Janusz PDZIWIATR

WSTP DO PROJEKTOWANIA KONSTRUKCJI ELBETOWYCH WG PN-EN 1992-1-1:2008

dCDs Dolnolskie Wydawnictwo Edukacyjne

Wrocaw 2010

Rysunki: Ryszard ANTONOWICZ

Projekt okadki: EDITUS - Sawomir PCZEK

Redakcja techniczna: Zdzisaw MAJEWSKI Ewa STEFASKA

Skad i amanie: Piotr CHAMERA

Copyright by Dolnolskie Wydawnictwo Edukacyjne

ISBN 978-83-7125-188-7

Ksiki Dolnolskiego Wydawnictwa Edukacyjnego dostpne s w sprzeday wysykowej. Zamwienia prosimy kierowa pod adresem:

Dolnolskie Wydawnictwo Edukacyjne 53-204 Wrocaw, ul. Ojca Beyzyma 20/b, tel./fax (071) 363-26-85 http://www.dwe.wroc.pl e-mail: biuro@dwe.wroc.pl

Spis treci

Wstp 9

Wykaz stosowanych oznacze iq

1. Oglne zasady projektowania konstrukcji elbetowych 13 1.1. Uwagi oglne

1.2. Idealizacja konstrukcji 14

1.3. Metody wymiarowania - metoda stanw granicznych i czciowych wspczynnikw bezpieczestwa 15

1.4. Obcienia dziaajce na konstrukcj

1.5. Materiay do konstrukcji elbetowych 19

1.5.1. Wasnoci betonu [9

1.5.2. Wasnoci stali zbrojeniowej 26

2. Podstawowe zasady projektowania konstrukcji elbetowych 29 2.1. Uwagi oglne 29

2.2. Trwao konstrukcji 29

2.3. Analiza konstrukcji 32

2.4. Wpyw imperfekcji i efektw drugiego rzdu 36

3. Projektowanie zginanych belek elbetowych 38 3.1. Uwagi oglne 33

3.1.1. Zachowanie si belek elbetowych podczas obcienia 38

3.1.2. Oglne zasady okrelania stanu granicznego nonoci na zginanie 41 3.2. Stan graniczny nonoci na zginanie - model uproszczony 43

3.2.1. Uwagi oglne 43

3.2.2. Przekrj prostoktny pojedynczo zbrojony 44

3.2.3. Przekrj prostoktny podwjnie zbrojony 47

3.2.4. Przekrj prostoktny podwjnie zbrojony z zadanym zbrojeniem As2 49 3.2.5. Przekrj teowy 49

3.2.6. Inne przekroje belek 52

3.2.7. Oglne uwagi dotyczce wymiarowania przekrojw z wykorzystaniem zalenoci c-e dla betonu

3.2.8. Tablice do wymiarowani? zginanych przekrojw prostoktnych pojedynczo zbrojonych

3.3. cinanie 5 7

3.3.1. Uwagi oglne 5 7

3.3.2. cinanie w belkach - odcinki I rodzju 59

3.3.3. Odcinki II rodzaju 6 2

3.3.4. Wymiarowanie belki na cinanie 66

3.3.5. Sprawdzenie nonoci na cinanie 6 9

3.3.6. cinanie pomidzy pk a rodnikiem 70

3.4. Zagadnienia zwizane z zarysowaniem 7 2

3.4.1. Uwagi oglne 7 2

3.4.2. Minimalne pole przekroju zbrojenia 73

3.4.3. Zarysowanie w zginanych belkach elbetowych 74

3.5. Zagadnienia zwizane z ugiciem belek 80

3.5.1. Uwagi oglne 8 0

3.5.2. Teoretyczne problemy obliczania ugi 81

3.5.3. Praktyczne obliczanie ugi wedug zalece normowych 83

3.6. Konstruowanie belek elbetowych 8 5

3.6.1. Uwagi oglne

3.6.2. Ustalanie wymiarw przekroju poprzecznego 88

3.6.3. Konstruowanie belek ze wzgldu na zginanie 92

3.6.4. Konstruowanie belek ze wzgldu na cinanie 98

3.7. Przykady do rozdziau trzeciego 99

Projektowanie supw elbetowych 1 1 5

4.1. Uwagi oglne ^

4.2. Wymiarowanie przekrojw mimorodowo ciskanych 117

4.2.1. Uwagi wstpne

4.2.2. Wymiarowanie przekrojw metod uproszczon 119

4.2.3. Wymiarowanie przekrojw mimorodowo ciskanych metod ogln 122

4.3. Nono przekrojw mimorodowo ciskanych 126

4.4. Efekty drugiego rzdu w projektowaniu supw 130

4.4.1. Uwagi oglne 1 3 0

4.4.2. Nono supw z uwzgldnieniem efektw II rzdu 132

4.4.3. Okrelanie sztywnoci supw 137

4.5. Projektowanie supa 139

4.5.1. Uwagi wstpne ^39

4.5.2. Wstpne przyjmowanie wymiarw przekroju poprzecznego supa 139

4.5.3. Wymiarowanie supa 1 4 1

4.5.4. Konstruowanie zbrojenia supa 142

4.5.5. Uwagi kocowe 1^4

4.6. Przykady do rozdziau czwartego 1 4 5

7

5. P r o j e k t o w a n i e kons t rukc j i m o n o l i t y c z n y c h - s t ropy 159 5.1. Uwagi oglne 159 5.2. Zasady planowania ukadu konstrukcji i wstpnego przyjmowania wymiarw

elementw 160

5.3. Obliczanie i konstruowanie cigych pyt zginanych jednokierunkowo 164 5.4. Obliczanie i konstruowanie drugorzdnych belek cigych (eber) 168

5.4.1. Uwagi oglne 168 5.4.2. Wymiarowanie ze wzgldu na zginanie 169

5.4.3. Wymiarowanie ze wzgldu na cinanie 172 5.4.4. Konstruowanie zbrojenia eber 172

5.5. Obliczanie i konstruowanie podcigw 173

5.6. Obliczanie i konstruowanie supw i stp fundamentowych 175

6. P rzyk ad s t ropu m o n o l i t y c z n e g o p y t o w o - e b r o w e g o 180 6.1. Dane oglne do projektu, zaoenia 180 6.2. Przykad przyjmowania ukadu konstrukcyjnego i wstpnego przyjmowania

wymiarw przekrojw 181 6.3. Projekt techniczny pyty 184 6.4. Projekt techniczny ebra 187

6.4.1. Schemat statyczny i obcienia ebra 187 6.4.2. Wymiarowanie eber na zginanie 187 6.4.3. Wymiarowanie eber na cinanie 189 6.4.4. Konstruowanie belki ze wzgldu na zginanie i cinanie 191 6.4.5. Sprawdzenie cinania na styku ebro-pyta 193 6.4.6. Obliczenie ugicia ebra (przso pierwsze) 194 6.4.7. Sprawdzenie szerokoci rozwarcia rysy 196

6.5. Projekt techniczny podcigu 197 6.5.1. Schemat statyczny i obcienia 197 6.5.2. Wymiarowanie podcigu na zginanie 198 6.5.3. Wymiarowanie podcigu na cinanie 200 6.5.4. cinanie w miejscu poczenia ebra z podcigiem 201

6.5.5. cinanie pomidzy pyt a podcigiem 202 6.5.6. Sprawdzenie stanu granicznego ugicia i zarysowania 202

6.6. Projekt techniczny supa 204 6.7. Projekt techniczny stopy fundamentowej 207 6.8. Podstawowe zasady wykonywania rysunkw konstrukcji elbetowych 209

Z a c z n i k - tabele 212

Tabela nr 1. Beton - klasy, wytrzymaoci i moduy sprystoci 212 Tabela nr 2. Podstawowy wspczynnik pezania dla RH = 50% i to = 28 dni 212 Tabela nr 3. Podstawowy wspczynnik pezania dla RH = 80% i ro = 28 dni 213 Tabela nr 4. Wspczynniki poprawkowe uwzgldniajce wiek betonu w chwili

obcienia 213

Tabela nr 5. Wspczynniki do wymiarowania przekrojw zginanych zbrojonych stal o f v j = 350 MPa 213

8

Tabela nr 6. Wspczynniki do wymiarowania przekrojw zginanych zbrojonych stal o fyd = 420 MPa 215

Tabela nr 7. Charakterystyka stali zbrojeniowej - prty 217 Tabela nr 8. Przekrj zbrojenia w cm2 na 1 m pyty 217

Tabela nr 9. Maksymalne wartoci dla ktrych dopuszczalne ugicie nie jest przekroczone (JC = 1,0) 218

Tabela nr 10. Maksymalne wartoci rednic zbrojenia, dla ktrych szeroko rozwarcia rysy nie przekracza Wk ~ 0,3 mm 219

Tabela nr I I . Wspczynniki statyczne do obliczania ugi 220 Wstp

Zgodnie ze swoim tytuem ksika stanowi wprowadzenie do projektowania prostych konstrukcji elbetowych. Zostaa napisana z myl, aby w sposb przystpny i praktyczny pokaza, jak naley korzysta z Eurokodw (PN-EN 1990, PN-EN 1991 i PN-EN 1992) przy projektowaniu. Skada si z szeciu rozdziaw oraz zacznikw z tabelami i rysun-kami (rysunki zamieszczono na pycie CD).

Pierwsze dwa rozdziay obejmuj problematyk dotyczc wstpnych czynnoci i za-oe poprzedzajcych projektowanie elementw konstrukcyjnych.

Rozdzia trzeci powicony jest szczegowemu opisowi zasad oraz algorytmw pro-jektowania zginanych belek elbetowych wraz ze cinaniem oraz obliczaniem stanw granicznych uytkowania. W rozdziale czwartym omwiona jest problematyka projekto-wania supw. W zakoczeniu kadego z tych rozdziaw zamieszczono szereg szczeg-owych przykadw obliczeniowych.

Rozdziay pity i szsty s powicone projektowaniu tradycyjnego monolitycznego stropu supowo-belkowego z jednokierunkowo zginanymi pytami cigymi. Szsty roz-dzia jest skrconym przykadem projektowania takiego stropu.

Ksika prezentuje proste i praktyczne podejcie do podstawowych problemw pro-jektowych. Prezentuje je w spjny sposb i tylko zgodnie z nowymi normami. Skierowana jest gwnie do studentw wydziaw budownictwa, ale pewne jej fragmenty mog by te uyteczne dla osb majcych ju du styczno z problemami projektowania konstrukcji elbetowych.

Przystpna forma powinna uatwia przyjazne przechodzenie" z korzystania w pro-jektowaniu ze starych norm na Eurokody.

Wykaz stosowanych oznacze

due litery aciskie

Ac - pole przekrj u betonu As - pole przekroju stali A,Iiurl - minimalne pole przekroju zbrojenia Ec.eff ~ efektywny modu sprystoci betonu Ecci - obliczeniowy modu sprystoci betonu Eon - sieczny modu sprystoci betonu Es - obliczeniowy modu sprystoci stali Ck - warto charakterystyczna oddziaywania staego 1 - moment bezwadnoci przekroju betonu M - moment zginajcy Me4 - obliczeniowy moment zginajcy wywoany oddziaywaniem MRd - nono ze wzgldu na zginanie N - sia poduna NE d - obliczeniowa sia poduna wywoana oddziaywaniem NRd - nono ze wzgldu na dziaanie siy podunej Qk - wartos' charakterystyczna oddziaywania zmiennego V - sia poprzeczna VEd - obliczeniowa sia poprzeczna wywoana oddziaywaniami VM - nono na cinanie

mae litery aciskie

b - cakowita szeroko przekroju belki bw - szeroko rodnika d - wysoko uyteczna przekroju e - mimord fc ~ wytrzymao betonu na ciskanie fa - charakterystyczna wytrzymao walcowa betonu na cislanie fcd - obliczeniowa wytrzymao betonu na ciskanie fen - rednia wytrzymao walcowa betonu na ciskanie fam - rednia wytrzymao betonu na rozciganie osiowe f!k - charakterystyczna wytrzymao zbrojenia na rozciganie fyk - charakterystaczna granica plastycznoci zbrojenia fyd - obliczeniowa granica plastycznoci zbrojenia h - cakowita wysoko przekroju

mae litery greckie

7C - wspczynnik czciowy betonu 7F - wspczynnik czciowy oddziaywa 7s - wspczynnik czciowy stali 9 - k t A - smuko P - stopie zbrojenia podunego Pw stopie zbrojenia na cinanie

1

1.1

Oglne zasady projektowania konstrukcji elbetowych

Uwagi oglne

Konstrukcja elbetowa stanowi przemylane poczenie betonu ze stal zbrojeniow, ktra ma form prtw. Dziki odpowiedniemu wykorzystaniu wasnoci obu tych ma-teriaw i przy zapewnieniu im warunkw do wsppracy mona projektowa bardzo szerokie spektrum obiektw budowlanych.

O formie konstrukcji najczciej decyduje architekt w porozumieniu z inwestorem. Do inyniera konstruktora naley natomiast gwnie zapewnienie konstrukcji odpowied-niego poziomu bezpieczestwa (niezawodnoci), trwaoci i takie zaprojektowanie, aby rozwizanie byo ekonomiczne i przyjazne" dla wykonawcy, tzn. umoliwiao sprawne i poprawne zrealizowanie w okrelonych warunkach budowy.

Projektowanie konstrukcji bazuje na wiedzy z zakresu statyki, wytrzymaoci mate-riaw, teorii sprystoci i plastycznoci itp. Sama ta wiedza nie wystarcza jednak do wykonywania dobrych projektw. Konieczne s jeszcze dodatkowe umiejtnoci, ktre nabywa si stopniowo w czasie pracy. Wydatn pomoc stanowi ksiki i normy, ktre okrelaj podstawowe zasady postpowania przy projektowaniu i zawieraj rnego ro-dzaju zalecenia i wymagania. S one efektem kumulowania si wiedzy o konstrukcjach nabytej w rnoraki sposb w okresie, w ktrym projektowano i realizowano konstrukcje elbetowe.

