PMA Levensverzekeringswiskunde

(vakcode 370894)

2. Verzekeringen met uitkering bij leven

en overlijdensrisicoverzekeringen

Levensverzekering

Een levensverzekering is de in verband met het leven of de dood

gesloten sommenverzekering met dien verstande dat

ongevallenverzekering niet als levensverzekering wordt beoogd.

Een sommenverzekering is de verzekering waarbij het

onverschillig is of en in hoeverre met de uitkering schade wordt

vergoed.

Betrokken partijen

a. Verzekeraar

b. Verzekeringnemer

c. Verzekerde

d. Begunstigde

Partijen b. en d. kunnen gedurende de verzekeringsperiode

wijzigen zonder conversie van de verzekering, maar een

wijziging van c. betekent dat de verzekering moet worden

omgezet.

Soorten levensverzekeringen

- Verzekeringen met uitkering bij leven:- Uitkering van een kapitaal

- Uitkering van een lijfrente

- Overlijdensrisicoverzekeringen:- Levenslange verzekering ter dekking van de begrafeniskosten

- Tijdelijke verzekering ter aflossing restschuld hypotheek

- Gemengde verzekering:- Combinatie van een tijdelijke overlijdensrisicoverzekering met een

kapitaalverzekering bij leven

- Verzekeringen op twee levens:- Uitkering indien beide personen in leven zijn

- Uitkering indien tenminste een van beide personen in leven is

- Uitkering na overlijden van de verzekerde persoon, mits de andere persoon nog in leven is (overlevingsverzekering)

Overlevings-/sterftetafels van het CBS

- qx= kans dat een x-jarige binnen 1 jaar overlijdt

- px= kans dat een x-jarige na 1 jaar leeft

px= 1 – q

x

- lx= aantal levenden van x jaar oud*

lx+1

= lxx (1 – q

x) = l

xx p

x

- dx= aantal personen dat in jaar x zal overlijden

dx= l

xx q

x

lx+1

= lx– d

x

* Dit aantal is gebaseerd op een rekenkundig wortelgetal of radix van 10

miljoen 0-jarigen.

Overlevings-/sterftetafels van het AG

Typen overlevingstafels van het Actuarieel Genootschap (zie

bijlage GB-tafels in Van As e.a., pp. 181-192):

- GBM: Gehele Bevolking Mannen

- GBV: Gehele Bevolking Vrouwen

- GB: Gehele Bevolking (verbindingstafel, combinatie van GBM en GBV),

bijvoorbeeld bij nabestaandenpensioen

Leeftijdsterugstelling

1. De tafels van het CBS en het AG zijn gebaseerd op historische gegevens. Maar de algemene levensverwachting neemt nog steeds toe.

2. Vooral mensen die denken dat ze zeer gezond zijn zullen een levensverzekering afsluiten (autoselectie). De levensverwachting van vrijwillig verzekerden zal hoger zijn dan de algemene levensverwachting.

Daarom passen verzekeringsmaatschappijen bij individuele verzekeringen leeftijdsterugstelling toe. Gebruikelijk is voor mannen 5 jaar en voor vrouwen 6 jaar. Bijvoorbeeld: een vrouw van 36 wordt aangemerkt als 30. Daardoor stijgt de prijs van de verzekering.

- Leeftijdsterugstelling wordt niet alleen toegepast met betrekking tot vrouwen, zoals gesuggereerd in Van As e.a. p. 26.

- Bij een collectieve pensioenregeling is de keuze welke tafel zal wordentoegepast en met welke leeftijdsterugstelling, een onderwerp van onderhandeling tussen werkgever en verzekeraar.

Sterfteverlies of -winst

Als bij een verzekeringsmaatschappij meer moet worden

uitbetaald dan volgens de verwachting, dan lijdt de

verzekeringsmaatschappij sterfteverlies (en in het omgekeerde

geval sterftewinst).

Hoe groter het aantal verzekerden in portefeuille, des te kleiner

het risico van sterfteverlies.

Rekenrente

- Rekenrente = de rente die leidt tot dekking van de nominale

verplichtingen bij verzekeringsmaatschappijen

- Hoe lager de rekenrente hoe voorzichtiger

- Bij levensverzekeringen stellen we in deze module de rekenrente op

3%, maar in de praktijk wordt hiervoor de marktrente gehanteerd

- RJ 271.316 (waardering pensioenvoorziening): “... De

disconteringsvoet vóór belastingen waartegen contant wordt

gemaakt, dient de actuele marktrente weer te geven ...”

- De rekenrente DGA-pensioen in eigen beheer (fiscaal) kan afwijken

van de rekenrente voor levensverzekeringen

- We komen later in deze module terug op de problematiek rondom

het bepalen van de toe te passen marktrente

Voorbeeld kapitaalverzekering

Stel, een man van 40 sluit een verzekering af op zijn leven met een zodanige koopsom dat hij, als hij op zijn 70e jaar nog in leven is, €50.000 ontvangt.

l40= 9784331

l70= 7849969

Overlevingskans = l70/l40= 7849969/9784331 = 0,8023

De koopsom zal dus zijn:

0,8023 x €50.000 x 1,03-30 =

0,8023 x €50.000 x

0,8023 x €50.000 x 0,4120 = €16.527

Bij een rekenrente van 4% zou de koopsom €12.368 zijn

Commutatietekens D en N

Dx= l

xx

De berekening in het voorbeeld wordt dan (bij 3%) vereenvoudigd tot:

D70/D

40x €50.000 = 9.914/29.995 x €50.000 = €16.526

Bij uitbetaling van een reeks van bedragen wordt gebruikt:

waarin ω de hoogste in de overlevingstafel voorkomende leeftijd is

Dx= N

x– N

x+1

Voor Dxen N

xzie ook de GB-tafels (voor andere rekenrentes dan 3%

gelden andere tafels)

Voorbeeld postnumerando tijdelijke lijfrente

Een 60-jarige man sluit tegen koopsombetaling een tijdelijk

dadelijk ingaande postnumerando lijfrente van €10.000 met een

looptijd van 3 jaar.

€10.000 x (D61+ D

62+ D

63)/D

60=

€10.000 x (14.861 + 14.286 + 13.719)/15.444 =

€27.756, of:

€10.000 x (N61– N

64)/D

60=

€10.000 x (220.318 – 177.453)/15.444 = €27.755

Overlijdensrisicoverzekering

Bij overlijdensrisicoverzekeringen gaat de voorkeur naar uitkering direct na overlijden, in plaats van aan het eind van het verzekeringsjaar van overlijden. Er zal gemiddeld een half jaar eerder moeten worden uitgekeerd. Daardoor stijgt de prijs van de verzekering.

Voor zie ook de GB-tafels (voor andere rekenrentes dan 3% gelden andere tafels)

Voorbeeld levenslange

overlijdensrisicoverzekering

Een vrouw van 38 jaar sluit een verzekering af voor uitkering van

een bedrag van €10.000 aan haar wettige erfgenamen direct na

haar overlijden.

€10.000 x

€10.000 x

€10.000 x 9.161/32.109 = €2.853

Voorbeeld tijdelijke

overlijdensrisicoverzekering

Een man van 27 sluit een verzekering af voor een periode van 20

jaar, ten behoeve van zijn pasgeboren dochter, voor een uitkering

van €200.000 uit te betalen direct na zijn overlijden.

€200.000 x

€200.000 x

€200.000 x (10.488 – 9.857)/44.467 =

€2.838

Voorbeeld gemengde verzekering

Een man van 35 sluit een verzekering af voor een periode van 25

jaar, voor een uitkering van €150.000 direct na overlijden uit te

betalen of bij in leven zijn op de einddatum.

€150.000 x

€150.000 x

€150.000 x (10.294 – 8.705 + 15.444)/34.929 =

€73.147

Formules:

kapitaalverzekering

- Koopsom voor een x-jarige van een eenmalige uitkering over n

jaar mits in leven:

Formules:

levenslange lijfrente

- Koopsom voor een x-jarige van een levenslange

postnumerando lijfrente:

- Koopsom voor een x-jarige van een levenslange prenumerando

lijfrente:

-

Formules:

tijdelijke lijfrente

- Koopsom voor een x-jarige van een n-jarige postnumerando

lijfrente:

- Koopsom voor een x-jarige van een n-jarige prenumerando

lijfrente:

Formules:

uitgestelde levenslange lijfrente

- Koopsom voor een x-jarige van een m jaar uitgestelde

levenslange postnumerando lijfrente:

- Koopsom voor een x-jarige van een m jaar uitgestelde

levenslange prenumerando lijfrente:

Formules:

uitgestelde tijdelijke lijfrente

- Koopsom voor een x-jarige van een m jaar uitgestelde n-jarige

postnumerando lijfrente:

- Koopsom voor een x-jarige van een m jaar uitgestelde n-jarige

prenumerando lijfrente:

Formules:

overlijdensrisicoverzekeringen

- Koopsom voor een x-jarige voor een levenslange

kapitaalverzekering bij overlijden:

- Koopsom voor een x-jarige voor een n-jarige

kapitaalverzekering bij overlijden:

Formules:

gemengde verzekeringen

- Koopsom voor een x-jarige voor een n-jarige gemengde

verzekering: