x arazİ ÖlÇmelerİ p ödevler2.pdf · arazİ ÖlÇmelerİ Öğr. gör. emre İnce kaman myo ......

ARAZİ ÖLÇMELERİ

Öğr. Gör. Emre İNCE KAMAN MYO

91

Temel ödevler

Temel ödevler, konum değerlerinin bulunması ve aplikasyon işlemlerine dair matema-

tiksel ve geometrik hesaplamaları içeren yöntemlerdir. Yöntemlerin isimleri genelde temel

ödev olarak isimlendirilir. Farklı teknik ölçme bilgisi kitaplarında temel ödevlerin sıralaması

buradaki ile uyuşmayabilir. Önemli olanı hangi temel ödevin ne için kullanıldığıdır.

Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafe-

nin bulunması.

Verilenler: P.1 (X,Y), P.2(X,Y)

İstenenler: |P.1 – P.2| mesafesi: P.1 noktası ile P.2 noktası arasındaki yatay mesafenin

bulunması.

S

P.1

P.2

X

Y

YP1 YP2

XP1

XP2

ARAZİ ÖLÇMELERİ


92

|𝑃1𝑃2| = √((𝑋𝑃.2 − 𝑋𝑃.1)2 + (𝑌𝑃.2 − 𝑌𝑃.1)2) = √((𝑋𝑃.1 − 𝑋𝑃.2)2 + (𝑌𝑃.1 − 𝑌𝑃.2)2)

Yukarıdaki formülde parantez kareler işlemde kullanıldığı için eşitliğin her iki tarafın-

daki yatay mesafe hesabı aynı çıkacaktır.

(𝑋𝑃.2 − 𝑋𝑃.1)2 = (𝑋𝑃.1 − 𝑋𝑃.2)2

S

P.1

P.2

YP.1 YP.2

X

Y

XP.1

XP.2

(YP.2 – YP.1)

(XP.

2 – X

P.1)

ARAZİ ÖLÇMELERİ


93

Örnekler:

Örnek 1:

8

5

Y8 Y5

X

Y

X5

X8

|5 − 8| = √((𝑋5 − 𝑋8)2 + (𝑌5 − 𝑌8)2) = √((𝑋8 − 𝑋5)2 + (𝑌8 − 𝑌5)2) = 75.781 𝑚

NNO Y (m.) X (m.)

5 433811.197 3285228.468

8 433768.058 3285290.772

Yandaki tabloda koordinatları verilen 5 ve 8 numaralı

noktalar arasındaki yatay mesafeyi bulunuz.

ARAZİ ÖLÇMELERİ


94

Temel Ödev II: Semt Hesabı.

Verilenler: P.1(X P.1,YP.1), P.2(X P.2,Y P.2)

İstenenler: (P.1_P.2) veya (P.2_P.1)

İki nokta arasında oluşan doğrunun X ekseniyle arasında kalan açıya semt açısı denir.

Semt açısı, X ekseninden başlayıp ve iki nokta arasındaki doğruya kadar saat yönünde artacak

şekilde çizilir.

Şekil 69

Şekil 70’de (P.1_P.2) ve (P.2_P.1) semtleri gösterilmiştir. İstenilen semt açısı, semtin

hangi noktada ki X ekseninden başlayacağına bağlı olarak oluşur. Şekil 70’de ki örnek incele-

nirse (P.1-P.2) semt açısı P.1 noktasında ki X ekseninden başlıyor, (P.2-P.1) semt açısı P.2

noktasında ki X ekseninden başlıyor. Başlangıç noktasında X eksenine paralel bir doğru oluş-

turulur ve semt açısı bu oluşan doğrudan başlamak üzere, iki nokta arasında kalan doğruya

kadar olan açıdır.

P.1

P2

(P.1-P.2)

(X)

(X)

(P.2-P.1)

X

Y

ARAZİ ÖLÇMELERİ


95

Koordinatları bilinen iki nokta arasındaki semt açısı hesaplanırken noktaların koordi-

natlarından yararlanılır. Koordinatlar, iki boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde olduğunda

birimi uzunluk birimi olan metredir. İstenilen bir açı olduğuna göre ters trigonometrik fonksi-

yonlar kullanılarak semt açısı elde edilir. Temel trigonometrik fonksiyonlarla semt açısının ko-

ordinatlardan hesaplanması:

tan(𝑃. 1 − 𝑃. 2) =(𝑌𝑃.2−𝑌𝑃.1)

(𝑋𝑃.2−𝑋𝑃.1)→ (𝑃. 1 − 𝑃. 2) = arctanjant (

(𝑌𝑃.2−𝑌𝑃.1)

(𝑋𝑃.2−𝑋𝑃.1)) şeklindedir.

Hesap makinelerinde arctanjant fonksiyonu tan-1 olarak belirtilmiştir. Formül incele-

nirse, semt ismine göre ikinci noktadan (P.2 noktası), birinci noktanın (P.1 noktası) Y ve X

koordinatları çıkartılıyor. Eğer tam tersi istenirse yani (𝑃. 2 − 𝑃. 1) semti hesaplanırken, sem-

tin ismine göre ikinci noktanın (P.1 noktası) koordinatları, semtin ismine göre ilk noktanın (P.2

noktası) koordinatlarından çıkartılmıştır.

tan(𝑃. 2 − 𝑃. 1) =(𝑌𝑃.1−𝑌𝑃.2)

(𝑋𝑃.1−𝑋𝑃.2)→ (𝑃2𝑃1) = arctanjant (

(𝑌𝑃.1−𝑌𝑃.2)

(𝑋𝑃.1−𝑋𝑃.2)) (FORMÜL 1)

İşlemlerde semtin hesaplandığı bölge de önemlidir. Şekil 70’de ki (𝑃. 1 − 𝑃. 2) semti

birinci bölgede hesaplanmıştır.

Şekil 70

Şekil 71’de görüldüğü üzere,

(P.1-P.2) ve (P.2-P.1) semti arasında

(𝑃2𝑃1) = (𝑃1𝑃2) ± 200𝑔 açısal fark

bulunmaktadır.

P1

P2

(P1P2)

(X)

(X)

(P2P1)

(P1P2)

X

Y

ARAZİ ÖLÇMELERİ


96

Semt açısının Hesaplama adımları:

➢ İlk olarak semtin hangi noktadan hangi noktaya doğru olduğu belirlendikten sonra, nok-

taların Y ve X koordinatlarının farkı alınacak. Koordinat farkı alınırken, örneğin semt

(𝑃. 1 − 𝑃. 2) olarak isteniyorsa, ∆𝑌 = 𝑌2 − 𝑌1, ∆𝑋 = 𝑋2 − 𝑋1 olarak hesaplanacak. Eğer

(𝑃. 2 − 𝑃. 1) semti hesaplanması isteniyorsa koordinat farkları hesaplanırken:

∆𝑌 = 𝑌1 − 𝑌2, ∆𝑋 = 𝑋1 − 𝑋2 olarak hesaplanmalıdır.

➢ İkinci kısım ise koordinat farklarının pozitif veya negatif olduğuna göre semt açısının

hangi bölgede olduğunu belirlemektir. Belirlerken yapılacak olan, X – Y eksenlerini çizip

çıkan farkların + veya – olmasına göre hangi eksenler de olduğunu şekil üzerinde göster-

mek olacaktır.

Tablo 2’de koordinat farklarının negatif/pozitif olmasına göre bölgelerin belirlenmesini

göstermektedir. Şekil 70, ∆𝑌 ve ∆𝑋 farklarının pozitif veya negatif olmasına göre bölgelerin

basit eksen çizimleriyle nasıl bulunacağını göstermektedir.

Tablo 2 Koordinat farklarına göre bölgelerin belirlenmesi

∆𝑌 Farkı ∆𝑋 Farkı Bölge

+ + I.Bölge

+ − II.Bölge

− − III.Bölge

− + IV.Bölge

Semt açısı her bölgede farklı hesaplanır. Temel formül FORMÜL 1’de gösterildiği gi-

bidir, fakat farklı bölgelerde sadece bu formül doğru sonuç vermeyecektir. Şekil 72 incelendi-

ğinde her bölgede bir α açısı görülmektedir. Bu açı FORMÜL 1’de ki hesapta bulunan açıdır.

