zbirka zadataka sa prijemnih ispita matematika · pdf filevisoka tehniČka škola...

VISOKA TEHNIČKA ŠKOLA STRUKOVNIH STUDIJA

SUBOTICA

SZABADKAI MŰSZAKI SZAKFŐISKOLA

ZBIRKA ZADATAKA SA PRIJEMNIH ISPITA

MATEMATIKA FELVÉTELI VIZSGAFELADATOK

GYŰJTEMÉNYE

1995-2009

Subotica/Szabadka 2010

Zadatke su sastavili i rešenja dali nastavnici i saradnici katedre za akademsko-opšteobrazovne predmete

VISOKE TEHNIČKE ŠKOLE STRUKOVNIH STUDIJA U SUBOTICI

01.07.1995. Mr. István Boros 05.09.1995. Mr. István Boros 20.09.1995. Mr. István Boros 03.07.1996. Mr. István Boros 05.09.1996. Mr. István Boros 02.07.1997. Mr. Marta.Takač 05.09.1997. Mr. Marta Takač 29.06.1998. Mr. István Boros 04.09.1998. Mr. Márta Takács U 1999-toj godini nije bilo klasifikacionog ispita 05.07.2000. Gizella Cs.Pajor 11.09.2000. Gizella Cs.Pajor 04.07.2001. Gizella Cs.Pajor 06.09.2001. Gizella Cs.Pajor 03.07.2002. Mr. István Boros 06.09.2002. Mr. István Boros 2003-2009. Nastavnici i saradnici katedre

PRIPREMA ZBIRKE ZADATAKA ZA ELEKTRONSKU UPOTREBU I ZA ŠTAMPU Mr. István Boros

PREDGOVOR Ovo izdanje je namenjeno kandidatima koji polažu prijemni ispit iz Matematike za upis na jednom od sledećih studijskih programa:

Razvoj proizvoda sa mehatronikom, Termotehnika sa ekologijom, Elektronika sa telekomunikacijama i Automatika sa energetikom.

Za upis na studijske programe Informatičko inženjerstvo i Internet i elektronsko poslovanje prijemni ispit se polaže iz Osnova računarstva. Ova Zbirka sadrži listove sa zadacima koje su dobili kandidati na samom ispitu, i slede rešenja. Listovi su dvojezični: na srpskom i na mađarskom jeziku, ili u ranijem peiodu na jednoj strani su bili tekstovi na srpskom, a na poleđini na mađarskom jeziku. Nadamo se, da oblik i sadržaj ove zbirke dovoljno rečito govori o načinu polaganja i o zahtevima koji se postavljaju pred kandidatima za upis. Želimo Vam prijatan rad, uspešno pripremanje i prijem na Visoku tehničku školu strukovnih studija u Subotici.

Autori

ELŐSZÓ Ez a kiadvány azoknak a diákoknak szól, akik a Szabadkai Műszaki Szakfőiskolára szeretnének Matematikából felvételizni a következő szakirányok valamelyikére:

Termékfejlesztés és mechatronika, Termotechnika és ökológia, Elektronika és telekommunikációk és Automatika és energetika.

A Számítástechnika, valamint az Internet és elektronikus ügyvitel szakirányokra a Számítástechnika alapjaiból kell vizsgát tenniük. A feladatgyűjtemény az előző években használt vizsgalapokat tartalmazza. A feladok után következnek a megoldások. Mindegyik feladatlap vagy szerb és magyar nyelvű, vagy a lap egyik oldalán a feladatokat szerb nyelven, a másik oldalán pedig magyar nyelven nyomtattuk. Reméljük, hogy a forma is és a tartalom is lehetővé teszi azt, hogy a diákok felmérjék, milyen követelményeknek kell eleget tenniük a felvételi vizsgán. Jó tanulást, eredményes felkészülést és sikeres felvételi vizsgát kívánunk Önöknek a Szabadkai Műszaki Szakfőiskola nevében.

A szerzők

VI�A TEHNIČKA �KOLA S U B O T I C A 01.07.1995.

KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

1. Uprostiti izraz =

+−⋅

−+⋅

−+

+−+

bab

bab

baba

baba 4123

33

33 (6 bodova)

2. Re�iti jednačinu:364

581182

12 +

=−

−− xx

xx

. (6 bodova)

3. Re�iti eksponencijalnu jednačinu: xxx 4269 ⋅=+ . (6 bodova) 4. Re�iti logaritamsku jednačinu: 7logloglog 2416 =++ xxx . (6 bodova) 5. Naći sva re�enja jednačine: 444

22 cossin =+ xx . (6 bodova)

6. Dato je sinα=21 (α<90o). Naći sin2α, cos2α, sin3α i cos3α. (6 bodova)

7. Temena trougla ABC su tačke: A(0, 0), B(�2, 3) i C(4, 6). Napisati jednačinu

visine koja je povučena iz temena A. (6 bodova) 8. Dat je krug 3422 =+ yx i prava koja prolazi kroz tačke A(6, 10) i B(9, �2). Koja

je tačka na pravoj najbli�a kru�nici i koja je tačka na kru�nici najbli�a pravoj? (6 bodova)

9. Povr�ina drvene kocke je 864 cm2. Kocka je ofarbana (cela povr�ina) crvenom

bojom, zatim je razreza na kockice od po 1cm3. a) Kolika je ivica date kocke? b) Koliko jediničnih kocki dobijamo tim komadanjem? c) Koliko je tih kocki ofarbano sa 3 strane? d) Sa 2 strane? e) Sa 1 strane? f) Koliko kockica uop�te nije ofarbana? (6 bodova)

10. Proizvod prva tri člana geometrijskog niza je 216. Ukoliko se treći član smanji za 3

dobijamo prva tri člana jednog aritmetičkog niza. Koji su to brojevi? (6 bodova)

5

MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A 1995.07.01.

MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL

1. Egyszerűsítse a kifejezést: =

+−⋅

−+⋅

−+

+−+

bab

bab

baba

baba 4123

33

33 (6 pont)

2. Oldja meg az egyenletet:364

581182

12 +

=−

−− xx

xx

. (6 pont)

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: xxx 4269 ⋅=+ . (6 pont) 4. Oldja meg a logaritmikus egyenletet: 7logloglog 2416 =++ xxx . (6 pont) 5. Határozza meg az egyenlet minden megoldását: 444

22 cossin =+ xx . (6 pont)

6. Adva van sinα=21 (α<90o). Határozza meg sin2α, cos2α, sin3α i cos3α értékét.

(6 pont) 7. Az ABC háromszög csúcspontjai: A(0, 0), B(�2, 3) i C(4, 6). Írja fel az A ponton

áthaladó magasság egyenletét. (6 pont) 8. Adott az 3422 =+ yx kör, és az A(6, 10) és B(9, �2) pontokhoz illeszkedő egyenes. Melyik pont van az egyenesen legközelebb a körhöz, és melyik a

körnek az egyeneshez legközelebbi pontja? (6 pont) 9. A fából készült kocka felszíne 864 cm2. A kocka teljes felszínét befestettük, majd feldaraboltuk 1cm3 térfogatú kis kockákra.

a) Mekkora az adott kocka éle? b) Hány egységkockát nyertünk? c) Hány kis kocka van 3 oldaláról befestve? d) és 2 oldaláról? e) és 1 oldaláról? f) Hány kocka egyáltalán nincs befestve? (6 pont)

10. Egy mértani sorozat első három tagjának szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-

mal csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagját nyerjük. Melyik mértani sorozatról van szó? (6 pont)

6

VI�A TEHNIČKA �KOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A 01.07.1995. 1995.07.01

KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE R E � E N J A


M E G O L D Á S O K

1. =

+−⋅

−+⋅

−+

+−+

bab

bab

baba

baba 4123

33

33

( )( ) ( )( )( )( ) =

+−+

⋅−+−

⋅−−

−++−+=

babba

babba

babababababa 4233

333333

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 6

3333633

3366 22

=+−−−−−+−

=+−

⋅−−

⋅−−

−=

babababababababa

baba

baba

bababa ,

uz uslov: .3,3,, babababa ≠≠−≠≠

2. 364

581182

12 +

=−

−− xx

xx

⇔ )9(4

5)9)(9()9(2

1+

=+−

−− xxx

xx

Za x ≠ 9 i x ≠ �9 imamo: )9(54)9(2 −=−+ xxx ili 7x = 63, x=9. Re�enje se ne prihvata, prema tome jednačina nema re�enja.

3. xxx 4269 ⋅=+ Podelimo jednačinu sa 4x i dobijamo:

0246

49

=−

+

xx

⇔ 0223

23 2

=−

+

xx

. Stavimo smenu tx

=

23 :

t2 + t � 2 = 0. Re�enja su t1 =1 i t2 = �2. Iz t1 =1 sledi x = 0, dok t2 = �2 ne prihvatamo, jer mora biti t > 0.

4. 7logloglog 2416 =++ xxx ⇔ 7loglog21log

41

222 =++ xxx ⇔

⇔ 28log7 2 =x ⇔ 4log2 =x ⇔ x = 16. 5. 444

22 cossin =+ xx . Zamenimo li sin2x = 1 � cos2x, i stavimo smenu tx =2cos4

dobijamo: 414 =+⋅ tt

⇔ t2 � 4t + 4 = 0 ⇔ (t � 2)2 = 0 ⇔ t = 2.

Iz navedenog sledi 242cos =x ⇔ 22

2cos2 =x ⇔ 1cos2 2 =x , odnosno

22cos ±=x . Prema tome sva tra�ena re�enja su

24ππ kx += za k∈Z.

7

6. Za sinα=21 (α<90o) imamo cosα =

23

411sin1 2 =−=− α . Sledi:

sin2α = 2sinα cosα = 2⋅23

23

21

=⋅ , cos2α = cos2α � sin2α =21 .

sin3α = sin(α +2α) = sinα cos2α + cosα sin2α = 1,

cos3α = cos(α +2α) = cosα cos2α – sinα sin2α =0.

7. Odredimo prvo koeficijent pravca du�i BC: 21

2436=

+−

=−−

=BC

BCBC xx

yyk . Tra�ena

visina prolazi kroz tačku A i normalna je na pravu (BC), zato je koeficijent pravca

te prave 21−=−=

BChA k

k . Jednačina visine je: y = �2x.

8. Povučemo normalu kroz centar kruga 3422 =+ yx na pravu (AB). Tra�ene tačke

su presek ove nove prave sa kru�nicom i sa pravom (AB). pAB: y = � 4x + 34.

Normala na ovu pravu iz tačke (0, 0) je x � 4y = 0.

Preseci su tra�ene "najbli�e" tačke: Na kru�nici ( )2,24K , a na pravoj P(8, 2). 9. a) Neposredno se dobija, da je ivica kocke a = 12 cm, jer je 6a2 = 864 cm2.

b) Broj jediničnih kocki je zapremina, tj a3 = 123 = 1728 cm3 .

c) 8 kocki, koje se nalaze na temenima velike kocke ofarbano je sa 3 strane.

d) sa 2 strane ofarbano je na svakoj ivici po 10 kockica, tojest 120 kocki.

e) sa 1 strane su ofarbane kocke na svakoj od 6 strana po 100, tojest 600 kocki.

f) neofarbane su kocke "ispod povr�inskog sloja" a to je 103 = 1000 kocki. 10. To su brojevi a, aq i aq2. Njihov proizvod je a3q3 = 216, iz čega sledi da je srednji

broj aq = 6. Koristimo činjenicu, da je (aq2 � 3) � aq = aq – a. Neposrednom

zamenom dobija se kvadratna jednačina po q: 2q2 � 5q + 2 = 0. Odavde je q1 = 2,

i q2 = 1/2. Kao re�enje dobijamo ista tri broja u obrnutom redosledu 3, 6 i 12,

odnosno 12, 6 i 3.

8



1. Uprostiti izraz: 11 1

1 3

1 3 11 3

1 31 1

1 3

1 3 11 3

++

+−

−+−

−+

+−

−+−

aaaa

aaaa

:

2. Re�iti jednačinu (odabrati pogodnu zamenu!): 161

116

52

5 5x

xx

x−+

−=

3. Re�iti sistem jednačina: 2 2 12

5

x y

x y+ =+ =

4. Re�iti jednačinu: log log2

222 2 0x x+ − =

5. Svesti izraz na funkcije ostrih uglova, zatim izračunati vrednost bez upotrebe kalkulatora:

sin cos tgctg sin cos

750 390 1140405 1860 780

o o o

o o o

6. Re�iti jednačinu: xxx 5cos3cos2cos =

7. Centar kru�nice se nalzi na pravama x + 2y = 6 i x � y = 0, a prolazi kroz tačku T(�1, �1). Napisati jednačinu te kru�nice.

8. Odrediti jednačine zajedničkih tangenti parabole y x2 4= i elipse x y2 24 8+ = .

9. U pravilnu četvorostranu jednakoivičnu piramidu upisana je lopta. Koliko procenata iznosi

zapremina lopte od zapremine piramide?

10. Aritmetički i geometrijski niz imaju isti treći član, koji iznosi 4. Proizvod prvih članova je 2,

drugih 6. Koji su ti nizovi? NAPOMENA: svaki zadatak se boduje maksimalno sa 6 bodova.

9

MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A 1995.09.05

MINŐSÍTŐ VISGA MATEMATIKÁBÓL .

1. Egyszerűsítse a következő kifejezést: 11 1

1 3

1 3 11 3

1 31 1

1 3

1 3 11 3

++

+−

−+−

−+

+−

−+−

aaaa

aaaa

:

2. Oldja meg a következő egyenletet: 161

116

52

5 5x

xx

x−+

−=

3. Oldja meg a következő egyenletrendszert: 2 2 12

5

x y

x y+ =+ =

4. Oldja meg a következő egyenletet: log log2

222 2 0x x+ − =

5. Vezesse vissza a szögfüggvényeket hegyesszögek függvényeire, majd számítsa ki

a kifejezés érékét kalkulátor használata nélkül: sin cos tgctg sin cos

750 390 1140405 1860 780

o o o

o o o

6. Oldja meg a következő egyenletet: cos cos cos2 3 5x x x=

7. A kör középpontja az x + 2y = 6 és az x � y = 0 egyenesek metszéspontjában van, valamint áthalad a T(�1, �1) ponton. Írja fel a kör egyenletét!.

8. Határozza meg az y x2 4= parabola, és a x y2 24 8+ = . ellipszis közös érintőinek egyenletét!

9. A szabályos négyoldalú (egyenlőélű) gúlába gömböt rajzoltunk. Hány százaléka a

gúla térfogatának a gömb térfogata? 10. Egy számtani és egy mértani sorozatnak is a harmadik tagja 4. Az első tagok szorzata

2, a második tagok szorzata pedig 6. Melyik ez a két sorozat? MEGJEGYZÉS: mindegyik feladat megoldásáért legfeljebb 6 pont jár.

10

VI�A TEHNIČKA �KOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A 20.09.1995. 1995.09.20.




1. 11 1

1 3

1 3 11 3

1 31 1

1 3

1 3 11 3

++

+−

−+−

−+

+−

−+−

aaaa

aaaa

: =

−−−−

−++−

−

−−−−

−++−

+=

aaa

aaa

aaa

aaa

313331

31131

31:

313331

31131

1

=

+−

+

+−

−=

−−−

−

−−−

+=aa

aa

aa

aa

31131:

3111

622231:

62221

aaa

aa

aaa

aa=

++=

+−++

++−+

=31

4:31

431

3331:31131 , za

31

≠a i 31

−≠a .

2. 161

116

52

5 5x

xx

x−+

−= za x ≠ 1 i x ≠ 0 stavljamo smenu: 5

116−

=x

xt . Sledi jednačina:

0252251 2 =+−⇔=+ tt

tt . Re�enja su: t1 = 2, i t2 = ½.

Za t1 = 2 imamo: 21

162 15 =⇒

−= x

xx , za t2 = ½ imamo:

5111

116

21

25 −=⇒

−= x

xx .

3. 2 2 12

5

x y

x y+ =+ =

. Zamenimo iz druge jednačine y = 5 � x u prvoj jednačini:

03221221222 25 =+⋅−⇒=+ − xxxx . Nakon stavljanja smene xt 2= dobijemo

jednačinu:

032122 =+− tt . Re�enja su: t1 = 8, i t2 = 4. Za t1 = 8 imamo: .2,382 ==⇒= yxx Za t2 = 4 imamo: .3,242 ==⇒= yxx

11

4. log log22

22 2 0x x+ − = . Primenom osobina logaritma i stavljanja smene xz 2log= imamo

jednačinu: 022 =−+ xz sa re�enjima: z1 = �2, i z2 = 1, odnosno : x1 = ¼, i x2 = 2.

5. sin cos tgctg sin cos

750 390 1140405 1860 780

o o o

o o o = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =+⋅⋅+⋅⋅+⋅

+⋅⋅+⋅+⋅oooooo

oooooo

603602cos603605sin451802cot01808tan30360cos303602sin

0=⋅⋅

⋅⋅==

21

231

023

21

60cos60sin45cot0tan30cos30sin

ooo

ooo

.

6. cos cos cos2 3 5x x x= . Primenom formule ( ) ( )( )βαβαβα −++=⋅ coscos21coscos

dobijemo

( )xxxx cos5cos213cos2cos += .

Zamenimo li to u datoj jednačini imamo: 0cos5cos =− xx .

Po�to je 2

sin2

sin2coscos βαβαβα −+−=− sledi: 02sin3sin2 =− xx .

Odatle se re�enja: sin3x = 0 ⇒ 3πkx = , ili sin2x = 0 ⇒

2πkx = , za k ∈ Z.

7. Presek pravih x + 2y = 6 i x � y = 0 je tačka C(2, 2).

Poluprečnik kru�nice je je rastojanje CT = 18 .

Iz toga neposredno sledi jednačina tra�ene kru�nice: (x � 2)2 + (y � 2)2 = 18.

8. Jednačine zajedničkih tangenti parabole y x2 4= i 84 22 =+ yx tra�imo u obliku y = kx +

n.

Uslov dodira parabole je p = 2kn, gde je p parametar parabole. Sledi n

k 1= .

Uslov dodira elipse je 2222 nbka =+ , gde su a i b poluose elipse. Sledi: 412 =k .

Objedinjavajući zaključke dobijamo za 21

=k n =2, i za 21

−=k n = �2. Slede jednačine

zajedničkih tangenti: 221,2

21

−−=+= xyxy .

12

9. Posmatrajmo osni presek KLS. KS = h = 2

3a , MS = H = 2

2a , PS = h � ( )1322

−=aa ,

OS = H – r =2

2a �r. Po�to je r2 = OS2 � PS2 dobijamo ( )264

−=ar . Zapremina

piramide

je: 6

23

32

1

aHaV == , a zapremina lopte je: ( )2563123

4 33

2 −==ππ arV .

Tra�eni procentni broj je ( ) %8,3053350100

1

2 ≈−== πV

Vp .

10. Neka su članovi aritmetičke progresije a1 , a2 i a3 , a članovi geometrijskog niza su b1 , b2 i b3 , pri čemu je a3 = b3 = 4, zatim a1 ⋅ b1 = 2 i a2 ⋅ b2 = 6. Na osnovu svojstava

aritmetičkog i geometrijskog niza zapisujemo:

a2 = a3 � d = 4 � d i a1 = a3 � 2d = 4 � 2d . dok je qq

bb 43

2 == i 22

31

4qq

bb == .

Po uslovu zadatka je a1 ⋅ b1 = 2 = ( )2

424q

d ⋅− , i a2 ⋅ b2 = 6 = ( )q

d 44 ⋅− . Iz ove druge

jednačine sledi: 238 qd −

= . Zamenimo li to u prethodnu jednačinu dobijamo:

0862 =+− qq . Re�enja po nepoznatom q su: q1 = 2 i q2 = 4.

Za q1 = 2 dobijamo d1 = 1, pa je tra�eni aritmetički niz 2, 3, 4, a geometrijski je 1, 2, 4.

Za q2 = 4 dobijamo d2 = �2, pa je tra�eni aritmetički niz 8, 6, 4, a geometrijski je ¼, 1, 4.

2 2K

M•

•S

a

a

a2

a2

•

•

•

•

•S

O

P Q

•M L

•K

Lr

r

a a

•

•

13



1. Uprostiti izraz: ( )1 1

1 1 22 2

2

2 2

a bx

aba b x

a b abx

a b

+ −

+ +

+ + −.

2. Re�iti jednačinu: x x x+ − − =1 1.

3. Re�iti eksponencijalnu jednačinu: 1012310310 44 =

−−

+

xx

.

4. Re�iti logaritamsku jednačinu: ( ) ( )log log4 2 2 2 2 3

1 1 7 0x x+ − + − = . 5. Re�iti trigonometrijsku jednačinu: 25cos25cossin30sin9 22 =+− xxxx .

6. Odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ugla α , ako je 32

2πα π< < ,

i 33ctg −=α .

7. Izračunati povr�inu trougla obrazovanog tangentama elipse x y2 2

20 51+ = povučene

iz tačke P 103

53

,

, i ose Ox.

8. U krug jediničnog poluprečnika upisan je pravougaonik sa odnosom stranica 1:3. Koliko procenata čini povr�ina pravougaonika od povr�ine kruga? 9. Osnova prave prizme je pravougli trougao ABC. AC = 1dm. Prav ugao je kod temena C, dok ugao kod temena A iznosi 600 . Ugao izmedju bočnih dijagonala koje ishode iz tačke A je 300 . Izračunati zapreminu prizme! 10. Ako se od 4 broja odbaci prvi, ostali čine geometrijsku progresiju. Ako se odbaci poslednji, ostaje aritmetička progresija. Zbir brojeva iz geometrijske progresije je 13, a zbir tri broja iz aritmetičke progresije iznosi 3. Naći te brojeve. Napomena: Svaki zadatak se boduje maksimalo sa 6 bodova.

15

MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A 1995.09.20


1. Egyszerűsítse a kifejezést: ( )1 1

1 1 22 2

2

2 2

a bx

aba b x

a b abx

a b

+ −

+ +

+ + −.

2. Oldja meg az egyenletet: x x x+ − − =1 1.

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: 1012310310 44 =

−−

+

xx

.

4. Oldja meg a logaritmikus egyenletet: ( ) ( )log log4 2 2 2 2 3

1 1 7 0x x+ − + − = . 5. Oldja meg a trigonometriai egyenletet: 25cos25cossin30sin9 22 =+− xxxx .

6. Határozza meg az α szög többi szögfüggvényét, ha 32

2πα π< < és

33ctg −=α .

7. Számítsa ki annak a háromszögnek a területét, amelyet az x y2 2

20 51+ = ellipszishez

a P 103

53

,

pontból húzott érintők és az Ox tengely alkotnak.

8. Az egységsugarú körbe téglalapot rajzoltunk amely oldalainak aránya 1:3. A kör területének hány százaléka tartozik a téglalaphoz? 9. Az egyenes hasáb alaplapja az ABC derékszögű háromszög. AC = 1dm. A derékszög a C pontnál van, míg az A pontnál lévő szög 600 . Az A pontból kiinduló oldalátlók egymás között 300 -os szöget zárnak be. Határozza meg a hasáb térfogatát! 10. Ha 4 szám közül elhagyjuk az elsőt, a megmaradók mértani sorozatot alkotnak. Ha az utolsót hagyjuk el, akkor számtani sorozat marad. A mértani sorozathoz tartozó számok összege 13, míg a számtanihoz tartozók összege 3. Melyik ez a 4 szám? Megjegyzés: A feladatok mindegyike legfeljebb 6 ponttal értékelhető.

16



MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K

1. Za a≠0 i b≠0 imamo: ( )1 1

1 1 22 2

2

2 2

a bx

aba b x

a b abx

a b

+ −

+ +

+ + −

( )=

−++

++−+

=

22

222 2ba

xabab

xbaab

xab

( )( )( )

( )( ) ab

abxbaxba

abxba

xbaxba=

−+−+

=−+

++−+=

22

22

22 , pod uslovom da je x ≠±(a+b).

2. Za x ≥ 0 i 1 ≥ x imamo: x x x+ − − =1 1 ⇔ xxx −=−− 11 . Kvadriramo li jednačinu, dobijamo: xxxx +−=−− 211 ⇔ xx 211 −=−− .

Ponovnim kvadriranjem: xxx 4411 +−=− ⇔ xx 54 = ⇔ 16x = 25x2.

Re�enja ove poslednje jednačine su x1 = 0 i x2 = 16/25, od kojih brojeva samo ovaj

drugi zadovoljava polaznu jednačinu!

3. 1012310310 44 =

−−

+

xx

. Uočiti, da je 310

1310−

=+ , pa je

moguća smena ( )4310x

t += . Dobija se jednačina 0110122 =−− tt čija su

re�enja 191062

1 ±=t . Po�to mora biti t > 0, sledi ( )231019106 +=+=t .

Konačno re�enje je: ( ) ( )24 310310 +=+x

⇔ x = 8. 4. ( ) ( )log log4 2 2 2 2 3

1 1 7 0x x+ − + − = . Primenom osobine logaritma dobijamo:

( ) ( ) 071log91log16 2224 =−+−+ xx . Stavimo smenu )1(log 22 += xt :

07916 2 =−− tt . Re�enja ove poslednje jednačine su 32

2392

1

±=t .

Negativno re�enje se odbacuje zbog kvadrata, pa će biti 1)1(log 22 =+= xt ,

17

sledi: 1)1log( 2 ±=+x . Za +1 dobijamo x2 + 1 = 10, odnosno x = ±3.

Drugo re�enje (�1) odbacujemo jer ne postoji realno x za koje je 1)1log( 2 −=+x ,

naime, trebalo bi da bude x2 =10�1 � 1 = �0,9.

5. 25cos25cossin30sin9 22 =+− xxxx . Nakon smene cos2x = 1 � sin2x imamo:

�16sin2x � 30 sinx⋅ cosx = 0 ⇔ sinx (8 sinx + 15 cosx) = 0 ⇔

⇔ sinx = 0, �to znači x = kπ, ili je 8 sinx + 15 cosx = 0, to jest tgx = �8/15.

