windskript v11

Inhalt 1-1

Stand: 7.05.2013 [email protected]

Inhalt

Inhalt 1-1

1. Charakteristik der Windstrmung 1-1

1.1. Grundlagen der Strmungsmechanik 1-1

1.1.1. Eigenschaften der Luft 1-1

1.1.2. Bewegung von Strmungen 1-1

1.1.3. Grundgleichungen der Strmung 1-3

1.1.4. Laminare und turbulente Strmungen 1-4

1.1.5. Strmungsgrenzschicht 1-5

1.1.6. Strmungsablsung 1-6

1.2. Statistische Beschreibung des Zufallsprozesses 1-6

1.2.1. Eindimensionale Beschreibung 1-6

1.2.2. Mehrdimensionale Beschreibung 1-7

1.3. Extremwerttheorie 1-7

1.4. Baupraktische Regelungen fr das Windklima in Europa 1-9

2. Quasistatische Windlastformulierung 2-12

2.1. Windkrfte als Folge von Druckdifferenzen 2-12

2.2. Aerodynamische Formbeiwerte 2-12

2.2.1. Kraftbeiwerte 2-13

2.2.2. Druckbeiwerte 2-13

2.3. Admittanzanstze 2-14

3. Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-15

3.1. Benreaktion 3-15

3.1.1. Dynamik der Windfelder 3-15

3.1.2. Dynamik der Strukturen 3-17

3.1.3. Bestimmung der dynamischen Bauwerksreaktionen 3-18

3.1.4. Windlastdefinition fr schwingungsanfllige Baukrper nach DIN EN 1991-1-4:2010

und DIN EN 1991-1-4:2010/NA 3-18

3.1.5. Berechnungsbeispiel zur Bestimmung der Benreaktion 3-20

3.2. Wirbelerregte Querschwingungen 3-21

3.2.1. Karmansche Wirbelstrasse 3-22

3.2.2. Aerodynamische Kraft infolge Wirbelablsung 3-25

3.2.3. Einflussfaktoren auf die aerodynamische Erregerkraft aus Wirbelablsung 3-27

3.2.4. Berechnungsverfahren zur Bestimmung der wirbelerregten Schwingungen 3-28

4. Literatur 4-30

Charakteristik der Windstrmung 1-1


1. Charakteristik der Windstrmung

1.1. Grundlagen der Strmungsmechanik

1.1.1. Eigenschaften der Luft

Luft ist ein Gas und daher streng genommen kompressibel. Die Dichte der Luft

ist nicht konstant, sondern variiert abhngig von der Lufttemperatur und dem

Luftdruck:

m

kg

TR

p

l

dabei sind: p Luftdruck [N/m]

Rl Gaskonstante der trockenen Luft [Nm/(kgK)]

T Temperatur [K]

Im weiteren Verlauf dieses Kapitels wird sich zeigen, dass die Luftdichte einen

linearen Einfluss auf die resultierenden Windlasten hat. Aus diesem Grund ist

die Abhngigkeit von Luftdruck und Temperatur prinzipiell bei der Lastermitt-

lung nach obiger Gleichung zu bercksichtigen. Im Bauwesen wird jedoch zu-

meist auf der sicheren Seite mit einem einheitlichen Luftdruck von =1,25

kg/m gerechnet.

Aufgrund der direkten Abhngigkeit vom vorherrschenden Luftdruck, ist die

Dichte darber hinaus indirekt abhngig von der Strmungsgeschwindigkeit.

Geschwindigkeitsschwankungen bis ca. 50 m/s rufen jedoch nur vergleichsweise

geringe nderungen der Luftdichte von = 0,01 kg/m hervor. Da solche

Windgeschwindigkeiten nur in sehr exponierten Lagen berhaupt erreicht wer-

den knnen, wird in der Bauwerksaerodynamik die Dichtenderung, die durch

die Geschwindigkeit hervorgerufen wird, vernachlssigt.

1.1.2. Bewegung von Strmungen

Die Bewegung von Strmungsteilchen wird wie in der Mechanik bzw. Dynamik

durch die Angabe der Koordinaten einzelner infinitesimal kleiner Volumenele-

mente in Abhngigkeit von der Zeit beschrieben.

Ist der Geschwindigkeitsvektor v unabhngig von der Zeit, also in einem Punkt

des Strmungsfeldes zu allen Zeiten gleich, so nennt man die Strmung statio-

nr. Eine instationre Strmung hingegen ist von der Zeit abhngig, wie z. B.

der Wind. Eine Momentaufnahme einer instationren Strmung zu einem be-

stimmten Zeitpunkt kann durch Stromlinien beschrieben werden.



Abbildung 1-1: Stromlinien eines Strmungszustandes und lokale Geschwindigkeitvektoren

Bahnlinien stellen den Weg dar, den die einzelnen Strmungsteilchen im Laufe

der Zeit nehmen. Sie sind also eine teilchenabhngige und keine zeitabhngige

Beobachtung. Bahnlinien kann man sichtbar machen, indem man der Strmung

einzelne sichtbare Partikel beimischt. Bei einer Beobachtung einer Oberfl-

chenwasserstrmung knnen das einzelne schwimmende Partikel (z.B. Alumi-

niumpulver) sein, in einer Luftstrmung knnen dies beispielsweise Partikel

eines lnebels sein.

Im Sonderfall der eine stationre Strmung fallen Bahnlinien und Stromlinien

zusammen.

Abbildung 1-2: Bahnlinien eines Strmungszustandes

Bestimmte instationre Bewegungen lassen sich durch eine Koordinatentrans-

formation als stationre Bewegungen darstellen. Ein einfach nachzuvollziehen-

des Beispiel ist die Umstrmung eines Schiffsrumpfes:

Fr einen am Ufer stehenden ruhenden Beobachter erscheint die Strmung um

das vorbeifahrende Schiff als eine instationre. Er sieht die Bahnlinien der

Strmung und das Strmungsbild ist zu jedem Zeitpunkt ein anderes. Einem

Beobachter auf dem Schiff erscheint die Strmung um den Bug stationr.

Stromlinien und Bahnlinien sind zu jeder Zeit gleich und das Strmungsbild

ndert sich im Laufe der Zeit fr ihn nicht.



1.1.3. Grundgleichungen der Strmung

1.1.1.1 Kontinuittsgleichung

Es wird eine Stromrhre in einem stationren Strmungsfeld betrachtet, die

durch Stromlinien begrenzt ist. Die jeweils umschlossenen Flchen sind A1 und

A2. Da sich bei stationrer Strmung die Masse in der Rhre nicht ndert und

ber den Mantel keine Masse ein- oder ausfliet, kann der Massenfluss durch

die Flchen gleichgesetzt werden:

1 1 1 = 2 2 2

Fr eine inkompressible Strmung gilt 1 = 2. Die Kontinuittsgleichung ver-

einfacht sich somit zu:

1 1 = 2 2

und drckt daher aus, dass die Durchstrmung einer Stromrhre einer antipro-

portionalen Beziehung zwischen Querschnittsflche und Geschwindigkeit un-

terworfen ist, d.h. bei groem Querschnitt ist die Geschwindigkeit klein und

umgekehrt.

Abbildung 1-3: Bahnlinien eines Strmungszustandes

Die Kontinuittsgleichung stellt die wesentliche Beziehung bei der Auslegung

von Strmungsfhrenden Kanlen dar.

1.1.1.2 Bernoullische Gleichung (fr eine stationre Strmung)

Die Bernoullische Gleichung beschreibt die auf ein Strmungsteilchen wirken-

den Krfte in einer stationren und reibungsfreien Strmung, welches sich ent-

lang einer Stromlinie von Punkt 1 nach Punkt 2 bewegt.



Abbildung 1-4: Stromlinie und Strmungsgren in den Punkten 1 und 2

Mit einem Krftegleichgewicht, der Integration ber den Weg und einigen Um-

formungen erhlt man die Bernoullische Gleichung:

1 +

212 + 1 = 2 +

222 + 2 = .

dabei sind: pi statischer Druck Druckenergie

gzi geodtische Druck Potentielle Energie

/2u Geschwindigkeitsdruck Kinetische Energie

i Punkt auf der Stromlinie

Die Summe aus statischem und Geschwindigkeitsdruck wird als Gesamtdruck

bezeichnet. Fr den Geschwindigkeitsdruck ist darber hinaus die Bezeichnung

Staudruck gebruchlich.

