เรอง การตกของลกโฟมภายใตแรงตานอากาศ

บทนำา

การทดลองการตกของลกโฟมภายใตแรงตานอากาศทำาขนเพอทำานายการเคลอนทตกของลกโฟมขนาดตางๆโดยใชแบบจำาลองแรงตานอากาศ 2 แบบ คอ Fdrag=-bv และ Fdrag=-kv^2 จะทำาการทดลองเพอดวาผลของความเรวในการตกลงสพน กบขนาดของโฟม มผลตอการการเคลอนทของโฟมหรอไม

ทฤษฏ

แรงตานการเคลอนท

พจารณาแรงตานการเคลอนท ซงมการเปลยนแปลงตามความเรวของวตถ ตวอยางของแรงตานการเคลอนท ทมคณสมบตดงกลาวคอ แรงหนดในของเหลว แรงตานของอากาศ เปนตน โดยทวไป วตถทมขนาดเลก และเคลอนทดวยความเรวตำา เชน ลกกลมโลหะขนาดเลก เคลอนทตกลงมายงกนภาชนะ ทบรรจของเหลวภายใตแรงดงดดของโลก จะถกตานการเคลอนท ดวยแรงตานซงแปรผนตรง กบขนาดของความเรวของวตถ และสามารถเขยน ในรปสมการทางคณตศาสตรไดดงน

F=-kv (1)

เครองหมายลบ แสดงวาแรงตานการเคลอนทมทศตรงขามกบความเรวของวตถ โดยท

f คอ แรงตานการเคลอนท

v คอ ความเรวของวตถ b คอ คาคงทซงขนอยกบชนดของตวกลางและรปรางของวตถ

คา b=6pietaD (2)โดยท eta คอสมประสทธความหนดของของเหลว

D คอเสนผานศนยกลางของทรงกลม

( b ตวน ไมมความเกยวของใดๆ ทงสนกบคาคงตวของสปรง)

ในกรณของทรงกลมมวล m ถกปลอยใหเคลอนทตกลงมา ภายใตแรงดงดดของโลก เมอพจารณา แรงทกระทำาตอวตถในแนวดงประกอบดวย f และ mg (โดยในตอนน ยงไมพจารณาถงแรงตานอากาศ เมอใหการแกสมการไมยงยากมากนก) ดงนน เมอใชกฎขอทสองของนวตนจะไดวา

และหากกำาหนดใหทศชลงเปนบวกจะไดวา

(3)

เขยนสมการท (3) ใหมไดเปน

(4)

สมการท 4 นเรยกวาสมการอนพนธ (differential equation)

สมการนแสดงถงความสมพนธระหวางความเรว กบเวลา t เราสามารถแกสมการนเพอเขยน ในรปของ t ไดเปน

V(t)=gt-(bg/2m)t^2อนทรเกรทได

Y(t)=(g/2)t^2-(bg/6m)t^3

(5) สำาหรบในอกกรณหนงทวตถมขนาดใหญและเคลอนทดวยความเรวสง

เชน นกดงพสธาทกระโดดจากเครองบน เขาจะถกตานการเคลอนทจากอากาศดวย ซงแรงตานจากอากาศนจะไมไดแปรผนตามความเรวเหมอนสมการท 1 แตจะแปรผนกบขนาดของความเรวยกกำาลงสอง ซงสามารถ

เขยนเปนสมการไดดงน

F=-kv^2 (6)

k=ρCA/2 (7)

รปภาพ แสดงแผนภาพ ของแรงทกระทำาตอวตถทเคลอนทผานตวกลางซงเปนอากาศ

(ก) แสดงภาพของแรงเมอวตถเรมเคลอนทผานอากาศโดยมความเรง(ข) แสดงภาพของแรงเมอวตถเคลอนทโดยไมมความเรง

ทรงกลมมวล m ตกลงมาอยางอสระดงรป แรงทกระทำาตอมวลดงกลาวในแนวดงประกอบดวย f และ mg (ในกรณนยงไมนำาแรงลอยตวมาพจารณา) ดงนนขนาดของแรงลพธสามารถเขยนไดเปน

โดยท

ดงนนขนาดความเรงของทรงกลมดงกลาวคอ

เขยน ในรปของ t

V(t)=gt-(kg^3/2m)t^3อนทรเกรต ได

Y(t)=(g/2)t^2-(kg^2/12m)t^4 (8)

วธทำาการทดลอง

นำาลกเหลกมวล 44.1616 g เสนผานศนยกลาง 19.74 mm และลกโฟมขนาดกลางมวล 0.3009 g เสนผานศนยกลาง 36.04 mm ซงวดไดจากเครองวดเวอรเนยรคารลปเปอร และเครองชงมวลสตำาแหนงตามลำาดบ ปลอยลงอยางอสระภายใตคาแรงตงดดของโลก โดยปลอยสงจากพน 1 m โดยใชไมบรรณทดขนาด 30 cm เปนสเกล ในการบอกตำาแหนง โดยผ

ทดลองอกคนเปนคนเปนคนอดวดโอโดยใชกลองดจตรอนในการบนทก ใชเฟรมเรทประมาณ 210/s จากนนนำาวดโอทไดไปคำานวณตำาแหนงทเวลาตางๆของมวลทงสองโดยใชโปรแกรม Tracker

