A S T R 0 N - 0 M I S C H I3 N A C H R I C H T E N, N% 448.

Versuch einer iieuen Methode, die B a h n e n der C o m e t e n z u be rechueu . Von Herrn Professor Dr. Grunert in Greifswald.

§* ' * dr den1 B e r l i n e r a s t r o n o m i s c h e n J a h r b u c h e f u r i 7 8 3. S. 1 6 6. findet man eine Abhandlung von Lagrange, in welcher dieser beriihmte Mathematiker eine von seiner in den Nouvea i ix M'lkmoires d e I ' A c a d 6 m i e r o y a l e ders s c i e n c e s e t b e l l e s l e t t r e s d e Ber l in . 1778 . p. 124. entwickelten und in denselben Memoireu von 1783. p. 296. weiter ausgebildeten Methode, die Cumetenbehrren zu berech- nen , wesentlich verschiedene Methode dieser Berechnung vor- tragt, von welclrer auch in demselben Jahrgange des Berliner astrononrischen Jahibuchs S. 196 Schulze riicht ohne Erfolg eine Anwendung auf den Cometen VOR 1774 gemacht hat. In dem Eingange seiner Abbandlung characterisirt Lagrunge seine Mcthode auf folgeride Art: ,, Alle bisher vorgeschlagenen Mit- tel, die Laufbahnen der Cometen aus Beobachtungen zu be- stimnien, setzen nur drei geocentrische Oerter , mit denen zwi- schen den Beobachtungen verflossenen Zeiten , als bekannt voraus ; allein sie griinden sich auch alle auf die Voraussetzung, die Laufbahnen der Cometen seyen parabolisch. Eines Theils ist es aber ein seltener Fall, dars man nicht mehr als drei Beobachtungen von einem Cometen haben sollte , und andern Theils beweiset der Conidt von 1770 genugsani, dafs man nicht durchaus die Laufbahir eines Cometen als parabolisch voraussctzen kiinne. Diese Betrachtungen , nebst den Schwie- rigkeiten, die gedhnlich sich bei der Anwendung so!cher Mittel finden , die rrur drei Beobachtungen erforclern , haben mir Anlafs gegeben zu untersuchen, o b sich. indem man meh- rere Beobachtungen gebraucbt , die Aufgabe vvn Bestimmung der Laufbahnen der Cometen nicht leichter und allgemeiner wiirde aufliisen lassen ; und ich habe folgendes Mittel gefun- den, durch welches man, mittelst sechb Beobachtungen, die Bestimmungsstucke einer jeden beliebigen Laufbahn , nach ge- Rchehener Aufliisung einer einfachcn Gleichung vom s i e b e 11- t e n Grade findet.(< Die sechs Beobachtungen , welche diese Lagraage'sche Methode in Anspruch nimmt, miissen s o be- schaffen seyn, dafs die Zwischenzeiten zwischen der ersten und zweiterr , zwischen der dritten und vierten, und zwischen der fiinften und sechsten Beobachtung sehr klein sind; die Zwischenzeiten zwischen der zweiten und dritten und zwi- schen der vierten und fiunften Beobachtung kiinnen dagegen

19, Dd.

beliebig grofs seyn, und es wird selbst seine besondern Vor- theile haben, dieselben so grofs als nur niiiglich anzunehmen. Dafs diese Methode, so wie alle bekannten Methoden, auch nur einc Niiherungsmethode ist, brauche ich wohl kaum noch besonders zu erinnerrr ; nach Nr. VIII. der Abhandlung werden die zwischen der ersten und zweiten, dritten und vierten, funf- ten und sechsten Beobachtung von dem Cometerr durchlaufeneri Bogen seiner Bahn, und auch die in denselben Zeiten von der Erde durchlaufenen Bogen ilirer Bahn als gerade Linien, oder die diesen Bogen entsprechenclen Sectoren als geradlinige Drei- ecke betrachtet, auf ganz lhnliche Art, mie z. B. auch bei der OZhers'schen nur drei nahe an einander liegende Beobach- tungen in Anspruch nehmendeu Methode, welche abcr bekannt- lich die Rahn als eine Parabel voraussetzt. .4m Schlufs seiner Abhandlung sagt Lugrange: ,,Das Mittel, welches wir in die- ser Abhandlung vorgeschlagen haben, ist vielleicht eines cler einfachsten und zuverl%sigsteo, so sich tinden lassen, um die merkwurdige Aufgabe, die Laufbahn der Cometen ails Bcob- achtungen zu bestimmen, geradezu und ohne langes Versuchen aufzuliisen. Aukerdem d a b sie nur die Aufliisung einer Glei- chung voni s i e b e n t e n Grade erfordert, so hat sie noch den Vorzug, dafs sie sich eben so leicht aufliisen IEfst, die Lauf- bahn mag als parabolisch, oder als eiii anderer beliebiger Kc- gelschnitt betrachtet werden. Ich kann nicht unterlasscn , end- lich noch anzumerken, dafs, wcnn man die Aufgabe von drr Bestimmung. der Laufbahnen der Cometen geradezu und genau mittelst dreier sehr nshe bei einaixler fallender Beobachtungeri. in der Voraussetzung clcr paraliolischerr Laufbakn , aufliiseir will, man ehenermaaken ayf t h e Gleichung vom s i e b P n t e I I

Grade verfillt, so wie ich tlieses in meinen Untersuchungerr uber diesen Gegenstand ( RI&moircs de 1778) geeciget habe, d e r g e s t a l t d a f s e s s c h e i n e t , als wii re d e r s i e - b e n t e G r a d d i c G r l n z e , u n t e r w e l c h e s i c h d i e A u f g a b e n i c h t h e r a b s e t z e n l i e f sc , meti rnag b i e

a u c h b e t r a c h t e i r v o n w e l c h e r S e i t e m a n wollc. Uebrigens , obgleich das in dieser Abhandlung vorgrschlagerie Mittel auch Beobachtungen erfordert, welche schr nahc bri einander fallen mussen, so kann man sich doch iiberzeugen, dnfs es vie1 zuverllssiger als dasjenige ist, welches ich i i i

gedachten Untersuchungen vargesclilngen habe, rveil man liicr 18

267 Nr. 148. 268

die Bewegung des Cometen w a r in dreien unendlicli kleinen Theilen , oder die wenigstens als unendlich klein kiinnen ange. sehen werden , betrachtet, die aber demohngeachtet sehr von einander vcrschietlen seyn kiinnen, stiitt dessen man irr der ersten Methode die Laufbahii blofs aus zweien unendlich klei- lien und an einander griinzeriden Theilen, 0 t h welches auf eins heraus kiimmt, nur (lurch einen einzigen unendlich kleinen Theil der Bahn bestinimet."

Ich habe geglaubt , dafs die obigen Worte pines der griifs- ten Alathematiker der neucrn Zeit der vorliegendeu Abhandlung am besterr als Einleitung dienen kiinriten, indem ich nlmlich in derselben cine Methotle zur Berechnung der Balinen des Cometen entrvickeln werde, welche auch mehr als drei Beob- achtungen voraussetzt, nsnilich entweder vier durch kleine Zeitintervalle voii einander getrennte Beobaclitungen, oder zwei Systeme dreier durch kleine Zeitintervalle V O I I einander ge- trennter Beobaclitungen, welche zwei Systeme selbst aber durch beliebig grofse Zeiten von einander getrennt seyn kiinnen , und in der That auch mit bevonderrn Vortheil jederzeit so weit wie miiglich von cinander entfernt angenoninien werden. Diese Methode setzt auch die Bahn rriclit als parabulisch voraus, und hietet iiberh;iupt, wie irli glaube, zienilich ganz dieselben Vortheile clar, welche Lngrungc von seiner Methode riihnit. Wodurch sich dieselbe aber sehr wesentlich von letgterer un- terscheidet, und wodurch sie bei Weitem bequemer in der Anwendung wird wie jene, ist Folgendes. Betrachtet man, indem wir jetzt vorzugsweise den Fall zweier Systeme dreier durch kleine Zeitintervalle von einander getrennter Beebach- tungen als den allgemeinern in's Auge fassen, die kleinen Bo- gen, welche sowohl der Comet, als auch die Erde in den Zwischenzeiten zwischen den einzelnen Beobachtungen in den beiden Systemen clurchlsuft, a ls gerade Linien, so wird die Aufgabe durch eine Gleichung voni (1 r i t t e n Grade vollstsndig aufgeliist, und zugleich kann man durch eine leiehte Approxi- mations. Rechnung auch die irirkliche krnmnilinigc Bewegung der Erde iir Betraclrtung ziehcn. Will man aber gleicli von vorn herein die 13ewegung der Erde in den Zwischenzeiten zwischen den einzelnen Beobachtungen in drn beiden Systemen nicht als geradlirrig betrachten, so wird das Problem durch eine Gleichung vom v i e r t e n Grade vollst8ndig aufgeliist, und tritt also in beiden Fiillen nicht a u s den Grlrrzen der gewiihn- lichen Algebra heraus, welches wir liier in Bezug auf die oben angefiihrte Meinung von Lr/pu?zgc, dafs, von welcher Seite man die Aufgabe auch betrachten miige, der s i e b e n t e Grad die Grlnze zu seyn scheine, unter welche sich dieselbe nicht herunter bringen lasse , uns besonders hervorzuheben erlauben. Am Ende dieser ,4lthandlung werden wir auEh noch zeigen, wie man, wenn man nur erst genlherte Werthe der Elemente gefunden h a t , sich denselhen d a m nach und nach noch mehr

niihern kann. Ueberhaupt wird, wie wir hoffen, die folgende Entwickelong alle vorhergehende allgemeine Bemerkungen zu viilliger Deutlichkeit Itringen und in das richtige Licht setzen.

