[email protected] - amesh.sk½abka-geometrické_a_algebraické_metódy_v... · schönberg, arnold:...
TRANSCRIPT
Geometrické a algebraické metódyv teórii a analýze hudby
Marek ŽabkaKategra muzikológie, Filozofická fakulta UK, Bratislava
Večery o metodológii vied5. marca 2014
Interakciehudby s matematikou
• Pytagorejské matematy:• Staroveké akustické poznatky v pytagorejskom učení o harmónii
• Musica v stredovekom systéme univerzitného vzdelávania
• Kepler: Harmonices mundi, 1619
• Rola matematiky pri kreovaní základných princípov hudobných štruktúr:• Pytagoras -> tónové systémy• Johannes de Muris (13./14. st., ars nova) -> metro-rytmický systém• Renesančno-barokové teórie ladení -> chromatický harmonický systém
Matematika a hudba (?)
• Matematizácia v hudobnovednom výskume má veľký význam, pretožeprispieva k jeho falzifikovateľnosti, resp. vyvrátiteľnosti.
• Popperova filozofia vedy a vedeckého poznania: falzifikovateľnosť akokritérium vedeckosti.
• Ide o argumentáciu podobnú Chomskyho obhajobe formalizácie lingvistiky:
Popperovská argumentácia pre matematizáciu muzikológie
„Presne zostrojené modely lingvistickej štruktúry môžu hrať dôležitú rolu[...] v samotnom procese objavovania.
Ak dovedieme presnú, no neadekvátnu formuláciu k neprijateľnýmzáverom, môžeme tak často odhaliť presný zdroj tejto neadekvátnosti a
následne získať hlbšie poznatky o lingvistických údajoch.“
Noam Chomsky: Syntactic Structures
Marin Mersenne: Harmonicorum libri, 1635/36
Problém:„Vyjadriť kombinácie alebo variácie štyroch tónov tetrachordualebo intervalu kvarty UT, RE, MI, FA pomocou bežných nôt.“
Riešenie:Zo štyroch tónov možno vytvoriť 24 rôznych melódií.
Model Mersennovej hudobnej kombinatorikyMusica
Ars combinatoria
Hudobný objekt:Melódia
Hudobný problém:Popíš všetky 4-tónové melódie
Hudobné riešenie:
Matematický objekt:Permutácia
Matematický problém:Popíš permutácie 4 prvkov
Matematické riešenie:Ide o týchto 24 permutácií
Formalizáciamelódie
Interpretáciapermutácií
Kombinatorika
Ide o týchto 24 melódií
???
Všeobecný model interakcie hudby s matematikouMusica
Ars combinatoria
Hudobný objekt:Melódia
Hudobný problém:Popíš všetky 4-tónové melódie
Hudobné riešenie:
Matematický objekt:Permutácia
Matematický problém:Popíš permutácie 4 prvkov
Matematické riešenie:Ide o týchto 24 permutácií
Formalizáciamelódie
Interpretáciapermutácií
Kombinatorika
Ide o týchto 24 melódií
???
Incitačná oblasť
Referenčná oblasť
Incitačný problém
týkajúci sa incitačných(hudobných) objektova konceptov
Incitačné riešenie
vyjadrené incitačným jazykom
Referenčný problém
týkajúci sa referenčných(matematických) objektova konceptov
Referenčné riešenie
Vyjadrené referenčnýmjazykom (matematiky)
Matematizácia Dematematizácia
Referenčný(matematický)prieskum
???
1. Formálna interakcia
2. Sprostredkovaná interakcia
3. Kvantifikačná interakcia
4. Štruktúrna interakcia: konceptualizácia a matematický prieskum
Štyri typy interakcie muzikológie s matematikou
1) Formálna interakcia• Motivácia: snaha o zvýšenie vedeckej hodnoty muzikológie• Inšpirácia výdobytkami iných vied:
• Axiomatická výstavba matematiky• Univerzálnosť prírodných zákonov fyziky
• Riziko:Môže vôbec existovať hudobný zákon? (Filipove vývinové zákony/trendy)
• Motivácia: snaha o zvýšenie vedeckej hodnoty muzikológie
• Inšpirácia výdobytkami iných vied:• Axiomatická výstavba matematiky• Univerzálnosť prírodných zákonov fyziky
• Riziko:Môže vôbec existovať hudobný zákon? (Filipove vývinové zákony/trendy)
1) Formálna interakcia
1) Formálnainterakcia
Úskalia a výhody formálnej interakcie„V hudobnej teórii nepodkladám za ideál nejakú formalizáciu ,an
sich‘, azda pre akýsi samoľúby narcizmus elegantnosti konštrukciealebo preto, že to možno príde do módy, že sa to robí inde alebo
pre prázdne hochštaplerské blufovanie čitateľa.