จากนนนำาขอมลทไดจากโปรแกรม Tracker ไปคำานวณหาผลของแรงตานอากาศทงสองแบบคอ Fdrag=-bv และ Fdrag=-kv^2 เพอทำานายการเคลอนทของลกโฟมขนาดตางๆ โดยใชโปรแกรม MatLab ในการคำานวณและเปรยบเทยบคาคงท b หรอ k ทไดจากการทดลอง ซงโฟมขนาดใหญทใชในการทำานายมมวล 1.0484g เสนผานศนยกลาง 59.08mm และลกโฟมขนาดเลกมวล 0.0756g เสนผานศนยกลาง 25.00mm

ขนตอนการคำานวณ

จากการคำานวณในโปรแกรม Tracker ซงไดคา ตำาแหนงการเคลอนทของลกเหลก(ymeatal),โฟมขนาดกลาง(yfoam), โฟมขนาดใหญ(yfoamb), โฟมขาดเลก(yfoams) และเวลาทตำาแหนงตางๆของลกเหลก(tmeatal),โฟมขนาดกลาง(tfoam), โฟมขนาดใหญ(tfoamb), โฟมขาดเลก(tfoams)

นำาขอมล ymeatal และ tmetal มา fit กราฟเปน Polynomial Degree 2 จากโปรแกรมแมทแลปดงภาพ(2)

(2)ภาพการแสดงการฟตกราฟระหวาง ymetal กบ tmetal

เพอหาคา g ทตำาแหนงทำาการทดลอง จากนนทำาการปรบคา yfoam ใหมคา g=9.81 m/s^2 โดยการนำาคา yfoam ทตำาแหนงตางๆคณกบคา g ทฤษฏ แลวหารดวยคา g ทไดจากการ fit กราฟ แลวนำาคา yfoam ใหมมาฟ ต ก ร า ฟ เ ป น custom equation โ ด ย ส ม ก า ร ท ใ ช ใ น ก า ร ฟ ต ค อ y=a*x^3-(4.905*x^2)+c เพอหาสมประสทธของหนา x^3 (a) ดงภาพ(3)เพอหาคา b

(3)ภาพการแสดงการฟตคาจาก custom equation degree 3

ทำาซำาเพอหาสมประสทธขางหนา t^4 (a)ดงภาพ(4) เพอหาคา k

(4)ภาพการแสดงการฟตคาจาก custom equation degree 4

นำาขอมลทได(คา b กบ k)ไปทำานายการเคลอนทของโฟมขนาดใหญ และขนาดเลก

ผลการทดลอง

จากการคำานวณพบวาคาทไดจากการฟตกราฟ yfoam กบ tfoam จากสมการ คอ y=a*x^3-(4.905*x^2)+c

และเมอนำาคา a มาคำานวณหาคา b จาก a= bg/6m จะไดคา b =5.6757e-04และจากการฟตกราฟ yfoam กบ tfoam จากสมการ คอ y=a*x^4-(4.905*x^2)+cและเมอนำาคา a มาคำานวณหาคา k จากสมการ a= kg^2/12m จะไดคา k = 2.9600e-04นำาคา k กบ b ทไดมาคำานวณจากสมการ (2),(7)

จะได cv =0.4836

cp=eta = 0.0017นำาคา cv กบคา cp ทำานายการเคลอนทของโฟรมขนาดใหญ กบโฟมขนาดเลก ดงกราฟ

กราฟ(1)แสดงการเปรยบเทยบ ระหวางการเคลอนทของมวลใหญทไดจากการทดลอง ,การเดา(t^3),การเดา(t^4)

yk คอ สมการการการเดาเคลอนทจากสมการ (8)

yb คอ สมการการการเดาเคลอนทจากสมการ (5)

yfoamb คอ สมกาการเคลอนทจากการทดลอง

กราฟ(2)แสดงการเปรยบเทยบ ระหวางการเคลอนทของมวลเลกทไดจากการทดลอง ,การเดา(t^3),การเดา(t^4)

yk คอ สมการการการเดาเคลอนทจากสมการ (8)

yb คอ สมการการการเดาเคลอนทจากสมการ (5)

yfoams คอ สมกาการเคลอนทจากการทดลอง

สรปผลการทดลอง

จากผลการทดลองพบวาคา b =5.6757e-04

k = 2.9600e-04cv =0.4836cp=eta = 0.0017

เมอเปรยบเทยบกบคาทฤษฎ cv=0.5

%error =(0.5-0.4836)/0.5= 0.0328 หรอ= 3.28%

จากแบบจำาลองทงสองพบวาแบบจำาลองแรงตานอากาศ f=-kv^2 ทำานายการเคลอนทของโฟมขนาดตางๆไดดกวา แบบจำาลองแรงตานอากาศ f=-kv

เอกสารอางอง

[1] http://www.il.mahidol.ac.th/e-media/ap-physics1/lesson2_11b.html

หลกๆมองคประกอบทครบ แตทยงขาดคอการเขยนสมการตางๆทเปนระเบยบและอานรเรอง การอธบายทชดเจน สำาหรบการวเคราะหผลดเหมอนจะมาถกทางแตการเปรยบเทยบเชงตวเลขยงดงงๆ ขาดเรองหนวยมาก

ทงนโดยรวมถอวาเรมตนไดด (แตครงหนาไปปรบเรองการเขยนตวแปรตางๆมาดวย)

ได 12 คะแนน + 0.5 คะแนน (บทนำา) = 12.5 คะแนน (เตม 14)