vremensko-frekvencijske metode u obradi elektrofizioloških

110
VREMENSKO-FREKVENCIJSKE METODE U OBRADI ELEKTROFIZIOLOŠKIH SIGNALA marko lainovi´ c E L E K T R O T E H N I Č K I F A K U L T E T U N I V E R Z I T E T U B E O G R A D U Diplomski rad Mentor: Prof. Mirjana Popovi´ c Odsek za Fiziˇ cku Elektroniku Elektrotehniˇ cki Fakultet Univerzitet u Beogradu Februar 2013 [ 16. januar 2013 at 13:48 classicthesis version 4.1 ]

Upload: others

Post on 23-Nov-2021

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

V R E M E N S K O - F R E K V E N C I J S K E M E T O D E U O B R A D IE L E K T R O F I Z I O L O Š K I H S I G N A L A

marko lainovic

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

UNIVERZITET U BEOGRADU

Diplomski rad

Mentor: Prof. Mirjana Popovic

Odsek za Fizicku ElektronikuElektrotehnicki FakultetUniverzitet u Beogradu

Februar 2013

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

Marko Lainovic: Vremensko-frekvencijske metode u obradi elektrofiziolo-ških signala, Diplomski rad, © Februar 2013

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

S A D R Ž A J

i uvod 1

1 sažet pregled 3

2 uvod u u vremensko-frekvencijske metode 5

2.1 Nestacionarnost 5

2.2 Furijeova transformacija 5

2.3 FT i nestacionarni signali 6

2.4 Osobine idealne vremensko-frekvencijske reprezenta-cije 12

2.4.1 Svojstva kovarijanse 13

2.4.2 Svojstva raspodele energije 14

2.4.3 Svojstva analize signala 15

2.4.4 Svojstva lokalizacije 15

2.4.5 Svojstva ocuvanja unutrašnjih proizvoda 16

2.5 Frekvencija i trenutna frekvencija - slicnosti i razlike 16

2.6 Podela metoda 19

2.6.1 Linearne vremensko-frekvencijske metode 19

2.6.2 Kvadratne raspodele 20

2.7 Primene 21

ii teorijske osnove metoda 23

3 kratkotrajna furijeova transformacija 25

3.1 Kontinualna STFT 25

3.1.1 Algebarska svojstva STFT 25

3.1.2 Rekonstrukciona formula - inverzna STFT 28

3.1.3 Analiza prozorske funkcije i vremensko-frekvencijskarezolucija kod STFT 29

3.1.4 STFT kao banka filtara 36

3.1.5 Spektrogram 39

3.1.6 Redundantnost STFT 41

3.1.7 Diskretizacija kontinualne STFT 42

3.2 Diskretna STFT 45

3.2.1 DT-STFT 45

3.2.2 DSTFT 46

3.3 Implementacija u MATLAB-u 50

4 vejvlet transformacija 55

4.1 Kontinualna WT 56

4.1.1 Primeri vejvleta 57

4.1.2 Algebarska svojstva WT 62

4.1.3 Rekonstrukciona formula - inverzna WT 63

4.1.4 Frekvencija i skala: slicnosti i razlike 64

4.1.5 Vremensko-frekvencijska rezolucija kod WT i po-redenje sa STFT 64

iii

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

iv sadržaj

4.1.6 Uslov regularnosti i karakterizacija singularitetakod WT 68

4.1.7 WT kao banka filtara 70

4.1.8 Skalogram 72

4.1.9 Redundantnost WT 73

4.1.10 Diskretizacija kontinualne WT 73

4.2 Multirezoluciona analiza 75

4.2.1 Multirezoluciona analiza i kontinualna WT 76

4.2.2 Multirezoluciona analiza i diskretizovana WT -diskretna WT 79

5 kvadratne raspodele 89

iii prakticna aplikacija metoda 91

6 vejvleti i ekg 93

iv dodatak 95

a prozorska funkcija 97

bibliografija 101

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

S L I K E

Slika 1 Funkcije x(t) i y(t). 8

Slika 2 Amplitudske karakteristike funkcija X( f ) i Y( f ). 9

Slika 3 Fazne karakteristike funkcija X( f ) i Y( f ). 10

Slika 4 DFT signala x(n) i y(n). 11

Slika 5 Muzicka kompozicija. 11

Slika 6 Idealna VFR. 12

Slika 7 ”Chirp” signal. 17

Slika 8 Realni delovi STFT atoma oblika gτ, f (t) = e−t22 ej2π f t. 26

Slika 9 FT atoma sa slike 8. 27

Slika 10 Prozorska funkcija. 30

Slika 11 STFT Dirakovog impulsa u diskretnom domenu. 31

Slika 12 STFT diskretne kompleksne sinusoide. 32

Slika 13 STFT kombinacije prethodnih signala. 32

Slika 14 Vremensko-frekvencijska lokalizacija prozorskefunkcije wa(t). 33

Slika 15 STFT pri Dirakovom impulsu kao prozoru. 34

Slika 16 STFT pri konstantnoj funkciji kao prozoru (do-bijena XSTFT(τ, f ) nije potpuno jednaka X( f ),jer prozor w ovde nije beskonacnog trajanja). 35

Slika 17 Dva Gausijanska atoma analizirana preko STFTsa Hamming-ovim prozorom od 65 odbiraka. 35

Slika 18 Dva Gausijanska atoma analizirana preko STFTsa Hamming-ovim prozorom od 17 odbiraka. 36

Slika 19 LTI model. 37

Slika 20 Filtriranje signala u frekvencijskom domenu krozLTI model. 38

Slika 21 STFT kao banka filtara. 38

Slika 22 Spektrogrami signala sa bliskim komponentamau t− f ravni. 40

Slika 23 Spektrogrami signala sa distantnim komponen-tama u t− f ravni. 41

Slika 24 Aproksimacija signala iz redundantnog skupa. 42

Slika 25 Diskretizovana t− f ravan. 43

Slika 26 Preklapanja blokova DTFT pri racunanju DT-STFT. 46

Slika 27 Situacija kada je L previše veliko. 46

Slika 28 Situacija kada je L previše veliko. 47

Slika 29 DSTFT kao banka filtara. 49

Slika 30 Proširenje signala x[n]. 50

Slika 31 EKG signal ucitan u program. 52

Slika 32 STFT prozor sa potrebnim parametrima. 52

v

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

Slika 33 Spektrogrami EKG signala. 53

Slika 34 Mother wavelet oblika ψ(t) = 2√

3π14(1− t2)e−

t22 ,

i dva vejvleta nastala kontrakcijom/dilatacijom(a = 0.5/a = 2, pri b = 0). 57

Slika 35 FT signala sa prethodne slike. 58

Slika 36 Harov vejvlet. 59

Slika 37 Sinusni vejvlet. 59

Slika 38 Morleov vejvlet, njegov realni i imaginarni deo. 60

Slika 39 “Mexican Hat” vejvlet. 60

Slika 40 Šenonov vejvlet. 61

Slika 41 Mejerov vejvlet. 61

Slika 42 Poredenje modulacije i skaliranja. 65

Slika 43 Hajzenbergovi okviri kod (a) STFT i (b) WT. 65

Slika 44 Morleov skalogram impulsa oko 64-og odbirka- vremenska rezolucija zavisi od posmatranefrekvencije. 66

Slika 45 Morleov skalogram dve sinusoide od 128 od-biraka. 67

Slika 46 Sinusoida sa dodatim impulsom. 67

Slika 47 Poredenje STFT i WT. 68

Slika 48 (a) Signal sa singularitetima nultog, prvog idrugog reda i (b) njena WT. 71

Slika 49 LTI model. 71

Slika 50 Banka filtara (a1 > a2 > a3 > a4). 72

Slika 51 Particija frekvencijskog domena kod (a) STFT i(b) WT. 72

Slika 52 Morleov skalogram dva atoma. 73

Slika 53 Dijadna diskretizacija a− b ravni. 75

Slika 54 Transfer-funkcija skalirajuce funkcije ϕ(t). 78

Slika 55 Ugnježdeni potprostori kod MRA. 80

Slika 56 Wm prostor. 81

Slika 57 84

Slika 58 FWT interpretacija preko filtara. 87

Slika 59 FWT kaskadna veza. 87

Slika 60 FWT inicijalizacija i prvi stepen. 88

Slika 61 Prozorska Furijeova transformacija dve kom-pleksne sinusoide. 98

Slika 62 Prozorska funkcija sa oznacenim kriterijumima. 99

Slika 63 Prozorske funkcije (dužine 32 odbirka) i nji-hove transformacije. 100

vi

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

TA B E L E

Tabela 1 Najcešce korišcene prozorske funkcije (slika 63)(normalizacioni faktori izostavljeni). 37

A K R O N I M I

FT Fourier Transform - Furijeova Transformacija

IFT Inverse Fourier Transform - Inverzna Furijeova Transformacija

DT-FT Discrete-Time Fourier Transform

DFT Discrete Fourier Transform

STFT Short Term Fourier Transform - Kratkotrajna FurijeovaTransformacija

WT Wavelet Transform - Vejvlet Transformacija

FFT Fast Fourier Transform - Brza Furijeova Transformacija,algoritam za DFT

WVD Wigner-Ville Distribution - Vigner-Vilova Raspodela

VFR Vremensko-Frekvencijska Reprezentacija

MRA Multiresolution Analysis - Multirezoluciona analiza

FWT Fast Wavelet Transform - Brza vejvlet transformacija

vii

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

Deo I

U V O D

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

1S A Ž E T P R E G L E D

U teoriji obrade signala se cesto srece upotreba razlicitih transfor-macija. Transformacije su operacije nad signalom koje transformišujedan njegov oblik u drugi, po mogucstvu lakši za procesiranje i ana-lizu. U suštini, transformacije služe za manipulaciju signala tako danjihove najbitnije karakteristike budu jasno vidljive. I ulazna i izla-zna funkcija, medutim, nose istu informaciju i predstavljaju razlicitepredstave iste pojave, tj. predstavljaju isti signal. Razlicite predstavesignala su pogodne za razlicite aplikacije. Signali dobijeni u veciniinženjerskih aplikacija su prikazani kao funkcije vremena, dok je pridizajniranju sistema korisnije da se signali posmatraju u frekvencij-skom domenu, itd.

Da bi se izdvojile najvažnije karakteristike signala, potrebno je da sekoristi prava transformacija za izdvajanje tih karakteristika. Klasicneortonormalne transformacije (Furijeova, Ermitova, Ležandrova, itd.)se koriste sa puno uspeha u primenjenoj matematici vec dugi niz go-dina. U inženjeringu, Furijeova transformacija je najcešce korišcenoorude za analizu spektralnog sadržaja signala. Medutim, limitacijakoju dele sve ove transformacije je nedostatak lokalnosti. Pod time semisli da veliki broj baznih funkcija uticu u velikoj meri na svaku vred-nost signala i konvergencija ovih transformacija se cesto oslanja na ve-liki broj poništavanja medu baznim funkcijama. U poslednje vreme sezato velika pažnja posvecuje vremensko-frekvencijskim metodama, tj.metodama koje povezuju vremenski i frekvencijski domen. Ove me-tode ispoljavaju osobinu lokalnosti, i one su se razvile iz potrebe zaadekvatnijom analizom signala cije se karakteristike, poput spektral-nog sadržaja ili statistickih parametara, menjaju u vremenu.

Hronološki gledano, Furijeova transformacija se prva pojavila. Za-ceta od strane Žozefa Furijea, koji je 1807. godine objavio metod zaprezentaciju kontinualnih signala preko niza koeficijenata, dobijenihanalizom signala pomocu odredene funkcije, ona se nije promenila nido danas, i na ovo ideji su zasnovane i ostale linearne transformacije,poput Short Term Fourier Transform - Kratkotrajna Furijeova Trans-formacija (STFT) i Wavelet Transform - Vejvlet Transformacija (WT).Potom je došlo do generalizacije sa periodicnih na neperiodicne funk-cije, kao i do proširenja metoda na diskretne signale. Do 1965. godineFFT algoritam je bio razvijen od strane Kulija i Tukija, koji je omogu-cio masovnu primenu u prakticnim aplikacijama.

Prva modifikacija Fourier Transform - Furijeova Transformacija (FT),radi bolje analize nestacionarnih signala, je bila STFT. Denis Gabor,koji se zanimao predstavljanjem telekomunikacionih signala pomocu

3

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4 sažet pregled

oscilujucih baznih funkcija u t− f ravni, je predstavio ovu modifika-ciju 1946. godine. Ubrzo potom, 1947. godine, Žan Vil razvija slicnumetodu za reprezentaciju energije signala u t− f ravni, Vigner-Vilovuraspodelu. Ostale transformacije su bile razvijene do ranih 1970-ih go-dina, i razlikovale su se samo po odabiru drugacije prozorske funk-cije.

Prvo pominjanje vejvleta (ali ne pod tim imenom) je bilo od straneAlfreda Haara, 1909. godine u svojoj doktorskoj disertaciji. Kasnije,tokom 1930-ih, Paul Levi je pokazao da je Haarova bazna funkcija, sapromenom njene skale, superiorna u odnosu na Furijeove bazne funk-cije. Analiza signala pomocu “vejvleta”, i njegova rekonstrukcija, suformalno uvedene 1981. godine, od strane Žana Morlea i Aleksa Gro-smana. Potom, 1986. godine, Stefan Malat i Ives Mejer razvijaju i pove-zuju multirezolucionu metodu i vejvlete, uvodeci skalirajucu funkciju.Ovo je dozvolilo ostalim istraživacima i matematicarima da konstru-išu svoje familije vejvleta koristeci vec ustanovljene kriterijume. Oko1988. godine, Ingrid Doubiši je iskoristila ovu teoriju da konstruišesvoju familiju vejvleta, koja je postala okosnica modernih aplikacijavejvleta. Zakljucno sa njenim radom, teorijski aparat vejvleta je do-brim delom bio zakljucen.

Detaljnije o ovim sledovima dogadaja se može naci u [18].

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

2U V O D U U V R E M E N S K O - F R E K V E N C I J S K E M E T O D E

2.1 nestacionarnost

Da bi se pricalo o nestacionarnosti signala, kao negaciji svojstva sta-cionarnosti, prvo je potrebno definisati stacionarnost signala: signalje, uopšteno govoreci, stacionaran ako se njegova svojstva ne menjajutokom vremena.

Koncept stacionarnosti je jasno definisan u teoriji stohastickih pro-cesa, gde se proces naziva striktno-stacionarnim ako se nijedna od nje-govih raspodela ne menja promenom pocetnog vremenskog trenutka,i (prakticniji pojam) široko-stacionarnim ako je njegova srednja vred-nost konstantna velicina, i ako njegova autokorelaciona funkcija za-visi samo od vremenske razlike izmedu posmatranih trenutaka.

Za deterministicke signale, stacionaranost podrazumeva da se spek-tralne karakteristike signala ne menjaju sa vremenom. Na primer, sig-nal je stacionaran ako ga je moguce napisati kao

x(t) = ∑k∈N

Akej(2π fkt+ϕk), (1)

gde su amplitude Ak, frekvencije fk i faze ϕk konstantne velicine.Signal je nestacionaran ako je bilo koji od ovih uslova neispunjen.

To znaci da je bilo koji signal konacnog trajanja nestacionaran, ili npr.bilo koji tranzijentni signal, i tako dalje. Drugim recima, vecina sig-nala u prirodi je nestacionarna i takve signale karakterišu njihovelokalne karakteristike.

2.2 furijeova transformacija

FT uvodi pojam frekvencije. Frekvencijska predstava signala je kori-sna za razumevanje iz prostog razloga što je frekvencija, kao koncept,prisutna u svim granama nauke, tj. gde god se pojavljuje fenomennekakvih oscilacija, bilo to u obliku raznih vrsta vibracija, talasa ilipri izucavanju potencijalnih energija gde dolazi do aproksimacija har-monijskim oscilatorom.

Furijeov red je idealna transformacija za signale koji izražavaju pe-riodicno ponašanje; signal, na primer, može sadržati komplikovaneobrasce koji se ponavljaju, a zapravo se sastojati od nekoliko sinuso-ida; takav signal može biti opisan sa samo nekoliko parametara ufrekvencijskom domenu. Furijeova transformacija je generalizacija zaneperiodicne funkcije.

5

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

6 uvod u u vremensko-frekvencijske metode

Kod FT se posmatra transformacioni par

x(t)↔ XFT( f ), (2)

gde jedna funkcija karakteriše proces u vremenskom domenu, dokdruga karakteriše proces u frekvencijskom domenu. Frekvencijska re-prezentacija signala je dobijena integracijom signala kroz vremenskidomen

XFT( f ) =∫ +∞

−∞x(t)e−j2π f tdt, (3)

i obrnuto, vremenski oblik signala je dobijen integracijom po celojfrekvencijskoj osi

x(t) =∫ +∞

−∞XFT( f )ej2π f td f . (4)

To znaci da su argumenti ovih funkcija medusobni iskljucivi, tj. po-java jedne varijable garantuje odsutnost druge, i to se naziva vremensko-frekvencijskom dihotomijom Furijeove transformacije.

Funkcija XFT( f ) daje globalnu raspodelu spektralnog sadržaja sig-nala u vidu kompleksnih vrednosti; apsolutna vrednost |X( f )| sezove amplitudska karakteristika signala, i ona pokazuje amplitududetektovanih spektralnih komponenti. Faza ovih spektralnih kompo-nenti je sadržana u funkciji arg{X( f )} koja se naziva faznom karak-teristikom signala. U praksi, amplitudska karakteristika se najcešcekoristi pri analizi signala.

FT i Inverse Fourier Transform - Inverzna Furijeova Transformacija(IFT) su moguce ako su zadovoljeni Dirihleovi uslovi:

• Integral∫|x(t)|dt je konacan.

• Funkcije x(t) i XFT( f ) su neprekidne ili deo-po-deo neprekidne,a broj diskontinuiteta i ekstrema ne može rasti neograniceno ukonacnom intervalu.

• Funkcija mora biti ogranicena, mada je ovo dovoljan ali ne ineophodan uslov ako se posmatraju i generalizovane funkcije.Dirakov impuls ocigledno ne zadovoljava ovaj uslov.

2.3 ft i nestacionarni signali

Nestacionarnost signala je cesto sama po sebi od vitalnog interesa.Furijeova transformacija nije u stanju da pruži adekvatnu analizu ova-kvih signala, pošto lokalizovani signali impliciraju visokofrekventnisadržaj, odn. za opis takvih komponenata signala je potreban širokspektralni sadržaj; to je u suprotnosti sa pocetnom idejom, a to je dase opiše signal sa što manje parametara.

Šta više, povratna informacija dobijena FT bi u takvim slucajevimamogla lako da navede na pogrešne zakljucke. Kao jednostavan primer

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

2.3 ft i nestacionarni signali 7

toga, dati1 su signali x(t) (slika 1a), i y(t) (slika 1b) (ograniceni na τ

sekundi)

x(t) = cos (2π f1t) + cos (2π f2t) + cos (2π f3t)

y(t) =

cos (2π f1t) , t1 ≤ t < t2

cos (2π f2t) , t2 ≤ t < t3

cos (2π f3t) , t ≤ t4

f1 = 2 Hz, f2 = 4 Hz, f3 = 6 Hz.

t1 = −15 s, t2 = −5 s, t3 = 5 s t4 = 15 s.

−15 s ≤ t ≤ 15 s =⇒ τ = 30 s

Buduci da Furijeva transformacija predstavlja bijektivni operator iz-medu dve funkcije, ona svakako razlikuje signale x(t) i y(t). FT sig-nala x(t) je

X( f ) =τ

2[sinc(π ( f ± f1) τ) + sinc(π ( f ± f2) τ) + sinc(π ( f ± f3) τ)] ,

dok je FT signala y(t)

Y( f ) =t2 − t1

2sinc(π ( f ± f1) (t2 − t1))e−j2π( f± f1)(

t1+t22 ) +

t3 − t2

2sinc(π ( f ± f2) (t3 − t2))e−j2π( f± f2)(

t2+t32 ) +

t4 − t3

2sinc(π ( f ± f3) (t4 − t3))e−j2π( f± f3)(

t3+t42 ).

Može se odmah primetiti da su apsolutne vrednosti ove dve funkcije,tj. amplitudske karakteristike ovih signala, veoma slicne, i one su pri-kazane na slikama 2a i 2b. Postoji razlika u oštrini spektara, ali naoba grafika se iste spektralne linije izdvajaju kao dominantne. Za ra-zlikovanje ova dva signala je presudna fazna karakteristika (slike 3ai 3b), gde se jasno vidi razlika izmedu ova dva signala. Problem ješto u praksi dobijanje fazne karakteristike nije uvek jednostavno kaodobijanje amplitudske karakteristike, a zbog toga se obrada signalacesto oslanja na analizu samo amplitudske karakteristike.

Vremenski i frekvencijski domen se medusobno dopunjuju infor-macijama. Vremenski oblik signala x(t) ne govori puno, ali njegovaamplitudska karakteristika pokazuje da je u pitanju zbir tri spektralnekomponente. S druge strane, amplitudski spektar signala y(t) bi mo-gao da zavara nekog da je u pitanju signal kao x(t), jer se nigdene razaznaje cinjenica da je to zapravo sinusoida cija se frekvencijaskokovito menja tokom vremena, ali se to jasno vidi sa vremenskoggrafika.

Pogledajmo malo prakticniju analizu. Umesto kontinualne FT, ko-risti se Discrete Fourier Transform (DFT) diskretnih verzija ovih dvaju

1 Ovi signali i njihove transformacije su dobijeni pomocu programskog paketa Mathe-matica.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

8 uvod u u vremensko-frekvencijske metode

-1.0 -0.5 0.5 1.0Vreme @sD

-2

-1

1

2

3

4

(a) x(t)

-10 -5 5 10Vreme @sD

-2

-1

1

2

(b) y(t)

Slika 1: Funkcije x(t) i y(t).

signala, i to pomocu MATLAB-ovog toolbox-a za obradu signala. Ra-zlika u oštrini spektara je ovde izraženija2 (slika 4).

% konstrukcija signala

tau = 30; fs = 1000; N = tau*fs;

t = (0:N-1)/fs; % vektor sa vrednostima vremenskih trenutaka

t1 = 0; t2 = (N/3-1)/fs; t3 = (2*N/3-1)/fs; t4 = (N-1)/fs;

f1 = 2; f2 = 4; f3 = 6;

x = cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t);

y = cos(2*pi*f1*t).*(heaviside(t-t1)-heaviside(t-t2)) +...

cos(2*pi*f2*t).*(heaviside(t-t2)-heaviside(t-t3)) +...

