yevgeniy liokumovich- tests of general relativity: frame-dragging

8/3/2019 Yevgeniy Liokumovich- Tests of General Relativity: Frame-dragging

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T e s t s o f G e n e r a l R e l a t i v i t y : F r a m e - d r a g g i n g

Y e v g e n i y L i o k u m o v i c h

A p r i l 1 2 0 0 9

A b s t r a c t

S p e c u l a t i o n s o f a 1 9 t h c e n t u r y p h y s i c i s t E r n s t M a c h t h a t a r o t a t i n g

b o d y w o u l d e x e r t f o r c e s o n s u r r o u n d i n g m a t t e r s i m i l a r t o C o r i o l i s a n d

c e n t r i f u g a l f o r c e s h a v e f o u n d a c o n r m a t i o n i n E i n s t e i n ' s G e n e r a l T h e o r y

o f R e l a t i v i t y . T h i s b e c a m e k n o w n a s s p a c e - d r a g g i n g o r L e n s e - T h i r r i n g

e e c t . T h i s i s a v e r y s m a l l e e c t , w h i c h u n t i l r e c e n t l y h a d b e e n i m p o s s i b l e

t o d e t e c t , b u t w h i c h i f c o n r m e d w o u l d s e r v e a s a n i m p o r t a n t v e r i c a t i o n

o f t h e G e n e r a l T h e o r y o f R e l a t i v i t y

1 E x p e r i m e n t a l t e s t s o f G e n e r a l R e l a t i v i t y

T h e f o u n d a t i o n s o f t w o u n p r e c e d e n t e d b r e a k t h r o u g h s o f t h e X X c e n t u r y ,

T h e o r y o f Q u a n t u m P h y s i c s a n d t h e G e n e r a l T h e o r y o f R e l a t i v i t y , w e r e l a i d

i n a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e d e c a d e . N e v e r t h e l e s s , t w o t h e o r i e s w e r e q u i t e d i f -

f e r e n t i n t h e w a y t h e y w e r e d e v e l o p e d . Q u a n t u m m e c h a n i c s w a s d e v e l o p e d

i n a t t e m p t s t o e x p l a i n m u l t i p l e p h y s i c a l p h e n o m e n a a n d w a s d r i v e n b y a v a s t

q u a n t i t y o f e x p e r i m e n t a l d a t a . H e i s e n b e r g a n d S c h r o d i n g e r , e m p l o y i n g d i e r -

e n t m a t h e m a t i c a l m o d e l s , i n d e p e n d e n t l y c o n s t r u c t e d t w o s a t i s f a c t o r y t h e o r i e s

o f q u a n t u m m e c h a n i c s , w h i c h w e r e c o n s e q u e n t l y s h o w n t o b e e q u i v a l e n t , a n

i n d i c a t i o n o f h o w w e l l t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t h a d b e e n c o n s t r a i n e d b y e x p e r -

i m e n t a l e v i d e n c e .

I n c o n t r a s t , f o r G e n e r a l R e l a t i v i t y i t w a s v e r y d i c u l t t o t e s t i t s f u n d a m e n t a l

a s s u m p t i o n s o r a n y o f i t s p r e d i c t i o n s . T h e m a i n c r i t e r i o n w a s t o d e r i v e a t h e o r y

t h a t i n c o r p o r a t e s g r a v i t y i n t o S p e c i a l T h e o r y o f R e l a t i v i t y i n t h e s i m p l e s t a n d

m o s t l o g i c a l m a n n e r . ( T h e r e w a s a n i m p o r t a n t e x c e p t i o n , h o w e v e r : o n e o f t h e

r e a s o n s t h a t m a d e E i n s t e i n a b a n d o n t h e s o - c a l l e d E n t w u r f - t h e o r y , n o n - c o v a r i a n t

t h e o r y o f g r a v i t a t i o n d e v e l o p e d a t r s t , a n d s u b s e q u e n t l y a r r i v e t o t h e c o r r e c t

e l d e q u a t i o n s , w a s b e c a u s e i t d i d n o t p r e d i c t c o r r e c t d e v i a t i o n o f M e r c u r y f r o m

i t s N e w t o n i a n o r b i t ( P s t e r , [ 1 ] ) . T h e t h e o r y w o u l d p r o b a b l y b e a b a n d o n e d b y

E i n s t e i n a n y w a y s , b e i n g t h e o r e t i c a l l y u n s a t i s f a c t o r y , b u t p r e c e s s i o n o f p e r i h e l i a

i n M e r c u r y w a s a n i m p o r t a n t a n d t h e o n l y o b s e r v a t i o n a l v e r i c a t i o n a v a i l a b l e

a t t h e t i m e ) . I n d e e d , E i n s t e i n h a d a g r e a t c o n d e n c e i n h i s t h e o r y b e c a u s e h e

c o n s i d e r e d G e n e r a l r e l a t i v i t y t o b e t h e s i m p l e s t r e l a t i v i s t i c e l d t h e o r y p o s s i b l e .