Projektujc jakkolwiek konstrukcj trzeba stale mie na uwadze, e podstawy, z kt-rych si korzysta (statyka, wytrzymao), opisuj sytuacje w pewnym sensie idealne. Wasnoci mechaniczne materiaw s cile okrelone i maj deterministyczny charak-ter. Schematy statyczne operuj jednoznacznie okrelonymi rozpitociami i punktowymi podporami o na przykad cakowitym zamocowaniu lub swobodnym obrocie.

W rzeczywistoci projektowej sytuacja jest duo bardziej zoona. Kady materia, a wic rwnie stal i beton, charakteryzuje si losowoci podstawowych parametrw me-chanicznych i charakterystyk odksztacalnociowych. Praktyczne sposoby zamocowania czy podparcia nigdy nie s punktowe i w bardzo rnym stopniu ograniczaj odksztacenia podpieranego elementu.

Podobnie skomplikowana jest sprawa obcie dziaajcych na konstrukcj. Praktycz-nie w kadej sytuacji naley si liczy z ich losowym charakterem, zarwno w odniesieniu do wartoci, jak i miejsca dziaania.

Zasygnalizowane tu problemy musz znale swoje praktyczne rozwizania podczas projektowania konstrukcji.

14

1.2, Idealizacja konstrukcji

Proces idealizacji dotyczy tu przyporzdkowania elementw rzeczywistej konstrukcji odpowiednim modelom i przyjcia rozpitoci obliczeniowych oraz schematw statycz-nych.

P r z y k a d o w o m a m y do czyn ien i a z n a s t p u j c y m i us ta len iami :

a) pyta-to element, w ktrym minimalny wymiar w planie jest nie mniejszy ni 5 grubo-ci,

b) belka to taki element, gdzie rozpito jest co najmniej trzy razy wiksza ni wysoko; w przeciwnym wypadku mwimy o belce-cianie,

c) supem nazywa si element, w ktrym proporcja bokw przekroju poprzecznego jest nie wiksza ni 4:1, a dugo (wysoko) jest rwna co najmniej trzykrotnoci wik-szego z bokw; w przeciwnym wypadku naley projektowa taki element jak cian.

Powysze rozrnienia s dosy oczywiste i nie budz kontrowersji. Bardziej skom-plikowana jest sprawa przyjmowania schematw statycznych, rozpitoci efektywnych (obliczeniowych) i schematw podpr. Podporami w konstrukcjach elbetowych s zwy-kle wiece, ciany lub inne - raczej szerokie - elementy elbetowe. W adnym przypadku nie s to (z wyjtkiem bardzo rzadko wystpujcych oysk) teoretyczne podparcia punk-towe, umoliwiajce swobod obrotu. Jednake w obliczeniach statycznych pyt i belek cigych przyjmuje si wanie takie uproszczone schematy. Oglnie mona powiedzie, e analizy statyczne prowadzi si dla mocno uproszczonych schematw, a rzeczywiste warunki pracy konstrukcji uwzgldnia si na etapie konstruowania (tak zwane zalecenia konstrukcyjne). Jest to podejcie uatwiajce projektowanie, a zarazem uproszczenie na korzy bezpieczestwa. W szczeglnych sytuacjach mog one by zastpione bardziej zoonymi schematami.

Podstaw do okrelenia (raczej arbitralnego ni wynikajcego ze skomplikowanych rozwaa) efektywnej rozpitoci belek (przse) lub pyt jest rozpito pomierzona w wietle podpr - ln

l t f = a i + l + a 2 ,

gdzie a,- jest szerokoci podparcia elementu na danej podporze. Przyjmuje si, e t szeroko mona obliczy ze wzoru (1.2):

a, = min [0,5/?; 0,5f] , < L 2 )

w ktrym h jest wysokoci danego elementu, a t szerokoci podpory. W przypadku cienkich pyt podpartych belkami praktycznie zawsze h < t i takie

podpory okrela si czasem jako szerokie. W belkach podpory najczciej usytuowane s w osiach (tzn. h > t).

Dziki przeprowadzonej idealizacji konstrukcji mona ju ustali obliczeniowe sche-maty statyczne i teoretycznie przystpi do wyznaczania si wewntrznych.

15

1.3. Metody wymiarowania - metoda stanw granicznych i czciowych wspczynnikw bezpieczestwa

Idealizacja konstrukcji budowlanej polegajca na sprowadzeniu jej do okrelonych schematw statycznych umoliwia wykonanie oblicze, ale nie gwarantuje jeszcze ko-niecznego dla realnego obiektu bezpieczestwa. Ten aspekt projektowania jest uwzgld-niany na etapie wymiarowania. Dzieje si to poprzez zastosowanie waciwej metody wymiarowania. W dugotrwaej ju historii projektowania i realizacji konstrukcji elbe-towych istniao szereg takich metod. Najstarsz z nich jest metoda napre liniowych. W wielkim skrcie mona powiedzie, e polega ona na analizie pracy przekroju elbe-towego w takim zakresie, w ktrym stal i beton mona z dobrym przyblieniem potrakto-wa jako materiay zachowujce si zgodnie z prawem Hooke'a (tzn. liniowo-spryste). Obcienia traktowane s jako wielkoci-o charakterze deterministycznym, ktrych re-prezentacj moe by ich warto rednia (charakterystyczna).

Odpowiedni poziom bezpieczestwa zapewniony by przez przyjmowanie tak zwa-nych napre dopuszczalnych ograniczajcych dosy arbitralnie maksymalny poziom napre w zbrojeniu i betonie.

Uwzgldnienie wasnoci plastycznych stali i betonu nastpuje w metodzie odkszta-ce plastycznych. Bezpieczestwo konstrukcji jest tu kontrolowane przez globalne wsp-czynniki bezpieczestwa (wiksze od jedynki), przez ktre dzieli si warto nonoci obliczon dla danego przekroju przy uwzgldnieniu ewentualnego uplastycznienia.

Obecnie praktycznie na caym wiecie przy projektowaniu konstrukcji elbetowych korzysta si z metody stanw granicznych. Okrelenie stan graniczny oznacza tu tak sytuacj w konstrukcji, e nawet infimezalne zwikszenie obcie dyskwalifikuje j z punktu widzenia stawianych wymaga. Stany graniczne dzieli si na stany graniczne nonoci i uytkowalnoci (uytkowania). Przykadowe stany graniczne nonoci s na-stpujce: - nono na zginanie, - nono na cinanie, - nono na przebicie, - nono na ciskanie itp.

S one bezporednio zwizane z bezpieczestwem ludzi i konstrukcji. Stany graniczne uytkowalnoci dotycz nastpujcych aspektw:

a) funkcjonowania konstrukcji lub jej elementw, b) komfortu uytkownikw, c) szeroko rozumianej estetyki.

W typowych konstrukcjach elbetowych sprawdza si stan graniczny uytkowania ze wzgldu na warto ugicia elementu oraz na szeroko rozwarcia rys.

Nazwa metoda stanw granicznych wywodzi si z koncepcji polegajcej na ustalaniu modelu zniszczenia odpowiadajcego danemu stanowi. Przykadowo w odniesieniu do zginania polega to na okreleniu (na podstawie wynikw wieloletnich bada i analiz), jak zachowuj si stal i beton w miar wzrostu obcienia powodujcego zginanie. Ustala si odksztacalno tych materiaw, prawa rzdzce odksztaceniami caego przekroju (np. prawo paskich przekrojw), okrela siy mogce powsta w betonie i stali, a w efekcie po-daje si parametry graniczne, przy ktrych rwnowaga si zewntrznych i indukowanych

16

przez nie si w przekroju staje si chwiejna. Te parametry definiuj stan graniczny i na ich podstawie mona ju formuowa odpowiednie zalenoci (np. rwnania rwnowagi).

Wykorzystanie w analizie mechanizmw charakterystycznych dla zniszczenia ozna-cza, e do projektowania musz by wprowadzone dodatkowe elementy gwarantujce odpowiedni poziom bezpieczestwa konstrukcji. Te mechanizmy wystpuj w dwch, w zasadzie rozcznych, grupach. Jeden po stronie przyjmowanych do oblicze statycz-nych obcie, a drugi przy okrelaniu wasnoci mechanicznej stali i betonu uywanych do projektowania. W sposb symboliczny warunek stanu granicznego mona zapisa nastpujco:

Ed(g,g,y)

100

W prostszych konstrukcjach ma si do czynienia z jednym gwnym oddziaywaniem zmiennym i wtedy konkretna posta wyrae (1.6a) i (1.6b) sprowadza si do przyjcia nastpujcych zalenoci (dla budynkw):

1,35 - GK + 1,05 QK ( L 7 A )

lub

1 , 1 5 - 0 * + 1 . 5 - < L 7 b >

We wzorach (1.4) do (1.7) Gk jest symbolem obcie staych, QK - zmiennych, a znak +" oznacza efekt sumowania. Jeeli obcienie stae dziaa na konstrukcj w analizowa-

nym przekroju odciajco, to przyjmuje si G0 = 1,0 Gk- W sytuacjach wymagajcych wikszej precyzji oblicze (i posiadajc odpowiednie dane) mona przy niekorzystnym wpywie obcie staych przyjmowa Gk,max, a przy korzystnym - Gk%min-

W sytuacji, gdy projektuje si magazyny, naley stosowa europejsk" kombinacj

obcie, tzn. 1,35 GK + 1,5 QK-Takie przyjcie wartoci obliczeniowych obcie zapewnia ju okrelony poziom

bezpieczestwa (po stronie si zewntrznych E

20

U Am

Rys. 1.2. Wyznaczanie wartoci redniej i charakterystycznej betonu na ciskanie

W sytuacji, gdy nie jest si producentem, lecz projektantem, korzysta si z zalenoci (1.10):

fck = fan ~ 8 (wMPa) . (1.10)

Wytrzymao charakterystyczna betonu na ciskanie fck jest podstawow charakte-rystyk betonu i odnosi si do betonu w stanie jednoosiowego ciskania. Tradycyjnie w wielu krajach (w tym w Polsce) badania wytrzymaoci betonu na ciskanie wyko-nywao si (i dalej wykonuje) na prbkach szeciennych o wymiarze boku 150 mm. Ze wzgldu na omawiany ju zoony stan napre otrzymuje si dla tego samego betonu i tej samej procedury okrelania wartoci reprezentatywnej wiksz warto fck,cube-Mona j powiza z wartoci charakterystyczn dziki przyblionej zalenoci

fck - OSfck.cube (1.11)

Obie te wartoci, tzn. fck i fck,cube znalazy swe miejsce w oznaczaniu klasy betonu. Symbolicznie mona to zapisa w postaci C liczba/liczba, np. C30/37. Symbol ten oznacza beton o f c k = 30 MPa i f c K a l b e = 37 MPa.

Wytrzymao charakterystyczna betonu na ciskanie zawiera ju pewien zapas bez-pieczestwa (prawdopodobiestwo, e nasz" beton bdzie mia wytrzymao mniejsz ni fck wynosi 5%, a w USA - 10%). Jest on wystarczajcy przy analizie stanw granicz-nych uytkowania, ale przy sprawdzaniu stanw granicznych nonoci trzeba korzysta z wytrzymaoci obliczeniowej betonu na ciskanie fcd\

fcd = fek/yc = ~ (1-12)

Czciowy wspczynnik bezpieczestwa yc = 1,4 zosta przyjty do normy w ramach tak zwanych ustale krajowych. W wikszoci krajw UE (i dawniej w Polsce) jest 7 c = 1,5.

100

b) wytrzymao betonu na rozciganie

Wytrzymao betonu na rozciganie jest funkcj jego wytrzymaoci na ciskanie i mona j obliczy ze wzoru:

fc = 0 , 3 f ^ 3 .

Oprcz wartoci redniej fem, czsto wykorzystuje si je j 5% i 95% kwantyle. Wybr grnego lub dolnego oszacowania wynika ze specyfiki oblicze (wybiera si to, co jest dla konstrukcji bardziej niebezpieczne). Bez wdawania si w szczegy mona stwierdzi, e duo czciej korzysta si z 5% kwantyla, a wytrzymao obliczeniow betonu na rozciganie oblicza si ze wzoru:

--2/3

fcd = 0,7 - f c t m j y c = 0 , 2 1 ^ - = 0 , 1 5 / c f . ( U 4 )

Wzory (1.13) i (1.14) dotycz wytrzymaoci betonu w stanie jednoosiowego rozci-gania. Czasami potrzebne mog si okaza inne rodzaje wytrzymaoci na rozciganie -np. przy zginaniu, przy rozupywaniu. Informacje na ten temat mona znale w bardziej specjalistycznych opracowaniach.

c) wytrzymao betonu w zoonych stanach napre

Jest szereg sytuacji, w ktrych okazuje si, e beton pracuje w zoonym (najczciej paskim) stanie napre i trzeba to uwzgldni w procesie projektowania. Taka sytuacja ma miejsce na przykad przy wymiarowaniu belek skrcanych, sprawdzaniu cinania przy podporach. Dokadne okrelenie granicznych wartoci wytrzymaoci betonu w takich sytuacjach jest zagadnieniem bardzo zoonym. Opiera si ono na rnego typu hipotezach wytrzymaociowych uwzgldniajcych zoone wasnoci betonu. Pogldowo spraw przedstawiono na rysunku 1.3 (dla paskiego stanu napre).

