Collapse IAP RAS 1

Influence of peripheral field on structure of nonlinear focus arising at propagation of a wave beam in cubic nonlinear media

Vlasov S.N.

IAP RAS

e-mail: vlasov@hydro.apple.sci-nnov.ru603950 Russia, N-Novgorod, Uljanov street,46,

e-mail: vlasov@hydro.appl.sci-nnov.ru

Collapse IAP RAS 2

Contents

1. Jntroduction. Motivation.

2. Construction of solution. The first order approximation.

3. The second order approximation. Influence of periphery of beam.

4. Numerical modelling of influence of "wings" on field in nonlinear focus.

Collapse IAP RAS 3

1. Intoduction

2

2, 2 0r zi

0 ,pr k r

The initial equation

' ,E 2,r

- transverse Laplacian,2 2 ,r x y

Self-focusing part of beam

“Wings" of beam or nonself-focusing to a part of a beam

( )r

r

Amplitude structure of a beam at self-focusing

sfz - Point of a collapse

(1)

sfz

Collapse IAP RAS 4

Ray structure of self-focusing an axially symmetric beam

r

sfz

z

ln( )(0, ) ~ sf

sf

z zz

z z

sfz z

ln[ ln( )](0, ) ~ sf

sf

z zz

z z

sfz z

(3)

(2)

Collapse IAP RAS 5

Self-simular solution of V.I. Talanov (1966)

1.2

2, 0,r

,r ~ exp[ ],r

r

sfz

z

,crP P

1(0, )

sf

zz z

Ray structure of self-focusing an axially symmetric beamself-simular solution of first type

Collapse IAP RAS 6

Ray structure of self-focusing an axially symmetric beamself-simular solution of second type

2.22

2, 2 1 0,r C C r

,r r

sfz

z

1sin( )~

C r dr

r

~ ln ,P r

1(0, )

( )sf

zz z

Collapse IAP RAS 7

0 5 10 15 20 25

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Cross-section structures of a beam, showing the dependences of growth rate of a field at nonlinear focus from cross-section structures

ln

ln4, (0, ) ~

zz

z

( ln )3, (0, ) ~

ln zz

z

12, (0, ) ~z

z1

1, (0, ) ~zz

r

Collapse IAP RAS 8

2. Construction of solution. The first order approximation[L,P,S,S;K,Sh,Z]

(4)

2

2

1,

D

r r r

2

2, 2 0r zi iD

, , ;r z

or

2, ;

( ) ( )

dr dz

2

2, 2 2 2 0i i i iD

( )C

Collapse IAP RAS 9

exp( ),A i 2 3 A-( ) A-2 A-2C( ) A +A =0,

2 2 2 2 2 2( ) 0,A A d CA D C A d

( ) 0,C

1 20 2

( )( ) ( )( ) .... ....,

( ) ( ) ( )nn

AA AA A

1 2 1 20 02 2

( )( ) ( )ln ... ... ( ) .... ....,

( ) ( ) ( )n nn n

HH HH

1 20 2

( ) .... .....,( ) ( ) ( )

nn

CC CC C

1 20 2

[ ( )] .... ...,( ) ( ) ( )

nn

DD DD C D

Collapse IAP RAS 10

2

2 30 00 0 0 0 0 0 02

1' 2 ( ' ) ,

A AA A C H A

20 0

0 0 20

' ;D A d

CA

0 4 8 12

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

0 4 8 12

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

0 4 8 12

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

0 4 8 12

0

0.4

0.8

1.2

1.6

20 4 8 12

-6

-4

-2

0

0 4 8 12

-6

-4

-2

0

0 4 8 12

-6

-4

-2

0

0 4 8 12

-6

-4

-2

0

0( )A

0( ) 0 0C

0 0,3C 0 0,2C

0 0,1C

0 0C

0 0,3C

0 0,2C

0 0,1C

Comparison of amplitudes of homogeneous beams

Comparison of phases of homogeneous beams

Collapse IAP RAS 11

20exp[ ],2

iC 22 22, 0 0 0 0[2 ] 0,C H C iD

2, 0,U 22 2

0 0 0 02 ,U C H C iD

0 4 8 12

0

1

2

3

0 4 8 12

0

1

2

3

0 4 8 12

0

1

2

3

0 4 8 12

0

1

2

3 20 0

0

( )W A d

0 0,3C

0 0,2C

0 0,1C

0 0C

Dependences of power of homogeneous beams from cross-section coordinate

ReU 1 2

The real part of potential U

Collapse IAP RAS 12

и

0 0( ),H C 0 0( ),D C0 0(0), (0) (0),A 0,

0 1

1~ ,A

0 1~ ,

, 00

~ exp( ),T

DC

0

02

D

C 0 0,C

0 4 8 12 16 20

-25

-20

-15

-10

-5

0

2 20 0 0

00 0 (1 )

exp[ ln ] exp[ ]2 2 2~

C D Ci iCa a

10 0 0 0

0 0

1(0)exp{ [ ]} (0)exp{ },

2

Ta A H A

C C

0 0 1ln , ln , lnD a C

0

1

C

0lnD

1lnC0ln a

Dependence 0ln ,D 0ln a 1lnC

on value0

1

C

0 0 0 ,H C H

0a

r

1 0.65î öT

00

1.25~ exp[ ],D

C 1 0.59T

Collapse IAP RAS 13

The explanatory to a way of a choice of a principle of growth rate of a field on an axis

