YAPISAL DEĞİŞİKLİK

Zaman serileri bazı nedenler veya bazı faktörler tarafından

etkilenerek zaman içinde değişikliklere uğrayabilirler. Bu

değişim iktisadi kriz, iktisat politikalarında yapılan değişiklik,

teknolojik değişim, deprem, sel gibi farklı nedenlerden

kaynaklanabilir. Seride gözlenen etki, trendin belirli bir

dönemden sonra değişikliğe uğraması şeklinde karşımıza

çıkabilir. Bu etki, trendin eğilimini değiştirerek artma veya

azalma eğilimi göstermesine neden olabilir. Bazı durumlarda

ise etki geçicidir. Trendde bir değişim gözlenir ve belirli bir

zaman aralığında değişim etkisini kaybederek trend eski haline

döner.

1

• Teknolojik bir değişiklik veya üretim arttırıcı bir yatırımın sonucunda ihracatta, üretim miktarında vs. önemli artışlar olabilir. Aynı şekilde bu nedenlerle toplam ithalatta veya belirli malların ithalatında azalma olabilir. Benzer şekilde zaman zaman yapılan politika değişiklikleri de yapısal değişikliklere neden olabilir. Örneğin, vergi gelirlerini arttırıcı, enflasyonu düşürücü, ihracatı arttırıcı vs. tedbirler hem söz konusu değişkenlerde hem de bunlarla ilgili bazı farklı değişkenlerde yapısal değişikliğe neden olabilirler. Makro açıdan söz konusu olan yapısal değişiklik, mikro açıdan da söz konusudur. Bu tür yapısal değişikliklerin etkisi geçici olabilirse de daha çok kalıcıdır.

2

• Yapısal değişiklik savaş, kuraklık, deprem, büyük grevler gibi olayların sonucunda da ortaya çıkabilirler. Bu tür olaylar daha çok geçici etki yarattığından, olaylar bittikten sonra etkileri de devam etmeyerek etkiledikleri değişkenler eski hallerine dönecektir. Bu tür etkiler kukla değişkenlerle açıklanırlar. Bu tür nedenlerin kalıcı etkiler yaratması da mümkündür.

• Yapısal değişiklik olması durumunda bunun nedenlerinin, iktisadi sonuçlarının belirlenmesi önemlidir. Fakat bundan önce yapısal değişiklik olup olmadığının belirlenmesi gerekecektir. Herhangi bir olay nedeni ile bazı değişkenlerde yapısal değişiklik olduğu yönünde görüşler, bilgiler, önseziler olması yapısal değişiklik olduğunu söylemek için yeterli değildir.

3

• İktisadi değişkenlerde yapısal değişiklik olduğunu söyleyebilmek için olayın ekonometrik olarak incelenmesi gerekmektedir. Ancak yapılacak inceleme sonucunda yapısal değişiklik olup olmadığına karar verilecektir.

4

YAPISAL DEĞİŞİKLİK KAVRAMI

Yapısal değişiklik trendde meydana gelen kalıcı

değişikliklere verilen addır. Yukarıda sayılan ve benzeri

nedenlerle trendde bir kırılma oluşur. Bu kırılma oluşur ve kısa

sürede eskiye dönüş olursa yapısal değişiklikten söz

edilmeyebilir. Daha uzun süre sonra eski haline dönen

değişikliklerin de incelenmesi gerekecektir. İncelenen dönemin

uzunluğuna ve seriye bağlı olarak aynı seride birden fazla

kırılma, yani yapısal değişiklik de gözlenebilir.

5

6

• Yapısal değişiklik modelde bir kırılmaya neden olacağından modelin tahmininin de dikkate alınması gerekmektedir. Şekilde tek kırılmalı bir model görülmektedir.

