Wyrównanie spostrzeżeń zawierających błędy grube

Metody wykrywania i eliminacji błędów grubych

Witold Pruszyński, Mieczysław Kwaśniak

„Niezawodność sieci geodezyjnych”

Źródła błędów grubych:

Błędy grube w obserwacjach mogą wystąpić:

- w trakcie pomiaru;- w trakcie rejestracji wyników;- przy wprowadzaniu danych do komputera.

W procesie wyrównania błędy grube mogą spowodować zniekształcenie wyrównywanych współrzędnych lub wektorów przemieszczeń, co może prowadzić do fałszywej oceny bądź interpretacji badanych zjawisk.

Konieczne jest opracowanie skutecznych sposobów

wykrywania w pomiarach błędów grubych, oraz

wyposażenie w nie programów używanych do

obliczeń geodezyjnych.

Diagnostyka błędów grubych winna uwzględniać:

-liczbę błędów,-znaki błędów,-wielkości błędów,- rozmieszczenie błędów w sieci,

oraz

-wielkość i kształt sieci,-rodzaj i rozmieszczenie obserwacji,-dokładność pomiaru elementów sieci,- rodzaj nawiązania sieci.

Zdarzają się sytuacje, kiedy wiele błędów grubych działa na siebie tak, że następuje wzajemne wygaszanie wpływów. Np. W trójkącie: błąd +5 stopni na jednym kącie i -5 stopni na drugim – suma kątów pozostaje niezmieniona.

W pewnych sytuacjach błędy grube występujące w sieci mogą być absolutnie niewykrywalne.

Większość metod wykrywania błędów grubych opiera się o metody statystyczne, gdzie konieczne jest przyjmowanie określonego poziomu istotności testu ().

Różni autorzy sugerują różne wartości tego parametru. Przyjęta wartość () rzutuje na skuteczność i ostateczny wynik testu.

Hipoteza H0

DecyzjaPrawdziwa Fałszywa

Przyjęcie Decyzja prawidłowaP = 1 -

Błąd II rodzajuP = β

Odrzucenie Błąd I rodzajuP =

Decyzja prawidłowaP = 1 - β

Podejmując decyzję na podstawie metod statystycznych możemy wskazać wynik prawidłowy lub popełnić jeden z dwóch rodzajów błędów.

Błąd I rodzaju – odrzucenie hipotezy H0, gdy jest ona prawdziwa.Błąd II rodzaju – przyjęcie hipotezy H0, gdy jest ona fałszywa.

Wybrane metody wykrywania błędów grubych w obserwacjach, oparte na modelu wyrównawczym o parametrach estymowanych według metody najmniejszych kwadratów:

1) Baardy (Baarda, 1968)2) Pope’a (Pope 1976, Caspary 1988)3) Chena-Kavourasa-Chrzanowskiego (1987)4) Crossa-Price’a (Cross, Price 1985)5) Dinga-Colemana (Ding, Coleman 1996)6) Rzędów koegzystencji (Sitnik 2000)7) Ethroga (Ethrog 1990)8) Duńska (Krarup, Juhl, Kubik 1980)

Metoda duńska nie korzysta z metod statystycznych.

W metodach wykorzystujących testy statystyczne przyjmuje się, że obserwacje obciążone błędami grubymi są zmiennymi losowymi o niecentralnym rozkładzie normalnym

),(~ 2 NLodst

gdzie: Lodst - obserwacja odstająca - wartość oczekiwana zmiennej losowej - parametr niecentralności rozkładu - błąd średni obserwacji (odch. stand.)

METODA BAARDY

Przyjmuje się, że a’priori znana jest wartość odchylenia standardowego 0. Po wyrównaniu oblicza się kwadrat błędu średniego spostrzeżeń s0

2.Następnie oblicza się wartość testową T:

)(~ 220

20 fsf

T

o rozkładzie 2 i f = n – u + d stopniach swobody (gdzie: n – liczba obserwacji, u – liczba niewiadomych, d – defekt sieci).

Defekt sieci

Defekt sieci – występuje, gdy w zbiorze danych do wyrównania obserwacji w danej sieci, brakuje pewnej liczby wielkości geometrycznych niezbędnych do wyznaczenia położenia jej punktów w przyjętym układzie współrzędnych.

Defekt charakteryzujemy poprzez podanie liczby oraz rodzaju brakujących wielkości geometrycznych. Rozróżniamy defekt zewnętrzny (lokalizacyjny) dz i wewnętrzny dw.

Całkowity defekt d = dz + dw.

Hipoteza zerowa testu zakłada, że w obserwacjach nie występują błędy grube:

20

200 )(: sEH

Jeżeli dla przyjętego poziomu istotności testowana statystyka przekracza wartość krytyczną, czyli

)(2 fT

brak podstaw do przyjęcia hipotezy zerowej i należy ją odrzucić.

Hipoteza alternatywna:

H : „w układzie obserwacyjnym występuje jeden błąd gruby”

Następnie bada się poprawki obliczone w trakcie wyrównania obliczając poprawki standaryzowane ui : iv̂

iv

ii

vu

ˆ

ˆ

iv̂ - błąd średni i-tej poprawki

iivi vQ ˆ0ˆ

T1T1v APA)(AAPQ ˆ

Hipoteza zerowa dla testu poprawki standaryzowanej:

0)ˆ(:0 ivEH

Statystyka testu ui ma rozkład normalny N(0, 1). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 jeżeli:

2/0uui

2/0u Jest wartością krytyczną testu z rozkładu N(0,1) wartości dystrybuanty 1 - 0/2

Jeżeli obserwacja jest podejrzana o błąd gruby usuwamy ją i ponawiamy wyrównanie i testy.

