋅+=

oooo

oo

oo

MMMM

MMMMo PPPP

PPlLM

oML1 - donja granica modalnog intervala

oml - širina modalnog intervala

omf - frekvencija modalnog intervala

1−oMf - frekvencija intervala koji predhodi modalnom intervalu

1+oMl - frekvencija intervala koji se nalazi nakon modalnog intervala

Kvantili reda q kod negrupisanih podataka

Niz prvo moramo numerički urediti, tako da bude: Nixx ii ,1,1 =≤ +

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅−=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=

+=

qjqN

NjCq

jNjC

xxQ jCjC

j

)(,1)(

,2

21

)()( 21

jQ - j-ti kvantil reda q , 1,1 −= qj

)(1 iC - pozicija donje granice koja određuje Q j

)(2 iC - pozicija gornje granice koja određuje Q j

2 Napomena: U slučaju da intervali nisu istih širina, kod izračunavanja modusa za intervalno grupisane podatke umjesto apsolutnih (relativnih ili procentualnih) frekvencija koristimo korigovane apsolutne (relativne ili

procentualne) frekvencije: i

ii l

ff =' (

i

ii

i

ii l

PP

lp

p == ,, , ), gdje je il širina i-tog intervala.


221

Kvantili reda q kod grupisanih podataka Odredimo kumulativne frekvencije "manje od":

nmffm

iim ≤= ∑

=

+ ,1

. Prvi modalitet ili interval kod kog

je zadovoljeno: +≤⋅ mfjqN je modalitet koji ćemo

nazvati jQ ili interval gdje se nalazi jQ . Ako je riječ o intervalu tada jQ određujemo na bazi formule:

)(

)()(

)()(

1

1

1

11

J

J

JJ

J

J

ii

JJj

Rf

RfjqN

RlL

Rf

fjqN

RlLQ

−+

−

=

−⋅⋅+=

=−⋅

⋅+=∑

Ili pomoću relativnih frekvencija: odredimo kumulativne frekvencije "manje od":

nmppm

iim ≤= ∑

=

+ ,1


je zadovoljeno: +≤⋅ mfjq1 je modalitet koji ćemo


)(

)(1

)(

)(

1

)(

1

1

1

11

J

J

JJ

J

J

ii

JJj

Rp

Rpjq

RlL

Rp

pjq

RlLQ

−+

−

=

−⋅⋅+=

=−⋅

⋅+=∑

Ili pomoću procentualnih frekvencija: odredimo kumulativne frekvencije "manje od":

nmPPm

iim ≤= ∑

=

+ ,1


je zadovoljeno: +≤⋅ mfjq

100 je modalitet koji ćemo


JL1 - donja granica intervala gdje se nalazi jQ

)( JRl - širina intervala gdje se nalazi

jQ )( jRf - frekvencija intervala gdje se

nalazi jQ

∑−

=−

+ =1

11 )(

J

iiJ fRf - kumulativna

frekvencija "manje od" intervala koji predhodi onom intervalu gdje se nalazi jQ

Pregled formula

222

)(

)(100

)(

)(

100

)(

1

1

1

11

J

J

JJ

J

J

ii

JJj

RP

RPjq

RlL

RP

Pjq

RlLQ

−+

−

=

−⋅⋅+=

=−⋅

⋅+=∑

Medijala Odredimo kumulantu "manje od" za relativni agregat ili relativnu globalnu vrijednost:

nmRARAm

iim ≤= ∑

=

+ ,1

. Prvi modalitet ili interval kod

kog je zadovoljeno: +≤ mRA5,0 je modalitet koji ćemo nazvati medijala ili interval gdje se nalazi medijala. Ako je riječ o intervalu tada medijalu određujemo na bazi formule:

le

le

lele

M

MMMle RA

RARlLM

+−⋅+=

5,0)(1

iii fxA ⋅= - neintervalno grupisanje

iii fsA ⋅= - intervalno grupisanje

∑=

⋅

⋅=

n

iii

iii

fx

fxRA

1

- neintervalno

grupisanje

∑=

⋅

⋅=

n

iii

iii

fs

fsRA

1

- intervalno

grupisanje

MJERE DISPERZIJE (VARIJABILITETA, VARIRANJA)

Apsolutne mjere disperzije Raspon variranja

minmax xxR −= maxx - najviši podatak u nizu

minx - najniži podatak u nizu Interkvartilni razmak

13,4 QQIq Q −==

Interdecilni razmak

19,10 QQIq Q −==

Varijansa negrupisanih podataka

( ) 2

1

2

1

22 11Xx

NXx

N

N

ii

N

ii −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=−⋅=σ ∑∑

==


223

Varijansa grupisanih podataka

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

( )[ ] ( ) 2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

22

1001

1001

11

XPxPXx

XpxpXx

XfxN

fXxN

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅−⋅=

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅−=

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅−⋅=

∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

σ

Standardna devijacija

2σ=σ

Varijansa- primjena transformisanog obilježja

( )[ ] ( ) 2

1

2

1

22 11Yfy

NfYy

N

n

iii

n

iiiy −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅−⋅=σ ∑∑

==

222yx l σ⋅=σ⇒

Srednje apsolutno odstupanje negrupisanih podataka

∑=

−⋅=N

ii Xx

NMAD

1

1

Srednje apsolutno odstupanje grupisanih podataka

( ) ( )( )∑

∑∑

=

==

⋅−⋅=

⋅−=⋅−⋅=

n

iii

n

iii

n

iii

PXx

pXxfXxN

MAD

1

11

1001

1

Relativne mjere disperzije Koeficijent varijacije

(%)100⋅σ

=X

V

Koeficijent kvartilne devijacije

13

,4QQ

IVq q

Q +==

Standardizovano odstupanje

σ−

=Xx

z ii

Pregled formula

224

MJERE ASIMETRIJE I SPLJOŠTENOSTI Momenti

( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]∑∑

∑

==

=

⋅−⋅=⋅−=

=⋅−⋅=

n

ii

si

n

ii

si

n

ii

sis

Pcxpcx

fcxN

M

11

1

1001

1

c =constans

obični momenti:

( ) ( )

( )∑

∑∑

=

==

⋅⋅=

=⋅=⋅⋅=

n

ii

si

n

ii

si

n

ii

sis

Px

pxfxN

m

1

11

1001

1

centralni momenti:

( )[ ]( )[ ] ( )[ ]∑∑

∑

==

=

⋅−⋅=⋅−=

=⋅−⋅=

n

ii

s

i

n

ii

s

i

n

ii

s

is

PXxpXx

fXxN

11

1

1001

1μ

22310 ,,1 XmXmm +σ===

2210 ,0,1 σ=μ=μ=μ

Koeficijent asimetrije

33

3 σμ

=α ⇒=α 03 simetrija ⇒> 03α desna asimetrija ⇒< 03α lijeva asimetrija

Koeficijent spljoštenosti

44

4 σμ

=α ⇒=α 34 normalna spljoštenost ⇒> 34α izduženost ⇒< 34α spljoštenost

Računanje centralnih momenata preko veze sa običnim momentima

( )

( ) ss

sss

ssss

X

mXs

smX

s

mXs

mXs

m

1

11

...3

21

1

113

3

2

2

1

−+

+⋅−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=μ

−−−

−−

2

22 Xm −=μ 3

233 23 XmXm ⋅+⋅⋅−=μ

42

2344

36

4

XmX

mXm

⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−=μ


225

Računanje centralnih momenata- primjena transformisanog obilježja

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )3020

1

33

3020

1

3330

201

333

3100

1

3

31

xXxXPyl

xXxX

pylxX

xXfyN

l

k

iii

k

iii

k

iii

−−⋅−⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅

=−−⋅−⋅−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=−−

−⋅−⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅=

∑

∑

∑

=

=

=

μ

μ

μμ

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )402

2

0

301

44

4

02

2

030

1

444

02

2

0

301

444

6

4100

1

64

6

41

xXxX

xXPyl

xXxXxX

pylxXxX

xXfyN

l

k

iii

k

iii

k

iii

−−⋅−⋅−

−⋅−⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅=

=−−⋅−⋅−⋅−⋅−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=−−⋅−⋅−

−⋅−⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅=

∑

∑

∑

=

=

=

μ

μ

μμ

μ

μμ

( )

( ) ( )

( )( )

( )0

1

22

0

1

220

1

222

1001

1

xX

Pyl

xX

pylxX

fyN

l

k

iii

k

iii

k

iii

−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅=

=−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅=

∑

∑

∑

=

=

=

μ

Pearson-ova mjera asimetrije

( ) ( )'"

3,

e op p

X M X MS S

σ σ

⋅ − −= =

Bowley-eva mjera asimetrije

Q

ebQ I

MQQSq

⋅−+==

2,4 13

Mjere koncentracije Ginijev koeficijent

1. metoda trapeza

( )∑=

++− ⋅+−=

n

iiii pRARAG

111

2. metoda trouglova

( )∑−

=

+++

++

+ ⋅−⋅=1

111

n

iiiii RApRApG

10 ≤≤ G

Pregled formula

226

KOMBINATORIKA OSNOVNI POJMOVI Faktorijeli n!= n⋅⋅⋅⋅ ...321 , 0Nn∈ , 0!=1 ako je n velik broj primjenjujemo

aproksimaciju Stirling-a: n!= nen nn ⋅π⋅⋅⋅ − 2

Osobine faktorijela

n!=(n-1)!⋅n = (n-2)!⋅(n-1)⋅n r! ≤ n!, (n-r)! ≤ n!,

nrrrn

⋅⋅+⋅+= ...)2()1(!!

nnrnrnrn

n⋅−⋅⋅+−⋅+−=

−)1(...)2()1(

)!(!

0, Nnr ∈ 0 ≤ r ≤ n, 0 ≤ (n- r) ≤ n

Binomni koeficijenti

)!(!!

rnrn

rn

−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ knn

, nknNk >+∈ )(,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛rn

nrn

, 100

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, 1

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

1=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nn

, nn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

, nn

n=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1

Binomna teorema

rrnn

r

n barn

ba ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ −

=∑

0)(

rrnn

r

rn barn

ba ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− −

=

⋅∑0

)1()(

PERMUTACIJE, VARIJACIJE I KOMBINACIJE Broj permutacija bez ponavljanja od n elemenata skupa S

!)( nnP = 0Nn∈ - broj elemenata skupa S (svi elementi međusobno različiti)

Broj permutacija sa ponavljanjem od n elemenata skupa S

!...!!!

21,...,, 21

knnn nnn

nP

k ⋅⋅⋅=

0, Nnk ∈ , 0 ≤ k ≤ n , ∑=

=k

iinn

1

k- broj međusobno različitih elemenata u skupu S

in - koliko se puta pojavi elemenat

ie u skupu S

Kombinatorika

227

Broj varijacija bez ponavljanja r-tog razreda od n elemenata skupa S

)!(!!)(rn

nr

rn

nVr −=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

r- broj elemenata podskupa skupa S 0Nr ∈ , 0 ≤ r ≤ n

Broj varijacija sa ponavljanjem r-tog razreda od n elemenata skupa S

rr nnV =)( ,0Nr ∈

nr < , nr = ili nr > Broj kombinacija bez ponavljanja r-tog razreda od n elemenata skupa S

)!(!!)(

rnrn

rn

nCr −⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 0Nr ∈ , 0 ≤ r ≤ n

Broj kombinacija sa ponavljanjem r-tog razreda od n elemenata skupa S

)!1(!)!1(1

)1()(−⋅−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=−+=

nrrn

rrn

rnCnC rr 0Nr ∈ , 0 ≤ r ≤ n

Pregled formula

228

VJEROVATNOĆA, SLUČAJNA VARIJABLA I TEORIJSKI RASPOREDI OSNOVNI POJMOVI Vjerovatnoća događaja A i njemu suprotnog događaja A'

nAm

AP)()( =

)(1)'( APAP −=

n- koliko puta je ponovljen eksperiment m(A)- koliko puta se u tih n eksperimenata realizovao događaj A

Potpun sistem događaja

1)()(1

== ∑=

n

iiAPXP jiAAAX ji

n

ii ≠∀⊗==

=IU ,

1

Vjerovatnoća složenog događaja "i"

⇔⋅= )()()( BPAPBAP I događaji A i B su nezavisni.

Potpuno nezavisni događaji

∑=

==

k

iiAP

k

i iAP1

)()1

( I

Vjerovatnoća složenog događaja "ili"

IU )()()()( BAPBPAPBAP −+=

specijalno:

⊗=⇔⇔+=

I

U

BABPAPBAP )()()(

ako su događaji A i B disjunktni. Vjerovatnoća "razlike" dva događaja

P(A\B)= I )()( BAPAP −

Uslovna vjerovatnoća

P(A|D)= ⇒)(

)(DP

DAP II )( DAP = P(A|D)⋅P(D)

i I )( ADP = P(D|A)⋅P(A), za zavisne događaje

kod nezavisnih događaja: P(A|D)=P(A), P(D|A)=P(D)

Teorem totalne vjerovatnoće

∑=

⋅=n

iiHPAP

1)()( P(A⏐Hi) događaji niH i ,1, = čine potpun

sistem događaja. Bayes-ov teorem P(Hi⏐A)=

=[ ⋅)( iHP P(A⏐Hi)] / [∑=

⋅n

iiHP

1)( P(A⏐Hi)]

Vjerovatnoća, slučajna varijabla i teorijski rasporedi

229

SLUČAJNA PROMJENJIVA Zakon vjerovatnoće prekidne slučajne promjenjive X

1,............

:121

21 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑=

n

kk

nk

nk pppppxxxx

X

∑=

⋅==n

kkk pxXEX

1)(

[ ] [ ]2222 )()()( XEXEXEXEX −=−=σ

∑=

⋅−=n

kk

sks pcxM

1

)(

)( kk xxPp == - funkcija gustine vjerovatnoće prekidne slučajne promjenjive X

nkpRp kok ,1,10, =∀≤≤∈ +

Funkcija rasporeda prekidne slučajne promjenjive X

∑−

=

=<<−∞=1

1)()()(

j

iijj xPxXPxF

)()()( αββαβα FFXP −=<≤⇒< 1)(0)(

=+∞=−∞

FF

Funkcija rasporeda neprekidne slučajne promjenjive X

RxdxxfxXPxF j

x

jj

j

∈∀=<<−∞= ∫∞−

,)()()(

∫=−=<≤⇒<β

α

αββαβα dxxfFFXP )()()()(

[ ]

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

−=

=−=σ=

dxxfEx

XEXEdxxfxXE X

)()(

)(,)()(

2

22

[ ] ∫+∞

∞−

−=−= dxxfcxcXEM sss )()()(

)()(' jj xfxF = - funkcija gustine vjerovatnoće neprekidne slučajne promjenjive X (gustina raspodjele, zakon vjerovatnoće)

Rxxf jj ∈∀> ,0)(

)(1

)(1)(

,1)(lim,0)(lim

j

j

jxjx

xF

xXPdxxf

xFxF

−=

=>⇒=

==

∫∞+

∞−

∞→−∞→

Čebiševe nejednačine

[ ] 2

2

1)(,)((εσ

−≥ε+ε−∈ Xk XEXExP

[ ] 2

11)(,)((t

tXEtXExP XXk −≥σ⋅+σ⋅−∈

ε - okolina

X

tσε

=

Pregled formula

230

TEORIJSKI RASPOREDI Prekidni rasporedi Binomni raspored

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

==

− nkqpkn

kxPp

nkkxX knk

kbk

k

,0,)(

,0,:

),(: pnBX

pnq

VqpnpnXE X ⋅⋅=⋅⋅=σ⋅= 100,,)( 2

qpnqp

qpnpq

⋅⋅⋅⋅−

+=α⋅⋅

−=α

613,)(4

2

3

bk

bk pNf ⋅=

( )∑=

−⋅+

=σn

k

bkkb ff

n 1

22

11 - greška aproksimacije

pAPqAPp −=== 1)'(),( A- elementarni događaj koji se ponovi n puta rekurzivna formula ( nk ,0= ):

kbk

nb pqp

kkn

pqp ⋅⋅+−

== + 1, 10

uslovi za primjenu u praksi:

10 <<nX i ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅≈σ

nX

XX 12

⇒→σ 02b bolja aproksimacija

Poisson-ov raspored

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⋅===

==− 0,,0,

!)(

,0,:

fmnkk

mekxPp

nkkxX k

mk

pk

k

)(: mPX o

mVmmXE X

100,,)( 2 ==σ=

mm13,1

43 +=α=α

pk

pk pNf ⋅=

( )∑=

−⋅+

=σn

k

pkkp ff

n 1

22

11 - greška aproksimacije

rekurzivna formula ( nk ,0= ):

kpk

mp pk

mpep ⋅

+== +

−

1, 10

uslov za primjenu u praksi: mX X ≈σ≈ 2

⇒→σ 02p bolja aproksimacija

Hipergeometrijski raspored

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

===

==

nk

nN

knMN

kM

kxPp

nkkx

Xk

hk

k

,0,)(

,0,

:

),,(: nMNHX ( ) ( )

( )1, 2

2

−⋅−⋅−⋅⋅

=σ⋅=NN

nNmNMnNn

MX X

rekurzivna formula ( nk ,0= ): ( ) ( )

khk p

knMNkknkM

p ⋅++−−⋅+

−⋅−=+ 1()1(1

N- broj elemenata u osnovnom skupu M- broj elemenata u osnovnom skupu koji posjeduju obilježje A n- broj elemenata u uzorku k - broj elemenata u uzorku koji posjeduju obilježje A

NMkNn ≤≤≤ , hkp - vjerovatnoća da u uzorku iz tog

osnovnog skupa bude k elemenata koji posjeduju obilježje A

Vjerovatnoća, slučajna varijabla i teorijski rasporedi

231

Neprekidni rasporedi Normalan raspored

( )

2

21

21)(,,

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

σ

−⋅−

⋅π⋅⋅σ

=+∞∞−∈

Ejx

jj exfx

3,0),;(: 432 =α=ασENX

∫∞−

−⋅−

⋅⋅⋅⋅

=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛jx Ex

j dxexF

2

21

21)(

σ

πσ

)()(

)(

ij

ji

xFxF

xXxPji

−=

=≤≤⇒∀ p

)(1)( jj xFxXP −=f

Standardizirani normalni raspored

3,0,1,0)(

),1,0(:,21)(,

432

2

2

====

⋅⋅

=−

=⋅−

αασπ

ϕσ

Z

z

jj

j

ZE

NZezEx

z

∫∞−

−

⋅⋅⋅

=Φjz z

j dzez2

2

21)(π

nj

nj pNf ⋅=

∑=

−⋅=σn

j

njjn ff

n 1

22 )(1 - greška aproksimacije

)()(

)(

ij

ji

zz

zZzPji

Φ−=

=≤≤⇒<∀

φ

)(1)( jj zzZP Φ−=>

)(

1)(2)(

)(1)(

1 j

jjj

jj

z

zzZzP

zzZP

Φ=

=−Φ⋅=≤<−

Φ−=−≤

apro

ksimacija:X

jj

Xaz

σ

−= gdje je

ja gornja granica intervala i

)()( 1 jjnj zzp Φ−Φ= +

⇒→σ 02n bolja aproksimacija

Studentov raspored

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Γ⋅

π⋅=

+∞∞−∈

21

2

1

2

21

1)(

,,

n

j

j

nt

n

n

ntf

t

2,2

,0)( 2 fnn

nMMTE Teo −

==== σ

463,0 43 −

+=α=αn

∫∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Γ⋅

⋅=

jtn

jn dtnt

n

n

ntS

21

2

1

2

21

1)(π

)()( jj tftf −= n- broj stepeni slobode, Nn∈

)()1(

0,)(0

1

uuu

ydyeyu yu

Γ⋅=+Γ

>⋅⋅=Γ ∫∞

−−

)()(

)(

injn

ji

tStS

tTtPji

−=

=≤≤⇒<∀

)(1)( jnj tStTP −=>

1)(2)(

)(1)(

−⋅=≤<−

−=−≤

jnjj

jnj

tStTtP

tStTP

[ ])(12)( jnj tStTPq −⋅=>=

Pregled formula

232

Fisher-ov raspored

( )( ) 2

12

,

122

2)(,,0 nm

m

jnmj

x

xnm

nm

xfx +

−

+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Γ=+∞∈

( )( ) ( )

4,4222,2,

2)( 2

2 >−⋅−−+⋅⋅

=>−

= nnnmnm

nn

mXE Xσ

m,n- broj stepen i slobode ( ) +=+∞∈ 0,0 Rx j

Nnm ∈,

mnnm

M o ⋅+⋅−

=22

Snedecor-ov F raspored

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ν+ν

−−ν

νν

⋅ν+ν⋅⋅ννν⋅ν

= 221

12

21

2221 21121

),()( FF

BFf

( )( ) ( )42

22,2

)(2

221

212

22

2

2

−⋅−⋅−+⋅⋅

=−

=ννννννσ

νν

FFE

∫+∞

⋅=>=jF

jj dFFfFFPFP )()()(

Smjenom Fnm

x j ⋅= dobićemo

Snedecor-ov F raspored sa 21 νν i stepeni slobode

RF ∈

Gama - ( −χ2 hi kvadrat) raspored

( )

( ) 222

2

2

22

222

2

2

22

1)(0

22

1)(,,0

χ

χχχ−−

−−

⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

=⇒→>

⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

=+∞∈

en

gx

exn

xgx

n

jnj

xn

jnjj

nnnV

nnE

123,24,2100

2,)(

43

222

+=⋅

=⋅=

⋅==

αα

σχχ

∫ +∈⋅=

2

00

2222 ),()()(j

RdgF jn

χ

χχχχ

)(1

)(1)(2

2222

jn

jnjn

F

FF

χ

χχχχ

−=

=<−=≥

Uzorci – intervalne procjene i statistički testovi

233

UZORCI – INTERVALNE PROCJENE I STATISTIČKI TESTOVI INTERVALNE PROCJENE PARAMETARA OSNOVNOG SKUPA NA BAZI INFORMACIJA IZ UZORKA Interval povjerenja

γ=α−=+ϕ≤θ≤−ϕ 1)( hhP

ϕ - vrijednost parametra u uzorku θ - vrijednost parametra u osnovnom skupu h- okolina γ - sigurnost (pouzdanost, signifikantnost) α -rizik greške (greška prve vrste)

Odrediti veličinu uzorka da bi se zadovoljio određeni stepen preciznosti

0

11n

NN

n−

+=

2

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

εσ⋅

= ozn zz ⇒

α−=Φ

21)(

ε- stepen preciznosti n- veličina uzorka N- veličina osnovnog skupa

oσ - standardna devijacija u osnovnom skupu

Intervalna procjena aritmetičke sredine Ako je poznata varijansa u osnovnom skupu ( )

α

σσ

−=−Φ⋅=

=⋅+≤≤⋅−

11)(2 z

zXMzXP XX

zz ⇒α

−=Φ2

1)( no

X

σ=σ

n- veličina uzorka N- veličina osnovnog skupa X - aritmetička sredina u uzorku M- aritmetička sredina u osnovnom skupu

2oσ - varijansa u osnovnom skupu

Ako nije poznata varijansa u osnovnom skupu i uzorak je mali (n≤30)

( )0 0

01 ( ) 1XX

P X t S M X t S

P T t α

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ =

= − > = −

001 21)( ttSn ⇒

α−=−

Xu

nS

Xσσ

≈−

=1

2uσ - varijansa u uzorku

Ako nije poznata varijansa u osnovnom skupu i uzorak je velik (n>30) ( )

α−=−Φ⋅=

=⋅+≤≤⋅−

11)(2 z

SzXMSzXP XX

zz ⇒α

−=Φ2

1)( 1−

=n

S uX

σ

Pregled formula

234

Intervalna procjena varijanse Mali uzorak (n≤30)

α−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

χσ⋅

≤σ≤χ

σ⋅

α−

α−−

12

2,1

22

2

21,1

2

n

uo

n

u nnP

2

2,1

21

2

21,1

21

2)(

21)(

α−

−

α−−

−

χ⇒α

=χ

χ⇒α

−=χ

njn

njn

F

F

1−n - broj stepeni slobode

Veliki uzorak (n>30)

( ) ( )α−=Φ⋅=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−⋅

σ⋅⋅≤σ≤

+−⋅

σ⋅⋅

1)(232

2

32

22

22

2

2

z

zn

n

zn

nP u

ou

zz ⇒α

−=Φ2

1)(

Intervalna procjena proporcije Veličina uzorka nije bitna ( ) α−=Φ⋅=⋅+≤≤⋅− 1)(2 zSzpPSzpP pp

zz ⇒α

−=Φ2

1)(

nqp

S p⋅

=

NBAnba =+=+ , p- proporcija u uzorku P- proporcija u osnovnom skupu

NB

QNA

Pnb

qna

p ==== ,,,

1,1 =+=+ QPqp Procjena parametara osnovnog skupa upotrebom stratifikovanog uzorka Procjena aritmetičke sredine - veliki uzorak (n>30) ( )

α−=−Φ⋅=

=σ⋅+≤≤σ⋅−

11)(2 z

zXMzXPXX

NNnn

kipXnNk

ii

k

ii

iuiiii

==

=∀σ→

∑∑== 11

2

,

,1,,,:

∑=

⋅⋅=k

iii Xn

nX

1

1

∑∑==

σ⋅⋅=σ⋅⋅=σk

iui

i

iX

k

iuiiX n

NN

Snn 1

22

22

1

2 1,1

n- veličina stratifikovanog uzorka ni-koliko je elementa iz i-tog stratuma uzeto u stratifikovani uzorak N- veličina osnovnog skupa Ni- veličina i-tog stratuma

2, uiiX σ - parametri koji odgovaraju uzorku elementa iz i-tog stratuma uzetih u stratifikovani uzorak X - aritmetička sredina stratifikovanog uzorka

Xσ -standardna greška procjene čija

je nepristrasna ocjena X

S


235

Proporcionalan izbor u stratifikovanom uzorku

iii

iii N

Nn

nNn

Nn

NNnn ⋅=⇒=⇒= ::

Optimalna veličina stratifikovanog uzorka

2

1

2 1⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σ⋅⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ε

= ∑=

k

iuiiN

Nz

n

STATISTIČKI TESTOVI Parametarski testovi

Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa na bazi velikog uzorka (z- test) Jednosmjerni test na donju granicu

1..0..

)30

.

..

0100

,.4

.3

)(.2:/:.1

HzzHzz

MXz

zz

MMHMMH

teorizrteorizr

X

izr

teorteor

⇒≤⇒>

−=

⇒=Φ<≥

σ

α

0M - predpostavljena aritmetička sredina osnovnog skupa u odnosu na koju se vrši testiranje

.teorz - teorijska vrijednost za z

.izrz - izračunata vrijednost za z (iz uzorka) 3

Jednosmjerni test na gornju granicu

1..0..

0.

..

0100

,.4

.3

1)(.2:/:.1

HzzHzz

MXz

zz

MMHMMH

teorizrteorizr

X

izr

teorteor

⇒≥⇒<

−=

⇒−=Φ>≤

σ

α

Dvosmjerni test

1..0..

0.

21

2.

..

..

0100

,.4

.3

,

21)(

2)(

.2

:/:.1

HzzHzz

MXz

zzzzz

zz

MMHMMH

teorizrteorizr

X

izr

teor

teorteor

teorteor

⇒∉⇒∈

σ−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=Φ

⇒α

=Φ

≠=

α−

α

3 Ukoliko nije poznata 0δ već samo nδ umjesto xδ uzimamo xS .

Pregled formula

236

Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa na bazi malog uzorka (T- test) Jednosmjerni test na donju granicu

1..0..

0.

..1

0100

,.4

.3

)(.2:/:.1

HttHtt

MXt

ttS

MMHMMH

teorizrteorizr

X

izr

teorteorn

⇒≤⇒>

−=

⇒=<≥

−

σ

α

.teort - teorijska vrijednost za t

.izrt - izračunata vrijednost za t (iz uzorka)


1..0..

0.

..1

0100

,.4

.3

1)(.2:/:.1

HttHtt

MXt

ttS

MMHMMH

teorizrteorizr

X

izr

teorteorn

⇒≥⇒<

−=

⇒−=>≤

−

σ

α

Dvosmjerni test

1..0..

0.

21

2.

..1

..1

0100

,.4

.3

,

21)(

2)(

.2

:/:.1

HttHtt

MXt

tttttS

ttS

MMHMMH

teorizrteorizr

X

izr

teor

teorteorn

teorteorn

⇒∉⇒∈

σ−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=

⇒α

=

≠=

α−

α

−

−

Testiranje jednakosti aritmetičkih sredina dva osnovna skupa na bazi njihovih uzoraka Dva velika uzorka, poznato 22

221 ooo σ=σ=σ

211210 :/:.1 MMHMMH ≠=

1..0..

21

21.

21

2.

..

..

,.4

11.3

,

21)(

2)(

.2

HzzHzz

nn

XXz

zzzzz

zz

teorizrteorizr

o

izr

teor

teorteor

teorteor

⇒∉⇒∈

+⋅σ

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=Φ

⇒α

=Φα

−α

)( 21 nn - veličina uzorka uzetog iz osnovnog skupa 1 (2)

)( 21 XX - aritmetička sredina u uzorku uzetom iz osnovnog skupa 1 (2)

)( 21 MM - aritmetička sredina u osnovnom skupu 1 (2)

)( 22

21 oo σσ - varijansa u osnovnom

skupu 1 (2)


237

Dva velika uzorka, poznato 22

21 uu σ≠σ

1..0..

21

21

21

222

211221

.

21

2.

..

..

211210

,.42

,.3

,

21)(

2)(

.2

:/:.1

HzzHzz

nnnn

nnnn

Ss

XXz

zzzzz

zz

MMHMMH

teorizrteorizr

uud

dizr

teor

teorteor

teorteor

⇒∉⇒∈⋅+

⋅−+σ⋅+σ⋅

=−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=Φ

⇒α

=Φ

≠=

α−

α

)( 22

21 uu σσ -varijansa u uzorku uzetom

iz osnovnog skupa 1 (2)

Dva mala uzorka, poznato 2

221 uu σ≠σ

1..0..

21.

21

2.

..2

..2

211210

,.4

.3

,

21)(

2)(

.2

:/:.1

21

21

HttHtt

sXX

t

tttttS

ttS

MMHMMH

teorizrteorizr

dizr

teor

teorteornn

teorteornn

⇒∉⇒∈

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=

⇒α

=

≠=

α−

α

−+

−+

Testiranje hipoteze o varijansi osnovnog skupa na bazi velikog uzorka Jednosmjerni test na donju granicu

( )

12

.2

.02

.2

.

20

22

.

2

.2

.

..

20

21

20

20

,.4

.3

1,1221

)(.2:/:.1

HH

n

nkkz

zzHH

teorizrteorizr

o

uizr

teorteor

teorteor

oooo

⇒≤⇒>

⋅=

−=−⋅+⋅=

⇒=Φ<≥

χχχχ

σσχ

χ

ασσσσ

20oσ - predpostavljena varijansa

osnovnog skupa u odnosu na koju se vrši testiranje

2.teorχ - teorijska vrijednost za 2χ

2.izrχ - izračunata vrijednost za 2χ (iz

uzorka)


( )

12

.2

.02

.2

.

20

22

.

2

.2

.

..

20

21

20

20

,.4

.3

1,1221

1)(.2:/:.1

HH

n

nkkz

zzHH

teorizrteorizr

o

uizr

teorteor

teorteor

oooo

⇒≥⇒<

⋅=

−=−⋅+⋅=

⇒−=Φ>≤

χχχχ

σσχ

χ

ασσσσ

Pregled formula

238

Dvosmjerni test

( )

12

.2

.02

.2

.

20

22

.

2

21.,

2

,2

.,

2.

2

.2

.

21

2.

..

..

20

21

20

20

,.4

.3

,

1,1221

,

21)(

2)(

.2

:/:.1

HH

n

nkkz

zzzzz

zz

HH

teorizrteorizr

o

uizr

teorteorteor

teorteor

teor

teorteor

teorteor

oooo

⇒∉⇒∈

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⇒−=−⋅+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒−=Φ

⇒=Φ

≠=

−

−

χχχχ

σσχ

χχχ

χ

α

ασσσσ

αα

αα

Testiranje hipoteze o varijansi osnovnog skupa na bazi malog uzorka Jednosmjerni test na donju granicu

12

.2

.02

.2

.

20

22

.

2.

2.

21

20

21

20

20

,.4

.3

)(.2

:/:.1

HH

n

P

HH

teorizrteorizr

o

uizr

teorteorn

oooo

⇒≤⇒>

⋅=

⇒=<

<≥

−

χχχχ

σσχ

χαχχ

σσσσ


12

.2

.02

.2

.

20

22

.

2.

2.

21

20

21

20

20

,.4

.3

1)(.2

:/:.1

HH

n

P

HH

teorizrteorizr

o

uizr

teorteorn

oooo

⇒≥⇒<

⋅=

⇒−=<

>≤

−

χχχχ

σσχ

χαχχ

σσσσ

Dvosmjerni test

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=<

=<

≠=

−−

−2

21

2

2

2.

2.

21

2.

21

20

21

20

20

,

21)(

2)(

.2

:/:.1

αα χχχαχχ

αχχ

σσσσ

teor

teorn

teorn

oooo

P

P

HH

12

.2

.02

.2

.

20

22

.

,.4

.3

HH

n

teorizrteorizr

o

uizr

⇒χ∉χ⇒χ∈χ

σ

σ⋅=χ


239

Testiranje jednakosti varijansi dva osnovna skupa na bazi njihovih uzoraka ( F -test)

21 σσ f

1.0.

22

21

22

21

.

2211

2.2

22

211

22

210

,.4

.3

1,12

)(.2

:/:.1

HFFHFF

SS

F

nn

FFFFP

HH

teoriteori

u

uizr

teor

oooo

⇒≥⇒

==

−=−=

=⇒=>

≠=

p

σσ

νν

ασσσσ

Testiranje proporcije osnovnog skupa na bazi uzorka (veličina uzorka nije bitna) Jednosmjerni test na donju granicu

..

0100

)(.2:/:.1

teorteor zz

PPHPPH

⇒=Φ<≥

α

pizr

Ppz

σ0

..3 −= ,

nQP

p00 ⋅=σ

1..0.. ,.4 HzzHzz teorizrteorizr ⇒≤⇒>

0P - pretpostavljena proporcija osnovnog skupa u odnosu na koju se vrši testiranje

00 1 PQ −=


1..0..

0.

..

0100

,.4

.3

1)(.2:/:.1

HzzHzz

Ppz

zzPPHPPH

teorizrteorizr

pizr

teorteor

⇒≥⇒<

−=

⇒−=Φ>≤

σ

α

Dvosmjerni test

1..0..

0.

21

2.

..

..

0100

,.4

.3

,

21)(

2)(

.2

:/:.1

HzzHzz

Ppz

zzzzz

zz

PPHPPH

teorizrteorizr

pizr

teor

teorteor

teorteor

⇒∉⇒∈

σ−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=Φ

⇒α

=Φ

≠=

α−

α

Pregled formula

240

Testiranje jednakosti proporcija dva osnovna skupa na bazi njihovih uzoraka

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=Φ

⇒α

=Φ

≠=

α−

α2

12

.

..

..

211210

,

21)(

2)(

.2

:/:.1

zzzzz

zz

PPHPPH

teor

teorteor

teorteor

1..0..

21

2211

21

21221.

,.4

1,

,.3

HzzHzz

pqnn

pnpnp

nn

nnqpS

S

ppz

teorizrteorizr

dpdp

izr

⇒∉⇒∈

−=+

⋅+⋅=

⋅

+⋅⋅=

−=

Neparametarski testovi

Testiranje hipoteze o rasporedu osnovnog skupa Poznati predpostavljeni parametri

:.1 0H Raspored osnovnog skupa je specifičnog oblika vezanog za konkretni teorijski raspored/ 01 : HH nije ispravna hipoteza

( )

12

.2

.02

.2

.

1

22

.

'2.

2.

2

,.4

.3

1,1)(.2 '

HH

fff

rmkP

teorizrteorizr

m

k kt

ktkizr

teorteork

⇒≥⇒<

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−−=⇒−=<

∑=

χχχχ

χ

χαχχ

r - broj parametara koji su procjenjeni iz empirijskih podataka m- broj modaliteta ili intervala

)( ktk ff - empirijske (teorijske) frekvencije

Testiranje jednakosti proporcija dva ili više osnovna skupa na bazi njihovih uzoraka

( )

12

.2

.02

.2

.

1

1

1

22

.

'

2.

2.

21

210

,.4

,,.3

)0(11

1)(.2

,1,:

/......:.1

'

HH

n

fppnf

fff

rmrmk

P

mkPPH

PPPPPH

teorizrteorizr

m

kk

m

kk

kkt

m

k kt

ktkizr

teorteork

k

mk

⇒≥⇒<

=⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

=−=−−=

⇒−=<

=≠∃

======

∑

∑∑

=

=

=

χχχχ

χ

χαχχ

m- broj uzoraka (broj osnovnih skupova)

kP - proporcija u k-tom osnovnom skupu

kn - veličina uzorka iz k-tog osnovnog skupa

)( ktk ff - empirijske (teorijske) frekvencije


241

Testiranje hipoteze o nezavisnosti modaliteta obilježja4 Ili testiranje nezavisnosti klasifikacije5

jiijjiij pppHpppH ..1..0 :/:.1 ⋅≠∃⋅=

( ) ( )

( )

12

.2

.02

.2

.

1 1

22

.

..

2...

..

.

''

2.

2.

2

,.4

,,.3

11

1)(.2 ''

HH

e

emn

nnpne

n

nnp

n

np

nn

p

crk

P

teorizrteorizr

r

i

c

j ij

ijijizr

jiijij

jiij

jj

ii

teorteork

⇒≥⇒<

−=

⋅=⋅=

⋅===

−⋅−=

⇒−=<

∑∑= =

χχχχ

χ

χαχχ

Za 12 '' =⇒== kcr i za 40fn koristimo Yates-ovu korekciju: od svake apsolutne razlike empirijskih i očekivanih frekvencija oduzmemo 0,5 i dobivenu vrijednost kvadriramo. Za ⇒≤ 20n Fisher-ov test nezavisnosti.

Test se koristi u slučaju 4020 ≤np i ako nijedna očekivana

vrijednost nema vrijednost nižu od 5.

.in - frekvencija marginalne kolone

jn. - frekvencija marginalne vrste

ijp - vjerovatnoća izbora elementa osnovnog skupa sa modalitetima obilježja ji BiA

.ip - vjerovatnoća izbora sa modalitetom iA

jp. - vjerovatnoća izbora sa modalitetom jB

jiij ppp .. ⋅= jer su ji BiA nezavisni

Koeficijent kontigencije Ako se kod testa nezavisnosti prihvati alternativna hipoteza 1H mjera zavisnosti je koeficijent kontigencije:

2.2

.

, 0 1izr

izr

C Cnχχ

= < <+

n- veličina uzorka veće ⇒C veća zavisnost modaliteta obilježja

za r

rCcr

1max

−=⇒=

za cr ≠ predhodno je teško izračunati.

4 Tabela kontigencije (mij=fij, ni.=fi., n.j=f.j)

modaliteti obilježja B modaliteti obilježja A B1 B2 ... Bj ... Bc

ukupno (∑)

A1 m11 m12 m1j m1c n1.

A2 m21 m22 m2j m2c n2. ... Ai mi1 mi2 mij mic ni. ... Ar mr1 mr2 mrj mrc nr.

ukupno (∑)

n.1 n.1 n.j n.c n

5 Na isti način se vrši testiranje homogenosti posmatranih skupova (umjesto razlika obilježja testira se razlika osnovnih skupova).

Pregled formula

242

Analiza varijanse Jednofaktorska analiza varijanse

:0H kontrolisani faktor ne utiče na varijabilitet obilježja (svi uzorci imaju iste aritmetičke sredine) /

:1H kontrolisani faktor sistemski utiče na varijabilitet obilježja (svi uzorci nemaju iste aritmetičke sredine)

Kako je ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )21

2

1

2

1

2

XXnXx

XXXxXx

ii

n

jiij

n

jiiij

n

jij

i

ii

−⋅+−=

=−+−=−

∑

∑∑

=

==

tada je

( ) ( ) 22

1

2

1 1

22Ar

k

iii

k

i

n

jiijt SSXXnXxS

i

+=−⋅+−= ∑∑∑== =

gdje je ( ) ∑∑∑== =

σ⋅=−=k

iii

k

i

n

jiijr nXxS

i

1

2

1 1

22 rezidualna

varijansa, ( )∑=

−⋅=k

iiiA XXnS

1

22 faktorijalna varijansa.

Brojevi stepena slobode su sljedeći: ( ) ( ) ( ).,1,1 222 kknSkSnkS rAt −⋅→−→−⋅→

Odgovarajuće ocjene varijansi su:

1

2

−=

nS

W tt - ovo je ocjena varijanse osnovnog skupa i

predstavlja rezultat kako fluktuacije uzorka tako i svih ostalih uzroka koji efektivno utiču na posmatrano obilježje.

1

2

−=

kS

W AA - ovo je ocjena varijanse sredine više grupa

uzoraka i predstavlja rezultat kako fluktuacije uzorka tako i diverziteta akcija k faktora. Zato se naziva faktorska varijansa.

knS

W rr −=

2

- ovo je ocjena varijanse osnovnog skupa sa

koga je eliminisan uticaj k faktora. Ona je proizvod samo fluktuacije uzorka i zato se zove rezidualna varijansa. Ako ne postoji razlika u dejstvu različitih k faktora na posmatrano obilježje, varijanse rA WW i treba da predstavljaju jednu istu varijansu i njihov količnik

2

2

1 r

A

r

A

SS

kkn

WW

F ⋅−−

== ne bi trebao značajno da se

razlikuje od 1.

Želimo da ispitamo uticaj k različitih nivoa faktora A: kAAA ,...,, 21 na jedno obilježje. Dakle, imamo k uzoraka pri čemu na elemente i-tog uzorka djeluje samo nivo faktora iA . Ako je broj elemenata u i-tom uzorku in i ako j-ti element i-tog uzorka označimo sa ijx , imamo sljedeće rezultate mjerenja:

k

i

knkk

inii

n

n

xxx

xxx

xxxxxx

...............

...............

...

...

21

21

22221

11211

2

1

Aritmetičke sredine i varijanse tih uzoraka su:

kixn

Xjn

jij

ii ,1,1

1=⋅= ∑

=

( ) kiXxn

jn

jiij

ii ,1,1

1

22 =−⋅= ∑=

σ Ako

sve te uzorke spojimo u jedan uzorak dobićemo jedan uzorak sa

∑=

=k

iinn

1elemenata sa aritmetičkom

sredinom ∑=

⋅⋅=k

iii Xn

nX

1

1 i

totalnom varijansom

( )∑∑= =

−=k

i

n

jijt

i

XxS1 1

22 .

Ako je nni)= za svaki uzorak (ili

svaki uzorak je iste veličine) onda je moguće pojednostaviti stvari:

nkS

n

SS

nkS

xS

k

ii

A

k

i

n

jijt

))

)

)

⋅−=

⋅−=

∑

∑∑

=

= =

21

2

2

1 1

222

)(

)(


243

Ako je tačna naša pretpostavka da svih k uzoraka pripadaju jednom istom normalno raspoređenom osnovnom skupu (nisu različite njihove aritmetičke sredine), tada će teoretska vrijednost za poređenje imati vrijednosti F rasporeda sa 11 −=ν k i kn −=2ν stepeni slobode i greškom prve vrste α i biće ti FF ≤ .

Izvor varijabi-liteta

Suma kvadrata odstupa-nja

Stepeni slobode

Ocjena varijanse

Fi

Između uzoraka

AS k-1 AW

Unutar uzoraka

rS n-k rW

Ukupno tS n-1

r

Ai W

WF =

222Atr SSS −=

pri čemu je: iS - zbir podataka u i-tom uzorku

S – zbir podataka u svim uzorcima

Višefaktorska analiza varijanse Imamo dvije nulte hipoteze: 1. :0H kontrolisani faktor A ne utiče na varijabilitet obilježja (svi uzorci imaju iste aritmetičke sredine) /

:1H kontrolisani faktor A sistemski utiče na varijabilitet obilježja (efekat barem jednog nivoa faktora A je različit od 0) 2. :0H kontrolisani faktor B ne utiče na varijabilitet obilježja (svi uzorci imaju iste aritmetičke sredine) /

:1H kontrolisani faktor B sistemski utiče na varijabilitet obilježja (efekat barem jednog nivoa faktora B je različit od 0). Analogno pojednostavljenom modelu u jednofaktorskoj varijansi:

( )2222

21

2

2

21

2

2

1 1

222

)(

)(

)(

BAt

s

jj

B

k

ii

A

k

i

s

jijt

SSSSsk

Sk

SS

skS

s

SS

skS

xS

r +−=⋅

−=

⋅−=

⋅−=

∑

∑

∑∑

=

=

= =

Želimo da ispitamo uticaj k različitih nivoa faktora A: kAAA ,...,, 21 i s različitih nivoa faktora B:

sBBB ,...,, 21 na jedno obilježje.

Pregled formula

244

Izvor varijabi-liteta

Suma kvadrata odstupa-nja

Stepeni slobode

Ocjena vari-janse

Fi

Faktor A AS k-1

AW Faktor B

BS s-1 BW

Greška rS ( )

( )11

−⋅−

sk

rW

Ukupno tS 1−⋅ sk

r

AiA W

WF =

r

BiB W

WF =

Ako je tačna naša pretpostavka da svih k uzoraka pripadaju jednom istom normalno raspoređenom osnovnom skupu (nisu različite njihove aritmetičke sredine) i da svih s uzoraka pripadaju jednom istom normalno raspoređenom osnovnom skupu (nisu različite njihove aritmetičke sredine), tada će teoretska vrijednost za poređenje imati vrijednosti F rasporeda sa

11 −=ν k i ( ) )1(12 −⋅−= skν stepeni slobode i greškom prve vrste α i sa 11 −= sν i

( ) )1(12 −⋅−= skν stepeni slobode i greškom prve vrste α i biće tBiA FF ≤ i tBiB FF ≤ . Signum test (test predznaka) Predpostavimo jednak broj elemenata u uzorcima 21 AiA

:.1 0H Oba slučajno izabrana uzorka pripadaju skupovima čiji su rasporedi identični/ 01 : HH -nulta hipoteza nije ispravna 2. niyxd iii ,1, =−= ako je H0 tačno 5,0)()( =>=>⇒ iiii yxPyxP to jeste: 5,0)0()0( =<=> ii dPdP Obrazujemo novu slučajnu promjenjivu

U: 0001 <⇔=>⇔= iiii duidu : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5,05,0

10:U .

Zbir ∑=

=n

iiuU

10 ima binomni raspored sa p=0,5.

Ako je H0 tačna ⇒očekivani broj pozitivnih razlika je

2n

pnU =⋅= sa standardnom greškom

( )2

1 nppnu =−⋅⋅=σ

n

n

yyyA

xxxA

,...,,:,...,,:

212

211 Između ovih

uzoraka postoji korespodencija. Parovi ( )ii yx , su međusobno nezavisni, te su i modaliteti promjenjive U međusobno nezavisni.


245

Ako je 30fn posmatrani binomni raspored aproksimiramo normalnim rasporedom:

1)(22

2..0. −Φ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅<− teorteorteor zz

nU

nzP

1..0..

0.

21

2.

..

..

,.52

2.4

,

21)(

2)(

.3

HzzHzz

nU

nz

zzzzz

zz

teorizrteorizr

izr

teor

teorteor

teorteor

⇒∉⇒∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒−=Φ

⇒=Φ

−ααα

α

ili 00 22Hn

znU

teor⇒⋅≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Test hipoteze o medijani osnovnog skupa za mali uzorak (binomni raspored) Jednosmjerni test na donju granicu

niMxd

pHpH

MMHMMH

eoii

eoeueoeu

,1,.2

5,0:/5,0::/:.1

10

10

=−=

<≥<≥

Element gdje je 0=id eliminišemo iz analize umanjujući veličinu uzorka. Za −⇒<+⇒> 0,0 ii dd

+=⇒= ccc ? Za α i binomni raspored

( ) ∑=

− ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤

⇒c

k

kkn

kn

ckP

nB

05,05,0

)5,0;(:

3. ( ) ( ) 10 , HckPHckP ⇒<≤⇒≥≤ αα

euM - medijana u uzorku

eoM - predpostavljena medijana u osnovnom skupu −c - broj elemenata sa -

+c - broj elemenata sa +


niMxd

pHpH

MMHMMH

eoii

eoeueoeu

,1,.2

5,0:/5,0::/:.1

10

10

=−=

>≤>≤


−=⇒= ccc ? Za α i binomni raspored

⇒)5,0;(: nB

Pregled formula

246

( ) ∑=

− ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤

c

k

kkn

kn

ckP0

5,05,0

3. ( ) ( ) 10 , HckPHckP ⇒<≤⇒≥≤ αα Dvosmjerni test

niMxd

pHpH

MMHMMH

eoii

eoeueoeu

,1,.2

5,0:/5,0::/:.1

10

10

=−=

≠=≠=


( )−+=⇒= cccc ,min? Za α i binomni raspored

( ) ∑=

− ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤

⇒c

k

kkn

kn

ckP

nB

05,05,0

)5,0;(:

3. ( ) ( ) 10 2,

2HckPHckP ⇒<≤⇒≥≤

αα

Test hipoteze o medijani osnovnog skupa za veliki uzorak (normalni raspored) Jednosmjerni test na donju granicu

niMxd

pHpH

MMHMMH

eoii

eoeueoeu

,1,.2

5,0:/5,0::/:.1

10

10

=−=

<≥≥ p


+=⇒= ccc ?

1..0..

2.

..

,.5

,5,0

5,0.4

)(.3

HzzHzz

nc

p

n

pz

zz

teorizrteorizr

izr

teorteor

⇒≤⇒>

=−

=

⇒=Φ

+

α


niMxd

pHpH

MMHMMH

eoii

eoeueoeu

,1,.2

5,0:/5,0::/:.1

10

10

=−=

>≤>≤

Element gdje je 0=id eliminišemo iz analize umanjujući veličinu uzorka.


247

Za −⇒<+⇒> 0,0 ii dd

_? ccc =⇒=

1..0..

2.

..

,.5

,5,0

5,0.4

1)(.3

HzzHzz

nc

p

n

pz

zz

teorizrteorizr

izr

teorteor

⇒≥⇒<

=−

=

⇒−=Φ

−

α

Dvosmjerni test

niMxd

pHpH

MMHMMH

eoii

eoeueoeu

,1,.2

5,0:/5,0::/:.1

10

10

=−=

≠=≠=


( )−+=⇒= cccc ,min?

1..0..

2.

21

2.

..

..

,.5

,5,0

5,0.4

,

21)(

2)(

.3

HzzHzz

nc

p

n

pz

zzzzz

zz

teorizrteorizr

izr

teor

teorteor

teorteor

⇒∉⇒∈

=−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=Φ

⇒α

=Φα

−α

Wilcoxon-ov test ranga sa predznakom za mali uzorak

niMxd eoii ,1, =−= Element gdje je 0=id eliminišemo iz analize umanjujući veličinu uzorka. Nađemo id i rangiramo ih (od najmanje do najveće). Tada rangovima pridružimo odgovarajući rang za id .

−T - zbir rangova sa negativnim predznakom

+T - zbir rangova sa pozitivnim predznakom

Jednosmjerni test na donju granicu

+=<≥

TT

MMHMMH

izr

eoeueoeu

.

10

.2:/:.1

3.za α i n iz odgovarajuće tablice .teorT⇒

1..0.. ,.4 HTTHTT teorizrteorizr ⇒≤⇒>

Pregled formula

248


−=>≤

TT

MMHMMH

izr

eoeueoeu

.

10

.2:/:.1



Dvosmjerni test

( )−+=≠=

TTT

MMHMMH

izr

eoeueoeu

,min.2:/:.1

.

10



Wilcoxon-ov test ranga sa predznakom za veliki uzorak

Tizr

TETz

σ−

=)(

.

( ) ( ) )12(1241,1

41)( +⋅⋅+⋅⋅=σ⋅+⋅= nnnnnTE T


1..0..

.

..

10

,.4.3

)(.2:/:.1

HzzHzz

zTT

zzMMHMMH

teorizrteorizr

izr

teorteor

eoeueoeu

⇒≤⇒>⇒=

⇒=Φ<≥

+

α


1..0..

.

..

10

,.4.3

1)(.2:/:.1

HzzHzz

zTT

zzMMHMMH

teorizrteorizr

izr

teorteor

eoeueoeu

⇒≥⇒<⇒=

⇒−=Φ>≤

−

α

Dvosmjerni test

1..0..

.

21

2.

..

..

10

,.4),min(.3

,

21)(

2)(

.2

:/:.1

HzzHzz

zTTT

zzzzz

zz

MMHMMH

teorizrteorizr

izr

teor

teorteor

teorteor

eoeueoeu

⇒∉⇒∈⇒=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=Φ

⇒α

=Φ

≠=

−+

α−

α


249

Wilcoxson-ov test na bazi ekvivalentnih parova za mali uzorak Imamo uzorke sa istim brojem elemenata:

( )ii yxniYiX ,,1, ⇒= iii yxh −=⇒ Za ⇒= 0ih eliminacija i smanjuje se n. Nađemo ih i rangiramo ih (od najmanje do najveće). Tada rangovima pridružimo odgovarajući rang za ih .

−T - zbir rangova sa negativnim predznakom

+T - zbir rangova sa pozitivnim predznakom


+=<≥

TT

MHMH

izr

eDeD

.

10

.20:/0:.1



21 eeeD MMM −= - razlika medijana osnovnih skupova iz kojih su uzeti ti uzorci


−=>≤

TT

MHMH

izr

eDeD

.

10

.20:/0:.1



Dvosmjerni test

( )−+=≠=

TTT

MHMH

izr

eDeD

,min.20:/0:.1

.

10



Wilcoxson-ov test na bazi ekvivalentnih parova za veliki uzorak

Tizr

TETz

σ−+

=)()5,0(

.

( ) ( ) )12(1241,1

41)( +⋅⋅+⋅⋅=σ⋅+⋅= nnnnnTE T


1..0..

.

..

10

,.4.3

)(.20:/0:.1

HzzHzz

zTT

zzMHMH

teorizrteorizr

izr

teorteor

eDeD

⇒≤⇒>⇒=

⇒=Φ<≥

+

α

Pregled formula

250


0 1

. .

.

. . 0 . . 1

1. : 0 / : 02. ( ) 13.4. ,

eD eD

teor teor

izr

izr teor izr teor

H M H M

z z

T T z

z z H z z H

α

−

≤ >Φ = − ⇒= ⇒< ⇒ ≥ ⇒

Dvosmjerni test

1..0..

.

21

2.

..

..

10

,.4),min(.3

,

21)(

2)(

.2

0:/0:.1

HzzHzz

zTTT

zzzzz

zz

MHMH

teorizrteorizr

izr

teor

teorteor

teorteor

eDeD

⇒∉⇒∈⇒=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=Φ

⇒α

=Φ

≠=

−+

α−

α

Mann-Whitney-Wilcoxson-ov test za nezavisne uzorke (MWW test, test sume rangova) za 1 2 10n n∧ < Uzorci su iz dva osnovna skupa. Testiramo da li su funkcije rasporeda ta dva osnovna skupa identične.

1 2 10n n∧ < , 21 nn ≤ Uzmemo uniju elemenata oba uzorka sa 21 nn + elemenata i rangiramo (najviši ima rang 21 nn + , dok najniži ima rang 1).

1T - zbir rangova elemenata prvog uzorka Na bazi UL TnniTnn ⇒α⇒α ,,,, 2221 (iz odgovarajuće tablice)


0 1

.

. 1

. . 0 . . 1

1. : 0 / : 02.3.4. ,

eD eD

teor L

izr

izr teor izr teor

H M H M

T T

T T

T T H T T H

≥ <==> ⇒ ≤ ⇒


0 1

.

. 1

. . 0 . . 1

1. : 0 / : 02.3.4. ,

eD eD

teor U

izr

izr teor izr teor

H M H M

T T

T T

T T H T T H

≤ <==< ⇒ ≥ ⇒


251

Dvosmjerni test

1..0..

1.

.

10

,.4.3

),(.20:/0:.1

HTTHTT

TT

TTTMHMH

teorizrteorizr

izr

ULteor

eDeD

⇒∉⇒∈=∈

≠=

Mann-Whitney-Wilcoxson-ov test za nezavisne uzorke (MWW test, test sume rangova) za 1 2 10n n∧ >

1

)( 11.

Tizr

TETz

σ−

=

( )

( )1121

121)(

2121

1211

1++⋅⋅⋅=σ

⋅++⋅=

nnnn

nnnTE

T


0 1

. .

.

. . 0 . . 1

1. : 0 / : 02. ( )3.4. ,

eD eD

teor teor

izr

izr teor izr teor

H M H M

z z

z

z z H z z H

α≥ <

Φ = ⇒

> ⇒ ≤ ⇒


0 1

. .

.

. . 0 . . 1

1. : 0 / : 02. ( ) 13.4. ,

eD eD

teor teor

izr

izr teor izr teor

H M H M

z z

z

z z H z z H

α≤ <

Φ = − ⇒

< ⇒ ≥ ⇒

Dvosmjerni test

1..0..

.

21

2.

..

..

10

,.4.3

,

21)(

2)(

.2

0:/0:.1

HzzHzz

z

zzzzz

zz

MHMH

teorizrteorizr

izr

teor

teorteor

teorteor

eDeD

⇒∉⇒∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒α

−=Φ

⇒α

=Φ

≠=

α−

α

Pregled formula

252

REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA DVODIMENZIONALNA (PROSTA) REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA Nacrtamo oblak rasipanja i odredimo koji oblik veze najbolje odgovara (linearna, parabolična, stepena ili eksponencijalna veza). Linearna veza

ii xbay ⋅+=ˆ Izračunavanje parametara:

I način:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅+⋅=⋅

⋅+⋅=

∑∑∑

∑∑

===

==

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

xbxayx

xbNay

1

2

11

11

II način:

( ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−⋅=σ

⋅−⋅⋅=

⋅=⋅=

σ=

⋅−=

∑

∑

∑∑

=

=

==

N

iix

N

iiixy

N

ii

N

ii

x

xy

XxN

YXyxN

Cov

xN

XyN

Y

Covb

XbYa

1

22

1

11

2

1

1

1,1

( )

( ) ( )∑∑

∑

==

=

−⋅=−⋅=

−⋅=+=

N

iiy

N

iiiy

N

iiyyyy

YyN

SyyN

S

YyN

SS

1

22ˆ

1

22

1

222ˆ

22

ˆ1,ˆ1

1, σσ

2

2

2

2ˆ2 1

y

y

y

y SSσσ

ρ −==

Specijalno za linearnu vezu : 22

222

yx

xyCovr

σ⋅σ=ρ=

ix - empirijska vrijednost nezavisne

promjenjive za i-ti objekat, Ni ,1=

iy - empirijska vrijednost zavisne

promjenjive za i-ti objekat, Ni ,1= y - izračunata (ocjenjena) vrijednost zavisne promjenjive za i-ti objekat,

Ni ,1=

xyCov - kovarijansa između X i Y, mjera slaganja Interpretacija parametara:

byxb

ayxa

ii

ii

=⇒==⇒=

ΔΔ ˆ1:ˆ0:

2yS - neobjašnjeni varijabilitet Y-a 2�yS - objašnjeni varijabititet Y-a 2ρ - 2r - koeficijent determinacije -

jačina veze 2ρ=ρ - 2rr = - koeficijent

korelacije

Parabolična veza

2ˆ iii xcxbay ⋅+⋅+= Izračunavanje parametara:

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

====

====

===

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅+⋅+⋅=

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

xcxbxayx

xcxbxayx

xcxbNay

1

4

1

3

1

2

1

2

1

3

1

2

11

1

2

11

y


253

( )

( ) ( )∑∑

∑

==

=

−⋅=−⋅=

−⋅=+=

N

iiy

N

iiiy

N

iiyyyy

YyN

SyyN

S

YyN

SS

1

22ˆ

1

22

1

222ˆ

22

ˆ1,ˆ1

1, σσ

2

2

2

2ˆ2 1

y

y

y

y SSσσ

ρ −==

Stepena veza

ji

N

iiu

N

iiiuv

N

ii

N

ii

u

uv

jj

ijij

iibii

vtamantilogariyAtamantilogaria

UuN

VUvuN

Cov

uN

UvN

V

CovbUbVA

vezalinearnaubAv

aAxuyv

xbayxay

ˆˆ,

1,1

1,1

,

:ˆlog,log,ˆlogˆ:Smjene

loglogˆlogˆ

2

1

22

1

11

2

==

−⋅=⋅−⋅⋅=

⋅=⋅=

=⋅−=

⇒⋅+=⇒

⇒===⋅+=⇒⋅=

∑∑

∑∑

==

==

σ

σ

( )

( ) ( )∑∑

∑∑

==

==

−⋅=−⋅=

⋅=−⋅=+=

N

iiy

N

iiiy

N

ii

N

iiyyyy

YyN

SyyN

S

yN

YYyN

SS

1

22ˆ

1

22

11

222ˆ

22

ˆ1,ˆ1

1,1, σσ

2

2

2

2ˆ2 1

y

y

y

y SSσσ

ρ −==

Eksponencijalna veza

ji

N

iix

N

iiixv

N

ii

N

ii

x

xv

jj

ij

iix

i

vtamantilogariyBtamantilogaribAtamantilogaria

XxN

VXvxN

Cov

xN

XvN

V

CovbXBVA

vezalinearnaxBAv

bBaAyv

bxaybay i

ˆˆ,

1,1

1,1

,

:ˆlog,log,ˆlogˆ:Smjene

loglogˆlogˆ

2

1

22

1

11

2

===

−⋅=⋅−⋅⋅=

⋅=⋅=

=⋅−=

⇒⋅+=⇒

⇒===⋅+=⇒⋅=

∑∑

∑∑

==

==

σ

σ

Pregled formula

254

( )

( ) ( )∑∑

∑ ∑

==

= =

−⋅=−⋅=

⋅=−⋅=+=

N

iiy

N

iiiy

N

i

N

iiiyyyy

YyN

SyyN

S

yN

YYyN

SS

1

22ˆ

1

22

1 1

222ˆ

22

ˆ1,ˆ1

1,1, σσ

2

2

2

2ˆ2 1

y

y

y

y SSσσ

ρ −==

Korigovani koeficijent determinacije

( ) 2222,1

211 ρ≤ρρ−⋅

−−

−=ρNN Ako je korigovani koeficijent

determinacije manji od 0 ne koristi se.

Korelacija ranga

ii yxi

N

ii

xy rrdNN

d−=

−

⋅−=ρ

∑= ,

61 3

1 ixr - rang za ix

iyr - rang za iy

MULTIPLA (VIŠESTRUKA) REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA Skup N objekata: { } { }NeOOOOO eNe ,1/,...,, 21 ==∈ Skup M obilježja:

{ } { }MiXXXXX iMi ,1/,...,, 21 ==∈

ieX - vrijednost i-tog obilježja kod e-tog objekta

Matrica empirijskih podataka

[ ] =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== ×

M

iNMie

X

X

X

XX...

...1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

MNMeM

iNiei

Ne

XXX

XXX

XXX

.....................

.....................

......

1

1

1111

iX -aritmetička sredina i-tog obilježja

iσ - standardna devijacija i-tog obilježja

ijCov - kovarijansa (slaganje varijabiliteta )i-tog i j-tog obilježja

ijr -objašnjava jačinu veze i-tog i j-tog obilježja (njihovih varijabiliteta) ako ne isključimo već zanemarimo uticaj k-te i ostalih (M-3) obilježja (ako to posmatramo kao prostu korelaciju ta dva obilježja zaboravljajući postojanje ostalih obilježja)


255

( )

( )

Mji

rCov

r

XXXXN

Cov

XXN

XN

X

XfX

jiji

ijij

ji

N

ejeieij

i

N

eiei

N

eiei

ij

,1,

1

1

1)(

1

2

1

22

1

=

=σ⋅σ

=

⋅−⋅⋅=

−⋅=σ

⋅=

=

∑

∑

∑

=

=

=

Standardizacija empirijskih podataka

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

==σ−

=

MNMeM

iNiei

Ne

ie

i

iieie

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZ

MjiNeXX

Z

.....................

.....................

......

,1,,,1,

1

1

1111

( )

jiji

ijij

N

ejeieij

i

N

eiei

N

eiei

ij

rCov

r

ZZN

Cov

ZZN

ZN

Z

ZfZ

=σ⋅σ

=

⋅⋅=

=−⋅=σ

=⋅=

=

⇒

∑

∑

∑

=

=

=

1

2

1

22

1

1

11

01)(

jiij

jiji

rr

ZZKorXXKor

==

== ),(),(

Matrica linearnih korelacija

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==×

MMMjM

iMiji

Mj

MMij

rrr

rrr

rrr

rR

.....................

.....................

......

1

1

1111

T

MjM

iMiji

Mj

R

rr

rrr

rr

R =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1.....................

.....................

......1

1

1

11

1== jjii rr

Pregled formula

256

Matrica kofaktora

T

MMMjM

iMiji

Mj

R

RRR

RRR

RRR

R *

1

1

1111

*

.....................

.....................

......

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ijM - minor (isključimo i-ti red i j-tu kolonu)

( ) ijji

ij MR ⋅−= +1 - kofaktor

Parcijalna korelacija

MkjiRR

Rr

jjii

ijkij ,1,,,.... =

⋅

−= ....kijr -objašnjava jačinu veze i-tog i

j-tog obilježja (njihovih varijabiliteta) ako isključimo uticaj k-te i ostalih (M-3) obilježja.

Mulipla (višestruka) determinacija

iiiikji M

R

R

RR −=−= 112

,...),(

2,...),.( kjiR - objašnjava kako je

promjena varijabiliteta i-tog obilježja objašnjena promjenama varijabiliteta ostalih (M-1) obilježja

iiii MR = jer je iii ⋅=+ 2 parno Trodimenzionalna regresija

( ){ }eee

eeee

XbXbaX

NeXXXX

32.1323.1211

3211

ˆ,1/,,/ˆ

⋅+⋅+=

=

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅= ∑

=

N

eee XX

NS

1

2

11223.1

ˆ1minmin

223

231213

3

12.13

223

231312

2

13.12

32.1323.1211

1

1

rrrr

b

rrrr

b

XbXbXa

−⋅−

⋅=

−⋅−

⋅=

⋅−⋅−=

σσσσ

( ){ }eee

eeee

XbXbaX

NeXXXX

31.2313.2122

3212

ˆ,1/,,/ˆ

⋅+⋅+=

=

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅= ∑

=

N

eee XX

NS

1

2

222

13.2ˆ1minmin

213

131223

3

21.23

213

231312

1

23.21

31.2313.2122

1

1

rrrr

b

rrrr

b

XbXbXa

−⋅−

⋅=

−⋅−

⋅=

⋅−⋅−=

σσσσ

2.131

322.13

3.121

323.12

11

321

10:

01:

ˆ00:

bXXXb

bX

XXbaX

XXa

e

ee

e

ee

e

ee

=Δ⇒⇒=Δ∧=Δ

=Δ⇒⇒=Δ∧=Δ

=⇒

⇒=∧=

1.232

311.23

3.212

313.21

22

312

10:

01:

ˆ00:

bXXXb

bX

XXb

aX

XXa

e

ee

e

ee

e

ee

=Δ⇒⇒=Δ∧=Δ

=Δ⇒⇒=Δ∧=Δ

=⇒

⇒=∧=


257

( ){ }eee

eeee

XbXbaX

NeXXXX

21.3212.3133

3213

ˆ,1/,,/ˆ

⋅+⋅+=

=

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅= ∑

=

N

eee XX

NS

1

2

332

12.3ˆ1minmin

212

131223

2

31.32

212

231231

1

32.31

21.3212.3133

1

1

rrrr

b

rrrr

b

XbXbXa

−⋅−

⋅=

−⋅−

⋅=

⋅−⋅−=

σσσσ 1.323

211.32

2.313

212.31

33

213

10:

01:

ˆ00:

bXXXb

bX

XXb

aX

XXa

e

ee

e

ee

e

ee

=Δ⇒⇒=Δ∧=Δ

=Δ⇒⇒=Δ∧=Δ

=⇒

⇒=∧=

Parcijalne korelacije u slučaju tri obilježja

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )213

212

1312231.232

232

12

2312132.13

223

213

2313123.12

11,

11

11

rr

rrrr

rr

rrrr

rr

rrrr

−⋅−

⋅−=

−⋅−

⋅−=

−⋅−

⋅−=

Multiple determinacije u slučaju tri obilježja

23

212.32

12.322

213.22

13.2

21

223.12

23.1

1,1

1

σ−=

σ−=

σ−=

SR

SR

SR

to jeste, uopšteno za slučaj tri varijable:

2

2.2

. 1i

jkijki

SR

σ−=

ili preko koeficijenata korelacije:

212

1223132

232

13212.3

213

1323122

232

12213.2

223

2313122

132

12223.1

12

12

12

rrrrrr

R

rrrrrr

R

rrrrrr

R

−⋅⋅⋅−+

=

−⋅⋅⋅−+

=

−⋅⋅⋅−+

=

to jeste, uopšteno za slučaj tri varijable:

2

222. 1

2

jk

jkikijikijjki r

rrrrrR

−

⋅⋅⋅−+=

ili preko matrice kofaktora kako je već objašnjeno:

iiiijki M

R

R

RR −=−= 112

.

Pregled formula

258

DINAMIČKA ANALIZA INDIVIDUALNI INDEKSNI BROJEVI Srednji apsolutni prirast

NiyyyyN

SAPN

iiiii ,1,,

11

21 =−=⋅

−= ∑

=−ΔΔ iy - nivo pojave u posmatranoj i-toj

vremenskoj jedinici (najčešće godini) u periodu sa N takvih vremenskih jedinica

Bazni indeksi

Niyy

I ii ,1,100

0

=⋅= 0y - nivo pojave u baznoj 0-toj vremenskoj jedinici

Lančani indeksi

Niyy

Li

ii ,2,100

1

=⋅=−

Veza između baznih i lančanih indeksa

100,100,100 1

11 ⋅=⋅=

⋅=

−−

−

i

ii

i

ii

iii I

IL

LI

IIL

I

Poznati individualni indeksi, kako odrediti nivoe pojave

100,100,

1000

11 yI

yLy

yyL

y ii

i

ii

iii

⋅=⋅=

⋅= −

−

Srednji indeks razvoja

( ) 100loglog1

1

log1

11

1

2

2

⋅⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

−=

−=

∑

∑

=

=

yyN

tamantilogari

LN

tamantilogariL

N

LL

N

N

iig

N

ii

Srednja stopa razvoja

( )

1001loglog2

1001loglog2

1001

100100

1

1

2

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+=

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+=

=−=−

−=−=∑=

NII

tamantilogari

Nyy

tamantilogari

LSN

LLS

N

N

gg

N

ii

a

Dinamička analiza

259

Odrediti godinu u kojoj će pojava dostići zadani nivo

( )1log log 1

log 1N

g

y yN

S−

= ++

zadani nivo ( Ny ) u odnosu na poznati nivo početne godine ( 1y )

Individualni indeks vrijednosti za proizvod j

100100000

⋅⋅⋅

=⋅=qpqp

WW

I iiiW

),( iii qpW - vrijednost (cijena, količina) proizvoda j u tekućem i-tom periodu

),( 000 qpW - vrijednost (cijena, količina) proizvoda j u baznom 0-tom periodu

GRUPNI INDEKSI Grupni indeks vrijednosti za m proizvoda

100100

100

1

10

1 ⋅⋅

⋅=⋅=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=m

jjj

m

jijij

m

jj

m

jij

W

qp

qp

W

WI

Grupni indeksi fizičkog obima proizvodnje Metoda prosjeka - ponder iz baznog perioda - po

Laspeyres-u: 100

10

10

0),( ⋅

⋅

=

∑

∑

=

=

m

jj

m

jj

j

ij

Lmpq

W

Wq

q

I

Metoda prosjeka - ponder iz tekućeg perioda - po

Paache-u: 100

1

0

1),( ⋅

⋅=

∑

∑

=

=

m

jij

ij

j

m

jij

Pmpq

Wq

q

WI

Metoda agregata - ponder iz baznog perioda - po

Laspeyres-u: 100

100

10

),( ⋅⋅

⋅=

∑

∑

=

=m

jjj

m

jjij

Lmaq

pq

pqI

Metoda agregata - ponder iz tekućeg perioda - po

Paache-u: 100

10

1),( ⋅

⋅

⋅=

∑

∑

=

=m

jijj

m

jijij

Pmaq

pq

pqI

Pregled formula

260

Fisher-ov idealni indeks količina:

)()()( PqFqFq III ⋅=

Marshal - Edgworth-ov indeks količina:

( )

( )100

100

10

)( ⋅+⋅

+⋅=

∑

∑

=

=m

jijjj

m

jijjij

MEq

ppq

ppqI

Grupni indeksi cijena Metoda prosjeka - ponder iz baznog perioda - po

Laspeyres-u: 100

10

10

0),( ⋅

⋅

=

∑

∑

=

=

m

jj

m

jj

j

ij

Lmpp

W

Wp

p

I

Metoda prosjeka - ponder iz tekućeg perioda - po

Paache-u: 100

1

0

1),( ⋅

⋅=

∑

∑

=

=

m

jij

ij

j

m

jij

Pmpp

Wp

p

WI

Metoda agregata - ponder iz baznog perioda - po

Laspeyres-u: 100

100

10

),( ⋅⋅

⋅=

∑

∑

=

=m

jjj

m

jijj

Lmap

pq

pqI

Metoda agregata - ponder iz tekućeg perioda - po

Paache-u: 100

10

1),( ⋅

⋅

⋅=

∑

∑

=

=m

jjij

m

jijij

Pmap

pq

pqI

Fisher-ov idealni indeks cijena:

)()()( PpFpFp III ⋅=

Marshal - Edgworth-ov indeks cijena:

( )

( )100

100

10

)( ⋅+⋅

+⋅=

∑

∑

=

=m

jijjj

m

jijjij

MEp

qqp

qqpI

Dinamička analiza

261

Naći grupni indeks vrijednosti preko grupnih indeksa cijena i količina

100)()( PpLq

W

III

⋅=

100)()( LpPq

W

III

⋅=

ODREĐIVANJE DUGOROČNE TENDENCIJE POJAVE - TRENDA Grafičko određivanje trenda - metod pokretnih sredina

24

3

1,,12111,

11

+−++−+

+−

+=⇒

+++=

++=

iiiii

iiiiii

iiii

yyy

yyyyy

yyyy

Računsko određivanje trenda - metoda najmanjih kvadrata - linearni trend

iiti xbaxftfy ⋅+=== )()(

2

11

2

111

11 ,,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅

⋅−⋅⋅=

==⋅−=

∑∑

∑∑∑

∑∑

==

===

==

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

xxN

yxyxNb

N

xx

N

yyxbya

Ako postignemo da je 01

=∑=

N

iix tada možemo

primjeniti skraćeni metod:

∑

∑∑

=

==

⋅=== N

ii

N

iii

N

ii

x

yxb

N

yyya

1

2

11,

( )∑=

−⋅=N

itii yy

NS

1

22 1

)( tii yy - originalni (trendom ocjenjeni) nivo pojave u i-toj vremenskoj jedinici (najčešće godini)a - početni nivo pojave 0=ix b - apsolutni prirast pojave u toku jedne vremenske jedinice (najčešće godine) S - standardna greška

Transformacija parametara sa godišnjeg na mjesečni i kvartalni nivo

Mjesečni trend: 144

',12

'

''b

ba

a

xbay iti

==

⋅+=

Kvartalni trend: 16

'',4

''

''''b

ba

a

xbay iti

==

⋅+=

ako su a i b parametri na godišnjem nivou.

Pregled formula

262

Računsko određivanje trenda - metoda najmanjih kvadrata - parabolični trend

cba

xcxbxayx

xcxbxayx

xcxbNay

xcxbaxftfy

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

iiiti

,,

)()(

1

4

1

3

1

2

1

2

1

3

1

2

11

1

2

11

2

⇒

⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅+⋅+⋅=⋅

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+===

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

====

====

===


=∑=

N

iix tada možemo


N

yy

N

xcya

N

ii

N

ii ∑∑

== =⋅−= 11

2

,

2

1

2

1

4

11

2

1

2

1

2

1 ,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅

⋅−⋅⋅=

⋅=

∑∑

∑∑∑

∑

∑

==

===

=

=

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

iii

xxN

yxyxNc

x

yxb

( )∑=

−⋅=N

itii yy

NS

1

22 1

Računsko određivanje trenda - metoda najmanjih kvadrata – eksponencijalni trend

B tamantilogaribAtamantilogaria

xBxAyx

xBNAy

bBaAxBAy

baxftfy

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

iti

xiti

i

==

⋅+⋅=⋅

⋅+⋅=

==⋅+=⋅===

∑∑∑

∑∑

===

==

,

log

log

log,log,log)()(

1

2

11

11


=∑=

N

iix tada možemo


⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑=

N

ytamantilogaria

N

ii

1log

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

=

∑

∑

=

=N

ii

N

iii

x

yxtamantilogarib

1

2

1log

a - početni nivo pojave 0=ix b ·100% - srednji tempo rasta b ·100% -100% - stopa rasta pojave

1b < ⇒ opadajući trend 1b > ⇒ rastući trend

Dinamička analiza

263

Isključenje trenda

100 100i

ti

yy⋅ < ⇒ pod uticajem rezidijuma6 pojava je

bila ispod prosjeka

⇒=⋅ 100100ti

i

yy

pod uticajem rezidijuma pojava je

bila u prosjeku neizmjenjena

100 100i

ti

yy⋅ > ⇒ pod uticajem rezidijuma pojava je

bila iznad prosjeka

SEZONSKE VARIJACIJE Metoda odnosa prema opštem prosjeku

1. nađemo prosjek po kvartalu (mjesecu) - N

yy

N

iij

j

∑== 1

2. nađemo opšti prosjek - 1

1

1

N

yy

N

jj∑

==

3. sezonski indeks po kvartalu (mjesecu) -

100⋅=y

yS j

j

i - oznaka za godinu j - oznaka za kvartal (mjesec)

ijy - nivo pojave u j-tom kvartalu (mjesecu) i-te godine N - broj godina

1N - broj kvartala (mjeseci) - 4 (12)

Metoda odnosa prema trendu 1. izračunamo trend na kvartalnom ili mjesečnom nivou na bazi godišnjeg trenda (tranformacijom) - tijy'

2. 100''⋅=

tij

ijij y

yS - izolujemo kvartalni (mjesečni)

trend, pa nađemo sezonske indekse 3. računamo sezonske indekse -prosjek po kvartalima (mjesecima) i eliminišemo cikličnu i neregularnu

komponentu - N

SS

N

iij

j

∑== 1

Ako je 11

1

NSN

jj ≠∑

=

moramo

primjeniti korektivni faktor

∑=

=1

1

1N

jjS

Nk , pa je jj SkS ⋅=' .

6 Rezidijum sačinjavaju sezonska, ciklična i neregularna komponenta. Rezidijum i trend su djelovi jedne vremenske serije, tako da kada isključimo uticaj trenda dobivamo uticaj rezidijuma i obratno.

Pregled formula

264

Metoda primjene lančanih indeksa 1. iz originalnih podataka izračunamo lančane indekse

-1−

=ji

ijij y

yL

2. nađemo prosjeke lančanih indeksa po kvartalima

(mjesecima) - 1

1

−=∑=

N

LL

N

iij

j (preko aritmetičke sredine

ili medijane, ali za ,medijanu treba rastući niz) 3. preračunamo lančane indekse u bazne indekse -

jjj LII ⋅= −1

4. nađemo prosječan bazni indeks - 1

1

1

N

II

N

j

j∑==

5. I

IS j

i = - odredimo sezonski indeks

Metoda odnosa prema pokretnim sredinama 1. računamo trend metodom pokretnih prosjeka - tijy'

2. isključimo trend - tij

ijij y

yS

''

=

3. računamo sezonske indekse - prosjek po kvartalima (mjesecima) i eliminišemo cikličnu i neregularnu

komponentu - N

SS

N

iij

j

∑== 1

Ako je 11

1

NSN

jj ≠∑

=

moramo

primjeniti korektivni faktor

∑=

=1

1

1N

jjS

Nk , pa je jj SkS ⋅=' .

Desezoniranje vremenske serije zadane u kvartalima ili mjesecima

ij

ij

S

y'

Isključenje trenda kod vremenske serije zadane u kvartalima ili mjesecima

tij

ij

ij

y

S

y

'

'

Dinamička analiza

265

RAZLIČITE MOGUĆNOSTI ZA DISTRIBUCIJE PREMA MJERAMA ASIMETRIJE I SPLJOŠTENOSTI

• simetrija i normalna spljoštenost ( 3 40 3α α= ∧ = )

• simetrija i izduženost ( 3 40 3α α= ∧ > )

• simetrija i spljoštenost ( 3 40 3α α= ∧ < )

• lijeva asimetrija i normalna spljoštenost ( 3 40 3α α< ∧ = )

• lijeva asimetrija i spljoštenost ( 3 40 3α α< ∧ < )

• lijeva asimetrija i izduženost ( 3 40 3α α< ∧ > )

• desna asimetrija i normalna spljoštenost ( 3 40 3α α> ∧ = )

• desna asimetrija i spljoštenost ( 3 40 3α α> ∧ < )

• desna asimetrija i izduženost ( 3 40 3α α> ∧ > )

Statističke tablice


269

TABLICA I – SLUČAJNI BROJEVI*

7766 7520 1607 6048 2771 4733 8558 8681 5204 3806 9627 5293 3569 0457 4426 2857 3666 9156 6931 6157 4594 2563 6826 8102 2543 4032 6897 2012 0945 9709 6668 4104 4018 4544 8117 7664 5270 3014 0420 4232 8874 0822 0949 8697 7550 4154 9697 9045 4916 1235

8009 5708 7072 8045 8451 5777 1613 0399 2069 7909 7271 5633 6025 0745 9804 3333 7160 5150 7743 5221 6450 6850 0602 9518 2275 9221 6441 8899 4640 7742 0598 0564 9655 3988 5620 3286 6319 6392 5743 1111 6546 4417 4453 5125 1356 6011 5965 9253 1486 7503

2806 6217 4278 3170 1526 1746 9731 9289 7667 5209 6901 9464 9302 6401 8049 3653 8101 4498 8558 6238 3625 0749 5025 7327 3984 1635 5963 0970 7357 2033 2222 9942 1706 2907 6304 8022 7972 7852 6242 6269 7224 3014 3943 5982 4052 4243 5306 1530 7537 3233

7160 6043 0767 0230 6082 3637 4556 6654 8972 9697 7965 7435 3397 9741 6207 2297 6491 7961 0243 6897 6708 0600 2765 1911 0813 2268 3554 7976 4102 0414 4159 6804 3838 4255 9664 7044 3067 6720 7416 4748 6592 1846 2269 9136 7107 0676 9782 8016 2715 3932

2805 7999 3743 1655 7812 7223 0954 4397 7427 9120 9501 0400 8056 4148 5585 7497 7421 0640 6695 6127 3346 6596 1997 9417 0164 9718 5671 9765 7091 1920 4447 3427 6134 9130 4763 2301 2892 4251 4491 5772 0610 4363 0705 0969 4684 4202 5274 6660 0468 1814

2131 4792 1418 0080 9763 7306 0167 9688 6959 2250 9569 9413 5681 9632 8505 8948 6475 2934 6046 9640 1412 7690 5615 1776 8568 7209 9907 3541 8847 8752 5064 7408 1951 1033 7817 2626 2441 3795 3275 1319 4193 2082 0412 5519 4108 3333 5546 0177 9345 5269

6414 5111 4003 3695 2976 4939 7555 7374 2913 2705 2672 8616 7005 5736 0172 7472 2033 6308 8779 1270 0758 3869 9288 2397 6264 8352 8617 7869 2459 8591 4502 2535 2434 5018 1202 9081 2674 2467 2532 9689 4823 3965 2801 6179 8592 6763 6567 1016 5801 9288

3011 0939 7162 4443 3849 9142 2922 9191 6029 7631 6611 9238 2160 9339 8177 2180 3905 2977 9234 3434 0378 8311 0623 4299 2335 7044 5855 0186 5895 5642 9905 4972 6907 5633 6548 3412 8469 0559 8878 8671 9424 4750 8325 3871 1831 7268 1863 9963 1905 7484

7004 3469 1159 4841 8681 8751 9214 1145 4394 1160 5658 2963 5798 4691 8653 7427 7826 9971 2622 9886 9327 2129 3459 1165 1011 4805 1821 7999 2136 9308 1161 2217 1197 3906 5304 4087 6766 3063 1747 3836 6002 3340 3648 3765 1565 8483 6353 8232 4942 5721

4311 3087 1756 6612 3277 1269 6573 3096 0898 1103 5237 1667 5941 2504 6213 5797 9326 3079 8796 4220 0163 7150 0894 9009 7858 4812 7678 0835 8447 1524 0437 7497 0187 4907 2202 2318 5339 3290 4342 9375 0974 9130 4974 9757 8802 8514 6564 5485 0793 5675

* Tablice preuzete iz knjige "Statistika", Lučić B., Ekonomski fakultet Sarajevo, 1996.


270

3754 7829 9473 8264 8502 0364 5146 0609 4708 5229 9278 1828 8171 8788 3821 0923 8249 8431 6516 0911 9152 6396 7516 2959 4988 0943 6070 8342 5643 7476 0306 8452 1326 8892 2571 4860 1097 4843 0248 5283 1775 3205 8496 0201 6864 3375 0599 7516 8592 9823

4448 1897 3406 1429 8153 3408 1136 9173 9582 2866 3406 4332 0083 1241 5107 0912 8257 4015 5933 5520 4869 7491 5786 3633 9450 4572 6046 7844 2536 9502 5042 6524 1138 4001 6957 7220 8715 5082 8909 2384 0371 1656 8756 3369 3347 3534 0519 7230 2516 2674

2969 0056 8199 9383 4840 4135 7713 6317 4188 8873 4680 0551 7807 9470 9460 2253 0146 6082 9037 1862 1979 1845 0247 4813 2052 2758 6032 8288 6840 2677 3463 7252 3753 1178 2766 3207 2332 8262 8499 4501 0698 8601 2945 6077 3785 4647 4226 8959 9006 0964

2709 2447 0580 3375 1775 2038 3797 5163 7845 9397 6014 1671 2362 2315 8297 3930 6686 5835 9464 0916 7219 3355 3933 9312 3808 7579 6254 7075 7818 0295 6900 7276 4131 5402 3263 4026 5185 2862 8450 7749 0652 9020 6533 5737 6390 8723 8240 6442 4775 6040

3559 8683 0358 0118 0825 3360 7913 1403 4016 0202 1133 5094 3564 9818 0188 6367 2887 5038 1039 1658 1066 2065 4018 9132 3343 6165 1351 1312 7876 8452 8099 2678 7288 1970 9523 4070 7258 7276 3138 6818 5599 5836 0212 7172 8857 5894 6647 1660 3518 5780

6204 6540 1791 3190 3727 4500 5370 5231 8629 6291 8288 1891 5014 8442 9712 3435 4570 9493 1563 9165 7590 9691 1601 6615 0848 2885 1863 5682 1666 3398 7162 9599 9286 2819 2867 6533 9931 9217 4987 7722 9948 6283 0839 4175 8654 2005 6128 1306 6979 3152

5187 9791 4301 8481 5699 2522 0394 1538 8492 1812 5330 8112 2323 3056 1282 0543 4135 5819 6172 1017 6454 8783 7254 5267 9809 9964 9835 1111 5988 8017 8771 0872 6538 9975 4349 4106 6047 9630 4211 3234 1804 3896 2518 5665 8766 7161 0755 0886 3256 3198

8109 0020 3347 9221 6511 7593 6133 6123 2128 2735 9371 0132 4794 3110 5357 7242 4790 8002 9268 9733 6062 6416 7311 1167 5131 9955 9738 6038 1119 0832 7072 3929 8992 8062 6898 5499 5278 3407 0544 8772 5867 5384 8700 8017 5235 4094 9441 2381 8478 0981

1390 8293 7525 7188 8218 0131 3543 1679 8610 5737 4974 9904 7964 6038 0910 9364 4842 3873 3495 5511 9086 9898 1529 8544 7800 8523 1353 3312 5255 3096 8786 4498 5476 6266 9636 1897 3924 7298 3764 0906 7215 2019 6780 1005 0787 8463 3784 6072 0940

2701 2584 8904 7799 9877 9015 11 9330 0037 8215 9830 7090 3878 7553 7460 2845 9183 6429 9249 0246 0008 1130 3811 1862 1670 6389 9179 8571 7621 2169 5338 0351 6437 6148 5015 6174 5761 4690 0799 3291 6508 4163 0794 5801 1272 2814 0989 1130 3918 8596


271

TABLICA II – BINOMNI RASPORED

( ) k n knP k p q

k−⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

P k 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n=5

0 77378 73390 69569 65908 62403 5905 3277 1681 0778 0313 1 19363 23423 26182 28656 30859 3280 4096 3601 2592 1562 2 02143 02990 03941 04983 06104 0729 2048 3087 3456 3125 3 00113 00191 00297 00434 00604 0081 0512 1323 2314 3125 4 00003 00006 00011 00019 00029 0005 0064 0284 0768 1562 5 00000 00000 00000 00000 00001 0000 0003 0004 0102 0313

n=10

0 59874 53862 48398 43439 38942 3487 1074 0282 0060 0010 1 31512 34379 36429 37773 38513 3874 2684 1211 0404 0097 2 07464 09875 12334 14780 17141 1937 3020 2335 1209 0440 3 01047 01681 02476 03428 04521 0574 2013 2668 2150 1172 4 00097 00188 00327 00521 00782 0112 0881 2001 2508 2051 5 00006 00014 00029 00055 00093 0015 0264 1030 2007 2460 6 00000 00001 00002 00004 00008 0001 0055 0367 1114 2051 7 00000 00000 00000 00000 0000 0008 0090 0425 1172 8 0001 0015 0106 0440 9 0000 0001 0016 0097

10 0000 0001 0010

n=15

0 46329 39529 33670 28630 24301 2059 0352 0047 0005 0000 1 36576 37847 38015 37343 36050 3431 1319 0306 0047 0005 2 13475 16911 20029 22730 24959 2669 2309 0915 0219 0032 3 03073 04677 06533 08566 10696 1285 2502 1701 0634 0139 4 00486 00896 01475 02234 03174 0429 1876 2186 1268 0416 5 00056 00125 00244 00427 00690 0105 1031 2061 1859 0917 6 00005 00014 00031 00062 00114 0019 0430 1473 2066 1527 7 00000 00001 00003 00007 00014 0003 0139 0811 1771 1964 8 00000 00000 00001 00002 0000 0034 0348 1181 1964 9 00000 00000 0001 0115 0612 1527

10 0000 0030 0245 0917 11 0006 0074 0416 12 0001 0016 0139 13 0000 0003 0032 14 0000 0005 15 0000

(Svakoj vrijednosti u ovoj tabeli prethodi decimalni zarez)


272

TABLICA II – (nastavak)

P k 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

n=20

0 35849 29011 23424 18869 15164 1216 0115 0008 0000 0000 1 37735 37034 35262 32817 29996 2701 0577 0068 0005 0000 2 18868 22458 25214 27109 28183 2852 1369 0279 0031 0002 3 05958 08600 11387 14143 16724 1901 2053 0716 0124 0011 4 01333 02334 03642 05228 07029 0898 2182 1307 0350 0046 5 00224 00476 00878 01454 02225 0319 1746 1789 0746 0148 6 00030 00076 00165 00316 00550 0089 1091 1916 1244 0370 7 00003 00010 00025 00055 00109 0020 0546 1643 1659 0739 8 00000 00001 00003 00008 00017 0003 0221 1144 1797 1201 9 00000 00000 00001 00003 0001 0074 0653 1597 1602