X2

Y

X X1 X0

Şekil 1: Tek Kırılmalı Model

X1 noktasında kırılma olduğundan, X1 noktasında kırılan

model doğru modeldir. Modelde yer alan kırılma dikkate

alınmadan modelin parametreleri tahmin edilirse, modelin

fonksiyonel şekli yanlış belirleneceğinden tanımlama hatası

yapılmış olacaktır. Modelin fonksiyonel şekli grafiğe bakılarak

veya bakılmadan eğrisel bir fonksiyon olarak belirlenebilir. Bu

durumda da modelin fonksiyonel şekli yanlış belirlendiğinden

tanımlama hatsı söz konusudur. Şekilde görülen model için

doğru olan kırılma öncesi ve sonrası için iki ayrı doğrusal

modelin tahmin edilmesi olacaktır.

7

Modelleri,

X0 – X1 dönemi için Yt1 = β10 + β11Xt1 + εt1

X1 – X2 dönemi için Yt2 = β20 + β21Xt1 + εt2

şeklinde ifade ederek, modellerin parametrelerini ayrı ayrı

tahmin edebiliriz. Bu modellerin kukla değişkenler ile

birleştirilerek tek model olarak tahmin edilmesi de

mümkündür.

8

(1)

(2)

Yt = β10 + β11Xt1 + β20D1t + β21D1tXt1 + εt

şeklinde tahmin edilebilir. Burada,

Yt = Yt1 + Yt2

Xt = Xt1 + Xt2

olduğundan tek hata terimi kullanılmıştır.

9

İki parça için iki kukla değişken kullanılırsa kukla

değişken tuzağına düşüleceğinden tek kukla D değişkeni

tanımlanarak,

D=0 1. parça

D=1 2. parça

olursa model,

(3)

(3.2)

(3.1)

SPLINE FONKSİYONU VE PARÇALI

DOĞRUSAL REGRESYON MODELLERİ

İki parçalı bir model ve bunun kukla değişken ile

birleştirilerek nasıl tek model haline getirilebileceğinden söz

ederken geçerli olan açıklamalar, birden fazla kırılma için de

yapılabilir. Oluşan parçalı fonksiyona spline fonksiyonu adı

verilir ve bu fonksiyon sürekli bir fonksiyondur.

Modeller ister her dönem için ayrı ayrı tahmin edilsin

isterse kukla değişkenlerle birleştirilerek tahmin edilsin

kırılma noktalarında bir sıçrama meydana gelecektir.

10

Yukarıdaki şekilde iki parçalı model için bu durum

görülmektedir. Oluşan bu sıçramanın ortadan kaldırılması,

yani iki parçanın X1 noktasında birleşmesinin sağlanması

şart değildir. İstenirse bu birleşme sağlanabilir. Parçaların

birleştirilmesini sağlamak için oluşturulan modellere parçalı

(piece-wise) regresyon modelleri adı verilmektedir.

11

Şekil 2: İki Noktada Kırılan Regresyon Doğrusu

Parçaların birleştirilmesini sağlamak için

izlenebilecek yollardan biri parça sayısı kadar kukla

değişken tanımlamaktır. İki parçalı model için iki kukla

değişken tanımlayalım.

D1 = 1 1. parça için D1 = 0 diğer

D2 = 1 2.parça için D2 = 0 diğer.

Tanımlanan modeller,

X0 – X1 dönemi için Yt1 = β10 + β11Xt1 + εt1

X1 – X2 dönemi için Yt2 = β20 + β21Xt1 + εt2

olduğundan model,

Yt = [β10 + β11( Xt-X0 )]D1t + [β20 + β21( Xt-X1 )]D2t + εt

olarak yazılabilir.

12

(5)

(4)

(6)

13

Bu durumda,

D1 = 1, D2 = 0 ise E(Yt) = β10 + β11(Xt-X0)

D1 = 0, D2 = 1 ise E(Yt) = β20 + β21(Xt-X1)

olacaktır. Burada X1 noktasında başlayan ikinci modelin sabit

katsayısı,

β20 = β10 + β11( Xt-X0 )

olacağından, bu eşitlik modelde yerine konursa,

Yt = β10( D1t+D2t ) + β11[( Xt-X0 )D1t + ( X1-X0 )D2t ] + β21 [( Xt-X1 )D2t ] + εt

olacaktır. D1t ve D2t ‘den her zaman sadece biri 1 olacağından

D1t + D2t = 1 ‘dir. Bu durumda,

Yt = β10 + β11[ XtD1t + X1D2t – X0 ] + β21[( Xt-X1 )D2t ]+ εt

olur.