Hesaplanmasında ∆𝑋 ve ∆𝑌 değerlerinin mutlakları alınır. α açısı, semt açısını bulmakta yar-

dımcı açı olarak kullanılır.

ARAZİ ÖLÇMELERİ


97

1

23

X

Y

DX=+

DY=+

X

Y

DX= -

DY= +

X

Y

DX=-

DY=-

X

Y

DX=+

DY=-

I. Bölge II. Bölge

III. Bölge IV. Bölge

1

23

1

2 3

1

23

αα

αα

αα

αα

P1

P2

P2

P1

P1

P2

P2

P1

(P1P2)=α

(P1P2) = 200 - α

(P1P2) = 200 + α (P1P2) = 400 - α

Şekil 71

ARAZİ ÖLÇMELERİ


98

Şekil 72 Özetlenirse:

Eğer semt açısı 1. Bölgede ise, 𝑆𝐸𝑀𝑇𝐴Ç𝐼𝑆𝐼 = 𝛼,

Eğer semt açısı 2. Bölgede ise, 𝑆𝐸𝑀𝑇𝐴Ç𝐼𝑆𝐼 = 200 − 𝛼,

Eğer semt açısı 3. Bölgede ise, 𝑆𝐸𝑀𝑇𝐴Ç𝐼𝑆𝐼 = 200 + 𝛼,

Eğer semt açısı 4. Bölgede ise, 𝑆𝐸𝑀𝑇𝐴Ç𝐼𝑆𝐼 = 400 − 𝛼 olarak hesaplanır.

Tam doğu – batı yönünde olan bir doğrunun açıklık açısı hesabında Δx=0 ve tam

kuzey – güney yönünde olan bir doğrunun hesabında Δy=0 olur. Böyle bir du-

rumda açıklık açısının hesaplanmasında, hesap makinesine gerek yoktur. Zaten

doğu – batı doğrultusu için yapılacak hesaplamada:

∆𝑦

0= ∞

Olacağından hesap makinesi ile bir değer elde edilemeyecektir. Eğer Δx=0 olursa semt

değeri 100g, eğer Δy=0 olursa semt değeri 200g olacaktır (ŞERBETTÇİ M., ATASOY V, 2000).

Hesabın yapılmasında her bölge için ayrı ayrı farkların çizimi yapılıp sonrasında nokta-

ların semtin hesaplanacağı bölgenin bulunması sağlanır. Şekli çizerken birinci olarak DY sonu-

cuna göre 1 nolu çizgi; DX sonucunun + - olmasına göre 2 nolu çizgi çizilir. 3 nolu çizgi 1 ve

2 nolu çizginin birleştirilmesi ile oluşur. Oluşan üçgende, tanα =∆Y

∆X olacak şekilde α açısı üç-

gen içerisinde yerleştirilir. α açısı iç ters açı olarak X ekseni ile üçgenin kesişim yerinde α açısı

yerleştirilir. α = arctan (∆Y

∆X) hesabı yapılır. Dikkat edilmesi gereken α hesaplanırken, DY ve

DX değerleri pozitif (+) olacak şekilde hesaplanır.

Örnekler:

Örnek 1: (1. Bölgede semt açısı hesabı örneği)

NNO Y (m.) X (m.)

7 214129.437 2487187.004

9 214095.190 2487125.772

Yandaki tabloda verilen 7 ve 9 numaralı noktaların ko-

ordinatlarından yararlanıp (9-7) semtini hesaplayınız

ARAZİ ÖLÇMELERİ


99

Y9 Y7

X9

X7

X

Y

(X)

9

7

(9-7)

X

Y

ΔY=Y7-Y9=+

ΔX=X7-X9=+

(9-7)α

(9-7) =α

Şekil 72

(9 − 7) = 𝑡𝑎𝑛−1((𝑌7 − 𝑌9)/(𝑋7 − 𝑋9)) = 𝑡𝑎𝑛−1(∆𝑦/∆𝑥) = 32.4647𝑔

ÇÖZÜM:

ARAZİ ÖLÇMELERİ


100


NNO Y (m.) X (m.)

