vigas doblemente reforzadas
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UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CURSO
CONCRETO ARMADO
TEMA: VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS Y VGAS DE SECCION Te
DOCENTE: DR. ING. ANDRÉS CÉSAR PANTOJA MARÍN
2,013
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VIGAS DE SECCION RECTANGULAR DOBLEMENTE REFORZADAS
Son aquellas vigas en las que adicionalmente al refuerzo en tracción se tiene refuerzo en compresión.Se utiliza adicionalmente el refuerzo en compresión cuando a pesar de estar utilizando la cuantía máxima de 0.75 pb no se alcanza a soportar el momento actuante, en esta situación se puede incrementar la capacidad a la flexión adicionando acero de refuerzo en tracción en la misma cantidad que en compresión, de tal forma que se tenga un momento adicional que permita tomar el remanente de momento y soportar el momento actuante.También se utiliza acero en compresión cuando se desea disminuir el esfuerzo a compresión en el concreto y reducir el efecto del flujo plástico, lográndose controlar las deflexiones diferidas que se tendría en un elemento por la permanencia de la carga.
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ECUACIONES PARA EL DISEÑO
En la figura se muestra una sección doblemente reforzada, luego:
Planteando el equilibrio horizontal se tiene:Ts = Cc + C´sAs fy = 0.85 f´c ab + A´s fyLa capacidad resistente a la flexión la determinaremos utilizando las figuras (a) y (b), es decir:
Diagrama de deformacionesDiagrama de esfuerzosεy
fy
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Mun = As1 fy (d- a/2) + A´s fy (d – d´)Luego, el momento resistente, estará dado por:Mu = ϕ[As1 fy (d- a/2) + A´s fy (d – d´) ] ………(I)
Estas ecuaciones han sido encontradas suponiendo que el acero en compresión A´s esta fluyendo, lo cual deberá ser verificado, se tiene:
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Del diagrama de deformaciones:
εu = ε´s c c – d´
Donde: a = β1 c 0.003 = ε´s a/ β1 a/ β1 – d´
Despejando ε´s, se obtiene:
ε´s = 0.003(a - β1d) a
Ahora si el acero en compresión fluye deberá verificarse ε´s> fy/Es :
ε´s = 0.003(a - β1d) ≥ fy a Es
Despejando a, obtenemos:
a ≥ 0.003 β1d´Es …………..(1) 0.003Es - fy
Que representa el bloque rectangular comprimido equivalente para que A´s fluya.
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Ahora planteando el equilibrio horizontal se tiene:Cc + C´s = Ts
0.85 f´c ab + A´s fy = As fy 0.85 f´c ab = (As- A´s) fy
a = (As - A´s) fy 0.85f´c b
Que representa el valor del bloque rectangular comprimido equivalente para que A´s fluya.Reemplazando el valor de a en la ecuación (1), se tiene:
(As - A´s) fy ≥ 0.003 β1d´Es …………..(2) 0.85f´c b 0.003Es - fy
Reemplazando p = As/bd, y p´= A´s/b, la ecuacion (2) puede expresarse:
p - p´ ≥ 0.85f´c β1d´ 0.003 Es d fy (0.003Es-fy)
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p - p´ ≥ 0.85f´c β1d´ 6000 …………….(I) d fy (6000-fy)
Finalmente
Ejemplo: Se tiene una viga de sección rectangular 30x60 cms, sobre la que actúa un momento actuante de 48 t-m. Diseñar la viga a la flexión:f’c=210 kg/ cm2
fy = 4200 kg/cm2
Determinaremos primero la máxima capacidad resistente a la flexión de la viga simplemente reforzada. ( pmax 0.75 pb)
La cuantía balanceada esta dado por:
Luego: pb = .85*.85*210 * ( 6000 ) = 0.02125 4200 6000+4200Pmax = 0.75 pb = 0.0159375 Wmax = pmax fy/f´c = = 0.0159375 x 4200/210 = = 0.31875
Luego, la ecuación (I), representa la cuantía mínima que se requiere para que el acero en compresión fluya.
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Considerando dos capas de refuerzo en tracción (d=60-9=51 cm), se tiene: Mu1 = ϕ f´c bd2 wmax( 1 – 0.59 w max) = Mu1 = 0.9x210x30x51^2x0.31875 (1 - 0.59x0.31875)=Mu1 = 38.17 t-m
Luego: As1 = 0.0159375 x 30 x 51 = 24.38 cm2
Ahora, como el momento aplicado es de 48 t-m, y como la viga trabajando a la flexión con la pmax solo soporta 38.17 t-m, entonces la diferencia de momento (Mu2 = Ma –Mu1) tendrá que ser asumido por el acero adicional en compresión, luego: Mu2 = Ma –Mu1 = 48 – 38.17 = 9.83 t-mSiendo: Mu2 = ϕ A´s fy (d – d¨)
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Luego:9.83 E 5= 0.9 x A´s x 4200 (51 – 6) A´s = 5.78 cm2
Por lo tanto, para resistir el momento de 48 t-m se requiere en tracción:
As = As1 + A´s = 24.38 + 5.78 = 30.16 cm2 Siendo, el acero en compresión:A´s = 5.78 cm2
Verificando si el acero en compresión fluye:p = 30.16 = 0.019712 30x51
P¨= 5.78 = 0.003778 30 x 51 Luego:p – p´= 0.016334
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Siendo: p - p´ ≥ 0.85f´c β1d´ 6000 d fy (6000-fy)
Luego: p - p´ ≥ 0.85x210x.85x6 6000 51x4200 (6000-4200)
p – p´= 0.01416
Comparando se obtiene que: el valor obtenido esta dado por (p – p´= 0.016334) y lo mínimo requerido para que fluya el acero en compresión esta dado por (p – p´= 0.01416), con lo que se verifica que el acero en compresión esta fluyendo.
