zbirka 1 razred

7/21/2019 Zbirka 1 razred

1/108

.

(1990 - 1995)

1

1999.


2/108

2

(1990-1995)

: . ,

: -x,

: . , 76/2311070

: .

:

:

: 700

CIP- ,

372.853 (075.3) (079.1)

, .

: (1990-1995) : 1 / . ; - ( ... .). - (2 .). - : . ., 1999 ( : ). - 174. : . ; 24

700.

ISBN 86 - 901669 - 4 - 7

ID = 71603980

:""


3/108

3

. :- , , , - ,- , , ,- ,

, , ( ). .

, , , , .

. 1989/90. 1994/95. , , () , .

. , . , 100, , , 20 . , , , , .

( )

30 , . , . , . , , . . , , (1990-1992) 1995..

, . . , . .

,

, . . , , , , () .

. , , .


4/108

4

, , .

1991/92. , , " ", .

.

, . , ,

. ,

. . , , : . , , -x, , , , , , . , . , , , . , . , , , . , , , , -, , , , , "", ( ), . , ,

1990. 1995. , . . 1990/91. , , .

: , 76/23, 11070 , .

, . , 1996.


5/108

5

- "" .

- . .

- . , (" ", ", " " .).

- . , " ".

- , 2sm81.9g .

- : X.Y.Z, : X- ( ), Y - () Z - ( - , -, - - ).


6/108

6

1) , . .

2) , , , . .

3) , , . :

- , , (,

2s

m81.9g ), (

).

- , , , , , .

1: , 0v

.

2: x, 0x x= 0.

4) :

- . , , ., , .

- .


7/108

7

, ,

na 10 , 101 a , . , , 1n , 2n .

1. : s103.3=ns33 -8t ,

: s1033=ns33 -9t .

1. : J102=MJ2.0 5t ,

: J100.2=MJ2.0 6

t .

5) , . , 3) ,

, .

6) . , .

7) . , , , . , , , , , , .

: , , . , . .

.

1: - , , . . .


8/108

8

2: , , .

8) , , . .

- . :

- , .

- . . .

, , ., , .

9) , . :

- . , , . , . ,

.

- .

: , , , .

10) , . , .

11) , .


9/108

9

" ".

12) 0.1 1000.

: m105.2 5

, , m25=m105.2 5 , 25 .

13) ,

, . , , 1000 , .


10/108

10

, . .

.

( ). , .

. :

) , 2.304,

30.2,3

10405.1

.) , ,

12.200, 10.0, 310450.1 . 0.02340 , , ,

210340.2 .

1: (0.01-0.09V), :

10.00 V 0.34 V V1020000.3 3 .

1: (10-

90s), :40s 120s s10520.3 3 .

, , .


11/108

11

, .

. .

: 13.301317.30123.1223.33467.2432.12 27695.26545.1952.7615.558.12135

4344

1070.5570008.56904372002.1295101,21072.32.12951010.2 ,

( 3.23) .

, ( 135) .

, ( 1) .

. . .:

710.07103.021.340.34.12

3.1234.234.3

213.3401.34.12

341.1234231.2345.3

(3) 12.4, , .

( ), :

715.03.135

795.96

21.340.34.12

34.12345.2345.3

213.3401.34.12

341.1234531.2345.3

.

. , , , .

: 1.2721.5 2 643.2 5 577.00.30 tg

53.135.2 535.32.1564 1.462ln


12/108

12

, 62 , , .

:

44444

106.21059.2103.15

58.39

103.15

95.13.20

10009.31.5

8.3071.192.1

.

.


13/108

13

:

) r

- - , , (. 1).

) x,y z,

, :xrx ,

yry , (1)

zrz .

:

222 zyxr (2)

:

) r

- (2) (1) (. 2):

12 rrr

. (3)

) s - .

:


14/108

14

) - , :

trr

, (4)

:

txx ,

tyy , (5)

tzz .

) - , :

tss , (6)

.

rs

.

.

12 ttt

:

21

12sr

tt

rr

t

rv

, n

n

tttt

rrrrv

...

...

321

321sr

, (7)

nrrrr

,...,,, 321 ntttt ,...,,, 321 .

12 ttt :

t

sv

sr ,

n

n

tttt

ssssv

...

...

321

321sr , (8)


15/108

15

nssss ,...,,, 321

ntttt ,...,,, 321 .

srsr vv

.

. , - v

, . . , (. 2). , .

12 ttt

:

21

12sr

tt

vv

t

va

, (9)

12 vvv

.

, - a

, .

('x'y'z') (xyz) 21v

(

). 1v

( ),

2v

( ), ( . 3):

2121 vvv

. (10)


16/108

16

21v

12v

( . 4)

:

2112 vv

. (11)

21a

( ). . 4, . 1a

( ), 2a

(

), :

2121 aaa

. (12)

(10) (12) . , .

0a

constv

. :

tvrr

0 , (13)

:

tvxx x 0 , tvyy y 0 , tvzz z 0 , (14)

zyx vvv ,, . :

vtss 0 . (15)

= 0. x -

, , . :


17/108

17

vtx (16)

vts . (17)

: , (15) (17), , , , .

consta

, , :

tavv

0 , (18)

tavv xxx 0 , tavv yyy 0 , tavv zzz 0 . (19)

:222zyx vvvv . (20)

:

200

2

1tatvrr

, (21)

:

200

2

1tatvxx xx ,

200

2

1tatvyy yy ,

200

2

1tatvzz zz , (22)

zyx aaa ,, , zyx vvv 000 ,,

. ,

, :

200

2

1attvss , (23)


18/108

18

x - , , x - , :

atvv 0 , (24)

20

2

1attvx , (25)

20

2

1attvs , (26)

asvv 2202 . (27)

1: , , ( "") , . (24-27), - ( (85)).

2: , . , x- , , , (24-

27) :atvv 0 , (28)

20

2

1attvx , (29)

20

2

1attvs , (30)

asvv 2202 . (31)

, (28-31), , 0 aa

.

3: ( 1v ) ( 2v ) , :

2

21sr

vvv

. (32)


19/108

19

, ,

(6,7).

, 0v ,

, . 5, :

const0 xx vv , (33)

gtvv yy 0 , (34)

tvx x0 , (35)

2

0 2

1

gttvy y . (36)

:

2

200

0

2x

v

gx

v

vy

xx

y . (37)

:

g

vy

y

2

20

max ,g

vt

y0

1 . (38)

:

g

vvx

yx 00max

2 ,

g

vt

y02

2 . (39)


20/108

20

, 0v ,

6, :

const0 vvx (40)

gtvy , (41)

tvx 0 , (42)

2

2

1gty , (43)

:

2

202

xv

g

y . (44)

, :

g

hvx 2

0max ,g

ht

21 (45)

. , . , .


21/108

21

, .

. ,

( ) :

r

s , (46)

, .

, , (. 7).

12 ttt :

t

sr . (47)

, -

, . (. 7).

e :

22

T

. (48)

(, ) :

rv . (49)

12 ttt :

21

12sr

ttt

, (50)

12

.


22/108

22

, -

, . .

0

const

, :

t . (51)

const

. , , :

t 0 , (52)

20

2

1tt , (53)

2202 . (54)

: , . ,

, .

.

- (. 8).

nt aaa

, 2n2t aaa . (55)

- .

. , , :


23/108

23

ra t . (56)

() n (cp) - . , . :

r

vra

2

n . (57)

, , ,

. , ,

, , .

: , (23), (26) (30), (27) (31) , , . , .


24/108

24

3.

r

( )

rs

v

rv

a

2t ra

ra n

vts

t

atvv 0

20

2

1attvs

asvv 2202

t 0

20

2

1tt

2202


25/108

25

nmmm ,...,, 21 nrrr

,...,, 21 ( ) :

i

n

i

in

i

i

n

i

i

n

nn rmM

m

rm

mmmrmrmrmr

1

1

1

21

2211c

1..... . , (58)

:

n

i

iixmM

x

1

c

1, i

n

i

ixmM

y

1

c

1,

n

i

iixmM

z

1

c

1, (59)

. , .

.

:

, , . .

m, r , :

2mrI . (60)

. m r .

, . :


26/108

26

nIIIII ...321 . (61)

: I I0 , , :

20 mdII , (62)

d .

4.

2mr

, ,. r

2mr

, r

2

2

1mrI

r

2

5

2mr

l ,

2

12

1ml

l ,

2

3

1ml

( ) :

vmp

, (63)

n , , :

c

11

vMvmpp

n

i

ii

n

i

i

, (64)

cv

.


27/108

27

"", " ", 5.

: , . , , - .

p

,

, :

vrmprL

, (65)

r

. n :

c

11

vMvmpp

n

i

ii

n

i

i

. (66)

:

IL , (67)

I .

" ", " ", 6.

: (65) (66), . , .

F

:

FrM

, (68)

r

. :

FrM n , (69)


28/108

28

rn - ( . 9).

: ( ) . . - . ( r

p

, r

F

) , , .

nFFFF

,...,,, 311 ,

-:

in FFFFFF

...311 , (70)

, , , :

n

i

in MMMMMM

1

311 .. .

(71)

( )

, ,

0 iFF

, constv

. (72)


29/108

29

, F

, :

t

pamFF i

. (73)

, a

, , a

. , :

t

pF

, (74)

p

t .

, .

1: , . , , , ( "" " ").

2: , , , . ( ), . , . , . , .

3: ( ), x y - . , :

xx maF , yy maF . (75)

- , (x) , (y) , x= y= 0, :

maFx , 0 yF . (76)


30/108

30

- , , () .- . , . , . " " " " x y- .

( )

, , :

2112 FF

. (77)

. , .

( )

, M

, :

IMM i

. (78)

, :

t

LMM i

. (79)

L

t . , (70) ( " " "

").

: , , , .

:

0 iF

, 0iM

, (80)


31/108

31

iM

.

. : -

, - , -

.

: (80), . , .

( - "").

, . - .

.

.

12F

, 1221 FF

, .

( " ", "").

tF

otF

.

( ), .

: (

11.91.).

, , . . , :


32/108

32

NF t , (81)

N ,. , ,

. . , .

:

r

NF kkt,

, (82)

k , r

. .

( ) . :

vbF

ot , (83)

b .

- . (. ),

T

zF

,

(. ), N

.

1: , . , .

2: , , . .


33/108

33

3: - . :

1)

,

( 20.95..).

2)

,

:

.

. .

: ( . 10).

:

- , 1N

. - .

, , ,

2N

,

- .

, ( ), , , :

kxF , (84)

k , x ( ).


34/108

34

, ( ) , , :

gVgmF 00 , (85)

: 0m - , 0 - V

, .

.

, , . :

22

cf mrr

mvF . (86)

1: , . , , .

2: .

