Volumende revolucin Introduccin . Un slido de revolucin es una regin del espacio generada por la rotacin de una regin plana en torno a una recta (eje de rotacin). Estudiaremos a continuacin el problema del volumen determinado por dichas regiones. 1. METODO DE LOS DISCOS Seauna funcin continua: en esta seccin trateremos el problema de definir el volumen del solido generado por la regin R limitada por la curva y=f(x) y las rectas x=a ,x=b e y=0 , al rotar en torno al eje x . Sea una subdivisin arbitraria del intervaloy sean ydefinidos como: Entonces como el volumen generado por el rectngulo de base y altura al rotar en torno al eje xes, se tendra que el volumen de todos estos discos est dado por Por otro lado , si consideramos los discos circunscritos , vemos que el correspondiente volumen es Por otro lado , como la funcin f es continua , tambin lo es ,de modo que la expresin Existe y es el nico nmero real que cumple con la desigualdad: Paratoda particin P. Es por consiguiente natural definir como volumen del slido en cuestin Para poder entender bien estas frmulas debes saber que stas se ocupan para calcular el volumen de cualquier funcin que te den al hacer rotar en cualquier eje que te pidan. Ahora te diremos los pasos que debes seguir para poder resolver los ejercicios que te daremos ms adelante 1.-Debes saber graficar la funcin dada en el ejercicio 2.-Debes tener claro en que eje te piden hacer rotar la funcin 3.-Tener una idea de cmo ser el volumen pedido 4.-Debes tener en cuentaentre qu intervalos te piden el volumen de la funcin 5.-Recin ahora puedes aplicar la frmulaObservacin: Si quieres calcular el volumen generado por la funcin f(x) cuando rota en torno al eje x y usando esta frmula debes hacer: 1.-Buscar la funcin inversa de f(x) 2.-Encontrar el dominio de esta nueva funcin (debes encontrar los nuevos lmites de la grfica) 3.-La frmula quedar de la siguiente manera: MTODO DE LOS ANILLOS El objetivo de este mtodo es el de hallar una expresin para el volumen del slido de revolucin generado por la regin R, pero ahora al rotar en torno al eje y Supongamos que una funcin continua y Una divisin arbitraria del intervalo consideremos la particin intermediaen donde es el punto medio del subintervalo .Esto es . La suma de todos estos anillos corresponde a la suma de Riemann de la funcin.Por consiguiente se sigue que si la norma de la particin P tiende a cero , la suma de los volmenes de todos los anillos es necesariamente : Consideremos el rectngulo de basey altura.Si hacemos rotar este rectngulo en torno al eje y claramente se forma un anillo cuyo volumen esta dado por : Para poder entender bien como se emplea esta frmula, debes saber que sta se ocupa para calcular el volumen de cualquier funcin que te den y al hacerla rotar en cualquier eje que te pidan . Ahora te diremos los pasos que debes seguir para poder resolver los ejercicios que te daremos ms adelante . 1.-Debes saber graficar la funcin dada en el ejercicio 2.-Debes tener claro en que eje te piden hacer rotar la funcin 3.-Tener una idea de cmo ser el volumen pedido 4.-Debes tener en cuentaentre qu intervalos te piden el volumen de la funcin 5.-Recin ahora puedes aplicar la frmula Observacin :si quieres calcular el volumen de la funcin f(x) cuando rota en torno al eje x y usando esta formula debeshacer. 1)buscar la funcin inversa de f(x) 2)Encontrar el dominio de esta nueva funcin (debes encontrar los nuevos lmites de la funcin) 3)La frmula estar de la siguiente manera: Mtodo de los discos Ejercicio1)Calcule el volumen generado por la funcin f(x)= entre a=-y b= Esta es la grfica correspondiente a f(x),entre los intervalos mencionados: Este grfico corresponde al slido generado a f(x):Desarrollo .