Ovo zadnje re�enje znači x = 118°56' + kπ, gde je k∈ Z.

6. Po�to je ctgα = −3

3zato je 31

−==α

αctg

tg .

Imamo identičnost 23

1sin

2 ±−

=+±

=α

αα

tgtg . Zbog uslova 3

22π

α π< <

dobijemo, da je 23sin −=α . Slično zbog uslova zadatka je

21cos +=α .

7. Neka je jednačina tangente Ax + By + C = 0. Uslov dodira je a2A2 + b2B2 � C2 = 0,

gde su a i b poluose elipse. To znači: 20A2 + 5B2 � C2 = 0. Pored toga prava prolazi

kroz tačku P 103

53

,

: 035

310

=+⋅+⋅ CBA . Re�avanjem sistema od ove dve jednačine

dobijamo tangente: x + y = 5 i x + 4y = 10. Koordinate preseka ovih pravih sa osom Ox

su tačke A(5, 0) i B(10, 0). Prema tome osnova trougla je du� AB=5, a visina trougla je

ordinata tačke P. Zato je tra�ena povr�ina625

2355=

⋅=∆p .

8. Pravougaonik upisan u krug jediničnog poluprečnika ima dijagonalu du�ine 2, a jedna stranica ima du�inu x, dok druga 3x. Po Pitagorinoj teoremi je x2 + 9x2 = 4, odnosno x2 = 2/5. Povr�ina pravougaonika je x⋅3x = 3x2 =6/5 = 1,2. Po�to je povr�ina kruga π,

tra�eni procenat će biti %2,38%1002,1%1002

1 ≈⋅π

=⋅=ppk .

18

9. Po�to je osnova "polovina" jednakostraničnog -

trougla, du�ine ivica su: AC=1, AB=2 i

BC= 3 . Prava B1C1 je normalna na celu bočnu stranu

ACC1A1, pa je normalna i na du� AC1.

To znači da je trougao AC1B1 pravougli sa

pravim uglom kod tačke C1. Prema tome i to

je "polovina" jednakostraničnog trougla, zato

iz B1C1= 3 sledi: AB1 =2 3 . Visinu H računamo pomoću Pitagorine teoreme: H2 =(2 3 )2 � 22 = 8. Sledi H= 22 , a tra�ena zapremina je:

622

312 1

=⋅

=

⋅⋅

=⋅=⋅=

V

BBBCACHpHBV ABC

10. Neka su prva tri broja, koji čine aritmetičku progresiju označeni sa a, a+d, a+2d. Četvrti

član je deo geometrijske progresije čiji su prvi i drugi član a+d, a+2d, zato je količnik te

progresije (a+2d)/( a+d). Dok je četvrti broj jednak (a+2d)2/( a+d). Po uslovima zadatka

imamo: ( ) ( ) ( ) 13222

=++

++++dadadada , i a + (a+d) + (a+2d) = 3

Iz ovog sistema jednačina slede re�enja. Za d1 = �5 dobijemo a = 6 i brojeve: 6, 1, �4, 16, a za d2 = 2 dobijemo a = �1 i brojeve �1, 1, 3, 9.

60o

90o

30o

2

3

32

3

B

A

C

C1

B1

A1

H

1

19



1. Uprostiti izraz =+++

++

+−+

baaba

a

baaba

2

2

2

22

1 (6 bodova)

2. Re�iti jednačinu: 42

11

1=

−+

+− x

xx . (6 bodova)

3. Re�iti eksponencijalnu jednačinu: 1227

21

3229 −++−=− xxxx . (6 bodova)

4. Re�iti logaritamsku jednačinu: 3log4log2log 2832 =+− xxx . (6 bodova)

5. Dokazati identičnost 03

4sin3

2sinsin =

++

++

πα

παα . (6 bodova)

6. Naći sva re�enja trigonometrijske jednačine: 04sin3sin2sinsin =+++ xxxx . (6 bodova)

7. Osnova jednakokrakog trougla ABC je du� AB: A(�1, 5), B(5, 3). Odrediti povr�inu tog trougla ako se treće teme nalazi na osi Ox. (6 bodova) 8. Pod kojim uglom se vidi krug 014222 =+−−+ yxyx iz tačke P(5, 2).

(6 bodova) 9. Odrediti povr�inu i zapreminu lopte koja je opisana oko kocke, čija je zapremina

V1 = 24 3 cm3 . (6 bodova) 10. Tri broja čine aritmetički niz, a njihov zbir je 12. Ako se poslednji poveća za

vrednost prvog broja, dobija se geometrijski niz. Koji so to brojevi? (6 bodova)

21



1. Egyszerűsítse a kifejezést =+++

++

+−+

baaba

a

baaba

2

2

2

22

1 (6 pont)

2. Oldja meg az egyenletet: 42

11

1=

−+

+− x

xx . (6 pont)

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: 1227

21

3229 −++−=− xxxx . (6 pont)

4. Oldja meg a logaritmikus egyenletet: 3log4log2log 2832 =+− xxx . (6 pont)

5. Igazolja az alábbi azonosságot: 03

4sin3

2sinsin =

++

++

πα

παα . (6 pont)

6. Határozza meg a trigonometriai egyenlet minden megoldását: 04sin3sin2sinsin =+++ xxxx . (6 pont) 7. Az ABC egyenlőszárú háromszög alapja az AB szakasz: A(�1, 5), B(5, 3).

Határozza meg a háromszög területét, ha a harmadik csúcspont az Ox tengelyhez illeszkedik. (6 pont)

8. Mekkora szög alatt látszik az 014222 =+−−+ yxyx kör a P(5, 2) pontból?

(6 pont) 9. Határozza meg a kocka köré írt gömb felszínét és térfogatát, ha a kocka térfogata

V1 = 24 3 cm3 . (6 pont) 10. Három szám számtani sorozatot alkot, összegük 12. Ha az utolsó számot

megnöveljük az első szám értékével, akkor mértani sorozatot nyerünk. Melyek ezek a számok? (6 pont)

22



MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL M E G O L D Á S O K

1. =+++

++

+−+

baaba

a

baaba

2

2

2

22

1=

+++

++

++

−+

baaba

aba

baaba

2

2

2

2

22

ba

bbaba

b+

+=

++

+=

222

11

2. Jednačina 42

11

1=

−+

+− x

xx ima smisla za x ≥ 0. Eliminacijom razlomaka:

)1(8)1)(1()1(2 xxxx +=+−+− ⇔ xxx 88122 +=−+− ⇔

⇔ xx 89 =− ↑2 ⇔ 081822 =+− xx . Re�enja su x1 = 1 i x2 = 81.

Proverom se utvrdjuje da samo broj 81 zadovoljava polaznu jednačinu.

3. 1227

21

3229 −++−=− xxxx ⇔ 2

127

1 2222399 xxxx +=⋅+ − ⇔

⇔ ( )18223119 2

1

+=

+ xx ⇔

23

21

29

3429

29

=

⋅=

x

⇔ 23

=x .

4. 3log4log2log 2832 =+− xxx ⇔ ( ) ( ) 3loglog231log1

51

222 =++−+ xxx ⇔

⇔ 52log13 2 =x ⇔ 4log2 =x ⇔ x = 16.

23

5. Za dokaz jednakosti 03

4sin3

2sinsin =

++

++

πα

παα primenimo identičnost:

2β−αβ+α

=β+α cos2

sin2sinsin . Spojimo prvi i treći sabirak na predlo�eni način

++

−

+=

++

++

32sin

32cos

32sin2

32sin

34sinsin π

αππ

απ

απ

αα

Po�to je 21

32cos

32cos −=

−=

ππ , sledi da je tvrdjenje zadatka tačno:

03

2sin3

2sin212 =

++

+

−

πα

πα .

6. 04sin3sin2sinsin =+++ xxxx .

Primenimo formulu iz prethodnog zadatka na sabirke 1 i 4, odnosno na 2 i 3.

02

sin2

5sin22

3cos2

5sin2 =+xxxx ⇔ sin

25x = 0 ili 0

2sin

23cos =+

xx .

Prva mogućnost neposredno daje πkx=

25 , odnosno

52 πkx = za k∈Z.

Drugu jednačinu napi�imo u obliku zbira sinusa, zatim opet primenimo formulu

za zbir sinusa: 02

sin2

3cos =+xx ⇔ 0

2sin

23

2sin =+

−

xxπ ⇔

⇔ 04

cos24

sin2 =

−

− xx ππ . Iz te jednačine slede jo� dve serije re�enja:

ππ kx 22−= i

4π

π −= kx za k∈Z

7. Napi�imo jednačinu visine trougla ABC koja pripada du�i AB: To je simetrala du�i

A(�1, 5), B(5, 3). Prolazi kroz sredi�te du�i a to je tačka C1(2, 4) i normalna je na

(AB). Po�to je kAB = �1/3, zato ta visina ima jednačinu y � 4 = 3(x � 2). Ta prava

seče osu Ox u tački C(2/3, 0). Du�ina osnovice je AB = 102 , visina trougla je

CC1 = 1034 . Prema tome, povr�ina je:

340

2

1034102

21 =

⋅=

⋅=∆

CCABp .

24

8. Povucimo tangete kruga iz tačke P(5, 2). To će biti 014222 =+−−+ yxyx

prave y – 2 = k (x – 5) koje sa kružnicom imaju jednu zajedničku tačku. Situacija

se poklapa ako posmatramo centralni krug i tačku Q(4, 0), odnosno 422 =+ yx

pravu y = k (x – 4) (jer je centar polazne kružnice C(1, 2) a poluprečnik r = 2 ).

Uvrstimo u jednačinu kružnice i zahtevamo jedno rešenje. To nas dovodi do

izjednačavanja diskriminante sa nulom a to je jednačina: ⇔ ( ) 44 22 =−+ kkxx

⇔ ⇔ ⇔ 04168)1( 2222 =−+−+ kxkkx 0)416)(1(464 224 =−+−= kkkD

⇔ 33

3101

21

2 ±=±=⇔=− kk3 .

To su koeficijenti pravaca tangenti. Tangens ugla izmedju njih je:

23

3233

311

33

33

1 21

12 ==−

+=

+−

=ϕkkkktg ⇒ ϕ = 60°.

9. Ta lopta ima prečnik, koji je jednak telesnoj dijagonali kocke: 2R = a 3 .

Iz zapremine kocke V1 = 24 3 cm3 sledi: a3 =24 3 . Očevidno mora biti

a = t 3 , gde je t zasad nepoznat broj. Odavde je a3 = t3 3 3 . Zaključujemo:

a3 =24 3 = t3 3 3 . Pa mora biti t3 = 8 odnosno t = 2, pa će biti a = 2 3 .

Pošto je 2R = a 3 sledi 2R = 2 3 3 . To znači: R = 3.

Zapremina te lopte je V = 108π/3 cm3, dok je površina P = 36π cm2.

10. Neka su to brojevi a, a+d i a+2d, pri čemu je 3a+3d = 12, ili a+d = 4.

Druga jednačina se dobija iz količnika geometrijskog niza: da

adaa

da+

++=

+ )2( ,

ili ( ) . Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijemo: ( daada 222 +=+ )d = a = 2. To znači, traženi su brojevi: 2, 4, 6.

25



1. Izračunati ( ) ( ) 11 11 −− +++ ba ako je ( ) ( ) 1132,32

−−−=+= ba . (6 bodova)

2. Re�iti jednačinu: 1322 =−−+ xx . (6 bodova)

3. Re�iti eksponencijalnu jednačinu:x

x−

−

=⋅

225.04125.0 12 . (6 bodova)

4. Re�iti logaritamsku jednačinu: 067log2log 4 =+− xx . (6 bodova)

5. Ako je 71tg =α i

4π

βα =+ odrediti βtg . (6 bodova)

6. Re�iti trigonometrijsku jednačinu: xx 2sin24cos2 =+ . (6 bodova) 7. Te�i�te T trougla ABC pripada osi Ox, teme C pripada osi Oy, dok temena A i B su

data: A(2,�3), B(�5,1). Odrediti koordinate tačaka T i C. (6 bodova) 8. Oko kru�nice 10022 =+ yx opisan je tangentni četvorougao čija su dva suprotna

temena A(�14,�2) i C(20,10). Odrediti koordinate temena B i D. (6 bodova) 9. Iz pravog kru�nog valjka poluprečnika R=5 cm i visine H=150 cm isečeno je 15

kugli poluprečnika r=5 cm. Kolika je zapremina otpada i koliko je to procenata od zapremine valjka? (6 bodova)

10. Četiri broja čine geometrijski niz, a njihovi logaritmi za osnovu 3 čine aritmetički

niz čiji je zbir 18, a razlika d=1. Koji so to brojevi? (6 bodova)

27



1. Számítsa ki ( ) ( ) 11 11 −− +++ ba értékét, ha ( ) ( ) 1132,32

−−−=+= ba .(6 pont)

2. Oldja meg az egyenletet: 1322 =−−+ xx . (6 pont)

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: x

x−

−

=⋅

225.04125.0 12 . (6 pont)

4. Oldja meg az egyenletet: 067log2log 4 =+− xx . (6 pont)

5. Ha 71tg =α és

4π

βα =+ , határozza meg βtg értékét.

(6 pont) 6. Oldja meg a trigonometriai egyenletet: xx 2sin24cos2 =+ . (6 pont) 7. Az ABC háromszög T súlypontja az Ox tengelyhez illeszkedik, míg a C csúcspont

az Oy tengelyhez tartozik. Ismertek A és B pontok koordinátái: A(2,�3), B(�5,1). Határozza meg T és C pontok koordinátáit. (6 pont)

8. Az 10022 =+ yx kör köré érintőnégyszöget rajzoltunk, amelyben ismertek az

egyik átlójának végpontjai: A(�14,�2) és C(20,10). Határozza meg a másik átló végpontjainak, B-nek és D-nek koordinátáit. (6 pont)

9. Az R=5 cm sugarú és H=150 cm magasságú egyenes körhengerből kimetszettünk

15 gömböt, mindegyiknek a sugara r=5 cm. Mekkora a hulladék térfogata, és hány százaléka ez a henger térfogatának? (6 pont)

10. Négy szám mértani sorozatot alkot, míg a hármasalapú logaritmusaik egy

számtani sorozat elemei, amelyek összege 18, a különbsége d pedig 1. Melyek ezek a számok? (6 pont)

28



MINŐSITŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL


1. ( ) ( ) 11 11 −− +++ ba =( ) ( )

=+−

+++

=+

++ −−

132

1

132

11

11

111ba

=−

−+

+

+=

−

−+

+

+=

+−

++

+

=3332

3332

3233

1

3233

1

132

11

132

11

( )( ) ( )( )( )( ) 1

66

39332336332336

333333323332

==−

−+−+−−+=

−+

+−+−+=

.

2. 1322 =−−+ xx Očevidno mora biti x ≥�2 i x ≥3/2 , tojest x ≥3/2.

1322 =−−+ xx ↑2 ⇒ ( ) ( ) 13232222 =−+−+−+ xxxx ⇒

⇒ ( )( )322223 −+=− xxx ↑2 ⇒ ( )634244129 22 −−+=+− xxxxx ⇒

⇒ 24484129 22 −+=+− xxxx ⇒ 028162 =+− xx ⇒ x1 =2 i x2 =14.

Proverom utvrdjujemo, da se re�enje x1 =2 prihvata dok se x2 =14 odbacuje.

3. x

x−

−

=⋅

225.04125.0 12 .

Po�to je 3281125.0 −== , 4=22, 22

4125.0 −== i 2

1

22

1 −=

sledi:x

x

−−−−−

⋅=⋅ 2

12243 2222 ⇒ 2

554 22

xx =− ⇒

2554 xx =− ⇒

310

=x

29

4. 067log2log 4 =+− xx ⇒ 0

67

2log212log =+−

xx .

Smena: tx =2log ⇒ 067

21

=+−t

t ⇒ 0376 2 =−+ tt ⇒

⇒ 23,

31

21 −== tt ⇒ 321

23

1

1 22,822 21−

===== tt xx .4

13

=

5. ( )βαβα

βαtgtg

tgtgtg⋅−

+=+

1 ⇒

β

βπ

tg

tgtg

⋅−

+=

711

71

4 ⇒ ββ tgtg +=−

71

711 ⇒

⇒ βtg

+=−

711

711 ⇒

43

=βtg .

6. xx 2sin24cos2 =+ ⇒ 1sin22sin2cos1 222 −=−+ xxx ⇒

⇒ 1sinsin2cos2sin1 2222 −+=+− xxxx ⇒ 02cos2cos2 2 =+ xx ⇒

⇒ ( ) 012cos22cos =+xx ⇒ 02cos =x ili 212cos −=x ⇒

⇒ .,324

Zkzakxilikx ∈=±=+= ππππ

7. Po�to je T ∈ Ox ⇒ T(tx , 0 ), dok je C ∈ Oy ⇒ C (0, cy ). Takodje je:

3

xxxx

cbat

++= i

3yyy

y

cbat

++= ⇒ 1

3052

−=+−

=xt i 313

0 yc++−= ,

odatle sledi cy = 2. Prema tome: T(�1, 0), C(0, 2).

8. Očevidno, potrebno je odrediti tangente tAB i tAD zatim naći B i D.

Tangenta kru�nice koja prolazi kroz tačku A je: y + 2 = k( x + 14 ). Iz uslova

dodira r2 (k2 + 1) = l2 , gde je l = 14k -2 imamo 43,

34

21 −== kk .

Tangente kroz tačku C dobijaju se na sličan način: y – 10 = k( x – 20 ). Pa iz

uslova dodira sledi 34,0 43 == kk .

30

tAB: 225

43

−−= xy , tCB 3

5034

−= xy , a njihov presek je tačka B(2, �14).

tAD: 3

5034

+= xy , tCD y = 10, a njihov presek je tačka D(�5, 10).

9. Zapremina valjka je Vv = R2 π H = 3750 π cm3. Zapremina jedne lopte je:

VL = 4 r3 π/3 = 500 π/3 cm3. Otpad je Vo = Vv � 15 VL = 1250 π cm3. Po�to je to

tačno trećina zapremine valjka zato je to u procentima 33,33%.

10. Neka su to brojevi a, aq, aq2 i aq3, a njihovi logaritmi su:

log3 a, log3 a + log3 q, log3 a + 2log3 q i log3 a + 3log3 q .

Zbir tih brojeva je: 4 log3 a + 6 log3 q = 18, a diferencija je log3 q = 1.

Iz navedenog sledi q = 3, i 4 log3 a =12 ⇒ log3 a = 3 ⇒ a = 33 = 27.

Prema tome tra�eni brojevi su: 27, 81, 243, 729.

31

VI�A TEHNIČKA �KOLA SUBOTICA 02.07.1997.


1. Uprostiti izraz: =

−−+

+−

− aaa

aa

11

111 : . (6 bodova)

2. Re�iti jednačinu: xx =−+ 162 . (6 bodova) 3. Re�iti eksponencijalnu jednačinu: 3066 21 =− −+ xx . (6 bodova)

4. Re�iti jednačinu: 32 21

425

52 xlogxlog −+

=

. (6 bodova)

5. Izračunati )sin( β−α , ako je 1715 i

53

=β=α cos,sin . (6 bodova)

6. Re�iti trigonometrijsku jednačinu: 25

212

122

=−

+− xsin

xsinxsin

xsin . (6 bodova)

7. Dat je trougao ∆ABC koordinatama svojih temena: ( ) ( ) .,C,,B,,A

−

211

233431

Dokazati da je trougao pravougli i izračunati njegove o�tre uglove. Kako glasi jednačina prave koja sadr�i stranicu AB? (6 bodova)

8. Data je jednačina kru�nice 04

1986 22 =+−+− yyxx . Naći du�inu tetiva, koje

kru�nca odseca na koordinatnim osama. Povući tangentu na kru�nicu u kranjoj tački tetive koja pripada osi Oy i koja je bli�a koordinatnom početku. (6 bodova)

9. Naći zbir svih trocifrenih neparnih prirodnih brojeva. (6 bodova) 10. Oko kvadra dimenzija a=32cm, b=24cm, c=30cm opisana je sfera. Naći povr�inu

sfere i zapreminu lopte koju ograničava ta sfera. (6 bodova)

33

MŰSZAKI FŐISKOLA SZABADKA 1997.07.02.


1. Egyszerűsítse a kifejezést: =

−−+

+−

− aaa

aa

11

111 : . (6 pont)

2. Oldja meg az egyenletet: xx =−+ 162 . (6 pont) 3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: 3066 21 =− −+ xx . (6 pont)

4. Oldja meg az egyenletet: 32 21

425

52 xlogxlog −+

=

. (6 pont)

5. Számítsa ki )sin( β−α értékét, ha 1715

53

=β=α cos,sin . (6 pont)

6. Oldja meg a trigonometriai egyenletet: 25

212

122

=−

+− xsin

xsinxsin

xsin . (6 pont)

7. Adottak az ABC háromszög csúcspontjai: ( ) ( ) .,C,,B,,A

−

211

233431 Bizonyítsa

be, hogy a háromszög derékszögű. Határozza meg a háromszög minden szögét. Irja fel az AB oldalhoz illeszkedő egyenes egyenletét is! (6 pont)

8. Adott a kör egyenlete: 04

1986 22 =+−+− yyxx . Határozza meg a kör által a

koordinátatengelyekből kimetszett húrok hosszúságát. Irja fel a kör azon érintőjének az egyenletét is, amely az Oy tengelyen kimetszett húrnak az O ponthoz közelebb eső végpontjában érinti a kört! (6 pont)

9. Számítsa ki a háromjegyű páratlan természetes számok összegét. (6 pont) 10. Az a=32cm, b=24cm, c=30cm élhosszúságú téglatest köré gömböt rajzoltunk.

Számítsa ki a gömb felszínét és térfogatát. (6 pont)

34





1. =

−−+

+−

− aaa

aa

11

111 :

( ) ( )

( )( )( )22

22

1112

11

12

11:

12

11:

111

111:

111

aaaa

aa

aa

aa

aa

aaaa

aaa

aaaa

aaa

++−

=+−

⋅+

=

=−+

+=

−+−+

++−+

=−

−−++

−−+

2. xx =−+ 162 2↑ (uslovi re�avanja su: 160160016 ≥⇒≥∧≥⇒≥∧≥− xxxxx )

( ) xxx =−+−⋅+ 1616224 ⇒ 164164 +−−=− xxx ⇒

⇒ 12164 =−x 2↑ ⇒

( )

25916

16/144161441616

==−=−

=−

xxx

x

Re�enje zadovoljava gore navedeni uslov, znači prihvatamao ga: { }25=R

3. 3066 21 =− −+ xx ⇒ 306666 2 =⋅−⋅ −xx

30613666 =⋅−⋅ x

x tsmena x =6: ⇒ tt

t ⋅=⋅−⋅ / 301366

03630630366

2

2

=−−

=−

tttt ⇒

( ) ( )12

36643030 2

2/1−⋅⋅−−±

=t ⇒ 12

42302/1

±=t

166

12726

1

1

1

1

1

==

==

x

t

x

x

16

12126

2

22

−=

−==

x

xt

Po�to exponencijalni izraz ne mo�e imati negatinvu vrednost, drugo re�enje ne prihvatamo, znači { }1=R .

35

4. 32 21

425

52 xlogxlog −+

=

uslov re�avanja je 0>x

xlogxlog 32212

52

52

−−+

=

⇒

( )xlogxlog 32212

52

52 −−+

=

⇒

⇒ ( )xlogxlog 32212 −−=+ ⇒

45

10

45

546412

=

=

=+−=+

x

xlog

xlogxlogxlog

Re�enje zadovoljava gore navedeni uslov, znači prihvatamao ga:

= 45

10R .

5. βαβαβα sincoscossin)sin( ⋅−⋅=−

Po�to je zadato, da je 1715 i

53

=β=α cos,sin , sledi

54

2516

5311

22 ==

−=−= αα sincos

178

28964

289225289

171511

22 ==

−=

−=−= ββ cossin

8513

853245

178

54

1715

53

=−

=⋅−⋅=− )sin( βα

6. 25

212

122

=−

+− xsin

xsinxsin

xsin

(uslovi re�avanja su 02102012 ≠∧≠⇒≠∧≠− xsinxsinxsinxsin )

( ) xsinxsin/xsin

xsinxsin

xsin 122 25

212

122

−⋅=−

+−

( )( ) ( ) xsinxsinxsinxsinxsinxsin 125121222 −=−−+⋅ xsinxsinxsinxsinxsin 5101444 222 −=+−+

012 2 =++− xsinxsin

( ) ( )4

12411 2

21

−⋅−−±−

=xsin ⇒ ( )4

312

1−±−

=xsin

ππ

ππ kxkxxsin 2

62

67

21

11111 +−=∨+=⇒−=

ππ kxxsin 22

1 212 +=⇒=

36

7. ( ) ( ) .,C,,B,,A

−

211

233431

du�ina stranice ( )( ) ( ) 5253314 22 ==−+−−=AB

5432

254

50425

4253

2114

23 2

2 ,BC ≈==+=

−+

−=

( ) 5432

254

50425

4253

2111

23 2

2 ,AC ≈==+=

−+

−−=

ABBCAC <= , znači AC i BC bi trebale biti katete (jednakokrakog) pravouglo

trougla, a AB bi trebala biti hipotenuoza. Prema tome po Pitagorinoj teoremi

2

22

222

52

252

25=

+

=+ ABBCAC

⇒ 25

4100

254

504

50

=

=+

Uslov je zadovoljen, znači trougao je pravougli. ( )→→

→→

=∠ACAB

ACABAcos o

( ) ( ) ( )

( )

=−−

=

=−−=→

→

25

2531

211

23

053134

,,,AC

,,,AB ⇒

225

5

==

==

→

→

ACAC

ABAB

( ) oo 4522

21

2255

250

255

=∠⇒==⋅

⋅+⋅==∠

→→

→→

AACAB

ACABAcos

( )→→

→→

=∠BCBA

BCBABcos o ⇒ ( )

( )

−=−

=

−=−=→

→→

25

2534

211

23

05

,,,BC

,ABBA

225

5

==

==

→

→

BCBC

ABBA ⇒ ( ) o45

22

21

2255

250

255

=∠⇒==⋅

⋅+

−⋅−

=∠ BBcos

(Po�to je trougao jednakokraki, naspram jednakih stranica le�e jednaki uglovi, prema tome i bez računa o45=∠=∠ BA ). Jednačina prave kroz dve tačke

37

( xxxxyyyy −

−−

=− 112

121 ) )

), gde je ( ) (( ) ( 34

31

11

11

,y,xB,y,xA

=−=

prema tome jednačina prave AB je ( ) 303141

333 =⇒=−⇒−−−−−

=− yyxy

(Pošto A i B imaju iste y=3 koordinate, one su na pravoj y=3 paralelnoj Oy osi.)