, . , , ,

, . 0a

, m

:

0in amF

. (87)

: , ,


35/108

35

, , .

. . , , . :

22

cf mr

r

mvF . (88)

( ) F

r

, s , :

rFrFA r

, (89)

tF (

). tF s, ( )

: sFA t . (90)

, .

M

, :

1MMA

, (91)

1 . , ( ) :

1MMA

. (92)

, .

1 2 :

21 mA . (93)


36/108

36

, , , :

2tela1telatelatela EEEA , (94)

, () :

tela12telatelasp EEEA . (95)

,

, . ( ).

P, t , :

tPA . (96)

t, :

PtA . (97)

"", " ", 7-9.

t, :

t

AP . (98)

, - ,

. , v

,

F

, tF ,

() :

vFvFP t

. (99)


37/108

37

,

F

.

M

,

1M , , :

1MMP

. (100)

. ,

. m, v

p

:

m

pmvE

22

22

k . (101)

: I,

L

, :

I

LIE

22

22

k

. (102)

( ) .

. , , . .

, , . () .

,

, 1 2, r , :

r

mmE 21p , (103)

.

.

:


38/108

38

mghE p , (104)

, g . .

(101) , (100).

:

2p

2

1kxE , (105)

k, , x .

, .

, , .

, , :

pk EEE . (106) , -

, :constE . (107)

, , , .

1: ( ). ,, , .

2: , , , , .


39/108

39

- .

: , , , . , , , . . , .

:

const iii vmpp

, (108)

:

const xiixix vmpp , const yiiyiy vmpp ,

const xiiziz vmpp . (109)

1: , .

2: , .

3: , . , x-, , y- , .

4: , , .


40/108

40

, :

const iiiii prILL

. (110)

: .

, , . 1 2, 1v

2v

, ,

1v

2v

, :

12

221211

2

mm

vmvmmv

12

112122

2

mm

vmvmmv

. (111)

. 1m 2m 1v

2v

,

:

21

2211

mm

vmvmv

(112)

: (108) (109). , , . , , x " I ", 1994.. x (. 126).


41/108

41

5.

( 2mrI )

F

M

FrM

vmp

IL

vrmprL

constv

0 iF

const

0 iM

t

p

amFF i

.

t

L

IMM i

0 iF

0iM

rFrFA r

1MMA

vFt

AP t

Mt

AP

m

pmvE

22

22

k

I

LIE

22

22

k

const iii vmpp

.

const iiiii prILL


42/108

42

y x xyy , . 14.

() () .

( ) 12 xxx ,

x, ix

( nni ,,...,3,2,1 ),

nxxxxxx ...2112 .

() x x , z :

xyz ,

y )(xfy x ,

x 12 xx , z :


43/108

43

n

i

iinnn xyxyxyxyzzzzzz

1

22112112 ...... .

ix ,

, , )()( iiii xxyxxy ,

ii xy (x)

ix . z , ,

12 xx . :

x 12 xx , z

y x,

. )(xfy

x z

xyz . )(xfy

. ,

tav ( 1).

1: 01z , 2zz ,

z x 1x

2x . , z z x 1x 2x . .

2: , , . ( ).

- .

3: , z . x( ).

4: " " " ", ,

( ).


44/108

44

: , , :

1) )(taa , ,

, , (9), tav .

2)

)(tvv , , , , (8), tvs .

3) )(t ,

, , , (50),t .

4) )(t , ,

, , (47), t .

5) , F F t ( ) , , , , (74),

tFp .

6) )(tMM ,

, , , (79),tML .

7)

)(tt sFF , , , , (89), sFA t .

8) )(11 MM ,

, , , (91), 1MA .


45/108

45

9) )(tPP , ,

, , (96), tPA .

: . 15. . .

.

: ,

.

, : m105 3a N104=kN4 3b .

N106=kN6 3c N102 2

d . :

J8.621 abS , J602

12 cdS .

(), . , :

J2.8=J)(-60+J8.6221 AAA .


46/108

46

, , , . ,

30, 45 60.

a

:

1) 45: ( 16), :

22aaa yx (124)

1) 30 60: ( 17), :

2

3aax (125)

2

aay (126)


47/108

47

x:

02 cbxax , (127)

, , c.

:

a

acbbx

2

42

21

. (128)

- .

) 042 acb :

a

acbbx

2

42

21

a

acbbx

2

42

21

. (129)

) 042 acb :

a

bx

2 . (130)

) 042 acb .

: , , , . , , . .


48/108

48

Z A D A C I

1.91.O. Kolika treba da bude brzina automobila, da bi ukrasni

poklopac ("radkapna"), koji je u pokretu spao sa toka automobila,im dodirne put poeo da se kotrlja bez proklizavanja. Polupreniktoka je R = 25 cm, a poklopac se moe smatrati homogenimdiskom poluprenika r= 12 cm. Usporavanje kretanja poklopca uvertikalnom pravcu traje = 0.5 s. Pretpostaviti da u toku ovog

usporavanja na poklopac deluje konstantna sila trenja. Koeficijent

trenja klizanja izmeu poklopca iputa iznosi = 0.2.

Reenje: Poto toak ne proklizava, taka toka u kojoj on dodiruje zemljumiruje u odnosu na zemlju. Ako se automobil kree brzinom 0v

istom brzinom se kree

i osa rotacije toka u odnosu na zemlju i dodirnu taku. Prema jednaini (U11), taka ukojoj toak dodiruje zemlju kree se u odnosu na osu rotacije brzinom (perifernom)

0v

, suprotnog smera od smera kretanja

automobila (vidi prvu sliku u reenju).Ugaona brzina rotacije poklopca se ne

menja u toku njegovog padanja, odnosno, ista

je na toku i neposredno pre dodira zemlje.Ako je izrazimo preko veliina vezanih zatoak i veliina vezanih za poklopac, moe sedobiti:

r

v

R

v 00 ,

pa brzina perifernih taaka poklopcaneposredno pre dodira zemlje iznosi:

00 vvR

rv .

Posle odvajanja od toka centar mase poklopca se kree kao horizon talni hitac.Kada se spusti za rR , tj. u trenutku kada poklopac dodirne zemlju, y- komponentabrzine ose rotacije valjka iznosi:

rRgvy 2 .


49/108

49

S druge strane, du x - ose, osa rotacije poklopca se i dalje kree po inercijibrzinom vx= v0 (vidi drugu sliku u reenju). Da ne bi dolo do proklizavanja poklopca,moraju periferne take poklopca da sezaustave u odnosu na zemlju, odnosno,

translatorna brzina ose rotacije poklopca treba

da se smanji sa v0 na v. Prema tekstu za-

datka, "prilagoavanje" kretanja poklopcapodlozi traje . To je vreme u kome treba da

doe do navedene promene translatorne brzinepoklopca pod dejstvom sile trenja, odnosno

vreme za koje normalna reakcija podloge treba

da zaustavi kretanje poklopca po vertikali.

Poto je, po uslovu zadatka, sila trenja

tF

u toku "prilagoavanja" konstantna,

konstantna je i reakcija podloge N

, koja

deluje na poklopac. Poto pored ovih sila napoklopac deluje konstantna sila Zemljine tee gm

, prema jednaini (U74), Drugi

Njutnov zakon za translatorno "prilagoavanje" poklopca glasi:

0t

vmvm

t

pgmNF

.

Projekcija ove jednaine na x- osu ima oblik:

0t

vvmmvmvF x

, (1)

a projekcija na y- osu oblik:

yy mvmvmgN

0,

pa je:

rRggm

mvmgN

y 2.

Na rotaciju poklopca utie moment sile trenja, pa se Osnovni zakon dinamikerotacije moe napisati u skalarnom obliku na sledei nain:

R

v

r

vmrmr

I

t

LrF 0

2020

t22

1

. (2)

Eliminacijom sile trenja iz jednaina (1) i (2), moe seodrediti brzina koju trebada ima poklopac da ne bi proklizavao, koja iznosi:

03

2v

R

rRv

,


50/108

50

Uvrtavanjem ove vrednosti u jednainu (1), moe se odrediti sila trenja, kojamoe da izvri navedena "prilagoavanja" kretanja poklopca, koja iznosi:

0000t33

2v

R

rRmv

R

rRv

mvv

mF

.

Da ne bi dolo do proklizavanja poklopca navedena sila trenja mora biti silastatikog trenja, koja je uvek manja ili jednaka sili trenja klizanja, koja iznosi:

rRg

gmNF

2kt, ,

odnosno, mora biti:

rRggmv

R

rRm 2

3 0 .

Iz poslednje nejednaine se moe odrediti brzina automobila pri kojoj ne dolazido proklizavanja poklopca, koja mora biti:

h

km6.6

s

m8.1

230

rR

gRv .

2.91.O. Valjak poluprenika 2R sa osovinompoluprenika R visi u horizontalnompoloaju na nitima, koje su omotane okoosovine kao na slici. Masa valjka sa osovinom

iznosi m0, a moment inercije u odnosu na osu

rotacione si-metrije iznosiI. Na niti namotanoj

na valjak visi teg mase m. Odrediti ubrzanje

tega kada se sistem kree u polju Zemljinetee. Obe neistegljive niti, zanemarljive mase,omotane su oko valjka tako da tee da gazarotiraju u istom smeru.

Reenje: Ubrzanje ose rotacije valjka u odnosu na zemlju 0a

, odnosno u

odnosu na nit na kojoj visi valjak, jednako je po intenzitetu ubrzanju iste niti, u odnosu

na osu rotacije a

. Poto je poslednje ubrzanje, jednako tangencijalnom ubrzanjuperifernih taaka osovine, moe se pisati:

Raa 0 ,

gde je ugaono ubrzanje valjka.


51/108

51

Dok se nit na kojoj visi valjak odmota za l,

centar mase valjka se spusti za istu vrednost. Za isto

vreme se nit na kojoj visi teg odmota za 2l, a teg supusti

za 3l. Zbog toga je ubrzanje tega u odnosu na zemlju a

trostruko vee od ubrzanja centra mase valjka u odnosuna zemlju 0a

, odnosno:

03aa (1)

Kretanje valjka i osovine uslovljavaju dve

jednake sile zatezanja u nitima o koje je obeen 1T

, sila

zatezanja niti na kojoj visi teg 2T

, sila Zemljine teegm

0 , i njihovi momenti (vidi sliku u reenju), pa se

zakoni dinamike za njihovo translatorno i rotaciono

kretanje mogu napisati u obliku:

00210 2 amTTgm

,

IMMM TTgm 210

2.

Projekcije prve jednaine na vertikalni pravac, a druge na pravac normalan na ravancrtea imaju oblik:

00210 2 amTTgm , (2)

RaIIRTRT 021 22 . (3)

Kretanje tega uslovljavaju sila Zemljine tee gm

i sila zatezanja niti o koju je

obeen 2T

, pa Drugi Njutnov zakon za njegovo kretanje, u vektorskom i skalarnom

obliku, glasi:

amTgm

)( 2 ,

maTmg 2 .

