vedrana kozulic - gradjevinska statika i
DESCRIPTION
Gradjevinska Statika IPredavanja Akad.god. 2007/2008TRANSCRIPT
Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić
GRAĐEVINSKA STATIKA 1
Predavanja
Akad. god. 2007/08
Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci
Literatura
V. Simović: Građevna statika I, Građevinski institut, Zagreb, 1988. I. P. Prokofjev: Teorija konstrukcija I, Građevinska knjiga, Beograd, 1966. I. P. Prokofjev: Teorija konstrukcija II, Građevinska knjiga, Beograd, 1968. V. Andrejev: Mehanika II - kinematika, Tehnička knjiga, Zagreb, 1973. W. Wagner, G. Erlhof: Praktična građevinska statika I, 1979. H. Werner: Tehnička mehanika, 1986. M. Đurić: Statika konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1979. M. Đurić, P. Jovanović: Teorija okvirnih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1977. J. C. McCormac: Structural Analysis, 1966. S. P. Timoshenko, D. H. Young: Theory of structures, McGraw-Hill, New York, 1988.
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 2
ZADAĆA GRAĐEVINSKE STATIKE
Građevinska statika jedan je od kolegija mehanike konstrukcija. Osnovni zadatak - projektiranje stabilnih građevina
nosivi sklop - konstrukcija • Pretpostavka da su vanjske i unutrašnje sile u ravnoteži na nedeformiranom nosaču ⇒
linearnost uvjeta ravnoteže • Pretpostavka o malim pomacima ⇒ linearnost veza deformacijskih veličina i pomaka Postupci proračuna:
• analitički
• grafički
• grafo-analitički Konstrukcija: geometrija + opterećenja - Proračunski modeli (sheme) konstrukcije
VRSTE KONSTRUKCIJA
(1) Podjela konstrukcija prema obliku nosivih dijelova:
- Linijske (štapne) konstrukcije: lančanice, lančani poligoni, rešetke, grede, stupovi, okviri, lukovi, roštilji
- Plošne (površinske) konstrukcije: stijene (zidovi), ploče, membrane, ljuske, naborane konstrukcije
- Masivne konstrukcije
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 3
(2) Podjela konstrukcija prema nivou kinematičke stabilnosti:
- Geometrijski promjenljivi sustavi - Geometrijski nepromjenljivi sustavi:
• Statički određene konstrukcije • Statički neodređene konstrukcije
Za rješavanje statički određenih sustava koriste se samo jednadžbe ravnoteže: 0x =∑ ; 0y =∑ ; 0M =∑
Za rješavanje statički neodređenih sustava koriste se: jednadžbe ravnoteže + dodatne jednadžbe
(3) Podjela konstrukcija prema položaju konstrukcije u prostoru:
• ravninske konstrukcije • prostorne konstrukcije
VRSTE OPTEREĆENJA
1) Po promjenljivosti u vremenu: • statička opterećenja
• dinamička opterećenja 2) Po načinu prijenosa na konstrukciju:
• koncentrirano opterećenje
• kontinuirano opterećenje
3) Statička opterećenja dijele se na: • Stalno opterećenje – mrtvi teret
• Pokretno ili povremeno opterećenje: živi teret na cestovnim mostovima, živi teret na željezničkim mostovima, pokretni teret u zgradama, teret snijega i leda i dr.
• Dopunska opterećenja: opterećenja vjetrom, temperaturna opterećenja, djelovanje skupljanja i puzanja materijala, slijeganje ili pomicanje ležajeva, potresne sile i dr.
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 4
STRUKTURA KONSTRUKCIJE
Konstrukcija = tijela + veze Unutrašnje veze: veze kojima se jednostavna tijela međusobno spajaju u sustav tijela Vanjske veze: veze tijela s podlogom
Unutrašnje veze
Četiri osnovna tipa: a) štapna veza – štap b) zglobna veza – zglob c) kruta veza – uklještenje d) kruta pomična veza – pomično uklještenje
a) štapna veza – štap
- kinematička karakteristika veze: oduzima 1 stupanj slobode; sprječava translacijski pomak dva tijela u smjeru štapa, omogućava translaciju u drugom smjeru i rotaciju tijela
- statička karakteristika štapne veze: preuzima jednu unutrašnju silu (na pravcu štapa)
I II I II
b) zglobna veza – zglob
Jednostruki zglob
I II
- kinematička karakteristika veze: oduzima 2 stupnja slobode; sprječava translacijske pomake dvaju tijela, omogućava samo rotaciju tijela
- statička karakteristika zglobne veze: preuzima dvije unutrašnje sile
A
B C
A
B D
C
E
materijalni zglob nematerijalni zglob
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 5
Višestruki zglob
Kolikostruki zglob:
1ni −= ; n je broj zglobno spojenih elemenata Broj stupnjeva slobode koji oduzima višestruki zglob: i2)1n(2Os =−=
c) kruta veza – uklještenje
I II
• kinematička karakteristika uklještenja: sprječava sva tri pomaka
• statička karakteristika uklještenja: može prenositi silu bilo kojeg pravca djelovanja kroz točku spoja i moment
V
V
H
HM M
K A
d
V
ruta veza dvaju elemenata ekvivalentna je vezi s tri štapa.