10 00000 00000 0000 0020 0309 1172 1762 11 0005 0120 0710 1602 12 0001 0038 0355 1201 13 0003 0049 0370 14 0000 0013 0148 15 0003 0046 16 0000 0011 17 0002 18 0000 19

n=30

0 21464 15626 11337 08197 05905 0424 0012 0000 0000 0000 1 33890 29921 25599 21382 17522 1413 0093 0003 0000 0000 2 25864 27693 27939 26961 25126 2277 0337 00I8 0000 0000 3 12705 16498 19627 21881 23194 2360 0785 0072 0003 0000 4 04513 07108 09972 12843 15484 1771 1325 0209 0012 0000 5 01236 02359 03903 05807 07963 1023 1723 0464 0042 0002 6 00271 00628 01224 02104 03281 0474 1795 0829 0115 0005 7 00049 00137 00316 00628 01113 0180 1538 1219 0263 0019 8 00007 00025 00068 00156 00316 0058 1105 1501 0505 0055 9 00001 00004 00013 00034 00077 0015 0676 1573 0823 0133

10 00000 00001 00002 00006 00016 0004 0355 1416 1152 0280 11 00000 00000 00001 00002 0001 0161 1103 1396 0508 12 00000 00001 0000 0064 0748 1474 0806 13 00000 0022 0444 1360 1115 14 0007 0232 1101 1355 15 0002 0105 0783 1444 16 0000 0043 0490 1355 17 0015 0279 1115 18 0004 0119 0806 19 0002 0054 0508 20 0000 0020 0280 21 0007 0133 22 0002 0055 23 0000 0019 24 0005 25 0002 26 0000



273

TABLICA III – POISSONOV RASPORED

km mr kP e−= ⋅

Vrijednost parametra m k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 900481 81873 74082 67032 60653 54881 49659 44933 40657 36788 1 09048 16375 22225 26813 30327 32929 34761 35946 36591 36788 2 00452 01637 03334 05363 07582 09879 12166 14379 16466 18394 3 00015 00109 00333 00715 01264 01976 02839 03834 04940 06131 4 00000 00005 00025 00072 00158 00296 00497 00767 01111 01533

5 00000 00002 00006 00016 00036 00070 00123 00200 00307 6 00000 00000 00001 00004 00008 00016 00030 00051 7 00000 00000 00001 00002 00004 00007 8 00000 00000 00000 00001 9 00000 Vrijednost parametra m r 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 13534 04979 01832 00674 00248 00091 00034 00012 00005 00002 1 27067 14936 07326 03369 01487 00638 00268 00111 00045 00018 2 27067 22404 14653 08422 04462 02234 01073 00500 00227 00101 3 18045 22404 19537 14037 08924 05213 02863 01499 00757 00370 4 09022 16803 19537 17547 13385 09123 05725 03374 01892 01019

5 03609 10082 15629 17547 16062 12772 09160 06073 03783 02242 6 01203 05041 10420 14622 16062 14900 12214 09109 06306 04109 7 00344 02160 05954 10444 13768 14900 13959 11712 09008 06458 8 00086 00810 02977 06528 10326 13038 13959 13176 11260 08879 9 00019 00270 01323 03627 06884 10140 12408 13176 12511 10853

10 00004 00081 00529 01813 04130 07098 09926 11858 12511 11938 11 00001 00022 00192 00824 02253 04517 07219 09702 11374 11938 12 00000 00006 00064 00343 01126 02635 04813 07277 09478 10943 13 00001 00020 00132 00520 01419 02962 05038 07291 09259 14 00000 00006 00047 00223 00709 01692 03238 05208 07275

15 00002 00016 00089 00331 00903 01943 03472 05335 16 00000 00005 00033 00145 00451 01093 02170 03668 17 00001 00012 00060 00212 00579 01276 02373 18 00000 00004 00023 00094 00289 00709 01450 19 00001 00009 00040 00137 00373 00840

20 00000 00003 00016 00062 00187 00462 21 00001 00006 00026 00089 00242 22 00000 00002 00011 00040 00121 23 00001 00004 00018 00058 24 00000 00002 00007 00027 25 00001 00003 00012 26 00000 00001 00005 27 00000 00002 28 00001 29 00000



274

TABLICA IV – NORMALAN RASPORED – ZAKON VJEROVATNOĆE

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 39894 39892 39886 39876 39862 39844 39822 39797 39767 39733 0,1 39695 39654 39608 39559 39505 39448 39387 39322 39253 39181 0,2 39104 39024 38940 38853 38762 38667 38568 38466 38361 38251 0,3 38139 38023 37903 37780 37654 37524 37391 37255 37115 36973 0,4 36827 36678 36526 36371 36213 36053 35889 35723 35553 35381

0,5 35207 35029 34849 34667 34482 34294 34105 33912 33718 33521 0,6 33322 33121 32918 32713 32506 32297 32086 31874 31659 31443 0,7 31225 31006 30785 30563 30339 30114 29887 29659 29431 29200 0,8 28969 28737 28504 28269 28034 27798 27562 27324 27086 26848 0,9 26609 26369 26129 25888 25647 25406 25164 24923 24681 24439

1,0 24197 23955 23713 23471 23230 22988 22747 22506 22265 22025 1,1 21785 21546 21307 21069 20831 20594 20357 20121 19886 19652 1,2 19419 19186 18954 18724 18494 18265 18037 17810 17585 17360 1,3 17137 16915 16694 16474 16256 16038 15822 15608 15395 15183 1,4 14973 14764 14556 14350 14146 13943 13742 13542 13344 13147

1,5 12952 12758 12566 12376 12188 12001 11816 11632 11450 11270 1,6 11092 10915 10741 10567 10396 10226 10059 09893 09728 09566 1,7 09405 09246 09089 08933 08780 08628 08478 08329 08183 08038 1,8 07895 07754 07614 07477 07341 07206 07074 06943 06814 06687 1,9 06562 06438 06316 06195 06077 05959 05844 05730 05618 05508

2,0 05399 05292 05186 05082 04980 04879 04780 04682 04586 04491 2,1 04398 04307 04217 04128 04041 03955 03871 03788 03706 03626 2,2 03547 03470 03394 03319 03246 03174 03103 03034 02965 02898 2,3 02833 02768 02705 02643 02582 02522 02463 02406 02349 02294 2,4 02239 02186 02134 02083 02033 01984 01936 01888 01842 01797

2,5 01753 01709 01667 01625 01585 01545 01506 01468 01431 01394 2,6 01358 01323 01289 01256 01223 01191 01160 01130 01100 01071 2,7 01042 01014 00987 00961 00935 00909 00885 00861 00837 00814 2,8 00792 00770 00748 00727 00707 00687 00668 00649 00631 00613 2,9 00595 00578 00562 00545 00530 00514 00499 00485 00470 00457

3,0 00443 00430 00417 00405 00393 00381 00370 00358 00348 00337 3,1 00327 00317 00307 00298 00288 00279 00271 00262 00254 00246 3,2 00238 00231 00224 00216 00210 00203 00196 00190 00184 00178 3,3 00172 00167 00161 00156 00151 00146 00141 00136 00132 00127 3,4 00123 00119 00115 00111 00107 00104 00100 00097 00094 00090

3,5 00087 00084 00081 00079 00076 00073 00071 00068 00066 00063 3,6 00061 00059 00057 00055 00053 00051 00049 00047 00046 00044 3,7 00042 00041 00039 00038 00037 00035 00034 00033 00031 00030 3,8 00029 00028 00027 00026 00025 00024 00023 00022 00021 00021 3,9 00020 00019 00018 00018 00017 00016 00016 00015 00014 00014 4,0 00013 00009 00006 00004 00002 00002 00001 00001 00000 00000

Svakoj vrijednosti tabela IV, V, VI prethodi decimalni zarez


275

TABLICA V – NORMALAN RASPORED – FUNKCIJA RASPOREDA

dzez

zz

⋅=Φ−

∞−∫

2

2

21)(π

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 50000 50399 50798 51197 51595 51994 52392 52790 53188 53586 0,1 53983 54380 54776 55172 55567 55962 56356 56749 57142 57535 0,2 57926 58317 58706 59095 59483 59871 60257 60642 61026 61409 0,3 61791 62172 62552 62930 63307 63683 64058 64431 64803 65173 0,4 65542 65910 66276 66640 67003 67364 67724 68082 68439 68793

0,5 69146 69497 69847 70194 70540 70884 71226 71566 71904 72240 0,6 72575 72907 73237 73565 73891 74215 74537 74857 75175 75490 0,7 75804 76115 76424 76730 77035 77337 77637 77935 78230 78524 0,8 78814 79103 79389 79673 79955 80234 80511 80785 81057 81327 0,9 81594 81859 82121 82381 82639 82894 83147 83398 83646 83891

1,0 84134 84375 84614 84849 85083 85314 85543 85769 85993 86214 1,1 86433 86650 86864 87076 87286 87493 87698 87900 88100 88298 1,2 88493 88686 88877 89065 89251 89435 89617 89796 89973 90147 1,3 90320 90490 90658 90824 90988 91149 91308 91466 91621 91774 1,4 91924 92073 92220 92364 92507 92647 92785 92922 93056 93189

1,5 93319 93448 93574 93699 93822 93943 94062 94179 94295 94408 1,6 94520 94630 94738 94845 94950 95053 95154 95254 95352 95449 1,7 95543 95637 95728 95818 95907 95994 96080 96164 96246 96327 1,8 96407 96485 96562 96638 96712 96784 96856 96926 96995 97062 1,9 97128 97193 97257 97320 97381 97441 97500 97558 97615 97670

2,0 97725 97778 97831 97882 97932 97982 98030 98077 98124 98169 2,1 98214 98257 98300 98341 98382 98422 98461 98500 98537 98574 2,2 98610 98645 98679 98713 98745 98778 98809 98840 98870 98899 2,3 98928 98956 98983 99010 99036 99061 99086 99111 99134 99158 2,4 99180 99202 99224 99245 99266 99286 99305 99324 99343 99361

2,5 99379 99396 99413 99430 99446 99461 99477 99492 99506 99520 2,6 99534 99547 99560 99573 99585 99598 99609 99621 99632 99643 2,7 99653 99664 99674 99683 99693 99702 99711 99720 99728 99736 2,8 99744 99752 99760 99767 99774 99781 99788 99795 99801 99807 2,9 99813 99819 99825 99831 99836 99841 99846 99851 99856 99861

3,0 99865 99869 99874 99878 99882 99886 99889 99893 99896 99900 3,1 99903 99906 99910 99913 99916 99918 99921 99924 99926 99929 3,2 99931 99934 99936 99938 99940 99942 99944 99946 99948 99950 3,3 99952 99953 99955 99957 99958 99960 99961 99962 99964 99965 3,4 99966 99968 99969 99970 99971 99972 99973 99974 99975 99976

3,5 99977 99978 99978 99979 99980 99981 99981 99982 99983 99983 3,6 99984 99985 99985 99986 99986 99987 99987 99988 99988 99989 3,7 99989 99990 99990 99990 99991 99991 99992 99992 99992 99992 3,8 99993 99993 99993 99994 99994 99994 99994 99995 99995 99995 3,9 99995 99995 99996 99996 99996 99996 99996 99996 99997 99997

4,0 99997 99998 99999 99999 99999 - - - - -


276

TABLICA VI – NORMALAN RASPORED – INTEGRAL VJEROVATNOĆE

dzez

zz

⋅=−

∫2

01

2

22)(π

φ

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 00000 00798 01596 02393 03191 03988 04784 05581 06376 07171 0,1 07966 08759 09552 10343 11134 11924 12712 13499 14285 15069 0,2 15852 16633 17413 18191 18967 19741 20514 21284 22052 22818 0,3 23582 24344 25103 25860 26614 27366 28115 28862 29605 30346 0,4 31084 31819 32551 33280 34006 34729 35448 36164 36877 37587

0,5 38292 38995 39694 40389 41080 41768 42452 43132 43809 44481 0,6 45149 45814 46474 47131 47783 48431 49075 49714 50350 50981 0,7 51607 52230 52848 53461 54070 54675 55275 55870 56461 57047 0,8 57629 58206 58778 59346 59909 60468 61021 61570 62114 62653 0,9 63188 63718 64243 64763 65278 65789 66294 66795 67291 67783

1,0 68269 68750 69227 69699 70166 70628 71086 71538 71986 72429 1,1 72867 73300 73729 74152 74571 74986 75395 75800 76200 76595 1,2 76986 77372 77754 78130 78502 78870 79233 79592 79945 80295 1,3 80640 80980 81316 81648 81975 82298 82617 82931 83241 83547 1,4 83849 84146 84439 84728 85013 85294 85571 85844 86113 86378

1,5 86639 86896 87149 87398 87644 87886 88124 88358 88589 88817 1.6 89040 89260 89477 89690 89899 90106 90309 90508 90704 90897 1,7 91087 91273 91457 91637 91814 91988 92159 92327 92492 92655 1,8 92814 92970 93124 93275 93423 93569 93711 93852 93989 94124 1,9 94257 94387 94514 94639 94762 94882 95000 95116 95230 95341

2,0 95450 95557 95662 95764 95865 95964 96060 96155 96247 96338 2,1 96427 96514 96599 96683 96765 96844 96923 96999 97074 97148 2,2 97219 97289 97358 97425 97491 97555 97618 97679 97739 97798 2,3 97855 97911 97966 98019 98072 98123 98172 98221 98269 98315 2,4 98360 98405 98448 98490 98531 98571 98611 98649 98686 98723

2,5 98758 98793 98826 98859 98891 98923 98953 98983 99012 99040 2,6 99068 99095 99121 99146 99171 99195 99219 99241 99264 99285 2,7 99307 99327 99347 99367 99386 99404 99422 99439 99456 99473 2,8 99489 99505 99520 99535 99549 99563 99576 99590 99602 99615 2,9 99627 99639 99650 99661 99672 99682 99592 99702 99712 99721

3,0 99730 99739 99747 99755 99763 99771 99779 99786 99793 99800 3,1 99806 99813 99819 99825 99831 99837 94842 99848 99853 99858 3,2 99863 99867 99872 99876 99880 99885 99889 99892 99896 99900 3,3 99903 99907 99910 99913 99916 99919 99922 99925 99928 99930 3,4 99933 99935 99937 99940 99942 99944 99946 99948 99950 99952

3,5 99953 99955 99957 99958 99960 99961 99963 99964 99966 99967 3,6 99968 99969 99971 99972 99973 99974 99975 99976 99977 99978 3,7 99978 99979 99980 99981 99982 99982 99983 99984 99984 99985 3,8 99986 99986 99987 99987 99988 99988 99989 99989 99990 99990 3,9 99990 99991 99991 99992 99992 99992 99992 99993 99993 99993 4, 99994 99996 99997 99998 99999 99999 - - - -


277

TABLICA VII – STUDENTOV RASPORED

n t0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,1 0,532 0,535 0,537 0,537 0,538 0,538 0,538 0,539 0,539 0,539 0,2 0,563 0,570 0,573 0,574 0,575 0,576 0,576 0,577 0,577 0,577 0,3 0,593 0,604 0,608 0,610 0,612 0,613 0,614 0,614 0,615 0,615 0,4 0,621 0,636 0,642 0,645 0,647 0,648 0,649 0,650 0,651 0,651 0,5 0,648 0,667 0,674 0,678 0,681 0,683 0,684 0,685 0,685 0,686 0,6 0,672 0,695 0,705 0,710 0,713 0,715 0,716 0,717 0,718 0,719 0,7 0,694 0,722 0,733 0,739 0,742 0,745 0,747 0,748 0,749 0,750 0,8 0,715 0,746 0,759 0,766 0,770 0,773 0,775 0,777 0,778 0,779 0,9 0,733 0,768 0,783 0,790 0,795 0,799 0,801 0,803 0,804 0,805 1 0,750 0,789 0,804 0,813 0,818 0,822 0,825 0,827 0,828 0,830

1,1 0,765 0,807 0,824 0,833 0,839 0,843 0,846 0,848 0,850 0,851 1,2 0,779 0,823 0,842 0,852 0,858 0,862 0,865 0,868 0,870 0,871 1,3 0,791 0,838 0,858 0,868 0,875 0,879 0,883 0,885 0,887 0,889 1,4 0,803 0,852 0,872 0,883 0,890 0,894 0,898 0,900 0,902 0,904 1,5 0,813 0,864 0,885 0,896 0,903 0,908 0,911 0,914 0,916 0,918 1,6 0,822 0,875 0,896 0,908 0,915 0,920 0,923 0,926 0,928 0,930 1,7 0,831 0,884 0,906 0,918 0,925 0,930 0,934 0,936 0,938 0,940 1,8 0,839 0,893 0,915 0,927 0,934 0,939 0,943 0,945 0,947 0,949 1,9 0,846 0,901 0,923 0,935 0,942 0,947 0,950 0,953 0,955 0,957 2 0,852 0,908 0,930 0,942 0,949 0,954 0,957 0,960 0,962 0,963

2,1 0,859 0,915 0,937 0,948 0,955 0,960 0,963 0,966 0,967 0,969 2,2 0,864 0,921 0,942 0,954 0,960 0,965 0,968 0,971 0,972 0,974 2,3 0,869 0,926 0,948 0,959 0,965 0,969 0,973 0,975 0,977 0,978 2,4 0,874 0,931 0,952 0,963 0,969 0,973 0,976 0,978 0,980 0,981 2,5 0,879 0,935 0,956 0,967 0,973 0,977 0,980 0,982 0,983 0,984 2,6 0,883 0,939 0,960 0,970 0,976 0,980 0,982 0,984 0,986 0,987 2,7 0,887 0,943 0,963 0,973 0,979 0,982 0,985 0,986 0,988 0,989 2,8 0,891 0,946 0,966 0,976 0,981 0,984 0,987 0,988 0,990 0,991 2,9 0,894 0,949 0,969 0,978 0,983 0,986 0,989 0,990 0,991 0,992 3 0,898 0,952 0,971 0,980 0,985 0,988 0,990 0,991 0,993 0,993

3,1 0,901 0,955 0,973 0,982 0,987 0,989 0,991 0,993 0,994 0,994 3,2 0,904 0,957 0,975 0,984 0,988 0,991 0,992 0,994 0,995 0,995 3,3 0,906 0,960 0,977 0,985 0,989 0,992 0,993 0,995 0,995 0,996 3,4 0,909 0,962 0,979 0,986 0,990 0,993 0,994 0,995 0,996 0,997 3,5 0,911 0,964 0,980 0,988 0,991 0,994 0,995 0,996 0,997 0,997 3,6 0,914 0,965 0,982 0,989 0,992 0,994 0,996 0,997 0,997 0,998 3,7 0,916 0,967 0,983 0,990 0,993 0,995 0,996 0,997 0,998 0,998 3,8 0,918 0,969 0,984 0,990 0,994 0,996 0,997 0,997 0,998 0,998 3,9 0,920 0,970 0,985 0,991 0,994 0,996 0,997 0,998 0,998 0,999 4 0,922 0,971 0,986 0,992 0,995 0,996 0,997 0,998 0,998 0,999


