SMARTSKY MATEMATIKA

PERBANDINGAN

A. Konversi Satuan

1. Satuan Panjang

Contoh soal: Lengkapilah tabel berikut!

M KM CM HM MM20 … … ... …

m = 20 m

km = 20 : 1.000 (Naik 3 tangga dari m ke km, setiap naik tangga dibagi 10) = 0,02 km

cm = 20 x 100 (Turun 2 tangga dari m ke cm, setiap turun tangga dikali 10) = 2.000 cm

hm = 20 : 100 (Naik 2 tangga dari m ke hm, setiap naik tangga dibagi 10) = 0,2 hm

mm = 20 x 1.000 (Turun 3 tangga dari m ke mm, setiap turun tangga dikali 10)

= 20.000 m

2. Satuan Berat

Setiap naik tangga dibagi 10. Setiap turun tangga dikali 10.

Contoh soal : 

Sederhanakan!20 m : 30 hm = 20 m : 3000 m                      = 20 m : 3000 m                       = 1 : 150

Lengkapilah tabel berikut!

ONS KG GRAM KWINTAL750 … … …

ons = 750 onskg = 750 : 10 (Naik 1 tangga dari ons ke kg, setiap naik tangga dibagi 10) = 75 kggram = 750 x 100 (Turun 2 tangga dari ons ke gram, setiap turun tangga dikali 10) = 75.000 gramkwintal = 750 : 1.000 (Naik 3 tangga dari ons ke kwintal, setiap naik tangga dibagi 10)

= 0,75 kwintal

3. Satuan Volume

Contoh soal : 

Lengkapilah tabel berikut!

LITER M3 CC 75 … …

liter = 75 liter

m3 = 75 : 1.000 (Naik 1 tangga dari liter ke m3, setiap naik tangga dibagi 1.000)

= 0,75 m3

cc = 75 x 1.000 (Turun 1 tangga dari liter ke cc, setiap turun tangga dikali 1.000)

= 75.000 cc

Sederhanakan!

2,5 liter : 750cc = (2,5 dm3 x 1.000) : 750 cm3

= 2.500 cc : 750 cc

= 10 : 3

4. Satuan Jumlah

1 lusin = 12 buah

1 kodi = 20 buah

1 gross = 144 buah

1 rim = 500 lembar

Contoh soal :

Sederhanakanlah !

7 lusin : 2 gross = (7 lusin x 12) : (2 gross x 144)

= 84 buah : 288 buah

= 7 : 24

B. SKALA DAN PETAC. Skala peta (S) : Perbandingan (rasio) antara jarak dua titik pada peta dan jarak

sesungguhnya kedua titik tersebut di permukaan bumi atau di lapangan, dan

pada satuan yang sama. Skala peta biasanya menggunakan perbandingan misal

1: 500.000 dibaca 1 cm pada peta mewakili 500.000 cm/ 5 km (jarak

sebenarnya) di atas permukaan bumi.

D.

E. Jarak peta (JP) :Jarak antara satu wilayah ke wilayah lain yang ada pada peta

mewakili jarak sebenarnya di atas permukaan bumi. Jarak pada peta ini biasanya

menggunakan satuan cm.

F. Jarak sebenarnya (JS) : Jarak sebenarnya adalah jarak sebenarnya antara satu

wilayah ke wilayah lain. Jarak sebenarnya biasanya menggunakan satuan km.

G.

H. RUMUS JARAK PETA, JARAK SEBENARNYA, DAN SKALA PETA

I.

J.

K. Skala peta (S) : jarak peta (JP) : jarak sebenarnya (JS)

L. Jarak peta (JP) : skala (S) x jarak sebenarnya (JS)

M. Jarak sebenarnya (JS) : jarak peta (JP) : skala (S)

N.

O. CONTOH SOAL

P. 1. Pada peta, jarak kota P ke kota R 12 cm. Skala peta 1 : 3.500.000.

Berapa jarak kota P - R yang sebenarnya?

Q.

R. Jawaban

S.

T. JS = JP : S

U. JS = 12 : 1/3.500.000

V. JS = 12 x 3.500.000 (pembagian dengan pecahan harus dibalik)

W. JS = 42.000.000 cm = 420 km

X. Jadi jarak sebenarnya adalah 420 km

Y. 2. Kota A dan Kota B memiliki jarak 800 km. Pada peta jarak kedua kota tersebut

adalah 16 cm. berapa skala yang digunakan peta itu?

