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XIII. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA EN EL CICLO SUPERIOR DEPRIMARIA II: TRIÁNGULOS1 (1ª PARTE)2

Edelmira Badillo y Mequè Edo

• Presentación• Planteamiento teórico• Objetivos generales del taller• Contenidos matemáticos desarrollados• Desarrollo de actividades• Material para maestros/as• Material para alumnos/as• Bibliografía• Listado de anexos

1. PRESENTACIÓN

Desde hace unos años estamos introduciendo una manera innovadora de ver la geometríaen la escuela aprovechando la riqueza y la complejidad que nos proporciona el arte (Badillo yEdo, 2004 a, b). A continuación les presentamos un entorno de aprendizaje y enseñanza delconcepto de «triángulo» en el Ciclo Superior de Primaria a partir del estudio del cuadro «Tran-quilidad» de Wassily Kandinsky que nos ha permitido trabajar con igualdad de importancia losaspectos artísticos y los matemáticos asociados a esta obra de arte.

Como ya resaltamos en el «Taller de Arte y Geometría I: Ángulos» (Badillo y Edo, 2004 a, b),nuestra propuesta tiene su origen en la línea de trabajo desarrollada en los últimos años por Edoet al., centradas en el diseño y aplicación de situaciones didácticas en las que se relacionan artey matemática en Educación Infantil y el Ciclo Inicial de Primaria (Edo, 1999, 2000, 2003).

Proponemos una metodología en la que conjuntamente maestros y alumnos se involucranen un proceso de reflexión sobre la funcionalidad de los conceptos geométricos para inter-pretar y crear «producciones artísticas». Resaltamos al mismo tiempo emociones, sentimientos yvalores en el estudio y creación de una composición artística, sin dejar de lado el desarrollo decompetencias matemáticas como:

– El papel de la definición y la demostración matemática.– La importancia del uso del lenguaje matemático en el aula.– El uso de diferentes representaciones de los conceptos matemáticos, etc.

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1. Estas orientaciones didácticas que a continuación reproducimos están relacionados con la experiencia «Taller deArte y Geometría en el ciclo superior de Primaria: Ángulos» de esta obra.

2. Debido a la extensión de la propuesta, tanto la 2ª parte del «Taller de Arte y Geometría en el ciclo superior dePrimaria II: Triángulos» como el «Material para el alumno/a», se incluirá en próximas entregas.

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Todo esto desde una visión constructivista de la enseñanza y del aprendizaje de la matemá-tica, en la que maestros y alumnos construyen conceptos matemáticos, alternando procedi-mientos intuitivos, geométricos y algebraicos, que contribuyen a desarrollar un pensamientogeométrico en alumnos de Primaria, con el propósito de justificar, interpretar y explorar ele-mentos artísticos y espaciales de su entorno inmediato (Badillo y Edo, 2004 a, b; Torres y Jua-nola, 1998 a, b).

Desde este referente en el que se sugiere el diseño de actividades didácticas que integren laGeometría y el Arte en Educación Infantil y cursos iniciales de Primaria, hemos propuesto el des-arrollo de una Unidad Didáctica en la que se da un tratamiento integrado y coordinado entrela Geometría y el Arte, como un espacio de reflexión que nos permite trasladar al aula de geo-metría una visión dual de la matemática. Es decir que ayude a los niños a integrar y trasladar lavisión que tienen de los conocimientos matemáticos como un sistema formal abstracto de auto-contenido hacia entenderlos como un instrumento que permite la resolución de problemasprácticos en contextos reales (Onrubia et al., 1999).

Todo lo anterior implica la adopción de diferentes estrategias de enseñanza y de diferentestipos de evaluación, en la que la responsabilidad del proceso de regulación de la construccióndel conocimiento sea compartida entre alumnos y maestros. Por tanto, se tendrá en conside-ración: la auto-evaluación, la hetero-evaluación y la co-evaluación como parte integral dela formación de los alumnos (Badillo, 2003a).

La propuesta didáctica que queremos compartir con ustedes se implementó en el aula duran-te el curso académico 2005-06 en la clase de 5º de Primaria de la Escuela Salesiana Mare de Déude la Mercè de Badalona. La clase estaba conformada por 26 niños y niñas del Primer Curso delCiclo Superior dentro de un «Taller de Arte y Geometría» correspondiente a una de las asignatu-ras complementarias que ofrece la escuela. Aprovechamos este espacio para agradecer a losalumnos que formaron parte de esta experiencia por su actitud y compromiso a lo largo del tallery a su tutora Pilar Baixauli, que colaboró durante todo el desarrollo del taller haciendo un segui-miento de las producciones artísticas de los alumnos desde la asignatura de Plástica.

Creemos conveniente resaltar que la escuela tiene una gran diversidad multicultural y étni-ca en el alumnado. Aproximadamente, el 10% del alumnado son inmigrantes (mayoría chinos,magrebís, europeos del este y sudamericanos), con una gran movilidad y deserción escolar. Con-cretamente en la clase de Quinto habían 7 alumnos inmigrantes (2 chinos, 1 magrebí y 4 suda-mericanos, 1 de los cuales tenía un ACI por dificultades de aprendizaje). El nivel socio-econó-mico de las familias de la escuela es muy bajo y una gran parte de ellas son familiasdesestructuradas. Por tanto, hemos de resaltar la diversidad social y cultural como una riquezaañadida al contexto de la experiencia, sin dejar de lado la complejidad en la gestión del aulaque esta pluralidad implica y, la validez y viabilidad que dan los resultados de esta innovaciónpara reproducirlos en las diferentes aulas de nuestro entorno (Badillo y Edo, en prensa).

2. PLANTEAMIENTO TEÓRICO

Los planteamientos teóricos que sustentan este taller se basan en una visión constructivistadel aprendizaje y la enseñanza en el que la actividad matemática que se genera en el aula tieneen cuenta diferentes criterios los cuales han sido señalados de forma recurrente por la investi-gación psicoeducativa reciente en el ámbito de la educación matemática (Onrubia et al., 2001;Badillo y Edo, 2004a), tales como:

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– Contextualizar el aprendizaje de las matemáticas en actividades auténticas y significativaspara los alumnos.

– Activar y utilizar, como punto de partida, el conocimiento matemático previo, formal einformal, de los alumnos.

– Orientar el aprendizaje de los alumnos hacia la comprensión y la resolución de problemas,teniendo en cuenta variedad de sistemas de representación y traducción entre sistemas derepresentación: gráficos, tablas, ecuaciones, descripciones verbales, etc.

– Vincular el lenguaje formal matemático con su significado referencial o su uso en la coti-dianidad.

– Avanzar de manera progresiva hacia niveles más altos de abstracción y generalización:construcción del conocimiento mediante un proceso de abstracciones reflexivas que empiecenen acciones; se interioricen en procesos y, finalmente, que estos procesos se encapsulen enobjetos (Teoría APOE, Dubinsky et al., 1997; Badillo, 2003b).

– Promover sistemáticamente la enseñanza en la interacción y la cooperación entre alum-nos. Por tanto, resaltamos la importancia del trabajo cooperativo.

– Ofrecer a los alumnos las oportunidades suficientes de «hablar de matemáticas» en el aula.– Atender los aspectos afectivos y motivacionales implicados en el aprendizaje y dominio de

las matemáticas. (Onrubia et al., 2001; pág. 498).

Las actividades y contenidos que desarrollaremos a continuación fueron diseñados a partirde los aspectos anteriormente enunciados:

– La naturaleza dual de la matemática (relación del pensamiento intuitivo geométrico y elpensamiento formal matemático).

– El uso de representaciones.– La importancia de la definición matemática y la demostración matemática y del uso del

lenguaje matemático.– La autorregulación de los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Igualmente, en relación con el proceso de descripción y análisis de una producción plástica,realizada por los mismos alumnos o por algún artista reconocido, es bueno hacerla siguiendoalguna pauta establecida (Edo y Gómez, en prensa). Roser Gómez, especialista en EducaciónVisual y Plástica, recomienda realizar este análisis en tres fases (Figura A).

– La fase inicial se centra en una Descripción objetiva de los elementos que se reconocenen la obra (líneas, puntos, manchas, figuras, volúmenes, superficies, texturas, colores, etc.). Ele-mentos que forman parte del alfabeto visual y plástica y que al mismo tiempo, muchos de ellos,son conceptos básicos del currículo matemático de Primaria.

– La segunda fase consiste en una Evocación creativa centrada en la mirada subjetiva de cadaespectador: ¿qué podría ser?, ¿qué me sugiere?, ¿qué me recuerda?, ¿qué me provoca?, etc.

