volume7 asservissements robustes

7/27/2019 VOLUME7 Asservissements robustes

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asservis Systmes

Volume 7

Asservissements robustes

J.-M. Allenbach

Ecole dIngnieurs de Genve N X

Edition 2006Laboratoire dAutomati ue


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Asservissements robustes Table des matires

Jean-Marc Allenbach TM1 040901

TABLE DES MATIRES

7 RGULATEURS

7.7 RGULATEURS GNRALISS7.7.1 Rgulation polynomiale 7187.7.2 Rgulation RST 718

8 DIMENSIONNEMENT DE RGULATEURS

8.5 CRITRES SUR LA RPONSE HARMONIQUE EN BOUCLEFERME8.5.3 Critre H 85s1

8.8 RGLAGE ROBUSTE8.8.1 Incertitude du modle 8.818.8.2 Stabilit robuste 8.818.8.3 Performance 8.828.8.4 Synthse par faonnage de boucle 8.858.8.5 Exemple 8.868.8.6 Remarques 8.888.8.7 Vrifications 8.898.8.8 Faonnage en boucle ferme 8.810

11 RGLAGES CHANTILLONNS

11.5 RGULATEURS11.5.2 Autres rgulateurs 1130s1

11.8 RGLAGE ROBUSTE11.8.1 Faonnage en boucle ouverte 11.8111.8.2 Vrifications 11.8311.8.3 Faonnage en boucle ferme 11.8311.8.4 Autres fonctions de sensibilit 11.84

11.8.5 Dimensionnement algbrique 11.85


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Asservissements robustes Table des matires

Jean-Marc Allenbach TM2 040901

BIBLIOGRAPHIE

[1] H.BHLER: Conception de systmes automatiques, PPUR, Lausanne.[2] H.BHLER:Electronique de rglage et commande, PPUR, Lausanne.

[3] L.MARET:Rgulation automatique, PPUR, Lausanne.[4] H.BHLER: Systmes chantillonns I, PPUR, Lausanne.[5] H.BHLER: Systmes chantillonns II, PPUR, Lausanne.[6] J.NEYRINCK: Thorie des circuits et systmes, PPUR, Lausanne.[7] GILLE,DECAULNE ET PELEGRIN: Thorie et calcul des asservissements linaires,

Dunod, Paris.[8] M.ROSSI: Simulation d'un essieu moteur, EPFL/LEI, Lausanne.[9] O.FLLINGER:Regelungstechnik, Hthig.

[10] B.C.KUO:Automatic Control Systems , Prentice-Hall.[11] E.JUCKER:Equations fondamentales des micromoteurs courant continu avec rotor

sans fer, Portescap, La Chaux-de-Fonds.[12] L.POVY:Identification de processus, Dunod, Paris.[13] L.MARET:Rgulation automatique 2, Eivd, Yverdon.[14] J.-M.ALLENBACH:Rglage de systme retard pur, EIG/LAE, Genve.[15] J.-M.ALLENBACH:Rglage de systme instable, EIG/LAE, Genve.[16] C.T.CHEN:Analog & Digital Control System Design, Saunders HBJ.[17] W.A.WOLOWICH:Automatic Control Systems, Saunders HBJ.[18] B.C.KUO:Digital Control Systems, Saunders HBJ.[19] M.RIVOIRE,J.-L.FERRIER: Cours d'automatique, Eyrolles, Paris.[20] R.LONGCHAMP: Commande numrique de systmes dynamiques , PPUR, Lausanne.

[21] F. DE CARFORT,C.FOULARD:Asservissements linaires continus, Dunod, Paris.[22] P.NASLIN:Les rgimes variables dans les systmes linaires et non linaires, Dunod,

Paris.[23] W.OPPELT:Kleines Handbuch technischer Regelvorgnge, Verlag Chemie GMBH.[24] E.GROSCHEL:Regelungstechnik, R. Oldenburg, Mnchen et Wien.[25] F.MILSANT:Asservissements linaires analyse et synthse, Dunod, Paris.[26] H.GASSMANN:Einfhrung in die Regelungstechnik, Harri Deutsch, Thun[27] M.KUNT: Traitement numrique des signaux, PPUR, Lausanne.[28] DIVERS PROFESSEURS: Cours de mathmatique, EIG, Genve.[29] DIVERS PROFESSEURS:Electronique, EIG, Genve.

[30] J.W.HELTON,O.MERINO: Classical Control Using H Methods, Siam,Philadelpia,1998.

[31] J.B. DECORZENT:Rglage robuste d'ordre non entier, diplme EIG, Genve, 1996.[32] A.OUSTALOUP:La commande CRONE, Herms, Paris, 1991.[33] M.ETIQUE:Rgulation automatique, eivd, Yverdon,2003.[34] M.ETIQUE:Rgulation numrique, eivd, Yverdon,2003.[35] J.W.HELTON,O.MERINO: Classical Control Using H Methods, Siam,

Philadelpia,1998.[36] H. BHLER:Rglage par mode de glissement, PPUR, Lausanne.[37] I.-D.LANDAU: Commande des systmes, Lavoisier, Paris,2002.

[38] I.-D.LANDAU: Commande des systmes,http://www-lag.ensieg.inpg.fr/landau/bookIC/index.html.

[39] H.PROCHAZKA: User's Guide for Pole Placement MasterMATLAB, LAG, Grenoble, 2003


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Asservissements linaires SAth77

Jean-Marc Allenbach 718 030117

7.7 RGULATEURS GNRALISS

7.7.1 Rgulation polynomialePour certaines applications, on a recours un rgulateur gnralis, dont la fonction de

transfert est un quotient de polynmes.

Fig. 7.25 Rgulateur polynomial: symbole.

On rappelle encore la rflexion du paragraphe 7.5.4: un rgulateur n'est ralisable quesi le degr du dnominateur est suprieur ou gal celui du numrateur.

7.7.2 Rgulation RSTPour obtenir un comportement diffrent pour une variation de consigne ou une pertur-

bation, on peut appliquer un filtre polynomial sur la consigne: on obtient le rgulateur RST.

Fig. 7.26 Rgulateur RST: symbole.

Les rgulateurs dcrits dans cette section sont certes ralisables de manire analogiquepour des degrs de polynmes pas trop levs, en mettant en cascade des rgulateurs AP, RPet PI, mais le domaine d'application des rgulateur polynomiaux est surtout celui desrgulateurs chantillonns (ch.11).

+

ucmw S s

R s

( )

( )

+

ucmw S s

R s

( )

( )

+

ucmw S s

R s

( )

( )

T s

S s

( )

( )


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Asservissements linaires Dimensionnements

Jean-Marc Allenbach 838s1 031011

8.5.3 Synthse par la mthode HLes tapes de cette mthode sont dcrites en s'appuyant sur la structure gnrale de la

figure 8.1, avec un systme rgler avec son organe de commande connus par la fonction de

transfert Gs(s) et un systme global en boucle ferme dont on ne connat pas la fonction de

transfert Gcf(s) ni celle du rgulateurGR(s).

1. Traduction des contraintes sur le systme global sous forme d'un gabarit frquentiel.2. Etablissement d'une fonction de transfert optimise Gcf(s) qui s'inscrit au mieux dans le

gabarit.

3. Calcul de la fonction de transfert du rgulateur polynomial et causal correspondant.

G sG s

G s G sRcf

cf s

( )( )

( ( )) ( )=

1(8.101)

4. Optimisation de la fonction de transfert du rgulateur par compensation ple-zro afin derduire son ordre.

On dcrit ensuite chaque tape en dtail.

GABARIT

Pour exprimer les contraintes dans le plan frquentiel, il faut tenir compte de

l'algorithme de construction de la rponse harmonique en boucle ferme Gcf(j) bas sur un

gabarit form de "tubes" dans l'espace tridimensionnel Re(Gcf(j)) Im(Gcf(j)) .

