zbirka rešenih nalog iz osnov elektrotehnike i · ti čar, a. orgulan, zbirka rešenih nalog iz...
TRANSCRIPT
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
Prof. dr. Igor Tičar
mag. Andrej Orgulan
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 1 -
1. Elektrostatično polje
1.1. Coulombov zakon in električna poljska jakost
1. Dve mali telesi sta naelektreni z enako elektrino in oddaljeni 60 cm.
S kakšno elektrino sta naelektreni, če delujeta ena na drugo s silo
0,9 N?
2. Koliko mora biti mali nosilec elektrine Q = 5·10-6
As oddaljen od
drugega, ki je nabit z elektrino Q1= 8·10-6
As, da bo na Q1 delovala
sila F1= 1 N?
3. Izračunajte rezultantno silo na elektrino Q = 9·10-8
As, ki jo
povzročata elektrini Q1= 4·10-6
As in Q2= 6·10-6
As. Mali nosilci
elektrin ležijo v ravnini, kot je prikazano na sliki. (a = 9 cm)
4. S kakšno silo delujejo točkaste elektrine Q1 = -Q2 = Q3 = 18·10-6
As
na elektrino Q = 8·10-6
As. Elektrine so nameščene v zraku kot je
prikazano na sliki (a = 3 cm).
5. Točkasti nosilci elektrin Q1= -4·10-6
As, Q2= 3·10-6
As in Q3= Q1 so
nameščeni v ogliščih enakostraničnega trikotnika s stranico
a = 4 cm. Izračunajte električno poljsko jakost, ki jo elektrine
povzročajo na polovici zveznice med Q1 in Q3.
x
Q3
Q1
y
a a/2
Q2
T
x
Q
Q3
y
a
a
Q2
a a
a
Q1
x
Q
Q1
y
a
a Q2
r
Q Q
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 2 -
6. Točkasti nosilci elektrin Q1, Q2 in Q = 10-4
As so nameščeni v
zraku, kot kaže slika (a=1,5 cm, b= 2,6 cm). Določite elektrini Q1 in
Q2 tako, da bo na nosilec elektrine Q delovala sila 866 1 NyF = ⋅��
.
7. Izračunajte silo na nosilec elektrine Q = 10-6
As, ki je v
elektrostatičnem polju elektrin Q1 = 10-6
As in Q2. Kolika je
elektrina Q2, če deluje med Q2 in Q sila 22 1,8 1 NrF = − ⋅��
? Nosilci
elektrin so v zraku in nameščeni kot kaže slika
(a=1 cm).
8. Trije točkasti nosilci elektrine so nanizani na tanki vrvici tako, da
se lahko prosto premikajo (v smeri vrvice). Izračunajte kakšna
mora biti elektrina Q2 in razdalja b, da bodo vsi nosilci elektrin
mirovali, če sta dani elektrini Q1 = 2·10-6
As, Q3 = 8·10-6
As in
razdalja b = 8 cm.
9. Izračunajte električno poljsko jakost, ki jo v točki T povzročajo tri
točkaste elektrine Q1 = 10-6
As, Q2 = - 4·10-6
As in Q3 = 2·10-6
As,
razporejene kot kaže slika (a = 2 cm).
10. Izračunajte električno poljsko jakost, ki jo v točki T povzročajo tri
točkaste elektrine Q1 = 3·10-6
As, Q2 = - 6·10-6
As in Q3 = 10-6
As,
razporejene kot kaže slika (a = 6 cm).
11. Trije točkasti naboji povzročajo v točki T=(a,a) električno poljsko
jakost 4(16 1 20 1 ) 10x yVE
m= ⋅ − ⋅ ⋅
� ��
. Kolik je naboj Q3, če sta
Q1=18·10-8
As in Q2=-10·10-8
As (a=9 cm)
x Q3
Q1
y
a Q2
a
T
x
T
Q3
y
a
a
Q2
a
a
Q1
a
a
x
T
Q3
a
a
Q2
a a
a
Q1
a
a
y
Q1 Q3
b
Q2
a
x Q Q1
y
a
Q2
a
a
a
x
Q
Q1
y
a
Q2
b
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 3 -
12. Dva prema naboja se privlačita s silo 3 N/m. Eden od drugega sta
oddaljena za d = 4 cm. Kolika je vrednost Q2 na dolžini 18 cm, če
je znan premi naboj q1 = 6·10-6
As/m?
13. Izračunajte silo, ki jo dve premi elektrini q1= q2= 2·10-6
As/m
povzročata na točkasti naboj Q = 3·10-5
As, če so elektrine
nameščene tako kot je prikazano na sliki (a=5 cm, b= 2,9 cm).
14. Izračunajte silo na enoto dolžine, ki deluje na premo elektrino
q = 2·10-8
As/m, v elektrostatičnem polju, ki ga povzročata drugi
premi elektrini q1 = 5·10-6
As/m in q2 = 1·10-6
As/m. Naboji so
razporejeni kot je prikazano na sliki (a = 6 cm).
15. Naboji q1 =4·10-6
As/m, q2 in q3 =4·10-6
As/m so razporejeni, kot je
prikazano na sliki. V točki T = (a, 3a ⋅ ) povzročajo električno
poljsko jakost 5
7,79 10 1 V/myE = ⋅ ⋅��
. Kolika je prema elektrina q2?
(a = 4 cm)
16. Izračunajte električno poljsko jakost, ki jo v točki T=(–a, –a)
povzročajo tri preme elektrine q1= q2= q3= 6·10-7
As/m (a = 9 cm).
17. Določite lego (koordinate) preme elektrine q2 tako, da bo vrednost
električne poljske jakosti v točki T= (a, 3a ⋅ ) enaka nič, če so
elektrine q1= –5·10-6
As/m, q2= 3,17·10-6
As/m in q3= –5·10-6
As/m
razporejene kot kaže slika.
18. Določite električne poljske jakosti, ki jih v prostorih a, b in c
povzročata elektrini Q1 = 5·10-6
As in Q2 = –8·10-6
As nakopičeni
na dveh vzporednih ploščah s površino S = 20 cm2 in oddaljeni ena
od druge za d = 1 cm.
x
T
q1
y
a a q3
q2 3 a
x
q3
q1
y
a
a q2
T
x
T
q1
y
a a q3 q2
3 a
x
q
q1
y
a
a
a
q2
x
Q
q1
y
a
b
a q2
Q1 Q2
a b c
x
y
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 4 -
19. Izračunajte silo na točkasto elektrino Q =2·10-6
As, ki je v
elektrostatičnem polju dveh ravninskih elektrin σ1 = 4·10-6
As/m2 in
σ2 = –6·10-6
As/m2 razporejenih kot kaže slika.
20. V prostoru ležita dve vzporedni naelektreni ravnini. Na prvi s
površino A1= 2 m2 je nabrana elektrina Q1= 8·10
-6 As, na drugi s
površino A2=3 m2 je nabrana elektrina Q2= –6·10
-6 As. Določite silo
na enoto površine A2, če predpostavimo homogeno polje.