(Por frmula se tiene que:) Ejercicio 2) Calcule el volumen generado por la funcinf(x)=,limitadas por las cotas,a=1 y b=e sta es la grfica f(x). El volumen generado por esta grfica es aprximadamente un cono centrado en el eje x DESARROLLO Esta integral se puede resolver por el mtodo de integracin por parte. EJERCICIOS RESUELTOS (Mtodo de los anillos) Ejercicio 3) Calcular el volumen que se forma al girar en el eje y la funcin, , en el intervalo Grfica de la funcin DesarrolloAplicando la formula del mtodo de los anillos tenemos lo siguiente.: OBSERVACIN :Para resolver este ejemplo por el mtodo de los discos, los rectngulos deben tomarse perpendiculares al eje y .Cada uno sera un disco.Para hallar el radio de este disco habra que resolver x como una funcin de y. Ejercicio 4) Calcular el volumen de una esfera de radio1, para calcular el volumen de esta esfera usaremos el mtodo de los anillos , para la grfica de una semicircunferencia que gira en torno al eje x. sto es para que se den cuenta que este mtodo no slo sirve para calcular el volumen de funciones que giran en el eje yGrfica de la funcin. La grfica paracorresponde a lo graficado en el primer cuadrante ,pero lo proyectaremos para as esta grfica final hacerla rotar en el eje x El volumen generado por la semicircunsferencia corresponde a una esfera de radio 1. DESARROLLO:Es sabido por todos que el volumen de una esfera de radia a es. Si al trmino de este ejercicio llegamos a este resultado, estaremos en lo correcto.Aplicando la formula tenemos lo siguiente : Largo del anillo. Radio del anillo. Haciendo un cambio de variableTenemos lo siguiente Ejercicio5) Calcula el volumen de una esfera de radio r. Notamosqueparadeterminarelvolumendeuna esfera de radio r podemos rotar la semicircunferencia El Volumen ser entonces: Nota: Sepodrahaberrecurridoaunargumentodesimetray duplicarelresultadodelarotacindeuncuartode circunferencia. EJERCICIO 6) - Calcula el volumen de un toro macizo o toroide, cuyos radios son r y R. Solucin: Sinperdidadegeneralidad,podemosgenerareltoroide rotando la circunferencia Recurriendoalasimetradelproblemapodemosrotarla parte superior de la circunferencia y duplicar el resultado. Rotaremos entonces la cscara externa ylerestaremoselresultadodelarotacindelacscara interna Podemos representar el volumen entonces como: Estaintegralrepresentaelreadeuncuartode circunferencia de radio r, por lo que es con lo que el volumen es: EJERCICIO 7) - La regin R limitada por las graficas de las ecuaciones. gira alrededor del eje Y. Determine el volumen del solid de revolucin as generado. Solucin: Usaremoselmtododelosdiscos,paralocualnecesitamos expresar ambas funciones en trminos de la variable independiente y. EJERCICIO 8) - Calcula el volumen del cuerpo generado al girar la regin limitada por yalrededor del eje Y. Solucin: Porlaformadelproblema,sehacemasadecuadoresolverlo mediante el mtodo e cascarones o capas cilndricas. Esbozamosungraficoparadeterminarloslmitesde integracin: Esbozamos un grafico para determinar los lmites de integracin: El Volumen es entonces: EJERCICIO9)-Uncuerpotienebasecircularderadio1. Lasseccionestransversalesparalelas,perpendicularesala base, son cuadrados. Calcula el volumen del cuerpo. Solucin: En este caso usaremos secciones transversales sabiendo que El rea de un corte ser. Por lo tanto integramos en el dominio y calculamos el volumen: EJERCICIO10)-Calculaelvolumendeunmarraquetoide elptico. Solucin: Encadapuntodelaelipsedelafigura,seencuentraun crculo de radio y, generndose el marraquetoide. EJERCICIO11)-Calculaelvolumendeuncasquetepolar de radio r y altura hSolucin: Elcasquetesegeneraraalgirarpartedelacircunferenciaen tornodelejeY(Enestecaso,esequivalenteacalcularel readeunaseccintransversal)Podemosexpresarsu volumen como: EJERCICIO 12) - Calcula el volumen del toroide calculado anteriormente, pero usando el Teorema de Pappus Solucin: El centroide del crculo es: Entonces el volumen ser: