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<ul><li><p>Captulo 8</p><p>Transformada Z</p><p>La bibliografa para el estudio de este tema es:</p><p> el Captulos 3, Z Transform y el Captulo 5, Transform Analysis of Time-Invariant Systems</p><p>del libro de Oppenheim, A., Schafer, R., Discrete-Time Signal Processing, 2da. Edicin,Prentice-Hall, Inc., 1998.</p><p>8.1 Idea de la demostracin del Teorema de Cauchy</p><p>Re</p><p>Im</p><p>( ) jr e </p><p>( )r </p><p>Fig. 8.1: Contorno de integracin para la Ec. 8.1.</p><p>Se desea probar que ICzkdz =</p><p>2j, si k = 1,0, si k = 1,</p><p>(8.1)</p><p>donde C es un contorno cerrado que rodea al origen y orientado en sentido antihorario(Fig. 8.1). Es conveniente introducir el cambio de variables z = r () ej parametrizandoel contorno C en funcin del ngulo . Es evidente que</p><p>dz =</p><p>d r ()d</p><p>ej + r ()d ej</p><p>d</p><p>d</p><p>= r0 () ej d + j r () ej d.</p><p>1</p></li><li><p>2 CAPTULO 8. TRANSFORMADA Z</p><p>Para k = 1, el integrando es</p><p>zkdz = z1 dz</p><p>=1</p><p>r () ejhr0 () ej + j r () ej</p><p>id</p><p>=r0 ()r ()</p><p>d + j d.</p><p>Por lo tanto, ICz1dz =</p><p>Z 20</p><p>r0 ()r ()</p><p>d +Z 20j d</p><p>=</p><p>Z 20</p><p>d</p><p>d[ln r ()] d +</p><p>Z 20j d</p><p>= ln r ()|20 + j|20= 2j (8.2)</p><p>pues r (0) = r (2) , y adems r () 6= 0 para todo [0, 2) pues el contorno de integra-cin rodea al origen.</p><p>Para el caso en que k = m 2, se tiene que</p><p>zmdz =1</p><p>rm () ejmhr0 () ej + j r () ej</p><p>id</p><p>=1</p><p>m 1d</p><p>d</p><p>1</p><p>rm1 () ej(m1)</p><p>d</p><p>y entonces, ICzmdz =</p><p>Z 20</p><p>1</p><p>m 1d</p><p>d</p><p>1</p><p>rm1 () ej(m1)</p><p>d</p><p>=1</p><p>m 11</p><p>rm () ejm</p><p>20</p><p>= 0. (8.3)</p><p>Finalmente, si k = p 0 (es decir, p 0), resulta</p><p>zmdz = zpdz = rp () ejphr0 () ej + j r () ej</p><p>id</p><p>=1</p><p>p+ 1</p><p>d</p><p>d</p><p>hr(p+1) () ej(p+1)</p><p>id,</p><p>y entonces ICzkdz =</p><p>ICzpdz</p><p>=</p><p>IC</p><p>1</p><p>p+ 1</p><p>d</p><p>d</p><p>hr(p+1) () ej(p+1)</p><p>id</p><p>=1</p><p>p+ 1</p><p>hr(p+1) () ej(p+1)</p><p>i20</p><p>= 0. (8.4)</p><p>De (8.2)-(8.4) queda probado (8.1).</p></li><li><p>8.2. EJEMPLOS DE APLICACIN DE LA TRANSFORMADA Z 3</p><p>8.2 Ejemplos de aplicacin de la transformada Z8.2.1 Propiedad de convolucin</p><p>Ejemplo 8.1 Clculo de la convolucin entre dos sucesionesSe debe calcular la convolucin entre la sucesin x[n] = anu[n], donde se supone que |a| &lt; 1, y lasucesin h[n] = u[n 1]. En este ejemplo se exploran dos alternativas: Clculo de la convolucin por definicin: Si y[n] = x[n] h[n], como x[n] es causal y h[n]es no causal se encuentra que</p><p>y[n] =Xk</p><p>x[k]h[n k]y[n] =( P</p><p>k=0 x[k]h[n k], si n &lt; 0,Pk=n+1 x[k]h[n k], sin 0.</p><p>Entonces, para n &lt; 0 se tiene que</p><p>y[n] =Xk=0</p><p>x[k]h[n k] =Xk=0</p><p>ak =1</p><p>1 a.</p><p>Por otra parte, si n 0,</p><p>y[n] =X</p><p>k=n+1</p><p>x[k]h[n k] =X</p><p>k=n+1</p><p>ak =Xk=0</p><p>ak nXk=0</p><p>ak =1</p><p>1 a 1 an+11 a =</p><p>an+1</p><p>1 a.</p><p>Por lo tanto,</p><p>y[n] = x[n] h[n] =( 1</p><p>1a , si n &lt; 0,</p><p>an+1</p><p>1a , si n 0.(8.5)</p><p> Clculo de la convolucin aplicando la transformada ZEn general,es mucho ms sencillo antitransformar el producto de las transformadas Z de lassucesiones que efectuar el clculo de la convolucin por definicin. en este caso,</p><p>x[n] = anu[n]Z X(z) = 1</p><p>1 az1 , |z| &gt; |a|,</p><p>h[n] = u[n 1] Z H(z) = (1)1 z1 , |z| &lt; 1.</p><p>Como |a| &lt; 1, las regiones de convergencia de X(z) y de Y (z) se solapan en |a| &lt; |z| &lt; 1, yentonces se puede definir</p><p>Y (z) = X(z)H(z) =1</p><p>1 az1 (1)1 z1 , para |a| &lt; |z| &lt; 1.</p><p>Expresando Y (z) en fracciones parciales,</p><p>Y (z) =A0</p><p>1 az1 +A1</p><p>1 z1 ,</p><p>donde</p><p>A0 = Y (z)(1 az1)z=a</p><p>=(1)1 z1</p><p>z=a</p><p>=1</p><p>1 a1 =a</p><p>1 a,</p><p>A1 = Y (z)(1 z1)z=1</p><p>=(1)</p><p>1 az1</p><p>z=1</p><p>=11 a.</p></li><li><p>4 CAPTULO 8. TRANSFORMADA Z</p><p>sucesin transformada regin de convergencia</p><p>1. [n] 1 todo el plano z</p><p>2. [nm] zm todo z salvo 0 (si m &gt; 0)o (si m &lt; 0)</p><p>3. u[n]1</p><p>1 z1 |z| &gt; 1</p><p>4. u[n 1] 11 z1 |z| &lt; 1</p><p>5. anu[n]1</p><p>1 az1 |z| &gt; |a|</p><p>6. anu[n 1] 11 az1 |z| &lt; |a|</p><p>13. cos(0n)u[n]1 cos0 z1</p><p>1 2 cos0 z1 + z2|z| &gt; 1</p><p>14. sen(0n)u[n]sen0 z1</p><p>1 2 cos0 z1 + z2|z| &gt; 1</p><p>15. rn cos(0n)u[n]1 r cos0 z1</p><p>1 2r cos0 z1 + r2z2|z| &gt; r</p><p>16. rn sen(0n)u[n]r sen0 z1</p><p>1 2r cos0 z1 + r2z2|z| &gt; r</p><p>17.</p><p>(an, 0 n N 10, caso contrario</p><p>1 aNzN1 az1 |z| &gt; 0</p><p>Tabla 8.1: Algunos pares de transformadas Z (consultar la Seccin 8.7 para una tabla mscompleta).</p><p>Por lo tanto,</p><p>Y (z) =</p><p>a</p><p>1 a</p><p>1</p><p>1 az1 +11 a</p><p>1</p><p>1 z1 , para |a| &lt; |z| &lt; 1.</p><p>Para el polo en z = a, la regin de convergencia es el exterior de un crculo, y por lo tantola antitransformada corresponde a una sucesin derecha. Para el polo en z = 1 la regin deconvergencia es el interior de un crculo, y en consecuencia se asocia a una sucesin izquierda.En definitiva,</p><p>y[n] =</p><p>a</p><p>1 a</p><p>anu[n] +</p><p>1</p><p>1 au[n 1],</p><p>que, evidentemente, coincide con la convolucin calculada por definicin en (8.5). 2</p><p>8.3 Clculos de transformadas inversas</p><p>Una de las principales aplicaciones de la transformada Z es en el anlisis de sistemaslineales discretos. Frecuentemente este anlisis involucra el encontrar transformadas Z</p></li><li><p>8.3. CLCULOS DE TRANSFORMADAS INVERSAS 5</p><p>de las sucesiones, y luego de alguna manipulacin de las expresiones algebraicas, calcularla transformada Z inversa. Existen varias maneras, formales e informales, de calcularla transformada inversa dada una expresin algebraica y su regin de convergencia. Elprocedimiento formal se basa en la integral de Cauchy (Churchill y Brown, 1990). Sinembargo, para los tipos de sucesiones y transformadas Z que se encuentran en el anlisisde sistemas discretos lineales e invariantes al desplazamiento, bastan (y en general, sonpreferibles) mtodos menos formales. En las siguientes secciones se presentan algunos deellos: el mtodo de inspeccin, el de fracciones parciales, y el de la expansin en series depotencia</p><p>8.3.1 Mtodo de inspeccin</p><p>El mtodo de inspeccin consiste en familiarizarse con ciertos pares transformados, y tratarde reorganizar la expresin de la transformada Z para ponerlos en evidencia. Por ejemplo,en la Seccin XX se evaluaron las transformadas Z de sucesiones de la forma x[n] = anu[n],donde a puede ser real o complejo. Las sucesiones de este tipo aparecen frecuentemente,y por ellos es particularmente til recordar el par transformado</p><p>anu[n]Z 1</p><p>1 az1 , |z| &gt; |a|. (8.6)</p><p>Si se necesita encontrar la antitransformada de</p><p>X(z) =1</p><p>1 12z1, |z| &gt; 1</p><p>2, (8.7)</p><p>y se recuerda el par transformado indicado en (8.6), se puede reconocer por inspeccinque la sucesin asociada es x[n] = (1/2)nu[n]. Si la regin de convergencia asociada a X(z)en la ecuacin (8.7) hubiese sido |z| &lt; 1/2, el par transformado nmero 6 de la Tabla 8.1indica que x[n] = (1/2)nu[n 1].Las tablas de transformadas Z, como la Tabla 8.1, son de gran ayuda cuando se aplicael mtodo de inspeccin. Si la tabla es extensa, es posible expresar la transformada Z ainvertir como una suma de trminos cuya inversa figure en la tabla.</p><p>8.3.2 Expansin en fracciones parciales</p><p>Como se mencion ms arriba, las transformadas inversas se pueden calcular por inspeccinsi se reconocen expresiones caractersticas, o si se cuenta con una tabla donde figure latransformada Z que se quiere antitransformar. Algunas veces X(z) puede no figurarexplcitamente en la tabla, pero puede obtenerse una forma alternativa como una sumade trminos simples, cada uno de los cuales est tabulado. Este es el caso de cualquierfuncin racional, ya que se puede obtener una expansin en fracciones parciales e identificarfcilmente las sucesiones asociadas a los trminos individuales.</p><p>Para obtener una expansin en fracciones parciales, se supone que X(z) est expresadacomo un cociente de polinomios en z1</p><p>X(z) =</p><p>PMk=0 bkz</p><p>kPNk=0 akz</p><p>k. (8.8)</p></li><li><p>6 CAPTULO 8. TRANSFORMADA Z</p><p>Este tipo de transformadas aparecen frecuentemente en el estudio de sistemas discretoslineales e invariantes en el tiempo. Una expresin equivalente es</p><p>X(z) =zNPMk=0 bkz</p><p>Mk</p><p>zMPNk=0 akz</p><p>Nk. (8.9)</p><p>La ecuacin (8.9) muestra explcitamente que para tales funciones habr M ceros y Npolos en el plano z, que no estn ubicados en el origen. Adems, habr M N polos enz = 0 si M &gt; N o N M ceros en z = 0 si N &gt; M. En otras palabras, las transformadasZ de expresiones de la forma (8.8) siempre