– La tercera fase consiste en un Intento de síntesis centrado en la pregunta: ¿qué título lepondrías? Obviamente se hace antes de haber comunicado cuál es el título que le puso el autor.

Al seguir esta pauta observamos que la primera fase, la más objetiva y más conectada conla matemática, dota al alumno de una serie de «herramientas» derivadas del análisis de laforma que permiten que la segunda fase, la más subjetiva y creativa, llegue a ser más intere-sante, rica en matices y diversa dentro de una misma aula. Siguiendo esta pauta conseguimos

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entonces que la primera mirada, geométrica y objetiva, se conecte y convierta en elementonecesario para aumentar la capacidad de interpretar y crear composiciones artísticas, vincu-lándose al mismo tiempo el desarrollo de sentimientos y emociones estéticas. En la tercera fase,cuando se imaginan un posible título, aparecen a menudo elementos clave de la descripciónobjetiva o de la evocación creativa, por tanto entendemos esta parte de la actividad como unintento de síntesis de las conversaciones anteriores. Veremos, más adelante, ejemplos de algu-nas de estas fases.

FIGURA A

3. OBJETIVOS GENERALES DEL TALLER

Como en el «Taller de Arte y Geometría I: Ángulos» (Badillo y Edo, 2004 a, b), los objetivosgenerales que nos planteamos al diseñar e implementar el taller de geometría sobre el concep-to de triángulo fueron los siguientes:

– Utilizar obras de arte famosas para la introducción, construcción y evaluación de concep-tos geométricos (conceptual).

– Interpretar obras de arte famosas a partir de la aplicación de los conceptos geométricosdesarrollados (conceptual/procedimental).

– Crear y justificar producciones artísticas como resultado de la aplicación de los conceptosgeométricos desarrollados (procedimental/conceptual).

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Análisis de un cuadro con alumnos de Primaria

●● ¿Qué ves?●● ¿Qué hay?●● ¿Qué elementos reconoces?

●● ¿Qué podría ser?●● ¿Qué me sugiere?●● ¿Qué me recuerda?●● ¿Qué me provoca?

¿Qué título le pondrás?

PERCEPCIÓN

Descripción objetiva de los ele-mentos que se reconocen en la obra(líneas, puntos, manchas, figuras,volúmenes, superficies, texturas,colores, etc.)

Evocación creativa centrada en la propia mirada subje-tiva

Intento de síntesis

LENGUAJE

– Conocer y valorar los elementos conceptuales, históricos y biográficos de los autores de lasobras seleccionadas (actitudinal).

4. CONTENIDOS MATEMÁTICOS

En el presente taller hemos propuesto la siguiente secuencia de contenidos para que losalumnos lleguen a construir un esquema rico y variado del concepto de triángulo:

Triángulos

1. Definición de triángulo (conceptual).2. Elementos del triángulo (conceptual).3. Representación, medida y construcción de triángulos con la ayuda del geoplano (proce-

dimental).4. Clasificación de triángulos: según sus lados y según sus ángulos (conceptual/procedimental).5. Condición necesaria que han de cumplir los lados de un triángulo (conceptual/procedi-

mental).6. Condición necesaria que han de cumplir los ángulos de un triángulo (conceptual/proce-

dimental).7. Cálculo de perímetros y cálculo de áreas de triángulos (procedimental/conceptual).8. Resolución de problemas: aplicación y evaluación (procedimental/conceptual).

5. DESARROLLO DE ACTIVIDADES

5.1. Material para maestros/as

– Hoja para el diseño de la portada del dossier. Con el propósito de favorecer la creatividadde los alumnos se les proporciona una imagen de la pintura «Tranquilidad» de Wassily Kandinsky,y se les da libertad para que construyan la portada del dossier. Se hace énfasis en que tomen comoreferencia el convenio establecido para describir una obra de arte famosa: apellido y nombre delautor, año de creación, título de la obra, dimensiones, técnica utilizada y lugar de exposición.

Actividad 1. Familiarización e introducción al tema

– Objetivos. Se presentan dos tipos de actividades de familiarización. Un primer grupo (1.1.)de actividades buscan, por un lado, que los alumnos construyan las relaciones entre Arte y Geo-metría y, por otro lado, obtener las ideas previas de los alumnos en relación con los conceptostriángulo, elementos del triángulo y clasificación de triángulos, según sus lados y según sus ángu-los. Un segundo grupo de actividades se centran en el estudio de los rasgos más significativos dela vida y obra de los pintores escogidos (1.2.; 1.3.). Los objetivos que nos planteamos con estasactividades son:

● Identificar las ideas previas que tienen los niños sobre triángulos, elementos del triángulo yclasificación de triángulos, según sus lados y según sus ángulos. A partir de la pintura «Tranqui-lidad» de Wassily Kandinsky (1.1.).

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R● Introducir a los niños en la interpretación de las obras de arte, emitiendo juicios valorati-vos, expresando los sentimientos y emociones que les transmite el autor, resaltando los ele-mentos artísticos y las técnicas que se utilizan, a partir de la contemplación de las formas geo-métricas esbozadas en el cuadro de Kandinsky (1.1.; 1.2.).

● Motivar a los niños hacia la investigación de los rasgos más importantes de la vida y obrade este pintor, centrándonos en la relación con la Geometría (1.2.; 1.3.).

● Proponer y justificar a otros pintores y obras concretas que nos ayuden en el estudio deestos conceptos (1.3.).

– Materiales:

● Alumnos:

1. Fotocopia de la portada del dossier (Figura 2).2. Fotocopia de la Actividad 1. Comentarios de la imagen de las Figuras 1 y 2.3. Fotocopia de la Figura 1.

● Maestra/o:

1. Retroproyector.2. Transparencia de la Figura 1.3. Transparencia de la Figura 2 (Pintura de Wassily Kandinsky completa).4. Transparencias: interpretación personal de la obra, descripción de la obra (Anexo I) y obje-

tivos del taller (Anexo II).5. Fotocopia ampliada y plastificada del cuadro de Wassily Kandinsky.6. Papel (colocado en la pizarra) para escribir las ideas de los alumnos.7. Rotuladores.

– Agrupamiento. Trabajo en grupo grande, en grupo pequeño y exposición del profesor.– Desarrollo de la Actividad 1:

1.1. Comentamos la imagen de las Figuras 1 y 2 del material del alumno. Se presenta la Figu-ra 1, de la pintura de Wassily Kandinsky, donde sólo se ven líneas y ángulos, para:

● Formular hipótesis del contenido de estas líneas, respondiendo interrogantes del tipo:¿cuándo ves esta imagen qué ideas te vienen a la cabeza?; ¿qué crees que forman?; ¿de dóndecrees que las hemos sacado?; ¿dónde las podrías encontrar?; ¿qué objetivo tiene la presentaciónde esta imagen?; ¿para qué nos servirá en clase de matemáticas?, etc.

Se presenta la pintura completa de Wassily Kandinsky —sin hacer ninguna aclaración res-pecto a ella—, para:

● Observar las impresiones de los niños, respondiendo interrogantes del tipo: Ahora, cuandoves esta imagen, ¿qué ideas te vienen a la cabeza?; ¿qué crees que es?; ¿de dónde crees que lahemos sacado?; ¿dónde la podrías encontrar?; ¿qué objetivo tiene la presentación de esta ima-gen?; ¿para qué nos servirá en clase de matemáticas?, etc.

● Sacar conclusiones de las dos imágenes presentadas (intentando remarcar tanto elementos

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constructivos del cuadro como, medida, relación, proporción, peso, agrupamiento, dirección,movimiento, ritmo; como elementos expresivos, armonía / contraste, equilibrio / inestabili-dad, neutralidad / acento, unidad / fragmentación).

● Observar las ideas previas de los niños sobre líneas paralelas y perpendiculares; y sobreángulos y tipo de ángulos. Por eso, se les entrega una fotocopia de la Figura 1 y de la Actividad1, donde se les plantean los siguientes interrogantes:

[En una hoja se anotarán las aportaciones de los niños antes del desarrollo de las actividades]

– Cuándo observas esta imagen, ¿qué palabras relacionadas con la Geometría te imaginas?Es decir, ¿qué elementos geométricos identificas?

[Se pondrá énfasis en el uso del lenguaje formalizado de las matemáticas, mediante el usode palabras sinónimas que ayuden a la comprensión de los términos matemáticos]

– ¿Qué forman las líneas cuando se cortan, se tocan o interseccionan? – ¿Podéis explicarlo con vuestras palabras o definir lo que es un triángulo?– ¿Puedes identificarlos en el cuadro?; ¿qué partes crees que tiene un triángulo?– ¿Qué otras cosas ves en el cuadro? ¿Ves tri-(ángulos)?– ¿Ves diferentes tipos de triángulos?; ¿cuáles?; ¿podrías enumerarlos?; ¿cómo podrías

demostrar si es de un tipo o de otro?