1.1.4. Laminare und turbulente Strmungen

Von laminarer Strmung oder auch Schichtenstrmung spricht man, wenn sich

die einzelnen Strmungsschichten getrennt voneinander bewegen. Sie knnen

sich zwar mit einer unterschiedlichen Geschwindigkeit bewegen, sie vermischen

sich jedoch nicht. Sichtbar machen kann man eine laminare Strmung im Was-

ser wenn man einer Farbe einleitet und sich dann ein Farbfaden innerhalb des

Strmungsfeldes ausbildet.

Bei Erhhung der Geschwindigkeit fngt der Farbfaden an zu flattern und es

wird ein Zustand erreicht, bei dem das gesamte Strmungsfeld gefrbt ist. Dann

spricht man von einer turbulenten Strmung. Der Strmungshauptrichtung sind

rumliche Schwankungen berlagert. Diese Schwankungen knnen regelmig

oder auch stochastisch sein (Bild 2.13). Die Strmungsgeschwindigkeit wird

dann mit einem stationren und einem instationren Anteil nach folgenden Glei-

chungen getrennt fr die jeweiligen Geschwindigkeitskomponenten u, v, w be-

schrieben:

= +

= +

= +

Dabei bezeichnet die Komponente u die Windgeschwindigkeit in Windrichtung,

die Komponenten v und w die jeweils zur Windgeschwindigkeit orthogonalen

Komponenten. Die stationren Anteile werden mit Querstrich gekennzeichnet

Stromlinie



(Mittelwert), die fluktuierenden Anteile mit Hochkomma (Schwankungsanteil).

Abbildung 1-5: Knstlich generierter Zeitverlauf einer Windgeschwindigkeitskomponente u

Die Umstrmung von Gebuden und die daraus resultierenden Kraftwirkungen

werden von der Turbulenzstruktur des Windes beeinflusst. Mit der mittleren

Geschwindigkeit und der Standardabweichung lsst sich der sogenannte

Turbulenzgrad Iu fr die Hauptwindrichtung wie folgt berechnen:

=

Der Turbulenzgrad ist eine wichtige Gre zur Beschreibung der Turbulenz-

struktur, die z.B. auch bei der Konzeption eines Modellversuchs bercksichtigt

werden muss. Sie ist auerdem die wesentliche Gre bei der Erfassung von

Lastspitzen und zur korrekten Modellierung von dynamisch geprgten System-

antworten.

1.1.5. Strmungsgrenzschicht

Fr Rohrstrmung oder Strmungen entlang von Wnden muss die Wirkung der

Reibung bercksichtigt werden. An der Wand haftet die Strmung, whrend in

einem gewissen Abstand zur Wand die Geschwindigkeit die der freien Auen-

strmung erreicht. Die Strmung in der wandnahen Schicht wird als Grenz-

schicht bezeichnet.

Abbildung 1-6: Grenzschichtausbildung an der reibungsbehafteten Wand

Der Einfluss der Wandreibung klingt asymptotisch nach auen ab. Der Grenz-

schichtrand ist dort erreicht, wo die Geschwindigkeit nur noch 1 Prozent vom

Wert der freien Auenstrmung abweicht.

Parallele Bahnlinien innerhalb der Grenzschicht weisen auf eine laminare Str-

mung. Nach einer gewissen Lauflnge findet ein Umschlag in eine turbulente

Grenzschicht statt, was zu einer Formvernderung im Grenzschichtprofil fhrt.

In der Baupraxis ist nur die turbulente Grenzschicht von Bedeutung.



1.1.6. Strmungsablsung

Strmungsablsungen knnen dann beobachtet werden, wenn ein Medium ent-

lang einer Wand in Richtung wachsenden Druckes strmt, z.B. in einem Dif-

fusor oder um einen Kreiszylinder. Die Strmungsgeschwindigkeit auerhalb

der Grenzschicht nimmt stetig ab und der Druck steigt nach Bernoulli dement-

sprechend an. Da der Gesamtdruck in der Auenstrmung und in der Grenz-

schicht gleich ist, steigt auch der Druck in der Grenzschicht an und die Teilchen

des Mediums werden abgebremst. Die Strmung kommt in unmittelbarer

Wandnhe gnzlich zum erliegen, so dass die Teilchen die Grenzschicht von der

Wand abdrngt: die Strmung lst ab. Hinter dem Ablsepunkt strmt das Me-

dium an der Wand entgegen der Strmungsrichtung.

Ist der Druckanstieg zu klein, wie z.B. bei einem Diffusor mit kleinem ff-

nungswinkel, kann der Strmungsimpuls in Strmungsrichtung aufrecht erhalten

werden und die Strmung lst nicht ab. Bei der Umstrmung scharfer Kanten

lst die Strmung immer ab (siehe Bild 2.3).

1.2. Statistische Beschreibung des Zufallsprozesses

1.2.1. Eindimensionale Beschreibung

Da es sich bei dem Lastfall Wind um einen Zufallsprozess auf der Einwirkungs-

seite handelt, bedient man sich zu seiner vollstndigen Beschreibung blicher-

weise statistischer Methoden.

Bereits in Abbildung 1-5 wurde ein exemplarischer Zeitschrieb einer Windge-

schwindigkeitsreihe dargestellt. Fr eine nhergehende statistische Beurteilung

kann nun die Dichteverteilung der auftretenden Geschwindigkeiten angegeben

werden, und man kann fr bliche Windzeitreihen feststellen, dass die zugrun-

deliegende Verteilung Gau ist. Aus dieser Erkenntnis folgt, dass sowohl die

Lage als auch die Form der Verteilung vollstndig durch Mittelwert und Stan-

dardabweichung beschrieben werden kann.

Abbildung 1-7: Knstlich generierter Zeitverlauf einer Windgeschwindigkeitskomponente u

Entsprechend der Wahrscheinlichkeitstheorie fr normalverteilte Prozesse kn-

nen somit aus diesen Gren diejenigen Windgeschwindigkeiten abgeleitet wer-

den, die zu beliebigen berschreitenswahrscheinlichkeiten gehren (hufig er-

forderlich fr das Sicherheitskonzept).

...



Zeitabhngige Funktionen knnen unterschiedlicher Natur sein, die Autokorre-

lationsfunktion gibt Aufschluss darber ob es sich bei einer zeitabhngigen

Funktion um einen Trend, ein rein stochastisches oder ein periodisches Signal

handelt.

1.2.2. Mehrdimensionale Beschreibung

Neben der Zeitabhngigkeit ist fr die Bewertung der resultierenden Windbelas-

tung auch die rumliche Ausdehnung der bewegten Luftmassen im Bereich des

betrachteten windbeaufschlagten Bauwerks oder Bauteils wesentlich. Eine wich-

tige Bedeutung kommt hierbei dem Korrelationsgrad der einwirkenden Windge-

schwindigkeiten an verschiedenen Einwirkungspunkten zu.

Abbildung 1-8: Beispiel fr dreidimensionale knstliche Windfelder

1.3. Extremwerttheorie

Das Sicherheitskonzept der europischen Windlastnormung fordert fr Bemes-

sungszwecke die Verwendung von charakteristischen Geschwindigkeitswerten

mit einer jhrlichen Nichtberschreitenswahrscheinlichkeit von 98%. Die zuge-

hrige statistische Wiederkehrperiode liegt damit bei R=50 Jahren.

Zur Bestimmung der charakteristischen Gren auf dem geforderten Sicher-

heitsniveau wurde von Gumbel (1954) eine vergleichsweise einfach zu hand-

habebene Vorgehensweise beschrieben, um die Formparameter einer sog. Typ I-

Extremwertverteilung anhand von gemessenen jhrlichen Extremwerten abzu-

leiten.