Z. Jawaban

AA.S = JP : JS

BB. S = 16 cm : 800 km

CC. S = 16 cm : 80.000.000 cm

DD.S = 1 cm : 5.000.000 cm

EE. Jadi skala petanya adalah 1 : 5.000.000

3. Hadi menggambar sebuah denah dibukunya. Skala yang ia gunakan adalah 1:

20.000. Jika jarak dua tempat sesungguhnya adalah 400 meter. Berapa jarak kedua

tempat tersebut dalam denah?

Jawaban

JP = S x JS

JP = 1 cm / 20.000 cm x 400 m

JP = 40.000 cm : 20.000 cm

JP: 2 cm

Jadi jarak petanya adalah 2 cm

FF.

GG. PERBANDINGAN SEHARGA DAN BERBALIK HARGA1. Perbandingan seharga

Cara :

4 : 2 = 2

10.000 x 2 = 20.000

Jumlah Buku Harga Buku

2 10.000

4 ...

4 x 10.000 = 20.000

2

2. Perbandingan berbalik harga

Cara :

4 x 10 = 5

8

AL JABAR

1. Penemu Aljabar : Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi2. Judul buku yang berisi aljabar pertama : Al jabr wal muqabalah 3. Contoh aljabar sederhana :

3x - 4y + 15 *1. Angka 3 dan 4 berperan sebagai koefisien, artinya angka di depan variabel. 2. Huruf x dan y berperan sebagai variabel, artinya huruf yang menggantikan angka. 3. Angka 15 berperan sebagai konstata, artinya angka yang berdiri sendiri.

4. Aljabar dapat dibagi menurut berbagai suku, seperti : 1 suku / suku tunggal:

3 x -4 y 15 3x - 4x = -x -4y + 7y = 3 y

Jumlah Pekerja Waktu Selesai

4 10 hari

8 ...

2 suku / binom : 3x – 4y 3x + 15 -4y + 15 3x – 4y – 6x = -3x -4y suku banyak ( polinom ) 3x + 15 – 8x = -5x + 15

3 suku / trinom : 3x – 4y + 15

Dst.

5. Pengurangan bentuk aljabarContoh : Kurangkan 5 dari 11 11-5 = 6 Kurangkan a dari b b-a Kurangkan 2x + y dari 3x – 4y 3x – 4y – ( 2x + y )

3x – 4y – 1 ( 2x + y )3x – 4y – 2x – y x – 5y

6. Variasi bentuk penjumlahan dan pengurangan aljabar Contoh :Jika x = 3a + 5b dan y = 4a – 2b, maka :

x + y = 3a + 5b + 4a – 2b = 7a + 3b x – y = 3a + 5b – (4a – 2b) = 3a + 5b – 4a + 2b = -a + 7b 2x + y = 2 ( 3a + 5b ) + 4a – 2b = 6a + 10b + 4a – 2b = 10a + 8b x - ½ y = 3a + 5b - ½ ( 4a – 2b ) = 3a + 5b – 2a + b = a + 6b 4x + 3y = 4 ( 3a + 5b ) + 3 ( 4a – 2b ) = 12a + 20b + 12a – 6b = 24a +

14b 3x – 1½y = 3 ( 3a + 5b ) – 3/2 ( 4a – 2b ) = 9a + 15b – 6a + 3b = 3a +

18b

7. Perkalian bentuk aljabara. Perkalian suku tunggal

Menggunakan salah satu sifat perkalian, yaitu komutatif, sehingga :2 x a = a x 2 = 2a

b. Perkalian suatu bilangan dengan suku dua

x x

x 4 x 41. Panjang = ( x + 4 ) satuan Lebar = x satuanLuas persegi panjang tersebut : = x ( x + 4 ) satuan luas Luas gambar 1 = luas gambar 2

x ( x + 4 ) = x2 + 4x

Selain itu, dengan menggunakan cara seperti di atas, hasil perkalian suatu bilangan dengan suku dua dapat ditentukan sebagai berikut :x ( x + y + 4 ) = x [( x + y ) + 4 ] = x(x + y) + 4x = x2 + xy + 4x

c. Perkalian suku dua dengan suku dua Menggunakan hukum distributif

(x + 2)(x + 5) = x(x + 5) + 2(x + 5) ------- > Penjabaran dari (x + 2)(x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10 -------- > Penjabaran dari x(x + 5) + 2(x + 5) = x2 + 7x + 10

