Zastosowania ciągów

• Ciąg jako pojęcie matematyczne można zrozumieć jako listę ponumerowanych elementów pewnego zbioru. Ciągiem jest więc dowolna funkcja, której argumentami są liczby naturalne. Jeśli są to wszystkie liczby naturalne dodatnie, wówczas ciąg taki nazywamy ciągiem nieskończonym. Jeśli ta funkcja jest zdefiniowana dla kolejnych liczb mniejszych lub równych pewnej liczbie n, wówczas ciąg ten jest nazywany ciągiem skończonym.

• Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich i oznaczamy (an) lub (a1, a2, ...)

• Ciągiem skończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze {1, 2, 3, ..., n} i oznaczamy (an) lub (a1, a2, ..., an)

• Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego wartości są liczbami rzeczywistymi.

• Dla ciągu f: N+→ R wartość f(n) = an nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Liczby (1, 2, 3, ..., n) nazywamy wskaĽnikami lub indeksami wyrazów.

• Jeśli mamy na myśli ciąg z reguły piszemy an zamiast a(n). Pisząc (an) mamy na myśli pewien cały ciąg, czyli wszystkie wyrazy, a nie tylko jeden wyraz.

Ciągi skończone

Skończone ciągi rzecz jasna pojawiają się wszędzie.Wystarczy wspomnieć numery telefonów, numery kont bankowych i całe mnóstwo innych podobnych przykładów.

Ciągami są również słowa, albo ogólniej teksty.Nie są to co prawda ciągi liczbowe, tylko ciągi liter, ale z punktu widzenia matematyki warto się nimi zainteresować.

Kryptografia

Można powiedzieć, że skończonymi ciągami (najczęściej zer i jedynek) zajmuje się kryptografia.Szyfrowanie to przekształcenie pewnego ciągu znaków w inny ciąg w taki sposób, żeby można było to przekształcenie wykonać w odwrotnym kierunku, czyli z zaszyfrowanego tekstu odzyskać jego pierwotną wersję.

• Najprostsze szyfry polegają na przykład na dodaniu początkowego ciągu pewnego ustalonego ciągu, czyli klucza znanego przez nadawcę i odbiorcę wiadomości. Odbiorca, żeby odszyfrować komunikat, musi wykonać odejmowani.

• Inny prosty szyfr można otrzymać, ustalając, że będziemy zamieniać krótkie kilkuznakowe sekwencje zer i jedynek na inne sekwencje – wtedy kluczem będzie tabela zamian sekwencji.

• Oczywiście takie szyfry bardzo łatwo złamać i od setek lat nie są stosowane.

Ciągi nieskończone

• Ciągi nieskończone w obserwowanej przez nas rzeczywistości pojawiają się rzadko, jak zresztą nieskończoność w ogóle. Ale jednak czasami można je zobaczyć.

• Najprostszym przykładem są przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.

Liczby rzeczywiste

• Jak wiadomo, bardzo wiele (a nawet większość) liczb rzeczywistych ma nieskończone rozwinięcia dziesiętne. Tę własność mają liczby niewymierne (niewyrażalne jako ułamek zwykły), na przykład liczba π, która wyraża stosunek długości okręgu do jego średnicy. Ale niektóre liczby wymierne także mają nieskończone rozwinięcia dziesiętne. Różnica jest taka, że rozwinięcie liczby wymiernej jest okresowe, czyli od pewnego momentu pewna ustalona sekwencja cyfr się powtarza, natomiast rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej nie jest okresowe.

Dziękujemy za uwagę.

Mateusz Dworakowski

Mateusz Pawłowski