vektorgeometria (bevezetes a sz´ am´ ´ıt aselm´ eletbe...
TRANSCRIPT
Vektorgeometria(Bevezetes a szamıtaselmeletbe I.)
Dr. Karasz Peter
Obudai Egyetem, Neumann J. Informatikai Kar
MERNOK INFORMATIKUS SZAKESTI TAGOZAT
2013/14. oszi felev
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 1 / 33
Tartalom
Tartalom
1 VektorgeometriaFogalmakMuveletekBazis, koordinata-rendszerMuveletek koordinataikkal adott vektorokkalAlakzatok egyenletei
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 2 / 33
Vektorgeometria Fogalmak
Tartalom
1 VektorgeometriaFogalmakMuveletekBazis, koordinata-rendszerMuveletek koordinataikkal adott vektorokkalAlakzatok egyenletei
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 3 / 33
Vektorgeometria Fogalmak
VektorgeometriaIsmetles es kiegeszıtesek
Vektor
Olyan mennyiseget, amelyet nagysagan kıvul iranya is meghataroz, vektornaknevezunk. (Iranyıtott szakasz.)
A
B
v
Jeloles:v =−→AB.
(Irasban alahuzassal: v.)Vektor hossza:
|v| =∣∣∣−→AB
∣∣∣ .
Egysegvektor
Egysegnyi hosszusagu (barmilyeniranyu) vektor.
e|e| = 1
v iranyaba mutato egysegvektor
v0
Jele: v0, ezzelv = |v| · v0
hossz irany
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 4 / 33
Vektorgeometria Fogalmak
VektorgeometriaIsmetles es kiegeszıtesek
Vektor
Olyan mennyiseget, amelyet nagysagan kıvul iranya is meghataroz, vektornaknevezunk. (Iranyıtott szakasz.)
A
B
v
Jeloles:v =−→AB.
(Irasban alahuzassal: v.)Vektor hossza:
|v| =∣∣∣−→AB
∣∣∣ .Egysegvektor
Egysegnyi hosszusagu (barmilyeniranyu) vektor.
e|e| = 1
v iranyaba mutato egysegvektor
v0
Jele: v0, ezzelv = |v| · v0
hossz irany
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 4 / 33
Vektorgeometria Fogalmak
VektorgeometriaIsmetles es kiegeszıtesek
Vektor
Olyan mennyiseget, amelyet nagysagan kıvul iranya is meghataroz, vektornaknevezunk. (Iranyıtott szakasz.)
A
B
v
Jeloles:v =−→AB.
(Irasban alahuzassal: v.)Vektor hossza:
|v| =∣∣∣−→AB
∣∣∣ .Egysegvektor
Egysegnyi hosszusagu (barmilyeniranyu) vektor.
e|e| = 1
v iranyaba mutato egysegvektor
v0
Jele: v0, ezzelv = |v| · v0
hossz irany
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 4 / 33
Vektorgeometria Fogalmak
Nullvektor
0 hosszusagu (tetszoleges iranyu) vektor: 0.
Ket vektor egyenlosege
Ket vektor egyenlo, ha hosszuk es iranyuk megegyezik.
A
B
C
D−→AB =
−→CD
Ket vektor hajlasszoge
ϕ
a
b 0◦ 6 ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 5 / 33
Vektorgeometria Fogalmak
Nullvektor
0 hosszusagu (tetszoleges iranyu) vektor: 0.
Ket vektor egyenlosege
Ket vektor egyenlo, ha hosszuk es iranyuk megegyezik.
A
B
C
D−→AB =
−→CD
Ket vektor hajlasszoge
ϕ
a
b 0◦ 6 ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 5 / 33
Vektorgeometria Fogalmak
Nullvektor
0 hosszusagu (tetszoleges iranyu) vektor: 0.
Ket vektor egyenlosege
Ket vektor egyenlo, ha hosszuk es iranyuk megegyezik.
A
B
C
D−→AB =
−→CD
Ket vektor hajlasszoge
ϕ
a
b 0◦ 6 ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 5 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tartalom
1 VektorgeometriaFogalmakMuveletekBazis, koordinata-rendszerMuveletek koordinataikkal adott vektorokkalAlakzatok egyenletei
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 6 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Muveletek
I. Szammal valo szorzas
λv (λ ∈ R) az a vektor, amelynek
nagysaga |λ| · |v|;
iranya
v-vel megegyezo, ha λ > 0;v-vel ellentetes, ha λ < 0;tetszoleges, ha λ = 0.
v
1,5v
− 12 v
Tulajdonsagok
λ (a + b) = λa + λb (”disztributıv-szeru”)
(λ+ µ) a = λa + µa (”disztributıv-szeru”)
λ (µa) = (λµ) a (”asszociatıv-szeru”)
λa = 0 ⇐⇒ λ = 0 vagy a = 0
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 7 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Muveletek
I. Szammal valo szorzas
λv (λ ∈ R) az a vektor, amelynek
nagysaga |λ| · |v|;
iranya
v-vel megegyezo, ha λ > 0;v-vel ellentetes, ha λ < 0;tetszoleges, ha λ = 0.
v
1,5v
− 12 v
Tulajdonsagok
λ (a + b) = λa + λb (”disztributıv-szeru”)
(λ+ µ) a = λa + µa (”disztributıv-szeru”)
λ (µa) = (λµ) a (”asszociatıv-szeru”)
λa = 0 ⇐⇒ λ = 0 vagy a = 0
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 7 / 33
Vektorgeometria Muveletek
II. Osszeadas
a
b
b
a+
b
b
Egymas moge toljuk oket.
Paralelogramma-szabaly.
Tulajdonsagok
(A tovabbiakban a muveleti tulajdonsagok ugy ertendok, hogy a felırt allıtas a benneszereplo valtozo barmely ertekere igaz.)
asszociatıv: a + (b + c) = (a + b) + c
a + 0 = 0 + a = a
kommutatıv: a + b = b + a
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 8 / 33
Vektorgeometria Muveletek
II. Osszeadas
a
b
b
a+
b
b
Egymas moge toljuk oket.
Paralelogramma-szabaly.
Tulajdonsagok
(A tovabbiakban a muveleti tulajdonsagok ugy ertendok, hogy a felırt allıtas a benneszereplo valtozo barmely ertekere igaz.)
asszociatıv: a + (b + c) = (a + b) + c
a + 0 = 0 + a = a
kommutatıv: a + b = b + a
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 8 / 33
Vektorgeometria Muveletek
II. Osszeadas
a
b b
a+
b
b
Egymas moge toljuk oket.
Paralelogramma-szabaly.
Tulajdonsagok
(A tovabbiakban a muveleti tulajdonsagok ugy ertendok, hogy a felırt allıtas a benneszereplo valtozo barmely ertekere igaz.)
asszociatıv: a + (b + c) = (a + b) + c
a + 0 = 0 + a = a
kommutatıv: a + b = b + a
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 8 / 33
Vektorgeometria Muveletek
II. Osszeadas
a
b b
a+
b
b
Egymas moge toljuk oket.
Paralelogramma-szabaly.
Tulajdonsagok
(A tovabbiakban a muveleti tulajdonsagok ugy ertendok, hogy a felırt allıtas a benneszereplo valtozo barmely ertekere igaz.)
asszociatıv: a + (b + c) = (a + b) + c
a + 0 = 0 + a = a
kommutatıv: a + b = b + a
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 8 / 33
Vektorgeometria Muveletek
III. Kivonas
A kivonast az a− b = a + (−b) azonossag alapjan ertelmezzuk.
a
b
−b
−b + a
b
a− bKozos kezdopont.