Ako se iz poslednje jednaine izrazi mamgT 2 i uvrsti u jednaine (2) i (3),

vodei rauna o jednaini (1),jednaine (2) i (3) se mogu napisati u obliku:

32

0

0010

am

ammamgTgm

,

22

01

3222

R

aI

R

aImamgT .

Posle sabiranja poslednjih jednaina, lako se moe odrediti traeno ubrzanje tega, kojeiznosi:

gRmmI

Rmma

20

20

9

33

.


52/108

52

3.91.O.Niz dve idealno glatke strme ravni, koje

obrazuju jednake uglove = 45 sa

horizontalom, kreu se, dodirujui semeusobno, cilindar mase m1 = 5 kg i klinm2= 10 kg (vidi sliku). Odrediti silu kojom klin

deluje na cilindar, ako je trenje izmeu klina icilindra zanemarljivo?

Reenj e: Na cilindar deluju: sila

Zemljine tee gm

1 , normalna reakcija od klina 1N

i normalna reakcija 2N

od strmeravni S1 (vidi prvu sliku u reenju), pa se Drugi Njutnov zakon za kretanja cilindramoe pisati u obliku:

gmNNam

2111 . (1)

Na klin deluju: sila Zemljine

tee gm

2 , normalna reakcija 3N

od

strme ravni S2 i normalna reakcija

od cilindra 1N

. Prema Zakonu

akcije i reakcije ona iznosi

11 NN

, pa se Drugi Njutnovzakon za kretanje cilindra moepisati u obliku:

gmNNam

21322 (2)

Pri pomeranju po

strmoj ravni S1 ose ci-

lindra za s, dodirna po-

vrina klincilindar se pomeriza b (vidi drugu sliku u

reenju). Poto su trougloviOO'A i BB'C podudarni, toje s=BB , odnosno, pree-ni putevi ose cilindra i klina

su jednaki. Zbog toga je

ubrzanje klina u pravcu y -

ose po intenzitetu jednako

ubrzanju ose cilindra u

pravcu x - ose. Oznaimointenzitet ovih ubrzanja sa a.


53/108

53

Poto je 11 NN , projekcije jednaine (1) na x- osu i jednaine (2) na y- osu

glase:

gmNam 1112

2

2

2 ,

gmNam 2122

2

2

2 .

Poto su trenja u sistemu zanemarljiva, sile reakcija strmih ravni 2N

i 3N

,

oigledno, ne utiu na kretanje klina i cilindraEliminacijom ubrzanja iz poslednje dve jednaine, nije teko odrediti traenu

silu kojom klin deluje na cilindar, a koja iznosi:

N4.652

21

211

g

mm

mmN .

6.91.RP. ovek se nalazi na horizontalnoj platformi, koja rotiraugaonom brzinom 3 rad/s, i gaa metu na istoj platformi. U

prvom sluaju se ovek nalazi u centru platforme, a meta naperiferiji, na rastojanjuR= 10 m od njega. U drugom sluaju oveki meta zamene mesta. Pod kojim uglom, u odnosu na pravac ovek-

meta, ovek treba gurnuti malo telo po platformi da bi pogodilometu, u oba sluaja. Poetna brzina tela u odnosu na platformu je v0= 60 m/s. Trenje izmeu tela i platforme zanemariti.

Reenje:Sluaj I. Poto na telo ne deluju sile u horizontalnoj ravni (trenje izmeu telai platforme zanemarljivo), ono se, u inercijalnom referentnom sistemu, tj. u odnosu na

zemlju, kree prema meti ravnomerno pravolinijski, brzinom jednakom poetnoj brzini(vidi prvu sliku). Jednaine kretanja platforme i telamogu se napisati u obliku:

t i tvs 0 .

Da bi ovek () pogodio metu (M) u taki M',telo mora prei put s R ,za vreme dok se platformazarotira za traeni ugao. Eliminacijom vremena, izprethodnih jednaina, mogue je odrediti traeniugao, koji iznosi:

rad5.00

v

Rt .


54/108

54

Sluaj II. Periferna brzina take pv

, u kojoj se

nalazi ovek (), ima intenzitet Rv p . Telo treba

gurnuti tako da mu ukupna brzina v

, kao vektorski

zbir ove brzine i brzine tela u odnosu na platformu

0v

, bude usmerena ka centru, tj. meti (M) (vidi

drugu sliku). Odnosperiferne i poetne brzine iznosi:

2

1

00

p

v

R

v

v .

Prema jednaini (U126), to znai da je ugao

jednak 30. Drugim reima, u ovom sluaju telo trebagurnuti pod uglom od 30, u odnosu na pravac

ovek-meta, da bi pogodilo metu.

7.91.RP. Granata, koja leti brzinom v = 50 m/s, raspada se pri

eksploziji na dva dela. Vei deo, ija masa iznosi 75% mase celegranate, nastavlja da se kree u istom smeru brzinom v1= 75 m/s.Odrediti brzinu manjeg dela granate, neposredno posle eksplozije.

Komentarisati dobijeni rezultat.

Reenje: Mase veeg i manjeg dela granate iznose 0.75m i 0.25m, gde je mmasa cele granate. Poto eksplozija granate traje veoma kratko, na nju se moe

primeniti Zakon o odranju impulsa, koji se moe napisati u obliku:

21 25.075.0 vmvmvm

.

Ako koordinatni

sistem postavimo tako da

se pravac x - ose poklapa

sa pravcem kretanja

granate i njenog veegpareta, a da je pravac y -ose normalan na ovaj

pravac (vidi sliku),

projekcije prethodne

jednaine na x i y - osuimae oblik:

xmvmvmv 21 25.075.0 ,


55/108

55

yv225.000 .

Iz druge jednaine je, oigledno, 02 yv , odnosno, manje pare granate se kree

takoe u pravcu x - ose brzinom koja moe da se odredi iz prve jednaine, i koja iznosi:

s

m25

25.0

75.0

25.0

75.0 112

vv

m

mvmvv x .

Znak minus pokazuje da se manji deo granate kree u suprotnom smeru od

smera x - ose, tj. od smera kretanja granate i njenog veeg pareta.

8.91.RP. Na tankoj niti duine l = 1 m visi mala kuglica(matematiko klatno). U trenutku t0= 0 taka oslonca poinje dase kree ravnomerno pravolinijski brzinom v u horizontalnoj ravni.Posle kog vremena treba zaustaviti (trenutno) taku oslonca pa dakuglica ostane da miruje.

Reenje: Ako se opisano kretanje posmatra iz referentnog

sistema vezanog za oslonac, u trenutku t0= 0, oslonac miruje, a kuglica poinje da sekree poetnom brzinom v. Drugim reima, iz ovog sistema, poetak opisanog kretanjaizgleda kao polazak kuglice obinog matematikog klatna iz ravnotenog poloaja.

Kada kuglica zavri jednu punu oscilaciju u navedenom sistemu e imati istubrzinu v, odnosno, u sistemu vezanom za okolinu imae brzinu nula. Ako u tomtrenutku trenutno prestane kretanje oslonca, kuglica e ostati da miruje.

Prema tome, da bi kuglica stala, kretanje oslonca treba zaustaviti posle vremena

koje je jednako periodu matematikog klatna, koje ima duinu kao posmatrana nit,odnosno, posle vremena:

s22 g

lT .

9.91.RP. Na horizontalnoj platformi kolica, koja se kreu

konstantnim ubrzanjem a, nalazi se pun homogen valjak. Usledovog kretanja kolica, valjak se kotrlja po povrini kolica bezproklizavanja u suprotnom smeru od smera kretanja kolica. Odrediti

odnos ubrzanja centra mase valjka, u odnosu na zemlju, i ubrzanja

kolica, ako je moment inercije valjka 22mr .

Reenje: Valjak rotira usled delovanja sile trenja (vidi sliku), pa se Osnovni

zakon dinamike rotacije valjka moe napisati u obliku:


56/108

56

rFmrI tr2

2

1 .

Poto nema proklizavanja, ubrzanje ose rotacije valjka, u odnosu na kolica,jednako je po intenzitetu tangencijalnom ubrzanju perifernih taaka valjka u odnosu naosu njegove rotacije i iznosi:

m

2 t0

Fra . (1)

Ubrzanje ose rotacije valjka, uodnosu na zemlju, prema jednaini(U12), iznosi 0aaaz

, a intenzitet

mu je 0aaaz . Translaciju valjka u

horizontalnom pravcu vri sila trenja,pa se Drugi Njutnov zakon za njegovo kretanje moe napisati u obliku:

)( 0t aamamF z

,

Ako se uzme u obzir jednaina (1), projekcija ove jednaine na x- osu moe senapisati u obliku:

2)( 0

0t

ma

aamF .

Odavde se lako moe odrediti traeni odnos ubrzanja, koji iznosi:

3

10

a

aa

a

az .

10.91.RP. Metak mase m= 10 g leti

horizontalno i udara u horizontalnu

dasku mase M= 2 kg, koja je obeena odva ueta duine po l= 1 m, i ostaje unjoj. Posle udara uad se otklone od

vertikale za 60 (vidi sliku). Odreditibrzinu metka pre udara u dasku v0.

Zanemariti vreme zaustavljanja metka u

dasci.

Reenje: Poto udar metka u dasku traje kratko, na sudar se moe primenitiZakon o odranju impulsa, ija se projekcija na horizontalni pravac moe napisati uobliku:

vMmmv )(0 , (1)


57/108

57

gde je v brzina sistema metakdaska neposredno posle udara.

Pri kretanju ovog sistema posle sudara, kinetika energija prelazi u potencijalnu,pa se Zakon odranja energije za sistem moe napisati u obliku:

2

2)( v

MmghMm

,

gde je h maksimalna promena visine sistema. Iz ove jednaine sledi da je:

ghv 2 . (2)

Poto ugao izmeu mak-simalno pomerenih uadi i vertikaleiznosi 60, prema jednaini (U126),vai sledei geometrijski odnos (vidisliku u reenju):

lhl2

1 ,

pa je

lh2

1 . (3)

Iz jednaina (1), (2) i (3) moe se odrediti traena brzina metka, koja iznosi:

s

m63020

gl

m

Mmgh

m

Mmv

m

Mmv .

11.91.S. Paralelepiped duine l nalazi se nahorizontalnoj idealno glatkoj povrini. Najedan kraj paralelepipeda je postavljeno telo

ija je veliina zanemarljiva u odnosu naduinu grede. Odnos mase grede i mase tela jen. Odrediti najveu brzinu kojom moe da sekree paralelepiped, da posle njegovog elas-

tinog sudara sa vertikalnim zidom, telo nepadne sa njega (vidi sliku). Koeficijent trenjaizmeu tela i paralelepipeda je .