Die Summenhufigkeitsfunktion der Typ I-Extremwertverteilung hat die Form:

() = { [

]} (1.1)

dabei sind: u der Modalwert der Verteilung

a der Skalierwert

Die Wiederkehrperiode R kann direkt aus der Summenhufigkeitsfunktion FU(u)

berechnet werden:

=1

1() (1.2)

Substituiert man nun in Gleichung (1.1) das FU(U) durch Umstellung von Glei-

chung (1.2), so erhlt man die zur Wiederkehrperiode R zugehrige Windge-



schwindigkeit UR:

= +1

{ [ (1

1

)]} (1.3)

Im Falle von ausreichend groen Wiederkehrperioden R, kann Gleichung (1.3)

vereinfacht geschrieben werden:

= +1

() (1.4)

Zur Anwendung der Gumbel-Methode wurde in [5] folgendes Vorgehen be-

schrieben:

Bestimmung des Hchstwertes der Windgeschwindigkeit Ui fr jedes

Kalenderjahr

Sortierung der Geschwindigkeitswerte in aufsteigender Reihenfolge,

entsprechend der Ordnungszahlen: 1,2,mN

Jedem Geschwindigkeitswert Ui wird eine Nichtberschreitens-

wahrscheinlichkeit pi zugeordnet, gem pi m/(N + 1)

Die reduzierte Wahrscheinlichkeit kann nun zu yi = ln( ln pi) be-

rechnet werden

Die Windgeschwindigkeiten Ui knnen nun ber der reduzierten Wahr-

scheinlichkeit yi aufgetragen werden.

Die skizzierte Vorgehensweise stellt eine praktische Alternative zur Verwen-

dung von Gumbel-Wahrscheinlichkeitspapier dar, da die Darstellung und die

Bestimmung der Regressionsfunktion nun in linearer Darstellung erfolgen kn-

nen.

Zunchst ist zu prfen, ob die verwendeten Extremwerte tatschlich entspre-

chend der angenommenen Typ 1-Extremwertverteilung verteilt sind. Dies ist der

Fall, wenn sich die Daten im Gumbelpapier bzw. im linearen Mastab ber die

reduzierte Wahrscheinlichkeit in guter Nherung durch eine Gerade approximie-

ren lassen.

Aus der Regressionsgeraden knnen nun die Parameter fr den Skalierungswert

a und den Modalwert u ermittelt. Der Ordinatenabschnitt entspricht dem Mo-

dalwert u, die Steigung der geraden entspricht dem Kehrwert des Skalierungs-

faktors a.

Der zu Wiederkehrperiode R zugehrige Wert der Windgeschwindigkeit kann

nun bestimmt werden mittels der Gleichungen (1.3), bzw. (1.4).

In der Abbildung Abbildung 1-9 ist beispielhaft die Auswertung von meteorolo-

gischen Winddaten dargestellt. Die Ablesung des charakteristischen Geschwin-

digkeitswertes erfolgt fr p=0,98 bei einer reduzierten Wahrscheinlichkeit von

y=-ln(-ln(0,98))=3,91.



Abbildung 1-9: Exemplarische Auswertung der jhrlichen extremen Windgeschwindigkei-

ten (10-mintiges Mittel) in H=10,0m Hhe ber einen Zeitraum von T=50 Jahren bei einer

reduzierten Wahrscheinlichkeit von y=3,91 (entsprecht einer Nicht-berschreitens-

wahrscheinlichkeit von p=0,98)

1.4. Baupraktische Regelungen fr das Windklima in Europa

Die europische Windlastnormung ist seit Beginn des Jahres 2011 im Normen-

werk Eurocode 1-1-4 vereinheitlicht. Neben diesem Basisdokument, das in

Deutschland als DIN EN 1991-1-4 [2] erschienen ist, haben die Mitgliedsstaaten

die Mglichkeit in bestimmten Grenzen abweichende Werte oder auch Metho-

den fr ihre Staatsgebiete festzulegen. Dies geschieht in Form der sog. Nationa-

len Anhnge, in Deutschland ist dies im Falle der Windlastnorm die DIN EN

1991-1-4/NA:2010 [3].

Bei der Bestimmung von Windlasten sind also generell die landesspezifischen

Regelungen ber die Nationalen Anhnge zu beachten, diese haben Vorrang

gegenber den Angaben im Basisdokument.

Grundstzlich werden die Windlastzonenkarten in den Nationalen Anhngen

behandelt. Fr Deutschland beispielsweise sieht die 1991-1-4/NA:2010 [3] da-

bei vier unterschiedliche Windlastzonen vor, fr die die zugehrigen Basiswerte

der mittleren Windgeschwindigkeit (Mittelungszeit t=600s, Hhe der Messung

in z=10,0m, Gelndekategorie II) angegeben werden.

y = 1,8104x + 17,667

0

5

10

15

20

25

30

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Win

dgs

chw

ind

igke

it in

m/s

Reduzierte Wahrscheinlichkeit y

Exemplarische Extremwertstatistik



Abbildung 1-10: Windzonenkarte fr Deutschland [3]

In Fllen, in denen die Windlastzonenkarte nach Abbildung 1-10 zu grob er-

scheint, knnen Einstufungen entsprechend der Verwaltungsgrenzen beim Deut-

schen Institut fr Bautechnik heruntergeladen werden:

www.dibt.de/de/Data/TB/Windzonen_nach_Verwaltungsgrenzen.xls

Fr die Bestimmung der hhenabhngigen Geschwindigkeits- und Turbulenz-

profile ist die Gelndesituation im Umfeld des Bauvorhabens zu kategorisieren.

Hierzu wird zwischen vier sog. Gelndekategorien (I-IV, s.h. Abbildung 1-11)

unterschieden, zustzlich definiert der deutsche Nationale Anhang zwei Misch-

profile (Kste und Binnenland).



Abbildung 1-11: Gelndekategorien fr Deutschland [3]

Fr die Definition der Mischprofil wird auf die DIN EN 1991-1-4/NA:2010 [3]

verwiesen.

Die fr die baupraktische Bemessung im Normalfall magebenden Hhenprofile

des Benwindgeschwindigkeitsdruckes knnen mit den zuvor genannten Einstu-

fungen spezifisch fr den betrachteten Standort des Baukrpers festgelegt wer-

den. Hierzu werden fr die einzelnen Gelndekategorien die entsprechenden

Formel in

Tabelle 1 Berechnungsformeln fr hhenabhngige aerodynamische Profile

Quasistatische Windlastformulierung 2-12


2. Quasistatische Windlastformulierung

2.1. Windkrfte als Folge von Druckdifferenzen

Umstrmte und durchstrmte Baukrper rufen aufgrund ihres Strmungswider-

standes eine Druckdifferenz im Strmungsfeld hervor. Im Abschnitt 1.1.3 wurde

in diesem Zusammenhang die Bernoullische Energiegleichung eingefhrt.

Windkrfte entstehen grundstzlich aus solchen Druckdifferenzen. Fr die Nor-

mierung von Windwirkungen auf standardisierte Geometrien, werden aerody-

namische Beiwerte eingefhrt, die letztendlich immer die auftretenden Druck-

differenzen auf geometrische Gren und die Anstrmbedingungen beziehen.

2.2. Aerodynamische Formbeiwerte

Die kinetische Energie des zuvor beschriebenen dreidimensionalen Windge-

schwindigkeitsfeldes ruft die individuelle Bauteilbelastung hervor. Die effektiv

einwirkenden Lastkomponenten sind ihrerseits von der Bauteilgeometrie, der

Einbausituation, der aerodynamischen Dichtigkeit gegenber windgeschtzten

Bereichen (z.B. Innenrumen), etc. abhngig.

Abhngig von dem betrachteten Krper der relevanten Windwirkung und der

Mglichkeit zur Erfassung dieser Windwirkungen, werden unterschiedliche

Formbeiwerte verwendet.

Im Falle geschlossener Oberflchen, knnen sehr einfach die Differenzdrcke

direkt erfasst werden. Die zugehrigen Beiwerte werden dann als (Differenz)-

druckbeiwerte bezeichnet. Bei Zusammengesetzten Bauteil (beispielsweise

Fachwerktrger, Brckenquerschnitte) macht eine Messung der Oberflchendr-

cke aufgrund der Vielzahl der beteiligten Flchen in den meisten Fllen wenig

Sinn. Stattdessen werden in diesen Fllen die Gesamtwindwirkungen (Krfte,

Momente) fr die Bestimmung von sog. Kraft- und Momentenbeiwerten ermit-

telt.

Die Unterscheidung, ob Kraft- und Druckbeiwerte verwendet werden sollen

resultiert darber hinaus aus dem Bemessungsziel. Kraftbeiwerte werden im

Wesentlichen zur Beschreibung von resultierenden Windlasteffekten, wie z.B.

von Fundamentkrften von Hochhusern oder Brckenbauwerken verwendet.

Druckbeiwerte hingegen beschreiben die lokalen Flchenlasten auf Bauwerks-

oberflchen, z.B. im Fassaden- oder Dachbereich.

