Wechselwirkungskrfte zwischen einer Flulinie und einer parallelen Versetzung

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  • U. KAMXERER : Wechselwirkungskr8fte zwischen Flu6linie wid Versetzung S1

    phys. stat. sol. 34, 81 (1969)

    Subject classification: 10.1 and 14.2

    Institut f u r Physik am i~~ux-Y lanck - Ins t i t u t f u r Netallforschung, Stuttgart, und Institut f i ir theoretische u n d angewandte Physzk der Universitat Stuttgart

    Wechselwirkungskrafte zwischen einer FluBlinie und einer parallelen Versetzung')

    Von

    U. KAMMERER

    Ausgehend von den in einer friiheren Arbeit entwickelten Berechnungsmethoden fiir das auf dem Volumeffekt beruhende Eigenspannungsfeld einer isolierten geraden Flu& linie und fur das auf dem AC-Effekt beruhende Eigenspannungsfeld einer FluSlinie in der Kachbarschaft einer parallelen Versetzung, wird die Wechselwirkungskraft zwischen einer FluBlinie und einer parallelen Versetzung in Storungstheorie 1. Ordnung (entspre- chend 1. Potenzen in der Anderung des spezifischen Volumens und der elastischen Konstan- ten innerhalb der supraleitenden Phase) berechnet. Fur beliebigen Versetzungscharakter und beliebige Wahl der zwolf die Kopplung im elastisch isotropen Fall beschreibenden Materialkonstanten 1 a D t sich aus den mitgeteilten numerischen Ergebnissen ftir ~t = 1//2; 1 , 2 und 5 der Kraftverlauf zwischen FluSlinie und paralleler Versetznng ermitteln.

    Starting from formulas of a previous paper determining the internal stress field of an isolated vortex line due to the volume effect and the stress field due to the AC effect of a vortex line in the neighbourhood of a parallel dislocation, the interaction force between a vortex line and a parallel dislocation is calculated in first-order perturbation theory (corresponding to first powers in the changes of specific volume and elastic constants throughout the superconducting phase). The numerical results communicated for ~t = = l/$, 1, 2, and 5 apply to an arbitrary choice of the twelve interaction parameters of an elastically isotropic material and to an arbitrary character of the dislocation.

    1. Einleitung In einer vorhergehenden Arbeit [l] wurden - aufbauend auf der Ginzburg-

    Landau-Theorie [ 2 ] und der linearen Elastizitatstheorie mit Eigenspannungen (vgl. Z . B. [3]) - allgemeine Gleichungen zur Behandlung der Kopplung zwischen den Feldern des Ordnungsparameters, des Magnetfelds und des elastischen Deformationsfelds abgeleitet. Es wurden zwei Kopplungsmechanismen in Betracht gezogen und durch phanomenologische Ansatze erfaBt (vgl. [I]) : eine Kopplung iiber die mit y/ und H veranderliche Dichte eines Volumele- ments (Volumeffekt) und eine Kopplung, die aus der Abhangigkeit der elastischen Konstanten vom Zustand Y', H des Volumelements resultiert (AC-Effekt).

    Unter Weiterfiihrung der in [l] begonnenen Behandlung einfacher Systemc (einzelne FluOlinie und FluBlinie neben einer parallelen Versetzung) sollen in dieser Xrheit die Wechselwirkungskrafte zwischen FluBlinie und paralleler Versetzung als Funktion des Abstands quantitativ angegeben werdcn. Dabei werden 1701um- und AC-Effekt his zu 1 . Potenzen in den Kopplungskonstanten dV) bzw. g({'), m(@) (vgl. [l]) beriieksichtigt v, erden (Storungstheorie 1 . Ordnung).

    - -

    l) Dissertation Universitat Stuttgart (Teil 11).

