wykład 5

04.10.19 Reinhard Kulessa 1

Wykład 52.3.3 Ruch po okręgu 2.3.4 Ruch harmoniczny


2.3.3 Ruch po okręgu

Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego.Początek układu współrzędnych wybieramy w środku koła, po którym odbywa się ruch. Położenie punktu na na kole możemy podać jednoznacznie przez podanie kąta biegunowego .

y

x

r s

Ruch ciała określony jest przez funkcję = (t), definiująca tzw. drogę kątową.Jeśli przez s oznaczymy drogę, którą ciało przebyło po okręgu w czasie gdy przebyło ono drogę kątową , to rs (2.15)

Różniczkując to równanie obustronnie, otrzymujemy;

.


rv

rdt

d

dt

ds

(2.16).

v oznacza prędkość liniową(transwersalną), a prędkość kątową. Jednostką prędkości kątowej jest s-1.Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy jednostajnym.Różniczkując równanie (2.16) po czasie, otrzymujemy;

ra

rdt

d

dt

dv

t

(2.17).

Pamiętamy, że at jest liniowym przyśpieszeniem stycznym, a nazywamy przyśpieszeniem kątowym.


Przypomnijmy sobie rysunek, na którym przedstawiliśmy rozłożenie przyśpieszenia na dwie składowe, styczną i normalną do toru.

aan

atit

in^

^ W oparciu o wzór(1.16), wiedząc, że nasz

ruch jest ruchem po okręguo promieniu r, z prędkością

liniową v, możemy na przyśpieszenie normalne napisać wyrażenie:

nnn irir

va ˆˆ 2

2

(2.18).

Przyspieszenie to nazywamy przyśpieszeniem dośrodkowym i posiada ono wartość liczbową równąan = 2 r.


Prędkość kątową możemy traktować jako wektor skierowany prostopadle do płaszczyzny zataczanego okręgu. Zwrot tego wektora jest dany przez regułę śruby prawej tak, że zachodzi związek: rv

(2.19).

Korzystając ze wzoru (2.19) policzmy przyśpieszenie a.

nt aaadt

rdr

dt

d

dt

vda

(2.20)

Pochodną po czasie prędkości kątowej jest przyśpieszeniem kątowym .

dt

d

x

z

r

v

y


Występującą we wzorze (2.19) prędkość kątową możemy zdefiniować przez drogę kątową d.

d d

rdr=d x r

Obrotowi o kąt d przypisujemy wektor d o kierunku zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej.

Z wzoru (2.16) mamy, że

0

d

dtd

dt

0

Wektor prędkości kątowej jest pseudowektorem (wektorem osiowym) . Zmienia on zwrot przy odbiciu. Pseudowektory nie mają punktu zaczepienia. Przy ich dodawaniu nie spełnia się zasada przemienności.


Wektor przyśpieszenia kątowego jest równoległy do prędkości kątowej.

W górnej linijce wzoru (2.20) mamy dwie składowe. Pierwsza z nich przedstawia przyśpieszenie styczne, a druga przyspieszenienormalne.

rrdt

dat

(2.21)

Wartość liczbową przyśpieszenia stycznego podaliśmy we wzorze (2.17).

r

v

at

Drugi składnik we wzorze (2.20) oznaczający przyśpieszenie normalne jest do i v.


Jest to znane nam już przyśpieszenie dośrodkowe.

vdt

rdan

(2.22)

r

v

an

Jest ono skierowane do środka koła wzdłuż promienia r.

Policzmy wartość tego przyśpieszenia korzystając ze wzoru(2.19). Mamy wtedy

)( ran

(2.23).


Wykorzystując tożsamość dotyczącą potrójnego iloczynu wektorowego, otrzymujemy:

rrrr 2)()()( . (2.23a)

0Widać więc wyraźnie, że przyśpieszenie normalne jest skierowane do środka okręgu, czyli słusznie nazywa się przyśpieszeniem dośrodkowym.

Dla ruchu po okręgu ważne są wszystkie zależności otrzymane do tej pory dla ruchu jednostajnie zmiennego. Musimy jednak zastąpić prędkość liniową prędkością kątową, a drogę liniową, drogą kątową.

r

x


tt

trrtr

atvtv

0

0

0

)(

)(

)(

Wyrażenia na prędkość liniową i prędkość kątową są następujące:

(2.24).

200

200

2

1)(

2

1)(

ttt

attvxtx

Wyrażenia na drogę i drogę kątową są następujące:

. (2.25)

020

2

020

222

020

2

2

2

2

rrrrr

xxavv

Wyrażenia na kwadrat prędkości liniowej i kątowej sa następujące:

.


Zdefiniujmy sobie jeszcze ruch jednostajny po okręgu. Dla takiego ruchu

n

t

aa

aconst

0,0,

Podczas ruchu zmienia się kierunek prędkości, ale wartość prędkości pozostaje stała.

Okresem ruchu po okręgu w ruchu jednostajnym nazywamy czas potrzebny na przebycie drogi = 2.

T

2 (2.26).

Odwrotność okresu nazywamy częstością:

21 T . (2.27)


W ruchu jednostajnie przyśpieszonym po okręgu mamy

constraconstdtd

t ,

a przyśpieszenie normalne

222 trran . (2.28)

Przykład zastosowania ruchu obrotowego:

Pomiar prędkości pocisku:

v = L/t

= /tL

v = L·


2.3.4 Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny jest szczególnym przykładem ruchów periodycznych. Są nimi przykładowo:• huśtawka dziecinna• przypływy i odpływy • cykliczne powtarzanie się nocy i dnia

Rozważmy animację przedstawiającą ruch punktu po okręgu i rzut tego ruchu na jedną z osi.

: przemieszczenie kątowe : prędkość kątowat : czas = tr : promień koła, amplituda y(t) = r sin() =r sin(t)


W podobny sposób można rozważać rzut punktu poruszającego się po okręgu na os x.Można również powiedzieć, że ruch po okręgu jest złożeniem dwóch prostoliniowych ruchów w kierunku osi x i osi y.

r

y

x

sin

cos

ry

rx

Wiemy, że = /t, czyli = t.

try

trx

sin

cos

Widać więc, że: 222 ryx .


Każdy z tych dwóch ruchów, czyli w kierunku x i w kierunku y nazywamy drganiem harmonicznym.

W pierwszym przybliżeniu można powiedzieć, że ruchy następujących ciał są również ruchami harmonicznymi.


Amplituda

Amplituda

Minimum


Słynny most w TACOMA

1940

1950


Wróćmy do opisu matematycznego ruchu harmonicznego.

Równanie ruchu harmonicznego wygląda w następujący sposób:

)cos()( 0 tAtx

Prędkość wynosi:

)sin()(

0 tAdt

tdx

(2.29).

.

Przyśpieszenie wynosi:

xtAdt

txd 20

22

2

)cos()( .


Amplituda ruchu harmonicznego jest rozwiązaniem następującego równania różniczkowego;

0

0)(

2

22

2

xx

xdt

txd

.

(2.30)

W oparciu o ostatnie równanie możemy powiedzieć, że ruch w którym przyśpieszenie jest proporcjonalne do wychylenia nazywamy ruchem harmonicznym.

Zastanówmy się w jaki sposób prędkość zależy do wychylenia.

22222

2

)(cos

)(cos1)sin(

xAtAA

tAtAdt

dxv

.


x

A·

v

+A/

Poniższy rysunek przedstawia zależność prędkości od wychylenia.

wykład 5

Documents