Willner

Kontinuums- und Kontaktmechanik

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

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K. Willner

Kontinuums-und Kontaktmechanik Synthetische und analytische Darstellung

Mit 80 Abbildungen und 26 Tabellen

Springer

Dr. Kai Willner

Institut A für Mechanik der Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 9 70550 Stuttgart

E-mail: willner@mecha.uni-stuttgart.de

ISBN 978-3-642-62825-2 ISBN 978-3-642-55814-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-55814-6

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Text: Datenerstellung durch Autoren

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Vorwort

Ziel dieser Arbeit ist die Beschreibung von thermoelastischen Kontaktpro­blemen mit den Mitteln der Kontinuumsmechanik. Dabei soll erstens eine durchgangige Darstellung der Konzepte der Kontinuumsmechanik und der Kontaktmechanik erfolgen, zweitens eine geschlossene Darstellung sowohl der synthetischen als auch der analytischen Beschreibung geboten werden und drittens sollen alle wesentlichen mathematischen Hilfsmittel in das Gesamt­konzept integriert werden.

Da dies eine sehr ehrgeizige Aufgabe darstellt, die kaum erschopfend in ei­nem Werk geleistet werden kann, ist eine Beschrankung des Stoffes notig. Die­se wird hier durch eine Fokussierung der Kontinuumsmechanik auf isotrope, elastische Probleme erreicht. Das heiBt, es werden nur isotrope, hyperelasti­sche Materialgesetze behandelt und es werden ausschlieBlich echte Kontinua betrachtet, ohne spezielle strukturmechanische Annahmen zu machen. Dies reduziert zum einen die benotigten Konzepte fUr die Materialtheorie und zum anderen vereinfacht es die Behandlung der Kinematik und Kinetik. Die Kon­taktmechanik wird mit den Konzepten der Kontinuumsmechanik behandelt, insbesonders wird die allgemeine Form konstitutiver Kontaktgesetze aus ther­modynamischen Restriktionen abgeleitet, wobei die Kontaktflache als eine singulare Flache des Kontinuums aufgefaBt wird. In Analogie zur Kontinu­umsmechanik erfolgt hier ebenfalls eine Beschrankung auf den rein elastischen Kontakt. Spezielle Formulierungen, die sich zum Beispiel aus tribologischen Uberlegungen ableiten, werden nicht diskutiert. 1m Rahmen dieser Grenzen wird aber eine moglichst umfassende Behandlung angestrebt, die alle rele­vanten Konzepte anspricht und auch weiterfUhrende Literatur nennt.

Die ungewohnliche Behandlung sowohl der synthetischen als auch der analytischen Darstellung inklusive der beiden wesentlichen mathematischen Hilfsmittel, namlich der Tensorrechnung und der Variationsrechnung, soll dem Leser eine einheitliche Darstellung des gesamten Stoffes bieten und ihm das gleichzeitige Arbeiten mit verschiedenen Texten ersparen. Der da­mit oft verbundene Wechsel der Notation erschwert insbesonders Anfangern das Verstandnis der eigentlich gleichartigen Konzepte und Methoden. Da natiirlich selbst bei den gemachten Beschrankungen nicht alle Details be­friedigend dargestellt werden konnen, ist am Anfang jedes Abschnittes eine ausfUhrliche Auswahl der relevanten Standardwerke und Lehrbticher angege-

'II \Torvvort

ben, die es ermoglicht, sich einen Uberblick tiber das Thema zu verschaffen und erganzende Literatur zu finden. Die reichlichen Zitate im Text konnen als Referenz dienen und vveisen den Weg zu vveiterftihrender Literatur. Damit bietet sich dieses Buch durch die ganzheitliche Darstellung und die umfangrei­chen Literaturzitate sovvohl als Einstieg in die Thematik als auch als Referenz an.

