vektor kalkulus

Download Vektor kalkulus

Post on 29-Jan-2016

69 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Vektor kalkulus. Del-operator Definisjon og anvendelse. GradientRetningsderivert DivergensFluks CurlSirkulasjon / Rotasjon. Del-operator. Gradient. Divergens. Curl. Curl Sammenheng mellom c url og rotasjon. Posisjon. Hastighet. Konservativt vektorfelt Vei-uavhengighet. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

  • Vektor kalkulus

  • Del-operatorDefinisjon og anvendelseDel-operatorGradientDivergensCurlGradientRetningsderivertDivergensFluksCurlSirkulasjon / Rotasjon

  • Curl Sammenheng mellom curl og rotasjonPosisjonHastighet

  • Konservativt vektorfeltVei-uavhengighetLaVi sier da at integralet er vei-uavhengig.

    Vi sier videre at F er konservativ og at vektorfeltet er konservativt.vre uavhengig av alle veiermellom A og B for alle A,B D.F definert i et pent omrde D i rommet.AB

  • Potensial-funksjonHvis det finnes en skalar-funksjon fsom er slik at

    F = f F er gradienten til f

    s kalles f for en potensial-funksjon til F

    og vektorfeltet kalles for et gradientfelt.F definert i et pent omrde D i rommet.

  • Gradientfelt og vei-uavhengighetF definert i et pent omrde D i rommet.Bevis del 1:Anta at det finnes en f slik at F = f.dvs, integralet er vei-uavhengig,kun avhengig av endepunktene.Det finnes en f slik at F = fvei-uavhengig

  • Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurverF definert i et pent omrde D i rommet.Bevis:F er konservativ p D (dvs vei-uavhengig)ABC1C2

  • Gradientfelt og curlF definert i et pent omrde D i rommet.Bevis 1:F gradientfelt curl F = 0

  • Gradientfelt og eksakt differentialformF = [ F1, F2, F3] definert i et pent omrde D i rommet.Uttrykket F1dx + F2dy + F3dzer en differential form.Differentialformen kalles eksakthvis det finnes en skalar funksjon f slik at

  • Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) feltF definert i et pent omrde D i rommet.

  • Konservativt vektorfeltEks 1 - OppgaveF = [ excosy + yz, xz exsiny, xy + z ]

    1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig)

    2. Bestem en potensialfunksjon til F

    3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)

  • Konservativt vektorfeltEks 1 - Lsning [1/3]F = [ excosy + yz, xz exsiny, xy + z ]

    1. Tilstrekkelig vise at curl F = 0

  • Konservativt vektorfeltEks 1 - Lsning [2/3]F = [ excosy + yz, xz exsiny, xy + z ]

    2. Bestem en potensialfunksjon til F

  • Konservativt vektorfeltEks 1 - Lsning [3/3]F = [ excosy + yz, xz exsiny, xy + z ]

    3. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)

  • Konservativt vektorfeltEks 2 - Oppgave1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt

    2. Bestem flgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene:A (1,1,1)B (2,3,-1)

  • Konservativt vektorfeltEks 2 - Lsning [1/4]1. Tilstrekkelig vise at curl F = 0Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt

  • Konservativt vektorfeltEks 2 - Lsning [2/4]2. Bestemmelse av potensialfunksjon f

  • Konservativt vektorfeltEks 2 - Lsning [3/4]F = [ y, x, 4]

    2. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1)A (1,1,1)B (2,3,-1)F

  • Konservativt vektorfeltEks 2 - Lsning [4/4]AB2. Integralet kan ogs lses direkteA (1,1,1)B (2,3,-1)F

  • Divergens (Flukstetthet)Curl (Sirkulasjonstetthet)knTCFFluksStrmningknTCFDivergensCurlAdA dC

  • Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [1/3]

  • Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [2/3]

  • Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [3/3]ABCD

  • Divergens (Flukstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2DEkspanderende gassi punktet (x0,y0)Komprimerende gassi punktet (x0,y0)

  • Divergens (Flukstetthet)Eks 2 - 2DFinn divergensen av F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 y, xy y2 ]

  • Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [1/3]

  • Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [2/3]

  • Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [3/3]ABCD

  • Curl (Sirkulalsjonstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2DRotasjon mot klokkai punktet (x0,y0)Rotasjon med klokkai punktet (x0,y0)

  • Divergens(FlukstetthetCurl (Sirkulasjonstetthet)

    nCFTCFAADivergensCurl

  • Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 2 - 2DFinn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x, y ]Ingen rotasjons-tendens

  • Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 3 - 2DFinn k-komponenten av curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x2 y, xy y2 ]Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ -y, x ]Rotasjons-tendens

  • Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 4 - 2DFinn k-komponenten av curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x2 y, xy y2 ]