21. V prostoru ležita dve vzporedni naelektreni ravnini. Na prvi s
površino A1= 2 m2 je nabrana elektrina Q1= 16·10
-6 As, na drugi s
površino A2=3 m2 je nabrana elektrina Q2. Na površinsko enoto
ravnine A2 deluje sila 22 0,9 1 N mxF = ⋅
��
. Izračunajte velikost
elektrine Q2, če predpostavimo homogeno polje.
1.2. Električni potencial in napetost
22. Točkasta elektrina Q povzroča med dvema točkama na oddaljenosti r1= 2 cm in
r2= 5 cm potencialno razliko U= 1350 kV. Kolika je elektrina Q?
23. Točkasta elektrina Q= 5·10-6
As povzroča med dvema točkama na oddaljenosti
r1 in r2= 10 cm napetost U= 18 kV. Kolika je razdalja r1?
24. Osamljena prema elektrina q= 2·10-6
As/m visi prosto v zraku. Med dvema
točkama na razdalji r1= 4 cm in r2 od preme elektrine je napetost U= 33,1·103 V.
Kolika je razdalja r2 in kolike so električne poljske jakosti na razdaljah r1 in r2?
25. Premi naboj q = 2·10-6
As/m povzroča v točki T, ki je 3 m oddaljena od elektrine
električni potencial VT= 36·103 V. Določite oddaljenost do izhodišča potenciala.
26. Premi naboj q = 3·10-6
As/m povzroča med točkama r1 = 2 m in r2 napetost
U = 59,3·103 V. Na kakšni oddaljenosti je R2?
27. Premi naboj q = 6·10-6
As/m povzroča med točkama, ki sta oddaljeni od njega za
r1 in r2 = 8 cm, potencialno razliko U12 = 50,76 kV. Izračunajte oddaljenost r1.
Q1 Q2
x
y
S1 S2
Q1 Q2
x
y
S1 S2
σ1 σ2
x
y
Q
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 5 -
28. Kje je izhodišče potenciala, če povzroča prema elektrina q v točki
T(1/e, 0), električni potencial VT= 3,6·103 V (q = 2·10
-7 As/m)
29. Izračunajte potencial v točki T=(2a, a), ki ga povzročajo trije
točkasti naboji Q1 = – Q2 = Q3 = 6·10-6
As, če je izhodišče
potenciala v točki T0=(0, –a) in je sistem v vakuumu (a = 6 cm).
30. Izračunajte potencial v točki T=(a, 0), ki ga povzročajo trije točkasti
naboji Q1 = 2·10-6
As, Q2 = 4·10-6
As in Q3 = 8·10-6
As, če je
izhodišče potenciala v točki T0=(2a, a) in je sistem v vakuumu
(a = 8 cm).
31. Izračunajte potencial, ki ga v točki T=(0, 0) povzročajo točkasti
naboji Q1 = 5·10-6
As, Q2 = –4·10-6
As in Q3 = 60·10-6
As. Izhodišče
potenciala je v točki T0=(0, a), a = 6 cm.
32. Izračunajte napetost UBA med točkama B in A, ki jo povzročata dva
točkasta naboja Q1 = –4·10-8
As in Q2 = 6·10-8
As. Izhodišče
potenciala je v koordinatnem izhodišču, a = 5 cm.
33. Izračunajte napetost UAB med točkama A=(2a, a) in B=(a, 2a), ki
jo povzročata točkasti elektrini Q1= 2·10-6
As in Q2= 4·10-6
As
(a= 6 cm).
34. Izračunajte delo potrebno za prenos elektrine Q = 5·10-6
As iz točke
A = (2a, a) v točko B =(a; -a), v elektrostatičnem polju, ki ga
povzročata dve točkasti elektrini Q1 = 6·10-6
As in Q2 = -9·10-6
As
(a = 5 cm).
x q
y
1/e
T0 T
r0
x
y
a a
Q1
Q2
B
a
A
x
y
a a
Q1
Q2
B
A
a
a
a
x
y
a a
Q1 Q2
B A
a
x
Q2 y
a
a a
Q1 Q3
a
T
T0
a
x Q3
y
a
a a
Q1
Q2
a T
T0
x
Q3
y
a a
a
a
Q1
Q2
a
T
T0
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 6 -
35. Izračunajte delo pri premiku točkaste elektrine v točko A. Pred
premikom so elektrine nameščene v ogliščih enakostraničnega
trikotnika.
36. Izračunajte potencial, ki ga v točki T=(a, a) povzročajo tri preme
elektrine: q1= 5·10-6
As/m, q2= -4·10-6
As/m in q3= 6·10-6
As/m.
Izhodišče potenciala je v točki T1=(0, a). (a=4 cm)
37. Izračunajte potencial, ki ga v točki T= (2a, a) povzročajo preme
elektrine q1= 2·10-6
As/m, q2= 4·10-6
As/m in q3= 8·10-6
As/m.
Elektrine so razporejene kot je prikazano na sliki, izhodišče
potenciala je v točki T0= (a, 0) (a=10 cm).
38. Izračunajte potencial, ki ga v točki T= (0, 2a) povzročajo preme
elektrine q1= 4·10-6
As/m, q2= 5·10-6
As/m in q3= -6·10-6
As/m.
Elektrine so razporejene kot je prikazano na sliki, izhodišče
potenciala je v točki T0= (0, a) (a= 2 cm).
39. Izračunajte napetost UAB med točkama A=(-2a, a) in B=(-a, 2a), ki
jo povzročata premi elektrini q1= 2·10-6
As/m in q2= 4·10-6
As/m
(a =14,3 cm).
40. Izračunajte napetost UAB med točkama A=(a, a) in B=(2a, a), ki jo
povzročata premi elektrini q1= 9·10-7
As/m in q2= 3·10-7
As/m.
izhodišče potenciala je v koordinatnem izhodišču (a =3 cm).
x
y
a a
q2
B A
a
q1
x
y
a a
q2
B
A
a q1
V=0
a
x
y
a a
q2 q3
T
T0
a
q1
x
y
a a
q2 q3
T
T0
a
q1
a
x
y
a a
q1 q2
T T1
a
q3
x
y
a
Q1 Q2
A
a/2 a/2
Q3
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 7 -
41. Izračunajte napetost UBA med točkama B=(0, 2a) in A=(0, a), ki jo
povzročata premi elektrini q1= 2·10-6
As/m in q2= –6·10-6
As/m.
izhodišče potenciala je v koordinatnem izhodišču (a =6 cm).
42. Izračunajte napetost UAB med točkama A in B v homogenem
elektrostatičnem polju, ki ga povzroča neskončna ravninska
elektrina s površinsko gostoto σ = -5·10-6
As/m2 (a = 3 cm,
b = 12 cm in c = 4 cm).
43. Izračunajte napetost UAB med točkama A in B v homogenem
elektrostatičnem polju, ki ga povzroča neskončna ravninska
elektrina s površinsko gostoto σ = –17,7·10-10
As/m2 (a = 1 m).