2 499254.025 1254771.113

5 499278.804 1254730.447

Yandaki tabloda verilen 2 ve 5 numaralı noktaların koordinatlarından yararlanıp (2-5)

semtini hesaplayınız

𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑌5 − 𝑌2

𝑋5 − 𝑋2) ∗ (−1) = 𝑡𝑎𝑛−1(∆𝑦/∆𝑥) ∗ (−1) = 34.8391𝑔

(2 − 5) = 200 − 𝛼 = 165.1609𝑔

Çözüm:

Y2 Y5

X5

X2

X

Y

(X)

2

5

(2-5)

X

Y

ΔY = Y5 - Y2 = +

ΔX = X5 - X2 = -

(2-5)

α (2-5) = 200 - α

α

ARAZİ ÖLÇMELERİ


101


NNO Y (m.) X (m.)

11 177380.451 2558599.274

8 177412.119 2558633.446

Yandaki tabloda verilen 8 ve 11 numaralı noktaların koordinatlarından yararlanıp (8-11) semtini he-

saplayınız

Çözüm:

Y11 Y8

X11

X8

X

Y

8

11

X

Y

ΔY = Y11 – Y8 = -

ΔX = X11 – X8 = -

α (8-11) = 200 + α

(X)

α

8

11

ΔY

ΔX

𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1((𝑌11 − 𝑌8)/(𝑋11 − 𝑋8)) = 𝑡𝑎𝑛−1(∆𝑦/∆𝑥)

= 47.5800𝑔

(8 − 11) = 200 + 𝛼 = 247.5800𝑔

ARAZİ ÖLÇMELERİ


102


NNO Y (m.) X (m.)

4 432219.781 3789451.077

7 432155.894 3789503.134

Yandaki tabloda verilen 4 ve 7 numaralı noktaların koordinatlarından yararlanıp (4-7) semtini hesap-

layınız

𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑌7 − 𝑌4

𝑋7 − 𝑋4) ∗ (−1) = 𝑡𝑎𝑛−1(∆𝑦/∆𝑥) ∗ (−1) = 56.4732𝑔

(4 − 7) = 400 − 𝛼 = 343.5268𝑔

ARAZİ ÖLÇMELERİ


103

Temel Ödev III: Semt Açıları yardımıyla Üçgen İç Açılarının Hesabı

Verilenler: A(XA,YA), B(XB,YB), C(XC,YC)

İstenenler: α, , β açıları.

Eğer A, B ve C noktalarının koordinatlarını biliniyorsa (A-B), (A-C), (C-B) semt değer-

lerinden, üç noktanın oluşturduğu üçgenin iç açıları hesaplanabilir.

A

B

C

(x)

(x)(x)

(A-B)

(A-C)

α

(B-A)

(B-C)

β(C-A)

(C-B)

Üçgenin iç açılarını hesaplarken noktaların arasında ki

semt açılarının farkları alınarak açılar hesaplanır.

α = (A-B) – (A-C)

β = (B-C) – (B-A)

= (C-A) – (C-B)

ARAZİ ÖLÇMELERİ


104

Örnekler

Örnek1:

Çözüm:

𝛼 = (10 − 12) − (10 − 8) = 87.144439245𝑔

𝛽 = (12 − 8) − (12 − 10) = 41.09833709𝑔

𝜔 = (8 − 10) − (8 − 12) = 71.75727046𝑔

𝛼 + 𝛽 + 𝜔 = 200𝑔

NNO Y X

8 563482.567 4358674.515

10 563468.764 4358649.071

12 563510.340 4358636.432

8, 10, 12 numaralı nokta-

ların oluşturduğu üçge-

nin iç açılarını bulunuz.

X

Y

10

12

8

(x)

(x)

(x)

α

ω

β

α + β + ω =200g

ARAZİ ÖLÇMELERİ


105

Teme Ödev IV: Koordinatın bilinmeyen bir nokta için semt hesabının

yapılması.