tienen la misma cantidad de polos y ceros enel plano Z, y no hay polos o ceros en z =.Para obtener la expansin en fracciones parciales de la expresin de X(z) en la ecuacin(8.8) es ms conveniente notar que X(z) tambin puede expresarse como</p><p>X(z) =b0a0</p><p>QMk=1(1 ckz1)QNk=1(1 pkz1)</p><p>, (8.10)</p><p>donde los ck, pk son los ceros y polos no nulos, respectivamente, de X(z). Si M &lt; N, ylos polos son de primer orden, entonces X(z) puede escribirse como</p><p>X(z) =NXk=1</p><p>Ak1 pkz1</p><p>. (8.11)</p><p>Evidentemente, el denominador comn de las fracciones en (8.11) es el mismo denominadorde la ecuacin (8.10). Multiplicando ambos miembros de (8.11) por (1pkz1) y evaluandoen z = pk se encuentra que los coeficientes Ak pueden calcularse como</p><p>Ak = X(z)(1 pkz1)z=pk</p><p>. (8.12)</p><p>Ejemplo 8.2 Transformada Z de segundo ordenSea x[n] una sucesin con transformada Z</p><p>X(z) =1</p><p>(1 14z1)(112z1)</p><p>, |z| &gt; 12.</p><p>El diagrama de polos y ceros de X(z) se representa en la Fig. 8.2: la transformada tiene un par deceros en el origen, y polos en z1 = 1/4 y en z2 = 1/2, como se pone en evidencia al escribir X(z)en la forma de la ecuacin (8.9)</p><p>X(z) =z2</p><p>(z 14)(z 12), |z| &gt; 1</p><p>2</p><p>De la forma de la regin de convergencia y de la Propiedad NN de la Seccin XX se deduce quex[n] es una sucesin derecha. Como los polos son de primer orden, X(z) se puede expresar en laforma de la ecuacin (8.11)</p><p>X(z) =A1</p><p>1 14z1+</p><p>A2</p><p>1 12z1.</p><p>De la ecuacin (8.12),</p></li><li><p>8.3. CLCULOS DE TRANSFORMADAS INVERSAS 7</p><p>Fig. 8.2: Diagrama de polos y ceros y regin de convergencia para la transformada Z del Ejemplo8.2.</p><p>A1 = X(z)(1 14z1)z=1/4</p><p>=1</p><p>(1 12z1)</p><p>z=1/4</p><p>=1</p><p>1 124= 1,</p><p>A2 = X(z)(1 12z1)z=1/2</p><p>=1</p><p>(1 14z1)</p><p>z=1/2</p><p>=1</p><p>1 142= 2.</p><p>Por lo tanto,</p><p>X(z) =1</p><p>1 14z1+</p><p>2</p><p>1 12z1.</p><p>Como la sucesin es derecha, la regin de convergencia de cada trmino se extiende por fuera delpolo de mayor mdulo. De la Tabla 8.1 y de la linealidad de la transformada Z se tiene que</p><p>x[n] = 1</p><p>4</p><p>nu[n] + 2</p><p>1</p><p>2</p><p>nu[n]. 2</p><p>El numerador que resultara de sumar los trminos de la ecuacin (8.11) resultara a losumo de grado N 1 en la variable z1. SiM N, entonces debe agregarse un polinomiode orden M N (en z1) al miembro de la derecha de la ecuacin (8.11). Entonces, paraM N, la expansin en fracciones parciales de X(z) toma la forma</p><p>X(z) =MNXr=1</p><p>Brzr +</p><p>NXk=1</p><p>Ak1 pkz1</p><p>. (8.13)</p><p>Si X(z) es una funcin racional de la forma (8.8) con M N , los trminos Br de laexpresin (8.13) se calculan efectuando la divisin entre el numerador y el denominadorde X(z), concluyendo el proceso de la divisin cuando el grado del resto (en z1) es menorque el grado del denominador. Los Ak se siguen calculando con la ecuacin (8.12).