Aus zahlreichen Messungen (vorwiegend im Windkanal) sind die aerodynami-

schen Beiwerte fr frei angestrmte (nicht verschattete) Bauteile und Bauwerks-

formen in der Regel gut dokumentiert. Mit ihrer Hilfe knnen die Wirkungen

der Windbelastung hinsichtlich unterschiedlicher Kraftwirkungsrichtungen

(Kraftbeiwerte cD, cL und cM) oder hinsichtlich der individuellen Druckvertei-

lung (Druckbeiwerte cp,e, cp,i und cp,net) bezogen auf ein definiertes Referenzma

zur Bercksichtigung von Mastabseffekten bestimmt werden.

Quasistatische Windlastformulierung 2-13


Die Anstrmcharakteristik ist bei allgemeinen Untersuchungen im Falle von

Kraftbeiwerten zumeist weitgehend laminar (also turbulenzfrei) und im Falle

von Druckbeiwerten fr die uere Bauwerkshlle zumeist mig turbulent,

entsprechend der natrlichen Strmungsgrenzschicht im lndlichen Gebiet (Ge-

lndekategorie II).

In den wenigsten Fllen entspricht bei baupraktischen Belangen die Zusammen-

setzung des einwirkenden Windes den idealisierten Annahmen der freien An-

strmung. Im Normalfall werden jedoch die entsprechenden Beiwerte trotzdem

verwendet und mit dem an die individuelle Situation angepassten regionalen

Windfeld kombiniert. Fr bliche Formen sind die aerodynamischen Beiwerte

weitgehend bekannt und sie knnen Tabellenwerken oder Normen entnommen

werden. Fr ungewhnliche Geometrien sind Windkanalversuche ein geeignetes

Instrument, um realistische Strmungsbeiwerten zu erlangen.

2.2.1. Kraftbeiwerte

Entsprechend Ihrer Windwirkung knnen generell unterschiedliche Kraft- und

Momentenbeiwerte fr die Lastbeschreibung verwendet werden. Im Brckenbau

hat sich die Verwendung von zwei aerodynamischen Windkrften (cDrag, d.h. in

Windrichtung und cLift, d.h. senkrecht zum Wind, entgegen der Erdschwere) und

eines Momentenbeiwertes (cMoment, d.h. um die Brckenachse tordierend) einge-

brgert.

Das Vorgehen zur Ermittlung der Kraftbeiwerte ist vergleichsweise einfach. Es

werden die resultierenden Krfte z.B. im Bereich von Brckenauflagern mittels

geeigneter Sensoren gemessen und mit einer geometrischen Gre (z.B. Breite

des Brckendecks) sowie dem einwirkenden Bengeschwindigkeitsdruck nor-

miert. Auf diese Weise erhlt man aerodynamische Beiwerte, die unabhngig

vom Mastab und der einwirkenden Windgeschwindigkeit gltig sind.

Bei der Verwendung der Kraftbeiwerte im Rahmen von Bemessungsaufgaben

ist besonders auf die Gltigkeit der ihnen zugrundeliegen Modellierung bezogen

auf die Planungsaufgabe zu achten, sowie die korrekte Verwendung der zur

Normierung verwendeten Bezugsgren zu achten.

2.2.2. Druckbeiwerte

Auf die Oberflche eines Baukrpers wirkt infolge der Windanstrmung eine

Druckkraft, die sich aus dem Produkt des rtlichen Druckes und einer Flche

ergibt. Der resultierende Druck auf eine Flche A ergibt sich durch die Differenz

zwischen dem rtlichen Druck p und dem ungestrten statischen Referenzdruck

p0. Zur Definition des Druckbeiwertes wird diese Differenz auf den Staudruck

bezogen:

=0

=

0

2

2

Wichtig bei der Angabe des Druckbeiwertes ist auch hier die Bezugshhe, in der

die Bezugswindgeschwindigkeit definiert ist.

Zur Ermittlung von Druckbeiwerten werden die zu vermessenden Oberflchen

2-14


mit geeigneten Drucksensoren bzw. mit Messstellen, die ber druckweiterlei-

tende Schluche mit solchen Sensoren verbunden sind, ausgestattet und im

Windkanal (ggf. unter Bercksichtigung unterschiedlicher Anstrmrichtungen)

vermessen. Die auf diese Weise ermittelten Drcke werden mit dem einwirken-

den Bengeschwindigkeitsdruck normiert. Auf diese Weise erhlt man aerody-

namische Beiwerte, die unabhngig vom Mastab und der einwirkenden Wind-

geschwindigkeit gltig sind.

2.3. Admittanzanstze

Als aerodynamische Admittanz wird die bertragung von der Windstrmung in

Windkrfte verstanden. Dabei wird neben dem zuvor beschriebenen Kraftbei-

wert auch die Reduktion der Windeffekte fr aufgrund geringerer Gleichzeitig-

keit der hherfrequenten Strmungsanteile bercksichtigt. Anschaulich kann die

Benfrequenz im direkten Zusammenhang mit der geometrischen Gre der

Benballen gesehen werden, so dass sich mit zunehmender Frequenz die Ab-

messungen der Benanteile verringern, und die Wind beanspruchten Bauteile

mit abnehmender Gleichzeitigkeit belasten.

Die aerodynamische Vergrerungsfunktion HA(f) wird abhngig von der Fre-

quenz formuliert. Am weitesten verbreitet ist die von Vickery verffentlichte

Funktion.

Die aerodynamische Vergrerungsfunktion nimmt Werte zwischen 1 und 0 an,

tatschlich verkleinert sie also die effektive Windwirkung fr zunehmende Ei-

unwirkungsfrequenzen.

Die Bercksichtigung von aerodynamischen Admittanzen ist besonders bei der

dynamischen Untersuchung von Bauteilen wichtig, da fr die Untersuchung von

Benresonanzeffekten eine realistische Bercksichtigung der maximalen Bau-

teilantworten mglich ist.

Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-15


3. Schwingungsanflligkeit von Bauwerken

3.1. Benreaktion

Generell sind mit dem Begriff der Benreaktion die Zeitabhngigkeit der Belas-

tung des Baukrpers und die damit einhergehende Zeitabhngigkeit der Last-

wirkung verbunden.

Mit der Fluktuation der Windlastkomponenten auf der Oberflche des Baukr-

pers gehen zwei wichtige Effekte einher:

1. Die Belastung ist Frequenzabhngig, niedrige Lastfrequenzen gehen mit

einer stark korrelierten Lastwirkung einher, whrend mit zunehmender

Lastfrequenz kleinere Benballen auf die Oberflche treffen, die den

Baukrper nicht mehr gleichzeitig komplett belasten. Je grer die

windbeaufschlagte Lasteinzugsflche, desto strker ist der Lastminde-

rungseffekt.

2. Die Bauwerksantwort ist Frequenzabhngig, die Systemantworten wer-

den im Bereich der Eigenfrequenzen dynamisch berhht. Besonders

stark kommt dieser Effekt bei niedrigfrequenten und gering gedmpften

Strukturen zum Tragen.

Fr eine nhere Betrachtung der Windlasteffekte, die sich aus Benreaktion

ergeben, ist also eine detaillierte Kenntnis der dynamischen Eingangsgre

(Windfelder) und des belasteten System (Struktur) erforderlich.

3.1.1. Dynamik der Windfelder

Die Zeitabhngigkeit des Windes kann am anschaulichsten im Frequenzbereich

beschrieben werden. Die Frequenzbereichsdarstellung ist dabei nichts anderes

als die Zerlegung eines Zeitverlaufssignals in eine endliche Zahl von harmoni-

schen Schwingungskomponenten. Der effizienteste Algorithmus zur berfh-

rung von Zeitsignalen in die Frequenzbereichsdarstellung ist die Fast-Fourier-

Transformation (FFT). Die Transformation eines beliebigen Zeitsignals fhrt zu

Amplituden- und Phasenspektren, sie ist eindeutig und umkehrbar (Inverse

FFT).

Die Frequenzbereichsdarstellung der Windgeschwindigkeitsamplituden im sog.

Leistungsdichtespektrum kann aufgefasst werden als Energiegehalt der Einwir-

kungskomponente, die mit den jeweiligen (der Frequenz entsprechenden) Wie-

derholraten einhergehen. Eine sehr bekannte Darstellung des meteorologischen

Windgeschwindigkeitsspektrums ist als van-der-Hoven-Spektrum in der Litera-

tur bekannt geworden. Fr bauwerksaerodynamische Fragestellungen ist vor

allem der Bereich kurzer Wiederkehrperioden (Sekunden bis wenige Minuten,

entsprechend ca. 0,01-10 Hz) relevant.