Reenje:Neposredno posle elastinog odbijanja od zida, paralelepiped se vraa unazadbrzinom v

, koja je po intenzitetu jednaka brzini v

, koju je imao pre sudara.

Meutim, telo na gredi nastavlja da se kree, po inerciji, brzinom v

, koju je imalo pre

udara paralelepipeda u zid (vidi poloaje 1 i 2 na slici u reenju zadatka).


58/108

58

Poto na kretanje posmatranih tela po horizontali ne utiu direktno vertikalnesile (utiu posredno preko sile trenja), sila Zemljine tee i reakcija podloge, na slikamau reenju ove slike nisu predstavljene. Na kretanje po horizontali utiu samo sile trenja

tF

i tF

. Po Zakonu akcije i reakcije ove sile imaju isti intenzitet. Lako se moe

pokazati

mgFF tt

.

Pri najveoj brzini koju sme da ima sistem pre udara u zid, a da telo ne padne saparalelepipeda vmax, telo treba da zaustavi sila trenja na drugom kraju paralelepipeda.

Zbog ilustracije razliitih prilaza istom problemu, nastavak zadatka e biti reenna tri naina.

I nain: Pomenute sile trenja paralelepipedu i telu, prema Drugom Njutnovom zakonu,

saoptavaju usporenja:

n

g

M

mgFaM

M

t i gm

Fam

t (1)

U referentnom sistemu vezanom za paralelepiped, neposredno posle sudara

paralelepipeda i zida, telo se, prema jednaini (U10), kree brzinom:

vvvv 2rel , (2)

koja predstavlja poetnu brzinu ravnomerno usporenog kretanja tela po paralelepipedu.Usporenje tela u ovom referentnom sistemu, prema jednaini (U12), iznosi:

gn

aaa Mm

11 .

Kreui se ovim usporenjem, prema jednaini (U31), do zaustavljanja teloprelazi put:


59/108

59

ng

v

a

vs

11

2

2

2 22

.

Traena maksimalna brzina maxv , kojom moe da se kree paralelepiped pre

udara u zid, moe se odrediti iz prethodne jednaine, uzimajui da je maxvv za ls ,

i iznosi:

2

11

21max

gl

n

gl

M

mv

. (3)

II nain: U referentnom sistemu vezanom za paralelepiped kree se samo telo nanjemu. Ovaj sistem je neinercijalan, kree se ubrzanjem paralelepipeda Ma

, iji je

intenzitet dat jednainom (1). U tom

sistemu, pored sile trenja tF

, nad telom

vri rad inercijalna sila MamF

in

(vidi drugu sliku u reenju).Obe sile imaju suprotan smer od

smera brzine (pomeraja), tako da im je

rad negativan. Ako se paralelepiped pre

sudara kretao traenom maksimalnombrzinom maxv , prema jednaini (2), br-zina tela neposredno posle sudara, u

ovom sistemu, iznosi max2v . Telo se

zaustavlja na kraju paralelepipeda, zahvaljujui radu navedenih sila, koji iznosi:

M

mmgll

M

gmmgllFlFA 1

2

int

Ovaj rad je, prema jednaini (U95), jednak promeni energije tela, u ovomsluaju kinetike, pa se moe pisati:

2max

2maxk1k1k2k 2)2(

2

1mvvmEEEEmglA .

Iz ove jednaine se moe lako odrediti traena maksimalna brzina

paralelepipeda, data jednainom (3).

III nain: Izmeu trenutka neposredno posle sudara (poloaj 1 na treoj slici ureenju) i trenutka zaustavljanja tela na drugom kraju (poloaj 2 na istoj slici)paralelepipeda na sistem ne deluju spoljanje sile u pravcu x - ose, pa se na kretanjemoe primeniti Zakon o odranju impulsa.

Ako se telo zaustavi u odnosu na paralelepiped na njegovom kraju, brzina tela i

paralelepipeda u odnosu na zemlju su iste, oznaimo je sa 0v

. U tom sluaju intenziteti

brzine paralelepipeda i tela u poloaju 1 odgovaraju traenoj maksimalnoj brzini


60/108

60

paralelepipeda maxv , pa se projekcija Zakona o odranju impulsa na x - osu moe

napisati u obliku:

0vmMmvMv . (4)

Pretpostavimo da su paralelepiped i telo neposredno posle sudara i u trenutku

zaustavljanja tela na kraju paralelepipeda rasporeeni kao na treoj slici u reenju. Zbogpretpostavljenih smerova

pomeraja u odnosu na

sile, rad paralelepipeda

nad telom iznosi 2tsF , a

rad tela nad para-

lelepipedom 1tsF , gde

su 1s i 2s odgovarajui

preeni putevi. Poto jeveliina tela mala, to je

lss 21 , pa ukupan rad

izvren nad parale-lepipedom i telom iznosi:

mglssmgmgsmgssFsFAAA mM 12121t2t

mglssmg )( 12

Ovaj rad je, prema jednaini (U95), jednak promeni energije sistema, u ovomsluaju kinetike, pa se moe pisati:

k2k1k EEEEA .

Ako se uzme u obzir da traena maksimalna brzina paralelepipeda odgovarazaustavljanju tela na njegovom kraju, prethodna jednaina se moe napisati u obliku:

222

)( 2

max2max

2 MvmvvMmmgl . (5)

Eliminacijom brzine 0v iz jednaina (4) i (5), moe se odrediti traena

maksimalna brzina, data jednainom (3).

Napomena: Treba primetiti da smo na treoj slici u reenju slobodnopretpostavili da je ls 1 , zbog ega je pomeraj tela na paralelepipedu u smeru sile

trenja tF

. Zbog toga je rad ove sile pozitivan, to moe biti na prvi pogled neobino.


61/108

61

Treba naglasiti da rad sile trenja zavisi od referentnog sistema iz koga se

kretanje posmatra. Rad pojedinih sila trenja, kao unutranjih sila nekog sistema, moebiti pozitivan u nekom referentnom sistemu. Da bi to bilo ilustrovano pretpostavljen je

raspored tela prikazan na slici. Meutim, ukupan rad svih sila trenja u izolovanomsistemu je uvek negativan, pa smanjuje energiju sistema.

Korienjem zakona dinamike, lako se moe pokazati da je u ovom zadatku02 s , odnosno da smer pomeraja na treoj slici u reenju nije dobro pretpostavljen, pa

je i rad sile trenja koja deluje na telo na paralelepipedu negativan.

1.92.O. Brod Aje dugaak lA= 65 m, a brod B lB= 40 m. Ako

brodovi plove rekom u istom smeru, brod A prestie brod Bza t1=70 s. Ako se brodovi kreu jedan drugom u susret, njihovomimoilaenje traje t2 = 14 s. Odrediti brzine brodova na mirnojvodi, ako njihovi motori u svim sluajevima rade istom snagom.

Reenje: Vreme potrebno za prestizanje i mimoilaenje brodova zavisi odrelativne brzine jednog broda u odnosu na drugi, a ne zavisi od referentnog sistema

odakle se kretanje posmatra, pa ni od kretanja vode. Najjednostavnije je posmatrati

navedeno kretanje iz referentnog sistema vezanog za jedan od brodova. U tom sistemu

drugi brod prelazi put BA ll i pri prestizanju i pri mimoilaenju. Iz referentnog

sistema vezanog za brod B, intenzitet brzine kojom brod A prolazi pored njega u

sluaju prestizanja iznosi BA vv , a u sluaju mimoilaenja BA vv . Ako primenimo

jednainu (U17) na ravnomerno kretanje pri prestizanju i mimoilaenju moe se pisati:

1tvvll BABA i 1tvvll BABA .

Iz ovog sistema jednaina se mogu odrediti traene brzine brodova u odnosu navodu, koje iznose:

s

m5.4

2 21

21

tt

ttllv BAA i

s

m3

2 21

21

tt

ttllv BAA .

Ovo su, istovremeno, i traene brzine brodova u odnosu na obalu, kada voda miruje.


62/108

62

2.92.O. Kompozicija voza se sastoji od vagona iste duine.Posmatra, koji u trenutku polaska voza stoji pored prednje strane

prvog vagona, primetio je da je ovaj vagon proao pored njega zavreme s41t . Ako se voz kree ravnomerno ubrzano, odrediti

koliko e vremena pored posmatraa prolaziti deveti vagon.Zanemariti rastojanje izmeu vagona.

Reenje: Posmatrajmo kretanje prvog, prvih osam i prvih devet vagona. Potosu sva ova kretanja ravnomerno ubrzana, bez poetne brzine, preeni putevi iodgovarajua vremena prolaska pored posmatraa, povezani su jednainama (vidi

jednainu (U27)):

21

2

1atl , 28

2

18 atl i 29

2

19 atl .

Vreme kretanja devetog vagona pored posmatraa je jednako razlici vremenaprolaska prvih devet (t9) i vremena prolaska prvih osam vagona (t8), odnosno:

s7.0)223(189 tttt .

4.92.O. Koliko bi trebalo da traje dan na Zemlji da bi tela na

njenom Ekvatoru bila u besteinskom stanju? Poluprenik Zemlje

na Ekvatoru iznosi R= 6370 m.

Reenje: Na Ekvatoru na telo mase m deluju sila Zemljine tee gm

i normalna

reakcija podloge N

(vidi prvu sliku u reenju zadatka), pa se Drugi Njutnov zakon zanjegovo kretanje moe napisati u obliku:

Ngmam

.

Projekcija ove jednaine na x- osu ima oblik:

Nmgma cp , (1)

gde su cpa centripetalno ubrzanje i cpma centripetalna sila. Teina tela je po intenzitetujednaka normalnoj reakciji podloge, odnosno:

22

cp

2

TmRmgmRmgmamgNQ

. (2)


63/108

63

U besteinskom stanju tela nedeluju na podlogu, pa time ni podloga

na njih, tj. Q N 0. Posleuvrtavanja ovog uslova u prethodnu

jednainu, mogue je odrediti periodrotacije Zemlje, pri kome bi postijalo

bestein-sko stanje na Ekvatoru, kojiiznosi:

421s56002 h g

RT .

Napomena 1. Zadatak je reentako to je kretanje posmatrano iz referentnog sistema vezanog za osu rotacije Zemlje,koji se moe smatrati priblino inercijalnim, ako se zanemari kretanje Zemlje okoSunca. U tom sistemu telo kruizahvaljujui postojanju stvarne,centripetalne sile. Reimo ga i uneinercijalnom sistemu, vezanom za

telo na Ekvatoru. U njemu pos-matrano

telo miruje, a na njega, prema

jednainama (U87) i (U88), poredpomenutih deluje i inercijalna,

centrifugalna sila amF

cf (vididrugu sliku u reenju), pa se DrugiNjutnov zakon, za kretanje tela u ovom

sistemu, moe napisati u obliku:

amNgmFNgm

cf0 .