ko je kruta veza višestruka, onda je ekvivalentna vezi s štapova, n – broj priključenih elemenata )1n(3 −
) kruta pomična veza – pomično uklještenje
• kinematička karakteristika pomičnog uklještenja: oduzima dva stupnja slobode kretanja
• statička karakteristika veze: može prenositi silu okomito na pravac mogućeg pomaka i moment
edrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 6
Pomično uklještenje ekvivalentno je vezi s dva paralelna štapa.
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 7
Vanjske veze
α
α
Valjci Valjkasti oslon sa zglobom
Glatkapovršina
Sila s poznatimpravcem djelovanja
Kratko uže Kratki štap Sila s poznatimpravcem djelovanja
Osovina bez trenja ili zglob
Hrapavapovršina
Sila s nepoznatimpravcem djelovanja
Nepomični oslonac Sila i moment
Oslonac ili veza Reakcija Brojnepoznanica
ili
ili
1
1
2
3
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 8
Najčešći tipovi ležajnih veza:
F Pomični zglobni ležaj (klizni ležaj) - dva stupnjaslobode, jedna sila veze
Fx
Fy
Nepomični zglobni ležaj - jedan stupanj slobode,dvije sile veze
M
Fx
Fy
Upeti nepomični ležaj - nema niti jedan stupanjslobode, tri sile veze (dvije sile i moment upetosti)
Upeti pomični ležaj - jedan stupanj slobode(translacijski), dvije sile veze (jedna sila i moment)
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 9
KINEMATIČKA STABILNOST
Vezivanje točke i tijela s podlogom i međusobno Vezivanje materijalne točke
M
U ravnini
M
U prostoru Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje točke u ravnini:
nužan uvjet kinematičke stabilnosti: točka se mora vezati sa 2 štapa
dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi ne smiju ležati na istom pravcu
A B
C
ispravno neispravnoA B
C
mehanizam - geometrijski promjenljiv sustav
Vezivanje tijela
U ravnini U prostoru Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje tijela u ravnini:
nužan uvjet kinematičke stabilnosti: tijelo mora imati 3 štapne veze s podlogom
dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki Primjeri neispravno vezanog tijela (geometrijski promjenljivi sustavi):
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 10
Geometrijski promjenljivi sistemi – mogu imati pomake tj. mogu mijenjati oblik bez deformacija elemenata
Geometrijski nepromjenljivi sistemi – može doći do pomaka samo uslijed deformacije
elemenata Slučaj geometrijske promjenljivosti:
Vezivanje dva tijela (diska) u ravnini a) trima štapovima; b) kombinacijom štapa i zgloba; c) krutom vezom
I II
a)
I II
b)
c)
I II
Treba paziti na raspored veza!
nužan uvjet kinematičke stabilnosti: tijela se moraju međusobno vezati s 3 štapne veze
dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti: štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki (ne smiju biti tri paralelne veze)
- geometrijski promjenljivo povezivanje dvaju diskova:
I II
I
II
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 11
Postupno spajanje diskova
III IVI II
Utvrđivanje geometrijske nepromjenljivosti konstruktivnih sustava
Da bi sustav međusobno vezanih tijela činio konstruktivni nosivi sustav, mora biti vezan s podlogom.