( E i n s t e i n , [ 2 ] )

1


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G e n e r a l R e l a t i v i t y w a s d e v e l o p e d b y a m u c h s m a l l e r g r o u p o f p e o p l e t h a n

Q u a n t u m M e c h a n i c s , m a i n l y b y E i n s t e i n a n d h i s c o l l a b o r a t o r s , a n d u n t i l 1 9 6 0 s

w a s c o n s i d e r e d b y m a n y a s s o m e w h a t e x o t i c a n d i n a p p l i c a b l e t h e o r y . ( W i l l , [ 3 ] )

T o e s t a b l i s h G e n e r a l R e l a t i v i t y a s a c r e d i b l e p h y s i c a l t h e o r y t w o q u e s t i o n s

h a d t o b e a d d r e s s e d :

1 . T h e r e w a s a s t r o n g n e e d f o r l a b o r a t o r y a n d o b s e r v a t i o n a l t e s t s o f t h e

m a n y i m p l i c a t i o n s o f t h e t h e o r y .

2 . T h e l e v e l o f s o p h i s t i c a t i o n o f t h e t h e o r y m a k e s o n e a s k : w h a t a r e a l l t h e

o t h e r p o s s i b l e r e l a t i v i s t i c t h e o r i e s o f g r a v i t a t i o n t h a t c o u l d e x p l a i n t h e s a m e

o b s e r v e d p h e n o m e n a ? I n o t h e r w o r d s , h o w w e l l h a v e r e l a t i v i s t i c t h e o r i e s o f

g r a v i t a t i o n b e e n c o n s t r a i n e d b y e x p e r i m e n t a l d a t a ?

I n t h e l a s t 4 d e c a d e s G e n e r a l R e l a t i v i t y h a s b e e n c o n r m e d b y a v a s t n u m -

b e r o f a s t r o n o m i c a l o b s e r v a t i o n s a n d l a b o r a t o r y t e s t s . C e n t e n n i a l p r e c e s s i o n s o f

p l a n e t a r y o r b i t s w e r e s h o w n t o a g r e e w i t h t h e t h e o r y t o w i t h i n 1 % o f p r e d i c t e d

v a l u e s ( W e i n b e r g , [ 4 ] ) . M u l t i p l e r e d s h i f t e x p e r i m e n t s , d i s c o v e r y o f b i n a r y p u l -

s a r s a n d b l a c k - h o l e c a n d i d a t e s , d e t e c t i o n o f g e o d e s i c e e c t f o r s a t e l l i t e s g r e a t l y

i n c r e a s e d o u r f a i t h i n t h e c o r r e c t n e s s o f G e n e r a l T h e o r y o f R e l a t i v i t y . ( W i l l [ 3 ] ,

W e i n b e r g [ 4 ] ) .

T o a d d r e s s t h e s e c o n d i s s u e R o b e r t D i c k e d i v i d e d g r a v i t a t i o n a l e x p e r i m e n t s

i n t o t w o c l a s s e s ( W i l l , [ 3 ] ) . T h e r s t c o n s i s t s o f e x p e r i m e n t s t h a t t e s t t h e f o u n -

d a t i o n s o f g r a v i t a t i o n a l t h e o r y . E i n s t e i n ' s i d e a o f g e o m e t r i z i n g g r a v i t y , t h a t

i s r e p r e s e n t i n g s p a c e - t i m e a s a c u r v e d p s e u d o - R i e m a n n i a n m a n i f o l d , i n w h i c h

g r a v i t a t i o n i s r e l a t e d t o c u r v a t u r e , u l t i m a t e l y r e l i e s o n t h e P r i n c i p l e o f E q u i v a -

l e n c e . B u t t h e P r i n c i p l e o f E q u i v a l e n c e i s t r u e n o t o n l y f o r G e n e r a l R e l a t i v i t y ,

b u t i n f a c t f o r a n y g r a v i t a t i o n a l t h e o r y t h a t e x p r e s s e s g r a v i t y i n t e r m s o f m e t r i c ,

i n p a r t i c u l a r i t i s a l s o t r u e f o r B r a n s - D i c k e t h e o r y o f g r a v i t a t i o n , a n a l t e r n a t i v e

t o G e n e r a l R e l a t i v i t y , w h i c h s o f a r h a s a l s o a g r e e d w i t h t h e e x p e r i m e n t s . M a n y

e x p e r i m e n t s h a v e t e s t e d t h e v l i d i t y o f E q u i v a l e n c e P r i n c i p l e a n d , t h u s o f a l l

m e t r i c t h e o r i e s o f g r a v i t a t i o n . T h e y i n c l u d e r e d - s h i f t e x p e r i m e n t s a n d E o t v o s

e x p e r i m e n t ( c o m p a r i s o n o f g r a v i t a t i o n a l a n d i n e r t m a s s o f o b j e c t s ) .

T h e s e c o n d c l a s s o f e x p e r i m e n t s c o n s i s t s o f t h o s e t h a t t e s t m e t r i c t h e o r i e s

o f g r a v i t a t i o n . A t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k c a l l e d P a r a m e t r i z e d P o s t - N e w t o n i a n

F o r m a l i s m h a s b e e n d e v e l o p e d t o a n a l y z e d i e r e n t m e t r i c t h e o r i e s o f g r a v i t a -

t i o n a n d c l a s s i f y t h e m a c c o r d i n g t o t h e i r p r e d i c t i o n s i n t h e w e a k - e l d l i m i t .

T h e P o s t - N e w t o n i a n F o r m a l i s m c o n t a i n s 1 0 p a r a m e t e r s t o b e c o n s t r a i n e d b y

e x p e r i m e n t a l t e s t s . T h i s a l l o w s t o d e v i c e e x p e r i m e n t s t h a t w i l l n a r r o w d o w n

p o s s i b i l i t i e s f o r a c o r r e c t t h e o r y o f g r a v i t a t i o n . D i s c o v e r y o f a b i n a r y p u l s a r i n

1 9 7 8 a l l o w e d f o r a n a c c u r a t e m e a s u r e m e n t o f r e l a t i v i s t i c g r a v i t a t i o n a l e e c t s ,

w h i c h d i s a g r e e d v i o l e n t l y w i t h m o s t o f t h e a l t e r n a t i v e t h e o r i e s , b u t a g r e e d p e r -

f e c t l y w e l l w i t h g e n e r a l r e l a t i v i t y . ( W i l l , [ 3 ] ) .

T h e r e i s a t h i r d c l a s s o f t e s t s . T h e s e t e s t s w o u l d n o t i m p r o v e o n t h e c o n -

s t r a i n t s o f P a r a m t r i z e d P o s t N e w t o n i a n F o r m a l i s m a t t a i n e d f o r m t h e p r e v i o u s

e x p e r i m e n t s , b u t w o u l d b e a v e r y i m p o r t a n t i n d e p e n d e n t v e r i c a t i o n o f b o t h

G e n e r a l R e l a t i v i t y a n d t h e w h o l e P P N f r a m e w o r k . A n e x a m p l e o f s u c h a t e s t

i s v e r i c a t i o n g o f f r a m e - d r a g g i n g o r L e n s e - T h i r r i n g e e c t .

2


3/9

2 F r a m e - d r a g g i n g a n d M a c h ' s i d e a s

W h a t a p p e a r e d t o E i n s t e i n u n s a t i s f a c t o r y i n N e w t o n i a n M e c h a n i c s a n d w h a t

h e s e t t o r e s o l v e w i t h h i s t h e o r i e s o f r e l a t i v i t y , w a s t h e s p e c i a l r o l e t h a t i s

a s s i g n e d t o i n e r t i a l r e f e r e n c e f r a m e s . T h e S p e c i a l T h e o r y o f R e l a t i v i t y f r e e s

p h y s i c s f r o m t h e a e t h e r h y p o t h e s i s , s h o w i n g h o w p h y s i c a l l a w s c a n b e f o r m u -

l a t e d f o r a l l i n e r t i a l r e f e r e n c e f r a m e s . G e n e r a l R e l a t i v i t y g o e s f u r t h e r a n d p o s -

t u l a t e s t h a t i n f a c t a l l r e f e r e n c e f r a m e s , i n w h i c h o b j e c t s a r e n o t a c t e d u p o n

b y n o n - g r a v i t a t i o n a l f o r c e s , n e e d t o b e e q u i v a l e n t i n t h a t p h y s i c a l l a w s c a n b e

f o r m u l a t e d i n a c o v r a i a n t ( i n d e p e n d e t o f r e f e r e n c e f r a m e ) f o r m .

B e f o r e E i n s t e i n t h i s i d e a h a s b e e n p u r s u e d b y p h y s i c i s t E r n s t M a c h . ( P s t e r

[ 1 ] , E i n s t e i n [ 2 ] ) . H e t r i e d t o e s t a b l i s h a t h e o r y o f m e c h a n i c s i n d e p e n d e n t o f t h e

c h o i c e o f r e f e r e n c e f r a m e : O b v i o u s l y i t d o e s n o t m a t t e r w h e t h e r w e t h i n k o f

t h e e a r t h r o t a t i n g a r o u n d i t s a x i s , o r w e i m a g i n e a s t a t i c e a r t h , a n d t h e c e l e s t i a l

b o d i e s r o t a t i n g a r o u n d i t . ( P s t e r [ 1 ] ) I n s u c h a t h e o r y t h e e e c t o f p s e u d o -

f o r c e s , w h i c h f r o m N e w t o n i a n s t a n d p o i n t a r i s e f r o m t h e c h o i c e o f a n o n - i n e r t i a l

r e f e r e n c e f r a m e , w o u l d h a v e t o b e e x p l a i n e d i n a r e l a t i v i s t i c m a n n e r : T h e

p r i n c i p l e s o f m e c h a n i c s c a n , p r e s u m a b l y , b e s o c o n c e i v e d t h a t e v e n f o r r e l a t i v e

r o t a t i o n s c e n t r i f u g a l f o r c e s a r i s e . N e w t o n ' s e x p e r i m e n t w i t h t h e r o t a t i n g v e s s e l

o f w a t e r s i m p l y i n f o r m s u s t h a t t h e r e l a t i v e r o t a t i o n o f t h e w a t e r w i t h r e s p e c t

t o t h e s i d e s o f t h e v e s s e l p r o d u c e s n o n o t i c e a b l e c e n t r i f u g a l f o r c e s , b u t t h a t s u c h

f o r c e s a r e p r o d u c e d b y i t s r e l a t i v e r o t a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e m a s s o f t h e e a r t h

a n d o t h e r c e l e s t i a l b o d i e s . N o o n e i s c o m p e t e n t t o s a y h o w t h e e x p e r i m e n t

w o u l d t u r n o u t i f t h e s i d e s o f t h e v e s s e l i n c r e a s e d i n t h i c k n e s s a n d m a s s t i l l t h e y

w e r e u l t i m a t e l y s e v e r a l l e a g u e s t h i c k .

