Bojan Kovai

ZBIRKA RIJEENIH ZADATAKA

SA GRUPNIH KONZULTACIJA

IZ VJEROJATNOSTI I

STATISTIKE

nerecenzirana verzija

Zagreb, sijeanj 2018.

Vjerojatnost i

statistika (preddiplomski struni

studij elektrotehnike)

Zbirka zadataka sa

grupnih konzultacija

nerecenzirana

verzija

mr.sc. Bojan Kovai, vii predava 2

Sadraj

PREDGOVOR ..................................................................................................................................... 3

1. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 4

2. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 6

3. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 8

4. GRUPA ZADATAKA ............................................................................................................... 10

5. GRUPA ZADATAKA ............................................................................................................... 12

6. GRUPA ZADATAKA ............................................................................................................... 14

7. GRUPA ZADATAKA ............................................................................................................... 16

8. GRUPA ZADATAKA ............................................................................................................... 19

9. GRUPA ZADATAKA ............................................................................................................... 21

10. GRUPA ZADATAKA ............................................................................................................ 23

DETALJNIJA RJEENJA ZADATAKA ................................................................................ 24

1. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 24

2. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 30

3. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 36

4. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 40

5. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 47

6. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 52

7. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 59

8. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 69

9. GRUPA ZADATAKA ................................................................................................................. 74

10. GRUPA ZADATAKA ............................................................................................................... 80

LITERATURA .................................................................................................................................. 83

Vjerojatnost i

statistika (preddiplomski struni

studij elektrotehnike)

Zbirka zadataka sa

grupnih konzultacija

nerecenzirana

verzija

mr.sc. Bojan Kovai, vii predava 3

PREDGOVOR

Ova zbirka zadataka u cijelosti obuhvaa gradivo predmeta Vjerojatnost i statistika koje se

predaje na 2. godini preddiplomskoga strunoga studija elektrotehnike na Tehnikom

veleuilitu u Zagrebu. Nastala je na temelju zadataka rjeavanih na grupnim konzultacijama

koje sam tijekom nekoliko akademskih godina drao svim zainteresiranim studentima. Zbog

toga se moe rei da je (doslovno) svaki zadatak u ovoj zbirci akademski ispitan na

studentima sluaima navedenoga predmeta.

Upravo na temelju pitanja, primjedbi i komentara studenata, od kojih se posebno izdvajaju

izvanredni studenti, napisano je poglavlje zbirke koje obuhvaa detaljna rjeenja zadataka. To

poglavlje je namjerno dano kao zasebna cjelina jer se preporuuje da svaki zainteresirani

student najprije pokua samostalno rijeiti svaki postavljeni zadatak. U tu svrhu su uz svaki

zadatak navedeni samo konani rezultati.

Zbirka zadataka nije zamiljena kao zamjena za auditorne vjebe, nego kao dopuna tim

vjebama. Sadanja satnica predmeta Vjerojatnost i statistika u kojoj je predvieno (samo) 15

sati auditornih vjebi pokazala se nedovoljnom za kvalitetnu pripremu polaganja ispita.

Problemski matematiki zadaci i inae predstavljaju teu ili teku kategoriju matematikih

zadataka za veinu studenata, pa se nadam da e im ova zbirka zajedno sa zadacima

rijeenima na predavanjima i vjebama znaajno pomoi u pripremama za polaganje ispita.

Preporuuje se koristiti ovu zbirku zajedno s Repetitorijem vjerojatnosti i statistike za

studente elektrotehnike. Upravo zato u zbirci nije naveden pregled teorijskih pojmova,

definicija i formula potrebnih za rjeavanje zadataka. Osim to bi takav pregled doveo do

(uvjeren sam, nepotrebnoga) poveanja opsega zbirke, drugi osnovni razlog za ovakvu odluku

jest dozvoljenost Repetitorija vjerojatnosti i statistike za studente elektrotehnike kao

pomagala pri polaganju pismenoga ispita. Zbog toga smatram vrlo primjerenim da se zadaci

rjeavaju uz koritenje navedenoga Repetitorija () i na taj nain svojevrsno simulira

polaganje pismenoga ispita.

Ugodna mi je dunost zahvaliti svima koji su na bilo koji nain doprinijeli stvaranju ove

zbirke. To se ponajprije odnosi na cijenjene kolege Luku Marohnia i Mandi Orli Bachler s

kojima sam zajedniki napisao Repetitorij vjerojatnosti i statistike za studente elektrotehnike.

Posebnu zahvalnost dugujem svojim studentima koji su brojnim pitanjima, primjedbama i

komentarima utjecali na poveanje kvalitete teksta.

Svjestan sam da je, unato svim naporima, u zbirci preivio odreen broj pogreaka.

Svakome tko me upozori na bilo koju od tih pogreaka unaprijed izraavam zahvalnost.

U Zagrebu, sijenja 2018.

Bojan Kovai

Vjerojatnost i

statistika (preddiplomski struni

studij elektrotehnike)

Zbirka zadataka sa

grupnih konzultacija

nerecenzirana

verzija

mr.sc. Bojan Kovai, vii predava 4

1. GRUPA ZADATAKA

1. U grupi od 20 studenata ELO TVZ nalazi se tono 8 studenata smjera AiPR, tono 5

studenata smjera KiRT, a ostali studenti su studenti smjera EE. Na sluajan nain

odabiremo tono 3 studenta. Izraunajte vjerojatnosti sljedeih dogaaja:

a) A = {sa svakoga smjera izabran je tono jedan student}; b) B = {barem jedan izabrani student je student smjera KiRT}

Rezultati: 14 137

) ( ) ; ) ( ) .57 228

P A P B a b

2. 5 umjetnih plavua, 6 umjetnih crnki i 7 umjetnih brineta natjee se za Miss uplje Lipe.

Sve natjecateljice meusobno razlikujemo. Prigodom prvoga predstavljanja iriju i publici

casting-manager izbora ih treba poredati na sluajan nain. Izraunajte vjerojatnosti

sljedeih dogaaja:

a) A = {sve umjetne plavue su poredane jedna do druge}; b) B = {barem dvije umjetne crnke nisu poredane jedna do druge}.

Rezultati: 1 1427) ( ) ; ) ( ) .612 1428

P A P B a b

3. U skladitu Visoke uzaludne kole u pikovini nalazi se ukupno 20 razliitih raunala.

Na 60% tih raunala instaliran je operativni sustav Windows 10. Na sluajan nain

izabiremo 8 raunala. Izraunajte vjerojatnosti sljedeih dogaaja:

a) A = {na tono polovici izabranih raunala je instaliran Windows 10}; b) B = {na barem jednom izabranom raunalu nije instaliran Windows 10}.

Rezultati: 1155 8365) ( ) ; ) ( ) .4199 8398

P A P B a b

4. Za usmeni ispit iz Vjerojatnosti i statistike Karlo je morao nauiti tono odgovoriti na 15

razliitih pitanja. Meutim, nauio je tono odgovoriti na svega 7 pitanja. Za pozitivnu je

ocjenu potrebno tono odgovoriti na barem 5 od 10 postavljenih pitanja. Izraunajte

vjerojatnost da e Karlo uspjeti poloiti ispit.

Rezultat: 82

.143

p

5. U krunicu je upisan kvadrat, a u taj kvadrat je upisana krunica. Izraunajte vjerojatnost

da e sluajno odabrana toka kruga omeenoga veom krunicom pripadati krugu

omeenom manjom krunicom.

Rezultat: 1

.2

p

6. Od konopca duljine 2 metra na sluajan nain napravimo pravokutnik. Izraunajte

vjerojatnost da je povrina toga pravokutnika jednaka ili vea od 1600 cm2.

Rezultat: 9 .25

p

Vjerojatnost i

statistika (preddiplomski struni

studij elektrotehnike)

Zbirka zadataka sa

grupnih konzultacija

nerecenzirana

verzija

mr.sc. Bojan Kovai, vii predava 5

7. Na jesenkom ispitnom roku Veleuilita u Gaelezima ispitanici su mogli polagati tono

dva predmeta: Matematiku i Osnove elektrotehnike. Nakon odranih ispita, utvreno je da

70% svih ispitanika nije poloilo Matematiku, 60% svih ispitanika nije poloilo Osnove

elektrotehnike, a 40% svih ispitanika nije poloilo nijedan od navedenih dvaju predmeta.

Na sluajan nain biramo