jedno tijelo (disk) → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav
A
B
C
dva diska → 2×3 = 6 stupnjeva slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu A i B) i 2 unutrašnje veze (jednostruki zglob u točki C); ukupno 6 veza → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav
jedan disk → 3 stupnja slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu) → geometrijski nepromjenljiv sustav → jedna veza više od minimalno potrebnog broja → statički neodređen sustav
A B
C
D E
I II
dva diska međusobno spojena zglobom C i štapom DE → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav
F
IA B
II
C D
E
dva diska su međusobno spojena samo sa dva štapa CD i EF ⇒ geometrijski promjenljiv sistem
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 12
Provjera geometrijske nepromjenljivosti može se provesti pomoću formule:
lnni2nn2n3s ziščd −∑−−+=
s - broj stupnjeva slobode konstruktivnog sustava dn - broj diskova; - broj čvorova; - broj štapova; - broj ležajnih veza; čn šn ln
zin - broj zglobova (i označava koliko-struki je zglob)
K+++=∑=
3z2z1zn
1izi n6n4n2ni2
0s = : sustav ima minimalno potreban broj veza → statički određen sustav
0s < : sustav ima suvišnih veza → statički neodređen sustav
0s > : sustav ima manjak veza → geometrijski promjenljiv sustav (mehanizam) Napomena:
0s ≤ : ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti (ali ne i dovoljan); treba provjeriti raspored veza
s = −1
geometrijski promjenljivi sustavi (kinematički labilni)
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 13
Primjer 1: A B C
D E
F G
Analiza 1. broj diskova 2nd = broj čvorova 2nč = (točke F i G) broj štapova 5nš = broj jednostrukih zglobova 1n 1z = (točka B) broj ležajnih veza 3n =l
Broj stupnjeva slobode: 031252223s =−⋅−−⋅+⋅=
Analiza 2. broj diskova 7nd = broj čvorova 0nč = broj štapova 0nš = broj jednostrukih zglobova 2n 1z = (točke D i E) broj dvostrukih zglobova 2n 2z = (točke F i G) broj trostrukih zglobova 1n 3z = (točka B) broj ležajnih veza 3n =l
Broj stupnjeva slobode: 0316242273s =−⋅−⋅−⋅−⋅= Primjer 2:
A
B
CIII
I I
1 4
2
3I
broj diskova 3nd = broj čvorova 0nč = broj štapova 4nš = broj jednostrukih zglobova 3n 1z = ( točke A, B, C) broj ležajnih veza 3n =l
Broj stupnjeva slobode: 4332433s −=−⋅−−⋅= (sustav ima četiri suvišne veze)
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 14
Primjer 3:
A B C D
E
F
I II III
14
2
3
5
broj diskova 3nd = broj čvorova 2nč = (točke E i F) broj štapova 5nš = broj jednostrukih zglobova 2n 1z = (točke B i C) broj ležajnih veza 3n =l
Broj stupnjeva slobode: 132252233s =−⋅−−⋅+⋅= (nedostaje jedna veza)
Primjer 4:
k
i
P
8nč = 13nš = 3n =l
031382s =−−⋅=
⇒= 0s ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti
Statički postupak ispitivanja geometrijske nepromjenljivosti sistema:
čvor i čvor k
P
V
V P=
V
V 0=
Zaključak: Ako u nekom statičkom sustavu s minimalnim brojem veza nije moguće odrediti vanjske i/ili unutrašnje sile pomoću jednadžbi ravnoteže, sustav je geometrijski promjenljiv.
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 15
KLASIFIKACIJA RAVNINSKIH ŠTAPNIH KONSTRUKTIVNIH SUSTAVA
Statički određeni sustavi 0s =
Statički određeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Prema strukturi elemenata mogu biti:
• punostjeni: sastoje se od čvrstih tijela, greda, diskova • rešetkasti : sastoje se samo od štapova • kombinirani: grede (diskovi) + štapovi
Vrste statički određenih sustava
Konzola
Konzolna greda
Konzolnistup
Konzola proizvoljnog oblika
Prosta greda
Greda s prepustom
Greda s dva prepusta
Greda spojena s podlogom s tri štapa
Poluokviri
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 16
Okviri
Trozglobni štapni sistemi
trozglobni luk trozglobni okvir
Indirektno opterećena greda
Gerberov nosač
Ojačana greda
Ojačana greda s prepustima
Okvir sa zategom Luk sa zategom
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 17
Okviri sazategama
Poduprte grede
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 18
Statički neodređeni sustavi 0s <
Statički neodređeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile ne mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Da bi se odredile sve reakcije i rezne sile, potrebne su dodatne jednadžbe.