Poto je ubrzanje neinercijalnog sistema u stvari centripetalno ubrzanjereferentnog tela na Ekvatoru, ova jednaina je ekvivalentna jednaini (1), pa bi da ljereavanje zadatka teklo na ve opisani nain.

Napomena 2. Malo komplikovanija varijanta zadatka bi zahtevala i odreivanje

ubrzanja Zemljine tee, ako su poznati masa Zemlje M i univerzalna gravitacionakonstanta . U tom sluaju bi, prema jednaini (U85), jednaina (2) imala oblik:2

2

2

TR

mMNQ

,

pa bi traena duina dana iznosila:

421s56002 h M

RT

.


64/108

64

7.92.RG. Tenk se kree po pravoj putanji prema topu stalnombrzinom v = 36 km/h. Kojom poetnom brzinom treba ispalitigranatu iz topa, pod uglom = 30, da bi pogodila tenk, koji se u

trenutku ispaljivanja nalazio na rastojanju d= 8 km?

Reenje: Ispaljena granata se kree kao kosi hitac (vidi sliku u reenju). Izgeometrijskih odnosa (vidi jednaine (U125) i (U126)) sledi da komponente poetnebrzine granate u smeru koordinatnih osa iznose:

0023 vv x i 00

21 vv y .

Prema jednaini (U39), domet granate, kao domet kosog hica, iznosi:

g

v

g

vvx

yx

2

32 2

000max .

Prema jednaini (U39), ukupno vreme leta granate, kao vreme kretanja kosoghica, iznosi:

g

v

g

vt

yu

002

.

Za vreme leta granate tenk prelazi put:

g

vvvts u

0 .

Da bi granata pogodila tenk, domet granate mora biti jednak razlici poetnograstojanja top - tenk i puta koji tenk pree za vreme leta granate ( sdx max ).

Uvrtavanjem dobijenih veliina u ovu jednakost, i sreivanjem izraza, moe se dobitikvadratna jednaina za odreivanje traene poetne brzine granate:

0223 020 gdvvv .


65/108

65

Fiziki smisao ima samo pozitivno reenje jednaine, pa traena poetna brzina granateiznosi:

s

m2951

321

3

3

32

38422

2

0

v

gdvgdvvv .

9.92.RG. Metalna kugla mase M pusti se da slobodno pada sa

visine H = 40 m. Istovremeno se sa zemlje, ispod kugle, ispali

metak mase m u njenom pravcu, poetnom brzinom v0= 200 m/s.Prilikom sudara metak se zabije u kuglu i ostaje u njoj. Odrediti

odnos masa kugle i metka M/m, pri kome e sistem kugla-metakposle sudara poeti da pada bez poetne brzine. Zanemaritidimenzije kugle.

Reenje: Neka je x- osa usmerena vertikalno du putanje tela, sa koordinatnimpoetkom na povrini zemlje. Kretanja kugle i metka su ravnomerno ubrzana saubrzanjem Zemljine tee (vidi sliku u reenju). Jednaine kretanja ovih tela odrediemokorienjem jednaine (U22), gde je:

za kuglu: Hx 0 00 xv gax ,

za metak: 00 x 00 vv x gax .

Jednaine kretanja kugle i metka mogu se napisati u obliku:

21

2

1gtHx i 202

2

1gttvx .

Do sudara dolazi kad su koordinate kugle i metka jednake ( 21 xx ), odnosno,

kada je:

20

2

2

1

2

1gttvgtH .

Odavde se moe odrediti vreme nakon koga dolazi do sudara,

koje iznosi:

0v

Ht .

Brzine kugle i metka neposredno pre sudara, prema

jednaini (U19), posle uvrtavanja vremena, mogu se napisati uobliku:

0k

v

gHgtv

000m

v

gHvgtvv .


66/108

66

Poto sudar metka i kugle traje veoma kratko, vai Zakon odranja impulsa: vMmvMvm

km .

Prema uslovu zadatka, brzina sistema kugla-metak posle sudara (v) treba da bude

nula, pa se projekcija ove jednaine na x- osu moe napisati u obliku:

0km vmMMvmv ,

pa je traeni odnos masa jednak:

1011

20

k

m

gH

v

v

v

m

M

.

12.92.RP. O vrh masivnog stuba, koncem

zanemarljive mase, duine l, obeena je kuglaradijusa R, i naslonjena na stub (vidi sliku).

Stub je privren za kolica koja se kreu uoznaenom smeru ubrzanjem koje se menja savremenom po zakonu ktta , gde je k

pozitivna konstanta. Posle koliko vremena edoi do odvajanja kugle od stuba?

Reenje: Postavimo koordinatni sistem

kao na prvoj slici u reenju zadatka. Negativnoubrzanje kolica u smeru njihovog kretanja,

odnosno u smeru x - ose, znai da kolica, ustvari, imaju ubrzanje u suprotnom smeru a

, iji intenzitet iznosi kt . Dok je kuglaoslonjena na stub, na nju deluju sila Zemljine tee gm

, sila normalne reakcije veze

stuba N

i sila zatezanja konca T

, pa se Drugi Njutnov zakon za kretanje kugle moenapisati u obliku:


67/108

67

TNgmam

.

Projekcije ove jednaine na x i yosu mogu se napisati u obliku:

xTNam i

yTmg0 .

Iz geometrijskih odnosa, tj.

slinosti trougla AVS i trougla sila(vidi drugu sliku u reenju), moe

se dobiti:

Rl

RTTx

Rl

lRlTTy

22.

U trenutku kada stub prestane delovati na kuglu, tj.

kada postane 0N

, dolazi do odvajanja kugle od stuba. Ako

se iskoristi ovaj uslov, iz prethodnih jednaina se lako moedobiti:

lRl

Rmg

Rl

R

lRl

RlT

Rl

RTTmktam yx

22 22

Iz poslednje jednaine se moe odrediti vreme, nakon koga e se kugla odvojitiod stuba, koje iznosi:

lRl

R

k

gt

22

.

13.92.RP. Ako nau planetu moemo smatrati homogenom kuglomradijusa R= 6372 km, odrediti na kojoj je dubini ispod povrine

Zemlje ubrzanje Zemljine tee jednako ubrzanju na istoj tolikojvisini iznad njene povrine. Pri reavanju zadatka voditi rauna otome da na telo na dubini h ne deluje sloj Zemlje sa manje dubine,

odnosno da se delovanja pojedinih delova ovog sloja na telo poni-tavaju.

Reenje: Ako se masa Zemlje 3

3

4RM uvrsti u jednainu (U85)

moe se dobiti ubrzanje Zemljine tee na visini h iznad povrine Zemlje, koje iznosi:


68/108

68

23

2 3

4

hR

R

hR

Mgh

.

Prema tekstu zadatka, za privlaenje tela na dubini h je odgovoran deo Zemljepoluprenika R - h. Masa tog dela Zemlje M , moe se odrediti izjednaavanjemgustine Zemlje izraenepreko mase cele Zemlje i preko mase njenog posmatranog dela,odnosno:

33

3

4

3

4hR

M

V

M

R

M

V

M

.

Odavde je masa dela Zemlje koji privlai telo na dubini h jednaka:

3

3

R

hRMM

.

Analogno jednaini (U84), za ubrzanje Zemljine tee na dubini hse moe dobiti:

hR

hR

Mgh

3

42

.

Prema uslovu zadatka je hh gg . Izjednaavanjem izraza dobijenih za ove

veliine, moe se dobiti kubna jednaina po h:

022223 RRhhhhRRhh .

Trivijalno reenje ove kubne jednaine je h= 0. Druga dva reenja su reenja kvadratne

jednaine 022 RRhh , koja glase:

Rh2

5121

.

Poto je pretpostavljeno da h predstavlja apsolutne vrednosti visine i dubine,negativno reenje nema fizikog smisla. Prema tome, traena dubina iznosi:

km39382

15 Rh .


69/108

69

14.92.RP. Pun homogeni valjak, radijusaRi maseM,

moe slobodno da rotira oko nepokretne horizontalneose koja prolazi kroz centre njegovih bazisa. Na

valjak je jednim slojem namotano tanko neistegljivo

ue duine l i mase m, kao na slici. Odrediti ugaonoubrzanje valjka u funkciji duine x odmotanog delaueta. Uzeti da je centar mase namotanog dela uetana osi cilindra. Moment inercije valjka oko ove ose

iznosi 22MRI .

Reenje: Umesto odmotanog dela ueta, moe

se posmatrati teg iste mase koji visi na neistegljivojniti zanemarljive mase (vidi slike u reenju). Masa

odmotanog ueta moe se odrediti iz proporcije:

l

x

m

mx i iznosil

mxmx .

Poto je ue tanko, pa su mu sve take praktino na jednakoj udaljenosti od oserotacije, moment inercije ueta na valjku je jednak momentu inercije materijalne take

iste mase na istoj udaljenosti od ose rotacije, i iznosi 2Rmm x . Moment inercijevaljka i ueta namotanog na njega iznosi:

222 122

1R

l

xm

MRmmMRI x

.

Valjak i deo ueta na njemu rotira sila zatezanja niti, pa Osnovni zakon dinamikerotacije ovog sistema glasi:

IRT .


70/108

70

Na deo ueta koji visi deluju sila Zemljine tee i sila zatezanja, pa se DrugiNjutnov zakon za njegovo kretanje moe napisati u obliku:

Tgmam xx ,

Ako se uzme u obzir da je ubrzanje ueta koje visi jednako tangencijalnomubrzanju perifernih taaka valjka, odnosno, da je Raa t , vodei rauna o ranijim

izrazima, prethodna jednaina se moe napisati u obliku:

Rl

x

m

M

gl

mx

Rl

mx

12 .

Iz ove jednaine se moe izraziti traena zavisnost ugaonog ubrzanja valjka odduine ueta koje visi x, koja ima oblik:

xmMRl

mgx

2

2

.

15.92.RP. tajnerova teorema glasi: Ako je I0moment inercije tela mase m oko ose O koja prolazi

kroz njegov centar mase, onda je njegov moment

inercije oko ose O'paralelne osi O i na rastojanju d

od nje dat izrazom:2

0 += mdII .

U svetlu ove teoreme odrediti moment inercije

komada tanke homogene ice duine l i mase m,savijenog u obliku dva jednaka polukruga, koji su

tako spojeni da ine latinio slovo "S" (vidi sliku),oko ose normalne na ravan slike i koja prolazi kroz

jedan njegov kraj (taka A na slici).