Menggunakan skema( 3x + 4 )( x – 2 ) = 3x2 – 6x + 4x – 8 Cara :

( 3x + 4 )( x – 2 ) = 3x(x) + 3x(-2) + 4(x) + 4(-2) = 3x2 – 6x + 4x -8

Penggunaan perkalian (x + a)( x + b)

x2 4x x( x + 4 )

Penggunaan perkalian istimewa (x + a)( x + b) yang khusus, yaitu jika a + b = 10, sehingga hasil perkalian dari (x + a)( x + b) dapat dinyatakan sebagai berikut : (x + a)( x + b) = x2 + ( a + b )x + ab a + b = 10 = x2 + 10x + ab = x(x + 10) + ab

8. Pembagian bentuk aljabarJika dua bentuk aljabar memiliki faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama. Contoh :

8a : 2a = 4 6xy : 3y = 2x

Namun, jika pembaginya merupakan suku dua, maka hasil pembagian dapat ditentukan dengan cara bagi kurung seperti pembagian pada bilangan bulat positif. Contoh :

28a5b3 : (-7a4) = 28a5b3/(-7a4) = (28/-7)(a5/a4)(b3/1)

= -4(a)(b3)= -4ab3

9. Pemangkatan bentuk aljabara. Arti pemangkatan bentuk aljabar

Pemangkatan suatu bilangan didapat dari perkalian berulang untuk satu bilangan yang sama. Jadi, untuk sembarang bilangan a dengan pangkat n, terdapat hubungan berikut.an = a x a x a x ... x a

n faktorDalam pemangkatan bentuk aljabar, perlu dibedakan pengertian-pengertian berikut : Bentuk 3a2 dengan (3a)2

3a2 = 3 x a x a(3a)2 = (3a) x (3a) = 9a2

Bentuk –(3a)2 dengan (–3a)2

–(3a)2 = –(3a x 3a) = – 9a2

(–3a)2 = (–3a) x (–3a) = 9a2

b. Pengkuadratan suku dua Contoh : (a + b)2 = (a+b)(a+b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = (a-b)(a-b) =a2 – ab – ab + b2

= a2 - 2ab + b2c. Pemangkatan suku dua dengan segitiga pascal

1

1 1----------------- untuk (a+b)1 dan (a-b)1

1 2 1---------------- untuk (a+b)2 dan (a-b)2

1 3 3 1---------------- untuk (a+b)3 dan (a-b)3

1 4 6 4 1------------------ untuk(a+b)4dan(a-b)4

*(a+b)1 = a+ b

(a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2

(a+b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

(a+b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

Note : Pada hasil pemangkatan suku dua, pangkat dari a turun dan pangkat dari b naik.

10. Mensubtisusi bilangan dalam bentuk aljabarDalam bentuk aljabar, misalnya 2x2 + 5x – 3y + 6, variabel x dan y dapat diganti dengan bilangan yang ditentukan, sehingga bentuk aljabar tersebut memiliki nilai tertentu. Pengerjaan mengganti variabel dengan bilangan yang ditentukan disebut pengerjaan substitusi.Contoh : Jika a = 5 dan b = -4, tentukan nilai dari 2ab + 3b2!Jawaban :2ab + 3b2= [2 x 5 x (-4)] + [3 x (-4)2] = -40 + 48 = 8

11. Faktorisasi bentuk aljabara. Faktorisasi dengan hukum distributif

Faktorisasi (pemfaktoran) adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku

menjadi bentuk perkalian faktor-faktor.

Bentuk penjumlahan suku-suku pada bentuk aljabar yang memiliki faktor yang

sama (faktor persekutuan) dapat difaktorkan dengan menggunakan hukum

distributif. Dalam faktorisasi, faktor persekutuan yang diambil adalah faktor

persekutuan terbesar, sehingga suku-suku yang berada di dalam tanda kurung

tidak lagi memuat faktor persekutuan.