Pour dterminer le dpassement maximalD1, on a prcdemment nonc le critre de

la marge de phase M qui s'applique la seule pulsation 1. On veut modifier le critre pour

qu'il s'applique toutes les pulsations: on dfinit alors la marge radiale rM (en anglaisgain-

phase margin): la distance minimale qui doit sparer le point critique 1 de la rponse

harmonique en boucle ouverte pour toutes les pulsations.

r G jM = +min(| ( ) |)0 1 (8.102)

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

rM

M

|G0(j)|

+1/AM1

Fig. 8.51 Marge radiale, marge de gain et marge de phase dans le plan de Nyquist.

On peut tablir une relation approximative entre marge de phase et marge radiale pourdes fonction de transfert comportement intgral.


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M [] rM D1[%]

76 0,85 0

63,5 0,75 4,3

54,5 0,7 10

45 0,6 16,3

39 0,55 20

Fig. 8.52 Marge radiale et marge de phase : valeurs remarquables.

Pour obtenir un certain type de comportement dynamique limitant le dpassement

D1, il suffit de respecter la condition (8.103).

| ( ) |G j r0 1 + M (8.103)

On peut sans grande difficult algbrique traduire cette condition pour la rponse

harmonique en boucle ferme.

| ( )|11

=G jr

rcfM

r (8.104)

-2

0

2

10

1

-1

0

1

2

3

Re(Gcf(j)) rr

Im(Gcf(j)

Fig. 8.53 Marge radiale pour la rponse harmonique en boucle ferme.

La rponse harmonique en boucle ferme doit s'inscrire dans un cylindre de rayon rrconstant autour de 1+0j pour tout . Interprt dans un diagramme de Bode habituel, cette

condition ce traduit par la condition (8.105). Cette description est cependant moins claire.

1

180

+

r G j

r G j

r cf

r cf

| ( )|

arctan( ) arg( ( ))

(8.105)

La contrainte d'cart statique nul peut tre traduite par une rponse harmonique

voisine de 1 pour les petites valeurs de . On prcise que les pulsations infrieures min

admettent un cart infrieur emax.

| ( )| min1 G j e pour cf max (8.106)

La contrainte du temps de rponse tr 5 % s'exprime de manire trs semblable.


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| ( )| ,1 0 051

G j pour tcf r

(8.107)

Enfin, on exprime la contrainte de la bande passante: on veut que les pulsations

suprieures b soient fortement attnues pour viter la gne apporte par le bruit ou lesindtermination du systme ( 8.3.1). On demande un gain proche de zro, en tout cas

infrieur b.

| ( )|G j pour cf b b (8.108)

On peut encore donner d'autres contraintes frquentielles [35]. On se propose

d'illustrer le propos par un exemple de systme donn par sa fonction de transfert.

G ss s ss

( )( , )( , )( , )

=+ + +

1

1 0 3 1 0 08 1 0 015(8.109)

On demande que le systme asservi n'admette pas d'cart statique, que le temps de

rponse sur la rponse indicielle soit infrieur 100 [ms] et le dpassement infrieur 5 %.

Pour les pulsations suprieures 1000 [s1], on demande une attnuation d'un facteur 100. On

dfinit d'abord le gabarit de la rponse harmonique en boucle ferme Gcf(j).

1 0 05 10

1 1 33

0 01 103

G j

G j

G j

cf

cf

cf

( ) ,

( ) ,

( ) ,

(8.110)

Si on peut trouver des algorithmes numriques qui calculent la fonction de transfertqui s'inscrit dans le gabarit [35]; on a ici recours une construction manuelle.

100

101

102

103

104

-600

-400

-200

0

200

Phase[degrs]

( 87.1769 , -90 )

100

101

102

103

104

100

Frquence [radians/s]

Amplitude

( 87.1769 , 1.8198 )

Fig. 8.54 Rponse harmonique en boucle ferme inscrite dans le gabarit: premier essai pour (8.109).


10/40



On a procd par ttonnements, en ajoutant petit petit des ples et des zros. On

obtient la fonction de transfert voulue pour le systme asservi.

G ss s

s s s s s s s scf( )

, , ,

, , , , , , , ,=

+ +

+ + + + + + + +

3 510 1 4 10 1 7510

2 46 10 2 510 1 3510 3 6 10 4 96 10 3 7 10 1 43 10 1 74 10

15 2 17 18

8 3 7 6 6 9 5 11 4 13 3 15 2 17 18

(8.111)

On calcule le rgulateur par l'quation (8.101), puis on vrifie en simulation le

comportement dynamique avec le systme (8.109).

0 0.05 0.1 0.15 0.2

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

( 0.11639 , 0.95 )

Fig. 8.55 Rponse indicielle du systme (8.109) avec le rgulateur calcul par la fonction de transferten boucleferme (8.111).

Le rsultat ne correspond vraiment pas aux attentes: le dpassement est beaucoup plus

important que celui qu'on voulait, mme le temps de rponse est un peu plus long que celui du

chier des charges. On se rend compte que l'interprtation du tube centr en 1 n'est pas

vidente en reprsentation usuelle de Bode: le rayon de 1,33 permet bien un module

maximum de 2,33, mais pour une phase de 0. Pour une phase de 90 par exemple, un

simple calcul trigonomtrique montre qu'on est alors limit |Gcf(j)| < 0,8 alors que le choix

des ples la figure 8.54 conduit un module de 1,82 qui est donc hors gabarit, mme si onne le voit pas bien sur la reprsentation plane.

On a affich la figure 8.56 la position des ples et zros du rgulateur. On constate,

en particulier sur le dtail de droite, qu'un des ples est situ dans la partie droite du plan

complexe. Ce n'est pas li au nonrespect du gabarit, mais la mthode de dimensionnement

qui ne garantit pas la stabilit intrinsque du rgulateur, mme si celle du systme complet

est, elle, garantie. Il semble peu raisonnable de rgler un systme naturellement stable avec un

rgulateur instable pour obtenir un systme rgl stable. On peut donc tre amen retoucher

la rponse harmonique initiale pour obtenir un rgulateur stable. Mme si on calcule le

systme boucl par des mthodes manuelle de prfrence la mthode empirique utilise ici,

on ne peut pas garantir la stabilit intrinsque du rgulateur.


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-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

Real Axis

Imag

Axis

Pole zero map

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

-15

-10

-5

0

5

10

15

Real Axis

Imag

Axis

Pole zero map

Fig. 8.56 Ples et zros du rgulateur calcul par la fonction de transferten boucle ferme (8.111).

On reprend donc la synthse manuelle de la rponse harmonique en boucle ferme.

pour viter une fausse interprtation, on peut s'aider du facteur de rsonance Qr (5.18), qui

vaut, selon le tableau 6.A, 1 pour un dpassement de 5 %. Aprs quelques ttonnements pour

garantir un rgulateur stable, on obtient une nouvelle rponse harmonique.

100

101

102

103

104-600

-400

-200

0

Fr uence radians/s

Phase[degrs]

100

101

102

103

104

100

Fr quence [radians/s]

Am

plitude

Fig. 8.57 Rponse harmonique en boucle ferme inscrite dans le gabarit: deuxime essai pour (8.109).

On en tire le rgulateur appropri. Pour allger la prsentation, on utilise une criture

un peu abusive:s + a b j = (s + a + b j )(s + a b j ).

G ss s s j s

s s j s j s j sR( )

, ( . )( , )( )( , )

( , )( , , )( , , )( )( )=

+ + + +

+ + + + +

8 712 10 3 333 12 5 20 5 66 67

0 5 18 2 6 82 89 6 915 501 500 1000

10

(8.112)

On vrifie le comportement dynamique.


12/40



0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

( 0.088609 , 1.041 )

( 0.06544 , 0.95 )

Fig. 8.58 Rponse indicielle du systme (8.109) avec le rgulateur (8.112).