[...] Ide len o to, ako perspektívne využiť tie obdivuhodnémyšlienkové nástroje, ktoré v daktorých iných disciplínach tak
posunuli vývoj dopredu a ktorésú nenahraditeľné inými prostriedkami.“
Miroslav Filip: Hudobná teória a jej vzťah k formálnym vedám
• Motivácia: reduktívny potenciál matematických metód
• Komplexné vstupné hudobné údaje sú redukované matematickou metódou najednoduchšie
• Využívané sú tu typicky štatistické metódy
• Riziko:Snaha o „verifikáciu“ (pseudo)zákonov
2) Kvantifikačná interakcia
2) Kvantifikačnáinterakcia
Príklady kvantifikačnej interakcie• Jednoduché deskriptívne štatistiky
• Zipf-Mandelbrottov zákon
• Aplikácie Shannonovej teórie informácie
• Aplikácia Markovoých reťazcov
• Aplikácia moderných štatistických metód (data-mining, parametrické modely,skryté Markovove reťazce atď.; pozri napr. Beran: Statistics in Musicology)
3) Sprostredkovaná interakcia• Interakcia sprostredkovaná (mediovaná) inou disciplínou
• Príklady mediačných disciplín:• Fyzika• Psychológia• Informatika
• Nejde vlastne o priamu interakciu muzikológie/hudby s matematikou
3) Sprostredkovanáinterakcia
• Motivácia: podobnosť hudobných a matematických štruktúr
• Matematika poskytuje nástroje na popísanie hudobných štruktúr:• Algebra• Geometria
• Dva nadväzujúce incitačné problémy:• Konceptualizácia• Matematický prieskum
• Riziko:Demuzikalizácia matematického prieskumu
4) Štruktúrna interakcia
4) Štruktúrnainterakcia:
Konceptualizácia
4) Štruktúrnainterakcia:
Prieskum
Príklady štruktúrnej interakcie• Mersennova hudobná kombinatorika• Využitie teórie grúp v hudobnej teórii
(už v r. 1924, W. Graeser)• Množiny, grupy, akcie na množine v Americkej teórii množín
(Babbitt, Milton, Lewin, Rahn, Morris)• Pólyova enumeračná teória aplikovaná na hudobné objekty (Fripertinger)• Teória kategórií a toposov aplikovaná na hudbu
(Mazzola: The Topos of Music, 2002)• Transformačná teória hudby
(Lewin: Generalized Musical Intervals and Transformations, 1987)• Neo-Riemannovské teórie
(Cohn: Audacious Euphony, 2012)• Geometrizujúca hudobná teória a tzv. priestory vedenia hlasov
(Tymoczko: Geometry of Music, 2011)
Sofistikovaná štruktúrna interakcia
„Kritický čitateľ môže položiť otázku, či hudba je skutočne taká zložitá.Odpoveď znie áno a dôvod je zrejmý:
Nemôžeme tvrdiť, že Bach, Haydn, Mozart alebo Beethoven [...] sú vynikajúciskladatelia a že vytvorili majstrovské diela večnej hodnoty, bez toho,
aby sme sa pokúsili pochopiť takéto jedinečné výtvorys primeranými nástrojmi, čo znamená nástrojmi primeranej hĺbky a sily.“
Guerino Mazzola: The Topos of Music
1. Formálna interakcia
2. Sprostredkovaná interakcia
3. Kvantifikačná interakcia
4. Štruktúrna interakcia:konceptualizáciamatematický prieskum
Štyri typy interakcie muzikológie s matematikou
„vlastná“ matematizácia hudobných objektov
Abstraktné hudobné priestory(Príklady štruktúrnych interakcií hudby a matematiky)
• Abstraktné modely hudobných štruktúr a ich vizualizácia• Predstavujú teoretický netemporálny priestor štruktúrnych možnosté• Konkrétne hudba, komponovaná alebo interpretovaná, je tak sťaby
„trajektóriou“ v tomto abstraktnom priestore• Lewin (1993) v analýze Stockhausenovho Klavierstück III:
[The relations underlying the abstract space] exist outside human time in an abstractuniverse of quasi-spatial potentialities; they cannot be manifested in music exceptthrough human gestures that move through chronological time...
• Morrisov (1995) ontologicky spriaznený pojem “compositional space”:[A] compositional space is a set of musical objects related and/or connected in at leastone specific way. But most importantly, compositional spaces are nontemporallyinterpreted – that is, they are out-of-time
Abstraktné hudobné priestory
Oblasti aplikácie
Analýza
Interpretácia
Kompozícia
Teória
Hudobnápsychológia
Musica Enchiriadis (neskoré 9. st.)
• Naša notácia tónov je základným príkladom
Priestorové HORE/DOLE reprezentuje VYSOKÚ/NÍZKU tónovú výšku
Salinas (16. st.)
Salinas, Francisco de: De musica, Mathias Gastius, Salamanca, 1577, 1592(Reprint: M. S. Kastner (ed.), Documenta Musicologica I no. 13, Bärenreiter, Kassel, 1958.)