</p><p>Si X(z) tiene polos mltiples y M N, la ecuacin (8.13) debe modificarse; en particularsi X(z) tiene un polo de orden s en z = pi y todos los dems polos son de primer orden,la forma corregida de la ecuacin (8.13) es</p><p>X(z) =MNXr=1</p><p>Brzr +</p><p>NXk=1k 6=i</p><p>Ak1 pkz1</p><p>+sX</p><p>m=1</p><p>Cm(1 piz1)m</p><p>. (8.14)</p><p>Los coeficientes Ak y Br se calculan como se indic anteriormente, y los coeficientes Cmse calculan a partir de la siguiente expresin:</p><p>Cm =1</p><p>(sm)!(pi)sm</p><p>dsm</p><p>dwsm(1 piw)sX(w1)</p><p>w=p1i</p><p>. (8.15)</p></li><li><p>8 CAPTULO 8. TRANSFORMADA Z</p><p>Fig. 8.3: Diagrama de polos y ceros y regin de convergencia del Ejemplo 8.3.</p><p>La ecuacin (8.14) es la forma ms general de la expresin de expansin en fraccionesparciales de una transformada Z racional expresada como funcin de z1 para M N ypara un polo pi de orden s. Si ocurren varios polos mltiples, aparecern trminos comola tercera sumatoria de (8.14) por cada uno de ellos. Si no hay polos mltiples, (8.14) sereduce a (8.13). Si el orden del numerador es menor que el del denominador (M &lt; N) eltrmino polinomial desaparece de las ecuaciones (8.13) y (8.14).</p><p>Resta determinar cul es la sucesin correspondiente a una transformada Z racional dada.A tal fin se supone que X(z) tiene slo polos de primer orden, de manera que la ecuacin(8.13) es la forma general de la expansin en fracciones parciales. Para calcular x[n]se aprovecha la linealidad de la transformada Z, de manera que se puede calcular latransformada inversa de cada trmino individual y luego sumarlos algebraicamente.</p><p>Los trminos Brzr corresponden a impulsos escalados y desplazados, esto es, trminosde la forma Br[n r]. Cada una de las fracciones parciales corresponden a sucesionesexponenciales. Para decidir si un trmino de la forma</p><p>Ak1 pkz1</p><p>corresponde a una sucesin pnku[n] o pnku[n 1], se deben observar las propiedades dela regin de convergencia que fueron discutidas en la Seccin XX. Se observa entonces quesi X(z) tiene slo polos simples, y la regin de convergencia es de la forma rd &lt; |z| &lt; ri,entonces un polo pk corresponde a una sucesin exponencial derecha pnku[n] si |pk| &lt; rd, ycorresponde a una sucesin exponencial izquierda pnku[n 1] si |pk| &gt; ri. La regin deconvergencia sirve para clasificar los polos; los polos mltiples tambin pueden dividirsesegn contribuyan a sucesiones izquierdas o derechas de la misma manera. El empleode la regin de convergencia en el clculo de las transformadas Z inversas a partir de laexpansin en fracciones parciales se ilustra con los siguientes ejemplos.