vedad pašic´ prirodno-matematicki fakultetˇ univerzitet u ... · pdf...

Matematika za ekonomiste1

Vedad Pašic

Prirodno-matematicki fakultetUniverzitet u Tuzli

1Sva prava zadržana. Svako objavljivanje, štampanje ili umnožavanje zahtjeva odo-brenje autora

Predmet: Matematika za ekonomiste

Predavac: Vedad Pašic

Semestar: Zimski

Kabinet: PMF 313

Email: [email protected]

Web: http://www.frontslobode.org/vedad/ekon/

Organizacija

• 4h predavanja (ponedjeljak 12-14, utorak 14-16) i 3h vježbi

• Kabinetski sati: utorak 13-14,cetvrtak 13-14

2

Literatura

• L. Smajlovic: Matematika za ekonomiste; Ekonomski fakultet (2010)

• A. C. Chiang: Osnovne metode matematicke ekonomije, MATE d.o.o. Za-greb (1994)

• L.D. Hoffman and G.L. Bradley: CALCULUS for bussines, economics, andsocial and life sciences, McGRAW-HILL, INC., New York etc.,(1992).

• K. Šoric: Zbirka zadataka iz matematike s primjenom u ekonomiji, Ele-ment, Zagreb (2006)

• S. Drpljanin: Matematika, Univerzitet u Tuzli, Tuzla (1997)

• M. Nurkanovic: Diferentne jednadžbe – teorija i primjene, Denfas, Tuzla(2008)

Sadržaj

1 Uvod u matematicku ekonomiju 51.1 Matematika i kalkulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Aritmetika i osnovne operacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Pravila aritmetickih operacija . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Procentni racun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Odnosi medu skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Operacije na skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 Zakoni operacija na skupovima . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Matrice 112.1 Uvod u matrice i vektore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Operacije na matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Oduzimanje i sabiranje matric . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Množenje skalarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Množenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Problem dijeljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Osobine determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.1 Osobine inverznih matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.2 Primjena u rješavanju matricnih jednacina . . . . . . . . . 24

2.5 Linearna (ne)zavisnost matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.1 Izracunavanje ranga matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Sistemi linearnih algebarskih jednacina 293.1 Saglasni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Slucaj r = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2 Matricni metod rješavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.3 Slucaj r < n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

4 SADRŽAJ

3.1.4 Slucajm < n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Cramerov metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Homogeni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Primjena sistema linearnih algebarskih jednacina u ekonomiji . . . 36

3.4.1 Ekvilibrijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.2 Linearni model parcijalnog tržišnog ekvilibrijuma .. . . . 373.4.3 Opci model tržišne ravnoteže . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.4 Model nacionalnog dohotka . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.5 Input-output analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Realne funkcije 474.1 Neke klase realnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Osobine funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.1 Elementarne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.2 Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 Primjena funkcija u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.1 Funkcija troškova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.2 Prosjecni trošak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.3 Funkcije prihoda i dobiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Realni nizovi 575.1 Definicija i osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1 Definicija i osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.2 Predstavljanje nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Aritmeticki niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Geometrijski niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.4 Konvergencija nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4.1 Osobine konvergentnih nizova . . . . . . . . . . . . . . . 665.4.2 Beskonacne granicne vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . 685.4.3 Monotoni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4.4 Kriteriji konvergencije mon. nizova . . . . . . . . . . . . 695.4.5 Alati za izracunavanje limesa . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Granicne vrijednosti 736.1 Intuitivni uvod u granicne vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.1 Izacunavanje limesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Granicna vrijednost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3 Neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3.1 Primjena limesa u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . 85

SADRŽAJ 5

7 Diferencijalni ra cun 877.1 Intuitivni uvod u izvode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2 Izvod funkcije jedne promjenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2.1 Pravila diferenciranja funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 917.2.2 Geometrijsko i fizikalno tumacenje derivacije funkcije . . 927.2.3 Tablica izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2.4 Logaritamska derivacija i diferenciranje implicitne funkcije 94

7.3 Diferencijal funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.4 Derivacije i diferencijali višega reda . . . . . . . . . . . . . .. . 967.5 Derivacija i izracunavanje limesa funkcije . . . . . . . . . . . . . 97

7.5.1 L’Hospitalova pravila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.6 Osnovni teoremi diferencijalnog racuna . . . . . . . . . . . . . . 98

7.6.1 Konveksnost i konkavnost . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.6.2 Ispitivanje funkcije i crtanje grafika . . . . . . . . . . . . 103

7.7 Primjena izvoda u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.7.1 Elasticnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8 Funkcije dvije i više promjenljivih 1098.1 Parcijalni izvodi funkcija više promjenljivih . . . . . . .. . . . . 110

8.1.1 Parcijalni diferencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.1.2 Parcijalni izvodi drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2 Primjena diferencijalnog racuna više promjenljivih . . . . . . . . 1128.2.1 Homogene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.3 Ekstremi funkcija više promjenljivih . . . . . . . . . . . . . . .. 1158.3.1 Silvesterov kriterij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.3.2 Optimum - vezani (uvjetni) ekstrem . . . . . . . . . . . . 116

9 Integralni ra cun 1199.1 Neodredeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.1.1 Površinski problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.1.2 Neke osobine neodredenog integrala . . . . . . . . . . . . 1229.1.3 Tablica osnovnih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.4 Integracija metodom smjene . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.1.5 Metoda parcijalne integracije . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.1.6 Integracija racionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . 128

9.2 Odredeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.2.1 Osobine odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.2.2 Primjene odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.3 Nesvojstveni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.4 Primjena integrala u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6 SADRŽAJ

10 Diferencijalne jednacine 13510.1 Obicne diferencijalne jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10.1.1 Jednacina sa razdvojenim promjenljivim . . . . . . . . . . 13710.1.2 Primjena u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10.2 Linearna diferencijalna jednacina prvog reda . . . . . . . . . . . . 13910.3 Diferentne jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.3.1 Primjena diferentnih jednacina u ekonomiji . . . . . . . . 14310.3.2 Diferentne jednacine višeg reda sa konstantnim koefici-

jentima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.3.3 Nehomogena linearna diferentna jednacina višeg reda . . 147

Poglavlje 1

Uvod u matematicku ekonomiju

Matematicka ekonomija nije odvojena grana ekonomije kao što su to npr. javnefinansije ili internacinalna trgovina. Ona jepristupekonomskoj analizi. Najvecarazlika izmedu ‘matematicke ekonomije’ i ‘eksplicitne ekonomije’ je u tome štose u prethodnoj pretpostavke i zakljucci iznose u obliku matematickih simbola, ane rijeci; k tomu još se koristi matematickim teoremama u procesu rezonovanja.

Prednost matematickog modela je u slijedecem:

• Jezik koji koristimo je precizniji i koncizniji;

• Cijelo bogatstvo matematickih teorema nam je na raspolaganju;

• Tjera nas da navedemo sve naše pretpostavke eksplicitno;

• Možemo se posvetiti opštem slucaju san-promjenljivih.

Matematicki jezik je postao dominantan u mnogim sferama ekonomije : rece-nice tipa ‘10-postotno povišenje cijena sirove nafte dovodi do5-postotnog padaprodaje benzina’ su nam (nažalost) i više nego dobro znane! Iako je ekonomijadruštvena nauka, razlika izmedju društvenog i naucnog aspekta ove nauke je svemanja i manja. Izraz matematicka ekonomija secesto miješa sa ekonometrijom.Ovo nije tacna pretpostavka. Ekonometrija se pretežno bavi mjerenjemekonom-skih podataka, dok matematicka ekonomija daje alate za manipulaciju istim. Tru-dit cemo se da vam u ovom semestru pokažemo što više matematike koja ce vamdoistakoristiti kao ekonomistima!

1.1 Matematika i kalkulator

Postoji uvriježeno mišljenje da je matematika ekonomistima nepotrebna, jer sve-jedno kalkulatori i racunari mogu sve da urade za nas. Ovonije istina. I racu-narski programeri moraju znati šta rade i alat bez pozadinskog znanja ne vrijedi

7

8 POGLAVLJE 1. UVOD U MATEMATICKU EKONOMIJU

ništa. Pokušajte uraditi nešto konkretno u nekom programskom paketu a da nekoristite svoje vec steceno srednjoškolsko matematicko znanje.Cilj ovog kursa jeda vas osposobi dasvealate možete dobro i korisno da iskoristite!

Kao vrlo jednostavan test gore navedenog pokušajte sa svojim ‘digitronom’izracunati slijedece:

16− 3 · 4− 1 =?

Koji ste rezultat dobili?3? 7? 51? 39? Kalkulator ne misli za vas i nikada ganemojte koristiti na taj nacin! Usput budi receno, tacan odgovor je3. Naravno dasu kalkulatori vrlo korisni u mnogim slucajevima, nooprez.

Primjer. Posmatrajmo relaciju:

q = 1.200− 10p.

Šta treba biti kvantitetq ako je cijenap jednaka150? Racunar bi dao odgovor−300, što je dakako glupost, jer ne možemo imati negativan kvantitet nicega!Kako je zap = 120, q = 0, onda to znaci da za svaku cijenu iznad120, p = 130na primjer, opet moramo imatiq = 0! Ovaj primjer ilustruje kako ne smijemoautomatski uzimati svaki racunarski odgovor zdravo za gotovo!

1.2 Aritmetika i osnovne operacije

Naravno da pretpostavljamo da ste upoznati sa operacijama sabiranja, oduzima-nja, množenja i dijeljenja, pa stoga vam necemo vrijedati inteligenciju dajuci pri-mjere iz tih osnovnih aritmetickih operacija! Ili možda ipak hocemo? :)

24 + 204 = 228

9089− 393 = 8696

12 · 24 = 288

4448 : 16 = 278

Napomena: Koristite digitron!!!

1.2.1 Pravila aritmetickih operacija

• PRVO : množenje i dijeljenje, pa onda sabiranje i oduzimanje!

• DRUGO: pravilo s lijeva na desno!

60 : 6 · 2 = 10 · 2 = 20

a ne60 : 6 · 2 = 60 : 12 = 5

1.3. PROCENTNI RACUN 9

Naravno uvijek možete koristiti zagrade!

Primjer. Ako neka firma proizvede220 komada svog proizvoda po proizvodnojcijeni od8, 25KM i proda ih po cijeni od9, 95KM , koliki je profit?

profit po komadu = 9, 95− 8, 25

ukupni profit = 220 · (9, 95KM − 8, 25KM)

= 220 · 1, 70KM= 374KM

1.3 Procentni racun

Decimalni prikaz je samo drugaciji nacin prikazivanja razlomaka

0, 1 =1

10

0, 01 =1

100

0, 234 =234

1000

U matematici se decimalni format pretežno koristi za stvarikoje se u svakod-nevnom životu izražavaju kaoprocenti. Na primjer, kamatne stope se pretežnoprikazuju u procentima! Format procenata je samo drugaciji nacin prikazivanjadecimalnog razlomka:

62% =62

100= 0, 62.

Dakle, ako državi moramo dati43% poreza na svoju platu koja (kad završite fax!)iznosi2345 KM, kolika nam je neto plata? Samo izvedemo slijedecu operaciju:

porez =

(

43

100=

)

0, 43 · 2345 = 1008, 35.

plata neto= 2345− 1008, 35 = 1336, 65.

Vidimo da je racunanje procenata doista samocisti razlomacki racun iz petograzreda osnovne škole!

Pogledajmo još neke primjere

24% = 0, 24 0, 24% = 0, 0024

24, 56% = 0, 2456 2, 4% = 0, 024itd...


Pretvaranje procenata u decimalece te morati na primjer raditi sa kamatnim sto-pama kada budete ucili o metodama ocjene investicija i o drugim aspektima fi-nansijske matematike. Ukratko, NON-STOP! Stoga, oprezno,koristite se svojimkalkulatorima dakako!

Dakako, jedna važna stvar kojuce te morati raditi je zaokruživanje. Uobi-cajeno je zaokruživanje na najmanje dva decimalna mjesta. Npr, ako trebate daizracunate1/7 neke vrijednosti, onda racunate14, 29% te vrijednosti.

Vjezba. 1. Koliko iznosi milimetar kao decimalni oblik: centimetra, metra ikilometra?

2. Prikažite slijedece procente u decimalnom obliku:

45, 2%; 243, 15%; 7, 5%; 0, 2%.

3. Kada je vlada Velike Britanije privatizovala vodovod 1989. godine, odlu-cila je dace godišnje procentualno povecanje cijene vode biti ogranicenorazinom inflacije plusz, gdje jez cifra koju ce odrediti vlada. Napišite al-gebarski izraz za maksimalno godišnje povišenje cijene vode i izracunajtepovišenje kada je rata inflacije6% a faktorz jednak3. Ako je cijena vodepo litru 1990. godine bila4, 3 penija, kolikace biti 1991. po gornjim para-metrima?

4. Ako su voda, hljeb, mlijeko, šecer i kafa 2000. godine koštali respektivno0, 80; 1; 1, 45; 2, 15; 4, 20 a 2001. godine0, 95; 1, 20; 1, 55; 2, 55; 5, 05,kolika je prosjecna stopa inflacije (u procentima) za 2000-tu godinu za teosnovne proizvode?

1.4 Skupovi

Skup je jednostavno kolekcija razlicitih objekata. Ovi objekti mogu biti brojeviili nešto sasvim drugo. Npr. svi studenti prve godine ekonomije se mogu smatratijednim skupom, isto kao što parni brojevi{2, 4, 6, 8, 10, . . .} formiraju skup.

Postoje dva nacina prikazivanja skupova:enumeracijomi deskripcijom. Skuppozitivnih cijelih brojeva možemo prikazati kao

Z+ := {1, 2, 3, 4, 5, . . .},

ili kaoZ+ := {x ∈ Z | x > 0}.

1.4. SKUPOVI 11

Kao drugi primjer, skupA svih cijelih brojeva vecih od2, a manjih od6 se možepredstaviti kao

A = {3, 4, 5},ili kao

A = {x ∈ Z | 2 < x < 6}.Skup sa ogranicenim brojem elemenata se zovekonacan skup, inace jebeskona-can. Pripadnost skupu se oznacava sa simbolom∈. Dakle3 ∈ {2, 3, 4}. Nepri-padnost skupu se oznacava sa/∈, npr.3 /∈ {4, 5, 6}.

1.4.1 Odnosi medu skupovima

Odnosi medu skupovima se predstavljaju simbolima

=,⊂,⊆,⊃,⊇

Primjetite da dok se∈ prikazuje odnos elementa i skupa, npr.⊂ prikazuje odnosizmedu dva skupa! Dok je npr.3 ∈ N, N ⊂ R.

Koliko podskupova skupa {1,2,3} možemo formirati? To su

{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.

Da li nešto zaboravljamo?Prazan skupje podskupsvakog skupa! Generalno,ako skup iman elemenata, onda on ima2n podskupova. Jako je bitno razlikovatislijedece: ∅ i {0}. Još bitnija je razlika izmedu ∅ i {∅}!!! Ako dva skupa nemajuzajednickih elemenata, onda se oni zovudisjunktni.

1.4.2 Operacije na skupovima

Unija dva skupa je skup koji sadrži sve elemente ta dva skupa, dakako bez ponav-ljanja!

A = {1, 3, 5, 6}, B = {2, 4, 6}, A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Presjekdva skupa je skup koji sadrži sve zajednicke elemente ta dva skupa.

A = {1, 3, 5, 6}, B = {2, 4, 6}, A ∩B = {6}.

Razlikadva skupa je skup koji sadrži sve elemente skupaA koji nisu u skupuB

A = {1, 3, 5, 6}, B = {2, 4, 6}, A \B = {1, 3, 5}.


Primjetite da jeB \ A = {2, 4}! Uvedimo sada pojamuniverzalnog skupa. Akoposmatramo realne brojeve, onda o tome skupu možemo razmišljati kao o skupusvih realnih brojevaR.

Onda možemo definisatikomplementAc nekog skupaA, kao skup svih ele-menata uinverzalnog skupa koji nisu u skupuA.

A = N = {1, 2, 3, 4, . . .}, U = Z, Ac = {0,−1,−2,−3,−4, . . .}.