E i n s t e i n p o s t u l a t e s t h a t i f w h a t h e r e f e r s t o a s M a c h ' s p r i n c i p l e i s c o r r e c t ,

w e s h o u l d e x p e c t t h e f o l l o w i n g p h e n o m e n a ( E i n s t e i n [ 2 ] ) :

1 . T h e i n e r t i a l m a s s o f a b o d y i n c r e a s e s w i t h t h e i n c r e a s e o f m a s s - e n e r g y

d e n s i t y o f s u r r o u n d i n g m a t t e r .

2 . A b o d y m u s t e x p e r i e n c e a n a c c e l e r a t i n g f o r c e w h e n n e i g h b o r i n g m a s s e s

a r e a c c e l e r a t e d a n d t h e a c c e l e r a t i o n s h o u l d b e i n t h e s a m e d i r e c t i o n .

3 . R o t a t i n g b o d y s h o u l d i n d u c e C o r i o l i s a n d c e n t r i f u g a l e l d s a c t i n g o f

s u r r o u n d i n g m a t t e r .

T h e n E i n s t e i n d e r i v e d a l l t h r e e e e c t s f r o m G e n e r a l R e l a t i v i t y b y c o n s i d e r i n g

a p e r t u r b a t i o n o f t h e a t m e t r i c ( s e e S e c t i o n 3 ) .

I t i s i m p o r t a n t t o n o t e , h o w e v e r , t h a t M a c h ' s i d e a o f a b s o l u t e r e l a t i v i t y -

t h a t i t d o e s n o t m a t t e r w h e t h e r t h e u n i v e r s e i s r o t a t e d a n d t h e E a r t h i s h e l d

s t a t i o n a r y o r v i c e v e r s e - a r e m u c h s t r o n g e r s t a t e m e n t s t h a t t h e e e c t s p r e d i c t e d

b y G e n e r a l R e l a t i v i t y , a n d i n f a c t l e a d t o c o n t r a d i c t i o n s , a s s h o w n i n ( H a r t m a n ,

N i s s i m - S a b a t [ 1 4 ] ) .

T h e c e n t r i f u g a l f o r c e i n t h e l a s t o f t h e t h r e e e e c t s w a s r s t d e r i v e d f r o m

G e n e r a l R e l a t i v i t y a n d p u b l i s h e d b y H a n s T h i r r i n g i n 1 9 1 8 ( T h r r i n g , [ 5 ] ) a n d

a s t r o n o m i c a l e v a l u a t i o n o f t h e e e c t w a s p e r f o r m e d b y L e n s e a n d T h i r r i n g i n

t h e s a m e y e a r ( L e n s e , T h i r r i n g [ 6 ] ) . T h e p h e n o m e n o n b e c a m e k n o w n a s L e n s e -

T h i r r i n g e e c t o r f r a m e - d r a g g i n g .

3


4/9

H e r b e r t P s t e r i n ( P s t e r [ 1 ] ) r e v e a l s t h a t t h e m a i n i d e a f o r t h e c a l c u l a t i o n

w a s o u t l i n e d b y E i n s t e i n i n a l e t t e r t o T h i r r i n g , a n d a l t h o u g h T h i r r i n g d o e s

n o t m e n t i o n t h e l e t t e r i n h i s p a p e r s , t h e m a i n m e r i t f o r d e r i v a t i o n o f t h e n e w

g r a v i t a t i o n a l f o r c e s h o u l d b e a t t r i b u t e d t o E i n s t e i n . A l s o , i n t h e l e t t e r E i n s t e i n

b r i n g s T h i r r i n g ' s a t t e n t i o n t o t h e C o r i o l i s e l d t h a t i s c r e a t e d b y a r o t a t i n g m a s s

a n d w h i c h i n f a c t i s a m o r e s i g n i c a n t e e c t t h a n c e n t r i f u g a l f o r c e .

3 D e r i v a t i o n

W e w i l l f o l l o w t h e d e r i v a t i o n o f f r a m e d r a g g i n g a s i t w a s p r e s e n t e d b y A l b e r t

E i n s t e i n i n T h e S t a o r d L i t t l e L e c t u r e s a t P r i n c e t o n U n i v e r s i t y i n M a y 1 9 2 1

( E i n s t e i n [ 2 ] ) .

A p a r t i c l e a c c o r d i n g t o G e n e r a l R e l a t i v i t y f o l l o w s a g e o d e s i c c u r v e d e n e d

b y t h e e q u a t i o n

d2x

ds2+

dx

ds

dx

ds= 0. ( 1 )

W e w o u l d l i k e t o s o l v e f o r a t r a j e c t o r y o f a p a r t i c l e i n p r e s e n c e o f m o v i n g ,

p o s s i b l y r o t a t i n g , n e a r b y m a s s . I n a s m a l l n e i g h b o r h o o d a r o u n d t h e t e s t p a r t i c l e

w e c a n a l w a y s c h o o s e a c o o r d i n a t e s y s t e m , s u c h t h a t m e t r i c t e n s o r i s c l o s e t o

t h e a t M i n k o w s k i m e t r i c a n d i s g i v e n b y

g = + h , ( 2 )

w h e r e = diag(1,1,1,1) a n d h i s a s m a l l c o r r e c t i o n , s u c h t h a t h i g h e r o r d e r s i n i t m a y b e n e g l e c t e d . F u r t h e r , i f w e o n l y w a n t t o k n o w h o w

t h e p a r t i c l e i s a e c t e d b y m a s s e s t h a t a r e n e a r b y , w e m a y n e g l e c t t e r m s h i g h e r

t h a n s e c o n d o r d e r i n d e r i v a t i v e s o f h . W e a s s u m e t h e r e s t e n e r g y o f m a t t e r