Le comportement est cette fois conforme au cahier des charges, le lger cart statique

s'explique par un ple d'intgration en 0,5 au lieu d'tre exactement en 0. Cependant, on peut

essayer de diminuer la complexit du rgulateur. On peut supprimer le ple le plus gauche

et compenser la paire de zros complexes par la paire de ple trs voisine.

G s s s ss s j s j

R( ) ( . )( , )( , )( , )( , , )( )

= + + ++ + + 11 10 3 333 12 5 66 67

0 5 89 6 91 5 501 500

7

(8.113)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

( 0.073 , 1.0461 )

( 0.0567 , 0.95 )



13/40



On peut encore corriger le ple le plus droite pour qu'il soit plus voisin de zro. On ajuste

aussi trs lgrement le gain.

G ss s s

s s j s jR( )

, ( . )( , )( , )

( , )( , , )( )=

+ + +

+ + +

10 5 10 3 333 12 5 66 67

0 05 89 6 915 501 500

7

(8.114)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

( 0.075797 , 1.0408 )

( 0.058442 , 0.95 )


Si cette mthode est trs satisfaisante sur le plan thorique, puisqu'on faonne la

rponse harmonique en boucle ferme pour rpondre au performances souhaite, la mise enuvre est assez laborieuse.

On peut reprendre l'exemple trait prcdemment ( 8.3.7 et 8.4.4). On limite le

premier dpassement 5 % et on exige un temps de rponse infrieur 420 [ms], sans cart

statique.

G ss

s s s ss( )

( , )

( , )( , )( , )( , )=

+

+ + + +

3 1 0 3333

1 0 5 1 0 4 1 0 2 1 0 1(8.115)

Le cahier des charges, auquel on ajoute l'attnuation d'un facteur 100 pour lespulsations suprieures 100 [s1] donne le profil suivant.

1 0 05 1 0 42

1 1 33

0 01 102

G j

G j

G j

cf

cf

cf

( ) , / ,

( ) ,

( ) ,

(8.116)

On essaye de placer deux ples conjugus complexes dfinis par la valeur = 3/0,42

et l'galit des parties imaginaire et relle. On ajoute encore un ple rel ngatif de grand

module.


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100

101

102

-300

-200

-100

0

Ph

ase[degrs]

100

101

102

103

100

Fr quence [radians/s]

Amplitude

Fig. 8.61 Rponse harmonique en boucle ferme inscrite dans le gabarit: systme rgler (8.115).

Cela correspond bien ce qu'on veut, on peut vrifier le comportement dynamique

pour le rgulateur calcul.

G ss s s s

s s s sR( ) ,

( )( , )( )( )

( , )( )( , )( , )=

+ + + +

+ + + +40 6

2 2 5 5 10

0 03 3 15 5 98 8(8.117)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

( 0.45495 , 1.034 )

( 0.31683 , 0.95 )


Le rsultat avec un rgulateur polynomial (RS) d'ordre 4, en tout cas pour une

variation de consigne, est meilleur qu'avec un PID dimensionn dans le lieu des ples ou par

la rponse harmonique en boucle ouverte. On peut encore rapprocher le premier ple de zro

pour rduire l'cart statique.


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Jean-Marc Allenbach 8.81 040123

8.8 RGLAGE ROBUSTE

8.8.1 Incertitude du modleDans les dimensionnements de rgulateur, on a tenu compte des performances

recherches pour le systme rgl et on a admis jusqu'ici que le systme rgler tait connu

par sa fonction de transfert. On a soulign multiples reprises que les systme n'est connuqu'approximativement, mais sans en tenir compte explicitement dans les calculs. On se

propose donc d'intgrer dans les calculs le fait qu'un systme de fonction de transfert

inconnue Gs(s) est connu peu prs par la fonction de transfert modlise Gs0(s).

On peut exprimer unprofil d'incertitude W2 en fonction de la frquence [33].

W jG j G j

G j2( )

( ) ( )

( )

=s s0

s0(8.801)

10-1

100

101

102

103

10-2

10-1

100

W2

Fig. 8.801 Profil d'incertitude: exemple.

On peut interprter le profil d'incertitude comme suit: La rponse harmonique Gs(j)

se situe l'intrieur d'un tube de rayon |W2 Gs0(j)| autour de la rponse harmonique Gs0(j)

modlise. On retrouve, applique de manire un peu diffrente, la notion "H" de tube djintroduite prcdemment ( 8.5.3).

8.8.2 Stabilit robusteOn a dfini la stabilit dans le plan de Nyquist pour un systme connu par sa rponse

harmonique en boucle ouverte ( 6.3.1): le systme asservi est stable si on laisse le point "1"

sur la gauche en parcourant la rponse harmonique en boucle ouverte dans le sens des

pulsations croissantes. On rappelle que la fonction de transfert en boucle ouverte est obtenue

par le produit de la fonction de transfert du rgulateur avec celle du systme rgler.

G s G s G so R s( ) ( ) ( )= (8.802)

Il faut tenir compte de l'incertitude et dfinir la valeur "nominale" Go0 en boucle

ouverte partir du modle Gs0 du systme.

G s G s G so0 R s0( ) ( ) ( )= (8.803)


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On sait que les rgulateurs dimensionns d'aprs un modle mathmatique fonction

de transfert ne produisent pas forcment un rglage robuste. On dfinit la robustesse comme

l'insensibilit du comportement du systme asservi face des variations des paramtres du

processus rgler. Un systme rgl est robuste si ses ples et ses zros bougent trs peu lors

d'une volution du processus (usure, vieillissement, environnement thermique, ...). Pour tenir

compte de l'incertitude, on doit adapter la dfinition en spcifiant que le point "1" doit trelaiss gauche une distance |W2 Go0(j)| de la rponse harmonique nominale Go0(j).

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

|W2 Go0(j)|

|Go0(j)|

1

Fig. 8.802 Stabilit robuste dans le plan de Nyquist.

La condition destabilit robuste s'nonce en affirmant que la distance du point "1"

la courbe de rponse harmonique nominale doit tre suprieure au rayon d'incertitude, pourles pulsations de 0 .

= + 1 1 2G j G j W G jo0 o0 o0( ) ( ) ( ) (8.804)

On peut traduire la condition de stabilit robuste pour la boucle ferme en divisant

(8.804) par la rponse harmonique nominale en boucle ouverte.

1 12

G j

G j

G jW j

cf0

o0

o0( )

( )

( )( )

=+

(8.805)

Ou encore.

1 2 G j W jcf0 ( ) ( ) (8.806)

8.8.3 PerformanceOn a dj dfini la marge radiale rM comme la plus courte distance entre la rponse

harmonique et le point "1" ( 8.5.3). Il est aussi clair qu'on souhaite que cette distance soit

trs grande idalement infinie lorsque la pulsation tend vers zro.

On se propose ici d'tendre ce concept un rayon W1 qui est une fonction de . Il est

clair que le minimum de cette fonction est bien la marge radiale [34].


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-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

W1(x)

|Go(j)|

1

+|Go(jx)|

Fig. 8.803 Rayon de performance dans le plan de Nyquist.

1

( rM , rM )

W1

Fig. 8.804 Profil de performance dans le plan de Bode.

La condition de performance est que la distance du point "1" la rponse harmonique

soit toujours suprieure la fonction de performance W1, pour toutes les pulsations.

1 1+ G j Wo ( ) ( ) (8.807)

On retrouve bien les notions tablies prcdemment ( 8.5.3): une distance trs leve

faible pulsation pour garantir un cart statique trs petit, une distance minimale ne pas

franchir et une distance qui tend vers 1 pour les pulsations leves, lorsque la rponse

harmonique en boucle ouverte tend vers 0. Idalement, il faudrait une pente de 1 basse

pulsation pour garantir un cart statique nul ( 7.3.2), et mme une pente de 2 pour les trs

petites pulsations pour favoriser une rapide correction de l'effet d'une perturbation ( 8.3.4).

La rapidit de convergence vers 1 aux pulsations leves sera choisie en fonction du systme

et de son environnement : pulsations du systme conserver et pulsations de bruit attnuer.


