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von Jasmin Boeß
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Gliederung
Wozu benötigen wir Determinanten? Herleitung der Cramer‘schen Regel Was ist eine Determinante? Cramer‘sche Regel (2x2 Matrizen) Übungsbeispiele Regel von Sarrus Cramer‘sche Regel (3x3 Matrizen) Übungsbeispiele
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Wozu benötigen wir Determinanten? zum Lösen von Gleichungssystemen Gauss-Verfahren
Bsp: 2x1 – 3x2 = 5 | *7
7x1 + 5x2 = 9 | *2
2x1 - 3x2 = 5
- 31x2 = 17
x2 = 17/-31 x1 = 52/31
-
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Herleitung der Cramer‘schen Regel
(2x2 Matrix)I: a11x1 + a12x2 = b1 | *a22
II: a21x1 + a22x2 = b2 | *a12
Ia: a11a22x1 + a12a22x2 = a22b1
IIa: a21a12x1 + a22a12x2 = a12b2
a11a22x1 – a21a12x1 = a22b1 – a12b2
x1(a11a22-a21a12) = a22b1 – a12b2
x1 =
Ia – IIa
a22b1 – a12b2
a11a22-a21a12
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Herleitung der Cramer‘schen Regel
(2x2 Matrix)I: a11x1 + a12x2 = b1 | *a21
II: a21x1 + a22x2 = b2 | *a11
Ia: a11a21x1 + a12a21x2 = a21b1
IIa: a21a11x1 + a22a11x2 = a11b2
a22a11x2 – a12a21x2 = a11b2 – a21b1
x2(a22a11-a12a21) = a11b2 – a21b1
x2 =a11b2 – a21b1
a22a11-a12a21
IIa – Ia
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Was ist eine Determinante? Definition
Eine Determinante ordnet einer
(n;n)-Matrix A eindeutig eine reelle
oder komplexe Zahl det A zu.
Schreibweise
● =a11a22-a12a21
a11 a12
a21 a22
+-
=> Determinante
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Cramer‘sche Regel
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
X1 =
X2 =
a22b1 - a12b2
a11a22 - a21a12
a11b2 - a21b1
a22a11 - a12a21
• inhomogene Gleichungssysteme; LGS mit genau einer Lösung
x1 =a11a22 - a21a12
b1a22 - b2a12=
b1 a12
b2 a22
a11 a12
a21 a22
x2 = =a11b2 - a21b1
a11a22 - a12a21
a11 b1
a21 b2
Cramer‘sche Regel
a11 a12
a21 a22
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Übungsbeispiel
2x1 – 3x2 = 5
7x1 + 5x2 = 9
x1 =
5 -39 5
2 -37 5
=5*5-(-3)*9
2*5-(-3)*7=
52
31
x2 =
2 57 9
=2*9-5*7
2*5-(-3)*7=
17
31-
Zähler: Ergebnis + anderer x-WertNenner: Koeffizienten der x-Werte
2 -37 5
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11x1 - 13x2 = 20
5x1 - 12x2 = 1
7x1 + 7x2 = 10
rx1 - rx2 = 1
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11x1 - 13x2 = 20
5x1 - 12x2 = 1
x1 = = =
x2 = = =
20 -13 1 -12
11 -13 5 -12
20*(-12)-(-13)*1
11*(-12)-(-13)*5
227
67
11 20 5 1 11*1-20*5 89
6711 -13 5 -12
11*(-12)-(-13)*5
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7x1 + 7x2 = 10
rx1 - rx2 = 1
x1 = = = =
x2 = = =
10 7 1 -r
7 7 r -r
10*(-r)-7*1
7*(-r)-7*r
-10r-7
-14r
7 10 r 1 7*1-10*r -10r+7
7 7 r -r
7*(-r)-7*r
10r+7
14r
-14r
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Regel von Sarrusa11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
- + + +
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
- a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33
- -
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x1 =1
D
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
x2 =1
D
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
x3 =1
D
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
D =a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Cramer‘sche Regel
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Übungsbeispiel
3x1 + 5x2 - 7x3 = 46x1 + 4x2 - 12x3 = 93x1 - 3x2 - 6x3 = 2
x1 =1
D
4 5 - 79 4 -122 -3 - 6
D =3 5 - 76 4 -123 -3 - 6
=
x2 =1
D
3 4 - 76 9 -123 2 - 6
=
x1 =1
D
3 5 46 4 93 -3 2
=
30
155
15
30
=31
6
=
=
1
2
60
302
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x1 + x2 + x3 = 10
5x1 + 7x2 - 9x3 = 11
3x1 + 2x2 - 25x3 = 30
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x1 + x2 + x3 = 10
5x1 + 7x2 - 9x3 = 11
3x1 + 2x2 - 25x3 = 30
x1 =1
D
10 1 111 7 - 930 2 -25
=
x2 =1
D
1 10 15 11 - 93 30 -25
=
x1 =1
D
1 1 105 7 113 2 30
=
-70
-1753
1092
-70
=1753
70
=
=
-78
5
-39
-70
D =1 1 15 7 - 93 2 -25
39
70
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Quellen
Analytische Geometrie mit linearer Algebra; Lambacher Schweizer; S. 18 + 19
http://www.mathe-online.at/ materialien/klaus.berger/files/Matrizen/determinante.pdf
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