własności linii stopnia drugiego

Uniwersytet Śląski

Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii

Piotr SzlagorNr albumu: 275719

Praca magisterska

Własności linii stopnia drugiego

Promotor:

dr Damian Bruckner

Katowice, 2013

Wyrażam zgodę na udostępnienie mojej pracy dyplomowej dla celów naukowo-bada-

wczych.

data Piotr Szlagor

Słowa kluczowe: linie stopnia drugiego, stożkowe, parabola, hiperbola, elipsa.

Oświadczenie

Świadomy odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa zo-

stała napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób nie-

zgodny z obowiązującymi przepisami.

Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur

związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni.

Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją

elektroniczną.

data Piotr Szlagor

Spis treści

1. Wprowadzenie 2

2. Linie stopnia drugiego 4

2.1. Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1. Styczna do elipsy, własność odbiciowa elipsy . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2. Biegunowa, kierownica, mimośród . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Styczna do hiperboli i asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


2.3. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1. Styczna do paraboli, własność odbiciowa paraboli . . . . . . . . . . 27


2.4. Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Zmiana układu współrzędnych 34

3.1. Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Przekształcanie układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Przykłady przekształceń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Spis rysunków 42

Spis tabel 44

Zawartość płyty CD-ROM 45

1

1. Wprowadzenie

Liniami stopnia drugiego1 nazywamy obiekty matematyczne powstałe poprzez przecięcie

powierzchni stożkowej płaszczyzną. Za ich twórcę uważa się greckiego matematyka Mena-

ichimosa2. Posłużyły mu one do rozwiązania problemu podwojenia sześcianu - jednego z

problemów delijskich. Z kolei Apoloniusz z Pergi3 w swoim dziele Konika4 jako pierwszy

użył pojęć takich jak elipsa, hiperbola i parabola. Obecnie do tego podziału często dodaje

się jeszcze okrąg, który można też uznać jako specjalny przypadek elipsy.

Rys. 1.1. Grafika przedstawiająca różne przekroje stożka; autor: Szwejk; źródło: wikipedia.org

Zastosowania własności linii stopnia drugiego można doszukiwać się w różnych dzie-

dzinach życia. Elipsy opisują orbity ciał niebieskich, a także drogę jaką pokonuje elektron

w ruchu dookoła atomu. Jej własność odbiciową wykorzystuje się w medycynie - np. w

leczeniu kamieni nerkowych, a także w architekturze. Przykładem może być katedra św.

1Zwane również krzywymi stopnia drugiego, albo krzywymi stożkowymi2ok. 380 p.n.e. - ok. 320 p.n.e.3ok. 260 p.n.e. - ok. 190 p.n.e.4tł. Stożkowe

2

Pawła w Londynie, w której osoba szepcząca w jednym z ognisk jest dobrze odbierana w

drugim, chociaż nie słychać jej w żadnym innym miejscu po drodze.

Jednym z najbardziej znanych zastosowań paraboli w naturze jest przybliżenie przez

nią trajektorii ciała wystrzelonego w górę i ściąganego przez siłę grawitacji. Najprost-

szym sposobem na zaobserwowanie tego zjawiska to obserwacja wody wysyłanej przez

fontannę ku górze. Własność odbiciową paraboli wykorzystuje się w budowie reflektorów

samochodowych, anten satelitarnych czy piekarników słonecznych.

Kształt hiperboli można dojrzeć we wzorze tworzonym przez światło lampy zawieszonej

na ścianie. Ten sam kształt przyjmuje fala uderzeniowa gromu dźwiękowego wytworzonego

przez samolot lecący nad ziemią, która tworzy się na ziemi.

Powyższe przykłady pokazują jak istotne są linie stopnia drugiego w codziennym życiu.

Badanie i korzystanie z ich własności ma realny wpływ na codzienne życie.

Tematem niniejszej pracy magisterskiej jest badanie wybranych własności linii stopnia

drugiego. W pierwszym rozdziale opisywane są elipsy, hiperbole i parabole w postaci

kanonicznej oraz ich najważniejsze elementy i własności. Następnie wystosowywane są

wnioski dotyczące wspólnych cech tych linii stopnia drugiego. W kolejnym - ostatnim

rozdziale - zostaje pokazane, że każde równanie ogólne linii stopnia drugiego jesteśmy

w stanie, poprzez odpowiedni obrót i translację układu współrzędnych, przekształcić do

postaci równania elipsy, paraboli, czy hiperboli5 w kanonicznej postaci.

5lub też punktu, czy dwóch prostych przecinających się

3

2. Linie stopnia drugiego

2.1. Elipsa

Definicja 2.1.1. Elipsą nazywamy miejsce geometryczne wszystkich punktów płaszczy-

zny P , dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów F1 i F2 (ognisk) jest

stałą. Odległość |F1F2| nazywamy ogniskową elipsy, a odcinki F1P i F2P promieniami

wodzącymi punktu P (rys. (2.1)).

Rys. 2.1. Elipsa z zaznaczonymi ogniskami F1 i F2 i promieniami wodzącymi F1P i F2P

Uwaga 2.1.1. Warunek powyższej definicji możemy zapisać następująco:

|F1P |+ |F2P | = 2a, gdzie |F1F2| < 2a

Twierdzenie 2.1.1 (Równanie osiowe elipsy). Jeśli F1 = (c, 0) i F2 = (−c, 0), to równanie

elipsy przyjmuje postać:x2

a2+y2

b2= 1 (2.1)

Dowód. Niech F1 = (c, 0) oraz F2 = (−c, 0) będą ogniskami elipsy i punkt P = (x, y)

należący do elipsy oraz niech te punkty spełniają warunek:

|F1P |+ |F2P | = 2a

4

Mamy wówczas, że:

|F1P |+ |F2P | =√

(x− c)2 + y2 +√

(x+ c)2 + y2 = 2a

I dalej: √(x− c)2 + y2 = 2a−

√(x+ c)2 + y2

(x− c)2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x+ c)2 + y2 + (x+ c)2 + y2

4a√

(x+ c)2 + y2 = 4a2 + 4cx

a2(x2 + 2cx+ c2 + y2) = a4 + 2a2cx+ c2x2

a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a4 − a2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Różnica a2 − c2 jest dodatnia, bo a > c > 0. Niech b2 = a2 − c2. Otrzymujemy wtedy:

b2x2 + a2y2 = a2b2

I w konsekwencji:x2

a2+y2

b2= 1

Rys. 2.2. Elipsa dana równaniem x2

16 + y2

9 = 1

Uwaga 2.1.2. Z powyższego rozumowania wynika, że

a2 = b2 + c2 (2.2)

5

Uwaga 2.1.3. Mając równanie elipsy dane wzorem (2.1) mamy, że odległość środka ukła-

du współrzędnych od punktów przecięcia się elipsy z osią OX i OY wynosi odpowiednio

a i b.

Uwaga 2.1.4. Jeżeli w równaniu elipsy (2.1) zachodzi, że a = b, to elipsa jest okręgiem.

Twierdzenie 2.1.2 (Własności elipsy). Jeżeli elipsa dana jest równaniem (2.1), to:

1. Każda elipsa posiada dwie osie symetrii dane równaniami x = 0 i y = 0.

2. Posiada środek symetrii w punkcie (0, 0).

Dowód. Wystarczy zauważyć, że jeżeli punkt P = (x, y) należy do elipsy, to należą do

niej również punkty P1 = (−x, y), P2 = (x,−y) oraz P3 = (−x,−y).