71/108

71

Reenje: Moment inercije je aditivna veli-ina, pase moment inercije date ice moe odrediti kao polovinamomenta inercije ice u obliku broja 8, sastavljenog odkrugova navedenog poluprenika (vidi sliku u reenjuzadatka).

Poto je l obim oba polukruga, njihov poluprenikiznosi:

2

lR .

Poto je ica tanka, moment inercije jedne kruneice, oko ose koja prolazi kroz njen centar, i normalne na

ravan u kojoj lei, iznosi: 20 mRI .

Po tajnerovoj teoremi, moment inercije oko traeneose, za krug 2 koji dodiruje osu, iznosi:

2222101 2mRmRmRmdII ,

dok za krug 1 iznosi:

2222202 103 mRRmmRmdII .

Zbog aditivnosti momenta inercije, moment inercije "osmice" je jednak zbiru

ova dva momenta, dok je traeni moment inercije ice jednak njegovoj polovini,odnosno:

2

2

221

2

36

2mlmR

III

.

Savezno takmienje 1992, Obrenovac

16.92.S. Skaka naputa rampuskakaonice brzinom sm340v , u

horizontalnom smeru. Visina rampe

iznosi h= 4.2 m u odnosu na podnoje,koje zaklapa ugao od 45 prema

horizontali (vidi sliku). Odrediti duinuskoka skakaa d, tj. rastojanje izmeu

podnoja skakaonice i mesta gde skakadodirne podlogu, ako se trenja zane-

maruju.


72/108

72

Reenje: Skaka se moe smatrati materijalnom takom u opisanom kretanju, koje seodvija po zakonima kretanja kosog hica. Ako koordinatni sistem postavimo kao na slici

u reenju zadatka, jednaine kretanja skakaa imaju oblik:

vtx i 22

1gthy .

Eliminacijom vremena iz ovih jednaina, moe se dobiti jednaina putanje skakaa,koja ima oblik:

2

2

2vgxhy .

Poto je podloga nagnuta poduglom od 45 u odnosu na ho-

rizontalu, dodirna taka skakaa sapodlogom je sputena ispod podnojaza isto rastojanje 0x , koje skaka pree

du x - ose (vidi sliku u reenju).Uvrtavanjem koordinata mesta dodiraskakaa i podloge ( 0xhy i

0xx ) u jednainu putanje, moe sedobiti:

2

20

02v

gxhxh ,

odnosno:

022 2

022

0 hvxvgx .

Reenja ove kvadratne jednaine po 0x (vidi jednainu (U127) jesu:

g

ghvvvx

242

0

2

21

.

Fiziki smisao ima samo pozitivno reenje jednaine, pa je:

g

ghvvvx

222

0

2

21

,

a traeno rastojanje iznosi:

m33822

2 2

0

ghvv

g

vxd .


73/108

73

6.93.RG. ovek je odveslao iz pristanita niz vodu s1= 20 km ivratio se nazad posle T= 7 asova. Pri povratku, na rastojanju s2=12 km od pristanita, sreo je splav, koji je pored pristanita proaou trenutku kada je on krenuo na put. Odrediti brzinu vnkojom je

amac plovio niz reku. Pretpostaviti da je ovek sve vremeputovanja veslao istom snagom u pravcu toka reke i da je otpor

kretanju amca konstantan.

Reenje: Poto u zadatku nije naglaeno, podrazumeva se da je potrebnoodrediti brzinu amca u odnosu na obalu, kada plovi niz reku. Poto ovek sve vremevesla istom snagom u pravcu toka reke i poto je otpor kretanju amca konstantan,

prema jednaini (U99), brzina oveka u odnosu na reku je konstantna, oznaimo je sa

1v .

Brzina amca u odnosu na obalu je jednaka zbiru brzine amca u odnosu na rekui brzine toka reke u, pri kretanju amca niz reku, odnosno razlici ovih brzina, prikretanju amca uz reku. Prema tome, vreme kretanja amca niz vodu i vreme kretanjaamca uz vodu, do povratka u pristanite, iznose:

uv

st

1

11 i

uv

st

1

12 ,

pa ukupno vreme kretanja amca, od polaska iz pristanita do povratka u njega, iznosi:

221

1121

2

uv

vsttT

. (1)

Poto se splav kree brzinom toka reke, amac i splav su se sreli nakon vremenaust 23 od poetka kretanja amca. Ovo vreme je istovremeno jednako zbiru

vremena kretanja amca nizvodno i vremena kretanja amca uzvodno do susreta, tj. dokne pree put jednak 21 ss , pa je:

uv

ss

uv

s

u

s

~

21

~

12 .

Iz ove jednaine se lako dobija

1

2

2

11

s

suv . (2)

Eliminacijom 1v iz jednaina (1) i (2), moe se odrediti brzina reke, koja iznosi:

hkm31

)(2)2(21

221

Tss

sssu .

Traena brzina amca u odnosu na obalu, kada plovi niz reku, prema jednaini(U10), jednaka je zbiru brzine amca u odnosu na reku i brzine reke (poto obe brzineimaju isti smer), i iznosi:

h

km10

21

2

2

1

2

11

u

s

su

s

suuvv .


74/108

74

8.93.RG. Po ici u obliku krunice, poluprenika R =9.81 cm, koja rotira oko svog vertikalnog prenika, moeda klizi bez trenja mali prsten (vidi sliku).

a) Odrediti najveu ugaonu brzinu 0 pri kojoj prsten

jo uvek moe da bude u ravnotei samo na osi rotacije.b) Ako je ugaona brzina rotacije 1 = 5 rad/s, onda je

sila kojom prsten deluje na icu u stanju ravnotee

N10 21N . Odrediti pri kojoj ugaonoj brzini 2 ova

sila iznosi N104 21N .

Reenje: Pretpostavimo da u

sluaju kada je u ravnotei izvan oserotacije, prsten krui po krunici

poluprenika r (vidi sliku u reenjuzadatka). Na njega deluju sila Zemljine

tee gm

i normalna reakcija veze (ice)

N

, pa se Drugi Njutnov zakon za

njegovo kretanje moe napisati u obliku:

Ngmam

. (1)

Poto prsten krui, jedino ubrzanje

koje poseduje je centripetalno, koje iznosi2r , pa se projekcija gornje jednaine na

x - osu moe napisati u obliku:

xNmr 2

Iz slinosti trougla sile i trougla OAV, sledi:

r

R

N

N

x

.

Iz poslednje dve jednaine se moe odrediti normalna reakcija ice, koja iznosi:

2mR

r

RNN x .

Projekcija jednaine (1) na y- osu ima oblik yNmg0 , pa je mgNy . Kada je

prsten na osi rotacije normalna reakcija veze je u ravnotei sa silom Zemljine tee,odnosno mgNN y .

a) Kada je prsten u ravnotenom poloaju izvan ose rotacije, tada je 0xN , pa

je:

mgNNNN yyx 22 ,


75/108

75

odnosno:

mgmR 2 .

Najvea ugaonabrzina pri kojoj prsten moe biti u ravnotei samo na osirotacije, prema ovoj nejednaini, jednaka je:

s

rad10max

R

g .

b) Kada ica rotira ugaonom brzinom 1 koja je, prema tekstu zadatka, manja

od max , prsten je u ravnotei na osi rotacije, pa je

mgN 1 , odakle jeg

Nm 1

Poto je, prema tekstu zadatka,

mgNN 12 ,

to je u drugom sluaju ravnotea prstena uspostavljena izvan ose rotacije, pa je

222 mRN ,

a traena ugaona brzina iznosi:

s

rad20

1

222

R

g

N

N

mR

N .

9.93.RG. ovek mase m1= 60 kg stoji na dasci mase m2=30 kg. Krajevi daske su vezani uadima, kao na slici.Odrediti silu, kojom ovek treba da vue u vertikalnom

pravcu kraj ueta koji dri, da bi centar mase sistema bio uravnotei. Masu koturova i uadi zanemariti. Pretpostaviti daovek stoji na takvom mestu da je mogue uspostavitiravnoteu sistema.

Reenje: Da bi telo bilo u ravnotei, moraju bitijednaki nuli zbir svih sila i zbir svih momenata sila koji na

njega deluju (vidi jednainu (U80). Momenti sila zavise odpoloaja njihovih napadnih taaka. Tekstom zadatka ovipoloaji nisu odreeni. Odavde se moe zakljuiti da


76/108

76

poslednja reenica u tekstu zadatka kazuje oispunje-nosti uslova da zbir momenata sila koje

deluju na posmatrana tela bude jednak nuli.

Prema postavci zadatka na tela u sistemu ne

deluju sile po horizontali. Ravnotea tela seostvaruje kada se izjednai zbir intenziteta sila kojena njega deluju vertikalno navie sa zbiromintenziteta sila koje na njega deluju vertikalno

nanie. Ako normalnu reakciju podloge, tj. silu ko-

jom daska deluje na oveka oznaimo sa N

, tada

ovek na dasku deluje, po Zakonu akcije i reakcije,

silom N

istog intenziteta, a suprotnog smera.Oznaimo sile zatezanja u uadima kao na

slici u reenju. Poto je masa koturova zanemarljiva,iz uslova ravnotee nieg kotura sledi da je TT 21 ,

pa se uslovi ravnotee za oveka i dasku mogunapisati u obliku:

gmNT 1 ,

NgmTT 21 .

Eliminacijom N i T iz ovih jednaina,moe se odrediti sila zatezanja u uetu koje driovek, u ravnotei, odnosno, traena sila kojomovek treba da vue ue, koja iznosi:

N220)(4

121 gmmT .

Napomena: Daju se i zadaci u kojima, pored

sile kojom ovek treba da vue ue, treba odrediti i mesto na kome ovek mora da stoji,da bi sistem bio u ravnotei. Pri tome se u zadatku daju dimenzije daske. Za reenjeovakvog zadatka treba iskoristiti i uslov ravnotee momenata sile.

10.93.RG. Na horizontalnom stolu lei

telo mase M = 2 kg, a na njemu drugo,manje telo, mase m = 1 kg. Tela su

povezana neistegljivom niti, koja je

prebaena preko kotura (vidi sliku). Maseniti i kotura su zanemarljive. Odrediti

horizontalnu silu F, kojom treba delovati

na donje telo da bi se ono udaljavalo od

kotura konstantnim ubrzanjem a=g/2.

Koeficijent trenja izmeu tela iznosi =

0.5, a trenje izmeu donjeg tela i stola moe da se zanemari.


77/108

77

Reenje: Poto je nit neistegljiva, ubrzanja oba tela su istogintenziteta a, a suprotnog smera (vidi sliku u reenju zadatka). Poto je masa koturazanemarljiva, intenzitet

sile zatezanja je jednak u

celoj niti. Na gornje telo

deluju: sila zatezanja niti

T

, sila trenja tF

,

normalna reakcija veze

N

od donjeg tela i sila

Zemljine tee gm

, pa se

Drugi Njutnov zakon za

njegovo kretanje moenapisati u obliku:

gmNFTam

t ,

a njegove projekcije na x i y osu u obliku:

tFTma mgN0 . (1)

Poto je iz poslednje jednaine mgN , to je

mgNF t .