18/40



On a calcul la marge radiale et la pulsation correspondante rM en fonction du

rapport de pulsation 1/c, ce qui permet de se raccrocher au tableau 6A pour tablir le profil

de performance en fonction du cahier des charges du systme rgl.

0.1 0.2 0.5 1 2 5 100

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1rM

1

c

Fig. 8.805 Marge radiale en fonction du rapport de pulsation.

0.1 0.2 0.5 1 2 5 10

0.10.2

0.5

1

2

5

0.1 0.2 0.5 1 2 5 10

0.10.2

0.5

1

2

5

1

c

rM

c

Fig. 8.806 Pulsation de marge radiale en fonction du rapport de pulsation.


19/40



8.8.4 Synthse par faonnage de bouclePour atteindre une performance robuste d'un rglage, il faut la fois respecter

simultanment la condition de stabilit robuste et le profil de performance. On peut interprter

cette double condition par l'exigence que pour toutes les valeurs de pulsation, le cercle

d'incertitude et le cercle de performance soient disjoints, voire tangents.

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

W1

|Go0(j)|

1

|W2Go0(jx)|

+ |Go0(jx)|

Fig. 8.807 Performance robuste dans le plan de Nyquist.

Pour garantir une performance robuste, la distance entre le point "1" et la rponse

harmonique doit tre infrieure la somme des rayons de performance et d'incertitude.

1 1 2+ + G j W W G jo0 o0( ) ( ) ( ) ( ) (8.808)

On doit donc construire une rponse harmonique Go0(j) qui satisfait la condition de

stabilit robuste. Pour faciliter le calcul, on procde l'approximation du module de la somme

selon l'habitude dsormais tablie par le plus grand de ses deux termes.

G j W W G j G j

W W G j G j

o0 o0 o0

o0 o0

pour petit

pour , grand

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( )

+

1 2

1 2

1

1 1(8.809)

On peut rcrire ces conditions en mettant la rponse harmonique Go0(j) en vidence.

G jW

WG j

G jW

WG j

o0 o0

o0 o0

pour petit

pour , grand

( )( )

( )( ),

( )( )

( )( )

1

2

1

2

11

11

(8.810)

On fera passer la rponse harmonique Go en boucle ouverte entre les limites fixes, en

s'arrangeant de franchir l'horizontal de module 1 avec une pente de 1. On procdera par

adjonction successive de ples et de zros en ajustant chaque fois le gain, jusqu' ce que la

rponse harmonique s'insre notre satisfaction. On appelle cette tape le faonnage de

boucle ouverte (en anglais loop shaping).


20/40



1

10-2

10-1

100

101

102

1W1W2

W1 .. . 1 W2

G o0

Fig. 8.808 Performance robuste dans le plan de Bode.

Il ne reste plus qu' extraire la fonction de transfert du rgulateur.

G sG s

G sRo0

s0( )

( )

( )= (8.811)

Comme le suggre l'quation (8.811), le rgulateur compense les ples et zros du

systme rgler et contient ceux qu'on a imposs lors du faonnage de boucle. Avant la

ralisation, on peut tre appel faire un compromis: si le systme rgler compte des

racines complexes conjugues fortement oscillatoire, on corrigera celles du rgulateur en

adoptant la mme pulsation propre, mais un meilleur facteur d'amortissement. Il y a lieu aussi

d'tre vigilant lorsque le retour n'est pas unit ou lorsque la grandeur rgle n'est pas

exactement celle qu'on mesure ( 8.3.6).

8.8.5 ExempleOn reprend le systme bien connu:

G ss

s s s ss( )

( , )

( , )( , )( , )( , )=

+

+ + + +

3 1 0 3333

1 0 5 1 0 4 1 0 2 1 0 1(8.812)

On limite le premier dpassement 5 % et on exige un temps de rponse infrieur

420 [ms], sans cart statique.

On calcule d'abord le profil de performance.

D r1 5 0 77 % ,M (8.813)

rM cr

= 187 6

181

,,

[ ]t

s (8.814)

Pour garantir une bonne immunit aux perturbations, on place une pente de 2 aux

basses frquences, sachant bien qu'aux trs basses frquences, on ne pourra pas avoir un gainaussi lev que celui qu'on voudrait.


21/40



100

101

102

100

101

( 18.0657 , 0.76814 )

100

101

102

100

101

( 18.0657 , 0.76814 )

W1

Fig. 8.809 Performance pour le cahier des charges donn.

On admet qu'on connat le processus 10 % prs basse frquence, 5 % prs au

voisinage des pulsation 1 [s1

], puis se dgrade avec une pente de 1 (fig. 8.801). Pour les trs

hautes frquences, on ajoute un ple pour avoir une fonction causale qui permet les calculs

avecMATLAB.

Pour que la rponse harmonique s'insre dans le gabarit, on choisit deux petits ples

pour garantir une pente de 2 aux pulsations basses, plutt que l'intgration pure peu raliste.

On choisit encore deux ples trs grands pour garantir une bonne coupure haute pulsation et

un zro aux environs de rM/16 pour avoir une pente de 1 rM. On ajuste ensuite le gain

pour avoir un module de 1 pour une pulsation un peu infrieure rM, thoriquement 1. On

vrifie encore que le passage au module 1 se fasse bien avec une pente de 1.

G ss

s s s s0

61 5 10 1

0 01 0 1 200 500( )

, ( )

( , )( , )( )( )=

+

+ + + +(8.815)

10-1

100

101

102

103

10-2

10-1

100

101

102

1W1 W2

W1 .. . 1 W2

G 0

Fig. 8.810 Rponse harmonique en boucle ouverte faonne.


22/40



On calcule le rgulateur en divisant la fonction de transfert tablie ci-dessus par celle

du systme rgler.

G ss s s s s

s s s s s

s s s s s

s s s s s

R( )( )( )( , )( )( )

( , )( , )( )( )( )

, , , ,

,

=+ + + + +

+ + + + +

=+ + + + +

+ + + + +

60001 2 2 5 5 10

0 01 0 1 3 200 500

50004 10 8 2 10 0 57 1 69 2 2 1

3 33 10 23 340 1037 1103 1

3 5 2 4 3 2

3 5 4 3 2

(8.816)

On obtient bien un rgulateur stable et causal, d'ordre 5. Comme on pouvait s'en

douter, on voit apparatre comme ples les zros du systme rgler et les ples imposs par

le faonnage de boucle et comme zros les ples du systme rgler et les zros imposs.

Toutes les racines tant relles, il n'y a pas lieu de prendre de prcautions particulires en

rduisant le comportement oscillatoire du rgulateur. On vrifie le comportement dynamique.

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

( 0.37673 , 1.0439 )

( 0.16017 , 0.95 )

Fig. 8.811 Rponse indicielle du systme (8.8.5a) avec le rgulateur (8.8.5e).

8.8.6 RemarquesIl faut noter que le systme rgler doit tre connu avec une faible incertitude au

voisinage de 1, pour garantir un comportement dynamique conforme celui souhait. En

effet, une dformation locale de la rponse harmonique a plus de consquence dynamique

dans cette zone de pulsation. Si le systme subit de grandes variations dans le domaine des

frquences moyennes, le dimensionnement ne pourra plus tre totalement robuste et on devra

se contenter de maintenir soit le comportement oscillatoire, soit la rapidit, mais plus les deux

simultanment. Une stratgie possible est expose au chapitre 13.

Tant dans la notion d'incertitude que dans celle de performance, on parle de la distance

|1+Go(j)| entre la rponse harmonique et le point 1. On peut aussi dfinir la fonction de

sensibilit S(j).

S s

G s

G s

G s

E s

W s

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=

+

= =1

1 o

cf

o

(8.817)


23/40



On peut dire que l'inverse de la distance |1+Go(j)| exprime aussi la relation entre

l'cart de rglage et la consigne exprime dans le domaine harmonique. On peut encore

exprimer la sensibilit comme le rapport des variations relatives du systme asservi et du

processus seul [34].