Entsprechend dem Gesamtkonzept gliedert sich die Arbeit in vier Teile, die sovvohl untereinander als auch innerhalb eines Teils nach didaktischen Gesichtspunkten gegliedert sind. Dabei folgt die Kontaktmechanik der Kon­tinuumsmechanik und die analytische Darstellung folgt jevveils auf die syn­thetische:

• Synthetische Kontinuumsmechanik Nach einer Einftihrung in die grundlegenden Konzepte der Kontinuums­mechanik vvird zuerst die Tensorrechnung als das vvichtigste mathemati­sche Hilfsmittel rekapituliert. Der restliche Aufbau folgt dann dem tibli­chen Kanon der synthetischen Kontinuumsmechanik: Kinematik, Kinetik, Bilanzgleichungen und Materialgleichungen. Ziel ist hier zum einen die Einftihrung von typischen Konzepten vvie Verzerrungs- und Spannungs­groBen und die Formulierung der kontinuumsmechanischen Bilanzgleichun­gen in diesen GroBen; zum anderen steht der Formalismus zur Gevvinnung thermodynamisch konsistenter Materialgleichungen im Sinne der rationa­len Thermodynamik im Vordergrund, der ausftihrlich anhand des elasti­schen, des thermischen und des thermoelastischen Materialverhaltens de­monstriert vvird.

• Analytische Kontinuumsmechanik Nach einem Vergleich der analytischen mit der synthetischen Formulie­rung der Kontinuumsmechanik vvird auch hier zuerst das vvichtigste ma­thematische Hilfsmittel, namlich die Variationsrechnung, behandelt. Die Diskussion von Naherungsverfahren auf der Basis analytischer Prinzipe schlagt die Brticke zu modernen numerischen Methoden und motiviert die ausfiihrliche Beschaftigung mit der analytischen Mechanik, die haufig nicht Bestandteil einer Ingenieurausbildung ist. Die Konzepte der analytischen Mechanik vverden daher zunachst an einfachen Systemen der Punktmecha­nik eingefiihrt und dann auf die klassischen Arbeitsprinzipe der linearen Elastostatik ervveitert. AbschlieBend folgt dann eine Ubertragung auf nicht­lineare und dynamische Probleme.

• Kontaktmechanik Nach einer Einfiihrung in die Kontaktmechanik, die sovvohl einen klei­nen historischen Uberblick als auch eine Diskussion der neueren Forschung enthalt, folgt der Aufbau der Darstellung der Kontinuumsmechanik. Das heifit, es vvird zunachst eine synthetische Formulierung im Rahmen der Theorie singularer Flachen entvvickelt und danach vverden die entsprechen­den analytischen Darstellungen prasentiert. Ein Schvverpunkt liegt dabei vvieder auf der Formulierung thermodynamisch konsistenter Konstitutiv-

Vorwort VII

beziehungen mit den Mitteln der rationalen Thermodynamik. Die analyti­schen Formulierungen werden dabei bereits im Hinblick auf eine numerische Behandlung der entstehenden Variationsungleichungen diskutiert .

• Numerische Umsetzung und Beispiele Der letzte Teil behandelt die Losung des thermoelastischen Kontaktpro­blems durch Diskretisierungsverfahren, insbesonders durch die Methode der finiten Elemente. Die Losung der im allgemeinen nichtlinearen und zeitabhangigen Probleme macht eine Linearisierung und Inkrementierung notig. Da diese auf der Ebene der kontinuumsmechanischen Formulierung durchgefuhrt werden kann, wird sie hier ausfUhrlich behandelt. Die Be­handlung der eigentlichen numerischen Umsetzung gehort jedoch nicht mehr in den Bereich der Kontinuumsmechanik und wurde auch den Rah­men sprengen. Es werden daher nur die wesentlichen Schritte einer Behand­lung mit der Methode der fin it en Elemente diskutiert, ohne auf Details ein­zugehen. Ausfuhrliche Literaturhinweise ermoglichen aber auch hier dem interessierten Leser einen leichten Einstieg. Eine Reihe von abschlieBenden Beispielen zeigt zum einen die Moglichkeiten der numerischen Umsetzung und demonstriert zum anderen die wesentlichen Effekte, die sich aus der thermomechanischen Kopplung sowohl fur rein kontinuumsmechanische Probleme als auch fur Kontaktprobleme ergeben. In den meisten Fallen sind ebenfalls analytische VergleichslOsungen oder zumindest Abschatzun­gen angegeben, die eine Uberprufung der numerisch ermittelten Losungen ermoglichen.