(8)

(7)

(9)

(10)

(11)

14

X1* = XtD1t + X1D2t – X0

X2* = ( Xt-X1 )D2t

Dönüşümü ile model ,

Yt = β10 + β11X1* + β21X2

* + εt

olarak tahmin edilebilir.

Modelde β11 = β21 ise,

Yt = β10 + β11[ XtD1t + X1D2t – X0 ] + β11[( Xt-X1 )D2t ]+ εt

Yt = β10 + β11( Xt-X0 )+ εt

olacaktır.

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

X0 ilk grubun ilk gözlemi ise,

Xt* = Xt-X0

olarak tanımlanırsa model,

Yt = β10 + β11Xt* + εt

olarak tahmin edilecektir.

Görüldüğü gibi model basit doğrusal regresyon modeline

dönüşmektedir. Her iki durumda da doğrusal regresyonda

olduğu gibi t ve F testleri ile R2 aynı şekilde hesaplanır.

Bu durumda yapısal değişiklik olup olmadığını belirlemek

için β11 = β21 olup olmadığı test edilebilir. β11 = β21 ise yapısal

değişiklik olmadığına, β11 ≠ β21 ise yapısal değişiklik olduğuna

karar verilir. Birden fazla kırılma içinde aynı açıklamalar

geçerlidir.

15

(17)

(18)

SWITCHING REGRESYON

Switching regresyon yöntemi kırılma noktasının

bilinmemesi durumunda kullanılabilir. Bu yöntemde doğru

parçalarının birleştirilmesi tek kukla değişken kullanılarak

gerçekleştirilir.

16

olarak tanımlanarak,

Yt = β10 + β11Xt1 + β20 D1t + β21D1tXt + εt (3) nolu model olarak

ifade edilmişti. Bu durumda

D1 = 0 için E(Yt) = β10 + β11Xt

D1 = 1 için E(Yt) = (β10 + β20) + (β11 + β21)Xt

olarak elde edildiğinden, X1 değeri için iki parçanın aldığı

değerler birbirine eşit olacaktır.

Şekil 2 için;

X0 – X1 dönemi için Yt1 = β10 + β11Xt1 + εt1

X1 – X2 dönemi için Yt2 = β20 + β21Xt2 + εt2

olarak tanımladığımız modeller

D1 = 1 (2. parça) D1 = 0 diğer (1. parça)

17

(21)

(22)

(20)

(19)

β10 + β11X1 = (β10 + β20) + (β11 + β21)X1 (23) olacaktır.

Buradan,

β10 + β11X1 - β10 - β20 - β11X1 - β21X1 = 0 (24)

Β20 = - β21X1 (25) elde edilir. Bu eşitlik modelde yerine

konursa,

Yt = β10 + β11Xt - β21(Xt – X1)D1t + εt (26) olarak elde edilir. Aynı

şekilde,

Yt = β10 + β11Xt1 + β20 D1t + β30D2t + β21DtXt + β31D2tXt + εt (27)

olarak ifade edilir ve model bu şekilde tahmin edilir.

18

19

Örnek: Parçalı Doğrusal Regresyon

•

• • • • • •

•

• •

•

•

•

• •

•

• •

•

• • •

•

•

•

• •

•

• •

•

•

• • • •

•

•

•

X*

Satış K

om

isyonla

rı

Y

X

Bir sigorta şirketi satış temsilcilerinin

belli bir satış hacmini geçmesi

durumunda çalışanlarına komisyon

ödemektedir. Şirket içerisinde

gerçekleştirilen satış komisyon ücretleri

belli bir satış hacmi(X*) eşik düzeyine

kadar doğrusal artmakta ve bu eşik

düzeyinden sonra ise daha dik bir oranla

satışlarla doğrusal olarak arttığı

varsayılmaktadır. Bu durumda I ve II

olarak numaralandırılmış iki parçadan

oluşan parçalı doğrusal regresyona ve

eşik düzeyinde eğimin değiştiği

komisyon fonksiyonuna sahip olmuş

oluruz.

