zad rach 1516

Upload: arek-stenka

Post on 07-Aug-2018

231 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    1/39

    Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa – zadaniaMatematyka – semestr IV 2015/2016

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 0Z teorii miary – tym roku nie obowia̧zuje.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 0.1Niech Ω = ∅   oraz F   ustalone   σ–cialo podzbiorów Ω. Dla ustalonychA, B ∈ F  udowodnić, że  A ∩ B ∈ F ,  A B ∈ F ,  A B ∈ F . Zauważýc, żewystarczy tu zalożýc, że F   jest cialem.Przypomnienie.Rodzina F  podzbiorów Ω nazywa siȩ   cia lem , gdy spelnia: ∅ ∈ F   (Ω ∈ F ),F  ∈ F  =⇒ F  = Ω F  ∈ F ,  F 1, F 2 ∈ F  =⇒ F 1 ∪ F 2 ∈ F .Cialo F   jest σ–cia lem , gdy spelnia dodatkowo warunek:   F 1, F 2, · · · ∈ F  =⇒∞n=1

    F n ∈ F .

    Zadanie 0.2

    Niech F  bȩdzie dowolnym σ–cialem podzbiorów ustalonej przestrzeni Ω = ∅oraz  A ⊆  Ω,  A = ∅. Udowodnić, że F A   = {F  ∩ A   :  F  ∈ F}   jest  σ–cialempodzbiorów zbioru   A   (F A   nazywa siȩ czasami   σ–cialem śladowym (traceσ–field)).

    Zadanie 0.3

    Niech   ψ   : Ω1 →  Ω2  dowolne odwzorowanie, gdzie Ω1 = ∅. Udowodnić, że jeżeli G   jest   σ–cialem podzbiorów Ω2, to   ψ−1(G) = {A ⊆   Ω1   : ∃G∈G   A   =ψ−1(G)

    } jest σ–cialem podzbiorów Ω1.

    Zadanie 0.4

    Niech F   bȩdzie σ–cialem podzbiorów przestrzeni Ω1  oraz ϕ  : Ω1 → Ω2. Czyϕ(F ) = {B ⊆ Ω2  : ∃A∈F   B  =  ϕ(A)}   jest zawsze  σ –cialem podzbiorów Ω2?

    1

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    2/39

    Przyjmijmy na użytek tego paragrafu nastȩpuja̧ca̧ definicjȩ:

    Powiemy, że niepusty zbiór A ∈ F   jest  atomem  w  σ–ciele F , gdy z warunkuB ∈ F   i  B ⊆ A  wynika, że  B  = ∅  lub  B  =  A.Powiemy, że σ–cialo F   jest  atomowe , gdy istnieje rodzina atomów {Aα}α∈Az F   taka, że ·

    α∈AAα = Ω.

    Uwaga. Wprowadzone przez nas pojȩcie   σ–ciala atomowego   różni siȩ   odpoj̧ecia σ–ciala atomowego, na którym zdefiniowana jest miara σ–addytywna.Tam atomem jest taki zbiór mierzalny A ∈ F , gdy z warunku B ∈ F   i B ⊆ Awynika, że  µ(B) = 0 lub  µ(A \ B) = 0.

    Zadanie 0.5

    Niech F   bȩdzie atomowym σ–cialem podzbiorów Ω o skończonej ilości ato-mów  A1, A2, . . . , An ∈ F . Podać ogólna̧ postać zbioru  F  ∈ F   przy użyciuatomów.

    Zadanie 0.6

    Niech F   bȩdzie skończonym σ–cialem (cialem) podzbiorów Ω. Pokazać, żeF  jest atomowe. Czy istnieje cialo o 15 elementach?

    Zadanie 0.7

    Niech F   bȩdzie atomowym   σ–cialem podzbiorów Ω o przeliczalnej ilościatomów  A1, A2, . . . . Opisać zbiory  F  ∈ F  przy użyciu atomów.

    Zadanie 0.8*

    Niech Ω bȩdzie zbiorem o przeliczalnej ilości punktów (tzn. Ω = {x1, x2, . . . }).Udowodnij, że każde σ–cialo podzbiorów Ω jest atomowe.

    Zadanie 0.9

    Opisać wszystkie  σ–ciala w przypadku, gdy

    •  #Ω <

     ∞,

    ••   cardΩ = ℵ0.

    Zadanie 0.10*

    Udowodnij, że σ–cialo podzbiorów Ω jest albo skończone albo mocy co naj-mniej continuum.

    2

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    3/39

    Zadanie 0.11

    Czy istnieje  σ–cialo nieskończone przeliczalne?

    Zadanie 0.12*

    Niech Ω jest przestrzenia̧ skończona̧ o  n  elementach (n ≥ 1). Znajdź liczbȩBn  wszystkich cial (σ–cial ) na Ω (jeśli nie potrafisz rozwia̧zać tego zadaniazapytaj Google o “Bell numbers”).

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 1

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 1.1

    Z odcinka [0, 1] wybieramy losowo liczby   x   i   y. Jakie jest prawdopodo-bieństwo, że należa̧ one do dziedziny funkcji  f (x, y) =

     x2 − y + 0.19 ?

    Zadanie 1.2

    Z odcinka [0, 1] wybieramy losowo dwie liczby   p   i   q . Jakie jest praw-

    dopodobieństwo tego, że równanie  x2

    + px + q  = 0 bȩdzie mialo dwa różnepierwiastki urojone?

    Zadanie 1.3

    Wybrano losowo (i niezależnie od siebie) dwie liczby   a,   b  z odcinka [0, 2].Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójmian kwadratowy x2+ax+b ma dwaróżne pierwiastki urojone?

    Zadanie 1.4

    Z kwadratu [0, 1]

    ×[0, 1] wybrano losowo punkt (x, y). Znaleźć prawdopodo-

    bieństwo, że  x + y ≤ 1 i  xy ≥ 0.09.

    Zadanie 1.5

    Ola i Jacek umawiaja̧ siȩ w kawiarni pomiȩdzy 800 i 820. Przychodza̧ naspotkanie niezależnie od siebie i losowo, i ponadto Ola nie czeka na Jacka

    3

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    4/39

    dlużej niżeli 5 minut a Jacek nie czeka na Olȩ dlużej niżeli 10 minut. Jakie

     jest prawdopodobieństwo, że do spotkania dojdzie?

    Zadanie 1.6 (Paradoks Bertranda )

    Z okrȩgu o promieniu 1 wybrano losowo ciȩciwȩ  AB. Jaka jest szansa, żebȩdzie ona dluższa niżeli bok trójka̧ta równobocznego wpisanego w okra̧g?

    Zadanie 1.7 (Ig la Buffona )

    Iglȩ o dlugósci l  rzucono na podlogȩ z desek o szerokości  a  (l ≤ a). Jaka jestszansa, że igla przetnie krawȩdź deski?

    Zadanie 1.8 (Paradoks kawalera de Méré )

    Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynkiprzy rzucie 4 kostek, czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkachprzy 24 rzutach obu kostek?

    Zadanie 1.9 (Zadanie Samuela Pepysa )

    Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie co najmniej jednej szóstkiw 6 rzutach kostka̧, co najmniej dwóch szóstek w 12 rzutach, czy co najmniejtrzech szóstek w 18 rzutach?

    Zadanie 1.10 (Paradoks kawalera de Méré )

    Przy rzucie trzema kostkami sumȩ 11 i 12 oczek można otrzymać na tylesamo sposobów. Dlaczego czȩściej wypada suma 11 oczek? (Jest to przykladwskazuja̧cy na konieczność wyboru wlaściwego modelu dla opisu zjawiska.)

    Zadanie 1.11

    Wybrano losowo (i niezależnie od siebie) trzy liczby z odcinka [0, 1]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z odcinków o dlugościach odpowiadaja̧cychtym liczbom da siȩ zbudować trójka̧t?

    Zadanie 1.12*

    Niech Ω = N = {1, 2, . . . }. Oznaczamy

    F  = {A ⊆ Ω : limn→∞

    #(A ∩ {1, 2, . . . , n})n

      = P ∞(A) istnieje}  .

    4

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    5/39

    Udowodnij, że jeżeli A, A1, A2, . . . , Ak

     ∈ F   sa̧ parami rozla̧czne, to P 

    ∞(A1

    ∪A2∪ · · ·∪Ak) = P ∞(A1) + · · ·+ P ∞(Ak), P ∞(∅) = 0, P ∞(Ω) = 1, P ∞(A ) =1 − P ∞(A). Podaj przyklad zbiorów  A, B ∈ F   takich, że  A ∪ B /∈ F .

    Zadanie 1.13*

    Niech  Ak   bȩdzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez  k. Wykazać,że nie istnieje na Ω = N prawdopodobieństwo P  takie, że P (Ak) =   1k  (k ≥ 1).

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 2

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 2.1

    Zestaw śniadaniowy sklada siȩ z 6 kubków i 6 talerzyków, z których po dwasa̧ odpowiednio w kolorach bialych, czerwonych i fioletowych. Gospodynilosowo ustawila je na stole. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każda para(kubek/talerzyk) jest różnokolorowa?