[Se trata de enfatizar la importancia del rigor matemático, de la demostración matemática,tanto gráfica como algebraica]

– ¿Conoces el transportador?; ¿para qué sirve esta herramienta o instrumento geométrico?;¿sabes utilizarlo?

– Ahora intentaremos juntos describir este objeto, el transportador, ¿qué observamos quetiene?; si lo comparamos con una regla, ¿qué significado pueden tener estas líneas?; ¿en quéunidades se miden los ángulos de un triángulo? ¿Y los lados de un triángulo?

[Se presenta, nuevamente, la pintura completa de Wassily Kandinsky, para buscar la inter-pretación personal de los alumnos (Anexo I)]

– ¿Qué significado tiene esta imagen?– ¿Qué podría ser?– Coloquémonos en el lugar del pintor. ¿Qué idea o sentimientos creéis que quiere transmi-

tir con esta obra?– ¿Qué podemos destacar de los colores, la intensidad de colores, la posición y colocación

de las líneas, la secuencia de las líneas, del fondo, ¿cuántos planos vemos? ¿Cuál creemos quees el principal y por qué?, etc.

– ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué título le pondrías?

1.2. Descripción de la obra por parte de la maestra (Anexo II). Después de la puesta encomún en grupo grande y de las respuestas individuales que los alumnos han dado a las ante-riores preguntas, nos centramos por un lado, en el estudio de los rasgos más significativos de lavida y obra de los pintores escogidos, y por otro lado, intentamos hacer emerger las sensacio-

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nes que les provoca este cuadro. Para motivar la investigación de la obra de Wassily Kandinskyy la de otros pintores que permiten el estudio de estos conceptos geométricos, expusimos demanera dinámica los rasgos más importantes de este pintor, presentando su fotografía, su firmay pactamos con los alumnos que en próximas sesiones ellos mismos presentaran otras pinturasde su obra y de otros autores que nos ayudaran en el estudio de estos conceptos geométricos.

Igualmente, presentamos los objetivos del taller de Geometría (Anexo III): «Las matemáticascomo herramienta para interpretar y para crear obras de arte».

1.3. Motivación para investigar de forma individual sobre:

– Características más importantes de la vida y obra de este pintor, centrándonos más en larelación con las matemáticas (Geometría).

– Proponer y justificar otros artistas y obras concretas que nos ayuden a estudiar este tema:triángulo, tipos de triángulos, etc.

Actividad 2. Definición de triángulo. Construcción

Los estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000) afirman que el razonamiento yla demostración matemática proporcionan formas potentes para desarrollar y codificar conoci-mientos sobre una gran variedad de fenómenos. Por tanto, las personas que razonan y piensananalíticamente tienden a percibir patrones, estructuras y regularidades, tanto en situaciones delmundo real como en objetos simbólicos. En este sentido, una demostración matemática es unamanera formal de expresar tipos particulares de razonamientos y justificación.

Conscientes de que para entender los conceptos geométricos (matemáticos) es esencial que losalumnos sean capaces de razonar, hemos diseñado una serie de actividades partiendo del cuadro«Tranquilidad» que buscan que los alumnos encuentren sentido y aplicación a las matemáticas,mediante el desarrollo de ideas, la exploración de conceptos, la justificación de los resultados obte-nidos y, la formulación y demostración constante de conjeturas. Sin embargo, hemos de entenderque el razonamiento y la demostración no se pueden enseñar, sino que ambos tendrían que serparte consciente y esencial de la actividad matemática que se genera en el aula durante toda laescolaridad. Por tanto, razonar matemáticamente es un hábito mental y, como todo hábito, ha dedesarrollarse mediante un uso coherente en una gran variedad de contextos (NCTM, 2000).

A continuación presentamos las actividades diseñadas para la construcción y desarrollo de ladefinición del concepto de triángulo.

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●● Título: «Tranquilidad» (1930)●● Autor: Kandinsky Wassily●● Técnica: acuarela y tinta china●● Medidas: 1811/16 X 13 pulgadas●● Lugar de ubicación: ThomasGallery, Munich (Colección privada)

– Objetivos. Con esta actividad perseguimos construir progresivamente los siguientes concep-tos: triángulo, elementos del triángulo y tipos de triángulos según sus lados y según sus ángulos.

– Materiales:

● Alumnos/as:

1. Transparencias.2. Rotuladores permanentes.3. Fotocopias de la actividad 2.4. Material de consulta: libros de texto de matemática de Primaria, diccionarios, etc.

● Maestra/o:

1. Retroproyector.2. Transparencia de la figura 1. 3. Transparencia de la figura 2. (Pintura de Kandinsky completa).4. Fotocopia ampliada y plastificada del cuadro de Kandinsky.

– Agrupamiento. Trabajo individual, en grupo pequeño y en grupo grande.– Desarrollo de la Actividad 2:

En la construcción de la definición del concepto de triángulo tendremos en cuenta tres fases:

1. Definición individual del concepto.2. Confrontación entre iguales para compartir, mejorar y llegar a un acuerdo de las defini-

ciones propuestas inicialmente.3. Consenso e institucionalización de la definición.

En la siguiente tabla ampliamos las tres fases de definición para la construcción del conceptode triángulo:

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FASE IDefinición individual

(ideas previas)

FASE IIConfrontación entre iguales

FASE IIIConsenso e introducción de la

definición

En tu ficha responde por escrito alas siguientes preguntas:

– ¿Qué es para ti un triángulo?– ¿Cuáles son los elementos de untriángulo?– ¿Cuántos tipos de triángulosconoces? – ¿Puedes enunciarlos y represen-tarlos?– ¿Qué diferencias significativasobservas en los distintos triángulos?

1. Comenta con tus compañeros degrupo las definiciones anteriores2. Comparadlas con las que te pre-sentan los libros de texto para ver quéle falta, qué incorporarías y proponeduna nueva definición para:

– Triángulo– Partes y tipos de triángulos

3. Elaborad una transparencia conel concepto de triángulo que creéiscorrecto (como si editaseis un librode Geometría)

1. Puesta en común de las definicio-nes y acuerdo sobre la definición quecompartiremos en la clase para:

– Triángulo– Partes y tipos de triángulos

2. Elaboren individualmente unmapa conceptual del concepto detriángulo3. Puesta en común del mapa con-ceptual y elección de los aspectosmás relevantes de las definiciones


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FASE I

Creemos conveniente resaltar la importancia de que al inicio los alumnos, de forma indi-vidual, consignen por escrito sus definiciones previas sobre triángulo. Esto nos ayudará a verlos aciertos y los posibles errores o dificultades que tienen con relación a los conceptos adesarrollar.

A continuación, presentamos ejemplos de las respuestas dadas por cuatro estudiantes de laclase de Quinto de la Escuela Salesiana Mare de Déu de la Mercè de Badalona (Figura B).Encontramos en las definiciones que dan algunos de los estudiantes de la clase elementos sig-nificativos que, como maestros, se han de mejorar y tener en cuenta en la gestión que hacemosdurante el proceso de construcción por parte de los estudiantes del concepto de triángulo, yson, entre otros:

– Aspectos de la definición. Diferenciar términos como: punto, recta, semirrecta, seg-mento, ángulo, etc. Igualmente, detectar errores como la idea del alumno Marco de quetriángulo son dos ángulos agudos juntos (aunque el tener dos ángulos agudos sea una condi-ción básica de todo triángulo), etc., quizá influenciada por el abuso en la clase de Geometríade ejemplos y prototipos de los triángulos isósceles y equiláteros. Lo anterior se ve reflejadoen las representaciones de triángulos que proponen la mayoría de los estudiantes en esta pri-mera fase.

– El uso de representaciones matemáticas. Hacer énfasis en el uso de diferentes represen-taciones para cada una de las partes: lados, vértice, ángulos, etc. Como podemos observar enlos ejemplos de los alumnos hay una gran pobreza en el uso de representaciones del conceptode triángulo. La mayoría de los alumnos hacen referencia a las partes de un triángulo, pero nohacen una representación gráfica en la que se especifiquen cada una de las partes. Igualmente,como ya mencionamos anteriormente la pobreza de las representaciones reflejan el uso deejemplos y prototipos de los triángulos que a menudo son trabajados en el aula (isósceles y equi-látero).