Systém tónov(stupnica)
Glareanov Dodecachordon (16. st.)
Glarean, H.: Dodecachordon, H. Petri, Basel, 1547(Facsimile: Broude, New York, 1979.)
Systém stupníc
Euler, Leonhard: De harmoniae veris principiis per speculum musicum representatis. In: NoviCommentarii academiae scientiarum Petropolitanae 18, 1774, pp. 330-353
Euler – speculum musicum (18. st.)
Asi najdôležitejší model
2D systém tónov
Riemann, Hugo: Über das musikalische Hören, Göttingen, Leipzig, 1874
Hugo Riemann a iní nemeckí teoretici 19. st.
Nekonečný 2Dsystém
TONNETZ
Hostinského Tonnetz
Hostinský, Otakar: Die Lehre von den musikalischen Klängen,H. Dominicus, Prague, 1879
InáTONNETZ
Tanaka, Shohé: Studien im Gebiete der reinen Stimmung. In: Chrysander, F.; Spitta, P. & Adler,G. (Eds.): Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft, Breitkopf und Härtel, Leipzig, 1890, 6, 1-90
Shohé Tanaka – 53-tónový systém (1890)
Rozšírený systémtónov
Oettingen, Arthur von: Die Grundlageder Musikwissenschaft und das dualeReininstrument, Abhandllungen dermathematisch-physischen Klasse derKönigl. Sächsischen Gesellschaft derWissenschaften, Leipzig, 1916, 34
Arthur von Oettingen – 53-tónový systém
Iný rozšírenýsystém
Weber: priestorový model pre kompozíciu (19. st.)
Weber, Gottfried: Versuch einergeordneten Theorie der Tonsetzkunst zumSelbstunterricht, Bd. 2, Mainz, Schott, 1824
Systém stupnícpre KOMPOZÍCIU
Schönberg – kompozícia (20. st.)
Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954
Systém harmóniípre KOMPOZÍCIU
„Mapy“ harmonických priestorov – v hudobnej teórii
Imig, Renate: Systeme derFunktionsbezeichnung in denHarmonielehre seit HugoRiemann, Orpheus, Düsseldorf,1970
Systém harmóniípre TEÓRIU
Kellerova analýza Mozarta
Keller, Wilhelm: Die Modulationen in Mozarts Fantasie KV 475In: Weiss, G. (Ed.): Festschrift Erich Valentin, Regensburg, 1976, 79-88
Systém harmóniípre ANALÝZU
Lerdahlove analytické priestory
Systém harmónií a tonalítANALÝZA
Douthett, Jack – Steinbach, Peter: Parsimonious Graphs: A Study in Parsimony, ContextualTransformations, and Modes of Limited Transposition, Journal of Music Theory, 1998, 42, 241-263
Douthettove grafy: Cube Dance a Power Towers
Systémkvintakordov
ANALÝZASystém
septakordovANALÝZA
Cohnove analytické priestory
Systémykvintakordov a
septakordovv ANALÝZE
Jankóova klaviatúra (1882)
“Izomorfná klaviatúra”(derivovaný z Tonnetz)
pre INTERPRETÁCIU
Bosanquetova klaviatúra (1876)
Bosanquet, R. H. Macdowall: An Elementary Treatise on Musical Intervals and Temperament (London 1876)In: Rasch, R. (Ed.): Diapason Press, Utrecht, 1976
Rozšírená izomorfnáklaviatúra
pre INTEREPRETÁCIU(a KOMPOZÍCIU)
Fokkerova klaviatúra (1950)
Rozšírená izomorfnáklaviatúra
pre INTEREPRETÁCIU(a KOMPOZÍCIU)
Moderné izomorfné klaviatúry
Terpstra ChromatoneRozšírená izomorfná
klaviatúrapre INTEREPRETÁCIU
(a KOMPOZÍCIU)
Hudobná psychológia – 19. st.
Modely tónovej výškyv PSYCHOLÓGII
Opelt, 1834
Drobisch, 1855 Révész, 1954
Shepard, Roger N.: Geometrical Approximations to the Structure of Musical PitchPsychol. Rev., 1982, 89, 305-333
Hudobná psychológia – 20. st.
Pokročilé modely tónovejvýšky
v PSYCHOLÓGII
Krumhansl, Carol L.: Perceived Triad Distance: Evidence Supporting the PsychologicalReality of Neo-Riemannian Transformations, Journal of Music Theory, 1998, 42, 265-281
Hudobná psychológia – 20. st.