Na rysunku 1.3 pokazano krzyw graniczn oraz dwa punkty lece na niej. Jeeli stan napre w betonie okrelony jest przez punkt lecy wewntrz obszaru, to wytrzymao

22

betonu nie jest przekroczona. Punkt A" odpowiada sytuacji, w ktrej beton poddany jest zarwno ciskaniu, jak i rozciganiu. Osignita jest tu graniczna nono betonu, mimo e warto napre ciskajcych jest mniejsza ni fcm, a rozcigajcych mniejsza od fcl. W sytuacji gdy na beton dziaa ukad napre ciskanie-rozciganie, jego wytrzymao jest zawsze mniejsza ni w stanach jednoosiowego wytenia. Duo korzystniejszej sy-tuacji dotyczy punkt B". tam beton znajduje si w sytuacji dwukierunkowego ciskania, ktre skutkuje skrpowaniem odksztace i przyrostem wytrzymaoci. Mona to opisa za pomoc zalenoci:

fck.c -

fck 1 + 5 O"2

tr2 < 0,05 fCk f c k )

fck ^1,125 + 2,5 , o~2 > 0,05fck

(1.15)

Tylko w wyjtkowych sytuacjach projektant musi umie oszacowa spadek wytrzyma-oci betonu na rozciganie. Zmniejszenie wytrzymaoci na ciskanie zwizane z uka-dem ciskanie-rozciganie brane jest pod uwag bardzo czsto w obliczeniach, ktre s prowadzone za pomoc modeli S - T . Troch wicej szczegw na ten temat podano w rozdziale 2. Oglnie mona poda, e zoony stan napre uwzgldnia si, przyjmu-jc do oblicze wytrzymao betonu na ciskanie rwn v fca, v < 1,0.

d) odksztacalno dorana betonu

Odksztacalno betonu to okrelenie opisujce zaleno

24

lepkoci, s bardzo zoone. Zagadnieniu temu (nie tylko w odniesieniu do betonu) powicono bardzo wiele monograficznych opracowa.

Na elementarnym poziomie praktycznego projektowania konstrukcji elbetowych mona si jednak ograniczy do bardzo uproszczonego opisu tych zjawisk.

Skurczem okrela si wtedy zjawisko polegajce na zmniejszaniu si wymiarw ele-mentu betonowego. Pezanie jest to proces polegajcy na przyrocie odksztace (ponad odksztacenie dorane, spryste) przy staym niezmiennym napreniu.

^^^Cslaircz / i pezanie

(2) odksztacenie spryste

skttrcz (1) t

' i, '

Rys. 1.5. Zmiany odksztace w betonie w czasie

Na rysunku 1.5 przedstawiono schematyczny przebieg obcie w elemencie betono-wym. Po zabetonowaniu pozostawa on w deskowaniu do czasu to i nic" si nie dziao. Z chwil rozdeskowania, w okresie czasu od t0 do t\, nie by obciony, ale pod wpy-wem skurczu zaczy pojawia si w nim odksztacenia (1). W chwili gdy beton by w wieku t\, zosta obciony (cinity) staym napreniem. Spowodowao to skokowy przyrost odksztace (2) rwny S j - S i . Po przyoeniu obcienia nastpuje dalszy wzrost odksztace (naprenia pozostaj stae) (3). Jest on skutkiem cznego dziaania skurczu i pezania (przy ciskaniu sumuj si).

Pezanie definiowane jest jako przyrost odksztace przy staym napreniu. W istocie w konstrukcjach elbetowych pod wpywem obcie dugotrwaych dochodzi do spadku (relaksacji) napre w betonie. Trudno wic mwi o czystym" pezaniu nawet wtedy, gdy warto obcienia nie ulega zmianie.

Zjawiska reologiczne s zoone ze wzgldu na procesy bdce ich rdem, a do-datkowo skomplikowane s procedury matematyczne, ktre su ustaleniu zalenoci

c(0 = cr(sc(t)). Z tego te wzgldu pene analizy konstrukcji, uwzgldniajce ca zo-ono zjawiska, s wykonywane tylko w wyjtkowych sytuacjach.

W praktyce inynierskiej problematyka skurczu staje si istotna przy projektowaniu zbiornikw. Ograniczenie swobodnego skurczu betonu przez zbrojenie lub inne fragmenty konstrukcji powoduje powstawanie napre rozcigajcych w betonie.

W skrajnych przypadkach mog one by na tyle due, e spowoduj powstanie rys. Nawet jeeli s mniejsze, to sumujc si z napreniami rozcigajcymi wywoanymi innymi oddziaywaniami, te mog spowodowa zarysowanie. Dla szczelnych zbiornikw stanowi to problem, ktry musi by dokadnie przeanalizowany i rozwizany. W typowych obiektach w praktyce pomija si wpyw skurczu zarwno w obliczeniach statycznych

25

konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, jak i podczas wymiarowania poszczeglnych elementw tej konstrukcji. Rola konstruktora ogranicza si najczciej do zastosowania w projekcie tak zwanych zalece konstrukcyjnych dotyczcych np. rozstawu dylatacji i minimalnego pola zbrojenia.

Pezanie jest ju uwzgldnione w praktyce projektowej w duo wikszym zakresie. W obliczeniach statycznych bierze si je pod uwag raczej sporadycznie, ale koniecznie musi by brane pod uwag przy nastpujcych zagadnieniach: a) wpyw efektw II rzdu na smuke elementy (wicej szczegw w rozdziale 4), b) ugicia i zarysowania belek (rozdzia 3), c) straty sprania (tego zagadnienia ksika nie dotyczy).

Kluczem do rozwizywania tych zagadnie inynierskich jest jedna z miar pezania, tak zwany wspczynnik pezania tp(t, /0). Jest on wartoci stosunku odksztace wywo-anych pezaniem do odksztace sprystych (wywoanych obcieniem). Najczciej interesuje nas kocowa miara pezania ^(oo, f0), gdzie r0 jest wiekiem betonu w chwili obcienia. Jeeli w chwili obcienia naprenie w betonie nie przekracza 0,45fck , to pezanie jest liniowe, tzn. zaleno a s mona zapisa w postaci (przy staym napre-niu):

Scc(>to) =

14 26

c) wyznaczamy iloczyn j8(r0) P(fm) uwzgldniajcy wytrzymao betonu i wiek w chwili obcienia:

1 16,8 /,

U , l + f 0 Y / c m

Podstawowy (kocowy) wspczynnik pezania oblicza si z zalenoci:

28

Wytrzymao zmczeniowa stali oznacza, e przy ponad dwch milionach cykli obcienie-odcienie nie nastpi zniszczenie, gdy amplituda napre jest nie mniej-sza ni 150 MPa.

Niezbdne do projektowania informacje producenta musz obejmowa rwnie war-to produkowanych rednic nominalnych oraz dugoci handlowe prtw. Pojcie red-nicy nominalnej wie si z tym, e w prtach ebrowanych nie mona bezporednio pomierzy redniej" rednicy. rednica nominalna (pole nominalne) to taka rednica prta okrgego (bez eberek), ktra daje identyczn redni powierzchni prta, jak ma prt przy danym ukadzie ebrowania. Ukad eberek (to ich charakterystyka pozwala okreli fy) jest znakiem rozpoznawczym stali. Na rysunku 1.7 pokazane s wybrane wzory ebrowania.

W zaczniku do ksiki podane s charakterystyki uywanych w Polsce stali nie-zbdne do projektowania (tabele 7 i 8).

2. Podstawowe zasady projektowania konstrukcji elbetowych

2.1. Uwagi oglne

^ Podane w rozdziale pierwszym zasady ustalania obcie oraz okrelania wytrzyma-oci stali i betonu gwarantuj, e stosujc opisan metod stanw granicznych moemy zaprojektowa konstrukcj w sposb bezpieczny. Jej poziom niezawodnoci jest zgodny z wymaganiami normowymi. Nie wyczerpuje to jednak jeszcze wszystkich stawianych konstrukcji wymaga, ktre trzeba speni na etapie projektowania. Pod uwag trzeba te bra takie aspekty jak np. odporno ogniowa, trwao. Wany jest take sposb analizy konstrukcji.

2.2. Trwao konstrukcji

Przez trwao konstrukcji naley rozumie jej zdolno do speniania wymogw stanw granicznych nonoci i uytkowania przez cay okres eksploatacji. W skrcie mona powiedzie, e zagadnienia trwaoci dotycz interakcji pomidzy konstrukcj a oddziaujcym na ni rodowiskiem. W tabeli 2.1 podane s klasy ekspozycji oraz charakterystyki rodowisk.

Klasa ekspozycji ma wpyw na trzy wane parametry przyjmowane do projektowania: a) minimalne otulenie, b) wymagan klas betonu, c) warto maksymalnej dopuszczalnej szerokoci rozwarcia rys - wniax.

W tabeli 2.2 podane s zalecane do projektowania klasy wytrzymaoci betonu. Naley je traktowa jako minimalne, tzn., e mona oczywicie w uzasadnionych sytuacjach stosowa wysze, natomiast niszych raczej nie.

Przyjcie minimalnego otulenia cmin.dur zwizane jest z ochron stali zbrojeniowej przed korozj. Oprcz klasy ekspozycji ma na ni wpyw rwnie tak zwana klasa kon-strukcji. Jest ona powizana z projektowanym okresem uytkowania. W typowych kon-strukcjach elbetowych zaleca si przyjmowa klas S4 odpowiadajc 50 latom eksplo-atacji budynku. Warto otulenia cmi_jlir ustala si jako odlego pomidzy powierzchni betonu a najbliszym zbrojeniem (w dowolnej formie). W tabeli 2.3 podane s wartoci Cmmjur dla dwch klas konstrukcji S3 i S4. Pomimo e projektuje si obiekt klasy S4, czasami moliwe jest przyjcie danych z klasy o jedn niszej.

W szczeglnoci dotyczy to dwch sytuacji:

a) elementw pytowych, b) zastosowania betonw o co najmniej dwie klasy lepszych ni to podano w tabeli 2.2.

Tabela 2.1. Klasy ekspozycji w zalenoci od warunkw rodowiskowych wedug EN 206-1

Oznacz- . nie klasy

Dpis rodowiska 'rzykady wystpowania

1. Brak zag rocnia korozj i agresj chemiczn

X O dotyczy betonu niezbrojonego i nie zawierajcego wbudowanych elementw metalowych. Wszystkie rodowiska i wyj tk iem wystpowania zamraania / rozmraania, cierania lub agresji chemicznej. W przypadku betonw zbrojonych lub zawierajcych wbudowane elementy metalowe: bardzo suche.

Beton wewntrz budynkw o bardzo niskiej wilgotnoci powietrza.

2. Korozja spowodowana karbonatyzacj

X C I Suche lub stale mokre. Beton wc wntrzach o niskiej wilgotnoci powietrza lub stale zanurzony w wodzie.

XC2 Mokre, sporadycznie suche. Powierzchnie betonu naraone na dugotrway kontakt z wod. Wiele fundamentw.

X C 3 Umiarkowanie wilgotne. Beton wewntrz budynkw o umiarkowanej lub wysokiej wilgotnoci powietrza. Beton na zewntrz osonity przed deszczem.

XC4 Cyklicznie mokre i suche. Powierzchnie betonu naraone na kontakt z wod, ale nie jak w klasie ekspozycji XC2.

3. Korozj spowodowana chlorkami

XD1 Umiarkowanie wilgotne. Powierzchnie betonu naraone na dziaanie chlorkw z powietrza.

X D 2 Mokre, sporadycznie suche. Baseny pywackie. Beton naraony na dziaanie wody przemysowej zawierajcej chlorki.

XD3 Cyklicznie mokre i suche. Elementy mostw naraone na dziaanie rozpylonych cieczy zawierajcych chlorki, nawierzchnie drg, pyty parkingw.

4. Korozj a spowodowana chlorkami z wody morskiej

XS1 Naraenie na dziaanie soli zawartych w powietrzu, ale nie na bezporedni kontakt z wod morsk.

Konstrukcje zlokalizowane na wybrzeu lub w jego pobliu.

XS2 Stae zanurzenie. Elementy budowli morskich.

XS3 Strefy wpyww, rozbryzgw i aerozoli. Elementy budowli morskich.

Tabela 2.1. kont. Klasy ekspozycji w zalenoci od warunkw rodowiskowych wedug EN 206-1

Oznacze-nie klasy

Opis rodowiska Przykady wystpowania

5. Agresywne oddziaywanie zamraania/rozmraania

XF1 Umiarkowanie nasycone wod bez rodkw odladzajcych.

Pionowe powierzchnie betonowe naraone na deszcz i zamarzanie.

XF2 Umiarkowanie nasycone wod ze rodkami odladzajcymi.

Pionowe powierzchnie betonowe konstrukcji drogowych naraone na zamarzanie i dziaanie z powietrza rodkw odladzajcych.

XF3 Silnie nasycone wod bez rodkw odladzajcych.

Poziome powierzchnie betonowe naraone na deszcz i zamarzanie.

XF4 Silnie nasycone wod ze rodkami odladzajcymi lub wod morsk.

Pyty drg i mostw naraone na dziaanie rodkw odladzajcych. Powierzchnie betonowe naraone bezporednio na opryskiwanie rodkami odladzajcymi i na zamarzanie. Strefy naraone na ochlapywanie i zamarzanie w konstrukcjach morskich.

6. Agresja chemiczna

XA1 rodowisko chemiczne mao agresywne zgodnie z Tablic 2 EN 206-1.

Naturalne grunty i woda gruntowa.

XA2 rodowisko chemiczne rednio agresywne zgodnie z Tablic 2 EN 206-1.

Naturalne grunty i woda gruntowa.

X A 3 rodowisko chemiczne silnie agresywne zgodnie z Tablic 2 EN 206-1.

Naturalne grunty i woda gruntowa.

Tabela 2.2. Wskazane klasy wytrzymaoci betonu

Klasy ekspozycji wedug Tabeli 2.1

Korozja

Korozja wywoana karbonatyzacj

Korozja wywoana chlorkami

Korozja wywoana chlorkami z wody morskiej

X C I XC2 X C 3 XC4 X D 1 X D 2 X D 3 XS1 XS2 X S 3 Wskazana klasa betonu

C20/25 C25/30 C30/37 C30/37 C35/45 C30/37 C35/45

Uszkodzenie betonu

Nie ma ryzyka Zagroenie zamraa-niem/ro zmraaniem

Zagroenie chemiczne

X O X F I X F 2 XF3 X A 1 X A 2 X A 3 Wskazana klasa betonu

C12/15 C30/37 C25/30 C30/37 C30/37 C35/45

14

Tabela 2.3. Minimalne otulenie cm,.,/,

Klasa konstrukcji

Klasa ekspozycji Klasa konstrukcji X O X C I XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3

S3 10 10 20 25 30 35 40

S4 10 15 25 30 35 40 45

W zasadzie nie ma innych moliwoci stosowania zmian wartoci cm,iCjlir. Oprcz aspektu trwaoci otulenie musi uwzgldnia dodatkowo wymagania przepi-

sw ppo. (EN 1992-1-2) oraz zapewnia warunki dla przyczepnoci betonu do stali. Z tego drugiego powodu przyjmuje si, e:

Crnin,b >

100

Redystrybucja ma polega na zmniejszeniu momentu podporowego. Stopie redy-strybucji, tzn. stosunek wartoci momentu po redystrybucji do momentu obliczonego klasycznie (sprycie) musi spenia warunki:

6 > 0,44 + 1,25^ ( 2 " 3 )

(0,7 stale klasy B , C (2.4) 5 > \ 0 , 8 stale klasy A

Na rysunku 2 . Ib pokazana jest redystrybucja polegajca na przyoeniu" momentu na podporze o wartoci -6 Mp = - 0 , 7 0,125

36

fragmentu konstrukcji naley wybiera te, w ktrych dugo prtw rozciganych jest najmniejsza. Wie si to z zasad minimum energii, ktra wymaga, aby FihSi bya najmniejsza.

Poprawne stosowanie metody S - T wymaga sporej wiedzy inynierskiej i dowiad-czenia. W najczciej wystpujcych sytuacjach odpowiednie ukady prtowe s oglnie znane. Dotyczy to midzy innymi takich przypadkw jak: a) cinanie przy podporach belek, b) belki skrcane, c) krtkie wsporniki, d) wysokie belki, e) naroa ram, f) belki o skokowo zmiennej wysokoci, g) pyty i tarcze z otworami.

Jednym z istotniejszych problemw jest odpowiednie przeanalizowanie warunkw pracy prtw ciskanych i wzw. Ze wzgldu na zoony stan napre trzeba uwzgld-nia zmniejszenie wytrzymaoci betonu na ciskanie (tylko sporadycznie - zwikszenie) w prtach typu S. W odniesieniu do wzw dochodzi do tego wpyw kotwienia w nim zbrojenia i kierunki dziaania si obciajcych ten wze.

2.4. Wpyw imperfekcji i efektw drugiego rzdu

Projektujc konstrukcj elbetow naley bra pod uwag, e w rzeczywistej sytuacji moliwe jest wystpowanie szeregu rnych odchyek od zaoe projektowych.

Ewentualne niekorzystne odchyki dotyczce wasnoci czy te wymiarw przekrojw betonu i zbrojenia s uwzgldnione na etapie ustalania wartoci yc i ys- Pozostaje za-gadnienie dotyczce niekorzystnego wpywu odchyek geometrycznych caej konstrukcji i (lub) zmian pooenia obcienia. Moe by to zwizane na przykad z dokadnoci montau prefabrykatw, ukadaniem deskowa itp.

Wpyw imperfekcji uwzgldnia si w stanach granicznych nonoci, nie ma natomiast koniecznoci brania ich pod uwag przy analizie stanw granicznych uytkowalnoci.

W oglnoci imperfekcje mona uwzgldnia na dwa sposoby: a) dodatkowy (pocztkowy) mimord e,-, b) dodatkowa sia poprzeczna H-, umieszczana w ten sposb, aby otrzyma maksymalny

moment.

To drugie podejcie jest bardziej uniwersalne i moe by stosowane zarwno w kon-strukcjach statycznie wyznaczalnych, jak i niewyznaczalnych. Niezalenie od przyjtego sposobu opisu imperfekcji, punktem wyjcia jest kt nachylenia 0, opisany formu:

0; = 6 0 - a h - a m . (2.6)

Kt d0 jest tak zwan wartoci bazow i przyjmuje si, e wynosi on 60 = 1/200. Wspczynniki a h i a m su do redukcji tego kta. Uwzgldniaj one korzystne efekty zwizane z duymi rozpitociami (wysokociami) elementw lub ich liczb.

37

Imperfekcj uwzgldnia si projektujc supy. Dla wydzielonych elementw mona j okreli jako pocztkowy mimord niezamierzony o wartoci okrelonej formu (2.7):

^ = m a X { 4 ' ' 2 0 m m } - (2.7)

Przy analizie supw o duej smukoci czsto zachodzi konieczno uwzgldniania efektw drugiego rzdu. Sprowadzaj si one do przyrostu mimorodu dziaania siy po-wstajcego w wyniku odksztace konstrukcji. W prostszych sytuacjach pomija si te odksztacenia i obliczenia statyczne przeprowadza si korzystajc z zasady zesztywnienia (teoria I rzdu). Jeeli jednak przyrost mimorodw (momentw) wywoanych odkszta-ceniami osi przekracza 10%, to trzeba przeprowadzi pene obliczenia.

Efekty drugiego rzdu mona uwzgldnia na poziomie globalnym lub lokalnym (ele-menty wydzielone). Globalna analiza jest peniejsza, ale zdecydowanie bardziej skompli-kowana i pracochonna. W duym skrcie mona powiedzie, e polega ona na iteracyj-nym obliczeniu statycznym caego ukadu konstrukcyjnego z uwzgldnieniem przemiesz-cze. Podstawowym problemem jest prawidowe oszacowanie wstpnych charakterystyk geometrycznych przekroju, zbrojenia oraz przyjcie sztywnoci uwzgldniajcych za-rwno pezanie, jak i ewentualne zarysowanie wybranych elementw konstrukcji.

Praktycznie analizy globalne uwzgldniajce efekty drugiego rzdu mona przepro-wadzi jedynie z wykorzystaniem zaawansowanych programw komputerowych.

Duo czciej, nawet projektujc proste konstrukcje, ma si do czynienia z analiz drugiego rzdu na poziomie elementw wydzielonych. W pierwszym etapie przeprowadza si typowe obliczenia statyczne caego ukadu. Na drugim uwzgldnia si dla czci elementw (np. supw) efekty drugiego rzdu. Norma zaleca dwie podstawowe metody oblicze: a) metod sztywnoci nominalnej, b) metod nominalnej krzywizny.

Przymiotnik nominalny oznacza tu, e obie charakterystyki przyjmowane do oblicze - krzywizna lub sztywno s okrelane za pomoc formu majcych z jednej strony uwzgldni zoono zjawiska (pezanie, rysy, szeregi przyrostw itp.), a drugiej strony by relatywnie prostymi do oblicze.

Nieco bardziej uniwersalna jest metoda nominalnej sztywnoci. Wiele jej elementw byo tradycyjnie uywane w Polsce przy projektowaniu supw wedug starszych norm. Szczegy tej metody i sposb postpowania s opisane w rozdziale 4.

3. Projektowanie zginanych belek elbetowych

3.1. Uwagi oglne

Jednokierunkowe zginanie, zwane rwnie zginaniem walcowym, jest w praktyce najczstszym przypadkiem wytrzymaociowym, z ktrym ma do czynienia projektant konstrukcji. Wystpuje ono w zdecydowanej wikszoci belek i w pytach, ktre maj odpowiednie proporcje wymiarw bokw oraz sposoby podparcia. Dokadne przeledze-nie procesw zachodzcych w zginanym elemencie elbetowym podczas narastajcego obcienia daje podstawy do zrozumienia specyfiki zachowania si konstrukcji elbeto-wych Projektowanie metod stanw granicznych sprowadza cale zagadnienie do analizy rwnowagi si w chwili zniszczenia, ale znajomo penego procesu, od chwili obcienia, jest konieczna.

3.1.1. Zachowanie si belek elbetowych podczas obcienia

W punkcie tym przedstawiony jest krtki opis zachowania si belki elbetowej, w kt-rej decydujcym obcieniem jest moment zginajcy. W przyblieniu mona stwierdzi, e odpowiada on sytuacji panujcej w rodkowym fragmencie belki o schemacie statycz-nym pokazanym na rysunku 3.1.

Rys. 3.1. Schemat typowej belki, w ktrej w rodkowej czci wystpuje czyste zginanie

Nie zagbiajc si jeszcze w szczegy, trzeba tylko pamita, e niezalenie od typu przekroju belki, w jej dolnej czci znajdowa si musi stal (zbrojenie gwne), ze wzgldu na wystpowanie rozcigania, a w grnej czci (ciskanej) zwykle jest jej zdecydowanie mniej i w pierwszych przyblieniach moe by ona pominita.

Jeeli rozpocznie si proces obcienia, to wielkoci odksztace powstaych w skraj-nych wknach betonu (ec - w strefie ciskanej, sa - w strefie rozciganej) oraz w stali s na tyle mae, e mona z powodzeniem zaoy, i stal i beton zachowuj si jak typowe materiay liniowo spryste. Odksztacenia rozciganej stali i betonu na tym samym po-ziomie s identyczne (tak zwana idealna przyczepno). W obliczeniach mona korzysta

39

z rozwiza klasycznej wytrzymaoci materiaw, biorc pod uwag, e ze wzgldu na wystpowanie dwch rnych materiaw (stal, beton) celowe jest skorzystanie z kon-cepcji przekroju sprowadzonego. Polega ona w tym przypadku na zastpieniu" stali o powierzchni As adekwatnym polem powierzchni betonu rwnym As Es/Ec- Pozwala to obliczy zarwno wszystkie interesujce charakterystyki geometryczne przekroju (/, W), jak i naprenia oraz siy Fc, Fct i Fs (rysunek 3.2a). T faz pracy belki okrela si czsto jako pierwsz - 1 .

a) b)

Rys. 3.2. Przebiegi odksztace w przekroju przy niewielkich obcieniach

Przy pewnym poziomie obcienia zaczyna obserwowa si pewne anomalie" w za-chowaniu betonu w strefie rozciganej. Polegaj one na jego uplastycznianiu si w naj-bardziej wytonych skrajnych fragmentach (rys. 3.2b). Ten poziom obcienia stanowi pierwsz cezur w procesie zmian zachodzcych przy obcianiu. Im beton jest sabszy (niszej klasy), tym uplastycznienie jest wyraniejsze. Uplastycznienie lub zalki spka w strefie rozciganej pojawiaj si ju przy odksztaceniach rzdu 0,l-0,15%o. Odpowia-dajce im odksztacenia w strefie ciskanej s wtedy nieco wiksze, ale i tak s cigle w zakresie sprystym.

Dalsze zwikszanie obcienia prowadzi do powstania w przekroju rys (pkni). Pocztkowo ich zasig jest niewielki, ale stosunkowo szybko powiksza si (rys. 3.3).

a) b) c)

Rys. 3.3. Stopniowy wzrost zasigu rysy towarzyszcy przyrostowi obcienia

Strefa rozcigana betonu staje si coraz mniejsza i jej znaczenie dla caoci pracy elementu staje si znikome. Pknicie (rysa) powoduje naruszenie pierwotnej przyczep-noci. Uwolniona" stal moe wydua si zdecydowanie bardziej. O ile przed zary-sowaniem, ze wzgldu na zgodno odksztace, naprenia w stali mogy by rzdu scl Es = (0,1 - 0,15) 200 = 20 -r 30 MPa, to po zerwaniu przyczepnoci radykalnie rosn. Stal zbrojeniowa, ktrej jest niewiele, musi w praktyce przenosi prawie cae roz-

40

ciganie. Prowadzi to do przyrostu napre o 100 i wicej MPa. Zagadnienie to jest omwione bardziej szczegowo w rozdziale dotyczcym stanw granicznych uytkowa-nia konstrukcji.

Na tym etapie wzrostowi obcienia towarzyszy oczywicie wzrost odksztace w stre-fie ciskanej betonu oraz zmniejszanie si zasigu teje strefy - podwyszeniu ulega po-oenie osi obojtnej. Za kocowy moment tego etapu pracy belki przyjmuje si umownie tak zwan faz drug - II. Na rysunku 3.3 przedstawia j wykres c". Jest to sytuacja wy-idealizowana, zakadajca, e obowizuje w przekroju prawo paskich przekrojw, a siy wewntrzne rwnowace dziaajcy moment wystpuj tylko w rozciganej (pracujcej w zakresie sprystym) stali i w betonie w strefie ciskanej (te pracujcym sprycie). Faza ta odgrywa wan rol w analizie stanw granicznych uytkowania. Zaoenia i me-todyka oblicze jest w peni analogiczna do fazy I, ale pomija si cakowicie rol betonu w strefie rozciganej (zakada si, e rysa dochodzi bezporednio do osi obojtnej).

Trzeba jeszcze zwrci uwag, e opisane fazy pracy przekroju mog wystpowa rwnoczenie w caej belce w zalenoci od przebiegu momentw.

I a 16 K y o obojtna

/

I I I I I

U U |j? I y Rys. 3.4. Zrnicowane wytenie przekrojw belki

Na rysunku 3.4 wyrnione zostay cztery przekroje. Przekrj a - a jest w miejscu, gdzie moment zginajcy jest na tyle may, i przekrj len pracuje cay" i w fazie I (nie-zarysowany). W przekroju y~y rysa dotara ju do osi obojtnej i sytuacja odpowiada idealnej fazie II. Przekrj /3-/? te jest zarysowany, ale zasig rysy jest mniejszy - por. rys. 3.3a i b. Ciekawa sytuacja panuje w przekrojach typu 6-6. Nie s one zarysowane, ale zerwanie przyczepnoci pierwotnej w pobliskich rysach umoliwio polizg zbroje-nia wzgldem otaczajcego betonu. Skutkuje to zwikszeniem odksztace w stali przy rwnoczesnej ich relaksacji w rozciganym betonie. W tym przekroju prawo paskich przekrojw stosuje si jedynie do betonu w strefie ciskanej i rozciganej stali.

Dalszy przyrost obcienia powoduje, e po okresie stabilnego rozwoju fazy II (pro-porcjonalny wzrost odksztace sc i es) moe dochodzi do procesw uplastycznienia. Dotycz one zarwno stali, jak i betonu. Rnice w charakterze zalenoci cr-s dla stali i betonu powoduj, e o ile osignicie przez stal granicy plastycznoci umoliwia jeszcze duy przyrost jej odksztace, to w betonie proces uplastycznienia obejmuje stopniowo kolejne wkna ciskanego betonu. Na rysunku 3.5 schematycznie przedstawiono proces ksztatowania si napre w betonie w miar wzrostu uplastycznienia. W ekstremalnych przypadkach (rys. 3.5c) moliwa jest dekompresja napre w skrajnych wknach.

100

a) b) f c

C) f c

i

Rys. 3.5. Zmiany w przebiegu odksztace w ciskanym betonie przy rozwoju uplastycznienia

^ Opisana powyej sytuacja prowadzi do stanu granicznego nonoci na zginanie. Mona mwi o jego osigniciu wtedy, gdy infinitezymalny przyrost momentu powoduje znisz-czenie (utrat rwnowagi).

Z punktu widzenia zginanych konstrukcji elbetowych mona wyobrazi sobie trzy mechanizmy zniszczenia: a) w wyniku przekroczenia wytrzymaoci na ciskanie zmiadeniu ulega beton, b) w wyniku przekroczenia granicznych wydue (lub wytrzymaoci na rozciganie)

zerwaniu ulega stal zbrojeniowa, c) oba powyej okrelone procesy zachodz rwnoczenie.

Oczywicie ta ostatnia sytuacja jest najkorzystniejsza z punktu widzenia ekonomiki projektowania konstrukcji. Jest ona podstaw do formuowania inynierskich zaoe stanu granicznego. Czasami jednak trzeba si liczy z tym, e z bardzo rnych wzgldw mechanizmy zniszczenia s typu a" lub b". Zagadnienia te s omwione w dalszej czci rozdziau 3.

I.2. Oglne zasady okrelania stanu granicznego nonoci na zginanie

Ze wzgldu na wymagany zapas bezpieczestwa analiz stanw granicznych przepro-wadza si, stosujc obliczeniowe wartoci obcie (i wynikajce z nich momenty) oraz obliczeniowe modele i wytrzymaoci materiaw.

W odniesieniu do stali zbrojeniowej mona stosowa jeden z dwch modeli odkszta-calnoci pokazanych na rysunku 3.6.

0,9 e,.

Rys. 3.6. Modele obliczeniowe odksztacalnoci stali zbrojeniowej

42

Podstawowym jest model (1), w ktrym zakada si, e stal jest materiaem idealnie liniowo sprysto-plastycznym. W zbrojeniu po przekroczeniu odksztace e , = ep i -f dl Es naprenie jest stae i wynosi cr, = fljd. Osignicie przez stal odksztacenia plastycznego gwarantuje pene wykorzystanie wytrzymaoci stali. W tym modelu me ma ogranicze dotyczcych dopuszczalnych maksymalnych odksztace stali. Model (2) rni si tym, e uwzgldnia on efekt wzmocnienia stali po uplastycznieniu. Maksymalne naprenia w stali mog tu wynosi 2 %o /

f T

odksz ta cen ia napren ia odksz ta cen ia nap ren i a

Rys. 3.7. Dwa modele przebiegu odksztace i napre w przekroju w stanie granicznym

Cech wspln obu modeli jest przyjcie, e w stanie granicznym nonoci odkszta-cenia w skrajnych wknach wynosz maksymalnie 3,5%c i obowizuje prawo paskich przekrojw. Rnice wynikaj z rnej aproksymacji rozkadu napre w chwili znisz-czenia (por. lys. 3.5b i c). W modelu (a) w przedziale odksztace od zera do 2%o zalez-no crc = crc(sc) jest paraboliczna, a po przekroczeniu 2%o naprenie jest stae i rwne o-c = fcd. W modelu (b) w przedziale od zera do ,75%o zaleno cr-e jest liniowa, a nastpnie naprenie osiga sta warto rwn fcd. W obu sytuacjach, ze wzgldu na zmienn po wysokoci przekroju warto crc, aby obliczy wypadkow si w betonie i miejsce jej przyoenia, naley wykona operacj cakowania napre po ciskanej po-wierzchni. Nie jest to matematycznie specjalnie skomplikowane, ale moe by odbierane

jako mao inynierskie". W tej sytuacji norma dopuszcza przyjcie bardzo uproszczonego modelu pokazanego

na lysunku 3.8. Uproszczenia s tu daleko idce. Zakada si sta warto napre w strefie ciskanej

rwn fcd. Wypadkowa sia w betonie wynosi wtedy fcd Acc , to znaczy jest iloczynem pola powierzchni ciskanego betonu i jego wytrzymao na ciskanie. W zasadzie nie ma potrzeby korzystania z prawa paskich preekrojw (oprcz paru wyjtkw i wtedy przyjmuje si xeff = 0,8*). Radykalnie upraszcza to obliczenia, szczeglnie gdy me korzysta si z programw komputerowych.

Po bliszej analizie okazuje si, e pomimo rnic w zaoeniach praktyczne wyniki otrzymane ze wszystkich tych modeli s bardzo zblione. W tabeli 3.1 pokazano rezultaty

43

Tabela 3.1. Porwnanie wartoci momentw, obliczanych wg rnych modeli

Model a Model b Model c Model a Model b Model c

P f c H M -10 3

fa-b-d?- T r * - * 0,4 0,104 0,112 0,084 3,827 3,826 3,832

0,6 0,156 0,168 0,126 5,612 5,608 5,622

0,8 0,208 0,224 0,168 7,309 7,303 7,328

1,0 0,259 0,280 0,210 8,921 8,911 8,950

1,2 0,311 0,336 0,252 10,446 10,432 10,488

1,4 0,363 0,392 0,294 11,885 11,886 11,942

1,6 0,415 0,448 0,336 13,238 13,212 13,312

1,8 0,467 0,504 0,378 14,504 14,472 14,598

2,0 0,519 0,560 0,420 15,684 15,644 15,800

2,2 0,571 0,616 0,462 16,777 16,730 16,918

oblicze nonoci (wzgldnej nonoci M/(fydbd2)) w zalenoci od stopnia zbrojenia. Wida wyranie, e rnice s maksymalnie rzdu 1%, co nie ma praktycznego zna-czenia. Podobne wnioski mona wycign, gdy wyznacza si nie nono, ale oblicza powierzchni (stopie zbrojenia) potrzebnej stali przy zadanej wartoci momentu.

Jeeli nie ma widocznych rnic w ostatecznych wynikach, to racjonalne jest uywanie najprostszej metody - skrajnie uproszczonej. Wniosek ten jest w oglnoci prawdziwy, ale zdarzaj si wyjtki. Bez wnikania w szczegy mona stwierdzi, e bardziej skom-plikowane obliczenia trzeba wykonywa, gdy zbrojenie elementu nie jest skoncentrowane w okrelonych miejscach przekroju, tylko znajduje si na wielu rnych poziomach. Bardziej szczegowo jest to omwione w dalszej czci rozdziau.

.2. Stan graniczny nonoci na zginanie - model uproszczony

5.1. Uwagi oglne

Analiza stanu granicznego ze wzgldu na zginanie ma dwa aspekty. Pierwszy z nich nazywa si wymiarowaniem. Problem sprowadza si wtedy do okrelenia niezbdnej powierzchni stali zbrojeniowej, a dane s charakterystyki geometryczne przekroju belki,

100

klasa betonu i stali oraz dziaajcy moment. Jest to typowa sytuacja wystpujca podczas projektowania belki.

Druga sytuacja obliczeniowa jest nazywana wyznaczaniem (sprawdzaniem) nonoci. Ma ona miejsce wtedy, gdy wiadome s nie tylko charakterystyki geometryczne przekroju, ale rwnie powierzchnia zbrojenia. Niewiadom, ktr naley wyznaczy, jest warto maksymalna momentu, ktrym moe by obciony ten przekrj belki.

Podstawy do rozwizania obu zagadnie s identyczne. Stanowi go przyjty model obliczeniowy i warunki rwnowagi si. Czasami, mimo e jest to metoda uproszczona, naley rwnie sprawdzi odksztacenia. Jest to konieczne wtedy, gdy sytuacja wskazuje, e model zniszczenia opisany w podrozdziale 3.1 staje si nieadekwatny (stal lub beton w chwili zniszczenia s niewykorzystane).

3.2.2. Przekrj prostoktny pojedynczo zbrojony

Prostoktny przekrj belek elbetowych jest z jednej strony najbardziej rozpowszech-niony, a z drugiej jego analiza jest najprostsza. Trzeba te zwrci uwag, e okrelenie prostoktny dotyczy nie tyle caego przekroju, ale ksztatu strefy ciskanej.

Okrelenie pojedynczo zbrojony rwnie naley rozumie nieco szerzej. Pojedyncze zbrojenie oznacza, e w obliczeniach uwzgldnia si (jest niezbdne obliczeniowo) je-dynie zbrojenie w strefie rozciganej. Praktycznie bowiem w kadej belce jest rwnie zbrojenie w strefie ciskanej (np. ze wzgldu na konstruowanie szkieletu zbrojeniowego).

W metodzie uproszczonej zakada si (nie ma innej moliwoci), e stal rozcigana jest w peni wykorzystana, tzn. crs = fyd- Sytuacja taka ma miejsce (por. rys. 3.6), gdy e s>pi = fyd/Es- Korzystajc z prawa paskich przekrojw i majc na uwadze, e w stanie granicznym ec = 3,5%o, otrzymujemy zaleno:

' 3,5 Spi = -J1- (3-D

x d x

Po przeksztaceniu jej i wprowadzeniu zmiennej bezwymiarowej = x/d otrzymuje si:

3,5 _ 3,5 = 3,5 + pi ~ + ( 3 ' 2 )

W metodzie uproszczonej operuje si wielkoci xeg = 0,8x, a ostateczna posta zale-noci (3.2) ma wtedy posta:

0,8 3 ,5 2 ,8 ftJd Usi tm = 7 " = 7 " > -jr w %o. (3.3)

3,5 + 3,5 + jg E s

Dla stali klasy A-III (fljd = 350 MPa) warto ta wynosi e f fMm = 0,53, a dla A-III N (fyd = 420 MPa) jest rwna 0,5. Jeeli z oblicze wyszoby, e ^ > ejjjim, to naprenia w stali o~s < fyd i wystpiaby sprzeczno z zaoeniami stanu granicznego - przekroju nie mona by traktowa jako pojedynczo zbrojonego.

Klasyczny ukad si w zginanym przekroju pojedynczo zbrojonym pokazany jest na rysunku 3.9.

45

Rys. 3.9. Ukad si w przekroju zginanym pojedynczo zbrojonym

Wymiarowanie

Korzystajc z rysunku 3.9, atwo jest ustali, e niewiadomymi s pole powierzchni zbrojenia -Asl oraz zasig strefy ciskanej xeff. Poniewa dysponujemy na paszczy-nie dwoma rwnaniami rwnowagi (trzecie - suma rzutw si na kierunek pionowy jest tosamociowe), to zagadnienie ma z punktu widzenia matematyki jednoznaczne rozwi-zania (ukad dwch rwna z dwoma niewiadomymi). Najprociej osiga si cel dziki zapisaniu warunku rwnowagi si oraz momentw.

Pierwsze z rwna ma posta:

0 - fydAsi - fed-b- Xejf . (3.4)

Przy wyborze miejsca, wzgldem ktrego okrela si warunek rwnowagi momentw, dobrze jest kierowa si zasad, aby wybr ten uatwia obliczenia. Jeeli wybierzemy jako ten punkt rodek cikoci zbrojenia, to rwnanie przyjmie posta:

% = fed-b- xeS(d - 0 ,5x e # ) . ( 3 5 )

We wzorze tym wyraenie z = d - 0,5xejr jest ramieniem dziaania si wewntrznych (wypadkowa staych napre ciskajcych jest w poowie (rodku) strefy ciskanej).

Rwnanie (3.5) jest rwnaniem kwadratowym ze wzgldu nax e j f . Po jego rozwizaniu (jeeli wszystko si zgadza) oblicza si warto Asl z rwnania (3.4), co koczy oblicze-nia. Wygodne i pouczajce jest zastpienie zmiennych xeff i Asl ich bezwymiarowymi odpowiednikami:

tff~~d 1 Pl=~bd- (3.6)

Przy tych niewiadomych rwnanie (3.5) mona przeksztaci do postaci:

fi Si-Z a , MEd -= 0 . (3.7)

Wyznacznik (A) tego rwnania jest rwny

fed bd2 ' (3-8)

14 46

Rozwizania rwnania (3.7) maj sens fizyczny, gdy A > 0 i tak najczciej si dzieje. Gdybymy jednak otrzymali A < 0, to znaczyoby to, e wymiary przekroju s zbyt mae (mianownik zbyt may), aby zaprojektowa przekrj pojedynczo zbrojony zdolny do przeniesienia momentu MEd. Nawet jednak, gdy A > 0, trzeba sprawdzi dodatkowo czy speniony jest warunek:

Jego spenienie gwarantuje, e stal jest wykorzystana (i mona w rwnaniu (3.4) pisa fljd), a pole powierzchni zbrojenia wylicza si z (3.4), wstawiajc xejj - d.

W bezwymiarowej postaci rwnanie (3.4) jest nastpujce:

= ( 3 - 1 0 )

Jyd

Stopie zbrojenia pi dostarcza informacji o , jakoci" otrzymanego rozwizania. Do-brze jest, gdy znajduje si on w przedziale gwarantujcym dobre, ekonomiczne wykorzy-stanie stali i betonu. Zagadnienie to jest bardziej szczegowo omwione w dalszej czci rozdziau 3.

Jeeli w obliczeniach korzystamy z zalenoci (3.10), to pole powierzchni zbrojenia mona obliczy wg wzoru (3.11):

As\=p\-b-d. (3.11)

Wyznaczanie nonoci

Zagadnienie wyznaczania nonoci sprowadza si do okrelenia, jaki maksymalny mo-ment MRd moe przenie przekrj o zadanej geometrii, okrelonych wytrzymaociach stali i betonu oraz znanej powierzchni zbrojenia A ^ . Istota problemu jest identyczna do opisanej powyej. Rnice sprowadzaj si jedynie do zmiany niewiadomych. Nieznane pozostaje xeff, a obliczenia wymaga Mmax = MRd. Poniewa sytuacja nie ulega zmianie, to rwnie rwnania rwnowagi mog mie tak sam posta. Z rwnania (3.4) oblicza si warto xejr i ejf = xcffjd. Jeeli ,cff < 4effjun, to nono (MRd) mona obliczy z rwnania (3.5), wstawiajc tam obliczon warto xeff. Czasami moe si zdarzy, e obliczone xeff > xeff,lim = Oznacza to, e ilo stali jest zbyt dua w stosunku do powierzchni przekroju betonowego i zbrojenie nie moe by w peni wykorzystane. Wtedy, aby oszacowa nono (w metodzie uproszczonej), naley przyj xeg = xejfj,m i t warto wstawi do rwnania (3.5).

Czasami do obliczania wartoci MRd korzysta si z rwnania rwnowagi momentw obliczonych wzgldem rodka cikoci strefy ciskanej betonu:

Mrci = f,jd As\(d Q,5xcjf) . (3-12)

Tak obliczone wartoci s oczywicie identyczne z otrzymanymi z (3.5). Zalet for-muy (3.12) jest moliwo wykorzystania jej do oblicze szacunkowych. Zasadzaj si one na zaoeniu, e dla maych wartoci xajf, MRd prawie liniowo zaley od pola po-wierzchni uytego zbrojenia Asl.

Przekrj prostoktny podwjnie zbrojony

Jak ju wspomniano, czasami wymiary przekroju s zbyt mae, aby moliwe byo przeniesienie przez niego duych momentw. Sytuacj tak mona rozpozna, gdy w cza-sie prby zwymiarowania przekroju jako pojedynczo zbrojonego otrzyma si A < 0 lub (zdecydowanie czciej) > Najprostszym rozwizaniem byoby zwiksze-nie wymiarw przekroju. Kiedy ze wzgldw architektonicznych, technologicznych czy jakich innych nie wchodzi to w rachub, to rozwizaniem moe by zastosowanie do-datkowego zbrojenia w strefie ciskanej. Ukad si w takim przekroju pokazany jest na rysunku 3.10.

"s2

fcd fcd

fyd-A* 1

Rys. 3.10. Ukad si w przekroju podwjnie zbrojonym

Wymiarowanie

Patrzc na rysunek 3.10 mona dostrzec, e zwymiarowanie oznacza wyznaczenie trzech niewiadomych - As\, Asi i xeff, a dysponujemy jedynie dwoma niezalenymi rw-naniami rwnowagi. Jest wic to zagadnienie wewntrznie statycznie niewyznaczalne. Klasyczne rozwizanie takiego problemu - dodanie warunku zgodnoci odksztace -nie ma lu zastosowania, gdy uplastycznienie strefy ciskanej sprawia, e zaleno cr-e nie jest funkcj rnowartociow.

Praktyczne rozwizanie polega na przyjciu, e xeg = xejfjim = efftim d. Poniewa przekroje podwjnie zbrojone stosuje si, gdy w zwykym przekroju strefa ciskana oka-zaa si zbyt dua, to zaoenie to jest sensowne. Oznacza ono, e beton w strefie ciskanej bdzie maksymalnie wykorzystany, a z reszt bdzie sobie radzi" ciskana stal. Gwa-rantuje to najmniejsze z moliwych zuycie tej stali w przekroju. Po zredukowaniu liczby niewiadomych do d w c h - A s\ i AS2, dalsze postpowanie jest ju proste. Mona obliczy pola zbroje w nastpujcy sposb: a) z warunku rwnowagi momentw obliczonych wzgldem rodka cikoci stali roz-

ciganej oblicza si A s i

MEd = fed-b- effjim d2( 1 - 0,5effjim) + AS2f,jd(d - a2),

b) z warunku rwnowagi si oblicza si As\

(3.13)

f y d ' A. s\ - fcd' b d ej? Jim + A s l f y d (3.14)

48

Moliwy jest oczywicie rwnie inny sposb postpowania - na przykad zamiast rwnania rwnowagi (3.14) mona napisa warunek rwnowagi momentw wzgldem rodka cikoci strefy ciskanej betonu lub zbrojenia AsWynik (warto As\) bdzie taki sam.

Wyznaczenie nonoci

Przy wyznaczaniu wartoci Minax = Mm naley zachowa pewn uwag. Wynika to z faktu, e nie do koca wiemy, na jakiej zasadzie znalazo si zbrojenie w przekroju w strefie ciskanej. Poniewa niewiadomymi s xejj i MRd, to przeksztacajc rwnanie rwnowagi si, otrzymuje si:

(Ati -As2)fyd = U - b ( 3 ' 1 5 )

Z postaci rwnania (3.15) wynika, e w zalenoci od proporcji pomidzy wartociami A vl i As2 otrzymuje si mocno rnice si jakociowo wyniki:

a) Jeeli xeg < 2ai , to oznacza, e ilo stali w strefie ciskanej jest zbyt dua. Ani beton, ani stal nie s tam w peni wykorzystane. Uproszczona metoda nie pozwala na precyzyjne okrelenie panujcych tam napre. Sposb postpowania w tej sytuacji wynika z przyjcia zaoenia, e co prawda nie wiemy, jakie s wartoci si w ciskanych stali i betonie, ale sensowne jest stwierdzenie, e wypadkowe tych si znajduj si bardzo blisko siebie. Zakada si wic xeg 2ai i oblicza warto MM Z warunku rwnowagi momentw wzgldem tego punktu (podejrzane" siy nie wchodz w skad rwnania):

MRd = Asi f y d i d - a2). (3.16)

Uwaga 1. Czasami moe by nawet xeg < 0; to te jest taka sama sytuacja. Uwaga 2. We wzorze (3.16) rami si wewntrznych wynosi z = d~a2 i jest to maksymalna warto, ktra moe wystpi w przekrojach podwjnie zbrojonych. Jeeli wic dla prze-kroju pojedynczo zbrojonego o powierzchni As\ otrzymuje si z = d-0,5xeff > z = d-ai, to tak obliczona warto Mm bdzie wiksza ni przy uwzgldnieniu zbrojenia podwj-nego. W ten sposb naley te postpi (pomin zbrojenie w strefie ciskanej). Dotyczy to na przykad pyt lub te duej czci przekrojw pozornie teowych.

b) Jeeli ilo zbrojenia w strefie ciskanej jest niewielka (na przykad tylko dwa prty potrzebne do mocowania strzemion), to moe si okaza (przy duych wartociach e xeff > xejfji,n = d eff,iim Oznacza to, e pomimo obecnoci zbrojenia w strefie ci-skanej, stal rozcigana nie jest wykorzystana. Naley wic postpi w sposb opisany ju w odniesieniu do przekroju pojedynczo zbrojonego, tzn. przyj xeg = xegiim i obliczy Mm np. ze wzoru (3.12).

c) Najbardziej typowa sytuacja ma miejsce, gdy xeff obliczone z rwnania (3.15) spenia warunek:

effjim d > xcff > 2 a2 . (3.17)

Wtedy obie stale s wykorzystane (w tej metodzie) i nono wylicza si ze wzoru:

Mm - fcd-b-d- xeff-(d- 0,5xef) + As2 fyd(d - a2) (3.18)

49

3.2.4. Przekrj prostoktny podwjnie zbrojony z zadanym zbrojeniem A , 2

Podczas projektowania belek cigych zwyczajowo wymiarowanie rozpoczyna si od wyliczenia iloci zbrojenia potrzebnego w przle. Jego cz (lub czasami cae) dochodzi do podpory. W zwizku z tym wymiarujc przekrj podporowy, mamy do czynienia z sy-tuacj, w ktrej obliczamy niezbdn ilo zbrojenia rozciganego, wiedzc, e w strefie ciskanej jest ju stal zbrojeniowa. Poniewa z reguy momenty podporowe s wiksze ni przsowe, to opaca si sprawdzi, czy jej uwzgldnienie bdzie korzystne. Sposb postpowania moe by nastpujcy:

1. Obliczamy zasig strefy ciskanej jak dla przekroju pojedynczo zbrojonego i spraw-dzamy, czy xeff > la2. Jeeli warunek ten nie jest speniony, to uwzgldnienie zbrojenia w strefie ciskanej nie ma sensu.

2. Jeeli xeff > 2a2, to warto wzi pod uwag istniejce zbrojenie As2. Wtedy zasig strefy ciskanej wyliczy si z rwnania (3.18), przyjmujc MRd = MEd.

3. Pole powierzchni zbrojenia wylicza si z rwnania rwnowagi si, ktre po przekszta-ceniu bdzie miao posta:

, _ fcd ' b Xeff + ftjd As2 11

3.2.5. Przekrj teowy

Teowy ksztat przekroju jest rwnie popularny jak prostoktny. Jak ju jednak wspo-mniano, decydujce znaczenie ma nie tyle geometria samego przekroju, ale ksztat strefy ciskanej. Na rysunku 3.11 pokazano dwie sytuacje odnoszce si do takich belek.

Rys. 3.11. Przekroje teowe belki o rnych ksztatach strefy ciskanej

Na rysunku 3.11a strefa ciskana ma ksztat prostokta o wymiarach beff x xcff i sia w betonie jest rwna Nc = fcd beff xeff. Zarwno wymiarowanie, jak i wyznaczanie no-noci mona wic przeprowadzi w sposb w peni analogiczny do opisanego w punkcie 3.2.2, zastpujc jedynie b poprzez bejf. Naley jedynie uwaa przy interpretowaniu zna-czenia stopnia zbrojenia p. Jest on zawsze odnoszony do szerokoci b (bw), a nie do beS.

Sytuacja pokazana na rysunku 3.1 lb ilustruje tzw. przekrj rzeczywicie teowy (taki jest ksztat strefy ciskanej).

14 50

J ^ t

Rys. 3.12. Przekrj teowy - przypadek graniczny

Analiz przekrojw teowych naley zawsze rozpocz od ustalenia z jakim typem przekroju mamy do czynienia. Najprociej mona to zrobi, okrelajc warunki, jakie spenia przekrj bdcy granic pomidzy pozornie i rzeczywicie teowym (rys. 3.12).

Dla przypadku granicznego warunki rwnowagi maj posta:

Ms = fclrbjrhf(d - 0 , 5 / z / ) (3-20)

oraz

fcd beff hf = fyclAsl . (3.21)

Korzystajc z zalenoci (3.20) i (3.21) mona sprawdzi, czy interesujcy nas prze-krj jest rzeczywici czy pozornie teowy. Gdy wymiarujemy przekrj (dane jest Mea\ to korzystamy z (3.20) i porwnujemy MEd i Ms. Przekrj jest pozornie teowy, gdy M E d < Afj, poniewa do przeniesienia momentu M E d wystarczy sia w betonie mniejsza ni f c d bdjf - hf (co oznacza, e xeff < h f ) .

Gdy wyznaczamy nono (znane jest A ^ ) , to korzystamy z rwnania (3.21), w ktrym moemy obliczy wartoci po lewej i prawej stronie. Gdyby byy one sobie rwne, to byby to przypadek graniczny, ktry jest pokazany na rysunku. Jeeli natomiast sia Ns = fydAsi jest wiksza, to przekrj jest rzeczywicie teowy. Aby siy Nc i Ns byy rwne (a musz by!), to konieczne jest zwikszenie wartoci siy Nc, co wymaga zwikszenia zasigu strefy ciskanej betonu (xcJf > h f ) . Jeeli natomiast Ns = fydAs\ jest mniejsza od siy w betonie Nc, to przekrj naley traktowa jako pozornie teowy.

Obliczanie przekroju rzeczywicie teowego (i innych te) prowadzi si na takich sa-mych zasadach jak prostoktnego. Jedynym problemem (czysto technicznym") moe by obliczenie siy Nc i rodka cikoci je j dziaania. Najprostszym sposobem jest po-dzielenie" strefy ciskanej na prostokty, ktrych pola i rodki cikoci z atwoci si wyznacza.

Na rysunku (3.13) pokazano taki przykadowy podzia strefy ciskanej i zwizany z nim podzia si Nc = Nci + Nc2. Pozwala on atwo okreli ich wartoci i miejsca przyoenia. Moliwe s oczywicie rwnie inne podziay strefy ciskanej, ktre rwnie dadz takie same rezultaty kocowe.