Self-focusing part of beam

“Wings" of beam or nonself-focusing to a part of a beam

sfz

( )r

( )r

,2( )r

,2( )r

r rThe first way The second way

Collapse IAP RAS 14

First way

0 0 1

21/ 400

(0)exp[ ] ( ) ,

2

A C Tr Const

CH

0exp ,C d 0 0,C 10 ,

2

TC

1~ exp[ 2 ],T

ln( )(0, ) ~ ,sf

sf

z zz

z z

,

,2

2 2 2 2 22 1 , ,2 1 ,( )

,2 2

kr

k kw

r

Q r r Q rP r dr

2

0

0

kr

W r dr

Collapse IAP RAS 15

Second way

0 0 0 01 1 1 1 1

( ),

a a a C Q

r r r

10

0

~ exp[ ],T

aC

00

~ exp[ ] / 2 ,T

CC

0 ,

ln ln ln

TC

,

exp{ },ln ln ln

T

ln[ ln( )] ln ln[ ln( )](1 ),

2 ( ) 2 ln[ ln( )]f f

f f

z z z z

T z z z z

, ,

,2 ,2

,2 2 21 2

,2

lnk kr r

kw

r r

rdr drP Q Q Q

r r r

Collapse IAP RAS 16

3. The second order approximation.22

1 1 1 0 00 12

21 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1

12 ( ) ( )

2[( )( ' ) ( ' )] 3 ,

A AA A

AC A C h A C h A A

2

0 0 1 1 0 0 1 01 0 11 0 1 2 2

0 0 0 0

2 [ 2 ]2' '

C A Ad D A D A A dA C AC

A A A A

0 (0) 2,A 0 (0) 0,dA

d 0 (0) 0, 0 0.2,C 0 2.317122448,H

0 0.0042702864,D 1(0) 0,A 1 (0) 0,dA

d 1(0) 0, 1 0,H

1 0.1; 0.05,C 1 12 ,D C

Collapse IAP RAS 17

0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 10 20 30

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1( )A

1 0.1C 1 0.05C

Dependence of amplitude 1( )A

on cross-section coordinate at

0 0.2C и 1 0H

0 10 20 30

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 10 20 30

-80

-40

0

1( )

1 0.1C 1 0.05C

and phase

Collapse IAP RAS 18

0 10 20 30

0

1

2

3

0 10 20 30

0

1

2

3

0 10 20 30

0

1

2

3

1( )A

0 1.2, .05C C

0 1.3, .2C C

0 1.1, .003C C

Dependence of amplitude on cross-section coordinate

at various parameters iC

1( )A and 1 0H

Collapse IAP RAS 19

10 ,

CC

1

0 ,2

TC

1 1 10 1

2exp[ ] exp[ ],

BC C C B

C T

1 10

( ) 20 exp[ ],B

A CC

1

1

2exp[ ] exp[ ]

2 2

T Ba b

T

1

21

1

2,

2( )

2

Ca

TB

T

1

1

1 1

2,

2( )

2

Cb

TB

T

2

,( )

ddz

1.68

2.181

ln( ){1 0.34 ( ) ln( ) }

( ) ln( )sf sf

sfsf sf

z z z zA z z

z z z z

Collspse IAP RAS 20

4. Results of numerical calculations

.

0 0.4 0.8 1.2 1.6

0

10

20

30

40

50

z

(0, )z 2.26cr

P

P 1.81

cr

P

P 1.3

cr

P

P

2 2( 2 ) 0

N

Niz

2 250 ,N

N 2

0( ,0) exp[ ],2

rr

2

2

1,

r r r

0

10

2.2; 2.6; 2.9

1.3;1.81; 2.26cr

N

P

P

0 1.93,cr

Dependence of the amplitude of a field on axes, the equation

Collapse IAP RAS 21

.

z

(0, )z 2.26cr

P

P 1.81

cr

P

P 1.3

cr

P

P Dependence of the

amplitude of a field on axes, the equation

2 2

( 2 ) 0N

Niz

2 250 ,N

N 2

0( ,0) exp[ ],2

rr

2

2

1,

r r r

0

5

2.2; 2.6; 2.9

1.3;1.81; 2.26cr

N

P

P

0 1.93,cr

0 0.4 0.8 1.2 1.6

0

10

20

30

40

50

Collapse IAP RAS 22

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

47.2

47.6

48

48.4

48.8

49.2

0

max 1.11f 1.66f

,f

f

Dependence of the maximal field on size of an initial field for a various degree of focusing

2 2( 2 ) 0,

N

Niz

2 250 ,NN

2

0

1( ,0) exp[ (1 )],

2

rr i

f

2

2

1

r r r

10,N

Collapse IAP RAS 23

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

10

20

30

40

50

(0, )t0 2.6

2.4

2.2

t

Dependence of a field in the center of a cavity from time

2 2

3( 2 ) 0,N

Nit

2 250 ,NN

2

0( ,0) exp[ ],2

rr

2

3 2

2,

r r r

10,N

0 2.1cr

Collapse IAP RAS 24

(0, )z

0 2.6

2.2

z0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

10

20

30

40

50

60

Dependence of a field on an axis in system with the combined nonlinearity

2 4 2

4( 2 ) 0,N

Niz

2 250 ,NN 2

4 50 ,

2

0( ,0) exp[ ],2

rr

2

2

1,

r r r

10N

Литература

1. Таланов В.И. "О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах", Письма ЖЭТФ, 1965, т.2, n.5, с.2187.