  • Curl (Sirkulasjonstetthet)Fysisk tolkning av curl - 2Dcurl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjon rundt randen til R.curl F peker rett opp nr arbeidet er positivt, rett ned nr arbeidet er negavivt.curl F sier noe om kraftfeltets tendens til gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt.kTCFR

  • Greens teoremDef - 2DF1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner p D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omlpsretning.Det lukkede omrde R p og innenfor C ligger i D.Fluks - Divergens - NormalformSirkulasjon - Curl - Tangentiell form

  • Greens teoremDef - 2D - FigF1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner p D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omlpsretning.Det lukkede omrde R p og innenfor C ligger i D.Green - Fluks - Divergens - NormalformGreen - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell formnCFTCFRR

  • Greens teoremDef - 2DNormalformF1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner p D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omlpsretning.Det lukkede omrde R p og innenfor C ligger i D.Green - Fluks - Divergens - NormalformnCFRNormalformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C,dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av divergensen til F over det indre omrdet R av kurven C,dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre omrdet R.

  • Greens teoremDef - 2DTangentiellformF1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner p D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omlpsretning.Det lukkede omrde R p og innenfor C ligger i D.Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C,dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre omrdet R av kurven C,dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre omrdet R.Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell formTCFR

  • Greens teoremDef - 2D - PartF1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner p D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omlpsretning.Det lukkede omrde R p og innenfor C ligger i D.Green - Fluks - Divergens - NormalformGreen - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell formnCFTCFRR

  • Greens teoremBevis-skisse - Curl / Div - 2DxyCCi,jCi,j+1Ci+1,jCi+1,j+1Ri,jRi,jIIIIIIIVRP

  • Greens teoremBevis-skisse - Curl - 2DxyCRi,jIIIIIIIV

  • Greens teoremBevis-skisse - Div - 2DxyCRi,jIIIIIIIV

  • Greens teoremFysisk tolkning - Uten hullGreen - Fluks - Divergens - NormalformGreen - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell formCRCRn hull

  • Positiv og negativ fluksDef - 2D - FigGreen - Fluks - Divergens - NormalformFlomPositiv fluksUttapping av vannNegativ fluksEElektrisk feltPositiv fluks / Negativ fluksElektrisk feltNull fluks

  • Greens teoremEks 1 - 2DVerifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x y, x ]over omrdet R begrenset av sirkelen C: r(t) = [ cost, sint] 0 t 2NormalformFluksTangentialformSirkulasjon

  • Greens teoremOmrder med hull - 2D [1/2]xyC1RxyC11R1C1C2C22C21R2J1J2C12AB

  • Greens teoremOmrder med hull - 2D [2/2]xyC11R1C1C2C22C21R2J1J2C12xyCRC1C2C31 hulln hull

  • Greens teoremFysisk tolkning - Med hullGreen - Fluks - Divergens - NormalformGreen - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell formCRCRn hull

  • Greens teoremOmrder med hull - Eks - 2D [1/3]xyCCa

  • Greens teoremOmrder med hull - Eks - 2D [2/3]xyCCa

  • Greens teoremOmrder med hull - Eks - 2D [3/3]xyCCa

  • Greens teoremEks - 2D [1/4]Uten Greens teoremxyC11IIIIIIIV

  • Greens teoremEks - 2D [2/4]Med Greens teorem (normal/tangential)xyC11IIIIIIIVFluksSirkulasjonI tillegg til direkte beregning,kan integralet beregnesvha Greens teorem,enten vha fluks- ellersirkulasjons-betraktninger.F = [ xy, y2 ]F = [ -y2,xy ]

  • Greens teoremEks - 2D [3/4]NormalformxyC11IIIIIIIV

  • Greens teoremEks - 2D [4/4]TangentiellformxyC11IIIIIIIV

  • Greens teoremEks - Kurve C [1/4]TangentiellformBestem hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planetsom gir minimumsverdi av flgende integral:C1C2C3

  • Greens teoremEks - Kurve C [2/4]TangentialformC1C2C3R1R2R3

  • Greens teoremEks - Kurve C [3/4]TangentialformC1C2C3R1R2R3CRSiden integranden i dobbeltintegralet over Rer null p ellipsen C, positiv utenfor ellipsen Cog negativ innenfor ellipsen C,s vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdinr omrdet R er omrdet innenfor den gitte ellipsen C.Ellipsen C

  • Greens teoremEks - Kurve C [4/4]TangentialformEllipsen CCC

  • Greens teoremAreal som sirkel-integral - InnledningArealet av et omrde R i planet er gitt ved:Vi skal se hvordan vi vha Greens teoremkan finne en formel for areal som enkelt sirkel-integ

Recommended

View more >