278

TABLICA VII – (nastavak)

n t0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4,1 0,924 0,973 0,987 0,993 0,995 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999 4,2 0,926 0,974 0,988 0,993 0,996 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 4,3 0,927 0,975 0,988 0,994 0,996 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 4,4 0,929 0,976 0,989 0,994 0,996 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 4,5 0,930 0,977 0,990 0,995 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 4,6 0,932 0,978 0,990 0,995 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 4,7 0,933 0,979 0,991 0,995 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 4,8 0,935 0,980 0,991 0,996 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 4,9 0,936 0,980 0,992 0,996 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 5 0,937 0,981 0,992 0,996 0,998 0,999 0,999 0,999

5,1 0,938 0,982 0,993 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 5,2 0,940 0,982 0,993 0,997 0,998 0,999 0,999 1,000 5,3 0,941 0,983 0,993 0,997 0,998 0,999 0,999 5,4 0,942 0,984 0,994 0,997 0,999 0,999 0,999 5,5 0,943 0,984 0,994 0,997 0,999 0,999 0,999 5,6 0,944 0,985 0,994 0,998 0,999 0,999 1,000 5,7 0,945 0,985 0,995 0,998 0,999 0,999 5,8 0,946 0,986 0,995 0,998 0,999 0,999 5,9 0,947 0,986 0,995 0,998 0,999 0,999 6 0,947 0,987 0,995 0,998 0,999 0,999


279

TABLICA VII – (nastavak)

n t0

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,1 0,539 0,539 0,539 0,539 0,539 0,539 0,539 0,539 0,539 0,539 0,2 0,577 0,578 0,578 0,578 0,578 0,578 0,578 0,578 0,578 0,578 0,3 0,615 0,615 0,616 0,616 0,616 0,616 0,616 0,616 0,616 0,616 0,4 0,652 0,652 0,652 0,652 0,653 0,653 0,653 0,653 0,653 0,653 0,5 0,687 0,687 0,687 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,689 0,689 0,6 0,720 0,720 0,721 0,721 0,721 0,722 0,722 0,722 0,722 0,722 0,7 0,751 0,751 0,752 0,752 0,753 0,753 0,753 0,754 0,754 0,754 0,8 0,780 0,780 0,781 0,781 0,782 0,782 0,783 0,783 0,783 0,783 0,9 0,806 0,807 0,808 0,808 0,809 0,809 0,810 0,810 0,810 0,811 1 0,831 0,831 0,832 0,833 0,833 0,834 0,834 0,835 0,835 0,835

1,1 0,853 0,854 0,854 0,855 0,856 0,856 0,857 0,857 0,857 0,858 1,2 0,872 0,873 0,874 0,875 0,876 0,876 0,877 0,877 0,878 0,878 1,3 0,890 0,891 0,892 0,893 0,893 0,894 0,895 0,895 0,895 0,896 1,4 0,905 0,907 0,908 0,908 0,909 0,910 0,910 0,911 0,911 0,912 1,5 0,919 0,920 0,921 0,922 0,923 0,923 0,924 0,925 0,925 0,925 1,6 0,931 0,932 0,933 0,934 0,935 0,935 0,936 0,936 0,937 0,937 1,7 0,941 0,943 0,944 0,944 0,945 0,946 0,946 0,947 0,947 0,948 1,8 0,950 0,951 0,952 0,953 0,954 0,955 0,955 0,956 0,956 0,957 1,9 0,958 0,959 0,960 0,961 0,962 0,962 0,963 0,963 0,964 0,964 2 0,965 0,966 0,967 0,967 0,968 0,969 0,969 0,970 0,970 0,970

2,1 0,970 0,971 0,972 0,973 0,973 0,974 0,975 0,975 0,975 0,976 2,2 0,975 0,976 0,977 0,977 0,978 0,979 0,979 0,979 0,980 0,980 2,3 0,979 0,980 0,981 0,981 0,982 0,982 0,983 0,983 0,984 0,984 2,4 0,982 0,983 0,984 0,985 0,985 0,986 0,986 0,986 0,987 0,987 2,5 0,985 0,986 0,987 0,987 0,988 0,988 0,989 0,989 0,989 0,989 2,6 0,988 0,988 0,989 0,990 0,990 0,990 0,991 0,991 0,991 0,991 2,7 0,990 0,990 0,991 0,991 0,992 0,992 0,992 0,993 0,993 0,993 2,8 0,991 0,992 0,992 0,993 0,993 0,994 0,994 0,994 0,994 0,994 2,9 0,993 0,993 0,994 0,994 0,995 0,995 0,995 0,995 0,995 0,996 3 0,994 0,994 0,995 0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996

3,1 0,995 0,995 0,996 0,996 0,996 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 3,2 0,996 0,996 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,998 0,998 0,998 3,3 0,996 0,997 0,997 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 3,4 0,997 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999 3,5 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 3,6 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 3,7 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 3,8 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 3,9 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 1,000 4 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000

4,1 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 1,000 1,000 4,2 0,999 0,999 0,999 1,000 1,000 4,3 0,999 0,999 1,000 4,4 0,999 1,000 4,5 0,999 4,6 1,000


280

TABLICA VIII

q k

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,05

0,02

0,0l

0,00l

1 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,6192 0,142 0,289 0,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598 3 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,451 5,841 12,941 4 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 5 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859

6 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,405 8 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 9 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 0,129 0,260 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 14 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 15 0,128 0,258 0;393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 19 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3.883 20 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

21 0,127 0,257 0,391 0,532 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 22 0,127 0,256 0;390 0,532 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 23 0.127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,767 24 0,127 0,256 0,390 0,531 0,685 0,857 1.059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 25 0,127 0,256 0;390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2.485 2,787 3,725

26 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 27 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690 28 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 29 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659 30 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646


281

TABLICA IX – SNEDECOROV F-RASPORED Vrijednosti F0 za dato P(F0)

P(Fo)=0,10

v1 v2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,20 2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30

6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42

10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32

11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06

16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94

21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87

26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82

40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65

∞ 2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,63 1,60


282

P(Fo)=0,10

v1 v2

12 15 20 24 30 40 60 120 besk.

1 60,71 61,22 61,74 62,00 62,26 62,53 62,79 63,06 63,33 2 9,41 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,48 9,49 3 5,22 5,20 5,18 5,18 5,17 5,16 5,15 5,14 5,13 4 3,90 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,79 3,78 3,76 5 3,27 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,14 3,12 3,10

6 2,90 2,87 2,84 2,82 2,80 2,78 2,76 2,74 2,72 7 2,67 2,63 2,59 2,58 2,56 2,54 2,51 2,49 2,47 8 2,50 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,34 2,32 2,29 9 2,38 2,34 2,30 2,28 2,25 2,23 2,21 2,18 2,16

10 2,28 2,24 2,20 2,18 2,16 2,13 2,11 2,08 2,06

11 2,21 2,17 2,12 2,10 2,08 2,05 2,03 2,00 1,97 12 2,15 2,10 2,06 2,04 2,01 1,99 1,96 1,93 1,90 13 2,10 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,90 1,88 1,85 14 2,05 2,01 1,96 1,94 1,91 1,89 1,86 1,83 1,80 15 2,02 1,97 1,92 1,90 1,87 1,85 1,82 1,79 1,76

16 1,99 1,94 1,89 1,87 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 17 1,96 1,91 1,86 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 1,69 18 1,93 1,89 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 1,69 1,66 19 1,91 1,86 1,81 1,79 1,76 1,73 1,70 1,67 1,63 20 1,89 1,84 1,79 1,77 1,74 1,71 1,68 1,64 1,61

21 1,87 1,83 1,78 1,75 1,72 1,69 1,66 1,62 1,59 22 1,86 1,81 1,76 1,73 1,70 1,67 1,64 1,60 1,57 23 1,84 1,80 1,74 1,72 1,69 1,66 1,62 1,59 1,55 24 1,83 1,78 1,73 1,70 1,67 1,64 1,61 1,57 1,53 25 1,82 1,77 1,72 1,69 1,66 1,63 1,59 1,56 1,52

26 1,81 1,76 1,71 1,68 1,65 1,61 1,58 1,54 1,50 27 1,80 1,75 1,70 1,67 1,64 1,60 1,57 1,53 1,49 28 1,79 1,74 1,69 1,66 1,63 1,59 1,56 1,52 1,48 29 1,78 1,73 1,68 1,65 1,62 1,58 1,55 1,51 1,47 30 1,77 1,72 1,67 1,64 1,61 1,57 1,54 1,50 1,46

40 1,71 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,47 1,42 1,38 60 1,66 1,60 1,54 1,51 1,48 1,44 1,40 1,35 1,29 120 1,60 1,55 1,48 1,45 1,41 1,37 1,32 1,26 1,19

∞ 1,55 1,49 1,42 1,38 1,34 1,30 1,24 1,17 1,00


283

P(Fo)=0,05

v1 v2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98

11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54

16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35

21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24

26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16

40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91

∞ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83


284

P(Fo)=0,05

v1 v2

12 15 20 24 30 40 60 120 besk.

1 243,90 245,95 248,02 249,05 250,10 251,14 252,20 253,25 254,31 2 19,41 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,50 3 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 8,53 4 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5,63 5 4,68 4,62 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,36

6 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 3,67 7 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 3,23 8 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 2,93 9 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 2,71

10 2,91 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 2,54

11 2,79 2,72 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,45 2,40 12 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 2,30 13 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,21 14 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,13 15 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07

16 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 2,01 17 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,96 18 2,34 2,27 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,97 1,92 19 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 1,88 20 2,28 2,20 2,12 2,08 2,04 1,99 1,95 1,90 1,84

21 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 1,81 22 2,23 2,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,78 23 2,20 2,13 2,05 2,01 1,96 1,91 1,86 1,81 1,76 24 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,79 1,73 25 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,71

26 2,15 2,07 1,99 1,95 1,90 1,85 1,80 1,75 1,69 27 2,13 2,06 1,97 1,93 1,88 1,84 1,79 1,73 1,67 28 2,12 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,71 1,65 29 2,10 2,03 1,94 1,90 1,85 1,81 1,75 1,70 1,64 30 2,09 2,01 1,93 1,89 1,84 1,79 1,74 1,68 1,62

40 2,00 1,92 1,84 1,79 1,74 1,69 1,64 1,58 1,51 60 1,92 1,84 1,75 1,70 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39 120 1,83 1,75 1,66 1,61 1,55 1,50 1,43 1,35 1,25

∞ 1,75 1,67 1,57 1,52 1,46 1,39 1,32 1,22 1,00


285

P(Fo)=0,01

v1 v2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4052,18 4999,34 5403,53 5624,26 5763,96 5858,95 5928,33 5980,95 6022,40 6055,932 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05

6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26

10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85

11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80

16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37

21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13

26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98

40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47

∞ 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32


286

P(Fo)=0,01

v1 v2

12 15 20 24 30 40 60 120 besk.

1 6106,68 6156,97 6208,66 6234,27 6260,35 6286,43 6312,97 6339,51 6365,592 99,42 99,43 99,45 99,46 99,47 99,48 99,48 99,49 99,50 3 27,05 26,87 26,69 26,60 26,50 26,41 26,32 26,22 26,13 4 14,37 14,20 14,02 13,93 13,84 13,75 13,65 13,56 13,46 5 9,89 9,72 9,55 9,47 9,38 9,29 9,20 9,11 9,02

6 7,72 7,56 7,40 7,31 7,23 7,14 7,06 6,97 6,88 7 6,47 6,31 6,16 6,07 5,99 5,91 5,82 5,74 5,65 8 5,67 5,52 5,36 5,28 5,20 5,12 5,03 4,95 4,86 9 5,11 4,96 4,81 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,31

10 4,71 4,56 4,41 4,33 4,25 4,17 4,08 4,00 3,91

11 4,40 4,25 4,10 4,02 3,94 3,86 3,78 3,69 3,60 12 4,16 4,01 3,86 3,78 3,70 3,62 3,54 3,45 3,36 13 3,96 3,82 3,66 3,59 3,51 3,43 3,34 3,25 3,17 14 3,80 3,66 3,51 3,43 3,35 3,27 3,18 3,09 3,00 15 3,67 3,52 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 2,87

16 3,55 3,41 3,26 3,18 3,10 3,02 2,93 2,84 2,75 17 3,46 3,31 3,16 3,08 3,00 2,92 2,83 2,75 2,65 18 3,37 3,23 3,08 3,00 2,92 2,84 2,75 2,66 2,57 19 3,30 3,15 3,00 2,92 2,84 2,76 2,67 2,58 2,49 20 3,23 3,09 2,94 2,86 2,78 2,69 2,61 2,52 2,42

21 3,17 3,03 2,88 2,80 2,72 2,64 2,55 2,46 2,36 22 3,12 2,98 2,83 2,75 2,67 2,58 2,50 2,40 2,31 23 3,07 2,93 2,78 2,70 2,62 2,54 2,45 2,35 2,26 24 3,03 2,89 2,74 2,66 2,58 2,49 2,40 2,31 2,21 25 2,99 2,85 2,70 2,62 2,54 2,45 2,36 2,27 2,17

26 2,96 2,81 2,66 2,58 2,50 2,42 2,33 2,23 2,13 27 2,93 2,78 2,63 2,55 2,47 2,38 2,29 2,20 2,10 28 2,90 2,75 2,60 2,52 2,44 2,35 2,26 2,17 2,06 29 2,87 2,73 2,57 2,49 2,41 2,33 2,23 2,14 2,03 30 2,84 2,70 2,55 2,47 2,39 2,30 2,21 2,11 2,01

40 2,66 2,52 2,37 2,29 2,20 2,11 2,02 1,92 1,80 60 2,50 2,35 2,20 2,12 2,03 1,94 1,84 1,73 1,60 120 2,34 2,19 2,03 1,95 1,86 1,76 1,66 1,53 1,38

∞ 2,18 2,04 1,88 1,79 1,70 1,59 1,47 1,32 1,00


287

P(Fo)=0,005

v1 v2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 16212,46 19997,36 21614,13 22500,75 23055,82 23439,53 23715,20 23923,81 24091,45 24221,842 198,50 199,01 199,16 199,24 199,30 199,33 199,36 199,38 199,39 199,39 3 55,55 49,80 47,47 46,20 45,39 44,84 44,43 44,13 43,88 43,68 4 31,33 26,28 24,26 23,15 22,46 21,98 21,62 21,35 21,14 20,97 5 22,78 18,31 16,53 15,56 14,94 14,51 14,20 13,96 13,77 13,62

6 18,63 14,54 12,92 12,03 11,46 11,07 10,79 10,57 10,39 10,25 7 16,24 12,40 10,88 10,05 9,52 9,16 8,89 8,68 8,51 8,38 8 14,69 11,04 9,60 8,81 8,30 7,95 7,69 7,50 7,34 7,21 9 13,61 10,11 8,72 7,96 7,47 7,13 6,88 6,69 6,54 6,42

10 12,83 9,43 8,08 7,34 6,87 6,54 6,30 6,12 5,97 5,85

11 12,23 8,91 7,60 6,88 6,42 6,10 5,86 5,68 5,54 5,42 12 11,75 8,51 7,23 6,52 6,07 5,76 5,52 5,35 5,20 5,09 13 11,37 8,19 6,93 6,23 5,79 5,48 5,25 5,08 4,94 4,82 14 11,06 7,92 6,68 6,00 5,56 5,26 5,03 4,86 4,72 4,60 15 10,80 7,70 6,48 5,80 5,37 5,07 4,85 4,67 4,54 4,42

16 10,58 7,51 6,30 5,64 5,21 4,91 4,69 4,52 4,38 4,27 17 10,38 7,35 6,16 5,50 5,07 4,78 4,56 4,39 4,25 4,14 18 10,22 7,21 6,03 5,37 4,96 4,66 4,44 4,28 4,14 4,03 19 10,07 7,09 5,92 5,27 4,85 4,56 4,34 4,18 4,04 3,93 20 9,94 6,99 5,82 5,17 4,76 4,47 4,26 4,09 3,96 3,85

21 9,83 6,89 5,73 5,09 4,68 4,39 4,18 4,01 3,88 3,77 22 9,73 6,81 5,65 5,02 4,61 4,32 4,11 3,94 3,81 3,70 23 9,63 6,73 5,58 4,95 4,54 4,26 4,05 3,88 3,75 3,64 24 9,55 6,66 5,52 4,89 4,49 4,20 3,99 3,83 3,69 3,59 25 9,48 6,60 5,46 4,84 4,43 4,15 3,94 3,78 3,64 3,54

26 9,41 6,54 5,41 4,79 4,38 4,10 3,89 3,73 3,60 3,49 27 9,34 6,49 5,36 4,74 4,34 4,06 3,85 3,69 3,56 3,45 28 9,28 6,44 5,32 4,70 4,30 4,02 3,81 3,65 3,52 3,41 29 9,23 6,40 5,28 4,66 4,26 3,98 3,77 3,61 3,48 3,38 30 9,18 6,35 5,24 4,62 4,23 3,95 3,74 3,58 3,45 3,34

40 8,83 6,07 4,98 4,37 3,99 3,71 3,51 3,35 3,22 3,12 60 8,49 5,79 4,73 4,14 3,76 3,49 3,29 3,13 3,01 2,90 120 8,18 5,54 4,50 3,92 3,55 3,28 3,09 2,93 2,81 2,71

∞ 7,88 5,30 4,28 3,72 3,35 3,09 2,90 2,74 2,62 2,52


288

P(Fo)=0,005

v1 v2

12 15 20 24 30 40 60 120 besk.

