(MK2011- LE5 - IS5)

TAJUK KEMAHIRAN DAN SEMESTER

ELEKTRIKAL/ELEKTRONIK – SEMESTER 2

No. DAN TAJUK MODUL MK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2

No. DAN TAJUK PENGALAMAN PEMBELAJARAN

LE 1 : KENALPASTI DAN FAHAM KOORDINAT CARTESAN

LE 2 : KENALPASTI DAN FAHAM GEOMETRILE 3 : KENALPASTI DAN FAHAM TRIGONOMETRILE 4 : KENALPASTI DAN FAHAM NOMBOR KOMPLEKSLE 5 : KENALPASTI DAN FAHAM VEKTOR

OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN

KENALPASTI DAN FAHAM PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGUNAKAN KAEDAH KOORDINAT CARTESAN , GEOMETRI ,TRIGONOMETRI , FUNGSI , NOMBOR KOMPLEKS DAN VEKTOR SUPAYA :

1. DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG BERKAITAN DENGAN BETUL.

2. DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DI BENGKEL BAGI SUBJEK TERAS.

164

INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA

MALAYSIA

KERTAS PENERANGAN

ISI KANDUNGAN

LE6 – Kenal pasti dan faham vektor

TASK 02.05 – Vektor

165

No. & TAJUK PENGALAMANPEMBELAJARAN

LE5 : Kenal pasti dan faham Vektor

No. & TAJUK TUGASAN

02.05 Vektor

Code No. : MK 2011-LE5 – IS5 Muka: 1 drp : 15

TAJUK : PENGENALAN VEKTOR DAN SKALAR TUJUAN :

Kertas penerangan ini bertujuan menerangkan mengenai takrifan dan komponen vektor dan skalar disamping operasi yang melibatkan penambahan dan penolakan kuantiti vektor.

PENERANGAN :

1.0 PENGENALAN VEKTOR DAN SKALAR

Vektor ialah suatu kuantiti yang mempunyai magnitud (ukuran saiz sesuatu benda) dan arah (petunjuk kedudukan). Contoh-contoh vektor ialah halaju, sesaran, pecutan dan daya. Manakala skalar ialah suatu kuantiti yang hanya mempunyai magnitud sahaja. Contoh-contoh skalar ialah laju, jarak, kuasa dan kerja.

Untuk penjelasan, katakan anjakan kedudukan dari satu titik P0 ke P1 seperti dalam rajah 1. Jika anjakan ini diwakili dengan anak panah. Anjakan ini mempunyai magnitud dan arah, Panjang anak panah mewakili magnitud manakala arah anak panah mewakili arah vektor. Setiap vektor mesti diwakili dengan anak panah

P1 P1

P0 P0

Rajah 1

ialah vektor yang magnitudnya sama dengan panjang AB dan arahnya dari A ke B. Vektor boleh ditandakan sebagai dan magnitudnya ditulis sebagai atau .

Vektor Sifar ialah vektor yang mempunyai magnitud sifar yang ditandakan sebagai .

Vektor Negatif bagi ialah vektor yang mempunyai magnitud yang sama dengan tetapi dalam arah yang bertentangan dengan arah , iaitu = - .

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 2 drp: 15

166

Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama.

Dengan menggunakan kaedah skala, suatu vektor dapat ditentukan magnitud dan arah tuju vektor tersebut . Rujuk contoh di bawah :

Contoh 1 :

Suatu vektor yang diwakili RS , bermula pada satu titik R bergerak ke timur menuju titik S dengan halaju 800kmj -1. dengan diberi skala 1cm mewakili 200kmj-1 , lakarkan vektor RS. Penyelesaian :

Panjang anak panah = dan arah RS adalah timur

u R 800kmj-1 S

Rajah 2

Untuk mengira panjang bagi suatu vektor seperti dalam rajah 3, gunakan rumus seperti di bawah :-

Panjang Vektor AB : A

a

B b

Rajah 3

Contoh 2 :

Kirakan magnitud dan arah bagi vektor AB dalam rajah 4.

Penyelesaian : Panjang AB : = 5 unit

Magnitud AB : 5 x 2 N = 10 N arah tenggara.

Rajah 4

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 3 drp: 15

2.0 KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR

167

A

B 1unit:2 N

Konsep asas dalam komponen-komponen vektor perlu diketahui supaya dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah berkaitan dengan vektor. Dengan menggunakan sistem koordinat , sesuatu vektor selalunya merupakan

suatu garis berarah daripada titik awal ke titik hujung. Katakan , atau atau bermula dari asalan , di

mana x dan y ialah komponen-komponen vektor. Magnitud vektor boleh diwakili oleh modulus atau atau . Rujuk rajah 5.