Vrste statički neodređenih sustava
Obostrano upeta greda
Obostrano upeti okvir
Obostrano upeti poluokvir
Obostrano kruto spojen luk, iliobostrano upeti luk, naziva se isamo: upeti luk
Kontinuirana greda
Kontinuirani okvir sa zglobnim ležajevima
Kontinuirani okvir s upetim stupovima
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 19
Ojačane grede
Okviri i lukovi sa zategama
Poduprte grede
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 20
OPĆE KARAKTERISTIKE STATIČKI ODREĐENIH NOSAČA
1. Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. 2. Kod statički određenih nosača reakcije i unutrašnje sile ne ovise o obliku i veličini
poprečnog presjeka elemenata niti o materijalu iz kojeg su napravljeni pojedini elementi nosača.
3. Kod statički određenih sustava ne pojavljuju se reakcije i unutrašnje sile zbog djelovanja
promjene temperature, popuštanja oslonaca ili uslijed netočno izvedenog pojedinog elementa u sustavu.
4. Ako se kod statički određenog sustava opterećenje na dijelu jednog diska zamijeni statički
ekvivalentnim opterećenjem, neće doći do promjene reakcija kao ni unutarnjih sila na ostalom dijelu sustava izvan tog područja.
A B
P p
M
+
5. Statički određeni nosači nemaju rezervu u pogledu stabilnosti ako dođe do raskida neke
vanjske ili unutrašnje veze. Ako dođe do popuštanja na mjestu jedne veze, dolazi do gubitka stabilnosti sustava ili dijela sustava.
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 21
SILE U KONSTRUKTIVNIM SUSTAVIMA
Vanjske sile: vanjske aktivne sile i vanjske reaktivne sile
q1
P1 q2 P2
P3
BH
A
B
C
BV
AV
AH
P4
Unutrašnje sile: - unutrašnje sile u vezama ili reakcije veza - unutrašnje sile u osnovnim nosivim elementima ili sile u presjeku
A
B
C
P1
P2q
D
E
F
I
II
III
BH
BV
AV
AH
P2
D
F
A
C
q
D
B
C
P1
E
DH
DV
CH
CV
CVCH
S
S
DV
DH
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 22
Određivanje reaktivnih sila
F
L1
L2
L3
BCA
F
BCA
F
B
CA FB
A
Sustav Štapni model
Grafičkouravnoteženje
Prosta greda
Zglobni ležaj(dvije veze)
Klizni ležaj(jedna veza)
Trokut sila
Analitičko rješenje
B
Ax
Ay
Fx
Fy
a bL
yyA
yyyyB
xxi
FLaB0FaBL:0M.3
FLbA0FbAL:0M.2
FA0X.1
⋅=→=⋅+⋅−=
⋅=→=⋅−⋅=
=→=
∑
∑
∑
---------------------------------------------------------------- Kontrola: 0Yi =∑
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 23
Unutrašnje sile u presjecima Unutrašnje sile u presjeku predstavljaju ukupnu silu kojom u jednom presjeku jedan dio sustava djeluje na drugi.
F21
1Presjek
F1F3
F1
Trokut sila
F2
F3
F1
F2
F3
F1-1
M1-1
M1-1
F1-1
F1
F2
F3
T1-1
M1-1
M1-1
N1-1
T1-1
N1-1
Tri unutrašnje sile u presjeku: uzdužna sila (N) - normalna sila poprečna sila (T) - transverzalna sila moment savijanja (M) Veličine unutrašnjih sila dobivaju se iz uvjeta ravnoteže dijela sustava.
Definicije unutrašnjih sila u presjeku Uz duž na s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na tangentu na os elementa u točki presjeka. Pop rečna s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na okomicu (normalu) na os elementa u točki presjeka. Mome n t s a v i j a n j a u presjeku jednak je algebarskoj sumi momenata svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na točku presjeka u osi elementa.
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 24
Dogovor o predznacima unutrašnjih sila (konvencija) Klasična (na elementu):
Pozitivni smjerovi
M M
T T
N N
Uzdužna sila N smatra se pozitivnom ako u presjeku elementa izaziva vlak. Poprečna sila T je pozitivna ako dio sistema na koji djeluje nastoji zaokrenuti u smjeru kretanja kazaljke na satu. Moment savijanja M je pozitivan kada izaziva vlak u donjim rubnim vlakancima a tlak u gornjim vlakancima elementa. Suvremena (u presjeku): (kompjutorske metode)
u skladu s orjentacijom desnog koordinatnog sustava
Presjek
Os elementa
MT
N
Pozitivni smjerovi: u smjeru pozitivnih koordinatnih osi
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 25
Dijagrami unutrašnjih sila
To su grafički prikazi promjena unutrašnjih sila uzduž elemenata sustava. Dijagrami unutrašnjih sila crtaju se ili uzduž osi elemenata sustava ili na njihovim projekcijama.
F2
1
1
F1F3
F1x
F1y
F3x
F3y
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
F3xF1x
Nx
−
F3y
Tx
−
+F1y F2
Mx
+
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 26
OSNOVNE JEDNADŽBE GRAĐEVINSKE STATIKE
Za svaki presjek treba naći:
tri unutrašnje sile – moment savijanja M, poprečnu silu T i uzdužnu silu N
tri deformacijske veličine – relativnu promjenu kuta odnosno zakrivljenosti κ, relativno produljenje ε i relativno klizanje odnosno deformaciju uslijed posmika γ
tri pomaka – translatorni pomak uzduž osi u, poprečno na os elementa v i kut zaokreta ϕ
• jednadžbe ravnoteže
• jednadžbe uzajamnosti deformacija i pomaka
• fizikalne jednadžbe Jednadžbe ravnoteže – sadržavaju statički dio zadaće građevinske statike - veze između unutrašnjih sila i opterećenja:
xx n
dxdN
−= ; xx p
dxdT
−= ; xx T
dxdM
=
Jednadžbe uzajamnosti – geometrijske jednadžbe – veze između deformacijskih veličina i pomaka:
dxdu=ε ;
dxdv−ϕ=γ ;
dxdϕ=κ
Fizikalne jednadžbe – veze između sila i deformacijskih veličina:
EAN=ε ;
EIM=κ ; GA
Tk=γ
Pretpostavka da vrijedi Hookeov zakon.
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 27
Diferencijalne jednadžbe ravnoteže grede
Mi
Ri
i
Mj
Rj
jq
m
dx
ds dy
q − kontinuirano opterećenje; m − kontinuirani momenti
Ri, Rj, Mi i Mj − sile i momenti na krajevima promatranog dijela zakrivljene grede
Diferencijalno mali element grede duljine ds:
MT
N
dα
.
.
12
ρ
M+dM
T+dT
N+dNM
V
H
dα
.
.
12
ρ
M+dM
V+dV
H+dH
qn
m qtq x mqy
dx
dy
1. 2.
Uvjeti ravnoteže postavljaju se na nedeformiranoj gredi uz zanemarivanje beskonačno malih veličina drugog reda. 1. Uvjeti ravnoteže , , 0x =∑ 0y =∑ 0M2 =∑ :
0x =∑ → 0dyqdH x =⋅+ 0y =∑ → 0dxqdV y =⋅+
0M2 =∑ → 0mdxVdyHdM =−⋅−⋅− 2. Iz sume projekcija sila na pravac sile dNN + dobiva se:
0dsqdTdNddsin;1dcos
0)2d(cosdsqdsinTdcosNdNN
t
t
=⋅+α⋅−⇒α=α=α
=α⋅⋅+α⋅−α⋅−+
Iz sume projekcija sila na pravac sile dTT + dobiva se:
0dsqdNdT0)2d(cosdsqdsinNdcosTdTT nn =⋅+α⋅+⇒=α⋅⋅+α⋅+α⋅−+
Iz sume momenata na točku 2 dobiva se:
0dsmdsTdM0dsmdsTMdMM =⋅−⋅−⇒=⋅−⋅−−+
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 28
Ako se tri gornje jednadžbe podijele sa ds dobivaju se opće jednadžbe ravnoteže grede:
0mTds
dM
0qNdsdT
0qTdsdN
n
t
=−−
=+ρ
+
=+ρ
−
Veza između komponenata sila N i T i komponenata sila H i V:
MTN
TN
M α
M
M α
V
H
V
HT
N
H
VR
.