8. 04

1986 22 =+−+− yyxx ⇒ ( ) ( )4

1991616896 22 −+=+−++− yyxx

( ) ( )48143 22 =−+− yx

Preseci sa osama se računaju kao rešenja sistema jednačina:

A

(p,q)=(3,4)

76 5 4 3 2 1 -1

y 8

6

4

2

B 0

D C

t

( ) ( )

( ) ( )

019324

4/04

198

4811689

481430

048143

2

2

2

22

22

=+−

⋅=+−

=+−+

=−+−

=

=−+−

yy

yy

yy

y

x

yx

x

2538

851232

872032

8304102432

21

±=

±=

±=

−±=y

Preseci kružne linije i Oy su

−

+2

53802

5380 ,B,,A

( ) ( )

( ) ( )

04

196

4811696

48143

048143

2

2

22

22

=+−

=++−

=−+−

=

=−+−

xx

xx

x

y

yx

⇒ 2

1762

193662

1±

=−±

=x

Preseci kružne linije i Ox su

−

+ 02

17602

176 ,C,,D .

38

Du�ina tetive 532

5382

53802

=

+−

−+=AB , 17=CD .

Treba povući tangentu lkxy:t += u tačci A.

( ) ( ) ( ) ( ) 22222

48143 rqypxyx =−+−⇔=−+− ,

jednačina tangente u zadatoj tačci ( )1125380 y,x,A =

+ je

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )48144

2538330

211

=−

−

++−−

⇒=−−+−−

yx:t

rqyqypxpx:t

9. 999997105103101 +++++= ...zbir , �to je zbir prvih n=450 članova aritmetičkog niza sa prvim članom 1011 =a i distancom d=2. Prema tome

2475002

9991014502

450 4501 =+

=+

=aazbir .

10. Poluprečnik lopte je polovina dijagonale kvadra.

cmcbaDR 252

25002

30243222

222222

==++

=++

== 22 250062544 cmRPsfere πππ =⋅==

39



1. Uprostiti izraz: ( )222 224

444

2−

++

−+

+− xx:

xa

xa

xxa . (6 bodova)

2. Skratiti razlomak: 483443

2

23

++−+

xxxxx . (6 bodova)

3. Re�iti eksponencijalnu jednačinu: 1221

21

2334 −+−−=− xxxx . (6 bodova)

4. Re�iti logaritamsku jednačinu: xx xlg 101 =+ . (6 bodova) 5. Bez upotrebe računskih pomagala odrediti u stepenima, zatim u radijanima uglove četvorougla ako se oni međusobno odnose kao 6:8:9:13. (6 bodova) 6. Re�iti trigonometrijsku jednačinu: 021 =−− xcosxsin . (6 bodova) 7. Kroz tačku A(x,3) na pravoj 3y � x = 9 povučena je normala na ovu pravu. Odrediti povr�inu ograničenu ovim pravima i osom Ox. (6 bodova) 8. Kru�nica 2544 22 =+ yx i prava 2y � 14x + 25 = 0 se seku. Odrediti:

a) koordinate preseka; b) du�inu zajedničke tetive; c) centralni ugao koji pripada toj tetivi. (6 bodova)

9. Oko dve lopte koje se dodiruju spolja, opisana je kupa. Zapremina jedne lopte je 8 puta veća od zapremine druge lopte, a poluprečnik manje lopte je 12 cm. Izračunati povr�inu omotača kupe. (6 bodova) 10. Tri broja su uzastopni članovi geometrijske progresije, njihov zbir je 42, a proizvod srednjeg člana sa zbirom krajnjih članova iznosi 360. Koji su to brojevi? (6 bodova)

41



1. Egyszerűsítse a kifejezést: ( )222 224

444

2−

++

−+

+− xx:

xa

xa

xxa . (6 pont)

2. Egyszerűsítse a törtet: 483443

2

23

++−+

xxxxx . (6 pont)

3. Oldja meg az egyenletet: 1221

21

2334 −+−−=− xxxx . (6 pont)

4. Oldja meg az egyenletet: xx xlg 101 =+ . (6 pont) 5. Segédeszközök igénybevétele nélkül határozza meg a négyszög szögeit

fokokban és radiánokban is, ha azok aránya 6:8:9:13. (6 pont) 6. Oldja meg az egyenletet: 021 =−− xcosxsin . (6 pont) 7. A 3y � x = 9 egyenesen elhelyezkedő A(x,3) pontból merőlegest emeltünk erre az

egyenesre. Határozza meg a két egyenes és az Ox tengely által határolt terület nagyságát.

(6 pont) 8. A 2544 22 =+ yx kör és a 2y � 14x + 25 = 0 egyenes metszik egymást . Határozza meg:

a) A metszéspontok koordinátáit; b) A közös húr hosszát; c) A húrhoz tartozó középponti szög nagyságát. (6 pont)

9. Két egymást kívülről érintő gömb köré kúpot rajzoltunk. Az egyik gömb térfogata a másik gömb térfogatának a nyolcszorosa, a kisebb gömb sugara 12cm. Határozza meg a kúp palástfelületének nagyságát. (6 pont) 10. Három szám egy mértani sorozat egymás után következő tagjai. A számok összege 42, míg a középsőnek és a két szélső összegének a szorzata 360. Melyek ezek a számok? (6 pont)

42





1. ( )

=−

++

−+

+− 222 2244

442

xx:

xa

xa

xxa

( ) ( )( ) ( )=

−

+

++−

+−

= 22 22224

22

xx:

xa

xxa

xa

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) =+

+−+−++=

−⋅

+−−+−++

=2

448442222

22422 22

2

2

xxaaxaxaaxaax

xx

xxxaxaxa

( )( )( ) axxxax

xxaxax

=++

=++

22

222

, (pod uslovima 02 ≠±≠ x,x ).

2. =++−+

483443

2

23

xxxxx

( ) ( ) ( )

( )( )( )23

23

3232

3223

3223

483443

483443

2

2

2

2

+−

=

+

−

=

++

−+

=++−+

=++−+

=xxx

x

xx

xx

xxx

xxxxx

xxxxx

(pod uslovima 322 −≠−≠ x,x )

3. 1221

21

2334 −+−−=− xxxx ⇒ xxxxx / 4 2433334 12

121

−−−=− ⇒

⇒ txx

x

x

x

x

x

x

=

=

=−=⋅−

2

23

43

43 smena

213

43

31

431 ⇒

32 213

311 ⋅−=− /tt ⇒ 36232 −=− tt ⇒ 338 =t

3

2 3

=t ⇒

2332

2 3

2 3

23

=⇒=⇒

=

xx

x

43

4. Uslov rešavanja 0>x lg/xx xlg 101 =+ ⇒ lg ⇒ xlgx xlg 101 =+

⇒ ( ) txlgxlglgxlgxlg =+=+ smena 101 ( ) 11 +=+ ttt ⇒ t ⇒ t 12 = 1±=

101101

101

122

11

==⇒−=

=⇒=

−xxlg

xxlg

5. 13986 :::::: =δγβα

1813

1813

2189

94

188

3186

18236

2139862

ππδ

ππγ

ππβ

ππα

ππ

ππδγβα

=⋅=

=⋅=

=⋅=

=⋅=

=⇒=

=+++⇒=+++

kk

kkkk α

6

oo

oo

oo

oo

oo

o

o

1301013901098010860106

10360363601398

360

=⋅=

=⋅=

=⋅=

=⋅=

=⇒=

=+++

⇒=+++

δ

γ

β

α

δγβ

kkkkkk

6. 1 sin ⇒ 02 =−− xcosx ( ) 022 =−−− xsinxcosxsin1 ⇒

⇒ ( ) 01 22 =−−−− xsinxsinxsin1 ⇒ ⇒ 02 2 =− xsinxsin

⇒ ⇒ ( ) 012 =−xsinxsin210 =∨= xsinxsin

Zk,kxkxkx ∈+=∨+=∨= 26

5 26

ππ

ππ

π

7. a: 3y –x = 93

9+=⇔

xy

A(x,3) ∈ 3y – x = 9 ⇒ x = 0.

b a

A(0,3)

B(-9,0) C(1,0)

33 +−=⇒ xy:b⊥ ab

152

310=

⋅=∆ABCP

44

8. k: 2

2222

252544

=+⇔=+ yxyx ,

p: 2

251402514 −=⇔=+−

xyxy2 .

a) pkxy

yx∩

−=

=+

22514

2544 22

232

448497

06720600700200

256257001964

252

251444

21

21

2

2

22

22

==

−±=

=+−

=+−

=+−+

=

−

+

x,x

x

xxxx

xxx

xx

Tačke preseka su .,B,,A

− 2

23

232

b) dužinu zajedničke tetive: .AB2

25449

412

23

232

22

=+=

−−+

−=

c) centralni ugao koji pripada toj tetivi, na osnovu cosinus pravila ( ) ( ∠⋅⋅−+= AOBcosrrrrAB 222 )

( ) ( ) o90050

5050

225

225

252

22

22

2

22

=∠⇒=−

=

−

=−

=∠ AOBr

ABrAOBcos .

9. ⇒=⇒= 813

43

4813

23

121 :R:R:V:V ππ

243

483

1242

32

3

=⇒=⋅⋅ RR ππ

( ) ( )

12

212

121

2112

21122121

122

RRRRRxRRRxRxR

xRRRxRR:RxRR:xxRRH

−+

=⇒+=−

⇒++=⇒=++++=

3612

288144=

+=x

963612242 =++⋅=H( )

( )

248

22

221

2

=

−++=

y

RxRRy 4608576518424362412 22 =−=−++=

45

( )2222

222

2 HRRRyyHRRy

+=++

+=+

2242

4829646089216

2

22

==−

=−

=y

yHR x

y 272224248 =+=+= Rys R1

πππ 3456224272 =⋅== RsOmotacR1

R2 R

R2

R

.

10. Uzastopni članovi geometrijskog niza: bq,b,qb . Iz uslova

zbira tri broja sledi: bbqqbbqb

qb

−=+⇒=++ 4242Iz

Iz drugog uslova je: 360=

+⋅ bq

qbb . Zamenom iz preve jednačine:

( ) 03604236042360 2 =+−⇒=−⇒=

+⋅ bbbbbq

qbb

30,12,2

144017644221

21 ==

−±= bbb .

Pošto je iz prve jednačine 421=

+ q

qb , slede dve mogućnosti:

Za b1 = 30 dobijamo jednačinu, koja nema realnih rešenja: Za b2 = 12 dobijamo jednačinu čija su rešenja q1 = 2 i q2 = ½. Prvo rešenje daje brojeve 6, 12, 24, a drugo rešenje daje iste brojeve u suprotnom redosledu. Obe trojke su rešenja zadatka.

.0525 2 =+− qq0252 2 =+− qq

46



1. Zaokru�iti tačan odgovor: =− 2)( yx ?

a) 22 yx + ; b) 22 2 yxyx +− ; c) 22 yx − . [6 bodova]


2

)1(1

+−

xx = [6 bodova]

3. Re�iti exponencijalnu jednačinu 622 3 =+ −xx . [6 bodova]

4. Zaokru�iti tačan rezultat: =⋅

25625125log5

a) 1 ; b) 2 ; c) 4 ; d) 5 . [6 bodova]

5. Naći 54sin je ako2cosi2sin =ααα . [6 bodova]

6. Naći sva re�enja jednačine .03sin3cos2 2 =−+ xx [6 bodova]

7. Data je jednačina prave: 61

32

−= xy . Zaokru�iti tačku koja pripada toj pravi.

61,0A ;

0,

41B ;

21,1C . [6 bodova]

8. Napisati jednačinu tetive i naći koordinate kranjih tačaka tetive kru�nice 4922 =+ yx , koju tačka A(1,2) deli na dva jednaka dela. [6 bodova] 9. Zbir svih neparnih prirodnih brojeva manjih od 1000 je: a) paran broj b) neparan broj c) nula. [6 bodova] 10. Ravan paralelna osi pravog valjka seče ga tako da od kruga osnove odseca

odsečak kome odgovara centralni ugao od 120o. Ako je visina valjka 10 cm, a rastojanje ravni od ose valjka 2 cm, izračunati povr�inu preseka. [6 bodova]

47



1. Karikázza be a helyes választ: =− 2)( yx ?

a) 22 yx + ; b) 22 2 yxyx +− ; c) 22 yx − . [6 pont]

2. Egyszerűsítse a törtet: 2

2

)1(1

+−

xx = [6 pont]

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet 622 3 =+ −xx . [6 pont]

4. Karikázza be a helyes választ: =⋅

25625125log5

a) 1 ; b) 2 ; c) 4 ; d) 5 . [6 pont]

5. Határozza meg α2sin és α2cos értékét, ha54sin =α [6 pont]

6. Határozza meg az egyenlet minden megoldását: .03sin3cos2 2 =−+ xx [6 pont]

7. Adva van az egyenes egyenlete: 61

32

−= xy . Karikázza be az egyeneshez tartozó

pontot.

61,0A ;

0,

41B ;

21,1C . [6 pont]

8. Írja fel a 4922 =+ yx kör azon húrjának az egyenletét, amelynek a felezőpontja

A(1,2). Határozza meg a húr végpontjainak koordinátáit is. [6 pont] 9. Az 1000-nél kisebb páratlan természetes számok összege: a) páros szám, b) páratlan szám, c) nulla. [6 pont] 10. A hengert a tengelyével párhuzamos síkkal metszettük úgy, hogy az alapkörből

lemetszett körszelethez tartozó középponti szög 120o. Számítsa ki síkmetszet területét, ha a henger magassága 10 cm, a metszet távolsága a henger tengelyétől pedig 2 cm. [6 pont]

48

VI�A TEHNIČKA �KOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A SZABADKA 29.06.1998. 1998.06.29.

KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (elektrotehnički i ma�inski odsek)

R E � E N J A

MINŐSITŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (villamossági és gépészeti szak)

M E G O L D Á S O K 1. =− 2)( yx 22 2 yxyx +− (zaokru�iti b.)

2. 11

)1)(1()1)(1(

)1(1

2

2

+−

=+++−

=+−

xx

xxxx

xx , x+1≠0.

3. xxxxx 26822/622 23 ⋅=+⇒⋅=+ −

2,4086sedobija2za 212 ==⇒=+−= ttttt x

122;242 21 =⇒==⇒= xx xx

4. 55log55log5

55log25

625125log 55

52

43

55 ===⋅

=⋅ (zaokru�iti d).

5. αααα 222 sin1cos1cossin −±=⇒=+

00<α<900 ⇒ cosα > 0 . 53

541cos

2

=

−+=α

2524

53

542cossin22sin =⋅⋅=⋅= ααα

257

54

53sincos2cos

2222 −=

−

=−= ααα

6. ( ) .01sin3sin203sin3sin1203sin3cos2 222 =+−⇒=−+−⇒=−+ xxxxxx

21;10132imamosinZa 21

2 ===+−= tttttx

ππ kxtx 22

1sin 11 +=⇒== , k∈ Z.

ππ

ππ kxkxtx 2

65ili2

621sin 322 +=+=⇒== , k∈ Z.

49

7. 61

32

−= xy

210

61

1410

−y

x zaokru�iti B i C.

8. Koeficijent pravca prave p(OA)=2 � sledi jednačina tetive t: ).1(212 −−=− xy

Krajnje tačke su preseci prave t: 52 =+ yx i kru�nice 4922 =+ yx . Metodom zamene dobijamo: 024205049)25( 222 =−−⇒=−+− yyyy

5

554510

554202

12

1m

=⇒±

= xy . Krajnje tačke tetive su:

M

+−10

55420,5

5545 N

−+10

55420,5

5545 .

9. Prvi neparan prirodan broj je 1, dok zadnji koji je manji od 1000 je 999.

Po�to je nnaanS nn 500

2)9991(

2)( 1 =

+=

+= , pa je tra�eni zbir paran broj.

(Zaokru�iti a) 10. Ravan paralelna osi pravog valjka seče ga tako da od kruga osnove odseca odsečak kome odgovara centralni ugao od 120o. Ako je visina valjka 10 cm, a rastojanje ravni

od ose valjka 2 cm, izračunati povr�inu preseka. Posmatrajmo bazu. Ona je presečena po tetivi AB, kojoj pripada centralni ugao od

120o . Neposredno se uočavaju sledeće činjenice: r=4cm, 342

32 =⋅=rAB ,

pa je tra�ena povr�ina preseka p= 3401034 =⋅=⋅HAB .

Cr60o 60o

2A BD

50



1. Zaokru�iti tačan odgovor: =+− 962 xx ? a) 2)3( −x b) 2)3( +x c) )3)(3( +− xx [6 bodova]

2. Skratiti razlomak: =−++4

442

2

xxx ? [6 bodova]

3. Re�iti iracionalnu jednačinu: 15 =−+ xx . [6 bodova] 4. Zaokru�iti tačno tvrđenje: 25log2log24 −−=A ; a) A=2 b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 [6 bodova] 5. Iz tačke A vrh stuba se vidi pod uglom od 30o. Iz tačke koja ja 10 metara bli�a, vrh stuba se vidi pod uglom od 45o. Kolika je visina stuba? [6 bodova] 6. Naći sva re�enja jednačine: 2sin2sin2sin2 2 =−+ xxx . [6 bodova] 7. Kolika je povr�ina trougla određenog pravama p i q i osom Ox, ako je: p: 3x � y + 4 = 0 i q: x + y � 4 = 0 ? [6 bodova] 8. Tačka A(2,-1) pripada krugu koji je oivičen kru�nicom (kru�nom linijom) 16)3()1( 22 =++− yx . a) DA b) NE [6 bodova] 9. Naći bar dve trojke prirodnih brojeva, koji u datom redosledu obrazuju

aritmetički niz, a ako najvećem jo� dodamo broj 4, tada će obrazovati geometrijski niz. [6 bodova]

10. Povr�ina drvenog kvadra dimenzija 4!5!6cm ofarbana je sa nekom bojom. Kvadar je zatim rasečen na kockice dimenzija 1!1!1cm. Koliko takvih kockica se dobije a) neofarbanih; b) ofarbanih sa jedne strane; c) ofarbanih sa 2 strane; i d) ofarbanih sa 3 strane? [6 bodova]

51


MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (elektrotechnikai és gépészeti szak)

1. Jelölje meg a helyes választ: =+− 962 xx ? a) 2)3( −x b) 2)3( +x c) )3)(3( +− xx [6 pont]

2. Egyszerűsítse a törtet: =−++4

442

2

xxx ? [6 pont]

3. Oldja meg az iracionális egyenletet: 15 =−+ xx . [6 pont] 4. Karikázza be a helyes választ: 25log2log24 −−=A ; a) A=2 b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 [6 pont] 5. Az A pontból az oszlop csúcsa 30o-os szög alatt látszik. 10 méterrel közelebbről ez a szög 45o. Milyen magas az oszlop? [6 pont] 6. Határozza meg az egyenlet minden megoldását:

2sin2sin2sin2 2 =−+ xxx . [6 pont]

7. Mekkora a háromszög területe amelyet a p és a q egyenes zár be az Ox tengellyel, ha: p: 3x � y + 4 = 0 és q: x + y � 4 = 0 ? [6 pont] 8. Az A(2,-1) pont illeszkedik a körhöz, amelyet a 16)3()1( 22 =++− yx

körvonal határol. a) IGAZ b) NEM IGAZ [6 pont] 9. Irja fel a természetes számok legalább két hármasát, amelyek az adott

sorrendben számtani sorozatot alkotnak, de a legnagyobb számot 4-gyel növelve mértani sorozattá alakulnak. [6 pont]

10. A 4!5!6cm kiterjedésű téglatest felszínét befestettük. Ezután a testet 1!1!1cm-es kiterjedésű kockákra daraboltuk. Hány ilyen kocka van:

a) befestetlen; b) 1 oldaláról befestve; c) 2 oldaláról besestve; és d) 3 oldaláról befestve? [6 pont]

.

52

VI�A TEHNIČKA �KOLA MŰSZAKI FŐISKOLA S U B O T I C A S Z A B A D K A

04.09.1998. 1998.09.04




1. =+− 962 xx 2)3( −x , odgovor a).

2. ( )( )( )

( )( )2

222

24

44 2

2

2

−+

=+−

+=

−++

xx

xxx

xxx

3. Uslovi re�ivosti: 0005 >⇒>∧>+ xxx

215 ↑=−+ xx ⇒

( )( )( )

4114

445

25

24252

1525

22

2

=

=++=+

↑+=+

+=+

=++−+

x

xxxx

xxx

:/xxx

xxxx

4. 2100254

100002521025224 24 ==⋅

=−−=−−= logloglogloglogloglogA , odgovor je a).

5.

( ) ( )1352

131013

10

102

32

+=+

=−

=

+=

x

xx

53

6.

( )( ) ( ) ( )

ππ

ππ

ππ

ππ

kxkxxsint

kxkxxsint

t

tt

txsinxsinxsinxsin

26

1126

721

21

24

3242

222

42222

42222

4282222

02222

2222

432

211

22

21

2

2

+=∨+=⇒−=⇒−=

+=∨+=⇒=⇒=

+±+−=

+±+−=

+−±+−=

=−−+

==−+

7.

8. Ako tačka A(2,-1) pripada krugu koji je oivičen kru�nicom (kru�nom linijom)

16)3()1( 22 =++− yx , onda je njeno odstojanje od centra (1,-3) kruga manje poluprečnika kruga r=4. Proverimo;

453112 22 <=+−+− )()( , znači odgovor je DA. 9. Članovi aritmetičkog niza su: a, a+d, a+2d

Članovi geometrijskog niza su: a, a+d, a+2d+4da

daa

da+++

=+

⇒42

( ) ( )2

422422

2222 daaadadadadaada =⇒++=++⇒++=+⇒

Prema tome mogući su naprimer sledeći nizovi Za 12 =⇒= ad , pa je aritmetički niz: 1, 3, 5, .... geometrijski niz: 1, 3, 9,... ili za 44 =⇒= ad , pa je aritmetički niz: 4, 8, 12, ....geometrijski niz: 4, 8, 16,...

10. a) neofarbanih=4⋅3⋅2=24 b) ofarbanih sa jedne strane =2⋅3⋅4+2⋅2⋅3+2⋅2⋅4=52 c) ofarbanih sa 2 strane=4⋅4+4⋅3+4⋅2=36 d) ofarbanih sa 3 strane=8

332

2

4344

=⋅

+

=P

54

Vi�a tehnička �kola S u b o t i c a 05.07.2000.


1. Faktorisati sledeće izraze: a) =− 22 254 yx b) =++ 22 363 baba

2. Re�iti jednačinu : 6132 +=− xx .

3. Re�iti nejednačinu: 02

3>

+−

xx .

4. Re�iti jednačinu: 12)134(log3 +=−⋅ xx .

5. Izračunati ostale trigonometrijske funkcije o�trog ugla α , ako je 54cos =α .

6. Re�iti trigonometrijsku jednačinu: 0cos3cossin7sin4 22 =+− xxxx .

7. Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih 112 =+ yx i 8=+ yx , a paralelna je sa pravom 0235 =−+ yx .

8. Ispitati međusobni odnos kru�nica: 078 22 =++− yxx i 01948 22 =+++− yyxx . Nacrtati obe krive!

9. Pravougaonik sa stranicom cma 12= i dijagonalom cmd 13= rotira oko kraće stranice. Izračunati zapreminu i povr�inu nastalog tela.

10. Zbir prva tri člana aritmetičkog niza je 36. Ako se drugi član poveća za 2, a treći za 11, niz postaje geometrijski. Odrediti prva tri člana oba niza.

Svaki zadatak se boduje maksimalno sa 6 bodova !

55

Műszaki Főiskola S z a b a d k a 2000.07.05.


11. Bontsa tényezőkre: a) =− 22 254 yx b) =++ 22 363 baba

12. Oldja meg az egyenletet : 6132 +=− xx .

13. Oldja meg az egyenlőtlenséget: 02

3>

+−

xx .

14. Oldja meg az egyenletet: 12)134(log3 +=−⋅ xx .

15. Számítsa ki az α hegyesszög többi trigonometrikus szögfüggvényét, ha adott

54cos =α .

16. Oldja meg a trigonometrikus egyenletet: 0cos3cossin7sin4 22 =+− xxxx .

17. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét amely keresztülhalad a 112 =+ yx és 8=+ yx egyenesek metszéspontján, és párhuzamos az

0235 =−+ yx egyenessel.

18. Vizsgálja ki az 078 22 =++− yxx és 01948 22 =+++− yyxx körök kölcsönös helyzetét. Rajzolja le mindkét görbét!

19. A téglalapot, amelynek egyik oldala cma 12= és átlója cmd 13= megforgatjuk a rövidebb oldala körül. Számítsa ki az így kapott test térfogatát és felszínét.

20. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 36. Ha a második tagot megnöveljük 2-vel a harmadikat pedig 11-gyel, mértani sorozatot kapunk. Határozza meg mindkét sorozat első három tagját.

Minden feladat legtöbb 6 ponttal értékelhető !

56





1. a) ( )( )yxyxyx 5252254 22 +−=− b) ( ) ( )22222 323363 bababababa +=++=++

2. Jednačina je definisana pod uslovom da je:

31

631

06013

≥

−≥∧≥

≥+∧≥−

x

xx

xx

Re�imo sada jednačinu:

( )

1110

101164126134

/6132 2

=

=+=−+=−+=−

x

xxxxx

xx

1110

=x zadovoljava uslov 31

≥x , znači da se prihvata kao re�enje date jednačine.

3. 02

3≥

+−

xx

x ∞− -2 -2 3 3 ∞

x-3 � � + 2+x � + +

xx+−

23 + � +

( ) [ )+∞∪−∞−∈ ,32,x

57

4. ( ) 12134log3 +=−⋅ xx

01433:smena

0134331343

2

x

2

12

=+−

=

=+⋅−⋅

−⋅=+

ttt

xx

xx

1031313

311

624

612164

21

21

21

21

−==

==

==

±=

−±=

xx

tt

t

t

xx

Oba re�enja zadovoljavaju datu logaritamsku jednačinu, pa je { }0,1−∈x .

5. 54cos =α , oo 900 <<α

53sin

259sin

12516sin

1cossin

2

2

22

+=

=

=+

=+

α

α

α

αα

34

tg1ctg

43

5453

cossintg

==

===

αα

ααα

6. xxxxx 222 cos:/0cos3cossin7sin4 =+−

tx

xx=

=+−tg:smena

03tg7tg4 2

πππ kxkx

xx

tt

t

tt

+=+=

=∨=

==∨=

±=

−±=

=+−

43arctg

4

43tg1tg

43

861

817

848497

0374

21

21

21

2

58

7. Presek datih pravih je tačka:

8112

=+=+

yxyx

( )5,3

53

Ayx==

Prava koja prolazi kroz ovu tačku A i paralelna je sa datom pravom 0235 =−+ yx ima isti koeficijent pravca kao i ova prava:

21 35

32

35

kk

xy

=−=

+−

=

pa je jednačina tra�ene prave, napisana kroz tačku A:

( )

155153

3355

+−=−

−−=−

xy

xy

03035 =−+ yx .

8. Prvo rešenje: Transformi�imo jednačine datih kru�nica u oblik iz kojeg se čita centar i poluprečnik:

078: 221 =++− yxxk

( ) 94

071616822

22

=+−

=++−+−

yx

yxx

01948: 22

2 =+++− yyxxk

( ) ( )( ) ( ) 124

0194216422

22

=++−

=+−++−−

yx

yx

Ako nacrtamo ove kru�nice u istom kordinatnom sistemu, videćemo da se oni dodiruju iznutra u tačci ( )3,4 −A .

Drugo rešenje:

01948

7807822

2222

=+++−

−=+−⇒=++−

yyxxyxxyxx

43124

01947=⇒−=⇒−=

=++−xyy

y

Jedina zajednička tačka datih kru�nica je ( )3,4 −A .

1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

-3

-2

-1

y

x•

•(4, -2)

(4, 0)

(x-4)2+y2=9

(x-4)2+(y+2)2=1

59

9.

222 1213 −=b 1441692 −=b

cmb

b5

252

==

BHV = MBP += 2 HrV π2= HrrP ππ 22 2 += baV π2= baaP ππ 22 2 += 5144π=V ππ 120288 +=P 3720 cmV π= 2408 cmP π=

10. 321 ,, aaa je aritmetički niz, tada je : 23131

2 22

aaaaaa =+⇒+

= ,

11,2, 321 ++ aaa je geometrijski niz, tada je : ( )112 312 +=+ aaa .

Iz uslova zadatka sledi da je :

13312

2

22

321

242412363

36236

aaaaaa

aaaaa

−=⇒=+⇒==

=+=++

Uvr�tavajući u uslov geometrijskog niza, dobijamo da je:

( )1124212 11 +−=+ aa

( )11 3514 aa −= 2

1135196 aa −= 019635 1

21 =+− aa

22125

2784122535

211±

=−±

=a

1741212728

33

22

11

=−====∨=

aaaaaa

Jedno re�enje je : 4,12,28 − je aritmetički niz sa 16−=d

7,14,28 je geometrijski niz sa 21

=q .

Drugo re�enje je : 17,12,7 je aritmetički niz sa 5=d 28,14,7 je geometrijski niz sa 2=q .

a=12cm

d=13cmb=5cm

60



1. Zaokru�iti tačan odgovor: =+− 962 xx ? a) 2)3( −x b) 2)3( +x c) )3)(3( +− xx [6 bodova]

2. Skratiti razlomak: =−++4

442

2

xxx ? [6 bodova]

3. Re�iti iracionalnu jednačinu: 15 =−+ xx . [6 bodova] 4. Zaokru�iti tačno tvrđenje: 25log2log24 −−=A ; a) A=2 b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 [6 bodova] 5. Iz tačke A vrh stuba se vidi pod uglom od 30o. Iz tačke koja ja 10 metara bli�a, vrh stuba se vidi pod uglom od 45o. Kolika je visina stuba? [6 bodova] 6. Naći sva re�enja jednačine: 2sin2sin2sin2 2 =−+ xxx . [6 bodova] 7. Kolika je povr�ina trougla određenog pravama p i q i osom Ox, ako je: p: 3x � y + 4 = 0 i q: x + y � 4 = 0 ? [6 bodova] 8. Tačka A(2,-1) pripada krugu koji je oivičen kru�nicom (kru�nom linijom) 16)3()1( 22 =++− yx . a) DA b) NE [6 bodova] 9. Naći bar dve trojke prirodnih brojeva, koji u datom redosledu obrazuju

aritmetički niz, a ako najvećem jo� dodamo broj 4, tada će obrazovati geometrijski niz. [6 bodova]

10. Povr�ina drvenog kvadra dimenzija 4!5!6cm ofarbana je sa nekom bojom. Kvadar je zatim rasečen na kockice dimenzija 1!1!1cm. Koliko takvih kockica se dobije a) neofarbanih; b) ofarbanih sa jedne strane; c) ofarbanih sa 2 strane; i d) ofarbanih sa 3 strane? [6 bodova]

61


MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (elektrotechnikai és gépészeti szak)

1. Jelölje meg a helyes választ: =+− 962 xx ? a) 2)3( −x b) 2)3( +x c) )3)(3( +− xx [6 pont]

2. Egyszerűsítse a törtet: =−++4

442

2

xxx ? [6 pont]

3. Oldja meg az irracionális egyenletet: 15 =−+ xx . [6 pont] 4. Karikázza be a helyes választ: 25log2log24 −−=A ; a) A=2 b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 [6 pont] 5. Az A pontból az oszlop csúcsa 30o-os szög alatt látszik. 10 méterrel közelebbről ez a szög 45o. Milyen magas az oszlop? [6 pont] 6. Határozza meg az egyenlet minden megoldását:

2sin2sin2sin2 2 =−+ xxx . [6 pont]

7. Mekkora a háromszög területe amelyet a p és a q egyenes zár be az Ox tengellyel, ha: p: 3x � y + 4 = 0 és q: x + y � 4 = 0 ? [6 pont] 8. Az A(2,-1) pont illeszkedik a körhöz, amelyet a 16)3()1( 22 =++− yx körvonal határol. a) IGAZ b) NEM IGAZ [6 pont] 9. Irja fel a természetes számok legalább két hármasát, amelyek az adott

sorrendben számtani sorozatot alkotnak, de a legnagyobb számot 4-gyel növelve mértani sorozattá alakulnak. [6 pont]

10. A 4!5!6cm kiterjedésű téglatest felszínét befestettük. Ezután a testet 1!1!1cm-es kiterjedésű kockákra daraboltuk. Hány ilyen kocka van:

a) befestetlen; b) 1 oldaláról befestve; c) 2 oldaláról befestve; és d) 3 oldaláról befestve? [6 pont]

62





1. ( )22 396 −=+− xxx , zaokru�iti pod a) .

2. ( )( )( ) 2

222

24

44 2

2

2

−+

=+−

+=

−++

xx

xxx

xxx pod uslovom da je 2±≠x .

3. Jednačina je definisana pod uslovom da je:

0

05005

>>∧−>>∧>+

xxxxx


2/15 +=+ xx ⇒ 125 ++=+ xxx ⇒ 42 =x ⇒ 2=x ⇒ 4=x zadovoljava uslov, pa se prihvata kao re�enje date iracionalne jednačine.

4. ( ) ( ) =⋅−=+−=−−=−−= 254log425log4log425log2log425log2log24 2A

224100log4 =−=−= , zaokru�iti pod a).

5. Imamo dva pravougla trougla. Označimo visinu stuba sa H, a odstojanje tačke A od stuba

sa x. Iz jednog trougla: 33

3330tg xH

xH

xH

=⇒=⇒=o

Iz drugog trougla: 1011010

45tg −=⇒=−

⇒−

= xHx

Hx

Ho

3

331033110

331010

33 −

=⇒

−=⇒−=⇒−= xxxxxx

63

( )

( ) 3515335

393330

3333

3330

+=+=

=−+

=++

⋅−

=x

( )315355

10351510

+=+=

=−+=−= xH

znači da je visina stuba

H = ( )315 + metara.

6. 2sin2sin2sin2 2 =−+ xxx

( ) 02sin22sin2 2 =−−+ xx u ovoj jednačini uvedimo smenu tx =sin ,

( ) 02222 2 =−−+ tt

( )

42242222

2

21⋅+−±+−

=t ⇒ 4

2822442221

++−±+−=t

⇒ 4

22442221

++±+−=t ⇒

( ) ( )4

22224

22222

21+±+−

=+±+−

=t

ππ

ππ

ππ kxkxkx

xx

tt

22

324

3,24

1sin22sin

144

42222

22

422

42222

321

21

+=+=+=

−==

−=−

=−−+−

=∨==+++−

=

7. Nacrtajmo obe prave u istom kordinatnom sistemu:

340

40043:

−=⇒=

=⇒==+−

xy

yxyxp

4040

04:

=⇒==⇒=

=−+

xyyx

yxq

Ove prave i Ox osa određuju trougao čija su temena tačke ( ) ( )4,0,0,4,0,34 CBA

− ;

osnovica le�i na Ox osi i du�ina joj je 315=a , dok je visina 4=h . Povr�ina trougla je

prema tome .3210

3152

2

4315

2=⋅=

⋅=

⋅=

haP

H

A10

x

••30o45o

64

8. Kru�nica ( ) ( ) 1631 22 =++− yx ima

centar u tački ( )3,1 −C i poluprečnik 4=r .

Ako nacrtamo ovu kru�nicu i tačku ( )1,2 −A

u istom kordinatnom sistemu, mo�emo

konstatovati da tačka A pripada krugu

koji je oivičen datom kru�nom linijom.

9. Neka je n prirodan broj. Tada trojku prirodnih brojeva koji obrazuju aritmetički niz

mo�emo napisati kao: dndnn 2,, ++ , gde je i d prirodan broj. Ako najvećem broju

dodamo jo� 4 dobićemo niz 42,, +++ dndnn , koji treba da bude geometrijski niz.

dndnn 2,, ++ aritmetički iz,

42,, +++ dndnn geometrijski niz, iz kojeg se mo�e napisati da je

dn

dnn

dn+++

=+ 42 ⇒ ( ) ( )422 ++=+ dnndn ⇒ nndndndn 422 222 ++=++

ndnd 242 +=⇒= gde d mora biti prirodan broj, a to se mo�e postići npr. za

,...16,9,4,1 ==== nnnn

Za 21 =⇒= dn , pa se dobijaju nizovi: 5,3,1 aritmetički niz,

9,3,1 geometrijski niz.

Za 44 =⇒= dn , pa se dobijaju niyovi: 12,8,4 aritmetički niz,

16,8,4 geometrijski niz.

Tra�ene trojke prirodnih brojeva koji zadovoljavaju date uslove mogu biti naprimer:

5,3,1 ili 12,8,4 .

10. Očevidno, zapremina kvadra, to jest broj jediničnih kockica je 120. Kada smo ofarbali

telo, tada kocke na temenima budu ofarbane sa tri strane, kocke na ivicama (bez kocki

na temenima) budu ofarbane sa dve strane, kocke na stranama tela, bez onih na rubovima

biće ofarbane sa jedne strane a kocke u "dubini" kvadra neće biti ofarbane.

a) 24; b) 52; c) 36; d) 8.

• • • • •

•

•

• •

•

C(1,-3)

A(2,-1)

r=4

O x

y

65


KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (elektrotehnički odsek)

1. Skratiti razlomak 22

2

2

22

42

244

yxxyx

yxyyxyx

−−

⋅+

++ [6 bodova]

2. Zaokru�iti ispravnu vrednost broja X=−++ 487487 . a) 14 b) 4 c) ±4 [6 bodova]

3. Re�iti nejednačinu157

2473<

+−

xx . [6 bodova]

4. Re�iti jednačinu: log3(5 + 4 log3(x�1))=2 [6 bodova]

5. Dokazati identitet: 2

tancos1

cos2cos1

2sin αα

αα

α=

+⋅

+ [6 bodova]

6. Odrediti sva re�enja jednačine 1cos2

sin =+ xx [6 bodova]

7. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (4,�3) i odseca jednake

odsečke na koordinatnim osama. [6 bodova] 8. Odrediti jednačine onih tangenti kru�nice 012 22 =−++ yxx koje sa osom Ox zaklapaju ugao od 45o. [6 bodova] 9. Odrediti prvi član i količnik (a1 i q) geometrijskog niza, ako je:

a1 + a5 = 1285 i a2 ⋅ a4 = 6400. [6 bodova]

10. Rotiramo jednakokraki trapez oko veće osnove. Izračunati zapreminu dobijenog rotacionog tela, ako su osnove trapeza a = 9, b = 3 a kraci: c = 5. [6 bodova]

67


KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (ma�inski odsek)


2

6633bababa

−−+ [6 bodova]

2. Izračunati: =

−

131366

115

512

53

313 [6 bodova]

3. Re�iti jednačinu po nepoznatoj x: ax�7= a7�x. [6 bodova] 4. Odrediti ispravan odgovor:

log2 8 � 2 log3 9 � log1/5 5 =A a) A = 1 b) A = �1 c) A = 0 [6 bodova]

5. Dokazati identičnost 2

tan2sinsin22sinsin2 2 ααααα=

+− [6 bodova]

6. Re�iti jednačinu 02sinsincos3 22 =−− xxx [6 bodova]

7. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (4,�3) i odseca jednake

odsečke na koordinatnim osama. [6 bodova] 8. Odrediti centar i poluprečnik kru�nice 082222 =−−−+ yxyx ,

kao du�inu njene tetive koja pripada Ox osi. [6 bodova] 9. Odrediti prvi član i razliku (a1 i d) aritmetičkog niza, ako je dato:

a n = 21, n = 7 i S n = 105. [6 bodova]

10. Rotiramo pravilan �estougao oko du�e dijagonale. Izračunati zapreminu dobijenog rotacionog tela, ako je stranica čestougla a = 10. [6 bodova]

68


MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (elektrotechnikai szak)

1. Egyszerűsítse a 22

2

2

22

42

244

yxxyx

yxyyxyx

−−

⋅+

++ törtet [6 pont]

2. Karikázza be X helyes értékét, ha X=−++ 487487 . a) 14 b) 4 c) ±4 [6 pont]

3. Oldja meg az egyenlőtlenséget157

2473<

+−

xx . [6 pont]

4. Oldja meg az egyenletet: log3(5 + 4 log3(x�1))=2 [6 pont]

5. Igazolja a 2

tancos1

cos2cos1

2sin αα

αα

α=

+⋅

+ azonsságot! [6 pont]

6. Határozza meg a 1cos2

sin =+ xx egyenlet minden megoldását! [6 pont]

7. Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a (4,�3)

ponton és a koordinátatengelyekből egyenlő szakaszokat metsz le. [6 pont] 8. Határozza meg az 012 22 =−++ yxx körhöz húzható érintők közül azokat

amelyek az Ox tengellyel 45o-os szöget zárnak be. [6 pont] 9. Határozza meg a mértani sorozat első elemét és hányadosát (a1 és q), ha

a1 + a5 = 1285 és a2 ⋅ a4 = 6400. [6 pont]

10. Forgassunk meg egy egyenlőszárú trapézt a nagyobb alapja körül! Mekkora a kapott forgástest térfogata, ha a párhuzamos oldalak a = 9 és b = 3, a szárak pedig: c = 5? [6 pont]

69


MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (gépészeti szak)

1. Egyszerűsítse a 2

2

6633bababa

−−+ törtet! [6 pont]

2. Számítsa ki: =

−

131366

115

512

53

313 [6 pont]

3. Oldja meg az egyenletet x ismeretlenre ax�7= a7�x. [6 pont] 4. Állapítsa meg a helyes választ:

log2 8 � 2 log3 9 � log1/5 5 =A a) A = 1 b) A = �1 c) A = 0 [6 pont]

5. Igazolja a 2

tan2sinsin22sinsin2 2 ααααα=

+− azonsságot! [6 pont]

6. Határozza meg a 02sinsincos3 22 =−− xxx egyenlet megoldásait! [6 pont]

7. Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a (4,�3)

ponton és a koordinátatengelyekből egyenlő szakaszokat metsz le. [6 pont] 8. Határozza meg az 082222 =−−−+ yxyx kör középpontját és sugarát,

valamint Ox tengelyből kimetszett húrjának hosszúságát. [6 pont] 9. Határozza meg a számtani sorozat első elemét és különbségét (a1 és d), ha

a n = 21, n = 7 és S n = 105. [6 pont]

10. Forgassunk meg egy szabályos hatszöget a nagyobb átlója körül, és számítsuk ki a keletkezett forgástest térfogatát, ha a hatszög oldala a = 10. [6 pont]

70


KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (elektrotehnički odsek)

R E � E N J A

MINŐSITŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (villamossági szak)


1. ( )

( )( )

( )( ) yx

yxyxyxx

yxyyx

yxxyx

yxyyxyx

=+−

−⋅

++

=−−

⋅+

++22

22

242

244 2

22

2

2

22

pod uslovom da je 0≠y i yx 2±≠ .

2. 6316412115

511

53

310

115

512

53

313 136

136131366

=−=−=

⋅−

⋅=

−

3. 71427777 =⇒=⇒−=−⇒= −− xxxxaa xx

4. ( )( ) ( ) ( ) ⇒=−⇒=−+⇒=−+ 11log31log4521log45log 32

333 xxx

431 1 =⇒=−⇒ xx

5. 43

tg1ctg

34tg ==⇒=

ααα

3

cos4sin34

cossin

34tg α

ααα

α =⇒=⇒=

53cos

53cos9cos251cos

9cos161cossin 22

222

−=⇒

⇒±=⇒=⇒=+⇒=+

α

αααα

αα

54

53

34

3cos4sin −=

−⋅==

αα

6. 1cos2

sin =+ xx ⇒ xx cos12

sin −= ⇒ 2

sin22

sin 2 xx= ⇒

⇒ 02

sin212

sin =

−

xx ⇒

71

ππ

ππ

π

ππ

ππ

π

kxkxkx

kxkxkx

xx

43

543

2

26

52

2622

21

2sin0

2sin

321 +=+==

+=∨+==

=∨=

7. 11113411 =⇒=⇒=−

+⇒=+⇒=∧=+ nnnnn

ynxnm

ny

mx

011111

=−+⇒=+⇒=+ yxyxyx je jednačina tra�ene prave.

8. ( ) ⇒=++⇒=−+++⇒=−++ 210212012 222222 yxyxxyxx

( ) 20,1 =∧−⇒ rC

nxy

k

nkxyt

+====

+=

145tgtg

:21

oα

uslov dodira: ( ) ( )222 1 nqkpkr +−=+

( ) ( )( )( ) 1,32114

011112

212

2

−==⇒±=−⇒−=

+−−⋅=+

nnnn

n

pa su jednačine tra�enih tangenti: 3:1 += xyt i 1:2 −= xyt .

9. ( ) ( ) 92127105

2 1121 =⇒+=⇒+= aaaanSn

( ) 2692111 =⇒+=⇒−+= dddnaan

tra�eni niz je: ,...21,19,17,15,13,11,9

10. 2

3ar =

valjkakupe VVV += 2

πππππ 125

81000

82343

233

322

===⋅⋅=⋅==aaaarBHVkupe

πππ 750103252 =⋅⋅=== arBHVvaljka

πππ 10007501252 =+⋅=V je volumen rotacionog tela.

72


KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (ma�inski odsek) R E � E N J A


(gépészeti szak) M E G O L D Á S O K

1. ( )( ) b

ababbaa

bababa

263

6633

2

2

=−−

=−− pod uslovom da je 0≠b i ba ≠ .

2. 6316412115

511

53

310

115

512

53

313 136

136131366

=−=−=

⋅−

⋅=

−

3. 71427777 =⇒=⇒−=−⇒= −− xxxxaa xx

4. 221431223A A 5log - 9 log 2 - 8 log 532 −=⇒−=−−=−⋅−=⇒= A

5. oo 1809054sin <<= αα

αααα 22 sin1cossin1cos −−=⇒−±= zbog drugog kvadranta,

53

259

25161cos −=−=−−=α

34

53

54

cossintg −=

−==

αα

α

43

tg1ctg −==α

α

6. 02sinsincos3 22 =−− xxx

0cosxjegdecos/0cossin2sincos3 222 ≠=−− xxxxx

73

0tg2tg3 2 =−− xx

txx =⇒=−+ tg03tgx2tg 2

2

422

1242032 212 ±−

=+±−

=⇒=−+ ttt

( ) Zkkxkx

xxtt

∈+−=+=

−==−=∨=

,3arctg4

3tg1tg31

21

21

πππ

7. 11113411 =⇒=⇒=−

+⇒=+⇒=∧=+ nnnnn

ynxnm

ny

mx

011111

=−+⇒=+⇒=+ yxyxyx je jednačina tra�ene prave.

8. 082222 =−−−+ yxyx

( ) ( )( ) ( ) ( ) 10,1,11011

081111

0822

22

22

22

=⇒=−+−

=−−−+−−

=−−+−

rCyx

yx

yyxx

9. ( ) ( ) 92127105

2 1121 =⇒+=⇒+= aaaanSn

( ) 2692111 =⇒+=⇒−+= dddnaan

tra�eni niz je: ,...21,19,17,15,13,11,9

10. 2

3ar =

valjkakupe VVV += 2

πππππ 125

81000

82343

233

322

===⋅⋅=⋅==aaaarBHVkupe

πππ 750103252 =⋅⋅=== arBHVvaljka

πππ 10007501252 =+⋅=V je volumen rotacionog tela.

74

VI�A TEHNIČKA �KOLA SUBOTICA 06.09.2001.

KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE KANDIDAT:___________________________________ Konkursni broj:___________

1. Zaokru�ite tačan rezultat: =++

−96

92

2

xxx

a) x6

1− b)

33

+−

xx [6 bodova]

2. Re�iti jednačinu: 7132 +=− xx [6 bodova]

3. Re�iti jednačinu: 3223 =−x [6 bodova]

4. Zaokru�iti tačan odgovor: log 2 4 + log 3 27 � log 5 1 = a) 5 b) 30 [6 bodova]

5. Izračunati vrednost od sin (α � β) za o�tre uglove α i β, ako je sin α = 53 i cos β =

1715 .

[6 bodova] 6. Re�iti jednačinu: 2 sin x cos x � cos x = 0 [6 bodova] 7. Kroz tačku A (2,3) postaviti pravu paralelnu sa pravom 2x � 3y + 1 = 0. [6 bodova] 8. Odrediti du�ini zajedničke tetive parabole y 2 = 3 x i kru�nice x 2 + y 2 = 4 .[6 bodova] 9. Izračunati povr�inu i zapreminu lopte opisane oko kocke ivice a = 32 . [6 bodova] 10. Izračunati zbir prvih 10 članova aritmetičkog niza, ako je diferencija (razlika) d = 3,

a �esti član je a 6 = 16. [6 bodova]

75

SZABADKAI MŰSZAKI FŐISKOLA 2001.09.06.

MINŐSITŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL A PÁLYÁZÓ NEVE:_____________________________________, Jelentkezési szám:______

1. Karikázza be a helyes választ: =++

−96

92

2

xxx

a) x6

1− b)

33

+−

xx [6 pont]

2. Oldja meg az egyenletet: 7132 +=− xx [6 pont]

3. Oldja meg az egyenletet: 3223 =−x [6 pont]

4. Karikázza be a helyes választ: log 2 4 + log 3 27 � log 5 1 = a) 5 b) 30 [6 pont]

5. Számítsa ki sin (α � β) értékét, ha α és β, hegyes szögek és sin α = 53 i cos β =

1715 .

[6 pont] 6. Oldja meg az egyenletet: 2 sin x cos x � cos x = 0 [6 pont] 7. Az A (2,3) ponthoz illesszen a 2x � 3y + 1 = 0 egyenessel párhuzamos egyenest. [6 pont] 8. Határozza meg az y 2 = 3 x parabola és az x 2 + y 2 = 4 kör közös húrjának hosszúságát. [6 pont] 9. Számítsa ki az a = 32 cm élű kocka köré írt gömb felszínét és térfogatát. [6 pont] 10. Számítsa ki a számtani sorozat első 10 tagjának összegét, ha a sorozat differenciája (különbsége) d = 3, a hatodik tagja pedig a 6 = 16. [6 pont]

76





1. ( )( )( ) 3

33

3396

922

2

+−

=+

+−=

++−

xx

xxx

xxx pod usovom da je 3−≠x . Zaokru�iti b).