– La necesidad del uso de los símbolos matemáticos como una herramienta que faci-lita la diferenciación de los diversos elementos, por economía al escribir, etc. Esto se ve refle-jado en la ausencia de signos matemáticos en la mayoría de las representaciones gráficas quehacen los alumnos del triángulo y sus partes, que les ayude a diferenciar los elementos quelo constituyen.

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FIGURA B. Ejemplos de producciones de los alumnos en la Fase I de la definición del concepto de triángulo

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FASE II

Esta fase, al igual que la anterior, consideramos que es importante porque estamos convenci-das de que es precisamente en la interacción entre iguales donde se logra detectar y mejorarmuchas de las dificultades que muestran los estudiantes. La interacción entre iguales, en lamayoría de los casos, crea un ambiente propicio para el diálogo, el intercambio de ideas en uncontexto de igualdad. La confrontación de ideas y la unificación de criterios que se desprenden enesta fase, ayuda a los estudiantes a tener respeto por las ideas del compañero, a la negociaciónentre posturas y a la verificación, mediación y enriquecimiento de las mismas, mediante el buenuso de la información que les proporcionan otros referentes. En este caso las definiciones de otroslibros de texto, el uso de diccionarios y, en general, el manejo de otras fuentes de información.

Otro aspecto a resaltar de esta fase, es la motivación por la creatividad que intentamos promo-ver en los estudiantes a la hora de asumir el rol de «editores de libro» para diseñar la página queincluya la definición del concepto de triángulo. Esto nos permitió observar la influencia que tiene eltrabajo en pequeños grupos, pues se dieron evoluciones en las definiciones que inicialmente dabanalgunos de los estudiantes. Los ejemplos que presentamos a continuación, son las transparenciasfinales del grupo de los mismos alumnos que presentamos en la fase anterior, Marco, Irene, MiguelÁngel y Mireia. La elección de estos cuatro ejemplos obedece a las siguientes razones:

– Mostrar la evolución en las definiciones iniciales que evidenciaron los alumnos seleccio-nados —más evidente en los casos de Marco y Miguel Ángel—, influenciadas en gran medidapor las aportaciones de los compañeros del grupo y por la interacción con las diferentes fuen-tes de información con la que contaban los grupos.

– Mostrar diferentes aspectos del concepto de triángulo que nos resultan interesantes eimportantes para trasladarlos al aula:

● Definición de triángulo como intersección de tres ángulos (de los grupos de Mireia, Ireney Marco).

● Definición de triángulo como intersección de rectas (de los grupos de Mireia, Marco yMiguel Ángel).

● Definición de triángulo como la figura del plano formada por tres puntos no alineados (delos grupos de Marco, Miguel Ángel e Irene).

● Definición de triángulo como figura bidimensional formada por tres ángulos, tres lados ytres vértices, que cumplen la condición de que la suma interna de los ángulos que la conformanes de 180º (definición realizada por todos los grupos).

– La evolución en el uso de variedad de símbolos y de representaciones que utilizan los dife-rentes grupos. Consideramos importante resaltar cómo aparecen en las definiciones de todos losgrupos el uso de signos matemáticos para referirse a cada uno de los elementos del triángulo,dotando a las definiciones de rigurosidad matemática. Sin embargo, se siguen utilizando mayo-ritariamente representaciones de triángulos en posiciones prototípicas (el caso de los grupos deMireia, Marco y Miguel Ángel) y solamente, el grupo de Irene representa diferentes tipos detriángulos en posiciones no prototípicas. Es decir, con una de las bases en posición horizontal.

– La influencia positiva del trabajo en grupo reducido y el manejo de una gran variedad defuentes de información en la evolución de las definiciones. Se puede observar en la transpa-rencia del grupo de Marco, cómo el trabajo en grupo le ayudó a que introdujera cambios sig-nificativos en su definición inicial.

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FIGURA C. Ejemplos de producciones de los alumnos en la Fase II de la definición del concepto de triángulo

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Todos los aspectos anteriormente expuestos se han de gestionar y tener en cuenta en el aulaen el momento de la exposición del representante del grupo, para llegar a consensuar la defi-nición buscando una mayor aproximación del conocimiento escolar al conocimiento matemá-tico.

Actividad 3. Actividad de Síntesis. Definición de triángulo, sus elementos y clasificación (FASE III)

– Objetivos. Consensuar y reconstruir las definiciones propuestas por los alumnos en lasfases I y II, teniendo como marco de referencia los diferentes aspectos que enriquezcan elesquema del concepto de triángulo, el uso de variedad de representaciones de este concepto yla importancia del uso de ejemplos, no ejemplos y contrajemplos del concepto en la resoluciónde problemas.

– Materiales:

● Alumnos/as:

1. Mapa conceptual construido individualmente en una hoja de papel.2. Ficha de la Actividad 3.

– Maestra/o:

1. Retroproyector.2. Transparencias.3. Rotuladores.

– Agrupamiento. Trabajo individual y en grupo grande.– Desarrollo de la Actividad 3. Antes de explicar el desarrollo de la actividad, creemos con-

veniente presentar algunos rasgos teóricos de lo que es un mapa conceptual para que sirva deguía a los maestros que no se están familiarizados con el uso de este recurso didáctico en el aulade Primaria (Badillo y Edo, 2004 a).

MAPAS CONCEPTUALES

¿Qué es un mapa conceptual? Es un recurso esquemático para representar un conjunto designificados conceptuales incluidos en una estructura de proposiciones. Los mapas conceptua-les centran su atención en las ideas importantes en las que debe centrarse cualquier tarea espe-cífica de enseñanza-aprendizaje.

Características de los mapas conceptuales. Dado que los mapas conceptuales son un dia-grama gráfico-semántico jerárquico que procura reflejar el conocimiento que ha sido incorpo-rado en la estructura cognitiva de un sujeto, después de haber estudiado un tema, podemosremarcar algunas de sus características más importantes:

– Son jerárquicos.– Resumen esquemático de todo lo aprendido.– Las relaciones de subordinación o superordenación pueden variar según el campo de

conocimiento que se tenga de la materia.

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– Deben representar los conceptos que poseemos y las relaciones entre conceptos que cono-cemos.

– Son personales, no existe «el mapa conceptual de...» en el sentido de ser el único y mejor.

Pautas para la construcción de un mapa conceptual (Ver Anexo IV)

Los mapas conceptuales están formados por nodos y líneas de unión entre nodos. Losnodos, que representan conceptos o atributos específicos del tema o disciplina desarrolla-da, se muestran enmarcados en círculos, rectángulos, óvalos, etc., y se unen mediante tra-zos. Estas conexiones representan las relaciones que unen a dichos conceptos, y pueden (ono) llevar una leyenda que aclare el significado de dicha relación. Palabras de enlace talescomo «de», «donde», «el», «para», «entonces», «con», «si... entonces», «y», «o» «no», etc.,son utilizadas, tanto como verbos y sustantivos, para construir proposiciones que se leenentre los nodos. Sugerimos para la construcción de los mapas conceptuales los siguientespasos:

– Escribe las palabras clave que creas que son las más importantes del tema objeto de estu-dio, con relación a la asignatura que explicas.

– Trata de organizar las palabras anteriores en jerarquías, y escribe estas en la hoja de papeldonde desarrollarás tu mapa conceptual definitivo.

– Conecta los pares de conceptos y relaciónalos mediante conectores o palabras enlace,recuerda que también puedes utilizar palabras, por ejemplo verbos, que hagan sencilla la com-prensión del mapa.

Después de esta breve introducción sobre los mapas conceptuales presentamos, a modo deilustración, dos ejemplos de mapas conceptuales del concepto de triángulo construidos por losniños. Creemos conveniente aclarar que los niños de la escuela donde se implementó la unidaddidáctica estaban muy acostumbrados a hacer esquemas y, por tanto, fue fácil para ellos el apro-piarse de la técnica de construir mapas conceptuales. Inicialmente, construyeron individual-mente el mapa conceptual del concepto ángulo y, posteriormente, en el momento de consen-suar el mapa del concepto ángulo que la clase asumía como referente para este concepto, lamaestra aprovechó para aclarar dudas sobre la construcción de esta herramienta poderosa. Portanto, la tarea de construir el mapa conceptual para el concepto de triángulo fue muy ágil,rica y divertida. De hecho, el primer mapa conceptual que presentamos, construido por Patri-cia, fue el que más gustó a los compañeros de la clase y fue el punto de partida para elaborarconjuntamente con la maestra el mapa conceptual «final» del concepto que la clase tendríacomo referente.