Na donje telo deluju: sila F

, sila zatezanja niti T

, sila trenja tF

, normalna

reakcija veze od gornjeg tela N

, normalna reakcija veze podloge 1N

i sila Zemljine

tee gM

, pa se Drugi Njutnov zakon za njegovo kretanje moe napisati u obliku:

gMNNFTFaM

1t

Projekcija ove jednaine na x - osu ima oblik:

tFTFMa . (2)

Po Zakonu akcije i reakcije sile trenja, kao sile meusobnog delovanja, imaju istiintenzitet, odnosno, mgFF tt . Ako se iskoristi uslov zadatka, da je 2ga ,

jednaine (1) i (2) mogu biti napisane u obliku:

mgTg

m 2

, mgTFg

M 2

.


78/108

78

Posle sabiranja poslednje dve jednaine, lako se moe odrediti traena sila, kojaiznosi:

N5.243

2

12

2

gmMmg

gMmF .

Napomena: Da trenje izmeu donjeg tela i podloge nije zanemarljivo, izprojekcije jednaine (2)na y - osu, mogli bismo odrediti reakciju veze podloge 1N , a

time i silu trenja izmeu donjeg tela i podloge 11t1 NF , gde je 1 odgovarajui

koeficijent trenja. Pri tome je, po Zakonu akcije i reakcije mgNN .

11.93.RP. Klin ABC, maseM, moe daklizi po horizontalnoj podlozi bez trenja.

Po ovom klinu moe da klizi manji klinEFG mase m. Odrediti pomeranje veegklina kada manji sklizne iz poloaja ukome se temena Ci Epoklapaju, kao na

slici, u poloaj u kome se temena Bi Gpoklope. Duine stranica klinova su a, bi c, odnosno, e, f i g.

Reenje: U vertikalnom pravcu na sistem deluju spoljanje sile, zbog kojih secentar mase sistema sputa. Nasistem u pravcu podloge ne deluju spoljanje sile, dokunutranje sile (sile trenja, kao sile meusobnog delovanja klinova) ne mogu pomeriticentar mase sistema.

Postavimo x -osu horizontalno, sa koordinatnim poetkom u centru mase veegklina S1(vidi sliku u reenju zadatka). Jednakost koordinata centra mase sistema pre iposle posmatranog kretanja, prema jednaini (U58), moe se napisati u obliku:

mM

xmxM

mM

mxM

2120 ,

odakle je

221 xxmxM ,


79/108

79

gde je 1x horizontalno pomeranje veeg

klina ulevo. Horizontalno pomeranje

manjeg klina udesno, u odnosu na veiklin, jednako je promeni x - koordinate

centra mase S2manjeg klina ( 22 xx ).

Zbir ova dva pomeranja je jednak

ukupnom relativnom pomeranju klinova

gc , odnosno:

gcxxx 221 .

Iz poslednje dve jednaine lakose moe odrediti traeno pomeranjeveeg klina, koje iznosi:

gcmM

mx

1 .

Napomena 1. Treba primetiti da je na slici pretpostavljeno da su x -koordinate

centra mase manjeg klina pozitivne. U zavisnosti od odnosa veliina klinova, nagibnogugla i homogenosti gustine klinova, neka od ovih veliina moe biti i negativna. Svenavedene jednaine vae i u tom sluaju.

Napomena 2. Zadatak je za nijansu tei od originalne verzije. Naime, uoriginalnoj verziji zadatka je reeno da manji klin po veem klizi bez trenja. Zbog toga,za reavanje ove verzije zadatka, nije bilo neophodno poznavanje injenice daunutranje sile ne mogu pomeriti centar mase sistema.

12.93.RP. Pet kuglica jednakih prenikarasporeeno je na horizontalnoj podlozi, kaona slici. Masa belih kuglica iznosi m a crne

kuglice 2m. Rastojanje kuglica je

zanemarljivo u odnosu na njihov prenik. Ukuglicu 5 eono udara kuglica 6 brzinom v.Objasniti kako e se kretati pojedinanekuglice nakon sudara. Kuglice smatrati

apsolutno elastinim.

Reenje: Posle apsolutno elastinogsudara mirujue kuglice mase m1 i kuglice mase m2, koja se kree brzinom v, prema

jednaini (U111), kuglice imaju brzine:


80/108

80

vmm

mv

21

21

2

i v

mm

mmv

12

122

, (1)

respektivno. Oigledno, ako se sudaraju kuglice istih masa, tada je vv 1 i 0v2 ,

odnosno, kuglica koja se kretala staje, a kuglica koja je stajala nastavlja da se kreenjenom brzinom.

Proces sudaranja u opisanom problemu odvija se na sledei nain:Poto su mase kuglica 6 i 5 iste, nakon sudara kuglica 6 se zaustavlja, kuglica 5nastavlja da se kree brzinomv. Na isti nain, nakon sudara kuglica 5 i 4, kuglica 5 sezaustavlja, a kuglica 4 nastavlja da se kree brzinom v.

Ako primenimo jednaine (1) na sudar kuglice 4 sa kuglicom 3, dvostruko veemase, mogu se odrediti njihove brzine posle sudara, koje iznose:

v3

1 i v

3

2,

respektivno. Drugim reima, prvom brzinom se kree kuglica 4 (znak minus pokazujeda se kuglica odbija unazad), a drugom brzinom se kree kuglica 3.

Istim rezonom kao u prva dva sudara, moe se zakljuiti da posle sudara kuglice4 sa kuglicom 5 i kuglice 5 sa kuglicom 6, kuglice 4 i 5 ostaju da stoje, dok se kuglica 6

kree brzinom v3

1u smeru suprotnom od smera njenog kretanja na poetku.

Ako primenimo jednaine (1) na sudar kuglice 3 sa kuglicom 2, dvostruko manjemase, mogu se odrediti njihove brzine posle sudara, koje iznose:

v9

2 i v

9

8,

respektivno. Drugim reima, prvom brzinom se kree kuglica 3, drugom kuglica 2, obeu istom smeru (ulevo).

Nakon sudara kuglice 2 sa kuglicom 1, iste mase, kuglica 1 odlazi ulevo

brzinom v9

8, a kuglica 2 se zaustavlja. Na zaustavljenu kuglicu 2 ponovo nalee

kuglica 3, dvostruko vee mase. Istim rezonom kao za prvi sudar ovih kuglica, moe se

zakljuiti da kuglica 2 posle sudara odlazi u levo brzinom v27

8, a za njom kuglica 3

brzinom v27

2.

Prema tome, posle svih sudara, najveom brzinom v27

8

se kree kuglica 1 ulevo, za

njom se kreu kuglica 2, brzinom v27

8, i kuglica 3, brzinom v

27

2. Kuglice 4 i 5

ostaju da stoje, dok se kuglica 6 kree udesno brzinom v3

1.


81/108

81

15.93.S. Jednake, glatke i homogene, ploice,pravougaonog preseka i duineL, slau se jednana drugu, kao to je pokazano na slici. Naimaksimalno rastojanje D izmeu prve i n-te

ploice, pri kome je sistem jo uvek u stanjuravnotee, ako je svaka ploica smaknuta uodnosu na ploicu ispod sebe za istu duinu.Uzeti u obzir da vai relacija:

2

1...321

nnn

.

Reenje: Razmotrimo uslov prevrtanja u sluajupostojanja samo dve ploice. Pomerimo gornju ploicu u odnosu na donju za 2Ll

(vidi sliku u reenju). Poto su ploice homogene, mase delova ploice su srazmernenjihovim duinama, pa mase gornje ploice levo i desno od take O iznose:

mgl

lL i mg

L

l.

Ako se gornja ploica zarotira za maliugao oko take O, u ravnoteni poloaj jevraa razlika momenata sile Zemljine tee kojideluju na deo ploice levo i deo ploice desnood take O, odnosno moment sile:

mglLl

mgL

llLmg

L

lL

222

To znai da je sistem u stanju stabilne ravnotee za 2Ll . Pribliavanjem l veliini

L/2 veliina ovog momenta se smanjuje, da bi pri l= L/2 bio nula. Sistem u ovompoloaju moe ostati beskonano, ali ako se gornja ploica izvede malo iz ravnotee,

dolazi do prevrtanja. To znai da je sistem u labilnoj ravnotei. Ako je 2Ll

,moment sile Zemljine tee dovodi do prevrtanja gornje ploice.

Ako je vie ploica postavljeno jedna preko druge, do prevrtanja nee doi akose centar mase svih ploica iznad najnie ploice nalazi iznad, ili na ivici, najnie

ploice. Ako x - osu postavimo horizontalno, sa poetkom u sredini najnie ploice,koordinate centara mase ploica iznad najnie (ako ih numeriemo poevi od prveiznad najnie) iznose:

lx 1 , lx 22 , ... lnxn )1( .


82/108

82

Ako se iskoristi relacija data u tekstu zadatka, koordinata centra mase ovih

ploica moe biti napisana u obliku:

n

n

nn xxxnmmm

xmxmxmx ...

1

...

...21

21

2211cm

lnnnn

ln

n

llnll

n 22

1

11...21

1)1(...2

1

1

Do prevrtanja nee doi ako je 2cm Lx , s tim da znaku jednakosti odgovara

kritian poloaj labilne ravnotee. Ako ovu nejednakost iskoristimo, moe se dobiti:

22

Ll

n ,

Prema tome, broj ploica, koje se mogu sloiti na opisani nain, iznosi:

l

Ln .

Naravno, ako lL nije ceo broj, onda je n ceo deo od lL , odnosno, najvei ceo broj

manji od vrednosti pomenutog izraza, oznaimo taj broj sa n .

Maksimalno rastojanje izmeu prve i poslednje ploice, pri kome je sistem jouvek u stanju ravnotee, iznosi:lnD )1( ,

a ako je lL ceo broj, onda se moe napisati u obliku:

Ln

nlnD 1)1(

.

Napomena: Originalan tekst zadatka nije sasvim precizan, pa dozvoljava

mogunost razliitog smicanja pojedinih ploica, to znatno oteava reavanje

problema. Originalno reenje ipak ne obuhvata ovaj sluaj, ali ne diskutuje ni reenje ufunkciji celobrojnosti odnosa lL .


83/108

83

19.93.S. Metalni lani A, mase m, vezan za krajosovine centrifugalne maine, rotira konstantnomugaonom brzinom , pri emu nit na kojoj visizaklapa sa vertikalom ugao = 45 (vidi sliku).