2. Jednačina je definisana pod uslovom da je :

31

731

07013

≥

−≥∧≥

≥+∧≥−

x

xx

xx


( )

11111

74127134

/7132 2

==

+=−+=−+=−

xx

xxxx

xx

1=x zadovoljava uslov 31

≥x , znači da se prihvata kao re�enje date iracionalne jednačine.

3. 3223 =−x

5322 53

=−=−

x

x

2−=x je re�enje date eksponencijalne jednačine.

4. 5032 1 log -27log 4 log 532 =−+=+ , zaokru�iti a).

77

5. oooo 900,900 <<<< βα

54

2516

2591sin1cos

53sin 2 ==−=−+=⇒= ααα

178

28964

2892251cos1sin

1715cos 2 ==−=−+=⇒= βββ

( )8513

8532

8545

178

54

1715

53sincoscossinsin =−=⋅−⋅=−=− βαβαβα

( )8513sin =− βα .

6. 0coscossin2 =− xxx

( )

Zkkxkx

xkx

xxxx

∈+=+=

=+=

=−∨==−

,26

526

21sin

2

01sin20cos01sin2cos

32

1

ππππ

ππ

7. Odredimo prvo koeficijent pravca date prave: 32

3120132 1 =⇒

+=⇒=+− kxyyx .

Zbog paralelnosti koeficijent pravca druge prave je 32

12 == kk .

Jednačina prave kroz datu tačku glasi: ( )2323 −=− xy .

4293 −=− xy 0532 =+− yx je jednačina tra�ene prave.

8. Nađimo prvo presečne tačke parabole i kru�nice:

4

322

2

=+

=

yxxy

412

1693

04343

21

21

2

2

−==

+±−=

=−+

=+

xx

x

xxxx

78

za 42 −=x parabola nije definisana, znači da je apscisa presečnih tačaka 1=x .

( ) ( )3,1,3,1331 212 −⇒±=⇒=⇒= BAyyx su presečne tačke.

Du�ina zajedničke tetive je du�ina du�i AB :

( ) ( ) 3234340331122 =⋅=⋅+=++−=AB je du�ina zajedničke tetive.

9. Povr�ina lopte je π24RP = , zapremina je 3

4 3πRV = , gde je R poluprečnik lopte.

Kod lopte opisane oko kocke poluprečnik je polovina od prostorne dijagonale:

32

3322

32

=⋅

===aDR ,

ππ 3694 =⋅=P ,

ππ 363274

=⋅

=V .

10. 1163516516 1116 =⇒=⋅+⇒=+⇒= aadaa je prvi član niza.

Tra�eni zbir prvih deset članova aritmetičkog niza je:

( )( ) ( ) 951953922

10122 110 =⋅=⋅+=−+= dnanS .

79



(Zaokru�ite odgovor ili odgovore koje smatrate ispravnim!)

1. Naći upro�ćeni oblik izraza: =−

++49

49142

2

aaa

A. 7

1−a

B. 7

1+a

C. 77

−+

aa

2. Odrediti vrednost izraza: ( )=−−− 6410064100 A. 1 B. 4 C. �4 3. Naći re�enje iracionalne jednačine 11317 =− x A. 1 B. 4 C. �4 4. Re�iti nejednačinu 0562 ≤+− xx A. (-∞,1] B. [1,5] C. [5, ∞) 5. Odrediti re�enje eksponencijalne jednačine xx 2100101000 =⋅ A. 1 B. 4 C. �4 6. Koja su re�enja trigonometrijske jednačine 65ctgtg =+ xx

A. ππ k4+ B. π

π k3+ C. π

π k6+

7. Naći jednačinu prave, koja je normalna na pravu 032 =+− yx , i prolazi kroz

tačku A(1,4). A. 032 =++ yx B. 092 =−− yx C. 092 =−+ yx

8. Kolika je du�ina tetive koju odseca kru�nica 2522 =+ yx na pravoj 1+= xy ? A. 27 B. 72 C. 14 9. Pravougli trougao sa jednom katetom du�ine 5 i hipotenuzom du�ine 13 rotiramo

oko du�e katete. Kolika je zapremina tako nastalog tela? A. 100π B. 1000π C. 10π 10. Tri broja obrazuju aritmetički niz, njihov zbir je 15. Dodamo li prvom broju 1,

drugom broju 4, a trećem 19, dobija se geometrijski niz. Naći ta tri broja! A. 2, 5, 8 B. 26, 6, �17 C. �3, 8, 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

SVAKI ZADATAK SE VREDNUJE NAJVI�E SA 6 BODOVA. MAKSIMALNI BROJ BODOVA JE 60.

81


MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (A helyes választ vagy válaszokat kérjük karikázza be!)

1. Egyszerűsítse a következő kifejezést: =−

++49

49142

2

aaa

A. 7

1−a

B. 7

1+a

C. 77

−+

aa

2. Határozza meg a ( )=−−− 6410064100 kifejezés értékét: A. 1 B. 4 C. �4 3. Határozza meg a 11317 =− x irracionális egyenlet megoldását: A. 1 B. 4 C. �4 4. Oldja meg az 0562 ≤+− xx egyenlőtlenséget: A. (-∞,1] B. [1,5] C. [5, ∞) 5. Oldja meg az xx 2100101000 =⋅ exponenciális egyenletet: A. 1 B. 4 C. �4 6. Mely számok a 65ctgtg =+ xx trigonometriai egyenlet megoldásai?

A. ππ k4+ B. π

π k3+ C. π

π k6+

7. Melyik egyenes merőleges a 032 =+− yx egyenesre és áthalad az A(1,4)

ponton is? A. 032 =++ yx B. 092 =−− yx C. 092 =−+ yx 8. Mekkora hosszúságú húrt metsz ki a 2522 =+ yx kör az 1+= xy egyenesből? A. 27 B. 72 C. 14 9. A derékszögű háromszög egyik befogójának hossza 5, átfogója pedig 13. Forgassuk meg a háromszöget a hosszabb befogója körül. Mekkora a keletkezett

forgástest térfogata? A. 100π B. 1000π C. 10π 10. Három szám számtani sorozatot alkot, összegük 15. Ha a számokat sorban 1-gyel,

4-gyel és 19-cel növeljük, mértani sorozatot nyerünk. Melyik ez a három szám? A. 2, 5, 8 B. 26, 6, �17 C. �3, 8, 10 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MINDEN FELADAT LEGFELJEBB 6 PONTTAL ÉRTÉKELHETŐ. A MAXIMÁLIS PONTSZÁM 60.

82





1. ( )( )( ) 7,

77

777

494914 2

2

2

−≠−+

=+−

+=

−++ a

aa

aaa

aaa C

2. ( )=−−− 6410064100 481066410036 =+−=+− B

3. 11317 =− x ⇒ x31117 =− ⇒ 63 =x ⇒ 2=x ⇒ x = 4 B 4. 0562 ≤+− xx ⇒( )( ) 051 ≤−− xx ⇒( ) ( ) 0501 ≤−∧≥− xx ⇒x∈[1,5] B

5. xx 2100101000 =⋅ ⇒ xx4

3 1010 =+

⇒x

x 43 =+ 0432 =−+ xx ⇒ 4,1 21 −== xx A,C

6. 1k4

ctgk4

tg =

+=

+ π

ππ

π⇒ 6k

45ctgk

4tg =

++

+ π

ππ

π A

7. p: 032 =+− yx ⇒ 32 += xy ⇒ 2=pk ,

pq ⊥ ⇒21

−=pk , A∈q ⇒ q: ( )1214 −−=− xy ⇒ q: 092 =−+ yx C

8. ( ) 251125 22

22

=++⇒

+==+

xxxy

yx⇒ 02422 2 =−+ xx ⇒

⇒ ⇒=−+ 0122 xx 3,44,3 2121 −=⇒−==⇒ yyxx ⇒ ⇒P(3,4), Q(�4,�3) ⇒ PQ= 274949 =+ A

9. Hbraacbca ==⇒=−=−=⇒== ,122516915,5 22 ⇒

⇒ πππ ⋅=⋅⋅⋅== 100122531

31 2 HrV A

10. 2 + 5 + 8 = 15, 5 � 2 = 8 � 5, ⇒

⇒ 2+1=3, 5+4=9, 8+19=27 ⇒ 3, 9, 27, 9:3 = 27:9 A

83

VI�A TEHNIČKA �KOLA S U B O T I C A

06.09.2002.


(Zaokru�ite odgovor ili odgovore koje smatrate ispravnim!)

1. Naći upro�ćeni oblik izraza: =−++

363612

2

2

xxx

A. 6

1−x

B. 6

1+x

C. 66

−+

xx

2. Odrediti vrednost izraza: ( )=−−− 3610036100 A. 1 B. 4 C. �4 3. Naći re�enje iracionalne jednačine 11317 =− x A. 1 B. 4 C. �4 4. Re�iti nejednačinu 0562 ≥+− xx A. (-∞,1] B. [1,5] C. [5, ∞) 5. Odrediti re�enje eksponencijalne jednačine xx 210010 = A. 1 B. 2 C. �4 6. Koja su re�enja trigonometrijske jednačine 65ctgtg =+ xx

A. ππ k4+ B. π

π k3+ C. π

π k6+

7. Naći jednačinu prave, koja je paralelna sa pravom 032 =+− yx , i prolazi kroz

tačku A(1,4). A. 032 =++ yx B. 022 =+− yx C. 092 =−+ yx 8. Kolika je du�ina tetive koju odseca kru�nica 2522 =+ yx na pravoj 1+= xy A. 27 B. 72 C. 14 9. Pravougli trougao sa jednom katetom du�ine 5 i hipotenuzom du�ine 13 rotiramo

oko kraće katete. Kolika je zapremina tako nastalog tela? A. 24π B. 2400π C. 240π 10. Tri broja obrazuju aritmetički niz, njihov zbir je 15. Dodamo li prvom broju 1,

drugom broju 4, a trećem 19, dobija se geometrijski niz. Naći ta tri broja! A. 2, 5, 8 B. 26, 6, �17 C. �3, 8, 10 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

SVAKI ZADATAK SE VREDNUJE NAJVI�E SA 6 BODOVA. MAKSIMALNI BROJ BODOVA JE 60.

85

MŰSZAKI FŐISKOLA S Z A B A D K A

2002.09.06.


(A helyes választ vagy válaszokat kérjük karikázza be!)

1. Egyszerűsítse a következő kifejezést: =−++

363612

2

2

xxx

A. 6

1−x

B. 6

1+x

C. 66

−+

xx

2. Határozza meg a ( )=−−− 3610036100 kifejezés értékét: A. 1 B. 4 C. �4 3. Határozza meg a 11317 =− x irracionális egyenlet megoldását: A. 1 B. 4 C. �4 4. Oldja meg az 0562 ≥+− xx egyenlőtlenséget: A. (-∞,1] B. [1,5] C. [5, ∞) 5. Oldja meg az xx 210010 = exponenciális egyenletet: A. 1 B. 2 C. �4 6. Mely számok a 65ctgtg =+ xx trigonometriai egyenlet megoldásai?

A. ππ k4+ B. π

π k3+ C. π

π k6+

7. Melyik egyenes párhuzamos a 032 =+− yx egyenessel és áthalad az A(1,4)

ponton is? A. 032 =++ yx B. 022 =+− yx C. 092 =−+ yx 8. Mekkora hosszúságú húrt metsz ki a 2522 =+ yx kör az 1+= xy egyenesből? A. 27 B. 72 C. 14 9. A derékszögű háromszög egyik befogójának hossza 5, átfogója pedig 13. Forgassuk

meg a háromszöget a rövidebb befogója körül. Mekkora a keletkezett forgástest térfogata?

A. 24π B. 2400π C. 240π 10. Három szám számtani sorozatot alkot, összegük 15. Ha a számokat sorban 1-gyel,

4-gyel és 19-cel növeljük, mértani sorozatot nyerünk. Melyik ez a három szám? A. 2, 5, 8 B. 26, 6, �17 C. �3, 8, 10 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MINDEN FELADAT LEGFELJEBB 6 PONTTAL ÉRTÉKELHETŐ. A MAXIMÁLIS PONTSZÁM 60.\

86





1. ( )( )( ) 6,

66

666

363612 2

2

2

≠−+

=+−

+=

−++ x

xx

xxx

xxx C

2. ( )=−−− 3610036100 461083610064 =+−=+− B

3. 11317 =− x ⇒ x31117 =− ⇒ 63 =x ⇒ 2=x ⇒ x = 4 B 4. 0562 ≥+− xx ⇒( )( ) 051 ≥−− xx ⇒ ( ] [ )+∞∪∞−∈⇒≥∨≤ ,51,51 xxx A,C

5. xx 210010 = ⇒ 2441010 24

=⇒=⇒=⇒= xxx

xxx B

6. 1k4

ctgk4

tg =

+=

+ π

ππ

π⇒ 6k

45ctgk

4tg =

++

+ π

ππ

π A

7. p: 032 =+− yx ⇒ 32 += xy ⇒ 2=pk ,

pq ⇒ 2=qk , A∈q ⇒ q: ( )124 −=− xy ⇒ q: 022 =+− yx B

8. ( ) 251125 22

22

=++⇒

+==+

xxxy

yx⇒ 02422 2 =−+ xx ⇒

⇒ ⇒=−+ 0122 xx 3,44,3 2121 −=⇒−==⇒ yyxx ⇒ ⇒P(3,4), Q(�4,�3) ⇒ PQ= 274949 =+ A

9. Harbacbca ==⇒=−=−=⇒== ,122516915,5 22 ⇒

⇒ πππ ⋅=⋅⋅⋅== 240514431

31 2 HrV C

10. 2 + 5 + 8 = 15, 5 � 2 = 8 � 5, ⇒

⇒ 2+1=3, 5+4=9, 8+19=27 ⇒ ⇒ 3, 9, 27, 9:3 = 27:9 A

87

Vi�a tehnička �kola 03.07.2003. S u b o t i c a


1. Zaokru�iti tačan odgovor: =

+

−

−

− 11

:131 2

2

xx

xx

a) 1 b) xx

++

−1

21 c) xx

++

121

2. Re�enje nejednačine 34

32>

−−x

x je interval:

a) [ )4,3 b) (3, 4) c) ),4()3,( ∞∪−∞

3. Zaokru�iti tačno re�enje jednačine 1212

11

=

⋅

++ xx

x

.

a) { }1,1−∈x b) ∈x ∅ c) { }1∈x

4. Zaokru�iti tačno re�enje jednačine ( ) 13log25log =−−− xx .

a) ∈x ∅ b)

∈

925x c) { }5,3∈x

5. Izračunati ααα 2tg,2cos,2sin , ako je παπα 22

3,135cos <<= .

6. Re�iti trigonometrijsku jednačinu 1cossin2 2 =− xx .

7. Odrediti jednačinu prave koja sadr�i tačku ( )2,1A i normalna je na pravu 0132: =−+ yxp .

8. Odrediti jednačinu kru�nice ako joj je centar u tački ( )3,3C i tačka ( )0,3A pripada kru�nici.

9. Pravougli trapez osnovica cma 9= i cmb 2= i du�eg kraka cm25 rotira oko manje osnovice. Izračunati povr�inu i zapreminu nastalog tela. Zaokru�iti tačan odgovor: a) 32 6528,828 cmVcmP ππ == b) 32 6528,1608 cmVcmP ππ == c) 32 3840,1608 cmVcmP ππ ==

10. Zbir tri broja koji čine geometrijski niz je 28. Ako se najveći broj umanji za 4, dobijaju se tri broja koji obrazuju aritmetički niz. Naći te brojeve.

S v a k i z a d a t a k s e v r e d n u j e m a k s i m a l n o s a 6 b o d o v a ! � e l i m o V a m u s p e � a n r a d !

89

Műszaki Főiskola 2003.07.23. S z a b a d k a


1. Karikázza be a helyes válasz előtti betűt: =

+

−

−

− 11

:131 2

2

xx

xx

a) 1 b) xx

++

−1

21 c) xx

++

121

2. A 34

32>

−−x

x egyenlőtlenség megoldáshalmaza az alábbi intrevallumok egyike:

a) [ )4,3 b) (3, 4) c) ),4()3,( ∞∪−∞

3. Karikázza be a 1212

11

=

⋅

++ xx

x

egyenlet megoldása előtt álló betűt:

a) { }1,1−∈x b) ∈x ∅ c) { }1∈x

4. Karikázza be a ( ) 13log25log =−−− xx egyenlet megoldását jelölő betűt:.

a) ∈x ∅ b)

∈

925x c) { }5,3∈x

5. Számítsa ki a ααα 2tg,2cos,2sin értékeket, ha παπα 22

3,135cos <<= .

6. Oldja meg a 1cossin2 2 =− xx trigonometrikus egyenletet.

7. Határozza meg az ( )2,1A ponton áthaladó egyenes egyenletét úgy, hogy az merőleges

legyen a 0132: =−+ yxp egyenesre.

8. Határozza meg a kör egyenletét, ha a középpontja a ( )3,3C pont, valamint áthalad az ( )0,3A ponton.

9. A derékszőgű trapézt, amelynek párhuzamos oldalai cma 9= és cmb 2= , a hosszabb szára

pedig cm25 , forgatjuk a rövidebb alapja körül. Határozza meg az így keletkezett forgástest felszínét és térfogatát. Karikázza be a helyes választ: a) 32 6528,828 cmVcmF ππ == b) 32 6528,1608 cmVcmF ππ == c) 32 3840,1608 cmVcmF ππ ==

10. Három szám, amelyek összege 28, mértani sorozatot alkot. Ha a legnagyobbat 4-gyel csökkentjük, akkor egy számtani sorozat három tagját nyerjük. Melyik ez a három szám?

A f e l a d a t o k m i n d e g y i k e 6 p o n t t a l é r t é k e l h e t ő !

J ó m u n k á t k í v á n u n k !

90

Vi�a tehnička �kola Műszaki Főiskola S u b o t i c a S z a b a d k a 03.07.2003. 2003.07.03.


RE�ENJA

MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL MEGOLDÁSOK

1. =

+

−

−

− 11

:131 2

2

xx

xx =

−−+

−−−

11:

1312

22

xxx

xxx

=−−

⋅−−

121

141

2

2

xx

xx

( )( )xx

xxxxxx

++

=−+−−+−

=1

21)12)(1()1()1(2121 c)

xx

++

121

2. 34

32>

−−x

x ⇒ 034

32>−

−−x

x ⇒ 04

31232>

−+−−

xxx

⇒ 04

155>

−−

xx ⇒ 0

4)3(5>

−−

xx

�∞ 3 3 4 4 ∞

x � 3 � + +

4 � x + + �

x

x−−

4)3(5 � + �

b) (3,4)

3. 1212

11

=

⋅

++ xx

x

⇒ 12)1(1

=+−

+ xx

x

⇒ 0)1(1=+−

+ xx

x ⇒ 01 2 =−−+ xxx ⇒

⇒ 012 =−x ⇒ x = ± 1 a) { }1,1−∈x

4. ( ) 13log25log =−−− xx ⇒ 135log =−−

xx ⇒ 10

35

=−−

xx ⇒ xx 10305 −=− ⇒

⇒ 259 =x ⇒ 925

=x . b)

∈

925x

5. Zbog uslova παπ 22

3<< je

1312

169144

169251cos1sin 2 −=−=−−=−−= αα .

169120

135

13122cossin22sin −=

⋅

−== ααα .

169119

169144

16925

1312

135sincos2cos

2222 −=−=

−−

=−= ααα .

119120

2cos2sin2tg ==αα

α .

91

6. Re�iti trigonometrijsku jednačinu 1cossin2 2 =− xx . ( )

.4

314

811012cos

01coscos201coscos2201coscos12

21

2

2

22

±−=

+±−=⇒=−+⇒=

=−+⇒

⇒=−−−⇒=−−−

ttttx

xxxxxx

ππππ kxkx

xx

tt

223

1cos21cos

121

32

1

21

+=+±=

−==

−==

7. Odrediti jednačinu prave koja sadr�i tačku ( )2,1A i normalna je na pravu

0132: =−+ yxp .

231

32

31

32:

=−=⇒

⇒−=⇒+−=

pq

p

kk

kxyp

Jednačina prave kroz jednu tačku:

( )12: −=− xkyq q ⇒ ( )1232: −=− xyq ⇒

⇒ 223

23: +−= xyq ⇒

21

23: += xyq ⇒

⇒ 3 x � 2y + 1 = 0.

8. Odrediti jednačinu kru�nice ako joj je centar u tački ( )3,3C i tačka ( )0,3A pripada kru�nici.

Centar kru�nice je tačka ( ) ( ) 333,3, =∧=⇒= qpCqpC .

Op�ti oblik jednačine kru�nice je :

( ) ( ) 222: rqypxk =−+− ( ) ( ) 222 33: ryxk =−+−

Ako tačka A pripada kru�nici, tada je ( ) ( ) 222 3033 r=−+−

39 2 =⇒= rr Jednačina tra�ene kru�nice glasi ( ) ( ) 933: 22 =−+− yxk .

A(1,2)

2x+3y-1=0

y

3x-2

y+1=

0

x(1/2, 0)

(0, 1/2)

(0, 1/3)

O•

••

•

C(3, 3)•

A(3, 0)•O

x

y

92

9. Pravougli trapez osnovica cma 9= i cmb 2= i du�eg kraka cm25 rotira oko manje osnovice. Izračunati povr�inu i zapreminu nastalog tela. Zaokru�iti tačan odgovor:

a) 32 6528,828 cmVcmP ππ == b) 32 6528,1608 cmVcmP ππ == c) 32 3840,1608 cmVcmP ππ == Rotacijom se dobija slo�eno telo, iz valjka je izvađena kupa.

Valjak i kupa imaju istu osnovu sa poluprečnikom : 57649625725 222 =−=−=r cmr 24= . Povr�ina slo�enog tela sastoji se od jedne kru�nice, od omotača valjka i od omotača kupe:

srHrrP

MMrP

valjka

kupevaljka

πππ

π

++=

++=

22

2

25249242576 ⋅+⋅⋅+= πππP

πππ 600432576 ++=P

21608 cmP π=

kupavaljak

kupavaljak

HrHrV

VVV

ππ 22

31

−=

−=

7192319576 ⋅⋅−⋅= ππV

ππ 13445184 −=V

33840 cmV π=

c) 32 3840,1608 cmVcmP ππ ==

10. Zbir tri broja koji čine geometrijski niz je 28. Ako se najveći broj umanji za 4, dobijaju

se tri broja koji obrazuju aritmetički niz. Naći te brojeve.

321 ,, aaa je geometrijski niz ⇒ 2111 ,, qaqaa

4,, 321 −aaa je aritmetički niz 282

111 =++ qaqaa 42 2

111 −+= qaaqa 22 71471 qqqq +−=++

( ) 281 21 =++ qqa 06156 2 =+− qq ⇒ 0252 2 =+− qq

4)12( 21 =+− qqa 16,8,4:42 11 subrojatriaq ⇒=⇒=

721

12

2

=+−++

qqqq 4,8,16:16

21

11 subrojatriaq ⇒=⇒= .

b=2

a=9

a-b=7

c=25h=24

r=h

93

Viša tehnička škola 05.09.2003. S u b o t i c a


1. Zaokružiti tačan odgovor: =

−

− 22

11:11nmnm

a) nm

m+

b) nm

mn+

c) nm

n+

2. Rešenje nejednačine 236

−<−−

xx je interval:

a) [ ]4,3 b) ( )4,3 c) ( ) ( )∞∪∞− ,43,

3. Zaokružiti tačno rešenje jednačine xx

x1

24+

= .

a) { }1∈x b)

−∈ 1,

21x c)

−∈ 1,0,

21x

4. Zaokružiti tačno rešenje jednačine ( ) ( ) 28log19log 2 =−−+ xx .

a) nema rešenje b) { }91,9∈x c) { }9∈x

5. Izračunati ααα 2tg,2cos,2sin , ako je 2

3,53sin παπα <<−= .

6. Rešiti trigonometrijsku jednačinu 12coscos =− xx .

7. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku ( )2,1A i paralelna je sa pravom 03: =−+ yxp .

8. Odrediti jednačinu kružnice na kojoj su tačke ( )0,2A i ( )0,8B krajnje tačke dijagonale.

9. Pravougli trapez osnovica cma 10= i cmb 2= i površine 290cm rotira oko veće osnove.

Izračunati površinu i zapreminu nastalog tela. Zaokružiti tačan odgovor: a) 32 1050,600 cmVcmP ππ == b) 32 1050,540 cmVcmP ππ == c) 32 150,540 cmVcmP ππ ==

10. Tri broja, čiji je zbir 26, obrazuju geometrijski niz. Ako se tim brojevima doda redom 1,6 i

3, dobijaju se tri broja koji obrazuju aritmetički niz. Naći te brojeve.

S v a k i z a d a t a k s e v r e d n u j e m a k s i m a l n o s a 6 b o d o v a ! Ž e l i m o V a m u s p e š a n r a d !

95



1. Karikázza be a helyes válasz előtti betűt: =

−

− 22

11:11nmnm

a) nm

m+

b) nm

mn+

c) nm

n+

2. A 236

−<−−

xx egyenlőtlenség megoldáshalmaza az alábbi intrevallumok egyike:

a) [ ]4,3 b) ( )4,3 c) ( ) ( )∞∪∞− ,43,

3. Karikázza be a xx

x1

24+

= egyenlet megoldása előtt álló betűt:

a) { }1∈x b)

−∈ 1,

21x c)

−∈ 1,0,

21x

4. Karikázza be a ( ) ( ) 28log19log 2 =−−+ xx egyenlet megoldását jelölő betűt:

a) nem megoldható b) { }91,9∈x c) { }9∈x

5. Számítsa ki a ααα 2tg,2cos,2sin értékeket, ha 2

3,53sin παπα <<−= .