Modely kvintakordovv PSYCHOLÓGII
Ekvivalentné s Tonnetz
Toroidálne modely
Oblasti aplikujúce metafore abstraktného priestoru
AnalýzaCohn
InterpretáciaFokker
KompozíciaSchönberg
Riemann Teória
Hudobnápsychológia
Shepard
TonnetzTónová sieť
Euler, Leonhard: De harmoniae veris principiis per speculum musicum representatis. In: NoviCommentarii academiae scientiarum Petropolitanae 18, 1774, pp. 330-353
Eulerovo speculum musicum
čisté kvinty
veľké tercie
Hostinského Tonnetz
Hostinský, Otakar: Die Lehre von den musikalischen Klängen,H. Dominicus, Prague, 1879
kvinty
veľké tercie
Krumhanslovej Tonnetz
Krumhansl, Carol L.: Perceived Triad Distance: Evidence Supporting the PsychologicalReality of Neo-Riemannian Transformations, Journal of Music Theory, 1998, 42, 265-281
kvinty
veľké tercie
Tonnetz ako 2D generovaný tónový systém
3C♯ 3G♯ 3D♯ 3A♯ 3E♯ 3B♯ 3F♯♯ 3C♯♯ 3G♯♯ 3D♯♯ 3A♯♯
2A 2E 2B 2F♯ 2C♯ 2G♯ 2D♯ 2A♯ 2E♯ 2B♯ 2F♯♯
1F 1C 1G 1D 1A 1E 1B 1F♯ 1C♯ 1G♯ 1D♯
Db Ab Eb Bb F C G D A E B
1Bbb 1Fb 1Cb 1Gb 1Db 1Ab 1Eb 1Bb 1F 1C 1G
2Gbb 2Dbb 2Abb 2Ebb 2Bbb 2Fb 2Cb 2Gb 2Db 2Ab 2Eb
Db Ab Eb Bb F C G D A E B
3C♯♯
2A♯
1F♯
D
1Bb
2Gb
kvinty
veľké tercie
Eulerovo speculum musicum ako podmnožina Tonnetz
3C♯ 3G♯ 3D♯ 3A♯ 3E♯ 3B♯ 3F♯♯ 3C♯♯ 3G♯♯ 3D♯♯ 3A♯♯
2A 2E 2B 2F♯ 2C♯ 2G♯ 2D♯ 2A♯ 2E♯ 2B♯ 2F♯♯
1F 1C 1G 1D 1A 1E 1B 1F♯ 1C♯ 1G♯ 1D♯
D♭ A♭ E♭ B♭ F C G D A E B
1B♭♭ 1F♭ 1C♭ 1G♭ 1D♭ 1A♭ 1E♭ 1B♭ 1F 1C 1G
2G♭♭ 2D♭♭ 2A♭♭ 2E♭♭ 2B♭♭ 2F♭ 2C♭ 2G♭ 2D♭ 2A♭ 2E♭
1E 1B 1F♯ 1C♯
C G D A
1A♭ 1E♭ 1B♭ 1F
Úsporné transformáciena TonnetzZáklady Cohnovej “neo-Riemannovskej” teórie
Tonnetz a jej duál
G D A E B F♯ C♯ G♯ D♯
E♭ B♭ F C G D A E B
E B F♯ C♯ G♯ D♯ A♯ E♯ H♯
E♭♭ H♭♭ F♭ C♭ G♭ D♭ A♭ E♭ B♭
G♭ D♭ A♭ E♭ B♭ F C G D
G♯ D♯ A♯ E♯ B♯ F♯♯ C♯♯ G♯♯ D♯♯
aC
cA♭
f
F
Úsporné transformácie na Tonnetz
G D A E B F♯ C♯ G♯ D♯
E♭ B♭ F C G D A E B
E B F♯ C♯ G♯ D♯ A♯ E♯ H♯
E♭♭ H♭♭ F♭ C♭ G♭ D♭ A♭ E♭ B♭
G♭ D♭ A♭ E♭ B♭ F C G D
L – Leittonwechsel
P – parallel
R– relative
G♯ D♯ A♯ E♯ B♯ F♯♯ C♯♯ G♯♯ D♯♯
L a P sú úspornejšie ako R
Schubert, Sonatina in G Minor, Op. 137, No. 3, II
B♭ ii V7 (C♭)
B b G
g E♭ C♭
Analýza Schuberte
G D A E B F♯ C♯ G♯ D♯
E♭ B♭ F C G D A E B
E B F♯ C♯ G♯ D♯ A♯ E♯ H♯
E♭♭ H♭♭ F♭ C♭ G♭ D♭ A♭ E♭ B♭
G♭ D♭ A♭ E♭ B♭ F C G D
B b G
g E♭ C♭
P
P
L
L
PL
Reťazec úsporných“neo-Riemannovských” transformácií:
P – L – P – L – PL
Schubert analyzovaný Cube Dance
• Tonnetz – prístupný model úsporných transformácií kvintakordov, teda množín3 tónov
• Zovšeobecnenia pre viac ako 3 tóny – problém viacrozmernosti• Gollinov (1998) model septakordov: 3D• Tymoczkov (2011) model septakordov: dokonca 4D!