Definicja 2.1.2. Punkt S, w którym przecinają się osie symetrii elipsy nazywamy środ-

kiem elipsy. Odcinek łączący dwa dowolne punkty elipsy nazywamy cięciwą elipsy, a każdą

cięciwę przechodzącą przez środek elipsy nazywamy średnicą elipsy.

Definicja 2.1.3. Najdłuższą średnicę elipsy nazywamy osią wielką, a najkrótszą - osią

małą1.

Uwaga 2.1.5. W elipsie o równaniu (2.1) oś wielka przechodzi przez ogniska elipsy, a oś

mała przechodzi przez środek elipsy i jest prostopadła do osi wielkiej.

Definicja 2.1.4. Okrąg, którego średnicą jest oś wielka nazywamy okręgiem opisanym

na elipsie. Okrąg, którego średnicą jest oś mała nazywamy okręgiem wpisanym w elipsę.

2.1.1. Styczna do elipsy, własność odbiciowa elipsy

Twierdzenie 2.1.3 (Równanie stycznej do elipsy). Ustalmy punkt P0(x0, y0) należący

do elipsy o równaniu (2.1). Wówczas równanie

x0x

a2+y0y

b2= 1 (2.3)

opisuje styczną do elipsy w punkcie P0.

Dowód. Niech (2.1) będzie równaniem elipsy. Pokażemy, że prosta dana równaniem (2.3)

jest styczną do elipsy, przechodzącą przez punkt P = (x0, y0).

Zauważmy, że elipsa i prosta będą się przecinały w tylu punktach, ile rozwiązań będzie

miał układ równań x2

a2+ y2

b2− 1 = 0

x0a2x+ y0

b2y − 1 = 0

1Jeżeli elipsa jest okręgiem, to nie ma sensu rozróżniać osi wielkiej i osi małej

6

Rys. 2.3. Elipsa z zaznaczoną styczną przechodzącą przez punkt P0

Wektor kierunkowy prostej danej w drugim równaniu ma postać ~u = [−y0b2, x0a2

]. Możemy

w takim razie zapisać powyższy układ równań w następującej postaci:x2

a2+ y2

b2− 1 = 0

x = x0 − y0b2 ty = y0 + x0

a2t

Będzie on równoważny równaniu:

(x0 − y0b2 t)2

a2+

(y0 + x0a2t)2

b2− 1 = 0

Po przekształceniach dostaniemy równanie:

(y20b2

+x20a2

)t2 = −(b2x20 + a2y20 − a2b2)

Dzieląc je obustronnie przez a2b2 otrzymamy

(y20b2

+ x20a2

)t2

a2b2= −(

x20a2

+y20b2− 1)

Z założenia mówiącego, że punkt P = (x0, y0) należy do elipsy mamy

t2 = 0

Powyższe równanie jest prawdziwe tylko dla t = 0. Pokazaliśmy zatem, że prosta dana

równaniem (2.3) ma z elipsą (2.1) tylko jeden punkt wspólny, a więc jest jej styczną.

Uwaga 2.1.6 (Równanie prostej prostopadłej do stycznej). Prosta prostopadła do stycz-

nej przechodzącej przez punkt P0 = (x0, y0) ma równanie

−y0xb2

+x0y

a2=x0y0a2− x0y0

b2(2.4)

7

Rys. 2.4. Ilustracja do Twierdzenia 2.1.4

Twierdzenie 2.1.4. Styczna w punkcie P0 do elipsy o ogniskach F1 i F2 jest dwusieczną

kąta zewnętrznego F1P0F2 trójkąta F1P0F2.

Dowód. (Hp.) Załóżmy, że dwusieczna kąta zewnętrznego F1P0F2 trójkąta F1P0F2 nie jest

styczną do elipsy przechodzącą przez punkt P0. Wówczas dwusieczna przecina elipsę w

pewnym punkcie Q0 różnym od P0.

Niech F będzie odbiciem punktu F1 w dwusiecznej. Z własności symetrii wynika, że

|F1P0| = |FP0|

i dalej, że:

|F2P0|+ |FP0| = 2a

gdzie 2a oznacza długość osi wielkiej.

Podobnie możemy pokazać, że

|F2Q0|+ |FQ0| = 2a

Zauważmy, że punkty F , P0 i F2 są współliniowe. Wynika to z własności dwusiecznej kąta,

mówiącej iż jest to miejsce geometryczne punktów równo oddalonych od ramion kąta oraz

z faktu, iż punkt F jest odbiciem symetrycznym punktu F1 w dwusiecznej.

Mamy więc, że:

|F2P0|+ |FP0| < |F2Q0|+ |FQ0|

Otrzymujemy sprzeczność, gdyż

|F2P0|+ |FP0| = 2a = |F2Q0|+ |F ′1Q0|

8

Rys. 2.5. Ilustracja do dowodu twierdzenia 2.1.4

Uwaga 2.1.7 (Własność odbiciowa elipsy). Z powyższego twierdzenia wynika, że pro-

sta prostopadła do stycznej elipsy przechodzącej przez punkt P0 jest dwusieczną kąta

zawartego między promieniami wodzącymi elipsy poprowadzonymi do tego punktu.

Własność odbiciowa elipsy mówi o tym, że każdy promień wystrzelony z jednego ogni-

ska elipsy, po odbiciu od krawędzi elipsy trafi do drugiego ogniska (rys. (2.6)). Fakt ten

jest wykorzystywany np. przy projektowaniu budynków, by akustyka w nich była odpo-

wiednia. Wówczas orkiestra grająca w jednym z ognisk elipsoidalnej sali będzie dobrze

słyszalna dla odbiorcy będącego w owym czasie w drugim ognisku tego pomieszczenia.

Jedną z najbardziej znanych sal o tej własności jest Statuary Hall znajdująca się w bu-

dynku Kapitolu Stanów Zjednoczonych2.

Rys. 2.6. Promień wysłany z jednego ogniska elipsy, po odbiciu od krawędzi trafia do drugiego.

2Zob. plik: wlasnosc-odbiciowa-elipsy.ggb

9

2.1.2. Biegunowa, kierownica, mimośród

Definicja 2.1.5. Niech Q0(x0, y0) będzie dowolnym punktem płaszczyzny. Biegunową

punktu Q0, nazywamy prostą o równaniu

x0x

a2+y0y

b2= 1 (2.5)

Twierdzenie 2.1.5. Jeżeli punkt Q0 należy do elipsy, to biegunowa jest jej styczną

przechodzącą przez punkt Q0

Dowód. Własność ta wynika wprost z poprzednich rozważań.

Definicja 2.1.6. Biegunową ogniska elipsy nazywamy kierownicą elipsy.

Rys. 2.7. Elipsa z ogniskami F1 i F2 z zaznaczonymi kierownicami

Twierdzenie 2.1.6. Kierownica elipsy (2.1) w ognisku F1 = (−c, 0) (F2 = (c, 0)) przyj-

muje równanie

x = −a2

c(2.6)

Kierownica elipsy w ognisku F2 = (c, 0) przyjmuje równanie

x =a2

c(2.7)

Dowód. Niech dana będzie elipsa o równaniu (2.1) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz F2 =

(c, 0).

Wstawiając do równania biegunowej elipsy (2.5) współrzędne ogniska F1 otrzymamy rów-

nanie−cxa2

= 1

które jest równoważne równaniu

x = −a2

c

10

W analogiczny sposób, wstawiając do równania biegunowej współrzędne ogniska F2 otrzy-

mamy równanie prostej

x =a2

c

Definicja 2.1.7. Mimośrodem elipsy nazywamy parametr ε będący wartością opisującą

stosunek długości ogniskowej do długości osi wielkiej.