1.4.3 Zakoni operacija na skupovima

Komutativni zakoni:

A ∪B = B ∪A, A ∩ B = B ∩ A.

Zakoni asocijacije:A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C,A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.

Zakoni distribucije:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Vjezba. Provjerite zakone asocijacije i distribucije na skupovima:

A = {4, 5}, B = {3, 6, 7}, C = {2, 3}.

Poglavlje 2

Matrice

2.1 Uvod u matrice i vektore

Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svojefirme. Sedmicni najmovi za razlicite velicine automobila su: kompaktni 139KM,srednji 160KM, veliki 205KM, minivan 340KM i luksuzna limuzina 430KM. Zaslijedecu sedmicu znate dace vam potrebe po velicinama biti: 4 kompaktna,3 srednja, 12 velikih, 2 minivana i 1 luksuzna limuzina. Kakobiste izracunaliukupnu cijenu iznajmljivanja automobila? Ako biste izacunali

4 · 139KM +3 · 160KM +12 · 205KM +2 · 340KM +1 · 430KM = 4606KM

bili biste u pravu. No upravo ste uradili problem množenja matrica a da niste togabili svjesni!

Potrebno auta Sedmica 1 Sedmica 2 Sedmica 3

Kompakt 4 7 2Srednji 3 5 5Veliki 12 9 5Minivan 2 1 3Limuzina 1 1 2

Ukupna cijena iznajmljivanja za svaku sedmicu bi se izracunala tako što pomno-žimo ove kolicine sa odgovarajucim cijenama.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u re-dove i kolone.

Stoga potrebe iznajmljivanja automobila za tri sedmice se može napisati kao

13

14 POGLAVLJE 2. MATRICE

matrica:

A =

4 7 23 5 512 9 52 1 31 1 2

Svaki red odgovara velicini auta, a svaka kolona odgovara sedmici koju posma-tramo. Uobicajeno je da se matrice oznacavaju velikim slovima, npr.A,B,C,M,Ni sl. a da suclanovi matrice uokvireni zagradama(·) ili [·]. Svakiclan matrice sezoveelementmatrice. Elementi matrice moraju formirati kompletan pravouga-onik, bez praznih mjesta. U gornjem primjeru imamo 5 redova i3 kolone. Veli-cina matrice se nazivared matrice. Ako matrica imam redova in kolona, kažemoda je matrica redam× n. MatricaA je reda5× 3.

Matrice sa samo jednom kolonom ili samo jednim redom se nazivaju vektori.Na primjer, skup cijena iznajmljivanja automobila sa pocetka je vektor reda1× 5

(139 160 205 340 430),

dok su potrebe iznajmljivanja za prvu sedmicu5× 1 vektor:

431221

.

2.2 Operacije na matricama

U ovoj sekciji bavitcemo se standardnim operacijama na matricama.

2.2.1 Oduzimanje i sabiranje matric

Matrice koje imaju isti red, tj. isti broj redova i kolona se mogu oduzimati isabirati. Sabiranje, odnosno, oduzimanje se radi na odgovarajucim elementima.

Primjer. Trgovac prodaje dva proizvoda,Q i R i ima dvije prodavnice,A i B.Broj proizvoda koji su prodani u zadnje 4 sedmice su pokazaneu matricama

A i B ispod, gdje kolone predstavljaju sedmice a redovi odgovaraju proizvodimaQ i R respektivno.

A =

(

5 4 12 710 12 9 14

)

, B =

(

8 9 3 48 18 21 5

)

2.2. OPERACIJE NA MATRICAMA 15

Kako prikazati ukupnu prodaju proizvoda po sedmicama u objeprodavnice? Jed-nostavno, saberemo matrice!

T = A+B =

(

5 4 12 710 12 9 14

)

+

(

8 9 3 48 18 21 5

)

(

5 + 8 4 + 9 12 + 3 7 + 410 + 8 12 + 18 9 + 21 14 + 5

)

=

=

(

13 13 15 1118 30 30 19

)

.

Oduzimanje matrica radi na slican nacin, tj.

Primjer. Ako jeA =

(

12 308 15

)

, aB =

(

7 354 8

)

, koliko jeA− B?

A− B =

(

12 308 15

)

−(

7 354 8

)

=

(

12− 7 30− 358− 4 15− 8

)

=

(

5 −54 7

)

2.2.2 Množenje skalarom

Postoje dvije vrste množenja koja se mogu izvršiti nad matricama. Matricu mo-žemo pomnožiti specificnom vrijednošcu, kao što je broj (množenje skalarom) ilidrugom matricom (matricno množenje).

Skalarno množenje je vrlo jednostavno i predstavlja množenje svakog ele-menta matrice datim skalarom! Matricno množenje je dosta komplikovanije, ali otome malo poslije.

Primjer. Data je matrica dva prodana proizvoda za dvije sedmiceA =

(

12 308 15

)

,

gdje redovi predstavljaju proizvode, a kolone sedmice. Akosvaki proizvod košta4KM, izracunajte pazar po proizvodima po sedmicama.

P = 4A = 4

(

12 308 15

)

=

(

48 12032 60

)

Dijeljenje skalarom radi na apsolutno isti nacin (sve dok taj skalar nije nula!)

Primjer. Ako skup cijena iznajmljivanja automobilap = (139 160 205 340 430)ukljucuje PDV od17%, a vaša kompanija može dobiti povrat poreza, dajte vektorv cijena bez poreza.

v =1

1, 17p =

(

118, 80 136, 75 175, 21 290, 60 367, 52)

.


2.2.3 Množenje matrica

Ako množimo jednu matricu s drugom matricom, osnovno pravilo je da množimoelemente duž redova prve matrice sa odgovarajucim elementima niz kolonu drugematrice. Najjednostavniji nacin da se ovo razumije je da prvo pogledamo neko-liko primjera sa vektorima. Vratimo se našem primjeru s pocetka i posmatrajmovektore:

p = (139 160 205 340 430), q =

431221

Dakle kao što smo uradili na pocetku, prvi element redovnog vektora množimosa prvim elementom kolonskog vektora, te to saberemo sa proizvodom drugogelementa sa drugim, itd.

139 · 4 + 160 · 3 + 205 · 12 + 340 · 2 + 430 · 1 = 4606.

Posmatrajmo sada slucaj kada trebamo izracunati sve cijene po sedmicama, tj.

A =

4 7 23 5 512 9 52 1 31 1 2

.

Kako bismo izracunali sve cijene po sedmicama, trebamo naci vektor

t = p · A = (139 160 205 340 430)

4 7 23 5 512 9 52 1 31 1 2

Rezultat jet = (4606 4388 3983).

Ako prva matrica pri množenju ima više od jednog reda, onda sepostupak ponav-lja dok ne iskoristimo sve redove.

Primjer. Pomnožimo matrice

A =

(

4 78 1

)

, B =

(

7 5 24 8 1

)

2.2. OPERACIJE NA MATRICAMA 17

A · B =

(

4 78 1

)(

7 5 24 8 1

)

=

(

4 · 7 + 7 · 4 4 · 5 + 7 · 8 4 · 2 + 7 · 18 · 7 + 1 · 4 8 · 5 + 1 · 8 8 · 2 + 1 · 1

)

=

(

56 76 1560 48 17

)

Sad se možete zapitati šta se dogodi kada pokušamo pomnožitimatrice gdjese broj elemenata duž redova prve matrice ne poklapa sa brojem elemenata dužkolona druge matrice. Odgovor je da se tada te matricene mogumnožiti! Dakle,ako matricaA ima redm × n, a druga matricaB ima redr × s, množenje tihmatrica je moguce ako i samo ako jen = r i tada matricaAB ima redm× s.

Opcum× n matricu možemo napisati kao

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

U ovom opštem slucaju kada množimo dvije matrice,A redam×n i B redan×r

A · B =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

b11 b12 . . . b1rb21 b22 . . . b2r...

......

...bn1 bn2 . . . bnr

=

c11 c12 . . . c1rc21 c22 . . . c2r...

......

...cm1 cm2 . . . cmr

= C

Ovdje su elementi matriceC dati sa

c11 = a11b11 + a12b21 + . . .+ a1nbn1

c12 = a11b12 + a12b22 + . . .+ a1nbn2...

......

cmr = am1b1r + am2b2r + . . .+ amnbnr

Vjezba. Nadite proizvod matrica

A =

4 2 126 0 201 8 5

, B =

10 0, 5 1 76 3 8 2, 54 4 2 0


Vjezba. Nadite proizvod matrica

A =

3 −1 21 0 34 0 2

, B =

0 −15

310

−1 15

710

0 25

− 110

Jedinicna matrica

Zadnja matrica iz vježbeAB predstavlja primjer specificne matrice. Matrica sajednicama na svojojprincipalnoj dijagonalii nulama svugdje drugo se zovejedi-nicna matrica. Oznacava se saI. Jedinicna matrica mora uvijek bitikvadratna,tj. redan× n. Bilo koja matrica redam× n pomnožena sa jedinicnom matricomredan× n ostaje nepromjenjena, tj.

A · I = A.

Isto tako, bilo koja matrica redam× n pomnožena sa jedinicnom matricom redam×m (s lijeve strane) ostaje nepromjenjena, tj.

I · A = A.

Matrica koja na svim elementima ima nulu se zovenula matrica.

2.2.4 Problem dijeljenja

Problemu ‘dijeljenja’ matrica se pristupa preko derivacije inverzne matrice. Jednaod motivacija za traženje inverzne matrice je rješavanje sistema jednacina. Npr.

3x1 + 8x2 + x3 + 2x4 = 96

20x1 − 2x2 + 4x3 + 0.5x4 = 69

11x1 + 3x2 + 3x3 − 5x4 = 75

x1 + 12x2 + x3 + 8x4 = 134

Rješenje gornjeg sistema je

x1 =3005

741, x2 =

7405

741, x3 =

35

19, x4 =

758

741,

no to za sada nije najvažnije. Ove jednacine možemo da predstavimo u matricnojformi Ax = b, naime

Ax =

3 8 1 220 −2 4 0.511 3 3 −51 12 1 8

x1x2x3x4

=

966975134

= b

2.3. DETERMINANTE 19

Kako riješiti ovaj sistem jednacina koristeci se gornjim matricnim oblikom? Sje-tite se jedinicne matrice - ukoliko bismo na neki nacin mogli pomnožiti obje stranejednacine odgovarajucom matricomB tako da sa lijeve strane jednakosti dobijemoBA = I, tada bi na desnoj strani jednakosti dobili rješenje sistema jednacinaBb!No nalaženje te matriceB nije trivijalna stvar. Inverzna matricaje pojam kojinam je neophodan kako bismo rješili gornji problem.

Kako bismo pronašli inverznu matricu, moramo posmatrati slijedece koncepteu matricnoj teoriji:

• Determinate;

• Minori;

• Kofaktori;

• Adjungirana matrica.

2.3 Determinante

Svakoj kvadratnoj matriciA možemo pripisati jedinstven broj koji se nazivade-terminantamatrice –detA.

Determinanta (kvadratne) matrice1× 1 je sam jedini element matrice!Determinanta (kvadratne) matrice2×2 je broj koji dobijemo kada pomnožimo

elemente na suprotnim ‘coškovima’ matrice i oduzmemo proizvode, tj.∣

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22

∣

∣

∣

∣

= a11a22 − a12a21.

Primjer. Naci determinantu matrice(

5 74 9

)

.

∣

∣

∣

∣

5 74 9

∣

∣

∣

∣

= 5 · 9− 7 · 4 = 45− 28 = 17.

Sarusovo pravilo

Sarusovo pravilo je jednostavan nacin za izracunati determinantu treceg reda.∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22a31 a32

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12


Primjer. Izracunati determinantu pomocu Sarusovog pravila:∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 34 5 67 8 10

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 24 57 8

= 1 · 5 · 10 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8

−3 · 5 · 7− 1 · 6 · 8− 2 · 4 · 10 = −3.

Definicija 2.3.1 (Minor). Minor Mij elementaaij matriceA je subdeterminantakoja se dobije izdetA brisanjemi-te vrste ij-te kolone.

Primjer.

A =

1 2 30 1 42 0 3

,M23 =

∣

∣

∣

∣

1 22 0

∣

∣

∣

∣

= −4,

M13 =

∣

∣

∣

∣

0 12 0

∣

∣

∣

∣

= −2

Definicija 2.3.2(Kofaktor). Kofaktor ili algebarski komplementAij elementaaijmatriceA

Aij := (−1)i+jMij

Primjer.A23 = (−1)2+3M23 = 4, A13 = (−1)1+3M23 = −2

Teorema 2.3.3(Laplaceov teorem). Laplaceov teorem nam daje nacin racunanjadeterminante proizvoljne kvadratne matrice, po formuli

detA =

n∑

j=1

aijAij =

n∑

i=1

aijAij

Ocito imamo dva nacina za racun, no oba daju isti rezultat. Prvo se zove razvojpo i-toj vrsti, a drugo razvoj poj-toj koloni. Drukcije receno, imamo:

detA = a11A11 + a12A12 + . . .+ a1nA1n = a11A11 + a21A21 + . . .+ an1An1

Primjedba 2.3.4. Laplaceov razvoj je najbolje raditi po onom redu (ili koloni) ukojoj ima najviše nula!

Moguce je, ne mijenjajuci vrijednost determinante postici da u nekom redu(koloni) imamo što veci broj nula. To se postiže korištenjem osobina determinanti,no o tomu malo poslije.

2.3. DETERMINANTE 21

Determinanta matrice treceg reda

Za opcu matricu treceg reda, determinanta se može, na primjer, izracunati po for-muli:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

a11

∣

∣

∣

∣

a22 a23a32 a33

∣

∣

∣

∣

− a12

∣

∣

∣

∣

a21 a23a31 a33

∣

∣

∣

∣

+ a13

∣

∣

∣

∣

a21 a22a31 a32

∣

∣

∣

∣

a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a22a31.

Primjedba 2.3.5. Iako smo determinantu matrice3 × 3 našli posmatrajuci dužprvog reda, mogli smo to uraditi duž bilo kojeg drugog reda ili kolone.

No u tom slucaju treba obratiti pažnju!

Primjer. Naci determinantu matrice

4 6 12 5 29 0 4

.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

4 6 12 5 29 0 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= a31A31 + a32A32 + a33A33

= 9 ·∣

∣

∣

∣

6 15 2

∣

∣

∣

∣

− 0 ·∣

∣

∣

∣

4 12 2

∣

∣

∣

∣

+ 4 ·∣

∣

∣

∣

4 62 5

∣

∣

∣

∣

= 9 · (6 · 2− 1 · 5) + 4 · (4 · 5− 6 · 2) = 9 · 7 + 4 · 8 = 95.

Prije nego sto predemo na osobine determinanti, treba nam jedan koncept umatricama koji do sada nismo koristili, a to je pojamtransponovane matrice.

Definicija 2.3.6. Neka je data proizvoljna pravougaona matricaA redam × n.Njena transponovana matricaAT je matrica redan×m koja se dobie iz matriceAobrtanjem pojmova redova i kolona, tj. ako jeA = (aij), i = 1, . . .m, j = 1, . . . n,

AT = (aji), j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , m.

Primjer.

A =

10 0, 5 1 76 3 8 2, 54 4 2 0

⇒ AT =

10 6 30, 5 3 41 8 27 2, 5 0


2.3.1 Osobine determinanti

P1 detAT = detA

Primjer.

A =

(

2 03 1

)

.

P2 Zamjenom dva reda (ili dviju kolona) unutar determinantemijenja se znakdeterminante, no ne i numericka vrijednost.

Primjer.∣

∣

∣

∣

2 1−1 4

∣

∣

∣

∣

.

P3 Determinantu množimo nekim brojem tako da joj sve elemente jednog reda(ili kolone) pomnožimo tim brojem. Drukcije, zajednicki faktor nekog reda(ili kolone) se može izvuci ispred determinante.

Primjer.

A =

(

2 23 6

)

.

P4 Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jednog reda (ili kolone)jednaki nuli.