I

II

20

Parçalı Doğrusal Regresyon S

atış K

om

isyonla

rı

Y

X

Satışlar

•

• • • • • •

•

• •

•

•

•

• •

•

• •

•

• • •

•

•

•

• •

•

• •

•

•

• • • •

•

•

•

X*

E(Yi| Di =1,Xi, X*) = a1 - b2X

* +(b1+ b2)Xi

Yi= Satış Komisyonları

Xi= Satış Miktarı

X*= Satışlarda Prim Eşik

Değeri

Di = 1 Eğer Xi > X*

= 0 Eğer Xi < X*

E(Yi| Di =0,Xi, X*) = a1 +b1 Xi

Yi= a1 + b1Xi + b2 (Xi-X*)Di+ui

21

Parçalı Doğrusal Regresyon

Sa

tış K

om

isyo

nla

rı

Y

X Satışlar

a1

a1-b2X*

1

1

b1+b2

b1

X*

22

Örnek

Total

Cost($)

TC

Output

(units)

Q

Di

256 1000 0

414 2000 0

634 3000 0

778 4000 0

1003 5000 0

1839 6000 1

2081 7000 1

2423 8000 1

2734 9000 1

2914 10000 1

Dependent Variable: TC

Included observations: 10

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -145.7167 176.7341 -0.824496 0.4368

Q 0.279126 0.046008 6.066877 0.0005

(Q-5500)*DI 0.094500 0.082552 1.144727 0.2899

R2=0.973706 F-statistic= 129.6078 [0.000003]

Bir şirket satış temsilcilerinin belli bir satış hacmini geçmesi durumunda

çalışanlarına prim ödemektedir.

İstatistiki olarak

anlamsız

Satışlardaki artışlar prim

değerini arttırmamaktadır.

YAPISAL DEĞİŞİKLİK TESTLERİ

Çeşitli sebeplerle zaman serilerinde değişikliklerin olup

olmadığının test edilmesi gerekecektir. Test sonucunda var

olduğu düşünülen değişikliğin istatistiksel olarak anlamlı olup

olmadığına karar verilecektir.

CHOW TESTİ İncelenen seride yapısal değişiklik, yani kırılma yoksa

kırılma noktası olarak kabul edilen noktadan öncesi ve sonrası

için tahmin edilen modellerin hata terimlerinin kareleri toplamı

ile kırılmanın olmadığı varsayımı ile tahmin edilen tek modelin

hata kareleri toplamı birbirine eşit olacaktır. Kırılma olduğunda

ise ayrı ayrı parçalar için tahmin edilen modellerin hata kareleri

toplamı, kırılma olmadığı durum için tahmin edilen tek modelin

kareleri toplamından küçük olacaktır.

23

• Kısaca Chow testinin uygulanabilmesi için aşağıdaki

varsayımların sağlanması gereklidir:

- Her iki alt döneme ait hata terimi de sabit varyanslı

olmalı.

- Kısıtsız modellerin hata terimleri birbirinden bağımsız

olmalı.

- Kırılmanın oluştuğu dönem bilinmeli.

- Oluşturulan her iki dönemin gözlem sayısı parametre

sayısından büyük olmalı.

24

25

Chow testi yapılırken kırılma öncesi ve sonrası olarak iki alt gruba

ayrılan serinin parçalarının daha homojen gruplar olduğu

düşünülmektedir. Testin uygulanabilmesi için parçaların varyanslarının

eşitliği test edilir. Varyansların eşitliği F testi ile test edilir.