44. Izračunajte potencial, ki ga v točki T povzroča valjna elektrina
q= 4·10-6
As/m. Elektrina leži pred neskončno veliko, ozemljeno
prevodno steno (a=8 cm).
45. Izračunajte potencial, ki ga v točki T povzroča valjna elektrina
q= –2·10-6
As/m. Elektrina leži pred neskončno veliko, ozemljeno
prevodno steno (a=4 cm)
46. Izračunajte silo, ki deluje na 12 cm dolgega tankega valja, ki je
naelektren z elektrino q= 4·10-6
As/m. Elektrina leži vzporedno z
neskončno veliko prevodno ozemljeno ravnino (a= 2 cm).
σ
a
a
A
2a
B
a
q
V=0
a
q
T
V=0
a
a
q T
a/2
V=0
σ
c a
A
b B
x
y
a a
q2
A
T0
a
q1
a
B
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 8 -
47. Izračunajte silo na valjno elektrino q1. Elektrini q1= 2·10-6
As/m in
q2= –3·10-6
As/m ležita pred neskončno veliko ravno ozemljeno
kovinsko steno (a= 18 cm)
48. Pred ozemljeno kovinsko steno ležita premi elektrini q1= 3·10-6
As/m in q2= 5·10-6
As/m, ki sta oddaljeni od stene za a= 1 cm, med
seboj pa za b= 9 cm. Izračunajte silo na elektrino q2.
49. Izračunajte električno poljsko jakost v točki T=(a, 0), ki jo
povzročata kovinski valj s polmerom R= 4 cm in prema elektrina q,
če vemo, da je kovinski valj na potencialu V= 2·103 V (a= 8 cm).
1.3. Elektrostatično polje v snovnih dielektrikih
50. V snovi z relativno dielektrično konstanto εr1= 6 poznamo električno
poljsko jakost E1= 5·105 V/m, ki vpada pod kotom 45° na stično
ploskev z dielektrikom z εr2= 5. Kolika je gostota električnega
pretoka D5 in pod kakšnim kotom α5 prehaja dielektrik z εr5= 3, po
prehodu polja skozi snovi z εr3= 3 in εr4= 8?
51. V snovi z relativno dielektrično konstanto εr1= 3 poznamo gostoto
električnega pretoka D1= 4·10-6
As/m2, ki vpada pod kotom α1 =30°
na stično ploskev z dielektrikom z εr2= 6. Kolika je električna
poljska jakost E5 in pod kakšnim kotom α5 prehaja dielektrik z
εr5= 6, po prehodu polja skozi snovi z εr3= 1 in εr4= 5?
52.
εr1
α1
1D�
εr2 εr3 εr4 εr5
α5
5E�
a
q1
q2
V=0
b
a
q1
V=0
x
y
a
q2
a
x
y
a
a
a
R
q
T
εr1
α1
1E�
εr2 εr3 εr4 εr5
α5
5D�
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 9 -
2. Rešitve nalog
2.1. Coulombov zakon in električna poljska jakost
1. Dvojico sil, ki nastopa med malima naelektrenima telesoma določa Coulombov zakon:
1 2
21r
Q QF k
r
⋅= ⋅ ⋅
��
,
kjer je:
9
0
1 Vm9 10
4 Ask
πε= = ⋅
Ker sta elektrini enako veliki in smer sile ni podana, lahko računamo s skalarji, elektrini sta lahko različnih
predznakov.
2 2 2 2
2 6
2 9
0,9 0,66 10 As
9 10
Q F r F rF k Q Q
k kr
−⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = ⇒ = = = ± ⋅
⋅
2. r = 0,6 m
3. Rezultantna sila na elektrino Q je vsota sil, ki ju povzročata
posamezni elektrini Q1 in Q2. Najprej določimo radijvektorje in
pripadajoče enotske smerne vektorje, kot je prikazano na sliki. Smer
radijvektorja je vedno od povzročitelja proti mestu, kjer opazujemo
dogajanje!
1
1r
1
11 1
y
y
ar
r a
⋅= = =
�
�
� �
2
2r
2
1 1 1 11 1 1 0,707 1 0,707 1
2 2 2
x y
x y x y
a ar
r a
− ⋅ + ⋅= = = − + = − ⋅ + ⋅
⋅
� �
�
� � � � �
Nato izračunamo obe sili:
( )
1
6 81
1 2 2120 1
4 10 9 101 1 0,4 1 N
4 4 8,854 10 0,09r y y
Q QF
rπε π
− −
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅
� � ��
( )( ) ( )
2
6 82
2 2 212
0 2
6 10 9 101 0,7071 0,7071 0,21 1 0,21 1 N
4 4 8,854 10 2 0,09r x y x y
Q QF
rπε π
− −
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ − + = − ⋅ + ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
� � � � ��
In njuno vsoto:
( ) ( )1 2 0,4 1 0,21 1 0,21 1 0,21 1 0,61 1 Ny x y x yF F F= + = ⋅ + − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅� � � � �� � �
x
Q
Q1
y
a
a Q2
1r1�
2r1�
1F�
2F�
F�
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 10 -
4. Podobno kot pri 3. nalogi najprej določimo razdalje,
radijvektorje in enotske smerne vektorje. Nato izračunamo
posamezne sile in jih seštejemo.
1 2 1xr a= ⋅�
�
2 2 1 2 1x yr a a= ⋅ + ⋅� �
�
3 3 1 1x yr a a= ⋅ + ⋅� �
�
1
1
1
2 11 1
2
xr x
ar
r a
⋅= = =
�
�
� �
( ) ( )2
2
2 22
2 1 2 1 2 1 2 1 1 11 1 1
2 2 2 22 2
x y x y
r x y
a a a ar
r aa a
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = = = +
⋅+
� � � �
�
� � �
( ) ( )3
3
2 23
3 1 1 3 1 1 3 11 1 1
10 10 103
x y x y
r x y
a a a ar
r aa a
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = = = +
⋅+
� � � �
�
� � �
( )
1
6 61
1 2 2120 1
18 10 8 101 1 359,5 1 N
4 4 8,854 10 2 0,03r x y
Q QF
rπε π
− −
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
� � ��
( )
( )
( )
2
6 6
22 2 2
120 2
18 10 8 10 2 21 1 1
2 24 4 8,854 10 2 2 0,03
1 1179,75 1 1 127,1 1 127,1 1 N
2 2
r x y
x y x y
Q QF
rπε π
− −
−
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅ + = − ⋅ − ⋅
� � ��
� � � �
( )
( )
3
6 63
3 2 212
0 3
18 10 8 10 3 11 1 1
4 10 104 8,854 10 10 0,03
3 1143,8 1 1 136,4 1 45,5 1 N
10 10
r x y
x y x y
Q QF
rπε π
− −
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ + = ⋅ + ⋅
� � ��
� � � �
( )1 2 3 368,8 1 81,6 1 Nx yF F F F= + + = ⋅ − ⋅� �� � � �
5. 1 2 3 2TE E E E E= + + =� � � � �
, saj se vpliva Q1 in Q3 odštejeta.
