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VL9. Elemente der Quantenmechanik IV9.1. Schrödingergleichung mit beliebigem Potential9.2. Harmonischer Oszillator9.3. Drehimpulsoperator

VL10. Das Wasserstofatom in der QM (I)10.1. SG in einem kugelsymmetrischen Potential10.2. Quantenzahlen des Wasserstoffatoms10.3. Winkelabhängigkeit (Kugelflächenfunktionen)

VL 11

VL11. Das Wasserstofatom in der QM II 11.1. Radiale Abhängigkeit (Laguerre-Polynome)11.2. Energiezustände des Wasserstoffatoms

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Zum Mitnehmen

Die dreidimensionale SG für das H-Atom lässt sich wegender Kugelsymmetrie des Potentials in drei eindimensionaleGleichungen der Kugelkoor. r, und φ umformen.

Die Wellenfkt. kann als Produkt geschrieben werden, wobei ψ vom Potential abhängtund die Kugelflächenfkt. Y durch den Drehimpuls füralle kugelsymmetrischen Potentiale bestimmt wird.

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Kugelflächenfunktionen in realen Linearkomb.

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Lösung der Radialabhängigkeit der SG

hh/2

(praktisch null)

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Lösung der Radialgleichung

ħ

ħ

ħ

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erwarte Aufenthaltswahrs. maximal fürbestimmte Bahnen zwischen r und r+dr.

Definiere W(r)=r R(r), so dass 4|W|2drdie Wahrscheinlichkeit angibt, dass Elektronin Kugelschale zwischen r und r+dr zu finden.

Setzt man R(r) = W(r)/r in Radialgl. ein, dannfindet man für r : W= Aeikr + Be-ikr mitk=(√(2μE))/ħ

Randbedingungen für Radialgleichung:

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Lösung der Radialgleichung

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Lösung der Radialgleichung

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Lösung der Radialgleichung

Lösung: Laguerre Polynome

Quantelung von a aus Randbedingung: Wellenfkt =0 im

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Lösungen der SG für QZ n,l,m

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Nomenklatur

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Nomenklatur

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Radialfunktionen

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Radialer Aufenthalts-wahrscheinlichkeit

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Vergleich mit Bohrschen Atommodell

Benutze

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Räumliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit

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Zusammenfassung

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Zusammenfassung Winkelabhängigkeit

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Zusammenfassung radialer Abhängigkeit

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Zusammenfassung der Energieniveaus

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Zum Mitnehmen

Die dreidimensionale SG für das H-Atom lässt sich wegender Kugelsymmetrie des Potentials in drei eindimensionaleGleichungen der Kugelkoor. r und φ umformen.

Die Wellenfkt.

Die drei unabhängige Gleichungen führen zu drei Randbedingungen,mit drei Quantenzahlen: n,l,m, wobei die Hauptquantenzahln die Energie bestimmt, l die Quantelung des gesamten Drehimpulses und m die z-Komponente des Drehimpulses.

Zu jeder Energiewert gehören k=∑l=0n-l (2l+1) =n2 Eigenfunktionen,

alle mit der gleichen Energie (n2-fach entartet).