Abbildung 3-1: Van-der-Hoven Spektrum der Windgeschwindigkeitskomponenten

Im Bereich dieser Lastfrequenzen kommen beide im Abschnitt 3.1 beschriebe-

nen zeitabhngigen Windlasteffekte (Korrelationsminderung und Resonanz-

vergrerung) zum Tragen.

Der groe Vorteil der Frequenzbereichsdarstellung von stochastischen Windge-

schwindigkeitszeitreihen liegt darin, dass sich der zufllige Charakter allein im

Phasenspektrum abbildet, whrend die Verteilung der Geschwindigkeitskompo-

nenten im Amplitudenspektrum von der Stochastik unbeeinflusst bleibt und

lediglich von aerodynamischen Standort- und Windklimatischen Faktoren ab-

hngt. Im Klartext bedeutet dies, dass wiederholte Messungen der Windge-

schwindigkeit zu unterschiedlichen Zeitfunktionen fhren werden, die Amplitu-

denspektren jedoch nahezu identisch ausfallen (vgl. Abbildung 1-8).

Abbildung 3-2: Vergleich von Windereignissen im Zeitbereich (oben) und im Spektralbe-

reich als Leistungsdichtespektrum (unten)

In den gngigen Windlastnormen werden Leistungsdichtespektren der Windge-

schwindigkeit fr unterschiedliche Standorte und Referenzwindbedingungen

angegeben. Sie basieren im Wesentlichen auf zahlreichen Originalmessungen an

unterschiedlichen Standorten, wie sie von einer Vielzahl von Autoren dokumen-

tiert wurden. Besonders die von Kaimal beschriebene dimensionslose Formulie-

rung des Windlastspektrums wird inzwischen bevorzugt in den Normen ver-

wendet:

()

2 =

6,8

(1 + 10,2 )53



mit ist:

= ()

()

dabei sind: f Frequenz [Hz]

Lu(z) Integrales Lngenma der Turbulenz in Windrichtung am

Standort in der Bezugshhe z [m/s]

() Mittlere Windgeschwindigkeit am Standort in der Bezugs-

hhe z [m/s]

Die aerodynamischen Kenngren knnen standortabhngig den Windlastnor-

men, z.B. aus Windzonenkarten und Topographiekategorien entnommen wer-

den.

3.1.2. Dynamik der Strukturen

Die Relevanz von benbedingten Resonanzantworten hngt bei Baustrukturen

mageblich von den Eigenfrequenzlagen und Dmpfungswerten ab. Auch diese

Struktureigenschaften lassen sich im Frequenzbereich elegant in Form der me-

chanischen Admittanz ausdrcken. Hiermit wird letztlich die Systemantwort

infolge pulsierender Einheitslasten mit unterschiedlicher Frequenz beschrieben

und sie stellt somit eine Erweiterung der statischen Flexibilittsbeziehung (als

inverse der Steifigkeitsmatrix) im Hinblick auf die Belastungsfrequenz dar.

Ausgehend von der matriziellen Bewegungsgleichung fr harmonisch (nicht-

phasenverschoben) angeregte Systeme:

+ + = cos( )

Erfolgt die allgemeine Formulierung in der komplexen Zahlenebene durch Be-

rcksichtigung der Ableitungen:

= 2

=

Die allgemeine Bewegungsgleichung fr beliebige Phasenlagen ergibt sich zu:

(2 + + ) = eit Hierbei wird aufgrund der Analogie zur Statik der Klammerausdruck aus der

obigen Gleichung als dynamische Steifigkeit bezeichnet. Durch die matrizielle

Inversion wird die dynamische Steifigkeit schlielich in die vollstndige kom-

plexe bertragungsfunktion des Systems HS berfhrt:

() = (2 + + )

1

Der Verlauf der mechanischen bertragungsfunktion fr unterschiedliche Struk-

turdmpfungen macht deutlich, wie stark die Resonanzwirkung bei Anregungen

im Bereich der Eigenfrequenz ausfllt. Niedrige Dmpfungsdekremente von

z.B. =0,01 bis 0,02 treten bei Stahlschornsteinen auf, so dass hier selbst kleine

Anregungskomponenten zu erheblichen Schwingamplituden fhren knnen.



Abbildung 3-3: Exemplarische Darstellung der mechanischen bertragungsfunktion eines

MDOF-Systems und Frequenzzoom im Bereich der 1. Eigenfrequenz

3.1.3. Bestimmung der dynamischen Bauwerksreaktionen

Wie zuvor beschrieben, erfolgt in der Bauwerksaerodynamik die Beschreibung

der dynamischen Einwirkungsgren und des Systemverhaltens am effektivsten

im Frequenzbereich. Bereits 1965 wurde von Alan Davenport ein Verfahren

vorgestellt, dass die zuvor beschriebenen Spektralkomponenten verwendet und

zur Bestimmung der benbedingten Windlastantworten verwendet werden kann.

Dieses Prinzip wird als Davenportsches Spektralverfahren bezeichnet und ist in

nahezu unvernderter Form die Standardmethode von heutigen Windlastnor-

men.

In der nachstehenden Abbildung sind die einzelnen Komponenten anschaulich

zusammengestellt.

Abbildung 3-4: Davenportsches Spektralverfahren zur Berechnung beninduzierter Bau-

werksschwingungen

Die wesentlichen Eingangsgren die die Anwendung des Verfahrens ermgli-

chen, wurden in den vorhergehenden Kapiteln.

3.1.4. Windlastdefinition fr schwingungsanfllige Baukrper nach

DIN EN 1991-1-4:2010 und DIN EN 1991-1-4:2010/NA

Bei schwingungsanflligen Bauwerken bzw. Bauteilen muss grundstzlich die

mit den Schwingamplituden einhergehende Laststeigerung aus der Massentrg-

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+01

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0

Ve

rfo

rmu

ng

[m]

Frequenz [Hz]

Dynamische bertragungsfunktion eines MDOF-Systems

d=0.005 d=0.02 d=0.05

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,35 4,37 4,39 4,41 4,43 4,45 4,47 4,49

Ve

rfo

rmu

ng

[m]

Frequenz [Hz]

Dynamische bertragungsfunktion eines MDOF-Systems (Zoom bei 1. EF)

d=0.005 d=0.02 d=0.05



heit der Struktur beim Nachweis bercksichtigt werden. In die gngigen Nor-

men hat ein an das Davenport-Schema angelehntes Verfahren Einzug gehalten,

dass gegenber dem im Abschnitt 3.1.3 vorgestellten Spektralverfahren vor

allem der Einschrnkung auf Systeme mit einem dynamischen Freiheitsgrad

unterliegt, bzw. sich auf System, die durch Generalisierung auf ein 1-DOF Sys-

tem hinreichend genau abgebildet werden.

Darber hinaus gelten folgende Einschrnkungen:

- Das Verfahren ist gltig fr vertikale Kragsysteme in der Grundschwin-

gungsform (z.B. Kamine, Hochhuser, etc.). Es darf nherungsweise fr

Einfeldtrger in der Grundschwingungsform verwendet werden.

- Es darf linear-elastisches Tragverhalten angenommen werden.

- Das Verfahren ist nicht fr durchlaufende Systeme, sowie fr abge-

spannte Masten, seilverspannte Brcken und Bogenbrcken anzuwen-

den.

Sofern das zu untersuchende System die Einschrnkungen verletzt, ist das

Spektralverfahren (nach Abschnitt 3.1.3) bzw. im Falle von Nichtlinearitten

erweiterte Methoden basierend auf Zeitbereichsuntersuchungen zu verwenden.