    6 phgsca 31/1

  • 82 U. KABIMERER

    Xlle Ergebnisse gelten fur den Sonderfall eines elastisch isotropen Mediums. Als elastische Konstanten werden wie in 111 der Schubmodul G und die reziproke Querkontraktion m (> 2) benutzt. Die2 Konstanten dY), g(l') definiert durch den Ansatz fur die Suprastriktion

    E f k = d,, (d1) IY12 + w(2) j Y ' j 4 + w(3) (H2 - x2) +

    und den Ansatz fur die elastischen Konstanten

    Weiterhin werden aus [l] die Abkurzungen

    und Am(@) = m(Yo(e) , AO(e)) -

    und m(lej sind

    (I; 1.2)2)

    (I, l . l a )

    mo (I, 2.3') - a : - 4 n

    ubernommen. 2. Allgemcines

    Die Berechnung der Wechselwirkung zwischen FluBlinie und paralleler Ter- setzung erfolgt am einfachsten uber die Peach-Kohler-Formel [4]. Sie gibt die Kraft auf ein Versetzungsstuck, wenn man die Spannung 0 am Ort des Ver- setzungsstiicks kennt. Die von einer FluBlinie auf die Versetzung wirkende Spannung ist nach (I, 3.2a) und (I, 3.4a, b) wenigstens in Storungstheorie 1. Ordnung zu berechnen. Im allgemeinen hangen die Spannungen im Flu& liniengebiet vom Typ der Versetzung ab, der der FluBlinie entgegentritt. Nur beim Volumeffekt in Storungstheorie 1. Ordnung sind die Spannungen vom Versetzungstyp unabhangig.

    Legt man die geometrischen Verhdtnisse wie in Fig. 1 von [l] zugrunde, so gilt fur die Kraft AK, auf ein Versetzungsstuck der Lange A

    Wegen der Beschrinkung auf Storungstheorie 1. Ordnurig und linearisierte Elastizitatstheorie sind die Wechselwirkungskrafte zwischen FluBlinie und Ver- setzung weitgehend superponierbar. Es genugt deshalb, die Wechselwirkungs- krafte in den sogenannten , ,reinen Fallen" numerisch zu berechnen, in denen genau eine der Kopplungskonstanten &), g(p), m(bl') den Wert 1 hat und alle anderen Kopplungskonstanten Null sind.

    2 , Formeln der Arbeit [l] u-erden mit vorgestellter 1 zitiert.

  • IYechselwirkungskrLfte zwischen einer FluIjlinie und eiiier Versetzung 83

    Fur samtliche Rechnungen werden die numerisch exakten Losungen der

    Beim Volurneffekt hat die Spannung der isolierten FluBlinie im natiirlichen Ginzburg-Landau-Theorie [2] fur die FluBlinie [5] zugrunde gelegt.

    Koordinatensystem nur Diagonalkomponenten ; dann reduziert sich (1) auf

    Die Kraft auf eine Schraubenversetzung ist also Null, wie man ja wegen ihres verschwindenden Dilatationsfeldes erwartet.

    Sind die Spannungen durch die Versetzung selbst iiber den AC-Effekt her- vorgerufen, so sind sie zu den Burgersvektor-Komponenten proportional ; der Ausdruck fur die Wechselwirkungskraft (1 ) ist daher in den Burgersvektor- Komponenten bi eine quadratische Form. Die Mischglieder sind darin null, da eine bi-Komponente auf eine b,-Komponente (i $- j ) nach actio = reactio die entgegengesetzte Kraft ausiibt wie die b,-Komponente auf die bi-Komponente, und beide Komponenten an dieselbe Versetzungslinie gebunden sind. Beim AC-Effekt erhalt man daher fur die Kraft auf eine Versetzung die folgenden Bei- trage (Radialkomponenten) :

    b; von einer (Stufen-) Komponente 6,: k , = k,,(d) ,

    von einer (Stufen-) Komponente b,: k, = $ k2,(d) , von einer (Schrauben-) Komponente b,: k, = k,,(d) ,

    b2

    6;

    din. -4 Fig. l a . Spannungen, die eiiie I'luBlinie auf Grund des Volumeffekts im ,,rcinen Fall" Y = 1 (cl. 1 1 . d') = 1,

    ?A2) = d3) = d4) = 0) erzcugt, berechnet in Storungstheorie 1. Ordnung. - - _ _ - x=] /p-x=l x = 2 . . . . . . . x = 5 .