2. Власов С.Н., Петрищев В.А, Таланов В.И. "Усредненное описание волновых пучков в линейных и нелинейных средах", Изв.ВУЗ'ов, Радиофизика, 1971, т.14, n.9, с.1453

3. Захаров В.Е., Сынах В.С., О характере особенности при самофокусировке, ЖЭТФ,

1975, т.68, в.3, с.941-947

Collapse IAP RAS

4. Луговой В.Н., Прохоров А.М., Теория распространения мощного лазерного

излучения в нелинейной среде, УФН, 1973, т.111, в.2, с.203-247

5. Власов С.Н., Таланов В.И., Самофокусировка волн, ИПФ РАН, Нижний Новгород, 1997, с.218

6. Власов С.Н., Пискунова Л.В., Таланов В.И., Структура поля вблизи особенности, возникающей при самофокусировке в кубичной среде, ЖЭТФ, 1978, т.75, в.5, с.1602

7. Wood D., The self-focusing singularity in nonlinear Schrodinger equation. Studies in applied mathematics, 1984, v.84, n.2, p.102

Collapse IAP RAS

8. McLaughlin D.W., Papanicolaou G.C., Sulem C., Sulem P.L., Focusing singularity of the cubic Schrodinger equation, Phys. Rev. A, 1986, V.34, n.2, p.1200-1210

9. LeMesurier B.L., Papanicolaou G.C., Sulem C., Sulem P.L., Local structure of the self-focusing singularity of the cubic Schrodinger equation, Physica D, 1988, v.32, p.210-226

10. Kosmatov N.E., Shvets V.F., Zakharov V.E., Computer simulation of wave collapses in the nonlinear Schrodinger equation, Physica D, 1991, v.52, p.16-35

11. Fraiman G.M., Smirnov A.I., The interaction representation in the self-focusing theory , Physica D, 1991, v.52, p.16-35

12. Berge L., Physics reports, Wave collapse in physics: principles and applications to light and plasma physics, 1998, v.303, n.5-6, p.260-370

Collapse IAP RAS

13. Ю.Н.Овчинников, И.М.Сигал, Многопараметрическое семейство коллапсирующих решений критического нелинейного уравнения Шредингера в размерности D=2, ЖЭТФ, 2003г., т.124, в.1(7), с.214-223

14. Fraiman G.M., Litvak A.G., Talanov V.I., Vlasov S.N., Optical self-focusing: stationary beams and femtosecond pulses, in book Self-focusing in the past and present, Schwinger

15. Таланов В.И., Автомодельные волновые пучки в нелинейном диэлектрике, Изв. ВУЗ Радиофизика, 1966, т.9, в.2, с.410

16. Ю.Н.Овчинников, И.М.Сигал, Коллапс в нелинейном уравнении Шредингера критической размерности {}, Письма в ЖЭТФ, 2002г., т.75, в.7 с.428-432

17. В.Н.Гольдберг, В.И.Таланов, Р.Э. Эрм, Самофокусировка аксиально симметричных волновых пучков, ВУЗ'ов, Радиофизика, 1967, т.10, n.5, с. 574

Collapse IAP RAS

18. В.И.Таланов, "О фокусировке света в кубичных средах", Письма ЖЭТФ, 1970, т.11, n.6, с.303

19. С.Н.Гурбатов, С.Н.Власов, К теории самодействия интенсивных световых пучков в плавно неоднородных средах, Изв.ВУЗ'ов, Радиофизика, 1976, т.19, n.8, с.1149- 1155

20. Бондаренко Н.Г., Еремина И.В., Таланов В.И., Уширение спектра при самофокусировке света в стеклах, Письма в ЖЭТФ, 12, в.3, 125(1970),

поправка, Письма в ЖЭТФ, 12, 386 (1970)21. Бондаренко Н.Г., Еремина И.В., Макаров А.И.,

Использование явления СФ для исследования пробоя при сверхкоротком взаимодействии света с веществом, в сб. Квантовая электроника, Наукова Думка , Киев , 33, с.89(1987)

22. Tzortzakis S., Sudrie L., Franko M., Prade B et al., Self-guided propagation of ultrashort IR laser pulses in fused silica, Phys. Rev. Letts., 87, n.21, 213902(2001)

Collapse IAP RAS

23. С.Н.Власов, Л.В.Пискунова, В.И.Таланов, Трехмерный волновой коллапс в модели нелинейного уравнения Шредингера, ЖЭТФ, 1989, т.95, n.6, с.1945

Collapse IAP RAS