</p><p>Ejemplo 8.3 Transformada inversa usando fracciones parcialesEn este ejemplo, la transformada Z tiene la forma indicada en la ecuacin (8.13):</p><p>X(z) =1 + 2z1 + z2</p><p>1 32z1 +12z2 =</p><p>(1 + z1)2</p><p>(1 12z1)(1 z1), |z| &gt; 1. (8.16)</p><p>El diagrama de polos y ceros se representa en la Fig. 8.3. De la regin de convergencia y de laPropiedad 5, de la Seccin XX, es evidente que x[n] es una sucesin derecha.. Como el numeradory el denominador de la funcin transferencia son del mismo orden en z1 (con M = N = 2), ytodos los polos son de primer orden, se puede expresar X(z) como</p><p>X(z) = B0 +A1</p><p>(1 12z1)+</p><p>A2(1 z1) .</p></li><li><p>8.3. CLCULOS DE TRANSFORMADAS INVERSAS 9</p><p>La constante B0 se encuentra efectuando la divisin:</p><p>z2 + 2z1 + 1 12z2 32z1 + 1</p><p>z2 3z1 + 2 2</p><p>5z1 1</p><p>El clculo no se continua porque el resto es un grado menor (en la variable z1) que el divisor. Demodo que X(z) se puede expresar como</p><p>X(z) = 2 +1 + 5z1</p><p>(1 12z1)(1 z1)(8.17)</p><p>Los coeficientes A1 y A2 pueden encontrarse aplicando la ecuacin (8.12) a las expresiones (8.16)o (8.17) indistintamente. Utilizando (8.16) se obtiene</p><p>A1 = X(z)(1 12z1)z=1/2</p><p>=</p><p>2+</p><p>1 + 5z1(1 12z1)(1 z1)</p><p>(1 12z</p><p>1)</p><p>z=1/2</p><p>=9,</p><p>A2 = X(z)(1 z1)z=1</p><p>=</p><p>2+</p><p>1 + 5z1</p><p>(1 12z1)(1 z1)</p><p>(1 z1)</p><p>z=1</p><p>= 8.</p><p>Por lo tanto,</p><p>X(z) = 2 +9</p><p>1 12z1+</p><p>8</p><p>1 z1 .</p><p>De la Tabla 8.1 se encuentra que, como la regin de convergencia es |z| &gt; 1,</p><p>2Z 2[n]</p><p>1</p><p>1 12z1Z</p><p>12</p><p>nu[n],</p><p>1</p><p>1 z1Z u[n].</p><p>Por la linealidad de la transformada Z,x[n] = 2[n] 9</p><p>12</p><p>nu[n] + 8u[n] 2</p><p>Ejemplo 8.4 Clculo de antitransformadasSe debe calcular x[n] sabiendo que</p><p>X(z) =(1 12z</p><p>1)2</p><p>(1 14z1)(1 z1)=1 z1 + 14z</p><p>2</p><p>1 54z1 +14z2 ,</p><p>14 &lt; |z| &lt; 1.</p><p>Como el numerador y el denominador de la funcin de sistema tienen el mismo orden en z 1 sedebe calcular el cociente:</p><p>14z2 z1 + 1 14z</p><p>2 54z1 + 1</p><p>14z2 54z</p><p>1 + 1 1</p><p>14z1 + 0</p><p>de modo que</p><p>X(z) = 1+14z1</p><p>1 54z1 +14z2| {z }</p><p>X(z)</p><p>= 1 +A1</p><p>(1 14z1)+</p><p>A2(1 z1) . (8.18)</p></li><li><p>10 CAPTULO 8. TRANSFORMADA Z</p><p>Los coeficientes A1 y A2 se calculan por residuos:</p><p>A1 = X(z)(1 14z1)z=1/4</p><p>=14z1</p><p>(1 z1)</p><p>z=1/4</p><p>=1</p><p>1 (14)1= 1</p><p>3,</p><p>A2 = X(z)(1 z1)z=1</p><p>=14z1</p><p>(1 14z1)</p><p>z=1</p><p>=14</p><p>1 14=1</p><p>3.</p><p>Los residuos A1, A2 de X(z) son los mismos que los de X(z), como se muestra a continuacin</p><p>A1 = X(z)(1 14z1)z=1/4</p><p>=(1 12z</p><p>1)2</p><p>(1 z1)</p><p>z=1/4</p><p>=(1 2)21 (14 )1</p><p>= 13,</p><p>A2 = X(z)(1 z1)z=1</p><p>=(1 12z1)2</p><p>(1 14z1)</p><p>z=1</p><p>=(1 12)2</p><p>1 14=1</p><p>3.</p><p>Por lo tanto,</p><p>X(z) = 1 13</p><p>1</p><p>(1 14z1)+1</p><p>3</p><p>1</p><p>(1 z1) ,14 &lt; |z| &lt; 1, (8.19)</p><p>y de tablas se encuentra que</p><p>x[n] = [n] 13(14)nu[n] 13u[n 1]. (8.20)</p><p>Observacin: Cuando el numerador y el denominador de la funcin de sistema tienen el mismoorden, es imprescindible efectuar el cociente entre el numerador...</p></li></ul>