6. Oldja meg a 12coscos =− xx trigonometrikus egyenletet.

7. Határozza meg az ( )2,1A ponton áthaladó egyenes egyenletét úgy, hogy az párhuzamos legyen a 03: =−+ yxp egyenessel.

8. Határozza meg a kör egyenletét, ha az ( )0,2A és ( )0,8B pontok az átmérőjének végpontjai.

9. A derékszőgű trapézt, amelynek párhuzamos oldalai cma 10= és cmb 2= , területe 290cm ,

forgatjuk a hosszabb alapja körül. Határozza meg az így keletkezett forgástest felszínét és térfogatát. Karikázza be a helyes választ: a) 32 1050,600 cmVcmF ππ == b) 32 1050,540 cmVcmF ππ == c) 32 150,540 cmVcmF ππ ==

10. Három szám, amelyek összege 26, mértani sorozatot alkot. Ha a számokat sorrendben

növeljük az 1,6 és 3 számokkal, akkor egy számtani sorozat három tagját nyerjük. Melyik ez a három szám?



96

Viša tehnička škola Műszaki Főiskola S u b o t i c a S z a b a d k a 05.09.2003. 2003.09.05.


REŠENJA

MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL MEGOLDÁSOK

1. =

−

− 22

11:11nmnm

nm

mnmnmn

nmmn

mnnmmn

mnmn

+=

+−⋅

−=

−−))((

:22

22

22

b) nm

mn+

.

2. 236

−<−−

xx 0

3)4(302

36

<−−

⇒<+−−

⇒xx

xx :

–∞ 3 3 4 4 ∞

3 – x + – –

4 – x + + –

xx

−−

3)4(3 + – +

b) (3, 4)

3. xx

x1

24+

=x

xxxx

x 12221

2 +=⇒=⇒

+

431

4811012

21

2 ±=

+±=⇒=−−⇒ xxx . b)

−∈ 1,

21x

11. ( ) ( ) 28log19log 2 =−−+ xx 100819100log

819log

22

=−+

⇒=−+

⇒x

xx

x

08191002 =+−⇒ xx . b) { }91,9∈x

5. 2

3,53sin παπα <<−= ⇒

54sin1cos 2 −=−−= αα .

2524cossin22sin == ααα , ,

257sincos2cos 22 =−= ααα

724

2cos2sin2tg ==ααα .

97

6. 12coscos =− xx ⇒=−−−⇒ 01)sin(coscos 22 xxx 01sincoscos 22 =−+− xxx ⇒=−⇒ 0cos2cos 2 xx

.21cos0cos0)cos21(cos =∨=⇒=− xxxx

Sledi: ,21 ππ kx += ,2

32 ππ kx += .23

53 ππ kx += , k∈ Z.

7. Prave koje prolaze kroz tačku ( )2,1A imaju jednačinu oblika y – 2 = k (x – 1). Sve prave paralelne sa pravom 03: =−+ yxp imaju koeficijent pravca k = –1. Prema tome jednačina prave koju tražimo je sama prava: 03: =−+ yxp .

8. Centar kružnice je središte C duži AB: Pošto je ( )0,2A i ( )0,8B sledi C(5, 0). Neposredno se uočava, da je poluprečnik r = 3, pa jednačina tražene kružnice je: (x – 5)2 + y 2 = 9.

9. Rotacijom se dobija složeno telo sastavljeno od valjka i kupe.

Valjak i kupa imaju istu osnovu sa poluprečnikom koja je jednaka visini trapeza. Pošto je površina trapeza

902

2102

=+

=+

= hhbap

sledi: h = r = 15 cm. Kosi krak trapeza je s = 17 cm. (Pitagora). Površina složenog tela sastoji se od jednog kruga, od omotača valjka i od omotača kupe. Visina valjka je b, visina kupe je a–b:

srHrrP

MMrP

valjka

kupevaljka

πππ

π

++=

++=

22

2

17152152225 ⋅+⋅⋅+= πππP ,

2540 cmP π= . Zapremina složenog tela je zbir zapremine valjka i kupe:

222 10508225312225

31 cmHrHrVVV kupavaljakkupavaljak πππππ =⋅+⋅=+=+= .

b) 32 1050,540 cmVcmP ππ ==

10. Neka su traženi brojevi a, aq i aq2. Njihov zbir je a + aq + aq2 = 26. Nakon uvećanja za 1, 6 i 3 imamo brojeve a + 1, aq + 6 i aq2 + 3 koji obrazuju aritmetički niz, pa je: ).6(2)3()1( 2 +=+++ aqaqa Rešavajući dobijeni sistem jednačina dobijemo: 26)1( 2 =++ qqa i 8)21( 2 =+− qqa . Po deljenju leve i desne strane (a se skraćuje):

31,303103

826

211

212

2

2

==⇒=+−⇒=+−++ qqqq

qqqq . Obe mogućnosti daju iste

brojeve, samo u suprotnom redosledu: 2, 6, 18, odnosno 18, 6, 2.

h

a=10cm

b=2cm

s

98



U svakom zadatku zaokružiti slovo ispred odgovora, kojeg smatrate ispravnim. Svaki tačan odgovor vredi 6 bodova.

1. Skraćeni (pojednostavljeni) oblik izraza 3322

++++−−

yxyxyxyx

je:

a) yy

++

32

; b) yy

−−

32

; c) yy

+−

32

.

2. Broj realnih korena jednačine 152 +=− xx je:

a) 0; b) 1; c) 2.

3. Koren jednačine 2173 2 =⋅ −xx zadovoljava sledeći uslov:.

a) ( )1,∞−∈x ; b) [ )3,1∈x ; c) [ )∞∈ ,3x .

4. Zbir korena jednačine 02log2log 222 =−+ xx je:

a) 2,25; b) 2,50; c) 2,75.

5. Ako je tgα = 2 , tada je vrednost izraza αααα

33

33

cossincossin

−+

jednaka broju:

a) 35

; b) 57

; c) 79

.

6. Broj rešenja trigonometrijske jednačine 0sin2cos3 2 =− xx u intervalu

−

2,

2ππ je:

a) 3; b) 2; c) 1.

7. Data su tri uzastopna temena paralelograma ABCD : ( ) ( ) ( ).3,1,3,5,5,3 −−− CBA Koordinate četvrtog temena su:

a) D(–3, 1) ; b) D(–1, 3) ; c) D(3, –1).

8. Prava 243 =− ymx je tangenta hiperbole 3622 =− yx . Kvadrat parametra m ima vrednost:

a) m2 = 16; b) m2 = 25; c) m2 = 36.

9. Osnovne ivice prave trosrane prizme su cma 4= , cmb 5= , cmc 7= . Visina tela je jednaka visini osnove, koja pripada najkraćoj ivici. Zapremina prizme je:: a) 358 cmV = ; b) 348cmV = ; c) 338 cmV = .

10. U aritmetičkom nizu prvi član je 1, a zbir prvih pet članova je jednak četvrtini zbira idućih pet članova. Diferencija (razlika) tog niza je: a) d=3; b) d=2; c) d=–3.

Ž e l i m o V a m u s p e š a n r a d !

99



Mindegyik feladatnál három válaszlehetőség van. Karikázza be a helyes válasz előtt álló betűt. Minden helyes válasz 6 pontot ér.

1. Egyszerűsítés után a 3322

++++−−

yxyxyxyx

kifejezés alakja a következő:

a) yy

++

32

; b) yy

−−

32

; c) yy

+−

32

.

2. A 152 +=− xx egyenlet valós megoldásainak száma:

a) 0; b) 1; c) 2.

3. A 2173 2 =⋅ −xx egyenlet gyöke kielégíti az alábbi feltételt:

a) ( )1,∞−∈x ; b) [ )3,1∈x ; c) [ )∞∈ ,3x .

4. A 02log2log 222 =−+ xx egyenlet gyökeinek összege:

a) 2,25; b) 2,50; c) 2,75.

5. Ha tgα = 2 , akkor a αααα

33

33

cossincossin

−+

kifejezés értéke:

a) 35

; b) 57

; c) 79

.

6. A 0sin2cos3 2 =− xx egyenlet

−

2,

2ππ intervallumhoz tartozó gyökeinek száma:

a) 3; b) 2; c) 1.

7. Adott az ABCD paralelogramma három egymást követő csúcsa: ( ) ( ) ( ).3,1,3,5,5,3 −−− CBA A negyedik csúcspont koordinátái:

a) D(–3, 1) ; b) D(–1, 3) ; c) D(3, –1).

8. Az 243 =− ymx egyenes érinti az 3622 =− yx hiperbolát. Az m paraméter négyzete:

a) m2 = 16; b) m2 = 25; c) m2 = 36.

9. A háromoldalú egyenes hasáb alapélei: cma 4= , cmb 5= , cmc 7= . A hasáb magassága ugyanakkora mint az alaplap legkisebb éléhez tartozó magassága. A hasáb tétfogata: a) 358 cmV = ; b) 348cmV = ; c) 338 cmV = .

10. A számtani sorozat első tagja 1, míg az első öt tag összege egyenlő a következő öt tag összegének negyedrészével. A sorozat különbsége (differenciája): a) d=3; b) d=2; c) d=–3.


100

VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA SUBOTICA – SZABADKAI MŰSZAKI FŐISKOLA

REŠENJA ZADATAKA SA KLASIFIKACIONOG ISPITA IZ MATEMATIKE OD 01.07.2004.

A 2004.07.01-ÉN MEGTARTOTT MATEMATIKAI MINŐSÍTŐ VIZSGA FELADATAINAK MEGOLDÁSAI

1. 3322

++++−−

yxyxyxyx

=yxyxyxyx

+++−−+

3322

=)1()1(3)1()1(2

++++−+

xyxxyx

= 1,32

)3)(1()2)(1(

−≠+−

=++−+ x

yy

yxyx

c)

2. Da bi koren jednačine 152 +=− xx bio realan broj, mora da zadovolji uslove 5≥x i

1−≥x . Prema tome, moguća realna rešenja su u skupu 5≥x .

152 +=− xx ⇒ 152 +=− xx ⇒ 062 =−− xx . Rešenja te jednačine su 3 i –2 od kojih

samo broj 3 pripada dozvoljenom intervalu, pa je broj realnih rešenja 1. b)

3. 2173 2 =⋅ −xx ⇒ 21773 2 =⋅⋅ −xx ⇒ 4921

73

=

x

⇒ 173

73

=⇒=

x

x

. b)

4. 02log2log 222 =−+ xx ⇒ 02loglog 2

22 =−+ xx . Za xt 2log= sledi: .022 =−+ tt

Rešenja te kvadratne jednačine su: 12 21 =−= tit . Rešenja polazne jednačine su 241

21 == xix .

Zbir ova dva broja je 2,25. a)

5. αααα

33

33

cossincossin

−+

= .79

1212

11

1cossincos

1cossincos

3

3

3

3

3

33

3

33

=−+

=−+

=

−

+

αα

ααα

ααα

tgtg

c)

6. 0sin2cos3 2 =− xx ⇒ 0)cos1(2cos3 2 =−− xx ⇒ 02cos3cos2 2 =−+ xx . Za xt cos=

sledi: .0232 2 =−+ tt Rešenja te kvadratne jednačine su:212 21 =−= tit . Očevidno t1 ne daje

rešenje, dok t2 21cos == x je zadovoljeno za dve vrednosti iz tog intervala: za

3π

±=x . b)

101

7. Neka je presek dijagonala paralelograma obeležen sa O. Ta tačka je sredina duži AC, pa su njene

koordinate: )1,1(2

35,2

13−≡

+−− OO . Istovremeno, ta tačka je i središte duži BD. Neka je

teme D(m, n), tada je .2

3,2

5

−+ nmO Sledi m = –3 i n = 1. a)

8. Uslov dodira prave nkxy += i hiperbole 12

2

2

2

=−by

ax

je 2222 bkan −= . U slučaju date prave

je: 83

−= xmy , pa u uslovu dodira možemo zameniti 36,8,3

22 ==−== banmk :

369

36642

−=m

. Odavde sledi m2 = 25. b)

9. Korišćenjem Heronovog obrasca izračunamo površinu baze:

641348))()(( =⋅⋅⋅=−−−= csbsassB , jer je cmcbas 82

=++

= . Visina baze, koja

pripada ivici a dobija se iz uslova:2

ahaB ⋅= to jest:

24

64 ah= . Otuda je 62== Hha cm.

Sledi zapremina prizme: 3486264 cmHBV =⋅=⋅= . b)

10. Po uslovu zadatka je ( )109876543211 41,1 aaaaaaaaaaa ++++=++++= .

Ako zamenimo svaki član sa činjenicom dndnaa nn )1(1)1( −+=−+= dobijamo jednačinu iz

koje sledi, da je d=–3. c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c b b a c b a b b c

102



(zaokružite slovo ispred ispravnog odgovora: A ili B ili C)

1. Ako je: 32 −=U i 32 +=V , tada važi relacija:

A U – V = 1 B U ⋅ V = 1 C U + V = 1

2. Jednačinu 1−=

−+

−

−+

+⋅

+−

+

+−

−

xxxx

xxxx

111

111

111

111

zadovoljavaju sledeći brojevi:

A R B ∈∀x ∈∀x S, S={–1, 0, 1} C ∈∀x R \ S

(Svi realni brojevi)

3. Proizvod rešenja jednačine je: 3225,0222 =⋅− xx

A 3 B 2 C –3

4. Rešenje jednačine ( ) 031log2log1 =−−+ xx pripada intervalu:

A

∈

331,0x B

∈

231,

331x C

∈

31,

231x

5. Ako je sin 2,1cos =+ αα koliko je αα cossin ⋅ ?

A 0,12 B 0,22 C 0,32

6. Broj rešenja trigonometrijske jednačine sin 0cos2 =− xx u intervalu ( )π,0 je:. A 1 B 2 C 3

7. Za tačke koordinate tačke R, koja deli duž AB u razmeri AR:RB=2:3 su: ( ) )1,5(,3,2 −BA

A

−

511,

54R B

511,

54R C

−

511,

54R

8. Jednačina tangente elipse 11832

22

=+yx

u njenoj tački ( )3,40P je:

A 3x + 4y = 24 B 3x – 4y = 24 C –3x + 4y = 24

9. Neka je svaka ivica četvorostrane piramide a. Koliko procenata iznosi zapremina te piramide od zapremine kocke, čija ivica ima istu dužinu a?

A manje od 20% B od 20% do 30% C više od 30%

10. Poslednji član geometrijske progresije je 128, a pretposlednji 64. Zbir svih članova ispred je 63. Koja je to progresija i koliko članova ima? Navesti sve elemente progresije: ___________________________________________

S v a k i z a d a t a k s e v r e d n u j e m a k s i m a l n o s a 6 b o d o v a !

Ž e l i m o V a m u s p e š a n r a d !

103



(karikázza be a helyes válasz előtt álló betűt: A vagy B vagy C

1. 32 −=U és 32 +=V számokra teljesül:

A U – V = 1 B U ⋅ V = 1 C U + V = 1

2. Az 1−=

−+

−

−+

+⋅

+−

+

+−

−

xxxx

xxxx

111

111

111

111

egyenlet megoldásai:

A R B ∈∀x ∈∀x S, S={–1, 0, 1} C ∈∀x R \ S

(Minden valós szám)

3. A egyenlet megoldásainak szorzata: 3225,0222 =⋅− xx

A 3 B 2 C –3

4. Az ( ) 031log2log =−−+ xx1 egyenlet megoldására teljesül:

A

∈

331,0x B

∈

231,

331x C

∈

31,

231x

5. Ha sin 2,1cos =+ αα akkor mekkora αα cossin ⋅ értéke?

A 0,12 B 0,22 C 0,32

6. Hány megoldása van a sin 0cos2 =− xx egyenletnek a ( )π,0 intervallumban? A 1 B 2 C 3

7. Az AB szakaszt ( ( ) )1,5(,3,2 −BA ) AR:RB=2:3 arányban osztó R pont koordinátái:

A

−

511,

54R B

511,

54R C

−

511,

54R

8. Az 11832

22

=+yx

ellipszis pontjához illesztett érintő egyenlete: ( 3,40P )A 3x + 4y = 24 B 3x – 4y = 24 C –3x + 4y = 24

9. Legyen a négyoldalú gúla minden éle a. Hány százalékát adja a gúla térfogata egy olyan kocka térfogatának, amelynek élei szintén a hosszúságúak?

A kevesebb mint 20% B od 20% és 30% között C több mint 30%

10. A mértani sorozat utolsó tagja 128, az utolsó előtti 64, az összes többi megelőző tag összege 63. Melyik sorozatról van szó és hány tagja van? Sorolja fel az összes kérdéses tagot: ___________________________________________



104


KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE MINŐSÍTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL REŠENJA – MEGOLDÁSOK

1. U ⋅ V = 1343232 =−=−⋅− B

2. Jednačina je identitet za R \ {–1, 0, 1}. Za x ∈{–1, 0, 1} izraz nema smisla. C ∈∀x

3. ⇒ 2 ⇒ ⇒ 3225,0222 =⋅− xx 5)22( 2

2

=+−− xx 0322 =−− xx 321 −=⋅ xx . C

4. ( ) 031log2log1 =−−+ xx ⇒ 031210

=−

log ⋅xx

⇒ 131

20=

− xx

⇒ xx 3120 −= ⇒231

=x C

5. 2,1cossin =+ αα ↑2 ⇒ ⇒ 44,1coscossin2sin 22 =++ αααα αα cos⋅sin =0,22. B 6. ⇒ 20cos2sin =− xx 0coscossin =− xxx ⇒ ( ) 01sin2cos =−xx ⇒

⇒ 21sin0 =∨= xxcos ⇒

65,

6,

2 321πππ

=== xxx C

7. 54

2323

−=++

= BAR

xxx , 5

112323

=++

= BAR

yyy . C

8. 11832

00 =⋅

+⋅ yyxx

⇒ 1183

324

=+yx

⇒3x + 4y = 24. A

22

2adH ==

62

3

3

1aHBV =

⋅=

a

32 aV =

...2357,062

2

1 ≈=VV

a

aa

H

a

ad/2

9. B

10. 264

128

1

===−n

n

aa

q ,12

12631

1 2

1

2

12 −−

=⇒−−

=−−

−

nn

n aqqaS 1,8642 1

21 ==⇒=⋅⇒ − ana n

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

105

VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA SUBOTICA 01.07.2005.


KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE MINŐSĺTŐ VIZSGA MATEMATIKÁBÓL

Zaokružiti slovo a), b) ili c) ispred odgovora kojeg

smatrate ispravnim. Od ponudjena tri odgovora SAMO JE JEDAN TAČAN! Tačno zaokružen odgovor vredi 6 bodova, netačan odgovor i bez odgovora 0 bodova.

Karikázza be az a), b) vagy a c) betűt, amely a véleménye szerint a helyes választ jelöli. CSAK EGY

HELYES VÁLASZ VAN! A pontos válasz 6 pontot ér, a téves válaszra és válasz nélküli kérdésre 0 pont jár.

Prezime i ime kandidata Konkursni broj: A jelölt családneve és neve: Jelentkezési szám:

Σ

1. Skraćeni oblik datog izraza je:

Az adott kifejezés egyszerűsített alakja:

ax

ax

−

−

5

55

22

a) x–5a; b) x+5a; c) 25

5ax + .

2. Broj realnih rešenja date jednačine je:

Az adott egyenlet valós gyökeinek száma:

518

22=

−+

+ xx

xx

a) 0; b) 2; c) 4.

3.

Kojem kvadrantu pripadaju tačke čije su koordinate date rešenjima sistema jednačina:

Melyik síknegyedhez tartoznak a pontok, amelyek koordinátái az egyenletrendszer megoldásai?

53633

=+=+

yx

yx

a) III; b) II; c) I.

4.

Rešenja date logaritamske jednačine su:

A logaritmusos egyenlet megoldásai:

4510log

41log =+ xx

a) { 10 ,10}; b) { 3 10 ,10}; c) { 4 10 ,10}.

1 107

5. Neka je na datoj slici BD = 3 . Kolika je dužina stranice AC = x ?

Legyen az adott ábrán BD = 3 . Mekkoraaz AC = x oldal hosszúsága?

1200 300

BC

A

D

x

900

a) x =41 ; b) x =

23 ; c) x =

45 .

6. Skup rešenja date trigonometrijske jednačine koja pripadaju intervalu [0, π] je: Az adott trigonometrikus egyenlet [0, π] intervallumhoz tartozó gyökeinek halmaza:

0cossin =+ xx

a) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

43π ; b)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

43,

6ππ ; c) ∅

7. Za tačku A simetrična slika u odnosu na datu pravu je tačka: Az A pont tükrözésével az adott egyenesre nézve az alábbi pontot kapjuk:

A(1; 4), x – y + 2 = 0

a) A' (4; 1); b) A' (3; 2) ; c) A' (2; 3)

8. Broj zajedničkih tačaka elipse i kružnice je:

Az ellipszis és a kör közös pontjainak száma:

163649

22

22

=+

=+

yxyx

a) 0; b) 2; c) 4.

9. Data je trostrana prizma na slici sa bočnim. stranama čije su površine 72cm2, 96cm2, 48cm2.Zapremina prizme je:

A háromoldalú hasáb oldallapjainak területei sorban: 72cm2, 96cm2, 48cm2. A hasáb térfogata:

a b

c

H=12cm

a) 32 15 cm3; b) 1534 cm3; c) 1536 cm3.

10. Količnik geometrijskog niza, čiji je prvi član 1, a šesti član 1024 jeste broj: A mértani sorozat első tagja 1, a hatodik pedig 1024. A sorozat hányadosa:

a1=1, a6 = 1024, q =?

a) q = 6; b) q = 4; c) q = 2;

2 108

REŠENJA – MEGOLDÁSOK

1. ax

ax

−

−

5

55

22

.55

)5)(5(

55

525 22

axax

axaxax

ax

+=−

+−=

−

−

= b)

2. 5

1822=

−+

+ xx

xx nakon množrnja jednačine sa 5(x–2)(x+2), pri čemu je x≠±2

)2)(2(18)2(5)2(5 +−=++−⇒ xxxxxx ⇒−=⇒ 721810 22 xx . Prema tome postoje dva rešenja.. b) 3,39 21

2 −==⇒=⇒ xxx

3. Rešenja su (2,3) i (3,2). Obe tačke pripadaju I kvadrantu. c)

4. Iskoristimo identičnost: xx log

110log = . Dobija se kvadratna jednačina po log x.

4log2x –5logx +1=0. Rešnja su: log x = 1, log x = 41 . To znači: x1=10, x2= 4 10 . c)

5. Trougao ABD je jednakokraki (pošto je i ugao ∠BAD = 300), sledi BD = AB = 3 .

Otuda je x = .23

233

23

=⋅

=AB b)

6. Prostom proverom se uočava da je jednačina istinita u datom intervalu jedino za 4

3π . a)

7. Jednačina normale kroz tačku A na datu pravu je: y – 4 = –1(x – 1), odnosno: x + y – 5 = 0. Presek date prave i dobijene normale je rešenje sistema jednačina: x + y – 5 = 0, x – y + 2 = 0.

Taj presek je tačka ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

27;

23S . Ova tačka je sredina duži, čija druga krajnja tačka jeste

simetrična slika tačke A(1; 4) u odnosu na datu pravu. Koristimo poznate formule za izračunavanje koordinata središta duži. Ako je A'(x1; y1), tada se dobija:

223

21

11 =⇒=

+x

x i 3

27

24

11 =⇒=

+y

y, to jest: A' (2; 3) . c)

8. Poluose elipse su a = 2 i b = 3, dok poluprečnik kružnice je r = 4. Obe linije su sa centrom u koordinatnom početku, prema tome elipsa se cela nalazi u krugu koji je oivičen datom kružnicom. Prema tome, linije nemaju zajedničkih tačaka. a)

9. Pretpostavimo, da je aH = 72cm2, bH = 96cm2, cH = 48cm2. Pošto je H = 12cm, sledi: a = 6cm, b = 8cm, c = 4cm. Heronovim obrascem se izračuna površina baze B = 135 cm2, ili B = 153 cm2. Otuda je zapremina prizme V = BH = 12⋅ 153 = 1536 . c)

10. Pošto je . b) 411024 5516 =⇒⋅=⇒= qqqaa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b b c c b a c a c b

3 109









Σ



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

++

32

11:

31

12

xx

xxxx

a) 1; b) 0; c) x.

2. Broj realnih rešenja date jednačine je:

Az adott egyenlet valós gyökeinek száma:

15 =−+ xx

a) 0; b) 1; c) 4.

3.

Kojem kvadrantu pripadaju tačke čije su koordinate date rešenjima sistema jednačina:

Melyik síknegyedhez tartoznak a pontok, amelyek koordinátái az egyenletrendszer megoldásai?

325655

−=+

=+

yx

yx

a) III; b) II; c) I.

4.

Rešenje date logaritamske jednačine je:

A logaritmusos egyenlet megoldása:

02log2log 222 =−+ xx

a) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

41,2 ; b) { }2,1 − ; c) { }4,2 .

- 1 -

111

5.

Koliki je zbir vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ugla α ?.

Mekkora az α szög többi trigonometriai függvényének összege?

33ctg −=α ,

32

2πα π< <

sinα + cosα + tgα = ?

a) 323

21

++ ; b) 323

21

+− ; c) 323

21

−− .

6. Najmanje pozitivno rešenja date trigonometrijske jednačine je: Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyöke:

0coscossin2 =− xxx

a) 2π ; b)

6π ; c)

3π .

7. Površina trougla određenog pravama p i q i osom Ox je: A p és q egyenesekkel valamint az Ox tengely által körühatárolt háromszög területe:

p: 3x – y + 4 = 0 q: x + y – 4 = 0

a) 6; b) 12; c) 8.

8. Broj zajedničkih tačaka elipse i kružnice je:

Az ellipszis és a kör közös pontjainak száma:

25443649

22

22

=+

=+

yxyx

a) 0; b) 2; c) 4.