Bauwerke gelten als schwingungsanfllig (im Sinne des Nationalen Anhangs fr

Deutschland, DIN EN 1991-1-4/NA), wenn ihre Verformungen unter Windein-

wirkungen durch Benresonanz um mehr als 10% vergrert werden. In diesem

Falle mssen die Windlasten mittels geeigneter Methoden unter Bercksichti-

gung der Strukturdynamik bestimmt werden, beispielsweise nach dem Verfah-

ren des Benreaktionsfaktors. Nach diesem Verfahren wird eine statische Er-

satzlast fr die Gesamtwindwirkung ermittelt:

= ()

dabei sind: cscd Strukturbeiwert [-]

cf Kraftbeiwert [-]

qp(ze) Bengeschwindigkeitsdruck in der Bezugshhe ze [N/m]

Aref Bezugsflche [m]

Die detaillierte Berechnungsweise des Strukturbeiwerts wird im Abschnitt 3.1.5

anhand eines Berechnungsbeispiels dargestellt. Dort finden sich auch die Ver-

weise auf die verwendeten Abschnitte bzw. Formeln der Normstelle.

Die Bewertung, ob eine Struktur infolge der Benwirkung als Schwingungsan-

fllig zu bezeichnen ist, erfolgt auf Basis des dynamischen Faktors cd:

=1 + 2 2 + 2

1 + 2 ,

Die einzelnen Parameter sind [2] bzw. [3] beschrieben, auf eine Wiedergabe

wird an dieser Stelle verzichtet. Im nachstehenden Berechnungsbeispiel werden

die notwendigen Berechnungsschritte jedoch exemplarisch am Beispiels ein

Stahlkamins dargestellt.



3.1.5. Berechnungsbeispiel zur Bestimmung der Benreaktion

Im folgenden Beispiel soll ein Berechnungsablauf zur Bestimmung der Benre-

sonanz fr einen Schornstein auf Basis der DIN 1055-4 gezeigt werden. Das

System erfllt die o.g. Einschrnkungen, so dass die Anwendbarkeit gegeben ist.

Basisgeometrie [1] DIN EN 1991-1-4

Hhe H 120 m [2] DIN EN 1991-1-4/NA:2010-12

Breite B 4 m

Dicke T 0,04 m

Querschnittsdaten

A 0,49763 m

I 0,97555 m4

W 0,48778 m

Dichte Stahl 8000 kg/m

Lngenbezogene Masse 3981,03 kg/m

quiv. Rauhigkeit k 0,5 mm [1] Tabelle 7.13

Standortbedingungen

Windzone 3 [2] Bild NA.A.1

vref 27,5 m/s "

Gelndekategorie II [2] Bild NA.B.1

Windcharakteristik in Hhe H=ze

Bezugshhe ze 72 m [1] Bild 6.1

Mittlere Geschwindigkeit vm 37,7 m/s [2] Tabelle NA.B.2

Mittlerer Geschwindigkeitsdruck qm 889,0 N/m

Turbulenzinstensitt Iv 0,139 "

Bengeschwindigkeitsdruck qp 1594,1 N/m "

Integrallngenma 207,0 m [2] Formel (NA.C.2)

Aerodynamische Beiwerte

Reynoldszahl Re 1,0E+07 [1] Formel (7.15)

Bezogene qu. Rauigkeit k/b 1,3E-01

Kraftbeiwert cf,0 1,212 [1] Bild 7.28

Schlankheit 21,0 [1] Tabelle 7.16, Zeile 2Vlligkeitsgrad 1 [1] Formel (7.28)

Effektive Schlankheit 0,84 [1] Bild (7.36)

Kraftbeiwert cf 1,018 [1] Formel (7.19)

Dynamische Struktureigenschaften

Eigenfrequenz n1 0,279 Hz nach Petersen Baudynamik

Log. Dmpfungsdekrement 0,012 [1] Tabelle F.2

261.79

0,1

1

10

100

1000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Dynamische Vergrerungsfunktion

Sizze



Das Berechnungsbeispiel macht deutlich, dass das Berechnungsverfahren des

Benreaktionsfaktors gegenber der einfachen Bemessung mit dem Benge-

schwindigkeitsdruck zwei Effekte mit sich bringt:

1. Lastabminderung aufgrund der Nicht-Gleichzeitigkeit der Windlast (rea-

listischere Lastkorrelation durch aerodynmisches Admittanzmodell), in

der Rechnung: B=0,605 (volle Lastkorrelation wrde B=1,0 bedeu-

ten).

2. Laststeigerung aufgrund der in der spektralen Leistungsdichte der

Windkraft vorhandenen Lastkomponenten im Bereich der Systemeigen-

frequenz, ), in der Rechnung: R=7,79 (Quasistatische Reaktion wrde

R=1,0 bedeuten).

Im vorliegenden Fall zeigt sich, dass die Vernachlssigung der Bauwerks-

schwingungen aus Benresonanz, eine erhebliche Unterbemessung des Trag-

werks zur Folge gehabt htte.

Zustzlich bei schwingungsanflligen Bauwerken erforderliche Ermdungs-

nachweise sind nicht Gegenstand dieses Berechnungsbeispiels.

3.2. Wirbelerregte Querschwingungen

Ein besonderes Phnomen in der Bauwersaerodynamik stellen die sogenannten

Wirbelerregten Querschwingungen dar. Bei diesem dynamischen Anregungs-

Bestimmung des Benreaktionsfaktors

B 0,605 [1] Formel (B.3)

fL 1,530 [1] Abschnitt B.1

h 4,080

b 0,136

aerody. bertragungsfkt. Rh 0,215 [1] Formel (B.7)

aerody. bertragungsfkt. Rb 0,915 [1] Formel (B.8)

SL 0,0963 [1] Formel (B.2)

R 7,7925 [1] Formel (B.6)

vE 0,2685 [1] Formel (B.5)

Spitzenfaktor kp 3,3763

Dynamischer Faktor cd 2,25 [2] Formel (NA.C.5)

Strukturbeiwert cscd 1,88 [1] Formel (6.1)

Bestimmung der Schwingungsanflligkeit

Dynamischer Faktor: cd 2,253 > 1.1

Bewertung schwingungsanfllig [2] Abschnitt NA.C.2

Bemessungslast

F=cscdcfqp(ze)BH 1756,2 kN [1] Formel (5.3)

Strukturantworten

max. Verformung (inkl. Benres.) 2,13 m Schneider Bautabellen

max. Verformung (quasistatisch) 0,95 m mit qb ermittelt

Einspannmoment 126444 kNm

Biegespannung B 259225,6 kN/m

259,2 N/mm



mechanismus, liegt die Entstehungsursache bei alternierenden Krften, die sich

in Folge periodisch ablsender Wirbel quer zur Anstrmrichtung einstellen. Der

Prozess der harmonischen Wirbelablsung ist auf die Karmansche Wirbelstras-

se zurckzufhren und ihre Stabilitt hngt von einer Reihe von strmungsme-

chanischen Randbedingungen ab, auf die im Folgenden detaillierter eingegangen

werden soll. Fr querschwingungsanfllige Bauwerke muss im Nachweis der

Tragfhigkeit und im Ermdungsnachweis die auftretenden Amplituden berck-

sichtigt werden.

Querschwingungsanfllige Bauwerke sind:

schlank, d.h. sie weisen geringe Steifigkeiten bezogen auf die Lnge auf

schwach gedmpft

z.B. Trme, Schornsteine, Trger, Brcken

3.2.1. Karmansche Wirbelstrasse

In der Strmungsmechanik unterscheidet man zwei Strmungsformen. Bei la-

minarer Strmung flieen Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeiten ne-

beneinander ohne starken Austausch von Teilchen quer zur Strmungsrichtung.

Bei turbulenter Strmung ist die Vermischung der Teilchen wesentlich intensi-

ver, so dass die Geschwindigkeit starke, unregelmige Schwankungen auf-

weist.

Abbildung 3-5: Ausbildung der Karmanschen Wirbelstrasse am Kreiszylinder (links) und

momentane Druckverteilung bei Wirbelablsung (rechts)

Die Reynolds-Zahl Re ist das Verhltnis von Trgheits- zu Reibungskrften des

Mediums und beschreibt die Strmungsform des bewegten Mediums. Sie be-

rechnet sich aus:

=

[]

dabei sind: d Bezugsbreite (z.B. Zylinderdurchmesser)

u Strmungsgeschwindigkeit

kinematische Viskositt (=1,510-5 m/s)

Unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl ist die Strmung laminar, oberhalb tur-

bulent.

Auenstrmung und wandnaher Grenzschichtstrmung. In der Grenzschicht

wchst die Geschwindigkeit quer zur Strmungsrichtung von Null bis zu dem

Wert der ungestrten Auenstrmung, da die wandnahen Strmungsteilchen am

Krper haften und die nchsten Schichten abbremsen (Viskositt).