El mapa conceptual del concepto de triángulo construido por Patricia es un buen ejem-plo para ilustrar la complejidad de los objetos matemáticos que construimos en la primeray segunda fase de la actividad de definición. En esta tercera fase, el objetivo es remarcarsobre qué elementos conceptuales queremos que los alumnos construyan el concepto detriángulo. Por tanto, queremos resaltar del mapa conceptual construido por Patricia, lossiguientes aspectos que los maestros que estén interesados en poner en práctica esta uni-dad puedan tener en cuenta a la hora de orientar las discusiones con los alumnos y de con-sensuar la definición que como grupo hemos construido del concepto en cuestión:

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– La riqueza y la variedad de los elementos presentes en la definición. Esto se refleja enel correcto manejo de los constructos matemáticos que utiliza la alumna. Aparece la definiciónde triángulo como la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no alineados. Si bienes cierto que no utiliza la palabra matemática correcta demuestra haberse apropiado del signi-ficado de este término cuando lo define como tres puntos en desorden; algo que refleja un nivelde comprensión del concepto matemático. Igualmente, aparece la definición de triángulo comointersección de ángulos.

– El uso de diferentes representaciones del concepto. Observamos que aparecen bienrepresentados algebraicamente y gráficamente los diferentes elementos que conforman el trián-gulo y los diferentes tipos de triángulos los dibuja utilizando representaciones no prototípicasde los mismos:

– El uso apropiado del lenguaje matemático. Es decir, el uso de los signos y símbolos mate-máticos asociando su significado referencial. Como se puede observar en los diferentes frag-mentos del mapa conceptual de Patricia que hemos extraído, las representaciones de los dife-rentes tipos de triángulos aparecen en posiciones no prototípicas y el uso de representacionesalgebraicas es la correcta en cada caso. Por ejemplo, en la primera representación para definirla altura de un triángulo usa los signos matemáticos correctos para referirse a vértices, segmen-tos y perpendicularidad. Sin embargo, en el momento de la discusión dirigida por la maestra yla clase descubrimos el error de Patricia al interpretar la perpendicularidad del segmento OB— allado AC— como condición necesaria para definir al segmento OB— como una de las alturas deltriángulo ABC (OB— ⊥ AC—).

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Def. de alturas Def. de lados Def. de vértices Def. de ángulos

Otro aspecto remarcable, de cara a mejorar el esquema del concepto de triángulo, es elhecho de trazar sólo una de las alturas, con lo cual la maestra insistió con preguntas del tipo:«¿sólo tiene una altura el triángulo ABC?»; y dejó abierta la discusión para sesiones posterioresen las que se trabajaría con más detenimiento el concepto de altura.

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FIGURA D. Ejemplos de producciones de los alumnos en la Fase III de la definición del concepto de triángulo

Con respecto al segundo mapa conceptual elaborado por Irene, resaltamos la misma rique-za conceptual que el de Patricia, pero encontramos a faltar el uso de un lenguaje matemáticomás rico al definir los constructos matemáticos. Igualmente, las representaciones gráficas de losdiferentes triángulos aparecen en posiciones prototípicas. Por tanto, este mapa conceptualayudó a la maestra a reorientar la discusión sobre estos posibles errores y a enriquecer losesquemas del concepto de triángulo que tienen los alumnos.

Finalmente, queremos remarcar la importancia de esta tercera fase del proceso de definir elconcepto de triángulo porque nos resulta rica y provechosa, en el sentido de que el intercam-bio en grupo grande de los diferentes mapas de los alumnos y la gestión de la maestra puedeayudar a incorporar en los esquemas de los alumnos aspectos de la definición del concepto queno han quedado suficientemente «claros». Como resultado de todo el proceso de definición lle-gamos a consensuar el mapa conceptual del concepto de triángulo que orientaría las reflexio-nes y la actividad matemática que se generaría en la clase.

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Actividad 4. Construcción de producciones artísticas

– Objetivo. Esta actividad tiene como objetivo promover en los estudiantes procesos dereflexión sobre la importancia que tiene, en la construcción de una producción artística, querelacione Arte y Geometría, la justificación de los siguientes aspectos:

– El uso práctico de los contenidos geométricos en la construcción de una producción artística.– Los procedimientos (geométricos y/o algebraicos) utilizados en la construcción de los obje-

tos geométricos (ángulo, triángulo, etc.) que conforman la producción artística.– Las diferentes técnicas artísticas y materiales que utilizan en la construcción de la produc-

ción artística.– Título del cuadro, nombre del autor, y la descripción de los sentimientos que quiere trans-

mitir con su producción artística.

– Materiales. Cualquier tipo de material y técnica plástica son aceptados. Los alumnosdeben escogerla y justificar su elección.

– Agrupamiento. Producción individual, descripción y justificación en el grupo grande.– Desarrollo de la Actividad 4. A continuación presentamos cinco ejemplos de trabajos rea-

lizados por niños de 5º de Primaria de la Escuela Salesiana Mare de Déu de la Mercè de Bada-lona donde implementamos el taller. Todos los ejemplos que presentamos siguen el modelo quesugerimos a los niños y niñas para la construcción de producciones artísticas. Para ilustrar laforma de trabajo de los niños y niñas este tipo de actividad, a continuación presentamos cincoejemplos de producciones artísticas realizadas por los alumnos.

Concretamente, en el primer ejemplo, si bien es cierto que esta producción artística estácentrada sólo en un tipo de triángulo, el equilátero y, en general, aparece en posición prototí-pica, queremos resaltar el valor artístico y creativo de esta producción, ya que su autor, mostrómucho interés a lo largo del taller y su evolución conceptual es una de las más interesantes.

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«Laberinto de pirámides». Delga-do, M. 2006

●● Conceptos geométricos: triángulosy rectángulos.

●● Técnica: témperas, rotuladores ycola.

●● Sentimientos: eso es como un labe-rinto entre pirámides. Por eso, laintriga es como será el final. Lospasillos verdes son los caminos.

La armonía es de los colores verdesde la hierba, los amarillos y losmarrones de los tonos de la tierra y elazul del cielo.

El segundo ejemplo seleccionado, muy diferente al anterior, muestra la variedad en las pro-ducciones y justificaciones que pueden surgir en el aula. Concretamente, Mireia nos presentauna producción artística muy rica conceptualmente, muy original y sencilla, desde la técnicaplástica utilizada. Creemos conveniente recordar que, ya desde su definición inicial (ver FASE I),esta alumna define el concepto de triángulo como intersección de ángulos y en su cuadro quedareflejada. Igualmente, tiene muy claro las condiciones que han de cumplir los ángulos internosde un triángulo para que un polígono sea un triángulo. Lo cual nos pone de manifiesto la impor-tancia de trabajar en el aula con ejemplos, no ejemplos y contraejemplos de los conceptos quese desarrollan, ya que esto refleja una riqueza en los esquemas de los alumnos.

En lo que respecta al tercer ejemplo, queremos resaltar los componentes lingüísticos, plásti-cos y matemáticos que encierra esta producción artística. La alumna tiene claro la definición detriángulos como intersección de ángulos y las condiciones que han de cumplir los ángulos inter-nos de un triángulo. Igualmente, justifica literariamente el contenido geométrico y el contenidoartístico de su producción.

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«Los triángulos con ángulos». Escudero,M. 2006

●● Conceptos geométricos: triángulos, notriángulos y ángulos.

●● Técnica: ceras, plastidecors, cola y rotu-ladores. Y he pintado los palillos y los bas-tones de orejas.

●● Sentimientos: quiero que exprese las for-mas de triángulos que hay en nuestropaís. Hay muchas maneras de ángulosque forman triángulos y que no los for-man, y los tenemos que aprender.

«El otoño». Enri, Y. 2006

●● Conceptos geométricos: ángulos agudos yrectos, y triángulos.

●● Técnica: acuarelas, cartulina, cola, escua-dra y rotuladores.

●● Sentimientos: emoción por los colores delotoño y mucha tranquilidad por sentirlos.Diversión porque los triángulos parecenque fueran muy amigos. Y mucha paz porel comportamiento de los ángulos rectos yagudos que forman los triángulos.


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La selección de este cuarto ejemplo se debe a la influencia que tiene el estudio de obrasartísticas de pintores famosos a la hora de que los alumnos se inicien en este tipo de activida-des. Esta alumna, siempre mostró mucho interés por los cuadros de Klee y utilizó el manejo deplanos y contraplanos para resaltar los conceptos geométricos que quería aplicar.

Finalmente, con el quinto ejemplo queremos resaltar la importancia de la autonomía delniño en la toma de decisiones justificadas. En este caso, el alumno justifica los diferentes tiposde líneas utilizadas en la producción artística y la libertad para construcciones libres. Igualmen-te, utiliza las técnicas de su entorno inmediato para crear una producción artística muy bien fun-damentada matemáticamente y con una gran riqueza en valores humanos.