Der Tatsache entsprechend, daB es sich beim vorliegenden Text urn eine Habilitationsschrift handelt, geht diese Arbeit allerdings uber den Inhalt ei­nes reinen Lehrbuchs hinaus, und prasentiert daher neb en den Grundlagen auch die Ergebnisse der aktuellen Forschung und auch einige neue Resultate. Dazu gehOrt vor allem die Behandlung des Kontakts als singulare Flache und die Anwendung der Kontinuumsthermodynamik zur Gewinnung konstituti­ver Kontaktgesetze.

Die Entstehung einer derartigen Arbeit ist naturlich nicht ohne ein ent­sprechendes Umfeld moglich. Ich mochte mich daher an dieser Stelle bei allen Kolleginnen und Kollegen am Institut A fur Mechanik der Universitat Stutt­gart fur die fruchtbare und entspannte Atmosphare bedanken, in der diese Arbeit entstanden ist. Mein besonderer Dank gilt dabei Herrn Professor Gaul, der als Direktor des Instituts wesentlich zu diesem Klima beigetragen hat und mir stets die notigen Freiraume zur Verwirklichung dieses Projekts gegeben hat. Herrn Professor Miehe, Institut fur Mechanik (Bauwesen), danke ich fUr die wertvollen Hinweise und die wohlwollende Ubernahme des Korreferats im Habilitationsverfahren. Ein ganz spezieller Dank geht an Herrn Profes­sor Selvadurai, McGill University, Montreal, der mir wahrend seiner Zeit als Humboldt-Forschungspreistrager am Institut A fur Mechanik nicht nur viele nutzliche Anregungen gab, sondern auch zu einem Freund wurde. Der dreimo­natigen Forschungsaufenthalt an der McGill University, den er mir groBzugig

VIII Vorwort

ermoglichte, wird mir dank des Engagements auch seiner Familie stets als ein sehr personliches Erlebnis in Erinnerung bleiben.

Zuletzt, aber dafur umso inniger, mochte ich meiner Frau Martina fur die Liebe und das Verstandnis danken, die sie mir wahrend der Fertigstellung dieser Arbeit entgegengebracht hat.

Stuttgart, im Fruhjahr 2003 Kai Willner

Inhaltsverzeichnis

Synthetische Kontinuumsmechanik

1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 2.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 2.3 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20 2.4 Tensoralgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25 2.5 Tensoranalysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36 2.6 Doppeltensoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

3 Kinematische Gro6en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55 3.1 Konfiguration und Deformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55 3.2 Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . .. 58 3.3 Deformation und Deformationsgradient .................. 60 3.4 Verschiebung und Verschiebungsgradient . . . . . . . . . . . . . . . .. 63 3.5 Verzerrung und VerzerrungsmaBe.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64 3.6 Kompatibilitatsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70 3.7 Geschwindigkeitsgradient und Verzerrungsgeschwindigkeit .. 72 3.8 Starrkorperkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76 3.9 Geometrische Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 3.10 Allgemeine Darstellung von Verzerrungstensoren . . . . . . . . .. 80

4 Kinetische Gro6en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83 4.1 AuBere Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83 4.2 Cauchy-Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84 4.3 Piola-Kirchhoff-Spannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86

5 Bilanzgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89 5.1 ZustandsgroBen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89 5.2 Transporttheoreme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92 5.3 Allgemeine Bilanzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95 5.4 Massenbilanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96 5.5 Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97

X Inhaltsverzeichnis

5.6 Drehimpulsbilanz ..................................... 100 5.7 Energiebilanz ......................................... 106 5.8 Entropiebilanz ........................................ 109 5.9 Bilanzen des thermomechanischen Problems .............. 111 5.10 Konjugierte und duale Variable ......................... 113

6 Materialgleichungen ...................................... 121 6.1 Allgemeine Form ...................................... 122 6.2 Objektive Tensoren .................................... 124 6.3 Isotrope Funktionen ................................... 133 6.4 Materialklassen ....................................... 134 6.5 Hyperelastisches Material ....... , ...................... 136 6.6 Lineare Elastizitat ..................................... 142 6.7 Finite Elastizitat ...................................... 145 6.8 Warmeleitung ........................................ 150 6.9 Thermoelastisches Material ............................. 155 6.10 Lineare Thermoelastizitat .............................. 158 6.11 Finite Thermoelastizitat ............................... 159