Vegpontokat osszekotjuk.
Kulonbsegvektor a kisebbıtendofele mutat.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 9 / 33
Vektorgeometria Muveletek
III. Kivonas
A kivonast az a− b = a + (−b) azonossag alapjan ertelmezzuk.
a
b
−b
−b + a
b
a− bKozos kezdopont.
Vegpontokat osszekotjuk.
Kulonbsegvektor a kisebbıtendofele mutat.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 9 / 33
Vektorgeometria Muveletek
III. Kivonas
A kivonast az a− b = a + (−b) azonossag alapjan ertelmezzuk.
a
b
−b
−b + a
b
a− bKozos kezdopont.
Vegpontokat osszekotjuk.
Kulonbsegvektor a kisebbıtendofele mutat.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 9 / 33
Vektorgeometria Muveletek
IV. Skalaris szorzat
Ket vektor skalaris szorzata a ket vektor hosszanak es kozrezart szogukkoszinuszanak szorzata:
ab = |a| |b| cosϕ.
Geometriai jelentes
a
ϕ
bb0 ab0ab0
a
ϕ
(ab0)b0(
ab0)b0
ab0 = |a|∣∣b0∣∣ cosϕ
1
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletenek
elojeles
hossza. (ab0)
b0
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletvektora.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 10 / 33
Vektorgeometria Muveletek
IV. Skalaris szorzat
Ket vektor skalaris szorzata a ket vektor hosszanak es kozrezart szogukkoszinuszanak szorzata:
ab = |a| |b| cosϕ.
Geometriai jelentes
a
ϕ
b
b0 ab0ab0
a
ϕ
(ab0)b0(
ab0)b0
ab0 = |a|∣∣b0∣∣ cosϕ
1
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletenek
elojeles
hossza. (ab0)
b0
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletvektora.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 10 / 33
Vektorgeometria Muveletek
IV. Skalaris szorzat
Ket vektor skalaris szorzata a ket vektor hosszanak es kozrezart szogukkoszinuszanak szorzata:
ab = |a| |b| cosϕ.
Geometriai jelentes
a
ϕ
b
b0
ab0ab0
a
ϕ
(ab0)b0(
ab0)b0
ab0 = |a|∣∣b0∣∣ cosϕ
1
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletenek
elojeles
hossza. (ab0)
b0
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletvektora.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 10 / 33
Vektorgeometria Muveletek
IV. Skalaris szorzat
Ket vektor skalaris szorzata a ket vektor hosszanak es kozrezart szogukkoszinuszanak szorzata:
ab = |a| |b| cosϕ.
Geometriai jelentes
a
ϕ
b
b0 ab0
ab0
a
ϕ
(ab0)b0(
ab0)b0
ab0 = |a|∣∣b0∣∣ cosϕ
1
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletenek
elojeles
hossza.
(ab0)
b0
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletvektora.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 10 / 33
Vektorgeometria Muveletek
IV. Skalaris szorzat
Ket vektor skalaris szorzata a ket vektor hosszanak es kozrezart szogukkoszinuszanak szorzata:
ab = |a| |b| cosϕ.
Geometriai jelentes
a
ϕ
b
b0 ab0ab0
a
ϕ
(ab0)b0(
ab0)b0
ab0 = |a|∣∣b0∣∣ cosϕ
1
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletenek elojeleshossza.
(ab0)
b0
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletvektora.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 10 / 33
Vektorgeometria Muveletek
IV. Skalaris szorzat
Ket vektor skalaris szorzata a ket vektor hosszanak es kozrezart szogukkoszinuszanak szorzata:
ab = |a| |b| cosϕ.
Geometriai jelentes
a
ϕ
b
b0
ab0ab0
a
ϕ
(ab0)b0(
ab0)b0
ab0 = |a|∣∣b0∣∣ cosϕ
1
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletenek elojeleshossza. (
ab0)
b0
Az a vektor b iranyara esomeroleges vetuletvektora.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 10 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
a2 = aa = |a|2
kommutatıv: ab = ba
λ (ab) = (λa)b = a (λb)
NEM asszociatıv (van ertelme?): a (bc) 6= (ab) c
a (b + c) = ab + ac (”disztributıv-szeru”)
ab = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy cosϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 90◦
⇐⇒ a ⊥ b
ab > 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ > 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 0◦ 6 ϕ < 90◦
ab < 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ < 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 90◦ < ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 11 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
a2 = aa = |a|2
kommutatıv: ab = ba
λ (ab) = (λa)b = a (λb)
NEM asszociatıv (van ertelme?): a (bc) 6= (ab) c
a (b + c) = ab + ac (”disztributıv-szeru”)
ab = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy cosϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 90◦
⇐⇒ a ⊥ b
ab > 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ > 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 0◦ 6 ϕ < 90◦
ab < 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ < 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 90◦ < ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 11 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
a2 = aa = |a|2
kommutatıv: ab = ba
λ (ab) = (λa)b = a (λb)
NEM asszociatıv (van ertelme?): a (bc) 6= (ab) c
a (b + c) = ab + ac (”disztributıv-szeru”)
ab = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy cosϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 90◦
⇐⇒ a ⊥ b
ab > 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ > 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 0◦ 6 ϕ < 90◦
ab < 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ < 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 90◦ < ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 11 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
a2 = aa = |a|2
kommutatıv: ab = ba
λ (ab) = (λa)b = a (λb)
NEM asszociatıv (van ertelme?): a (bc) 6= (ab) c
a (b + c) = ab + ac (”disztributıv-szeru”)
ab = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy cosϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 90◦
⇐⇒ a ⊥ b
ab > 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ > 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 0◦ 6 ϕ < 90◦
ab < 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ < 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 90◦ < ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 11 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
a2 = aa = |a|2
kommutatıv: ab = ba
λ (ab) = (λa)b = a (λb)
NEM asszociatıv (van ertelme?): a (bc) 6= (ab) c
a (b + c) = ab + ac (”disztributıv-szeru”)
ab = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy cosϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 90◦
⇐⇒ a ⊥ b
ab > 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ > 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 0◦ 6 ϕ < 90◦
ab < 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ < 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 90◦ < ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 11 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
a2 = aa = |a|2
kommutatıv: ab = ba
λ (ab) = (λa)b = a (λb)
NEM asszociatıv (van ertelme?): a (bc) 6= (ab) c
a (b + c) = ab + ac (”disztributıv-szeru”)
ab = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy cosϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 90◦
⇐⇒ a ⊥ b
ab > 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ > 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 0◦ 6 ϕ < 90◦
ab < 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ < 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 90◦ < ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 11 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
a2 = aa = |a|2
kommutatıv: ab = ba
λ (ab) = (λa)b = a (λb)
NEM asszociatıv (van ertelme?): a (bc) 6= (ab) c
a (b + c) = ab + ac (”disztributıv-szeru”)
ab = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy cosϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 90◦
⇐⇒ a ⊥ b
ab > 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ > 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 0◦ 6 ϕ < 90◦
ab < 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ < 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 90◦ < ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 11 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
a2 = aa = |a|2
kommutatıv: ab = ba
λ (ab) = (λa)b = a (λb)
NEM asszociatıv (van ertelme?): a (bc) 6= (ab) c
a (b + c) = ab + ac (”disztributıv-szeru”)
ab = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy cosϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 90◦
⇐⇒ a ⊥ b
ab > 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ > 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 0◦ 6 ϕ < 90◦
ab < 0 ⇐⇒ |a| 6= 0 es |b| 6= 0 es cosϕ < 0⇐⇒ a 6= 0 es b 6= 0 es 90◦ < ϕ 6 180◦
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 11 / 33
Vektorgeometria Muveletek
V. Vektorialis szorzat
Ket vektor vektorialis szorzata az az a× b vektor,
amelynek hossza: |a× b| = |a| |b| sinϕ,
amely meroleges a-ra es b-re is, es
amellyel a harom vektor, a, b, a× b sorrendben jobbsodrasu rendszert alkot.