P5 Determinanta je jednaka nuli ako su elementi jednog reda (ili kolone) pro-porcionalni odgovarajucim elementima nekog drugog reda (odnosno ko-lone)

Primjer.∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3 40 1 −5 82 4 6 81 0 −3 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

P6 Vrijednost determinante se nece promijeniti ako elementima jednog reda (ilikolone) dodamo odgovarajuce elemente nekog drugog reda (kolone) pom-nožene jednim istim brojem.

Primjer.∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 02 −1 41 0 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

2.4. INVERZNA MATRICA 23

P7 det(A ·B) = detA · detBPrimjer.

A =

(

1 23 4

)

, B =

(

0 −12 3

)

P8 det(A−1) = 1detA

.

Primjer.

A =

(

1 −2−2 6

)

, A−1 =

(

3 11 1

2

)

.

2.4 Inverzna matrica

Definicija 2.4.1. Neka jeA kvadratna matrican × n. Ako postoji kvadratnamatricaXn×n takva da je

AX = XA = I,

tada se ona naziva inverznom matricom matrice A. Obicno se oznacava saA−1.Dakle imamo da je

AA−1 = A−1A = I.

2.4.1 Osobine inverznih matrica

1. Nema svaka matrica svoju inverznu matricu. Prije svega, mora biti kva-dratna matrica. Ako kvadratna matricaima inverznu matricu, onda se onanazivaregularnom, a inace se zovesingularnom.

2. Ako postojiA−1, onda je iA inverzna matrica matriceA−1, tj.

(A−1)−1 = A.

3. Ako inverzna matrica postoji, ona je jedinstvena.

4. (AB)−1 = B−1A−1. (Dokaz.)

5. (AT )−1 = (A−1)T (Primjer.)

Dokaz Neka su matriceA,B,A · B i B · A inverzibilne.

(A · B) · (A · B)−1 = I ⇐⇒ A−1 · A · B · (A · B)−1 = A−1

I · B · (A · B)−1 = A−1 ⇐⇒ B−1B · (A · B)−1 = B−1A−1

I · (A · B)−1 = B−1A−1.


Uslovi za postojanje inverzne matrice

• Inverznu matricuA−1 možemo samo pronaci za kvadratnu matricuA.

• U nekim slucajevima matricaA−1 nece postojati!

Ako matrica ima inverznu matricu, ona se nazivaregularnom. Inace nazivasesingularnom.

• MatricaA je inverzibilnaako i samo ako postoji matricaA−1 za koju vrijediAA−1 = I.

• Nula matrica nije inverzibilna.

• Linearna zavisnost dva ili više redova (ili kolona) unutar matrice takoderonemogucava inverziju.

Teorema 2.4.2.MatricaA je singularna ako i samo ako jedetA = 0, tj. MatricaA je regularna ako i samo akodetA 6= 0.

Dokaz detA · det(A−1) = det(A · A−1) = det I = 1. Odavdje slijedi da jedetA 6= 0!Dakle, kriterij regularnosti matrice A je da imamodetA 6= 0.

Kofaktorska matrica

Definicija 2.4.3. Kofaktorska matrica matriceA je matrica koja sadrži kofaktoreelemenata matriceA na odgovarajucim mjestima

cof(A) =

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n...

......

...An1 An2 . . . Ann

.

Adjungirana matrica

Definicija 2.4.4.Adjungirana matrica matriceA je matrica definisana sa adj(A) =(cof(A))T , tj.

adj(A) =

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2...

......

...A1n A2n . . . Ann

.

2.4. INVERZNA MATRICA 25

Izra cunavanje inverzne matrice

Teorema 2.4.5.Neka je kvadratna matricaA regularna. Tada postoji njenainverzna matricaA−1 i imamo da je

A−1 =1

detAadj(A).

Primjer. Naci inverznu matricu matriceA =

(

1 −32 4

)

.

detA = 10 6= 0, stoga postoji inverzna matrica! Nadimo sada sve minore:

M11 = 4,M12 = 2,M21 = −3,M22 = 1.

Stoga su kofaktorska matrica i adjungirana matrica:

cof(A) =

(

4 −23 1

)

, adj(A) =

(

4 3−2 1

)

.

Konacno

A−1 =1

10

(

4 3−2 1

)

=

(

25

310

−15

110

)

Algoritam izra cunavanja inverzne matrice

1. Izracunati determinantudetA! Ako je detA 6= 0, zakljuciti regularnostmatriceA i nastaviti na korak 2. U protivnom, zakljucujemo daA−1 nepostoji.

2. Izracunajte sve minore matriceA.

3. Izracunajte sve kofaktore matriceA i napišite cof(A).

4. Izracunajte adj(A) = [cof(A)]T .

5. Podijelite adj(A) sa determinantom!!!

6. Dobivena matrica jeA−1. PROVJERITE REZULTAT!!

Primjer. Naci inverznu matricu matriceA =

1 −2 0−1 0 32 1 −4

.

1. detA = 1 ·∣

∣

∣

∣

0 31 −4

∣

∣

∣

∣

− (−2) ·∣

∣

∣

∣

−1 32 −4

∣

∣

∣

∣

= −7 6= 0! ⇒ ∃A−1


2. M11 = −3, M12 = −2, M13

∣

∣

∣

∣

−1 02 1

∣

∣

∣

∣

= −1

M21 = 8, M22 = −4, M23 = 5,M31 = −6, M32 = 3, M33 = −2.

3. A11 = −3, A12 = 2, A13 = −1, A21 = −8,A22 = −4, A23 = −5, A31 = −6, A32 = −3, A33 = −2.

4. cof(A) =

−3 2 −1−8 −4 −5−6 −3 −2

, adj (A) =

−3 −8 −62 −4 −3−1 −5 −2

.

5. A−1 =1

det(a)adj (A) =

37

87

67

−27

47

37

17

57

27

.

6. A · A−1 = A−1 · A = I

2.4.2 Primjena u rješavanju matricnih jednacina

Matricna jednacina je jednacina u kojoj su nepoznate i koeficijenti matrice.

Primjer. A ·X = B. Tada ovo rješavamo tako što pomnožimo cijelu jednakostslijeve stranesaA−1.

A ·X = B ⇒ A−1 ·A ·X = A−1 · B ⇒ I ·X = A−1 · B,

dakleX = A−1 · B.

Primjer. A =

(

2 10 3

)

, B =

(

1 20 4

)

. RiješitiX · A = B.

Ako matricnu jednacinu pomnožimo saA−1 sa desne strane, dobijemoX =B · A−1, pod uslovom da postoji.detA = 6 ⇒ ∃A−1.

adjA =

(

3 −10 2

)

⇒ A−1 =

(

12

−16

0 13

)

Stoga je nepoznata matrica

X =

(

1 20 4

)

·(

12

−16

0 13

)

=

(

12

12

0 43

)

2.5. LINEARNA (NE)ZAVISNOST MATRICA 27

2.5 Linearna (ne)zavisnost matrica

Mi cemo razmatrati samo linearnu (ne)zavisnost kolonskih i redovnih matrica(vektora).

• Za dvije matricev1, v2 kažemo da sulinearno nezavisneukoliko

α1v1 + α2v2 = 0 ⇒ α1 = α2 = 0.

• Za porodicu matricav1, v2, . . . , vn kažemo da sulinearno nezavisniukoliko

α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0.

• U suprotnom, kažemo da sulinearno zavisni. Linearna zavisnost slijedi akobarem jedan odαi 6= 0.

Primjer. Provjerite linearnu (ne)zavisnost vektorav1, v2, v3:

v1 = (1, 2, 0), v2 = (1, 0, 3), v3 = (2, 2, 3)

αv1 + βv2 + γv3 = (α, 2α, 0) + (β, 0, 3β) + (2γ, 2γ, 3γ) =

(α + β + 2γ, 2α+ 2γ, 3β + 3γ).

Ovaj zbir je jednak nula matrici ako i samo ako je zadovoljen

α + β + 2γ = 0

2α+ 2γ = 0

3β + 3γ = 0.

Buduci da je ovo kvadratni sistem, once imati netrivijalnih rješenja ako i samoako je determinanta sistemD = 0 (o tomu više brzo!).

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 22 0 20 3 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

Stoga možemo naci α, β, γ 6= 0 tako da jeαv1 + βv2 + γv3 = 0. Takvi su naprimjerα = 1, β = 1, γ = −1.

Vjezba. Provjerite linearnu (ne)zavisnost vektorav1, v2, v3 i vektorav1, v2, v3, v4:

v1 = (0, 0, 1), v2 = (0, 2,−2), v3 = (1,−2, 1), v4 = (4, 2, 3)


2.6 Rang matrice

Koncept linearne zavisnosti vektora (tj. matrica) nam omogucava uvodenje jednogvažnog pojma i osobine matrica, naimerang matrice. Važno je napomenuti da, zarazliku od determinanti, rang matriceA možemo pronaci zabilo koju matricuA,tj. dimenzijam× n.

Definicija 2.6.1. Ako je maksimalni broj linearno nezavisnih redova koji možemonaci u matriciA jednak brojur, tada taj broj nazivamorang matriceA i oznaca-vamo ga sar(A).

Primjedba 2.6.2. Rang matricer(A) takoder u isto vrijeme oznacava maksimalnibroj linearno nezavisnih kolona!

Primjedba 2.6.3. Rang matrice može biti maksimalnom ili n, tj.

r(A) ≤ min(m,n).

Primjedba 2.6.4. Po definiciji,n×n regularna matrica iman linearno nezavisnihredova (tj. kolona) pa ima rangr(A) = n.

S obzirom na vezu linearne zavisnosti i determinanti, rang matrice možemodrugacije definisati:

Definicija 2.6.5. Rang matricer(A) je maksimalni red determinante razlicite odnule koja se može formirati od redova i kolona te matrice!

2.6.1 Izracunavanje ranga matrice

Pri odredivanju ranga matrice koristitcemo tzv.elementarne transformacije ma-trice:

1. zamjena mjesta dva reda ili dvije kolone;

2. množenje reda ili kolone nekim brojem razlicitim od nule;

3. elementima jednog reda (kolone) možemo dodati odgovarajuce elementedrugog reda (kolone).

Primjenom ovih transformacija, dobitce se matrica koja ima isti rang kao ipocetna matrica (kažemoA ≡ B akor(A) = r(B)). Ovaj postupak ide na nacinda svaki naredni red ima jednu nulu više od prethodnog, što senaziva i postupakGaussove eliminacije. Ovaj postupak je slican onome videnom kod izracunavanjadeterminanti (svodenje kolone ili reda na što više nula). Rang ove dvije matricece biti isti zato štoce se vrijednost maksimalne determinante možda promjeniti,no nikada ne može postati jednaka nuli! Po završenoj Gaussovoj eliminaciji, rangje u stvari broj redova (tj. kolona) koji imaju barem jedan element razlicit od nule!

2.6. RANG MATRICE 29

Primjer.

1 2 3 −42 1 0 13 −1 2 35 0 2 4

Oduzevši2× prvi red od drugog reda,3× prvi red od treceg reda i5× prvi red odcetvrtog reda, dobivamo

A ∼

1 2 3 −40 −3 −6 90 −7 −7 150 −10 −13 24

∼

1 2 3 −40 1 2 −30 −7 −7 150 −10 −13 24

Dodavši7x drugi red trecem redu i10x drugi redcetvrtom redu, dobivamo

A ∼

1 2 3 −40 1 2 −30 0 7 −60 0 7 −6

Konacno, oduzimanjem treceg reda odcetvrtog reda, dobivamo

A ∼

1 2 3 −40 1 2 −30 0 7 −60 0 0 0

Ova matrica ima rang3, jer se iz nje može napraviti3 × 3 determinanta razlicitaod nule, tj.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 30 1 20 0 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 7,

a ne i4× 4 determinanta razlicita od nule, pa je rang pocetne matrice3!

Primjer. Naci rang matrice

A =

2 4 1 3−1 −2 1 00 0 2 23 6 2 5


Koristeci se Gaussovom eliminacijom, kao i prije, dobijemo

A∼

1 2 −1 02 4 1 30 0 2 23 6 2 5

II−2I,IV−3I∼

1 2 −1 00 0 3 30 0 2 20 0 5 5

∼

1 2 −1 00 0 1 10 0 0 00 0 0 0

∼

1 −1 2 00 1 0 10 0 0 00 0 0 0

Buduci da je broj redova sa elementima razlicitim od nule2, stog je ir(A)

Poglavlje 3

Sistemi linearnih algebarskihjednacina

Jednostavnih sistema linearnih algebarskih jednacina se prisjecamo još iz osnovneškole :

Primjer. Neka je dat sistem od dvije jednacine sa dvije nepoznate:

x− y = 0

2x+ y = 3

Saberemo li ove dvije jednacine, dobijemo

3x = 3 ⇒ x = 1.

Stoga, na osnovu prve jednacine, dobijamo1− y = 0 ⇒ y = 1. Stoga je rješenjeovog sistema uredeni par(1, 1).

Primjer. Posmatrajmo sistem sa tri jednacine i tri nepoznate

x− y + z = 1

2x+ y − z = 2

x+ 2y − z = 1

Iz prve jednacine imamo da jex = 1 + y − z. Ubacimo li ovo u drugu i trecujednacinu, dobijamo

2 + 2y − 2z + y − z = 2

1 + y − z + 2y − z = 1

31

32 POGLAVLJE 3. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACINA

odnosno

3y − 3z = 0

3y − 2z = 0

Iz prve jednacine imamo da jey = z. Ubacimo li ovo u zadnju jednakost, imamo

3z − 2z = 0 ⇒ z = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x = 1.

Tako imamo da je rješenje ovog sistema uredena trojka(1, 0, 0).

U oba gornja primjera, rješenje je uredena dvojka i trojka respektivno ijedins-tveno je.

Sada želimo da stvari posmatramo uopšteno, tj. da imamo prozvoljan brojjednacina i nepoznatih Promatramo stoga sistem linearnih algebarskih jednacinaoblika:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm (3.1)

Ovo je sistem odm jednacina san nepoznatihx1, x2, . . . , xn. Posebni slucaj jekada imamom = n i tada se sistem nazivakvadratni.

Definicija 3.0.6. Pod rješenjem sistema LAJ (3.6) podrazumjevamo odredenun-torku brojeva(α1, α2, . . . , αn) sa osobinom da sistem (3.6) bude zadovoljen akox1 zamjenimo saα1, x2 saα2, itd.

Definicija 3.0.7. Ukoliko postoji barem jedno rješenje sistema (3.6), za sistem(3.6) kažemo da jesaglasan.

Kao što smo vec vidjeli, sistem (3.6) možemo prikazati u matricnom obliku

Ax = b, (3.2)

gdje jeA matrica koeficijenataaij , x vektor nepoznatih ab vektor slobodnihcla-nova. Najvažnija stvar koja nas u ovom momentu interesuje jeda li i kad možemoza sistem (3.6) reci da je saglasan, a da ga eksplicitno ne riješimo? Odgovor natopitanje daje nam

Teorema 3.0.8(Kronecker-Capellijev stav). Sistem linearnih algebarskih jedna-cina (3.6) je saglasan ako i samo ako jer(A) = r(Ap), gdje jeAp = (A | b),dakle matricaA ’proširena’ (kolonski) matricomb.

Ukoliko je dakler(A) 6= r(Ap), sistem (3.6) je nesaglasan, tj. nema rješenja.

3.1. SAGLASNI SISTEMI 33

3.1 Saglasni sistemi

Pretpostavimo da je sistem saglasan, tj.r(A) = r(Ap) = r, dakle da je sistemsaglasan. Za sada tokode pretpostavimo da jem ≥ n. Postavlja se drugo pitanje:koliko rješenja ima sistem i kako se ta rješenja pronalaze? Posmatratcemo dvaslucaja, naime:

1. r=n

2. r<n.

3.1.1 Slucaj r = n

Posmatratcemo prvo slucaj kada je rangr jednak broju promjenljivihn.

Ap =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b1b2...bm

∼

a′11 a′12 . . . a′1n0 a′22 . . . a′2n...

......

0 0 . . . a′nn0 0 . . . 0...

......

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b′1b′2...b′n0...