Paksi y

P

y

O Paksi x

x Rajah 5

Magnitud vektor bagi boleh diungkapkan dalam bentuk x + y atau dalam bentuk lajur .

Jika = x + y = , maka

i) =

ii) vektor unit dalam arah ialah

= atau

=

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 4 drp: 15

Contoh 3 :

168

Diberi = , dapatkan dan vektor unit pada arah

Penyelesaian :

Diberi =

Maka = = = 5 unit

Vektor unit pada arah =

= =

Vektor kedudukan ialah vektor yang ditetapkan kedudukan relatifnya kepada suatu titik lain. Jika 0 ialah asalan

dan A ialah titik (x,y), maka vektor kedudukan bagi A ialah = . Vektor kedudukan untuk B (4,7) ialah

= .

Vektor bebas ialah vektor yang tidak bergantung pada mana tempat iaitu ianya boleh bermula pada mana-mana tempat manakala vektor setempat (localized) bermaksud vektor yang mesti bermula pada satu tempat yang ditetapkan.

Vektor bebas Vektor setempat

Rajah 6

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 5 drp: 15

Dua vektor adalah sama jika kedua vektor itu mempunyai magnitud dan arah yang sama walaupun kedudukan

titik permulaannya tidak sama. Contohnya vektor = , maka // dan =

Vektor negatif adalah vektor yang mempunyai magnitud yang sama tetapi berlainan arah dengan vektor yang

lain. Vektor - ialah vektor negatif bagi kerana arah bertentangan tetapi magnitudnya adalah sama, =

169

- Kesamaan 2 vektor Vektor negatif

Rajah 7

Contoh 4 :

Rajah 8 di bawah ialah sebuah heksagon sekata. Nyatakan vektor yang sama dengan berikut

B C

A D

F E Rajah 8

a) b) c)

Penyelesaian :

a) = b) = c) =

Contoh 5 :

Sebuah kereta bergerak ke utara sejauh 6km dari A ke B’ kemudian ke timur dari B ke C sejauh 8km dan akhirnya patah balik ke A. Lukis ketiga-tiga anjakan itu mengikut skala 1cm : 2km. Tentukan magnitud dan arah sesaran tersebut dari C ke A.

Penyelesaian : B 8 km C Magnitud : = 10 km 6 km Arah : 10 km arah barat daya

A

Rajah 9

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 6 drp: 15

3.0 PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN KUANTITI VEKTOR

Vektor-vektor boleh ditambah atau ditolak dengan menambah atau menolak komponen-komponen itu secara beberapa petua dan kaedah. Penjumlahan ini akan menghasilkan vektor gabungan atau dikenali sebagai vektor paduan.

Katakan terdapat dua vektor iaitu vektor dan vektor , maka hasil tambah kedua-dua vektor tersebut ialah

+ dimana + merupakan satu contoh vektor paduan.

170

3.0.1 Vektor Paduan bagi dua vektor selari

i. Penambahan vektor

A B

=

B C A B C Rajah 10

Vektor paduan =

Vektor paduan bagi vektor-vektor yang selari dalam arah yang sama mempunyai magnitud yang sama dengan hasil tambah kedua-dua vektor serta punyai arah yang sama.

ii. Penolakan vektor

Dengan merujuk pada rajah 10 bagi penambahan vektor, penolakan vektor adalah bersamaan dengan

penambahan kepada -

- = + ( - )

jadi penolakan vektor juga boleh dikatakan penambahan vektor negatif

3.0.2 Vektor Paduan bagi dua vektor tak selari

a) Petua segitiga

Pertimbangkan dua vektor dan dihubungkan pada titik 0. Unjurkan vektor selari hingga bertemu titik akhir

vektor dan titik mula vektor . Hasil dari pertemuan itu akan menghasilkan vektor iaitu mewakili vektor

hasiltambah kedua-dua vektor dan , juga dikenali sebagai vektor paduan seperti yang ditunjukkan di dalam

rajah 11 di bawah:

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 7 drp: 15

B B B

O A O A O A

171

Rajah 11

+ = + =

Penolakan dua vektor diperolehi melalui pemanjangan petua segitiga. Katakan bila dua vektor dan

ditolakkan akan diperolehi vektor beza . Ianya boleh dianggap sebagai hasiltambah vektor dan (- ) seperti

yang ditunjukkan rajah 12 dibawah.

B

O A O A O A

- - B’ B’ B’ Rajah 12

+ =

Jadi, vektor paduan + (- ) =

Contoh 6 :

Tunjukkan vektor paduan bagi +

Penyelesaian :

Rajah 13

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 8 drp: 15

Contoh 7 :

Rajah 14 menunjukkan sebuah segitiga, BCDE satu garislurus yang berkeadaan . Diberi

dan . Cari dalam sebutan dan untuk vektor berikut

172

~a

~a

~c

~a~

b~a

~b

(+ )

i. ii. iii.