Geometriai jelentes
a
b
a× b
ϕ
Az a es b altal kifeszıtettparalelogramma teruletvektora:
hossza megegyezik aparalelogramma teruletevel;
iranya kijeloli aparalelogramma sıkjat(meroleges ra).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 12 / 33
Vektorgeometria Muveletek
V. Vektorialis szorzat
Ket vektor vektorialis szorzata az az a× b vektor,
amelynek hossza: |a× b| = |a| |b| sinϕ,
amely meroleges a-ra es b-re is, es
amellyel a harom vektor, a, b, a× b sorrendben jobbsodrasu rendszert alkot.
Geometriai jelentes
a
b
a× b
ϕ
Az a es b altal kifeszıtettparalelogramma teruletvektora:
hossza megegyezik aparalelogramma teruletevel;
iranya kijeloli aparalelogramma sıkjat(meroleges ra).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 12 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Megjegyzes
A definıcio korrekt, mert
0◦ 6 ϕ 6 180◦, ezert sinϕ > 0, tehat |a× b| > 0;
az a es b-re meroleges irany csak akkor nem egyertelmu, ha parhuzamosak, deekkor sinϕ = 0, a 0 iranya pedig tetszoleges.
Tulajdonsagok
antikommutatıv: a× b = −b× a
λ (a× b) = (λa)× b = a× (λb)
NEM asszociatıv: a× (b× c) 6= (a× b)× c
disztributıv az osszeadasra nezve: a× (b + c) = a× b + a× c
a× b = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy sinϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 0◦, 180◦
⇐⇒ a ‖ b
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 13 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Megjegyzes
A definıcio korrekt, mert
0◦ 6 ϕ 6 180◦, ezert sinϕ > 0, tehat |a× b| > 0;
az a es b-re meroleges irany csak akkor nem egyertelmu, ha parhuzamosak, deekkor sinϕ = 0, a 0 iranya pedig tetszoleges.
Tulajdonsagok
antikommutatıv: a× b = −b× a
λ (a× b) = (λa)× b = a× (λb)
NEM asszociatıv: a× (b× c) 6= (a× b)× c
disztributıv az osszeadasra nezve: a× (b + c) = a× b + a× c
a× b = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy sinϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 0◦, 180◦
⇐⇒ a ‖ b
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 13 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Megjegyzes
A definıcio korrekt, mert
0◦ 6 ϕ 6 180◦, ezert sinϕ > 0, tehat |a× b| > 0;
az a es b-re meroleges irany csak akkor nem egyertelmu, ha parhuzamosak, deekkor sinϕ = 0, a 0 iranya pedig tetszoleges.
Tulajdonsagok
antikommutatıv: a× b = −b× a
λ (a× b) = (λa)× b = a× (λb)
NEM asszociatıv: a× (b× c) 6= (a× b)× c
disztributıv az osszeadasra nezve: a× (b + c) = a× b + a× c
a× b = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy sinϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 0◦, 180◦
⇐⇒ a ‖ b
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 13 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Megjegyzes
A definıcio korrekt, mert
0◦ 6 ϕ 6 180◦, ezert sinϕ > 0, tehat |a× b| > 0;
az a es b-re meroleges irany csak akkor nem egyertelmu, ha parhuzamosak, deekkor sinϕ = 0, a 0 iranya pedig tetszoleges.
Tulajdonsagok
antikommutatıv: a× b = −b× a
λ (a× b) = (λa)× b = a× (λb)
NEM asszociatıv: a× (b× c) 6= (a× b)× c
disztributıv az osszeadasra nezve: a× (b + c) = a× b + a× c
a× b = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy sinϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 0◦, 180◦
⇐⇒ a ‖ b
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 13 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Megjegyzes
A definıcio korrekt, mert
0◦ 6 ϕ 6 180◦, ezert sinϕ > 0, tehat |a× b| > 0;
az a es b-re meroleges irany csak akkor nem egyertelmu, ha parhuzamosak, deekkor sinϕ = 0, a 0 iranya pedig tetszoleges.
Tulajdonsagok
antikommutatıv: a× b = −b× a
λ (a× b) = (λa)× b = a× (λb)
NEM asszociatıv: a× (b× c) 6= (a× b)× c
disztributıv az osszeadasra nezve: a× (b + c) = a× b + a× c
a× b = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy sinϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 0◦, 180◦
⇐⇒ a ‖ b
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 13 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Megjegyzes
A definıcio korrekt, mert
0◦ 6 ϕ 6 180◦, ezert sinϕ > 0, tehat |a× b| > 0;
az a es b-re meroleges irany csak akkor nem egyertelmu, ha parhuzamosak, deekkor sinϕ = 0, a 0 iranya pedig tetszoleges.
Tulajdonsagok
antikommutatıv: a× b = −b× a
λ (a× b) = (λa)× b = a× (λb)
NEM asszociatıv: a× (b× c) 6= (a× b)× c
disztributıv az osszeadasra nezve: a× (b + c) = a× b + a× c
a× b = 0 ⇐⇒ |a| = 0 vagy |b| = 0 vagy sinϕ = 0⇐⇒ a = 0 vagy b = 0 vagy ϕ = 0◦, 180◦
⇐⇒ a ‖ b
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 13 / 33
Vektorgeometria Muveletek
VI. Vegyes szorzat
Az a, b, c vektorok vegyes szorzata:
abc = (a× b) c.
Geometriai jelentes
a× b
|a× b|
a× b
(a× b)0(a× b)0
(a× b)0 c
a
b
c
ϕ
abc = |a× b|︸ ︷︷ ︸
T
a× b|a× b|c︸ ︷︷ ︸
m
Az a, b, c vektorok altal kifeszıtettparalelepipedon
elojeles
terfogata.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 14 / 33
Vektorgeometria Muveletek
VI. Vegyes szorzat
Az a, b, c vektorok vegyes szorzata:
abc = (a× b) c.
Geometriai jelentes
a× b
|a× b|
a× b
(a× b)0(a× b)0
(a× b)0 c
a
b
c
ϕ
abc = |a× b|︸ ︷︷ ︸
T
a× b|a× b|c︸ ︷︷ ︸
m
Az a, b, c vektorok altal kifeszıtettparalelepipedon
elojeles
terfogata.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 14 / 33
Vektorgeometria Muveletek
VI. Vegyes szorzat
Az a, b, c vektorok vegyes szorzata:
abc = (a× b) c.
Geometriai jelentes
a× b
|a× b|
a× b
(a× b)0(a× b)0
(a× b)0 c
a
b
c
ϕ
abc = |a× b|︸ ︷︷ ︸
T
a× b|a× b|c︸ ︷︷ ︸
m
Az a, b, c vektorok altal kifeszıtettparalelepipedon
elojeles
terfogata.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 14 / 33
Vektorgeometria Muveletek
VI. Vegyes szorzat
Az a, b, c vektorok vegyes szorzata:
abc = (a× b) c.
Geometriai jelentes
a× b
|a× b|
a× b
(a× b)0(a× b)0
(a× b)0 c
a
b
c
ϕ
abc = |a× b|︸ ︷︷ ︸T
a× b|a× b|c︸ ︷︷ ︸
m
Az a, b, c vektorok altal kifeszıtettparalelepipedon
elojeles
terfogata.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 14 / 33
Vektorgeometria Muveletek
VI. Vegyes szorzat
Az a, b, c vektorok vegyes szorzata:
abc = (a× b) c.
Geometriai jelentes
a× b
|a× b|
a× b
(a× b)0
(a× b)0
(a× b)0 c
a
b
c
ϕ
abc = |a× b|︸ ︷︷ ︸T
a× b|a× b|c︸ ︷︷ ︸
m
Az a, b, c vektorok altal kifeszıtettparalelepipedon
elojeles
terfogata.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 14 / 33
Vektorgeometria Muveletek
VI. Vegyes szorzat
Az a, b, c vektorok vegyes szorzata:
abc = (a× b) c.
Geometriai jelentes
a× b
|a× b|
a× b
(a× b)0
(a× b)0
(a× b)0 c
a
b
c
ϕ
abc = |a× b|︸ ︷︷ ︸T
a× b|a× b|c︸ ︷︷ ︸
m
Az a, b, c vektorok altal kifeszıtettparalelepipedon
elojeles
terfogata.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 14 / 33
Vektorgeometria Muveletek
VI. Vegyes szorzat
Az a, b, c vektorok vegyes szorzata:
abc = (a× b) c.
Geometriai jelentes
a× b
|a× b|
a× b
(a× b)0
(a× b)0
(a× b)0 c
a
b
c
ϕ
abc = |a× b|︸ ︷︷ ︸T
a× b|a× b|c︸ ︷︷ ︸
m
Az a, b, c vektorok altal kifeszıtettparalelepipedon
elojeles
terfogata.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 14 / 33
Vektorgeometria Muveletek
VI. Vegyes szorzat
Az a, b, c vektorok vegyes szorzata:
abc = (a× b) c.
Geometriai jelentes
a× b
|a× b|
a× b
(a× b)0
(a× b)0
(a× b)0 c
a
b
c
ϕ
abc = |a× b|︸ ︷︷ ︸T
a× b|a× b|c︸ ︷︷ ︸
m
Az a, b, c vektorok altal kifeszıtettparalelepipedon elojeles terfogata.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 14 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
abc = 0 ⇐⇒ ha egy sıkban vannak (komplanarisak)
abc > 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben jobbsodrasuak
abc < 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben balsodrasuak
abc = bca = cab = −acb = −bac = −cba
Felcserelesi tetel: (a× b) c = a (b× c), (ezert is korrekt az abc jeloles).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 15 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
abc = 0 ⇐⇒ ha egy sıkban vannak (komplanarisak)
abc > 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben jobbsodrasuak
abc < 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben balsodrasuak
abc = bca = cab = −acb = −bac = −cba
Felcserelesi tetel: (a× b) c = a (b× c), (ezert is korrekt az abc jeloles).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 15 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
abc = 0 ⇐⇒ ha egy sıkban vannak (komplanarisak)
abc > 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben jobbsodrasuak
abc < 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben balsodrasuak
abc = bca = cab = −acb = −bac = −cba
Felcserelesi tetel: (a× b) c = a (b× c), (ezert is korrekt az abc jeloles).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 15 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
abc = 0 ⇐⇒ ha egy sıkban vannak (komplanarisak)
abc > 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben jobbsodrasuak
abc < 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben balsodrasuak
abc = bca = cab = −acb = −bac = −cba
Felcserelesi tetel: (a× b) c = a (b× c), (ezert is korrekt az abc jeloles).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 15 / 33
Vektorgeometria Muveletek
Tulajdonsagok
abc = 0 ⇐⇒ ha egy sıkban vannak (komplanarisak)
abc > 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben jobbsodrasuak
abc < 0 ⇐⇒ ha a, b, c sorrendben balsodrasuak
abc = bca = cab = −acb = −bac = −cba
Felcserelesi tetel: (a× b) c = a (b× c), (ezert is korrekt az abc jeloles).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 15 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Tartalom
1 VektorgeometriaFogalmakMuveletekBazis, koordinata-rendszerMuveletek koordinataikkal adott vektorokkalAlakzatok egyenletei
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 16 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Bazis, koordinata-rendszer
Sıkban
Sıkban barmely v vektor egyertelmuen felbonthato ket, nem-parhuzamos(nem-kollinearis) a, b vektorral parhuzamos osszetevore, azaz eloallıthato
v = αa + βb
alakban.
a
bv
1,6a
−0,7b
v = 1,6a− 0,7b
A sıkban ket, nem-parhuzamos vektor bazist alkot, (α, β) a v vektor erre a bazisravonatkozo koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 17 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Bazis, koordinata-rendszer
Sıkban
Sıkban barmely v vektor egyertelmuen felbonthato ket, nem-parhuzamos(nem-kollinearis) a, b vektorral parhuzamos osszetevore, azaz eloallıthato
v = αa + βb
alakban.
a
bv
1,6a
−0,7b
v = 1,6a− 0,7b
A sıkban ket, nem-parhuzamos vektor bazist alkot, (α, β) a v vektor erre a bazisravonatkozo koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 17 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Bazis, koordinata-rendszer
Sıkban
Sıkban barmely v vektor egyertelmuen felbonthato ket, nem-parhuzamos(nem-kollinearis) a, b vektorral parhuzamos osszetevore, azaz eloallıthato
v = αa + βb
alakban.
a
bv
1,6a
−0,7b
v = 1,6a− 0,7b
A sıkban ket, nem-parhuzamos vektor bazist alkot, (α, β) a v vektor erre a bazisravonatkozo koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 17 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Bazis, koordinata-rendszer
Sıkban
Sıkban barmely v vektor egyertelmuen felbonthato ket, nem-parhuzamos(nem-kollinearis) a, b vektorral parhuzamos osszetevore, azaz eloallıthato
v = αa + βb
alakban.
a
bv
1,6a
−0,7b
v = 1,6a− 0,7b
A sıkban ket, nem-parhuzamos vektor bazist alkot, (α, β) a v vektor erre a bazisravonatkozo koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 17 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Terben
Terben barmely v vektor egyertelmuen felbonthato harom, nem-egysıku(nem-komplanaris) a, b, c vektorral parhuzamos osszetevore, azaz eloallıthato
v = αa + βb + γc
alakban.
a
b
c
v
2,5a−0,8b
3,2c
v = 2,5a− 0,8b + 3,2c
A terben harom, nem-egysıku vektor bazist alkot, (α, β, γ) a v vektor erre a bazisravonatkozo koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 18 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Terben
Terben barmely v vektor egyertelmuen felbonthato harom, nem-egysıku(nem-komplanaris) a, b, c vektorral parhuzamos osszetevore, azaz eloallıthato
v = αa + βb + γc
alakban.