Q. 2. Den Rlittelpunkt der Sonne riehmen wir als den Anfang

eines reclitwinkligen Coordinatensystems der z, y, a an. Die Ebene der xy s e y die Ebeire der Ekliptik, und der positive Theil der Axe der z sol1 vom Rlittelpunkte der Sonrie nach dern Friihlingspunkte hin gerichtet seyn ; den positiven Theil der Axe dcr y nehmen wir so an , dafs man sich, uni von dem positiven Theile der Axe der z durch den rechten Winkel (zy) hindurch zu den1 positiven Theile der Axe der Y m gelaugen, nach derselben Richtung bin bewegen mu& , rrach welcher von dern positiven Theile der 5 an die heliocentrischen Lingen genoiiimen werden; den positiven Theil der Axe der z nehmen wir endlicli auf der niirdliclien Seite der Ebetie der Ekliptik, d. i. der Ebene der zy, an.

0. 3. Weil die Ebene der Cometenbahn durch den Mittelpunkt

der Sonne geht, melcher der Anfang dcs Systems der z, y, 5

ist, so hat ihre Gleichung die Form .............. (1) L2:+1My+Nz = 0

1st nun p der 180' nicht uberstcigende Winkel, rvelchen der auf der positiven Seite der Axe der z liegende Theil der Durchschnittslinie der Ebene der Conietenbnhn niit der Ebene der Ekliptik mit deni positiven Tlieilc der Axe der z ein- schliefst, so ist nach den Principien der analytischen Geo- metrie

oder -x t tangQ+y = 0 .

die Gleichung der Durchschnittslinie der Ebene der Cometen- bahn mit der Ebenc der Ekliptik. Nach (1) ist aber die Gleichung dieser Dorchschnittslinie auch

............... (2)

(3)

y = x tang p. .

.............

(4) .... Lx+.'My = 0 oder -xfy L = O , . . . 211

und folglich, wenn man diese Gleichung mit der Gleichung (3) vergleicht , .-

(5: A - - - - t a n g p oder M = - L c o t p . . . . . . M

Bezeichnen wir ferner den 180' nicht ubersteigenden Winkel, welchen der a u l der positiven Scite der Ebene der x y liegende Theil der Ebene der Cometenbahn nach der Seite hin, auf welcher der positive Theil der Axe der y liegt, mit der Ebene, der zy einschliefst, durch i; so ist nach bekannten Fornieln der analytischen Geometrie

N 2 cosi' = Id'+ M2+ N z '

und folzlich

also

otler

( 6 ) . ... N 2 = L2co t i z cosec Q2,

Folglicli ist nach cleni Obigen ( 7 ) ......... r - y c o t Q t z c o t i c o s e c @ = o otlcr

(8) .......... x s i n @ - y c o s Q ) a c o t i z 0

die Glrichung der Eberie der Cometerhhn, rvo sich nun aher noch frBgt, welches Zeichen man i n clieser Gleichuiig zu neh- men hat.

N = - -k L cot i cosec q.

Dies karin auf folgentle Art cntschieden \verrlen:

Ryan nehine den auf der positiven Scite der Axe der 5 liegenden Theil dcr Durchschnittslinie der Ebene der Cometen- bahn niit der Ebene tler zy als den positiven Theil der Axe der x' cines neuen rechtwinkligen Coorclinatensysteins , den positiven Theil der Axe der y ' in der Elienc dcr x y aber so a n , dafs inan sich, um von dem positivrn Theile ilcr Axe der 5' an dnrch den recliten Winkel (x 'y ' ) hindurch zu dem positiven Tlieile der Axe clcr y' zu gelangen, ganz nach der- sclbcn Gegend hin bewegcn nrufs, nach rvclcher man sich be- wegen murs , um von dein positiven Theile der Axe der x an durch den rechten Winkcl ( z y ) hindurch zu dern positiven Theile der Axe der y zu gelangen, SO ist naeh der Lchrr von der Verwandlung der Coordinaten

x = . a - ' ~ o s ~ - y ' s i n ~ , y = x ' s i n q + y ' c o s q ;

und folglich , ivenn man diese Gleichungcn respective mit sin q und COS Q multiplicirt urrd danii die zweitc von drr crsteri subtraliirt ,

x s i n ~ - y c o s ~ = -y'. Also ist nach (8) die Gleichung der Cometenbahn

Dies ist naturlich aucJi die Gleichung der I)urchschnittslinie der Ebene der Cometenbahn mit der Eberie der y ' z . Nach den Principien der analytischen Geometrie ist aber offenbar die Gleichuiig dicser Durchschnittsliriie

d. i.

