Wyznaczanie współczynnika

sprężystości sprężyny; ważenie za pomocą drgań.

1. Cel doświadczenia:• W trzecim semestrze spotkań z fizyką w ramach

projektu FENIKS zajęliśmy się badaniem sprężyn. Zainteresowało nas to, że identycznie wyglądające sprężyny, podczas ich rozciągania zachowują się różnie – jedne są „miękkie”, a inne „twarde”. Z informacji jakie odszukaliśmy na temat sprężyn wynika, że cechy te zależą od współczynnika sprężystości sprężyny, a ten od masy ciała wprawiającego sprężynę w drgania i od czasu trwania jednego drgania. A skoro tak jest, to czy uda się zważyć ciało przy pomocy sprężyny lub gumki? I tak określiliśmy cele naszego eksperymentu:– wyznaczyć współczynnik sprężystości sprężyny– wyznaczyć masę ciała za pomocą drgań

2. Trochę teorii:Ruch drgający – ruch lub zmiana stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości

wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan.

Wielkości służące do opisu ruchu drgającego:Amplituda drgań to największe wychylenie z położenia równowagi. Oznaczamy ją literą A.

Jednostką amplitudy jest 1 metr , [A] = 1 mOkres drgań to czas jednego pełnego drgania. Oznaczamy go literą T. Jednostką okresu jest 1

sekunda , [T] = 1 sOkres drgań wahadła wyznacza się, mierząc czas t określonej liczby n pełnych drgań, a następnie

dzieląc go przez tę liczbę:

T= Częstotliwość jest to liczba drgań w ciągu jednej sekundy. Oznaczamy ją literą f. Jej

jednostką jest herc, [f] = = 1 Hz f= ( związek częstotliwości z okresem)

Drgania gasnące- gdy nie uzupełniamy energii ciała drgającego. Amplituda maleje w czasie takich drgań.

Drgania niegasnące- gdy uzupełniamy energię ciała drgającego. Amplituda drgań się nie zmienia.Siła wywołująca ruch drgający ma zwrot zawsze ku położeniu równowagi

1

Tt

n

t

n

Gdy zawiesimy ciało o masie m na sprężynę o współczynniku sprężystości k, otrzymamy wahadło sprężynowe. Zakładamy, że wahadło pod wpływem sił

sprężystości i grawitacji wykonuje drgania harmoniczne. Działanie innych sił pomijamy.

• k- współczynnik sprężystości• T- okres drgań wahadła• m- masa ciała zawieszonego na sprężynie• x- wychylenie z położenia równowagi• ω-częstość kołowa ( pulsacja- nazwa rzadko używana)

Okres drgań T wahadła sprężynowego zależy od masy m wykonującej drgania i od właściwości k gumki czy sprężyny, którą to właściwość

nazywamy współczynnikiem sprężystości (stałą sprężyny). Warunkiem jest, by ta gumka czy sprężynka spełniała prawo Hooke'a wymagające by

x = F/k to znaczy by wydłużenie było wprost proporcjonalne do siły wydłużającej (czyli, żeby stała k była rzeczywiście stała). Jeśli tak jest to

mamy:

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

4

4

4

4

F kx mw x

T

kx m xT

k mT

T k m

kTm

m const T

Ciężarek zawieszony na sprężynie lub na nitce, po wychyleniu z położenia równowagi wykonuje ruch drgający, zwany w fizyce ruchem harmonicznym.

Ciało drgające wraca do położenia równowagi ruchem przyspieszonym, a oddala się od niego ruchem opóźnionym.

W czasie ruchu wahadła cyklicznie następują przemiany energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie. Energia potencjalna wahadła ma wartość największą w punktach maksymalnego wychylenia- wtedy energia kinetyczna ma wartość zero. W położeniu równowagi energia kinetyczna wahadła jest największa, natomiast potencjalna ma wartość najmniejszą.

3. Opis układu i czynności:Pomoce:• sprężyny (różne)• stoper• odważniki o masach 50 g, 20 dag, 25 dag• ciało, którego masę chcemy wyznaczyć• waga (niekoniecznie – dla porównania z masą wyznaczoną za pomocą drgań). Czynności: a) Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny:• • Mocujemy sprężynę na statywie.• Zawieszamy na sprężynie odważnik, wprawiamy sprężynę w drgania.• Dokonujemy serii pomiarów czasu trwania 20 drgań sprężyny (oscylatora harmonicznego).• Wyniki zapisujemy w przygotowanej tabeli pomiarów.• Powtarzamy pomiary dla sprężyny obciążonej innymi masami.• Wykonujemy obliczenia współczynnika sprężystości (kalkulatorem lub w arkuszu kalkulacyjnym).• Sporządzamy wykresy zależności T(m) i T2(m). b) Wyznaczanie masy ciała:• • Na sprężynie zawieszamy badane ciało.• Mierzymy czas trwania 20 drgań, obliczamy okres drgań i kwadrat okresu.• Z wykresu T2(m) odczytujemy masę (i możemy porównać ją z masą wyznaczoną wagą).

4. Wyniki pomiarów i obliczeń:

• tabele pomiarów (wielkości mierzone

wpisano na czerwono)• wykres zależności okresu drgań odważników

od ich masy T(m)• wykres zależności kwadratu okresu drgań

odważników od ich masy T2(m).