U posljednjoj matrici imamom − n redova koji se sastoje samo od nula. Sistem(3.6) sada prelazi u sistem:

a′11x1 + a′12x2 + . . .+ a′1nxn = b′1a′22x2 + . . .+ a′2nxn = b′2

......

a′nnxn = b′n (3.3)

Sistem (3.3) je kvadratni sistem. Odavdje vidimo da se nepoznanicaxn možeizracunati iz posljednje jednacine sistema (3.3). Zatim tu vrijednost uvrstimo upredzadnju jednacinu i nademoxn−1, . . ., nepoznatux2 iz druge, ax1 iz prvejednacine.

Kažemo da sistem rješavamo unatrag i vidimo da sistem ima jedinstveno rje-šenje(x1, x2, . . . , xn) ako jer = n. Ova metoda rješavanja sistema (3.6) se nazivaGaussovom metodom.

Primjer. (a) Ispitati saglasnost sistema;

x1 + 2x2 − x3 = 2

2x1 − x2 + 2x3 = 3

3x1 − 2x2 − x3 = 4

3x1 + x2 + x3 = 5


(b) Ako je sistem saglasan, riješiti Gaussovom metodom.Kako bi sistem bio saglasan, potrebno je da rang matriceA bude jednak rangu

proširene matrice.

Ap =

1 2 −12 −1 23 −2 −13 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2345

∼

1 2 −10 −5 40 −8 20 −5 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2−1−2−1

∼

1 2 −10 40 −320 −40 100 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

28

−100

∼

1 2 −10 40 −320 0 −220 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

28−20

Buduci da je ocito rang matrice A jednak rangu proširene matrice, tj.3, sistem jesaglasan i ekvivalentan sistemu

x1 + 2x2 − x3 = 2

5x2 − 4x3 = 1

−22x3 = −2.

Iz zadnje jednacine imam da jex3 = 111

. Iz druge jednacine onda imamo

5x2 −4

11= 1 ⇒ 5x2 =

15

11⇒ x2 =

3

11.

Konacno, iz prve jednacine slijedi

x1 +6

11− 1

11= 2 ⇒ x1 =

17

11.

Stoga imamo jedinstveno rješenje, tj.

(

17

11,3

11,1

11

)

.

3.1.2 Matricni metod rješavanja

U slucaju da jer = n, sistem (3.3) se može napisati u matricnom oblikuA′x = b′,gdje su

A′ =

a′11 a′12 . . . a′1n0 a′22 . . . a′2n...

......

0 0 . . . a′nn

, b′ =

b′1b′2...b′n

Po pretpostavci, rang matriceA′ je ondar(A′) = n i sigurno imamo da jedetA′ 6=0, tj. A′ je regularna matrica. Iz ovoga vidimo da se u slucaju regularnosti matricekoeficijenata sistema, rješavanje svodi na rješavanje matricne jednacine.

3.1. SAGLASNI SISTEMI 35

Teorema 3.1.1.Kvadratni sistem linearnih algebarskih jednacina ima jedins-tveno rješenje ako je matricaA koeficijenata sistema regularna, tj.detA 6= 0.

Dokaz Posmatrajmo matricni oblik sistema, dakleAx = b. Kako jeA kva-dratna i regularna matrica, to znaci da postoji jedinstvena inverzna matricaA−1.Pomnožimo gornju jednacinu s lijeve strane saA−1.

(A−1) Ax = b

(A−1A)x = A−1b

x = A−1b

Dakle,x je jedinstveno rješenje.

Primjer. Riješiti sistem algebarskih jednacina matricnom metodom:

x− y = 0

2x+ y = 3

Ap =

(

1 −12 1

∣

∣

∣

∣

03

)

∼(

1 −10 3

∣

∣

∣

∣

03

)

Sistem je saglasan. MatricaA je matrica

(

1 −10 3

)

, a njena inverzna matrica je

A−1 =

(

1 1/30 1/3

)

. Dobivamo

x =

(

1 1/30 1/3

)

·(

03

)

=

(

11

)

.

3.1.3 Slucaj r < n

U slucaju kada imamo situaciju da je rang manji od broja nepoznatih, imamo višeredova sa svim nulama u matrici ekvivalentnoj matriciAp, tj.

Ap ∼

a′11 a′12 . . . a′1r a′1 r+1 . . . a′1n0 a′22 . . . a′2r a′2 r+1 . . . a′2n...

......

......

0 0 . . . a′r r a′r r+1 . . . a′r n

0 0 . . . 0...

......

......

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b′1b′2...b′r0...


Ovdje imam− r redova sa nulama. Sistem (3.6) postaje

a′11x1 + a′12x2 + . . .+ a′1rxr + a′1 r+1xr+1 + . . .+ a′1nxn = b′1a′22x2 + . . .+ a′2rxr + a′2 r+1xr+1 + . . .+ a′2nxn = b′2

......

a′r rxr + a′r r+1xr+1 + . . .+ a′r nxn = b′r (3.4)

Ovaj sistem (3.4) nije kvadratni i imamos = n − r nepoznanica "viška" :xr+1,xr+2, . . . , xn. Ovih s viška nepoznanica tretiramo tako da im dodijelimo pro-izvoljnu vrijednost (što možemo uciniti na beskonacno mnogo nacina). Zatim ih’prebacimo’ s druge strane znaka jednakosti sistema (3.4).

Na taj nacin dobivamo kvadratni sistem odr jednacina sar nepoznatih i rješa-vamo ga na isti nacin koji je opisan ranije (Gaussovom ili matricnom metodom).Dakle, vidimo da u ovom slucaju sistem (3.4), odnosno sistem (3.6) ima besko-nacno mnogo rješenja.

Primjedba 3.1.2. Zakljucujemo da sistem linearnih algebarskih jednacina, kadaje saglasan, može imati iskljucivo:

1. jedinstveno rješenje; ili

2. beskonacno mnogo rješenja.

Vjezba. Ispitati saglasnost sistema:

x+ y − z = −2

2x− 3y + 2z = 1

3x− 2y + z = −1

U slaucaju saglasnosti, riješiti ga proizvoljnom metodom.

3.1.4 Slucaj m < n

U slucaju kad jem < n, sistem se na isti nacin kao u prethodnoj sekciji trebanapraviti kvadratnim, te onda riješimo proizvoljnom metodom.

Vjezba. Ispitati saglasnost sistema:

x1 + 2x2 − x3 = 4

2x1 − 3x2 + 2x3 = 6

U slaucaju saglasnosti, riješiti ga proizvoljnom metodom.

3.2. CRAMEROV METOD 37

3.2 Cramerov metod

Cramerov metod je nacin rješavanja sistema algebarskih jednacina pomocu deter-minanti. Stoga se samo može primjeniti nakvadratne sisteme, ili sisteme koji susvedeni na kvadratne.

Teorema 3.2.1.Neka nam je dat kvadratni sistem linearnih algebarskih jednacinaAx = b. Ako jedetA 6= 0, tada sistem ima jedinstveno rješenje i vrijedi:

x1 =D1

D, x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D,

gdje suD = detA, a Dk, k = 1, 2, 3, . . . , n su determinante koje se dobiju izdetA zamjenom njenek-te kolone vektorom slobodnih clanova(b1, b2, . . . , bn).

Primjer. Riješiti sistem Cramerovim pravilom:

x1 + 2x2 + x3 = 4

2x1 − x2 − x3 = 0

x1 + x2 + x3 = 3.

Buduci da lako dobijemo, npr. Sarusovim pravilom, da je

D = −3, D1 = −3, D2 = −3, D3 = −3,

po Cramerovom pravilu imamo jedinstveno rješenje(1, 1, 1).

Primjedba 3.2.2. 1. Ako jeD 6= 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje

x1 =D1

D, x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D,

2. Ako jeD = 0, a barem jedna od determinantiD1, D2, . . . , Dn je razlicitaod nule, tada sistem nema rješenja.

3. Ako je D = D1 = D2 = . . . = Dn, tada je sistem neodreden, tj. ilinema rješenja ili ima beskonacno mnogo rješenja. Tada se moramo koristitinekom drugom metodom.

3.3 Homogeni sistemi

Definicija 3.3.1. Sistem linearnih algebarskih jednacina oblika

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = 0...

an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = 0 (3.5)


naziva sehomogenimsistemom linearnih algebarskih jednacina.

Ocito je da ovaj sistem ima jedno rješenje oblika

(x1, x2, . . . , xn) = (0, 0, . . . , 0).

Ovo rješenje naziva setrivijalno rješenje. Ocito je da imamo da jeD1 = D2 =. . . = Dn = 0. Ako bi imali i da jedetA 6= 0, onda bi po Cramerovom praviluimali jedinstveno rješenje. Koje? Sistem ima samo trivijalno rješenje ako je dakledetA 6= 0. Homogeni sistem ima i netrivijalnih rješenja ako i samo akoje deter-minanta sistemadetA = 0, što direktno slijedi iz Cramerovog pravila (tadace ihbiti beskonacno mnogo naravno!

Vjezba. Da li sistem:

x+ y − z = 0

2x− 3y + 2z = 0

3x− 2y + z = 0

ima drugih rješenja sem trivijalnog i ako ima, koja?

3.4 Primjena sistema linearnih algebarskih jedna-cina u ekonomiji

Analiticki proces opisan u prethodnoj sekcijice biti primjenjen na nešto što zo-vemostaticka analizaili analiza ekvilibrijuma. Stoga prvo moramo shvatiti što touopce predstavlja ekvilibrijum.

3.4.1 Ekvilibrijum

Kao bilo koji ekonomski termin, ekvilibrijum možemo definisati na više razlicitihnacina. Po jednoj definiciji, ekvilibrijum jekonstelacija odabranih medusobnopovezanih promjenljivih, podešenih tako u odnosu jedne na drugu da ne postojitendencija ka promjeni unutar sistema koji sacinjavaju.

Dakle, esencijalno ekvilibrijum za specificirani model predstavlja situacijukoju karakteriše manjak tendencije ka promjeni. Zbog toga se analiza ekvilibri-juma (odnosno proucavanje kakvo je to stanje ekvilibrijuma)cesto nazivastatika.

Cinjenica da ekvilibrijum nema tendencije ka promjeni bi nekoga naveo na po-misao da ekvilibrijum obavezno predstavlja najpoželjnijei idealno stanje stvari,zasnovano na ideji da u savršenom stanju nema potrebe niti motivacije za pro-mjenom. Ovakvo razmišljanje jebez osnova. Iako odredeni ekvilibrijum može

3.4. PRIMJENA SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACINA U EKONOMIJI39

predstavljati poželjno stanje (kao što je stanje maksimalne dobiti u okviru nekekompanije), neki drugi ekvilibrijum je nešto što je negativno i što treba izbjeci –kao što je recimo permanentno visoka stopa nezaposlenosti uBosni i Hercegovini!

3.4.2 Linearni model parcijalnog tržišnog ekvilibrijuma

U staticnom – ekvilibrijum modelu, standardni problem je pronalaženje skupa vri-jednosti endrogenih promjenljivih koji bi zadovoljavao uslov ekvilibrijuma našegmodela. Ovocemo ilustrovati na parcijalnom ekvilibrijum – tržišnom modelu, tj.modelu odredivanje cijene na izolovanom tržištu.

Konstrukcija modela

Kako cemo posmatrati samo jednu vrstu robe, dovoljno je da imamo samo tripromjenljive, naime:

• cijenu robeP ;

• kolicina potražnje, tj. prodane robeQd

• kolicina ponudeQs.

Sada moramo postaviti naš uslov ekvilibrijuma : standardnapretpostavka je da seekvilibrijum na tržištu uspostavlja ako i samo ako nema viška potražnje, tj.

Qd −Qs = 0 ⇒ Qd = Qs.

No ovo odmah postavlja pitanje kako odredujemo samoQd i Qs?. ZaQd pretpos-tavljamo da je linearnaopadajucafunkcija cijeneP (tj. što je veca cijena, to jemanja potražnja). ZaQs pretpostavljamo da je linearnarastucafunkcija cijeneP(tj. što je veca cijena, to je veca ponuda).

Takoder pretpostavljamo da nema ponude ukoliko cijena ne dosegne odredeniminimalni nivo. Sve u svemu, modelce sadržati jedan uslov ekvilibrijuma plusdva uslova ponašanja koji upravljaju potražnjom i ponudom respektivno.

Matematicki model

Prevedeno u matematicki jezik, model izgleda ovako

Qd = Qs

Qd = a− bP (a, b > 0) (3.6)

Qs = −c + dP (c, d > 0).


y = 5x - 3

y = - 3x + 6

(P*, Q*)

0.5 1.0 1.5 2.0

-2

2

4

6

Slika 3.1: Funkcije ponude i potražnje za konkretnea = 6, b = 3, c = 3, d = 5

Naša4 parametraa, b, c, d su pozitivni. Vec primjetimo da funkcija potražnjeima negativan nagib−b < 0, dok funkcija ponude ima pozitivan nagibd > 0.Medutim, vertikalni presjek funkcije ponude je negativan. Zašto? Sada, iz našegsistema (3.6), lako rješavanjem vidimo da je

P =a+ c

b+ d(jer je b+ d > 0.

Primjetite da sada ovu cijenu ekvilibrijuma oznacavamo saP i da je vrijednost po-zitivna, kako cijena i treba biti. Sada trebamo izracunati vrijednost ekvilibrijumaQ = Qd = Qs

Q = a− bP = a− ba + c

b+ d=ad− bc

b+ d.

Buduci da je brojilac pozitivan i imenilac mora biti pozitivan. Stoga vidimo daimamo još jedan uslov kako bi naš model bio smislen, odnosnoad > bc.

Vrlo je vec dobro znano da seP i Q tržnog modela mogu odrediti graficki kaopresjek krivih potražnje i ponude. Dakle tržišni ekvilibrijum se ostvaruje u

(P,Q) =

(

a+ c

b+ d,ad− bc

b+ d

)

što je rješenje sistema (3.6) i ocito, ekvilibrijum je jedinstven, kao što bismo iocekivali.

3.4.3 Opci model tržišne ravnoteže

Maloprije smo se bavili izolovanim tržištem, gdje suQd i Qs nekog proizvodafunkcije cijene samo og proizvoda. U stvarnom svijetu medutim, nijedan proizvodse ne ponaša na takav hermeticki nacin. Realisticniji opis funkcije potražnje nekog


proizvoda bi trebao uzeti u obzir i cijene povezan proizvoda. Sada pretpostavimoda imamon razlicitih roba. Dakle promjenljive su

Qd1 , Qd2 , . . . , Qdn

Qs1 , Qs2, . . . , Qsn

Uslovi ekvilibrijuma su

Qd1 = Qs1 , Qd2 = Qs2, . . .

Na primjer, model s dvije robe:

Qd1 = Qs1

Qd1 = a1 + b1P1 + c1P2

Qs1 = a2 + b2P1 + c2P2

Qd2 = Qs2

Qd2 = α1 + β1P1 + γ1P2

Qs1 = α2 + β2P1 + γ2P2

O predznacima koeficijenata necemo diskutovati! Sistem se svede na

(b1 − b2)P1 + (c1 − c2)P2 = a2 − a1

(β1 − β2)P1 + (γ1 − γ2)P2 = α2 − α1

Koristimo na primjer Cramerov metod, te izracunamoD,D1, D2. Kako znamo daje tacka ravnoteže jedinstvena, slijedi da sistem mora imati jedinstveno rješenje,tj. D 6= 0, odnosno

(b1 − b2)(γ1 − γ2) 6= (c1 − c2)(β1 − β2).

P1 =(a2 − a1)(γ1 − γ2)− (c1 − c2)(α2 − α1)

(b1 − b2)(γ1 − γ2)− (c1 − c2)(β1 − β2)

P2 =(b1 − b2)(α2 − α1)− (a2 − a1)(β1 − β2)

(b1 − b2)(γ1 − γ2)− (c1 − c2)(β1 − β2)

Treba voditi racuna o tome da treba bitiP1 > 0, P2 > 0, Q1 > 0, Q2 > 0 i o vezikoeficijenata koji se pri tome dobiju!

Primjer.

Qd1 = 10− 2P1 + P2

Qs1 = −2 + 3P1

Qd2 = 15 + P1 − P2

Qs2 = −1 + 2P2

Rješenje jeP1 =267, P2 =

467

.