E

D C

A B

Rajah 14

Penyelesaian :

i.

ii.

iii.

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 9 drp: 15

173

( - )

(3 + 2 )

b) Petua Segiempat selari

Dengan menggunakan hukum segiempat selari bagi dua daya yang bertindak pada satu titik. Hasiltambah vektor bagi dua vektor itu boleh diperolehi dengan menyambungkan titik permulaan kedua-dua vektor itu di O untuk membentuk dua sisi sebuah segiempat selari OPQR seperti yang ditunjukkan dalam rajah 15 di bawah :

Q Q R

O P O P

Rajah 15

= =

= =

maka, + = + =

atau vektor paduan + =

Dengan menggunakan kaedah yang sama, hasiltolak juga akan perolehi vektor beza yang boleh dianggap

sebagai penyambungan titik akhir antara dua vektor dan seperti di rajah 16 :

Q Q R

Rajah 16

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 10 drp: 15

174

~q

~q

~p

~p

~r

c) Vektor paduan bagi 3 atau lebih vektor

Dengan menggunakan hukum segitiga atau hukum segiempat selari, hasiltambah 3 vektor atau lebih atau vektor paduan boleh ditentukan. Iaitu dengan menyambung titik akhir vektor terakhir dengan titik awal vektor pertama untuk membentuk satu poligon.

T

S

R

P

Q

Rajah 17

Rajah 17 menunjukkan sebuah pentagon hasil penambahan 5 vektor . Dalam pentagon PQRST, didapati

+ =

+ =

+ + =

+ =

maka, + + + =

iaitu, + + + =

Jadi, vektor paduan bagi , , dan boleh diwakili dengan sisi . Kaedah mencari hasiltambah 3 atau lebih

vektor ini dikenali sebagai hukum poligon.

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 11 drp: 15

d) Pengungkapan vektor sebagai gabungan vektor linear yang lain.

175

+ + +

~a

~b

~c

~d

Vektor paduan juga boleh ditentukan sebagai gabungan linear vektor yang lain.

C

A B

Rajah 18

Maka , untuk mendapatkan vektor paduan ,

= +

= +

Untuk mendapatkan vektor paduan

= +

= (- ) +

= -

Contoh 8 :Diberi ABCD ialah sebuah segiempat selari serta pepenjuru-pepenjuru AC dan BD bersilang pada titik O. Cari vektor paduan bagi setiap kes berikut

A B

O

D C Rajah 19

a. b.

c. d.

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 12 drp: 15

Penyelesaian :

176

a. b. c. d.

Contoh 9 :

A F

B E

C D Rajah 20

Dalam rajah 20 di atas ABCDEF ialah sebuah heksagon. Cari vektor paduan berikut.

a. + + b. + +

c. + + + + +

Penyelesaiana. + + =

b. + + = + +

=

c. + + + + +

= + + + + +

=

=

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 13 drp: 15

SOALAN : (Para pengajar diminta menunjukkan cara penyelesaian bagi semua soalan latihan di bawah bagi mencukupi keperluan tajuk in)

177

1. Diberi = dan =

a) Cari + 2

b) Hitung

2. Diberi = , = dan =

Cari

a) Nilai p dan q jika = 2 -

b) Vektor unit dalam arah

3. Diberi A (2, 5) dan B (3, 8) . Nyatakan dalam bentuk vektor lajur dan cari .

4. Diberi A (1 , 2) , B (-2 , 3) dan C (3, 7).

a) Ungkapkan dan dalam bentuk xi + yj

b) Hitung

5. Diberi = 2 - dan = - 4 + 3 . Cari nilai

a) jika = 4 + 2

b) Vektor unit dalam arah

6. Diberi = dan = Jika = 2 + , cari dan

RUJUKAN:

1) Siri Analisis Matematik Tambahan (SPM) – Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd Tahun 1999

2) Nota Politeknik

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 14 drp: 15

SKEMA JAWAPAN BAGI SOALAN

1. a) a + 2b = + 2 = =

178

b) = 2 = = = = 4 unit.

2. a) c = 2a – b = 2 - = - =

Maka p = 7 dan q = 2

b) vektor unit b =

= = = 5

= =

3. = - =

= = unit.

4. = C – A = - = = 2i + 5j

= B – C = - = = -5i – 4j

= = unit

Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 15 drpd: 15

5. r = 4a + 2b

= 4 + 2 = = = 2j

Vektor unit r = = = 2j unit

6. r = 2p + q

179

= 2 + = =

= = 8 unit.

180