jenachdem

ist, woraus sich ergiebt, dafs in der GleicJiuiig (8) der Ebene

__ y ' t z c o t i = o oder z = I-y' t a n g i .

z = y'tangi oder z =y' taiag(i8o0-i!,

oder z = -y' tong i, z = y' t ang i

p< 90' oder p > 90'

' der Conietenl)ahn das obere oder untere Zeichen genommeri werden niurs, jeriachdeni

ist. @ < 90' oder q > 90'

RIari kann das doppelte Zeichen ganz vernieideri , rvenir man unter i den 180' nicht iibersteigenden Winkcl versteht, rvelchcn der auf der positiven Seite der Eberre der x y lie- gende Thcil der Ebciic der Cometcribalin niit der EIJCIIC der x y nnch dcr Srite dcs yositiven Theils der Axe der y' hin ein- schliefst. Uriter dicser Voraussetzurig, ~velche wir im Fol- genden der Einfacliheit wegen iinmer festhalten wollen , hat ninn ~iiinllich, rvie aus dein Vorhergehenden lcicht erhcllen wird, iri der Cleichurrg der Ebene der Cometenbahn imnier das obere Zeichen zu nehmcn , und diesc Gleichung ist .also, unter der in Recle steheriden, in Eezug aut' den Winkel i gemachten \-or- aussetzung , in viilliger Allgemeinheit

s . s i i i@ -y c o s p + z c o t i = 3. ......... (9)

Q . 4.

Zuerst wollen wir nun die Gleichungen der von dem &lit- telpunkte cler Erde nach dern Cometerr gezogenen geraclen Linie suchen.

Z u dem Ende legen ivir durch den Rlittelpunkt dcr Erde ein neues, dem Systeme clcr .z, y, z pralleles Coordiirafen- system der x-, y,, zI. Bezeichnen wir d a m die geocentrische L h g e und Breite urid die sogenannte cuitirtc Entfernung des Cometen von tler 1:rde respective durch a, p und p ; so sind offcnbar in viilliger Allgemeinhcit

p cosct, p s i n & , p t a n g p die Coordinaten des (!orneten im Systeme der x , , y , , z,. Die Gleicliungen der von dem Mittelprriikte der Erde nach dern (10- meteri gezogenen gernden Linie in den1 Systeme der x,, .y,, Z ,

haben die Form X I = As,, y, = Bz,,

und es ist folglich nach dein Vorhergehenden

also

Folglich sind die Gleichungen der vom Mittelpunkte der Erdc naeh deni Cometen gezogeuen geraden Linie im Systeme der X I , yl J 2,

i l 0 ) Bezeichnet 0 die geocentrische Liinge der Sonne und fi deren Entfernung von der Erde, s o sintl otTenbar in viilliger Allge- meinheit

p cosct = Ap t a n g p ,

A = cosoc c o t p ,

p sing = Up tangp,

U = s i n g c o t p .

..... x, = zI cosa c o t p , y, = o, sin oc c o t p . .

18*

R cos 0, die Coordinaten der Sonne im Systeme der x , , yt wobei sich von selbst versteht, dafs die dritte Coordinate der Null gleich gesetzt wird. Also hat man nach der Lehre von der Verwandlung der Coordinaten zwischen den Coordinaten eines und desselben Punktes in den Systemen der x , y, z und x, , y,, zt die folgenden Gleichungen (11). .. .x, = R cos O + x , y t = R s i n 0 + y , .. = z oder (12) .... x = z , - R c o s 0 , y = y , - R s i n 0 , z = z,,

utid die Glrichungen der von dem Mittelpunkte der Erde nach dem Cometen gezogenen geraden Linie in dem Systeme der x , y , z sind also nach dem Vorhergehenden

x + R c o s 0 = zcosu co tp (13). ........ f y + R s i n e = I sin u co t4

oder x = r c o s u c o t p - R c o a O (14).

aus denen auch

R sin 0 :,

........ = z sinu cot/3- R s in@,

x + H COS 0 y + R s in@’

(15). ......... .cot u = oder, wie man nach leichter Rechnung findet, (16). ....... x sin u - y cos u = R sin (0 - u)

folgt. Auch ergiebt sich aus den beiden Gleichungen (13) leicht

x cosu + y sinu + R cos (0 -u) = z cot /3,. .. .(17)

so dafs man alm die beiden Gleichungen ~ s i n u - - y c o s u - - K s i n ( O - u ) = o x cosu + y sinu + R c o s ( 0 - u ) = z c o t 4 f 4 1 8 )

hat. Endlich ergiebt sich auch sogleich die Gleichuttg x sinu -y cosa

x cos a+ y sin& - z cot p tang(O-u) = - ... ..(19)

Bezeichnet man die Coordinaten des Cometen in dem Systeme der x , y , z durch X, Y, 2; so hat man, weil sich der Cometenort als der Durchschnittspuukt der YOU dem Mittel- punkte der Erde nach dem Cometen gezogenen graden Linie mit der Ebene der Cometeubahn betrachten Iafst, iiach (14) und (9) zur Bestimmung von X, Y , 2 die drey folgenden Gleichungen :

X = Z c o s ~ c o t p - R c o s @ , Y == Z s i n u c o t p - R s i n 0 ,

X s i n p - YcooCp+Zcoti = 0.

Fiihrt man aber die Werthe von X und Y aus den beiden ersten Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhalt man nach leichter Rechnung

R ‘sin (0 - Cp) c o t p s i n ( u - p ) - coti’

z - --

Also ist ferner {COB u sin (0 - Q) - cos 0 sin (u - q)] cot p + cod 0 cot i

cot p sin (u-cp) - coti (s inusin(@-Cp)-s inO s in (u-@)) cot,B+ s inqcoc i

cot,Bsin(u-@)- coti

X = R 9

y = R----

Aber, wie man leicht Gndct, c o s u s i n ( 0 - q ) - c o s 0 sin(u-Cp) = s i n ( 0 - a ) cosq since sin (0-@) - s i n 0 sin(u-Cp) = sin (Q- u) .sin@;

und wir haben also f i r die Coordinaten X, Y , Z des Co- mcten die fdgenden Ausdriicke :

H ~ i n ( ~ - u ) c o t ~ c o s C p + c o e O c o t i c o t p sin(0c- Q) - coti

sin (0 -a) c o t p s i n q + sin 0 coti c o t p s i n ( u - @ ) - c o t i .... (20).. \ x= Y =

I p = sin (0 - Cp) co tp sin(u -@) - cot;’

Die Entfernung des Cometen von der Sonne oder der soge- nannte Radius Vector desselben sey r , 80 ist nach den Prin- cipien der analytischen Geometrie (21). .......... . .r = V ( X ” + P+ Z2. Uebrigens wird man sich bei der Berechnung der Coordinaten X, Y , Z und des Radius Vectors r am besten auf folgende Art verhalten. Nach dem Obigen ist, wie man leicht findet,

(22) ....... sin i sin (0 - 9) cos i - sini cotP sin(u - 0) Z = - R

. ., und folglich, wenn man den Hulfswinkel mittelst der Formel

berechnet , .......... (23) cot@ = c o t p s i n ( u - @ ) . .

(24) ............. sin i sin IC) sin (0 - @) sin (i-o)

Z = R

Hat man aber Z auf diese Weise gefuoden, so ergeben sich X und Y leicht mittelst der Formeln

......... 1 (25) X = Z cosacot/3- RcosO Y = Z sinu cotp- R sin 0

Die heliocentrische Liinge des Cometen sey L , so ist offenbar in viilliger Allgemeinheit

t angL = -... und L kann also aus X und Y immer leicht gefunden werden. 1st nun ferner B die heliocentrische Breite des Cometen, SO

ist offenbar in vijlliger Allgemeinheit

(26) .............. Y X

............ (2’1) z \ / ( X ” +

tangB =

275 Nr. 448. 97 4

Es ist aber, wie sogleich crhellet,

(28).

und folglich nach (27)

= C O S L \ / ( X Z + Y 2 ) .......... I: = sin L V ( X 2 + Y " ) .

(29). ..... .tung U = - C O S L = $ s in L. 2 s

Weil nun offenbar in viilliger Allgemeinheit Z = r s i n B

ist, so ist z (30) .............. . r =I -

sia B' niittelst welcher Forniel r ganz leicht bereclinet wrrden kann, wenn man nach dem Vorhergehenden nur erst B gefundcn hat.

Noch wollen wir bemerken, dars die Formel (26) fur sich es unbestimmt Idfst, ob L zwischen 0 und 180' oder zwi- schen 180' und 360' zu nehmen ist. Aus den Formeln (18) ergiebt sich aber sogleich, dars man jederzeit clas Erste oder das Zweite thun mufs, jenachdem Y positiv ocler negativ ist.

Endlich rvollen wir auch noch kurz zeigen, wie nian die partiellen Differentialquotienten und die vollstlndigen Differen- tiale von X, Y, 2 und r in Bezug auf i und 9 als verijnder- liche GrGrsen berechnen kann, wenn wir auch in dieser Ab. handlung von deriselbeii im Folgenden keinen weitern Gebrauch machen werden.

Weil nach dem Obigen ( c o t j 3 s i n ( x - Q ) - coti} Z = R s i n ( @ - @ )

ist, so ist

und folglich

(31) .....(<) d7 = - 2 fin i2 (cot p sin (ffi - @) - co t i ) '

oder, weil R 2

C o t p s i n ( a - q ) - coti = - sin(@-@) ist .

Auch ist R sin (0 - cp)

( c o s i - - i n i c o t p s i n ( a - - ~ ) -- . .. (33). .($3 = - 2'

(34) ....... (z) = - und folglich nach (23)

d2 Ksinw2 6in(O-p) sin (i - w)'

Nach (25) ist aber

I(%) = c o s f f i c o t ~ ($) (($9 == S i l l & c o t p (Z). (35). .......

Feroer ist nach dem Obigeii

= - R cos(Q-Q). und folglich

R C O S ( @ - @ ) - Z C O ~ P C O S ( J - @ ) ($) = - c o t p sin(ff i -@) - coti also, weil

c o t p sin (a- q) - cot i = sin (0 - q) z ist ,

Nach ( 2 5 ) ist aber

($) = c o s f f i c o t p ( $ ) (gl ......... ($$I = sin ffi cotllj

Aus der Gleichung

ergiebt sich auf der Stelle r2 = X " + Y 2 + Z 2

Aus den partiellen Differentialquofienten von X, Y, Z und r

in Bezug auf i und Q als veranderliche GrGfse findet man leicht die vollstandigen Differentiale von X , Y, 2 und r in in Bezug auf dieselben verlnderlichen Griifsen , weil bekanot- lich

d X dX = (x).li+ (g) dip

d Y = (%)di+ ( ! ) dip .......... = (?)di+($) d q

und

........ dr = ($) di+ (Lf'_)dcp.. claj (40) - ,

ist. Q. 5.

Wir wollen jetzt annehmen, dars I ( , K I , K, drei beob- achtete Oerter eines Cometen in seiner Rahn, und K K I , K&, K , K , die dieselhen verbindenden Sehnen sind ; die Sonne sey J', und t'- t und t"- t' seyen die Zwischenzeiten zmi- schen dcr ersten und zweiten, und ztvischen cler zweiten und clritten Beobachtung. Wenn nun K, K,, K, sehr nahe bei einander liegen , so dafs statt der zwischen K , K , , und K,, &, liegenden Bogen der Cumeteribahn ohrie nierklichen Fehler die entsyrechenden Sehnen K K , und K, K, , otlrr vielinehr statt

5375 Nr. 448. 276

tler Sectoren S K K , und S K , K , ohne merklichen Fehler die eben so bezeiclrneten geradlinigen Dreieckc gesetzt werden I schen dem ersten iiud dritten Cometenorte

bezeichnet werden: so sind die Gleichungen der Sehne zwi-

A K U K , : A K I l f K , = K U ; K , H ;

A S K H : A K & H = A K H & : A K , F f K , ; folglich

Die Gleichung des nach den1 mittlern oder zvveiteo Cometen- orte gezogenen Radius Vector sind

(42) z , z , y = ? Z ............. x = - X' Y'

Bezeichnen wir nun die Coordinaten des Durchschnittspunkts dieser beidcn Linien durch x , y , z ; so haben wir zwischell

bindende Sehne der Cometenbahn w i d von dem nach dem mittlern oder zweitcn Corneteriorte gezogenrn Radius Vector im Verhaltnit der Zwischenzeiten zmischen der ersten und zwei- ten und zwischen der zweiteit und dritten Beobachtung ge- schnitten, ein Resultat, welches wir nun auf einen analytischen

- - also nach eineni bekannteii Satze von den Proportionen i diesen drei Grorsen die vier vorstehender: Gleichungen (4 i) A S K H + AKHK',: A S K , H + AKIUK, = A S K H : ASK,H I und (42). Aus der ersten und dritten, und aus der zweiten und folglich nach drm Obigen 1 und vierten folgt

5 = 2' X(2-2 '1 ) - Z ( X - X X " ) X'(Z- 2") - Z'(X - X't) ......... Y(2-2'1) - Z( Y- 3711)

= z' Y'(2-Z") - Z'( y - p) oder

A S R K , : A S K , K , = K H : &I$;

K f l : K , l l = t'- t : t"- t' ;

x- X" also nach dern Obigen

d. h. die den ersten und drittcn Cometcnort mit einander ver- I

Y'

1

XZ"- XHZ

y Z " - p z = z' X S ' - X ' Z + (X'ZIl- -- x,fz')\ I Ausdruck bringen wollen.

0. 6.

Wenn die Coordinaten der drei Cometenorte in dem Sy- I z = 2' steme der x , y, z durch X , Y , 2; X', I", 2'; X", X", 2" I uncl folglich

....... (44)

oder (45) ......................... - Y ( Z - Z Z " ) - Z ( Y - _______ Y") x (2-2") - -% ( X - X i ' )

X' (2.- 2") - 2' (X - X") Y ' ( Z - 2 " ) - Z ( Y - Y") - -_

. . welcher Gleichung man auch die Form

oder eine der drei folgenden Formen: ............. ( X - X " ) (YZ'- Y'ZI + (Y-Y") ( X ' Z - X Z ' ) + (Z-21') (sY--xx'P) r= 0.. (47)

0 (48)

x (YZ't- Y'IZ') + X'(Y"Z - YZ") + x " ( y g - - y ' z ) = 0 Y (Z'X'1- 2 " X ' ) + Y(Z"X-ZX') + Y"(ZX'- Z ' X ) = z (X'Y"-XX"Y) + 2' (X"Y - XY") + z'yx:y-x'y) = 0

................... geben kann.

Schwierigkeit Aus (42) und (43) otler (44) ergiebt sich nun ohne alle I oder

277 Nr. 448. 273 oder

.z =

Y = p' x z- x' z + (s' p i z x t i z )

x 2"- X " z

x 2" - X" z X2"- X " Z

x' x %'- X' z + (X' Z" - x" 27

" - 2' x 2-x x' - (X' 2" - 3-11 2, - I -

yzll- y"

y2"- YtIZ

yz'l-- I'"Z

5 = X ' - __-____

z = z ' -- _ _ - _ _ _

y = Y - - -~

Y Z'- Y' z + (Y' %"- Y" 2')

p Z-. y z + (y' 2" - y" 2 )

Y 2- Y'Z + (Y'Z'I- Y" 2)

(51). . . . .

odcr

D a s Quadrat der Entfernung des ersten Cometenorts von dem Durchschnittspunlite des niittlern Radius Vectors init cler den ersten und dritten Cometcnort verbindenden Sehne ist

Es t ist ahcr

(XZ'- X'Z)"- --- {X(Z-Z")-Z'(X - X",y *

Das Quadrat der Entfernung des dritten Cotnctenorts von den1 Durchschnittspurikte des mittlern Radius Vectors niit der deli ersten uric1 dritten Cometeoort verbindenden Sehne ist auf ganz ahnliche Art

x (Z-Z") - z (X -XI') (Y - Y") (X'Z" - X"Z') y"- y' - ___ - x'(z-Zz")--z'(x-xx") - Xf(Z-ZZ") - Z'(X-XX")'

ES is t aber

Folglich ist offenbar

d a s Quadrat der in Rede stehenden Entfrmnng. Weil nuu nach Q . 5 die den ersten und dritten Comctenort

init einandcr verbindende Sehoe von dem mittlern Radius Vector im \~erhiilhirs der Zwischenzeiten zwischen der ersten und zrveiten und zwischeti der zmeiten und dritten Beohachtung

(XZ' - X'Z)": (X'ZIl-- X.Zf)2 = ( t ' - t ) 2 : (t"-- L ' y

oder XZ'-X'Z

un,, folgli.h - XZ'-XfZ - d--t xZ,~-xx"z, - - f-""" '... (53) t - - t

a79 Nr. 448. 280

Eine ganz allgemeine Bestirnmung hieriiber 1Xst sich nicht geben, wovon man sich leicht durch Betrachtumg einiger spe- ciellen Falle uberzeugen kann. Wenn aber die drei Conieten- orte in e i n e r geraden Linie liegen und

x = A z + B die Gleichung der Projection dieser geraden Linie auf der Ebene der x a ist; so haben wir die drei Gleichungen x = AZ +B,

X' = A Z + B ,

X Z ' - X ' Z = B ( Z ' - Z ) ,

X" = AZ"+B; aus denen sich leicht

X'Z'I- X"Z' = B(Z"- Z ) , und folglich

ergiebt. Weil nun unter der gemachten Voraussetzung init Beziehuncr der obern und untern Zeichen auf einander offenbar

und folglich

ist, so ist der Bruch Z'-Z>O, < Z"-ZZ'iO

Z ' - z m' also nach dem Obigen auch der Bruch x Z ' - X'Z

X' Z" - X"Z' ' positiv. Wenn nun auch die drei Comelenorte nicht viillig genau in e i n e r geraden Linie liegen, so ist dies doch nach der Voraussetzung nlherungsweise und zwar mit einem grofsen Grade der ,Qnnaherung der Fall , woraus sich ergiebt , dafs auch in unserm obigen Falle der Bruch

-_cI

X Z ' - X Z XZll- X"Z'

positiv ist, uird fulglich in der Gleichung (53) das obere Zei- cben aenommen, also

--

gesetzt merden mufs. (57j.. . . . . . [sin (0 -a) cotp sin (@'-@)-sin(@' -a' ) CO~P' sin (

[sin (@'-a') cotp'sin (O"-Q)--sin(O"--oi') c o t K sin

Weil aber wie leicht erhellet,

Aus der ersten der Gleichuiigeii (48) ergiebt sich leicht x Y' Z"- X Y zit+ X"Y Z' = x Y"Z' - X'Y"Z + X"Y'2,

also, wenn man auf beiden Seiten niit X' niultiplicirt und dann die Griifse X X " Y Z' subtrahirt, wie man nach leichter Rech- nung fiudet,

( X Y'- X'Y ) (X'Z1'- X'IZ') = ( X ' Y L x'iy) (X Z'-- X'Z)

oder XY'-X'Y X Z ' - X ' Z X'YIl-- XIIY' - XZIl- X"Z' a

Auf ganz Phnliclie Art kann man zeigeii, dars YZ'-Y'Z x Z'- X'Z y'zll- yuz' - -- X'ZII- XIIZ'

ist, und nach (54) ist folglich

(55) XY'-X'Y Y Z'-Y'Z Z X ' - Z ' X t'-t ~'yll-xlly' - y'zll-~llz' - -- Z ~ l l - ~ I l X ' - - 1U--t'"' Bezeichnen wir nun die drey geocentrischen Langen und Breiten des Cometen durch a, a', all und 8, p', ,Bay die entsprechenden geocentrischeri Langen der Sonne durch 0 , a', @ I 1 , und die entsprechenden Vectoren der Erdc durch R, A', H"; so ist nach (20)

-----

- -

---- - - ~ - -

s i n (0 -a ) cot p cos q3 + cos 0 cot i c o t p sin (a - @j - cot i

sin (0' -a') c o t p cos @ + cos 0' cot i cot p' sin (a'- @) - cot i

X = R

x' = R' -

xu = R"

z

P

\ P

cot (W- all) cot p" C08 @ + COR @"cot i cot p" sin (a"- Q) - cot i

- coti'

9

= &---- sin (0 - Q) und cotB sin (a -

. I

- ' &(0*- q3) Z' = K cotB'sin(a'-@) - cot i '

' sin'(W- ;P,

Fiihrt man diese Werthe in die Proportion XZ'-XX'Z ; X'Z'LX' lZ' = t'- t : p- t'

ein, und hebt auf, was sich aufheben Iafst; so erhalt man, wenn der Iiiirze wegen

- Z" = f i l l

cot pll sin ( a " - ~ ) - cot i '

gesetzt wird , nach einigen leichten Verwandlungen

f--Q)] cosQ + [m&'sin(O"-Q)-cosO"fiin(~'-~)] cot i --@I cos @ + [ C O S O sin(@ -Q) -cos 0' sin (0 -Q)] cot i

. c o t p s in(z - Q) - c o t i COL ,Ysia (a',- p) - cot i -- = p : pLI*

cos 0 siu ((9' - @) - cos (9' sin ((9 - q) = - sin ( 3 - 0') cos Q, cot 0' t in ((3'- @) -- cos W s i n (0'- e) = - sin (0'- 0') cob ~p .

ist; so geht die obige Proportion in folgeirde iiber: sin (@-a) c o t p sin (0' -@) - sin (0'- a') cot p sin(@ -9) - sin (0 - 0') coti. c o t p sir8 (a- @) -- coti

(58).. . sin (0'- a') c o t ~ s i n ( 0 " - ~ ) - sin (w- a') cotp'sin (0'- Q) - sin (0'- W) cot i * cotbusin (a"- Q) 7 cot i und fiuhrt nun fenier leicht zu der folgenden Gieichung, welche in Bezug auf coti als unbekannte Griifse vom zwelten Grade ist :

= p : # & I , ---

((3 - 0')) cot i" sin (a- Q) + co t f l s in (@'-a') sin (6Y-Q) - cotflkin ( V - a ' ) sin ((9'- @)]

( & " - ~ ) + c o t , O .&(@-a) .sin(W-Q)- cot$ sin(d'--a') s in (d - (p)] + p cot @ sin (a - Q) {cot B' sin ((9 -a') sin (W- Q) - cotfl'sin (a"- a") srn (W- Q)$ -p'cotp'sin(a"-Q) ( c o t p sin((+- a)sin(@'-Q) -cotp' sin(f3'- a') sin (C) - @ ) I .

(Die Fortsetzung folgt.) Altona 1842. Mai 12.