    Zadanie 2.2

    Talia sklada siȩ z 52 kart w czterech kolorach. Po wycia̧gniȩciu jednej kartyi zwróceniu jej do talii, tasujemy karty i znów wycia̧gamy kartȩ. Obliczyćprawdopodobieństwo, że obie wycia̧gniȩte karty sa̧ różnych kolorów.

    Zadanie 2.3

    Z talii kart (52 sztuki) wybieramy losowo (bez zwracania) cztery karty. Obli-czyć prawdopodobieństwo, że bȩda̧ to walet, dama i dwa asy.

    Zadanie 2.4

    Wśród dwunastu losów cztery sa̧ wygrywaja̧ce. Kupiliśmy 6 losów. Obliczyćprawdopodobieństwo, że wśŕod nich znajduje(a̧) siȩ(a) dokladnie jeden los wygrywaja̧cy,(b) dokladnie dwa losy wygrywaja̧ce,(c) dokladnie trzy losy wygrywaja̧ce,(d) co najmniej jeden los wygrywaja̧cy,

    5

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    6/39

    (e) co najmniej dwa losy wygrywaja̧ce.

    Zadanie 2.5

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧.   A, B ∈ F   spelniaja̧P (A) =   34 ,  P (B) =

      12 . Pokaż, że

      14 ≤ P (A ∩ B) ≤   12 .

    Zadanie 2.6

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧ oraz  A1, A2, . . . , An ∈F , gdzie  n ≥  2. Udowodnij, że  P (

    n j=1

    A j) =n

     j=1P (A j) −

     i

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    7/39

    Zadanie 2.10

    Po wylożeniu kart (gramy w brydża) pokazalem, że mam 4 blotki pik, aprzeciwnik zawistowal w asa pik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że mójpartner ma co najmniej 4 piki, w tym damȩ i króla?

    Zadanie 2.11* (Nierównoś́c Kouniasa )

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧ oraz  A1, A2, . . . , An ∈F , gdzie  n ≥ 2. Udowodnić, że

    P (n

     j=1

    A j ) ≤ mink

    {n

     j=1

    P (A j) −i=k

    P (Ai ∩ Ak)}.

    Zadanie 2.12* (Nierównoś́c Chung-Erdösa )

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧ oraz  A1, A2, . . . , An ∈F , gdzie  n ≥ 1. Udowodnić, że

    n

     j=1

    A j

      n

     j=1P (A j)

    2n

    i,j=1P (Ai ∩ A j)

    .

    Zadanie 2.13*

    Niech  A1, A2, . . . , An   bȩda̧ zdarzeniami mierzalnymi przestrzeni probabilis-tycznej (Ω, F , P ). Dla ustalonej liczby  k ∈ {1, 2, . . . , n}   niech  N k   oznaczazdarzenie, że zajdzie dokladnie  k   zdarzeń spośród  A1, A2, . . . , An. Udowod-nij, że zachodzi tzw. formula Waringa

    P (N k) =n−k j=0

    (−1) j

    k + j

    k

      i1

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    8/39

    mamy P (A j ) = p  oraz dla dowolnej pary indeksów i

     = j  mamy P (Ai

    ∩A j) =

    q , to  p =  P (A j) ≥   1n   i  q  =  P (Ai ∩ A j ) ≤   2n .

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 3

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 3.1

    3–krotnie rzucono symetryczna̧ kostka̧. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

    (a) szóstka wypadla dokladnie raz,(b) wszystkie wyrzucone oczka byly parzyste,(c) suma wyrzuconych oczek jest co najwyżej 6,(d) suma wyrzuconych oczek jest podzielna przez 6?

    Zadanie 3.2

    (a)   W  m  ponumerowanych urnach umieszczono w sposób losowy n  ponu-merowanych kul. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w pierwszejurnie jest  n1   kul, w drugiej  n2  kul, . . . , w  m–tej urnie  nm  kul, gdzien1 + n2 + · · · + nm  =  n  i  n j ≥ 0.

    (b)   W   m   ponumerowanych urnach umieszczono w sposób losowy   n   jed-nakowych kul. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w pierwszejurnie jest  n1   kul, w drugiej  n2  kul, . . . , w  m–tej urnie  nm  kul, gdzien1 +  n2 + · · · + nm   =  n   i   n j ≥  0. Obliczyć prawdopodobieństwo, żew jakiejś urnie jest  n1  kul, w innej  n2, ... , i jeszcze w jakiejś jest nmkul, gdzie tym razem liczby  n1, n2, . . . , nm   sa̧ parami różne.

    (c)*   W m  urnach bez numeracji (tzn. ich porza̧dek jest nieistotny) umiesz-czono w sposób losowy n ponumerowanych kul. Obliczyć prawdopodo-bieństwo tego, że dla zadanego ukladu liczb k1, k2, . . . , km, gdzie 0 ≤ k ji k1 + k2 + · · · + km  =  n, liczebności kul w urnach pokrywaja̧ siȩ z tymukladem liczb k j . Pomyśl, jak zmieni siȩ problem, gdy kule nie zostana̧ponumerowane (tzn. bȩda̧ identyczne).

    Zadanie 3.3

    Cyfry 1, 2, 3, ..., 9 zapisane sa̧ na różnych kartkach. Wybieramy losowo(bez zwracania) po kolei cztery z nich i zapisuja̧c je po arabsku w kolejności

    8

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    9/39

    losowania (tzn. od prawej do lewej), tworzymy liczbȩ czterocyfrowa̧. Jakie

     jest prawdopodobieństwo, że bȩdzie to liczba(a) podzielna przez 2,(b) podzielna przez 3,(c) podzielna przez 4,(d) podzielna przez 5,(e) podzielna przez 6?Czy prawdopodobieństwa ulegna̧ zmianie jeżeli cyfry ustawimy w kole-

     jności odwrotnej.

    Zadanie 3.4

    Czy z tego, że zdarzenia A, B   i  C   sa̧ parami niezależne, wynika, że  A ∪ B,C   sa̧ też niezależne?

    Zadanie 3.5

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧, A ∈ F , B ∈ F  spelnia- ja̧  P (A) >  0,  P (B) >  0. Udowodnij, że

    P (A|B) > P (A)  ⇐⇒   P (B|A) > P (B)  ⇐⇒   P (A|B) < P (A).

    Zadanie 3.6

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧, A ∈ F , B ∈ F  spelnia- ja̧  P (A|B) =   12 ,  P (B|A) =   14   oraz  P (A ∪ B) =   12 . Oblicz P (A),  P (B) orazP (A \ B).   Apel : Czy w swojej kaligrafii rozróżniasz P (AB) od  P (A|B)?

    Zadanie 3.7 (Blȩdy prokuratorskie)

    Niech W  oznacza zdarzenie “oskar˙ zony jest winny ”, a  Z  zdarzenie “zeznanie świadka oskar  ̇zenia jest prawdziwe ”. Pewna grupa sȩdziów wyznaje zasadȩ:P (W |Z ) =  P (Z |W ). Pokaż, że tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy  P (W ) =P (Z ).

    Zadanie 3.8W urnie jest   n   kul bialych i   k   kul czarnych, gdzie   n ≥   3,   k  ≥   3. Pokażdym losowaniu jednej kuli z urny dorzucamy do niej  j  kul koloru prze-ciwnego,   ale zatrzymujemy wylosowana̧ kulȩ. W drugim losowaniuwycia̧gniȩto kulȩ biala̧. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszymlosowaniu wycia̧gniȩto kulȩ czarna̧?

    9

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    10/39

    Zadanie 3.9

    Ufoludki nadaja̧ przez ufoludkowe kanaly slowa ze swojego jȩzyka, w któ-rym alfabet sklada siȩ z liter A, C, M, T. Na podstawie analizy jȩzykowejw krainie ufoludków wiemy, że statystycznie na dziesiȩć wystȩpuja̧cych literliterka A wystȩpuje cztery razy, C trzy razy, M dwa razy, a T jeden raz.Ponieważ Elfy zaklócaja̧ kanaly ufoludków, prawdopodobieństwo, że nadanalitera zostanie odczytana wlaściwie wynosi dla każdej litery 0.7 i 0.1, żezostanie odczytana jako jedna z pozostalych. Litery wchodza̧ce w skladkażdego slowa sa̧ przeklamywane niezależnie.Jakie jest prawdopodobieństwo, że nadaja̧c slowo

    (a) TATA, na wyjściu pojawi siȩ slowo MAMA,

    (b) TACA, na wyjściu pojawi siȩ slowo CACA?Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy na wyjście dotarlo slowo(c) MAMA, to nadano slowo MACA,(d) CACA, to nadano slowo TAMA,(e) TACA, to nadano slowo MAMA?

    Zadanie 3.10

    Komórki telefoniczne tej samej firmy ♣ produkowane sa̧ przez dwie fabrykiA i B. 4% spośród komórek fabryki A i 2% spośród komórek fabryki B jestwadliwych. Fabryka A produkuje 6 razy wiȩcej komórek niżeli fabryka B.

    (a)   Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo kupiona komórka firmy ♣ jest wadliwa?

