3636

zanimljiva matematika

broj 46 / godina 10. / 2008.

Istoga je dana na dražbi u kuæi Christie’s uistinu bilo vrlo uzbudljivo. U jutarnjim satima prodana je doktorska disertacija nobelovke Marie Curie s pos-vetom Ernestu Rutherfordu ispisanom njezinom rukom. Prodano je zatim i prvo izdanje Darwino-va djela Podrijetlo vrsta pa Einsteinova publikacija o specijalnoj relativnosti iz 1905. godine. Toga 29. listopada poslijepodne nastavljena je prodaja a u ponudi se našlo više vrijednih rukopisa i teksto-va, izmeðu ostalog i rijetko, prvoobjavljeno djelo o neeuklidskoj geometriji Lobaèevskog.

No glavni se dogaðaj u kuæi Christie’s ipak od-vijao u podne kada je na posebnoj miniaukci-ji ponuðena jedna naoko neugledna i oèerupa-na knjiga s istaknutom poèetnom cijenom od 480 000 dolara. Prethodnog je dana grèka orto-doksna crkva pokušala sprijeèiti aukciju. Ospora-vano je vlasništvo nekoj francuskoj obitelji u èijem

je posjedu knjižica bila od 1920. godine kada ju je jedan njezin èlan kupio na legalan naèin. Os-poravanju se prikljuèila i jeruzalemska patrijaršija

Arhimedov palimpsest Branimir Dakiæ, Zagreb

Na naslovnoj stranici jednih od najuglednijih svjetskih dnevnih novina, New York Timesa, 29. listopada 1998.

godine pojavila se vijest da je na dražbi u èuvenoj kuæi Christie’s za 2 milijuna dolara nepoznatom kupcu

prodana jedna stara, neugledna knjiga.

37

tvrdeæi da je knjižica ukradena. Uoèi same aukci-je sud je donio odluku da se ide u prodaju. Usli-jedilo je uzbudljivo nadmetanje izmeðu tadašnjeg grèkog ministra kulture, koji je htio otkupiti knjigu za svoju zemlju i zastupnika nepoznatog kupca. Ovaj drugi odnio je pobjedu s veæ spomenuta 2 milijuna dolara.

A o kakvoj je knjižici rijeè? Zbog èega se oko nje digla tolika bura i što je to u njoj vrijedno tolikog novca?

Knjiga je palimpsest, pergament s kojega je ostru-gan stari kako bi se upisao novi tekst. U obliku u kojem je prodana ona je molitvenik s poèetka 13. stoljeæa ispisan rukom nekog sveæenika. No taj je sveæenik prethodno odstranio raniji zapis iz 10. stoljeæa, a taj je bio najstariji i najvjerodostojniji prijepis originalnih Arhimedovih radova. Tragajuæi za povijesnim izvorima geometrije, danski filolog i povjesnièar Johan Ludvig Heiberg (1854.–1928.) poèetkom 20. stoljeæa, toènije 1906. godine, na-šao je molitvenik u jednoj crkvenoj knjižnici u Kon-stantinopolu (Istanbulu) i uoèio kako se ispod po-stojeæeg skriva neki drugi tekst. Iznenaðenje je bilo potpuno kad je shvatio o kakvom se tekstu ra-

di. Knjižica je netragom nestala da bi se devede-set godina kasnije pojavila u puno lošijem stanju no što je to bila. Sreæom, Heiberg je neke stranice prepisao i time ih saèuvao.

Inaèe, Heiberg je osim po otkriæu Arhimedova pa-

limpsesta poznat i po vrlo vrijednim prijevodima, prije svega Euklidovih Elemenata. Upravo je taj njegov prijevod poslužio kao temelj za poznati en-gleski prijevod Sir Thomasa Little Heatha. Heiberg je od 1896. do 1924. bio profesor na Sveuèilištu u Københavnu. Kad je veæ rijeè o prijevodima, dobro je spomenuti kako se meðu više od 200 njegovih publikacija uz spomenute Euklidove Elemente na-laze i djela Arhimeda, Apolonija iz Perga, Ptolo-meja, Herona iz Aleksandrije i drugih. Neka od njih i danas su nezaobilazni izvori za prouèavanje an-tièke povijesti i kulture.

Danas rukopis, sada veæ naširoko poznat pod nazivom Arhimedov palimpsest, mnogi drže ne-procjenjivo vrijednim. Jedini je to izvor iz kojega se može išèitati Arhimedov Traktat o postupcima

provjere matematièkih tvrdnji. Tu je i jedina da-nas poznata kopija njegovog originalnog rada O

plutajuæim tijelima, tu su zatim i rukopisi O mjere-

nju kruga, O kugli i valjku, O spiralama, O ravnote-

ži ploha. Tu je konaèno i svojevrsna zagonetka, u

Johan Ludvig Heiberg (1854. – 1928.)

3838

zanimljiva matematika

broj 46 / godina 10. / 2008.

engleskom izrièaju nazvana stomachion, o kojoj je rijeè u ovom broju MiŠ-a.