    Zugehorige Voluminderungcn nach (I, 3.3) und (I, 1.2): x , 1/11; 1 2 5

    ~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~

    AT' 1 -338,O --21,8 --$,33 -1,69

  • 84 u. KAXJIERER

    I I I I 0 I z 3 4

    d/A - Fig. Ib. \Vie Fig. l a , jedoch fiir den ,,rcincn Fall'' Y = 2 . Zugehorige Volumiinderungen:

    x ' 1 1 b 5 1 2 5

    I 0 I 2 3

    d/A --t Fig. I? , V i e Fig. l a , jc1loc11 fiir dcn ,,rciiim l'all" 1' = Y. Zngehiirige \'oluiniinderungen:

    x 1 l/]G 1 2 5

  • Jt'echselwirkungskrafte zwischen einer Fluelinie und einer Versetzung 85

    Flg. ld. V i e Yig. l a , jedocli fiir d r i i , ,rcinen Fall" Y = 4. Zugehorige \-olumbnderungen:

    x 1 / ) 5 1 2 5

    J.V ~ r 1 1 , O t 1 2 , 6 +17,0 +%,5

    Ordiiiateniiia4st;lIr fiir x = l/Vi; I , 2: obere Zahl; fiir x = 5: untere Zatil

    wobei die k , , (d) nicht mehr vom Betrag des Burgers-Vektors abhlngen. Die Kraftkomponente in (tangentialer) y-Richtung ist aus Symmetriegriinden stets null.

    3. Ergebnisse fur den Volumeffekt Die zur Berechnung der Wechselwirkungskraft im Falle des Volunieffekts

    nach ( l a ) notigen Spannungen oQe, ovrp folgen aus (I, 3.2a) durch numerische Rechnung; sie sind fur die ,,reinen Falle" in Fig. 1 dargestellt.

    Lauft eine Versetzung zentral auf die FluBlinie zu, so sind in den ,,reinen Fallen" nur fur eine b,-Stufenversetzung Gleichgewichtslagen moglich, und zwar je eine stabile und eine labile; vgl. hierzu die Fig. 3 bei Kramer und Bauer [6]. (Bei geeigneter Kombination der dl ' ) sind jedoch auch wesentlich andere Gleichgewichtslagen moglich.)

  • 86 u. KAMMERER

    DaS die Gleichgewichtslage nicht bei d = 0 auftritt, ist anschaulich klar: Beide Seiten der FluSlinie sind ja bestrebt, in Gebieten kompensierender Dila- tation zu liegen. Stabil ist diejenige Gleichgewichtslage, bei der die eingescho- bene Halbebene der Stufenversetzung moglichst weibgehend auf ein (spontanes) Kontraktionsgebiet der Fluljlinie fallt. Im Text zu Fig. 1 ist jeweils die nach (I, 3.3) berechnete Volumanderung beim Einbringen einer ersten FluBlinie in den Supraleiter angegeben.

    4. Ergebnisse fiir den AC-Effekt

    Die Bestimmung der klL,,(d) erfolgt aus (I, 3.4a, b), (I, 2.5') und ( l b , c. d) . In den zunachst zweidimensionalen Integralen 1aljt sich die Integration iibcr

    I , 7 2 3

    d/A - Fig. 2a. Krsftbeitrag k,, als E'unktion des Abstands d zv-ischen FluDlinie und Versetaung fur den ,,reinen Fall" Y = 1, berechnet fur a = 0,Ol in Storungstlieorie 1. Ordnung (AC-Effekt). k,, ist gleicli der (radial gcriciiteten)

    Kiaft von einer Scliraubeilversetzung auf eiiie parallele PluOlinie, bezogen auf 2 GO be.