Abgesehen von aerodynamischen Krpern, bei denen die Stromlinien den Kr-

perkonturen folgen, findet an allen anderen Krpern eine Ablsung der Str-

mung statt. Dabei werden die strmenden Teilchen vom Krper abgedrngt. Das

Medium am Krper befindet sich nicht mehr in einer geordneten Bewegung.

Eine Strmung lst ab, wenn eine Richtungsumkehr und eine Rckstrmung in

der wandnahen Grenzschicht entstehen. Dafr mssen als Voraussetzungen

erfllt sein, dass Reibungskrfte bertragen werden und ein Druckanstieg ent-

steht oder dass an spitzen Kanten eine erzwungene Ablsung entsteht.

Abbildung 3-6: Strmungsablsung und Richtungsumkehr

An einem Kreiszylinder erfolgt die Ablsung infolge Reibung und Druckan-

stieg. Durch die Querschnittsverbreiterung entsteht ein Druckanstieg, durch

den die Teilchen in Wandnhe, die aufgrund der Reibung schon langsamer sind,

zustzlich abgebremst werden. Die Strmung am Krper kann zum Stillstand

kommen und in Gegenrichtung zurckstrmen, whrend die Auenstrmung

weiter vorwrts fliet. Dieser rcklufige Strom zwingt die Strmung zur Abl-

sung von der Krperwand (Ablsepunkt).

Stromabwrts von diesem Punkt fliet am Krper das Medium gegen die Str-

mungsrichtung. Hinter dem Ablsepunkt entsteht ein Nachlaufgebiet, in dem ein

konstanter Heckdruck herrscht.

Abbildung 3-7: Strmungsablsung am Kreiszylinder

Der zurckflieende Teil der Strmung rollt sich auf einer Seite des Zylinders

zu einem Wirbel auf. Aus Gleichgewichtsgrnden entsteht am Krper entgegen-

gesetzt zur Strmungsrichtung ein Gegenwirbel.

Dadurch wird die Geschwindigkeit auf der einen Seite des Krpers kleiner als

auf der anderen. Der entstehende Druckunterschied ruft eine Kraft $F_y$ quer

zur Strmung hervor. Nach einer Weile lst sich auf der anderen Zylinderseite

ein Wirbel ab und der Vorgang wiederholt sich in umgekehrter Richtung. Es

entsteht eine wechselnde Querkraft Fy, die den Krper zu Schwingungen anre-

gen kann.



Abbildung 3-8: Einteilung der Reynoldszahlbereiche beim laminar-turbulenten bergang

der Zylindergrenzschicht nach Roshko

In Abhngigkeit der Reynolds-Zahl der Grenzschichtstrmung entstehen an

einem Zylinder unterschiedliche Wirbelformen.

a) unterkritischer Bereich

Die Grenzschicht ist laminar. Sie erhlt wenig Energiezufuhr aus der Auen-

strmung und lst vor dem Querschnittsmaximum ab. Es entsteht eine stabile

Wirbelstrae, da die Ablselinie entlang des Zylinders gerade ist. Der Ablse-

winkel ist kleiner als 90.

b) berkritischer Bereich

Es tritt laminare Ablsung auf. Die dabei entstehende Ablsezone bleibt aber

lokal begrenzt. Die Strmung legt sich durch den Impulsaustausch mit der Au-

enstrmung wieder an die Oberflche an. Von dieser Stelle an ist die Strmung

in der Grenzschicht turbulent. Sie kann einem Druckanstieg nun lnger folgen,

so dass sich der Ablsepunkt stromabwrts verschiebt und ein schmales Nach-

laufgebiet entsteht.



Das laminare Wiederanlegen der Strmung wird von der Krmmung des Zylin-

ders, von der Geschwindigkeit und der Turbulenz der Auenstrmung beein-

flusst. Mit steigenden Reynolds-Zahlen wandert der Umschlagpunkt in der

Grenzschicht stromaufwrts vor den laminaren Ablsepunkt, so dass der Abl-

sepunkt aufgrund der anwachsenden Lauflnge sich in dieselbe Richtung ver-

schiebt. Der Ablsewinkel variiert zwischen 135 und 110. Im Nachlauf bil-

den sich keine ausgeprgten Wirbel, da die Ablsung entlang des Zylinders un-

gleichmig erfolgt.

c) transkritischer Bereich

Es liegt eine rein turbulente Ablsung vor. Der Umschlagpunkt der Grenz-

schicht befindet sich so weit vorne, dass die turbulente Grenzschicht aufgrund

der langen Lauflnge viel Energie verliert und deshalb frhzeitig ablst. Bei

einer rein turbulenten Ablsung liegt der Ablsewinkel bei ca. 110. Der

Nachlauf ist wieder breiter und die Wirbelbildung ausgeprgter, da eine einheit-

liche Ablsung erfolgt.

Da die Form der Grenzschicht von der Zylinderoberflche und der Turbulenz

der ungestrten Strmung beeinflusst wird, variieren die Grenzen dieser drei

Reynolds-Zahl Bereiche in Abhngigkeit der Oberflche und der Auenstr-

mung.

Die Entstehung von Wirbeln an einem Kreiszylinder ist abhngig von folgenden

Faktoren:

Strmungsform in der Grenzschicht

Krmmung des Zylinders

Rauigkeit der Oberflche

Turbulenz der Auenstrmung

Die Grenzschichtstrmung an Querschnitten mit scharfen Kanten lst immer ab,

da die Kanten eine Ablsung erzwingen. Die Wirbelbildung ist unabhngig von

der Form der Grenzschichtstrmung. Entlang der Kanten des Krpers bildet sich

eine gerade Ablselinie.

3.2.2. Aerodynamische Kraft infolge Wirbelablsung

Die alternierend ablsenden Wirbel der Luftstrmung bewirken am ruhenden

Krper Druckunterschiede, die eine alternierende Kraft quer zur Strmungsrich-

tung erzeugen.

(, ) = (, ) (, ) () [

]



dabei sind: plat(t,z) zeitabhngige Kraft pro Lngeneinheit infolge

Wirbelablsung

clat lateraler Erregerkraftbeiwert (auch Seitentriebbeiwert)

Staudruck

d Breite quer zur Strmungsrichtung

Der Erregerkraftbeiwert clat ist am Kreiszylinder wie folgt definiert:

= () sin()20

2

dabei sind: cp Druckbeiwert auf der Oberflche

r Zylinderradius

Winkel

q Staudruck im Staupunkt

p Differenz zwischen Staupunkt und betrachteter Stelle

Die Strouhal-Zahl St ist ein Proportionalittsfaktor, der die Ablsefrequenz der

Wirbel beschreibt. Er berechnet wie folgt:

=

dabei sind: fw Wirbelfrequenz

d Zylinderdurchmesser

u Strmungsgeschwindigkeit

Die Strouhalbeziehung gibt an, dass die Ablsefrequenz der Wirbel fw gleich

der Geschwindigkeit der Wirbel in Windrichtung dividiert durch den Abstand lw

zwischen zwei gleichgerichteten Wirbeln ist. Da der Abstand lw proportional zur

Breite d quer zur Windrichtung ist und die Geschwindigkeit der Wirbel in

Windrichtung von der anstrmenden Windgeschwindigkeit u abhngt, ist die

Ablsefrequenz proportional zum Quotienten u/d.

Abbildung 3-9: Schematische Darstellung der Wirbelablsungen am Kreiszylinder

Die Wirbelablsefrequenz fw vergrert sich proportional zur Windgeschwin-

digkeit und umgekehrt proportional zur Querschnittsbreite d. Sie ist identisch

mit der Frequenz der Seitentriebskraft. Die erforderliche Windgeschwindigkeit,

bei der die Wirbel mit der Bauwerkseigenfrequenz ablsen (Resonanz) wird mit

der Strouhal-Zahl St berechnet:



=

Die Strouhal-Zahl eines Kreiszylinders wird beeinflusst von:

der Querschnittsform

der Rauigkeit der Oberflche

der Turbulenz der Auenstrmung

Die Strouhal-Zahl eines scharfkantigen Krpers hngt von dem Verhltnis der

Tiefe zur Breite des Querschnitts ab, da eine erzwungene Ablsung der Str-

mung stattfindet.