Twierdzenie 2.1.7. Niech dana będzie elipsa o równaniu (2.1) i ogniskach F1 = (−c, 0)

oraz F2 = (c, 0). Wówczas

ε =c

a(2.8)

Dowód. Ustalmy elipsę o równaniu (2.1) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz F2 = (c, 0).

Długości ogniskowej i osi wielkiej są odpowiednio równe 2c oraz 2a.

Wówczas stosunek długości ogniskowej do długości osi wielkiej jest równy ca.

Twierdzenie 2.1.8. Dla każdej elipsy zachodzą nierówności:

0 ¬ ε < 1

Dowód. Ustalmy elipsę o równaniu (2.1) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz F2 = (c, 0). Wów-

czas mimośród elipsy jest opisany równaniem ε = ca

Korzystając z (2.2) mamy, że ε =√a2−b2a

. Oczywiście a b.

Z faktu, iż√a2 − b2 0 i a > 0 wynika, że ε 0.

Mamy również, że ε =√a2−b2a

<√a2

a= 1.

Pokazaliśmy zatem, że

0 ¬ ε < 1

Mimośród jest parametrem opisującym stopień spłaszczenia elipsy. Będzie on równy

0 wówczas, gdy a = b, a więc gdy sama elipsa jest okręgiem. Gdy mimośród dąży do 1,

elipsa ulega spłaszczeniu (ab

dąży do nieskończoności).

Uwaga 2.1.8. Dwie elipsy są do siebie podobne, jeśli mają taki sam mimośród.

Twierdzenie 2.1.9. Stosunek odległości dowolnego punktu elipsy od ogniska do odle-

głości od odpowiedniej kierownicy jest stały i równy mimośrodowi (rys. 2.8).

Dowód. Ustalmy elipsę daną równaniem (2.1) z ogniska F1 = (−c, 0) oraz F2 = (c, 0). Jej

mimośród ε jest oczywiście równy ca. Dodatkowo ustalmy punkt P = (x0, y0) należący do

elipsy oraz punkty P1 i P2, będące rzutami punktu P na kierownice ognisk odpowiednio

11

Rys. 2.8

F1 i F2.

Korzystając z równości b2 = a2 − c2 dostajemy równanie elipsy w następującej postaci

x20a2

+y20

a2 − c2= 1

i dalej

x20a2 − c2

a2+ y20 = a2 − c2

x20(1−c2

a2) + y20 = a2 − c2

c2 ± 2cx0 + x20 + y20 =c2

a2x20 ± 2cx0 + a2

c2 ± 2cx0 + x20 + y20 =c2

a2

(x20 ± 2x0

a2

c+a4

c2

)

c2 ± 2cx0 + x20 + y20 = ε2(x20 ± 2x0

a2

c+a4

c2

)

(c± x0)2 + y20 = ε2(x0 ±

a2

c

)2Otrzymaliśmy zatem prawdziwość dla dwóch równości:

|PF1| = ε|PP1| i |PF2| = ε|PP2|

Uwaga 2.1.9. Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie elipsy jako miejsca geome-

trycznego punktów płaszczyzny P , dla których stosunek odległości od pewnego ustalonego

punktu (ogniska) do pewnej prostej (kierownicy) jest równy ε, gdzie ε ∈ [0, 1)

Pojęcie mimośrodu ma szerokie zastosowanie w fizyce. Pierwsze prawo Keplera 3 mówi

bowiem iż3Opublikowane w 1609 roku w dziele Astronomia nova

12

Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po orbicie w

kształcie elipsy, w której w jednym z ognisk jest Słońce.

Isaac Newton dowiódł później, że orbity zawsze są stożkowymi. Mimośród jest wykorzy-

stywany jako parametr opisu orbit ciał niebieskich. W Układzie Słonecznym są to wartości

stosunkowo niewielkie (Tab. 2.1). Z kolei kometa Halleya ma mimośród ε ≈ 0, 96727, a

kometa Hale’a Boppa ε ≈ 0, 995086.

Tab. 2.1. Planety i mimośrody ich orbit

Planeta Mimośród ε (Wartości przybliżone)

Merkury 0,206

Wenus 0,007

Ziemia 0,017

Mars 0,093

Jowisz 0,043

Saturn 0,051

Uran 0,046

Neptun 0,004

Oczywiście im wartość ε jest bliższa zeru, tym orbita danego ciała niebieskiego jest

bardziej zbliżona do okręgu.

Rys. 2.9. Porównanie elips o kształtach orbit Merkurego, Ziemi i Neptuna

13

Znając wartość mimośrodu i długość półosi wielkiej orbity można w łatwy sposób

policzyć perycentrum4 i apocentrum 5 takiej orbity. Te odległości to odpowiednio q =

a(1− ε) i Q = a(1 + ε).

4Punkt na orbicie ciała niebieskiego okrążającego dany obiekt, znajdujący się w miejscu najbliższego

zbliżenia ciała do tego obiektu5Punkt na orbicie ciała niebieskiego okrążającego dany obiekt, znajdujący się w miejscu największego

oddalenia ciała do tego obiektu

14

2.2. Hiperbola

Definicja 2.2.1. Hiperbolą nazywamy miejsce geometryczne wszystkich punktów płasz-

czyzny P , dla których moduł różnicy odległości od dwóch punktów F1 i F2 (ognisk) jest

stałą. Odległość |F1F2| nazywamy ogniskową hiperboli, a odcinki F1P i F2P promieniami

wodzącymi punktu P .


||F1P | − |F2P || = 2a, gdzie |F1F2| > 2a

Twierdzenie 2.2.1 (Równanie osiowe hiperboli). Jeśli F1 = (c, 0) i F2 = (−c, 0), to

równanie hiperboli przyjmuje postać:

x2

a2− y2

b2= 1 (2.9)

Dowód. Niech F1 = (c, 0) oraz F2 = (−c, 0) będą ogniskami hiperboli i punkt P = (x, y)

należący do hiperboli oraz niech te punkty spełniają warunek:

||F1P | − |F2P || = 2a

Przyjmijmy również, że |F1P | > |F2P |. Mamy wówczas, że:

|F1P | − |F2P | =√

(x− c)2 + y2 −√

(x+ c)2 + y2 = 2a

I dalej: √(x− c)2 + y2 = 2a+

√(x+ c)2 + y2

(x− c)2 + y2 = 4a2 + 4a√

(x+ c)2 + y2 + (x+ c)2 + y2

−4a√

(x+ c)2 + y2 = 4a2 + 4cx

a2(x2 + 2cx+ c2 + y2) = a4 + 2a2cx+ c2x2

a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a4 − a2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Różnica a2 − c2 jest ujemna, bo c > a > 0. Niech −b2 = a2 − c2. Otrzymujemy wtedy:

−b2x2 + a2y2 = −a2b2

I w konsekwencji:x2

a2− y2

b2= 1

Sytuacja będzie się miała analogicznie, gdy przyjmiemy, że |F2P | > |F1P |.

15

Rys. 2.10. Hiperbola dana równaniem x2

4 −y2

4 = 1

Definicja 2.2.2. Jeżeli w równaniu hiperboli (2.9) zachodzi, że a = b, to hiperbolę

nazywamy hiperbolą równoosiową Jej równanie osiowe ma postać

x2 − y2 = a2

Definicja 2.2.3. Punkty przecięcia hiperboli z prostą zawierającą ogniska hiperboli na-

zywamy wierzchołkami hiperboli. Odcinek łączący wierzchołki hiperboli nazywamy osią

rzeczywistą hiperboli.