S s

G sG s

G s

G s

( )

d ( )( )

d ( )

( )

=

cf

cf

s

s

(8.818)

Le rgulateur robuste obtenu par faonnage de boucle est un rgulateur polynomial

(RS) d'ordre parfois lev. Pour la ralisation, on fera souvent appel de prfrence des

rgulateurs digitaux, plus faciles implmenter (sect. 11.8).

8.8.7 VrificationsLors du faonnage de boucle, on a approxim la condition (8.808) de la performancerobuste pour les faibles et le hautes pulsations (8.810). On a ensuite fait passer la rponse

harmonique en boucle ouverte entre ces limites (Fig. 8.808). Avant d'implmenter le

rgulateur ainsi dimensionn, il convient de vrifier que la condition (8.808) est bien

respecte dans toute la gamme de pulsations. On peut rcrire cette condition en la divisant par

|1+Go(j)| (8.819). On peut mme l'exprimer en fonction de la sensibilit (8.820).

| ( )|

( )| ( )| ( )

W

G jW G j

12

11

++

ocf (8.819)

| ( )|| ( )| | ( )| ( )W S j W G j1 2

1 + cf

(8.820)

On peut faire tracer la fonction dcrite en (8.819) et vrifier qu'elle est effectivement

infrieure 1. Si tel n'est pas le cas, il faudra retoucher un peu la fonction de transfert en

boucle ouverte dans la zone de pulsation o la condition est transgresse. On peut encore

vrifier les conditions (8.807) et (8.806).

Pulsation [s

]

-10

-5

0

10

-2

10

0

10

2

10

4

10

50

10

20

30

40

Module [dB]

Arg. []

Fig.8.812 Condition de performance robuste en boucle ferme pour l'exemple (8.815).


24/40



8.8.8 Faonnage en boucle ferme

Il est aussi possible de faonner la boucle ferme, un peu comme on l'a fait au

paragraphe 8.5.3, mais en dfinissant le gabarit selon les exigences de performance robuste. Il

faut traduire la condition (8.810) pour la rponse harmonique en boucle ferme. A hautes

pulsations, la rponse harmonique est infrieure 1, donc la rponse harmonique en boucleferme en est trs proche. A ces pulsations, la condition de performance robuste est la mme

en boucle ouverte et en boucle ferme. A faibles pulsations, la rponse harmonique en boucle

ferme est voisine de 1.

G j

G jW

W

cf

cf

pour petit

pour grand

( )

( )

1 1

2

(8.821)

On fait ensuite passer la rponse harmonique dans le gabarit. Ici, on a choisi une paire

de ples 5 5j et 100.

10-1

100

101

102

10-2

10

-1

100

101

Gcf1W1

W2

Fig. 8.813 Faonnage en boucle ferme.

On calcule la fonction de transfert du rgulateur.

G s

G s

G s G sRcf

cf s( )

( )

( ( )) ( )= 1 (8.822)

On trouve le gain, les ples et les zros du rgulateur.

gainR

20

[zeroR,poleR]

-1.0000e+001 0 (8.823)-5.0000e+000 -9.9441e+001

-2.5000e+000 -1.0559e+001

-2.0000e+000 -3.0000e+000

On vrifie encore le comportement dynamique du systme asservi avec ce rgulateur.


25/40



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

( 0.42482 , 0.95 )

( 0.63935 , 1.0433 )

Fig. 8.814 Comportement dynamique du systme (8.812) avec le rgulateur (8.823) .

Le cahier des charges est presque respect, on pourrait lgrement corriger la

dfinition du systme en boucle ferme. On remarque pour le rgulateur un ple en 10,56 et

un zro en 10. On peut essayer de simplifier ces deux racines, ce qui ramnerait le rgulateur

un ordre 3. On corrige aussi le gain avec un facteur 10/10,56.

0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 30

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4

( 0 .64888 , 1 .0493 )

( 0 .42795 , 0 .94996 )

Fig. 8.815 Comportement dynamique du systme (8.812) avec le rgulateur (8.823) rduit l'ordre 3 .

Le comportement dynamique est quasi inchang, mais la rduction de l'ordre du

rgulateur est favorable pour la ralisation: un PID suivi d'un RP.

G ss s

s s

s

sR( )

( , )( , )

, ( , )

,

,=

+ +

+

+

+

1 0 5 1 0 4

0 63 1 0 01006

1 0 2

1 0 3333(8.824)


26/40


27/40

Rglage chantillonn


11.5.2 Autres rgulateurs

D'autres rgulateurs auront galement une fonction de transfert sous forme de quotient

de polynmes de degr non limit 2. Les rgulateurs RST sont de plus quips d'un filtre de

consigne Gfl.

G z T zS zfl

*( ) ( )( )

= (11.103)

Avant d'aborder les rgulateurs RST, on se penche sur quelques rgulateurs

polynomiaux d'ordre plus petit ou gal 2, mais dont les ples ne sont ni 1 ni 0. On rappelle

la fonction de transfert continue d'un rgulateur AP ou RP (sect. 7.6)

G s KsT

sTR Reg

Num

Den

( )=+

+

1

1 (11.103s1)

On peut calculer la fonction de transfert chantillonne. Deux mthodes de calcul sontpossibles et donnent le mme rsultat:

1.Mettre un facteur s1 en vidence dans (11.103s1), puis appliquer la proprit 6 du tableau

11.A05 et exprimer la fonction de transfert chantillonne.

2.Traduire (11.103s1) dans le temps, discrtiser le temps, puis appliquer la transforme en z

et exprimer la fonction de transfert chantillonne.

G zb z b

z aK

z z

z z

b K KT

Te K

T T

T T

bT

Te z e

T

T T

a z eT

T T

TT T

T T

T

T

T

T

T

T

R RzR1

pR1

R RegNum

DenReg

Num

Den

Num

DenzR1

Num

Num

pR1Den

Den

avec

Den Num

Den Num

Den Num

Den

*( ) =

=

= = +

+

= = +

= = +

1 0

0

1

0

0

(11.103s2)

Un rgulateur ARP est la mise en cascade de deux rgulateurs selon (11.103s1).

On voit en particulier qu'un rgulateur AP contient une paire zro ple. On peut

aussi adjoindre une paire zro ple un PI ou PID pour former un rgulateur polynomial

d'ordre suprieur ou gal 2. Comme en rglage continu, l'adjonction d'un zro a tendance

stabiliser le systme, ou dplacer le lieu des ples chantillonn vers le centre du disque

unit. L'adjonction d'un ple a tendance carter le lieu des ples chantillonn du centre du

disqueunit. Pour conserver un rgulateur causal, le rgulateur polynomial doit avoir un

dnominateur de degr plus petit ou gal celui du numrateur. Pour viter une

dstabilisation du systme en introduisant une paire zro ple, on s'arrange pour choisir un

ple rel proche de l'origine, donc de faible influence. On peut choisir comme petite constante

de temps du rgulateur un retard pur d'une priode d'chantillonnage: ple l'origine, ou

effectivement une petite constante de temps: ple proche de l'origine.


28/40

Rglage chantillonn


On reprend la structure du rgulateur RST.

Fig. 11.38s1 Rgulateur RST: structure.

On peut noncer les polynmes R, S et T.

R z z a z a z a

S z b z b z b z b

T z c z c z c z c

n n

n n

n n

( )

( )

( )

= + + + +

= + + + +

= + + + +

n

n n

n n

11

1 0

11

1 0

11

1 0

L

L

L

(11.103s3)

Dans certains ouvrages, on utilise de polynmes de puissances ngatives de z. Il suffit de

multiplier (11.103s3) par z

n

.

R z r z r z a

S z b z b z b z b

T z c z c z c z c

n

n n

n n

( )

( )

( )

= + + + +

= + + + +

= + + + +

1 11

1 0

11

1 0

11

1 0

n

n n

n n

L

L

L

(11.103s4)

On peut crire l'quation du signal de commande.