( )7 7 72
3 1 V2,25 10 1 2,25 10 1 1 1,951 1,1231 10
2 2 mT r x y x yE
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − + = − + ⋅
� � � � ��
6. V tem primeru poznamo rezultantno silo na elektrino Q in moramo iz
podane geometrije izračunati elektrini, ki to silo povzročata.
1 1 1 1,5 1 2,6 1x y x yr a b= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅� � � �
�
in 2 21 3cmr a b= + =
2 1 1,5 1y yr a= ⋅ = ⋅� �
�
Rezultatna sila na elektrino Q je vsota sil:
x
Q
Q3
y
a
a
Q2
a
a
Q1 11r
�
31r
�
21r
�
1F�
3F�
2F�
1r�
3r�
2r�
x
Q
Q1
y
a
Q2
b 1r
11r
�
21r
�
F�
1F�
2F�
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 11 -
1 2F F F= +� � �
( )1 21 2 2 2
0 1 0 2
1,5 2,61 1 1 0 1 866 1
3 34 4x y x x y
Q Q Q QF F F
r rπε πε
⋅ ⋅ = + = ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅
� � � � �� � �
Enačbo rešujemo posebej za x in posebej za y komponento:
2
60 1112
0 1
866 3 42,61 866 1 1 10 As
3 2,64y y
rQ QQ
Qr
πε
πε
−⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = ⋅
⋅
� �
( )1 2 1 2
2 2 2 20 1 0 2 1 2
1,5 1,51 1 0 1 0
3 34 4x x x
Q Q Q Q Q Q
r r r rπε πε
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + =
� � �
2
72 12 2
1
1,51,25 10 As
3
r QQ
r
−⋅ = − ⋅ = − ⋅
7. Iz dane sile lahko izračunamo Q2 in nato še silo zaradi Q1.
( )
2
2
2 2
22 2
0 2
22
0 72 0 22 6
14
1 1,8 4 0,01 5410 As
1 10 1
r
r
r r
Q QF
r
F rQ
Q
πε
πεπε −
−
⋅= ⋅
− ⋅ ⋅ ⋅⋅= = = −
⋅ ⋅
��
�
�
� �
1
11 2
0 1
1 10 1 N4
r x
Q QF
rπε
⋅= ⋅ = − ⋅
� ��
22
1 21,8 1 1,8 1 1 0,8 1 1,61 N
5 5r x y x yF
−= − ⋅ = − ⋅ − = ⋅ +
� � � � ��
¨
1 2 9,2 1 1,6 1 Nx yF F F= + = − ⋅ + ⋅� �� � �
8. Nosilci elektrin bodo mirovali, če bo vsota sil na vsakega izmed
njih enaka 0. Na vsak nosilec elektrine deluje dvojica sil.
Na prvi nosilec elektrine delujeta sili: 21 31 0F F+ =� �
,
na drugi nosilec elektrine delujeta sili: 12 32 0F F+ =� �
in na tretji nosilec elektrine delujeta sili: 23 13 0F F+ =� �
.
Izberemo si lahko dve enačbi in iz njih izračunamo elektrino Q2 in manjkajočo razdaljo.
Iz ravnovesne enačbe za elektrino Q2 lahko izračunamo:
x Q Q1
y
a
Q2
a
a
a
21r
�
11r
�
1r
1F�
2F�
Q1 Q3 b Q2 a
13F�
23F�
32F�
12F�
31F�
21F�
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 12 -
23 2 31 2 1 112 32 2 2 2 2
30 0
1 ( 1 ) 0 4cm4 4
r r
Q Q QQ Q Q QF F a b
Qa b a bπε πε
⋅⋅+ = ⋅ + ⋅ − = ⇒ = ⇒ = ⋅ =
� �� �
Iz ene od preostalih enačb pa še elektrino Q2:
2 3 1 3 2 123 13 2 2 2 2
0 0
26 6
2 1 2
1 (1 ) 04 4 ( ) ( )
810 0,89 10 As
9( )
r r
Q Q Q Q Q QF F
b a b b a b
bQ Q
a b
πε πε
− −
⋅ ⋅ −+ = ⋅ + ⋅ = ⇒ = ⇒
+ +
= − ⋅ = ⋅ = ⋅+
� �� �
9. 61
V( 0,71 1 2,13 1 ) 10
mx yE = − ⋅ − ⋅ ⋅� ��
62
V(5,76 1 3,84 1 ) 10
mx yE = ⋅ + ⋅ ⋅� ��
63
V( 2 1 1 1 ) 10
mx yE = − ⋅ − ⋅ ⋅� ��
61 2 3
V(3 1 0,7 1 ) 10
mT x yE E E E= + + = ⋅ + ⋅ ⋅
� �� � � �
10. 61
V( 0,32 1 0,48 1 ) 10
mx yE = − ⋅ − ⋅ ⋅� ��
62
V(2,68 1 1,34 1 ) 10
mx yE = ⋅ + ⋅ ⋅� ��
63
V(0,08 1 0,24 1 ) 10
mx yE = ⋅ − ⋅ ⋅� ��
61 2 3
V(2,44 1 0,62 1 ) 10
mT x yE E E E= + + = ⋅ + ⋅ ⋅
� �� � � �
11. V točki T podana električna poljska jakost TE�
je vsota električnih
poljskih jakosti zaradi posameznih točkastih elektrin:
1 2 3TE E E E= + +� � � �
Izračunamo lahko 1 2E in E� �
:
1
831
1 2 20 1 0
18 101 1 199,7 10
4 4r x
Q VEmr aπε πε
−⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅
� ��
2
832
2 x y2 20 2 0
10 10 1 11 1 1 ( 39,2 1 39,2 1 ) 10
4 4 ( 2) 2 2r x y
Q VEmr aπε πε
−− ⋅ = ⋅ = ⋅ + = − ⋅ − ⋅ ⋅
⋅
� � � � ��
43 1 2 16 1 10T y
VE E E Em
= − − = − ⋅ ⋅�� � � �
2 8
3 3 4 14,5 10 AsoQ E aπ ε −= ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅
x Q3 a Q2
a
Q1
T
y
2E�
1E�
E�
3E�
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 13 -
12. 601 22
0 1
2 As1,11 10m2
F dq qF q
d q
πε
πε
−⋅ ⋅⋅= ⇒ = = ⋅
⋅
6 2 7
2 2 1,11 10 18 10 2 10 AsQ q l− − −
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
13. Najprej izračunamo električno poljsko jakost, ki jo v točki kjer je nameščena točkasta elektrina
povzročata q1 in q2:
1
61
112 2 2 2 2 2
0 1
5 5
2 5 1 2,9 12 101
2 2 8,85 10 5 2,9 10 5 2,9
V3,45 10 (0,96 1 0,28 1 ) (3,32 1 0,96 1 ) 10m
x y
r
x y x y
qE
rπε π
−
− −
⋅ ⋅ + ⋅⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅
� �
��
� � � �
2
652
2 12 20 2
2 10 V1 1 12,4 10 1m2 2 8,85 10 2,9 10
r y y
qE
rπε π
−
− −
⋅= = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
� � ��
51 2
V(3,32 1 13,36 1 ) 10mx yE E E= + = ⋅ + ⋅ ⋅
� �� � �
(9,95 1 40,1 1 ) Nx yF Q E= ⋅ = ⋅ + ⋅� �� �
14. 3 3 31 2
N(6 1 12 1 ) 10 6 1 10 (12 1 12 1 ) 10mx y x x yF F F
− − −= + = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅� � � � �� � �
15. Električna poljska jakost v točki T je enaka vsoti treh električnih
poljskih jakosti:
1 2 3 2 1 3T TE E E E E E E E= + + ⇒ = − −� � � � � � � �
Za izračun elektrine q2 moramo najprej izračunati E2.