Twierdzenie 2.2.2. Wierzchołki hiperboli o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (c, 0) oraz

F2 = (−c, 0) mają współrzędne A1 = (−a, 0) i A2 = (a, 0).

Dowód. Ustalmy hiperbolę o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (c, 0) oraz F2 = (−c, 0).

Pokażemy, że wierzchołki hiperboli mają współrzędne A1 = (−a, 0) i A2 = (a, 0).

Wierzchołki hiperboli będą punktami przecięcia prostej zawierającej oś rzeczywistą hi-

perboli oraz samej hiperboli. Ich współrzędne będą zatem rozwiązaniami następującego

układu równań. x2

a2− y2b2− 1 = 0

y = 0

Po odpowiednich przekształceniach otrzymamy równanie

x2 = a2

Korzystając z faktu, iż a > 0 otrzymujemy, co mieliśmy do udowodnienia.

Twierdzenie 2.2.3 (Własności hiperboli). Jeżeli hiperbola dana jest równaniem (2.9),

to:

1. Hiperbola posiada dwie osie symetrii dane równaniami x = 0 i y = 0,

16

2. Posiada środek symetrii w punkcie (0, 0).

Dowód. Wystarczy zauważyć, że jeżeli do hiperboli należy punkt P = (x, y), to należy do

niej również punkt P1 = (−x, y), P2 = (x,−y) i P3 = (−x,−y).

Definicja 2.2.4. Środek symetrii hiperboli nazywamy środkiem hiperboli. Odcinek łączą-

cy dwa różne punkty hiperboli nazywamy cięciwą hiperboli. Cięciwy przechodzące przez

środek hiperboli nazywamy średnicami hiperboli.

2.2.1. Styczna do hiperboli i asymptoty

Twierdzenie 2.2.4 (Równanie stycznej do hiperboli). Ustalmy punkt P0(x0, y0) należący

do hiperboli o równaniu (2.9). Wówczas równanie

x0x

a2− y0y

b2= 1 (2.10)

opisuje styczną do hiperboli w punkcie P0.

Rys. 2.11. Hiperbola z zaznaczoną styczną przechodzącą przez punkt P0

Dowód. Niech (2.9) będzie równaniem hiperboli. Pokażemy, że prosta dana równaniem

(2.10) jest styczną do hiperboli, przechodzącą przez punkt P = (x0, y0) należący do niej.

Zbadajmy wpierw jak wygląda równanie stycznej do wykresu y = ba

√x2 − a2 w punkcie

P0 = (x0, y0). Pochodna tej funkcji jest równa

y′ =b

a· x√

x2 − a2

Korzystając z własności pochodnej możemy zapisać równanie stycznej do funkcji w punk-

cie P0 = (x0, y0), należącym do wykresu tej funkcji, jako

y − y0 =b

a· x√

x2 − a2(x− x0)

17

Korzystając z równości y0 = ba

√x20 − a2 otrzymujemy

y − y0 =b

a· x0aby0

(x− x0)

i dalej

yy0 − y20 =b2

a2(xx0 − x20)

yy0 − y20b2

=xx0 − x20

a2

Dokonując teraz prostych przekształceń arytmetycznych oraz korzystając z faktu, iż punkt

P0 należy do hiperboli otrzymujemy to, co należało udowodnić:

x0x

a2− y0y

b2= 1

W analogiczny sposób będzie przebiegało wyznaczanie stycznej w punkcie P0 = (x0, y0)

dla funkcji y = − ba

√x2 − a2.

Twierdzenie 2.2.5 (Własność odbiciowa hiperboli). Styczna w punkcie P0 do hiperboli

o ogniskach F1 i F2 jest dwusieczną kąta wewnętrznego F1P0F2 trójkąta F1P0F2.

Rys. 2.12. Ilustracja do Twierdzenia 2.2.5

Dowód. (Hp.) Załóżmy, że dwusieczna kąta wewnętrznego F1P0F2 trójkąta F1P0F2 nie

jest styczną do hiperboli przechodzącą przez punkt P0. Wówczas dwusieczna przecina

hiperbolę w pewnym punkcie Q0 różnym od P0.

Niech F będzie odbiciem punktu F1 w dwusiecznej. Z własności symetrii wynika, że

|F1P0| = |FP0|

i dalej, że:

||F2P0| − |FP0|| = 2a

18

gdzie 2a oznacza długość osi rzeczywistej hiperboli.

Podobnie możemy pokazać, że

||F2Q0| − |FQ0|| = 2a

Z własności dwusiecznej mamy, że F leży na prostej F2P0. Wynika stąd, że punkty F , P0i F2 są współliniowe. Mamy również, że F , Q0 i F2 są niewspółliniowe.

Korzystając teraz z odwrotnej nierówności trójkąta6 dostaniemy, że

||FQ0| − |F2Q0|| ¬ |FF2| = ||FP0| − |F2P0||

Otrzymujemy sprzeczność, gdyż

||F2P0| − |FP0|| = 2a = ||F2Q0| − |FQ0||

Rys. 2.13. Ilustracja do dowodu Twierdzenia 2.2.5

Własność odbiciowa hiperboli mówi o tym, że każdy promień zmierzający w kierunku

jednego z ognisk hiperboli, po odbiciu od jej brzegu wpadnie w drugie z ognisk. Z drugiej

strony - promienie wysyłane z jednego ogniska hiperboli, są tak odbijane od niej, że zdają

się wychodzić z drugiego z ognisk7.

Twierdzenie 2.2.6. Prosta y = mx, przechodząca przez środek hiperboli (2.9), przecina

hiperbolę, w dwóch punktach równo odległych od środka, gdy |m| < ba, a nie przecina

hiperboli, gdy |m| ba.

6∀x,y∈R||x| − |y|| ¬ |x− y|7Zob. plik: wlasnosc-odbiciowa-hiperboli.ggb

19

Rys. 2.14. Promień skierowany na jedno ognisko hiperboli, po odbiciu od trafia do drugiego

ogniska

Dowód. Ustalmy hiperbolę daną równaniem (2.9) oraz prostą y = mx, gdzie m ∈ R. Licz-

ba punktów przecięcia hiperboli i prostej będzie tożsama z liczbą rozwiązań następującego

układu równań x2

a2− y2b2− 1 = 0

y = mx

Będzie on równoważny równaniu

x2

a2− (mx)2

b2− 1 = 0

i dalej

x2 =(ab)2

b2 − (am)2

Liczba rozwiązań powyższego równania zależy zatem od znaku wyrażenia b2−(am)2. Jego

wartość będzie mniejsza od zera, gdy |m| > ba, a większa od zera, gdy |m| < b

a. Dodatkowo

powyższy układ równań będzie sprzeczny, gdy |m| = ba.

Gdy |m| < ba

rozwiązaniami naszego równania będą liczby x1 = ab√b2−(am2)

oraz x2 =

− ab√b2−(am2)

.

Pokazaliśmy zatem, iż prosta y = mx nie ma z hiperbolą daną równaniem (2.9) punktów

wspólnych, gdy |m| ba, a gdy |m| < b

a, to hiperbola i prosta mają ze sobą dwa punkty

wspólne równo odległe od środka hiperboli.