3.4.4 Model nacionalnog dohotka

Iako je diskusija o ekvilibrijumu bila do sada ogranicena na tržišne modele, na-ravno da ekvilibrijum ima primjene i u drugim oblastima ekonomije. Kao jednos-tavan primjer, možemo promatrati Keynesov model nacionalnog dohotka:

Y = C + I0 +G0

C = a + bY (a > 0, 0 < b < 1).

OvdjeY i C predstavljaju endrogene promjenljive nacionalnog dohotka i potroš-nje respektivno, dokI0 i G0 predstavljaju investiciju i potršnju vlade. Takoder sunam unaprijed poznater velicinea i b. a predstavlja autonomnu potrošnju, dok jeb granicna sklonost potrošnji.

Prva jednacina je uslov ekvilibrijuma (nacionalni dohodak je jednak nacional-noj potrošnji). Druga jednacina je jednacina ponašanja. Cramerovo pravilo nasodmah dovodi do rješenja

Y ∗ =I0 +G0 + a

1− b, C∗ =

a + b(I0 +G0)

1− b.

3.4.5 Input-output analiza

U svojoj statickoj verziji, input-output analiza Prof. Leontiefa se bavislijedecimpitanjem:

Koji nivo outputa bi svaka odn razlicitih industrija trebala proizvoditi, takoda bi to bilo dovoljno da se zadovolji ukupna potražnja za timproizvodom?

Racionalitet input-output analize je ocit. Output mnogih industrija (kao što jena primjercelik) je input mnogih drugih industrija, ilicak same pocetne indus-trije! Stoga bi “korektan” nivo proizvodnjecelika zavisio od input potreba svihindustrija gdje secelik koristi, a s druge strane outputi raznih drugih industrijace se koristiti kao inputi u industrijicelika i konzekventnoce “korektni” nivoioutputa drugih proizvoda zavisiti barem djelimicno od potreba industrijecelika.

Ocito je stoga da je input-output analiza od velikog znacaja prilikom planiranjaproizvodnje, kao na primjer prilikom planiranja ekonomskog razvoja neke zemljeili programa narodne odbrane. Stogacemo sada u input-output analizi posmatratin-sektora industrije,I = 1, 2, 3, . . . , n.

SaQi oznacavamo ukupnu kolicinu outputai-tog sektora (i ∈ I).SaQij oznacavamo kolicinu outputa izi-tog sektora neophodnog za proces

proizvodnje uj-tom sektoru (i, j ∈ I).qi je finalna potražnja outputai-tog sektora.Pretpostavka.Qi treba potrošiti ili na medusektorsku potražnjuQij ili na fi-

nalnu potražnjuqi.


Qi Qij qiQ1 Q11 Q12 Q13 . . . Q1n q1Q2 Q21 Q22 Q23 . . . Q2n q2...

......

Qn Qn1 Qn2 Qn3 . . . Qnn qn

Tablica 3.1: Input-output tabela

Uslov ekvilibrijuma

Pretpostavitcemo da je potrošnja jednaka potražnji, dakle

Q1 = Q11 +Q12 + . . .+Q1n + q1

Q2 = Q21 +Q22 + . . .+Q2n + q2

. . .

Qn = Qn1 +Qn2 + . . .+Qnn + qn (3.7)

Ovaj sistem (3.7) sada možemo napisati obliku koji nazivamoinput-output tabela:Sistem (3.7) je sistem jednacina ekvilibrijuma. Sistem (3.7) sadržin jednacinasan2 + 2n nepoznatih. U našem razmatranju pretpostavitcemo da se tehnološkiuvjeti ne mijenjaju.

Ovo znaci da imamo konstantnu kolicinu proizvoda izi-tog sektora neophod-nih za proizvodnju jedne jedinice uj-tom sektoru. Oznacimo tu kolicinu saaij .Kako je izracunati? Prosto:

aij =Qij

Qj

⇒ Qij = aijQj

Pretpostavimo stoga da imamo tehnicke norme:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

. . .an1 an2 . . . ann

Ako ove koeficijente zamijenimo u sistem (3.7), dobijemo

Q1 = a11Q1 + a12Q2 + . . .+ a1nQn + q1

Q2 = a21Q1 + a22Q2 + . . .+ a2nQn + q2

. . .

Qn = an1Q1 + an2Q2 + . . .+ annQn + qn


Ovaj sistem možemo napisati u matricnoj formi:

Q = AQ+ q, (3.8)

gdje su

Q =

Q1

Q2...Qn

, q =

q1q2...qn

Prilikom planiranja proizvodnje, gdjecemo se služiti ovim modelom, moguce suslijedece situacije:

1. Poznat nam je vektor outputa svih sektoraQ (novi plan proizvodnje).

2. Poznat nam je vektor finalne potražnjeq.

3. Za neke sektore ekonomije poznata nam je kolicina njihovih outputa, a zapreostale njihova finalna potražnja.

Slucaj 1.

Pretpostavimo da nam je poznat vektorQ - trebamo stoga odreditiq i Qij (medu-sektorska potrošnja). Iskoristimo matricnu jednacinu (3.8) :

Q = AQ + q ⇒ q = Q−AQ ⇒ q = (I −A)Q

MatricuT = (I−A) nazivamo matricom tehnologije. Stoga nova matrica ukupnihoutputa je

q = T ·QNovu medusektorsku potrošnju racunamo pomocu ranije formuleQij = aijQj ,zbog pretpostavke da se tehnološki uvjeti ne mijenjaju.

Primjer. Pretpostavimo da je ekonomija jedne zemlje podijeljena na3 sektora ida I-O tablica izgleda:

Qi Qij qi300 30 40 100 130400 60 120 100 120500 60 160 150 130

Sastaviti novu I-O tablicu koja odgovara novom planu proizvodnje:

Q1 = 360, Q2 = 480, Q3 = 600,


ako je poznato da se tehnološki uvjeti nisu promjenili.Prvo izracunamo matricuA, tj.

A =

0.1 0.1 0.20.2 0.3 0.20.2 0.4 0.3

Izracunamo matricu tehnologije

T = I −A =

0.9 −0.1 −0.2−0.2 0.7 −0.2−0.2 −0.4 0.7

Izracunamoq = T · (360, 480, 600) = (156, 144, 156). Upišimo ovo u novu IOtabelu:

Qi Qij qi360 156480 144600 156

Ostalo je samo još da izracunamo medusektorsku proizvodnju, što racunamo izmatriceA i formuleQij = aij ·Qj .

Qi Qij qi360 36 48 120 156480 72 144 120 144600 72 192 180 156

Slucaj 2.

Sada nam je poznataq, a trebamo odreditiQ i medusektorsku potražnjuQij .

q = T · Q \ T−1 (s lijeva)

T−1 · q = T−1T ·Q ⇒ Q = T−1 · qMedusektorsku proizvodnju racunamo kao i prije.

Primjer. Zadana je I-O tablica dvosektorske ekonomije

Qi Qij qi600 1200 6001200 1200 1200


Najprije popuniti tablicu, a zatim odrediti novu I-O tablicu ako se finalna po-tražnja prvog sektora poveca za10%, a drugog smanji za10%. IO tabela je

Qi Qij qi2400 600 1200 6003600 1200 1200 1200

Novi vektor finalne potražnje je stogaq = (660, 1080). Izracunamo metricuA, tj.

A =

(

14

13

12

13

)

⇒ T =

(

34

−13

−12

23

)

Inverzna matrica matrice tehnologije je

T−1 =

(

2 132

94

)

Pomnožimo ovu matricu sa novim vektorom finalne potražnje kako bismo dobilinovi vektor ukupne proizvodnjeQ = (2400, 3420). Popunimo novu IO tablicu

Qi Qij qi2400 6603420 1080

Qi Qij qi2400 600 1140 6603420 1200 1140 1080

Slucaj 3.

U ovom slucaju su nam poznati neki podaci jedne skupine i drugi podaci drugeskupine. U ovom, trecem slucaju, nema kratica, vec moramo istinski riješiti sistemjednacina.

Primjer. Pretpostavimo da je ekonomija neke zemlje podijeljena na3 sektora.I-O tablica izgleda

Qi Qij qi300 30 40 100 130400 60 120 100 120500 60 160 150 130

Sastaviti novu I-O tablicu ako se pretpostavlja dace ukupna proizvodnja bitiQ1 =330, q2 = 132, q3 = 143. Tehnološki uvjeti se nece promijeniti.

Opet, kao i prije, prvo izracunamo matricuA:

A =

0.1 0.1 0.20.2 0.3 0.20.2 0.4 0.3

⇒ T =

0.9 −0.1 −0.2−0.2 0.7 −0.2−0.2 −0.4 0.7


Vratimo se jednacini (3.8), tj. jednacini q = T ·Q, odnosno

q1132143

=

0.9 −0.1 −0.2−0.2 0.7 −0.2−0.2 −0.4 0.7

·

330Q2

Q3

q1132143

=

297− 0, 1Q2 − 0, 2Q3

−66 + 0, 7Q2 − 0, 2Q3

−66− 0, 4Q2 + 0, 7Q3

Tako dobijamo sistem od 3 jednacine sa 3 nepoznate:

q1 + 0, 1Q2 + 0, 2Q3 = 297

0, 7Q2 − 0, 2Q3 = 198

−0, 4Q2 + 0, 7Q3 = 209

ili vjerovatno jednaostavnije

10q1 +Q2 + 2Q3 = 2970

7Q2 − 2Q3 = 1980

−4Q2 + 7Q3 = 2090

Iz zadnje dvije jednacine dobijemoQ2 = 440, Q3 = 550. Stoga, iz prve jednacinedobijamoq1 = 143. Stoga je nova IO-tabela:

Qi Qij qi330 143440 132550 143

Qi Qij qi330 33 44 110 143440 66 132 110 132550 66 176 165 143

Poglavlje 4

Realne funkcije

Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematickoj analizi i centralni obje-kat svih njenih razmatranja.

Definicija 4.0.1. Neka je dat skupD ⊆ R. Ako je svakomx ∈ D po nekomzakonu (pravilu) pridružen jedan i samo jedany ∈ R, tada kažemo da je na skupuD definiranarealna funkcija f realne promjenljivex . Pravilo po kojem se vršipridruživanje oznacavamo saf , odnosno

y = f(x), x ∈ D.

Ovdje jex argument ili nezavisno promjenljiva, a skupD (cesto se iDf)je definiciono podrucje ili domen funkcije f . Broj y0, pridružen vrijednostix0argumentax, zove se vrijednost funkcije u tacki x = x0 i oznacava sef(x0). Skupsvih vrijednosti funkcijef oznacava seRf i zove sekodomen funkcije f .

Ako nije unaprijed dato definiciono podrucje funkcijef , onda se podrazumi-jeva da je to maksimalan skup zacije elementex funkcijaf(x) ima smisla.

Definicija 4.0.2. Neka jef ⊆ R × R binarna relacija i nekaDf oznacava skupsvih prvih komponenti uredenih parova(x, y) ∈ f .

Ako relacijaf zadovoljava uslov da se svakix ∈ Df pojavljuje samo jednomkao prva komponenta svih uredenih parova izf , tj. ako

(∀x ∈ Df) : (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ⇒ y1 = y2,

onda skupfnazivamorealnom funkcijom na skupuDf ⊆ R.

Funkcija se može zadati na razne nacine, ali je najzanimljiviji slucaj kad sefunkcija zadaje putem nekoganaliti ckog izrazaf(x)– kojim se propisuju pravilapridruživanja elementima skupaDf– elemenata kodomenaRf . Funkcija

f(x) =3

√

3x2 + 2

7x(4.1)

49

50 POGLAVLJE 4. REALNE FUNKCIJE

je primjer gdje jef(x) eksplicitno dato u funkciji od argumentax.Inace, analiticki funkcija može biti zadana, osim ovog tzv.eksplicitnog na-

cina i parametarski. Naime, nekad se promjenljivax i promjenljivay mogu zadatiu funkciji nekog realnog parametrat. Neka je

x = φ(t) ; y = ψ(t), t ∈ A ⊆ R,

gdje suφ i ψ realne funkcije definirane na istome podskupuA ⊆ R.RelacijomΦ(x, y) = 0, cesto, možeimplicitnobiti zadata funkcija

y = f(x),

ili funkcija x = g(y). Naprimjer, izrazom7xy3 − 3x2 − 2 = 0 je takode zadata irealna funkcija (4.1).

Cesto se funkcija zadaje bez ikakve formule. Takav je primjer funkcijeE(x)–"cijeli dio brojax" (ili cjelobrojnox). Nije teško uociti da za cijelobrojnox vrijedi

E(2) = 2, E(3, 5) = 3, E(√13) = 3, E(−π

2) = −2, ....

x

y = E(x)

y

10 2 3 4

1

2

3

-1

-1

-2

-3

-2-3

Osim analitickog, zadavanje funkcijef može bititabelarno i graficko.Tabelarno se funkcija zadaje u prilikama kad je moguce vrijednosti nezavisno

promjenljivex i zavisno promjenljive (tj. funkcije)y ispisati u jednoj tabeli, takoda se može uociti funkcionalna zavisnosty = y(x).

Prisjetimo se ovdje linearne funkcijey = ax + b. Ona se, uz napomenu da seradi o linearnoj funkciji, može tabelarno predstaviti sa samo dva para vrijednosti(xi, yi).

x x0 x1y ax0 + b ax1 + b

4.1. NEKE KLASE REALNIH FUNKCIJA 51

Definicija 4.0.3. Grafik funkcije y = f(x) je skup

Gf = {(x, y) ∈ R2 |x ∈ Df ∧ y = f(x)}.Svaki podskup uR2 = R × R, ne može biti grafik funkcije. Da bi neki skupA ⊂ R2, bio grafik jedne funkcije, potrebno je i dovoljno, da svaka prava paralelnasay- osom, sijece skupA najviše u jednoj tacki.

x

y = x

y

0 1

2

x

Naime, u definiciji funkcijef iz skupaX u skupY , zahtjeva se da svakomex ∈ X pridružimo jedan i samo jedan elementy ∈ Y . Drugim rijecima, svakafunkcija je po konvenciji jednoznacno preslikavanje, tj.,

f(x1) 6= f(x2) ⇒ x1 6= x2. (4.2)

U nizu slucajeva može se odrediti grafik funkcijey = F (x), transformacijomvec poznatog grafika druge funkcijey = f(x). Neke od jednostavnijih primjeratakvih transformacija dajemo u sljedecoj tabeli.

Funkcija Transformacija grafika funkcijey = F (x) y = f(x)

y = f(x) + α Pomak (shift) dužOy ose zaαy = f(x+ α) Pomak duž apscisne ose zaα

udesno ako jeα < 0 , ulijevo ako je α > 0y = f(−x) Simetrija u odnosu na osu ordinatay = −f(x) Simetrija u odnosu na apscisnu osuy = αf(x) Homotetija tacakaf(x)na ordinatiy = f(αx) Homotetija tacakax na apscisi

4.1 Neke klase realnih funkcija

Sve osobine koje posjeduju funkcije mogli bi podijeliti na lokalne i globalne, paprema tim svojstvima se i izdvajaju klase realnih funkcija.Preciznije, reci cemo


da je neko svojstvo globalno za funkcijuf : Df → R ako ono vrijedi (po defini-ciji) na citavome skupuA ⊆ Df , nasuprot lokalnog svojstva koje vrijedi ( takode,po definiciji) samo u okolini tacke skupaA ⊆ Df .

Za neki skupD kažemo da je simetrican skup, ako vrijedi

x ∈ D ⇒ −x ∈ D.

Ocigledno da se ovdje radi o simetriji skupaD u odnosu na tacku0.

Definicija 4.1.1. Funkcijaf : Df → R, definirana na simetricnom skupuDf ⊆R, je parna na skupu Df , ako vrijedi

(∀x ∈ Df)f(x) = f(−x);a neparna naDf ako je

(∀x ∈ Df)f(−x) = −f(x).

x

f(x )0

Gf

f(-x )0

x0-x0

y

10

1

-1

x

f(x )0

f(-x )0

x0

-x0

y

1

1

-1

-1

Gf

Primjer. Polinom parnih stepena

p(x) = a0 + a1x2 + a2x

4 + · · ·+ anx2n,

je primjer parne funkcije koja je definirana na simetricnom skupuDp = R.

Primjer. f(x) = sin x, koja je definirana naR , primjer je neparne funkcije.

Vecina funkcija nema svojstvo parnosti niti neparnosti. Sa druge strane, lakose pokazuje da se svaka funkcijaf definirana na simetricnom skupuX ⊆ R, možepredstaviti u obliku sume

f(x) = h(x) + s(x)

jedne parne i jedne neparne funkcije. To se postiže sabiranjem funkcijah i s, kojesu zadate pomocu

h(x) = 12(f(x) + f(−x)), s(x) = 1

2(f(x)− f(−x)),

od kojih je ocigledno prva parna, a druga neparna funkcija.

4.1. NEKE KLASE REALNIH FUNKCIJA 53

Definicija 4.1.2. Funkcijaf : Df → R je ogranicena sa donje strane na skupuX ⊆ Df , ako postojim ∈ R, tako da je za svakox ∈ X, f(x) ≥ m. Simbolicki

f : X → R je ogranicena naXsa donje straneako

(∃m ∈ R)(∀x ∈ X)(f(x) ≥ m)

Funkcijaf : X → R je ogranicena sa gornje strane na skupuX ⊆ Df akopostojiM ∈ R, tako da je za svakox ∈ X, f(x) ≤M . Drugim rijecima, funkcijaf : Df → R je ogranicena naX sa gornje straneako

(∃M ∈ R)(∀x ∈ X)(f(x) ≤M).

Definicija 4.1.3. Za funkcijuf : Df → R, kažemo da jeperodicna, ako postojibroj ω(perioda) takav da vrijedi

(∀x ∈ Df)(x+ ω ∈ Df)(f(x+ ω) = f(x)). (4.3)

Klasu tih funkcija (ako jeDf = (a, b)) oznacicemo saP(a,b). Inace periodicnostje prisutna i u prirodi u mnogim njenim pojavama; primjeri su: godišnja doba,noc-dan, plima-oseka, mjeseceva svjetlost i sl.

Definicija 4.1.4. Realna funkcijaf : D → R naziva se:rastucom na razmakuA ⊆ D, ako

(∀x1, x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2));

strogo rastucomna razmakuA, ako

(∀x1, x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2));

opadajucom na razmakuA ⊆ D, ako

(∀x1, x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2));

strogo opadajucomna razmakuA, ako

(∀x1, x2 ∈ A)(x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)).

Za svaku od ovih funkcijaf reci cemo da jemonotona funkcija na razmakudefiniranosti ako jeA = Df ; pišemof ∈ MA.

Dakako, osobina monotonosti je globalno svojstvo funkcije.

Primjer. Funkcijaf(x) = 3√x2 nije monotona naD = [−1,+1].

Definicija 4.1.5. Realna funkcijaf : Df → R je ogranicena na skupuA ⊆ Df ,ako je{f(x) |x ∈ A} ogranicen skup. Drugim rijecima, ako

(∃M ∈ R+)(∀x ∈ A)(|f(x)| ≤M). (∗)Ako je funkcijaf ogranicena na skupuA, pišemof ∈ BA. Dakle, ogranicenostfunkcije naDf je globalno svojstvo te funkcije.


4.2 Osobine funkcija

1. Ako funkcijaf : A 7→ B ima osobinu da susvi elementi skupaB slikeelemenata skupaA, onda kažemo da funkcijaf ima osobinusirjektivnostiili da je preslikavanje "na".

2. Ako funkcijaf : A 7→ B ima osobinu da razlicitim originalima odgovarajurazlicite slike, (tj. x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y)), kažemo da funkcijaf imaosobinuinjektivnosti, ili da je f preslikavanje jedan-na-jedan.

Definicija 4.2.1. Ako funkcija f : A 7→ B jeste i injekcija i sirjekcija, ondakažemo da je funkcijaf bijekcija.

Graf funkcije f odredujemo tako da

1. OdredimoDf ;

2. Za svakox ∈ Df odredimoy = f(x);

3. u koordinatni sistemxOy unesemo sve tacke(x, f(y)).

4.2.1 Elementarne funkcije

Primjer. Linearna funkcijay = kx+ l.

Primjer. Kvadratna funkcijay = ax2 + bx+ c.

Primjer. Racionalna funkcijay = 1x.

Primjer. Korjenska funkcijay =√x.

Primjer. Eksponencijalna funkcijay = ax a > 0 i a 6= 1.

Primjer. Logaritamske funkcijey = loga x.

Definiciono podrucje

Primjer. Odrediti definiciono podrucje funkcije

y =

√

x− 1

x+ 1+ log(1− x).

4.3. PRIMJENA FUNKCIJA U EKONOMIJI 55

Kompozicija funkcija

Neka su date dvije funkcijef : A 7→ B i g : B 7→ C. Onda funkcijuh : A 7→ Cdefinisanu sa

h(x) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x)nazivamokompozicijom funkcijaf i g.

Primjer. Neka su date funkcijef : R 7→ R, f(x) = 13(2x − 1) i g : R 7→ R,

g(x) = 3x+ 6. Odreditig ◦ f i f ◦ g.

4.2.2 Inverzna funkcija

Neka je data funkcijaf : A 7→ B koja jebijekcija. Onda postoji njenainverznafunkcija koja se oznacava saf−1 i f−1 : B 7→ A, za koju vrijedi da

f(f−1(x)) = f−1(f(x)) = x.

Kako odrediti inverznu funkciju? Kod polinomskih i racionalnih funkcija je todosta jednostavno - slika i original samo zamjene mjesta!

Primjer.f : R 7→ R,

f(x) = y = 2x− 4.

Primjer. Naci inverzne funkcije:

1. y = 2x−1x+2

;

2. Qd(P ) = −a + bP ;

3. y = ax;

4. y = x2.

4.3 Primjena funkcija u ekonomiji

Vec smo vidjeli neke primjere funkcija u ekonomiji :

Qd(P ) = a− bP, Qs(P ) = −c+ dP

Primjer. Odnos cijena i ponude neke robe dat je tabelom: Odrediti i grafickiprikazati funkciju ponude oblika

s(p) = ap2 + bp+ c, (a, b, c ∈ R).


p 1 2 3s 10 8 4

Primjer. Zadana je cijenap kao funkcija ponudes. Izraziti ponudus kao funkcijucijenep ako je

p(s) =1

2

√s2 + 2s+ 5 + 2

√s2 + 2s+ 5 = 2p− 4/ 2 ⇒ s2 + 2s+ 5 = (2p− 4)2

⇒ s2 + 2s+ 1 = (2p− 4)2 − 4 ⇒ (s+ 1)2 = (2p− 6)(2p− 2)/√

⇒ s+ 1 =√

2(p− 3)(p− 1) ⇒ s(p) =√

2(p− 3)(p− 1)− 1

pod uslovom da jep ≥ 3.

4.3.1 Funkcija troškova

Ekonometrijski model koji se koristi kako bi se analiziralitroškovi je model ukojem glavna promjenljiva predstavlja ukupne troškove, a endrogene promjenljivepredstavljaju faktore koji uticu na njihov nivo.

Kvantitet proizvodnje je najvažniji faktor koji utice na ukupni nivo troška!Funkcija može imati razlicite forme, može npr. biti linearna ili polinomska - ali jeu najvecem broju prakticnih slucajeva polinomska funkcija treceg reda.

Ukupni troškovi se sastoje od dva sastavna dijela, naime

1. fiksni troškovi - koji ne zavise od procesa proizvodnje (amortizacija, plate,režije, itd.)

2. varijabilni troškovi - zavise o kolicini proizvodnje i mijenjaju se s porastomili padom proizvodnje!

Funkciju ukupnih troškova oznacavamo saT (Q), gdjeQ predstavlja potražnju, tj.ponudu.

T (Q) = FT + V T (Q).

Buduci da vidimo da su fiksni troškovi fiksni i ne zavise od proizvodnje, lako sevidi da je:

Q = 0 ⇒ V T (0) = 0 ⇒ T (0) = FT !

Primjer. Posmatrajmo funkciju ukupnih troškovaT (Q) = 3 + 5Q.Ako posmatramoT (0) = 3, lako vidimo da je fiksni trošak3, dok je varijabilni

trošak5Q.

4.3. PRIMJENA FUNKCIJA U EKONOMIJI 57

-4 -2 2 4

-1

1

2

3

4

5

4.3.2 Prosjecni trošak

Prosjecni (ili unitarni) trošak treba da predstavlja trošak proizvodnje jednog pro-izvoda i oznacava se saT (Q). Stoga je ocito dace prosjecni trošak biti ukupnitrošak podijeljen sa brojem proizvedenih artikala, tj.

T (Q) =T (Q)

Q.

Primjer. Ako je ukupni trošak neke proizvodnje 10000KM, a proizvede se 385

artikala, koliki je prosjecni trošak? Prosjecni trošak je10.000KM

385= 25, 97KM .

Primjer. Zadana je funkcija troškova nekog preduzecaT (Q) = 2Q+3, gdje jeQkolicina proizvodnje. Izvedite graf funkcije prosjecnih troškova. Za koje kolicineproizvodnjeQ funkcija troškova i prosjecnog troška imaju ekonomskog smisla?

4.3.3 Funkcije prihoda i dobiti

Koliki je prihod neke kompanije? Pa naravno dace (optimalno) biti jednak koli-cini proizvodnje/potražnje pomnožene sa cijenom proizvoda!

P = Q · p.Postavlja se pitanje,cega je dobit funkcija? Pa ocito, cijene!

P (p) = Q(p) · p.Medutim, kako je uobicajeno u analizi troškova, funkcije trebaju ovisiti o pro-izvodnji, ne o cijeni! Stoga, prvo nademo inverznu fukcijup(Q) iz Q(p)! Stoga

P (Q) = Q · p(Q).Kako izraziti ono najvažnije, tj. funkciju dobiti? Ocito - dobit je prihod minustrošak!

D(Q) = P (Q)− T (Q).

Primjetite - za razliku od troškova i prihoda, dobit može biti negativna!


2 4 6 8 10 12

-40

-30

-20

-10

10

20

30

Primjer. Date su funkcije potražnjeQ(p) = −p + 20 i prosjecnih troškovaT (Q) = Q− 8 + 80

Q. Odrediti:

• funkciju dobitiD(Q) i grafik funkcije dobiti;

• potražnju za koju je dobit jednaka nuli;

• interval renatbilne proizvodnje;

• maksimalnu mogucu dobit i nivo potražnje na kojoj se ostvaruje.

Poglavlje 5

Realni nizovi

5.1 Definicija i osnovni pojmovi

Nizove smo vec vidjeli u dosadašnjem školovanju i to mnogo puta,cak i kada togamožda nismo bili svjesni. Npr.

2, 3, 8, 15, −9, −12, . . .a1, a2, a3, a4, a5, a6,

Ukratko i jednostavno, niz jeuredena listaobjekata ili dogadaja.Kao i skup, niz imaclanove, ali za razliku od skupa, redoslijed je bitan i

identicni elementi se mogu pojavljivati više puta na razlicitim pozicijama unutarniza!

5.1.1 Definicija i osnovni pojmovi

Definicija 5.1.1. Svako preslikavanjea : N → R, skupa prirodnih brojeva u skuprealnih brojeva, nazivamo realnim nizom.

Broj koji se ovim preslikavanjem dodjeljuje prirodnom broju n oznacavamosaa(n), ili cešce saan (xn, fn) i nazivamo gan-ti clan niza.

Pri tome brojn u oznacian nazivamo indeksomclana niza. Ako je specifici-rana zavisnostan odn, onda sean naziva opštimclanom niza.

Za nizciji su clanovia1, a2, ..., an, ... koristit cemo kracu oznaku(an)n∈N, ilikratkoce radi samo(an).

Na isti nacin možemo definisati nizove kompleksnih brojeva, nizove funkcijaili uopšteno nizove elemenata proizvoljnog skupa.

Mi cemo se ograniciti na posmatranje samo realnih numerickih nizova.

59

60 POGLAVLJE 5. REALNI NIZOVI

Primjer. Niz1, 2, 3, ..., n, n+ 1, ...

je niz prirodnih brojeva. Niz

1, 3, 5, ..., 2n+ 1, ...

je niz neparnih prirodnih brojeva, a

1, 4, 9, 16, 25, ...

je niz kvadrata prirodnih brojeva.

Niz je potpuno odredjen svojim opštimclanom. Na primjer, ako je opšticlanniza dat saxn = n

n+1, niz je u potpunosti odredjen i njegoviclanovi su1

2, 23, 34, ...,

ili ako želimo odrediti stoticlan ovog niza,x100 = 100101

.Za odredjivanje niza nije neophodno da postoji formula kojom se eksplicitno

odredjuje opšticlanxn u zavisnosti odn. Npr., ako jexn n-ti po redu prost broj,niz (xn) je korektno definisan, iako ne znamo formulu za odredjivanjen-togclanatog niza.

Isto tako možemo govoriti da je niz(an) zadat tako da jean n-ta cifra u de-cimalnom razvoju broja

√2, mada formulu zan-tu cifru tog razvoja ne znamo

eksplicitno.Znati konacno mnogo prvihclanova niza nije dovoljno za jednoznacno odre-

djivanje niza. Npr., ako je dato prvih petclanova niza

0, 7, 26, 63, 124,

pravilo po kome su konstruisani oviclanovi može ali i ne mora da važi za šesti,sedmi i daljeclanove ovog niza.

5.1.2 Predstavljanje nizova

Predstavljati nizove možemo na dva nacina. Iz samog opisa niza kao liste brojevadobijamo prvi nacin, predstavljajuci clanove niza na realnoj pravoj. Tako bi niz(2, 4, 6, ..., 14), naznacavajuci tackamaclanove niza, bio predstavljen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14−1

bx1

bx2

bx3

bx4

bx5

bx6

bx7

Predstavljati beskonacne nizove na ovaj nacin bio bi problem jer bi secestogubila predstava o nizu. Naprimjer za niz(−1, 1,−1, 1, ...) slika bi predstavljalasamo dvije tacke

5.1. DEFINICIJA I OSNOVNI POJMOVI 61

0 1 2−1−2−3

b ba2n−1 a2n

Slika 5.1: Graficko predstavljanje niza((−1)n)∞n=1

0 1

bbbbbbbb

a1a2a3a4

Slika 5.2: Graficko predstavljanje niza(

1n

)∞n=1

a oznakamaa2n i a2n−1 bi sugerisali parne i neparne pozicijeclanova našegniza. Još teže bi bilo predstaviti niz

(

1n

)∞n=1

. Oznacili bi prvih nekoliko clanovaniza, a daljeclanove bi smo samo naznacili tackama.

Bolja, preglednija varijanta predstavljanja niza proizilazi iz cinjenice da nizmožemo shvatiti i kao preslikavanje. Pod preslikavanjem shvatamocinjenicu daclanove niza numerišemo po njihovim pozicijama. Tako niz(xn)

∞n=1 možemo

predstaviti tabelom

n 1 2 3 ... k ...xn x1 x2 x3 ... xk ...

Ovo znaci da niz možemo posmatrati kao preslikavanjex : N −→ R. Domenovog preslikavanja je skup prirodnih brojeva i kad god je domen preslikavanjaskupN, takvo preslikavanje nazivamo niz.

Sve ovo znaci da sada možemo koristiti sve osobine funkcija, ali takodje ipojmove uvedene sa njima. Ovo prije svega znaci da niz možemo predstaviti uobliku grafa. Tako bi niz(2, 4, 6, ..., 14), predstavljen grafom izgledao kao nasljedecoj slici

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7

b

b

b

b

b

b

b


Ovo je sada puno pogodniji nacin za predstavljanje beskonacnih nizova. Sadagraficki možemo predstaviti malopredašnje “problematicne” nizove:

0

1

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8 9b

b

b

b

b

b

b

b

Slika 5.3: Nizxn = (−1)n.

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b

b

bb

b b b b

Slika 5.4: Nizxn = 1n.

5.2 Aritmeti cki niz

Aritmeticki niz je posebna podklasa nizova koji izgledaju kao

2, 4, 6, 8, 10, . . .

1, 5, 9, 13, . . .