1 24426,73 24631,62 24836,51 24937,09 25041,40 25145,71 25253,74 25358,05 25466,082 199,42 199,43 199,45 199,45 199,48 199,48 199,48 199,49 199,51 3 43,39 43,08 42,78 42,62 42,47 42,31 42,15 41,99 41,83 4 20,70 20,44 20,17 20,03 19,89 19,75 19,61 19,47 19,32 5 13,38 13,15 12,90 12,78 12,66 12,53 12,40 12,27 12,14

6 10,03 9,81 9,59 9,47 9,36 9,24 9,12 9,00 8,88 7 8,18 7,97 7,75 7,64 7,53 7,42 7,31 7,19 7,08 8 7,01 6,81 6,61 6,50 6,40 6,29 6,18 6,06 5,95 9 6,23 6,03 5,83 5,73 5,62 5,52 5,41 5,30 5,19

10 5,66 5,47 5,27 5,17 5,07 4,97 4,86 4,75 4,64

11 5,24 5,05 4,86 4,76 4,65 4,55 4,45 4,34 4,23 12 4,91 4,72 4,53 4,43 4,33 4,23 4,12 4,01 3,90 13 4,64 4,46 4,27 4,17 4,07 3,97 3,87 3,76 3,65 14 4,43 4,25 4,06 3,96 3,86 3,76 3,66 3,55 3,44 15 4,25 4,07 3,88 3,79 3,69 3,59 3,48 3,37 3,26

16 4,10 3,92 3,73 3,64 3,54 3,44 3,33 3,22 3,11 17 3,97 3,79 3,61 3,51 3,41 3,31 3,21 3,10 2,98 18 3,86 3,68 3,50 3,40 3,30 3,20 3,10 2,99 2,87 19 3,76 3,59 3,40 3,31 3,21 3,11 3,00 2,89 2,78 20 3,68 3,50 3,32 3,22 3,12 3,02 2,92 2,81 2,69

21 3,60 3,43 3,24 3,15 3,05 2,95 2,84 2,73 2,61 22 3,54 3,36 3,18 3,08 2,98 2,88 2,77 2,66 2,55 23 3,47 3,30 3,12 3,02 2,92 2,82 2,71 2,60 2,48 24 3,42 3,25 3,06 2,97 2,87 2,77 2,66 2,55 2,43 25 3,37 3,20 3,01 2,92 2,82 2,72 2,61 2,50 2,38

26 3,33 3,15 2,97 2,87 2,77 2,67 2,56 2,45 2,33 27 3,28 3,11 2,93 2,83 2,73 2,63 2,52 2,41 2,29 28 3,25 3,07 2,89 2,79 2,69 2,59 2,48 2,37 2,25 29 3,21 3,04 2,86 2,76 2,66 2,56 2,45 2,33 2,21 30 3,18 3,01 2,82 2,73 2,63 2,52 2,42 2,30 2,18

40 2,95 2,78 2,60 2,50 2,40 2,30 2,18 2,06 1,93 60 2,74 2,57 2,39 2,29 2,19 2,08 1,96 1,83 1,69 120 2,54 2,37 2,19 2,09 1,98 1,87 1,75 1,61 1,43

∞ 2,36 2,19 2,00 1,90 1,79 1,67 1,53 1,36 1,00


289

TABLICA X – 2χ – RASPORED

n xo

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,001 0,005 0,01 0,08 0,005 0,05 0,18 0,02

0,1 0,25 0,05 0,01 0,2 0,35 0,10 0,02 0,005 0,3 0,42 0,14 0,04 0,01 0,4 0,47 0,18 0,06 0,02 0,005 0.5 0,52 0,22 0,08 0,03 0,01 0,6 0,56 0,26 0,10 0,04 0,01 0,7 0,60 0,30 0,13 0,05 0,02 0,005 0,8 0,63 0,33 0,15 0,06 0,02 0,01 0,9 0,66 0,36 0,17 0,08 0,03 0,01

1 0,68 0,39 0,20 0,09 0,04 0,01 0,005 2 0,84 0,63 0,43 0,26 0,15 0,08 0,04 0,02 0,01 0,005 3 0,92 0,78 0,61 0,44 0,30 0,19 0,11 0,07 0,04 0,02 4 0,95 0,86 0,74 0,59 0,45 0,32 0,22 0,14 0,09 0,07 5 0,97 0,92 0,83 0,71 0,58 0,46 0,34 0,24 0,17 0,11 6 0,99 0,95 0,89 0,80 0,69 0,58 0,46 0,35 0,26 0,18 7 0,99 0,97 0,93 0,86 0,78 0,70 0,57 0,46 0,36 0,27 8 0,995 0,98 0,95 0,91 0,84 0,76 0,67 0,57 0,47 0,37 9 0,995 0,99 0,97 0,94 0,89 0,83 0,75 0,66 0,56 0,47

10 0,995 0,98 0,96 0,92 0,88 0,8I 0,73 0,65 0,56 11 0,995 0,99 0,97 0,95 0,91 0,86 0,80 0,72 0,64 12 0,995 0,98 0,97 0,94 0,90 0,83 0,79 0,71 13 0,995 0,99 0,98 0,96 0,93 0,89 0,83 0,78 13 0,995 0,98 0,97 0,95 0,92 0,88 0,83 15 0,995 0,99 0,98 0,96 0,94 0,91 0,87 16 0,995 0,995 0,99 0,97 0,96 0,93 0,90 17 0,995 0,99 0,98 0,97 0,95 0,93 18 0,995 0.995 0,99 0,98 0,96 0,95 19 0,995 0,99 0,99 0,97 0,96

20 0,995 0,995 0,99 0,98 0,97 21 0,995 0,995 0,99 0,98 22 0,995 0,995 0,99 0,98 23 0,995 0,995 0,99 24 0,995 0,99 25 0,995 0,995 26 0,995 27 0,995


290

n xo

2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2 3 0,01 0,005 4 0,03 0,02 0,01 0,005 5 0,07 0,04 0,02 0,01 0,01 0,005 6 0,13 0,09 0,06 0,03 0,02 0,01 0,005 0,005 7 0,20 0.14 0,10 0,07 0,04 0,03 0,02 0,01 0,005 0,005 8 0,29 0,21 0,16 0,11 0,08 0,05 0,03 0,02 0,01 0,01 9 0,38 0,30 0,23 0,17 0,12 0,09 0,06 0,04 0,03 0,02

10 0,47 0,38 0,31 0,24 0,18 0,13 0,10 0,07 0,05 0,03 I1 0,56 0,47 0,39 0,31 0,25 0,19 0,14 0,11 0,08 0,05 12 0,64 0,55 0,47 0,39 0,32 0,26 0,20 0,15 0,11 0,08 13 0,71 0,63 0,55 0,47 0,40 0,33 0,26 0,21 0,16 0,12 14 0,77 0,70 0,63 0,55 0,47 0,40 0,33 0,27 0,22 0,17 15 0,82 0,76 0,69 0,62 0,55 0,48 0,40 0,34 0,28 0,22 16 0,86 0,81 0,75 0,69 0,62 0,55 0,48 0,41 0,34 0,28 17 0,89 0,85 0,80 0,74 0,68 0,61 0,55 0,48 0,41 0,37 18 0,92 0,88 0,84 0,79 0,74 0,68 0,61 0,54 0,48 0,41 19 0,94 0,91 0,88 0,83 0,79 0,73 0,67 0,61 0,54 0,48

20 0,96 0,93 0,90 0,87 0,83 0,78 0,73 0,68 0,61 0,54 21 0,97 0,95 0,93 0,90 0,86 0,82 0,77 0,72 0,66 0,60 22 0,98 0,96 0,94 0,92 0,89 0,86 0,82 0,77 0,72 0,66 23 0,98 0,97 0,96 0,94 0,92 0,89 0,85 0,81 0,76 0,71 24 0,99 0,98 0,97 0,95 0,93 0,91 0,88 0,84 0,80 0,76 25 0,99 0,99 0,98 0,97 0,95 0,93 0,91 0,88 0,84 0,80 26 0,995 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,93 0,90 0,87 0,83 27 0,995 0,99 0,99 0,98 0,97 0,96 0,94 0,92 0,90 0,86 28 0,995 0,995 0,99 0,99 0,98 0,97 0,96 0,94 0,92 0,90 29 0,995 0,995 0,99 0,98 0,98 0,97 0,95 0,93 0,91

30 0,995 0,995 0,99 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,93 35 0,995 0,995 0,99 0,99 0,98 40 0,995 0,995


291

n xo

2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

8 0,005 9 0,01 0,005 0,005

10 0,02 0,01 0,01 0,005 0,005 I1 0,04 0,03 0,02 0,01 0,01 0,005 12 0,06 0,04 0,03 0,02 0,01 0,01 0,005 0,005 13 0,09 0,07 0,05 0,03 0,02 0,02 0,01 0,01 0,005 14 0,l3 0,10 0,07 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,01 0,005 15 0,18 0,14 0,11 0,08 0,06 0,04 0,03 0,02 0,01 0,01 16 0,23 0,18 0,14 0,11 0,09 0,06 0,05 0,03 0,02 0,02 I7 0,29 0,24 0,19 0,15 0,12 0,09 0,07 0,05 0,04 0,03 18 0,35 0,29 0,24 0,20 0,16 0,12 0,10 0,07 0,06 0,04 19 0,41 0,35 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13 0,10 0,08 0,06

20 0,48 0,42 0,36 0,30 0,25 0,21 0.17 0,14 0,11 0,08 21 0,54 0,48 0,42 0,36 0,31 0,26 0,21 0,17 0,14 0,11 22 0,60 0,54 0,48 0,42 0,36 0,31 0,26 0,22 0,18 0,15 23 0,66 0,60 0,54 0,48 0,42 0,37 0,31 0,27 0,22 0,18 24 0,71 0,65 0,60 0,54 0,48 0,42 0,37 0,32 0,27 0,23 25 0,75 0,70 0,65 0,59 0,54 0,48 0,43 0,37 0,32 0,27 26 0,79 0,75 0,70 0,65 0,59 0,54 0,48 0,43 0,37 0,32 27 0,83 0,79 0,74 0,70 0,64 0,59 0,54 0,48 0,43 0,38 28 0,86 0,81 0,78 0,74 0,69 0,64 0,59 0,54 0,48 0,43 29 0,89 0,86 0,82 0,78 0,74 0,69 0,64 0,59 0,53 0,48

30 0,91 0,88 0,85 0,82 0,78 0,73 0,69 0,64 0,59 0,53 35 0,98 0,96 0,94 0,93 0,90 0,89 0,86 0,83 0,79 0,76 40 0,995 0,99 0,98 0,98 0,97 0,96 0,95 0,93 0,92 0,90 45 0,995 0,995 0,995 0,99 0,99 0,98 0,98 0,97 0,96 50 0,995 0,995 0,995 0,99 0,98


292

TABLICA XI – Vrijednosti 20χ za dato

P

n

0,995

0,990

0,975

0,950

0,900

0,750

1 3927x10-8 1571x10-7 9821x10-7 3932x10-6 0,01579 0,1015 2 0,01003 0,02010 0,05064 0,1026 0,2107 0,5754 3 0,07172 0,1148 0,2158 0,3518 0,5844 1,213 4 0,2070 0,2971 0,4844 0,7170 1,064 1,923 5 0,4117 0,5543 0,8312 1,145 1,610 2,675

6 0,6757 0,8721 1,237 1,635 2,204 3,455 7 0,9893 1,269 1,690 2,167 2,833 4,255 8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 5,071 9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,899

10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,737

11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 7,584 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 8,438 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 9,299 14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 10,17 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 11,04

16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,91 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,09 12,79 18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,86 13,68 19 6,844 7,633 8,907 10,12 11,65 14,56 20 7,434 8,260 9,591 10,85 12,44 15,45

21 8,034 8,897 10,28 11,59 13,24 16,34 22 8,643 9,542 10,98 12,34 14,04 17,24 23 9,260 10,20 11,69 13,09 14,85 18,14 24 9,886 10,86 12,40 13,85 15,66 19,04 25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 19,94

26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 20,84 27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 21,75 28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 22,66 29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 23,57

30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 24,48 40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 33,66 50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 42,94 60 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 52,29 70 43,28 45,44 48,76 51,74 55,33 61,70 80 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 71,14 90 59,20 61,75 65,65 69,13 73,29 80,62 100 67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 90,13


293

P n

0,500

0,250

0,100

0,050

0,025

0,010

0,005

1 0,4549 1,323 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 2 1,386 2,773 4,605 5,991 7,378 9,210 10,60 3 2,366 4,108 6,251 7,815 9,348 11,34 12,84 4 3,357 5,385 7,779 9,488 11,14 13,28 14,86 5 4,351 6,626 9,236 11,07 12,83 15,09 16,75

6 5,348 7,841 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 7 6,346 9,037 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 8 7,344 10,22 13,36 15,51 17,53 20,09 21,96 9 8,343 11,39 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59

10 9,342 12,55 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19

11 10,34 13,70 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76 12 11,34 14,85 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 13 12,34 15,98 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 14 13,34 17,12 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 15 14,34 18,25 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80

16 15,34 19,37 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 17 16,34 20,49 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 18 17,34 21,60 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 19 18,34 22,72 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 20 19,34 23,83 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00

21 20,34 24,93 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 22 21,34 26,04 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 23 22,34 27,14 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 24 23,34 28,24 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 25 24,34 29,34 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93

26 25,34 30,43 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 27 26,34 31,53 36,74 40,11 43,19 46,96 49,64 28 27,34 32,62 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 29 28,34 33,71 39,09 42,56 45,72 49,59 53,34 30 29,34 34,80 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67 40 39,34 45,62 51,80 55,76 59,34 63,69 66,77 50 49,33 56,33 63,17 67,50 71,42 76,15 79,14 60 59,33 66,98 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95 70 69,33 77,58 85,53 90,53 95,02 100,02 104,22 80 79,33 88,13 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32

90 89,33 98,65 107,56 113,14 118,14 124,12 128,30 100 99,33 109,14 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17


294

TABLICA XII Donja i gornja kritična vrijednost W+Wilcoxon-ovog testa ranga sa znakom

n Jednosmjerni α=.0S α=.025 α=.01 α =.005 Dvosmjerni α=.10 α=.05 α=.02 α=.01 (Donja, gornja)

5 0,15 6 2,19 0,21 7 3,25 2,26 0,28 8 5,31 3,33 1,35 0,36 9 8,37 5,50 3,42 1,44

10 10,45 8,47 5,50 3,52 11 13,53 10,56 7,59 5,61 12 17,61 13,65 10,68 7,71 13 21,70 17,74 12,79 10,81 14 25,80 21,84 16,89 13,92 15 30,90 25,95 19,101 16,104 16 35,101 29,107 23,113 19,117 17 41,112 34,119 27,126 23,130 18 47,124 40,131 32,139 27,144 19 53,137 46,144 37,153 32,158 20 60,150 52,158 43,167 37,173 21 67,164 58,173 49,182 43,188 22 75,178 66,187 55,198 48,205 23 83,193 73,203 62,214 54,222 24 91,209 81,219 69,231 61,239 25 100,225 89,236 76,249 68,257 26 110,241 98,253 84,267 75,276 27 119,259 107,271 93,285 83,295 28 130,276 116,290 101,305 91,315 29 140,295 126,309 110,325 100,335 30 151,314 137,328 120,345 109,356


295

TABLICA XIII Donja i gornja kritična vrijednost W testa sume rangova

n2 α n1 (manji uzorak) Jedno- Dvo- smjerni smjerni 4 5 6 7 8 9 10

.05 .10 11,25 .025 .05 10,26

4 .01 .02 .005 .01 .05 .10 12,28 19,36 .025 .05 11,29 17,38

5 .01 .02 10,30 16,39 .005 .01 ----- 15,40 .05 .10 13,31 20,40 28,50 .025 .05 12,32 18,42 26,52

6 .01 .02 11,33 17,43 24,54 .005 .01 10,34 16,44 23,55 .05 .10 14,34 21,44 29,55 39,66 .025 .05 13,35 20,45 27,57 36,69

7 .01 .02 11,37 18,47 25,59 34,71 .005 .01 10,38 16,49 24,60 32,73 .05 .10 15,37 23,47 31,59 41,71 51,85 .025 .05 14,38 21,49 29,61 38,74 49,87

8 .01 .02 12,40 19,51 27,63 35,77 45,91 .005 .01 11,41 17,53 25,65 34,78 43,93 .05 .10 16,40 24,51 33,63 43,76 54,90 66,105 .025 .05 14,42 22,53 31,65 40,79 51,93 62,109

9 .01 .02 13,43 20,55 28,68 37,82 47,97 59,112 .005 .01 11,45 18,57 26,70 35,84 45,99 56,115 .05 .10 17,43 26,54 35,67 45,81 56,96 69,111 82,128 .025 .05 15,45 23,57 32,70 42,84 53,99 65,115 78,132

10 .01 .02 13,47 21,59 29,73 39,87 49,103 61,119 74,136 .005 .01 12,38 19,61 27,75 37,89 47,105 58,122 71,139


296

Korištena literatura:

• Beals R. E.; Statistics for Economists; Rand MçNally & Company; Chicago; 1972. • Blažić M.; Opšta Statistika- osnovi i analiza; Savremena administracija; Beograd; 1982. • Darlington, R. B.; Regression and linear models; McGraw-Hill; New York; 1990 • DeLurgio S. A.; Forecasting Principles and Applications; Irwin McGraw-Hill; 1998. • Dixon, W. J., & Massey, F. J.; Introduction to statistical analysis; McGraw-Hill; New York;

1983. • Dixon, W. J., & Massey, F. J.; Introduction to statistical analysis; McGraw-Hill; New York;

1983. • Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B.; Statistical Distributions; Wiley; New York; 1993. • Harnett D.L., Murphy J.L.; Statistical Analysis for Business and Economics; Addison-Wesley

Publishing Company; Massachusetts; 1985. • Ivanović Branislav; Teorijska statistika; Naučna knjiga; Beograd; 1979. • Kuč H.; Statističke funkcije u Excel-u kroz primjere; Chip studio; Zenica; 1999. • Lind D.A., Mason R.A.; Basic Statistics for Business and Economics; Irwin McGraw-Hill; 1997. • Lučić B.; Statistika; Ekonomski fakultet; Sarajevo; 1996. • McClave J.T., Benson P.G., Sincich T.; A First Course in Business Statistics; Prentice Hall;

2001; • Newbold P.; Statistics for Business and Economics; Prentice Hall Intenational; Englewood Cliffs

N.J.; 1991. • Poirier D.J.; Intermediate Statistics and econometrics - A Comparative Approach; The MIT

Press; Massachusetts; 1995. • Serdar V., Šošić I.; Uvod u statistiku; Školska knjiga; Zagreb; 1994. • Somun R.; Deskriptivna statistika; Ekonomski fakultet u Sarajevu; Sarajevo; 2004. • Somun R.; Pregled predavanja II; Ekonomski fakultet u Sarajevu; Sarajevo; 2003. • Spiegel M. R.; Schaum′¨s Outline of Theory and Problems of Statistics; Shaum Publishing

Company; New York, 1961 • Šilj M.; Uvod u modernu poslovnu statistiku; Nakladnička kuća Tonimir; Varaždinske Toplice,

1998. • Šošić I.; Zbirka zadataka iz osnova statistike; Informator; Zagreb; 1989. • Vukadinović S.; Zbirka rešenih zadataka iz teorije verovatnoće; Privredni pregled; Beograd;

1983. • Waxman P.; Business Mathematics and Statistics; Prentice Hall; Australia; 1993. • Webster a. L.; Applied Statistics for Business and Economics: An Essentials Version; Irwin

McGraw – Hill; 1998.; • Wonnacott T.H., Wonnacott R.J.; Student Workbook for Intraductory Statistics for Business and

Economics; John Wiley & Sons; New York; 1984. • Žižić M., Lovrić M., Pavličić D.; Metodi statističke analize; Ekonomski fakultet; Beograd; 2001. • Žužul J., Branica Marija; Statistika; Informator; Zagreb; 1998.

zbrika zadataka iz statistike

Documents