U zS z

R z

T z

S z

W z Y z cm ( )( )

( )

(( )

( )

( ) ( ))= (11.103s5)

U zT z

R zW z

S z

R zY zcm ( )

( )

( )( )

( )

( )( )= (11.103s6)

R z U z T z W z S z Y z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cm = (11.103s7)

Il ne faut pas essayer de coder un rgulateur RST selon la relation (11.103s6)

pourtant mathmatiquement correcte car les deux termes de la diffrence ne sont pas borns

ds qu'on est en prsence d'une intgration. Pour la programmation, on exprime l'quation

temporelle en remplaant dans (11.103s7) les polynmes (11.103s3) multiplis par z1.

u k a u k a u k n a u k nc w k c w k c w k n c w k n

b y k b y k b y k n b y k n

cm n 1 cm cm cm

n n 1

n n 1

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

+ + + + + =+ + + + +

+ +

1 11 1

1 1

1 0

1 0

1 0

L

L

L

(11.103s8)

On peut tirer la valeur du signal de commande l'instant k.

u k c w k c w k c w k n c w k n

b y k b y k b y k n b y k n

a u k a u k n a u k n

cm n n 1

n n 1

n 1 cm cm cm

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

= + + + + +

+ +

+

1 1

1 1

1 1

1 0

1 0

1 0

L

L

L

(11.103s9)

+

y

ucmw S z

R z

( )

( )

T z

S z

( )

( )


29/40

Rglage chantillonn


Pour le codage, cette forme n'est pas adquate car elle requiert le stockage en mmoire

de 3n valeurs, et leur mise jour chaque cycle de calcul. On choisit donc un algorithme

rcursif qui ne ncessite que la mmorisation de n grandeurs auxiliairesxi pouri = n1 ...0.

u k c w k b y k x k -cm n n n 1[ ] [ ] [ ] [ ]= + 1 (11.103s10)

avec pour

i i i cm i-1

0 0 0 cm

i n

x k c w k b y k a u k x k

x k c w k b y k a u k

i

=

= +

=

1 1

1

0

L

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

(11.103s11)

On peut exprimer le schma fonctionnel

Fig. 11.38s2 Schma fonctionnel d'un rgulateur RST.

Pour un rgulateur polynomial, on peut appliquer le mme schma en posant seule-ment bi = ci ou encore l'allger en remplaant w* pare* et en supprimant toutes les branches

de y*. L'algorithme qui doit tre excut chaque cycle se dduit aisment, en tenant compte

qu'on dispose en mmoire de trois vecteurs des constantes a, b, c de dimension n+1 qui

contiennent pour les positions 1 n+1 les coefficients d'indice 0 n; le vecteurx des variables

intermdiaires est de dimension n et contient pour les positions 1 n les coefficients d'indice

0 n1.

1 lire w et y

2 ucm = c(n)*w b(n)*y + x(n)

3 sortir ucm

4 pour i = n:25 x(i) = c(i)*w b(i)*y a(i)*ucm + x(i1)

6 x(1) = c(1)*w b(1)*y a(1)*ucm

7 fin

On peut mme dfinir un rgulateur gnralis qui laisse toute libert pour le

dnominateur du filtre de consigne. Dans la pratique, cette nouvelle dfinition n'apporte peut-

tre rien de vraiment nouveau, mais peut allger le raisonnement et l'implmentation du filtre

de consigne en autorisant un ordre plus petit.

w*[k]

y*[k]

b0 c0

a0

z1

+

b1 c1

a1

z1

+

+

bn-1 cn-1

an-1

z1

+

+

bn cn

++

ucm*[k]


30/40

Rglage chantillonn


On reprend la structure du rgulateur RST, adapte au niveau du filtre de consigne.

Fig. 11.38s3 Rgulateur universel: structure.

On peut noncer les polynmes.

R z z a z a z a

S z b z b z b z b

T z c z c z c z c

U z d z d z d z d

n n

n n

n n

n n

( )

( )

( )

( )

= + + + +

= + + + +

= + + + +

= + + + +

n

n n

n n

n n

11

1 0

11

1 0

11

1 0

11

1 0

L

L

L

L

(11.103s12)

On peut s'attendre ce que les premiers coefficients dans l'ordre dcroissant des

puissances de z des polynmes T(z) et U(z) soient souvent nuls.

+

y

ucmw S z

R z

( )

( )

T z

U z

( )

( )


31/40

Rglage chantillonn


11. 8 RGLAGE ROBUSTE

11.8.1 Faonnage en boucle ouverte.On prend un exemple de systme rgler.

G s

s

s s s ss ( )

( , )

( , )( , )( , )( , )=

+

+ + + +

3 1 0 3333

1 0 5 1 0 4 1 0 2 1 0 1 (11.801)

On limite le premier dpassement 5 % et on exige un temps de rponse infrieur 420[ms], sans cart statique.

On veut utiliser un rgulateur digital qui chantillonne 500 [Hz]. La dfinition des profils deperformance W1 et d'incertitude W2 et le faonnage en boucle ouverte se pratiquent en continu (sect.8.8).

1 0-1

1 00

101

102

103

10-2

10-1

100

101

10 2

Fig 11.801 Faonnage continu en boucle ouverte.

On procde alors la conversion de la rponse harmonique en boucle ouverte et desconditions de performance robuste en discret avec une priode d'chantillonnage de 2 [ms].

10-1

100

101

102

103

104

100

10-1

100

101

102

103

104

-400

-300

-200

-100

0

10-3

Fig 11.802 Faonnage discret en boucle ouverte.


32/40

Rglage chantillonn


On calcule encore la traduction en discret du systme rglerGs. Le calcul du rgulateur sefait alors comme en continu, par quotient des fonctions de transfert discrtes.

G zG z

G zRo0

s0( )

( )

( )= (11.802)

[zeroRz,poleRz]

-3.5352e+000 -3.7014e+000

9.9601e-001 1.0000e+000

9.9501e-001 9.9402e-001 (11.803)9.9005e-001 9.8020e-001

9.8020e-001 8.1873e-001

-2.5340e-001 -2.6575e-001

Ce calcul peut faire apparatre des paires zrople de valeurs trs voisine. Il convientd'liminer imprativement celle situe l'extrieur du cercle unit (z1 = 3,5 p1 = 3,7): Le plede module suprieur 1 cre une instabilit du systme. Il est aussi utile de simplifier les paires

internes (z5 = 0,98 p4 = 0,98 et z6 = 0,25 p4 = 0,26) pour rduire l'ordre du rgulateur.Le gain du rgulateur reste inchang.

zeroRz=[zeroRz(2:4)]zeroRz =

9.9601e-001

9.9501e-001 (11.804)9.9005e-001

poleRz=[poleRz(2:3);poleRz(5)]

poleRz =

1.0000e+000

9.9402e-001 (11.805)8.1873e-001

[numRz,denRz]=zp2tf(zeroRz,poleRz,gainRz)

numRz =

-1.5280e+001 4.5550e+001 -4.5263e+001 1.4992e+001 (11.806)denRz =

1.0000e+000 -2.8127e+000 2.6266e+000 -8.1383e-001

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig 11.803 Ples et zros du rgulateur aprs simplification.


33/40

Rglage chantillonn


Ce calcul peut aussi faire apparatre des paires de racines complexes trs faibleamortissement. On les remplacera par des paires meilleur amortissement (1 > > 0.5) mais mme pulsation naturelle.

On peut maintenant vrifier le comportement dynamique du systme continu rgl par unrgulateur discret.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

( 0.78658 , 1.0257 )

( 0.52232 , 0.95 )

Fig. 11.804 Rponse indicielle avec rgulateur analogique.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

( 0.77117 , 1.0392 )

( 0.50387 , 0.95 )

Fig. 11.805 Rponse indicielle avec rgulateur discret.