2 Spektar signala x[n] je ispao tako oštar zato što su se frekvencije kosinusoida tacnopoklopile sa vrednostima frekvencija u kojima su uzimani odbirci za DFT. U opštemslucaju nije tako, razlivanje spektara ce postojati kod oba grafika, i razlika izmeduspektara X[k] i Y[k] ce biti manje uocljiva.

[16. januar 2013 at 13:48 - classicthesis version 4.1 ]

2.3 ft i nestacionarni signali 9

-10 -5 5 10Frekvencija @HzD

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(a) X( f )

-10 -5 5 10Frekvencija @HzD

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(b) Y( f )

Slika 2: Amplitudske karakteristike funkcija X( f ) i Y( f ).

cos(2*pi*f3*t).*(heaviside(t-t3)-heaviside(t-t4));

% racunanje spektra pomocu FFT algoritma

X = fft(x);

Y = fft(y);

f = (-N/2:N/2-1)*fs/N; % vektor sa vrednostima frekvencije

figure; stem(f,fftshift(abs(X)/N),’Color’,[0 0 0],’Marker’,’none

’));

figure; stem(f,fftshift(abs(Y)/N),’Color’,[0 0 0],’Marker’,’none

’)); �Ponovo je jasno vidljivo da se komponente na istim frekvencijamaizdvajaju kao dominantne.

Amplitudski spektar signala govori koje sve spektralne komponenteu signalu postoje, ali ne i u kom trenutku su one prisutne u signalu.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

10 uvod u u vremensko-frekvencijske metode

-1.0 -0.5 0.5 1.0Frekvencija @HzD

-1

1

2

3

(a) X( f )

-1.0 -0.5 0.5 1.0Frekvencija @HzD

-3

-2

-1

1

2

3

(b) Y( f )

Slika 3: Fazne karakteristike funkcija X( f ) i Y( f ).

Drugim recima, amplitudski spektar ne daje nikakvu informaciju ovremenskoj evoluciji spektralnog sadržaja signala.

Dobar primer nestacionarnog signala je muzicki signal, pošto sefrekvencijski sadržaj muzickog signala jasno i uocljivo menja sa vre-menom; u jednom trenutku, udarac na dirku klavira ce proizvesti tonkoji ce imati jedan spektar, dok ce u drugom trenutku druga dirkaproizvesti ton sa potpuno drugim frekvencijskim sadržajem.

Muzicki signal može biti precizno opisan funkcijom vazdušnog pri-tiska u vremenu, kao i FT-om te funkcije. Medutim, ovo ne bi ništaznacilo nekome ko je muzicki obrazovan. Notacija koja se koristi pripisanju muzickih kompozicija je primer vremensko-frekvencijske pre-zentacije (slika 5). To je dvodimenzionalna predstava sa linearnomraspodelom vremena i logaritamskom raspodelom frekvencije kaoosama promenljivih. Takve reprezentacije signala govore kada i kojetonove treba odsvirati.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

2.3 ft i nestacionarni signali 11

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Frekvencija [Hz]−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Frekvencija [Hz]

Slika 4: DFT signala x(n) i y(n).

Slika 5: Muzicka kompozicija.

Muzicka kompozicija takode može poslužiti kao analogija za ilu-strovanje bitnih koncepata u vremensko-frekvencijskim metodama: Zanimljivo je da

postoji stil ukomponovanjumuzike koji koristipristup koji biodgovarao klasicnojFT: "spektralnamuzika”. Dugitonovi se sviraju,kombinuju ievoluiraju u željeneharmonije,zadržavajuci svevremekarakteristicnisinteticki karakter.Francuski kompozerŽerard Grizi(1946-1998) jepionir ove forme.

• Pišuci note, kompozitor stvara kompoziciju; sa inženjerske tackegledišta, to odgovara analizi signala. Obrnuto, sviranje kompo-zicije odgovara sintezi ili rekonstrukciji originalnog signala izzapisane vremensko-frekvencijske reprezentacije.

• Kompozicija je zapisana preko simbola koji predstavljaju lokali-zovane tonove u vremenu. Ti simboli se nazivaju muzickim no-tama. Muzicka nota govori i koje frekvencije treba odsvirati zaodredeni ton, dužinu trajanja i intezitet tog tona; nota je najmanjinedeljivi vremensko-frekvencijski gradivni blok u muzici, a kompozi-cija je rastavljanje muzickog komada na svoje osnovne gradivneblokove, tj. muzicke note.

• Kompozicija raspolaže sa konacnim brojem razlicitih nota, tj. sakonacnom kolicinom informacije. To znaci da je kompozicija jeipak samo aproksimacija, pa korespodencija izmedu muzickogteksta i sviranog komada nije jednoznacna. No, muzicka kom-pozicija je najefikasnija znana metoda koja efektivno zarobljavasve osobine jednog muzickog dela. U tom stilu, inženjeri i ma-tematicari konstantno proucavaju nove metode kako bi smanjili

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

12 uvod u u vremensko-frekvencijske metode

kalkulacije u realnim uslovima, a pritom dobili zadovoljavajucerezultate u vidu dobijanja što više informacija o posmatranojpojavi sa što manje potrošenih resursa.

Vremensko-frekvencijske metode nisu zamena za standardne Furije-ove metode, vec samo alternativa. Ako je signal linearna kombinacijaharmonika, svaka Vremensko-Frekvencijska Reprezentacija (VFR) cebiti inferiorna u odnosu na standardan Furijeov red, bilo po pitanjuanalize takvog signala, kompresije ili uklanjanja šuma.

2.4 osobine idealne vremensko-frekvencijske reprezen-tacije

Ideja je da se pronade nacin da se prikaže spektralni sadržaj signalauz zadržavanje vremenskog parametra na neki nacin, tj. da se izvršivremensko-frekvencijska analiza signala. To treba da bude predstavasignala koja je u stanju da simultano pokaže i temporalne i frekven-cijske karakteristike signala, tj. da bude konstruisana nad t− f ravni(slika 6). Pošto je vecina elektrofizioloških signala nestacionarna posvojoj prirodi, izbor ovakvih metoda za analizu je sasvim logican.

Postoji dosta svojstava koje bi idealna vremensko-frekvencijska me-toda trebala da poseduje, ali do danas ne postoji nijedna transfor-macija koja zadovoljava sve postavljene kriterijume. Ove osobine se

Vreme [s]

Fre

kv

en

cija

[H

z]

Slika 6: Idealna VFR.

mogu grubo podeliti u 5 kategorija.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

2.4 osobine idealne vremensko-frekvencijske reprezentacije 13

2.4.1 Svojstva kovarijanse

Ova svojstva znace da, ako se signal promeni operacijama kao štosu množenje, translacija, modulacija, dilatacija ili konvolucija, njegovaVFR bi trebala da se promeni na isti nacin.

2.4.1.1 Modulacija

y(t) = x(t)ej2π f0t =⇒ Y( f ) = X( f − f0) =⇒ Y(t, f ) = X(t, f − f0).(5)

Ovo svojstvo govori da, ako je spektar signala pomeren na frekvencij-skoj osi za neku vrednost f0, njegova VFR bi trebala biti pomerena zaisto toliko po svojoj frekvencijskoj osi.

2.4.1.2 Vremenska translacija

y(t) = x(t− t0) =⇒ Y( f ) = X( f )e−j2π f0t =⇒ Y(t, f ) = X(t− t0, f ).(6)

Ovo svojstvo govori da bilo koje pomeranje signala u vremenu rezul-tuje samo pomeranjem njegove VFR po vremenskoj osi, takode.

2.4.1.3 Skaliranje

y(t) =√|a|x(at) =⇒ Y( f ) =

1√|a|

X(fa) =⇒ Y(t, f ) = X(at,

fa).

(7)Ovo svojstvo govori da skaliranje signala po vremenskoj osi rezultujesamo odgovarajucim skaliranjima VFR po svojim osama.

2.4.1.4 Konvolucija

y(t) =∫

h(t− τ)x(τ)dτ =⇒ Y( f ) = H( f )X( f ) =⇒ Y(t, f ) =∫

H(t− τ, f )X(τ, f )dτ.

(8)Konvolucija3 dva signala u vremenskom domenu bi trebala proizvestikonvoluciju njihovih VFR.

3 Ukoliko granice integrala ili sume nisu naznacene, podrazumeva se da su besko-nacne.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

14 uvod u u vremensko-frekvencijske metode

2.4.1.5 Množenje

y(t) = h(t)x(t) =⇒ Y( f ) =∫

H( f − ν)X(ν)dν =⇒ Y(t, f ) =∫

H(t, f − ν)X(ν)dν.

(9)Konvolucija dva signala u frekvencijskom domenu bi trebala proizve-sti konvoluciju njihovih VFR.

2.4.2 Svojstva raspodele energije

Ova svojstva treba da osiguraju da se posmatrana VFR može kori-stiti kao adekvatna mera za procenu lokalne energije signala. Samasvojstva su slicna onima koja se zahtevaju od raspodela verovatnoce.

2.4.2.1 Realne vrednosti

X(t, f ) = X∗(t, f ), ∀x(t). (10)

Transformacija bi trebala da ima realne vrednosti za bilo koji signal.

2.4.2.2 Pozitivnost

X(t, f ) ≥ 0, ∀x(t). (11)

Transformacija bi trebala imati nenegativne vrednosti da bi imalo smi-sla tumaciti je kao raspodelu energije.

2.4.2.3 Marginalna vremenska raspodela

∫X(t, f )d f = |x(t)|2, ∀x(t). (12)

Integracijom po frekvenciji bi u svakom trenutku trebala da se dobijavremenska gustina energije.

2.4.2.4 Marginalna frekvencijska raspodela

∫X(t, f )dt = |X( f )|2, ∀x(t). (13)

Integracijom po vremenu bi na svakoj frekvenciji trebala da se dobijaspektralna gustina energije.

2.4.2.5 Prezervacija energije

∫ ∫X(t, f )dtd f =

∫|X( f )|2d f = Ex. (14)

Ako bi TFR predstavljala gustinu energije po t− f ravni, njen integralbi morao dati ukupnu energiju signala.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

2.4 osobine idealne vremensko-frekvencijske reprezentacije 15

2.4.2.6 Ocuvanje momenta u vremenskom domenu

∫ ∫tnX(t, f )dtd f =

∫tn|x(t)|2dt. (15)

2.4.2.7 Ocuvanje momenta u frekvencijskom domenu

∫ ∫f nX(t, f )dtd f =

∫f n|X( f )|2d f . (16)

2.4.3 Svojstva analize signala

Ova svojstva trebaju da osiguraju analizu vremenskog i spektral-nog sadržaja signala iz VFR sa relativnom lakocom.

2.4.3.1 Konacan nosac u vremenu

x(t) = 0 za t /∈ (t1, t2) =⇒ X(t, f ) = 0 za t /∈ (t1, t2) . (17)

Idealna VFR bi na vremenskoj osi trebala da pocinje i da se završavaisto kada i signal.

2.4.3.2 Konacan nosac u frekvencji

X( f ) = 0 za f /∈ ( f1, f2) =⇒ X(t, f ) = 0 za f /∈ ( f1, f2) . (18)

Idealna VFR treba da zauzima isti propusni opseg kao i sam signal.

2.4.3.3 Trenutna frekvencija

fx(t) :=1

ddt

arg {x(t)} =∫

f X(t, f )d f∫X(t, f )d f

. (19)

2.4.3.4 Grupno kašnjenje

τx( f ) := − 12π

ddt

arg {X( f )} =∫

tX(t, f )dt∫X(t, f )dt

. (20)

2.4.4 Svojstva lokalizacije

Ova svojstva treba da osiguraju da, ako je signal dobro koncen-trisan u vremenskom ili frekvencijskom domenu, njegova VFR budedobro skoncentrisana na vremenskoj ili frekvencijskoj osi.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

16 uvod u u vremensko-frekvencijske metode

2.4.4.1 Frekvencijska lokalizacija

X( f ) = δ( f − f0) =⇒ X(t, f ) = δ( f − f0). (21)

2.4.4.2 Vremenska lokalizacija

x(t) = δ(t− t0) =⇒ X(t, f ) = δ(t− t0). (22)

2.4.5 Svojstva ocuvanja unutrašnjih proizvoda

Ova svojstva znace da VFR signala treba da bude u stanju da sacuvavrednosti normi i projekciji funkcija, pošto se cesto ovi parametri ko-riste pri klasifikaciji, detekciji, sintezi signala itd.

2.4.5.1 Ocuvanje unutrašnjeg proizvoda

|∫

x(t)y∗(t)dt|2 =∫ ∫

X(t, f )Y∗(t, f )dtd f . (23)

Ovo svojstvo je analogno Parsevalovoj relaciji kod FT.

U svim ovim kategorizacijama postoji i dosta uslova koji nisu nave-deni ovde. Informacije o tim svojstvima se mogu naci u [19].

Metode koje zadovoljavaju medusobno bliske skupove uslova supodeljene u tzv. “klase”; neke od tih klasa su

• Koenova klasa: ovoj klasi pripadaju sve VFR koje zadovoljavajusvojstva translacije po vremenu i frekvenciji, tj.

Koenova klasa ={

X(t, f ) | x(t− t0)ej2π f0t =⇒ X(t− t0, f − f0)}

(24)

Afina klasa: ovoj klasi pripadaju sve VFR koje zadovoljavaju svojstvaskaliranja i vremenske translacije, tj.

Afina klasa =

{X(t, f ) |

√|a|x(a (t− t0)) =⇒ X(a (t− t0) ,

fa)

}(25)

2.5 frekvencija i trenutna frekvencija - slicnosti i ra-zlike

Ako se posmatra signal cija se frekvencija linearno povecava sa vre-menom, tzv. eng. chirp signal,

% konstrukcija chirp signala

N = 4000;

T = 0.001;

[16. januar 2013 at 13:48 - classicthesis version 4.1 ]

2.5 frekvencija i trenutna frekvencija - slicnosti i razlike 17

t = (0:N-1)*T;

x = sin(2*pi*t.*t);

plot(t,x); �

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Vreme [s]

Slika 7: ”Chirp” signal.

može se primetiti da se signal može napisati kao

x(t) = sin(2πt2) = sin(2πt · t) = sin(2π f (t) · t), (26)

gde izgleda kao da signal ima frekvenciju koja je funkcija vremena.Ovo se naziva trenutnom frekvencijom. Drugi primer bi bila sinusoidana koju je primenjena neka prozorska funkcija konacnog trajanja: tre-nutna frekvencija bi bila jednaka frekvenciji sinusoide unutar prozorai jednaka nuli van prozora. To je ono što je i intuitivno zadovoljava-juce.

Naravno, za složenije signale nije tako jednostavno doci do formuleza trenutnu frekvenciju signala i jedna od formalnih definicija tre-nutne frekvencije koja se cesto koristi je

f (t) =1

2πarg{xa(t)}, (27)

gde je xa(t) analiticka verzija signala x(t).Medutim, treba biti vrlo oprezan sa ovim terminima, pošto pojam

trenutne frekvencije nije konzistentan sa Furijeovim pojmom frekven-cije. Kod FT, frekvencija se javlja kao parametar kod sinusoida i ko-sinusoida koje se protežu po celoj vremenskoj osi; ne postoji ništa“trenutno” kod Furijeove frekvencije, tako da i sam termin “trenutnafrekvencija” zvuci malo paradoksalno. Najlakši nacin za interpreta-ciju trenutne frekvencije je verovatno da se zamisli da je to frekvencijasinusoide koja odgovara signalu u posmatranom trenutku (i samo utom trenutku).

S druge strane, dok trenutna frekvencija jeste u stanju da opiše“chirp” signal adekvatnije od Furijeove frekvencije, ona ce imati pro-blema sa drugim tipovima signala, kao što je npr. zbir komponenti sa

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

18 uvod u u vremensko-frekvencijske metode

svojim trenutnim frekvencijama. Trenutna frekvencija signala koji jezbir takvih komponenti ce biti aritmeticka sredina trenutnih frekven-cija svih komponenti, a to nije ono što želimo.

Trenutna frekvencija kod dvaju metoda na kojima se ovaj rad naj-više zasniva se definiše uobicajeno na sledeci nacin:

1. STFT:f (t) :=

1|x(t)|2

∫f |XSTFT(τ, f )|2d f (28)

2. WT: Iako se kod WT se frekvencija ne pominje eksplicitno nigde,pseudo-frekvencija koja se cesto koristi je

f :=fc

a, (29)

gde je a faktor skale, a fc može biti frekvencija gde je FT vejvletamaksimalna, ili nekako drugacije definisana. Jedan od nacinaestimacije trenutne frekvencije je analizom tzv. grebena u WT(eng. wavelet ridge analysis), i tada se koristi WT sa analitickimvejvletima. U slucaju asimptotskih analitickih signala, postojacelokacije na a− b ravni gde ce frekvencija vejvleta biti jako bliskalokalnoj frekvenciji signala za taj vremenski trenutak, pa ce WTkoeficijenti imati velikve vrednosti u tim lokacijama. Vrednostiskala za ove koeficijente obrazuju tzv. grebene na a− b ravni zakoje važi

ar(t) =fc

f (t), (30)

gde je fc ponovo neka frekvencija izabrana na pogodan nacin.Takode, kada se ustanove vrednosti skala koje obrazuju greben,analiticki signal se može još lakše konstruisati pošto se pokazujeda važi

XWT(ar(t), t) ∝ xa(t). (31)

Postoji više metoda za nalaženje grebena: bilo traženjem lokal-nih maksimuma WT ili korišcenjem relacije (31) pomocu koje sepokazuje da važi

ddt

arg{XWT(fc

f (t), t)} ≈ f (t), (32)

odakle se vrši estimacija trenutne frekvencije f (t).

Više o trenutnoj frekvenciji, njenoj interpretaciji i estimaciji se moženaci u [5, 21, 24, 17]. Više o analitickoj WT i estimaciji trenutne fre-kvencije pomocu grebena se može naci u Lilly and Olhede [13], Kijewski-Correa [9], Lilly et al. [14].

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

2.6 podela metoda 19

2.6 podela metoda

2.6.1 Linearne vremensko-frekvencijske metode

Pristup linearnim metodama je slican Furijeovoj prezentaciji sig-nala. Signal se analizira preko skupa tzv. “elementarnih funkcija”.Ove funkcije se nazivaju “atomi” i oznacavaju se sa ατ, f (·). Metode seponašaju linearno prema analiziranom signalu, tj. princip superpozi-cije je na snazi.

Ove metode se zasnivaju na korelaciji originalnog signala i nekogod atoma iz skupa {ατ, f (t)}. Što je signal slicniji nekom atomu, infor-macija dobijena pomocu tog atoma ce ga bolje opisivati.

Standardna procedura je:

1. Odabir “roditeljskog” atoma.

2. Ostatak atoma se izvodi specificnim operacijama na roditelj-skom atomu.

U praksi, atomima se cesto dodaju i neka specificna svojstva, da bi sepoboljšala detekcija nekih osobina specificnih za posmatranu pojavu.

Signal se u vremenskom domenu može napisati kao

s(t) =∫

s(τ)δ(t− τ)dτ. (33)

To zapravo znaci da je standardni atom za predstavu signala u vre-menskom domenu ατ, f (t) = δ(t − τ). U tom slucaju, signal s(t) jejednak svojoj prezentaciji. Signal se takode preko FT može napisatikao

s(t) =∫

S( f )ej2π f td f , (34)

što znaci da je drugi izbor atoma za predstavu signala s(t) skup{ατ, f (t) := ej2π f t}, a FT signala s(t) je tada njegova prezentacija!Ova dva primera skupova atoma su vrlo specificna: od dva mo-

guca, prvi primer atoma koristi samo τ kao parametar, a drugi primeratoma koristi samo f . Prvi atom je savršeno lokalizovan u vremenu,dok je drugi savršeno lokalizovan u frekvenciji, oba su Dirakovi im-pulsi u svojim domenima. Nemoguce je imati atom koji je savršenolociran i u vremenskom i u frekvencijskom domenu; to je posledicaHajzenbergovog principa neodredenosti.

Analizom signala ovim atomima dobijamo samo informacije u jed-nom domenu, i zato su ovi primeri ekstremni. Atom u vremensko-frekvencijskoj analizi se po svojoj korisnosti mora naci negde izmeduova dva ekstrema.

U opštem slucaju, jednacina sinteze signala glasi

s(t) =∫ ∫

Es(τ, f )ατ, f (t)dτd f , (35)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

20 uvod u u vremensko-frekvencijske metode

gde Es(τ, f ) predstavljaju vremensko-frekvencijsku reprezentaciju sig-nala.

Do sada je pretpostavljeno da je skup atoma {ατ, f (t)} neprebrojiv,odn. da se parametri τ i f menjaju kontinualno. To, na srecu, ne morabiti slucaj, inace bi prakticnost ovih metoda bila manja nego što je-ste. Moguce je konstruisati skupove atoma koji su prebrojivi, i tadaintegral u jednacini (35) postaje suma.

Jednacina analize glasi

Es(τ, f ) =∫

s(t)α∗τ, f (t)dt, (36)

i predstavlja standardni unutrašnji proizvod signala s(t) i atoma ατ, f (t).Ovi atomi su tzv. dualni atomi i u opštem slucaju nisu jednaki ato-mima koji se pojavljuju u jednacini analize. U slucaju da je skupatoma ortonormalna bazu, onda su ova dva skupa ista i jednacina(36) se može posmatrati kao projekcija signala s(t) na te atome.

2.6.2 Kvadratne raspodele

Najpoznatija i najprostija medu kvadratnim raspodelama je Vigner-Vilova raspodela, koja je prvo korišcena od Vignera u statistickoj fi-zici, a kasnije prilagodena obradi signala od strane Vilea. Ova ras-podela predstavlja specijalan slucaj tzv. Kohenovih klasa raspodela.Sam pristup ovde datira još iz ranih upotreba autokorelacione funk-cije. Autokorelaciona funkcija signala je integral signala sa njegovompomerenom verzijom

Rx(τ) =∫

x(t)x∗(t + τ)dt, (37)

za sve moguce vrednosti pomeraja τ. Korelacija je funkcija pomerajaτ, a promenljiva t se gubi pri integraciji. Kod Wigner-Ville Distribu-tion - Vigner-Vilova Raspodela (WVD) se koristi tzv. trenutna autoko-relacija

Rx(t, τ) = x(t +τ

2)x∗(t− τ

2), (38)

gde je izostavljena integracija. Trenutna autokorelacija je zato funkcijadve promenljive.

