Mecânica (Professor: Sidclei) Vetores: (unidade 07)

A Física lida com um grande conjunto de grandezas físicas, que é tudo aquilo que pode ser medido.

Classificação:

a) escalar Dentro desta gama imensa de grandezas, podemos encontrar aquelas que, para ficarem bem caracterizadas, necessitam apenas de uma intensidade, ou seja, um número acompanhado de uma unidade de medida. São exemplos de tais grandezas: tempo, massa, temperatura, comprimento,área , volume, energia, pressão, etc.

b) vetorialOutras grandezas físicas, denominadas grandezas vetoriais, necessitam, de completa caracterização ,isto é ,além da intensidade( módulo), uma orientação espacial, caracterizada por uma direção e um sentido. Além disso, enquanto a intensidade de uma grandeza escalar pode, em alguns casos, ser negativa, a intensidade de uma grandeza vetorial é sempre positiva. Este é o motivo pelo qual denominamos esta intensidade de “módulo”. São exemplos de tais grandezas: deslocamento, velocidade ,aceleração ,força, Impulso ,Quantidade de movimento,campo elétrico, campo magnético, etc.

Observacão:Lidar com grandezas escalares é relativamente fácil, principalmente quando desejamos somá-las ou subtraí-las. Não podemos esquecer que tais operações exigem que as grandezas sejam da mesma espécie. Com as grandezas vetoriais, estas operações são um pouco mais complicadas.

GRANDEZAS ESCALARES X GRANDEZAS VETORIAIS

ESCALARES VETORES comprimento Deslocamento

área / volume Aceleração calor Velocidade

temperatura Força massa / densidade Impulso

tempo Quantidade de movimento energia Campo elétrico pressão Campo magnéticopotência Torque (momento)

Vetor:A melhor forma de lidar com uma grandeza vetorial é introduzir o conceito de vetor. Podemos dizer que um vetor é um segmento de reta orientado.

Vetor (do latim vector = condutor), como já dissemos é um instrumentos usado, principalmente pela física, que reúne "dentro de si" três informações sobre um corpo ou um móvel.

MÓDULO (intensidade, número real não-numérico) SENTIDO DIREÇÃO

   Geometricamente, o vetor é representado como abaixo.

Para facilitar a nossa compreensão vamos pegar um exemplo simples

Neste exemplo tempos um vetor que possui todas as informações necessárias. veja:·         Direção: como vemos, o vetor acima possui a mesma direção da reta r, horizontal;·         Sentido: da esquerda para direita, neste caso;·         Módulo: | | = 3 u ou V = 3u O módulo é a intensidade do vetor, como já sabemos. O módulo é, graficamente  representado, pelo tamanho do vetor desenhado, que em nossa caso é de três unidades de medidas u, ou seja 3u.

OBS.: Devemos sempre notar que se a unidade de medida fosse centímetros, o módulo do vetor seria 3 cm, e se a unidade de medida fosse metros, o módulo do vetor possuiria 3 metros, etc.

Os vetores são representados por qualquer letra e por uma seta desenhada por sida da letra, como  . O módulo deste vetor é representado pela letra que representa o vetor, porém sem a seta em cima, v, ou então pelo símbolo do vetor entre os sinais matemáticos que representam módulo, | |.

Ao compararmos dois vetores que representem uma mesma grandeza física, podemos encontrar vetores iguais, opostos e contrários. Muita atenção nas diferenças.

Observe que os iguais (  =  ) e os opostos (  = -  ) tem o mesmo módulo ou intensidade. Não usamos os sinais > (maior que) e < (menor que) para comparar vetores, mas apenas para comparar seus módulos ou intensidades. 

1. Adição (soma ) de vetores

a) Adição pela regra do polígonoSomar vetores é colocá-los em seqüência e, mantendo suas características originais, descobrir o tamanho e a

orientação de um único vetor que fizesse o mesmo efeito, ou seja, que levasse do ponto inicial ao ponto final em linha reta.veja o exemplo a seguir:

Veja outros exemplos da adição de vetores utilizando a regra do polígonoLigam-se os vetores origem com extremidade. O vetor soma é o que tem origem na origem do 1º vetor e extremidade na extremidade do último vetor.

b)Dados os vetores

 

 c)Dados os vetores

Determinar o vetor soma dos vetores abaixo.