( g i v e n b y mc2 ) t o b e m u c h g r e a t e r t h a n t h e e n e r g y o f e l e c t r i c e l d s , t h e e n e r g y o f

d e f o r m a t i o n o f m a t t e r a s w e l l a s t h e c h e m i c a l e n e r g y , s o t h a t e n e r g y - m o m e n t u m

t e n s o r T c a n b e a p p r o x i m a t e d b y

T = dx

ds

dx

ds, ( 3 )

w h e r e i s s i m p l y t h e m a s s d e n s i t y i n N e w t o n i a n s e n s e .

E n e r g y - m o m e n t u m t e n s o r a n d t h e c u r v a t u r e o f s p a c e - t i m e a r e t h e n r e l a t e d

t h r o u g h E i n s t e i n e l d e q u a t i o n s :

R 1

2gR = T ( 4 )

S e t t i n g T = gT a n d c o n t r a c t i n g w e o b t a i n

4


5/9

R = T,

R = (T 1

2gT) = T ( 5 )

S o f a r t h e o n l y c o n s t r a i n t w e s e t o n t h e c h o i c e o f m e t r i c w a s t o m a k e i t

c l o s e t o M i n k o w s k i a t m e t r i c . W e h a v e t h e f r e e d o m o f i m p o s i n g a d d i t i o n a l 4

c o n s t r a i n t s k n o w n a s L o r e n t z o r H i l b e r t g a u g e :

h

1

2h

= 0 ( 6 )

W i t h t h i s c o n d i t i o n s a n d a f t e r c a r r y i n g o u t t h e a p p r o x i m a t i o n s , w e o b t a i n

f o r R i c c i t e n s o r a s i m p l e e x p r e s s i o n

R = 1

22h ( 7 )

T h i s t r a n s f o r m s ( 5 ) i n t o

2h = 2T ( 8 )

T h i s s e c o n d o r d e r s y s t e m o f e q u a t i o n s m a y b e s o l v e d b y t h e m e t h o d o f

r e t a r d e d p o t e n t i a l s ( s e e ( M a s o n , [ 7 ] ) f o r o u t l i n e o f t h e m e t h o d a n d ( S y n g e , [ 8 ] )

f o r t h e d i s c u s s i o n o f i t s a p p l i c a b i l i t y t o n d i n g e x a c t s o l u t i o n s o f E i n s t e i n e l d

e q u a t i o n s ) . W e o b t a i n :

h =

2

T(t r,x,y,z)

rdV ( 9 )

T o s o l v e f o r h w e w o u l d l i k e n o w t o e x p r e s s T i n t e r m s o f t h e d e n s i t y .

W e w i l l m a k e a n a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n t h a t 3 - v e l o c i t y o f t h e p a r t i c l e i s s m a l l

o f t h e r s t o r d e r c o m p a r e d t o t h e s p e e d o f l i g h t s o t h a t

ds2 = gdxdx = g00dx

0dx0 ijdxidxj + 2hi0dxidx0 = g00dx0dx0, ( 1 0 )

w h e r e R o m a n i n d i c e s a r e u s e d f o r s p a t i a l c o m p o n e n t s . T h e r e f o r e ,

ds = g00dx0

= (1 h00

2 )dx

0( 1 1 )

I n o b t a i n i n g e x p r e s s i o n s f o r T , T a n d T i t w i l l s u c e f o r o u r p u r p o s e s

t o c o n s i d e r o n l y t e r m s i n

dxi

dx0a n d n e g l e c t h t e r m s . W i t h t h i s a p p r o x i m a t i o n

h a v e :

5


6/9

T00

= T0i =

dxi

dx0 T = ( 1 2 )

T =

2T0i =

dxi

dx0( 1 3 )

I n t h e l i m i t o f s m a l l v e l o c i t i e s w e m a y r e p l a c e r e t a r d e d p o t e n t i a l i n ( ) b y

t h e o r d i n a r y p o t e n t i a l T(x) a n d o b t a i n

h =

4

dV

r( 1 4 )

h0i =

2

dx

i

dx0dV

r( 1 5 )

hij = 0 ( 1 6 )

T o t h e a p p r o x i m a t i o n s o u g h t f o r , C r i s t o e l s y m b o l s a r e

i00

=1

2ih00 + 0h0i,

ij0 =1

2(ih0j jh0i), ijk = 0. ( 1 7 )

S u b s t i t u t i n g i n t o e q u a t i o n ( 1 ) w e o b t a i n

ddx0 ((1 + h00

2 ) dx

i

dx0 ) =12 (ih00

0h0i) 12 (ih0j jh0i) dx

j

dx0( 1 8 )

A f t e r w e p l u g i n v a l u e s f o r h f r o m ( 1 4 ) - ( 1 6 ) t h i s c a n b e p u t i n a m o r e

i l l u m i n a t i n g f o r m i n v e c t o r n o t a t i o n w i t h t = x0 a n d v = dxi

dx0:

d

dt((1 + )v) = grad +

A

t+ [curl A,v] ( 1 9 )

=

8

dV

r

A =

2 dx

i

dx

0 dV

r

T h i s i s t h e n a l r e s u l t , f r o m w h i c h w e c o n c l u d e :

1 . T h e i n e r t m a s s o f t h e t e s t p a r t i c l e , b e i n g p r o p o r t i o n a l t o (1+ ), i n c r e a s e s a s i t a p p r o a c h e s a m a s s i v e o b j e c t .

6


7/9

2 . A c c e l e r a t i o n o f a n e a r b y m a s s i n d u c e s a c c e l e r a t i o n o f t h e t e s t p a r t i c l e i n

t h e s a m e d i r e c t i o n t h r o u g h

At

t e r m . T h i s i s l i n e a r f r a m e - d r a g g i n g .

3 . C o n t r i b u t i o n o f t h e t h i r d t e r m i s a n a l o g o u s t o C o r i o l i s f o r c e o n a p a r t i c l e

m o v i n g o n a h o l l o w b o d y i n t h a t a r o t a t i n g n e a r b y m a s s m a k e s t h e t e s t p a r t i c l e

d e e c t f r o m i t s p a t h i n a c i r c u l a r m a n n e r . T h i s i s r o t a t i o n a l f r a m e - d r a g g i n g

a n d i s t h e m o s t s i g n i c a n t e e c t o f t h e t h r e e . I t i s o f t e n r e f e r r e d t o a s t h e

f r a m e - d r a g g i n g . I t i s s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s L e n s e - T h i r r i n g e e c t , a l t h o u g h

t h e e e c t c a l c u l a t e d b y L e n s e a n d T h i r r i n g w a s a n a l o g o u s t o c e n t r i f u g a l f o r c e ,

a s d i s c u s s e d e a r l i e r .

A l t e r n a t i v e l y , f r a m e - d r a g g i n g m a y b e d e r i v e d f r o m t h e m e t r i c f o r a s p h e r i -

c a l l y s y m m e t r i c s p a c e w i t h a r o t a t i n g c e n t r a l m a s s d e r i v e d b y R o y P a t r i c k K e r r

( K e r r , [ 1 0 ] ) .

4 E x p e r i m e n t a l c o n r m a t i o n s

A f t e r t h e d e r i v a t i o n o f f r a m e - d r a g g i n g e e c t E i n s t e i n r e m a r k s : A l t h o u g h a l l o f

t h e s e e e c t s a r e i n a c c e s s i b l e t o e x p e r i m e n t , b e c a u s e i s s o s m a l l , n e v e r t h e l e s s

t h e y c e r t a i n l y e x i s t a c c o r d i n g t o t h e g e n e r a l t h e o r y o f r e l a t i v i t y ( E i n s t i e n , [ 2 ] ) .

I n d e e d , u n t i l r e c e n t l y s u c h a s m a l l e e c t w a s i m p o s s i b l e t o m e a s u r e .

T h e m o s t i m p o r t a n t c o n r m a t i o n o f f r a m e - d r a g g i n g s o f a r w a s p r o v i d e d

m y p r e c i s e m e a s u r e m e n t s o f t h e o r b i t s o f t h e g e o p h y s i c a l L A G E O S s a t e l l i t e s .

I t h a s b e e n p o s s i b l e t o f o l l o w t h e m o t i o n o f t h e i r n o d e s d u e t o t h e e a r t h ' s

r o t a t i o n t o s h o w a g r e e m e n t w i t h t h e p r e d i c t i o n s o f g e n e r a l r e l a t i v i t y w i t h i n 1 0

% . ( C i u f o l i n i , P a v l i s [ 1 1 ] )

G r a v i t y P r o b e B , a n a m b i t i o u s p r o j e c t t o m e a s u r e t i l t i n g o f t h e s p i n a x i s o f

g y r o s c o p e s i n o r b i t a b o u t t h e E a r t h t o a v e r y h i g h p r e c i s i o n h a s b e e n l a u n c h e d

i n 2 0 0 4 . I t h a s b e e n c a l c u l a t e d b y b y G . E . P u g h a n d L e o n a r d S c h i i n t h e

y e a r s 1 9 5 9 - 1 9 6 0 t h a t t h e f r a m e - d r a g g i n g p h e n o m e n o n h a s t h e f o l l o w i n g e e c t

o n t h e r o t a t i n g g y r o s c o p e : t h a n i n a n o r b i t i n g s a t e l l i t e a t a h e i g h t o f a b o u t 6 5 0

k m , i t w i l l e x p e r i e n c e b e s i d e s o t h e r , m o r e d o m i n a n t e e c t s , a p r e c e s s i o n o f 4 2

m i l l i a r c s e c o n d s p e r y e a r , d u e t o t h e e a r t h ' s r o t a t i o n ( P s t e r [ 1 ] ) . A c u t t i n g -

e d g e t e c h n o l o g y h a s b e e n u s e d i n s e t t i n g u p t h e a p p a r a t u s . ( E v e r i t t e t a l . [ 1 2 ] )

T h e g y r o s c o p e r e q u i r e d t o m e a s u r e t h e e e c t w i t h t h e d e s i r e d a c c u r a c y w o u l d

h a v e t o h a v e i t s s p i n a x i s n o t d r i f t a w a y f r o m i t s s t a r t i n g p o i n t b y m o r e t h a n

o n e h u n d r e d - b i l l i o n t h o f a d e g r e e e a c h h o u r t h a t i t w a s s p i n n i n g . I n o r d e r t o

a c c o m p l i s h s u c h p r e c i s i o n p e r f e c t l y s p h e r i c a l g y r o r o t o r s w e r e d e v i s e d , e a c h o n e

a n d a h a l f i n c h i n d i a m e t e r m a d e o f p u r e f u s e d q u a r t z a n d p o l i s h e d t o w i t h i n a

f e w a t o m i c l a y e r s o f p e r f e c t l y s m o o t h . T h e r o t o r s a r e l e v i t a t i n g i n s p a c e w i t h i n

a f u s e d - q u a r t z h o u s i n g c a v i t y , w h i l e s i x e l e c t r o d e s , e v e n l y s p a c e d a r o u n d t h e

i n t e r i o r o f t h e h o u s i n g , k e e p t h e r o t o r s t a t i o n a r y w i t h i n t h e c a v i t y .

G r a v i t y P r o b e B h a s b e e n a b l e t o c o n r m t h e g e o d e s i c e e c t t o a n a c c u r a c y

o f l e s s t h a n 1 % . U n f o r t u n a t e l y , t h e f r a m e - d r a g g i n g e e c t , w h i c h i s a b o u t 1 7 0

t i m e s s m a l l e r , c o u l d n o t b e c o n c l u s i v e l y c o n r m e d a s o f n o w . I n a n a l y z i n g

r e s u l t s o f t h e m i s s i o n s c i e n t i s t s f a c e d t w o d i c u l t i e s :

1 . A c h a n g i n g p o l h o d e p a t h a e c t i n g t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e g y r o s c a l e

f a c t o r .

7


8/9

2 . T w o l a r g e r t h a n e x p e c t e d N e w t o n i a n t o r q u e s .

T h e s c i e n c e t e a m c l a i m s t h a t t h e l a t e s t d a t a a n a l y s i s ( a s o f F e b r u a r y 1 6 ,

2 0 0 9 ) t h a t i n c l u d e s a m o d e l f o r t h e " r o l l - p o l h o d e r e s o n a n c e t o r q u e " y i e l d s a 1 5 %

s t a t i s t i c a l u n c e r t a i n t y f o r t h e f r a m e - d r a g g i n g e e c t , b u t t h e a n a l y s i s d o e s n o t

a c c o u n t f o r a l l s y s t e m a t i c e r r o r s p r e s e n t i n t h e e x p e r i m e n t . ( G r a v i t y P r o b e - B

[ 1 3 ] ) I t i s e x p e c t e d t h a t a l l d a t a r e d u c t i o n s w i l l b e n i s h e d b y M a r c h o f 2 0 1 0 ,

h o p e f u l l y y i e l d i n g t h e b e s t c o n r m a t i o n o f t h e G e n e r a l T h e o r y o f R e l a t i v i t y u p

t o d a t e .

5 C o n c l u s i o n

I t i s r e m a r k a b l e t h a t a r e v o l u t i o n a r y t h e o r y , a l t h o u g h s i m p l e i n i t s a s s u m p t i o n s ,

b u t h i g h l y s o p h i s t i c a t e d i n i t s c o n s e q u e n c e s , d e v e l o p e d o n t h e b a s i s o f e l e g a n c e

a n d s e l f - c o n s i s t e n c e o n l y , w i t h a l m o s t n o e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e t o s u p p o r t i t ,

w o u l d l a t e r b e c o m e s u c h a w e l l - c o n r m e d a n d e s t a b l i s h e d t h e o r y . D o e s i t i n d e e d

m e a n t h a t G e n e r a l R e l a t i v i t y i s c o r r e c t ? I d o n o t t h i n k w e c a n m a k e a c o n c l u s i v e

a n s w e r . T h e r e a r e s t i l l m a n y a s p e c t s o f G e n e r a l R e l a t i v i t y t h a t h a v e n o t b e e n

c o n f r o n t e d w i t h p r e c i s i o n t e s t s , a n d t h e r e a r e a l t e r n a t i v e t h e o r i e s o f g r a v i t a t i o n ,

s u c h a s B r a n s - D i c k e t h e o r y ( a l t h o u g h i t s a b i l i t y t o m a k e p r e d i c t i o n s i s w e a k e r ) ,

t h a t a l s o t w i t h i n t h e o b s e r v a t i o n s . S t i l l , G e n e r a l R e l a t i v i t y i s b y f a r t h e m o s t

s u c c e s s f u l t h e o r y o f m a c r o s c o p i c m e c h a n i c s i n p r e s e n c e o f g r a v i t a t i o n a l e l d .