Sprężyna 1

l.p. m(g) m(kg)

t = 20T

T(s) T2(s2) π π2 4π2m

k=4π2m/T2

(kg/s2=N/m)

t1(s) t2(s) t3(s) tśr

0 0 0 0 0 0 0 0 0        

1 50 0,05 9,35 9,31 9,289,31333

3 0,465667 0,216845 3,14 9,8596 1,97192 9,093666

2 100 0,1 12,65 12,69 12,73 12,69 0,6345 0,40259 3,14 9,8596 3,94384 9,796164

3 150 0,15 15,51 15,46 15,42 15,46333 0,773167 0,597787 3,14 9,8596 5,91576 9,896105

4 200 0,2 17,41 17,38 17,39 17,39333 0,869667 0,75632 3,14 9,8596 7,88768 10,42902

5 250 0,25 19,71 19,69 19,65 19,68333 0,984167 0,968584 3,14 9,8596 9,8596 10,1794

średnie k 9,878871

Sprężyna 2

l.p. m(dag) m(kg)

t = 20T

T(s) T2(s2) π π2 4π2mk=4π2m/T2

(kg/s2=N/m)t1(s) t2(s) t3(s) tśr

0 0 0 0 0 0 0 0 0        

1 20 0,2 10,73 10,69 10,66 10,69333 0,534667 0,285868 3,14 9,8596 7,88768 27,59199

2 40 0,4 14,5 14,35 14,2 14,35 0,7175 0,514806 3,14 9,8596 15,77536 30,6433

3 60 0,6 17,81 17,92 16,94 17,55667 0,877833 0,770591 3,14 9,8596 23,66304 30,70764

4 80 0,8 20,53 20,18 19,18 19,96333 0,998167 0,996337 3,14 9,8596 31,55072 31,66672

5 100 1 22,83 23,08 22,94 22,95 1,1475 1,316756 3,14 9,8596 39,4384 29,95118

średnie k 30,11217

Sprężyna 3

l.p. m(kg)

t = 20T

T(s) T2(s2) π π2 4π2m

k=4π2m/T2

(kg/s2=N/m)t1(s) t2(s) t3(s) tśr

0. 0 0 0 0 0 0 0    

1. 0,25 12,24 12,25 12,46 12,31667 0,615833 0,379251 3,14 9,8596 9,8596 25,99758

2. 0,5 17,75 17,73 17,8 17,76 0,888 0,788544 3,14 9,8596 19,7192 25,0071

3. 0,75 21,52 22,48 21,45 21,81667 1,090833 1,189917 3,14 9,8596 29,5788 24,85786

4. 1 25,31 24,95 25,25 25,17 1,2585 1,583822 3,14 9,8596 39,4384 24,90077

5. 1,25 28,36 28,12 28,23 28,23667 1,411833 1,993273 3,14 9,8596 49,298 24,73218

6. 1,5 31,24 30,98 30,85 31,02333 1,551167 2,406118 3,14 9,8596 59,1576 24,58633

7. 1,75 33,27 33,15 32,78 33,06667 1,653333 2,733511 3,14 9,8596 69,0172 25,24855

8. 2 35,04 35,52 35,19 35,25 1,7625 3,106406 3,14 9,8596 78,8768 25,39166

średnie k 25,09025

Sprężyna 4

l.p. m(g) m(kg)

t = 20T

T(s) T2(s2) π π2 4π2m

k=4π2m/T2

(kg/s2=N/m)

t1(s) t2(s) t3(s) tśr

0 0 0 0 0 0 0 0 0        

1 50 0,05 19,88 20,03 20,07 19,99333 0,999667 0,999333 3,14 9,8596 1,97192 1,973235

2 100 0,1 27,98 27,84 27,96 27,92667 1,396333 1,949747 3,14 9,8596 3,94384 2,022745

3 150 0,15 33,7 33,66 33,59 33,65 1,6825 2,830806 3,14 9,8596 5,91576 2,089779

4 200 0,2 39,87 39,65 39,72 39,74667 1,987333 3,949494 3,14 9,8596 7,88768 1,997137

średnie k 2,020724

5. Ważenie za pomocą drgań sprężyny 2:

Wyznaczamy masę kalkulatora.Przykładowy pomiar 20 pełnych drgań kalkulatora:t1= 5,15 s

t2= 5,21 s

t3= 5,19 s

tśr= 5,18(3) s

6. Dyskusja błędów:a) czynniki, które mogły mieć wpływ na dokładność uzyskanych wyników:

– w doświadczeniu przyjęliśmy masy używanych odważników takie, jakie były podane na nich – w rzeczywistości mogły one nieco różnić się od rzeczywistych

– używaliśmy stopera w telefonie, czasu reakcji przy włączaniu i wyłączaniu stopera nie uwzględnialiśmy ; aby zwiększyć dokładność pomiarów, wykonywaliśmy je trzykrotnie

– okres T wyliczaliśmy ze średniej 20 okresów, byłoby dokładniejszy dla np. średniej z 50 (lub 100) okresów

– do obliczeń przyjęliśmy przybliżoną do części setnych wartość liczby π ≈ 3,14 ( wyniki obliczonego współczynnika sprężystości k dla większego przybliżenia np. π ≈ 3,1415926559 będą o 0,1% większe)

– dla sprężyn 1,3 i 4 przyczepialiśmy odważniki bezpośrednio do sprężyny, ale dla sprężyny 2 umieszczaliśmy je w pojemniku, którego masy nie uwzględniliśmy w obliczeniach

– przy wyznaczaniu masy kalkulatora nie uwzględniliśmy masy pojemnika, do którego był on włożony;

b) sprężyna 4 miała metryczkę ze współczynnikiem sprężystości k = 2 N/m;

obliczyliśmy błąd procentowy:

Autorzy: Michał Pająk i Przemysław KozłowskiNr szkoły w projekcie FENIKS: 45Nazwa szkoły: Gimnazjum Nr 1, ul. Armii

Krajowej 2, 26-200 KońskieImię i nazwisko nauczyciela: Małgorzata

Piecuch

Tytuł pracy: Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny; ważenie za pomocą drgań.