. α
α
α⋅+α⋅=
α⋅−α⋅=
cosVsinHT
sinVcosHN ili
α−α⋅=
α⋅+α⋅=
sinNcosTV
sinTcosNH
Jednadžbe ravnoteže elementa ravne grede
Ri
i
Rj
jdx1 2 1 2
pxmx
nx
Mx
Nx
Tx Tx+dTx
Nx+dNx
Mx+dMx
dx
dxds ↔ ; xt nq ↔ ; xn pq ↔ ; ∞=ρ ⇒
0mTdx
dM0p
dxdT
0ndx
dNxx
xx
xx
x =−−=+=+
U slučaju da nema opterećenja mx:
Diferencijalna veza između poprečne sile i opterećenja: xx p
dxdT
−=
Diferencijalna veza između momenta savijanja i poprečne sile: xx T
dxdM
=
Diferencijalna veza između momenta savijanja i opterećenja: x2x
2p
dxMd
−=
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 29
• Tangens kuta nagiba tangente na funkciju poprečne sile u nekoj točki grede jednak je negativnoj vrijednosti intenziteta kontinuiranog opterećenja u toj točki.
• Tangens kuta nagiba tangente na funkciju momenta savijanja u nekoj točki grede jednak je poprečnoj sili u istoj točki.
Veza između poprečne sile i opterećenja kada je opterećenje koncentrirana sila
Mil
Nil
Til
Pi
Tid
Nid
Mid
Suma projekcija sila na pravac djelovanja sile Pi mora biti jednaka nuli:
ii
idiii
dii
PT
TTT0PTT
=∆⇒
∆=−=−− ll
Skok u dijagramu poprečnih sila pojavljuje se samo na mjestu djelovanja koncentrirane sile. Na tom mjestu u dijagramu momenata savijanja pojavljuje se lom.
T
M
+−
P
P
+
T
M
+ P
P
+
T
M
P
P
+
−
+
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 30
Skok u dijagramu momenata savijanja pojavljuje se samo na mjestu gdje djeluje koncentrirani moment.
T
M
+
+
M
+
MO
MO
T
+
MO
MO
U području konstantnog vertikalnog kontinuiranog opterećenja ( ): .konstpx =
T
M
q
a
q a.
Mmax+
+
−
Lom u dijagramu poprečnih sila pojavljuje se samo na mjestu na kojemu se mijenja intenzitet kontinuiranog opterećenja.
T
M
pL pD
dxdT
dxdT
pp DLDL ≠⇒≠
dxdM
dxdM
TT DLDL =⇒=
DL MM =
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 31
Integralne veze između opterećenja i sila presjeka
1. ∫∫ −=−=−=→−= ==
=
=
2
11212
2
1
x
xxxxxxxx
xx
xxxx
x dxpTTTTdTpdxdT
43421
x
2
1
p dijagramaispod površina
x
xx12 dxpTT ∫−=
2. ∫∫ =−=−=→= ==
=
=
2
11212
2
1
x
xxxxxxxx
xx
xxxx
x dxTMMMMdMTdxdM
43421
x
2
1
T dijagramaispod površina
x
xx12 dxTMM ∫+=
Različiti slučajevi opterećenja:
0px = :
.konstTT 0x == − konstanta, funkcija 0. stupnja
xcMM 0x += − pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)
ppx = (konstanta, funkcija 0. stupnja):
xbTT 0x += − pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)
2210x xcxcMM ++= − funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)
xapp 0x += (pravac, funkcija 1. stupnja - linearna funkcija):
2210x xbxbTT ++= − funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)
33
2210x xcxcxcMM +++= − funkcija 3. stupnja (kubna parabola)
xsinpp 0x α= (trigonometrijska funkcija):
xcospTT 00x αα⋅+=
xsinpxTMM 2000x αα⋅++=
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 32
Primjer: Na gredi AB zadan je dijagram momenata savijanja. Potrebno je naći opterećenje.
a b c d
d/2
A BC
D E−
+
MC
MD ME
MB
−
M
T
TA TCl
TCd TD
l
TB− −
+
qPB
MB
PDPCPA
parabola 20
Prvo treba naći dijagram poprečnih sila.
-- na dijelu AC: a
MTT C
CA −== l
-- na dijelu CD: b
MMTT DC
DdC
+== l
-- na dijelu DE: 0TDE =
-- na dijelu EB poprečna sila je linearna funkcija:
dMM
22dMM
T , 0T BEBEBE
+−=
+−==
Opterećenje grede: -- u točkama A, C, D i B djeluju koncentrirane sile:
AA TP = ; dCCC TTP += l ; l
DD TP = ; BB TP =
-- na dijelu EB djeluje jednoliko kontinuirano opterećenje q:
dT
q B=
-- u točki B djeluje koncentrirani moment BMM =
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije 33