E i n s t e i n w a s s a i d t o h a v e j o k i n g l y r e m a r k e d a f t e r l e a r n i n g t h e r e s u l t s o f 1 9 1 9

e x p e d i t i o n s t o m e a s u r e t h e d e e c t i o n o f l i g h t b y t h e s u n t h a t h e w o u l d h a v e f e l t

s o r r y f o r t h e A l m i g h t y i f t h e r e s u l t s d i s a g r e e d w i t h t h e t h e o r y ( W i l l , [ 3 ] ) . T h e r e

s e e m s t o b e a n u n k n o w n r e a s o n w h y n a t u r e t e n d s t o f a v o r e l e g a n c e i n h e r l a w s .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] P s t e r , H e r b e r t ( 2 0 0 5 ) . O n t h e h i s t o r y o f t h e s o - c a l l e d L e n s e - T h i r r i n g e f -

f e c t . G e n e r a l R e l a t i v i t y a n d G r a v i t a t i o n 3 9 ( 1 1 ) : 1 7 3 5 1 7 4 8

[ 2 ] E i n s t e i n , A l b e r t . T h e M e a n i n g o f R e l a t i v i t y . P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s ,

1 9 5 6

[ 3 ] W i l l , C l i o r d M . T h e o r y a n d e x p e r i m e n t i n g r a v i t a t i o n a l p h y s i c s . C a m -

b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s 1 9 8 1

[ 4 ] W e i n b e r g , S t e v e n . G r a v i t a t i o n a n d C o s m o l o g y . J o h n W i l e y a n d S o n s , 1 9 7 2

[ 5 ] T h i r r i n g , H . ( 1 9 1 8 a ) . U b e r d i e W i r k u n g r o t i e r e n d e r f e r n e r M a s s e n i n

d e r E i n s t e i n s c h e n G r a v i t a t i o n s t h e o r i e . P h y s i k a l i s c h e Z e i t s c h r i f t , 1 9 , 3 3 - 3 9 .

( T r a n s l a t i o n i n G e n e r a l R e l a t i v i t y a n d G r a v i t a t i o n 1 6 ( 1 9 8 4 ) p p . 7 1 2 - 7 2 5 . )

[ 6 ] L e n s e , J . , & T h i r r i n g , H . ( 1 9 1 8 ) . U b e r d e n E i n u d e r E i g e n r o t a t i o n d e r

Z e n t r a l k o r p e r a u f d i e B e w e g u n g d e r P l a n e t e n u n d M o n d e n a c h d e r

8


9/9

E i n s t e i n s c h e n G r a v i t a t i o n s t h e o r i e . P h y s i k a l i s c h e Z e i t s c h r i f t , 1 9 , 1 5 6 - 1 6 3 .

( T r a n s l a t i o n i n G e n e r a l R e l a t i v i t y a n d G r a v i t a t i o n 1 6 ( 1 9 8 4 ) , p p . 7 2 7 - 7 4 1 . )

[ 7 ] M a s o n , M . N o t e o n t h e r e t a r d e d p o t e n t i a l . P H Y S I C A L

R E V I E W , v o l . 1 5 , n o . 4 , p p . 3 1 2 - 3 1 6 , 1 9 2 0

[ 8 ] S y n g e , J . L . H o w t o p a s s t o a n e x a c t s o l u t i o n o f E i n s t e i n ' s v a c u u m e l d

e q u a t i o n s , s t a r t i n g f r o m a l i n e a r a p p r o x i m a t i o n . S o u r c e P r o c e e d i n g s o f t h e

R o y a l I r i s h A c a d e m y , S e c t i o n A ( M a t h e m a t i c a l , A s t r o n o m i c a l a n d P h y s i c a l

S c i e n c e ) , v o l . 6 1 , n o . 5 , p p . 3 7 - 4 4 , 1 9 6 1

[ 9 ] C i u f o l i n i , I g n a z i o . D r a g g i n g o f i n e r t i a l f r a m e s . N a t u r e 4 4 9 , 4 1 - 4 7 ( 6 S e p t e m -

b e r 2 0 0 7 )

[ 1 0 ] K e r r , R . P . ( 1 9 6 3 ) . " G r a v i t a t i o n a l e l d o f a s p i n n i n g m a s s a s a n e x a m p l e

o f a l g e b r a i c a l l y s p e c i a l m e t r i c s " . P h y s i c a l R e v i e w L e t t e r s 1 1 : 2 3 7 2 3 8 .

[ 1 1 ] C i u f o l i n i , I . , & P a v l i s , E . C . ( 2 0 0 4 ) . A c o n r m a t i o n o f t h e g e n e r a l r e l a t i v i s t i c

p r e d i c t i o n o f t h e L e n s e - T h i r r i n g e e c t . N a t u r e , 4 3 1 , 9 5 8 - 9 6 0 .

[ 1 2 ] E v e r i t t , C . W . F . , e t a l . ( 2 0 0 1 ) . G r a v i t y P r o b e B : C o u n t d o w n t o L a u n c h .

G y r o s , C l o c k s , I n t e r f e r o m e t e r s , . . . : T e s t i n g R e l a t i v i s t i c G r a v i t y i n S p a c e .

S p r i n g e r L e c t u r e N o t e s i n P h y s i c s 5 6 2 , p p . 5 2 - 8 2 . B e r l i n : S p r i n g e r .

[ 1 3 ] G r a v i t y P r o b e - B w e b s i t e . h t t p : / / e i n s t e i n . s t a n f o r d . e d u /

[ 1 4 ] H a r t m a n , H e r b e r t a n d N i s s i m - S a b a t , C h a r l e s . M a c h ' s r e l a t i v i t y

o f r o t a t i o n i n l i g h t o f c o n t e m p o r a r y p h y s i c s . A r X i v P r e p r i n t s .

h t t p : / / a r x i v . o r g / f t p / a r x i v / p a p e r s / 0 8 0 7 / 0 8 0 7 . 3 7 8 5 . p d f

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