    _ _ _ _ _ x = l/vg - H = l , - . - . - x = 2 , . . . . . . . x = 5, o o o x = 1, bei a = 0,005. Vorfaktoren BW der Asymptoten fiir d + 00 :

    1 2 5 ~

    ~ ~~~~~ ~~~

    x 1 1iVZ ~~ B(1) 1 -1,93 -1,15 -0,39 -0,09

  • WechselwirkungskrLfte zwischen einer FluBlinie und einer Versetzurig 8 i

    den Polarwinkel (um die FluBlinie als Zentrum) nach langerer algebraischer Umformung geschlossen ausfiihren. Man erhalt fur eine Schraubenversetzung

    mit

    I B

    Fig. 2b. \Vie Fig. 2a, jedoch fur den ,,reinen Fall" Y = 2. Vorfaktoren der dsyniptoten fur d --f m:

    1 2 5 ~. ~~

    x I l i p ~ ~ ~~ . ~~~~~~ ~~~~~ B ( ? ) 1 -3,05 -1,81 -0,61 - 0 , l j

  • 88 U. KAMMERER

    und fur eine Stufenversetzung

    wobei ein oberes Vorzeichen nur fur k,,, ein unteres nur fur k,, gilt und d

    1 4 x d3 j ( d ) = ~

    0

    k i3 und i' entstehen aus k,, bzw. j, wenn man in den Integranden g(e) ersetzt durch Am(e)/mo.

    Die numerischen Ergebnisse fur le,,(d) und j ( d ) sind in Fig. 2 und 3 dargestellt, fur verschiedene ~t und die verschiedenen ,,reinen Falle". (Die Ergebnisse fur kh3 bzw. j' im Fall I&') = 1 sind exakt dieselben wie fur k,, bzw. j im Fall g(") = 1 .) Der allgemeine Kurvenverlauf ist fur Stufenversetzungen qualitativ derselbe wie fur Schraubenversetzungen (Fig. 2 ) ; man hat stets eine Nullstelle und ein Extremum der Wechselwirkungskraft. Im Anhang sind Naherungswerte fur die Gleichgewichtslagen an Stufenversetzungen angegeben, \vie sie aus Fig. 2 und 3 folgen.

    Der bei k,, auftretende Integrand hat fur e = d , d. h. am Ort der Versetzung, einen Pol. Er resultiert aus dem Pol der Spannungen an einer geraden Verset-

  • 'l\~echselTlirkungskrafte zwischen eincr Fiufilinie und einer Versetzung 89

    zung, die man mit der ublichen Elastizitatstheorie erhalt und ist wie dieser physikalisch nicht realisiert. Entsprechend wird hier der Pol aus dem Integra- tionsgebiet unter Einfuhrung cines Abschneideradius a herausgenommen. Fur die Differenz der bei gleichem Abstand d, aber verschiedener Wahl a,, a2 des Xbschneideradius berechneten Krafte gilt

    Die GroBe A ist in Fig. 4 angegeben. (Fur 31 = 1 gilt im ,,reinen Fall" Y = 1 Formel (3) auf 10% genau fur a, = 0,01, a2 = 0,005.)

    Fur kleine d kommt der Hauptbeitrag zu den Integralen k23 und j' aus dem

    Fig. 2d. \Tie Fig. ?a, jedoch fur den ,,reinen Fall" Y = 4. lorfaktoren der Asymptote11 fur d --f 00:

    IIaBstab, von oben nach unten: fur x = l/V%und x = 1 gemeinsam, x = 2, H = 5

  • 90 U. KAMMERER

    i '-7 9- 2

    Fig. 3a. Rraftbeitrag j als l~unkbion dcs Abstands tl zni- sotien PluBlinie und (Stufen-) Versetzung fiir deu ,.r?ineu

    lq'all" Y = 1, berectiiiet in Stiirungstbeorie 1. Ordiiung. D . . . x = 5 x - l / ] / F , ~ x = 1, - . .- .- % - > - - - _ _

    d/A -

    r i g , 3b. Wic Fig. 3a , jedovli fur den ,.reinen 1 ~ ~ ~ 1 1 ' ' Y = 2

    dl.i - Fig, 3 c . \Tie Pig. 3.2, jedochfur den ,,rrinen Fall"