V

arsi l y j K l - f c d ^ e f f - b w ) h f

fcd 'bw 'xejf

Rys. 3.13. Ukad si w przekroju rzeczywicie teowym

Wymiarowanie

Postpujc analogicznie jak w przypadku przekrojw prostoktnych, pisze si rwna-nie rwnowagi momentw wzgldem miejsca dziaania siy Ns\

MEd = fcd [{btf - bm) hr(d - 0,5/i/) + ba xeff - (d - 0 ,5*^)1 . (3.22)

Rwnanie (3.22) jest rwnaniem kwadratowym ze wzgldu na xe$. Po jego rozwi-zaniu sprawdzamy oczywicie, czy x e g < e f f j i m d . Jeeli warunek ten jest speniony, to przekrj musi mie zbrojenie tylko w strefie rozciganej. Jego powierzchni - As\ oblicza si z warunku rwnowagi si:

fcd [(beff - bw) hf + bw X e f f ] A s i = 7 (3.23) Jyd

Koczy to wymiarowanie typowego przekroju teowego pojedynczo zbrojonego. Gdyby natomiast okazao si, e po obliczeniu x eg z (3.22) byoby xejf > xeffdim, to trzeba zastoso-wa zbrojenie rwnie w strefie ciskanej (przekrj teowy podwjnie zbrojony). Rwnie w tej sytuacji postpowanie jest analogiczne do opisanego w punkcie 3.2.3. W zwizku z dodatkow si rwn Ns2 = As2 fyd w rwnaniu (3.22) pojawia si po prawej stronie skadnik rwny A& f y d ( d - 0 2 ) , a za xeg podstawia si xeg - eff,Um * d . Teraz niewia-dom w rwnaniu rwnowagi momentw jest A& i mona j atwo wyliczy. Podobn modyfikacj stosuje si rwnie w warunku rwnowagi si, sucemu do obliczenia A ^ .

Sprawdzanie nonoci

Pierwszy krok, ktry ju zosta opisany, polega na sprawdzeniu, czy przekrj jest rzeczywicie teowy. Nastpnie przeksztacamy rwnanie rwnowagi do postaci umoli-wiajcej obliczenie zasigu strefy ciskanej:

_ Asi f ^ - fcd [(beff - b w ) h f ]

Jeeli przy okrelaniu, czy przekrj jest rzeczywicie teowy, nie popeniono bdu, to obliczone xeg > hf i mona je wstawi do (3.22). Pozwoli to obliczy max MEd = M%d. Gdy ma si do czynienia z przekrojem teowym podwjnie zbrojonym, to sytuacja staje

52

si nieco bardziej skomplikowana. Przekrj jest rzeczywicie teowy, gdy speniony jest warunek:

fyd Asi > fcd beff hf + f l j d As2 . (3.25)

W przeciwnym przypadku obowizuj reguy postpowania z punktu 3.2.3. Przeksztacone rwnanie rwnowagi si pozwala obliczy zasig strefy ciskanej:

. (AS] - As2) fyd - fcd [(beff - b w ) h f ] x*ff f 7 (3.26) fcd ow

Z omwionych ju wzgldw sprawdza si warunki:

effMm - d > x e J f > 2a2 (3.27)

i jeeli s one spenione, to MRd = max M^ oblicza si ze wzoru (3.22) uzupenionego o skadnik As2 fjd (d - a2).

3.2.6. Inne przekroje belek

Oglne zasady i procedury postpowania podane w punktach 3.2.2-3.2.5 maj swe zastosowanie rwnie w odniesieniu do innych dowolnych przekrojw posiadajcych pionow o symetrii.

Siedzc uwanie poprzednie rozdziay, atwo doj do wniosku, e podstaw jest za-wsze okrelenie ksztatu i pola powierzchni strefy ciskanej betonu Acc oraz znalezienie rodka jej cikoci. To w zupenoci wystarcza do zwymiarowania lub wyznaczenia no-noci zginanego przekroju. Dla dowolnego przekroju mona warunki rwnowagi zapisa w postaci:

fcd Acc + fyd = fyd (3.28)

oraz

MEd = fcd -Acc-z + As2 f ^ (d - a2), (3.29)

gdzie z jest odlegoci pomidzy rodkami cikoci strefy ciskanej i rozciganej. Praktycznie bardzo czsto stosuje si podzia strefy ciskanej na czci, ktrych po-

wierzchnie i rodki cikoci s znane (rys. 3.14), lub korzysta si z nieco bardziej zaawansowanych metod matematycznych.

3.2.7. Oglne uwagi dotyczce wymiarowania przekrojw z wykorzystaniem zalenoci

14 54

minimum. Rozsdne jest takie projektowanie belek, w ktrych ilo zbrojenia jest zde-cydowanie wiksza i zapewnia dobre wykorzystanie zarwno betonu, jak i stali. Mona to osign, ograniczajc maksymalne dopuszczalne odksztacenia w stali. W praktyce inynierskiej czsto spotyka si granice tych odksztace rzdu 10 - 20%o. Korzystajc z prawa paskich przekrojw (rys. 3.15), mona okreli wartoci xmax oraz x,mn w funkcji pi lub

Rys. 3.15. Wyznaczanie ekonomicznych zbrojenia belek

Tabela 3.2. Zakresy ekonomicznych stopni zbrojenia

Pmax &S - Spl)

C l 6/20 C20/25 C30/37 C35/45 C40/50

AIII 1,75 2,20 3,29 3,85 4,40

AIII-N 1,37 1,72 2,57 3,01 3,44

p (es = 10%o)

C l 6/20 C20/25 C30/37 C35/45 C40/50

A n i 0.60 0,86 1,20 1,50 1,72

Ani-N 0,50 0,72 1,00 1,25 1,43

Pmb, {Es = 20%o) .

C16/20 C20/25 C30/37 C35/45 C40/50

AIII 0,35 0,50 0,61 0,87 0,91

Ain-N 0,21 0,42 0,58 0,72 0,83

W tabeli 3.2 zestawiono warto stopni zbrojenia odpowiadajcego odpowiednio s s = spi i ss = 10% i ss = 20%o dla stali A-III i A-IIIN.

Korzystajc z niej, mona tak dobra wymiary przekroju belki, aby speniay one wymogi dobrego wykorzystania stali i betonu. Jest to zagwarantowane, gdy zaoony wstpnie stopie zbrojenia mieci si w przedziale pomidzy pmin i pmax.

belki z rozoonym zbrojeniem

Na rysunku 3.16 pokazany jest przekrj belki, w ktrym zbrojenie nie jest skoncentro-wane jedynie przy krawdziach, lecz dodatkowo rwnomiernie rozoone wzdu bokw.

1 -

3

100

W metodzie uproszczonej otrzymuje si

14 58

cinanie i zginanie cinanie

; W H I / / , v \ i i i M

y / s

W /

zginanie H

tu jest najgorzej"

Rys. 3.18. Ukad rys w belce cigej ilustrujcy dziaanie gwnych napre rozcigajcych

si prostopadle do kierunku dziaania napre rozcigajcych, to ich analiza uatwia zrozumienie pracy belki (taka analiza nazywa si morfologi rys).

Przy skrajnych podporach powstaj rysy ukone nachylone pod ktem okoo 30-50 . S one gwnie efektem dziaania siy tncej (moment zginajcy jest tu znikomo may). Nie tworz si bezporednio przy krawdzi belki, lecz bliej jej rodka wysokoci (tam s max r). Dopiero pniej propaguj si w kierunku dolnej czci strefy rozciganej. W typowych belkach tego typu rysy ukone nie sprawiaj szczeglnych problemw.

Zdecydowanie wicej uwagi wymagaj okolice podpory poredniej. Ekstremalnym wartociom siy tncej towarzyszy taki sam moment zginajcy. Std te w tych prze-krojach warto napre rozcigajcych jest znacznie wiksza (por. wzr 3.34). Rysy w tym miejscu maj przebieg zarwno ukony, jak i prostopady do osi podunej belki. Powstaj one przy krawdzi belki (i tam zwykle maj najwiksz szeroko) i propaguj si w kierunku strefy ciskanej.

Problemy zwizane ze cinaniem zachodz w obszarze, gdzie panuje zoony stan napre (ciskanie - rozciganie). Ma on powany wpyw na aktualn wytrzymao betonu.

Ilustruje to tysunek 3.19, na ktrym pokazany jest fragment obwiedni wytrzyma-oci betonu. Przy jednoosiowym rozciganiu wytrzymao betonu wynosi fct, a przy ciskaniu fc. Jeeli stan napre jest zoony, to zniszczenie nastpi np. w punkcie A o wsprzdnych odpowiednio mniejszych od fet i fc. Wystpowanie zoonego stanu

Rys. 3.19. Wytrzymao betonu w zoonym stanie napre ciskanie - rozciganie

napre skutkuje te tym, e nie ma zastosowania prawo paskich przekrojw. Opisane tu efekty maj znaczcy wpyw na sposoby wymiarowania belek na cinanie.

Przy okazji analizy problematyki cinania warto te zwrci uwag na charaktery-styczny aspekt projektowania konstrukcji elbetowych. Sprowadza si w skrcie do tego, e niektre formuy obliczeniowe maj swoje rdo nie tyle w wynikach analiz teore-tycznych, ale s efektem podsumowania wynikw bada empirycznych z zachowaniem odpowiedniego zapasu bezpieczestwa.

cinanie w belkach - odcinki I rodzaju

Przy niewielkich obcieniach belka elbetowa bez specjalnego zbrojenia na cinanie jest w stanie bezpiecznie przenosi omawiane ju naprenia rozcigajce. Rwnie przy duo wyszych poziomach obcienia w obrbie caej belki s cigle miejsca, gdzie ci-nanie nie stwarza adnych szczeglnych problemw. Miejsca takie nazywa si odcinkami pierwszego rodzaju.

dowel action klockowanie"

Rys. 3.20. Korzystny efekt dowel action - klockowania

Jest kilka czynnikw, ktre powoduj, e nawet po powstaniu minimalnych rys prze-krj nie ulegnie zniszczeniu. Podstawowym jest oczywicie wytrzymao betonu na roz-ciganie (ale zmniejszona za wzgldu na zoony stan napre). Dodatkowo uwzgldnia si korzystny wpyw zbrojenia podunego. Efekt ten pokazany jest na rysunku 3.20. Siy tnce powodujc przemieszczenia pionowe przekroju, odksztacaj (w miejscu rysy) prty, ktre zaprojektowane s ze wzgldu na zginanie. Wygicie" prta powoduje, e oprcz osiowego rozcigania pojawia si tam skadowa pionowa napre zmniejszajca efekt dziaania siy tncej. Taka korzystna sytuacja moe wystpi, jeeli zbrojenie to dobrze wsppracuje z betonem. Sia tnca, odksztacajc prt, powoduje jego lokalne odspojenie od betonu (nad prtem) i moe take miady beton (pod prtem). Z tych wzgldw mona mwi o efekcie klocowania tylko w odniesieniu do tych prtw, ktre s dobrze zakotwione. Zagadnienia przyczepnoci prtw i ich kotwienia s szczegowo omwione w rozdziale dotyczcym konstruowania belek.

Warto tu wspomnie o innym korzystnym efekcie, ktry jednak nie jest brany pod uwag w rozwaaniach inynierskich. Jest to tak zwane zazbienie (intedocking) kru-szywa - rys. 3.21 w rysie.

Rysa przebiegajca przez matryc ma bardzo nieregularny ksztat. Jej ewentualny roz-wj moe by istotnie ograniczony, gdy zwizane z tym przemieszczenie jest klinowane przez wzajemnie zazbiajce si wiksze skadniki kruszywa.

Dokadne uwzgldnienie w obliczeniach tych zjawisk, ktre opisano, z zachowaniem odpowiednich zapasw bezpieczestwa nie jest moliwe. W obliczeniach inynierskich

14 60

stosuje si zamiast bardzo zoonych formu - duo prostsze wzory, bazujce na wyni-kach bada i wieloletnich dowiadczeniach inynierskich. W miar rozwoju (lub uwidu) wiedzy mog ulega one mniej lub bardziej istotnym zmianom. Obecnie obowizujca norma wprowadza nastpujc zaleno:

VM.C = 0,13 -k-ipr fck)ip bm-d . (3.36)

We wzorze tym warto pi naley wstawia w procentach, a fck w MPa. Sia VRd>c jest maksymaln wartoci siy tncej, ktr moe przenie belka (lub

jej fragment), w ktrej nie ma dodatkowo zaprojektowanego zbrojenia na cinanie. Te fragmenty belki, gdzie Ve < V^>c , nazywamy odcinkami pierwszego rodzaju.

Struktura wzoru (3.36) wynika ze rda jego powstania - uoglnienie wynikw ba-da empirycznych. We wzorze tym p/ jes t stopniem zbrojenia (p/ = As\/bwd < 2%), ktre w analizowanym przekroju jest rozcigane (tam powstaj rysy) i jest dobrze zakotwione. Przez dobre zakotwienie naley rozumie, e zbrojenie biegnie dalej" w kierunku ma-lejcego momentu na odlego rwn co najmniej d + Drugi skadnik tej sumy - Im oznacza obliczeniow dugo zakotwienia.

Poprawne wyznaczenie p\ na etapie projektowania belki nie jest zagadnieniem ba-nalnym. Z istoty siy VRd,c wynika, e naley j obliczy na kocu odcinka pierwszego rdzaju. Aby znale ten przekrj (i sprawdzi, jakie jest tam zbrojenie!), trzeba zna warto VRd,c Oglnie jest to tak zwane sprzenie zwrotne i skazani jestemy na zga-dywanie. Na szczcie w praktyce sytuacja jest nieco lepsza. Przy skrajnych podporach (rys. 3.22) ustalenie Asi i pi jest atwe, gdy praktycznie wszystkie prty bdce w przle dochodz do podpory (nie ma tak zwanych prtw pywajcych). Czy wic przyjmiemy zbrojenie z przekroju A-A, B-B, czy prawidowo C-C, to i tak wynik oblicze bdzie taki sam i prawidowy.

Sytuacja komplikuje si, gdy trzeba okreli warto siy Vf>d_c w okolicach podpory poredniej. Jest to miejsce, gdzie moment jest ekstremalny, ale stosunkowo szybko maleje. Poniewa zbrojenie usytuowane jest w grnej czci belki, to dopuszczalne jest stopniowe koczenie prtw (rys. 3.23).