• Môj model generovaných tónových systémov:• Všetky modely sú derivované z 2D Tonnetz• Model pre 3-tónové množiny zodpovedá Cube Dance• Ďalšie modely pre 4- a 7- tónové množiny
Zovšeobecnenia pre množiny viac ako 3 tónov
Gollin, Edward: Some Aspects of Three-Dimensional "Tonnetze“, JMT, 1998, 42, 195-206
Gollinov 3D model 4-tónové akordy
Tymoczko, Dmitri: A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice,Oxford University Press, 2011
Tymoczkov 3D model pre 3-tónové akordy
Zodpovedá Cube Dance
Tymoczkov 4D model pre 4-tónové akordy
Tymoczko, Dmitri: A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice,Oxford University Press, 2011
Generované tónové systémy
Model pre 3-tónové akordy
Model pre 4-tónové akordy
Chopin: Mazurka no. 13
Chopin: Mazurka no. 13
Plane Dance
Tube DanceDonut Dance
3 hd7 DÙ-2 hd7 BÙ-1 hd7 G 0 hd7 E1 hd7 CÛ2 hd7 AÛ3 hd7 FÛÛ4 hd7
FÙ-3 mi7 DÙ-2 mi7 BÙ-1 mi7 G0 mi7 E1 mi7 CÛ2 mi7 AÛ3 mi7 FÛÛ4
ÙÙ4 d7 FÙ-3 d7 DÙ-2 d7 BÙ-1 d7 G 0 d7 E 1 d7 CÛ2 d7 AÛ3 d7
AÙ-2 dim7 F-1 dim7 D0 dim7 B1 dim7 GÛ2 dim7 EÛ3 dim7 CÛÛ4 dim7 AÛÛ5 dim7
3 hd7 AÙ-2 hd7 F-1 hd7 D0 hd7 B1 hd7 GÛ2 hd7 EÛ3 hd7 CÛÛ4 hd7
CÙ-3 mi7 AÙ-2 mi7 F-1 mi7 D0 mi7 B1 mi7 GÛ2 mi7 EÛ3 mi7 CÛÛ4
ÙÙ4 d7 CÙ-3 d7 AÙ-2 d7 F-1 d7 D0 d7 B 1 d7 GÛ2 d7 EÛ3 d7
EÙ-2 dim7 C-1 dim7 A0 dim7 FÛ1 dim7 DÛ2 dim7 BÛ3 dim7 GÛÛ4 dim7 EÛÛ5 dim7
3 hd7 EÙ-2 hd7 C-1 hd7 A 0 hd7 FÛ1 hd7 DÛ2 hd7 BÛ3 hd7 GÛÛ4 hd7
GÙ-3 mi7 EÙ-2 mi7 C-1 mi7 A0 mi7 FÛ1 mi7 DÛ2 mi7 BÛ3 mi7 GÛÛ4
ÙÙ4 d7 GÙ-3 d7 EÙ-2 d7 C-1 d7 A0 d7 FÛ1 d7 DÛ2 d7 BÛ3 d7
BÙ-2 dim7 G -1 dim7 E0 dim7 CÛ1 dim7 AÛ2 dim7 FÛÛ3 dim7 DÛÛ4 dim7 BÛÛ5 dim7
3 hd7 BÙ-2 hd7 G -1 hd7 E 0 hd7 CÛ1 hd7 AÛ2 hd7 FÛÛ3 hd7 DÛÛ4 hd7
DÙ-3 mi7 BÙ-2 mi7 G -1 mi7 E0 mi7 CÛ1 mi7 AÛ2 mi7 FÛÛ3 mi7 DÛÛ4
Ù4 d7 DÙ-3 d7 BÙ-2 d7 G -1 d7 E0 d7 CÛ1 d7 AÛ2 d7 FÛÛ3 d7
F-2 dim7 D-1 dim7 B0 dim7 GÛ1 dim7 EÛ2 dim7 CÛÛ3 dim7 AÛÛ4 dim7 FÛÛÛ5 dim7
3 hd7 F-2 hd7 D-1 hd7 B 0 hd7 GÛ1 hd7 EÛ2 hd7 CÛÛ3 hd7 AÛÛ4 hd7
AÙ-3 mi7 F-2 mi7 D-1 mi7 B0 mi7 GÛ1 mi7 EÛ2 mi7 CÛÛ3 mi7 AÛÛ4
Ù-4 d7 AÙ-3 d7 F-2 d7 D-1 d7 B0 d7 GÛ1 d7 EÛ2 d7 CÛÛ3 d7
C-2 dim7 A -1 dim7 FÛ0 dim7 DÛ1 dim7 BÛ2 dim7 GÛÛ3 dim7 EÛÛ4 dim7 CÛÛÛ5
3 hd7 C-2 hd7 A -1 hd7 FÛ0 hd7 DÛ1 hd7 BÛ2 hd7 GÛÛ3 hd7 EÛÛ4 hd7
hd7 DÙhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7
FÙmi7 DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛ
ÙÙd7 FÙd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7
AÙdim7 Fdim7 Ddim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7
Ùhd7 AÙhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7
CÙmi7 AÙmi7 F mi7 Dmi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛ
ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7
EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7
Ùhd7 EÙhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7
GÙmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 GÛÛ
ÙÙd7 GÙd7 EÙd7 Cd7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7
BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7
Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7
DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ
Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7
F dim7 D dim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7
Ùhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7 AÛÛhd7
AÙmi7 Fmi7 D mi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛmi7 AÛÛ
Ùd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7 CÛÛd7
C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7 CÛÛÛ
Ùhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7 EÛÛhd7
Ùhd7
CÙmi7
AÙhd7
AÙmi7
F hd7
F mi7
D hd7
D mi7
B hd7
B mi7
G Ûhd7
G Ûmi7
EÛhd7
EÛmi7
CÛÛhd7
CÛÛ
ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 F d7 D d7 B d7 G Ûd7 EÛd7
EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 G ÛÛdim7 EÛÛdim7
Ùhd7 EÙhd7 C hd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 G ÛÛhd7
G Ùmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 G ÛÛ
ÙÙd7 G Ùd7 EÙd7 C d7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7
BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7
Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7
DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ
Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7
F dim7 D dim7 B dim7 G Ûdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7
Chopin: Mazurka no. 1
3 hd7 DÙ-2 hd7 BÙ-1 hd7 G 0 hd7 E1 hd7 CÛ2 hd7 AÛ3 hd7 FÛÛ4 hd7
FÙ-3 mi7 DÙ-2 mi7 BÙ-1 mi7 G0 mi7 E1 mi7 CÛ2 mi7 AÛ3 mi7 FÛÛ4
ÙÙ4 d7 FÙ-3 d7 DÙ-2 d7 BÙ-1 d7 G 0 d7 E 1 d7 CÛ2 d7 AÛ3 d7
AÙ-2 dim7 F-1 dim7 D0 dim7 B1 dim7 GÛ2 dim7 EÛ3 dim7 CÛÛ4 dim7 AÛÛ5 dim7
3 hd7 AÙ-2 hd7 F-1 hd7 D0 hd7 B1 hd7 GÛ2 hd7 EÛ3 hd7 CÛÛ4 hd7
CÙ-3 mi7 AÙ-2 mi7 F-1 mi7 D0 mi7 B1 mi7 GÛ2 mi7 EÛ3 mi7 CÛÛ4
ÙÙ4 d7 CÙ-3 d7 AÙ-2 d7 F-1 d7 D0 d7 B 1 d7 GÛ2 d7 EÛ3 d7
EÙ-2 dim7 C-1 dim7 A0 dim7 FÛ1 dim7 DÛ2 dim7 BÛ3 dim7 GÛÛ4 dim7 EÛÛ5 dim7
3 hd7 EÙ-2 hd7 C-1 hd7 A 0 hd7 FÛ1 hd7 DÛ2 hd7 BÛ3 hd7 GÛÛ4 hd7
GÙ-3 mi7 EÙ-2 mi7 C-1 mi7 A0 mi7 FÛ1 mi7 DÛ2 mi7 BÛ3 mi7 GÛÛ4
ÙÙ4 d7 GÙ-3 d7 EÙ-2 d7 C-1 d7 A0 d7 FÛ1 d7 DÛ2 d7 BÛ3 d7
BÙ-2 dim7 G -1 dim7 E0 dim7 CÛ1 dim7 AÛ2 dim7 FÛÛ3 dim7 DÛÛ4 dim7 BÛÛ5 dim7
3 hd7 BÙ-2 hd7 G -1 hd7 E 0 hd7 CÛ1 hd7 AÛ2 hd7 FÛÛ3 hd7 DÛÛ4 hd7
DÙ-3 mi7 BÙ-2 mi7 G -1 mi7 E0 mi7 CÛ1 mi7 AÛ2 mi7 FÛÛ3 mi7 DÛÛ4
Ù4 d7 DÙ-3 d7 BÙ-2 d7 G -1 d7 E0 d7 CÛ1 d7 AÛ2 d7 FÛÛ3 d7
F-2 dim7 D-1 dim7 B0 dim7 GÛ1 dim7 EÛ2 dim7 CÛÛ3 dim7 AÛÛ4 dim7 FÛÛÛ5 dim7
3 hd7 F-2 hd7 D-1 hd7 B 0 hd7 GÛ1 hd7 EÛ2 hd7 CÛÛ3 hd7 AÛÛ4 hd7
AÙ-3 mi7 F-2 mi7 D-1 mi7 B0 mi7 GÛ1 mi7 EÛ2 mi7 CÛÛ3 mi7 AÛÛ4
Ù-4 d7 AÙ-3 d7 F-2 d7 D-1 d7 B0 d7 GÛ1 d7 EÛ2 d7 CÛÛ3 d7
C-2 dim7 A -1 dim7 FÛ0 dim7 DÛ1 dim7 BÛ2 dim7 GÛÛ3 dim7 EÛÛ4 dim7 CÛÛÛ5
3 hd7 C-2 hd7 A -1 hd7 FÛ0 hd7 DÛ1 hd7 BÛ2 hd7 GÛÛ3 hd7 EÛÛ4 hd7
hd7 DÙhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7
FÙmi7 DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛ
ÙÙd7 FÙd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7
AÙdim7 Fdim7 Ddim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7
Ùhd7 AÙhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7
CÙmi7 AÙmi7 F mi7 Dmi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛ
ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7
EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7