2 1 3
5 5 5
5 5 5
7,79 10 1 (4,5 10 1 7,79 10 1 )
V( 4,5 10 1 7,79 10 1 ) 7,79 10 1m
T
y x y
x y y
E E E E= − − =
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
− − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
� � � �
� � �
� � �
Nato iz znane električne poljske jakosti izračunamo iskano elektrino:
62
As3 10m
q−= − ⋅
16. Električna poljska jakost v točki T je enaka vsoti treh električnih poljskih jakosti:
1 2 3
4 4 4 4
4 4
12 10 1 ( 6 10 1 6 10 1 ) ( 12 10 1 )
V18 10 1 18 10 1m
T
y x y x
x y
E E E E= + + =
= − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
� � � �
� � � �
� �
17. Elektrini q1 in q3 sta enako veliki in nameščeni simetrično glede na
točko T, torej bosta povzročali enako veliko električno poljsko jakost
E1= E3. Električno poljsko jakost 2E�
izračunamo iz znane električne
poljske jakosti v točki T:
x
T
q1
y
a a q3 q2
3 a
1E�
3E�
2E�
x
T
q1
y
a a q3
q2 3 a r1 r3
1E�
3E�
2E�
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 14 -
1 2 3 2 1 30TE E E E E E E= = + + ⇒ = − −� � � � � � �
( )
1 3 1 3
2
31 12
0 1 0 3 0 1
1 1
0 0
1 2
0 0 2
1 1 (1 1 )2 2 2
1 3 1 31 1 1 1 31
2 2 2 2 2 2 4
31 1
4 2
r r r r
x y x y y
y r
qq qE
r r r
q q
a a
q q
a r
πε πε πε
πε πε
πε πε
= − + = − + =
⋅ ⋅ ⋅
= − + − + = − ⋅ ⋅
⋅= − =
⋅ ⋅
� � � ��
� � � � �
� �
Najprej smo upoštevali enakost elektrin q1 in q3 in oddaljenosti r1 oz. r3. Dobljen rezultat nam daje,
glede na predznak elektrine q2, dve možnosti za njeno lego – nad in pod točko T. Ker je elektrina
pozitivna leži pod točko T, saj dobimo iz zadnjega izraza:
2
1 1r y=� �
in oddaljenost od točke T:
22
1
20,7321
3
a qr a
q
⋅= − = ⋅
⋅
Koordinati točke sta 2
( , )qT a a=
18. Upoštevati moramo, da elektrostatično polje spremeni predznak na
vsaki strani ravninske elektrine. Na prevodnih ploščah sta nabrani
ravninski elektrini:
6
3121 4
5 10 As2,5 10m20 10
Q
Aσ
−−
−
⋅= = = ⋅
⋅
6
3222 4
8 10 As4 10m20 10
Q
Aσ
−−
−
− ⋅= = = − ⋅
⋅
Silnice elektrostatičnega polja kažejo stran od pozitivne elektrine in k negativni elektrini, kar
upoštevamo pri grafični predstavitvi polja. Enotini smerni vektorji kažejo za vsak prostor in vsako
elektrino od povzročitelja proti mestu opazovanja. Za prostor a sta oba enotina smerna vektorja 1x−�
.
1
381
1 120
2,5 10 V1 ( 1 ) 1,4 10 1m2 2 8,85 10aa r x xE
σ
ε
−
−
⋅= = − = − ⋅ ⋅
⋅ ⋅
� � ��
2
382
2 120
4 10 V1 ( 1 ) 2,26 10 1m2 2 8,85 10aa r x xE
σ
ε
−
−
− ⋅= = − = ⋅ ⋅
⋅ ⋅
� � ��
8 8 81 2
V1,4 10 1 2,26 10 1 0,86 10 1ma a a x x xE E E= + = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
� � �� � �
V prostoru b enotin smerni vektor zaradi prve elektrine spremeni predznak:
1
381
1 120
2,5 10 V1 (1 ) 1,4 10 1m2 2 8,85 10bb r x xE
σ
ε
−
−
⋅= = = ⋅ ⋅
⋅ ⋅
� � ��
82 2
V2,26 10 1mb a xE E= = ⋅ ⋅
�� �
σ1 σ2
a b c
x
y
1aE�
1bE�
2bE�
2cE�
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 15 -
8 8 81 2
V1,4 10 1 2,26 10 1 3,66 10 1mb b b x x xE E E= + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
� � �� � �
V prostoru c spremeni predznak še enotin smerni vektor zaradi druge elektrine:
81 1
V1,4 10 1mc b xE E= = ⋅ ⋅
�� �
2
382
2 120
4 10 V1 (1 ) 2,26 10 1m2 2 8,85 10cc r x xE
σ
ε
−
−
− ⋅= = = − ⋅ ⋅
⋅ ⋅
� � ��
8 8 81 2
V1,4 10 1 2,26 10 1 0,86 10 1mc c c x x xE E E= + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
� � �� � �
19. 5 5 51 2
V2,26 10 1 3,39 10 1 1,13 10 1mx x xE E E= + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
� � �� � �
0,226 1 NxF Q E= ⋅ = − ⋅�� �
20. 6
6121
1
8 10 As4 10m2
Q
Aσ
−−⋅
= = = ⋅
6
6222
2
6 10 As2 10m3
Q
Aσ
−−− ⋅
= = = − ⋅
6 6
1 222 1 2
0 0
4 10 ( 2) 10 N1 1 0,45m2 2
r xF Eσ σ
σε ε
− −⋅ ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = −
⋅ ⋅
� �� �
21. 6
2 6 10 AsQ−
= ⋅
2.2. Električni potencial in napetost
Električna napetost je definirana kot delo, ki opravi električno polje pri premiku pozitivne elektrine 1 As med
dvema točkama:
2
12
1
2
12
1
¨ ¨A F dl QE dl Q E dl Q U
U E dl
= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅
∫
∫
� � �� � �
��
22. Potencial zaradi točkaste (male krogelne) elektrine izračunamo po izrazu:
1
0 1 0
1 1
4
QV
r rπε
= −
V,
kjer je r1 razdalja od elektrine do točke kjer računamo potencial in r0 razdalja do izhodišča potenciala.
Napetost med dvema točkama v polju točkaste elektrine je enaka razliki potencialov oz.:
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 16 -
12
0 1 2
1 1
4
QU
r rπε
= −
V.