W zalenoci od miejsca, o ktrym zakadamy, e bdzie pocztkiem odcinka pierw-szego rodzaju (np. A - A lub B - B na rys. 3.23), dostajemy rne wartoci stopnia zbrojenia pi (tutaj albo 2, albo 3 prty mona wlicza do powierzchni Asi). Zgadywania (i pniej-szego sprawdzenia) raczej si nie uniknie, ale mona je nieco ograniczy, szacujc wstp-nie, e jeeli przy skrajnej podporze odcinek I rodzaju rozpoczyna si w odlegoci lsA,

C \B \A

,

14 62

c) obliczanie wartoci pi przy podporach porednich zawsze wie si z koniecznoci pewnego zgadywania i pniejszych weryfikacji: pomocna moe by wtedy formua (3.37). We wzorze (3.36) wystpuje jeszcze parametr k (czasami okrelany jako tak zwany

efekt skali) jego warto oblicza si ze wzoru:

* = 1 + / M ^ O , d w mm. (3-38) V d

Jeeli wzr (3.36) przeksztaci si do formy napre (dzielc przez d x bw, gdzie bw - najmniejsza szeroko belki), to mona okreli tak warto napre, ktra powoduje powstanie rys ukonych r > rVRdx - Gdy stopie zbrojenia jest may, to wpyw zbrojenia naley pomin, a warto siy VRd,c oblicza ze wzoru:

V M c = 0 , 0 3 5 k ^ f ] l 2 b - d . (3-39)

W tabeli 3.3 podano graniczne wartoci stopnia zbrojenia piiinin takie, e jeeli pt < Pi,mi">t0 obowizuje w obliczeniach wzr (3.39). Ogldziny tej tabeli wskazuj, e pro-blem ten raczej nie bdzie dotyczy typowych belek, lecz raczej sabiej zbrojonych pyt.

Na zakoczenie warto jeszcze zauway, e wartoci napre tm i C obliczone z wy-korzystaniem wzoru (3.39) s okoo dwukrotnie mniejsze od wytrzymaoci betonu na rozciganie - fa takie e jeeli p, to obowizuje wzr (3.39)

C l 6/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50

1,58 0,16 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25

1,60 0,16 0,18 0,20 0,22 0,23 0,25

1,63 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26

1,67 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 0,27

1,71 0,17 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28

1,82 0,19 0,21 0,24 0,26 0,28 0,30

2,00 0,22 0,25 0,28 0,30 0,33 0,35

3.3.3. Odcinki II rodzaju

Odcinkami drugiego rodzaju nazywa si te fragmenty belki, na ktrych sia tnca yEcl > Vm,c. Jeeli nie byoby tam dodatkowego specjalnie zaprojektowanego zbrojenia, to belka ulegaby zniszczeniu. Proces ten wizaby si z intensywnym rozwojem szero-koci rozwarcia i zasigu rys ukonych. W momencie, gdy jedna z rys (przewanie nieco oddalona od podpory) dotaraby do pocztkowo ciskanej powierzchni belki, nastpioby zniszczenie majce form ukonego przecicia belki na caej jej wysokoci.

Aby temu zjawisku zapobiec, na odcinku drugiego rodzaju projektuje si (oblicza) do-datkowe zbrojenie na cinanie. Jest ono tak rozmieszczane, aby potencjalne rysy musiay przechodzi przez ich przekrj.

Obrazowo mona powiedzie, e stal zszywa prujcy si beton". Naprenia rozci-gajce s absorbowane przez zbrojenie i odciajc beton powoduj, e rysa nie ulega destrukcyjnemu rozwojowi.

Klasyczne zbrojenie na cinanie tworz stalowe pionowo umieszczone ramki zwane strzemionami. W niektrych specyficznych sytuacjach mog to by rwnie prty od-gite pod ktem 45 do osi belki. Znaczenie prtw odginanych ze wzgldu na cinanie sukcesywnie maleje. Z drugiej strony odgicie powoduje korzystny wzrost sztywnoci ca-ego szkieletu zbrojeniowego. Ostatnio coraz czciej mona spotka si z rozwizaniami polegajcymi na stosowaniu ukonych strzemion. Ma to w zamierzeniu czy zalety strzemion i korzystny wpyw odgi.

Obliczanie przekrojw ukonych ze wzgldu na cinanie ma swoj specyfik. Wynika ona z omawianego ju, panujcego tam zoonego stanu napre. W takiej sytuacji nie mona korzysta z prawa paskich przekrojw i normy zalecaj korzystanie z metody S i T. Polega ona na wyodrbnieniu w konstrukcji takich jej fragmentw, ktre mona modelowa ukadem prtowym. Panuje pewna dowolno w ksztatowaniu takiego ukadu, ale musi on by zgodny z trajektoriami wystpujcych tam napre. W odniesieniu do cinania mwi si o tak zwanej metodzie kratownicowej.

S

mmmmmm,

7 ' / / / / / / z

Rys. 3.24. Idea metody kratownicowej

Na odcinkach drugiego rodzaju w pewnych odstpach od siebie powstaj rysy ukone. W tych przekrojach beton jest uszkodzony, ale cigle moe pracowa w obszarach pomi-dzy nimi. Beton ten mona modelowa ciskanym krzyulcem betonowym pochylonym pod ktem do osi belki. Na rysunku 3.24 zaznaczono je lini falist. Pasy kratownicy s rwnolege. Pas ciskany odpowiada betonowi w strefie ciskanej, a jego rodek pokrywa si ze rodkiem cikoci strefy ciskanej. Pasem rozciganym jest natomiast to zbroje-nie, ktre zaprojektowano ju wczeniej ze wzgldu na zginanie. Pionowymi elementami czcymi oba pasy s rozcigane supki. Reprezentuj one w pewnym przyblieniu te wszystkie strzemiona, ktre s przecite przez rys.

64

Dziki moliwoci utworzenia si w belce takiego ukadu si, wzrost obcienia (siy tncej) przekraczajcy VRdiC nie skutkuje zniszczeniem elementu, lecz powoduje stop-niowy przyrost si we wszystkich skadowych czciach tej kratownicy. Trwa to tak dugo, a osignie si stan graniczny zwizany ze zniszczeniem chocia jednego z jej elementw.

Teoretycznie mona wyobrazi sobie nastpujce mechanizmy zniszczenia (por. rys. 3.25): a) zerwanie rozciganych supkw, co fizycznie oznacza zerwanie (uplastycznienie strze-

mion), b) zmiadenie (w wyniku ciskania) betonowego krzyulca (sia w ciskanym pasie jest

mniejsza!), c) zerwanie rozciganego pasa kratownicy, co moe mie miejsce, gdy sia w zbroje-

niu wynikajca za zginania belki w poczeniu z dodatkow wynikajc ze cinania przekroczy nono tego zbrojenia (lub zerwana zostanie przyczepno).

Ukad tych ekstremalnych si w pojedynczym fragmencie takiej kratownicy jest przed-stawiony na rysunku 3.25.

[Vsd

Praktycznie w typowych belkach decydujce znaczenie ma tylko pierwszy z tych elementw. Warto maksymalnej siy w supku - VRdiS oblicza si ze wzoru:

.. ASUJ fywd z ctg 9 VRd,s . (3.40)

Wzr ten ma przejrzyst interpretacj fizyczn (rys. 3.26). Iloczyn Asw fywd jest si w pojedynczym zbrojeniu. W zalenoci od tego jakie s strzemiona (dwu- lub czte-rocite), pole powierzchni Asw = asw n. Z kolei iloczyn z ctg0 jest rwny dugoci rozpatrywanego odcinka. Jeeli podzieli si go przez rozstaw rys s, to otrzyma si roz-myt" liczb strzemion przecitych przez rys (nie jest to liczba cakowita!).

Reasumujc, VRdiS - nono supka - to maksymalna warto siy, ktra moe powsta w przecitych przez rys strzemionach na odcinku s.

Dugo takiego odcinka jest ustalana przez osob projektujc okrelon belk. Zgod-nie z polsk norm musi si ona mieci w przedziale od l s j n i n = 0,9d do ls,max = l,8tf. Ograniczenie to wynika z limitw narzuconych na ctg 9. Musi on by w przedziale (1,2) (Uwaga: w wikszoci krajw UE max ctg 9 = 2,5).

65

/, = z-ctg0

Rys. 3.26. Inteipretacja fizyczna wzoru (3.40)

Zmiadenie betonowego krzyulca jest moliwe, gdy sia tnca VEd jest wiksza od ich nonoci:

1/ L ctg 9 vRd,max ~ v ' Jcd ' ' Z ' t ~ . (3 41) 1 + c t g 2 9

Naley zaznaczy, e w typowych belkach sia ta jest znacznie wiksza ni VRd,s i poza formalnym sprawdzeniem nie ma wpywu na przebieg wymiarowania. Warto zwrci uwag na wspczynnik v. Jest on podany zalenoci:

V = ' 6 ' ( 1 - I l ) ' ^ w M P a - (3.42)

Uwzgldnia on, omawiany ju wczeniej, efekt spadku wytrzymaoci betonu (tu na ciskanie) w zoonym stanie napre panujcym w okolicach podpory.

Trzeci z omawianych potencjalnych mechanizmw zniszczenia moe mie miejsce gdy:

MEd . _ MEd,max

+ A-ld > , (3.43)

gdzie

AF td = 0,5 . (3.44) Przyrost siy w zbrojeniu podunym AF,d moe teoretycznie doprowadzi do znisz-

czenia jedynie w okolicach podpr porednich, gdzie ekstremalnym siom tncym to-warzysz takie same momenty. Alternatywnym rozwizaniem do sprawdzania warunku (3.43) jest przeduenie prtw poza miejsce, gdzie s niezbdne obliczeniowo o co naj-mniej at = d. Poniewa zawsze mona to zrobi, to praktycznie warunek-ten te nie odgrywa znaczenia przy projektowaniu.

Oprcz klasycznych pionowych strzemion stosuje si czasami strzemiona ukone lub (sporadycznie) prty odgite. Mechanizmy opisujce zniszczenie belki w wyniku cina-nia s takie same. Modyfikacji ulegaj jedynie opisujce je wzory (trzeba wyznaczy skadowe pionowe tych si).

14 66

W odniesieniu do prtw ukonych nachylonych do osi belki pod ktem a obowizuj nastpujce zalenoci:

V M , = . ( c t g 0 + c t g a ) - sin a , (3.45) s

ctg 9 + ctg a . VR

68

e) kocowe ustalenia i sprawdzenia Obliczone ze wzoru (3.49) rozstawy strzemion na rnych odcinkach przy okrelo-

nej podporze bd si rni. Jeeli dokonano dobrego podziau odcinka ls, to moliwe jest dokonanie ujednolicenia tych rozstaww (na caym odcinku lub jego fragmentach). Polega ono na przyjciu takiego rozstawu s, ktry jest wyraony cakowit liczb centymetrw i jest mniejszy ni obliczony z (3.49). Przykadowo, jeeli na trzech pododcinkach" otrzymano rozstawy Si = 13,5 cm, s2 = 15,0 cm i s3 = 16,8 cm, to sensownym rozwizaniem jest przyjcie na caym tym odcinku jednolitego rozstawu s = 130 mm. Zwikszy to nieco ilo potrzebnych strzemion, ale przyspieszy i uatwi wykonanie (co te ma swoj cen). Jeeli procedury te przeprowadza si na wszystkich odcinkach II rodzaju, to bdzie mona okreli zarwno liczb strzemion, ktre si tam znajduj, jak i rzeczywiste dugoci tych odcinkw (bd wiksze ni wyjciowe l s o nie wicej ni .y!). Pozostae fragmenty belki s odcinkami pierwszego rodzaju, na ktrych nie trzeba

dokadnie oblicza rozstawu strzemion. Musz one jednak spenia dwa warunki kon-strukcyjne. Stopie zbrojenia strzemionami p^ powinien by zgodny z (3.50):

Pm = >Pw,min = 0 , 0 8 ^ ^ . (3.50) s ' Jyd

W tabeli 3.4 podane s wartoci pw,min (w %).

Tabela 3.4. Wartoci pm,, (w %) dla wybranych klas betonu i stali

' Klasa betonu Klasa stali

C l 6/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50

AIII 0 ,080 0,089 0,100 0,110 0,118 0,126 AIIIN 0 ,064 0,072 0,080 0,088 0,095 0,101

Obliczony z (3.50) rozstaw strzemion powinien spenia rwnie warunek (3.51):

(0 ,754 J < W = n u n ' . (3.51)

1400 mm ^ '

Praktycznie na odcinkach drugiego rodzaju precyzyjnie okrela si zarwno liczb strzemion, jak i ich rozstaw, a na odcinkach pierwszego rodzaju mona jedynie poda liczb strzemion i przybliony ich rozstaw (np. 608 co okoo 352 mm). W rzeczywistoci te 6 strzemion bdzie w miar rwnomiernie rozoone na wskazanym na rysunku odcinku belki.

Po przyjciu zbrojenia strzemionami trzeba jeszcze sprawdzi formalnie warunek vEd < vRd,max- W typowych belkach jest on speniony w sposb oczywisty. Mona wic zamiast prowadzenia oblicze dla wszystkich odcinkw drugiego rodzaju, obliczy naj-mniejsz warto Vnd,mox dla caej belki. Zgodnie z (3.41) bdzie ona wystpowa tam, gdzie ctg0 jest najwiksze (praktycznie ctg0 = 2). Sprawdzenie mona ograniczy do wykazania, e

max VEd < min VRdj (3.52)

69

Przyrostu siy podunej AF,d mona nie Uczy, lecz (ju to opisano) sprawdzi, czy prty zbrojeniowe sigaj