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VERIFICACION DE UN SECCION RECTANGULAR DOBLEMENTE REFORZADA
Es usual es que una sección transversal de una viga tenga acero superior e inferior, la pregunta que nos haremos será habrá sido diseñada con acero en compresión. El procedimiento para realizar tal verificación es la siguiente:Ejemplo: Se tiene una viga de sección rectangular 30x60 cms, con 3ϕ 1’’ en tracción y 2 ϕ 3/4’’ en compresión, verifique si el diseño se ha realizado como viga doblemente reforzada.
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εu = ε´s c c – d´
Del diagrama de deformaciones:
0.003 = ε´s c c – 6
Luego: 0.003 c – 0.018 = ε´s cc(0.003 - ε´s) = 0.018c = 0.018 , pero: ε´s = fs 0.003- ε´s Es
Reemplazando se tiene:
c = 0.018 = 0.018 x 2 E 6 0.003- fs/2E6 6000 - fs
c = 36000 ………(1) 6000- fs
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Igualando (1) con (2), se tiene:
63000 – 5.68 fs = 4551.75
36000 6000- fs
Obteniéndose para fs:fs = 2601.8 kg/cm2
Calculado fs, se puede obtener c y demás variables.
c = 3600 = 10.59 cm 6000-2601.8
a = 9.0 cm
Planteando el equilibrio horizontal se tiene:Ts = Cc + C´sAs fy = 0.85 f´c ab + A´s fs0.85 f´c b 0.85 c + A´ s fs = As fy 0.85x210x30x0.85 c = 15 x 4200 – 5.68 fs
c = 63000 – 5.68 fs …………(2) 4551.75
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Luego, el momento resistente, la obtendremos tomando momentos en la zona en tracción:Mu = ϕ[0.85 f´c ab (d- a/2) + A´s fs (d – d´) ] Mu = 0.9[0.85x210x30x9x(54-9/2) + 5.68x2601.8(54-6)] Mu = 27.8 t-mSi se calculara el momento resistente despreciando el efecto del refuerzo en compresión se tendría:
p = As = 15 = 0.00925 bd 30x54
As = 3ϕ 1’’ = 15 cm2
w = p fy = 0.00925x4200 = 0.185185 f´c 210
Luego: Mu1 = ϕ f´c bd2 w( 1 – 0.59 w) = Mu1 = 0.9x210x30x54^2x0.185185(1 - 0.59x0.185185)=Mu1 = 27.27 t-m
Con lo que se demuestra que cuando una sección de una viga no ha sido diseñada con los requisitos de doble reforzamiento (acero en compresión), el valor obtenido para el momento resistente, considerando acero en tracción únicamente, no difiere significativamente.
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METODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI PARA DETERMINAR MOMENTOS Y FUERZAS CORTANTES MAXIMAS
CONSIDERACIONES:a) Las luces sean aproximadamente iguales, sin que la mayor de dos luces adyacentes exceda a la menor en el 20 %.b) Las cargas sean uniformemente repartidasc) La carga viva no exceda a tres veces la carga muerta.d) Los elementos sean prismáticos.
Identificar si se trata de una losa simplemente apoyada o una losa continua.
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MOMENTOS POSITIVOSLuces extremas
i)Extremo discontinuo no empotrado ……………. 1/11 wu ln^2
ii)Extremo discontinuo monolítico con el apoyo …. 1/14 wu ln^2iii)Luces interiores ……………………………………. 1/16 wu ln^2
MOMENTOS NEGATIVOSi) Cara exterior del 1er apoyo interior
Dos luces …………………………………………… 1/9 wu ln^2
Mas de dos luces..…………………………………. 1/10 wu ln^2
ii) Demás caras de apoyos interiores ……………. 1/11 wu ln^2
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iii) En la cara de todos los apoyos para losas con ln ≤ 3.00 mt y vigas en las que:
Σ K cols ≥ 8 …………................... 1/12 wu ln^2Σ K vigas
iv) En la cara interior del 1er apoyo exterior para elementos construidos monolíticamente con sus apoyos.
Si el apoyo es una viga …………………………… 1/24 wu ln^2
Si el apoyo es una columna …..…….…………… 1/16 wu ln^2
FUERZA CORTANTE
En la cara exterior del 1er apoyo interior ….……… 1.15/2 wu ln
Demás caras …………………………………..……… 1/2 wu ln
Longitud de calculo.- Para elementos monolíticos se considera la luz libre. Sin embargo para elementos que no han sido construidos monolíticamente con sus apoyos, la longitud de calculo será la luz libre mas el espesor del peralte del elemento pero no mayor que la distancia entre ejes de los apoyos.
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EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA UTILIZANDO EL METODO DE COEFICIENTES DEL ACI