Spektralna gustina energije signala S( f ) je jednaka kvadratu mo-dula FT signala, ali i predstavlja Furijeov transformacioni par sa au-tokorelacionom funkcijom

Rx(τ)↔ Sx( f ). (39)

WVD je Furijeov par trenutne autokorelacione funkcije (po promen-ljivoj τ)

Rx(t, τ)↔ XWV(t, f ). (40)

Prednosti kvadratnih raspodela je što imaju realne vrednosti, nenega-tivne su, i što je reprezentacija signala preko njih dosta preciznija, pa

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

2.7 primene 21

tim i bolja od onih koju daju linearne metode. Nedostaci su to što sunelinearne i zahtevne cak i za današnje racunare.

2.7 primene

Danas se vremensko-frekvencijske metode koriste u najrazlicitijimsferama inženjeringa, tj. gde god postoji potreba za obradom nestaci-onarnih signala:

• Medicinske aplikacije

– Analiza MRI

– Analiza EKG

– Analiza EGG

– Obrada slika dobijenih ultrazvukom

– Mamogrami (detekcija tumora)

– Razni drugi modaliteti medicinskog slikanja

– Detekcija epilepsije

• Državne i vojne aplikacije

– Kreiranje slika na parcijalnim podacima sa radara, sonara

– Kompresija otisaka prstiju

– Detekcija objekata

• Telekomunikacione aplikacije

– Eliminacija šuma

– Kompresija signala

– Prepoznavanje lica

– Prepoznavanje govora

– Muzicka analiza

• Matematicke aplikacije

– Rešavanje parcijalnih diferencijalnih jednacina

• Geofizicke aplikacije

– Analiza seizmickih signala za detekciju formacija stena,prirodnog gasa, polja nafte

• Finansijske aplikacije

– Analiza vremenskih sekvenci podataka

– Predikcija ponašanja akcija i drugih finansijskih cinilaca

• Metereološke aplikacije

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

22 uvod u u vremensko-frekvencijske metode

– Analiza vremenskih podataka o klimi, temperaturama oke-ana

U suštini, vremensko-frekvencijske metode se mogu upotrebiti svudagde dolazi do naglih promena i gubljenja stacionarnosti posmatranihsignala, tj. gde god da se javljaju nekakvi tranzijentni signali4 u tokurada.

4 Pod tranzijentnim signalima se podrazumevaju oscilujuci signali kratkog trajanja.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

Deo II

T E O R I J S K E O S N O V E M E T O D A

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3K R AT K O T R A J N A F U R I J E O VA T R A N S F O R M A C I J A

Kratkotrajna Furijeova transformacija (engl. Short Time Fourier Trans-form) je primer linearne metode koja je naišla na veliku primenu uraznim aplikacijama u inženjeringu, najcešce u vidu spektrograma.Prednosti su dobro razraden matematicki aparat, postojanje raznihalgoritama i efikasna upotreba FFT-a u praksi.

Kolekcija atoma kod STFT je definisana kao

A(STFT) ={

ατ, f (t) ≡ gτ, f (t) := w(t− τ)ej2π f t}

, (41)

gde su τ i f parametri koji se mogu menjati kontinualno, diskretno,ili kombinovano, u zavisnosti od toga koji se tip STFT posmatra. No,za sve tipove je zajednicko da im se atomi medusobno razlikuju samopo poziciji na vremenskoj osi i po frekvenciji kompleksne sinusoidekojom su modulisani.

Funkcija w(t) naziva prozorskom funkcijom.

3.1 kontinualna stft

Ovde se parametri atomi menjaju kontinualno. Primeri ovih atomasu dati na slici 8. Njihove FT su istog oblika i istog propusnog opsega,samo razlicito modulisane i translirane po frekvencijskoj osi (slika 9).

Jednacina sinteze glasi

XSTFT(τ, f ) =∫

x(t)w∗(t− τ)e−j2π f tdt. (42)

STFT je vrlo slicna FT, samo što su kompleksne sinusoide ej2π f t sadazamenjene atomima gτ, f (t). Primecuje se i da se ovakva metoda možeposmatrati i kao FT signala x(t) pomnoženog prozorskom funkcijomw(t), i otuda naziv same metode.

Buduci da je funkcija dve promenljive, spektrogram može biti pri-kazan kao površina u prostoru ili kao slika, kada se vrednostima do-daju inteziteti fiktivnih boja.

Prozorska funkcija w(t) je od esencijalne važnosti za oblik XSTFT(τ, f ).Njeni parametri, poput prvog momenta i devijacije, imaju osnovnuulogu u kompromisu izmedu frekvencijske i vremenske lokalizacije.

3.1.1 Algebarska svojstva STFT

STFT je linearna metoda, pa osobina superpozicije važi. Takode, oso-bine skaliranja i translacije u vremenu i u frekvenciji važe u odrede-nim oblicima:

25

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

26 kratkotrajna furijeova transformacija

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−1

−0.5

0

0.5

1

V reme [s]

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−1

−0.5

0

0.5

1

V reme [s]

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−1

−0.5

0

0.5

1

V reme [s]

f = 3 Hz

f = 2 Hz

f = 1 Hz

Slika 8: Realni delovi STFT atoma oblika gτ, f (t) = e−t22 ej2π f t.

• Linearnost

ax(t) + by(t)↔ aXSTFT(τ, f ) + bYSTFT(τ, f ). (43)

• Pomeranje u vremenu

x(t− t0)↔ XSTFT(τ − t0, f )e−j2π f t0 . (44)

• Pomeranje u frekvenciji

x(t)ej2π f0t ↔ XSTFT(τ, f − f0)e−j2π( f− f0)t. (45)

• Skaliranje

x(at)↔ 1|a|X

(wa)STFT(aτ,

fa), (46)

gde su a i b su kompleksne konstante, i gde je wa(t) := w( ta ).

Ove osobine važe i kada se primene u odnosu na prozorsku funkciju(sem formule za skaliranje, tj. za X(v)

STFT(τ, f ), gde je v(t) = w(at), koja

se ne može napisati eksplicitno preko X(w)STFT(τ, f )):

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.1 kontinualna stft 27

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.01

0.02

0.03

0.04

Frekvencija [Hz]

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.01

0.02

0.03

0.04

Frekvencija [Hz]

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.01

0.02

0.03

0.04

Frekvencija [Hz]

Slika 9: FT atoma sa slike 8.

• Linearnost

X(aw+bv)STFT (τ, f ) = a∗X(w)

STFT(τ, f ) + b∗X(v)STFT(τ, f ). (47)

• Pomeranje u vremenu

X(w(t−t0))STFT = X(w)

STFT(τ + t0, f ). (48)

• Pomeranje u frekvenciji

X(w(t)ej2π f0t)STFT = X(w)

STFT(τ, f − f0)e−j2π f0τ, (49)

gde su a i b su kompleksne konstante, a w(t) i v(t) prozorskefunkcije.

U funkcionalnoj analizi je identitet

〈x(t), y(t)〉 = 〈X( f ), Y( f )〉 , (50)

gde je 〈· , ·〉 standardni unutrašnji proizvod na L2(R). Ovaj identitetse naziva Parsevalovim identitetom i vrlo je koristan, kao u sledecemrazmatranju.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

28 kratkotrajna furijeova transformacija

FT prozorske funkcije gτ, f (t) glasi

Gτ, f (ν) = F{

gτ, f (t)}

(51)

=∫

w(t− τ)e−j2π(ν− f )tdt

= W(ν− f )e−j2π(ν− f )τ.

Koristeci (51) i (50), dobija se

XSTFT(τ, f ) =⟨

x(t), gτ, f (t)⟩

=∫

x(t)w∗(t− τ)e−j2π f tdt (52)

=⟨

X(ν), Gτ, f (ν)⟩

=∫

X(ν)W∗(ν− f )ej2π(ν− f )τdν

= e−j2π f τ∫

X(ν)W∗(ν− f )ej2πντdν.

Dobijeni rezultat pruža odlican uvid u razumevanje STFT:

• Korišcenje prozora w(t − τ) na signalu x(t) znaci i korišcenjeprozora W∗(ν− f ) na transformaciji X(ν).

• STFT se može dobiti u vremenskom domenu, kao FT od x(t)w∗(t−τ), ili u frekvencijskom domenu, kao inverzna FT od X(ν)W∗(ν−f ) uz dodatno množenje sa e−j2π f τ.

Parsevalova relacija koja vezuje STFT i signal glasi

〈x(t), y(t)〉L2(R) =1||w||22

〈XSTFT(τ, f ), YSTFT(τ, f )〉L2(R2) . (53)

gde se podrazumeva da je ||w||22 < ∞. Ako važi i ||w||22 = 1, i uzmese y(t) = x(t), dobija se Planšerelov identitet

‖x(t)‖22, L2(R) = ‖XSTFT(τ, f )‖2

2, L2(R2), (54)

odn., energija signala je tada jednaka energiji svoje STFT.

3.1.2 Rekonstrukciona formula - inverzna STFT

Inverzna relacija glasi

x(t) =1‖w‖2

2

∫∫XSTFT(τ, f )w(t− τ)ej2π f tdτd f ., (55)

gde jednakost važi u L2-smislu. U opštem slucaju, rekonstrukcija sig-nala je moguca i sa drugom prozorskom funkcijom v(t). Formulatada glasi

x(t) =1〈w, v〉

∫∫XSTFT(τ, f )v(t− τ)ej2π f tdτd f , (56)

dokle god je

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.1 kontinualna stft 29

∫w(t)v∗(t)dt 6= 0. (57)

Sinteza signala se može dobiti i na drugi nacin. Ako se primeni inver-zna FT (u odnosu na f ) na STFT signala x(t), dobija se

F−1f→µ{XSTFT(τ, f )} =

∫XSTFT(τ, f )ej2π f µd f (58)

=∫ [∫

x(t)w∗(t− τ)e−j2π f tdt]

ej2π f µd f

=∫

x(t)w∗(t− τ)

(∫ej2π f (µ−t)d f

)dt

=∫

x(t)w∗(t− τ)δ(µ− t)dt

= x(µ)w∗(µ− τ).

Dobijena funkcija je funkcija dve promenljive, µ i τ. Ako se posma-traju vrednosti ove funkcije po liniji µ = τ u domenu, dobija se

x(τ) =1

w∗(0)F−1

f→µ{XSTFT(τ, f )}|µ=τ. (59)

Ako se usvoji da je prozor realna i pozitivna funkcija, i da važi ||w||1 =

1, FT signala x(t) se može dobiti na sledeci nacin∫XSTFT(τ, f )dτ =

∫ (∫x(t)w∗(t− τ)e−j2π f tdt

)dτ (60)

=∫

x(t)e−j2π f t(∫

w∗(t− τ)dτ

)dt

Pošto je w(t) realna i pozitivna funkcija, dobija se∫XSTFT(τ, f )dτ =

∫x(t)e−j2π f tdt = X( f ). (61)

I jednacina sinteze je tada jednostavnija:

x(t) =∫

X( f )ej2π f td f =∫∫

XSTFT(τ, f )ej2π f tdτd f . (62)

3.1.3 Analiza prozorske funkcije i vremensko-frekvencijska rezolucija kodSTFT

Kod STFT, signal se množi prozorskom funkcijom koja se pomera uvremenskom domenu (slika 10). Što je uža prozorska funkcija, to sebolje izdvaja deo signala.

Prozorska funkcija w(t) se može okarakterisati kao funkcija kojatreba da izdvoji odredeni deo signala, a atenuira ostatak signala (slika10).

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

30 kratkotrajna furijeova transformacija

signal

prozor

Slika 10: Prozorska funkcija.

Prozorska funkcija je najcešce realna, parna, i lokalizovana oko nulei u vremenskom i u frekvencijskom domenu. Cesto se i usvaja daprozor ima jedinicnu energiju

Ew = ||w||22 =∫|w(t)|2dt = 1. (63)

Takode, poželjno je da prozorska funkcija ima kompaktan nosac.Izbor prozorske funkcije ima kriticnu ulogu u perfomansi STFT.

Oblik prozorske funkcije utice direktno na izgled STFT, a širina pro-zorske funkcije odreduje vremensko-frekvencijsku rezoluciju. Termin“vremensko-frekvencijska rezolucija” se koristi za opisivanje sposob-nost transformacije da analizira komponente signala koje su bliskejedna drugoj u vremenskom ili frekvencijskom domenu. Što je boljarezolucija, to je moguce bolje analizirati bliske komponente. Poštoanaliza kod STFT znaci izdvajanje dela signala pomocu prozorskefunkcije, to znaci da dobroj vremenskoj rezoluciji odgovara uska pro-zorska funkcija u vremenskom domenu, i da dobroj frekvencijskojrezoluciji odgovara uska FT prozorske funkcije u frekvencijskom do-menu.

Vremenska rezolucija kod STFT se može prouciti analizom karakte-risticnih signala. Uzimanjem Dirakovog impulsa za x(t) dobija se

x(t) = δ(t− t0)⇒ XSTFT(τ, f ) = w∗(t0 − τ)e−j2π f t0 . (64)

U diskretnom domenu, uzimamo diskretan impuls i prosledujemoga funkciji1 za izracunavanje diskretne STFT (zajedno sa, na primer,Gausovim prozorom).

sig = anapulse(128); % diskretan Dirakov impuls od 128 odbiraka

w = window(’gausswin’,63); Prozor od 63 odbirka

figure(1); tfrsp(sig,1:128,128,w); �1 Korišcene su funkcije iz TFTB toolbox-a za MATLAB, sa adrese http://tftb.nongnu.

org/.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.1 kontinualna stft 31

0

0.5

1

Rea

lni d

eo

Signal u vremenskom domenu

1234

Linearna razmeraS

pekt

raln

a gu

stin

a en

ergi

je

Vreme [s]

Fre

kven

cija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Slika 11: STFT Dirakovog impulsa u diskretnom domenu.

Spektrogram signala δ(t− t0), koji je savršeno lociran u vremenskomtrenutku t0, je razliven oko linije t = t0. Prema (64), što je kraca pro-zorska funkcija, to ce spektrogram biti manje razliven. Vremenskarezolucija je stoga obrnuto proporcionalna širini prozorske funkcijew(t).

Drugi karakteristicni signal je kompleksna sinusoida, pošto je onasavršeno locirana u frekvencijskom domenu.

x(t) = ej2π f0t ⇒ XSTFT(τ, f ) = W∗( f0 − f )ej2π( f0− f )τ. (65)

Ako se prosledi diskretna kompleksna sinusoida prethodnoj funkcijisa istim prozorom.

sig = fmconst(128,.25); % diskretna kompleksna sinusoiuda

frekvencije 0.25

w = window(’gausswin’,63);

figure(2); tfrsp(sig,1:128,128,w); �Spektrogram signala ej2π f0t, koji je savršeno lociran u frekvenciji f0, jerazliven oko linije f = f0. Prema (65), što je kraca FT prozorske funk-cije, to ce spektrogram biti manje razliven. Frekvencijska rezolucija jestoga obrnuto proporcionalna propusnom opsegu funkcije w(t).

Kada se radi analiza signala, širina prozorske funkcije se izaberena pocetku, i takva ostaje kroz kroz celu analizu:

• Za lociranje kratkih promena u vremenskom domenu, potrebnaje kratka prozorska funkcija w(t), što znaci da ce njena FT W( f )biti široka.

• Za detekciju sporih sinusoida, potrebna je kratka FT W( f ), štoznaci da ce w(t) biti široka.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

32 kratkotrajna furijeova transformacija

−1

0

1

Rea

lni d

eo

Signal u vremenskom domenu

0.511.5

x 104

Linearna razmera

Spe

ktra

lna

gust

ina

ener

gije

Vreme [s]

Fre

kven

cija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Slika 12: STFT diskretne kompleksne sinusoide.

STFT može imati dobru vremensku ili frekvencijsku rezoluciju, ali jenemoguce istovremeno zadovoljiti oba zahteva. To je jasno vidljivoako se posmatra signal koji je zbir prethodna dva primera

x(t) = δ(t− t0) + ej2π f0t (66)

⇒ XSTFT(τ, f ) = w∗(t0 − τ)e−j2π f t0 + W∗( f0 − f )ej2π( f0− f )τ.(67)

sig = 20*anapulse(128) + fmconst(128,.25); % impuls je pojacan

radi bolje vizuelizacije

w = window(’gausswin’,63);

figure(3); tfrsp(sig,1:128,128,w); �

0

10

20

Re

aln

i de

o

Signal u vremenskom domenu

123

x 104

Linearna razmera

Sp

ek

tra

lna

gu

stin

a e

ne

rgij

e

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Vreme [s]

Fre

kv

en

cija

[H

z]

Slika 13: STFT kombinacije prethodnih signala.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.1 kontinualna stft 33

Što je greben koji predstavlja impuls manje razliven, to je greben kojipredstavlja kompleksnu sinusoidu više razliven.

Da bi se bolje opisale i kvantifikovale ove ideje, prvo se mora defi-nisati tacno “širina” funkcije, pogotovo ako funkcija ima beskonacannosac. Postoji više nacina da se uvedu ove mere, a jedan od najcešcihnacina je preko devijacija, slicno kao za raspodele verovatnoce

∆t2w =

∫t2|g(t)|2dt∫|g(t)|2dt

, (68)

∆ f 2w =

∫f 2|G( f )|2d f∫|G( f )|2d f

. (69)

Kada se prozor za STFT izabere, devijacije ostaju konstantne krozcelu t− f ravan, tj. od pocetka do kraja analize. Cinjenica da je nemo-guce imati proizvoljno dobru vremensku i frekvencijsku rezoluciju jepoznata kao Hajzenbergov princip neodredenosti Od svih prozorskih

funkcija, Gaborovprozor (Gausijan) jejedina funkcija kojazadovoljavaminimum uHajzenberg-Gaborovom principuneodredenosti.

∆tw∆ fw ≥1

4π. (70)

Devijacije ∆tw i ∆ fw se koriste kao mere vremensko-frekvencijske re-zolucije kod STFT. Vremensko-frekvencijska rezolucija STFT se možeokarakterisati pravougaonicima na slici 14, cija je površina jednaka∆tw∆ fw.

a>1

t

f

|W(f)|

a=1

a<1

|w(t)|

Slika 14: Vremensko-frekvencijska lokalizacija prozorske funkcije wa(t).

Da bi izabrali najpogodniju širinu, možemo posmatrati skup pro-zora dobijenih skaliranjem originalnog prozora

{wa(t) =1√a

w(ta)}, a > 0, (71)

a svakom prozoru odgovara njegov transformacioni par

wa(t)↔Wa( f ) =√

aW(a f ). (72)

Širinu prozora wa(t) u vremenu karakterišemo devijacijom ∆twa =

a∆tw, a u frekvenciji devijacijom ∆ fwa =∆ fw

a . Ako je signal koji se po-smatra npr. superpozicija nekoliko komponenti koje su lokalizovane

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

34 kratkotrajna furijeova transformacija

oko vremenskih trenutaka tn, spektrogram koji koristi prozor wa(t)ce biti u stanju da jasno razlikuje te komponente samo ako važi

a∆tw � |tn − tm|, (n 6= m). (73)

Slicno, ako je posmatrani signal superpozicija nekoliko kompleksnihsinusoida ej2π fkt, parametar a mora biti takav da važi

∆ fw

a� | fk − tl |, (k 6= l). (74)

Prozor w(t) koji daje savršenu vremensku rezoluciju je Dirakov im-puls

w(t) = δ(t)⇒ XSTFT(τ, f ) = x(τ)e−j2π f τ. (75)

Sledeci kod koristi diskretnu STFT u MATLAB-u i diskretni Dirakovimpuls kao prozor na signalu sa Gausovom anvelopom i linearnorastucom frekvencijom.

sig = amgauss(128).*fmlin(128);

w = 1;

tfrstft(sig,1:128,128,w); �

−0.5

0

0.5

1

Rea

lni d

eo

Signal u vremenskom domenu

50100150200250

Linearna razmera

Spe

ktra

lna

gust

ina

ener

gije

Vreme [s]

Fre

kven

cija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Slika 15: STFT pri Dirakovom impulsu kao prozoru.

Vidi se da je signal jako dobro lociran u vremenu, ali nikako u fre-kvenciji.

Prozor koji daje savršenu frekvencijsku rezoluciju je konstantnafunkcija

w(t) = 1⇒ XSTFT(τ, f ) = X( f ). (76)

Koristeci isti signal kao malopre, sledeci kod koristi konstantni pro-zor.

sig = amgauss(128).*fmlin(128);

w = ones(127,1);

tfrstft(sig,1:128,128,w); �

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.1 kontinualna stft 35

−0.5

0

0.5

1

Rea

lni d

eo

Signal u vremenskom domenu

50100150200250

Linearna razmeraS

pekt

raln

a gu

stin

a en

ergi

je

Vreme [s]

Fre

kven

cija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Slika 16: STFT pri konstantnoj funkciji kao prozoru (dobijena XSTFT(τ, f )nije potpuno jednaka X( f ), jer prozor w ovde nije beskonacnogtrajanja).

STFT se ovde svodi na FT signala, koja nema nikakvu vremenskuinformaciju.

Problem izbora širine prozora se može videti na primeru signalakoji je zbir dve funkcije koje imaju Gausijanske anvelope istih pa-rametara, istu dužinu trajanja, modulisane su istom frekvencijom, ipomerene su medusobno na vremenskoj osi (slika 17).

sig = atoms(128,[45,.25,32,1;85,.25,32,1]); %funkcija koja vraca

zbir gausijanskih atoma sa datim argumentima

w = window(’hamming’,65); % duzi prozor

tfrstft(sig,1:128,128,w); �

−0.5

0

0.5

1

Rea

lni d

eo

Signal u vremenskom domenu

1000200030004000

Linearna razmera

Spe

ktra

lna

gust

ina

ener

gije

Vreme [s]

Fre

kven

cija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Slika 17: Dva Gausijanska atoma analizirana preko STFT sa Hamming-ovimprozorom od 65 odbiraka.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

36 kratkotrajna furijeova transformacija

Frekvencijska rezolucija je dobra, ali je teško razlikovati komponenteu vremenu. Sledeci kod koristi isti prozor, samo krace širine (slika18).

sig = atoms(128,[45,.25,32,1;85,.25,32,1]);

w = window(’hamming’,17);% kraci prozor

tfrstft(sig,1:128,128,w); �

−0.5

0

0.5

1

Rea

lni d

eo

Signal u vremenskom domenu

1000200030004000

Linearna razmera

Spe

ktra

lna

gust

ina

ener

gije

Vreme [s]

Fre

kven

cija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Slika 18: Dva Gausijanska atoma analizirana preko STFT sa Hamming-ovimprozorom od 17 odbiraka.

