Krzywe na płaszczyźnie.

Współrzędne parametryczne i biegunowe.

Współrzędne biegunowe.

Dany jest punkt O, zwany biegunem, który stanowi początek

półprostej, zwanej półosią.

Dowolny punkt P na płaszczyźnie można opisać parą współrzędnych

(r,), gdzie r jest równe odległości punktu od bieguna O, a jest

równe mierze kąta skierowanego między półosią, a półprostą

poprowadzoną z bieguna przez dany punkt.

Układ współrzędnych biegunowych można przedstawić jako

zbiór nieskończenie wielu okręgów o wspólnym środku (biegunie),

przeciętych półprostymi o początku w biegunie i wyróżnioną półosią:

Niektóre krzywe w postaci biegunowej:

Okrąg (promieniu a,a>0, środek w biegunie):

r=a

Spirala Archimedesa:

r=

O

P=(r,) r

Ślimak Pascala:

Kardioida ( krzywa sercowa)- krzywa opisana przez ustalony punkt

okręgu toczącego się bez poślizgu po zewnętrzu innego nieruchomego

okręgu o tej samej średnicy (patrz środkowy rysunek powyżej)

r=1+cos

tabela:

0

r 2 1+

1+

1 1-

0 1-

1

lub wykres (na osi rzędnych mamy r a na osi odciętych kąt)

Róża:

r=2sin(4)

Zależność między współrzędnymi biegunowymi a współrzędnymi

kartezjańskimi:

(za półoś przyjmujemy dodatnią półoś Ox)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7

sin

cos

ry

rx

Współrzędne parametryczne.

Współrzędne te są pewną modyfikacją współrzędnych kartezjańskich.

Współrzędne (x,y) są różnymi funkcjami tego samego argumentu t:

21,,)(

)(ttt

tyy

txx

Krzywa o równaniu:

Rtty

tx

,

32

21

to prosta:

t -2 -1 0 1 2 3 4

x 5 3 1 -1 -3 -5 -7

y -4 -1 2 5 8 11 14

W ten sposób każda prosta można opisać parametrycznie:

Rt

dtcy

btax

,

Krzywa o równaniu:

2,0,sin

cos

t

trby

trax

to okrąg o promieniu r i środku w punkcie (a,b).

Cykloida-

krzywa jaką zakreśla ustalony punkt okręgu, który toczy się bez

poślizgu po prostej

Asteroida:

krzywa płaska, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez

poślizgu wewnątrz okręgu o większym promieniu

2,0,sin

cos3

3

t

tay

tax

Zastosowania całki oznaczonej dla współrzędnych biegunowych i

parametrycznych:

1. Pole figury płaskiej:

drS )(2

1 2

dttxtyS

t

t

2

1

)(')(

2. Objętość bryły obrotowej

r()

S

x(t1) x(t2)

y(t1)

y(t2)

S

2

1

)(')(2

t

t

dttxtyV

3. Długość krzywej.

Zakładamy, że r’() jest ciągła

drrL 22 )(')(

Zakładamy, że x’(t) i y’(t) są ciągłe

dttytxL

t

t

2

1

22)(')('

x(t1) x(t2)

y(t2)

y(t1)

4.Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót…

2

1

22)(')(')(2

t

t

dttytxtyP

Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu.

Def.1

Równaniem różniczkowym zwyczajnym I rzędu nazywamy równanie

postaci:

,

w którym występuje istotnie, pozostałe zaś argumenty mogą, lecz nie

muszą występować.

Uwaga:

r.r.- skrót od „równanie różniczkowe”

Def.2.

Rozwiązaniem (całką) r.r. nazywamy każdą funkcję

spełniającą dane równanie, dla każdego x z pewnego

przedziału.

Def.3.

Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) r.r. nazywamy każdą funkcję

postaci , która dla każdej wartości C jest rozwiązaniem tego

r.r.

Def.4.

Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) r.r. nazywamy każdą

funkcję postaci , którą otrzymujemy z całki ogólnej poprzez

przyjęcie C=C0.

Def.5.

Zagadnieniem Cauchy’ego I rzędu nazywamy poszukiwanie takiego

rozwiązania szczególnego, które spełnia tzw. warunki początkowe

postaci: .

Oznacza to poszukiwanie takiej funkcji, której wykres przechodzi przez z

góry zadany punkt

Def.6.

Rozwiązaniem osobliwym (całką osobliwą) r.r. nazywamy takie

rozwiązanie, którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przy

żadnej wartości stałej C.

Sposób rozwiązania równania różniczkowego zależy od jego postaci.

Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

)()( ygxfdx

dy

gdzie f(x), g(y) są określone i ciągłe odpowiednio w przedziałach

.

Rozwiązanie tego równania polega na sprowadzeniu go do postaci:

dxxfyg

dy)(

)(

zakładając, że

Całkujemy każdą ze stron równania względem zmiennej

y (po lewej stronie) i względem x ( po prawej stronie).

Otrzymujemy wówczas równanie:

Cdxxfyg

dy)(

)(

gdzie C jest dowolną stałą.

Przykład (1)

2

2

2

0:

0

x

dx

y

dy

yydx

dyx

ydx

dyx

0lub

0ln1

lnlub1

ln

11

2

Cyy

CCx

yCx

y

Cx

dx

y

dy

Cee xC

x

Jeśli rozwiązanie ogólne przedstawimy w postaci:

, to ewentualne równanie osobliwe y=0

(można sprawdzić podstawiając y=0 do wyjściowego równania) zostanie

ujęte w tym rozwiązaniu.

Przykład (2)

Zagadnienie Cauchy’ego.

5,1

5,1

ln25,1ln

25,1

32

1)0(,032

2

2

x

x

Cey

Cey

Cxy

dxy

dy

ydx

dy

yydx

dy

Uwzględniając warunek początkowy obliczamy

„szczególną wartość” C i całkę szczególną:

xey

C

Ce

2

05

1

5,05,1

5,05,11

5,11

Równanie różniczkowe jednorodne ze względu na

.

0,

x

x

yf

dx

dy

gdzie f jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale i zależy tylko (!) od ilorazu

Sprowadza się to równanie do równania o zmiennych rozdzielonych

poprzez podstawienie:

Stąd

oraz

Po otrzymaniu rozwiązania r.r. względem u powracamy do ilorazu

i

wyznaczamy funkcję y.

Przykład (3)

x

y

x

y

dx

dy

yxxy

yx

dx

dy

2

22

1

0,0,

Po podstawieniu j.w.

)(ln2

ln2

1

1

1

22

2

22

2

2

Cxxy

Cxu

x

dxudu

x

dxudu

u

uu

dx

dux

uu

u

dx

dux

u

u

dx

duxu