Zadaci za vježbu – diferencijalne jednačine

1. Dokazati da je izraz 2x y integracioni množilac za diferencijalnu jednačinu

3 2 2 3 3 2 2 32 3 2 3 0.x x y y y dx y xy x x dy Zatim riješiti datu diferencijalnu jednačinu.

Rješenje: Neka je

3 2 2 3 3 2 2 3

2 22 3 2 3, , , .x x y y y y xy x xP x y Q x y

x y x y

Pomoću postupka dijeljenja polinoma, lako se dobije da je

2 22

2 4 32 2 2, 2 1 1y x y y x yy P xyP x y x y

yx y x y x y

i analogno,

2 22

2 4 32 2 2, 2 1 1 ,x x y x x yx Q xyQ x y y x

xx y x y x y

dakle .P Q

y x

To dokazuje postavljenu tvrdnju. Tada postoji funkcija ,u u x y takva da je

, , ,du P x y dx Q x y dy odakle je

3 2 2 3 2

2 2

3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 ,

2 3 2 .

u x x y y y yx yx x y x y

u y xy x x xy xy x y x y

Imamo da je onda

22 22

2 22

2 .y x y yy y uu x y dx x xy y x y

x y yx y x y

Slijedi:

2 2 2 2

2 2 2 22 22 2 2 1,y x y y x x xy yx y y x y y yx y x y x y x y

pa je 2 , .y y y K K const

Dakle, 2

2 2 ,yu x xy y y Kx y

što znači da je opšte rješenje date jednačine

22 2 .yx xy y y C

x y

2. Dokazati da je izraz ax aye integracioni množilac za diferencijalnu jednačinu

1 1 0,ax ay dx ax ay dy gdje je 0.a Zatim riješiti datu diferencijalnu jednačinu.

3. Dokazati da je izraz 2 2

1y x y

integracioni množilac za diferencijalnu jednačinu

2 2 2 0.y dx x xy y dy Zatim riješiti datu diferencijalnu jednačinu.

4. Dokazati da je izraz 3 31

3x y

integracioni množilac za diferencijalnu jednačinu

2 2 2 22 2 2 0.y x y dx x x y dy Zatim riješiti datu diferencijalnu jednačinu.

5. Dokazati da se pomoću smjene data diferencijalna jednačina svodi na homogenu i zatim riješiti tu

jednačinu:

a) 3 5 23 3 0,x y dx y xy dy smjena13 .y z

b) 2 4 1 2 0,y y x y dx xdy smjena

12 .y z

c) 2 24 3 1 0,xy dx x y dy smjena 21 .yz

Rješenje:

a) 1 23 31 .

3y z y z z

Osim toga,

23

3 5 2 32 5 2 5

3 3

13 3 033 3

3 3

dy x y x zx y dx y xy dy z zdx xy y

xz z

22 533 3

2 5 23 3 3

133 3 .13 3 3

zz x zxz z x z xz zx z

xz z z x z x

Ovo je očigledno homogena jednačina. Uzmimo smjenu zu z xu z u xux

2 2

1 11 1 1 11 1 1 1

u u uu u u dxu xu xu u duu u x xu u

2

2 22

1arctg ln 1 ln ln arctg ln 1 arctg ln 1 ,2

z zu u x C u C x u C xx x

tj.

32 2 2 6arctg ln arctg ln .z yC x z C x y

x x

Zadatke b) i c) riješite na isti način.

6. Riješiti diferencijalne jednačine:

a) 2 2y xy y xy

b) 22xy xy y y

c) 22 8y y x x

d) 2 2 2 .x y xy x y yy

Rješenje:

a) Ako stavimo da je ,y t možemo dobiti kvadratnu jednačinu po varijabli :t 2 2 0.t xt xy y

Diskriminanta ove jednačine je 22 2 2 2 24 4 4 4 2 .D b ac x xy y x xy y x y

1,2 1 2

2, .

2x x y

t t x y t y

Polazna jednačina se razdvojila na dvije jednostavne jednačine:

01 y x y y y x linearna diferencijalna jednačina prvog reda čije je opšte rješenje 1 .xy x Ce

Ovu jednačinu možemo riješiti i smjenom .z x y

02 y y jednačina sa razdvojenim promjenljivim, opšte rješenje .xy Ce

Ostale jednačine riješiti na isti način.

7. Sljedeće diferencijalne jednačine riješiti smjenom , :xy z z z x

a) 2 2 3 21 0.xy x y dx x y x dy

b) 2 21 1 0.y xy dx x xy x y dy

c) 22 2 1 1 0.x y dx xy xy

d) 3 2 22 3 7 0.x yy x y

e) 2 3 1

.3

y xyy

xy

8. Riješiti sljedeće diferencijalne jednačine pomoću pogodne smjene:

a) 2ln 2ln .y y y x y y

b) 2 22 .x x xy ye y e e

c)

2

2

2.

3

y x yy

x y x

d) 21 .x xy e y e

e) 2 2 2.y x y x y

f) 3 2 0.y y y x

g)

2

2

2 3 1 .2 3 4 1

x yyy x y