    1' = 3

    I I

    0 d/;l--

    Yig. 3d. \Tie Fig. 3a, jedochfur den ,,reinenFall" Y = 4. MaBstab wie in Fig. 2d

    Gebiet mit kleinem e ; g(e) bzn-. Am(p) 1aRt sich iiber dieses Gebiet als g(0) bzw. Am(0) annahern. Man erhiilt so aus (2a, b) fur d = 03)

    - 1

    Z d t a - a z

    Solange der Abstand d zwischen FluRlinie und Versetzung genugend groaer ist als der Abschneideradius a, ist die a-Abhangigkeit auch im k,,-Term unbedeu- tend, und man erhalt einen polartigen Verlauf - l/d. Fur g ( 0 ) gilt (und enb sprechend fur Am(0)/mo)

  • TVechselwirkungskrafte zwischen einer FluBlinie nnd einer Versetzung 91

    Fur groI3e d tragcn nur noch Terrne mit e/d < 1 wesentlich zu den Integralen in (2a, b) bei, weil g(e) und Am(@) im Fernfeld schnell null werden. Mit

    7

    005-

    erhalt man asymptotisch 3,

    .... . . . . : 3. : : i ' , : , . : . . .

    Fur d +co klingt demnach die Kraft zwischen FlulSlinie und Versetzung beim AC-Effekt stets 3, mit l /d3 ab. Die Vorfaktoren B'") fur die ,,reinen Falle" v sind in Fig. 2 mit angegeben.

    5. Vergleich mit friiheren Behandlungen des AC-Effckts Die hier durchgefuhrte Behandlung der Wechselwirkung von FluBlinie und

    Versetzung auf Grund des AC-Effekts unterscheidet sich von der bei Webb ['i]

    Fip. 4a. Korrektnrfaktor -4 nach

    3) Lediglich fur den Fall einer bu-Stufenversetzung in einem Medium mit g(1) = g ( 2 ) = = g(3) = g(4) = 0 geniigen die hier angegebenen A s p p t o t e n nicht (weil sich dann die Beitrage von k,, und j nach (2b) kompensieren).

  • U. KAXXERER 92

    Fig. 4c . T i e Fig. 4a, jedocli fur den ,,reinen Fall'' Y = 3

    Fig. 4d. W e Fig. 4a, jedoch f u r den ,,reinen Fall" Y = 4. XaDstah, r o n obcu nach unten: fur x = l/vi und x = 1

    gemeinsani, f u r x = 2 , fur x = 5

    d/d - 0 7 2

    angegebenen, obwohl anscheinend in beiden Fallen Storungstheorie 1. Ordnung angewandt wurde. Das Verfahren von Webb [7] fuhrt jedoch nicht zu einem eindeutigen Ergebnis, wie man sich am Beispiel eines isotropen Mediums, in dem sich nur der Schubmodul andern soll, klarmachen kann.

    Benutzt man die Spannungen do) (z. B. einer Schraubenversetzung) als un- gestorte Losung, so ist die Energiedichteanderung nach [7]

    Nit gleichem Recht kann man aber auch die elastischen Deformationen E ~ ( O ) als ungestorte Losung ansehen. Die Anderung der Energiedichte ergibt sich dann nach demselben Verfahren zu

    (7 b) 1 - 2 28 + &;$0'30") (G - GO) , also jedenfalls voni entgegengesetzten Vorzeichen wie unter (7 a) bei Zugrude- legung der Spannungen als ungestorten Losungen.

    I n Wirklichkeit andern sich natiirlich sowohl Spannungen als auch Defor- mationen bei Einfuhrung einer elastischen Inhomogenitat. Diese Tatsaehe wirkt sich deswegen schon in Storungstheorie 1. Ordnung aus, weil man im

  • Wechselv irkungskrafte 7.u ischen einer FhiBlinie nnd einer Versetziing 93

    Unterschied zur iiblichen Storungstheorie (z. B. in der Quantentheorie) bei dem hier vorliegendeii Problem noch eine Nebenbedingung. die Kompatibilitatsbedin- gung, zu erfiillen hat, die in den Storparametern c:;jlrn (vgl. (I, 3.5)) bzw. g"' und ITL'") l inear ist. (Die in der quantentheoretischen Storungsrechnung auf- tretende Normierungsbedingung ist in den Storparametern quadratisch, also in 1. Ordnung noch durch die ursprungliche Wellenfunktion erfullt.)

    Bei dem in Abschnitt 3.3 von [l] begonnenen und hier weitergefiihrten Ver- fahren ist ein jedes lineare Glied in den Storparametern beriicksichtigt.

    6. Kurzer T'ergleich mit Experimenten

    Messungen der magnetischen Hysterese und der kritischen Strome von Supra- leitern lassen sich auf Grund der Modellvorstellungen des ,,critical-state model" (vgl. [S, 91) auf Krafte zwischen FluBlinien und Haftzentren umrechnen.

    Fur Einzelversetzungen als Haftzentren sind die hier berechneten Wechsel- wirkungskrafte zwischen FluBlinie und Versetzung als Haftkrafte anzusehen. Ihre Maximalwerte liegen in der Gegend von dyn/cm (fur

    1 = 1000 A, b = 5 A, G(O) = 25 x 10l1 dyn/cm2, 4') = lo-', g(") = Diese GroBenordnung pa& uncrwartet gut zu den experimentellen Werten. Man niuB dabei freilich im Auge behalten, daB sich bei statistischer Verteilung der Haftzentren Haftkrafte von vielen Haftzentren gegenseitig weitgehend kom- pensieren konnen.

    Herrn Prof. Dr. A. Seeger und Herrn Dr. H. Kronmiiller danke ich fur ihr Intcressc am Fortgang dicser Arbeit.

    Anhang

    Gleichgewichtsabstande vo~a Flualinie u n d paralleler Xtuferzversetzung beim AC- Effekt ficr die uerschiedeiaeia ,,reinen Falle" v = 1, 2 , 3. 4 m i t entweder

    g(1') = 1 oder m(!') = 1 .

    Fur die ,.reinen Falle" v = 1 und v = 2 stehen in Zeile 1 bis 4 der Tabelle durchweg labile Gleichgewichtslagen, in Zeile 5 und 6 durchweg stabile; fiir die ,.reinen Falle" v = 3 und v = 4 sind die Stabilitatsverhaltnisse genau umge- kehrt.

    < 0,1 < 0,1 0.23 I 0,15 0,11 i 0, l 0.45 1 0,39 0,13 0,11 0,62 0,49 0,31 0,17 0,92 0,66 OT4 ~ y . 2 1 0.53 ~ 0.43 1 0.28 ~ 0.14 0.80 1 0.62 1 0,38 0,lY

    ~~ i ~~~ ~~~ ~ ~~

    I

  • 94 U. KAXMERER: Wechselnirkungskriifte zwischen Fluljlinie und Versetzung

    x

    v = 4

    1/1/2 j 1 ~ 2

    0,18

    Literatur [I] U. KAMMERER, Z. Phys. in Vorbereitung. [2] V. L. GINZBURG und L. D. LANDAU, Zh. eksper. teor. Fiz. 20, 1064 (1950). [3] E . KRONER, Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannnngen, 1. Suflage,

    [4] M. 0. PEACH und J. S. KOEHLER, Phys. Rev. 80, B436 (1950). [5] U. KAMMERER, Computer Phys. Commun. 1, i n Vorbereitung. [6] E. J. KRAMER und C. L. BAUER, Phil. Mag. 15, 1189 (1967). [7] W. W. WEBB, Phys. Rev. Letters 11, 191 (1963). r8] C,. D. LIVINGSTON und H. W. SCHADLER, Progr. Mater. Sci. 10, 183 (1964). [9] J. J. VAN GURP und D. J. TAN OOIJEN, J. Physique (Suppl.) 57, C3-51 (1966).

    Springer-Verlag, 1958.

    (Received April 2, 1969)

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