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«La puesta del sol». Martínez, L.2006

●● Conceptos geométricos:triángulos, no triángulos y ángulos.●● Técnica: cartulina, ceras, rotulado-

res y palillos.●● Sentimientos: los sentimientos que

transmite este cuadro son de felici-dad y armonía, porque cuando unoestá triste se va al mar y ve la puestadel sol y se pone feliz porque es unaimagen preciosa de ver. Y he colo-cado al frente triángulos y otras figu-ras para que cada quien se centre enver la parte que quiera.

Quesada, M. (2006). La fiesta entre lospaíses

●● Conceptos geométricos: ángulos obtusos,rectos y agudos y triángulos.

●● Técnica: Blo pens, reguladores y rotula-dores.

●● Sentimientos: alegría porque son coloresvivos. Unión, porque los triángulos repre-sentan los países que están unidos. Amis-tad porque si hay unión no pueden serenemigos. Paz porque los países queestán unidos en teoría no tendrían quetener guerras. Amor porque lo hice yocon ilusión.

EVOLUCIÓN DE LA COMPONENTE ARTÍSTICA Y PLÁSTICA DE UN CASO: IRENE

En este apartado queremos mostrar con un ejemplo de un caso la forma como evolucionanlas producciones artística y las argumentaciones matemáticas de los niños a lo largo de todo eltaller. No nos debemos desanimar ante la diferencia de respuesta de los niños a la hora de crearuna producción artística, ya que la pluralidad del aula refleja un sinnúmero de intereses y moti-vaciones. Así nos podemos encontrar con niños que llegan a hacer más de diez cuadros y otrosque sólo llegan a crear 1 ó 2 producciones a lo largo del todo el taller.

Una manera de motivarlos, es buscar estrategias que les atraigan, como por ejemplo crearuna Galería de exposiciones en las que se expondrán los mejores cuadros de la semana.

Actividad 5. Construcción y representación de triángulos con la ayuda del geoplano

– Objetivos. Promover en los estudiantes procesos de reflexión sobre la importancia quetiene, en la construcción y representación de los diferentes tipos de triángulos, tanto:

● El sistema de medida de referencia como el uso de diferentes instrumentos de medición. ● El valor de la exactitud y la aproximación en los diferentes procesos de medición de mag-

nitudes matemáticas.● El conocimiento y la función de los diferentes elementos que conforman al concepto de

triángulo: vértice, lados (significado de semirrecta, recta, segmento), ángulos, alturas, etc.

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«Las pirámides». Sánchez, I. 2006c.

●● Conceptos geométricos: triángulos, no triángulos y ángulos.●● Técnica: pinturas azul y negra y tiza blanca.●● Sentimientos: Los triángulos son pirámides y el fondo el océano. ●● Este cuadro transmite el deseo de volver a estar juntos para ser amigos, un océano y muchas

pirámides... Aunque las que no parezcan también pueden ser triángulos.


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● La riqueza y variedad de representaciones de los diferentes tipos triángulos (no caer en eluso exclusivo de prototipos).

● Del uso de ejemplos, no ejemplos y contraejemplos que promuevan la argumentación y lacontrargumentación en la resolución de problemas.

● El conocimiento y manejo de una nueva herramienta didáctica: el geoplano. La cual faci-lita la construcción de las representaciones de los diferentes triángulos centrándonos más en lacomprensión de los conceptos que en la construcción compleja con regla y compás de la repre-sentación de triángulos en el papel.

– Materiales:

● Alumnos/as:

1. Transportador (uno o más).2. Papel.3. Regla y escuadras.4. Geoplanos: isométrico y cuadricular.5. Fotocopia de la Actividad 4 (que incluye dos tramas en papel del geoplano isométrico y

cuadricular).6. Rotuladores.7. Hoja con las Figura 1 y Figura 2 (Cuadro de Wassily Kandinsky «Tranquilidad»).

● Maestra/o:

1. Retroproyector.2. Transparencias (Anexo IV).3. Rotuladores.

– Agrupamiento. Trabajo individual, en grupo pequeño y en grupo grande.– Desarrollo de la Actividad 5. Como en esta actividad introducimos el uso de una herra-

mienta didáctica innovadora como es el geoplano, consideramos necesario hacer una referen-cia específica al uso de la misma como una estrategia que facilita la construcción de las repre-sentaciones de los diferentes tipos de triángulos, centrándonos más en la comprensión de losconceptos que en la construcción compleja con regla y compás de la representación de trián-gulos en el papel, que consideramos no apropiada para el nivel de escolaridad de los niños queparticiparon en esta experiencia.

Un geoplano, en su versión original, es una tabla de madera con trama de clavos. En él sepueden formar figuras utilizando gomas elásticas. Todas las figuras geométricas que se constru-yen deben tener sus vértices en los puntos de la trama. En el geoplano la trama de clavos estáformada por filas y columnas. Por ejemplo, el geoplano de la figura es del tipo 6x6. Si los clavosse distribuyen en forma circular tendremos el geocirco.

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Geoplano Geocirco

En esta actividad utilizamos dos tipos de geoplano:

1. Geoplano de trama isométrica, que facilita la representación de polígonos regulares. Eneste caso concreto la representación del triángulo equilátero, eliminando los posibles errores yobstáculos que puedan tener los alumnos con la diagonal en el geoplano de trama cuadricular,ya que la trama isométrica esta conformada por triángulos equiláteros cuya medida de los ladoses de una unidad de longitud.

2. Geoplano de trama cuadricular que permite la construcción de todos los tipos de triángu-los, pero que tiene la dificultad añadida de la interpretación de la diagonal de los cuadrados quela componen. En su mayoría, los alumnos tienden a cometer el error de considerarla como unaunidad de longitud igual al valor de los lados del cuadrado que la componen; lo cual permiteemerger errores conceptuales y de medición (ya que si el lado del cuadrado mide 1 unidad delongitud su diagonal mide aproximadamente, por el Teorema de Pitágoras, √

–2 = 1,414...)

Geoplano trama Isométrica Geoplano trama Cuadricular

Sin embargo, consideramos que previamente al desarrollo de las situaciones que se propo-nen en la Actividad 4, el alumno debe explorar y descubrir los aspectos anteriormente descritosy, en el caso de que surjan estos errores, el maestro debe reorientar la discusión y llevar al alum-no a que reflexione sobre las ventajas y desventajas que tiene el uso de los diferentes geoplanosy las tramas en papel que se les proporcionan. Y que sean, los mismos alumnos con criterios

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bien definidos y argumentados los que justifiquen el uso de uno o del otro en la representaciónde los diferentes tipos de triángulos.

En general esta actividad fue muy bien valorada por los estudiantes porque les motivó y lesfacilitó la comprensión de los conceptos implícitos en la representación de un triángulo demanera amena y divertida. Igualmente, como maestras valoramos positivo el uso de esta herra-mienta didáctica porque facilitó la tarea de representar en lápiz y papel los diferentes tipos detriángulos, sin la complejidad añadida de la construcción con regla, compás y transportador.

Igualmente, en esta actividad se hace una introducción de las unidades de medida que sehan de utilizar para cada uno de los elementos del triángulo. Inicialmente, se recuerda lamedición de ángulos, ya que es un tema que tiene cierto grado de dificultad para los alumnos,teniendo como referencia el sistema Sexagesimal (Ver anexo V). Sugerimos, en este nivel de esco-laridad, centrarnos en la medición de ángulos utilizando como unidad básica el grado, dejandoa decisión del maestro el tratamiento de los submúltiplos de esta unidad (minutos y segundo). Esnecesario matizar que el instrumento que permite medir ángulos en este sistema es el transpor-tador. Igualmente, tenemos que hacer énfasis de la variedad de modelos que hay en el mercadode transportadores y, por tanto, de las diferencias que hay en el uso de los mismos (Badillo y Edo,2004 a, b). De allí que sugerimos que esta actividad inicie con un reconocimiento del transpor-tador que utilizará cada niño, resaltando los aspectos que aparecen en el siguiente esquema:

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RSigno del ánguloSentido del giro

La medida delángulo es de135º

La lectura se hace en la escalateniendo en cuenta el sentidodel ángulo

La medida se lee en la escala que comienza en CERO (la de arriba)

Atención: El vértice debe coincidir con el origen del eje de referencia del transportador

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Posteriormente, proponemos la resolución de una serie de mediciones de ángulos, teniendoen cuenta diferentes triángulos que previamente han construido con la ayuda del geoplano, enlas que se tratan con igualdad de importancia los siguientes aspectos:

– Desarrollo del pensamiento conjetural, con el propósito de que los estudiantes, usen lasdefiniciones de los diferentes tipos de ángulos en la medición aproximada de los diferentesángulos que conforman los triángulos representados gráficamente en el geoplano, previo a lacomprobación con el transportador y regla.