    (b)   Jeżeli losowo kupiona komórka firmy ♣  okazala siȩ wadliwa, jakie jestprawdopodobieństwo, że wyprodukowano ja̧ w fabryce A?

    (c)   Jeżeli losowo kupiona komórka firmy ♣   jest sprawna, jakie jest praw-dopodobieństwo, że wyprodukowano ja̧ w fabryce A?

    Zadanie 3.11

    Firma

     ♣  wprowadzila poważna̧ reorganizacjȩ. Przede wszystkim opraco-

    wano nowa̧ (dużo tańsza̧) technologiȩ, ale w której powstaje 5% braków.Fabryka A produkuje 10% komórek w nowej technologii i 90% w starej tech-nologii, a fabryka B przestawila siȩ szybciej i 20% jej produkcji powstajewedlug nowej technologii, a pozostale 80% w starej technologii (zauważ, że

     jakósć produkcji w każdej z fabryk obniżyla siȩ). Zarza̧dzono jednak, żefabryki A i B bȩda̧ produkowaly takie same ilości komórek. Czy ogólna

    10

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    11/39

     jakósć komórek firmy

     ♣ na rynku poprawila siȩ, czy spadla? Oblicz praw-

    dopodobieństwo, że losowo kupiona komórka firmy ♣ jest wadliwa.

    Zadanie 3.12* (Statystyka Maxwella-Boltzmanna )

    W   m   ponumerowanych urnach rozmieszczono losowo   n   ponumerowanychkul. Wyprowadzić wzór na   P k(n; m) prawdopodobieństwo, że w ustalonejurnie znajdzie siȩ dokladnie  k  kul.Zakladaja̧c, że  n → ∞   i  m → ∞  w taki sposób, że   n

    m →  λ > 0 udowodnij,

    że

    P k(n; m) →  λk

    k! exp(−λ)  .

    Zadanie 3.13* (Statystyka Bose-Einsteina )

    W   m   ponumerowanych urnach rozmieszczono losowo   n   nierozróżnialnychkul. Wyprowadzić wzór na  Qk(n; m) prawdopodobieństwo, że w ustalonejurnie znajdzie siȩ dokladnie  k  kul.Zakladaja̧c, że  n → ∞  i  m → ∞  w taki sposób, że   nm →  λ > 0 udowodnij,że

    Qk(n; m) → p(1 − p)k,   gdzie  p  =   11 + λ

    .

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 4.1

    Firma ubezpieczeniowa ma stalych klientów, stanowia̧cych 85% wszystkichklientów, którzy powoduja̧ w cia̧gu roku wypadek z prawdopodobieństwem0.01 oraz 15% nowych klientów, którzy powoduja̧ wypadek z prawdopodo-bieństwem 0.05. Prawdopodobieństwo, że dany klient bȩdzie mial w cia̧guroku wypadek jest dla niego niezmienne, niezależne od tego, czy mial wy-padek poprzednio czy nie. Zatem prawdopodobieństwo, że wybrany losowoklient bȩdzie mial wypadek, jest równe 0.016, a prawdopodobieństwo, żebȩdzie mial drugi wypadek, jeżeli wiemy, że mial pierwszy, jest równe 0.02875.W jaki sposób jest to prawdopodobieństwo obliczane? Czy aktuariusz niepowinien wprost obliczyć to prawdopodobieństwo jako 0.016 ×  0.016 =0.000256?

    11

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    12/39

    Zadanie 4.2 (W pewnym sensie kontynuacja zadania poprzedniego )

    Kierowcy dziela̧ siȩ na ostrożnych (jest ich 85%) i taki kierowca powodujew cia̧gu roku wypadek z prawdopodobieństwem 0.02 oraz na piratów dro-gowych (jest ich 15%), którzy z prawdopodobieństwem 0.1 maja̧ wypadekw cia̧gu roku. Wybrany losowo kierowca nie spowodowal wypadku w latach2014 i 2015. Jaka jest szansa, że bȩdzie on mial wypadek w 2016 roku?

    Zadanie 4.3

    W urnie jest b  kul bialych i c  kul czarnych. Po każdym losowaniu jednej kuliz urny dorzucamy do niej  j  kul w kolorze wylosowanej kuli i zwracamy dourny wylosowana̧ kulȩ. Wyprowadzić wzór na pi  = prawdopodobieństwo, żew  i–tym losowaniu wylosowano kulȩ biala̧.

    Zadanie 4.4

    W urnie jest   b   kul bialych,   c   kul czarnych i   z   kul zielonych. Po każdymlosowaniu jednej kuli z urny dorzucamy do niej j  kul w kolorze wylosowanejkuli i zwracamy do urny wylosowana̧ kulȩ. Wyprowadzíc wzór na   pi   =prawdopodobieństwo, że w  i–tym losowaniu wylosowano kulȩ biala̧.

    Zadanie 4.6

    W urnie jest   k   losów pustych i   n   o wartości 500zl . Do urny podchodza̧kolejno uczestnicy loterii i cia̧gna̧ jeden los. Jakie jest prawdopodobieństwo,że  j –ty uczestnik wycia̧gnie los pusty (1 ≤ j ≤ k + n)?

    Zadanie 4.7

    Urna zawiera z  kul zielonych,  n  kul niebieskich i  b  kul bialych. Wycia̧gamybez zwracania kule. Niech C k  oznacza zdarzenie polegaja̧ce na tym, że w k–tym losowaniu, gdzie 1 ≤ k ≤ n + z + b, wylosowano kulȩ biala̧. Wyprowadźwzór na prawdopodobieństwo P (C k).

    Zadanie 4.8Rzucamy kolejno (falszywa̧) moneta̧ (prawdopodobieństwo wyrzucenia orla

     jest równe p). Niech pn oznacza prawdopodobieństwo, że w n rzutach wyrzu-cono parzysta̧ liczbȩ orlów (0 jest też liczba̧ parzysta̧). Pokazać, że  p0  = 1oraz że   pn   =  p(1 − pn−1) + (1 − p) pn−1, jeśli   n ≥   1. Wyprowadzić jawna̧postać wzoru na  pn.

    12

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    13/39

    Zadanie 4.9

    Gracze A i B graja̧ w “orla” i “reszkȩ”, rzucaja̧c moneta̧ (niekonieczniesymetryczna̧). W pojedynczej kolejce gracz A wygrywa 1 zl z prawdopodo-bieństwem  p ∈   (0, 1) i przegrywa 1 zl z prawdopodobieństwem   q   = 1 − p.Pocza̧tkowe kapitaly graczy A i B wynosza̧ odpowiednio  a   i  b  (a + b  =  z ).Gra kończy siȩ wtedy, gdy jeden z graczy nie ma pieniȩdzy.

    (a)   Oblicz prawdopodobieństwo pa  ruiny gracza A.

    (b)  Gracz A przyjmuje strategiȩ, że “wychodzi” z gry, gdy po raz pierwszyma na swoim koncie kwotȩ   a +  k, gdzie 0   < k ≤   b. Oblicz praw-dopodobieństwo, że gracz A zrealizuje swoja̧ strategiȩ.

    (c)   Zalóżmy, że gracz A dysponuje nieograniczonym kapitalem (a  = ∞) ipostanawia, że gra tak dlugo, aż calkowicie “splucze” przeciwnika B.Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokona tego w skończonym czasie?

    Zadanie 4.10 (spacer losowy z barierami)

    Dziȩki swojej pracowitósci babcia zaoszczȩdzila na koncie bankowym   k   =140 000 zl i chce je przeznaczýc na zakup terenowego samochodu, którykosztuje   N   = 200 000 zl. Zamiast wysta̧pić o kredyt postanowila zagraćz dyrektorem banku w nastȩpuja̧ca̧ grȩ: rzucaja̧ po prostu symetryczna̧sześcienna̧ kostka̧. Jeżeli liczba wyrzuconych oczek jest parzysta, to dyrek-tor dopisuje do konta 2000 zl, ale jeżeli liczba oczek jest nieparzysta, todyrektor zabiera z konta 2000 zl. Gra kończy siȩ w pierwszym momencie,gdy konto babci jest wyzerowane albo osia̧gnie stan 200 000 zl. Jakie jestprawdopodobieństwo α, że babcia kupi dziadkowi samochód?

    Zadanie 4.11

    Ponieważ dyrektor banku zauważyl, że na grze z babcia̧ nie wyszedl naj-lepiej, poprosil zatrudnionych przez bank analityków o wyjaśnienie tej gry.Pierwszy z analityków (po “studiach” z astrologii/numerologii) zapytal, czyprzypadkiem rano nie przebiegl mu drogi czarny kot. Drugi analityk (tym

    razem po studiach matematycznych) wykazal, że przy tych konkretnych k   iN , aby gra byla sprawiedliwa (zarówno z punktu widzenia banku jak i babci,tzn. aby α = 0.5), zamiast kostki symetrycznej należy użyć takiej obcia̧żonejkostki (czyli kostki wirtualnej), aby prawdopodobieństwo wyrzucenia parzys-tej liczby oczek bylo równe x. Jeżeli chcesz w przyszlości zostać analitykiemryzyka sam znajdź takie  x.