Zanemarujui masu i istegljivost niti, odreditirastojanje izmeu centra mase lanca i vertikalne oseoko koje lanac rotira.

Reenje: Na lani deluju sila Zemljine tee

gm

i sila zatezanja niti T

, pa se Drugi Njutnov zakon

za kretanje centra mase (CM) lania moe napisati u

obliku:

Tgmam

,

a njegove projekcije na x i y- ose ( vidi sliku u reenju) u obliku:

TTma xx2

2 i mgTmgTma yy

2

2.

Poto se centar mase lania ne kree povertikali, to je 0ya , a poto krui oko ose

rotacije, ubrzanje u pravcu x - ose jecentripetalno, odnosno:

2cp raax ,

pa se gornje jednaine mogu napisati u obliku:

Tmr2

22 i

mgT2

20 .

Eliminacijom sile zatezanja iz poslednjih

jednaina, moe se odrediti traena udaljenostcentra mase od ose rotacije, koja iznosi:

2

gr


84/108

84

Napomena: Oigledno, traeno rastojanje ne zavisi od mase lania. esto se uzadacima trai i odreivanje sile zatezanja u niti, koja zavisi od ove mase. Ona se lakoodreuje iz gornjih jednaina, i iznosi:

mgT 2 .

4.94.O. Na horizontalnu povrinu supostavljena dva tela ije su mase m1= 100g i m2= 200 g. Tree telo, mase m3= 500

g, visi na niti prebaenoj preko koturazanemarljive mase (vidi sliku). Tela su

meusobno povezana neistegljivom nitizanemarljive mase. Koeficijent trenja

izmeu prvog tela i podloge iznosi 1 =

0.5, a izmeu drugog tela i podloge iznosi 2 = 0.4. Odrediti intenzitet ubrzanja

sistema i sile zatezanja u nitima.

Reenje: Poto je nitneistegljiva, sva tela se kreuubrzanjem istog intenziteta,

oznaimo ga sa a. Na prvo i drugo

telo deluju sile trenja gm11 igm22 , respektivno (vidi reenje

zadatka 1.91.RG) i odgovarajuesile zatezanja niti (vidi sliku u

reenju). Poto je po Zakonu akcije ireakcije 22 TT , projekcije jed-

naina za Drugi Njutnov zakon, napravce kretanja, mogu se, za sva tri

tela, napisati u obliku:

gmTam 1111 ,

gmTTam 22122 i

233 Tgmam ,

gde su T1 i T2 sile zatezanja u nitima. Sabiranjem gornjih jednaina moe se odreditiubrzanje tela:

2321

22113

s

m54.4

g

mmm

mmma

.


85/108

85

Iz gornjih jednaina mogu se odrediti i sile zatezanja u nitima, koje iznose:

N94.0)1()(

)( 1321

13212111

gm

mmm

mmgamT

i

N98.0)1()1(

)( 3321

221132

gm

mmm

mmagmT

.

7.94.RG.Sistem od tri zupanika, iji su poluprenici R1= 15 cm iR2= R3= 10 cm, ima osovine poluprenika r1= r2= 5 cm i r3=8 cm (vidi sliku). Osovine drugog i treeg zupanika su takoenazubljene. Prenos sa prvog na trei zupanik se ostvaruje nasledei nain: zupci prvog zupanika pokreu zupce na osovinidrugog zupanika, a zupci na njegovom obodu pokreu zupce naosovini treeg zupanika. Na osovinu prvog zupanika jenamotano ue koje se vue brzinom v= 1 m/s, a na obod treegzupanika je namotano ue na koje je obeen teg. Izraunati brzinupodizanja tega ako se zanemari veliina zubaca zupanika iproklizavanje izmeu njih.

Reenje: Linijska brzina taaka po obodu osovine prvog zupanika je jednakabrzini vuenja kanapa. Ugaona brzina rotacije prvog zupanika i linijske brzine taakapo njegovom obodu iznose:

11

r

v i

1

1111

r

vRRv .


86/108

86

Poto nema proklizavanja, poslednja brzina je jednaka linijskoj brzini perifernihtaaka osovine drugog zupanika. Ugaona brzina rotacije ovog zupanika i linijske

brzine taaka po njegovom obodu iznose:

21

1

2

12

rr

vR

r

v

21

21222

rr

RvRRv .

Na slian nain se moe odrediti i ugaona brzina rotacije treeg zupanika, koja iznosi:

321

21

3

23

rrr

RvR

r

v .

Linijska brzina taaka po obodu treeg zupanika, koja je istovremeno jednakatraenoj brzini podizanja tega, iznosi:

s

m5.7

321

321333

rrr

RRvRRv .

9.94.RG. Odrediti gustinu planete ako je na njenom Ekvatoru

istezanje opruge dinamometra 10% manje nego na polovima i ako

dan na toj planeti traje T = 6 h. Zanemariti razliku izmeupoluprenika planete na polu i Ekvatoru.

Reenje:Posmatrajmo pojavu iz inercijalnog sistema. Na

telo obeeno na oprugu deluju gravitaciona sila gF

i sila

elastinosti opruge eF

(vidi sliku), pa se Drugi Njutnov zakon

za kretanje tela mase m moe napisati u obliku:

eg FFam

. (1)

Tela na Ekvatoru krue po krunici poluprenikajednakog polupreniku planete R, pa imaju centripetalno

ubrzanje 2R usmereno ka centru planete. Ako usmerimo x -

osu ka centru planete i ako iskoristimo Njutnov zakon

gravitacije, projekcija ove jednaine na x- osu moe se pisati u obliku:


87/108

87

ekve,2

22 2

FR

mM

TmRmR

,

gde je M masa planete.

Telo, obeeno o dinamometar na polu, miruje, pa se projekcija jedna ine (1) nax- osu moe pisati u obliku:

pole,20 F

R

mM .

Elastina sila opruge je srazmerna po intenzitetu promeni duine (istezanju)

oprugel , pa se, posle izraava

nja elasti

nih sila iz prethodnih jednaina, moe pisati:

2

2ekvekve,

2

TmR

R

mMlkF

2polpole,R

mMlkF ,

gde je k krutost opruge. Poto je odnos istezanja opruga, prema uslovu zadatka,

polekv 9.0 ll , posle deljenja poslednje dve jednaine, moe se dobiti:

9.021

23

pol

ekv

TMR

ll

.

Traena gustina planete, moe se odrediti iz poslednje jednaine i iznosi:

323m

kg03.3

1.0

3

4

3

TR

M

V

M

.

10.94.RG. Homogen valjak, mase m1 = 1 kg i

poluprenika R = 30 cm, moe slobodno da rotiraoko horizontalne ose rotacione simetrije, zahvaljujuiosovini koja je privrena na postolje mase m2= 2kg (vidi sliku). Na cilindar je namotano neistegljivoue, zategnuto silom F = 15 N, u horizontalnompravcu. Koeficijent trenja izmeu postolja i podlogeje = 0.4. Odrediti ugaono ubrzanje cilindra i

ubrzanje ueta, ako se mase ueta i osovine moguzanemariti.


88/108

88

Reenje: Na sistem cilindarpostolje deluju sila

F

, sila trenja tF

, sila Zemljine tee gmm

)( 21 i

reakcija podloge N

(vidi sliku u reenju), pa se DrugiNjutnov zakon, za kretanje centra mase sistema, moenapisati u obliku:

NgmmFFamm

)()( 21t21 .

Projekcije ove jednaine na x i y osu mogu senapisati u obliku:

t21 )( FFamm Ngmm )(0 21 .

Ako se zna da je NF t , iz poslednje dve jednaine lako se moe odrediti

ubrzanje celog sistema u odnosu na podlogu, koje iznosi:

gmm

Fa

21

(1)

Cilindar rotira moment sile F

, pa se Osnovni zakon dinamike rotacije za

cilindar moe napisati u obliku:

FRRmI 212

1,

gde je ugaono ubrzanje cilindra, koje iznosi:

21 s

rad

3

202

Rm

F .

Ubrzanje ueta u odnosu na osu rotacije, odnosno u odnosu na postolje, jednakoje tangencijalnom ubrzanju perifernih taaka diska, koje iznosi R . Ubrzanje ueta uodnosu na podlogu je jednako zbiru ubrzanja postolja i ubrzanja ueta u odnosu napostolje, pa je:

2121

us

m1.2

2

m

Fg

mm

FRaa .

Napomena:Originalno reenje je pogreno, jer je pretpostavljen pogrean smersile trenja. U originalnom zadatku je data sila od 1 N, koja nije dovoljna za translatorno

pokretanje sistema kao celine.


89/108

89

Iz jednaine (1) se vidi da je za translatorno pokretanje sistema ( 0 )neophodno da sila kojom se vue konopac bude

)( 21 mmgF .

Ako to nije sluaj, valjak rotira oko nepokretne ose, odnosno, postolje ostajenepokretno. Ubrzanje ueta je tada jednako tangencijalnom ubrzanju perifernih taakadiska R , odnosno:

21 s

m2

2

m

FRa .

Poto u originalnom tekstu zadatka nije zadovoljena navedena nejednakost, ovoje tano reenje originalnog zadatka u optim brojevima.

11.94.RP. U sistemu prikazanom na slici masa kuglice je n =

2 puta manja od mase tapa, ija je duina l = 1.5 m. Upoetnom trenutku se kuglica nalazila naspram donjeg krajatapa. Posle koliko vremena e se kuglica nai naspramgornjeg kraja tapa? Zanemariti mase koturova i niti,istegljivost niti i trenja u sistemu.

Reenje: Poto je masa koturova zanemarljiva, silazatezanja u niti 1 je dvostruko vea od sile zatezanja u niti 2,

koju emo oznaiti sa T

(vidi slikuu reenju zadatka). Poto na tap ikuglicu deluju stalne sile, oba tela

se kreu sa konstantnimubrzanjem. Iz geometrije problema

je oigledno da pri kretanju tapprelazi dvostruko dui put od

kuglice. Iz jednaine (U26) moe se zakljuiti da je zbogtoga ubrzanje tapa

a dvostruko vee od ubrzanja kuglicea

( aa 2 ).

Na kuglicu deluju sila zatezanja niti T

2 i sila

Zemljine tee gm

. Ako pretpostavimo da je ubrzanje

kuglica usmereno navie, Drugi Njutnov zakon za njenokretanje moe se napisati u obliku:

mgTma 2 .

Na tap n puta vee mase deluju sila Zemljine tee

gnm

i dvostruko manja sila zatezanja T

. Ubrzanje tapa

ima suprotan smer od ubrzanja kuglice, pa se Drugi Njutnov

zakon za njegovo kretanje moe napisati u obliku:


90/108

90

Tnmgnma 2 .

Eliminacijom sile zatezanja, iz ove dve jednaine se moe odreditiub

zbirka 1 razred

Documents