– Introducir el procedimiento geométrico, que consiste en la utilización del transportadorcomo instrumento que permite una medición «exacta» de los ángulos y de la regla para medirlos lados que conforman los diferentes tipos de triángulo a partir de su representación gráfica enel geoplano.

Estrategias que utilizan los alumnos para comprobar la medida de los ángulos con la ayuda de transportador y regla

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– Construcción y reproducción gráfica de triángulos en el plano mediante procedimien-tos geométricos, a partir de las representaciones construidas en el geoplano y, el posterior pasoal plano en la trama (cuadricular o isométrica) proporcionada en la Actividad 4.

Actividad 6. Clasificación de los triángulos: según sus lados y según sus ángulos

– Objetivos. Los objetivos que nos planteamos con esta actividad son:

● Justificar las relaciones y condiciones que han de cumplir los triángulos para clasificarlossimultáneamente según sus lados y según sus ángulos.

● Promover progresivamente e individualmente a los alumnos a hacer conjeturas sobre losobjetos geométricos y demostrar dichos argumentos con diferentes tipos de procedimientos:geométrico, algebraico, etc.

● Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebrai-co), para abordar la solución de situaciones que involucren triángulos, mediante el uso de dife-rentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.

– Materiales:

● Alumnos:

1. Transportador (uno o más).2. Regla y escuadras.3. Geoplanos: isométrico y cuadricular.4. Tramas en papel: isométrica y cuadricular.5. Papel y lápiz.6. Rotuladores.7. Esquema conceptual del concepto de triángulo consensuado por la clase.8. Libros de matemática.9. Diccionarios.10. Ficha del dossier de la Actividad 6.

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– Agrupamiento. Trabajo en pequeños grupos y grupo grande.– Desarrollo de la Actividad 6. Como ya mencionamos en el apartado de actividades de

definición, el razonamiento matemático y la demostración matemática proporcionan a los alum-nos formas poderosas para desarrollar y comprender conocimientos. En este sentido, en las acti-vidades diseñadas hemos querido promover herramientas conceptuales y procedimentales queayuden a los alumnos progresivamente a razonar y pensar analíticamente. Es decir que se ini-cien en la percepción de patrones, estructuras y regularidades de los objetos geométricos conlos que trabajan (NCTM, 2000). Concretamente, a continuación en las actividades 6, 7, 8 y 9,insistiremos en promover en los alumnos entornos de demostración matemática en la que pue-dan expresar diferentes tipos de razonamientos y argumentaciones de las conjeturas que for-mulen sobre los conceptos geométricos que trabajaremos en el aula.

Inicialmente, presentamos la ficha que diseñamos para que los alumnos hicieran conjeturasy luego demostraran la viabilidad de las relaciones posibles y las no posibles entre la clasifica-ción de triángulos según sus lados y según sus ángulos.

Esta actividad la valoramos muy positivamente por la riqueza del entorno de discusión eintercambio que se genera en el seno de los pequeños grupos y la gran variedad de preguntasy argumentaciones que emergieron en la puesta en común en el grupo grande.

Consideramos importante remarcar que la gestión de la discusión, tanto en los grupos reducidoscomo en el grupo grande escompleja y requiere por partedel maestro una claridad ymanejo conceptual sobre losconceptos en juego, así: defi-nición de triángulo, clasifica-ción de triángulos, etc. Porello, compartiremos con uste-des ejemplos de los gruposque solucionaron correcta-mente la situación y que ade-más fueron capaces de argu-mentarla de forma «rigurosa»desde las matemáticas.

La consigna inicial quedimos a los estudiantes parala resolución de esta situa-ción era la de llenar la tablacon tres opciones de res-puesta: (1) Si, (2) No = Ø y,(3) Tenemos dudas. Peroinsistimos que para cada res-puesta tendrían que argu-mentarlas y demostrarlasusando cualquiera de lostipos de procedimientos tra-bajados en el aula: gráfico,algebraico, numérico y/overbal.

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Igualmente, previa a la resolución de la situación, dedicamos un espacio de tiempo al aná-lisis de la información que presentábamos a los estudiantes, ya que muchos de ellos no estabanacostumbrados a la lectura de tablas. En este caso concreto era una tabla de triple entradadonde se proporcionaba información de los tipos de triángulo según sus ángulos (horizontal) ysegún sus lados (vertical), y de lo que se trataba era de establecer las posibles relaciones entreellos, utilizando y sistematizando la información en la tabla de manera que después la maestrapudiera comprender dicha información para evaluarla. Así, una las consignas que propuso ungrupo, y que aceptamos como correcta, era la de colocar la opción de respuesta acompañadade un número en la tabla y, posteriormente, relacionarlo en la trama cuadricular y/o isométricacon el argumento que consideraran pertinente.

A continuación presentamos las respuestas dadas por tres grupos en los que podremos obser-var diferentes tipos de procedimientos para demostrar y argumentar sus conjeturas inicia-les. Recordamos que los alumnos contaban con los siguientes materiales para abordar la reso-lución de la situación: geoplanos isométrico y cuadricular, tramas cuadriculares e isométricas,regla, escuadra, transportador, el esquema conceptual de triángulo consensuado por todo elgrupo (ver Anexo IV), libros de matemáticas, diccionarios, lápiz y papel.

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En las respuestas y argumentaciones dadas por el grupo 1: Laura, Elisa, Patricia y Mireia,observamos que el procedimiento que más usan para demostrar las relaciones posibles es el grá-fico y para argumentar las relaciones imposibles el verbal. Destacamos, que este grupo eligió concriterios matemáticos muy bien definidos la opción de representar los triángulos en la tramaisométrica o cuadricular que más se ajustaba al argumento matemático que lo respaldaba.

1. Relación equilátero-acutángulo: la respuesta que dieron a esta relación es que sí es posi-ble y lo demostraron correctamente con la siguiente representación gráfica:

Resaltamos que este grupo ya tiene interiorizado el concepto de ángulo agudo y la defini-ción de cada uno de los tipos de triángulos, ya que no acompaña la representación gráfica deningún otro tipo de representación (numérica, algebraica, etc.), pues consideran que el geopla-no y la trama isométrica tienen en sí mismo los argumentos suficientes y necesarios de demos-tración. Sin embargo, a la hora de comprobar los ángulos sí que usaban el transportador comoherramienta de demostración matemática.

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2. Relación equilátero-rectángulo: la respuesta que dieron a esta relación es que no es posi-ble y lo demostraron correctamente con la siguiente argumentación verbal:

No puede ser equilátero a la vez que rectángulo porque el equilátero tiene 3 ladosiguales y 3 ángulos iguales, y el rectáctulo 2 ángulos iguales y 1 diferente

En esta respuesta se argumenta correctamente la definición de triángulo equilátero hacien-do referencia tanto a sus lados como a sus ángulos: son iguales, en cambio la definición de trián-gulo rectángulo, digamos que es aceptable pero no del todo correcta y generalizable a todos loscasos de triángulos rectángulos, ya que no es verdad que todos los triángulos rectángulos tengandos ángulos iguales y uno diferente —sería el caso único del tipo al que se refieren: 45º, 45º y90º—. Sin embargo, en la discusión final, ellas argumentaban correctamente que el ángulosiempre diferente de un triángulo rectángulo es de 90º y, por tanto, nunca podrá ser al mismotiempo equilátero. De hecho, la respuesta que dan a la relación escaleno-rectángulo es correc-ta y nos permitió validar los argumentos que daban.

3. Relación equilátero-obtusángulo: esta respuesta la proporcionábamos nosotros en latabla como «no posible» y ellos tenían que argumentarla.

No puede ser equilátero a la vez que obtusángulo porque el equilátero tiene 3 ladosiguales y 3 ángulos iguales y el obtusángulo 2 ángulos iguales y 1 diferente

Como en la respuesta anterior, podemos considerarla aceptable, pero no correcta desde lasmatemáticas, porque no es cierto que todos los triángulos obtusángulos tengan dos ángulos igua-les y uno diferente; sino que tienen siempre un ángulo obtuso y es imposible que uno equilá-tero tenga tres ángulos obtusos porque deberían ser todos iguales. Sin embargo, al ver la res-puesta que daban a las otras posibles relaciones del triángulo obtusángulo, llegamos a laconclusión de que intentaban decir que en los triángulos obtusángulos siempre hay un ánguloobtuso que mide más de 90º y los otros dos nunca pueden medir igual que él porque sino nosería un triángulo. Por tanto, es coherente que su argumento sea semejante al argumento quedieron en la relación anterior (equilátero-rectángulo).