On vrifie bien que le comportement dynamique est trs voisin de celui obtenu par rgulateurcontinu. Un trs lger dplacement sur la droite de la rponse harmonique faonne Go0 permettraitde mieux respecter le cahier des charges en rapidit, la distance avec la limite des stabilit robuste le

permet.

11.8.2 Vrification.On devrait vrifier que la stabilit robuste est bien vrifie pour toutes les pulsations, comme

on le fait en continu ( 8.8.7).

11.8.3 Faonnage en boucle ferme.On peut galement procder un faonnage directement en boucle ferme, comme on le fait

en continu. ( 8.8.8).


34/40

Rglage chantillonn


11.8.4 Autres fonctions de sensibilit.On a dfini en s la fonction de sensibilit (8.817) comme le rapport entre l'cart de rglage et

la valeur de consigne filtre, on la reprend en z.

S zG z

G z

G z

E z

W ze o

cf

o

( )( )

( )

( )

( )

( )=

+= =

1

1(11.807)

On peut dfinir d'autres fonctions de sensibilit sur la base de la figure 11.806 [37].

Fig 11.806 Systme Asservi.

Si on est intress par les performances du systme en prsence de perturbation rgulationde maintien il est judicieux de dfinir la fonction de sensibilit de perturbation. On la dfinit pour la

perturbation v' rapporte la sortie.

V z G z V z '( ) ( ) ( )= p (11.808)

S zY z

V z G z p o( )

( )

' ( ) ( )= =

+

1

1(11.809)

La fonction de sensibilit de perturbation, dfinie comme le rapport en z du signal de sortie la perturbation rapporte, est identique la fonction de sensibilit d'erreur. On note que les ples deSp(z) sont identiques ceux de la fonction de transfert en boucle ferme.

La fonction de sensibilit de commande est le rapport en z du signal de sortie du processusau signal de sortie du rgulateur.

S zY z

U z

S z

G zu cm

p

s

( )( )

( )

( )

( )= = (11.810)

Plutt que d'insrerGcf(z) dans un gabarit dfini seulement basse et haute pulsation, on peutne choisir que ses ples, dcrits par la fonction de sensibilit Sp(z). On veille l'inscrire dans un

gabarit pour que les performances soient bonnes face aux variations de perturbations: aux basses etmoyennes pulsations, le gabarit Wpf1 est dfini pour la marge radiale, aussi appele marge de module(8.104). Pour les frquences leves, on construit le gabarit Wpf2 par la marge de retard M. [37]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.80.9 1 2 31.4

1.6

1.8

2

2.2

Wpf1Wpf2

TE Fig. 11.807 Gabarit pour la fonction de sensibilit de perturbation.

W rpf1 r

=(11.811)

z

zW

=

11pf2 avec

MM

1E= = T (11.812)

+ucm

F

+

Gp

Gs

w

v

+

ev'

GdGRGFy

1444424443


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Rglage chantillonn


11.8.5 Dimensionnement algbrique de rgulateur robuste.

On prcise la dsignation usite des polynmes numrateurs et dnominateurs des fonctionsde transfert de la figure 11.806, qui sont par hypothses toutes causales.

G z

T z

S z G z

S z

R z G z

N z

D zF R s

s

s( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )= = =

(11.813)

Au lieu de calculer le rgulateur par division polynomiale, aprs avoir choisi la fonction detransfert en boucle ouverte ou ferme, on peut profiter de la reprsentation numrique en utilisant uncalcul algbrique. On se contente alors de choisir le polynme P(z) qui est le dnominateur dusystme en boucle ferme qu'on veut obtenir. Le dnominateur en boucle ferme se calcule selon(4.12): c'est l'identit de Bezout.

P z D z R z z S z( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +s s (11.814)

Si la fonction de transfert Gs(z) est une fraction irrductible, (11.814) admet une solutionunique pour S(z) et R(z). On peut alors l'exprimer de manire matricielle, o x est le vecteur quiexprime le rgulateur.

p M x= (11.815)

On doit donc dfinir les vecteurs lignes qui contiennent les coefficients des polynmes.

N z D z R z S z P zs sT T T T T

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n d r s p(11.816)

Dans la suite de l'expos, on ne discute que le cas o on impose un comportement intgral aurgulateur, soit un ple en 1. Dans l'identit de Bezout, il faut alors transfrer le terme "z1" deR(z)

Ds(z). Dans les cas o on n'impose rien sur le rgulateur ou bien plusieurs ples et zros, on sereportera des ouvrages plus dtaills [37, 38].

N z z D z z R z S z P zs sT T T T T

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1

n d r s p(11.817)

On peut ensuite choisir T(z) afin d'obtenir un filtre de consigne de gain statique 1 et quicompense les zros en boucle ferme engendrs par le rgulateur ( 11.6.9). Dans ce cas, il fautchoisir pour les racines de P(z) les ples pour le fonction de transfert de consigne Gcf(z). Les ples

pour le fonction de transfert de perturbation Gpf(z) sont alors les mmes.

Une autre stratgie consiste appliquer le principe du modle de rfrence.

Fig 11.808 Systme asservi avec modle de rfrence.

+ucm

F

+

Gp

Gs

w

v

+

ev'

GdGRGF1y

1444424443

Gcfm

1442443GF


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Rglage chantillonn


Dans ce cas, il faut choisir pour les racines de P(z) les ples pour le fonction transfert deperturbation Gpf(z). On peut ensuite choisir T1(z) afin d'obtenir un filtre de consigne de gain statique1, qui compense au mieux les racines de P(z) afin d'obtenir une fonction de transfert en boucleferme Gcf1(z) aussi proche que possible de 1. Pour que GF1(z) soit causale, on ne pourra peut-trecompenser que les ples dominants de P(z) Le comportement en boucle ferme sera dtermin parle choix des ples et zros du modle Gcfm(z). On peut ainsi avoir un choix diffrent des ples pourla consigne et pour une perturbation. Pour le modle, on se limite souvent un systme fondamentaldu deuxime ordre.

G z G z G z cf cfm cf1( ) ( ) ( )= (11.818)

Dans la ralisation, on peut combiner modle et filtre de consigne pour obtenir un nouveaufiltre de consigne. On n'a plus vraiment un rgulateur RST, mais plutt un RSTU puisque lednominateur du filtre de consigne n'est plus gal au numrateur du rgulateur. Avec T1(z), on peutalors compenser un ple supplmentaire deP(z), car la causalit n'est exige que surGF(z) mais passurGF1(z) et Gcfm(z).

G zT z

U zG z G z

N z T z

D z S zF cfm F1cfm

cfm

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )= = = 1 (11.819)

On construit la matrice carre M partir des vecteurs du systme rgler chantillonn quiadmet m zros et n ples (m < n). On peut alors calculer le rgulateur.

M

d

d

r

n

n

s

x=

+ =

>

+ =

+ + =

L

M

M M

ML

1 244 344

L

M

O M

M OL

1 244 344

0

0

00

1

0 0

0

00

1

2.

.

dim( ) dim( )

dim( )

m n

n m (11.820)

xr

sM p=

=

1 (11.821)

On illustre le propos par un exemple. Un systme rgler est constitu de deux cellules dupremier ordre, la perturbation intervient sur la grandeur physique qui les relie.

G ss

G ssd p

( ),

( ),

,=

+=

+

5

1 0 2

0 1

1 0 01(11.822)

On demande pour le systme asservi les performances suivantes avec un rgulateurchantillonn TE = 4 [ms]. Performance pour une rponse indicielle sur la consigne, sans cartstatique:

D t1 5 0 05 % , [ ]r s (11.823)

Performance par rapport un saut de perturbation qui quivaut 50 % de l'amplitude du signal de

commande qui maintient la grandeur rgle la valeur 1:E t1 25 0 1 % , [ ]cp s (11.824)


37/40

Rglage chantillonn

On calcule d'abord la fonction de transfert chantillonne du systme rgler.