Verilenler: A(X,Y), B(X,Y)

Ölçülen: β

İstenenler: (B-C)

A

B

C

(x)

(x)

β(B-C)

(A-B)

β

Şekil 73 İş hayatımızda en çok kullanacağımız temel ödev olan temel ödev IV’de, A ve B nok-

talarının koordinatları bilinmekte fakat C noktasının koordinatları bilinmemektedir. C noktası-

nın koordinatının bulunabilmesi için (B-C) semt açısı bilinmelidir. Bunun için yapılması gere-

ken, (A-B) semtini koordinatlardan hesapladıktan sonra, doğrultu ölçüm aletini (teodolit veya

total station) B noktasında konumlandırıp sırası ile A ve C noktalarına ölçüm aletimizi yönlen-

dirip yatay açı doğrultu değerleri elde edilir. Elde edilen doğrultuların farkı ile β açısını hesap-

lanır. β açısı ve hesaplanan (A-B) semtiyle istenen (B-C) semt açısı elde edilir. Aşağıda ki

tabloda semt ve kırılma açısının toplamının sonuç değerlerine göre (B-C) semtinin nasıl hesap-

lanacağı durumlar gösterilmiştir:

(𝑨 − 𝑩) + 𝜷 < 𝟐𝟎𝟎𝒈 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) + 𝛽 + 200𝑔

𝟔𝟎𝟎𝒈 > (𝑨 − 𝑩) + 𝜷 ≥ 𝟐𝟎𝟎𝒈 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) + 𝛽 − 200𝑔

(𝑨 − 𝑩) + 𝜷 = 𝟐𝟎𝟎𝒈 → (𝑩 − 𝑪) = 𝟎𝒈

(𝑨 − 𝑩) + 𝜷 = 𝟒𝟎𝟎𝒈 → (𝑩 − 𝑪) = 𝟐𝟎𝟎𝒈

ARAZİ ÖLÇMELERİ


106

(𝑨 − 𝑩) + 𝜷 > 𝟔𝟎𝟎𝒈 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) + 𝛽 − 600𝑔

ARAZİ ÖLÇMELERİ


107

Temel Ödev V: Koordinatı bilinmeyen bir nokta için koordinat değer-

lerinin bulunması

Koordinatı bilinmeyen bir noktanın koordinatlarını bulmanın birden fazla yolu vardır.

Fakat temel ödevlerden yola çıkarak bulmak istenirse yapılması gereken koordinatları bilinen

iki noktadan yardım alarak koordinatları bulmaktır.

A

B

P

S

(x)

(x)

β

(AB)

(BP)

X

Y

XA

YA

XB

YB

Şekil 74 Şekil 75 incelendiğinde P noktasının koordinatı bulunmak istenmektedir. P noktasının

koordinatlarının bulunması için B koordinatları, (B-P) semti ve S mesafesi gerekmektedir. A

ve B noktalarının koordinatları bilinmektedir. B noktasına konumlandırılacak doğrultu ölçer

aletiyle, ilk önce A sonrada P noktasına yatay açı doğrultu değerleri elde ediliyor. Elde edilen

yatay açı değerleri arasındaki fark aradaki β açısını elde etmemizi sağlıyor. B - P arası mesafe

değeri (S) ölçülüyor. (B-P) semtini bulmak için Temel Ödev IV yardımıyla (B-P) semti hesap-

lanıp P noktasının koordinatları:

𝑋𝑝 = 𝑋𝐵 + 𝑆 ∗ cos(𝐵 − 𝑃)

ARAZİ ÖLÇMELERİ


108

𝑌𝑝 = 𝑌𝐵 + 𝑆 ∗ sin(𝐵 − 𝑃)

Formülleriyle hesaplanıyor. Dikkat edilecek nokta koordinatı bilinmeyen bir noktanın

koordinatlarını hesaplayabilmek için gerekli olan semt değerinin (Örnekte (B-P) semti) eldesi

için ölçüm anında X eksenin yönü istenilen hassasiyette bilinemez. X eksenini belirlemeye ge-

rek kalmadan koordinat hesabı için gerekli semt değerinin eldesin de 2 adet koordinatı bilinen

noktaya ihtiyaç vardır.