    13

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    14/39

    Zadanie 4.12*

    Rzucamy kolejno (falszywa̧) moneta̧ (prawdopodobieństwo wyrzucenia orla jest równe p). Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 2 orlów pod rza̧dzanim wyrzucimy 2 reszki pod rza̧d?

    Zadanie 4.13*

    Rzucamy kolejno (falszywa̧) moneta̧ (prawdopodobieństwo wyrzucenia orla jest równe   p). Jakie jest prawdopodobieństwo   pn, że liczba orlów wyrzu-conych w n rzutach jest podzielna przez 3 (0 jest podzielne przez 3)? Znajdźgranicȩ lim

    n→∞ pn.

    Uwaga. Jeżeli zniechȩcilás(leś) siȩ rachunkami w przypadku ogólnym, towyprowadź wzór na   pn  w przypadku, gdy moneta jest symetryczna, tzn.gdy  p =  q  = 0.5.

    Zadanie 4.14*

    Zalóżmy, że w chwili pocza̧tkowej w urnie znajduje siȩ   c ≥   1 kul czer-wonych i  b ≥ 1 bialych. Z urny losujemy  n-krotnie, a po każdym losowaniuzwracamy wylosowana̧ kulȩ, dodaja̧c jeszcze jedna̧ kulȩ tego samego koloru

     jaka̧ wylosowano. Niech   S n  oznacza liczbȩ wylosowanych kul koloru czer-wonego (oczywiście zawsze mamy 0 ≤ S n ≤ n). Udowodnij, że

    P (S n =  x) =

    r−1+x

    r−1

    b+n−1−xb−1

    r+b+n−1

    n

      gdzie 0 ≤ x ≤ n .Zadanie 4.15*

    Na imprezie mikolajkowej wszystkie   n   prezentów pozbawiono karteczek

    z imieniem adresata, losowo wymieszano i rozdano uczestnikom. Niech p(n)k

    oznacza szansȩ, że dokladnie   k   osób dostalo wlasny prezent. Wyznaczyć

    limn→∞ p

    (n)k   .

    14

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    15/39

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 5

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 5.1

    Niech   A1, A2, . . . , An   bȩda̧ zdarzeniami niezależnymi w przestrzeni proba-bilistycznej (Ω, F , P ). Udowodnić, że dla dowolnego cia̧gu   ε1, ε2, . . . , εn,gdzie   ε j   = 0 albo 1, zdarzenia   A

    ε11   , . . . , A

    εnn   sa̧ też niezależne (A

    0i   =   Ai,

    A1i   = Ω Ai).

    Zadanie 5.2

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧ oraz   B1, B2, . . . , Bnzdarzeniami niezależnymi. Udowodnić, że

    σ({B1, B2, . . . , Bn}) =  C({B1, B2, . . . , Bn})

     jest cialem atomowym o atomach  Bε  = B(ε1,..., εn)  = Bε11   ∩ · · · ∩ Bεnn   , gdzie

    ε   = (ε1, . . . , εn) ∈ {0, 1}n. W szczególności #σ({B1, B2, . . . , Bn}) = 22n(zakladamy tutaj, że dla każdego 1

     ≤ j

     ≤ n  mamy 0 < P (B j) <  1).

    Zadanie 5.3

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧. Niech A, B1, B2, . . . ,Bn ∈ F   tworza̧ uklad zdarzeń niezależnych. Udowodnić, że dla dowolnegoB ∈ σ({B1, B2, . . . , Bn}) zdarzenia A  i  B   sa̧ niezależne.

    Zadanie 5.4

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧. Niech A1, A2, . . . , Am,B1, B2, . . . , Bn ∈ F   tworza̧ uklad zdarzeń niezależnych. Udowodnić, że dladowolnych  A ∈  σ({A1, . . . , Am}),  B ∈  σ({B1, . . . , Bn}) zdarzenia  A   i  B   sa̧niezależne.

    15

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    16/39

    Zadanie 5.5

    Niech Ω = {1, 2, . . . , n}, gdzie n  jest liczba̧ pierwsza̧, F  = 2Ω i P (A) =  #An

      .

    Dla ustalonego zdarzenia ∅ =  B    Ω wyznacz wszystkie zdarzenia  C  ⊆  Ω,które sa̧ niezależne od B .

    Zadanie 5.6

    Podać przyklad zdarzeń  A,  B,  C , które nie sa̧ niezależne, ale każda para znich jest niezależna.

    Zadanie 5.7

    Podać przyklad zdarzeń A, B, C , które sa̧ parami niezależne, ale dla pewnegoD ∈ σ({B, C }) zdarzenia  A  i  D  nie sa̧ niezależne.

    Zadanie 5.8

    Pokazać, że wylosowanie z talii 52 kart asa i wylosowanie karty czerwonej(karo lub kier) sa̧ zdarzeniami niezależnymi.

    Zadanie 5.9

    Pokazać, że jeżeli zdarzenia A i  B  sa̧ niezależne oraz A∪B  = Ω, to P (A) = 1lub P (B) = 1.

    Zadanie 5.10

    Czy z faktu, iż  A,  B ,  C   sa̧ parami niezależne, wynika, że sa̧ niezależne(a)A ∩ B   i  C    (b)  A ∪ B   i  C  ?

    Zadanie 5.11

    Zdarzenia A1, A2, . . . , A50 sa̧ niezależne i maja̧ jednakowe prawdopodobieństwo p. Jaka jest szansa, że zajdzie dokladnie jedno?

    Zadanie 5.12

    Zdarzenia  A1, A2, . . . , An   sa̧ niezależne i maja̧ jednakowe prawdopodobień-stwo  p. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

    (a) zajda̧ wszystkie naraz,(b) nie zajdzie żadne z nich,

    16

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    17/39

    (c) zajdzie dokladnie jedno?

    Zadanie 5.13

    Na rysunkach (a) – (f) przedstawiono obwody elektryczne.

    (a)

       Z  p

    A1   A2   Z k

    (b)

       Z  p

    A2

    A1

       Z k

    (c)

       Z  p

    A1

    A3

    A2

    A5

    A4

       Z k

    (d)

       Z  p

    A3

    A2

    A1   A4   A5

    A6

    A7

    A8

       Z k

    (e)

       Z  p

    A3

    A1

    A4

    A2

    A5   A6   Z k

    17

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    18/39

    (f)

       Z  p

    A1

    A3

    A2

    A6

    A5

    A4

       Z k

    (i)   Niech  Ai  oznacza zdarzenie polegaja̧ce na tym, że przepali siȩ  i–ty ele-ment. Opisz zdarzenie, że z zacisku pocza̧tkowego Z  p  przeplynie pra̧ddo zacisku końcowego  Z k   (dla każdego przykladu (a) – (f)), używaja̧c

    zdarzeń Ai.

    (ii)  Wiadomo, że prawdopodobieństwo przepalenia siȩ i-tego elementu przedczasem   t ≥  0 jest równe 1 − e−λit, gdzie   λi   >  0 jest intensywnościa̧awarii   i-tego elementu. Oblicz (w przybliżeniu, używaja̧c kalkula-tora) w przykladach (a) – (f) prawdopodobieństwo cia̧glego przeplywupra̧du z   Z  p   do   Z k   w czasie   T   = 12 dla   λ1   =   λ2   =  λ3   = 0.004 orazλ4  =  λ5  =  λ6  =  λ7  =  λ8  = 0.02. Zakladamy, że elementy przepalaja̧siȩ od siebie niezależnie (tak dlugo, jak przez konkretny poduklad możew rozważanej chwili plyná̧c pra̧d).Wskazówka. Dla malych x  można przyja̧ć ex ≈ 1 + x.

    Projekt.  Termin oddania – na wykladzie do 23.V.2016r.

       Z  p

    λ1

    λ4

    λ2

    λ5

    λ3

    λ7

    λ6

    λ8   Z k

    Prawdopodobieństwo przepalenia siȩ i-tego elementu przed czasem t

     ≥ 0

     jest równe 1−e−λit, gdzie λi  >  0 jest intensywnościa̧ awarii i-tego elementu.Dla podanego powyżej schematu oblicz prawdopodobieństwo, że przez ukladpoplynie pra̧d w chwili  T  = 16 dla  λ1  = λ6  = 0.0m ,  λ2  = λ3  = λ4  =  λ5  =0.0 j ,   λ8   =   λ7   = 0.0k , podstawiaja̧c za   m   liczbȩ liter swojego imienia,za   j   liczbȩ liter swojego nazwiska, a za   k   swoja̧ wagȩ wyrażona̧ w [kg].W projekcie studentki: Agata Figurantka, która waży 74kg, intesywności

    18

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    19/39

    awarii bȩda̧ nastȩpuja̧ce:   λ1   =   λ6   = 0.05 ,   λ2   =   λ3   =   λ4   =   λ5   = 0.01 ,

    λ8 =  λ7 = 0.074.* Realna wersja inżynierska. Podane intensywności dotycza̧ stanu nominal-nego (pocza̧tkowego). Po przepaleniu siȩ jakiegoś elementu, gdy natȩżeniepra̧du przeplywaja̧cego przez inny   i–ty element wzrośnie   ni   razy, wówczasintensywność awarii i–tego elmentu zwiȩksza siȩ n2i  razy (λi ← n2i λi). Zapro-ponuj i opisz swoja̧ procedurȩ (algorytm) szacowania (wyznaczania) praw-dopodobieństwa, że przez uklad poplynie pra̧d w ustalonej chwili  T > 0.

    Zadanie 5.14*

    Zalóżmy, że zdarzenia losowe  A, B   z przestrzeni probabilistycznej (Ω, F , P )spelniaja̧  P (A ∪ B) >  0. Przy jakim dodatkowym zalożeniu

    P (A|A ∪ B) =   P (A)P (A) + P (B)

      ?

    Zadanie 5.15*

    Niech zdarzenia mierzalne  A,B, C   z przestrzeni probabilistycznej (Ω, F , P )sa̧ parami niezależne oraz dodatkowo  A ∩ B ∩ C   = ∅. Znajdź górne osza-cowanie na  P (A).

    19

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    20/39

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 6

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 6.1

    Niech Ω = [0, 1], B  –  σ–cialo zbiorów borelowskich,  P   = λ  miara Lebesgua.Wiadomo, że każda̧ liczbȩ  x ∈ (0, 1] można w jedyny sposób przedstawić wpostaci   x   =

     j=1

    xj2j

      , gdzie  x j ∈ {

    0, 1

    }  (gdy   x   jest dwójkowo wymierne, to

    x j   ma nieskończenie wiele jedynek (  12   =

    ∞ j=1

    xj2j

      , gdzie  x1   = 0,  x2   =  x3  =

    · · · = 1)). Oznaczmy  I  j  = {x ∈ (0, 1] : x j  = 1} ,  j  = 1, 2, . . . . Czy zdarzeniaI 1, I 2, . . .   sa̧ niezależne w przestrzeni (Ω, B, P )?

    Zadanie 6.2

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧. Zalóżmy, że   A1, A2,. . . , An, . . .   sa̧ niezależnymi zdarzeniami o tym samym prawdopodobień-stwie  p. Jaka jest szansa, że zajdzie skończenie wiele zdarzeń, jeśli  p >  0?

    Jaka jest szansa, że zajdzie skończenie wiele zdarzeń przeciwnych Ac

    n  , o ile p

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    21/39

                  

              

    B2

    B1

    (

    (

    (] ] ]

    ] ]

    0

    0

    1

    1 p1

     p1 p2   p1   p1 + p2(1 − p1)

    Niech teraz  Bn =2n−1· j=1

    (x(n) j   , y

    (n) j   ] ∈ C1,przedz.   .

    Nastȩpnie utwórzmy zbiór Bn+1, wybieraja̧c z każdego przedzialu wchodza̧-cego w sklad Bn   pn+1–ta̧ czȩ́śc (pocza̧tkowa̧) i podobnie posta̧pimy z prze-dzialami (0, 1]   Bn. Zauważ, że   B1, B2, . . .   sa̧ modelem dla nieskończo-nego cia̧gu prób Bernoulliego ( p1  =  p2  = · · ·  =  p) z prawdopodobieństwemsukcesu  p.

    Zadanie 6.5

    Niech ([0, 1]2,B2, λ2) bȩdzie kwadratem jednostkowym z  σ–cialem zbiorów

    borelowskich i miara̧ Lebesgue. Dla ustalonego cia̧gu liczb 0 ≤   αn  ≤   1zbudować cia̧g zbiorów borelowskich   Bn ∈ B2   tak, aby tworzyly one cia̧gniezależny i  P (Bn) = αn.

    Zadanie 6.6

    OznaczmyA1  = {(−∞, a] :  a ∈ R}  ,A2  = {(−∞, a) : a ∈ R}  ,A3  = {(a, +∞) : a ∈ R}  ,

    A4  =

     {[a, +

    ∞) : a

     ∈R

    } ,

    A5  = {(a, b) : a, b ∈ R}  ,A6  = {[a, b] : a, b ∈ R}  ,A7  = {(a, b] : a, b ∈ R}  ,A8  = {[a, b) : a, b ∈ R}  .

    Udowodnij, że  σ(Ai) = σ(A j) = B   (σ–cialo zbiorów borelowskich w R).

    21

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    22/39

    Zadanie 6.7

    OznaczmyA1  = {(−∞, a1] × (−∞, a2] : a1, a2 ∈ R} ,A2  = {(a1, b1] × (a2, b2] : a1, a2, b1, b2 ∈ R}  .

    Udowodnij, że  σ(A1) = σ(A2) = B2   (σ–cialo zbiorów borelowskich w R2).

    Zadanie 6.8

    Niech (Ω j , F  j) bȩda̧ przestrzeniami mierzalnymi ( j   = 1, 2, 3). Zalóżmy, żeϕ   : Ω1 →  Ω2,   ξ   : Ω2 →  Ω3   sa̧ odwzorowaniami mierzalnymi. Udowodnić,że  ξ  ◦ ϕ  : Ω1 →  Ω3  jest odwzorowaniem mierzalnym. Wywnioskować sta̧d,że gdy   X   : (Ω,

    F , P )

     → R   jest zmienna̧ losowa̧, a   g   :  R

     → R   jest funkcja̧

    borelowska̧, to  g ◦ X  jest zmienna̧ losowa̧.

    Zadanie 6.9

    Niech  ϕ   : Ω1 →  Ω2   bȩdzie dowolnym odwzorowaniem pomiȩdzy przestrze-niemi mierzalnymi (Ω1, F 1) i (Ω2, F 2). Niech C ⊆ F 2 bȩdzie dowolna̧ rodzina̧podzbiorów Ω2 taka̧, że σ(C) = F 2. Udowodnić, że nastȩpuja̧ce dwa warunkisa̧ równoważne

    (a) dla każdego  A ∈ C  zachodzi  ϕ−1(A) ∈ F 1   ,(b) dla każdego A ∈ F 2  zachodzi  ϕ−1(A) ∈ F 1.

    Zadanie 6.10

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧ i X   : Ω → R. Udowodnić,że nastȩpuja̧ce warunki sa̧ równoważne

    (a)  X  jest zmienna̧ losowa̧,(b)  X −1((−∞, a)) = {ω ∈ Ω : X (ω) < a} ∈ F  dla każdego a ∈ R,(c)  X −1((−∞, a]) = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ a} ∈ F  dla każdego  a ∈ R  ,(d)  X −1((a, ∞)) ∈ F  dla każdego  a ∈ R  ,(e)  X −1([a, ∞)) ∈ F  dla każdego  a ∈ R  ,(f)  X −1((a, b)) ∈ F  dla dowolnych  a < b  ,(g)  X −1((a, b)) ∈ F  dla dowolnych wymiernych a < b  .

    Zadanie 6.11

    Niech Ω = {−1, 0, 1}   , F   = {{0, 1}, {−1}, ∅, {−1, 0, 1}}   ,   P ({ j}) =   14   dla j   = 0, 1 oraz  P ({−1}) =   12   . Niech  X (ω) = 1 − ω2 . Czy  X   jest zmienna̧losowa̧? Zalóżmy, że zmodyfikujemy P  tak, aby P ({ j}) =   13  dla j  = −1, 0, 1 .

    22

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    23/39

    Czy teraz sytuacja poprawi siȩ i  X  jest zmienna̧ losowa̧? Czy modyfikuja̧c

    F do  σ –ciala maksymalnego, otrzymamy, że  X   : (Ω, 2Ω, P ) → R  jest zmienna̧losowa̧?

    Zadanie 6.12

    Niech   X   :{−1, 0, 1}, 2{−1,0,1} →  R   bȩdzie odwzorowaniem mierzalnym

    zdefiniowanym  X (ω) = 2017 − 2015ω2016 . Znajdź  σ(X ) .Niech Y (ω) = ω3−2016 i   Z (ω) ≡ π  bȩda̧ zmiennymi losowymi określonymina tej samej przestrzeni

    {−1, 0, 1}, 2{−1,0,1}   . Znajdź  σ (Y ) i  σ (Z ) .Zadanie 6.13* (Unikaj losowósci, gdy możesz grać na pewna̧

    wygrana̧)

    Na wyścigach konnych, gdzie biegnie 10 koni, bookmacher placi   wk£   zakażdego 1£   postawionego na   k-tego konia (o ile ten wygra) i oczywísciezwraca postawionego 1£   (pienia̧dze postawione na konie przegrane sa̧ zys-kiem bookmachera). Ten bookmacher jest “lekkomýslny”, bo dal tak wyso-

    kie wyplaty, że zachodzi nierówność10

    k=1

    1

    wk + 1  <   1. Czy potrafisz tak

    obstawiać, aby wygrywać z prawdopodobieństwem 1 (tzn. mieć pewny zyskniezależnie od kolejności koni na mecie)?

    Zadanie 6.14*Niech   ζ , η , ξ    bȩda̧ zmiennymi losowymi określonymi na przestrzeni prob-abilistycznej (Ω, F , P ). Zalóżmy, że zmienne losowe   ζ, η   maja̧ ten samrozklad. Czy wówczas iloczyny  ζ ξ   ,  ηξ   też maja̧ ten sam rozklad?

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 7

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 7.1

    Niech Ω bȩdzie ustalonym zbiorem niepustym. Klasȩ M   podzbiorów Ωnazywamy monotoniczna̧, gdy wraz z dowolnym cia̧giem monotonicznymzbioŕow  An ∈ M,  n  = 1, 2, . . .   klasa M   zawiera granicȩ tego cia̧gu (A1 ⊆

    23

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    24/39

    A2 ⊆ ·· · ⊆

     An· · · ∈ M

      =⇒

    ∞n=1

    An ∈ M

      oraz   A1 ⊇

     A2 ⊇ ·· · ⊇

     An· · · ∈

    M   =⇒∞

    n=1An ∈ M). Udowodnij, że dla ustalonego ciala C  podzbiorów

    Ω najmniejsza klasa monotoniczna zawieraja̧ca cialo C   jest identyczna znajmniejszym  σ –cialem zawieraja̧cym C.

    Zadanie 7.2

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧ oraz F 1, F 2, . . .   (skoń-czonym lub nie) cia̧giem σ–cial niezależnych (tzn. ∀Aj1∈F j1 ,Aj2∈F j2 ,...,Ajk∈F jkzachodzi P (A j1∩A j2∩· · ·∩A jk) = P (A j1)P (A j2) · · · P (A jk)). Udowodnij, że

    dla dowolnego podzialu cia̧gu F 1, F 2, . . .  na dwa podcia̧gi F s1 , F s2 , F s3 , . . .i F r1 , F r2 , F r3 , . . .  (przy czym {s1, s2, s3, . . . } ∩ {r1, r2, r3, . . . } = ∅)  σ–cialaσ(

     j=1F sj) i  σ (

     j=1

    F rj ) sa̧ niezależne.

    Zadanie 7.3

    Niech A1, A2, . . .  bȩdzie dowolnym cia̧giem zdarzeń niezależnych w (Ω, F , P ).Zauważýc, że σ({A1}), σ({A2}), . . .   sa̧ niezależne. Udowodnij, że niezależnesa̧  σ({A1, . . . , An}) i  σ({An+1, An+2, . . . }).

    Zadanie 7.4 (Twierdzenie   0

    −1  Kolmogorowa)

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie ustalona̧ przestrzenia̧ probabilistyczna̧. Pokazać,że dla dowolnego zdarzenia   A ∈

    ∞n=1

    σ

     ∞k=n

    F k

    , gdzie F 1, F 2, F 3, . . .   sa̧niezależnymi podσ–cialami w F , mamy  P (A) = 0 lub  P (A) = 1.

    Zadanie 7.5

    Niech   A1, A2, A3, . . .   bȩdzie cia̧giem zdarzeń niezależnych ustalonej przes-trzeni probabilistycznej (Ω, F , P ). Zalóżmy, że dla każdego   n   parzystegomamy   P (An) =

      1n

      , a dla każdego   n   nieparzystego mamy   P (An) =  1n2

      .Znajdź prawdopodobieństwa, że zajdzie nieskończenie wiele zdarzeń   An

    oraz, że zajda̧ istotnie wszystkie zdarzenia  An   (ω  należy istotnie do wszys-

    tkich zdarzeń   An, gdy istnieje   k(ω) takie, że   ω  ∈∞

    n=k(ω)

    An, tzn.   ω  ∈

    lim inf  An =∞

    k=1

    ∞n=k

    An). Czy zwiȩkszaja̧c P (An) do 1 −   1n2   dla n  nieparzys-

    24

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    25/39

    tych, zmieni siȩ odpowiedź dla  P (∞

    k=1

    ∞n=k

    An)?

    Zadanie 7.6*

    Niech {An}n≥1 oraz {Bn}n≥1 bȩda̧ cia̧gami zdarzeń mierzalnych z przestrzeniprobabilistycznej (Ω, F , P ). Niech z prawdopodobieństwem 1 zajdzie nieskoń-czenie wiele zdarzeń  An   i z prawdopodobieństwem 0 zajdzie nieskończeniewiele zdarzeń   Bn   = Ω − Bn. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1zajdzie nieskończenie wiele zdarzeń  An ∩ Bn.

    Zadanie 7.7* (Problem Huygensa )

    Dwaj gracze A i B rzucaja̧ dwiema symetrycznymi kostkami (sześciennymi).Grȩ rozpoczyna gracz A. Jeżeli suma oczek równa 6 wypadnie graczowi Aprȩdzej nieżeli u gracza B suma oczek wypadnie 7, to gracz A wygrywa. Wprzypadku przeciwnym wygrywa gracz B. Jakie jest prawdopodobieństwowygrania dla A?

    Zadanie 7.8** (Problem Suslina )

    Niech   A ⊆  R2 bȩdzie borelowskim podzbiorem plaszczyzny   2-wymiarowej .Niech  πx(A) = {t ∈ R   :   ∃y∈R   (t, y) ∈  A}  (rzut zbioru  A  na ós  OX ). Czyzawsze  πx(A) jest borelowskim podzbiorem w  R?

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 8

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 8.1

    Niech Ω = [0, 1] , F  = B   i  P   = λ . Określamy  X   : Ω → R  nastȩpuja̧co(a)  X (ω) = ω2 ,

    (b)  X (ω) = ω + 1 ,

    (c)  X (ω) =

      dla   ω ∈ (0, 1] ,0 dla   ω = 0 ,

    25

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    26/39

    (d)  X (ω) =ln(ω) dla   ω ∈ (0, 1] ,0 dla   ω = 0 .

    Znajdź rozklad (dystrybuantȩ, gȩstość) zmiennej losowej X , medianȩ, wartósćoczekiwana̧ i wariancjȩ (o ile istnieja̧).

    Zadanie 8.2

    (a)   Niech zmienne losowe   X 1, X 2, . . . , X  n   bȩda̧ niezależne o tym samymrozkladzie  P (X  j  = 1) = p,  P (X  j  = 0) = 1 − p, gdzie 0 < p  0,λ > 0 (rozklad Rayleigha)

    (b)   F X 2(x) =

    0 dla  x ≤ 0,1 − e−x

    p

    λ   dla  x > 0.λ, p > 0 (rozklad Weibulla)

    W przypadku   λ   = 1, p   = 2 oblicz z dokladnościa̧ inżynierska̧ (używaja̧ckalkulatora) mediany oraz kwantyle  κ0.1, κ0.4, κ0.8.

    26

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    27/39

    Zadanie 8.5

    Wykres gȩstości zmiennej losowej  X   przedstawiono na rysunku. Wyznaczwartość oczekiwana̧ i wariancjȩ zmiennej losowej   X   oraz znajdź i narysuj(wymagana inżynierska staranność) dystrybuantȩ.

     

    -1 1 2 3

    0,5

    y

    x

    y =  f (x)

            

              

          

    Zadanie 8.6

    Zmienna losowa X  ma rozklad o gȩstósci

    f (x) =

    0.5x   dla 0 ≤ x ≤ 2,0 poza tym.

    Obliczyć wartość oczekiwana̧, wariancjȩ zmiennej losowej X  oraz medianȩ.

    Zadanie 8.7 Każdy(a) student(ka) musi rozwia̧zać to zadanie

    w domu i pokazać swoje rozwia̧zanie asystentowi na ćwiczeniachDystrybuanta zmiennej losowej  X  podana jest formula̧

    F X (x) =

    (1 + x)2 dla   − 1 ≤ x

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    28/39

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    29/39

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 9

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 9.1

    Niech ([0, 1], B[0,1], λ[0,1]) bȩdzie standardowa̧ przestrzenia̧ probabilistyczna̧.Zdefiniujmy na tej przestrzeni zmienna̧ losowa̧  X (ω) =

      j=1

    2ωj3j

      , gdzie  ω   =

     j=1ωj2j

      jest reprezentacja̧ liczby 0 ≤   ω ≤  1 w postaci binarnej (czyli   ω j ∈{0, 1}). Udowodnij, że dystrybuanta  F X  jest funkcja̧ cia̧gla̧, ale rozklad  µX 

     jest skoncentrowany na zbiorze Cantora C  (czyli X  jest zmienna̧ losowa̧ typusingularnego, ponieważ  µX (C ) = 1; pamiȩtamy, że miara Lebesgua zbioruCantora λ(C ) = 0).Uwaga. Wykres tej dystrybuanty F X  nazywany jest w literaturze anglojȩzycz-nej “diabelskimi schodami”. Spróbuj sam naszkicować wykres  F X .

    Zadanie 9.2

    Niech zmienna losowa X  ma rozklad symetryczny (tzn. dla dowolnego zbioruborelowskiego   B

     ⊆ R   mamy   P (X 

     ∈  B) =   P (X 

     ∈ −B) , np. zmienna

    gaussowska o rozkladzie N (0, 1)) i a > 0 dowolnie ustalona liczba dodatnia.Znajdź rozklad zmiennej losowej

    X a(ω) =

    X (ω) ,   jeżeli   |X |(ω) < a ,−X (ω) ,   jeżeli   |X |(ω) ≥ a .