Ùhd7 EÙhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7
GÙmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 GÛÛ
ÙÙd7 GÙd7 EÙd7 Cd7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7
BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7
Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7
DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ
Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7
F dim7 D dim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7
Ùhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7 AÛÛhd7
AÙmi7 Fmi7 D mi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛmi7 AÛÛ
Ùd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7 CÛÛd7
C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7 CÛÛÛ
Ùhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7 EÛÛhd7
Ùhd7
CÙmi7
AÙhd7
AÙmi7
F hd7
F mi7
D hd7
D mi7
B hd7
B mi7
G Ûhd7
G Ûmi7
EÛhd7
EÛmi7
CÛÛhd7
CÛÛ
ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 F d7 D d7 B d7 G Ûd7 EÛd7
EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 G ÛÛdim7 EÛÛdim7
Ùhd7 EÙhd7 C hd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 G ÛÛhd7
G Ùmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 G ÛÛ
ÙÙd7 G Ùd7 EÙd7 C d7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7
BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7
Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7
DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ
Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7
F dim7 D dim7 B dim7 G Ûdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7
zekvivalentnenie
3 hd7 DÙ-2 hd7 BÙ-1 hd7 G 0 hd7 E1 hd7 CÛ2 hd7 AÛ3 hd7 FÛÛ4 hd7
FÙ-3 mi7 DÙ-2 mi7 BÙ-1 mi7 G0 mi7 E1 mi7 CÛ2 mi7 AÛ3 mi7 FÛÛ4
ÙÙ4 d7 FÙ-3 d7 DÙ-2 d7 BÙ-1 d7 G 0 d7 E 1 d7 CÛ2 d7 AÛ3 d7
AÙ-2 dim7 F-1 dim7 D0 dim7 B1 dim7 GÛ2 dim7 EÛ3 dim7 CÛÛ4 dim7 AÛÛ5 dim7
3 hd7 AÙ-2 hd7 F-1 hd7 D0 hd7 B1 hd7 GÛ2 hd7 EÛ3 hd7 CÛÛ4 hd7
CÙ-3 mi7 AÙ-2 mi7 F-1 mi7 D0 mi7 B1 mi7 GÛ2 mi7 EÛ3 mi7 CÛÛ4
ÙÙ4 d7 CÙ-3 d7 AÙ-2 d7 F-1 d7 D0 d7 B 1 d7 GÛ2 d7 EÛ3 d7
EÙ-2 dim7 C-1 dim7 A0 dim7 FÛ1 dim7 DÛ2 dim7 BÛ3 dim7 GÛÛ4 dim7 EÛÛ5 dim7
3 hd7 EÙ-2 hd7 C-1 hd7 A 0 hd7 FÛ1 hd7 DÛ2 hd7 BÛ3 hd7 GÛÛ4 hd7
GÙ-3 mi7 EÙ-2 mi7 C-1 mi7 A0 mi7 FÛ1 mi7 DÛ2 mi7 BÛ3 mi7 GÛÛ4
ÙÙ4 d7 GÙ-3 d7 EÙ-2 d7 C-1 d7 A0 d7 FÛ1 d7 DÛ2 d7 BÛ3 d7
BÙ-2 dim7 G -1 dim7 E0 dim7 CÛ1 dim7 AÛ2 dim7 FÛÛ3 dim7 DÛÛ4 dim7 BÛÛ5 dim7
3 hd7 BÙ-2 hd7 G -1 hd7 E 0 hd7 CÛ1 hd7 AÛ2 hd7 FÛÛ3 hd7 DÛÛ4 hd7
DÙ-3 mi7 BÙ-2 mi7 G -1 mi7 E0 mi7 CÛ1 mi7 AÛ2 mi7 FÛÛ3 mi7 DÛÛ4
Ù4 d7 DÙ-3 d7 BÙ-2 d7 G -1 d7 E0 d7 CÛ1 d7 AÛ2 d7 FÛÛ3 d7
F-2 dim7 D-1 dim7 B0 dim7 GÛ1 dim7 EÛ2 dim7 CÛÛ3 dim7 AÛÛ4 dim7 FÛÛÛ5 dim7
3 hd7 F-2 hd7 D-1 hd7 B 0 hd7 GÛ1 hd7 EÛ2 hd7 CÛÛ3 hd7 AÛÛ4 hd7
AÙ-3 mi7 F-2 mi7 D-1 mi7 B0 mi7 GÛ1 mi7 EÛ2 mi7 CÛÛ3 mi7 AÛÛ4
Ù-4 d7 AÙ-3 d7 F-2 d7 D-1 d7 B0 d7 GÛ1 d7 EÛ2 d7 CÛÛ3 d7
C-2 dim7 A -1 dim7 FÛ0 dim7 DÛ1 dim7 BÛ2 dim7 GÛÛ3 dim7 EÛÛ4 dim7 CÛÛÛ5
3 hd7 C-2 hd7 A -1 hd7 FÛ0 hd7 DÛ1 hd7 BÛ2 hd7 GÛÛ3 hd7 EÛÛ4 hd7
hd7 DÙhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7
FÙmi7 DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛ
ÙÙd7 FÙd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7