P2

P1

S(P1P2)

XP1

XP2

YP1 YP2

Y

X

Şekil 75 P2 noktasının koordinatının bulunması

Şekil 76’da P2 noktasının koordinatlarının P1 noktasından bulunması tasviri bulunmak-

tadır. P2 noktası aşağıdaki bağıntılardan hesaplanmaktadır.

cos(𝑃1𝑃2) =𝑋𝑃2 − 𝑋𝑃1

𝑆→ 𝑋𝑃2 − 𝑋𝑃1 = 𝑆 ∗ cos(𝑃1𝑃2)

sin(𝑃1𝑃2) =𝑌𝑃2 − 𝑌𝑃1

𝑆→ 𝑌𝑃2 − 𝑌𝑃1 = 𝑆 ∗ sin(𝑃1𝑃2)

Bulunan X ve Y farkları koordinatı bilinen P1 noktasının koordinatlarına eklenirse P2

noktasına ait koordinatlar elde edilmiş olur.

ARAZİ ÖLÇMELERİ


109

𝑋𝑃2 = 𝑋𝑃1 + 𝑆 ∗ cos(𝑃1𝑃2)

𝑌𝑃2 = 𝑌𝑃1 + 𝑆 ∗ sin(𝑃1𝑃2)

Formüller incelenirse bir noktanın koordinat değerleri, koordinatı bilinen bir noktadan

elde edilecek ise ikisi arasındaki mesafe (S) değeri ile semt (örneğe göre (P1-P2) semti) değeri

bilinmelidir. İşlemin arazi ortamında ölçüm yolu ile bulunacağı düşünülürse, S mesafesi elekt-

ronik ölçüm aleti veya çelik şerit metreyle hesaplanabilir. Ama ölçüm yoluyla semt değeri he-

saplanamaz. Semtin bulunabilmesi için (IV. Temel ödev kullanılarak) ikinci bir koordinatı bi-

linen noktaya ihtiyaç vardır. Sonuç olarak bir noktanın koordinatlarının bulunabilmesi için iki

adet koordinatları bilinen noktaya ihtiyaç vardır.

ARAZİ ÖLÇMELERİ


110

Örnekler:

Örnek1:

NNO Y X

P.3 561318.496 4315227.162

P.4 561455.073 4315288.092

DN BN YA YM

P.4 P.3 12.8795g -----

8 254.2387g 42.315 m

8 numaralı noktanın X-Y koordinatlarını verilen bilgileri kullanarak bulunuz

42.315

P.3

P.4

(X)

(P.4-P.3)

(P.4-8)

β88

𝛽8 = 254.2387𝑔 − 12.8795𝑔 = 241.3592𝑔

(𝑃. 3 − 𝑃. 4) = 𝛼 = tan−1 (Y𝑃.4 − Y𝑃.3

X𝑃.4 − X𝑃.3) = 73.2859𝑔

(𝑃. 4 − 8) = (𝑃. 4 − 𝑃. 3) + 𝛽8 − 200 = 114.6451𝑔

𝑌8 = 𝑌𝑃.4 + 42.315 ∗ sin(𝑃. 4 − 8) = 561496.273 𝑚

𝑋8 = 𝑋𝑃.4 + 42.315 ∗ cos(𝑃. 4 − 8) = 4315278.443 𝑚

ARAZİ ÖLÇMELERİ


111

Örnek2:

8 numaralı noktanın X-Y koordinatla-

rını verilen bilgileri kullanarak bulunuz

𝛽2 = 418.0944𝑔 − 305.1108𝑔 = 112.9836𝑔

(𝑃. 7 − 𝑃. 5) = 200 + 𝛼 = 200 + tan−1 (Y𝑃.5 − Y𝑃.7

X𝑃.5 − X𝑃.7) = 257.7238𝑔

(𝑃. 5 − 2) = (𝑃. 7 − 𝑃. 5) + 𝛽2 − 200 = 170.7074𝑔

𝑌2 = 𝑌𝑃.5 + 27.588 ∗ sin(𝑃. 5 − 2) = 455121.386 𝑚

𝑋2 = 𝑋𝑃.5 + 27.588 ∗ cos(𝑃. 5 − 2) = 3025330.672 𝑚

Denklemi buraya yazın.

NNO Y X

P.5 455109.135 3025355.391

P.7 455274.699 3025484.970

DN BN YA YM

P.5 P.7 305.1108g -----

2 18.0944g 27.588 m

x arazİ ÖlÇmelerİ p ödevler2.pdf · arazİ ÖlÇmelerİ Öğr. gör. emre İnce kaman myo ......

Documents