8, 5, 2,−1,−4, . . .

tj. nizovi kod kojih je razlika izmedu susjednihclanova konstantna. Formalno,

Definicija 5.2.1. Niz (an)∞1 gdje za svakon ∈ N vrijedi an+1 − an = an+2 −

an+1 = d, (d ∈ R), naziva searitmeticki niz.

5.2. ARITMETICKI NIZ 63

Iz posljednje dvostruke jednakosti slijedi da jean+1 = 12(an + an+2), dakle,

svaki clan niza je aritmeticka sredina svoga prethodnika i svoga sljedbenika unizu.

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 3d

Stoga dobivamo da je opci clan aritmetickog niza dat sa

an = an−1 + d = a1 + (n− 1) · d.Sada nas interesuje zbir prvihn clanova aritmetickog niza, tj.

Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an.

Posmatrajmo za primjer aritmeticki niz

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zbir njegovih prvih 100clanova je

S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . .+ 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Grupišimo prvi sa zadnjim, drugi sa predzadnjim itd, tj.

1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, . . .

Na ovaj nacin dobijemo koliko parova? Naravno, dobijemo 50 parova brojevacijije zbir 101! Dakle odgovor je

S100 = 50 · 101 = 5050.

u opcem slucaju, zaSn = a1 + a2 + . . .+ an−1 + an

a1 + an = a1 + (a1 + (n− 1) · d) = 2a1 + (n− 1) · da2 + an−1 = a1 + d+ (a1 + (n− 2) · d) = 2a1 + (n− 1) · d . . .

A ovih parova ima koliko? Pan/2! Stoga dobijemo da je suma prvihn clanovaaritmetickog niza

Sn =n

2(2a1 + (n− 1) · d),

ili drugacije

Sn =n

2(a1 + an).

Dakle zbir prvihn brojeva je

1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ n =n

2(1 + n) =

n(n+ 1)

2.


Primjer. Ako na pocetku godine u jastucnicu stavimo1000KM i svaki slijedecimjesec stavimo po 50KM više nego u prethodnom mjesecu, izracunati iznos ušte-devine nakon 7 godina.

Dakle, ulažemo1000, 1050, 1100, 1150, . . . .

Broj uloženih iznosa je7 · 12 = 84, dakle interesuje nas ukupni zbir84 ovakvihulaganja, tj.S84. Koristeci formulu, imamo

S84 =84

2· (2 · 1000 + (84− 1) · 50) = 42 · (2000 + 4150) = 258300.

5.3 Geometrijski niz

Vec smo vidjeli i dosta geometrijskih nizova, kao što su

1, 2, 4, 8, 16, . . .

1,1

2,1

4,1

8, . . . ,

tj. nizova kod kojih je medusobni odnos susjednihclanova konstantan! Formal-nije,

Definicija 5.3.1. Ako jean+1

an=an+2

an+1

= q,

gdje jeq realan broj, onda se(an)∞1 nazivageometrijski niz.

Naziv niza dolazi iz osobine da jean+1 =√anan+2, dakle svakiclan niza

an+1 je geometrijska sredinaclanaan, koji mu neposredno prethodi iclanaan+2,koji ga slijedi u nizu. Dakle

a2a1

=a3a2

=a4a3

= . . . =anan−1

= . . . = q.

Odatle imamo da je

a2 = a1 · qa3 = a2 · q = a1 · q2a4 = a3 · q = a1 · q3,

pa odatle dobijamo formulu za opci clan geometrijskog niza

an = a1 · qn−1.

5.3. GEOMETRIJSKI NIZ 65

No ako posmatramo obratno, tj.

a2 = a1 · q, a3 = a2 · q ⇒ q =a3a2,

dobijamo

a2 = a1 ·a3a2

⇒ a22 = a1 · a3 ⇒ a2 =√a1 · a3,

tj. a2 je geometrijska sredina svojih susjednihclanova! U opcem slucaju

an =√an−1 · an+1.

Sada nas, kao i kod aritmetickog niza zanima zbir prvihn clanova, tj.Sn.

Sn = a1 + a1q + a1q2 + . . .+ a1q

n−3 + a1qn−2 + a1q

n−1/ · (1− q)

(1− q)Sn = a1 − a1q + a1q − a1q2 + a1q

2 − a1q3 + . . .

+a1qn−3 − a1q

n−2 + a1qn−2 − a1q

n−1 + a1qn−1 − a1q

n.

(1− q)Sn = a1 − a1qn = a1(1− qn)

odakle dobijamo da je suma prvihn clanova

Sn = a11− qn

1− q!

Primjer. Posmatrajno geometrijski red1

2,1

4,1

8,1

16, . . . dakle a1 = 1, q = 1

2.

Posmatrajmo zbir prvih10 clanova

S10 =1

2+

1

4+

1

8+ . . .+

1

210

Ova suma je jednaka

S10 = a1 ·1− q10

1− q=

1

2· 1−

(

12

)10

1− 12

==1

2

210−1210

12

S10 =210 − 1

210=

1024− 1

1024= 0, 9990234375

Primjer (Kamata na kamatu). • Na pocetku godine uložimo iznos novcaI0u banku.

• Nakon odredenog perioda obracunava se kamata odp% na iznos po principukamata na kamatu.


• Na kraju prvog obracunskog perioda imamo

I0 + I0 · p% = I0 + I0 ·p

100= I0(1 +

p

100) = I0 · k.

• Na kraju drugog obracunskog perioda osnovica jeI0 · k, tj.

I0 · k + (I0 · k) ·p

100= I0 · k(1 +

p

100) = I0 · k2.

• Ako stanja nakon svakog obracunskog perioda posmatramo kao niz, dobi-jamo geometrijski niz!

Primjer. Ako u banku uložimo1000KM i obracunava nam se kamata na kamatupo stopi od5%, koje ce biti stanje na kraju dvadesetog obracunskog perioda?

DakleI0 iznosi1000KM . Šta u stvari mi trebamo izracunati?Pa samo n-ticlan geometrijskog niza! Dakle,

In = kn · I0 = (1 +p

100)n · I0 = (1 +

5

100)20 · 1000KM

Dakle poslije 20-tog obracunskog perioda, u bancice biti

I20 = 1, 0520 · 1000KM = 2653, 30KM

5.4 Konvergencija nizova

U matematickoj analizi proucava se ponašanjeclanova niza kada njihov indeksneograniceno raste, tj. kada indeks “teži u beskonacnost”.

Ideja je da se proucava "gomilanje"clanova niza oko neke konkretne vrijed-

nosti. Tako na primjer,clanovi nizova( 1n) i(

(−1)n

n2

)

"gomilaju se" oko nule, tj. sve

su bliže nuli kako indeksn postaje veci, što vidimo ako izracunamo po nekolikoclanova ovih nizova,

1,1

2,1

3,1

4,1

5, ... − 1,

1

4,−1

9,1

16, ... .

Za clanove nizaciji je opšti clan dat saxn = 2+(−1)n

nne bismo mogli tvrditi

da su sve bliže nuli kada sen povecava jer je na primjer

0 < x2n−1 =1

2n− 1<

3

2n= x2n ,

iz cega vidimo da jex2n na vecoj udaljenosti od nule nego njemu prethodeci clan.Medjutim, i ovde se može uociti neko gomilanje oko nule, što se vidi ako se

izracuna nekoliko prvihclanova niza,1, 32, 13, 34, 15, ....

5.4. KONVERGENCIJA NIZOVA 67

Definicija 5.4.1. Kažemo da je realan broja granicna vrijednost ili limes niza(xn) ako za svakoε > 0, postoji prirodan brojn0, takav da za svaki prirodanbroj n ≥ n0 vrijedi |xn − a| < ε, što jednostavnije zapisujemo matematickomsimbolikom sa

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ |xn − a| < ε) . (5.1)

Gornjucinjenicu zapisujemo sa

limn→+∞

xn = a ili xn → a (n→ +∞) .

Ako je limn→+∞

xn = a, kažemo da niz(xn) konvergira kaa ili da teži kaa, kadan

teži u beskonacnost.Ako postojia ∈ R, takav da lim

n→+∞xn = a, kažemo da je niz konvergentan.

Primjer. U primjeru ispred Definicije 5.4.1 smo pokazali da jelimn→+∞

2 + (−1)n

n=

0. Na slican nacin se pokazuje da jelimn→+∞

1

n= 0 ili lim

n→+∞

n

n+ 1= 1. Pokažimo

prvu relaciju.

limn→∞

1

n= 0

Primjer. Neka jexn = 21n . Posmatramo li nekoliko prvihclanova ovog niza

x1 = 21 = 2 , x2 = 212 = 1, 41... , x3 = 2

13 = 1, 26... ,

x4 = 214 = 1, 19... , ... , x10 = 2

110 = 1, 07... ,

vidimo da se vrijednosti umanjuju i da se "krecu" ka 1, tj. "osjecamo" da jelim

n→+∞xn = 1. Ali ovakvo razmišljanje ni u kom slucaju ne predstavlja dokaz ove

tvrdnje.

Na isti nacin se pokazuje sljedeci važan limes

limn→+∞

n√a = 1 , (a > 0)

Primjer. Niz ciji je opšti clanxn = (−1)n nije konvergentan. Zaista, pretposta-vimo suprotno, tj. da je za nekoa ∈ R, lim

n→+∞xn = a.

Kako su sviclanovi datog niza jednaki ili 1 ili−1, to znaci da se oba ta brojamoraju nalaziti u proizvoljnojε-okolini tackea. Medjutim, to ocigledno nije mo-guce, npr. izaberemo liε < 1

2tada nije moguce da oba broja i 1 i−1 budu u

intervalu(a− ε, a+ ε) cija je dužina manja od 1.


5.4.1 Osobine konvergentnih nizova

Teorema 5.4.2.Ako niz ima granicnu vrijednost onda je ona jedinstvena.

Definicija 5.4.3. Za niz(xn) kažemo da je ogranicen odozgo ako vrijedi:

(∃M ∈ R)(∀n ∈ N) xn ≤M .

Niz je ogranicen odozdo ako vrijedi:

(∃m ∈ R)(∀n ∈ N) xn ≥ m .

Definicija 5.4.4. Za niz(xn) kažemo da je ogranicen ako je skup svih elemenatatog niza ogranicen, tj. ako postoji realan brojM ≥ 0 takav da je|xn| ≤ M zasvakon ∈ N. Ovo zapisujemo sa

(∃M ≥ 0)(∀n ∈ N) |xn| ≤M .

Teorema 5.4.5.Svaki konvergentan niz je ogranicen.

Teorema 5.4.6.Neka su dati nizovi(xn) i (yn).

1. Ako jexn = c ∈ R za skoro svakon ∈ N, tada je limn→+∞

xn = c.

2. Neka je limn→+∞

xn = x i limn→+∞

yn = y (x, y ∈ R) i neka sua, b i c proizvoljni

realni brojevi. Tada važi:

(a) limn→+∞

(axn + byn) = ax+ by.

(b) limn→+∞

(xn + c) = x+ c.

(c) limn→+∞

(xn · yn) = x · y.

(d) limn→+∞

xnyn

=x

y, ako jey 6= 0 i yn 6= 0 zan ∈ N.

Primjer. Izracunati: limn→+∞

(

3 · 2 1n + 2 · 3 1

n

)

.

Koristeci pravilo2.(a) i ranije pokazani limes niza( n√a) imamo da je

limn→+∞

(

3 · 2 1n + 2 · 3 1

n

)

= 3 · 1 + 2 · 1 = 5 .


(

1

n+ 6

)

.

Koristeci pravilo2.(b) imamo

limn→+∞

(

1

n+ 6

)

= 0 + 6 = 6 .


Definicija 5.4.7. Niz (xn) za koga važi limn→+∞

xn = 0, nazivamo nula-niz.

Zapravo, ispitivanje proizvoljnog konvergentnog niza se može svesti na ispiti-vanje nula-niza, naime važi

Teorema 5.4.8.Niz (xn) konvergira kaa ∈ R ako i samo ako niz(xn − a) ko-nvergira ka 0.

Teorema 5.4.9.Zbir, razlika i proizvod dva nula-niza je ponovo nula-niz.

Teorema 5.4.10.Neka je(xn) proizvoljan nula-niz i neka je(yn) proizvoljanogranicen niz ( ne obavezno konvergentan ). Tada je niz(zn), gdje jezn = xn · yn(n ∈ N), nula-niz.


cosn

n.

Oznacimo sazn =cosn

n=

1

ncosn. Kako je nizxn = 1

nnula-niz, a niz

yn = cosn je ogranicen (cosx ≤ 1 ), to je na osnovu gornje teoreme niz(zn)nula-niz, tj.

limn→+∞

cosn

n= 0 .

Teorema 5.4.11(Veza limesa i relacija poretka). Neka je(xn) proizvoljan niz.

1. Ako je limn→+∞

xn = x > p (< p), tada jexn > p (< p) za skoro svakon ∈ N.

2. Ako je niz(xn) konveregentan i ako jexn > p (< p), za skoro svakon ∈ N,onda je lim

n→+∞xn ≥ p (≤ p).

Dokaz


xn = a i neka jea > p. Stavimo li da jeε = a−p

2, svi brojevi

koji pripadaju intervalu(a− ε, a+ ε) su veci odp ali skoro sviclanovi niza(xn) su u tojε-okolini i time je tvrdjenje dokazano. Slucaj kada jea < pdokazuje se analogno.


xn = a i neka jexn > p za skoro svakon. Ako bi bilo a < p,

to bi na osnovu dokazanog pod 1) znacilo da jexn < p za skoro svakon,što je ocigledna kontradikcija. Dakle mora bitia ≥ p.

Posljedica 5.4.12.Ako svi clanovi niza(xn) pripadaju segmentu[a, b], tada ilim

n→+∞xn ∈ [a, b].


5.4.2 Beskonacne granicne vrijednosti

Definicija 5.4.13. Kažemo da niz(xn) divergira ka plus beskonacnosti, što ozna-cavamo sa lim

n→+∞xn = +∞, ako vrijedi

(∀K > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0)xn > K .

Kažemo da niz(xn) divergira ka minus beskonacnosti, što oznacavamo sa limn→+∞

xn =

−∞, ako vrijedi

(∀K > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0)xn < −K .

U oba slucaja kažemo da niz odredeno divergira.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

K1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13b

bb

bb

bb

bb

b

Slika 5.5: Odredeno divergentni nizovi.

Sada možemo izvršiti selekciju svih nizova u odnosu na konvergenciju. Svakirealni niz spada u jednu od klasa:

• Niz je konvergentan ( granicna vrijednost mu je neki realan broj ).

• Niz je odredjeno divergentan ( granicna vrijednost mu je ili+∞ ili −∞ ).

• Niz je neodredjeno divergentan ( nema ni konacnu ni beskonacnu granicnuvrijednost ).

Primjer. Posmatrajmo geometrijski nizxn = qn (n ∈ N). Za kojeq ∈ R je datiniz konvergentan?

Teorema 5.4.14.Neka je limn→+∞

xn = x ∈ R i neka je limn→+∞

yn = +∞. Tada

vrijedi:

1. limn→+∞

(xn + yn) = +∞.

2. limn→+∞

(xn · yn) = sgnx · ∞ (x 6= 0).


3. limn→+∞

xnyn

= 0.

4. Ako je limn→+∞

xn = 0 i ako su skoro svi clanovi niza(xn) pozitivni, tada je

limn→+∞

1

xn= +∞.

Postoje kombinacije dva niza kada se rezultat ne može direktno odrediti kao uslucajevima opisanim u ovim teoremama. Tada kažemo da je granicna vrijednostneodredjena ili da je neodredjenog tipa. To medjutim ne znaci da granicna vri-jednost ne postoji, vec samo da se ne može unaprijed odrediti primjenom praviladatih u ovim teoremama.

Primjer. Za niz sa opštimclanomxn =n2 + 3n− 2

2n2 + 5n+ 4imamo neodredjenost tipa

∞∞

Postoji sedam tipova neodredjenosti i oni su:

∞∞ ,

0

0, 0 · ∞ , ∞−∞ , 1∞ , ∞0 , 00 .

5.4.3 Monotoni nizovi

Definicija 5.4.15. Za niz(xn) kažemo da je

• strogo monotono rastuci ako vrijedi(∀n ∈ N) xn+1 > xn.