9. Zapremina kocke je V1 = 24 3 cm3. Površina lopte opisane oko te kocke je:

A kocka térfogata V1 = 24 3 cm3 . A kocka köré írt gömb felszíne:

a

D=2R

a) 48πcm2; b) 36πcm2; c) 24πcm2.

10. Zbir svih neparnih prirodnih brojeva manjih od 1000 je: Az 1000-nél kisebb páratlan természetes számok összege:

1 + 3 + 5 + ... + 999 = ?

a) 250000; b) 500000; c) 1000; - 2 -

112


1. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

++

32

11:

31

12

xx

xxxx

=++

++++++

+−++=

)3)(1()2)(1()3(:

)3)(1()1()3)(2(

xxxxx

xxxxx

.15454

223165

2

2

2

2

=++++

=+++++

−−++=

xxxx

xxxxxxx a)

2. 15 =−+ xx ( )215 xx +=+⇒ ⇒++=+⇒ xxx 215

.4242 =⇒=⇒= xxx To je jedino rešenje, drugo rešenje ne postoji. b)

3. Rešenja su (–1,–2) i (–2,–1). Obe tačke pripadaju III kvadrantu. a)

4. To je kvadratna jednačina po log2x: . 02loglog 222 =−+ xx

Rešnja su: log x2 = 1, log2 x = –2. To znači: x1=2, x2=41 . a)

5. Za ugao 32

2π α< < π je: .23sin,

21cos,3tan,

33cot −==−=−= αααα c)

6. Prostom proverom se uočava da je najanji pozitivan koren 6π . b)

7. Prave se seku na osi Oy u tački (0, 3). Prava p seče osu Ox u tački ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0,

34 , dok prava q

seče osu Ox u tački (4, 0): Sledi: imamo trougao čija je osnovica a =3

16344 =+ , a visina

h = 3. Otuda površina trougla je .82

=⋅

=Δhap c)

8. Poluose elipse su a = 2 i b = 3, dok poluprečnik kružnice je r = 4. Obe linije su sa centrom u koordinatnom početku, prema tome elipsa se cela nalazi u krugu koji je oivičen datom kružnicom. Prema tome, linije nemaju zajedničkih tačaka. a)

9. Pošto je 331 324== Va , D=a 3 = 3 6232332427324 6 6623 =⋅=⋅=⋅⋅= ,

sledi R = 3cm. Površina lopte je Pl=4r2π=36πcm2. b)

10. Uočiti, da je to aritmetička progresija sa a1=1, an=999, gde je n = 500. Zbir prvih 500 neparnih prirodnih brojeva je

( )nn aanS += 12⇒ ( ) 25000010002509991

2500

500 =⋅=+=S . a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a b a a c b c a b a

- 3 -

113









Σ



=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yxxy

yx 11 :

a) x–2y; b) x – y; c) 2x+ y.

2. Zbir svih realnih rešenja date jednačine je:

Az adott egyenlet valós gyökeinek összege:

087 36 =−− xx

a) 1; b) –1; c) 0.

3.

Rešenja date eksponencijalne jednačine pripadaju intervalu:

Az adott exponenciális egyenlet megoldásai a következő intervallumhoz tartoznak:

xxx 121213 1 += −

a) (–5, 1); b) [–5, 1); c) (–5, 1].

4.

Ako je a rešenje date logaritamske jednačine, tada je zadovoljen uslov:

Ha x a logaritmusos egyenlet megoldása, akkor teljesül a következő feltétel:

203loglog)83(log 555 =++ xx

a)

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−∈ 7,

329x ; b) 49 ; 2 =x c) x = 0.

115

5.

Data trigonometrijska jednakost je: a) istinita; b) neistinita; c) ne znam.

Az adott trigonometrikus egyenlőség: a) igaz; b) hamis; c) nem tudom.

ooo 15sin75sin45sin −=

a) T b) ⊥ c) x

6. Broj rešenja date trigonometrijske jednačine u intervalu [0, π] je:

Az adott trigonometriai egyenlet gyökeinek száma a [0, π] intervallumban:

xx 2sin5cos =− .

a) 1; b) 5; c) 0.

7. Date su koordinate temena trougla ABC. Koordinate težišne tačke T datog trougla su: Adottak az ABC háromszög csúcspontjai. A háromszög T súlypontjának koordinátái:

A(5; 5), B(–2; 6), C(–4; 2).

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

313;

31T ; b) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

313;

31T ; c) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

213;

31T .

8. Koordinate tačke C, centra date kružnice su:

Az adott kör C középpontjának koordinátái:

0104622 =+−++ yxyx .

a) C(–3, –2); b) C(3, –2); c) C(–3, 2).

9. Neka je dužina ivice pravilnog tetraedra a = 2 , a duž EF spaja sredine dveju nesusednih ivica. Dužina EF je:

A szabályos tetraéder élhossza.a = 2 , az EF szakasz a szemközti (nemszomszédos) élek felezőpontjait köti össze. EF hosszúsága:

AB

C

D

E

F

a

a

a

aa2

a2

a2

a) EF =1; b) EF = 2 ; c) EF = 3 .

10. Vrednost datog izraza je:

Az adott kifejezés értéke:

.......2222 =

a) 0 ; b) 2 ; c) 4;

2 116





1. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yxxy

yx 11 : yx

yxxy

xyyxyx

xyxy

xyyx

−=+

⋅+−

=+− ))((:

22

b)

2. , 087 36 =−− xx 11,281,8087 3

23

12123 −=−===⇒−==⇒=−−⇒= xxtttttx .

Pri korenovnaju su uzeti u obzir samo realni koreni. Zato, odgovor na postavljeno pitanje je: .1)1(221 =−+=+ xx a)

3. . Ako podelimo jednačinu sa 12xxx 121213 1 += − x imamo: 121312

121112

1213 1 =+=+= −

x

x

.

Iz te jednačine neposredno sledi: x = 1, tojest: x ∈(–5, 1]. c) 4. 203loglog)83(log 555 =++ xx .20383203log)83(log 2

55 =+⇒=+⇒ xxxx

Rešenja kvadratne jednačine ⎪⎩

⎪⎨⎧−=

−⋅−±−==−+

329

7

6)203(12648

:su 0203832

12 xxx .

Očevidno, polaznu jednačinu zadovoljava samo x = 7, jer za negativne brojeve logaritam nije definisan. b)

5. . Pošto je ooo 15sin75sin45sin −=2

sin2

cos2sinsin βαβαβα −+=− ,

za α=75o i β=15o jednakost je istinita, jer je:

ooo

oooooo

45sin22

21

22230sin45cos2

21575sin

21575cos215sin75sin

====

=−+

=− a)

6. . Iz date jednačine sledi, da bi trebalo biti zadovoljen sledeći zahtev: xx 2sin5cos =− . Očevidno, to nije moguće, jer je i sin5sincos 2 =− xx 2 x i cosx uvek manji od 1, te njihova razlika ne može biti 5. Jednačina uopšte nema rešenja pa ni u intervalu [0, π]. c)

7. Koordinate težišta trougla su: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

=3

,3

, 321321 yyyxxxyx TT . U datom

slučaju su te koordinate: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

313;

31T . a)

3 117

8. Jednačina se svodi na 0104622 =+−++ yxyx ( ) ( ) 323 22 =−++ yx . Otuda se zaključuje, da je centar date kružnice tačka C(–3, 2). c) 9. Pošto je ta duž normalna na te ivice, njenu dužinu računamo pomoću Pitagorine teoreme iz trougla AFE. Prav ugao je kod tačke E, prema tome EF2 = AF2 – AE2. S obzirom na to, da je AF visina jednakostraničnog trougla, AE je pak polovina ivice, imamo:

142

46

22

232

22

2 =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=EF . a)

10. 1. način: .......2222 =x. Nakon kvadriranja imamo 2 .......2222 =x2, to jest 2x = x2, odnosno x = 2.

4

2. način: .......2222...

81

41

21

81

41

21

2....222+++

=⋅⋅= . U izložiocu imamo zbir beskonačnog

1

211

21

...81

41

21

=−

=+++ , pa je rezultat i ovako 2. b) geometrijskog reda:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b a c b a c a c a b

118









Σ

1. Za date izraze A i B važi tvrđenje:

Az adott A és B kifejezésekre fennáll:

.2322

,2421

+=

+=

B

A

a) A<B; b) A>B; c) A=B.

2. Ako su x1 i x2 koreni date jednačine, tada je:

Ha x1 és x2 az adott egyenlet gyökei, akkor:

0156 2 =+− xx

a) x1 + x2 = 61 ; b) x1 + x2 = –

65 ; c) x1 + x2 =

65 .

3.

Rešenje date eksponencijalne jednačine pripada intervalu:

Az adott exponenciális egyenlet megoldása a következő intervallumhoz tartozik:

11 4455 −− ++= xxxx

a) (2, 3); b) [2, 3); c) (2, 3].

4.

Ako je uređeni par (x, y) rešenje datog sistema jednačina, tada je zadovoljen uslov:

Ha az (x, y) számpár az egyenletrendszer megoldása, akkor teljesül a következő feltétel:

3loglog90

=+=−

yxyx

a) x+ y = 101; b) x+ y = 110; c) x+ y = 111.

1 119

5.

Vrednost datog izraza je: (Bez upotrebe pomoćnih sredstava)

Az adott kifejezés értéke: (Segédeszközök használata nélkül)

=+ oo 75cos105cos

a) 0 ; b) 1 ; c) 0,5 .

6. Broj rešenja date trigonometrijske jednačine u razmaku [0, 2π] je:

Az adott trigonometriai egyenlet gyökeinek száma a [0, 2π] intervallumban:

0sin2cos2 2 =+− xx .

a) 1; b) 2; c) 3.

7. Date su koordinate temena trougla ABC. Dužina težišne duži koja ishodi iz tačke A je: Adottak az ABC háromszög csúcspontjai. Az A pontból kiinduló súlyvonal hossza:

A(5; 5), B(–2; 6), C(–4; 2).

a) 64=at ; b) 65=at ; c) 66=at .

8. Prečnik date kružnice je:

Az adott kör átmérőjének hossza:

0104622 =+−++ yxyx .

a) 10 ; b) 11 ; c) 12 .

9.

Oko pravilne trostrane prizme osnovne ivice a i visine H opisan i u nju i upisan valjak. Odnos zapremina tih valjaka je:

A szabályos háromoldalú hasáb alapéle a, magassága H. A hasáb köré és a hasábba beírt hengerek térfogatainak aránya:

H

S1

Sr

R aa

a

a) V1 : V2 = 1 : 3; b) V1 : V2 = 1 : π; c) V1 : V2 = 1 : 4.

10. Dat je četvrti i dvanaesti član aritmetičkog niza. Zbir prvih 40 članova tog niza je: Adott a számtani sorozat 4. és 12. tagja. A sorozat első 40 tagjának összege:

?,3,7 40124 === Saa

a) 50 ; b) 500 ; c) –50.

2 120





1. .2322

,2421

+=

+=

B

A⇒

.506245232322222

,5042452424212212

2

⋅+=+⋅⋅+=

⋅+=+⋅⋅+=

B

A⇒A2<B2 ⇒A<B a)

2. Po Vijetovom pravilu za korene kvadratne jednačine ax2+bx+c=0 važi: abxx −=+ 21 .

U slučaju jednačine x0156 2 =+− xx 1 + x2 = 65 . c)

3. ⇒11 4455 −− ++= xxxx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

4114

5115 xx ⇒ 2

1625

45

=⇒= xx

x

∈ [2, 3). b)

4. ⇒ ⇒ y3loglog

90=+

=−yx

yx1000

90=

+=xy

yx 2+90y–1000 = 0⇒y1 =10, y2 =–100.

Negativno rešenje jednačine (zbog logaritma) se ne prihvata, pa je x=100, y =10, odnosno x + y = 110. b)

5. Pošto je 2

cos2

cos2coscos βαβαβα −+=+ , za α=105o i β=75o imamo:

015cos90cos22

75105cos2

75105cos275cos105cos oooooo

oo ==−+

=+ . a)

6. ⇒0sin2cos2 2 =+− xx ( ) 01sin01sin2sin 22 =+⇒=++ xxx , tojest sin x= –1.

U datom intervalu jednačina je zadovoljena samo za 2

3π=x . Broj rešenja 1. a)

7. Koordinate sredine duži BC su: A1(–3, 4). Duž t = AA1 = 65=at . b)

3 121

8. Jednačina se svodi na 0104622 =+−++ yxyx ( ) ( ) 323 22 =−++ yx . Poluprečnik date kružnice je 3 , dok je prečnik 2 123 = . c) 9. Pošto je odnos poluprečnika osnove ovih valjaka je r:R = 1:2, sledi: odnos površina baznih krugova BB1 : B2 B = 1 : 4. Pošto su visine jednake, zato je i V1 : V2 = 1 : 4 c) 10. Na osnovu datih brojeva imamo sistem jednačina:

a1+3d = 7 i a1+11d = 3. Iz toga se izračunava .50,2

17,21

401 −==−= Sad c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a c b b a a b c c c

4 122

VISOKA TEHNIČKA ŠKOLA SUBOTICA 02.07.2007.

SZABADKAI MŰSZAKI SZAKFŐISKOLA2007.07.02.

PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE FELVÉTELI VIZSGA MATEMATIKÁBÓL






Σ

1. Skraćeni oblik datog izraza je (uslov):

A kifejezés egyszerűsített alakja (feltétel):

aaa55

2

−−

a) 1,5

≠aa b) 5,5

≠aa c) 0,5

≠aa

2. Realno rešenje date jednačine:

Az adott egyenlet valós megoldása:

223 =−−− xx

a) ≥3 b) ≤ 2 c) ne postoji – nem létezik.

3.

Rešenja date kvadratne jednačine su realni brojevi, ako parametar a ima vrednost:

Az adott másodfokú egyenlet gyökei valós számok, ha az a paraméterre igaz hogy:

042 =++ axax

a) a <|2| b) a≤|2| c) a > |2|

4. Proizvod korena date eksponencijalne jednačine je:

Az adott exponenciális egyenlet gyökeinek szorzata:

10)33(3 =+ − xx

a) –1 b) 0 c) 1

123

5.

Vrednost datog logaritamskog izraza je:

Az adott logaritmusos kifejezés értéke:

( )72007 20072007log ⋅

a) 71 b)

78 c) 7

6. 2

0 πα <<2

0 πβ <<Ako je i i važe dati

uslovi, vrednost )sin( βα + je:

21sin =α

53cos =β,

20 πα <<

20 πβ << Ha és akkor az adott

feltételekkel értéke: )sin( βα +

10343+

10343−

10343−− a) b) c)

7. Koliko rešenja ima data trigonometrijska jednačina u razmaku : ],0[ π

01sin3sin2 2 =++ xxAz adott trigonometrikus egyenlet ],0[ π intervallumhoz tartozó megoldásainak száma:

a) 1 b) 2 c) 0

8. Dužina tetive kružnice, koja pripada datoj pravoj je:

041622

=−+=+

yxyx

A kör húrjának a hossza, amely az adott egyeneshez tartozik:

b) a) 4 c) 34 24

9. "Mala" kocka ima telesnu dijagonalu D1 jednaku sa bočnom dijagonalom d2 "velike" kocke. Odnos površine "male" kocke i "velike" kocke je P1 : P2 = D1

a1 a2

d2

A "kissebb" kocka testátlója D1 egyenlő a "nagyobb" kocka d2 oldalátlójával. A "kis" kocka és a "nagy" kocka felszíneinek aránya: P : P2 = 1

a) 3 : 2 b) 2 : 3 c) 2 : 2

10. Aritmetički niz, čiji članovi zadovoljavaju date jednačine je:

1596

38

1175

=−=++

aaaaa

Az adott egyenleteket kielégítő számtani sorozat tagjai:

a) 12, 15, 18, ... b) 3, 15, 27, ... c) 12, 9, 6, ...

124

VISOKA TEHNIČKA ŠKOLA SUBOTICA SZABADKAI MŰSZAKI SZAKFŐISKOLA07.09.2007. 2007.09.07.


Zaokružiti slovo a), b) ili c) a), b) vagy a c) ispred odgovora kojeg


Karikázza be az betűt, amely a véleménye szerint a helyes választ jelöli. CSAK EGY



Σ

1. Dati izraz nema smisla u slučaju, ako je a =

9248

2

23

−+

aaa

Az adott kifejezés nem értelmezett, ha a =

b) 1 a) 3 c) 0

2. Za realno rešenje date jednačine važi: 2028 =+− x

Az adott egyenlet valós megoldására teljesül:

a) ),2[ ∞−∈x b) )2,( −−∞∈x c) ∈x ∅.

3.

Rešenja date kvadratne jednačine nisu realni brojevi, ako parametar a ima vrednost:

0122 =++ axax

Az adott másodfokú egyenlet gyökei nem valós számok, ha az a paraméterre igaz, hogy:

a) 0 < a < 1 b) 0 < a ≤1 c) 0 ≤ a <1

4. Zbir korena date eksponencijalne jednačine je:

522 2 =+ −xx

Az adott exponenciális egyenlet gyökeinek összege:

a) 2 b) –2 c) 0

125

5.

Vrednost datog logaritamskog izraza je: ( )322007 20072007log ⋅

Az adott logaritmusos kifejezés értéke:

a) 32 b)

37

c) 2007

6. Ako važe dati uslovi, vrednost )cos( βα − je:

Az adott feltételekkel )cos( βα − értéke:

54sin =α , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ << παπ

2

21cos −=β , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ <<

23πβπ

a) 10

343− b) 10

343+ c) 10

343−−

7. Koliko rešenja ima data trigonometrijska jednačina u razmaku ]2,[ ππ : 03cos5cos2 2 =−− xx Az adott trigonometrikus egyenlet ]2,[ ππ intervallumhoz tartozó megoldásainak száma:

a) 2 b) 0 c) 1

8. Dužina tetive kružnice, koja pripada datoj pravoj je:

052522

=+−=+

yxyx

A kör húrjának a hossza, amely az adott egyeneshez tartozik:

a) 5 b) 25 c) 35

9. Jednakostranična kupa (s1 = 2r1) i jednakostranični valjak (H2 = 2r2) imaju iste visine: H1 = H2. Odnos njihovih zapremina je V1 : V2 =

s1

2r1

H1H2

2r2

Az egyenlőoldalú kúpnak (s1 = 2r1), és az egyenlőoldalú hengernek (H2 = 2r2) megegyezik a magassága: H1 = H2. Térfogataik aránya V1 : V2 =

a) 4 : 9 b) 9 : 4 c) 3 : 9

10. Aritmetički niz, čiji članovi zadovoljavaju date jednačine je:

2975482

25

64

=−=+

aaaa

Az adott egyenleteket kielégítő számtani sorozat tagjai:

a) 5, 8, 11, ... b) 3, 8, 13, ... c) –5, –2, 1, ...

126





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a c b c b a c b b a




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a c a a b a c b a a

127




Zaokružiti jedno ili dva od slova a), b), c) ili d) ispred onih odgovora koje smatrate ispravnim.

Od ponudjena četiri odgovora UVEK SU TAČNA DVA ODGOVORA!

---------------------------------------- Ako zaokružite više od dva odgovora = minus 1 bod!

-------------------------------------- Ako je zaokružen samo jedan ispravan odgovor, tada se

vrednuje sa 3 boda. ----------------------------------------

Ako su zaokružena dva odgovora, od kojih je jedan ispravan, a dugi neispravan, vrednujemo sa 2 boda.

-------------------------------------- Ako su zaokružena tačno dva ispravna odgovora,

vrednujemo sa 6 bodova. --------------------------------------

Ako su zaokruženi samo neispravni odgovori ili nema nijednog zaokruženog odgovora, dobijete 0 boda.

------------------------------------- UKUPNI MOGUĆI BROJ BODOVA JE 60.

Karikázzon be egy vagy két betűt az a), b), c) és d) betűk közül, amelyek a véleménye szerint a helyes válaszokat jelölik. A felkínált lehetőségek között.

MINDIG KÉT HELYES VÁLASZ VAN! -----------------------------------

Ha több mint két betűt karikáz be = mínusz 1 pont! ------------------------------------

Ha egyetlen választ karikázott be, és az jó, akkor 3 ponttal értékeljük.

------------------------------------ Ha két választ karikázott be, és az egyik jó, a másik rossz, akkor 2 ponttal értékeljük .

------------------------------------ Ha két választ karikázott be és mindkettő jó,

akkor 6 pont a feladat értéke. ---------------------------------------

Ha csak téves választ (vagy válaszokat) karikázott be, illetve ha nics bekarikázott válasz, akkor 0 pont jár.

------------------------------------- AZ ÖSSZESÍTETT PONTSZÁM 60 LEHET


Σ

1. Uprošćena vrednost datog izraza je:


5 55 5

a aa a

+ −− =− +

a) b) 2

2025a −

c) 20( 5)( 5

aa a− + )

d) ( 5)( 5

aa a− +2

2025a

a − )



78a a a a

−⋅ =

a) 1 b) 1a c) 0 d) 0a 3.

Ako su x1 i x2 rešenja date jednačine, tada važi:

Ha x1 és x2 az adott egyenlet megoldásai , akkor fennáll:

2 2( 1)x x= −

a) x1 + x2 = 2 b) x1 – x2 = 2i c) x1 + x2 = –2i d) x1 + x2 = –2

4. Rešenje date jednačine nalazi se u skupu:

Az egyenlet megoldása a következő halmazhoz tartozik:

25 3 5 140x x−+ ⋅ =

a) A={ 1, 2, 4} b) B={ 2, 3, 4} c) C={ 1, 3, 4} d) D={ 2, 4, 5} 5.

Ako je xo rešenje date logaritamske jednačine, tada važi:

Ha a logaritmusos egyenlet megoldása xo, akkor fennáll:

( )( )3 3log 5 4log 1 2x+ − =

a) xo∈ (2,5) b) xo∈ (3,6) c) xo∈(4,7) d) xo∈(1,4) 6. Bez kalkulatora izračunata vrednost izraza je:

A kifejezés segédeszközök nélkül kiszámított értéke:

7 7cos cos sin sin10 5 10 5π π π π⋅ + ⋅ =

a) 12

b) cos2π c) 0 d) cos

3π

7. Najmanje pozitivno rešenje xo trigonometrijske jednačine zadovoljava uslov : xo > ϕ, ge je: Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyökére xo-ra teljesül: xo > ϕ, ahol:

2sin 5 1 0x − =

a) ϕ = 41400

b) ϕ = 11100

c) ϕ = 21200

d) ϕ = 31300

8. Data je jednačina kružnice čiji je centar tačka C, a poluprečnik r. Važe sledeća tvrđenja: Adott a C középpontú és r sugarú kör egyenlete. Igazak a következő állítások:

2 2 8 10 16x y x y+ − − + = 0

a) r = 4 b) C(4; 5) c) C(5; 4) d) r = 5 9. Date su: jednakoivična trostrana piramida i jednakoivična

četvorostrana piramida, dužine ivica a. Neka su P1 i P2 površine, a V1 i V2 zapremine u datom redu. Važi:

Az egyenlőélű háromoldalú gúla és az egyenlőélű négyoldalú gúla élei a hosszúságúak. A testek felszíne P1 és P2 térfogatuk pedig V1 és V2 az adott sorrendben.

a

a a

a

a

a

aa

a

a) V1 : V2 = 2 : 3 b) V1 : V2 = 1 : 2 c) P2 – P1 = a2 d) P2 – P1 = a3 10. Zbir tri broja, koji čine geometrijsku progresiju je 12. Ako se

drugom broju doda 18 dobija se aritmetički niz. Naći te brojeve, i utvrditi koje tvrđenje je istinito:

A mértani sorozatot alkotó három szám összege 12. Ha a második számot 18-cal növeljük, akkor számtani sorozatot nyerünk. A kapott számokra igaz állítások:

, ,a b c

a) a + b = 19 b) a + c = 20 c) a + b = 20 d) a + 2b + c = 4








vrednuje sa 3 boda. ----------------------------------------
















Σ



3 2

3 2

x x yy xy

− =−

a) 2

2

xy

− b) 2

xy

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 2

xy

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 2

xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠



3 2 23a a a a+ =

a) 6 52 a b) 5 62 a c) 652a d)

562a

3. Ako su x1 i x2 rešenja date jednačine, i važi dati uslov, tada je: 2 5 0x x c− + =

1 22 7x x+ = Ha x1 és x2 az adott egyenlet megoldásai , és teljesül a mellékelt feltétel, akkor fennáll:

a) c = 6 b) x c) c d) x1 = 3 = 7 2 = 3

4. Rešenja date jednačine nalazi zadovoljavaju jednakost: 10 2 4 16x x⋅ − =

Az egyenlet megoldásaira igaz a következő egyenlőség:

c) a) b) d) 1 2 4x x⋅ = 1 2 4x x+ = 1 2 3x x⋅ = 1 2 3x x+ =

5.

Rešenja date logaritamske nejednačine su u skupu: log 32 5x >

A logaritmusos egyenlőtlenség megoldáshalmaza:

a) x∈ (1,2) b) 1 < x < 2 c) x∈(1,2] d) 1< x ≤ 2) 6. Bez kalkulatora izračunata vrednost izraza je: tg tg

4

1 tg tg4

π α α

π α α

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠ =⎛ ⎞+ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠


a) 4π tg

4π

c) 1 b) d) tgα

7. Zbir svih rešenja trigonometrijske jednačine u razmaku [0 je: , 4 ]π sin cosx x= Az adott trigonometriai egyenlet [0 intervallumba eső gyökeinek összege:

, 4 ]π

a) 284π 27

3π b) c) 9π d) 7π

8. Data je elipsa i njena sečica. Kolika je dužina t tetive (rastojanje između presečnih tačaka krive i prave)?

2 2

116 9

14 3

x y

x y

+ =

+ =

Adott az ellipszis és szelője. Milyen hosszú a szelőhöz tartózó t húr (a metszéspontok közötti távolság)?

a) 1 ≤ t < 3 b) 4 ≤ t < 6 c) 3 ≤ t < 5 d) 5 ≤ t < 7 9.