    Przypomnienie. Zmienne losowe   X 1, X 2, . . .   (określone na tej samej przes-trzeni probabilistycznej (Ω, F , P )) sa̧ niezależne, gdy generowane przez nieσ–ciala  σ(X 1),  σ(X 2) . . .   sa̧ niezależne.

    Zadanie 9.3

    Niech  X  bȩdzie zmienna̧ losowa̧ o rozkladzie   N (0, 1) oraz   Y   = eX ,  Z   =1

    1 + X 2. Zna jdź gȩstości zmiennych losowych   Y    i   Z   . Oblicz   E (Y ).

    29

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    30/39

    Zadanie 9.4

    Niech X  bȩdzie zmienna̧ losowa̧ o rozkladzie N (0, 1) oraz   Z  = X 2. Znajdźgȩstość   Z . Oblicz   E (Z ).

    Zadanie 9.5

    Niech X  bȩdzie zmienna̧ losowa̧ o rozkladzie jednostajnym na odcinku (2, 4)

    oraz   U   =   X 2 i   W   =  1

    5 − X . Znajdź gȩstości zmiennych losowych   U i   W . Oblicz wartości oczekiwane  E(U ) i  E(W ) dwiema metodami, razużywaja̧c gȩstósci   f X   zmiennej losowej   X , a potem wykorzystuja̧c wyzna-czone wcześniej  f U ,  f W .

    Zadanie 9.6

    Niech U   bȩdzie zmienna̧ losowa̧ o rozkladzie jednostajnym na odcinku [0, 1],

    tzn.   F U (x) =

    0 dla   x ≤ 0 ,x   dla 0 ≤ x ≤ 1 ,1 dla 1 ≤ x .

    Niech teraz   F   :  R →  R   bȩdzie funkcja̧ ścísle rosna̧ca̧, cia̧gla̧ i spelniaja̧ca̧lim

    x→−∞F (x) = 0 oraz limx→∞F (x) = 1. Znajdź dystrybuantȩ zmiennej losowej

    Y (ω) =  F −1(U (ω)). Czy odpowiedź ulegnie zmianie, jeżeli  F   bȩdzie tylko

    ściśle rosna̧ca i prawostronnie cia̧gla? A jak posta̧píc, gdy   F   bȩdzie tylkoniemaleja̧ca i prawostronnie cia̧gla?

    Zadanie 9.7

    Niech  X ,   Y   sa̧ zmiennymi losowymi określonymi na (Ω, F , P ) o skończo-nym drugim momencie, gdzie   V ar(X ) = 0. Wyznacz stale liczbowe   a ,   btak, aby   E (Y  − aX  − b)2 byla minimalna.

    Zadanie 9.8

    Niech zmienna losowa   X   oznacza wysokość czlowieka (w [cm]), a   Y   jego

    wagȩ (w [kg]). Przebadano losowo wybrana̧ grupȩ (11 osób) i uzyskanonastȩpuja̧ce wyniki (w miejsca x1,  y1  wstaw swój wzrost i wagȩ a w miejscex2,  y2  wstaw odpowiednio parametry dowolnej osoby ze swojej rodziny).

    xi   x1   x2   152 194 165 178 155 195 182 175 173

    yi   y1   y2   48 84 65 79 68 96 89 72 85

    30

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    31/39

    Wyznaczyć równania prostych regresji cechy  X   wzglȩdem  Y   i cechy  Y 

    wzglȩdem cechy  X .   Każdy student przynosi rozwia̧zanie jako “wej-ściówkȩ” na drugie kolokwium. Wykresy należy wykreślíc olówkiem napapierze milimetrowym, a wszystkie obliczenia musza̧ być wykonane rȩcznielub na prostym kalkulatorze posiadaja̧cym jedynie dzialania +, −, ×, ÷   imaja̧ być zawarte w rozwia̧zaniu. Rozwia̧zania wykorzystuja̧ce zaawan-sowane programy komputerowe i wydruk komputerowy zamiast rysunku niebȩda̧ akceptowane. Na wykresie zaznacz wszystkie punkty (xi, yi). Jaksa̧dzisz, czy regresja liniowa daje dobre dopasowanie dla tych danych?Wskazówka. Patrz W.Krysicki, J.Bartos, W.Dyczka, K.Królikowski, M.Wa-silewski “Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zada-niach. Czȩść II. Statystyka matematyczna”, wyd. VII, PWN (2000), od

    str. 151.

    Zadanie 9.9

    Wykazać, że wspólczynnik korelacji jest symetryczny (ρ(X, Y ) =  ρ(Y, X ))oraz nie zmienia siȩ przy przeksztalceniach liniowych, tzn.   ρ(X, Y ) =±ρ(aX  + b,cY   + d) (o ile   a = 0,   c = 0).

    Zadanie 9.10

    Niech zmienna losowa   X   oznacza silȩ oporu dzialaja̧ca̧ na samolot, a   V 

     jego prȩdkósć. W tunelu aerodynamicznym przetestowano aerodynamikȩsamolotu (aby studenta nie wykończyć numerycznie podajemy tylko 11 po-miarów) i uzyskano nastȩpuja̧ce wyniki

    vi   0.03 0.06 0.25 0.57 0.67 0.87 0.94 1.18 1.25 1.34 1.56

    xi   0.0022 0.018 0.31 0.94 1.81 2.58 3.12 4.43 4.85 6.06 8.29

    Wyznaczyć równania prostych regresji cechy  X   wzglȩdem  V   i cechy  V wzglȩdem   X .   Każdy student przynosi rozwia̧zanie na ćwiczenia.Wykresy należy wykreślíc olówkiem na papierze milimetrowym, a wszystkieobliczenia musza̧ być wykonane rȩcznie lub na prostym kalkulatorze po-siadaja̧cym jedynie dzialania +, −, ×, ÷   i maja̧ być zawarte w rozwia̧zaniu.Projekt oddać swojemu asystentowi do 30.V.2016r. Rozwia̧zania wykorzys-tuja̧ce zaawansowane programy komputerowe i wydruk komputerowy zami-ast rysunku nie bȩda̧ akceptowane. Na wykresie zaznacz wszystkie punkty(xi, vi). Jak sa̧dzisz, czy regresja liniowa daje dobre dopasowanie dla tychdanych?

    31

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    32/39

    * Znajdź regresjȩ kwadratowa̧ (poszukaj odpowiednia̧ literaturȩ; np. R.

    Magiera,   Modele i metody statystyki matematycznej , GiS).

    Zadanie 9.11*

    Niech X  ,  Y   bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkladzieP (X  = i) = P (Y   = i) =   1

    2i  (i = 1, 2, . . . ) . Zna jdź

    (a)  P (min(X, Y ) ≤ i) , (b)  P (X  = Y ) ,(c)  P (Y > X ) , (d) P (Y   dzieli  X ) .

    Zadanie 9.12* (Nierównoś́c Bella )

    Niech  ζ , ϑ , ψ  bȩda̧ zmiennymi losowymi takimi, że |ζ | ≤ 1, |ϑ| ≤ 1 i |ψ| ≤ 1z prawdopodobieństwem 1. Udowodnij

    |Eζϑ − Eζψ| ≤ 1 − Eϑψ .

    Wskazówka: Wykorzystaj nierówność  ϑ(1 + ψ) ≤ 1 + ψ.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 10

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Przypomnienie

    EX  = Ω

    XdP   ,   V ar(X ) = Ω

    (X  − EX )2dP   = EX 2 − (EX )2

    Zadanie 10.1

    Mówimy, że zmienna losowa X   : (Ω, F , P ) → R  ma:(a) rozklad jednopunktowy, gdy istnieje  a ∈ R  takie, że

    P (X  = a) = 1.Oblicz E X  ,  V ar(X ) .

    (b) rozklad dwupunktowy, gdy istnieja̧  a ∈ R   ,  b ∈ R  takie, żeP (X  = a) = p  ,  P (X  = b) = q   , ( p + q  = 1).Oblicz E X  ,  V ar(X ) .

    (c) rozklad Bernoulliego (dwumianowy), gdy

    32

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    33/39

    P (X  = k) = nk pk(1 − p)n−k ,  k  = 0, 1, . . . , n , 0

     ≤ p

     ≤ 1.

    Oblicz E X  ,  V ar(X ) .

    (d) rozklad Poissona z parametrem λ > 0 , gdy

    P (X  = k) =   λk

    k! e−λ ,  k  = 0, 1, 2, . . . .

    Oblicz E X  ,  V ar(X ) .

    (e) rozklad geometryczny, gdyP (X  = k) = (1 − p)k−1 p  ,  k  = 1, 2, . . .   , 0 < p  0, gdy

    P (X  ≤ t) =

    0 dla   t ≤ 0 ,1 − e−λt dla   t > 0 .

    Oblicz E X  ,  V ar(X ) .

    (h) rozklad gamma z parametrami  a > 0,  p > 0, gdy ma gȩstośćf (x) =   a

    p

    Γ( p)x p−1e−ax1[0,∞)(x) .

    Oblicz E X  ,  V ar(X ) .

    (i) rozklad Cauchy’ego, gdy ma gȩstośćf (x) =   λ

    π((x−m)2+λ2)   ,  λ > 0.Udowodnij, że tutaj wartość oczekiwana nie istnieje.

    (j) rozklad normalny N (m, σ2) , gdy ma gȩstośćf (x) =   1√ 

    2πσe−

    (x−m)2

    2σ2 .

    Oblicz E X  ,  V ar(X ) .

    33

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    34/39

    Zadanie 10.2*

    Niech Φ bȩdzie dystrybuanta̧ zmiennej losowej o rozkladzie N (0, 1). Udo-wodnij, że dla każdego  x > 0

    1

    x −   1

    x3

    e−

    12x

    2<

    √ 2π [1 − Φ(x)] <   1

    xe−

    12x

    2.

    Zadanie 10.3*

    Sprawdź, że gȩstość   f X   zmiennej losowej   X   o rozkladzie N (0, 1) spelniaf X (x) + xf X (x) = 0. Wywnioskuj sta̧d, że dla  x > 0

    1x −   1x3   <  1 − Φ(x)f X (x)   <   1x −   1x3  +   3x5   ,

    gdzie Φ oznacza dystrybuantȩ rozkladu normalnego.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 11

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 11.1

    Niech zmienna losowa X  ma rozklad Cauchy’ego z parametrami  m  = 1, λ =2. Dla ustalonej liczby   a = 0 znajdź rozklad (gȩstość) zmiennej losowejY   =   a

    X .

    Zadanie 11.2

    Niech  X   bȩdzie nieujemna̧ zmienna̧ losowa̧ o gȩstósci   f X . Znajdź rozklad(gȩstość) zmiennej losowej Y   =   14+X .

    Zadanie 11.3

    Niech (Ω, F , P ) bȩdzie przestrzenia̧ probabilistyczna̧. Niech dalej  X , Y ,  X n(n = 1, 2, . . . ) bȩda̧ zmiennymi losowymi. Udowodnij, że

    X  ∨ Y (ω) = max{X (ω), Y (ω)} ,

    X  ∧ Y (ω) = min{X (ω), Y (ω)}  ,

    34

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    35/39

    ∞n=1

    X n(ω) = sup{X n(ω) : n  = 1, 2, . . . }  ,

    ∞n=1

    X n(ω) = inf {X n(ω) : n  = 1, 2, . . . } ,

    |X |  ,√ 

    X  , o ile  X  ≥ 0

    sa̧ zmiennymi losowymi na (Ω, F , P ).

    Udowodnij ponadto, że {ω ∈ Ω : limn→∞X n(ω) istnieje   } ∈ F .Zadanie 11.4

    Niech zmienne losowe  X, Y   bȩda̧ niezależne o dystrybuantach odpowiednioF X    i   F Y   . Znajdź dystrybuanty zmiennych losowych   V    = max{X, Y }   iU  = min{X, Y }. Zastosuj otrzymany rezultat do rozkladów wykladniczych.

    Zadanie 11.5

    Niech zmienna losowa X  ma dystrybuantȩ F X (t) = t2 dla 0 ≤ t ≤ 1. Znajdź

    (i narysuj) dystrybuantȩ

    (a) zmiennej losowej  Y  = min{13 , X } ,(b) zmiennej losowej  Z  = max{12 , X } ,(c) zmiennej losowej  U  = max{Y, Z } ,(d) zmiennej losowej  W   = (X  + 2)2.

    Wyznacz wartości oczekiwane zmiennych losowych  X, Y , Z, U i W  .

    Zadanie 11.6

    Punkt   x ∈  R   nazywamy   punktem skokowym   rozkladu   µX   zmiennej loso-wej  X , gdy   µX ({x}) =  P (X   =  x)  >  0. Pokazać, że rozklad prawdopodo-bieństwa µX  może mieć co najwyżej przeliczalnie wiele punktów skokowych.

    Zadanie 11.7

    Niech X, Y   bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi określonymi na tej samejprzestrzeni probabilistycznej (Ω, F , P ). Zalóżmy, że   X   ma rozklad cia̧gly(tzn. dystrybuanta   F X   jest funkcja̧ cia̧gla̧). Udowodnij, że   P ({ω ∈   Ω :X (ω) = Y (ω)}) = 0.

    35

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    36/39

    Zadanie 11.8

    Wykazać, że jeżeli zmienna losowa ma rozklad dyskretny, a  ϕ :  R → R  jestfunkcja̧ borelowska̧, to   Y   =   ϕ(X ) jest zmienna̧ losowa̧ dyskretna̧ i   Y   marozklad  µY   ({y}) =

      {k:ϕ(X k)=y}

    tk   , gdzie  tk  =  P (X  = xk) .

    Zadanie 11.9

    Urna zawiera  n  kul ponumerowanych 1, 2, . . . , n. Z urny losowo wycia̧gamyk   kul (bez zwracania), gdzie   k   jest ustalona̧ liczba̧ (1 ≤  k ≤  n). Niech   X oznacza zmienna̧ losowa̧ równa̧ sumie liczb z wylosowanych kul. Znajdź EX i  V ar(X ).

    Zadanie 11.10

    Niech zmienne losowe  X ,  Y   określone sa̧ na tej samej przestrzeni (Ω, F , P )i maja̧ ten sam rozklad. Czy zawsze  E 

      X 

    X +Y  

    = E 

      Y  

    X +Y  

    ?

    Zadanie 11.11

    Niech  X   bȩdzie zmienna̧ losowa̧ o rozkladzie gamma z parametrami  a > 0, p > 1. Oblicz  E 

    1

    .

    Zadanie 11.12Niech X  bȩdzie zmienna̧ losowa̧ o rozkladzie jednostajnym na odcinku [a, b],gdzie 0 < a < b. Oblicz

    (a)  E (X r) dla  r ∈ R ,

    (b)  E 

      X 1+X 

    ,

    (c)  E (X  ln X ) .

    Zadanie 11.13*

    Udowodnij, że dla dowolnej dystrybuanty  F  i dowolnej liczby rzeczywisteja ≥ 0 mamy  

    R

    [F (x + a) − F (x)]dx =  a .

    36

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    37/39

    Zadanie 11.14*

    Niech bȩda̧ dane zmienne losowe  ξ, θ   określone na przestrzeni probabilisty-cznej (Ω, F , P ) i takie, że |ξ | ≤   c1   oraz |θ| ≤   c2, gdzie   c1, c2   sa̧ pewnymistalymi dodatnimi. Udowodnij, że jeżeli dla dowolnych  m, n ≥  1 zachodziEξ nθm = Eξ nEθm, to  ξ , θ  sa̧ niezależne.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Lista 12

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Zadanie 12.1

    Niech  X   bȩdzie zmienna̧ losowa̧ o rozkladzie gamma z parametrami  a > 0, p > 0. Oblicz

    (a)  E 

    X eX 

    ,(b)  E (X  ln X ) .

    Zadanie 12.2

    Niech  X   bȩdzie zmienna̧ losowa̧ o rozkladzie N (0, 1) oraz  Y   = eX . Znajdźgȩstość  Y  . Oblicz  E (Y ).

    Zadanie 12.3

    Niech  X   bȩdzie zmienna̧ losowa̧ o wartościach w zbiorze  N0  = {0, 1, 2, . . . }z prawdopodobieństwem 1. Udowodnij, że   E (X ) =

    ∞n=0

    P (X > n) =

    ∞k=1

    P (X  ≥ k).

    Zadanie 12.4

    Urna zawiera  b

     ≥ 1 kul bialych i  c

     ≥ 0 kul czarnych. Z urny losujemy (bez

    zwracania) kule tak dlugo, aż wycia̧gniemy kulȩ biala̧. Niech   T   oznaczaliczbȩ losowań koniecznych do wycia̧gniȩcia kuli bialej (po raz pierwszy).Pokazać, że  E (T ) =   b+c+1

    b+1   .

    37

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    38/39

    Zadanie 12.5

    Niech   X   bȩdzie nieujemna̧ (z prawdopodobieństwem 1) zmienna̧ losowa̧.Udowodnij, że dla każdego  r ≥ 1

    E (X r) =

    ∞ 0

    rxr−1P (X > x)dx .

    Zadanie 12.6

    Dystrybuanta zmiennej losowej  X  ma postać

    F X (t) =

    0 dla   t <  1,t30   dla 1 ≤ t

  • 8/19/2019 Zad Rach 1516

    39/39

    Zadanie 12.9*

    Niech zmienna losowa  θ  bȩdzie typu dyskretnego a zmienna losowa  ξ  bȩdzietypu singularnego (obie określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej(Ω, F , P )). Udowodnij, że suma   θ +  ξ   jest typu singularnego. Czy sumadwóch zmiennych losowych typu singularnego zawsze jest typu singularnego?

    Zadanie 12.10*

    Niech zmienne losowe   ζ, ξ   określone na tej samej przestrzeni probabilisty-cznej (Ω, F , P ) maja̧ rozklady 2-punktowe (być może różne). Udowodnij, żeζ ,  ξ   sa̧ niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy sa̧ nieskorelowane.

    39