Frekvencijska rezolucija je sada lošija, ali je zato moguce razlikovatidve komponente i na vremenskoj osi.

Izbor prave prozorske funkcije je kritican i zavisi od toga šta se oce-kuje da ce se naci u strukturi signala x(t). Pošto su signali u prirodicesto kombinacija sporopromenljivih i brzopromenljivih tipova kom-ponenti, signal se analizira sa više ralicitih prozorskih funkcija, pa saviše razlicitih dužina, i opredeljuje se za najbolji rezultat. STFT dajenajbolje rezultate na kvazi-stacionarnim signalima, tj. na signalimaciji se spektralni sadržaj sporo menja.

Najcešce korišcene prozorske funkcije su date u tabeli 1.

3.1.4 STFT kao banka filtara

Izraz (42) se može napisati i kao2

XSTFT(τ, f ) =∫

x(t)w∗(t− τ)e−j2π f tdt (77)

= e−j2π f τ∫

x(t)w∗(t− τ)ej2π f (τ−t)dt

= e−j2π f τ(

x(τ) ∗ w∗(−τ)ej2π f τ)

.

2 Izraz koji ce se dobiti se može takode napisati i kao XSTFT(τ, f ) = (x(τ)e−j2π f τ) ∗w∗(−τ). U oba slucaja je dalja analiza postupka slicna, pa je obraden samo jedanslucaj.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.1 kontinualna stft 37

Ime prozora Formula (za |t| ≤ 12 ) A [dB] BW3dB r

Pravougaoni 1 −13 0.89 1

Trougaoni

1 + 2t, − 12 ≤ t ≤ 0

1− 2t, 0 < t ≤ 12

−27 1, 33 2

Hann-ov cos2(πt) −32 1.44 3

Hamming-ov 0.54 + 0.46 cos(2πt) −42 1.36 1

Blackman-ov 0.42 + 0.5 cos(2πt) +0.08 cos(4πt)

−58 1.68 3

Gausijan e−18t2 −55 1.55 1

Tabela 1: Najcešce korišcene prozorske funkcije (slika 63) (normalizacionifaktori izostavljeni).

Jednacina (77) je jednaka jednacini (52), samo je drugacije napisana.Treba uociti transformacioni par

x(τ) ∗ w∗(−τ)ej2π f τ ↔ X(ν)W∗(ν− f ), (78)

iz cega se jasno vidi da se, tokom STFT, preko FT signala X(ν) kreceprozor W∗(ν), koji se pomera za neku vrednost f . Ovo znaci da seSTFT može posmatrati i kao signal na izlazu serije (banke) filtara saimpulsnim odzivom h(τ) = w∗(−τ)ej2π f τ, koji je potom modulisansa e−j2π f τ (slika 19). Modulacija sa e−j2π f τ vraca dobijeni izlaz iz filtra

x(τ) y(τ)

e-j2πfτ

X STFT

(τ,f)

h(τ)=w*(-τ)e j2πfτ

Slika 19: LTI model.

u osnovni opseg, tj. spektar dobijenog signala iz banke filtara je

Fτ→ξ {XSTFT(τ, f )} = [X(ξ) ·W∗(ξ − f )] ∗ δ(ξ + f ) (79)

= X(ξ + f ) ·W∗(ξ),

što je ilustrovano na slici 20.STFT se sada posmatra kao analiza signala pomocu ove banke fil-

tara, gde ta banka sadrži filtre sa medusobno transliranim funkci-jama prenosa sa konstantnim propusnim opsegom (slika 21). Transfer-funkcija filtara kroz koje propuštamo signal je oblika Hi( f ) := W∗( f −fi), za neku vrednost frekvencije fi.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

38 kratkotrajna furijeova transformacija

modulacija

množenje

demodulacija

|W*(f)|

f f

ff

|W*(f-f0)|

|X(f)|

|X(f)W*(f-f0)||X(f+f

0)W*(f)|

Slika 20: Filtriranje signala u frekvencijskom domenu kroz LTI model.

f

W*(f-f1) W*(f-f

3) W*(f-f

4)W*(f-f

2) W*(f-f

5)

. . . . . .

amplitudski spektar Hi(f)

Slika 21: STFT kao banka filtara.

Kao zakljucak, jasno je da postoji nekoliko nacina pomocu kojih jemoguce razumeti STFT:

• Kao FT signala pomnoženog prozorskom funkcijom, tj. XSTFT(τ, f ) =F{x(t)w(t− τ)} (τ je parametar).

• Kao unutrašnji proizvod signala x(t) i atoma gτ, f (t), iskazujucitime slicnost te dve funkcije (τ i f su parametri).

• Kao unutrašnji proizvod njihovih FT X(ν) i Gτ, f (ν) (τ i f suparametri).

• Kao operacija filtriranja signala x(t) kroz skup filtara (cije sutransfer-funkcije istog oblika i medusobno pomerene na frekven-cijskoj osi) i modulacijom posle toga ( f je parametar).

Inverznom FT od (79) se dobija još jedna formula za STFT (koja, usuštini, predstavlja samo drugu varijantu jednacine (52))

XSTFT(τ, f ) = F−1ξ→τ {X(ξ + f ) ·W∗(ξ)} =

∫X(ξ + f ) ·W∗(ξ)ej2πξτdξ.

(80)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.1 kontinualna stft 39

3.1.5 Spektrogram

Kvadrat modula STFT se naziva spektrogram

Sx(τ, f ) := |XSTFT(τ, f )|2, (81)

i on predstavlja glavnu primenu STFT u vecini prakticnih aplikacija.Ako je prozorska funkcija w(t) normalizovana, ukupna energija sig-

nala se dobija kao

Ex = ‖x‖22 =

∫∫Sx(τ, f )dτd f . (82)

Zbog toga je moguce interpretirati spektrogram kao gustinu energijesignala u t− f ravni. Buduci da je spektrogram moduo kvadrata STFT,ista ogranicenja koja važe za STFT važe i ovde po pitanju vremensko-frekvencijske rezolucije.

Spektrogram je invarijantan pod translacijom i modulacijom

x(t− t0)↔ Sx(τ − t0, f ), (83)

x(t)ej2π f0t ↔ Sx(τ, f − f0), (84)

pa se zato svrstava u klasu kvadratnih vremensko-frekvencijskih di-stribucija koje su invarijantne pod vremenskom i frekvencijskom trans-lacijom, tzv. Kohenovu klasu. Spektrogram, medutim, nije linearnametoda! Princip superpozicije ne važi

x1(t) + x2(t)↔ Sx1(τ, f ) + Sx2(τ, f ) + 2<{Sx1,x2(τ, f )}, (85)

gde je

Sx1,x2(τ, f ) := XSTFT,1(τ, f )X∗STFT,2(τ, f ) unakrsni spektrogram

Spektrogram stvara dodatne clanove kada signal koji se analizirapredstavlja superpoziciju više komponenti. Može se pokazati da suovi dodatni clanovi ograniceni na regione t− f ravni gde se Sx1(τ, f ) iSx2(τ, f ) poklapaju. Ako su komponente x1(t) i x2(t) dovoljno dalekona t − f ravni tako da se njihovi spektrogrami ne preklapaju puno,pa ce dodatni clanovi biti mali i nece mnogo kvariti ukupnu sliku.Ovo je jedna od prednosti spektrograma nad drugim kvadratnim ras-podelama, ali je to na uštrb njegove slabije vremensko-frekvencijskerezolucije.

Kao primer, data je analiza u MATLAB-u signala koji je suma dvaparalelna chirp signala - slika 22ai slika 22b

sig = fmlin(128,0,0.4)+fmlin(128,0.1,0.5); % signal od dva bliska

paralelna chirp-a

h1 = window(’gausswin’,23); % prvi, kraci, prozor

figure(1); tfrsp(sig,1:128,128,w1); % spektrogram

h2 = window(’gausswin’,63); % drugi, duzi, prozor

figure(2); tfrsp(sig,1:128,128,w2); % spektrogram �

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

40 kratkotrajna furijeova transformacija

−1

0

1

2

Rea

lni d

eo

Signal u vremenskom domenu

50010001500

Linearna razmera

Spe

ktra

lna

gust

ina

ener

gije

Vreme [s]

Fre

kven

cija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

(a) Spektrogram signala sa kracim Gausijanski prozorom (23 odbirka).

−1

0

1

2

Rea

lni d

eoSignal u vremenskom domenu

50010001500

Linearna razmera

Spe

ktra

lna

gust

ina

ener

gije

Vreme [s]

Fre

kven

cija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

(b) Spektrogram signala sa dužim Gausijanski prozorom (63 odbirka).

Slika 22: Spektrogrami signala sa bliskim komponentama u t− f ravni.

Komponente ovog signala nisu dovoljno razdvojene na t− f ravni, izbog toga dodatni artefakti vidno otežavaju tumacenje stvarnih ka-rakteristika ovog signala.

Posmatra se, zatim, signal cije su komponente malo udaljenije jednaod druge (slika 23a i slika 23b).

sig = fmlin(128,0,0.3)+fmlin(128,0.2,0.5); % signal od dva dalja

paralelna chirp-a

h1 = window(’gausswin’,23); % prvi, kraci, prozor

figure(1); tfrsp(sig,1:128,128,w1);% spektrogram

h2 = window(’gausswin’,63); % drugi, duzi, prozor

figure(2); tfrsp(sig,1:128,128,w2);% spektrogram �Vidi se da se su sad komponente dovoljno odvojene jedna od drugeda se artefakti malo primecuju.

U praksi se razdvajaju uskopojasni i širokopojasni spektrogrami, kojikoriste prozore relativno dugackog i relativno kratkog trajanja, re-

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.1 kontinualna stft 41

−1

0

1

2

Rea

lni d

eo

Signal u vremenskom domenu

500100015002000

Linearna razmeraS

pekt

raln

a gu

stin

a en

ergi

je

Vreme [s]

Fre

kven

cija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

(a) Spektrogram signala sa kracim Gausijanski prozorom (23 odbirka).

−1

0

1

2

Rea

lni d

eo

Signal u vremenskom domenu

500100015002000

Linearna razmera

Spe

ktra

lna

gust

ina

ener

gije

Vreme [s]

Fre

kven

cija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

(b) Spektrogram signala sa dužim Gausijanski prozorom (63 odbirka).

Slika 23: Spektrogrami signala sa distantnim komponentama u t− f ravni.

spektivno. Uskopojasni spektrogram bolje analizira temporalne pro-mene u signalu i ostavlja utisak horizontalnih pruga, dok širokopoja-sni spektrogram bolje analizira harmonicne pojave u signalu i ostavljautisak vertikalnih pruga.

3.1.6 Redundantnost STFT

Skup funkcija {gτ, f (t)} je jako redundantan, što znaci da ima mnogoviše elemenata nego što je potrebno za konstrukciju L2(R) prostora.Funkcije koje predstavljaju STFT svih kvadratno-integrabilnih signalacine podskup S ⊂ L2(R2). To znaci da ne može svaka funkcija izL2(R2) biti STFT. Funkcija X(τ, f ) pripada skupu S ako je:

1. kvadratno integrabilna, tj. X(τ, f ) ∈ L2(R2);

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

42 kratkotrajna furijeova transformacija

2. ako važi

X(τ, f ) =∫∫

X(τ′, f ′)K(τ′, f ′, τ, f )dτ′d f ′ ∀τ, f ∈ R, pri ||w||22 = 1,

(86)gde je K(τ′, f ′, τ, f ) ≡

⟨gτ, f , gτ′, f ′

⟩tzv. STFT kernel funkcija.

Jednacina (86) esencijalno znaci da je vrednost STFT u tacki (τ, f )odredena vrednostima STFT u svim ostalim tackama, ukljucujuci i tutacku! Kod FT, ova težinska funkcija K(τ′, f ′, τ, f ) ≡

⟨gτ, f , gτ′, f ′

⟩je

zapravo Dirakov impuls, što znaci da FT nije redundantna.Opisivanje signalaredundantnim

skupom je analognoizboru jezika u

komunikaciji.Razvijeni vokabular

(redundantnost)omogucava precizno

i konciznoizražavanje

kompleksnijih misli,dok mali i prost fondreci sa elementarnim

izrazima zahtevaviše reci za

opisivanje istih misli.

Redundantnost ima svojih prednosti; pri prenosu nekog signala,prenose se koeficijenti dobijeni razlaganjem tog signala odgovaraju-com transformacijom. Ako transformacija zadovoljava uslov ortogo-nalnosti, koeficijenti koji se izgube pri prenosu se ne mogu rekonstru-isati iz preostalih, i taj deo informacije je zauvek izgubljen. Ispostavljase da su algoritmi efikasniji ako se odustane od uslova ortonormalno-sti, pogotovo pri prenosu slike ili zvuka.

Takode, korišcenjem skupova sa vecim brojem elementarnih funk-cija, moguce je izabrati samo one koje imaju najvecu korelaciju saposmatranim signalom, i onda se signal može predstaviti manjim bro-jem koeficijenata (slika 24). Manji broj koeficijenata je bolji, jer su pre-poznavanje signala, obrada signala i klasifikacija lakši ako su signalipredstavljeni sa što manje podataka.

SIGNA

L

AT

O

MI

a p r o k s i ma c i j a

os

t at a

k

bazni vektori

. . .

...

Slika 24: Aproksimacija signala iz redundantnog skupa.

Više o ovome se može naci u Auger [3].

3.1.7 Diskretizacija kontinualne STFT

Zbog svoje redundantnosti, skup elementarnih funkcija{

gτ, f (t) : τ, f ∈ R}

ne predstavlja bazu u L2(R). Moguce je odabrati podskup ovog skupa,{gm,n(t) : m, n ∈ Z}, koji može ispunjavati uslove da bude ortonor-malna baza. Pošto svaka tacka u t − f ravni odreduje jedan gτ, f (t)atom, ovaj podskup se može dobiti odabiranjem t− f ravni, pomocunekih vrednosti T i F (slika 25). Ovo, naravno, nije jedini nacin za oda-

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.1 kontinualna stft 43

τ

f

T 2T 3T 4T 5T

F

2F

3F

4F

XSTFT(τ,f)

Slika 25: Diskretizovana t− f ravan.

biranje t− f ravni; koriste se i heksagonalna odabiranja, kao i drugamoguca, ali ovde cemo se zadržati na najprostijem, pravougaonomodabiranju.

Osobine ovako dobijenog podskupa{gm,n(t) : m, n ∈ Z} ce zavisitiod izbora vrednosti T i F. STFT koja se dobija korišcenjem ovih pod-skupova atoma se naziva diskretizovana STFT.

Diskretizovana STFT glasi

XSTFT[m, n] ≡ XSTFT(mT, nF) :=∫

x(t)g∗m,n(t)dt (87)

=∫

x(t)w∗(t−mT)e−j2πnFtdt.

Tripl (g, T, F) se naziva Gaborovim sistemom, a (TF)−1 vremensko-frekvencijskom gustinom sistema.

Vrednosti T i F se biraju tako da se, što je više moguce, smanjiredundantnost prvobitnog skupa atoma, ali tako da rekonstrukcijasignala i dalje bude moguca.

Posmatraju se slucajevi kada je vremensko-frekvencijska gustinasistema manja, veca i jednaka jedinici.

slucaj(TF)−1 < 1 U ovom slucaju nije moguce rekonstruisati sig-nal iz odbiraka STFT. Ovo znaci da su odbirci u t− f ravni previšeudaljeni, tj. t− f ravan nije dovoljno gusto odabirana. Tada nije mo-guca rekonstrukcija signala.

slucaj (TF)−1 > 1 Ovo je slucaj kada je t − f ravan pregustoodabirana, i tada je moguce uvek naci skup atoma {gm,n(t)} koji cedozvoliti rekonstrukciju signala. Taj skup nece ciniti bazu, ali ce cinitiokvir. Okviri su skupovi elementarnih atoma, slicno kao i baze, kojiispoljavaju redundantnost. Za razliku od baza, elementi okvira sulinearno zavisni, i kao posledica toga važi da:

• koeficijenti XSTFT[m, n] nisu jedinstveni.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

44 kratkotrajna furijeova transformacija

• postoji više izbora za dualni okvir{gm,n(t)}, i za dualne atomevaži jednacina

∑m,n

gm,n(t1)g∗m,n(t2) = δ(t1 − t2). (88)

Tada se pokazuje da važi

A||x||22 ≤ ∑m,n| 〈x(t), gm,n(t)〉 |2≤ B||x||22, (89)

gde su A i B donje i gornje granice okvira, respektivno. Da bi ovo bilozadovoljeno, prozorska funkcija w(t) mora biti neprekidna, razlicitaod nule na intervalu [−1/2F, 1/2F], i veca od nule oko trenutka t = 0.Rekonstrukcija signala je efikasnija ako je okvir cvrst, i za cvrst okvirvaži A = B.

Dualni atomi u skupu {gm,n(t)} slicni atomima gm,n(t), tj. gm,n(t) ≡v(t−mT)ej2πnFt, gde je v(t) tzv. dualna prozorska funkcija. Uslov (88)iskazan preko prozorskih funkcija glasi

1F∑

mw (t−mT) v∗

(t−mT − n

F

)= δ0

n, (90)

gde je δ0n Kronekereov delta simbol. Ovaj uslov je restriktivniji nego

što je to bio uslov (57).Uvod u okvire i detaljnija analiza se može naci u [10].

slucaj (t f )−1 = 1 Ovaj slucaj predstavlja glavni rezultat u analizidiskretizovane STFT i opisan je u obliku Balian-Louove teoreme, kojakaže da je moguce konstruisati ortonormalnu bazu pri (TF)−1 = 1, irekonstrukcija signala onda glasi

x(t) = ∑m,n

XSTFT[m, n]gm,n(t) = ∑m,n〈x(t), gm,n(t)〉 gm,n(t), (91)

ali nije moguce da atomi gm,n(t) budu dobro lokalizovani i u vremen-skom i u frekvencijskom domenu, tj. mora važiti

∆tw · ∆ fw = +∞. (92)

Prema tome, ako je skup {gm,n(t) := w(t − mT)ej2πnFt : m, n ∈ Z}ortonormalna baza u L2(R) pri (TF)−1 = 1, tada ili

1. w(t) nije prozorska funkcija (‖ tw(t) ‖22= ∞);

2. W( f ) nije prozorska funkcija (‖ f W( f ) ‖22= ∞).

Primer skupa {gm,n(t)} koji cini bazu pri (TF)−1 = 1 bi bio

• skup atoma sa pravougaonim impulsima3 kao prozorskim funk-cijama

{gm,n(t) := rect(t−mT)ej2πnFt} (gde je w(t) prozorska

funkcija, ali njena FT nije)

3 rect(t) ,

1, |t| ≤ 12

0, inace.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.2 diskretna stft 45

• skup atoma sa sinc funkcijama4{

gm,n(t) := sinc(t−mT)ej2πnFt}(gde w(t) nije prozorska funkcija, ali njena FT jeste).

Ovo se možе izbeci ako se umesto kompleksnih sinusoida koriste re-alne sinusoide ili kosinusoide. Primera radi, MP3 algoritam za kom-presiju audio fajlova koristi ovakve atome.

Iako od velikog matematickog interesa, ni kontinualna ni diskreti-zovana STFT, naravno, nisu pogodne u praksi, tj. za kalkulacije prekoracunara.

Detaljnije o diskretizovanoj STFT se može naci u [3? ].

3.2 diskretna stft

Slicno kao i kod FT, diskretna verzija se odnosi na dva oblika: DT-STFT (discrete-time STFT) i DSTFT (discrete STFT).

3.2.1 DT-STFT

DT-STFT predstavlja Discrete-Time Fourier Transform (DT-FT) sig-nala x[n]w∗[n−m] i glasi

XDT−STFT[m, f ) := ∑n

x[n]w∗[n−m]e−j2π f n, (93)

gde je w[n] prozorska funkcija razlicita od nule na intervalu [0, R− 1].XDT−STFT[m, f ) je funkcija promenljive m koja se diskreno menja, ipromenljive f koja se kontinualno menja. Kao i DT-FT, DT-STFT jeperiodicna sa periodom 1 u odnosu na frekvenciju.

I DT-STFT je moguce posmatrati kao filtriranje signala bankom fil-tara

XDT−STFT[m, f ) =(

x[m] ∗ w∗[−m]ej2π f m)

e−j2π f m. (94)

Takode, slicno kao (80), XDT−STFT[m, f ) se može napisati kao

XDT−STFT[m, f ) =∫ +π

−πX(ξ + f )W∗(ξ)ej2πξmdξ. (95)

DT-STFT je invertibilna ako su ispunjeni uslovi analogni uslovimakod kontinualne STFT. Jedna od jednacina sinteze je

x[m] =1

w∗[0]DT FT −1

f→l{XDT−STFT[m, f )}|l=m. (96)

U izrazu (93), prozorska funkcija se pomera odbirak po odbirak prekosignala, odnosno, preklapanje izmedu blokova DT-FT-a je R− 1. Pone-kad je to više odbiraka nego što je potrebno, pa se korak po diskretnojn-osi može povecati sa jednog odbirka na L odbiraka, tj. izvršava sedecimacija faktorom L i izracunava se XDT−STFT[mL, f ). Preklapanjaizmedu susednih blokova sada iznose R− L (slika 26)

4 sinc(t) ,

sin(t)

t , t 6= 0

1, t = 0.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

46 kratkotrajna furijeova transformacija

DT-FT 1

DT-FT 2

DT-FT 3

DT-FT 4

L

L

L

preklapanje

preklapanje

preklapanje

R

R

R

R

Slika 26: Preklapanja blokova DTFT pri racunanju DT-STFT.

Broj L predstavlja broj odbiraka izmedu susednih blokova, a XDT−STFT[mL, f )predstavlja DT-FT funkcije x[n]w∗[n− mL]. Ako je L vece od dužineprozora w[n], postojace odbirci signala x[n] koji nece biti ukljuceni niu jednu DT-FT funkcije x[n]w∗[n−mL]. Ti odbirci mogu uzimati proi-zvoljne vrednosti bez promene DT-STFT, pa DT-STFT nije jedinstvenai rekonstrukcija signala nije moguca (slika 27).

L 2L 3L 4L

R

n

odbirci koji se ne uzimaju u obzir

Slika 27: Situacija kada je L previše veliko.