3.2.3. Einflussfaktoren auf die aerodynamische Erregerkraft aus Wirbelablsung

Die effektiv wirkenden aerodynamischen Erregerkrfte sind von einer Vielzahl

von Faktoren abhngig. Einige wesentliche Merkmale sind nachfolgend zusam-

mengestellt:

Abhngigkeit von der Wirklnge frequenzgleiche, jedoch phasenverschobenen

Wirbelablsungen entlang der Lngsachse des Zylinders, fhren mit zunehmen-

der Distanz zum Ablsungszentrum zu abnehmenden Lastkorrelationen.

Spitzeneffekt (engl.: tip-effect): Strung der seitlichen Wirbelbildung am freien

Ende des Zylinders, da am stumpf endenden Zylinderkopf eine waagerechte

Ablsung erzwungen wird. In einem Bereich, der auf ein bis zwei Zylinder-

durchmesser geschtzt wird, findet keine geordnete Wirbelbildung statt. Die

Erregerkraft ist in diesem Bereich reduziert.

Locking-in Effekt: In der Nhe der kritischen Anstrmgeschwindigkeit, ndert

sich die Ablsefrequenz nicht mehr proportional zur Anstrmgeschwindigkeit,

sondern springt bei zunehmender Amplitude auf die Schwingfrequenz und bleibt

ber einem gewissen Geschwindigkeitsbereich konstant. Die Schwingung be-

wirkt einen verbreiterten Geschwindigkeitsbereich, in dem die Wirbel mit der

Eigenfrequenz des Systems ablsen. Schwankungen der Strmungsgeschwin-

digkeit stren die einmal erregten Schwingungen weniger.

Mit zunehmender Amplitude nimmt die Korrelation der Erregerkrfte im Reso-

nanzfall zu.

Abbildung 3-10: Schematische Darstellung des Locking-in Bereiches und dortige Abwei-

chung von der Strouhal-Beziehung



3.2.4. Berechnungsverfahren zur Bestimmung der wirbelerregten Schwingungen

Der kritischste dynamische Schwingzustand eines Systems wird als Resonanz-

zustand bezeichnet. In diesem Fall ist die Frequenz der angreifenden ueren

Belastung gleich einer wesentlichen Eigenfrequenz des Systems. Im resonanz-

fall wchst die Schwingamplitude kontinuierlich an, die Begrenzung der resul-

tierenden Schwingungen wird in diesem Zustand allein durch die dmpfungsbe-

dingte Energiedissipation des Systems bewerkstelligt. Aus diesem Grund ist das

Strukturbedingte Dmpfungsvermgen im Resonanzzustand entscheidend fr

die Gre der zu erwartenden Schwingamplituden.

Fr einfache Tragwerke (z.B. Trme, Schornsteine, einfeldrige Brcken) kann

die Beschreibung des dynamischen Systemverhaltens hufig auf ein

1-Freiheitsgradsystem (1-DOF) abgebildet werden (Generalisierung). Die Be-

stimmung der zu erwartenden Bauwerksschwingungen unter harmonischer Wir-

belablsung kann in diesem Fall auf Basis der generalisierten Gren vorge-

nommen werden:

die Feder bildet die Steifigkeit c des Bauwerks ab

der viskose Dmpfer bildet die Strukturdmpfung d ab

die Punktmasse bildet die Masse des Systems ab

Voraussetzung fr die im Folgenden beschriebene Systemgeneralisierung ist

eine Modalanalyse des Tragwerks und somit die Bestimmung der 1. Eigenfre-

quenz f1 und der zugehrigen Modalform ().In der nachstehenden Abbildung

ist der einfachste dynamische Fall des Einmassenschwingers skizziert.

Abbildung 3-11: Schematische Darstellung eines Einmassenschwingers und dynamische

Kenngren

Fr ein derartig vereinfachtes generalisiertes 1-DOF System, kann die allgemei-

ne Bewegungsgleichung wie folgt formuliert werden:

+ + = ()

Die einzelnen Generalisierungsgren werden nach den bekannten Regeln der

Strukturdynamik durch Normierung mit der zugehrigen Eigenformen des

Tragwerks bestimmt. Die Generalisierungsgren lauten verkrzt im einzelnen:

() = (, ) () ()

0 generalisierte Erregerkraft

= () 2(z)dz

0 generalisierte Masse



1 Hierbei bezeichnet das Lehrsche Dmpfungsma

= 2 = (21)

2 generalisierte Steifigkeit

= 2 Strukturdmpfung1

Zur Ermittlung von dynamischen Strukturantworten wird die mechanische Ver-

grerungsfunktion des Systems formuliert. Diese beschreibt die resultierende

Systemantwort infolge harmonischer Systemerregung in Abhngigkeit der

Erregerkraftfrequenz:

=

1

(

1)2+[1(

1)2]2=

m

Im Resonanzfall lsen die Wirbel mit der Eigenfrequenz des Bauwerks ab

(fw=f1). Die maximale Amplitude im eingeschwungenen Zustands erreicht in

diesem Fall den Wert:

=

Die von ablsenden Wirbeln hervorgerufene Erregerkraft pro Lngeneinheit

wird mathematisch erfasst:

() =

2 (, )

2 ()

Dabei ist (, ) die Standardabweichung des maximalen Erregerkraftbeiwer-

tes, der phasenverschoben entlang der Achse angreift. Dieser wird durch die

Standardabweichung des rtlichen Erregerkraftbeiwertes clat (maximaler Wert in

einer Querschnittsebene) ersetzt.

Abbildung 3-12: Reale und vereinfachte Krfteverteilung unter wirbelerregten Quer-

schwingungen

Die Phasenverschiebung der ablsenden Wirbel entlang der Bauwerksachse

wird mit der Korrelationslnge L* als Ma der zeitgleich wirkenden Krfte

bercksichtigt. Zur Ermittlung der grten Auslenkung werden die korrelierten

Krfte in dem Bereich angesetzt, wo sie die grte Durchbiegung hervorrufen.

Bei einem eingespannten Kragarm werden sie am freien Ende angesetzt. Zur

Berechnung der maximalen Amplitude mit der Standardabweichung des Erre-

gerkraftbeiwertes clat wird die Korrelationslnge in die Wirklnge L umgewan-

delt. Die Wirklnge L ist grer als die Korrelationslnge L*, so dass die gene-

Literatur 4-30


[1] EN 1990:2002 (D), 04.2002: Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung.

[2] DIN EN 1991-1-4:2010 (D), 12.2010: Einwirkungen auf Tragwerke, Teil 1--4: Allgemeine Einwirkun-

gen, Windlasten; Deutsche Fassung EN 1991-1-4:2005+A1:2010+AC:2010.

[3] DIN EN 1991-1-4/NA:2010 (D), 12.2010: Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter, Euro-

code 1: Einwirkungen auf Tragwerke, Teil 1-4: Allgemeine Einwirkungen, Windlasten.

[4] Emil Julius Gumbel: Statistics of extremes. Columbia University Press, New York (1958).

[5] Holmes, John D. (2007): Wind loading of structures. 2. Ed. London: Taylor & Francis.

ralisierte Erregerkraft Pgen infolge grerer Angriffslnge die maximale Auslen-

kung des Systems hervorruft.

Um eine geschlossene Lsung der gesuchten Querschwingamplituden im Reso-

nanzfall zu ermglichen, mssen weitere Gren eingefhrt werden:

=2

2 Scruton-Zahl (auch Massendmpfungsparamter)

= ()2(z)dz0

2(z)dz0

quivalente Masse pro Lngeneinheit

= |(z)|dz0

4 2(z)dz0

Beiwert der Schwingungsform

= (z)dz

(z)dz0

Wirklngenfaktor

Hiermit ergibt sich die Formel zur Berechnung der Querschwingungsamplitude

im eingeschwungenen Resonanzzustand:

=

1

21

Die Berechnung der Querschwingamplituden muss im Allgemeinen iterativ

erfolgen, da die Wirklnge L* und damit der Wirklngenfaktor KW unmittelbar

von der berechneten Querschwingamplitude abhngen. In der aktuell gltigen

Windlastnorm DIN 1055-4 wird fr die anzusetzende Wirklnge L* angegeben:

= 6 fr

< 0,1

= 4,8 + 12

fr 0,1

0,6

= 12 fr

> 0,6

Die Berechnung ist in der Regel nach 1-2 Iterationen abgeschlossen.

Mit den auf diese Weise berechneten Amplituden knnen dann die Betriebsfes-

tigkeitsnachweis des Bauteils gefhrt.

4. Literatur

windskript v11

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