Od valjka poluprečnika 5cm i visine 10cm izklesana je lopta poluprečnika 5cm. Koliki je procenat otpada?

r

r

rH=2r

Egy 5cm sugarú és 10cm magasságú hengerből 5cm sugarú gömböt faragtunk ki. Hány százalék a hulladék?

c) 30%–40% d) 35%–45% a) 20%–30% b) 25%–35%

10. Od četiri broja prva tri obrazuju aritmetički niz a poslednja 3 geometrijski. Zbir dva krajnja broja je 11 a zbir dva srednja je 10. Postoje cela i razlomljena rešenja. Za rešenja koji su celi brojevi važi:

, , ,a b c d Négy szám közül az első három számtani, az utolsó három mértani sorozatot alkot. A két szélső összege 11, a két középső összege 10. A tört megoldásokat mellőzve, ha csak egész számokra figyelünk, akkor:

a) a + c = 18 b) a + c = 8 c) b + d = 23 d) b + d = 13







vrednuje sa 3 boda. ----------------------------------------






Karikázzon be egy vagy két betűt az a), b), c) d)és betűk közül, amelyek a véleménye szerint a helyes válaszokat jelölik. A felkínált lehetőségek között.










Σ

1. Uprošćena vrednost datog izraza je: 5 5

5 5a aa a

+ −− =− +


( 5)( 5a

a a− +20

( 5)( 5a

a a− + a) 2

2025a

a − 2

2025a −

c) b) )

d) )

2. Uprošćena vrednost datog izraza je: 7

8a a a a−

⋅ =


b) a) 1 c) 0 d) 1a 0a

3. Ako su x1 i x2 rešenja date jednačine, tada važi:

2 2( 1)x x= −


a) x b) x c) x d) x1 + x2 = 2 1 – x2 = 2i 1 + x = –2i 2 1 + x2 = –2

4. Rešenje date jednačine nalazi se u skupu: 25 3 5 140x x−+ ⋅ =


c) C={ 1, 3, 4} a) A={ 1, 2, 4} b) B={ 2, 3, 4} d) D={ 2, 4, 5}

5.

Ako je x rešenje date logaritamske jednačine, tada važi: o ( )( )3 3log 5 4log 1 2x+ − =

Ha a logaritmusos egyenlet megoldása x , akkor fennáll: o

∈ (3,6) a) xo∈ (2,5) b) xo c) xo∈(4,7) d) x ∈(1,4) o

6. Bez kalkulatora izračunata vrednost izraza je: 7 7cos cos sin sin10 5 10 5π π π π⋅ + ⋅ =


cos2π cos

3π a) 1

2 c) 0 b) d)

7. Najmanje pozitivno rešenje xo trigonometrijske jednačine zadovoljava uslov : xo > ϕ, ge je: 2sin 5 1 0x − = Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyökére x > ϕ, ahol: -ra teljesül: xo o

41400

11100

21200

31300 a) ϕ = b) ϕ = c) ϕ = d) ϕ =

8. Data je jednačina kružnice čiji je centar tačka C, a poluprečnik r. Važe sledeća tvrđenja: 2 2 8 10 16x y x y+ − − + = 0 Adott a C középpontú és r sugarú kör egyenlete. Igazak a következő állítások:

a) r = 4 b) C(4; 5) c) C(5; 4) d) r = 5

9. Date su: jednakoivična trostrana piramida i jednakoivična četvorostrana piramida, dužine ivica a. Neka su P1 i P2 površine, a V1 i V2 zapremine u datom redu. Važi: a

a a

a

a

a

aa

a

Az egyenlőélű háromoldalú gúla és az egyenlőélű négyoldalú gúla élei a hosszúságúak. A testek felszíne P1 és P2 térfogatuk pedig V

1 és V az adott sorrendben. 2

a) V1 : V2 = 2 : 3 b) V1 : V2 = 1 : 2 c) P2 – P1 = a2 d) P2 – P1 = a3 10. Zbir tri broja, koji čine geometrijsku progresiju je 12. Ako se

drugom broju doda 18 dobija se aritmetički niz. Naći te brojeve, i utvrditi koje tvrđenje je istinito:

, ,a b c A mértani sorozatot alkotó három szám összege 12. Ha a második számot 18-cal növeljük, akkor számtani sorozatot nyerünk. A kapott számokra igaz állítások:

a) a + b = 19 b) a + c = 20 c) a + b = 20 d) a + 2b + c = 4



PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE – rešenja FELVÉTELI VIZSGA MATEMATIKÁBÓL– megoldások

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a c

a d

a b

b c

a b

b c

a d

b d

b c

b d




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a c

a d

a b

b c

a b

b c

a d

b d

b c

b d




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a c

a d

a b

b c

a b

b c

a d

b d

b c

b d








vrednuje sa 3 boda. --------------------------------------

Ako su zaokružena tačno dva ispravna odgovora, vrednujemo sa 6 bodova.

-------------------------------------- Ako su zaokruženi samo neispravni odgovori ili nema

nijednog zaokruženog odgovora, dobijete 0 boda. -------------------------------------

UKUPNI MOGUĆI BROJ BODOVA JE 60.




Ha egy választ karikázott be, és az jó, akkor 3 ponttal értékeljük.






Σ

1. Skraćeni oblik datog algebarskog razlomka je:

Az adott algebrai tört egyszerűsített alakja:

3

2 2

9 32 12 18 3

a a aa a a a

− −⋅ =− + +

a) 0,2; b) 2; c) 12

; d) . 12−

2. Tačna vrednost datog izraza pripada intervalu:

Az adott kifejezés pontos értéke a következő intervallumba esik:

4 4 2 21 8 3 13 3 14 13 7 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

a) [ ]1,0− ; b) ( ; )1,1− c) [ )1,0− ; d) . ( ]0,1 3.

Ako su celi brojevi x1 i x2 rešenja date jednačine, tada važi:

Ha x1 és x2 egész számok az adott egyenlet megoldásai , akkor fennáll:

2 211 11 42x x+ + + =

a) 1 2x x= ; b) 1 2x x= ; c) 1 2 10x x+ = ; d) 1 2 20x x+ = .

4. Rešenje date jednačine nalazi se u skupu:


1 17 6 7 5 7 1x x x+ −− ⋅ − ⋅ = 4

a) A={ 1, 2, 4}; b) B={ 2, 3, 4}; c) C={ 1, 3, 4}; d) D={ 3, 4, 5}. 5.

Ako je (bez kalkulatora izračunata) vrednost datog izraza A, tada važi:

Ha a kifejezés (segédeszközök nélkül kiszámított) értéke A, akkor teljesül:

2 49

3 4

1log log 72

log100 log log 64

A = +

+ +

+

a) A∈ (4,8); b) A∈(1,5); c) A∈(3,7); d) A∈ (2,6); 6. Ako važe dati uslovi za ugao α, tada je:

Ha α szög kielégíti az adott feltételeket, akkor igaz:

5cos ,13 2

πα α= − < < π

a) 169+ctg60

α α = −tg b) 60tg +ctg169

α α = − c) 169cos60

α α⋅ = −sin d) 60sin cos169

α α⋅ = −

7.

Najmanje pozitivno rešenje x0 trigonometrijske jednačine zadovoljava uslov : Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyökére, x0-ra teljesül:

4sin 2 cos2 1 0x x⋅ + =

a) 03 5 ;24 24

xπ π< ≤ b) 04 ;24 24

xπ π< ≤ 6 c) 05 ;24 24

xπ < ≤ 7π d) 06 8 .24 24

xπ π< ≤

8. Ako je tačka C centar, a r polupečnik date kružnice, tada za tačke A, B i C važi:

2 2 4 2x y x y+ − − = 4 ( )1,1A , ( )3, 1B −Ha C az adott kör középpontja, r pedig a sugara, akkor A, B

és C pontokra teljesül:

a) b) c) d) AC r≤ AC r> BC r≤ BC r>; . ; ;

9. Jednakoivična prava trostrana prizma ima zapreminu V1, dok zapremina jednakoivične prave četvorostrane piramide je V2. Ako su ivice tih tela iste dužine a, tada je istinito tvrđenje:

Az egyenlőélű háromoldalú hasáb és az egyenlőélű négy-oldalú gúla élei a hosszúságúak. A testek térfogata V1 és V2 az adott sorrendben. Teljesül a következő állítás:

a

aa

a

aaa

a

a

a

aa

a) 1

2

3 32 2

VV= ; b) 1

2

3 22 3

VV= ; c) 1

2

9 34 2

VV= ; d) 1

2

9 24 3

VV= .

10.

Koja tvrđenja su tačna za članove aritmetičkog niza zadatog sistemom jednačina? 5 7 11

8 3

96,15

a a aa a+ + =− =

A mellékelt egyenletrendszerrel adott számtani sorozat tagjaira vonatkozó állítások közül igazak:

a) ; b) c) d) . 1 2 26a a+ = 1 2 27a a+ = 2 3 33a a+ = 3 4 40a a+ =; ;



REŠENJA MEGOLDÁSOK

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c a b a b a c a a b d b c b d d d c d c

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

3 2

22 2 2

9 3 9 3 3 3 32 12 18 3 3 32 6 9 2 3

a a a a a a a a a aa a a a a a a aa a a

− − − − − + −⋅ = ⋅ = ⋅ =− + + + +− + −

12

1. .

. c d .

4 4 2 2 4 24 21 8 3 1 13 8 24 73 3 1 2 4 16

4 13 7 6 4 13 7 6⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2. 16 0 .

. a b .

2 2 2 21 211 11 42 11 42 0 6, 7x x t x t t t t+ + + = ⇒ = + ⇒ + − = ⇒ = =−3.

Vrednost t ne može biti –7 za realne brojeve, zato se prihvata samo: 2 2 2

1 26 11 6 11 36 25 5, 5.t x x x x x= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = =− . b c .

5 5 27 7 6 7 7 14 7 7 6 14 7 14 7 49 27 7 7

x x x x x x x⎛ ⎞⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − − = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

4. .

. a b .

21 2

2 49 3 4 2 3 47

1log log 7 log100 log log 64 log 2 log 7 log10 log log 42

−+ + + = + + +5. 3 =

2 7 31 11 log 2 log 7 2 log10 log 3 1 2 1 .2 2

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ + = − + + + = 52

. b d .

2 25 12sin 0 sin 1 cos sin 1 sin .2 169 13π α π α α α α α< < ⇒ > ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =6.

sin 12 5tg , ctg .cos 5 12

αα αα

= = − = −

12 5 169 12 5 60tg +ctg , sin cos .5 12 60 13 13 169

α α α α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. a d .

14sin 2 cos2 1 2sin 4 1 sin 4 .2

x x x x⋅ = − ⇒ = − ⇒ = −7.

14 2 ,6 24 2

kx k x k Zπ ππ− −= + ⇒ = + ∈π

27 74 2 4 2 ,

6 6 24 2lx l x l x Zπ π ππ π π= + + ⇒ = + ⇒ = + ∈lπ

.

3.

.

. c d . 8. ( ) ( )2 2 2 24 2 4 4 4 4 2 1 1 4x y x y x x y y+ − − = ⇒ − + − + − + − =

( ) ( ) ( )222 1 9 2,1 ;x y C r⇒ − + − = ⇒ =

( ) ( ) ( )2 2, 2 1 3 1 1 4 5d A C = − + − = + = < 3

( ) ( ) ( )2 2, 3 1 1 1 4 4 8d B C = − + − − = + = < 3 . . a c .

9.

2 3 3

11

3322

2

3 3 3.3 3 3 3 6 9 24 4 4 . .

2 2 2 2 2 6 4 31 1 2 2 . 63 3 2 6

a a aV B H aVV aa aV B H a

⎫⎪⎪= ⋅ = ⋅ = ⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ ⎟⇒ = = = =⎜⎬ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎟⎜⎝ ⎠⎪⎪= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⎪⎪⎭

. a d . 10.

⇒ ⇒ . Niz je: 12,15,18,21,... 5 7 11

8 3

96,15

a a aa a+ + =− =

13 20 965 15 3a dd d+ == ⇒ = 1 12a =

. b c .







vrednuje sa 3 boda. ----------------------------------------














Σ

1. Skraćeni oblik datog algebarskog razlomka je: 2 2

3

2 2 8 82 4

a a a aa a a

+ − +⋅ =− −


a) 12 ; b) 2; c) 0,2; d) 4 .

2. Tačna vrednost datog izraza pripada intervalu: ( ) ( ) ( )

2244 20 40

2 34 5 2 163

⎛ ⎞−⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

=


c) [ a) [ ]4,0− ; b) ( ; )5,5− )4,0− d) . ( ]0,5 ;

3. Ako su x1 i x2 rešenja date jednačine, tada važi:

3 2 32 5x x− = 3


a) 1 2 27x x+ < ; b) c) 1 2 3x x⋅ > d) 1 2 27x x+ > 1 2 3x x⋅ <; ; .

4. Rešenje date jednačine nalazi se u skupu: 23 14 31 2 8

8x −+ =


c) C={ 1, 3, 4}; a) A={ 1, 2, 4}; b) B={ 2, 3, 4}; d) D={ 2, 4, 5}.

5.

Ako je x rešenje date logaritamske jednačine, tada važi: o ( ) ( )3 3log 1 log 3 1 0x x+ + + − =

Ha a logaritmusos egyenlet megoldása x , akkor fennáll: o

a) xo∈ [–4,–1); b) xo∈ [–1,6); c) xo∈[0,7); d) xo∈[–1,0); 6. Pri datim uslovima za vrednost (cos α )β+ važi:

Az adott feltételek mellett (cos α )β+ értékére igaz:

5sin sin13

α β= = ,

0, , ,2 2π πα β π⎛ ⎞ ⎛∈ ∈⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝⎞⎟⎠

a) ( )cos α β+ <0 b) (cos α )β+ ( )cos α β+ =1 ( )cos α β+ c) d) = –1 > 0

7.

Dva najmanja nenegativna rešenja x i x1 2 trigonometrijske jednačine zadovoljava uslov : sin cos 1 sin cosx x x+ = + ⋅ xAz adott trigonometriai egyenlet két legkisebb nemnegatív gyökére, x1 és x2-re teljesül:

a) 1 2 ;2

x x π+ = 1 2 ;2

x x π+ > 1 2 ;2

x x π+ < d) b) c) 1 2 0;x x⋅ =


2 2 4 2 1x y x y+ − − + = 0 ( )1,1A , ( )5,0BHa C az adott kör középpontja, r pedig a sugara, akkor A, B



9. Prava trostrana prizma ima u osnovi trougao sa stranicama a, b, c, Visina joj je jednaka poluobimu baze. Za merni broj površine P te prizme važi: H

ba

c

a=44cmb=39cmc=17cm

Az egyenes háromoldalú hasáb alapélei a, b és c, magassága H egyenlő az alaplap félkerületével. A test felszínének mérőszáma P. Erre a számra teljesül:

a) 5400 5600; b) 5500 5700; c) 5600 5800; d) 5700 5900. P< < P< < P< < P< <

10.

Članovi jednog geometrijskog niza zadovoljavaju datu jednačinu. Koja tvrđenja su tačna za rešenje te jednačine?

3 6 12 ... 189x+ + + + =

Egy mértani sorozat elemei kielégítik a következő egyen-letet: Mely állítások igazak az adott egyenlet megoldására?

a) ; b) c) ; d) 4 25a = 6x a= 8 665S = 7 381S = ; .




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b a a a b a a a b b d b c c c b d d c d

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

22 2 2

3 2

2 2 8 8 2 2 4 4 2 2 2 22 4 2 2 2 24

a a a a a a a a a a aa a a a a a a aa a

+ − + + − + + −⋅ = ⋅ = ⋅− − − − − +−

1. = .

. b d .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 24 2 0 20 4 4 544 5 2 16 1 2 5 2 4 1 2 1 2 2 1 16 16 0⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = −2. = .

. a b .

3 2 23 31 2

12 5 3 2 5 3 0 3,2

x x t x t t t t− = ⇒ = ⇒ − − = ⇒ = =− 3.

1 2127,8

x x= =−3t= x ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 3x t=

1 21 727 268 8

x x+ = − = 1 21 2727 38 8

x x⎛ ⎞⎟⎜⋅ = ⋅ − =− =−⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

38

⇒ i

. a c .

( )42 14 43 1 3 1 4 3 1 3 3 1 433 32 8 8 2 8 / 2 2 2 2 3 1 4x x x x x x−+ + ↑ + += ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ =4. 1.

.

. a c . 5. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3 3log 1 log 3 1 0 log 1 3 1 1 3 3x x x x x x+ + + − = ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒

( )2 21 24 3 3 4 0 4 0 0, 4

Zbog 1 0 3 0 mora biti 1. Sledi rešenje: 0.x x x x x x x x

x x x x⇒ + + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = = −

+ > ∧ + > > − =. b c .

( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = ⋅ − ⋅6. .

0, cos 0 , , cos 0.2 2π πα α β π⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ ⇒ > ∈ ⇒ <⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠β

12cos13

α = 12cos13

β = − ( ) 12 12 5 5 144 25 169cos 113 13 13 13 169 169 169

α β ⎛ ⎞+ = ⋅ − − ⋅ = − − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

és .

. a b . 7. . ( )sin cos sin cos 1 0 sin 1 cos cos 1 0x x x x x x x+ − ⋅ − = ⇒ ⋅ − + − = ⇒

( ) ( ) ( )( )sin 1 cos 1 cos 0 1 cos sin 1 0x x x x x⇒ ⋅ − − − = ⇒ − − = ⇒

( )1 2

1 cos 0 sin 1 0

cos 1 2 , sin 1 2 , .2

x x

x x k k x x l lZ Zππ π

⇒ − = ∨ − = ⇒

⎛ ⎞⇒ = ⇒ = ∈ ∨ = ⇒ = + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

. a d . 8. ( ) ( )2 2 2 24 2 1 0 4 4 4 2 1 1 1 0x y x y x x y y+ − − + = ⇒ − + − + − + − + = ⇒

( ) ( ) ( )222 1 4 2,1 ;x y C r⇒ − + − = ⇒ = 2.

( ) ( ) ( )2 2, 2 1 1 1 1 0 1d A C = − + − = + = < 2

( ) ( ) ( )2 2, 5 2 0 1 9 1 10d B C = − + − = + = > 2

. a d .

( )( )( ),2

a b cB s s a s b s c s H+ += − − − = =9. Sledi po Heronovom obrascu: .

2 2 2 250 6 11 33 2 3 5 11 2 3 5 11 330B= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = Otuda je: s = H = 50cm. Sledi: . Površina je: P=2B+M. Pošto je omotač sastavljen od tri pravougaonika, zato je:

2( ) 50 100 5000M H a b c cm= ⋅ + + = ⋅ = .Površina je: P=660+5000= . 25660cm

. b c . 10. Jednačina predstavlja zbir prvih članova geometrijskog niza čiji su karakteristični elementi: Prema tome: 1 3, 2.a q= =

( )11 2 1189 3 3 2 1 2 64 6.1 2 1

n nn n

nqS a nq− −= = = = ⋅ − ⇒ = ⇒ =− −

To znači da je x šesti član tog niza: 5 56 1 7 83 2 96, 381, 765x a a q S S= = ⋅ = ⋅ = = =

. b d .







vrednuje sa 3 boda. --------------------------------------














Σ

1. Skraćeni oblik datog algebarskog razlomka je:

3

2 2

9 32 12 18 3

a a aa a a a

− −⋅ =− + +


12 c) ; a) 0,2; b) 2; d) . 12−

2. Tačna vrednost datog izraza pripada intervalu:

4 4 2 21 8 3 13 3 14 13 7 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =


c) [ a) [ ]1,0− ; b) ( ; )1,1− )1,0− d) . ( ]0,1 ;

3. Ako su celi brojevi x1 i x2 rešenja date jednačine, tada važi:

2 211 11 42x x+ + + =

Ha x1 és x2 egész számok az adott egyenlet megoldásai , akkor fennáll:

a) 1 2x x= ; b) 1 2x x= c) 1 2 10x x+ = d) 1 2 20x x+ = ; ; .

4. Rešenje date jednačine nalazi se u skupu: 1 17 6 7 5 7 1x x x+ −− ⋅ − ⋅ = 4


c) C={ 1, 3, 4}; a) A={ 1, 2, 4}; b) B={ 2, 3, 4}; d) D={ 3, 4, 5}.

5.

Ako je (bez kalkulatora izračunata) vrednost datog izraza A, tada važi: 2 49

3 4

1log log 72

log100 log log 64

A = +

+ +

+

Ha a kifejezés (segédeszközök nélkül kiszámított) értéke A, akkor teljesül:

b) A∈(1,5); c) A∈(3,7); a) A∈ (4,8); d) A∈ (2,6);

6. Ako važe dati uslovi za ugao α, tada je: 5cos ,13 2

πα α= − < < π

Ha α szög kielégíti az adott feltételeket, akkor igaz:

a) 169+ctg60

α α = − 60tg +ctg169

α α = −tg b) c) 169cos60

α α⋅ = − 60sin cos169

α α⋅ = − d) sin

7.

Najmanje pozitivno rešenje x0 trigonometrijske jednačine zadovoljava uslov : 4sin 2 cos2 1 0x x⋅ + = Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyökére, x0-ra teljesül:

a) 03 5 ;24 24

xπ π< ≤ 04 ;24 24

xπ π< ≤ b) 60

5 ;24 24

xπ < ≤ 7π0

6 8 .24 24

xπ π< ≤ c) d)


2 2 4 2x y x y+ − − = 4 ( )1,1A , ( )3, 1B −Ha C az adott kör középpontja, r pedig a sugara, akkor A, B



9. Jednakoivična prava trostrana prizma ima zapreminu V1, dok zapremina jednakoivične prave četvorostrane piramide je V2. Ako su ivice tih tela iste dužine a, tada je istinito tvrđenje:

Az egyenlőélű háromoldalú hasáb és az egyenlőélű négy-oldalú gúla élei a hosszúságúak. A testek térfogata V1 és V2 az adott sorrendben. Teljesül a következő állítás:

a

aa

a

aaa

a

a

a

aa

a) 1

2

3 32 2

VV= ; b) 1

2

3 22 3

VV= ; c) 1

2

9 34 2

VV= ; d) 1

2

9 24 3

VV= .

10.

Koja tvrđenja su tačna za članove aritmetičkog niza zadatog sistemom jednačina? 5 7 11

8 3

96,15

a a aa a+ + =− =

A mellékelt egyenletrendszerrel adott számtani sorozat tagjaira vonatkozó állítások közül igazak:

a) ; b) c) d) . 1 2 26a a+ = 1 2 27a a+ = 2 3 33a a+ = 3 4 40a a+ =; ;




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c a b a b a c a a b d b c b d d d c d c

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

3 2

22 2 2

9 3 9 3 3 3 32 12 18 3 3 32 6 9 2 3

a a a a a a a a a aa a a a a a a aa a a

− − − − − + −⋅ = ⋅ = ⋅ =− + + + +− + −

12

1. .

. c d .

4 4 2 2 4 24 21 8 3 1 13 8 24 73 3 1 2 4 16

4 13 7 6 4 13 7 6⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2. 16 0 .

. a b .

2 2 2 21 211 11 42 11 42 0 6, 7x x t x t t t t+ + + = ⇒ = + ⇒ + − = ⇒ = =− 3.

Vrednost t ne može biti –7 za realne brojeve, zato se prihvata samo: 2 2 2

1 26 11 6 11 36 25 5, 5.t x x x x x= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = =− . b c .

5 5 27 7 6 7 7 14 7 7 6 14 7 14 7 49 27 7 7

x x x x x x x⎛ ⎞⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − − = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

4. .

. a b .

21 2

2 49 3 4 2 3 47

1log log 7 log100 log log 64 log 2 log 7 log10 log log 42

−+ + + = + + +5. 3 =

2 7 31 11 log 2 log 7 2 log10 log 3 1 2 1 .2 2

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ + = − + + + = 52

. b d .

2 25 12sin 0 sin 1 cos sin 1 sin .

2 169 13π α π α α α α α< < ⇒ > ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =6.

sin 12 5tg , ctg .cos 5 12

αα αα

= = − = −

12 5 169 12 5 60tg +ctg , sin cos .5 12 60 13 13 169

α α α α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. a d .

14sin 2 cos2 1 2sin 4 1 sin 4 .2

x x x x⋅ = − ⇒ = − ⇒ = −7.

14 2 ,6 24 2

kx k x k Zπ ππ− −= + ⇒ = + ∈π

27 74 2 4 2 ,

6 6 24 2lx l x l x Zπ π ππ π π= + + ⇒ = + ⇒ = + ∈lπ

.

3.

.

. c d . 8. ( ) ( )2 2 2 24 2 4 4 4 4 2 1 1 4x y x y x x y y+ − − = ⇒ − + − + − + − =

( ) ( ) ( )222 1 9 2,1 ;x y C r⇒ − + − = ⇒ =

( ) ( ) ( )2 2, 2 1 3 1 1 4 5d A C = − + − = + = < 3

( ) ( ) ( )2 2, 3 1 1 1 4 4 8d B C = − + − − = + = < 3 . . a c .

9.

2 3 3

11

3322

2

3 3 3.3 3 3 3 6 9 24 4 4 . .

2 2 2 2 2 6 4 31 1 2 2 . 63 3 2 6

a a aV B H aVV aa aV B H a

⎫⎪⎪= ⋅ = ⋅ = ⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ ⎟⇒ = = = =⎜⎬ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎟⎜⎝ ⎠⎪⎪= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⎪⎪⎭

. a d . 10.

⇒ ⇒ . Niz je: 12,15,18,21,... 5 7 11

8 3

96,15

a a aa a+ + =− =

13 20 965 15 3a dd d+ == ⇒ = 1 12a =

. b c .

zbirka zadataka sa prijemnih ispita matematika · pdf filevisoka tehniČka škola...

Documents