3.2.2 DSTFT

DSTFT je transformacija koja se koristi u praksi, i predstavlja DFT

signala x[n]w∗[n − m] (ili signala x[n]w∗[n − mL], kako je vec obja-šnjeno).

DSTFT se može dobiti i kao frekvencijski odabirana DT-STFT, tj.

XDSTFT[m, k] := XDT−STFT[m, f )| f= kM

, k = 0, M− 1, (97)

Ovo frekvencijsko odabiranje se vrši u M ≥ N tacaka. Što je veceM, to je preciznija slika frekvencijskog sadržaja (uzima se M = N unastavku).

Jednacina sinteze glasi

XDSTFT[m, k] =N−1

∑n=0

x[n]w∗[n−m]WnkN , m = 0, N − R∧ k = 0, N − 1

(98)gde je WN := e−j 2π

N .

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.2 diskretna stft 47

Slicno kao i u kontinualnom slucaju, jednacina (98) se može posma-trati kao

• DFT signala x[n]w∗[n−m], (m je parametar).

• Skalarni proizvod signala x[n] i diskretne elementarne funkcijegm,k[n] := w[n−m]Wnk

N (m, k su parametri).

• Filtracija signala kroz banku filtara impulsnog odziva h[n] =

w∗[−n]W−nkN , pracena demodulacijom W−nk

N (k je parametar).

Jednacina sinteze u frekvencijskom domenu, analogna sa (80), glasi

XDSTFT[m, k] =1N

N−1

∑l=0{X[l + k]W∗[l]}W−lm

N . (99)

Formula za rekonstrukciju signala glasi

x[n] =1

N‖w‖22

N−R

∑m=0

N−1

∑k=0

XDSTFT[m, k]w[n−m]W−nkN , n = 0, N − 1.

(100)Moguce je koristiti i drugi prozor gm,k[n] := v[n− m]W−nk

N , gde for-mula glasi

x[n] =1

N 〈v, w〉

N−R

∑m=0

N−1

∑k=0

XDSTFT[m, k]v[n−m]W−nkN , n = 0, N − 1,

(101)ako je 〈v, w〉 6= 0.

Dok je DT-STFT uvek invertibilna, DSTFT nije! To se može videtiako se DSTFT posmatra kao operacija filtriranja, gde se pretpostavljada prozorska funkcija ima propusni opseg B. Na slici 28 se vidi dase filtri nalaze na frekvencijama k/N. Ako je propusni opseg filtraB manji od 1/N, postojace delovi spektra signala koji nece proci nikroz jedan filtar. Ti delovi spektra bi mogli imati bilo koje vrednosti,a dobili bismo na kraju istu DSTFT. Zbog toga, u tim slucajevima,DSTFT nije jedinstvena reprezentacija signala x[n], te se originalnisignal ne može rekonstruisati. Takode, slicno kao i kod DT-STFT, ako

1⁄

B

f

spektralni sadržaj koji se ne uzima u obzir

N 2⁄N 3⁄N 4⁄N

Slika 28: Situacija kada je L previše veliko.

pristupamo decimaciji, i ako je faktor L veci od dužine prozora R,dobijena transformacija nece biti invertibilna.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

48 kratkotrajna furijeova transformacija

Planšerelov identitet za DSTFT glasi

N−1

∑n=0|x[n]|2 =

1N‖w‖2

2

N−R

∑m=0

N−1

∑k=0|XDSTFT[m, k]|2. (102)

Pored ovakve sinteze signala, u praksi se cešce koriste druge dvemetode koje su opisane u nastavku.

3.2.2.1 OLA metod

OLA (eng. Overlap-Add) metod za rekonstrukciju signala je vezanza interpretaciju DSTFT kao DFT porcija signala. Jednacina analizesignala

XDSTFT[m, k] =N−1

∑n=0

x[n]w∗[n−m]WnkN (103)

se, kako je vec receno, može posmatrati kao DFT signala x[n]w∗[n−m]. OLA metod pocinje prvo postupkom inverzne DFT

x[n]w∗[n−m] =1N

N−1

∑k=0

Xw[m, k]W−nkN . (104)

Zatim se primeni suma

x′[n] = ∑m

x[n]w∗[n−m]. (105)

Iz ovog koraka potice i naziv same metode - dodaju se i preklapajukratke porcije signala. Ovim se dobija

x′[n] = x[n]∑m

w∗[n−m] = x[n]W∗(0), (106)

=⇒ x[n] =1

W∗(0)x′[n].

Sve zajedno, formula glasi

x[n] =1

W∗(0)∑m

[1N

N−1

∑k=0

XDSTFT[m, k]W−nkN

]. (107)

3.2.2.2 FBS metod

Ovaj metod rekonstrukcije signala je povezan sa interpretacijomDSTFT kao banke filtara, tj. DSTFT se posmatra kao banka filtara

XDSTFT[n, k] =(

x[n] ∗ w∗[−n]W−nkN

)Wnk

N . (108)

Signal se može rekonstruisati preko formule (slika 29)

x[n] =1

Nw∗[0]

N−1

∑k=0

XDSTFT[n, k]W−nkN . (109)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.2 diskretna stft 49

e-j(2π⁄N)0n

e-j(2π⁄N)1n

e-j(2π⁄N)kn

e-j(2π⁄N)(N-1)n

.

.

.

.

.

.

X[n,0]

X[n,1]

X[n,k]

X[n,N-1]

e j(2π⁄N)0n

e j(2π⁄N)1n

e j(2π⁄N)kn

e j(2π⁄N)(N-1)n

.

.

.

.

.

.

X[n,0]

X[n,1]

X[n,k]

X[n,N-1]

ΣNw[0]

1

y[n]

w*[-n]e(j2π/N)0n

w*[-n]e(j2π/N)1n

w*[-n]e(j2π/N)kn

w*[-n]e(j2π/N)(N-1)n

x[n]

Slika 29: DSTFT kao banka filtara.

Ova formula se može posmatrati kao specijalan slucaj jednacine (101),gde je za prozor v[n] uzet Dirakov impuls. U literaturi se ova formulanaziva spektralnim sabiranjem (FBS - eng. Filter Bank Summation). Saslike 29 se može zakljuciti šta je potrebno da bi rekonstrukcija bilamoguca. Demodulacija tokom sinteze poništava modulaciju tokomanalize signala. Da bi se na izlazu iz sumatora dobio signal x[n], po-trebno je da transfer-funkcije filtara u zbiru daju konstantu Nw∗[0], ito je uslov koji mora zadovoljavati prozorska funkcija w[n].

Formalnije izvedeno, ako se (108) ubaci u (109)

x′[n] =1

Nw∗[0]

N−1

∑k=0

((x[n] ∗ w∗[−n]W−nk

N

)Wnk

N

)W−nk

N (110)

=1

Nw∗[0]x[n] ∗

N−1

∑k=0

w∗[−n]W−nkN

=1

Nw∗[0]x[n] ∗ w∗[−n]

N−1

∑k=0

W−nkN

=1

w∗[0]x[n] ∗ w∗[−n]∑

rδ[n− rN].

Da bi važilo x′[n] = x[n], mora biti ispunjeno

w∗[−n]∑r

δ[n− rN] = w∗[0]δ[n]. (111)

Ovo ce uvek biti zadovoljeno ako je dužina prozorske funkcije R ma-nja ili jednaka od broja filtara N, što znaci da je moguce koristiti bilokoju prozorsku funkciju w[n], dokle god je zadovoljeno R ≤ N. Mo-guce je i R > N , pod uslovom da je svaki N-ti odbirak prozorskefunkcije jednak nuli

w∗[rN] = 0, r ∈ Z\{0}. (112)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

50 kratkotrajna furijeova transformacija

Ovaj uslov u frekvencijskom domenu glasi

N−1

∑k=0

W∗( f − kN) = Nw∗[0], (113)

gde je W( f ) FT signala w(t), cijim odabiranjem nastaje prozor w[n].Detaljnije o ovim metodama se može naci u [2, 20].

3.3 implementacija u matlab-u

Kako bi mogao da se koristi prozor bilo koje dužine, a posmatrajuse signali konacne dužine, ne koristi se originalni signal x[n], cija jedužina N, vec prošireni signal x′[n] dužine N′, tj. originalni signal kojije dopunjen nulama sa leve i desne strane, kao što je prikazano na slici30. U nastavku se koriste iste formule i notacije x[n] i N, ali se zapravomisli na njihove proširene verzije x′[n] i N’ (osim u komentarimakodova).

. . .

0 1 2 3 N - 2 N - 1

x [ n ]

N N + R - 2- 1- ( R - 1 ) N + 1

. . .

- 2

. . .

w[

n-

(N

-1

) ]w[n

+(

R-

1)

]

0 R - 3 R - 2 N + 2 R - 3

= N ’ - 1

. . .. . . . . .

R - 1 R N + R - 3 N + R - 2 N + R - 1 N + R

x ’ [ n ]

Slika 30: Proširenje signala x[n].

Analiza signala se oslanja na transformacioni par

XDSTFT[m, k]↔ x[n]w∗[n−m], (114)

i aproksimaciju

XSTFT

(mTs,

kN

fs

)≈ TsXDSTFT[m, k] (115)

XDSTFT[m, k] predstavlja matricu ciji su redovi DFT signala x[n]w∗[n−m] za svako m = 0, N − R . Koriste se FFT algoritmi u MATLAB-u zaizracunavanje ovih DFT. Funkcija koja izvršava ove operacije se nalaziu fajlu spektrogram.m, ciji prototip glasi

function [SPECTR,fosa,tosa] = spektrogram(signal,brOdbProz,fs,

brPreklap,prozor) �ciji su ulazni argumenti

• signal - ulazni signal cija se STFT izracunava, kao aproksimacijapomocu DFT.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

3.3 implementacija u matlab-u 51

• brProz - broj odbiraka prozorske funkcije w[n], za koju se pret-postavlja da je realna funkcija.

• fs - frekvencija odabiranja signala, potrebna zbog vremenske ifrekvencijske ose.

• brPreklap - broj odbiraka R − L, koji predstavljaju preklapa-nja delova signala nad kojima se vrši DFT; može biti najvišebrProz-1.

• prozor - vektor koji predstavlja prozorsku funkciju w[n]; akonije prosleden, koristi se Hanov prozor.

Izlazni argumenti su

• SPECTR - spektrogram ulaznog signala, racunat preko ugradje-nog algoritma za DFT u matlabu, fft().

• fosa - frekvencijska osa prilagodena ulaznom signalu, za crtanjegrafika.

• tosa - vremenska osa prilagodena ulaznom signalu, radi crtanjagrafika.

Broj ulaznih argumenata je 0, 1 ili svih 5. Program funnkcioniše kaodeo paketa samo ako mu se ne prosledi nijedan argument, koje onnalazi u osnovnom radnom prostoru.

Proširivanje signala x[n] na signal x′[n] i konstruisanje frekvencij-ske ose se radi po kodu

srProzora = fix(brOdbProz/2); % odbirak gde je prozor otprilike

maksimalan; brOdbProz je prosledjen broj odbiraka prozora R.

pocetnoVreme = -brOdbProz + srProzora; trenutak gde se nalazi

sredina prozora u pocetku algoritma na vremenskoj osi signala

x[n] (ne x’[n]); pri prikazivanju grafika, posmatrani prozor

w[n] se posmatra kao parna funkcija oko trenutka n=0, i ovo

vreme odgovara pocetnom kasnjenju m., koje je negativno, kao

na slici.

fosa = (0:fix(brFFT/2))*(fs/brFFT); % konstrukcija vektora sa

frekvencijama - posmatraju se samo frekvencije do oko (ili

tacno) polovine frekvencije odabiranja; brFFT je prosledjeni

broj odbiraka za DFT.

modSig = [zeros(brOdbProz-1,1); signal; zeros(brOdbProz-1,1)]; %

modifikovan signal (zero-padding signala sa obe strane), cija

je duzina N’ = N+2R-2. �Racunanje DFT i konstruisanje ose kašnjenja se radi po kodu

j = 0; % indeks za vremenski vektor.

krTacka = N-1 + brOdbProz; % tacka N+R-2, sa slike.

STFT = zeros(fix((krTacka-1)/inkr)+1,length(fosa));

tosa = zeros(1,fix((krTacka-1)/inkr)+1);

for i = 1:inkr:krTacka % indeks za pomeranje prozora po signalu

[16. januar 2013 at 13:48 - classicthesis version 4.1 ]

52 kratkotrajna furijeova transformacija

data = modSig(i:i+brOdbProz-1) .* prozor; % ovde se u sustini

ne pomera prozor po signalu, vec se signal pomera u

suprotnom smeru ispod prozora.

dft = abs(fft(data,brFFT));

j = j+1;

STFT(j,:) = (1/fs*dft(1:length(fosa))).^2; % zadrzava se deo

DFT-a do oko polovine frekvencije odabiranja i kvadrira

se da bi se dobio spektrogram.

tosa(j) = (pocetnoVreme + (i-1))* 1/fs; % konstrukcija

vremenskog vektora.

end �Rad koda se može pokazati na EKG signalu prikazanom na slici 31.

Slika 31: EKG signal ucitan u program.

Stiskom na dugme “STFT” ce se pojaviti prozor sa opcijama kao naslici 32.

Slika 32: STFT prozor sa potrebnim parametrima.

Odabirom sledecih opcija

[16. januar 2013 at 13:48 - classicthesis version 4.1 ]

3.3 implementacija u matlab-u 53

Tip prozora je: bartlett

Broj odbiraka za prozor je: 250

Broj preklapanja izmedju susednih prozora u odbircima je: 200

Broj odbiraka za izracunavanje DFT je: 5000 �se dobija grafik u linearnoj (33a) ili logaritamskoj (33b) razmeri.

(a) Linearna razmera.

(b) Logaritamska razmera.

Slika 33: Spektrogrami EKG signala.

Pošto se od samog starta krece sa diskretnim signalima, pre togamora da se obezbedi da je Šenonova teorema zadovoljena, tj.

fs > 2 ( f xm + f w

m ) , (116)

gde su

fs frekvencija odabiranja signala x(t)w∗(t− τ)

f xm maksimalna frekvencija u signalu x(t)

f wm maksimalna frekvencija u prozorskoj funkciji w(t)

Pošto, striktno gledano, signali sa konacnim brojem odabiraka ne-maju konacan propusni opseg, definicije ovih “maksimalnih” frekven-

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

54 kratkotrajna furijeova transformacija

cija obicno podrazumevaju da je spektar kontinualne verzije signalavan opsega [− fm, fm] “dovoljno mali” (u zavisnosti od aplikacije).

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4V E J V L E T T R A N S F O R M A C I J A

WT je linearna metoda koja koristi atome koji se zovu vejvletima(eng. wavelets).

Vejvlet kolekcija funkcija, za parametar p ≥ 0 i a 6= 0, je definisanakao

A(WT) =

{ατ, f (t) ≡ ψa,b(t) := |a|−pψ(

t− ba

) ∈ L2(R)

}. (117)

gde su a tzv. faktor skale i b parametar translacije, i pripadaju skupuR\ {0} i R, respektivno.

Funkcija ψ(t) ∈ L2(R) se naziva roditeljski ili majcinski vejvlet(eng. mother wavelet). Atomi ψa,b(t) se nazivaju decijim vejvletima (eng.baby wavelets) ili cešce samo vejvletima, generisanim od strane ψ(t).Osnovni uslov za vejvlet je

Cψ =∫ |Ψ( f )|2

| f | d f , (118)

gde je Ψ( f ) FT signala ψ(t). Ovaj uslov se naziva uslovom prihvatlji-vosti (eng. admissibility condition), i implicira karakteristike vejvleta naosnovu kojih je on dobio i ime:

1. Uslov (118) implicira uslovΨ(0) = 0, odn. vremenskom do-menu ∫

ψ(t)dt = 0. (119)

To znaci da vejvlet mora imati površinu ispod krive jednakunuli, te njegov oblik on mora da “talasa” (eng. wave = talas).

2. Takode, Ψ( f ) mora biti kontinualno diferencijabilna funkcija, iona ce to biti ako vejvlet u vremenskom domenu opada do-voljno brzo u vremenskom domenu∫

(1 + |t|) |ψ(t)|dt < ∞, (120)

To znaci da je vejvlet dobro lokalizovan u vremenskom domenu,te odatle dolazi i diminutiv u nazivu (eng. wavelet = talasic).

Iz ovih uslova se zakljucuje da |Ψ( f )| ima oblik transfer-funkcije filtrapropusnika opsega ucestanosti.

Osim ovih osnovnih uslova, postoje i drugi uslovi koji se obicnozahtevaju da bi olakšali analizu i rekonstrukciju signala.

Slicno kao kod STFT, parametri a i b se mogu menjati kontinualnoili diskretno, u zavisnosti od toga koji se tip WT posmatra.

55

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

56 vejvlet transformacija

Konkretne vrednosti p zavise od primene vejvleta, i po konvencijise ne uzimaju negativne vrednosti. U opštem slucaju važi jednakost

||ψa,b||22 = |a|1−2p||ψ||22. (121)

Medu cestim izborima za vrednost parametra p su

• p = 0, koji je pogodan pri korišcenju ortonormalnih baza vej-vleta.

• p = 1, L1 norma ||ψa,b||1 tada ima istu vrednost pri razlicitimvrednostima a i b.

• p = 12 , L2 norma ||ψa,b||2 tada ima istu vrednost.

Takode, obicno se usvaja i da je energija glavnog vejvleta normalizo-vana

Eψ = ‖ψ(t)‖22 = 1.

Primer kontinualnog vejvleta i njegovih skaliranih verzija, zajedno sanjihovim FT, je dat na slikama 34 i 35.

Analiticki oblik glavnog vejvleta ψ(t) nije naveden nigde zato štoon nije jedinstven, isto kao što prozorska funkcija kod STFT nije jedin-stvena. WT teorija se bavi opštim svojstvima vejvleta i kriterijumimakoje bi oni trebali da zadovolje: uslov prihvatljivosti, regularnost, di-ferencijalnost, (bi)ortogonalnost, simetricnost itd.

Postoje razne vrste vejvleta i razni nacini na koji se oni zadaju

• Glatki vejvleti koji se protežu preko cele vremenske ose ili kojiimaju kompaktan nosac.

• Vejvleti koji su zadani u analitickom ili u numerickom obliku,npr. ako su asocirani filtrima itd..

U aplikacijama, vejvlet može biti izabran iz skupa postojecih ili bitikonstruisan za specificnu aplikaciju. U opštem slucaju, WT nema ana-liticka rešenja.

4.1 kontinualna wt

Kontinualna WT signala x(t) ∈ L2(R) je data izrazom

XWT(a, b) = 〈x(t), ψa,b(t)〉L2(R) =∫

x(t)ψ∗a,b(t)dt (122)

= |a|−p∫

x(t)ψ∗(t− b

a)dt,

gde je posmatrana konvergencija u L2-normi.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.1 kontinualna wt 57

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−0.5

0

0.5

1

V reme [s]

a = 1

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−0.5

0

0.5

1

V reme [s]

a = 0.5

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−0.5

0

0.5

1

V reme [s]

a = 2

Slika 34: Mother wavelet oblika ψ(t) = 2√

3π14(1− t2)e−

t22 , i dva vejvleta na-

stala kontrakcijom/dilatacijom (a = 0.5/a = 2, pri b = 0).

4.1.1 Primeri vejvleta

Pošto je receno da oblik vejvleta nije jedinstven, sledece logicnopitanje je kako konstruisati vejvlet. Koristeci svojstva FT, lako se po-kazuje da ce svaka funkcija f (n)(t) ∈ L2(R), koja je n-ti izvod nekefunkcije f (t) ∈ L2(R) i koja nije identicki jednaka nuli, zadovoljavatiuslov (118) i moci da bude vejvlet. Osim toga, postoje razni vejvletikoji su ustaljeni u praksi i u teorijskim razmatranjima i ovde ce bitiukratko navedeni neki.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

58 vejvlet transformacija

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.01

0.02

0.03

0.04

Frekvencija [Hz]

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.005

0.01

0.015

0.02

Frekvencija [Hz]

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.02

0.04

0.06

0.08

Frekvencija [Hz]

Slika 35: FT signala sa prethodne slike.

4.1.1.1 Harov vejvlet

Harov vejvlet je najprostiji vejvlet i definisan je kao

ψ(t) =

1 0 ≤ t < 1

2

−1 12 ≤ t < 1

0 inace

(123)

Skup diskretno transliranih i skaliranih Harovih funkcija cini najpro-stiju ortonormalnu bazu. Medutim, ovaj vejvlet je slabo lokalizovanu frekvencijskom domenu, kao posledica prekidnosti funkcije u vre-menskom domenu, i to mu je glavni nedostatak koji ga limitira zaodredene aplikacije.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.1 kontinualna wt 59

−0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

V reme [s]

(a) Vremenski domen.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

Frekvencija [Hz]

(b) Frekvencijski domen.

Slika 36: Harov vejvlet.

4.1.1.2 Sinusni vejvlet

Ovaj vejvlet je takode jedan od najjednostavnijih i u pitanju je jedanciklus sinusne funkcije

ψ(t) =

1√π

sin(t) |t| ≤ π

0 inace(124)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

V reme [s]

(a) Vremenski domen.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Frekvencija [Hz]

(b) Frekvencijski domen.

Slika 37: Sinusni vejvlet.

4.1.1.3 Morleov vejvlet

Gausijan je jedina funkcija koja zadovoljava minimum u relaciji (70),što predstavlja jasnu motivaciju za njegovo korišcenje u VFR. Morleovvejvlet je, u suštini, modulisani Gausijan

ψ(t) =1√2π

e−t22 ej2π f0t. (125)

Frekvencija f0 nije fiksirana, ali jedan od izbora je tako da drugi mak-simum vejvleta bude jednak polovini prvog maksimuma u t = 0 (zarealni deo vejvleta). To daje formulu

f0 =

√1

2 ln 2≈ 0.849. (126)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

60 vejvlet transformacija

Treba napomenuti da ovaj vejvlet nema nultu srednju vrednost (te

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

realni d

eo

imag

inar

ni

deo

Slika 38: Morleov vejvlet, njegov realni i imaginarni deo.

uslov Cψ nije ispunjen), no vrednost Ψ( f )| f=0 je jako mala (∼ 7 · 10−7),pa se efektivno ignoriše. Ako je baš potrebno, dodaje se korektivnifaktor koji ovo ispravlja.