Dodajmo kako palimpsest uz Arhimedove rado-ve sadrži i neke druge tekstove, primjerice komen-tare Aristotelovih Kategorija koji se pripisuju Alek-sandru iz Afrodizijade (2. – 3. st.)

A što se dogaðalo s Arhimedovim palimpsestom nakon prodaje na dražbi u kuæi Chrieste’s? Ano-

nimni je kupac knjigu proslijedio u The Walters Art

Museum u Baltimoreu gdje su se struènjaci pod vodstvom Reviela Netza, profesora povijesti zna-nosti na Stanfordu i Williama Noela, staratelja ru-kopisa i starih knjiga u Walters Art Museumu, (vo-ditelj projekta) prihvatili njegova istraživanja. Tijekom nekoliko godina spektralnom analizom i drugim suvremenim tehnikama proèitano je goto-vo 80% teksta.

Èitatelje upuæujemo na internetsku adresu www.archimedespalimpsest.org/

na kojoj æe doznati pojedinosti ovog zanimljivog projekta.

William Noel i Revial Netz prouèavaju stranicu Arhimedovog palimsesta u konzervatorskom laboratoriju u Waltersu

39

ΣτομȐȤȚıȞDio Arhimedova palimpsesta je i jedna neobièna i vrlo zanimljiva geometrijska zagonetka nazvana stomachion. Može se još zateæi pod nazivima Ar-himedova kutija, ostomakion i sintemakion. Mnogi je drže najstarijim puzzleom na svijetu.

Radi se zapravo o slagalici koju èini 14 dijelova na-stalih posebnim razrezivanjem kvadrata. Premda su moguæi razni zadaci o slaganju dijelova slagali-ce u odreðene oblike, ipak je temeljni zadatak slo-žiti od njih kvadrat. Odgovor na pitanje na koliko je razlièitih naèina to moguæe uèiniti bio je otvoren sve do 2003. godine.

Slagalicu èine jedanaest trokuta, dva èetverokuta i jedan peterokut. Meðu njima su dva para suklad-nih trokuta (oznaèeni brojevima 6 i 7).

Dijelovi imaju redom površine: 3, 3, 6, 6, 6, 6, 9, 12, 12, 12, 12, 12, 21, 24, a to su 1/48, 1/24, 1/16, 1/12 i 1/6 od 144 što je pak ukupna površina kvadrata.

Promatramo li razrezani kvadrat kao graf, zanim-ljivo je uoèiti kako su sva èvorišta u sjecištima pra-vaca kvadratiène mreže. Stoga se površina po-jedinog dijela slagalice može izraèunati Pickovom formulom. Naime, za tako smještene mnogokute vrijedi formula

P = u + r

__ 2 – 1,

u kojoj je u broj èvorova u nutrini poligona, a r broj èvorova koji su na njegovu rubu.

Promotrite pažljivo sliku 3. i za pojedini dio sla-galice koristeæi se Pickovom formulom izraèunajte površinu pojedinog dijela.

Jedno od najprirodnijih pitanja jest na koliko se razlièitih naèina, ne raèunajuæi razlièitim one sluèajeve koji nastaju iz jednoga raznim transfor-macijama kao što su simetrija i sl., može od 14 dijelova stomachiona složiti kvadrat. Dva braèna para matematièara Persi Diaconis i Susan Holm-es sa Stanforda te Ronald Graham i Fan Chung sa Sveuèilišta u San Diegu dali su odgovor: Taj broj je jednak 536. U studenom 2003. Bill Cutler je primjenom raèunala povrdio toènost rezultata.

Slika 1.

Slika 2.

Slika 3.

4040

zanimljiva matematika

broj 46 / godina 10. / 2008.

I na kraju zakljuèimo prièu o ovoj lijepoj slagali-ci pitanjem: Što je zapravo Arhimed njome htio postiæi? Zar je zaista rijeè o obiènoj zagonetci èiji je smisao bila razonoda? Složit æete se kako je to

uistinu malo vjerojatno. Prije bi se, prateæi Arhime-dove zamisli, moglo reæi kako je stomachion nastao pri njegovu traganju za nekim geomet--rijskim rješenjem odreðenog problema. Možda je pokušavao naæi još neki zoran dokaz Pitago-rina pouèka? Ili je u pozadini ideja odreðivanja površine mnogokuta? Tko zna.

No u svakom sluèaju igricu se može zaigrati i u nastavi. Kako bi to izgledalo, možete vidjeti na jed-noj pripremi nastavnika na internetskoj adresi

http://illuminations.nctm.org/

LessonDetail.aspx?id=L720

Igricu možete zaigrati no prethodno izrežite di-jelove prema priloženom na

http://www.puzzles.com/

PuzzlePlayground/Stomachion/

StomachionPrintPlay.pdf

Slika 4. Rješenja Stomachion na otoèiæu Ortigia u Siracuzi.