AÙdim7 Fdim7 Ddim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7
Ùhd7 AÙhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7
CÙmi7 AÙmi7 F mi7 Dmi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛ
ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7
EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7
Ùhd7 EÙhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7
GÙmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 GÛÛ
ÙÙd7 GÙd7 EÙd7 Cd7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7
BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7
Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7
DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ
Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7
F dim7 D dim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7
Ùhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7 AÛÛhd7
AÙmi7 Fmi7 D mi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛmi7 AÛÛ
Ùd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7 CÛÛd7
C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7 CÛÛÛ
Ùhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7 EÛÛhd7
Ùhd7
CÙmi7
AÙhd7
AÙmi7
F hd7
F mi7
D hd7
D mi7
B hd7
B mi7
G Ûhd7
G Ûmi7
EÛhd7
EÛmi7
CÛÛhd7
CÛÛ
ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 F d7 D d7 B d7 G Ûd7 EÛd7
EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 G ÛÛdim7 EÛÛdim7
Ùhd7 EÙhd7 C hd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 G ÛÛhd7
G Ùmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 G ÛÛ
ÙÙd7 G Ùd7 EÙd7 C d7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7
BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7
Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7
DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ
Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7
F dim7 D dim7 B dim7 G Ûdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7
Alternatívne trasa štvrtého podmotívu
Modely pre 7-tónové „akordy“ (stupnice)
Debussy: La fille aux cheveux de lin
Debussy: La puerta del Vino
Fh-M
FM
CNp-M
Ch-mi C
h-M
GHn-M
CHn-M
BÙM
Gh-mi
DNp-mi
FNp-M
GNp-mi
CM
GNp-M
Gh-M
DHn-M
Dh-mi
ANp-mi
GM
DNp-MD
h-MA
Hn-MA
h-mi ENp-miD
M
ANp-M
Ah-M
EHn-M
Eh-mi
BNp-mi
AM
ENp-M
Eh-M
BHn-M
Bh-mi
FÛNp-mi
EM
BNp-M
Bh-M
FÛHn-M
FÛh-mi
CÛNp-mi
BM
FÛNp-M
FÛh-M
CÛHn-M
CÛh-mi
GÛNp-mi
FÛM
CÛNp-M
CÛh-M
GÛHn-M
GÛh-mi
DÛNp-mi
DÙM
AÙNp-M
AÙh-M
EÙHn-M
EÙh-mi
BÙNp-mi
AÙM
EÙNp-M
EÙh-M
BÙHn-M
BÙh-mi
FNp-mi
EÙM
BÙNp-M
BÙh-M
FHn-M
Fh-mi
CNp-mi
Mozart: Fantázia c mol (K475)
Fh-M
FM
CNp-M
Ch-mi C
h-M
GHn-M
CHn-M
BÙM
Gh-mi
DNp-mi
FNp-M
GNp-mi
CM
GNp-M
Gh-M
DHn-M
Dh-mi
ANp-mi
GM
DNp-MD
h-MA
Hn-MA
h-mi ENp-miD
M
ANp-M
Ah-M
EHn-M
Eh-mi
BNp-mi
AM
ENp-M
Eh-M
BHn-M
Bh-mi
FÛNp-mi
EM
BNp-M
Bh-M
FÛHn-M
FÛh-mi
CÛNp-mi
BM
FÛNp-M
FÛh-M
CÛHn-M
CÛh-mi
GÛNp-mi
FÛM
CÛNp-M
CÛh-M
GÛHn-M
GÛh-mi
DÛNp-mi
DÙM
AÙNp-M
AÙh-M
EÙHn-M
EÙh-mi
BÙNp-mi
AÙM
EÙNp-M
EÙh-M
BÙHn-M
BÙh-mi
FNp-mi
EÙM
BÙNp-M
BÙh-M
FHn-M
Fh-mi
CNp-mi
sequence
A♭ ac
sequence
3
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
17
18
21
21
22
1
Ďakujem za Vašu pozornosť!