4.1.1.4 “Mexican hat” vejvlet

Pošto je sam Gausijan dobro lokalizovan i u vremenskom i u fre-kvencijskom domenu, a i beskonacno puta diferencijabilan, bilo kojiizvod gausijana može biti vejvlet. “Mexican hat” vejvlet je drugi izvodGausijana sa negativnim znakom

ψ(t) =2√3

π−1/4(1− t2)e−t2/2. (127)

Sam oblik vejvleta podseca na meksicki šešir (slika 39a), pa odatlepotice i naziv. Ovaj vejvlet se cesto koristi u aplikacijama za detekcijuivica.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−0.5

0

0.5

1

V reme [s ]

(a) Vremenski domen.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Frekvencija [Hz]

(b) Frekvencijski domen.

Slika 39: “Mexican Hat” vejvlet.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.1 kontinualna wt 61

4.1.1.5 Šenonov vejvlet

Ovaj vejvlet je popularan u teoriji. Ima lošiju vremensku rezoluciju,ali mu je frekvencijska rezolucija vrlo dobra. Formula je

ψ(t) =sin(2πt)− sin(πt)

πt. (128)

−10 −5 0 5 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

V reme [s ]

(a) Vremenski domen.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Frekvencija [Hz]

(b) Frekvencijski domen.

Slika 40: Šenonov vejvlet.

4.1.1.6 Mejerov vejvlet

Mejerov vejvlet je modifikovana verzija Šenonovog vejvleta. Nedo-statak ovog vejvleta je njegova kompleksnost. Formula za Mejerovvejvlet je zadata u frekvencijskom domenu

Ψ( f ) =

ejπ f sin(π

2 v(3| f | − 1)) 13 ≤ | f | ≤

23

ejπ f sin(π2 v( 3

2 | f | − 1)) 23 ≤ | f | ≤

43

0 inace

(129)

gde je

v( f ) = f 4(35− 84 f + 70 f 2 − 20 f 3) f ∈ [0, 1]

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

V reme [s]

(a) Vremenski domen.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Frekvencija [Hz]

(b) Frekvencijski domen.

Slika 41: Mejerov vejvlet.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

62 vejvlet transformacija

4.1.2 Algebarska svojstva WT

WT je linearna metoda, pa osobina superpozicije važi. Takode, oso-bine skaliranja i translacije važe u sledecim oblicima.

Primenjeno na signal:

• Linearnost

αx(t) + βy(t)↔ αXWT(a, b) + βYWT(a, b), (130)

• Translacijax(t− t0)↔ XWT(a, b− t0), (131)

• Skaliranje1√α

x(tα)↔ XWT(

,bα), (132)

gde su α i β kompleksne konstante.

Primenjeno na vejvlete (gde su ψ(t) i φ(t) su razliciti vejvleti):

• Linearnost

X(αψ+βφ)WT (a, b) = α∗X(ψ)

WT(a, b) + β∗Y(φ)WT(a, b). (133)

• TranslacijaX(ψ(t−t0))

WT (a, b) = X(ψ)WT(a, b + t0a). (134)

• Skaliranje

X( 1α ψ( t

α ))WT (a, b) =

1√α

X(ψ)WT(αa, b), (135)

gde su α i β kompleksne konstante.

Slicno kao kod STFT, korišcenjem Parsevalovog identiteta se dobija

XWT(a, b) = 〈x(t), ψa,b(t)〉 = 〈X( f ), Ψa,b( f )〉 , (136)

gde važe transformacioni parovi

x(t) ↔ X( f ),

ψa,b(t) = |a|−pψ(t− b

a) ↔ Ψa,b( f ) = |a|1−pe−j2π f bΨ(a f ),

pa se dobija

XWT(a, b) = 〈X( f ), Ψa,b( f )〉 =∫ +∞

−∞X( f ), Ψ∗a,b( f )d f

= |a|1−p∫ +∞

−∞X( f )Ψ∗(a f )ej2π f bd f (137)

= |a|1−pF−1f→b {X( f )Ψ∗(a f )} .

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.1 kontinualna wt 63

Formula (137) znaci da korišcenje prozora ψa,b(t) na funkciji x(t)znaci i korišcenje prozora Ψ∗(a f ) na funkciji X( f ). Poslednji red jetakode koristan, jer pokazuje da se mogu koristiti Fast Fourier Trans-form - Brza Furijeova Transformacija, algoritam za DFT (FFT) algo-ritmi. Pošto je analiticka forma vejvleta ψ(t) i njene FT Ψ( f ) obicnopoznata, potrebno je izracunati FFT originalnog signala, i onda prime-niti inverznu FFT na proizvod te dve funkcije (i rezultat pomnožiti sa|a|1−p).

4.1.3 Rekonstrukciona formula - inverzna WT

Slicno kao i kod STFT, usled redundandnosti same transformacije,mnoge rekonstrukcione formule postoje. Jedna od formula za sintezusignala x(t) ∈ L2(R) je

x(t) =1

∫∫XWT(a, b)ψa,b(t)|a|2p−3dadb, (138)

Jasno je da mora važiti Cψ < ∞ da bi jednacina (138) imala smisla.Izborom p = 2 se dobija

x(t) =1

∫∫XWT(a, b)ψa,b(t)

dadba2 . (139)

Ako je ψ(t) realna funkcija, moguce je koristiti samo pozitivne vred-nosti faktora a , pa se Cψ tada može napisati kao

Cψ =∫ +∞

0

|Ψ( f )|2f

d f , (140)

a jednacina (139) se modifikuje tako da se integracija vrši samo zapozitivne vrednosti a

x(t) =1

∫ +∞

−∞

∫ +∞

0XWT(a, b)ψa,b(t)

dadba2 . (141)

Parsevalova relacija za WT glasi

〈x(t), y(t)〉 = 1Cψ

∫∫XWT(a, b)Y∗WT(a, b)|a|2p−3dadb. (142)

U nastavku ce se podrazumevati da je p = 12 i a > 0.

Ako se koriste vejvleti koji su analiticke funkcije. tada se WT nazivaanalitickom WT. Kada je posmatrani signal realna funkcija i kada jevejvlet analiticki signal, pokazuje se da se signal može rekonstruisatiformulom

x(t) =2

Cψ<{∫

XWT(a, b)ds

s3/2

}, (143)

koja je posebno pogodna za numericke kalkulacije i naziva se Morle-ovom formulom.

O izvodenju inverzne relacije i potrebnim uslovima se više moženaci u [8, 6, 16, 3].

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

64 vejvlet transformacija

4.1.4 Frekvencija i skala: slicnosti i razlike

Vejvleti sa malim vrednostima a se koriste za analizu brzih pro-mena u signalu, što je slicno STFT atomima modulisanim visokimfrekvencijama. S druge strane, vejvleti sa velikim vrednostima a sekoriste za analizu sporih promena u signalu, slicno STFT atomimamodulisanim niskim frekvencijama; u tom smislu je promenljiva a in-verzno proporcionalna frekvenciji. Medutim, frekvencija se nigde nespominje eksplicitno u definiciji WT, a sama promenljiva a nema nifizicku dimenziju.

Ako se, na primer, posmatra kompleksna sinusoida ψ(t) = ej2π f0t,funkcija ψ( t

a ) ce predstavljati novu kompleksnu sinusoidu frekvencijef = f0/a. Zapravo, za realan signal x(t). moguce je inverznu FT

x(t) =∫

X( f )ej2π f td f , (144)

napisati kao

x(t) = <{

2 f0

∫ +∞

0X(

f0

a)ej2π

f0a t da

a2

}. (145)

Promenljiva a15)+te povezana sa frekvencijom, ali ne postoji egzaktnaveza izmedu skale i frekvencije. Zbog toga se cesto izabere neka fre-kvencija f0, koja može biti frekvencija na kojoj FT vejvleta dostižemaksimum, ili standardna devijacija spektralne gustine energije vej-vleta, i onda se uvede relacija

f := f0/a. (146)

Ovako uvedena pseudo-frekvencija se razlikuje od frekvencije na kojuobicno mislimo; promenom ove pseudo-frekvencije dolazi do skalira-nja, a promenom normalne frekvencije dolazi do modulacije (slika42).

Pseudo-frekvencija se cesto koristi, ali je korišcenje promenljive apoželjnije jer je prirodnije.

Više o ovome se može naci u Auger [3? ].

4.1.5 Vremensko-frekvencijska rezolucija kod WT i poredenje sa STFT

Sposobnost razlucivanja bliskih komponenti je direktno povezanasa osobinama vejvleta, kao što je to bio slucaj sa prozorskom funkci-jom kod STFT.

STFT takode uvodi pojam skale, samo indirektno, preko širine pro-zora w(t) u izrazu (71). Medutim, kod STFT se a tretira kao parametar,a kod WT se tretira kao promenljiva.

Osnovna razlika izmedu STFT i WT je u ponašanju njihovih atomapri promeni ulaznih promenljivih. Kod STFT, atomi kroz celu t − f

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.1 kontinualna wt 65

t

f

t

f

Slika 42: Poredenje modulacije i skaliranja.

ravan imaju konstantne devijacije, i to uzrokuje probleme pri isto-vremenoj analizi tranzijentnih signala i dugackih, sporopromenljivihkomponenti u signalu. WT sadrži atome sa malim vremenskim devi-jacijama za male vrednosti a i sa velikim vremenskim devijacijama zavelike vrednosti a. Drugim recima, kako se a menja, menja se širinavejvleta i njegov propusni opseg. WT se u literaturi

naziva i“matematickimmikroskopom”, poštopostoji analogijaizmedu WT iposmatranja necegapod mikroskopom;faktor skale aodgovaramagnifikacionojmoci i rezolucijimikroskopa, a faktortranslacijebPodgovaralociranjuposmatranog objekta.Ako se želeposmatrati sitnidetalji, uvelicavanjei rezolucijamikroskopa morajubiti na visokomnivou, što odgovaramalim vrednostimaa, tj. malojvremenskoj devijacijivejvleta, kojapredstavlja dobruvremenskurezoluciju.

To se može videti na Hajzenbergovim plocicama za vejvlete. Akofunkciji ψ(t) odgovaraju parovi (t0, f0) i devijacije (∆t, ∆ f ), skalira-noj funkciji ψa(t) := ψ( t

a ) odgovaraju parovi(

t0,a := at0, f0,a := f0a

)i(

∆ta := a∆t, ∆ fa := ∆ fa

). Oblik Hajzenbergovih plocica se menja u

zavisnosti od vrednosti a (slika 43). Princip neodredenosti je i dalje

f

f1

f2

τ1

τ2

τ

(a)

f

f1

f2

b1

b2

b

(b)

Slika 43: Hajzenbergovi okviri kod (a) STFT i (b) WT.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

66 vejvlet transformacija

na snazi, jer vrednost proizvoda ostaje ista

∆ta∆ fa = a∆t∆ fa

= ∆t∆ f , (147)

ali sada vremenska devijacija može biti proizvoljno mala, a frekven-cijska devijacija proizvoljno visoka pri pogodnom izboru faktora a.Vremensko-frekvencijska rezolucija kod WT se menja kroz a − b ra-van.

Ovo znaci da je WT dosta pogodnija za istovremenu analizu go-respomenutih komponenti u signalu. Za druge tipove komponenti,to ne važi; sinusoida visoke frekvencije, na primer, ne bi bila dobroanalizirana pomocu WT.

To se vidi jasno na primeru dva signala, tj. njihovih diskretnih ver-zija u MATLAB-u; prvi signal je Dirakov impuls (za vejvlet je u obaprimera izabran Morleov vejvlet, slika 44).

x(t) = δ(t− t0)⇒ XWT(a, b) = ψ∗(t0 − b

a). (148)

sig1 = anapulse(128); % impuls oko 64-og odbirka

figure(1); tfrscalo(sig1,1:128,5,0.05,0.45,128,1); % skalogram sa

Morleovim vejvletom od 5 odbiraka �

0

0.5

1

Real

ni d

eo

Signal u vremenskom domenu

1234

Linearna razmera

Spek

tral

na g

ustin

a en

ergi

je

Vreme [s]

Frek

venc

ija [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Slika 44: Morleov skalogram impulsa oko 64-og odbirka - vremenska rezo-lucija zavisi od posmatrane frekvencije.

Kako se a povecava, vremenska rezolucija postaje lošija i sve je težeprepoznati trenutak pojavljivanja Dirakovog impulsa.

Drugi signal je zbir dve kompleksne sinusoide (slika 45):

x(t) = ej2π f1t + ej2π f2t ⇒ XWT(a, b) =√

a(

Ψ∗(a f1)ej2π f1b + Ψ∗(a f2)ej2π f2b)

(149)

sig = fmconst(128,.15)+fmconst(128,.35); % zbir dve sinusoidalne

komponente

[16. januar 2013 at 13:48 - classicthesis version 4.1 ]

4.1 kontinualna wt 67

figure(2); tfrscalo(sig,1:128,10,0.05,0.45,128,1); % skalogram sa

Morleovim vejvletom od 10 odbiraka �

−2

0

2

Real

ni d

eo

Signal u vremenskom domenu

50001000015000

Linearna razmera

Spek

tral

na g

ustin

a en

ergi

je

Vreme [s]

Frek

venc

ija [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Slika 45: Morleov skalogram dve sinusoide od 128 odbiraka.

Sinusoida manje frekvencije ima bolju frekvencijsku rezoluciju od si-nusoide vece frekvencije.

Uporedivanje STFT i WT se može izvršiti na signalu sa slike 46. Upitanju je diskretna sinusoida na koju je superponiran impuls oko 64.odbirka.

sig = 7*anapulse(128) + fmconst(128,.15);

figure(1); plot(real(sig),’k’);

axis([-10 138 -2 9]);

xlabel(’$Vreme$ $[s]$’,’interpreter’,’latex’);

w = window(’hamming’,15); figure(2); tfrstft(sig,1:128,128,w);

w = window(’hamming’,31); figure(3); tfrstft(sig,1:128,128,w);

figure(4); tfrscalo(sig,1:128,5,0.05,0.45,128,1);

figure(5); tfrscalo(sig,1:128,10,0.05,0.45,128,1); �

0 20 40 60 80 100 120−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

V reme [s]

Slika 46: Sinusoida sa dodatim impulsom.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

68 vejvlet transformacija

Vreme [s]Fr

ekve

ncija

[Hz]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

(a) Hamingov prozor od 15 odbiraka.

Vreme [s]

Frek

venc

ija [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

(b) Hamingov prozor od 31 odbirka.

Vreme [s]

Frek

venc

ija [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

(c) Morleov vejvlet od 10 odbiraka.

Vreme [s]

Frek

venc

ija [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

(d) Morleov vejvlet od 20 odbiraka.

Slika 47: Poredenje STFT i WT.

4.1.6 Uslov regularnosti i karakterizacija singulariteta kod WT

Sposobnost WT da dobro detektuju kratke impulse i dugotrajne si-nusoide se matematicki opisuje uslovima regularnosti i karakteriza-cije singulariteta.

4.1.6.1 Regularnost vejvleta

Pošto dosta signala može biti predstavljeno polinomskom funkci-jom proizvoljne tacnosti, poželjno je da roditeljski vejvlet bude manjeosetljiv na polinome nižih redova (koji modeliraju spore promene usignalu). Ovo se naziva uslovom regularnosti, i on nije obavezan sampo sebi, ali je jako poželjan.

Bez gubljenja opštosti, neka se posmatra WT signala za b = 0

XWT(a, 0) =1√a

∫x(t)ψ∗(

ta)dt. (150)

Signal x(t) se može razviti u Maklorenov red do reda n, pa se dobija

XWT(a, 0) =1√a

∫ [ n

∑k=0

x(k)(0)tk

k!+ Rn(t)

]ψ∗(

ta)dt (151)

=1√a

[n

∑k=0

x(k)(0)∫ tk

k!ψ∗(

ta)dt +

∫Rn(t)ψ∗(

ta)dt

].

Momenti vejvleta su definisani kao

Mk :=∫

tkψ∗(t)dt, k = 0, 1, . . . (152)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.1 kontinualna wt 69

pa se (151) može napisati kao

XWT(a, 0) =1√a

[x(0)M0a +

x′(0)1!

M1a2 +x”(0)

2!M2a3 + . . . +

x(n)(0)n!

Mnan+1 +O(an+2)

],

(153)gde je O(an+2) =

∫Rn(t)ψ∗( t

a )dt.Prvi termin u zagradi sa M0 je uvek jednak nuli. Ako vejvlet ima

ostalih n momenata jednakih nuli, kaže se da vejvlet ima n + 1 išceza-vajucih momenata, tj.

Mk =∫

tkψ∗(t)dt, za k = 0, n, (154)

Uslov (154) je ekvivalentan uslovu

Ψ(k)(0) = 0, za k = 0, n, (155)

u frekvencijskom domenu, gde je Ψ( f ) FT signala ψ(t).Ideja je da, što više išcezavajucih momenata vejvlet ima, to ce on

biti manje osetljiv na niskofrekventne promene u signalu, pri analizisignala ce manje koeficijenata imati znacajne amplitude.

Više o ovome se može naci u [19].

4.1.6.2 Karakterizacija singulariteta

Vejvleti koji zadovoljavaju uslov regularnosti bolje detektuju singu-laritete u signalu. To je posledica cinjenice da funkcija ψa,b(t) postajeproizvoljno kratka za proizvoljno malo a. To se može videti ako seubaci x(t) = δ(t− t0) u jednacinu sinteze, cime se dobija

XWT(a, b) =1√a

∫x(t)ψ∗a,b(t)dt =

1√a

ψ∗(t0 − b

a). (156)

Pri a → 0, funkcija XWT(a, b), gledano kao funkcija promenljive b,postaje sve kraca, a apsolutna vrednost joj raste kao a−1/2.

Dirakov impuls je jedan od tipova singulariteta. Uopšteno, vred-nost signala x(t) u tacki t = t0 se naziva singularitetom reda n akon-ti izvod signala x(t) sadrži Dirakov impuls δ(t− t0).

Da bi WT dobro analizirao ove singularitete, potrebno je da vej-vlet ima prvih n momenata jednakih nuli. Za to se koristi primitivnafunkcija vejvleta, definisana kao

θ(t) :=∫ t

−∞ψ∗(τ)dτ. (157)

Primitivna funkcija n-tog reda θ(n)(t) se dobija ponavljanjem ovogpostupka n puta, a primitivna funkcija nultog reda je sam vejvlet(samo konjugovan). Kada su momenti do n-tog reda vejvleta jednakinuli, tada njegove primitivne funkcije do n-tog reda imaju kompaktannosac.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

70 vejvlet transformacija

WT se može napisati preko parcijalne integracije:

XWT(a, b) =1√a

∫x(t)ψ∗(

t− ba

)dt (158)

= [√

aθ(t− b

a)x(t)]+∞

−∞ −∫ √

aθ(t− b

a)x′(t)dt

= −∫ √

aθ(t− b

a)x′(t)dt.

Prvi clan u parcijalnoj integraciji je jednak nuli zbog kompaktnostinosaca funkcije θ(t). Ovaj postupak je moguce ponoviti n puta, i svakiput ce prvi clan u parcijalnoj integraciji biti jednak nuli.iPo završetkun-tog puta, dobice se

XWT(a, b) = (−1)n∫

an− 12 θ(n)(

t− ba

)x(n)(t)dt. (159)

Ako signal x(t) ima singularitet n-tog reda, u jednacini (159) ce sejaviti Dirakov impuls δ(t− t0), i dobice se

XWT(a, b) = (−1)nan− 12 θ(n)(

t0 − ba

). (160)

Kada a → 0, XWT(a, b) postaje skoncetrisanija oko t0, a amplituda semenja kao an− 1

2 .Ako vejvlet ima N išcezavajucih momenata, i signal sadrži singula-

ritete reda n ≤ N, analiza tog signala ce predstavljati superpozicijufunkcija (160) (slika 48).

Više o ovome se može naci u [? ].

4.1.7 WT kao banka filtara

Koristeci isti postupak kao u poglavlju za STFT, izraz (122) se moženapisati kao

XWT(a, b) =1√a

∫ +∞

−∞x(t)ψ∗(

t− ba

)dt (161)

=1√a

∫ +∞

−∞x(t)ψ∗(−b− t

a)dt (162)

= x(b) ∗ 1√a

ψ∗(−ba).

Za fiksirano a, WT se može tumaciti kao izlazni signal filtra sa im-pulsnim odzivom h(b) = 1√

a ψ∗(− ba ) (slika 49). Transfer-funkcija1 tog

filtra jeH( f ) =

√aΨ∗(a f ). (163)

Ove transfer-funkcije su prikazane na slici 50.

1 Ukoliko se ipak izabere p = 1 u (117), važice H( f ) = Ψ∗(a f ), i sve transfer-funkcijece biti istih amplituda; ovo je pogodno ako se WT želi implementirati kao bankafiltara.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.1 kontinualna wt 71

t

(a)

a-½ a½ a3⁄2 a3⁄2

b

a

(b)

Slika 48: (a) Signal sa singularitetima nultog, prvog i drugog reda i (b) njenaWT.

Slika 49: LTI model.

Kod filtara se generalno definiše faktor Q, kao odnos centralne fre-kvencije filtra i propusnog opsega filtra

Q =fc

B. (164)

pod uslovom da je propusni opseg konacan, Ako nije, može se kori-stiti neka druga mera, poput standardne devijacije. Reciprocna vred-nost ovog faktora se naziva relativnim propusnim opsegom filtra.

Relativni propusni opseg svakog vejvleta je isti, i iznosi

∆ fa

( f0)a=

∆ f /af0/a

=∆ ff0

=⇒ Q = const, (165)

gde je f0 centralna frekvencija, a ∆ f standardna devijacija roditeljskogvejvleta.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

72 vejvlet transformacija

f

Hi(f)amplitudski spektar

a11/2 Ψ*(a

1f)

a21/2 Ψ*(a

2f)

a31/2 Ψ*(a

3f)

a41/2 Ψ*(a

4f)

a51/2 Ψ*(a

5f)

. . .. . .

Slika 50: Banka filtara (a1 > a2 > a3 > a4).

f

konstantni propusni opseg (STFT)

f0

2f0

3f0

4f0

5f0

6f0

7f0

8f0

(a) STFT

ff0

2f0

4f0

8f0

konstantni relativni propusnih opseg (WT)

(b) WT

Slika 51: Particija frekvencijskog domena kod (a) STFT i (b) WT.

Podsecanja radi, STFT je predstavljao skup filtara jednakih propu-snih opsega (ili devijacija), koji su bili ravnomerno translirani po fre-kvencijskoj osi. WT, s druge strane, predstavlja skup filtara jednakogrelativnog propusnog opsega (slika 51).