Definicja 2.2.5. Jeśli hiperbola jest dana równaniem (2.9), to proste dane równaniami

y =b

ax i y = − b

ax (2.11)

nazywamy asymptotami hiperboli (rys. (2.15)).

20

Rys. 2.15. Hiperbola z zaznaczonymi asymptotami

Uwaga 2.2.2. Asymptoty rozdzielają proste przechodzące przez środek hiperboli danej

równaniem (2.9) na dwie klasy, z których jedne mają punkty wspólne z hiperbolą, a drugie

ich nie mają.

Twierdzenie 2.2.7. Każda prosta równoległa do jednej z asymptot i od niej różna prze-

cina hiperbolę w dokładnie jednym punkcie.

Dowód. Ustalmy hiperbolę daną równaniem (2.9). Posiada ona oczywiście asymptoty da-

ne równaniami y = bax oraz y = − b

ax. Proste równoległe do asymptot mają równania

odpowiednio y = bax+ r i y = − b

a+ r, gdzie r ∈ R \ {0}.

Zajmijmy się wpierw pierwszą z wymienionych prostych. Będzie ona miała tyle punktów

przecięcia z hiperbolą, ile rozwiązań będzie miał układ równańx2

a2− y2b2− 1 = 0

y = bax+ r

Będzie miał on tyle samo rozwiązań, ile równanie

b2x2 − a2( bxx+ r)2 = a2b2

Jest ono równoważne równaniu

x = −a(b2 − r2)2br

Powyższe równanie ma tylko jedno rozwiązanie.

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla prostej równoległej do drugiej z asymp-

tot.

21

Rys. 2.16. Hiperbole utworzone przez stożki światła przecięte ścianą; autor: GuidoB, źródło:

wikipedia.org




x0x

a2− y0y

b2= 1 (2.12)

Twierdzenie 2.2.8. Jeżeli punkt Q0 należy do hiperboli, to biegunowa jest jej styczną



Definicja 2.2.7. Biegunową ogniska hiperboli nazywamy kierownicą hiperboli.

Twierdzenie 2.2.9. Kierownica hiperboli (2.9) w ognisku F1 = (−c, 0) (F2 = (c, 0))

przyjmuje równanie

x = −a2

c(2.13)

22

Kierownica hiperbola w ognisku F2 = (c, 0) przyjmuje równanie

x =a2

c(2.14)

Rys. 2.17. Hiperbola z zaznaczonymi kierownicami jej poszczególnych ognisk

Dowód. Niech dana będzie hiperbola o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz

F2 = (c, 0).

Wstawiając do równania biegunowej hiperboli (2.12) współrzędne ogniska F1 otrzymamy

równanie−cxa2

= 1

które jest równoważne równaniu

x = −a2

c

W analogiczny sposób, wstawiając do równania biegunowej współrzędne ogniska F2 otrzy-

mamy równanie prostej

x =a2

c

Definicja 2.2.8. Mimośrodem hiperboli nazywamy parametr ε będący wartością opisu-

jącą stosunek długości ogniskowej do odległości między wierzchołkami hiperboli.

Twierdzenie 2.2.10. Jeżeli dana jest hiperbola o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (−c, 0)

oraz F2 = (c, 0), to

ε =c

a(2.15)

Dowód. Ustalmy hiperbolę o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz F2 = (c, 0).

Długości ogniskowej i odległość między wierzchołkami hiperboli są odpowiednio równe 2c

oraz 2a.

Wówczas stosunek długości ogniskowej do długości osi wielkiej jest równy ca.

23

Twierdzenie 2.2.11. Niech dana będzie hiperbola o równaniu (2.9) i ogniskach F1 =

(−c, 0) oraz F2 = (c, 0). Wówczas

1 < ε

Dowód. Ustalmy hiperbolę o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz F2 = (c, 0).

Wówczas mimośród elipsy jest opisany równaniem ε = ca

Z definicji hiperboli mamy, że c > a, stąd

1 =a

a<=

c

a= ε

Uwaga 2.2.3. Dwie elipsy są do siebie podobne, jeśli mają taki sam mimośród.

Twierdzenie 2.2.12. Stosunek odległości dowolnego punktu hiperboli od ogniska do

odległości od odpowiedniej kierownicy jest stały i równy mimośrodowi (rys. 2.18).

Rys. 2.18

Dowód. Ustalmy hiperbolę daną równaniem (2.9) z jej ogniskami F1 = (−c, 0) oraz F2 =

(c, 0). Jej mimośród ε jest równy ca. Dodatkowo ustalmy punkt P = (x0, y0) należący do

hiperboli oraz punkty P1 i P2, będące rzutami punktu P na kierownice ognisk odpowiednio

F1 i F2.

Korzystając z równości b2 = c2− a2 dostajemy równanie hiperboli w następującej postaci

x20a2− y20c2 − a2

= 1

i dalejx20a2

+y20

a2 − c2= 1

24

x20a2 − c2

a2+ y20 = a2 − c2

x20(1−c2

a2) + y20 = a2 − c2

c2 ± 2cx0 + x20 + y20 =c2

a2x20 ± 2cx0 + a2

c2 ± 2cx0 + x20 + y20 =c2

a2

(x20 ± 2x0

a2

c+a4

c2

)

c2 ± 2cx0 + x20 + y20 = ε2(x20 ± 2x0

a2

c+a4

c2

)

(c± x0)2 + y20 = ε2(x0 ±

a2

c

)2Otrzmaliśmy zatem prawdziwość dla dwóch równości:

|PF1| = ε|PP1| i |PF2| = ε|PP2|

Uwaga 2.2.4. Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie hiperboli jako miejsca

geometrycznego punktów płaszczyzny P , dla których stosunek odległości od pewnego

ustalonego punktu (ogniska) do pewnej prostej (kierownicy) jest równy ε, gdzie ε > 1

25

2.3. Parabola

Definicja 2.3.1. Parabolą nazywamy miejsce geometryczne wszystkich punktów płasz-

czyzny P , których odległości od punktu F (ogniska) i od prostej stałej k (kierownicy),

nieprzechodzącej przez punkt F są równe.


|FP | = d(P, k)

Twierdzenie 2.3.1 (Równanie wierzchołkowe paraboli). Jeśli F = (c, 0) i k : x+ c = 0,

to równanie paraboli przyjmuje postać:

y2 = 2px , gdzie p > 0 (2.16)

Dowód. Ustalmy punkt F = (c, 0) i prostą k : x + c = 0. Niech punkt P = (x, y) należy

do paraboli. Wówczas możemy zapisać następującą równość:

√(x− c)2 + y2 =

|1x+ 0y + c|√12 + 02

Po przekształceniach równanie przyjmie postać

y2 = 4xc

Podstawiając teraz 2c = p. Otrzymujemy żądaną postać równania wierzchołkowego para-

boli.

Rys. 2.19. Parabola o równaniu y2 = x z zaznaczoną kierownica i ogniskiem

Uwaga 2.3.2 (Własności paraboli). Jeżeli parabola dana jest równaniem (2.16), to

26

1. parabola posiada jedną oś symetrii daną równaniem y = 0,

2. parabola leży tylko po dodatniej stronie osi x .

Definicja 2.3.2. Punkty przecięcia się paraboli z jej osią symetrii nazywamy wierzchoł-

kiem paraboli.

Twierdzenie 2.3.2. Wierzchołek paraboli o równaniu (2.16) ma współrzędne A = (0, 0).

Dowód. Niech będzie dane ognisko paraboli F = (c, 0) oraz kierownica dana k : x + c =

0. Najkrótszy odcinek łączący ognisko z kierownicą jest tożsamy z odcinkiem łączącym

ognisko i rzut tego ogniska na kierownicę. Oznaczając ten rzut jako F ′ otrzymamy, że

F ′ = (−c, 0). Korzystając następnie ze wzoru na środek odcinka i oznaczając ten środek

jako A otrzymujemy, że A = (0, 0).

Definicja 2.3.3. Oś symetrii paraboli nazywamy osią paraboli. Odcinek łączący dwa

różne punkty paraboli nazywamy cięciwą paraboli.

2.3.1. Styczna do paraboli, własność odbiciowa paraboli

Twierdzenie 2.3.3 (Równanie stycznej do paraboli). Ustalmy punkt P0(x0, y0) należący

do paraboli o równaniu (2.16). Wówczas równanie

y0y = p(x+ x0) (2.17)

opisuje styczną do paraboli w punkcie P0.

Dowód. Niech (2.16) będzie równaniem paraboli. Pokażemy, że prosta dana równaniem

(2.17) jest styczną do paraboli, przechodzącą przez punkt P0 = (x0, y0) należący do niej.

Zbadajmy wpierw jak wygląda równanie stycznej do wykresu y =√

2px w punkcie P0 =

(x0, y0). Pochodna tej funkcji jest równa

y′ =p√2px

Korzystając z własności pochodnej możemy zapisać równanie stycznej do funkcji w punk-

cie P0 = (x0, y0), należącym do wykresu tej funkcji, jako

y − y0 =p√

2px0(x− x0)

Korzystając z równości y0 =√

2px0 otrzymujemy

y − y0 =p

y0(x− x0)

i dalej

yy0 − y20 = px− px0

27

Ponownie korzystając z równości y0 =√

2px0 i dokonując prostych przekształceń arytme-

tycznych otrzymujemy to, co należało udowodnić:

yy0 = p(x+ x0)

W analogiczny sposób będzie przebiegało wyznaczanie stycznej w punkcie P0 = (x0, y0)

dla funkcji y = −√

2px.

Twierdzenie 2.3.4. Dwie styczne do paraboli są do siebie prostopadłe wtedy i tylko

wtedy, gdy ich punkt przecięcia leży na kierownicy.

Rys. 2.20. Parabola wraz ze stycznymi przecinającymi się na jej kierownicy

Dowód. Ustalmy parabolę o równaniu (2.16) oraz dwa punkty K = (k2

2p , k) i L = ( l2

2p , l)

leżące na paraboli, przy czym zakładamy, że liczby k i l są różnych znaków.

Prosta k, będąca styczną do paraboli w punkcie K ma równanie y = pkx+ k

2 , a prosta l -

styczna do paraboli w punkcie L ma równanie y = plx+ l

2 .

⇒Korzystając z założenia mówiącego o prostopadłości prostych k i l, otrzymujemy równość

p2

kl= (−1)

By znaleźć punkt przecięcia się prostych k i l musimy rozwiązać układ równań y = pkx+ k

2

y = plx+ l

2

Dokonując podstawienia, otrzymujemy równanie

p

kx+

k

2=p

lx+

l

2

28

i dalej:

x

(pk − plkl

)=k − l

2

Korzystając z założenia mówiącego o prostopadłości prostych otrzymujemy równanie

x

(−k − l

p

)=k − l

2

Dzieląc równanie obustronnie przez −k−lp

otrzymujemy równość

x =(−p

2

)= (−c)

Pokazaliśmy zatem, że odcięta punktu przecięcia się prostych k i l jest równa −c, co jest

równoznaczne z tym, iż punkt przecięcia się prostych k i l leży na kierownicy paraboli.

⇐Prosta k przecina kierownicę w punkcie S1 = (−c, −cp

k+ k2 ), a prosta l przecina kierownicę

w punkcie S2 = (−c, −cpl

+ l2). Korzystając z założenia mówiącego, iż proste k i l przecinają

się w tym samym punkcie mamy:

−cpk

+k

2=−cpl

+l

2

Korzystając z równości p = 2c otrzymujemy

p2

2l− p2

2k+k

2− l

2= 0

i dalej:p2(k − l)

2kl+k − l

2= 0

Dzieląc następnie to równanie przez k−l2 , otrzymujemy równość:

p2

kl= (−1)

Udowodniliśmy, że jeżeli dwie styczne przecinają się na kierownicy, to są względem siebie

prostopadłe.

Twierdzenie 2.3.5 (Własność odbiciowa paraboli). Niech dana będzie parabola o rów-

naniu (2.16) oraz punkt P0 należący do niej. Wówczas kąt między prostą prostopadłą do

kierownicy paraboli, przechodzącą przez punkt P0 a styczną do paraboli w punkcie P0jest równy kątowi między styczną przechodzącą przez punkt P0 a promieniem wodzącym

poprowadzonym z ogniska do punktu P0.

29

Rys. 2.21. Prosta prostopadła do kierownicy po odbiciu od paraboli trafia do jej ogniska.

Dowód. Niech dana będzie parabola o równaniu (2.16) i punkt należący do tej paraboli

P0 = (y202p , y0). Korzystając z równania stycznej do paraboli (2.17) otrzymujemy, punkt

przecięcia stycznej z osią X dany jako T = (−y202p , 0).

Zauważmy, że w trójkącie P0TF mamy, że:

|TF | = |TA|+ |AF | = y202p

+ c

gdzie A to wierzchołek paraboli.

Dodatkowo mamy również, że:

|FP0| =

√√√√(y202p− c

)2+ y20

Przekształcając powyższe równanie otrzymamy, że:

|FP0| =y202p

+ c

Skoro |TF | = |FP0|, to dostajemy, że trójkąt P0TF jest trójkątem równoramiennym, a

więc |^P0TF | = |^TP0F |.Zauważmy teraz, że prosta prostopadła do kierownicy i przechodząca przez P0 tworzy ze

styczną przechodzącą przez P0 kąt odpowiadający do kąta P0TF , o takiej samej mierze

jak kąt TP0F .

Własność odbiciowa paraboli mówi o tym, że każdy promień wpadający do paraboli i

będący prostopadłym do kierownicy, po odbiciu od jej brzegu trafi do ogniska. Z drugiej

strony - promienie wysyłane z ogniska paraboli, po odbiciu od jej brzegu będą tworzyły

wiązkę równoległą8.8Zob. plik: wlasnosc-odbiciowa-paraboli.ggb

30

Rys. 2.22. Ilustracja do dowodu Twierdzenia 2.3.5

Zjawisko to jest wykorzystywane w wielu dziedzinach ludzkiego życia. W krajach trze-

ciego świata używa się Solar Cookerów - piekarników wykorzystujących energię słoneczną

do podgrzewania i pieczenia potraw. Są to paraboloidy wyłożone od środka materiałem

odbijającym światło słoneczne. Po ustawieniu takiego piekarnika w kierunku Słońca -

promienie świetlne będą skupiały się w ognisku paraboloidy, podgrzewając wszystko, co

znajdzie się w jego pobliżu.

Dokładnie na tej samej zasadzie działają anteny satelitarne, czy mikrofony kierunkowe,

których przekrojem jest parabola. Fale, po odbiciu od wewnętrznej części talerza trafiają

do głowicy anteny.

Rys. 2.23. Piekarnik słoneczny; źródło: wikipedia.org

Innym zastosowanie własności odbiciowych paraboli są reflektory paraboidalne i wielo

paraboidalne, spotykane w samochodach. Światło wysyłane z żarówki jest odbijane od

31

powierzchni odbłyskowej, a następnie wysyłane w postaci jednej wiązki światła.




y0y = p(x+ x0) (2.18)

Twierdzenie 2.3.6. Jeżeli punkt Q0 należy do paraboli, to biegunowa jest jej styczną



Twierdzenie 2.3.7. Biegunową ogniska paraboli pokrywa się z kierownicą tej paraboli.

Dowód. Mając daną parabolę (2.16), a następnie wstawiając do równania biegunowej

(2.18) współrzędne ogniska F = (c, 0) otrzymujemy równość:

0 = p(x+ c)

Dokonując na tej równości odpowiednich przekształceń otrzymamy, że:

x = −c

Dowiedliśmy zatem, że biegunowa ogniska paraboli jest prostą pokrywającą się z kierow-

nica paraboli.

Definicja 2.3.5. Mimośrodem paraboli nazywamy parametr ε będący wartością opisującą

stosunek odległości dowolnego punktu paraboli od ogniska - do odległości tego punktu od

kierownicy.

Twierdzenie 2.3.8. Wartość mimośrodu paraboli jest stale równa 1.

Dowód. Wynika wprost z definicji paraboli.

Uwaga 2.3.3. Dowolne dwie parabole są do siebie podobne.

Uwaga 2.3.4. Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie paraboli jako miejsca geo-

metrycznego punktów płaszczyzny P , dla których stosunek odległości od pewnego usta-

lonego punktu (ogniska) do pewnej prostej (kierownicy) jest stały i równy ε, gdzie ε = 1

32

2.4. Wnioski

Rozdziały poświęcone elpisie, hiperboli i paraboli pozwalają na dokonanie klasyfikacji

krzywych stopnia drugiego na podstawie wartości ich mimośrodu

Tab. 2.2. Klasyfikacja linii stopnia drugiego na podstawie wartości ich mimośrodu

Nazwa linii stopnia drugiego Mimośród

Okrąg 0

Elipsa (0,1)

Parabola 1

Hiperbola (1, ∞)

33

3. Zmiana układu współrzędnych

3.1. Podstawowe pojęcia

Twierdzenie 3.1.1. Jeśli początek układu współrzędnych OXY przesuniemy o wektor

~v = [p, q], to punkt P o współrzędnych (x0, y0) w układzie OXY , będzie miał w nowym

układzie O′X ′Y ′ współrzędne (x′, y′) takie, że spełnione będą równania

x′ = x0 − py′ = y0 − q

Rys. 3.1. Translacja układu współrzędnych o wektor ~v

Dowód. Ustalmy punkt P , który ma współrzędne (x0, y0) w starym układzie współrzęd-

nych i (x′, y′) w nowym układzie współrzędnych. Nowy układ współrzędnych powstał

poprzez przesunięcie starego o wektor ~v = [p, q]. Można wówczas zapisać, że

−→OP =

−−→OO′ +

−−→O′P = ~v +

−−→O′P

i dalej

[x0, y0] = [p, q] + [x′, y′]

34

[x0, y0] = [p+ x′, q + y′]

Mamy więc, że:x0 = p+ x′

y0 = q + y′

Dokonując następnie odpowiednich przekształceń, dostajemy

x′ = x0 − py′ = y0 − q

Twierdzenie 3.1.2. Jeśli obrócimy układ współrzędnych OXY dookoła punktu O o kąt

α, to punkt P o współrzędnych (x0, y0) w starym układzie, będzie miał w nowym układzie

OX ′Y ′ współrzędne (x′, y′) takie, że:

x′ = x0 cosα + y0 sinα

y′ = −x0 sinα + y0 cosα

Rys. 3.2. Obrót układu współrzędnych o kąt α

Dowód. Ustalmy punkt P , który ma współrzędne (x0, y0) w starym układzie współrzęd-

nych i (x′, y′) w nowym układzie współrzędnych. Nowy układ współrzędnych powstał

poprzez obrót starego o kąt skierowany α. Można wówczas zapisać współrzędne punktu

P tak, że

(x0, y0) = (r · cos β, r · sin β)

oraz

(x′, y′) = (r · cos(β − α), r · sin(β − α))

35

Z powyższych tożsamości, możemy zapisać:

x′ = r(cos β cosα + sin β sinα)

y′ = r(sin β cosα− cos β sinα)

Dokonując następnie odpowiednich przekształceń, dostajemy

x′ = x0 cosα + y0 sinα

y′ = −x0 sinα + y0 cosα

Definicja 3.1.1. Każdą linię przedstawioną równaniem postaci

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx+ 2ey + f = 0 (3.1)

gdzie współczynniki a, b, c, ..., f są dowolne, byle trzy pierwsze nie były jednocześnie

równe zeru, nazywamy linią stopnia drugiego.

36

3.2. Przekształcanie układu współrzędnych

Ustalmy równanie linii stopnia drugiego dane jako:

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx+ 2ey + f = 0

Dokonując w powyższym równaniu podstawienia

x = x′ cosα− y′ sinαy = x′ sinα + y′ cosα

a więc obracając układ współrzędnych o zadany kąt α, otrzymamy nowe równanie postaci

a′x′2 + 2b′x′y′ + c′y′2 + 2d′x′ + 2e′y′ + f ′ = 0

Współczynniki w tym równaniu wyrażają się wzorami:

a′ = a cos2 α + b sin 2α + c sin2 α

b′ = 12(c− a) sin 2α + b cos 2α

c′ = a sin2 α− b sin 2α + c cos2 α

d′ = d cosα + e sinα

e′ = e cosα− d sinα

f ′ = f

Łatwo widać, że kąt obrotu α możemy dobrać tak, by b′ = 0. Wystarczy wziąć kąt α taki,

że ctg 2α = a−c2b . W nowym układzie współrzędnych otrzymamy wówczas równanie linii

stopnia drugiego, przystającej do linii (3.1), postaci:

ax2 + bx+ cy2 + dy + e = 0 (3.2)

Załóżmy teraz, że a · c 6= 01. Wówczas równanie (3.2) można wówczas zapisać w postaci

a(x+b

2a)2 + c(y +

d

2c)2 + e− (

b

2a)2 − (

d

2c)2 = 0

i dalej:

a(x+ b′)2 + c(y + d′)− e′ = 0

Przesuwając układ współrzędnych o wektor ~v = [−b′,−d′], co jest równoważne z dokona-

niem podstawieniax′ = x+ b′

y′ = y + d′

a następnie dzieląc je obustronnie przez współczynnik e, przy założeniu, że jest on różny

od 0, otrzymujemy równanie

a′x′2 + c′y′2 = 11Czyli a i c są jednocześnie różne od zera

37

Jest to równanie linii stopnia drugiego danej równaniem (3.2), po przesunięciu układu

współrzędnych o wektor ~v = [−b′,−d′]. Równanie tej linii przyjmuje postać:

ax2 + cy2 = 1 (3.3)

Zauważmy, że w zależności od znaków współczynników a i c, otrzymujemy równanie elipsy