METODA POPE’A

Oblicza się wartość testową:

)(~ˆ

ˆ0

fQs

vT

iiv

ii

(f) można obliczyć z rozkładu t-Studenta:

2)1(

)1()(

1

f

ff

tf

tf

Hipoteza zerowa:

0)ˆ(:0 ivEHJeżeli

)(2/0 fTi

Jest wartością krytyczną testu z rozkładu dla wartości dystrybuanty 1 - 0/2

nie ma podstaw do odrzucenia tej hipotezy.

)(2/0 f

Jeżeli obserwacja jest podejrzana o błąd gruby usuwamy ją i ponawiamy wyrównanie i testy.

METODA CHENA-KAVOURASA-CHRZANOWSKIEGO

Szczegółowe omówienie tej metody iteracyjnej wykracza poza ramy tego wykładu. (Odsyłam do literatury – slajd nr 2).Wzór testu podobny jest do stosowanego w metodzie Pope’a, a także stosowany jest rozkład τ.

)(~

~2/

~01

kfQs

ii

i

i-ty błąd grubyi~

ii

Q~i-ty element diagonalny macierzy Qδ dla obserwacji usuniętych

0~s Odchylenie standardowe obliczone z pominięciem

obserwacji podejrzanych o błędy grubef – k liczba stopni swobody minus liczba obserwacji usuniętych

METODA CROSSA-PRICE’A

Metoda ta jest rozszerzeniem na więcej niż jeden błąd gruby przedstawionej wcześniej metody Pope’a.Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0. Następnie oblicza się statystyki:

iv

ii sv

ˆ

ˆ

Nie zakłada się istnienia błędu grubego jeżeli:

)(2/0 uni

uncii

n – liczba obserwacjiu – liczba niewiadomych

Pvv}P{R}{R

}P{RvT

iPTiP

iPT

ˆ

ˆic

PAPA)A(AIR T1TP

Jeżeli stwierdzono występowanie błędów grubych - pomiary dzieli się na grupy zawierające błąd gruby.Dla pomiarów podejrzanych o błąd gruby oblicza się współczynnik korelacji między macierzą v a i-tą kolumną macierzy RP

Z każdej grupy wyłącza się pomiary o największej wartości:

po czym powtarza się wyrównanie.

METODA DINGA-COLEMANA

Metoda ta jest bardzo podobna do omówionej wcześniej metody Crossa-Price’a.Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0. Następnie oblicza się statystyki:

iv

ii sv

ˆ

ˆ

Nie zakłada się istnienia błędu grubego jeżeli:

)(2/0 uni

Jeżeli i jest większe od wartości krytycznej oblicza się współczynniki korelacji między spostrzeżeniami:

iiii

jiijij rh

hhe

hii - i-ty element diagonalny macierzy HP hij , hji - elementy pozadiagonalne macierzy HP

rii - element diagonalny macierzy RP

PP

T1TP

HIR

PAPA)A(AH

W oparciu o wartości eij dzieli się obserwacje na silnie powiązane podgrupy.

Z każdej podgrupy usuwa się jedną obserwację o największej wartości bezwzględnej

Następnie ponownie przeprowadza się wyrównanie i testy. Postępowanie powtarza się tak długo aż nie będą występowały obserwacje o wartościach przekraczających wartość krytyczną.

METODA RZĘDÓW KOEGZYSTENCJI

Rzędy koegzystencji wiążą się z rozmieszczeniem pomiarów w sieci. Im bliżej siebie ulokowane są w sieci dwie obserwacje, tym niższy jest ich rząd koegzystencji i tym silniejsze jest powiązanie tych wielkości po wyrównaniu.

Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0. Następnie oblicza się statystyki:

iv

ii

vu

ˆ

ˆ

Jeżeli obliczona wartość:

kryti uu

Dzieli się obserwacje na grupy o niskich rzędach koegzystencji.Z każdej grupy usuwa się po 1 obserwacji o maksymalnym |u|.Przeprowadza się ponowne wyrównanie pozostałych obserwacji i powtarza się testy.

Przeprowadza się test:

)(2/0 fuui

METODA ETHROGA

W metodzie tej po wyrównaniu wstępnym testuje się poprawki dla spostrzeżeń stosując rozkład t-Studenta.

)1(ˆ

2/0

unts

vT

kj

j

Następnie wyłącza się z obliczeń spostrzeżenia podejrzane o zaburzenia błędami grubymi i powtarza się obliczenia i testy.

METODA DUŃSKAMetoda ta opiera się na założeniu, że duża poprawka obserwacyjna wskazuje na mniejszą dokładność tej obserwacji z tytułu obciążenia jej wpływem błędu grubego.Wyrównanie przebiega w trybie iteracyjnym. Po k-tej iteracji dla każdej obserwacji sprawdza się, czy spełnione jest kryterium:

cs

pvk

iki 0

ˆ

kiv̂ - poprawka i-tej obserwacji w k-tej iteracji

pi - waga wyjściowa (a’priori) dla i-tej obserwacji ks0 - odchylenie standardowe obliczone w k-tej iteracji

c - stała z przedziału 13 zależnie od jakości danych

Dla kolejnego kroku iteracyjnego wagi oblicza się z wzoru:

)ˆ(1 ki

ki

ki vfpp

Dla obserwacji spełniających kryterium : 1)ˆ( kivf

Dla obserwacji nie spełniających kryterium :

cs

pvvf k

ikik

i0

ˆexp)ˆ(

Po zakończeniu procesu iteracji możliwe są dwie drogi postępowania:

1)Odrzucić wszystkie obserwacje podejrzane o błędy grube i przeprowadzić wyrównanie z zastosowaniem wag apriorycznych.

2)Wyniki ostatniego kroku iteracyjnego przyjąć jako ostateczne.

Ten drugi sposób zbliża metodę duńską do estymacji mocnej.