4.1.8 Skalogram

Energija signala se može izracunati preko W! (W!)T kao

Ex =∫∫|XWT(a, b)|2 dadb

a2 , (166)

Skalogram, slicno spektrogramu, je moduo kvadrata WT

Sx(a, b) := |XWT(a, b)|2, (167)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.1 kontinualna wt 73

i, opet slicno spektrogramu, predstavlja gustinu energije signala ua− b ravni (u odnosu na meru dadb

a2 ).Kao primer u MATLAB-u, skalogram za dve gausijanske kompo-

nente razlicitih parametara se može videti na slici 52.

sig = atoms(128,[32,0.1,25,1;95,0.35,25,1]); % gausijanski atomi

tfrscalo(sig); % skalogram �

−0.5

0

0.5

1

Real

ni d

eo

Signal u vremenskom domenu

200400600

Linearna razmera

Spek

tral

na g

ustin

a en

ergi

je

Vreme [s]

Frek

venc

ija [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Slika 52: Morleov skalogram dva atoma.

Atom sa manjom frekvencijom ima bolju frekvencijsku rezoluciju, adrugi atom ima bolju vremensku rezoluciju.

4.1.9 Redundantnost WT

Kao i kontinualna STFT, kontinualna WT je vrlo redundantna re-prezentacija signala. I ovde važi da, ako funkcija XWT(a, b) pripadaskupu funkcija koje predstavljaju WT kvadratno-integrabilnih signalaW ⊂ L2(R2), mora važiti

XWT(a, b) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞XWT(a′, b′)K(a′, b′, a, b)

dadba2 , ∀ (a, b) ∈ R2

(168)gde je K(a′, b′, a, b) = 1

Cψ〈ψa′,b′(t), ψa,b(t)〉 tzv. WT kernel funkcija.

Obrnuto isto važi, tj, ako neka funkcija H(a, b) ∈ L2(R2) zadovo-ljava (168), onda mora postojati funkcija x(t) i vejvlet ψ(t) tako davaži H(a, b) = X(ψ)

WT(a, b).Više o ovome u Kovacevic J. [11].

4.1.10 Diskretizacija kontinualne WT

Diskretizovana WT predstavlja kontinualnu WT cije elementarnefunkcije uzimaju diskretne vrednosti parametara i b. DiskretizovanaWT se može dobiti ok kontinualne odabiranjem a− b ravni.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

74 vejvlet transformacija

Za razliku od STFT, kod WT je prirodno je da se a− b ravan odabiraneuniformno, i to tako da

• promenljiva a bude diskretizovana u intervalima am0 , a0 > 1;

• promenljiva b u intervalima nb0am0 , b0 > 0.

Rezon iza ovakvog biranja vrednosti parametara je sledeci: vejvletkome odgovara mala vrednost a = am

0 (što odgovara velikom nega-tivnom m) ce biti am

0 puta skocentrisaniji od vejvleta ψ(t) u vremenu,pa zbog toga treba uzimati male korake za translaciju. Slicno tome,za veliko a = am

0 (što odgovara velikom pozitivnom m), vejvlet ce bitiam

0 puta prošireniji od vejvleta ψ(t) u vremenu, pa se i veci koracipri translaciji koriste. Za osu promenljive a na graficima se usvajalogaritamska razmera, pošto je loga = m · loga0.

Time se dobija

ψm,n(t) =1√am

0ψ(

t− nb0am0

am0

) = a−m2

0 ψ(a−m0 t−nb0); a0 > 0, b0 > 0; m, n ∈ Z.

(169)Koeficijenti u analizi se dobijaju kao

XWT[m, n] = 〈x, ψm,n〉L2(R) = a−m2

0

∫x(t)ψ∗m,n(t)dt. (170)

Slicno kao i kod disketizovane STFT, diskretizovana WT se oslanja nateoriju okvira. WT koeficijenti koji zadovoljavaju uslove da cine okvirzadovoljavaju relaciju

AEx ≤∑m

∑n|X2

WT| ≤ BEx, (171)

gde su A > 0 i B > 0 granice okvira, i zavise od izbora parametaraa0 i b0 i konkretnog vejvleta, i to preko relacije

A ≤ π

b0 log a0

∫ |Ψ( f )|2| f | d f ≤ B (172)

Rekonstrukciona formula analogna jednacini (138), u opštem slucaju,ne postoji. Delimicna rekonstrukcija je moguca kao

x(t) =2

A + B ∑m

∑n

XWT[m, n]ψm,n(t) + e (x) . (173)

Greška e (x) postaje sve manja i manja kada odnos B/Ateži jedinici.Za A = B, okvir je cvrst, greška je jednaka nuli, i rekonstrukcionaformula se svodi na

x(t) =1A ∑

m∑n

XWT[m, n]ψm,n(t). (174)

Za A > 1, okvir je redundantan i A predstavlja meru te redundant-nosti. Za A = 1 se dobija ortonormalna baza.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.2 multirezoluciona analiza 75

Primera radi, “Fexican hat” vejvlet (4.1.1.4), diskretizovan parame-trima a0 = 21/2 ib0 = 0.5, daje vrednosti A = 13.639 i B = 13.673,ciji odnos iznosi 1.002. Za skoro sve potrebe, ovo se može prakticnosmatrati cvrstim okvirom.

saor a0 = 2, b0 = 1 se naziva dijadnim odabiranjem. Na slici 53 jeprikazana dijadna mreža odabiranja, gde je a-osa u logaritamskoj ras-podeli, a b-osa u linearnoj. Dijadno odabiranje je možda najprostije

b

log a

Wx(a,b)

Slika 53: Dijadna diskretizacija a− b ravni.

i najefikasnije odabiranje za prakticne potrebe, i vodi ka konstrukcijiortonormalne baze

{ψm,n(t) := 2−

m2 ψ(2−mt− n)

}, odnosno

∫ψm,n(t)ψ∗m′,n′(t)dt =

1 m = m′ ∧ n = n′

0 inace. (175)

Pošto za ortonormalnu bazu važi A = 1, rekonstrukcija signala je

x(t) = ∑m

∑n

XWT[m, n]ψm,n(t). (176)

Dijadno odabiranje nikako nije jedino moguce odabiranje u a − bravni. Primeri odabiranja ravni drugim faktorima a0 se mogu naciu [22, 4, 7]. Više o samoj diskretizaciji se može procitati u [1, 6].

U nastavku ce se posmatrati dijadno odabiranje.

4.2 multirezoluciona analiza

U svim slucajevima posmatranim do sad, analiza signala se vršiladirektno racunanjem relevantnih integrala za sve moguce vrednostiparametara. Oko 1986. godine se pojavio drugi metod za za analizu isintezu signala koji je potpuno rekurzivan, pa i idealan za kalkulacijena racunaru.

Metoda pocinje tako što se posmatra signal x0 := {xn}, koji predsta-vlja odabiranu verziju signala x(t), tj. xn := x(kT), i taj signal signal

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

76 vejvlet transformacija

se potom rastavlja kao x0 = x1 + d1, gde je x1 usrednjena verzija, odn.aproksimacija originalnog signala x0, a d1 signal koji predstavlja deta-lje koji su nestali tim usrednjavanjem. Postupak se može ponoviti nasignalu x1, i tako rekurzivno ponavljati., pa se na kraju može napisati

x0 = xN + d1 + d2 + . . . dN , (177)

ako je analiza uradena N puta. Sinteza signala izgleda kao da se poci-nje od neke jako grube verzije posmatranog signala (niskofrekventneaproksimacije), i dodavanjem raznih detalja (delova spektra na višimfrekvencijama) se dolazi polako do potpune rekonstrukcije signala,kao kada npr. slikar krece da crta sliku, pa od najgrubljih konturau pocetku dolazi do gotovog crteža na kraju. Pošto je rezolucija sig-nala inherentno povezana sa spektrom signala, odn. sa detaljima kojesignal može da prikaže, ova metoda je nazvana metodom multire-zolucione analize (Multiresolution Analysis - Multirezoluciona ana-liza (MRA)).

For je pocela da privlaci pažnju kada je pokazano da se signali dn

mogu predstaviti kao superpozicija vejvleta ψm,n, sa posebno izabra-nim roditeljskim vejvletom ψ koji se dobija rekurzivno koeficijentimafiltra odgovornim za gorepomenuti proces usrednjavanja. Vejvleti kojisu konstruisani ovako mogu da formiraju ortonormalnu bazu, i to savelikom slobodom pri izboru dodatnih svojstava (npr. glatkost, lokali-tet) za roditeljski vejvlet pri konstrukciji istog. Ovo je jedan od glavnihrazloga naglog rasta popularnosti vejvleta.

4.2.1 Multirezoluciona analiza i kontinualna WT

Pošto MRA i WT imaju puno dodirnih tacaka, ta veza se može uspo-staviti i kod kontinualne WT.

Ako se uzme formula (141) i ubaci se donja granica a′, dobija seaproksimacija

xa′(t) =1

∫ +∞

−∞

∫ +∞

a′XWT(a, b)ψa,b(t)

dadba2 . (178)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.2 multirezoluciona analiza 77

FT od xa′(t) glasi

Xa′( f ) = Ft→ f

{1

∫ +∞

−∞

∫ +∞

a′XWT(a, b)ψa,b(t)

dadba2

}(179)

=1

∫ +∞

−∞

∫ +∞

a′XWT(a, b)Ft→ f {ψa,b(t)}

dadba2

=1

∫ +∞

−∞

∫ +∞

a′XWT(a, b)

[√aΨ(a f )e−j2π f b

] dadba2

=1

∫ +∞

vΨ(a f )

[∫ +∞

−∞XWT(a, b)e−j2π f bdb

] √a

a2 da

=1

∫ +∞

a′Ψ(a f )

[√aX( f )Ψ∗(a f )

] √aa2 da

= X( f ) · 1Cψ

∫ +∞

a′|Ψ(a f )|2 da

a. (180)

Vidi se da je xa′(t) može posmatrati kao filtrirana verzija signala x(t),i to filtrom cija je transfer-funkcija H( f ) := 1

∫ +∞a′

|Ψ(a f )|2a da. Ovaj

integral se može napisati uz pomoc funkcije

|Φ( f )|2 :=∫ +∞

| f |

|Ψ(u)|2u

du (181)

kaoH( f ) =

1Cψ|Φ(a′ f )|2, (182)

gde se faza funkcije Φ( f ) se može proizvoljno izabrati. Funkciji Φ(a′ f )u vremenskom domenu odgovara funkcija 1

a′ ϕ(ta′ ), gde se funkcija

ϕ(t) := F−1 {Φ( f )} naziva skalirajucom funkcijom. Izraz (180) se daljemože napisati kao

Xa′( f ) = X( f )1

Cψ|Φ(a′ f )|2

=1

CψX( f )Φ∗(a′ f )Φ(a′ f ),

cemu u vremenskom domenu odgovara

xa′(t) = 1Cψ

x(t) ∗ 1a′

ϕ∗(−ta′

) ∗ 1a′

ϕ(ta′) (183)

Ako definišemo translirane i dilatirane funkcije ϕa(t) := 1√a ϕ( t

a ) i

ϕa,b(t) := 1√a ϕ( t−b

a ), gornji izraz se može napisati kao

x(t) =1

Cψa′XSC(a′, t) ∗ ϕa′(t), (184)

gde je

XSC(a′, t) := x(t) ∗ ϕ∗a′(−t) = 〈x(u), ϕa′,t(u)〉L2(R) . (185)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

78 vejvlet transformacija

FT vejvleta ima oblik transfer-funkcije filtra propusnika opsega uce-stanosti, ali ima oblik transfer-funkcije filtra propusnika niskih uce-stanosti: kada f → 0, |Φ(a′ f )| →

√Cψ, i kada f → ∞, |Φ(a′ f )| → 0.

To znaci da signal xa′(t) predstavlja niskofrekventnu aproksimaciju sig-nala x(t), i za razlicite vrednosti a′ se dobijaju razlicite aproksimacijesignala. Ako definišemo i ψa(t) := 1√

a ψ( ta ), izraz za signal x(t) se

može napisati kao

x(t) =1

∫∫XWT(a, b)ψa,b(t)

dadba2

=1

(∫ ∫ +∞

a′XWT(a, b)ψa,b(t)

dadba2 +

∫ ∫ a′

0XWT(a, b)ψa,b(t)

dadba2

)=

1Cψa′

〈x(u), ϕa′,t(u)〉 ∗ ϕa′(t) +1

∫ a′

0[〈x(u), ψa,t(u)〉 ∗ ψa(t)]

daa2

=1

Cψa′XSC(a′, t) ∗ ϕa′(t)︸ ︷︷ ︸

nisko f rekventna aproksimacija

+1

∫ a′

0[XWT(a, t) ∗ ψa(t)]

daa2︸ ︷︷ ︸

detalji

(186)

Izraz (186) govori da se signal može rekonstruisati iz dve glavne kom-ponente:

• niskofrekvetnog dela, dobijenog preko koeficijenata XSC(a′, b),koji daju aproksimaciju signala na skali a′.

• visokofrekventnog dela, dobijenog preko koeficijenata XWT(a, b),koji dodaju preostale detalje aproksimaciji na skali a′.

Za razliku od jednacine (138), gde su vrednosti faktora a išle odnule do beskonacnosti, ovde idu do a′. Ostatak je zamenjen transfer-funkcijom

√a′Φ∗(a′ f ). (slika 54).

f

transfer-funkcija skalirajuće funkcije

transfer-funkcije vejvleta kojima odgovara a < a’

. . . . . .

Slika 54: Transfer-funkcija skalirajuce funkcije ϕ(t).

Ideja koja ovde dolazi do izražaja je da se signal može analiziratina dva nacina:

1. Signal može biti analiziran pomocu vejvleta kompletno.

2. Signa može biti analiziran tako što ce jedan deo signala, kojiodgovara njegovom visokofrekventnom sadržaju, biti analizi-ran pomocu vejvleta (pošto su oni tako dobri u analizi brzih

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.2 multirezoluciona analiza 79

promena, tj. “detalja” u signalu), a drugi deo signala, koji odgo-vara njegovom niskofrekventnomengdržaju, biti analiziran po-mocu skalirajucih funkcija, koje treba da istaknu sporopromen-ljive trendove u signalu, i konstruišu njegove aproksimacije.

Više o ovome se može naci u [3, 23, 12, 15].

4.2.2 Multirezoluciona analiza i diskretizovana WT - diskretna WT

Skalirajuca funkcija ϕ(t) predstavlja glavno orude u MRA i pomocunje se konstruišu sve ostale skalirane verzije ϕm,n(t) := 2−m/2 ϕ(2−mt−n), (m, n ∈ Z) koje predstavljaju ostale elementarne funkcije, a potomse pomocu nje konstruišu vejvleti. Koeficijenti 〈x, ϕm,n〉 služe da štobolje predstave signal x(t) u okolini funkcije ϕm,n(t), što je u kontra-stu sa koeficijentima 〈x, ψm,n〉 koji predstavljaju “detalje” u signalu.Da bi se mogla kostruisati MRA, roditeljska skalirajuca funkcija ϕ(t)treba da zadovoljava nekoliko uslova2:

1. ϕ(t) je ortonormalna sa svojim transliranim verzijama

〈ϕn, ϕk〉 = δkn. (187)

Ovo se prenosi i na njene skalirane verzije

〈ϕm,n, ϕm,k〉 = δkn, ∀m ∈ Z (188)

medutim, skalirajuce funkcije pri razlicitim skalama nisu medu-sobno ortogonalne.

2. Svojstvo usrednjavanja ∫ϕ(t)dt = 1, (189)

i ovo je potrebno da bi imalo smisla posmatrati koeficijente〈x, ϕm,n〉 kao nekakve usrednjene vrednosti originalnog signalakoje treba da istaknu njegovu strukturu.Prostor koji formiraju funkcije konacne energije, a koje su obra-zovane od ortonormalnih funkcija ϕn(t) := ϕ(t− n), se nazivaprostorom V0, tj.

V0 =

{x = ∑

nxn ϕn, ||x||2 < ∞

}. (190)

Lako se pokazuje i da funkcije ϕm,n(t) onda cine prostor Vm, podistim pretpostavkama. Drugim recima, prostori Vm su skaliraneverzije prostora V0 i skup

{ϕm,n(t) := 2−

m2 ϕ(2−mt− n), n ∈ Z

}predstavlja ortonormalnu bazu u prostoru Vm, m ∈ Z. Roditelj-ska skalirajuca funkcija ϕ(t) se još naziva i ocinski vejvlet (eng.father wavelet).

2 Striktno govoreci, prva dva uslova nisu neophodna za generalni MRA tretman, alisu cesto prisutni.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

80 vejvlet transformacija

3. Prostori moraju biti ugnježdeni

Vm+1 ⊂ Vm. (191)

Ovo suštinski govori kako svaki prostor Vm sadrži informacijukoju imaju i svi ostali prostori više “razvuceni” od njega i kojisadrže funkcije koje predstavljaju grublje aproksimacije.

Multirezoluciona dijadna analiza se, dakle, može predstaviti formal-nim “cepanjem” L2(R) prostora na niz ugnježdenh potprostora Vm, m ∈Z

. . . ⊂ Vm+1 ⊂ Vm ⊂ Vm−1 ⊂ . . . ,grublje← →finije

(192)

Svojstvo ugnježdavanja ovih potprostora se može simbolicki predsta-viti skupovnim dijagramom (slika 55), gde potprostor sa manjim in-deksom predstavlja veci skup koji sadrži sve manje skupove.

V1V0V-1

Slika 55: Ugnježdeni potprostori kod MRA.

Svojstva koja karakterišu ove ugnježdene potprostore su:

1.⋂

m∈Z

Vm = V∞ = {0}.

2.⋃

m∈Z

Vm = V−∞ = L2(R).

Koeficijenti koji se dobijaju kao unutrašnji proizvod signala i skalira-juce funkcije

XSC[m, n] = 〈x, ϕm,n〉L2(R) =∫

x(t)ϕ∗m,n(t)dt, (193)

se nazivaju aproksimativnim koeficijentima. Skup aproksimativnihkoeficijenata na odredenoj skali predstavlja diskretnu aproksimaciju sig-nala na toj skali. Kontinualna aproksimacija signala na toj skali se ondadobija kao

xm(t) = ∑n

XSC[m, n]ϕm,n(t). (194)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.2 multirezoluciona analiza 81

Kontinualna aproksimacija signala se približava originalnom signalukako skale postaju sve manje, tj. xm(t)→ x(t) (m→ −∞).

Od grublje aproksimacije do finije se može doci “dodavanjem de-talja” grubljoj aproksimaciji. Ti “detalji” moraju biti funkcije koje nepripadaju trenutnom prostoru Vm, ali su ono što je potrebno da bise došlo do aproksimacije signala u sledecem prostoru Vm−1. Tomesluže WT koeficijenti i vejvleti na skali m. Analogno jednacini (194),detalji signala na odredenoj skali se definišu kao

dm(t) = ∑n

XWT[m, n]ψm,n(t). (195)

Zbir aproksimacije signala i detalja signala na odredenoj skali ce pro-izvesti bolju aproksimaciju signala

xm−1 = xm + dm = ∑n

XSC[m, n]ϕm,n(t) + ∑n

XWT[m, n]ψm,n(t). (196)

Prateci ovu logiku, originalni signal može biti rekonstruisan kao

x(t) = limm→−∞

xm = xm(t) + dm + dm−1 + . . . = xm(t) +m

∑k=−∞

dk(t).

(197)U kontekstu prethodno opisanih ugnježdenih prostora, sve funkcijekoje se nalaze u prostoru Vm−1 i van prostora Vm cine prostor Wm kojipredstavlja (ortogonalni) komplement prostoru Vm (slika 56)

Vm

Wm

Vm-1

Slika 56: Wm prostor.

Wm = V⊥m ={

f ∈ Vm−1| 〈 f , ϕm,n〉L2(R) = 0, ∀n ∈ Z}

. (198)

Svaka funkcija koja pripada prostoru Vm−1 se može napisati kao su-perpozicija funkcija iz skupova Vm i Wm

Vm−1 = Vm ⊕Wm. (199)

Za razliku od razlicitih prostora Vm, svi prostori Wm su medusobnoortogonalni, tj. važi Wm⊥Wj, ∀m 6= j.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

82 vejvlet transformacija

Kao posledica identiteta (199), prostor L2(R) se može napisati i kao

L2(R) = V0︷ ︸︸ ︷V1︷ ︸︸ ︷

V2︷︸︸︷...

⊕W2

⊕W1

⊕W0 ⊕W−1 ⊕W−2 ⊕ . . . (200)

= . . .⊕W2 ⊕W1 ⊕W0 ⊕W−1 ⊕W−2 ⊕ . . . . (201)

Drugim recima, važiL2(R) =

⊕n∈Z

Wn, (202)

U prostoru Wm, skup funkcija{

ψm,n(t) := 2−m2 ψ(2−mt− n), n ∈ Z

},

koje se se nazivaju vejvletima, cine ortonormalnu bazu u njemu. Uzi-majuci u obzir i (202), skup

{ψm,n(t) := 2−

m2 ψ(2−mt− n), m, n ∈ Z

}cini ortonormalnu bazu za prostor L2(R).