(w szczególności okręgu), lub hiperboli. Gdyby współczynnik e = 0, to po translacji

układu współrzędnych, otrzymamy równanie nowej linii stopnia drugiego postaci:

ax2 + cy2 = 0

Rozwiązaniem tego równania jest punkt (0, 0)2 albo para prostych3 przecinająca się w

punkcie (0, 0) dana równaniamiy = −a

cx

y = acx

Załóżmy teraz, że w równaniu (3.2) zachodzi a · c = 04. Bez straty ogólności możemy

założyć, że a = 0 i c 6= 0. Wówczas równanie (3.2) przyjmie postać:

bx+ cy2 + dy + e = 0

i dalej:

c(y +d

2c)2 = −bx+ e+ (

d

2c)2

c(y + d′)2 = −b(x+ e′)

Dokonując w powyższym równaniu podstawienia

x′ = x+ e′

y′ = y + d′

otrzymujemy równanie

cy′2 = −bx′

Jest to równanie linii stopnia drugiego (3.2) po translacji układu współrzędnych o wektor

~v = [−e′,−d′]. Równanie tej linii przyjmuje postać:

cy2 = −bx (3.4)

Jeżeli c · b 6= 0, to powyższe równanie, po obustronnym podzieleniu przez współczynnik c

i podstawieniu − bc

= 2p, przyjmie postać

y2 = 2px2gdy a · c > 03gdy a · c < 04Czyli a = 0 albo c = 0. Zauważmy, że te współczynniki nie mogą być jednocześnie zerami, gdyż nie

byłoby to wówczas równanie linii stopnia drugiego

38

Powyższe równanie opisuje oczywiście parabolę. Jeśli współczynnik b albo c przyjmie

wartość 0, to równanie przyjmie odpowiednio postać y = 0 albo x = 0.

Pokazaliśmy zatem, że równanie linii stopnia drugiego (3.1), poprzez wykonanie odpo-

wiedniego obrotu i/lub translacji układu współrzędnych, można sprowadzić do równania

osiowego elipsy, równania osiowego hiperboli, równania wierzchołkowego paraboli, punktu

(0, 0) lub dwóch prostych przecinających się w punkcie (0, 0).

39

3.3. Przykłady przekształceń

Przykład 3.3.1. Ustalmy równanie linii stopnia drugiego

x2 + y2 + 4x+ 6y − 12 = 0

Zbadamy jaki rodzaj linii stopnia drugiego będzie ono przedstawiało.

Zauważmy wpierw, że jest to ono równoważne równaniu

(x+ 2)2 + (y + 3)2 = 25

Przesuwając następnie układ współrzędnych o wektor ~v = [−2,−3] otrzymujemy równanie

postaci

x2 + y2 = 25

i dalej:x2

25+y2

25= 1

Równanie linii stopnia drugiego przedstawia więc okrąg o środku (−2,−3) (w wyjściowym

układzie współrzędnych) i promieniu 5 (rys. 3.3).

Rys. 3.3. Linia stopnia drugiego dana równaniem x2 + y2 + 4x+ 6y − 12 = 0

Przykład 3.3.2. Zbadamy teraz równanie postaci

214x2 +

10√

34

xy +314y2 + (18 + 4

√3)x+ (18

√3− 4)y+ = 0

Chcąc zredukować współczynnik stojący przy xy, musimy obrócić układ równań o pewien

kąt α. Kąt ten wyliczymy z równania ctg 2α = a−c2b . Dostaniemy z niego, iż

ctg 2α =a− c

2b= −

10410√34

= −√

33

40

Wnioskujemy więc, że układ równań należy obrócić o kąt −30◦. Po dokonaniu tego prze-

kształcenia, równanie tejże linii przyjmie postać

4x2 + 9y2 + 8x+ 36y + 4 = 0

Powyższa równość jest równoważna równaniu:

(x+ 1)2

9+

(y + 2)2

4= 1

Przesuwając teraz układ współrzędnych o wektor ~v = [−1,−2], otrzymamy równanie

x2

9+y2

4= 1

Jest to oczywiście równanie elipsy.

Nie dla każdego równania linii stopnia drugiego należy uciekać się do obracania i

przesuwania układu współrzędnych. Czasami można w prostszy sposób zobaczyć z jaką

linią mamy do czynienia.

Rys. 3.4. Dwie proste zadane równaniem 2x2 + 2xy − 3xy + 3y2 = 0

Przykład 3.3.3. Ustalmy równanie linii stopnia drugiego

2x2 − xy + 3y2 = 0

Zbadamy jaki rodzaj linii stopnia drugiego będzie ono przedstawiało.

Zauważmy, że powyższe równanie da się przekształcić do postaci:

2x2 + 2xy − 3xy + 3y2 = 0

i dalej:

2x(x+ y)− 3y(x+ y) = 0

(2x− 3y)(x+ y) = 0

Zadana linia przedstawia więc dwie proste przecinające się w punkcie (0, 0) (rys. 3.4).

41

Spis rysunków

1.1. Grafika przedstawiająca różne przekroje stożka; autor: Szwejk; źródło: wi-

kipedia.org . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Elipsa z zaznaczonymi ogniskami F1 i F2 i promieniami wodzącymi F1P i

F2P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Elipsa dana równaniem x2

16 + y2

9 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Elipsa z zaznaczoną styczną przechodzącą przez punkt P0 . . . . . . . . . . 7

2.4. Ilustracja do Twierdzenia 2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5. Ilustracja do dowodu twierdzenia 2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6. Promień wysłany z jednego ogniska elipsy, po odbiciu od krawędzi trafia

do drugiego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.7. Elipsa z ogniskami F1 i F2 z zaznaczonymi kierownicami . . . . . . . . . . 10

2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.9. Porównanie elips o kształtach orbit Merkurego, Ziemi i Neptuna . . . . . . 13

2.10. Hiperbola dana równaniem x2

4 −y2

4 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.11. Hiperbola z zaznaczoną styczną przechodzącą przez punkt P0 . . . . . . . 17

2.12. Ilustracja do Twierdzenia 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.13. Ilustracja do dowodu Twierdzenia 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.14. Promień skierowany na jedno ognisko hiperboli, po odbiciu od trafia do

drugiego ogniska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.15. Hiperbola z zaznaczonymi asymptotami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.16. Hiperbole utworzone przez stożki światła przecięte ścianą; autor: GuidoB,

źródło: wikipedia.org . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.17. Hiperbola z zaznaczonymi kierownicami jej poszczególnych ognisk . . . . . 23

2.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.19. Parabola o równaniu y2 = x z zaznaczoną kierownica i ogniskiem . . . . . 26

2.20. Parabola wraz ze stycznymi przecinającymi się na jej kierownicy . . . . . 28

2.21. Prosta prostopadła do kierownicy po odbiciu od paraboli trafia do jej

ogniska. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

42

2.22. Ilustracja do dowodu Twierdzenia 2.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.23. Piekarnik słoneczny; źródło: wikipedia.org . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1. Translacja układu współrzędnych o wektor ~v . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Obrót układu współrzędnych o kąt α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Linia stopnia drugiego dana równaniem x2 + y2 + 4x+ 6y − 12 = 0 . . . . 40

3.4. Dwie proste zadane równaniem 2x2 + 2xy − 3xy + 3y2 = 0 . . . . . . . . . 41

43

Spis tabel

2.1. Planety i mimośrody ich orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Klasyfikacja linii stopnia drugiego na podstawie wartości ich mimośrodu . . 33

44

Zawartość płyty CD-ROM

Wraz z niniejszą pracą dołączona jest płyta CD zawierająca:

1. Elektroniczną wersję pracy w formacie LaTeX i PDF.

2. Pliki programu Geogebra użyte do zilustrowania pracy.

3. Instalator programu Geogebra.

45

własności linii stopnia drugiego

Education