2

1 İle birinci parçanın 2

2 İle ikinci parçanın varyansını gösterirsek varyansların

eşitliğini ifade eden temel hipotez,

2

2

2

10 :H

şeklinde kurulacaktır. Temel hipotezin geçerli olmadığını yani varyansların eşit

olmadığını ifade eden alternatif hipotez ise

2

2

2

11 :H

olacaktır. Bu durumda test istatistiği,

2

2

2

1F

olarak hesaplanır. (28)

26

Burada 2

2

2

1 varsayılmıştır. 2

1

2

2 ise paya, 2

22

1

paydaya yazılacaktır. Hata terimi varyansları bilinmediğinden tahminleri olan

test için kullanılır. Bu durumda test istatistiği,

2

eS ‘ ler

)/(

)/(

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2kne

kne

S

SF

e

e

Olacaktır. F test istatistiği (n1 – k) ve (n2 – k) serbestlik derecesi ile F tablosundan

bulunan değer ile karşılaştırılarak hesaplanan F test istatistiği tablo değerinden

büyük ise H1, küçük ise H0 hipotezi kabul edilir. Varyansların eşit olduğu kabul

edilirse Chow testi yapılabilir.

(29)

bölünmeden tahmin edilen modelin hata kareleri

ise parçaların hata kareleri toplamını ifade etmektedir.

derecesi ile F tablosundan bulunan tablo değeri ile karşılaştırılır.

F test istatistiği değeri tablo değerinden büyük ise H1 yani yapısal değişiklik

olduğu hipotezi, F testi istatistiği F tablo değerinden küçük ise yani yapısal

değişiklik olmadığı H0 hipotezi kabul edilecektir.

27

Chow testi serinin parçalarının hata terimlerinin sıfır ortalama etrafında normal

dağıldığını, birbirlerinden bağımsız olduğu varsayımı ile ve varyansları eşit ise

uygulanabilir. Temel hipotez yapısal değişiklik olmadığını alternatif hipotez ise yapısal

değişiklik olduğunu ifade eder. İki ayrı alt modelin tahmin edilmesi durumunda test

istatistiği,

1 2

21

1 2

21

1 1

22

1 1 1

222

)2/()(

/)(

n

i

n

i

tt

n

İ

n

i

n

i

ttt

knee

keee

FR

olarak hesaplanır. Burada 2

Rte

toplamını, 2

1te 2

2teve

Paydanın serbestlik derecesi [(n1-k) + (n2-k) = n-2k] olacaktır. Payın serbestlik

derecesi ise k’ dır. Hesaplanan test istatistiği a hata payı ile k ve (n-2k) serbestlik

(30)

kukla değişkenli modelin hata kareleri toplamını

28

Kırılma noktası öncesi ve sonrası için bağımsız modeller tahmin edilmiyor, alt

modeller kukla değişken ile birleştirilerek tek model tahmin ediliyor ise test

istatistiği,

n

i

t

n

İ

n

i

tR

kne

kee

F

1

2

1 1

22

)2/((

/)(

olarak hesaplanır. Burada 2

te

İfade etmektedir. Kukla değişkenli modeller için yapısal değişikliğin hangi

parametreyi etkilediği düşünülüyorsa, o düşünceye göre modeller oluşturulabileceği

gibi sabit veya bağımsız değişken parametrelerini etkileyecek şekilde de model

kurulabilir.

(31)

CHOW PREDICTIVE TESTİ

Bu test alt grupların modellerinin ayrı ayrı tahmin edilmesi durumunda

kullanılan bir testtir. Chow testi yapılırken oluşturulan iki alt gruptan modelleri

tahmin edebilmek için alt grupların birim sayıları n1 ve n2’ nin tahmin edilecek

parametre sayısı k’ dan büyük olması gerekmektedir. n1 veya n2’ den herhangi biri

k’ dan küçükse o grup için model tahmin edilemez. Bu durumda Chow testi yerine

Chow Predictive testi kullanılır.

Bu testte alt örnekten elde edilen sonuçların tüm örnek için geçerli olup

olmadığı test edilir. Diğer bir ifade ile bu test regresyon modellerinin kararlılığının

belirlenmesi için yapılan bir testtir. Bir alt gruptan elde edilen hata kareleri toplamı,

tüm örnekten elde edilen hata kareleri toplamı ile karşılaştırılır.

n2 < k ise birinci alt grup ile,

n1 < k ise ikinci alt grup ile,

Tüm örnekten elde edilen hata kareleri toplamı karşılaştırılır.