4.2.2.1 Jednacina dilatacije

Pošto važi V0 ⊂ V−1, funkcija ϕ(t) se može napisati kao

ϕ(t) = ∑n∈Z

hn√

2ϕ(2t− n), (203)

odn., u opštijem obliku za Vm ⊂ Vm−1

ϕm,n(t) = ∑k∈Z

hk ϕm−1,2n+k(t)

Ova jednacina se naziva jednacinom dilatacije.Slicno tome, pošto važi i W0 ⊂ V−1, može se napisati

ψ(t) = ∑n∈Z

gn√

2ϕ(2t− n), (204)

odn., u opštijem obliku za Wm ⊂ Vm−1

ψm,n(t) = ∑k∈Z

gk ϕm−1,2n+k(t) (205)

4.2.2.2 Uslovi za koeficijente hn i gn

Svi uslovi koje treba da ispunjavaju bazne funkcije ϕ(t) i ψ(t) semogu izraziti preko koeficijenata iz jednacina (203) i (204). Uslovi subili

1.∫

ϕ(t)dt = 1

2. 〈ϕn, ϕk〉 = δkn

3.∫

ψ(t)dt = 0

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.2 multirezoluciona analiza 83

4. 〈ψn, ψk〉 = δkn

5. 〈ϕn, ψk〉 = 0

Korišcenjem jednacine dilatacije za skalirajuce funkcije uz prvi uslovse dobija uslov

∑n∈Z

hn =√

2. (206)

Korišcenjem jednacine dilatacije za vejvlete uz treci uslov se dobijauslov

∑n∈Z

gn = 0. (207)

Korišcenjem jednacine dilatacije uz drugi uslov se dobija uslov

∑n∈Z

hnh∗n−2m = δ0m. (208)

Zanimljivo je razmotriti ovaj uslov u frekvencijskom domenu. Ako sedefiniše funkcija p[n] = h[n] ∗ h[−n], onda je jasno da se jednacina(208) može napisati kao

p[2m] = δ0m. (209)

Ova jednacina u z-domenu glasi

12

[P(z1/2) + P(−z1/2)

]= 1, (210)

gde je P(z) zed transformacija funkcije p[n], tj. P(z) = Z{p[n]} =

H(z)H(z−1), tako da se dobija

H(z1/2)H(z−1/2) + H(−z1/2)H(−z−1/2) = 2, (211)

odn.H(z)H(z−1) + H(−z)H(−z−1) = 2. (212)

Zamenom z = ej2π f se dobija

|H( f )|2 + |H( f − 12)|2 = 2. (213)

Ovaj uslov govori da je spektralna gustina energije signala h[n] takvada ona i njena verzija pomerena za 1/2 udesno (ili ulevo) sabrane dajukonstantu 2 (slika 57). Pokazuje se da uslov (208) garantuje ortonor-malnost skalirajucih funkcija na bilo kom nivou skale, a ne samo nanultom, tj, da važi 〈ϕm,n, ϕm,k〉 = δk

n, ∀m ∈ Z.Identicnim postupkom, korišcenjem jednacine dilatacije uz cetvrti

uslov se dobija∑

n∈Z

gng∗n−2m = δ0m, (214)

i u z-domenu

G(z)G(z−1) + G(−z)G(−z−1) = 2. (215)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

84 vejvlet transformacija

|H(f )|2 |H(f-½)|2

2

0

Slika 57:

Ovaj uslov takode je dovoljan za bilo koji novi skale, tj. da važi 〈ψm,n, ψm,k〉 =δk

n, ∀m ∈ Z. Medusobna ortogonalnost na razlicitim skalama je ta-kode na snazi usled same specificne strukture ovih potprostora, kaošto je objašnjeno ranije. Poslednji uslov za koeficijente se dobija izpetog uslova i jednacine dilatacije, i glasi

∑n∈Z

hng∗n−2m = 0. (216)

Postupkom od ranije se u z-domenu dobija relacija

H(z)G(z−1) + H(−z)G(−z−1) = 0. (217)

Ako se funkcija G(z) izabere kao

G(z) = ±(

z−PH(−z−1

)), (218)

odn. u frekvencijskom domenu

G( f ) = ±(

e−j2π f PH∗(

f − 12

)). (219)

Zamenom u jednacine (215) i (217) se lako pokazuje da su oba uslovazadovoljena pod uslovom da je broj P neparan. U vremenskom do-menu, ovo znaci da su koeficijenti gn definisani kao

gn := ±((−1)n hP−n

).

Ubacivanjem ovako definisanih koeficijenata u uslov (207) se dobija

∑n∈Z

(−1)n hP−n = 0 = ∑n∈Z

(−1)n hn. (220)

Ovaj uslov je zadovoljen jer proizilazi iz jednacine (213), tj. posle-dica je ortonormalnosti skalirajucih funkcija. Drugi nacin da se izraziuslov (220) u literaturi je da je suma parnih koeficijenata i neparnihkoeficijenata jednaka

∑n∈Z

h2n = ∑n∈Z

h2n+1 =1√2

. (221)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.2 multirezoluciona analiza 85

Ako skalirajuca funkcija u jednacini dilatacije ima kompaktan nosacna intervalu t ∈ [0, N − 1], i ako su translirane verzije ϕ(t− k) line-arno nezavisne, onda je broj koeficijenata hn konacan i iznosi N. Akoje N paran broj, koeficijenti gn se mogu pogodno izabrati kao

gn = (−1)n hN−1−n. (222)

U tom slucaju, usled uslova (206) i (208), broj stepena slobode zaniz hn je N/2− 1. To znaci da je moguce jedinstveno izabrati tolikokoeficijenata dok su ostali odredeni automatski.

4.2.2.3 Brza vejvlet transformacija i interpretacija pomocu banke filtara

Brza vejvlet transformacija (eng. fast wavelet transform) je ime za re-kurzivni algoritam za dobijanje koeficijenata XSC i XWT. Ona proizi-lazi iz cinjenice da važi

〈x, ϕm,n〉 = 〈xm, ϕm,n〉 , (223)

što znaci da nije potrebno znati originalni signal x(t) vec samo nje-govu prethodnu aproksimaciju da bi se dobili koeficijenti na grubljojskali. Isto važi i za vejvlet koeficijente, tj.

〈x, ψm,n〉 = 〈xm, ψm,n〉 . (224)

Ako se u jednacini (193) iskoristi jednacina dilatacije, dobija se

XSC[m + 1, n] =∫

x(t)ϕ∗m+1,n(t)dt

=∫

x(t)

(∑

k∈Z

hk ϕm,2n+k(t)

)∗dt

= ∑k∈Z

h∗k

(∫x(t)ϕ∗m,2n+k(t)dt

)(225)

= ∑k

h∗k XSC[m, 2n + k]

= ∑k

XSC[m, k]h∗k−2n. (226)

Slicno tome, vejvlet koeficijenti na sledecoj grubljoj skali se mogu do-biti kao

XWT[m + 1, n] = ∑k∈Z

XSC[m, k]g∗k−2n. (227)

Reiteracijom ovog postupka se mogu dobiti koeficijenti i na sledecimskalama. Ovaj postupak se naziva MRA dekompozicionim algorit-mom i predstavlja prvi deo Fast Wavelet Transform - Brza vejvlettransformacija (FWT).

Koristeci jednacinu (196) i jednacinu dilatacije, može se dobiti inver-zni postupak. Naime, signali na finijoj skali se mogu razložiti na dva

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

86 vejvlet transformacija

nacina: ili u bazi za taj prostor ili kao kombinacija baza za njegovepotprostore

xm−1 = ∑n∈Z

XSC[m− 1, n]ϕm−1,n(t) (228)

= xm + dm

= ∑n∈Z

XSC[m, n]ϕm,n(t) + ∑n∈Z

XWT[m, n]ψm,n(t)

= ∑n

XSC[m, n]

(∑

khk ϕm−1,2n+k(t)

)+ ∑

nXWT[m, n]

(∑

kgk ϕm−1,2n+k(t)

)

= ∑n

XSC[m, n]

(∑

khk−2n ϕm−1,k(t)

)+ ∑

nXWT[m, n]

(∑

kgk−2n ϕm−1,k(t)

).(229)

Izjednacavanjem koeficijenata uz funkcije ϕm−1,n(t) u jednacinama(228) i (229) se dobija

XSC[m− 1, n] = ∑k∈Z

XSC[m, k]hn−2k + ∑k∈Z

XWT[m, k]gn−2k. (230)

Ovo je MRA rekonstrukcioni algoritam i on predstavlja drugi deoFWT.

Jednacine FWT, odn. jednacine (225), (227), (228) i (229) su speci-ficne po tome što njihova forma podseca na konvoluciju izmedu ko-eficijenata h[·] i g[·] i koeficijenata XSC[·, ·] i XWT[·, ·]. Tacnije, FWTalgoritam za analizu signala se može predstaviti kao filtriranje koefi-cijenata XSC[m, n] antikauzalnim filtrima H(z−1) i G(z−1) (slika 58a),dok FTW algoritam za sintezu koeficijenata može da se predstavi kaofiltriranje kauzalnim3 filtrima (slika 58b). Pošto je u pitanju rekur-zivan algoritam, kaskadom ovih filtera se mogu dobiti koeficijentiXSC[·, ·] i XWT[·, ·] na sve grubljim i grubljim skalama (slika 59 ).

4.2.2.4 Inicijalizacija

Potrebno je da se krene od nekih koeficijenata XSC[·, ·], nad ko-jima ce FWT biti vršena. Obicno se krece od aproksimacije signala uprostoru V0, odn. krece se od koeficijenata XSC[0, ·]. Ti koeficijenti seformalno dobijaju formulom

XSC[0, n] = 〈x, ϕn〉 (231)

=∫

x(t)ϕ∗(t− n)dt (232)

= x(t) ∗ ϕ(−t)|t=n, (233)

što sugeriše da je za pravilnu inicijalizaciju FWT potrebno da se kon-tinualni signal x(t) propusti kroz filtar sa impulsnim odzivom ϕ(−t)i da se izlazni signal odabira u celobrojnim trenucima (slika 60). Prak-

3 Striktno govoreci, nije neophodno da filtri budu kauzalni (pa ni njihove verzije zaanalizu antikauzalne), ali je uvek pogodnije da budu kauzalni, te je to pretposta-vljeno i ovde.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

4.2 multirezoluciona analiza 87

H(z-1)

XSC[m,n]

XSC[m+1,n]

G(z-1)XWT[m+1,n]

2

2

(a) FWT analiza.

H(z)

XSC[m,n]

XSC[m+1,n]

G(z)XWT[m+1,n]

2

2

(b) FFWT sinteza.

Slika 58: FWT interpretacija preko filtara.

H(z-1)

XSC[m,n]

G(z-1)

2

2

H(z-1)

G(z-1)

2

2

H(z-1)

G(z-1)

2

2

XWT[m+1,n]

XWT[m+2,n]

XWT[m+3,n]

XSC[m+1,n]

XSC[m+3,n]

XSC[m+2,n] . . .

(a) FWT analiza.

H(z)

G(z)XWT[m+3,n]

2

2

2 H(z)

G(z)XWT[m+2,n]

2

H(z)

XSC[m,n]

G(z)XWT[m+1,n]

2

2

XSC[m+3,n]

XSC[m+2,n]

XSC[m+1,n]

. . .

(b) FFWT sinteza.

Slika 59: FWT kaskadna veza.

ticno posmatrano, medutim, vrlo je teško da se konstruiše analognifiltar sa takvim impulsnim odzivom. Zbog toga, u praksi se koristiaproksimacija

XSC[0, n] = x(nT), (234)

koja, naravno, nije tacna za opšti izbor skalirajuce funkcije4 ϕ(t). I po-red toga, ova aproksimacija se cesto koristi u praksi jer se oslanjamona cinjenicu da je aproksimacija signala x0(t) cesto slicna samom sig-nalu x(t) u vremenskim trenucima t = nT.

4 Medutim, jeste tacna za izbor ϕ(t) = sin(πt)πt .

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

88 vejvlet transformacija

H(z-1)

XSC

[0,n]

XSC

[1,n]

G(z-1)X

WT[1,n]

2

2

h(t) = φ(-t)

t=n

x(t)

. . .

Slika 60: FWT inicijalizacija i prvi stepen.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

5K VA D R AT N E R A S P O D E L E

Zblah

89

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

Deo III

P R A K T I C N A A P L I K A C I J A M E T O D A

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

6V E J V L E T I I E K G

Zblah

93

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

Deo IV

D O D ATA K

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

AP R O Z O R S K A F U N K C I J A

Prozorska funkcija je definisana na sledeci nacin: ako funkcija w(t) ∈L2(R), ‖w(t)‖2 6= 0, i tw(t) ∈ L2(R), onda se w(t) naziva prozorskomfunkcijom.

Znacaj oblika i dužine prozorske funkcije se može videti i na pri-meru prostih signala. Neka se uzme da je prozorska funkcija pravou-gaoni impuls1 dužine T

w(t) = rect(t/T). (235)

FT takve prozorske funkcije je

W( f ) = Tsinc(π f T). (236)

Ova funkcija ima svoje nule na frekvencijama fk =kT , k ∈ Z/ {0} .

Posmatrace se dve kompleksne sinusoide x1(t) = ej2π f1t i x2(t) =

ej2π f2t ( f2 > f1), i uticaj prozorske funkcije w(t) na njih. Amplitudskispektar kompleksne sinusoide x1(t) pomnožene sa w(t) bice apso-lutna vrednost funkcije W( f ) pomerene za f1, što važi i za amplitud-ski spektar sinusoide x2(t).

Oblik sinc(·) funkcije se sastoji iz glavnog i iz bocnih lukova. Kodspektra prve (ili druge) kompleskne sinusoide pomnožene ovim pro-zorom, glavni luk jasno govori da je prisutna komponenta u signaluna f1 ( ili f2), dok ostali bocni lukovi unose neželjene pikove i oscila-cije.

Ako se posmatra signal koji je zbir ove dve kompleksne sinusoide,odgovarajuca FT ce biti zbir dve dobijene sinc(·) funkcije. Individu-alne frekvencije ovih sinusoida se nece moci razlikovati ukoliko nijeispunjeno da je | f1 − f2| > 1

T (slika 61).

T = .02; % parametar T u prozorskoj funkciji

Ts = .001;

t = -100:.Ts:100; % vremenski vektor

w = heaviside(t+T/2)-heaviside(t-T/2); % prozorska funkcija

f1 = 150; s1 = exp(j*2*pi*f1*t); % prva sinusoida

f2 = 225; s2 = exp(j*2*pi*f2*t); % druga sinusoida

s = s1 + s2; % zbir

s1_w = s1.*w;

s2_w = s2.*w;

s_w = s.*w;

1 rect(t) ,

1, |t| ≤ 12

0, inace.

97

[16. januar 2013 at 13:48 - classicthesis version 4.1 ]

98 prozorska funkcija

N = length(s1);

fs = 1/Ts;

f = (-N/2:N/2-1)*fs/N;

S1_W = fft(s1_w);

plot(f,fftshift(abs(S1_W)),’b’); hold on;

S2_W = fft(s2_w);

plot(f,fftshift(abs(S2_W)),’r’); hold on;

S_W = fft(s_w);

plot(f,fftshift(abs(S_W)),’--k’); hold on;

set(gca,’YTick’,[]);

xlabel(’$Frekvencija$ $[Hz]$’,’interpreter’,’latex’);

xlim([0 375]);

legend(’f_1 = 150 Hz’,’f_2 = 225 Hz’,’f_1 + f_2’) �

0 50 100 150 200 250 300 350Frekvencija [Hz]

f1 = 150 Hz

f2 = 225 Hz

f1 + f

2

Slika 61: Prozorska Furijeova transformacija dve kompleksne sinusoide.

Situacija postaje komplikovanija za bilo koji realni signal sa komplek-snijim frekvencijskim sadržajem. Prozorska funkcija koja se koristi nanjemu se mora pažljivo izabrati ako se žele uspešno detektovati razli-cite spektralne komponente u signalu.

Zbog ovakvih i drugih situacija su definisani kriterijumi po kojimase uporeduju prozorske funkcije (slika 62). Da bi se smanjio rizik odpogrešnih detekcija usled bocnih lukova, upotreba pravougaonog pro-zora nije preporucljiva, vec je bolje je koristiti prozore cija je relativnaamplituda bocnih lukova A što manja. S druge strane, pravougaoniprozor ima najmanji 3dB opseg, što znaci da ima najuži glavni luk.Ovo je bitno pošto, ako je glavni luk preširok, bice teško razaznati bli-ske komponente u signalu usled stapanja pikova. Na kraju, poželjnoje i da FT prozorske funkcije asimptotski opada što brže (odnosno, dared r funkcije W( f ) = O(| f |−r) bude što veci), da bi se sprecilo daspektralna komponenta visoke amplitude zamaskira okolne kompo-nente manje amplitude. Na slici 63 su prikazane karakteristike neko-liko cesto korišcenih prozorskih funkcija.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

prozorska funkcija 99

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−25

−20

−15

−10

−5

0

5

f

glavni luk

−3 dB3dB-ski propusni opseg

A = −13 dB

|W(f)|2

bočni lukovi

|W(0)|2/

Slika 62: Prozorska funkcija sa oznacenim kriterijumima.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

100 prozorska funkcija

Factor curenja spektra: 0.01 % Relativna atenuacija bočnih lukova: -44.9 dB Širina glavnog luka (-3dB): 0.085938

5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Semplovi

Am

plit

ud

a

Gausijan

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-80

-60

-40

-20

0

20

40

Normalizovana Frekvencija (×π rad/sempl)

Am

plit

ud

a (d

B)

Frekvencijski domain

5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Semplovi

Am

plit

uda

Hamming-ov prozor

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-80

-60

-40

-20

0

20

40

Normalizovana frekvencija (×π rad/sempl)

Am

plit

uda (

dB

)

Frekvencijski domen

Factor curenja spektra: 0.04 % Relativna atenuacija bočnih lukova: -41.8 dB Širina glavnog luka (-3dB): 0.078125

Factor curenja spektra: 0.27 % Relativna atenuacija bočnih lukova: -26.6 dB Širina glavnog luka (-3dB): 0.078125

5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Semplovi

Am

plit

uda

Trougaoni prozor

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Normalizovana Frekvencija (×π rad/sempl)

Am

plit

uda (

dB

)

Frekvencijski domen

Factor curenja spektra: 9.12 % Relativna atenuacija bočnih lukova: -13.2 dB Širina glavnog luka (-3dB): 0.054688

5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Semplovi

Am

plit

uda

Pravougaoni prozor

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Normalizovana Frekvencija (×π rad/sempl)

Frekvencijski domen

Factor curenja spektra: 0.05 % Relativna atenuacija bočnih lukova: -31.5 dB Širina glavnog luka (-3dB): 0.085938

5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Semplovi

Am

plit

uda

Hann-ov prozor

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Normalizovana Frekvencija (×π rad/sempl)

Am

plit

ude (

dB

)

Frekvencijski domen

Factor curenja spektra: 0 % Relativna atenuacija bočnih lukova: -58.2 dB Širina glavnog luka (-3dB): 0.10156

5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Semplovi

Am

plit

uda

Blackman-ov prozor

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Normalizovana frekvencija (×π rad/sempl)

Am

plit

uda (

dB

)

Frekvencijski domen

Slika 63: Prozorske funkcije (dužine 32 odbirka) i njihove transformacije.

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

B I B L I O G R A F I J A

[1] Paul S. Addison. The Illustrated Wavelet Transform Handbook: In-troductory Theory and Applications in Science, Engineering, Medicineand Finance. Institute of Physics Publishing, 2002. (Citiran nastrani 75.)

[2] J. Allen. A unified approach to short-time fourier analysis andsynthesis. Proceedings of the IEEE, 65:1558 – 1564, 1977. (Citiranna strani 50.)

[3] François Auger. Time-Frequency Analysis: Concepts and Methods.ISTE Ltd, John Wiley & Sons, Inc., 2008. (Citiran na stranama 42,45, 63, 64, and 79.)

[4] I. Bayram and I.W. Selesnick. Overcomplete discrete wavelettransforms with rational dilation factors. Signal Processing, IEEETransactions on, 57:131–145, 2009. (Citiran na strani 75.)

[5] B. Boashash. Estimating and interpreting the instantaneous fre-quency of a signal. i. fundamentals. Proceedings of the IEEE, 80(4):520–538, 1992. (Citiran na strani 18.)

[6] I. Daubechies. Ten Lectures on Wavelets. Society for Industrial &Applied Mathematics, 1992. (Citiran na stranama 63 and 75.)

[7] B. Han. Symmetric orthonormal scaling functions and waveletswith dilation factor 4. Advances in Computational Mathematics, 8

(3):221–247, 1998. (Citiran na strani 75.)

[8] Gerald Kaiser. A friendly Guide to Wavelets. Birkhauser, 1994.(Citiran na strani 63.)

[9] T.L. Kijewski-Correa. Full-scale measurements and system identifica-tion: A time-frequency perspective. PhD thesis, University of NotreDame, 2003. (Citiran na strani 18.)

[10] Chebira A. Kovacevic J. An introduction to frames. Foundationsand Trends in Signal Processing, 2:1–94, 2008. (Citiran na strani 44.)

[11] Vetterli M. Kovacevic J. Fourier and Wavelet Signal Processing.2012. URL http://www.fourierandwavelets.org/. (Citiran nastrani 73.)

[12] Peter Maass Kristian Bredies, Dirk A. Lorenz. Mathematical con-cepts of multiscale smoothing. (Citiran na strani 79.)

101

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]

102 bibliografija

[13] J.M. Lilly and S.C. Olhede. On the analytic wavelet transform. In-formation Theory, IEEE Transactions on, 56(8):4135–4156, 2010. (Ci-tiran na strani 18.)

[14] JM Lilly, J.C. Gascard, et al. Wavelet ridge diagnosis of time-varying elliptical signals with application to an oceanic eddy.Nonlinear Processes in Geophysics, 13(5):467–483, 2006. (Citiran nastrani 18.)

[15] Stephane Mallat. A Wavelet Tour Of Signal Processing: The SparseWay. Academic Press, 2009. (Citiran na strani 79.)

[16] Y. Meyer. Wavelets and Operators. Cambridge University Press,1993. (Citiran na strani 63.)

[17] M. Motavalli. Assessing different methods of deriving instanta-neous frequency including stft, wavelet, emd-ht, and gpof. 2006.(Citiran na strani 18.)

[18] R. Polikar. The story of wavelets. Physics and modern topics inmechanical and electrical engineering, pages 192–197, 1999. (Citiranna strani 4.)

[19] A.D. Poularikas. Transforms and applications handbook, volume 43.CRC, 2000. (Citiran na stranama 16 and 69.)

[20] T.F. Quatieri. Discrete-time speech signal processing: principles andpractice. Pearson Education India, 2002. (Citiran na strani 50.)

[21] S. Saliu. Definition of instantaneous frequency on real signals.In Proceedings of European Signal Processing Conference, pages 343–346, 2000. (Citiran na strani 18.)

[22] Y. Shouzhi, S. Yanfeng, and L. Youfa. A class of compactly sup-ported orthogonal symmetric complex wavelets with dilation fac-tor 3. Acta Mathematica Scientia, 32(4):1415–1425, 2012. (Citiranna strani 75.)

[23] Hans-Georg Stark. Continuous wavelet transform and continu-ous multiscale analysis. Journal of Mathematical Analysis and Ap-plications, 169:179–196, 1992. (Citiran na strani 79.)

[24] Z.Y. Su, C.C. Wang, T. Wu, Y.T. Wang, and F.C. Tang. Instanta-neous frequency–time analysis of physiology signals: The appli-cation of pregnant women’s radial artery pulse signals. PhysicaA: Statistical Mechanics and its Applications, 387(2):485–494, 2008.(Citiran na strani 18.)

[ 16. januar 2013 at 13:48 – classicthesis version 4.1 ]