Iz izraza za napetost lahko izračunamo elektrino, ki to napetost povzroča:
3 12
612 0
2 21 2
4 1350 10 45 10 As
1 1 1 1
2 10 5 10
8,85 10UQ
r r
πε π −−
− −
⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅
− −⋅ ⋅
⋅ ⋅
23. 12 012
0 1 2 1 2
41 1 1 1
4
UQU
r r r r Q
πε
πε
⋅= − ⇒ − =
12 0
1 2
1
41 10,5
2 m
U
r Q r
r
πε⋅= + =
=
24. Napetost med dvema točkama v polju preme elektrine je podana z izrazom:
212
0 1
ln2
rqU
rπε=
Od tod izračunamo r2:
12 0
12 02
1
2
0,922
1
2 1
2ln
2,5
2,5 10 cm
U
q
Ur
r q
re e
r
r r
πε
πε
⋅
⋅=
= = =
= ⋅ =
Izračunamo še električni poljski jakosti na teh razdaljah:
51
0 1
52
0 2
V9 10m2
V3,6 10m2
qE
r
qE
r
πε
πε
= = ⋅⋅
= = ⋅⋅
Izračunali smo samo velikost električne poljske jakosti, smer polja je radialna.
25. Iz enačbe za potencial, ki ga povzroča prema elektrina izrazimo oddaljenost do izhodišča potenciala:
0
0
12 30 0
6
100
ln2
2 2 8,85 10 36 10ln 1
2 10
8,15 cm
T
T
T
T
T
T
rqV
r
r V
r q
re r r e
r
πε
πε π −
−
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
⋅
= ⇒ = ⋅ =
26. Računajte po zgledu iz 24. naloge.
2 6 mr =
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 17 -
27. 1 5 cmr =
28. Iz izraza za potencial, ki ga na oddaljenosti r povzroča prema elektrina, izrazimo iskano veličino:
0
0
12 20 0
7
100
ln2
2 2 8,85 10 3,6 10ln 1
2 10
11 m
T
T
T
T
T
T
rqV
r
r V
r q
re r r e e
r e
πε
πε π −
−
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
⋅
= ⇒ = ⋅ = ⋅ =
29. Potencial v točki T izračunamo tako, da seštejemo potenciale, ki jih v tej točki povzročajo posamezne
elektrine. Pri tem moramo biti pozorni na to, da za vsako elektrino posebej upoštevamo ustrezno razdaljo do
točke T in do izhodišča potenciala, ki je v T0.
651
1 220 1 01 0
652
2 220 2 02 0
3
51 2 3
1 1 6 10 1 16,5 10 V
4 4 6 106 10 13
1 1 6 10 1 14,97 10 V
4 4 6 106 10 5
0 V
1,53 10 VT
QV
r r
QV
r r
V
V V V V
πε πε
πε πε
−
−−
−
−−
⋅= − = − = − ⋅
⋅⋅
− ⋅= − = − = ⋅
⋅⋅
=
= + + = − ⋅
30. Potencial v točki T izračunamo po zgledu iz prejšnje naloge:
5 5
T 1 2 3 0 0 4,97 10 4,97 10 VV V V V= + + = + + ⋅ = ⋅
31. Potencial v točki T izračunamo po zgledu iz prejšnje naloge:
5 5 5 5
1 2 3 2,2 10 3 10 4,75 10 9,95 10 VTV V V V= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅
32. Napetost med dvema točkama lahko izračunamo na dva
načina: kot razliko potencialov v obeh točkah ali kot vsoto dveh
delnih napetosti, ki ju povzroča vsaka elektrina.
( )
1 2
0 1 01 0 2 02
1 2
0 1 01 0 2 02
3 3 3
1 1 1 1
4 4
1 1 1 1
4 4
3,976 10 1,053 10 5,03 10 V
A
A A
B
B B
BA B A
Q QV
r r r r
Q QV
r r r r
U V V
πε πε
πε πε
= − + −
= − + −
= − = ⋅ − − ⋅ = ⋅
x
Q3
y
a a
r1
r02
Q1
Q2
a
T
T0 r01
r2
r3
r03
x
y
a
Q1 Q2
B A
a T0
rA1 rA2
r01 r02
Razdalje za določitev potenciala v
točki A
x
y
a
Q1 Q2
B A
a
T0
rA1 rB2 rA2
Razdalje za določitev napetosti
med točkama A in B za prvo in
drugo elektrino
rB1
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 18 -
1
2
1 2
31
0 1 1
32
0 2 2
3
1 11,87 10 V
4
1 13,16 10 V
4
5,03 10 V
BA
B A
BA
B A
BA BA BA
QU
r r
QU
r r
U U U
πε
πε
= − = ⋅
= − = ⋅
= + = ⋅
33. Napetost zaradi dveh elektrin lahko izračunamo kot razliko potencialov ali kot vsoto napetosti zaradi
posameznih elektrin.
1 2
1 2
0 1 1 0 2 2
6 63 3 3
0 0
1 1 1 1
4 4
2 10 1 1 4 10 1 162,08 10 331,37 10 269,3 10 V
4 2 42 5
AB AB AB
A B A B
Q QU U U
r r r r
a aa a
πε πε
πε πε
− −
= + = − + − =
⋅ ⋅ = − + − = − ⋅ + ⋅ = ⋅
34. Izračun dela pri prenosu elektrine v elektrostatičnem polju je tesno povezan z izračunom napetosti
med dvema točkama med katerima prenašamo elektrino:
ABA Q U= ⋅
1
2
1 2
51
0 1 1
52
0 2 2
3
6 3
1 11,178 10 V
4
1 11,767 10 V
4
294,5 10 V
5 10 294,5 10 1,47 J
AB
A B
AB
A B
AB AB AB
AB
QU
r r
QU
r r
U U U
A Q U
πε
πε
−
= − = ⋅
= − = ⋅
= + = ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
35. Najprej izračunamo napetost med točkama kjer je Q3 in A in nato še delo pri premiku elektrine Q3.
1
2
1 2
1 13
0 0
2 23
0 0
1 23 3 3
0
3 1 23 3
0
1 1
4 42
1 1
4 42
( )
4
( )J
4
A
A
A A A
A
Q QU
aa a
Q QU
aa a
Q QU U U
a
Q Q QA Q U
a
πε πε
πε πε
πε
πε
− = − =
⋅
− = − =
⋅
− += + =
⋅
− ⋅ += ⋅ =
⋅
36. Za vsako elektrino določimo razdalje od elektrine do točke, kjer računamo potencial in od elektrine do
izhodišča potenciala, izračunamo prispevke posameznih elektrin in jih seštejemo.