Rumus : Faktor Faktor

ab + ac = a ( b + c )

Bentuk Bentuk perkalianPenjumlahan

Contoh : 4x2y + 6xy2 – 8x2y2 = 2xy(2x) + 2xy(3y) – 2xy(4xy) = 2xy(2x+3y-4xy)Note : 2xy adalah faktor persekutuan dari 4x2y, 6xy2, dan 8x2y2

2a – 2b + ac – bc = 2(a – b) + c(a – b) = (a – b)(2+c)

b. Faktorisasi selisih dua kuadratRumus :( x + y )(x – y) = x2 + xy – xy – y2

= x2 – y2

Note : Jadi, x2 – y2 = Selisih dua kuadrat. ( x + y )(x – y) = perkalian faktor-faktor.

c. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1Faktorisasi (pemfaktoran) bentuk x2 + bx + c adalah :

x2 + bx + c = ( x + p)( x + q ).

Dengan syarat : b = p + q a = 1, sehingga c = p x q

Contoh : x2 + 2x – 48 = (x+8)(x-6)

Note : (x+8)(x-6) = x2 – 6x + 8x – 48 = x2 + 2x – 48

72 – 14x –x2 = -1(x2+14x-72) = -1(x - 4)(x + 18) = (-x+4)(x+18) = (4 – x)(18 + x)

d. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1Faktorisasi/pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1 dilakukan dengan :ax2 + bx + c = ax2 + px + qx +c = ( ax2+px)(qx+c)Pasangan bilangan p dan q harus memenuhi syarat berikut : b = p + q a = 1, sehingga a x c = p x q

Contoh :3x2 + 5x – 12 = 3x2 + 9x - 4x – 12 = (3x2 + 9x)(-4x – 12) = 3x(x+3) -4(x+3) =(x+3)(3x – 4)

12. Operasi pecahan bentuk aljabarPecahan bentuk aljabar adalah pecahan yang pembilang, penyebut, dan kedua-duanya memuat bentuk aljabar. Penyebut pada pecahan bentuk aljabar = 0a. Menyederhanakan pecahan aljabar

Jika pembilang dan penyebut memiliki faktor yang sama, maka pecahan tersebut dapat disederhanakan. Contoh : 4a – 12b 4(a-3b) (a-3b)

8 8 2b. Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar

Contoh : a 3a a + 3a 4a

+ = = 5 5 5 5

4x x 4x - x 3x - = = 7 7 7 7

c. Perkalian dan pembagian pecahan aljabarContoh :

a 3b 3ab 3a x = = b b+2 b(b+2) b+2

a 2a a a-3 a(a-3) a-3 : = x = =a+2 a-3 a+2 2a 2a(a+2) 2a + 4

PERPECAHAN

Arti Pecahan

Pecahan, atau Fraksi adalah istilah dalam Matematika yang terdiri dari pembilang dan penyebut. Penyederhanaan pembilang dan penyebut akan memudahkan dalam operasi aritmetika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar tetapi tetap mempunyai nilai yang sama. Pecahan murni adalah pecahan yang nilai pembilangnya lebih kecil daripada nilai penyebutnya. Pecahan

seperti 14 dan

12 adalah contoh dari pecahan murni, sedangkan pecahan seperti 1

14

dan 212 adalah contoh pecahan tidak murni, atau pecahan campuran. Jenis pecahan

ini akan diperjelaskan lebih lanjut di rangkuman ini.

Pecahan Senilai

Pecahan Senilai adalah pecahan yang meskipun angkanya berbeda namun

nilainya sama. (i.e 12 ,

24 ,

36, 4

8, 510, dan seterusnya)

Jadi, bagaimanakah cara menentukan pecahan yang senilai? Caranya adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama, seperti contoh berikut:

12=1 x3

2 x3=3

6=1

2=1x 2

2x 2=2

4, dst .

Pecahan Campuran Dalam Matematika

Arti Pecahan Campuran

Berikut ini akan dibahas tentang pecahan-pecahan yang nilai pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, seperti 3/2, 7/3 dan 13/5. Pecahan pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan yang terdiri dari bilangan bulat dan pecahan yang disebut pecahan campuran atau bilangan campuran.

Contoh-Contoh Soal Pecahan Campuran Dan Penyelesaiannya

1. Nyatakan bilangan 7/3 sebagai pecahan campuran !

Caranya :

1. 7/3 = 6/3 + 1/3 7/3 = 7:3

= 2 + 1/3 ATAU = 2 bersisa 1 (2 ditaruh di awal, 1 menjadi pembilang)

= 2 1/3 =7/3 = 2 1/3

Dengan demikian, 2 1/3 merupakan pecahan campuran atau bilangan campuran karena terdiri atas bilangan bulat dan pecahan. Sebaliknya, bilangan campuran dapat diubah menjadi bentuk pecahan biasa, seperti contoh berikut.