7 Grundgleichungen der linearen Thermoelastizitat ......... 163

Analytische Kontinuumsmechanik

8 Analytische und synthetische Kontinuumsmechanik ....... 171

9 Grundlagen der Variationsrechnung ...................... 177 9.1 Funktionalanalysis ..................................... 178 9.2 Notwendige Bedingungen fur ein relatives Minimum ....... 183 9.3 Euler-Lagrangesche Gleichung .......................... 188 9.4 Naturliche Randbedingungen ........................... 193 9.5 Der Lagrangesche c5-ProzeB ............................. 195 9.6 Aufgaben mit mehreren unbekannten Funktionen .......... 199 9.7 Aufgaben mit mehreren unabhangigen Variablen .......... 201 9.8 Aufgaben mit hOheren Ableitungen ...................... 204 9.9 Aufgaben mit Nebenbedingungen ........................ 207

10 Das inverse Problem der Variationsrechnung ............. 215 10.1 Potential eines Vektorfeldes ............................. 215 10.2 Funktional einer Differentialgleichung .................... 216 10.3 Lineare Differentialgleichungen .......................... 220

Inhaltsverzeichnis XI

11 NaherungslOsungen auf der Basis von Prinzipen .......... 223 11.1 Das Ritzsche Verfahren ................................ 223 11.2 Das Galerkinsche Verfahren ............................ 225 11.3 Die Methode der gewichteten Residuen ................... 226

12 Die Prinzipe der Punktmechanik ......................... 231 12.1 Das Prinzip von d'Alembert in der Lagrangeschen Fassung . 231 12.2 Das Prinzip von Hamilton .............................. 233 12.3 Probleme bei der Lagrangeschen Variation ................ 235 12.4 Probleme mit nichtholonomen Nebenbedingungen ......... 237

13 Variationelle Prinzipe der Kontinuumsmechanik .......... 243 13.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeit ........................ 245 13.2 Das Prinzip der virtuellen Temperatur ................... 248 13.3 Ein thermomechanisches Prinzip ........................ 250

14 Variationsprinzipe der linearen Elastostatik ............... 253 14.1 Formiinderungsenergie und die Siitze von Clapeyron, Betti

und Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 14.2 Prinzip der virtuellen Verschiebungen .................... 258 14.3 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie ........... 259 14.4 Erweitertes Prinzip vom Stationiirwert der potentiellen

Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 14.5 Prinzip von Hu-Washizu ............................... 264 14.6 Prinzipe von de Veubeke und Hellinger-Reissner ........... 266 14.7 Prinzip vom Minimum der komplementiiren Energie ....... 270 14.8 Prinzip der virtuellen Kriifte ............................ 273 14.9 Ein Prinzip mit unabhiingigen Randfeldern ............... 273 14.10 Die Siitze von Castigliano und Menabrea ................. 275

15 Variationsprinzipe der finiten Elastostatik ................ 279 15.1 Prinzip vom Stationiirwert der potentiellen Energie ........ 279 15.2 Stabilitiit der Gleichgewichtslage ........................ 281 15.3 Abgeleitete Variationsprinzipe .......................... 282

16 Variationsprinzipe der Dynamik .......................... 285 16.1 Verallgemeinertes Prinzip von Kirchhoff-Hamilton ......... 285 16.2 Prinzip von Kirchhoff-Hamilton fur konservative Systeme ... 287 16.3 Ein Variationsprinzip fur die Wiirmeleitung ............... 289 16.4 Ein Prinzip fUr den thermoelastischen K6rper ............. 291

Kontaktmechanik

17 Einfiihrung in die Kontaktmechanik ........... . . . . . . . . . . . 295

XII Inhaltsverzeichnis

18 Singulare Flachen . ........................................ 301 18.1 Kinematik ............................................ 301 18.2 Allgemeine Bilanzgleichung ............................. 303 18.3 Bilanzgleichungen fur das Volumen ...................... 307 18.4 Bilanzgleichungen fur die singuUire Flache ................ 309

19 Synthetische Kontaktmechanik ........................... 313 19.1 Kontaktkinematik ..................................... 313 19.2 Kontaktkinetik ........................................ 318 19.3 Formulierung der Kontaktbedingungen ................... 319 19.4 Kontaktbilanzen ...................................... 321