29

30

olarak hesaplanır. Hesaplanan test istatistiği serbestlik dereceleri sd1 = n2 ve

sd2 = n1 – k serbestlik derecesi ile F dağılımı tablosundan bulunan tablo değeri ile

karşılaştırılarak daha önce açıklandığı gibi karar verilir.

n1 < k olması durumunda da test istatistiğinin indislerinde değişiklik yapılarak

hesaplama yapılır. Alt modeller kukla değişkenler ile birleştirilerek tahmin

edildiğinde Chow testi uygulanabileceğinden Chow Predictive testinin

kullanılmasına gerek olmaz.

Hipotezler chow testi ile aynıdır. n2 < k ise test istatistiği,

1

1

1

1

2

1

1İ 1

2

2

1

2

)/(

/)(

Fn

i

n n

İ

R

kne

nee

(32)

BENZERLİK ORANI, WALD VE LAGRANGE ÇARPANI

TESTLERİ

Chow testi ile test edien alt gruplara ait modeller ile tüm veri için tahmin

edilen modeller Benzerlik oranı, Wald ve Lagrange Çarpanı testleri ile de

karşılaştırılabilirler ve bu karşılaştırma sonucunda yapısal değişiklik olup

olmadığına karar verilebilir. Bu testlerde de temel hipotez yapısal değişiklik

olup olmadığını, alternatif hipotez ise yapısal değişiklik olduğunu ifade eder.

Yapısal değişiklik yoksa, modellerin parametreleri arasında fark

olmayacaktır. Aradaki farkı kukla değişkenli modellerde kukla değişken

parametreleri belirleyecektir. Bu açıdan bakıldığında kukla değişken ile

birleştirilen modelde temel hipotez kukla değişken katsayılarının anlamsız

olduğunu, alternatif hipotez ise kukla değişken katsayılarının anlamlı

olduğunu ifade eder.

31

olur. LR test istatistiğinin dağılımı k serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır.

32

Bu durumda Benzerlik Oranı test istatistiği,

Ut

Rt

ee

enLR

2

2

log

=sınırlandırılmış modelin HKT

=sınırlandırılmamış modelin HKT

Rte 2

Ute 2

(33)

33

Yapısal değişiklik analizinde Wald test istatistiği,

ne

eeW

Ut

UtRt

/2

22

olacaktır. W test istatistiğinin dağılımı da k serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır.

Yapısal değişiklik analizinde Lagrange Çarpanı test istatistiği,

ne

eeLM

Rt

UtRt

/2

22

olarak hesaplanır. Bu test istatistiğinin dağılımı da k serbestlik dereceli ki-kare

dağılımıdır.

Her üç test istatistiği için test istatistikleri ki-kare dağılımı tablosundan

hata payı ve k serbestlik derecesi ile bulunan tablo değeri ile karşılaştırılır. Test

istatistiği tablo değerinden büyük ise H1 hipotezi kabul edilir; yapısal değişiklik vardır,

küçükse H0 hipotezi kabul edilir; yapısal değişiklik yoktur.

a

(34)

(35)

CUSUM TESTİ

Chow Predictive testi gibi katsayıların kararlılığını test eden bir

testtir. Yapısal değişiklik olması durumunda, yapısal

değişikliğin başladığı devreye kadar kararlı olan regresyon

modelinin katsayıları yapısal değişiklikten sonra

etkileneceklerdir. Bu etki katsayıların kararlığının bozulmasına

neden olur. Bu nedenle yapılacak test sonucu katsayıların

kararlı olduğuna karar verilirse yapısal değişiklik olmadığı;

kararlı olmadıklarına karar verilirse yapısal değişiklik olduğu

ortaya konacaktır. Bu test ardışık hatalara dayanmaktadır.

34

35

Temel hipotez, H0 : β1 = β2 = … = βk = β

222

2

2

1 ... n

şeklinde oluşturulur. Alternatif hipotez ise temel hipotezin doğru olmadığını ifade

eder.

Yt vektörünün; Xt, X vektörünün t. elemanını ifade ediyorsa,

)()(ˆ 1

ttttt b

Böylece

1ˆˆ

ttt b

t̂

Burada , ilk (t-1) gözlemden tahmin edilen en küçük kareler tahmincileridir.

Dikkat edilecek konu gözlemlerin 1’den n’e kadar gittiğidir. Fakat tam t

zamanında bir kırılma meydana geldiğinden (t-1) gözlem için parametrelerin

bulunması, ‘nin elde edilmesi ve ardından (37) nolu ifade ile gösterilen hataların

elde edilmesidir.

1ˆ

tb

(36)

(35)

t̂

Böylece hatalar,

t = k+1, k+2, …, n

36

1ˆˆ

tttte b

şeklinde olacaktır. Bu durumda ardışık hatalar wt,

'1

11

1

)(1

ˆ

tttt

tttt

xxw

b

'1

11 )(1 tttt

t

xx

e

olacaktır. Buradaki xt , (t-1)’den önceki bağımsız değişkenin(değişkenlerin) t

döneminde aldığı değeri(değerleri) ifade etmektedir. Bu durumda CUSUM testi için,

t

ks

t

t

wW

1 ̂

olarak hesaplanarak zamana göre grafiği çizilir. Burada,

(37)

(38)

(39)

(40)

Daha sonra alt ve üst güven sınırları oluşturulur. Şekil 3’de görüldüğü gibi yatay

eksende t, düşey eksende wt gösterilirse k noktasında aralık

37

ve n noktasında

n

ks

t wwkn 1

22 )(1

1̂

ve kn

w

w

n

s

s

1 olacaktır.

kn akn a3 olarak belirlenecektir.

(41)

(42)

CUSUM testinde H0 hipotezinin geçerliliği altında wt’nindağılımı sıfır ortalama ve

2 varyanslı normal dağılım olduğu ve wt ile ws’nin (t≠s) bağımsız olduğu

varsayılmaktadır.

38

Şekil 3: CUSUM Testi Yapısal Değişimin Gösterimi

n k

zaman

wt

Burada a , a hata payı ile

0,850için 0,10

0,948için 0,05

1.143için 01,0

aa

aa

aa

olacaktır. wt çizilen sınırlar dışına çıkarsa H0 yapısal değişiklik vardır hipotezi,

sınırlar içinde kalırsa H1 yapısal değişiklik yoktur hipotezi kabul edilir.

CUSUM-SQ TESTİ CUSUM testinden farklı olarak ardışık hataların kareleri ile hesaplanmaktadır.

n

ks

t

n

ks

s

t

w

w

S

1

2

1

2

t= k+1, k+2, … , n

değerleri hesaplanır ve St’ nin grafiği çizilir.

39

(43)

hata payı,

olarak bulunur. Çift taraflı test için m, ; tek taraflı test için m,

alınarak enterpolasyon yapılması gereklidir.

40

Burada,

k-n

k-t)S(E t (44)dır. Güven sınırları 0t C)S(E ‘ dır. C0 değeri a

n gözlem sayısı ve k parametre sayısı ile tablodan bulunacak değerlerdir. C0

tablodan testin tek veya çift taraflı olmasına göre m ve değerleri ile belirlenir. aTest için n-k tek sayı ise,

1-k)-n(2

1m 2a a

değerleri ile C0 bulunur. n-k çift sayı ise;

2

1-k)-n(

2

1m

2

3-k)-n(

2

1m

(45)

(46)

Tablodan belirlenen değerler ile alt ve üst güven sınırlarını çizilerek CUSUM-SQ

grafiği çizilir.

zaman

Grafik çizilerek güven sınırları dışına çıkıldığında yapısal değişiklik olduğuna, güven

sınırları içinde kalındığında yapısal değişiklik olmadığına karar verilir.

41

St

Şekil 4: CUSUM-SQ Testi Yapısal Değişimin Gösterimi