2. Nyatakan bilangan 2 5/6 sebagai pecahan biasa !Caranya :1. 2 5/6 = 2+5/6 2 5/6 = 6X2+5 per 6

=12/6 + 5/6 ATAU =12+5 per 6

=17/6 =17/6

2.1.1 (Gambar ada di Buku Matematika Erlangga Hal. 38)

Catatan : Pecahan campuran a b/c dengan c =/ 0 dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan biasa, yaitu a b/c = c x a + b per c.

Bentuk-bentuk pecahan banyak digunakan dalam matematika, ilmu-ilmu lain, maupun dalam kehidupan sehari-hari.

3. Dua per lima dari penduduk suatu kota adalah laki-laki. Jika banyak penduduk kota tersebut 8 juta jiwa, tentukan banyak penduduk laki-laki!Caranya :1. Banyak penduduk laki laki = 2/5 X 8.000.000

= 3.200.000 jiwa.

Perbandingan Pecahan

Jika lebih besar menggunakan tanda (>), contoh : 1/2 > 1/3

Jika lebih kecil menggunakan tanda (<), contoh : 2/6 < 1/2

Jika sama besar menggunakan tanda (=), contoh : 2/8 = 3/12

Untuk mengetahui hubungan antara dua pecahan, terlebih dahulu samakanlah penyebut kedua pecahan tersebut. Selanjutnya bandingkan nilai kedua pembilang pecahan tersebut.

Contoh Soal :

1. Manakah yang lebih besar antara 2/3 dan 3/4 ? 2. Susunlah pecahan berikut ini dari yang kecil ke yang besar!

1/2, 1/4, 1/3

Jawab :

1. 2/3 = 8/12 <------ 12 adalah kpk dari 3

3/4 = 9/12 <------ 12 adalah kpk dari 4

= 8/12 < 9/12

= 2/3 < 3/4

2. 1/2 = 6/12

1/4 = 3/12

1/3 = 4/12

= 3/12 < 4/12 < 6/12

= 1/4 , 1/3 , 1/2

Pecahan Negatif

Pecahan yang terletak diantara 0, 1, 2, 3 dan seterusnya merupakan bilangan pecahan positif, contoh: 1/2 , 1/4, 5/2

Sedangkan lawan dari pecahan positif adalah pecahan negatif yang teletak diantara 0 , -1 , -2 , -3 , contoh: -1/2 , -1/4, -5/2

-5/2 -2 -1 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 1 2 5/2

BILANGAN BULAT

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan negatif (-), nol (0), dan positif (+). Contoh: (...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...)______________________________

OPERASI PADA BILANGAN BULAT1) Penjumlahan (+)2) Pengurangan (-)3) Perkalian (x atau *)4) Pembagian (: atau /)

a. Sifat Penjumlahan

    1. Komutatif (Pertukaran)        = a+b = b+a

    2. Asosiatif (Pengelompokan)        = (a+b)+c = a+(b+c)

    3. Tertutup (Jika 2 bilangan bulat          dijumlahkan maka hasilnya bilangan bulat)   = 1 + 2 = 3 --> -1 + 2 = 1 --> -1 + (-4) = -5

    4. Unsur Identitas (Tidak merubah hasil)         --> 0         = 5 + 0 = 5         100 + 0 = 100

b. Sifat Pengurangan

    1. Tertutup        = -1-(-5) = 4           -7-4 = -11

  2. Unsur identitas --> 0        = 5-0 = 5        -1-0 = -1

c. Sifat Perkalian

    1. Komutatif        = axb = bxa

    2.  Asosiatif        = (axb)xc = ax(bxc)

    3. Distributif        = ax(b+c) = (axb)+(axc)           ax(b-c) = (axb) - (axc)

    4. Tertutup        = 4x2 = 8           -2x8 = -16          -9x(-7) = 63

    5. Unsur Identitas        = 100x1 = 100          -254x1 = -254

d. Sifat Pembagian

    1. Tidak Tertutup        = 5:2 = 2 1/2

    2. Unsur Identitas --> 1        = 100/1 = 100          -571/1 = (-571)