Note que:

        Quando a extremidade do último vetor coincidir  com a origem  do primeiro, isto é, quando o polígono for fechado, o vetor resultante será nulo. (R = 0)

         Em qualquer ordem de colocação dos vetores, o vetor Resultante terá o mesmo módulo.

d) Adição pela regra do paralelogramo

Somar vetores utilizando a regra do paralelogramo,é colocá-los em num ponto onde os dois vetores tem a mesma origem e traçando as paralelas de cada um, formaremos um paralelogramo e finalmente traçamos na diagonal o vetor resultante do mesmo ponto de origem dos vetores até a outra extremidade.

2.Subtração de vetores

Cálculo do módulo do vetor resultante

(0º) =

(0º)

(0º)

(0º,º,0º,0º,º,0º)

UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS VERSOR, é um VETOR UNITÁRIO de módulo (intensidade) igual a 1.Vamos associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y , conforme figura abaixo:

O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou seja, base do plano cartesiano Oxy.Verifica-se que um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como: u = x.i + y.j

Qualquer vetor pode ser expresso em função de seus versores horizontais e verticais. Exemplo:

Cada divisão da figura abaixo tem 1 unidade. Representar cada vetor em função de  e 

 

Produto de um escalar por um vetor

Alguns exemplos de produto de escalar por vetor:

O produto de um escalar por um vetor dá como resultado um outro vetor, como podemos ver nos exemplos acima.

Direção: a mesma do vetor; Sentido: depende do sinal do escalar. Se o escalar for positivo o vetor mantém o sentido original,

se o escalar for negativo a direção será invertida; Módulo: produto do módulo do vetor pelo módulo do escalar.

Lista de exercícios

1. (Cefet-PR) Verifique quais são as grandezas escalares e vetoriais nas afirmações abaixo.

       

    

1) O deslocamento de um avião foi de 100 km, na direção Norte do Brasil.

2) A área da residência a ser construída é de 120,00 m2.

3) A força necessária para colocar uma caixa de 10 kg em uma prateleira é de 100 N.

4) A velocidade marcada no velocímetro de um automóvel é de 80 km/h.

5) Um jogo de futebol tem um tempo de duração de 90 minutos.

2. (UFB) Observe a figura a seguir e determine quais os vetores que:

a) tem a mesma direção. b) tem o mesmo sentido. c) tem a mesma intensidade (módulo) d) são iguais.

3. (UnB-DF) É dado o diagrama vetorial da figura. Qual a expressão correta?

a)  .      b)  .      c)  .        d)  .        e)  .

4. (FCC-SP) Qual é a relação entre os vetores,  , , , e   representados abaixo?

a)  .        b)  .        c)  .       d)  .     e) .

5. (UnB-DF) Sobre a composição dos vetores a seguir podemos dizer que:

a)  .     b)  .      c)  .        

d)  .

6. (UCSal-BA) Dado o conjunto de vetores, marque V para as questões verdadeiras e F para as falsas.

7.

8. Calcule o módulo do vetor resultante do vetor e em cada caso abaixo.

9. (PUC-BA) Nas figuras seguintes estão representados pares de vetores e nos quais cada segmento orientado está subdividido em segmentos unitários.

Quais destes pares têm a mesma resultante? a) 1 e 5. b) 2 e 4. c) 3 e 5. d) 2 e 3. e) 2 e 5.

10. Um paciente é submetido a uma tração, conforme indicada na figura, onde as roldanas P e R e o ponto de apoio Q no queixo estão no mesmo plano horizontal. Nessas condições, pode-se afirmar que a intensidade da força resultante, aplicada no queixo do paciente, vale aproximadamente:

a) 12 kgf b) 33 kgf c) 32 kgf d) 42 kgf e)52 kgf

11. Sobre uma partícula agem as quatro forças representadas na figura02-Dados dois vetores a e b, sendo a = 20 u e b = 15 u, determine o módulo do vetor soma de a e b nos seguintes casos: a) os vetores a e b são paralelos e de mesmo sentido. b) Os vetores a e b são paralelos e de sentidos contrários. c) Os vetores a e b são perpendiculares entre si.

12. Sobre um corpo de dimensões desprezíveis, atuam duas forças, cujas intensidades são: F1 = 8,0 N e F2 = 6,0N. Entre quais valores se situa a intensidade da força resultante?

13. Sobre uma partícula agem as quatro forças representadas na figura a seguir.Qual a intensidade da força resultante sobre a partícula?

14. Uma partícula está sob ação das forças coplanares conforme o esquema abaixo. Determine a intensidade da resultante delas.

15. Os módulos das forças representadas na figura são F1 = 30N, F2 = 20 N e F3 = 10N. Determine o módulo da força resultante, ou seja, determine a soma vetorial dos vetores representados abaixo.

16. (CFT-CE) Para se posicionar frente ao gol adversário, um jogador efetua deslocamentos rápidos e sucessivos em linha reta,

com módulos de 1,8 m e 2,4 m, deixando completamente para trás a defesa oponente. Para que o deslocamento resultante da bola seja de 3,0m, o ângulo entre estes deslocamentos deve ser de:

a) 0°                     b) 30°                     c) 60°                        d) 90°                       e) 120°

N

O L

S

17. (UnB-DF) Considere um relógio com mostrador circular de 10 cm de raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor de origem no centro do relógio e direção variável. O módulo da soma dos três vetores determinados pela posição desse ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 horas, 12 horas e 20 minutos e, por fim, 12 horas e 40 minutos é, em cm, igual a:

a) 30.                     b)  .                      c) 20.                      d) zero.

18. (Inatel, S.Rita do Sapucaí-MG) João caminha 3m para oeste e depois 6m para sul. Em seguida, ele caminha 11m para leste. Em relação ao ponto de partida, podemos afirmar que João está:

a) a 10m para sudeste.b) a 10m para sudoeste.c) a 14m para sudeste.d) a 14m para sudoeste.e) a 20m para sudoeste.

19. Uma pessoa saiu de sua casa e caminha 5 quarteirões rumo ao norte; em seguida, seis quarteirões rumo ao leste e, finalmente, mais três quarteirões rumo ao norte. Cada quarteirão tem 100m de extensão. A que distância em linha reta, ele se encontre de sua casa?

20. (UFMG) Uma pessoa sai para dar um passeio pela cidade, fazendo o seguinte percurso: sai de casa e anda 2 quarteirões para o Norte; dobra à esquerda andando mais 2 quarteirões para Oeste, virando, a seguir, novamente à esquerda e andando mais dois quarteirões para o Sul. Sabendo que cada quarteirão mede 100m, o deslocamento da pessoa é:

a) 700m para Sudeste b) 200m para Oeste c) 200m para Norte  d) 700m em direções variadas      e) 0m

21. (UNEB-BA) Um jogador de golfe necessita de quatro tacadas para colocar a bola no buraco. Os quatro deslocamentos estão representados na figura abaixo.

 Sendo d1 = 15 m, d2 = 6,0 m, d3 = 3,0 m e d4 = 1,0 m, a distância inicial da bola ao buraco era, em metros, igual a:

a) 5,0                       b) 11                           c) 13                              d) 17                             e) 25

22. Dados os vetores , , , e , abaixo representado, obtenha graficamente e determine os módulos dos vetores e .

a) = + +                                                     b) = 2 - +

23. (CFT-CE) Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o módulo do vetor soma:

a) zero                       b) √20                     c) 1                      d) 2                       e) √52

24. (UEL-PR) Na figura a seguir estão desenhados dois vetores ( e ). Esses vetores representam deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é o módulo do vetor igual a  + ?

a) 4 cm.                      b) 5 cm.                      c) 8 cm.                      d) 13 cm.                       e) 25 cm.

25. (UNESP-SP) A figura mostra, em escala, duas forças   e  , atuando num mesmo ponto material P.

a) Represente na figura reproduzida a força  , resultante das forças   e  , e determine o valor de seu módulo , em newtons.

b) Represente, também na mesma figura, a força  , de tal modo que 

26. (FATEC-SP) No gráfico anexo estão representados três vetores   . Os vetores  e  são unitários. Analise as informações:

27.

28.

29.

30.

31.