63011
1 12
0 1
5 10 0,04ln ln 31,16 10 V
2 2 8,85 10 0,04 2
rqV
rπε π
−
−
⋅= = = − ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 19 -
63022
2 12
0 2
4 10 0,04 2ln ln 24,93 10 V
2 2 8,85 10 0,04
rqV
rπε π
−
−
− ⋅ ⋅= = = − ⋅
⋅ ⋅
633 03
3 12
0 3
6 10 0,04ln ln 37, 4 10 V
2 2 8,85 10 0,04 2
q rV
rπε π
−
−
⋅= = = − ⋅
⋅ ⋅ ⋅
3 3 3 3
1 2 3 31,16 10 24,93 10 37, 4 10 93, 49 10 VV V V V= + + = − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅
37. Nalogo izračunamo podobno kot prejšnjo:
01 02 3 031 21 2 3
0 1 0 2 0 3
6 6 6
0 0 0
3 3
ln ln ln2 2 2
2 10 5 4 10 8 10ln ln ln
2 2 25 5
0 57,89 10 0 57,89 10 V
r r q rq qV V V V
r r r
a a a
aa a
πε πε πε
πε πε πε
− − −
= + + = + + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + + =
⋅ ⋅
= − ⋅ + = − ⋅
38.
01 02 3 031 21 2 3
0 1 0 2 0 3
6 6 6
0 0 0
3 3 3 3
ln ln ln2 2 2
4 10 2 5 10 6 10 2ln ln ln
2 2 2 25 5
32,96 10 62,33 10 49, 43 10 45,86 10 V
r r q rq qV V V V
r r r
a a a
aa a
πε πε πε
πε πε πε
− − −
= + + = + + =
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= + + =
⋅ ⋅
= − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅
39. Napetost med dvema točkama lahko računamo kot razliko
potencialov v obeh točkah ali kot vsoto napetosti, ki ju povzroča vsaka
elektrina zase (kot smo to že pokazali pri točkastih elektrinah).
01 021 2A
0 1A 0 2A
1
0
ln ln2 2
ln2
r rq qV
r r
q a
πε πε
πε
= + =
=2
a
⋅ 2
0
ln2
q a
πε+
5
2 a
⋅
6 6
0 0
3 3 3
2 10 4 10 5ln 2 ln
2 2 2
12, 47 10 8,03 10 V= 20,5 10 V
πε πε
− −⋅ ⋅= + =
= ⋅ + ⋅ ⋅
01 021 2B
0 1B 0 2
1
0
ln ln2 2
ln2
B
r rq qV
r r
q a
πε πε
πε
= + =
=2
a
⋅ 2
0
ln2
q a
πε+
5
a
⋅
6 6
0 0
3 3 3
2
2 10 4 10 5ln 2 ln
2 2 2
12,47 10 32,96 10 V= 45,43 10 V
πε πε
− −
⋅
⋅ ⋅= + =
= ⋅ + ⋅ ⋅
x
y
a 01r
a
q2
B
A
a q1
V=0 a
Določitev razdalj za izračun
potencialov
1Br
a 1Ar
a 02r
a
2Br
a
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 20 -
3 3 3
AB A B 20,5 10 45, 43 10 24,93 10 VU V V= − = ⋅ − ⋅ = − ⋅
1 1B 2 2BAB AB1 AB2
0 1A 0 2A
1
0
ln ln2 2
ln2
q r q rU U U
r r
q a
πε πε
πε
= + = + =
=a
2
0
ln2
q a
πε+
2
2 a
⋅ 3
3
0 24,93 10
24,93 10 V
= − ⋅
= − ⋅
40.
01 021 2 1A
0 1A 0 2A 0
ln ln ln2 2 2
r rq q q aV
r rπε πε πε= + =
a
2
0
ln25
q a
πε+
a
7 73 3
0 0
9 10 1 3 10ln ln1 13,02 10 0 V= 13,02 10 V
2 25πε πε
− −⋅ ⋅= + = − ⋅ + − ⋅
01 021 2 1B
0 1B 0 2B 0
ln ln ln2 2 2
r rq q q aV
r rπε πε πε= + =
a
2
0
ln210
q a
πε+
a
7 73 3 3
0 0
2
9 10 1 3 10 1ln ln 18,63 10 1,87 10 V= 20,5 10 V
2 210 2πε πε
− −⋅ ⋅= + = − ⋅ − ⋅ − ⋅
3 3 3
AB A B 13,02 10 ( 20,5 10 ) 7, 48 10 VU V V= − = − ⋅ − − ⋅ = ⋅
41.
1 1 2 2ABA BA1 BA2
0 1B 0 2B
1
0
ln ln2 2
ln2
Aq r q rU U U
r r
q a
πε πε
πε
= + = + =
=2 a
2
0
ln2
q a
πε+
5
2 a
⋅ 3 3 324,93 10 12,04 10 36,97 10 V= − ⋅ − ⋅ = − ⋅
42. Za izračun napetosti in potencialov v homogenem polju (ravninske
elektrine) je pomembna le pravokotna razdalja od elektrine do točke kjer računamo
potencial ali napetost. Napetost bi lahko izračunali tudi kot razliko potencialov,
vendar bi v tem primeru morali imeti podano izhodišče potenciala.
( ) ( )6
12
0
3
5 100,12 0,03
2 2 8,85 10
25,38 10 V
B
AB
A
U E dr b aσ
ε
−
−
− ⋅= ⋅ = − = − =
⋅ ⋅
= − ⋅
∫�� ���
43. Nalogo rešujemo enako kot v prejšnjem primeru. Zaradi lastnosti skalarnega produkta dveh vektorjev,
moramo upoštevati, da je razdalja med točkama A in B usmerjena nasproti polju in zato negativna (kot je
180°).
( ) ( )10
12
0
17,7 102 2 1 200 V
2 2 8,85 10
B
AB
A
U E dr aσ
ε
−
−
− ⋅= ⋅ = − = − ⋅ =
⋅ ⋅∫�� ���
σ
c a
A
b B
x
y
a
q2
B
A
a q1
V=0 a
Določitev razdalj za izračun
delnih napetosti
1Br
a 1Ar
a
2Br
a 2Ar
a
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 21 -
44. Probleme, ki zajemajo valjne elektrine pred neskončnimi prevodnimi
ozemljenimi površinami, rešujemo z metodo zrcaljenja. Pokažemo lahko
namreč, da je elektrostatično polje, ki ga povzročata dve raznoimenski valjni
elektrini enako kakor polje, ki ga povzroča ena elektrina pred takšno steno.
Namesto ozemljene prevodne površine računamo tako, da vse elektrine
prezrcalimo preko te površine in jim spremenimo predznak. Zatem rešujemo
naloge tako kot smo to počeli prej.
6
0 0
0 0 0
'' 4 10ln ln ln
2 2 ' 2T
r rq q aV
r rπε πε πε
−⋅= + =
0,5 a
6
0
4 10ln
2
a
πε
−− ⋅+
2,5 a
63
0
4 10 2,5ln 115,77 10 V
2 0,5πε
−
=
⋅= = ⋅
45. Tako kot v prejšnjem primeru, odstranimo iz problema ozemljeno ravnino in
prezrcalimo elektrino.
6
0 0
0 0 0
'' 2 10ln ln ln
2 2 ' 2T
r rq q aV
r rπε πε πε
−− ⋅= + =
a
6
0
2 10ln
2
a
πε
−⋅+
a
3 3
5
0 28,94 10 28,94 10 V
=
= − ⋅ = − ⋅
46. Namesto preme elektrine pred prevodno steno, rešujemo nalogo z
dvema vzporednima premima elektrinama, kjer je druga zrcalna slika prve
(q' = – q).
0
6 6
12
( ) 12
(4 10 0,12) ( 4 10 )1 0,863 1 N
2 8,85 10 2 0,02
r
x x
qF Q E q l
rπε
π
− −
−
−= ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ = − ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
�� �
� �
47. Če so v problemih prisotne ravne ozemljene prevodne površine, na
elektrine delujejo dodatne sile. Njihov vpliv na elektrine lahko upoštevamo s
pomočjo metode zrcaljenja. Namesto dveh elektrin in ravne ozemljene
prevodne površine rešujemo problem štirih elektrin.
( )
11 12 12
1 1 1 2 1 211 12 12
0 11 0 12 0 12
6 6
12 2
6 6
12 2
6
( ) ( )1 1 1
2 2 2
2 10 ( 2) 101
2 8,85 10 18 10 2
2 10 ( 3) 10 2 11 1
2 8,85 10 18 10 5 5 5
2 10
r r r
y
x y
q q q q q qF F F F
r r rπε πε πε
π
π
′ ′
− −
− −
− −
− −
−
⋅ − ⋅ ⋅ −′ ′= + + = + +
′ ′⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ − ⋅ − − + ⋅ − +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅+
� � �� � � �
�
� �
6
12 2
(3) 10 2 31 1
2 8,85 10 18 10 13 13 13x y
π
−
− −
⋅ − ⋅ −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
� �
0, 2 1 0, 24 1 0,12 1 0,092 1 0,138 1 0,148 1 0,058 1 N/my x y x y x yF = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅� � � � � � ��
a
q T
a/2
V=0
a
q
a/2
q'=-q
a
V=0 T
a
q
T
V=0
a
a
q'
q1
x
y
a
q2
a
a
a
a
q'1
q'2
12F�
11F′�
12F′�
r'12
r12
a q a q'
x
y
F�
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 22 -
48. Problem rešujemo podobno kot v prejšnji nalogi. Lahko bi sešteli vse sile,
lahko pa najprej izračunamo električno poljsko jakost na mestu, kjer leži q2 in nato
izračunamo silo po splošni obliko Coulombovega zakona.
12 12 22
2
12 12 22
1 1 2
0 12 0 12 0 22
'
1 1 12 2 2
r r r
F q E
E E E E
q q qE
r r rπε πε πε′ ′
= ⋅
′= + +
′ ′= + +
′ ′
� �
� � � �
� � ��
( )
( )
6 6
12 2 12 2
6
12 2
5 5 5 5
5 5
3 10 3 10 2 91 1 1
2 8,85 10 9 10 2 8,85 10 85 10 85 85
1 101
2 8,85 10 2 10
5,995 10 1 1, 269 10 1 5,712 10 1 8,992 10 1
10, 261 10 1 0, 283 10
y x y
x
y x y x
x
Eπ π
π
− −
− − − −
−
− −
⋅ − ⋅ = − + ⋅ − ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅+
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
� � ��
�
� � � �
� �
( )6 5 5
2
V1
m
1 10 10,261 10 1 0,283 10 1
N1,026 1 0,028 1
m
y
x y
x y
F q E −= ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= − ⋅ − ⋅
� �� �
� �
49. Tako kot ravnina, je tudi kovinski valj le ena izmed ekvipotencialnih ploskev,
ki jih dobimo v polju dveh raznoimenskih enako velikih premih elektrin. Tudi te
probleme rešujemo tako, da namesto valja upoštevamo le premo elektrino, vendar ta
ne leži v geometrijskem središču valja. Ekscentričnost e izračunamo iz razmerij
podobnih trikotnikov:
2 42
2
16 101 10 m
2 2 2 8 10
R e Re
a R a
−−
−
⋅= ⇒ = = = ⋅
⋅ ⋅
Ko smo določili lego elektrine q' = -q, lahko izračunamo njeno vrednost iz znanega
potenciala kovinskega valja. Cel valj je na enakem potencialu, zato si za izračun izberemo točko na y-osi.
0 01 2
0 0 0
3 1280
ln ln ln2 2 2 2 2
2 2 10 2 8,85 10 As8,02 10
0,04 0,01 mln ln
2 0,16 0,04
r rq q q R eV V V
a R R e a R
Vq
R e
a R
πε πε πε
πε π −−
− −= + = + =
− − −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = − ⋅
− −
− −
Sedaj izračunamo električno poljsko jakost, ki jo v točki T povzročata obe elektrini:
a
q2
q1
b
q'2
q'1
x
y
12F�
22F ′�
12F ′�
x
y
a
a
a
q
T
e q'
A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 23 -
0 0
6 6
2 2
0 0
3 3 3 3 3
1 12 2
8 10 8 10 8 151 1 1
2 8 10 2 17 10 17 17
V18 10 1 4 10 1 7, 45 10 1 14 10 1 7, 45 10 1
m
r r
x x y
x x y x y
q qE
r rπε πε
πε πε
′
− −
− −
′= +
′
− ⋅ ⋅ = + −
⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
� ��
� � �
� � � � �
2.3. Elektrostatično polje v snovnih dielektrikih
50. Pri izračunu prehoda elektrostatičnega polja skozi več zaporednih dielektrikov izkoriščamo spoznanje,
da se ohranjata tangencialna komponenta električne poljske jakosti in normalna komponenta gostote pretoka
električnega polja. Računali bi sicer lahko tudi s pomočjo lomnega zakona, vendar se pri zaporednih
prehodih izgubi preglednost.
5 5
n1 1 1
5 5
t1 1 1
t5 t1
2 Vcos 5 10 3,536 10
2 m
2 Vsin 5 10 3,536 10
2 m
E E
E E
E E
α
α
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
=
5 6
n1 n1 0 r1 0 2
n5 n1
5 6
t5 t5 0 r5 0 2
2 2 6
5 n5 t5 2
t55
n5
As3,536 10 6 18,774 10
m
As3,536 10 3 9,387 10
m
As20,99 10
m
arctan 26,56
D E
D D
D E
D D D
D
D
ε ε ε
ε ε ε
α
−
−
−
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
=
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
= + = ⋅
= = °
51. Postopek reševanja je enak kot v prejšnjem primeru.
6
n1 1 1 2
6
t1 1 1 2
n5 n1
Ascos 3,464 10
m
Assin 2 10
m
D D
D D
D D
α
α
−
−
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
=
4n5n5
r5 0
4t1t4 t1
r1 0
2 2 4 t44 t4 n4 5
n4
V6,524 10
m
V7,533 10
m
V9,965 10 , arctan 49,1
m
DE
DE E
EE E E
E
ε ε
ε ε
α
= = ⋅⋅
= = = ⋅⋅
= + = ⋅ = = °
εr1
α1
1E�
εr2 εr3 εr4 εr5
α5
5D�
Et1
En1
Tičar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I
- 24 -