20 Konstitutive Kontaktgesetze .............................. 325 20.1 Formulierung des Tangentialkontakts .................... 325 20.2 Allgemeine Form ...................................... 330 20.3 Objektivitat der KontaktgraBen ......................... 331 20.4 Reibungsfreier Kontakt ................................ 332 20.5 Reibungsbehafteter Kontakt ............................ 336 20.6 Warmeleitung ........................................ 339 20.7 Thermomechanischer Kontakt .......................... 343

21 Analytische Kontaktmechanik ............................ 347 21.1 Variation der kinematischen GraBen ..................... 347 21.2 Variationsungleichungen ................................ 350 21.3 Active-Set-Strategie ................................... 356 21.4 Lagrangesche Multiplikatoren ........................... 360 21.5 Penalty-Methode ...................................... 364 21.6 Perturbed-Lagrange-Methode ........................... 367 21.7 Augmented-Lagrange-Verfahren ......................... 369 21.8 Formulierung fur das thermomechanische Kontaktproblem .. 372

Diskretisierungsverfahren und numerische Beispiele

22 Diskretisierungsverfahren ................................. 377

23 Die Methode der finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 23.1 Diskretisierung des mechanischen Problems ............... 385 23.2 Diskretisierung des thermischen Problems ................ 390 23.3 Diskretisierung des thermomechanischen Problems ......... 393 23.4 Behandlung nichtlinearer Probleme ...................... 398 23.5 Behandlung zeitabhangiger Probleme .................... 403 23.6 Lasung des linearen Gleichungssystems ................... 411 23.7 Fehleranalyse und adaptive Verfahren .................... 413

Inhaltsverzeichnis XIII

24 Inkrementierung des thermomechanischen Problems ...... 417 24.1 Inkrementierung des dynamischen Problems .............. 417 24.2 Inkrementierung des instationaren Problems .............. 421 24.3 Inkrementierung des stationaren Problems ................ 423

25 Linearisierung des thermomechanischen Problems ........ 425 25.1 Linearisierung des mechanischen Problems ................ 426 25.2 Linearisierung des thermischen Problems ................. 428 25.3 Linearisierung des gekoppelten Problems ................. 429 25.4 Linearisierung der Spannungen .......................... 433 25.5 Linearisierung konfigurationsabhangiger Lasten ........... 439

26 Behandlung des Kontaktproblems ........................ 441 26.1 Linearisierung des mechanischen Kontakts ................ 442 26.2 Linearisierung des Normalkontaktgesetzes ................ 446 26.3 Linearisierung des Tangentialkontaktgesetzes ............. 446 26.4 Linearisierung des thermischen Kontakts ................. 450 26.5 Numerische Aspekte ................................... 452

27 Numerische Beispiele ..................................... 455 27.1 Gough-Joule-Effekt .................................... 456 27.2 Thermoelastische Dampfung ............................ 462 27.3 GroBe Deformationen infolge Warmedehnung ............. 467 27.4 WarmefluB bei groBen Verzerrungen ..................... 470 27.5 Hyperelastisches Materialverhalten ...................... 473 27.6 Statischer Kontakt bei kleinen Deformationen ............. 476 27.7 Statischer Kontakt bei groBen Deformationen ............. 483 27.8 Dynamischer Kontakt bei groBen Deformationen .......... 488 27.9 Thermische Kontaktinstabilitat ......................... 490 27.10 Warmeentwicklung durch Reibung ....................... 497

Anhang

A Grundideen der konvexen Analysis ....................... 507 A.l Mengen .............................................. 507 A.2 Funktionen ........................................... 509 A.3 Generalisierte Ableitung ............................... 510 A.4 Indikatorfunktion ..................................... 511

B Ein axialsymmetrisches Membranelement ................. 515 B.l Kinematik ............................................ 515 B.2 Materialgesetz ........................................ 519 B.3 Schwache Form ....................................... 521 B.4 Linearisierung ........................................ 522

XIV Inhaltsverzeichnis

B.5 Algebraisierung ....................................... 523

Literaturverzeichnis .......................................... 527

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553