G zz

z z' ( )

, ,

, ,s =

+

1 796 10 1 5181 10

1 65 0 65705

2 2

2(11.825)

On a donc m = 1 zro et n = 2 ples. Comme on demande un cart statique nul, on

impose au rgulateur un ple 1; on le combine avec le polynme dnominateur du systme rgler avec un produit de convolution sur les vecteurs correspondants. On dtermine les

vecteurs du systme:

[ ] 11*65705,065,11

105181,110796,1

T

22T

=

=

d

n

[ ](11.826)

On peut alors construire la matrice M, qui est donc de dimension 5. On veut choisir les

ples dominants pour la boucle ferme face aux perturbations. On choisit un amortissement

assez important, puis on dtermine la pulsation naturelle.

]rad/s[606,632

99,0

cp

opp ==

t (11.827)

]0.64921000+1.6027e[1=0,649211.6027=)( T2 -zzzP p+ (11.828)

Il faut encore complter le vecteurp pour qu'il soit de dimension 5 avant d'appliquer

(11.821). On obtient un vecteurs de dimension 3 et un r de dimension 2.

]000.64921000+1.6027e[1=T -p (11.829)

On devra encore adjoindre r le ple en 1 impos ci-dessus, nouveau par convolution avecle vecteur [1 1]. Pour le modle de rfrence, on choisit un systme fondamental du

deuxime ordre dont les ples sont dfinis d'aprs le cahier des charges l'aide de l'annexe

6A. Comme la priode d'chantillonnage vaut environ 40 % de la petite constante de temps du

systme, on en tient compte en augmentant de 40 % la pulsation naturelle qu'on impose.

]rad/s[4,592

2,4707,0

r

occ ==

t (11.830)

]rad/s[80oc = (11.831)

G zz

z zcfm

0.043913

1,5544 0,63605( )

,=

+

+

0 037754

2(11.832)

On choisit le polynme T(z) pour compenser les ples en boucle ferme. Les 3

polynmes du rgulateur RST sont ainsi dfinis.

[ ]

[ ]

[ ]001+1.9890e001+4.9100e-001+3.0637e=

001-4.7211e-001-5.2789e-000+1.0000e=

001+2.0434e001+5.1983e-001+3.2976e=

T

T

T

t

r

s

(11.833)

On peut exprimer la fonction de transfert GR(z) du rgulateur et GF1(z) du filtre deconsigne T/S.



38/40

Rglage chantillonn


G zz z+

z zR

32,976( )

, ,

, ,=

2

2

51 983 20 434

0 52789 0 47211(11.834)

G zz z

z zF1 ( )

, , ,

, , ,=

+

+

30 637 49 1 19 89

32 976 51 983 20 434

2

2(11.835)

Pour la fonction de transfert du filtre de consigne dfinitif, il faut encore le multiplier par lafonction de transfert du modle.

G z G z G z F cfm F1

3 2

4 3 2

1.3454 z 0,99948 z 0,98033 z + 0,75092

32,976 z 103,24 z 122,21z 64,826 z 12,997( ) ( ) ( )= =

+ +(11.836)

Il est intressant de mettre en vidence les ples et zros discrets du rgulateur.

zeroRech=roots(S) =[ 8.2833e-001 7.4808e-001]

poleRech =roots(R) =[ 1.0000e+000 4.7211e-001]-(11.837)

On observe deux zros rels et un ple en 1 comme on l'a impos. Le second ple estngatif, ce rgulateur n'a donc pas d'quivalent continu. Pour mmoire, on note encore les zro et

ples chantillonns du systme rgler (11.825).

poleSech =[9.8020e-001 6.7032e-001] zeroSech=0.84527 (11.838)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

( 0.062862 , 1.0435 )

( 0.042774 , 0.95 )

( 0.30614 , 0.80119 )

( 0.38291 , 1.01 )

y

ucm

Fig 11.809 Essai dynamique pour le systme (11.822) rgl par rgulateur (11.834) et le filtre de consigne

(11.836). Pour l'affichage, le signal de sortie du rgulateur est attnu d'un facteur 5.

Le cahier des charges est bien respect avec un temps de correction de perturbation de 83[ms] pour 100 [ms] demand, un temps de rponse de 43 [ms] pour 50 [ms] demand et undpassement de 4,35 % infrieur aux 5 % demands. On mesure une valeur moyenne du signal decommande ucm d'environ 0,2 pour maintenir le signal de sortie. En tenant compte du gain statique de


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Rglage chantillonn


5 sur le premier bloc, le saut de perturbation spcifi dans le cahier des charges vaut donc 0,5. Onpeut vrifier aprs correction de la perturbation une valeur moyenne du signal de commande ucmd'environ 0,3 pour maintenir le signal de sortie.

On peut, pour cette manire de procder, utiliser le logiciel ppmaster dvelopp auLaboratoire d'Automatique de Grenoble sous la direction du professeur Landau [38, 39].

A titre de comparaison, on dimensionne le rgulateur pour le comportement face lavariation de consigne et le filtre de consigne pour corriger l'effet des zros introduits par le rgulateurqu'on identifie au pralable: ils sont conjugus complexes.

S = [30.331 48.533 19.694] R = [1 0.54498 -0.45502] (11.839)

zeroRz = [0.79938 +0.092721i 0.79938 -0.092721i] (11.840)

On pratique un premier essai avec un filtre du premier ordre qui compense la partie relle

0,8 des zros identifis, en veillant un gain statique unitaire.

G zF0,20966

z 0,79034( ) =

(11.841)

Pour le second essai, on choisit un filtre dont le dnominateur est exactement le numrateurdu rgulateur et on choisit au numrateur un zro rel. Aprs quelques essais, on adopte pour le zroune valeur de 0,51342, soit un peu moins que la partie relle de ses ples: on a alors un vrai RST.

G zz

z zF

3,0655 1,5739( )

, , ,=

+30 331 48 533 19 6942(11.842)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

( 0.062053 , 1.0375 )

( 0.038254 , 0.95 )( 0.37768 , 1.01 )

( 0.3064 , 0.796 )




40/40

Rglage chantillonn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

( 0.070562 , 1.0492 )( 0.046808 , 0.95 )

( 0.3821 , 1.01 )

( 0.30639 , 0.79834 )



On observe que les trois dimensionnement sont peu diffrents dans leur dynamique face

une perturbation: une lgre variation dans l'imposition des ples a peu d'incidence. L'usage d'unfiltre d'ordre lev compensation des ples et zros en boucle ferme et modle de rfrence nedonne pas de rsultats sensiblement meilleurs qu'un filtre de consigne du premier ou deuxime ordre

bien dimensionns, du moins si les performances requises face aux variation de consigne et deperturbation sont assez proches. Pour les trois cas, les performances en maintien accusent une erreurmaximale due la perturbation d'environ 20 % qui est rduite au dessous de 1 % en environ 80[ms]. Pour une variation de consigne, on observe un temps de rponse entre 38 et 47 [ms] et undpassement lgrement infrieur la valeur maximale de 5 % accepte: les filtres de consigned'ordre le plus lev donnent les transitoires de moindre amplitude sur la sortie du rgulateur, mais unfiltre d'ordre 4 (11.836) est plus coteux en temps processeur non pris en compte dans les

simulations qu'un filtre d'ordre 2 (11.842).

Avec laugmentation de lordre du systme rgler, le dimensionnement des ples dusystme en boucle ferme devient plus dlicat. Il faut inclure des ples auxiliaires pour que le vecteur

polynme ne contienne pas trop de termes nuls, qui amnent des difficults numriques. Parmimtisme avec le rglage continu, on peut tre tent de choisir une frquence dchantillonnage la

plus leve possible : ce nest pas raisonnable et peut mme conduire des difficults pour inverserla matrice M, autant profiter dune grande priode dchantillonnage pour confier dautres tches au

processeur entre la fin du calcul et linstant dchantillonnage suivant. Enfin, la mthode dcriteconserve en boucle ferme les zros prsents au processus, ce qui peut tre gnant lorsquun de

volume7 asservissements robustes

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