a
b
c
v
2,5a−0,8b
3,2c
v = 2,5a− 0,8b + 3,2c
A terben harom, nem-egysıku vektor bazist alkot, (α, β, γ) a v vektor erre a bazisravonatkozo koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 18 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Terben
Terben barmely v vektor egyertelmuen felbonthato harom, nem-egysıku(nem-komplanaris) a, b, c vektorral parhuzamos osszetevore, azaz eloallıthato
v = αa + βb + γc
alakban.
a
b
c
v
2,5a−0,8b
3,2c
v = 2,5a− 0,8b + 3,2c
A terben harom, nem-egysıku vektor bazist alkot, (α, β, γ) a v vektor erre a bazisravonatkozo koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 18 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Terben
Terben barmely v vektor egyertelmuen felbonthato harom, nem-egysıku(nem-komplanaris) a, b, c vektorral parhuzamos osszetevore, azaz eloallıthato
v = αa + βb + γc
alakban.
a
b
c
v
2,5a−0,8b
3,2c
v = 2,5a− 0,8b + 3,2c
A terben harom, nem-egysıku vektor bazist alkot, (α, β, γ) a v vektor erre a bazisravonatkozo koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 18 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Ortonormalt bazis
Sıkban:
i
j
i ⊥ j
|i| = |j| = 1
i-t +90◦-os forgatas viszi at j-be
Terben:
ij
k
i ⊥ j, i ⊥ k, j ⊥ k
|i| = |j| = |k| = 1
i, j, k jobbsodrasu rendszert alkot
Descartes-koordinatak
Tetszoleges terbeli vektor egyertelmuen eloallıthato az i, j, k bazisban:a = a1i + a2j + a3k. Ekkor (a1; a2; a3) az a vektor Descartes-koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 19 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Ortonormalt bazis
Sıkban:
i
j
i ⊥ j
|i| = |j| = 1
i-t +90◦-os forgatas viszi at j-be
Terben:
ij
k
i ⊥ j, i ⊥ k, j ⊥ k
|i| = |j| = |k| = 1
i, j, k jobbsodrasu rendszert alkot
Descartes-koordinatak
Tetszoleges terbeli vektor egyertelmuen eloallıthato az i, j, k bazisban:a = a1i + a2j + a3k. Ekkor (a1; a2; a3) az a vektor Descartes-koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 19 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Ortonormalt bazis
Sıkban:
i
j
i ⊥ j
|i| = |j| = 1
i-t +90◦-os forgatas viszi at j-be
Terben:
ij
k
i ⊥ j, i ⊥ k, j ⊥ k
|i| = |j| = |k| = 1
i, j, k jobbsodrasu rendszert alkot
Descartes-koordinatak
Tetszoleges terbeli vektor egyertelmuen eloallıthato az i, j, k bazisban:a = a1i + a2j + a3k. Ekkor (a1; a2; a3) az a vektor Descartes-koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 19 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Ortonormalt bazis
Sıkban:
i
j
i ⊥ j
|i| = |j| = 1
i-t +90◦-os forgatas viszi at j-be
Terben:
ij
k
i ⊥ j, i ⊥ k, j ⊥ k
|i| = |j| = |k| = 1
i, j, k jobbsodrasu rendszert alkot
Descartes-koordinatak
Tetszoleges terbeli vektor egyertelmuen eloallıthato az i, j, k bazisban:a = a1i + a2j + a3k. Ekkor (a1; a2; a3) az a vektor Descartes-koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 19 / 33
Vektorgeometria Bazis, koordinata-rendszer
Ortonormalt bazis
Sıkban:
i
j
i ⊥ j
|i| = |j| = 1
i-t +90◦-os forgatas viszi at j-be
Terben:
ij
k
i ⊥ j, i ⊥ k, j ⊥ k
|i| = |j| = |k| = 1
i, j, k jobbsodrasu rendszert alkot
Descartes-koordinatak
Tetszoleges terbeli vektor egyertelmuen eloallıthato az i, j, k bazisban:a = a1i + a2j + a3k. Ekkor (a1; a2; a3) az a vektor Descartes-koordinatai.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 19 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
Tartalom
1 VektorgeometriaFogalmakMuveletekBazis, koordinata-rendszerMuveletek koordinataikkal adott vektorokkalAlakzatok egyenletei
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 20 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
I. Szammal szorzas
λa = λ (a1i + a2j + a3k) = (λa1) i + (λa2) j + (λa3) k, tehat
λa = λ (a1; a2; a3) = (λa1;λa2;λa3)
Peldaul
a = (3; 6;−2) ⇒ − 32 a =
(− 9
2 ;−9; 3)
Vektor hossza
Pitagorasz-tetel alapjan: |a| =√
a21 + a2
2 + a23
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 21 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
I. Szammal szorzas
λa = λ (a1i + a2j + a3k) = (λa1) i + (λa2) j + (λa3) k, tehat
λa = λ (a1; a2; a3) = (λa1;λa2;λa3)
Peldaul
a = (3; 6;−2) ⇒ − 32 a =
(− 9
2 ;−9; 3)
Vektor hossza
Pitagorasz-tetel alapjan: |a| =√
a21 + a2
2 + a23
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 21 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
I. Szammal szorzas
λa = λ (a1i + a2j + a3k) = (λa1) i + (λa2) j + (λa3) k, tehat
λa = λ (a1; a2; a3) = (λa1;λa2;λa3)
Peldaul
a = (3; 6;−2) ⇒ − 32 a =
(− 9
2 ;−9; 3)
Vektor hossza
Pitagorasz-tetel alapjan: |a| =√
a21 + a2
2 + a23
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 21 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
Peldaul
a = (3; 6;−2) ⇒ |a| =√
32 + 62 + (−2)2 =√
49 = 7
⇒ a0 =a|a| =
17(3; 6;−2) =
(37;
67;−2
7
)
II.–III. Osszeadas, kivonas
a± b = (a1i + a2j + a3k)± (b1i + b2j + b3k) == (a1 ± b1) i + (a2 ± b2) j + (a3 ± b3) k, tehat
a± b = (a1; a2; a3)± (b1; b2; b3) = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
a + b = (−1; 9; 3)
a− b = (7; 3;−7)
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 22 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
Peldaul
a = (3; 6;−2) ⇒ |a| =√
32 + 62 + (−2)2 =√
49 = 7
⇒ a0 =a|a| =
17(3; 6;−2) =
(37;
67;−2
7
)
II.–III. Osszeadas, kivonas
a± b = (a1i + a2j + a3k)± (b1i + b2j + b3k) == (a1 ± b1) i + (a2 ± b2) j + (a3 ± b3) k, tehat
a± b = (a1; a2; a3)± (b1; b2; b3) = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
a + b = (−1; 9; 3)
a− b = (7; 3;−7)
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 22 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
Peldaul
a = (3; 6;−2) ⇒ |a| =√
32 + 62 + (−2)2 =√
49 = 7
⇒ a0 =a|a| =
17(3; 6;−2) =
(37;
67;−2
7
)
II.–III. Osszeadas, kivonas
a± b = (a1i + a2j + a3k)± (b1i + b2j + b3k) == (a1 ± b1) i + (a2 ± b2) j + (a3 ± b3) k, tehat
a± b = (a1; a2; a3)± (b1; b2; b3) = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
a + b = (−1; 9; 3)
a− b = (7; 3;−7)
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 22 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
IV. Skalaris szorzat
ab = (a1i + a2j + a3k) (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1ii + a1b2ij + a1b3ik+
+ a2b1ji + a2b2jj + a2b3jk+
+ a3b1ki + a3b2kj + a3b3kk,
tehat
(ij =
0; stb.
)0 0
0 0
0 0(ii =
1; stb.
)
1
1
1
ab = (a1; a2; a3) (b1; b2; b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
ab = 3 · (−4) + 6 · 3 + (−2) · 5 =
= −12 + 18− 10 = −4
Mit jelent a kapott eredmeny?A ket vektor tompaszoget zar be, (es pl. a0b = ab
|a| = −47 miatt a b vektor a iranyara
eso meroleges vetuletenek hossza 47 ).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 23 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
IV. Skalaris szorzat
ab = (a1i + a2j + a3k) (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1ii + a1b2ij + a1b3ik+
+ a2b1ji + a2b2jj + a2b3jk+
+ a3b1ki + a3b2kj + a3b3kk,
tehat
(ij =
0; stb.
)
0 0
0 0
0 0(ii =
1; stb.
)
1
1
1
ab = (a1; a2; a3) (b1; b2; b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
ab = 3 · (−4) + 6 · 3 + (−2) · 5 =
= −12 + 18− 10 = −4
Mit jelent a kapott eredmeny?A ket vektor tompaszoget zar be, (es pl. a0b = ab
|a| = −47 miatt a b vektor a iranyara
eso meroleges vetuletenek hossza 47 ).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 23 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
IV. Skalaris szorzat
ab = (a1i + a2j + a3k) (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1ii + a1b2ij + a1b3ik+
+ a2b1ji + a2b2jj + a2b3jk+
+ a3b1ki + a3b2kj + a3b3kk,
tehat
(ij = 0; stb.)0 0
0 0
0 0
(ii =
1; stb.
)
1
1
1
ab = (a1; a2; a3) (b1; b2; b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
ab = 3 · (−4) + 6 · 3 + (−2) · 5 =
= −12 + 18− 10 = −4
Mit jelent a kapott eredmeny?A ket vektor tompaszoget zar be, (es pl. a0b = ab
|a| = −47 miatt a b vektor a iranyara
eso meroleges vetuletenek hossza 47 ).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 23 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
IV. Skalaris szorzat
ab = (a1i + a2j + a3k) (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1ii + a1b2ij + a1b3ik+
+ a2b1ji + a2b2jj + a2b3jk+
+ a3b1ki + a3b2kj + a3b3kk,
tehat
(ij = 0; stb.)0 0
0 0
0 0(ii =
1; stb.
)
1
1
1
ab = (a1; a2; a3) (b1; b2; b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
ab = 3 · (−4) + 6 · 3 + (−2) · 5 =
= −12 + 18− 10 = −4
Mit jelent a kapott eredmeny?A ket vektor tompaszoget zar be, (es pl. a0b = ab
|a| = −47 miatt a b vektor a iranyara
eso meroleges vetuletenek hossza 47 ).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 23 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
IV. Skalaris szorzat
ab = (a1i + a2j + a3k) (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1ii + a1b2ij + a1b3ik+
+ a2b1ji + a2b2jj + a2b3jk+
+ a3b1ki + a3b2kj + a3b3kk, tehat
(ij = 0; stb.)0 0
0 0
0 0(ii = 1; stb.)
1
1
1
ab = (a1; a2; a3) (b1; b2; b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
ab = 3 · (−4) + 6 · 3 + (−2) · 5 =
= −12 + 18− 10 = −4
Mit jelent a kapott eredmeny?A ket vektor tompaszoget zar be, (es pl. a0b = ab
|a| = −47 miatt a b vektor a iranyara
eso meroleges vetuletenek hossza 47 ).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 23 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
IV. Skalaris szorzat
ab = (a1i + a2j + a3k) (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1ii + a1b2ij + a1b3ik+
+ a2b1ji + a2b2jj + a2b3jk+
+ a3b1ki + a3b2kj + a3b3kk, tehat
(ij = 0; stb.)0 0
0 0
0 0(ii = 1; stb.)
1
1
1
ab = (a1; a2; a3) (b1; b2; b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
ab = 3 · (−4) + 6 · 3 + (−2) · 5 =
= −12 + 18− 10 = −4
Mit jelent a kapott eredmeny?A ket vektor tompaszoget zar be, (es pl. a0b = ab
|a| = −47 miatt a b vektor a iranyara
eso meroleges vetuletenek hossza 47 ).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 23 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
IV. Skalaris szorzat
ab = (a1i + a2j + a3k) (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1ii + a1b2ij + a1b3ik+
+ a2b1ji + a2b2jj + a2b3jk+
+ a3b1ki + a3b2kj + a3b3kk, tehat
(ij = 0; stb.)0 0
0 0
0 0(ii = 1; stb.)
1
1
1
ab = (a1; a2; a3) (b1; b2; b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
ab = 3 · (−4) + 6 · 3 + (−2) · 5 =
= −12 + 18− 10 = −4
Mit jelent a kapott eredmeny?
A ket vektor tompaszoget zar be, (es pl. a0b = ab|a| = −
47 miatt a b vektor a iranyara
eso meroleges vetuletenek hossza 47 ).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 23 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
IV. Skalaris szorzat
ab = (a1i + a2j + a3k) (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1ii + a1b2ij + a1b3ik+
+ a2b1ji + a2b2jj + a2b3jk+
+ a3b1ki + a3b2kj + a3b3kk, tehat
(ij = 0; stb.)0 0
0 0
0 0(ii = 1; stb.)
1
1
1
ab = (a1; a2; a3) (b1; b2; b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
ab = 3 · (−4) + 6 · 3 + (−2) · 5 =
= −12 + 18− 10 = −4
Mit jelent a kapott eredmeny?A ket vektor tompaszoget zar be, (es pl. a0b = ab
|a| = −47 miatt a b vektor a iranyara
eso meroleges vetuletenek hossza 47 ).
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 23 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
V. Vektorialis szorzat
a× b = (a1i + a2j + a3k)× (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1i× i + a1b2i× j + a1b3i× k+
+ a2b1j× i + a2b2j× j + a2b3j× k+
+ a3b1k× i + a3b2k× j + a3b3k× k,
tehat
(i× i =
0; stb.
)0
0
0(i× j =
k; stb.
)
k −j
−k i
j −i
a× b = (a2b3 − a3b2) i− (a1b3 − a3b1) j + (a1b2 − a2b1) k
a× b = (a1; a2; a3)× (b1; b2; b3) =
∣∣∣∣∣∣i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 24 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
V. Vektorialis szorzat
a× b = (a1i + a2j + a3k)× (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1i× i + a1b2i× j + a1b3i× k+
+ a2b1j× i + a2b2j× j + a2b3j× k+
+ a3b1k× i + a3b2k× j + a3b3k× k,
tehat
(i× i =
0; stb.
)
0
0
0(i× j =
k; stb.
)
k −j
−k i
j −i
a× b = (a2b3 − a3b2) i− (a1b3 − a3b1) j + (a1b2 − a2b1) k
a× b = (a1; a2; a3)× (b1; b2; b3) =
∣∣∣∣∣∣i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 24 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
V. Vektorialis szorzat
a× b = (a1i + a2j + a3k)× (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1i× i + a1b2i× j + a1b3i× k+
+ a2b1j× i + a2b2j× j + a2b3j× k+
+ a3b1k× i + a3b2k× j + a3b3k× k,
tehat
(i× i = 0; stb.)0
0
0
(i× j =
k; stb.
)
k −j
−k i
j −i
a× b = (a2b3 − a3b2) i− (a1b3 − a3b1) j + (a1b2 − a2b1) k
a× b = (a1; a2; a3)× (b1; b2; b3) =
∣∣∣∣∣∣i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 24 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
V. Vektorialis szorzat
a× b = (a1i + a2j + a3k)× (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1i× i + a1b2i× j + a1b3i× k+
+ a2b1j× i + a2b2j× j + a2b3j× k+
+ a3b1k× i + a3b2k× j + a3b3k× k,
tehat
(i× i = 0; stb.)0
0
0(i× j =
k; stb.
)
k −j
−k i
j −i
a× b = (a2b3 − a3b2) i− (a1b3 − a3b1) j + (a1b2 − a2b1) k
a× b = (a1; a2; a3)× (b1; b2; b3) =
∣∣∣∣∣∣i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 24 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
V. Vektorialis szorzat
a× b = (a1i + a2j + a3k)× (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1i× i + a1b2i× j + a1b3i× k+
+ a2b1j× i + a2b2j× j + a2b3j× k+
+ a3b1k× i + a3b2k× j + a3b3k× k, tehat
(i× i = 0; stb.)0
0
0(i× j = k; stb.)
k −j
−k i
j −i
a× b = (a2b3 − a3b2) i− (a1b3 − a3b1) j + (a1b2 − a2b1) k
a× b = (a1; a2; a3)× (b1; b2; b3) =
∣∣∣∣∣∣i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 24 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
V. Vektorialis szorzat
a× b = (a1i + a2j + a3k)× (b1i + b2j + b3k) =
= a1b1i× i + a1b2i× j + a1b3i× k+
+ a2b1j× i + a2b2j× j + a2b3j× k+
+ a3b1k× i + a3b2k× j + a3b3k× k, tehat
(i× i = 0; stb.)0
0
0(i× j = k; stb.)
k −j
−k i
j −i
a× b = (a2b3 − a3b2) i− (a1b3 − a3b1) j + (a1b2 − a2b1) k
a× b = (a1; a2; a3)× (b1; b2; b3) =
∣∣∣∣∣∣i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 24 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
a× b =
∣∣∣∣∣∣i j k3 6 −2−4 3 5
∣∣∣∣∣∣ == i (30 + 6)− j (15− 8) + k (9 + 24)
= (36;−7; 33)
Mekkora a ket vektor altal kifeszıtett paralelogramma terulete?
T = |a× b| =√
362 + (−7)2 + 332 =√
2 434 ≈ 49,34
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 25 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)⇒
a× b =
∣∣∣∣∣∣i j k3 6 −2−4 3 5
∣∣∣∣∣∣ == i (30 + 6)− j (15− 8) + k (9 + 24)
= (36;−7; 33)
Mekkora a ket vektor altal kifeszıtett paralelogramma terulete?
T = |a× b| =√
362 + (−7)2 + 332 =√
2 434 ≈ 49,34
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 25 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
VI. Vegyes szorzat
abc = a (b× c) = a
∣∣∣∣∣∣i j k
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ , tehat
abc =
∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)
c = (1;−2;−2)
⇒abc =
∣∣∣∣∣∣3 6 −2−4 3 51 −2 −2
∣∣∣∣∣∣ = 1 (30 + 6)+
+ 2 (15− 8)− 2 (9 + 24) = −16
Mit jelent a kapott eredmeny?A harom vektor (a, b, c sorrendben) balsodrasu rendszert alkot, es az altalukkifeszıtett paralelepipedon terfogata 16.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 26 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
VI. Vegyes szorzat
abc = a (b× c) = a
∣∣∣∣∣∣i j k
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ , tehat
abc =
∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)
c = (1;−2;−2)
⇒abc =
∣∣∣∣∣∣3 6 −2−4 3 51 −2 −2
∣∣∣∣∣∣ = 1 (30 + 6)+
+ 2 (15− 8)− 2 (9 + 24) = −16
Mit jelent a kapott eredmeny?A harom vektor (a, b, c sorrendben) balsodrasu rendszert alkot, es az altalukkifeszıtett paralelepipedon terfogata 16.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 26 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
VI. Vegyes szorzat
abc = a (b× c) = a
∣∣∣∣∣∣i j k
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ , tehat
abc =
∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)
c = (1;−2;−2)
⇒abc =
∣∣∣∣∣∣3 6 −2−4 3 51 −2 −2
∣∣∣∣∣∣ = 1 (30 + 6)+
+ 2 (15− 8)− 2 (9 + 24) = −16
Mit jelent a kapott eredmeny?
A harom vektor (a, b, c sorrendben) balsodrasu rendszert alkot, es az altalukkifeszıtett paralelepipedon terfogata 16.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 26 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
VI. Vegyes szorzat
abc = a (b× c) = a
∣∣∣∣∣∣i j k
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ , tehat
abc =
∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣Peldaul
a = (3; 6;−2)
b = (−4; 3; 5)
c = (1;−2;−2)
⇒abc =
∣∣∣∣∣∣3 6 −2−4 3 51 −2 −2
∣∣∣∣∣∣ = 1 (30 + 6)+
+ 2 (15− 8)− 2 (9 + 24) = −16
Mit jelent a kapott eredmeny?A harom vektor (a, b, c sorrendben) balsodrasu rendszert alkot, es az altalukkifeszıtett paralelepipedon terfogata 16.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 26 / 33
Vektorgeometria Muveletek koordinataikkal adott vektorokkal
Megjegyzes
Az I.–III. muveleteknel (szammal szorzas, osszeadas, kivonas) semmit nemhasznaltunk ki az i, j, k bazisvektorok specialis tulajdonsagaibol. Ezenmuveletek elvegzese barmilyen bazisban felırt koordinatakkal adott vektorokeseten ıgy tortenik.
A hossz kiszamıtasanal es a IV.–VI. muveletek (skalaris, vektorialis, vegyesszorzat) eseten erosen kihasznaltuk az i, j, k bazis ortonormalitasat. Ezenmuveletek elvegzese kizarolag Descartes-koordinatakkal adott vektorok esetentortenhet a fenti modon.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 27 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Tartalom
1 VektorgeometriaFogalmakMuveletekBazis, koordinata-rendszerMuveletek koordinataikkal adott vektorokkalAlakzatok egyenletei
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 28 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Alakzatok egyenletei
Egyenes vektoregyenlete
ev
P0
P
O
r0
r
tv
P0: ismert pont
v: iranyvektor
P: futopont
Egyenes vektoregyenlete:
r = r0 + tv, t ∈ R
Egyenes parameteres egyenletrendszere
P0 (x0; y0; z0)
P (x ; y ; z)
v (vx ; vy ; vz)
⇒x = x0 + tvx
y = y0 + tvy
z = z0 + tvz
t ∈ R
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 29 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Alakzatok egyenletei
Egyenes vektoregyenlete
ev
P0
P
O
r0
r
tv
P0: ismert pont
v: iranyvektor
P: futopont
Egyenes vektoregyenlete:
r = r0 + tv, t ∈ R
Egyenes parameteres egyenletrendszere
P0 (x0; y0; z0)
P (x ; y ; z)
v (vx ; vy ; vz)
⇒x = x0 + tvx
y = y0 + tvy
z = z0 + tvz
t ∈ R
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 29 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Alakzatok egyenletei
Egyenes vektoregyenlete
ev
P0
P
O
r0
r
tv
P0: ismert pont
v: iranyvektor
P: futopont
Egyenes vektoregyenlete:
r = r0 + tv, t ∈ R
Egyenes parameteres egyenletrendszere
P0 (x0; y0; z0)
P (x ; y ; z)
v (vx ; vy ; vz)
⇒x = x0 + tvx
y = y0 + tvy
z = z0 + tvz
t ∈ R
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 29 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Alakzatok egyenletei
Egyenes vektoregyenlete
ev
P0
P
O
r0
r
tv
P0: ismert pont
v: iranyvektor
P: futopont
Egyenes vektoregyenlete:
r = r0 + tv, t ∈ R
Egyenes parameteres egyenletrendszere
P0 (x0; y0; z0)
P (x ; y ; z)
v (vx ; vy ; vz)
⇒x = x0 + tvx
y = y0 + tvy
z = z0 + tvz
t ∈ R
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 29 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Alakzatok egyenletei
Egyenes vektoregyenlete
ev
P0
P
O
r0
r
tv
P0: ismert pont
v: iranyvektor
P: futopont
Egyenes vektoregyenlete:
r = r0 + tv, t ∈ R
Egyenes parameteres egyenletrendszere
P0 (x0; y0; z0)
P (x ; y ; z)
v (vx ; vy ; vz)
⇒x = x0 + tvx
y = y0 + tvy
z = z0 + tvz
t ∈ R
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 29 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Egyenes parametermentes egyenletrendszere
Ha
vx 6= 0
vy 6= 0
vz 6= 0
⇒ x − x0
vx=
y − y0
vy=
z − z0
vz
Ha
vx 6= 0
vy 6= 0
vz = 0
⇒x − x0
vx=
y − y0
vy
z = z0
Ha
vx 6= 0
vy = 0
vz = 0
⇒y = y0
z = z0
}
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 30 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Peldaul
P0 (3;−2; 5)
v (1;−3;−4)⇒
x = 3 + t
y = −2− 3t
z = 5− 4t
vagyx − 3
1=
y + 2−3
=z − 5−4
Q1 (5;−8; 10) rajta van?
5 ?= 3 + t
−8 ?= −2− 3t
10 ?= 5− 4t
⇒
t ?= 2
t ?= 2
t ?= − 5
4
⇒ Nincs rajta.
Q2 (5;−8;−3) rajta van?
5− 31
?=−8 + 2−3
?=−3− 5−4
2 ?= 2 ?
= 2⇒ Rajta van.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 31 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Peldaul
P0 (3;−2; 5)
v (1;−3;−4)⇒
x = 3 + t
y = −2− 3t
z = 5− 4t
vagyx − 3
1=
y + 2−3
=z − 5−4
Q1 (5;−8; 10) rajta van?
5 ?= 3 + t
−8 ?= −2− 3t
10 ?= 5− 4t
⇒
t ?= 2
t ?= 2
t ?= − 5
4
⇒ Nincs rajta.
Q2 (5;−8;−3) rajta van?
5− 31
?=−8 + 2−3
?=−3− 5−4
2 ?= 2 ?
= 2⇒ Rajta van.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 31 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Peldaul
P0 (3;−2; 5)
v (1;−3;−4)⇒
x = 3 + t
y = −2− 3t
z = 5− 4t
vagyx − 3
1=
y + 2−3
=z − 5−4
Q1 (5;−8; 10) rajta van?
5 ?= 3 + t
−8 ?= −2− 3t
10 ?= 5− 4t
⇒
t ?= 2
t ?= 2
t ?= − 5
4
⇒ Nincs rajta.
Q2 (5;−8;−3) rajta van?
5− 31
?=−8 + 2−3
?=−3− 5−4
2 ?= 2 ?
= 2⇒ Rajta van.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 31 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Sık vektoregyenlete
S
n
P0
P
O
r0r
r− r0
P0: ismert pont
n: normalvektor
P: futopont
Sık vektoregyenlete:
n (r− r0) = 0
Sık egyenlete
P0 (x0; y0; z0)
P (x ; y ; z)
n (nx ; ny ; nz)
⇒ nx (x − x0) + ny (y − y0) + nz (z − z0) = 0
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 32 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Sık vektoregyenlete
S
n
P0
P
O
r0r
r− r0
P0: ismert pont
n: normalvektor
P: futopont
Sık vektoregyenlete:
n (r− r0) = 0
Sık egyenlete
P0 (x0; y0; z0)
P (x ; y ; z)
n (nx ; ny ; nz)
⇒ nx (x − x0) + ny (y − y0) + nz (z − z0) = 0
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 32 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Sık vektoregyenlete
S
n
P0
P
O
r0r
r− r0
P0: ismert pont
n: normalvektor
P: futopont
Sık vektoregyenlete:
n (r− r0) = 0
Sık egyenlete
P0 (x0; y0; z0)
P (x ; y ; z)
n (nx ; ny ; nz)
⇒ nx (x − x0) + ny (y − y0) + nz (z − z0) = 0
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 32 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Sık vektoregyenlete
S
n
P0
P
O
r0r
r− r0
P0: ismert pont
n: normalvektor
P: futopont
Sık vektoregyenlete:
n (r− r0) = 0
Sık egyenlete
P0 (x0; y0; z0)
P (x ; y ; z)
n (nx ; ny ; nz)
⇒ nx (x − x0) + ny (y − y0) + nz (z − z0) = 0
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 32 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Sık vektoregyenlete
S
n
P0
P
O
r0r
r− r0
P0: ismert pont
n: normalvektor
P: futopont
Sık vektoregyenlete:
n (r− r0) = 0
Sık egyenlete
P0 (x0; y0; z0)
P (x ; y ; z)
n (nx ; ny ; nz)
⇒ nx (x − x0) + ny (y − y0) + nz (z − z0) = 0
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 32 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Peldaul
P0 (1;−3; 4)
n (3; 2;−3)⇒
3 (x − 1) + 2 (y + 3)− 3 (z − 4) = 0
3x + 2y − 3z = −15
Q1 (2;−4; 1) rajta van?
3 · 2 + 2 · (−4)− 3 · 1 ?= −15
−5 6= 15⇒ Nincs rajta.
Q2 (−5; 6; 4) rajta van?
3 · (−5) + 2 · 6− 3 · 4 ?= −15
−15 = −15⇒ Rajta van.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 33 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Peldaul
P0 (1;−3; 4)
n (3; 2;−3)⇒
3 (x − 1) + 2 (y + 3)− 3 (z − 4) = 0
3x + 2y − 3z = −15
Q1 (2;−4; 1) rajta van?
3 · 2 + 2 · (−4)− 3 · 1 ?= −15
−5 6= 15⇒ Nincs rajta.
Q2 (−5; 6; 4) rajta van?
3 · (−5) + 2 · 6− 3 · 4 ?= −15
−15 = −15⇒ Rajta van.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 33 / 33
Vektorgeometria Alakzatok egyenletei
Peldaul
P0 (1;−3; 4)
n (3; 2;−3)⇒
3 (x − 1) + 2 (y + 3)− 3 (z − 4) = 0
3x + 2y − 3z = −15
Q1 (2;−4; 1) rajta van?
3 · 2 + 2 · (−4)− 3 · 1 ?= −15
−5 6= 15⇒ Nincs rajta.
Q2 (−5; 6; 4) rajta van?
3 · (−5) + 2 · 6− 3 · 4 ?= −15
−15 = −15⇒ Rajta van.
Karasz P. (OE NIK) Vektorgeometria 2013/14. oszi felev 33 / 33