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1. Relación isósceles-acutángulo: la respuesta que dieron a esta relación es que sí es posi-ble y lo demostraron correctamente con la siguiente representación gráfica:

Como en la primera relación, su argumentación la respaldan correctamente en la represen-tación gráfica construida con la ayuda del geoplano y el siguiente paso a la trama isométrica.Resaltamos que la representación gráfica que hacen para argumentar la relación es correcta por-que el triángulo tiene dos lados iguales y uno diferente (definición de triángulo isósceles) y lostres ángulos son agudos (definición de triángulo acutángulo).

2. Relación isósceles-rectángulo: la respuesta que dieron a esta relación es que sí es posi-ble y lo demostraron correctamente con su correspondiente representación gráfica.

Igual que en la primera y cuarta relación, su argumentación la respaldan correctamente enla representación gráfica construida con la ayuda del geoplano y el subsiguiente paso a la tramacuadricular, que facilita la construcción del ángulo recto. Resaltamos que la representación grá-fica que hacen para argumentar la relación es correcta porque el triángulo tiene dos lados igua-les y uno diferente (definición de triángulo isósceles) y uno de los ángulos es recto (definiciónde triángulo rectángulo).

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3. Relación isósceles-obtusángulo: la respuesta que dieron a esta relación es que sí es posi-ble y lo demostraron correctamente con su correspondiente representación gráfica.

De la misma forma que en la primera, cuarta y quinta relación, su argumentación la respal-dan correctamente en la representación gráfica construida con la ayuda del geoplano y el sub-siguiente paso a la trama isométrica. Resaltamos que la representación gráfica que hacen paraargumentar la relación es correcta porque el triángulo tiene dos lados iguales y uno diferente(definición de triángulo isósceles) y uno de los ángulos es obtuso (definición de triángulo obtu-sángulo).

4. Relación escaleno-acutángulo: la respuesta que dieron a esta relación es que sí es posi-ble y lo demostraron correctamente con su correspondiente representación gráfica.

Como en la primera, cuarta, quinta y sexta relación, su argumentación la respaldan correc-tamente en la representación gráfica construida con la ayuda del geoplano y el subsiguientepaso a la trama isométrica. Resaltamos que la representación gráfica que hacen para argumen-tar la relación es correcta porque el triángulo tiene todos sus lados diferentes (definición detriángulo escaleno) y los tres ángulos son agudos (definición de triángulo acutángulo)

5. Relación escaleno-rectángulo: la respuesta que dieron a esta relación es que sí es posi-ble y lo demostraron correctamente con la siguiente representación gráfica.

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Como en la primera, cuarta, quinta, sexta y séptima relación, su argumentación la respaldancorrectamente en la representación gráfica construida con la ayuda del geoplano y el subsi-guiente paso a la trama cuadricular, que facilita la construcción del ángulo recto. Resaltamos quela representación gráfica que hacen para argumentar la relación es correcta porque el triángulotiene todos sus lados diferentes (definición de triángulo escaleno) y uno de sus ángulos es recto(definición de triángulo rectángulo).

6. Relación escaleno-obtusángulo: la respuesta que dieron a esta relación es que sí es posi-ble y lo demostraron correctamente con la correspondiente representación gráfica.

De igual forma que en la primera, cuarta, quinta, sexta, séptima y octava relación, su argu-mentación la respaldan correctamente en la representación gráfica construida con la ayuda delgeoplano y el subsiguiente paso a la trama cuadricular. Resaltamos que la representación gráfi-ca que hacen para argumentar la relación es correcta porque el triángulo tiene todos sus ladosdiferentes (definición de triángulo escaleno) y uno de sus ángulos es obtuso (definición de trián-gulo obtusángulo).

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En las respuestas y argumentaciones dadas por el segundo grupo que escogimos: Yurena,Lidia, Arnau, Camila y Franco, observamos que los procedimientos que más usan para demos-trar las relaciones posibles son el gráfico y el numérico y, para argumentar las relaciones impo-sibles, el verbal.

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Creemos conveniente resaltar de las respuestas de este grupo los siguientes aspectos a teneren cuenta a la hora de gestionarlos en el aula:

– Los alumnos del grupo no fueron ordenados a la hora de sistematizar las respuestas, ya queel trabajo previo hecho con los geoplanos y las tramas es difícil de seguir al no haber colocadonúmeros en las representaciones finales que dibujaron en la trama que sean fácil de asociar conlas representaciones que hicieron en la tabla. Al final en la discusión, los mismos alumnos fue-ron críticos y asumieron que era imposible analizar la información.

– Sólo argumentaron el caso imposible que ellos encontraron y no el que nosotros les pro-porcionamos, lo cual, si sólo evaluáramos el documento escrito, dejaría dudas de si el grupotenía o no un argumentos válidos para dar. Con respecto al siguiente argumento que dieronsobre la relación equilátero-obtusángulo que valoraron como imposible, encontramos que tie-nen claras las definiciones de triángulo equilátero y obtusángulo pero nada más las justifican entérminos de sus lados. Por tanto, a partir de preguntas los maestros hemos de intentar que sefijen también en las condiciones que han de cumplir los ángulos de estos triángulos.

Porque para ser equilátero tiene que tener 3 lados iguales y para ser obtusángulo tieneque tener por fuerza 1 lado diferente

Encontramos poca claridad y dominio en los conceptos matemáticos. Más concretamente,en las condiciones que han de cumplir los lados y los ángulos de un polígono para ser triángu-los. Si bien es cierto que este tema aún no lo habíamos desarrollado y sería objeto de estudioen las próximas actividades, consideramos que debíamos cuestionar a los alumnos sobre la via-bilidad y validez de dichas afirmaciones. Creemos que estos errores estaban fuertementeinfluenciados por la búsqueda incesante de los estudiantes en dar una justificación numérica ygráfica intuitiva (inventaron los valores numéricos de los ángulos y de los lados) de todas las rela-ciones que consideraban posibles, sin llegar a construirlas realmente, ni en el papel ni el geo-plano haciendo servir como procedimiento de comprobación gráfica el transportador y la regla.A continuación ilustramos un ejemplo en donde se evidencian estos errores en la asignaciónnumérica de los lados y de los ángulos:

Finalmente, en las respuestas y argumentaciones dadas por el tercer grupo que escogimos:Irene, Marco, Luis y Miguel Ángel, observamos que los procedimientos que más usan para

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La representación gráfica de la posibilidad de larelación isósceles-acutángulo es correcta, pero esimposible que los tres ángulos midan 70º, porquela suma interna sería más de 180º y porque los 2ángulos de las bases serían iguales y el otro dife-rente. Igualmente, la construcción real de un trián-gulo cuyos costados midan 2, 2 y 1 cm, tendríancomo ángulos, aproximadamente 75º, 75º y 30º


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demostrar las relaciones posibles es el gráfico y para argumentar las relaciones imposibles, el ver-bal, el gráfico y el numérico.

A diferencia del grupo anterior, el grupo de Irene, justifica correctamente las relaciones posi-bles y las imposibles entre los diferentes tipos de triángulo. Resaltamos igualmente, la riqueza enlos sistemas de representaciones que utilizan para justificar y demostrar sus conjeturas inicialesy la riqueza conceptual que tienen del concepto de triángulo, partes y clasificación, los cualeslos definen teniendo en cuenta las condiciones que han de cumplir los lados y los ángulos deun triángulo.

Respecto a las argumentaciones que dan a las relaciones imposibles, queremos resaltar quelos valores numéricos que asignan a los lados si guardan relación con la realidad. En el caso dela imposibilidad de la relación triángulo equilátero-rectángulo, las medidas de los lados son bas-tante aceptables, aunque la hipotenusa tiene un pequeño error pues su valor, por el Teoremade Pitágoras, es √

–2 = 1,414...; y en el caso de la imposibilidad de la relación equilátero-obtu-

sángulo también los valores se ajustan a valores reales, ya que la suma de las medidas de los doslados menores es superior al valor del lado mayor (1 + 1,5 = 2,5 > 2,2). De lo anterior pode-mos inferir que implícitamente están aplicando correctamente las condiciones necesarias quehan de tener los lados de un triángulo.

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a) Porque no miden lo mismo

b) Porque no miden lo mismo

64444744448

No pueden tener todoslos ángulos iguales

xiii. taller de arte y geometrÍa en el ciclo superior de ...€¦ · 2. debido a la extensión de...

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