• monotono rastuci (neopadajuci) ako vrijedi(∀n ∈ N) xn+1 ≥ xn.

• strogo monotono opadajuci ako vrijedi(∀n ∈ N) xn+1 < xn.

• monotono opadajuci (nerastuci) ako vrijedi(∀n ∈ N) xn+1 ≤ xn.

Za niz koji posjeduje bilo koju od navedenih osobina kažemo da je monoton niz.

5.4.4 Kriteriji konvergencije mon. nizova

Teorema 5.4.16.Svaki monoton niz je ili konvergentan ili odredjeno divergentan( ima konacnu ili beskonacnu granicnu vrijednost ).

Teorema 5.4.17.Svaki monoton i ogranicen niz je konvergentan.

U ovoj teoremi treba razlikovati dva slucaja:

1. Ako je niz monotono rastuci, zahtijevamo ogranicenost odozgo.


2. Ako je niz monotono opadajuci, zahtijevamo da je niz ogranicen odozdo.

Primjer. Pokažimo da je nizxn =(

1 + 1n

)nrastuci i ogranicen odozgo.

Jednostavnim racunom se ima

xn+1

xn=n+ 2

n+ 1

(

1− 1

(n+ 1)2

)n

.

Na osnovu Bernoullijeve nejednakosti je(

1− 1

(n + 1)2

)n

> 1− n

(n+ 1)2, n ≥ 2 ,

pa imamo

xn+1

xn>n+ 2

n+ 1

(

1− n

(n+ 1)2

)

=n3 + 3n2 + 3n+ 2

n3 + 3n2 + 3n+ 1> 1 .

Dakle niz je strogo monotono rastuci.Ako sada posmatramo i nizyn =

(

1 + 1n

)n+1, ocigledna je nejednakostxn ≤

yn za proizvoljnon ∈ N.Pokazati da je niz(yn) strogo monotono opadajuci, ostavljeno je za vježbu.

Iz ovoga onda zakljucujemo da je bilo kojiclan niza(yn) gornje ogranicenje niza(xn), pa možemo reci da jexn ≤ y1 = 4 za proizvoljnon ∈ N.

Iz monotonosti i ogranicenosti niza(xn) zakljucujemo njegovu konvergenciju.

Granicnoj vrijednosti ovog niza dajemo posebno ime ( prema Euleru), a isticemoi njegovu važnost za racunanje mnogih drugih limesa.

Definicija 5.4.18.

e = limn→+∞

(

1 +1

n

)n

.

Broj e nazivamo Eulerovim brojem i on je jedna od najvažnijih matematickihkonstanti. Prvih nekoliko decimala tog broja su

e = 2, 718281828...

Koristeci se algebrom limesa, lako se vidi da takoder imamo

limn→∞

(

1 +1

an

)an

= e (ako limn→∞

an = ∞)

te direktno slijedi da

limn→∞

(1 + an)1an = e (ako lim

n→∞an = 0)


Primjer. Izracunati

1. limn→∞

(

1 +3

n

)2n−1

;

2. limn→∞

(

n+ 1

n− 1

)2n+1

; limn→∞

n(ln(n+ 1)− lnn);

5.4.5 Alati za izracunavanje limesa

Teorema 5.4.19(Teorem o lopovu i dva policajca). Neka su(xn) i (yn) nizovi zakoje vrijedi

1. limn→+∞

xn = limn→+∞

yn = A.

2. Za skoro svakon ∈ N je xn ≤ zn ≤ yn.

Tada i niz(zn) ima granicnu vrijednost i važilimn→+∞

zn = A.


n√2n + 3n.

Kako važi3n ≤ 2n + 3n ≤ 2 · 3n ,

tada je3 ≤ n

√2n + 3n ≤ 3

n√2 .

Ako oznacimo saxn = 3 i sayn = 3 n√2, tada ocigledno važi

limn→+∞

xn = limn→+∞

yn = 3 ,

pa na osnovu teoreme o lopovu i dva policajca vrijedi

limn→+∞

zn = limn→+∞

n√2n + 3n = 3 .

Poglavlje 6

Grani cne vrijednosti

6.1 Intuitivni uvod u grani cne vrijednosti

Razvoj diferencijalnog racuna stimulisan je od strane dva geometrijska problema:

• nalaženjem površina ravnih površi;

• nalaženjem tangenti na krive.

Oba ove problema zahtjevaju ‘granicne procese’ za svoja opca rješenja.Medutim koncept limesa ili granicne vrijednosti je fundamentalni graditelj-

ski blok na kojem se zasniva cijeli diferencijalni i integralni racun! Na pocetkuovog poglavljacemo promatrati granicne procese informalno. Mnogi problemidiferencijalnog i integralnog racuna se izvode iz slijedeca tri problema:

Tangentni problem. Ako nam je data funkcijaf i tackaP (x0, y0) na grafufunkcije, naci jednacinu linije koja je tangentna na graff u tacki p.

Površinski problem. Ukoliko nam je data funkcijaf , naci površinu ispodgrafa funkcijef i intervala[a, b] nax-osi.

Problem trenutne brzine Ukoliko nam je data kriva pozicije u odnosu navrijeme zacesticu koja se krece duž koordinatne linije, naci brzinu tecestice udatom vremenu.

Promatranje ovih problema ima dugu historiju. Površinske formule za os-novne geometrijske figure, kao što su pravougaonici, poligoni i krugovi idu nazaddo najranijih matematickih zapisa. Prvi pravi napredak od najprimitivnih poku-šaja je napravio starogrcki matematicarArhimed(‘Aρχιµηδης), koji je razvio ge-nijalnu, ali napornu tehniku, koja se zovetehnika iscrpljenja, kako bi našao povr-šine regija koje su ogranicene parabolama, spiralama i raznim drugim krivim.

Do 17. stoljeca mnogi su matematicari otkrili nacine kako izracunati ove povr-šine koristeci limese. Medutim, svim ovim metodama je nedostajala generalnost.

75

76 POGLAVLJE 6. GRANICNE VRIJEDNOSTI

Veliki napredak su napravili nezavisno jedan od drugoga Newton i Leibniz,koji su otkrili da se površine mogu dobiti obrcuci proces diferencijacije. Newto-nov radDe Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitasizdat1711 sesmatra pocetkom više matematike.

Slika 6.1: Sir Isaac Newton

Tradicionalno se smatra da matematika koja proizilazi iz tangentnog problemacini diferencijalni racun, dok matematika koja proizilazi iz površinskog problemapredstavlja integralni racun. Medutim, vidjetcemo da su ova dva problema tolikovezani jedan za drugi da jecesto teško napraviti razliku izmedu diferencijalnog iintegralnog racuna!

6.1. INTUITIVNI UVOD U GRANICNE VRIJEDNOSTI 77

Slika 6.2: Gottfried Wilhelm Leibniz

Slika 6.3: De Analysi per Aequationes ...

Kako bismo bolje razumjeli gornje probleme, potrebno je da damo preciznijudefiniciju onoga što smatramo tangentnom linijom, površinom i brzinom.

Sada kada imamo motivaciju, vrijeme je se pozabavimo samim pojmom gra-nicne vrijednosti. Najosnovnija upotreba limesa je da opišemo kako se funkcija


Slika 6.4: Sekanta i problem tangente

Slika 6.5: Površinski problem


ponaša kada se nezavisna promjenljiva približava odredenoj vrijednosti!

Primjer. Posmatrajmo stoga npr. funkcijuy = 3x + 1 i razlicite vrijednostifunkcije za razlicite argumente

x 0,5 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999y 2,5 3,1 3,4 3,7 3,85 3,97 3,997 3,9997

Ocito, kako se argument funkcije približava vrijednosti1 sa lijeve strane, vri-jednost funkcije se približava vrijednosti4. Kažemo da funkcija teži vrijednosti4kako vrijednostx teži ka1 (ovaj put s lijeve strane).

x 1,5 1,3 1,2 1,1 1,05 1,01 1,001 1,0001y 5,5 4,9 4,3 4,6 4,15 4,03 4,003 4,0003

Kažemo da funkcija teži vrijednosti4 kako vrijednostx teži ka1 (ovaj put sdesne strane).

Ako su desna i lijeva granicna vrijednost funkcije jednake, onda kažemo dafunkcija ima granicnu vrijenost u toj tacki! Intuitivna i veoma neformalna defini-cija limesa:

Definicija 6.1.1. Ako se vrijednosti funkcijef(x) mogu napraviti onoliko blizuvrijenostiL koliko želimo, tako štocemo napravitix dovoljno blizu vrijednostia(ali ne jednako vrijednostia!), onda pišemo

limx→a

f(x) = L,

štocitamo ’limes funkcijef(x) kadax teži kaa’.

Primjer. Napravite konjekturu o vrijednosti limesa

limx→0

x√x+ 1− 1

.


limx→0

sin x

x.


limx→0

sinπ

x.

Definicija 6.1.2. Vrijednost limR+a ∩D∋x→a

f(x) oznacavamo sa limx→a+0

f(x) ili krace

f(a+ 0), kad god ta vrijednost postoji i zovemodesnom granicnom vrijednostifunkcijef u tackia.


Po analogiji se definira ilijeva grani cna vrijednost

limx→a−0

f(x) = f(a− 0).

Nije teško zakljuciti da vrijedi

limx→a

f(x) = b⇔ limx→a−0

f(x) = limx→a+0

f(x) = b.

Ako se vrijednosti funkcijef(x) konstantno povecavaju kako sex približavavrijednostia sa desne ili lijeve strane, onda pišemo

limx→a+

f(x) = +∞ ili limx→a−

f(x) = +∞

kako je odgovarajuce i kažemo da se funkcijaf neograniceno povecavakakoxteži kaa sa desne, odnosno lijeve strane.

Ako se vrijednosti funkcijef(x) konstantno smanjuju kako sex približavavrijednostia sa desne ili lijeve strane, onda pišemo

limx→a+

f(x) = −∞ ili limx→a−

f(x) = −∞

kako je odgovarajuce i kažemo da se funkcijaf neograniceno smanjujekakoxteži kaa sa desne, odnosno lijeve strane.

Definicija 6.1.3(Vertikalna asimptota). Linija x = a se nazivavertikalna asimp-totagrafa funkcijef , ukoliko sef(x) približava+∞ ili −∞ kako sex približavaa sa lijeve ili desne strane.

Do sada smo samo posmatrali granicne vrijednosti funkcija kada sex pribli-žavalo nekoj konkretnoj vrijednostia. Medutim, veomacesto nas interesuje kakose funkcija ponaša kada vrijednost argumenta neograniceno raste ili opada.

Definicija 6.1.4(Granicne vrijednosti u beskonacnosti - informalno). Ako se vri-jednosti funkcijef(x) sve više i više približavaju nekom brojuL kako se argumentx neograniceno povecava, onda pišemo

limx→+∞

f(x) = L.

Ako se vrijednosti funkcijef(x) sve više i više približavaju nekom brojuL kakose argumentx neograniceno smanjuje, onda pišemo

limx→−∞

f(x) = L.


Geometrijski, ako sef(x) → L kakox→ +∞, onda se graf funkcije eventu-alno sve više i više približava horizontalnoj linijiy = L (kada graf pomatramo upozitivnom smjeru).

Slicno, ako sef(x) → L kakox → −∞, onda se graf funkcije eventualnosve više i više približava horizontalnoj linijiy = L (kada graf pomatramo u nega-tivnom smjeru).

Definicija 6.1.5 (Horizontalna asimptota). Linija y = L naziva sehorizontalnaasimptotagrafa funkcijef akof(x) → L kakox→ +∞ ili x→ −∞.

Definicija 6.1.6. Ako se vrijednosti funkcijef(x) sve više i više povecavaju kakose argumentx neograniceno povecava ili smanjuje, onda pišemo

limx→+∞

f(x) = +∞ ili limx→−∞

f(x) = +∞

Ako se vrijednosti funkcijef(x) sve više i više smanjuju kako se argumentxneograniceno povecava ili smanjuje, onda pišemo

limx→+∞

f(x) = −∞ ili limx→−∞

f(x) = −∞

Takoder granicna vrijednost u beskonacnosti može da uopce ne postoji ukolikofunkcija beskonacno oscilira na takav nacin da se vrijednost funkcije ne približavanijednoj vrijednosti, niti se neograniceno povecavaju niti smanjuju. Takve su naprijer trigonometrijske funkcijesin i cos. U tom slucaju kažemo da granicnnavrijednost ne postoji zbog oscilacije.

6.1.1 Izacunavanje limesa

Deset standardnih granicnih vrijednostice formirati osnovu za izracunavanje gra-nicnih vrijednosti. Tri ukljucuju konstantnu funkciju, tri ukljucuju linearnu funk-ciju, dokcetiri ukljucuju racionalnu funkciju.

limx→a

k = k, limx→+∞

k = k, limx→−∞

k = k,

limx→a

x = a, limx→+∞

x = +∞, limx→−∞

x = −∞,

limx→0+

1

x= +∞, lim

x→0−

1

x= −∞, lim

x→+∞

1

x= 0, lim

x→−∞

1

x= 0.

Nekalim oznacava jednu od granicnih vrijednostilimx→a, limx→a−, limx→a+, limx→+∞,ili limx→−∞. Pretpostavimo da postoje granicne vrijednost funkcijeL1 = lim f(x)i L2 = lim g(x). Tada

1. lim[f(x)± g(x)] = lim f(x)± lim(x) = L1 + L2


-3 -2 -1 1 2 3

-10

10

20

Slika 6.6: Grafici funkcijax,x2,x3,x4,x5

2. lim k · f(x) = k · lim f(x) = k · L1 (k ∈ R)

3. lim(f(x) · g(x)) = lim f(x) · lim g(x) = L1dotL2

4. lim f(x)g(x)

= lim f(x)lim g(x)

= L1

L2, (L2 6= 0)

5. lim[f(x)]k = (lim f(x))k = Lk1, (k ∈ R).

Primjer. Izracunati:

1.limx→1

(2x2 − 5x+ 10)

2.

limx→1

x2

x− 1

3.

limx→2

x2 − 5x+ 6

x− 2

Za svaki polinomp(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cnx

n

i za bilo koji realan broja,

limx→a

p(x) = p(a) = c0 + c1a + · · ·+ cnan

A šta je s polinomima oblikaxn u beskonacnosti? Pogledajmo sliku!

6.2. GRANICNA VRIJEDNOST FUNKCIJE 83

Množenje sa pozitivnom brojem ništa ne mijenja, dok množenje sa negativ-nim brojem mijenja znak beskonacnosti. Takoder možemo posmatrati granicnevrijednosti funkcija definisanih dio po dio

f(x) =

{

x2 − 5, x ≤ 3√x+ 13, x > 3

6.2 Granicna vrijednost funkcije

Do sada se sva diskusija zasnivala na intuitivnoj predodžbišta to znaci da se vri-jednost funkcije sve više i više približava nekoj granicnoj vrijednosti. Sada sekonacno možemo i trebamo, pozabaviti problemom granicne vrijednosti formal-nije. Stoga posmatrajmo funkciju za kojuf(x) → L kakox→ a.

Ako f(x) → L kakox → a, onda za bilo koji pozitivan brojε, možemo naciotvoreni interval nax-osi koji sadrži tacku x = a i ima osobinu da za svakox utom intervalu, osim možda ux = a vrijednost funkcijef(x) je izmedu L − ε iL+ ε.

Definicija 6.2.1(Formalna definicija limesa). Neka je funkcijaf(x) definisana zasvakox u nekom otvorenom intervalu koji sadrži broja, sa mogucim izuzetkomu samoma. Ondacemo pisati

limx→a

f(x) = L

ako za bilo koji dati brojε > 0 možemo naci broj δ > 0 takav da

|f(x)− L| < ε ako 0 < |x− a| < δ.

Definicija 6.2.2. +∞ je granicna vrijednost funkcijey = f(x) u tacki a akovrijedi da za svakoM > 0 postojiδ koje zavisi odM takvo dacim jex iz Oδ(a),imao da jef(x) > M , tj.

(∀M > 0)(∃δ = δ(M) > 0) x ∈ Oδ(a) ⇒ f(x) > M.

Za−∞, imamo

(∀M < 0)(∃δ = δ(M) > 0) x ∈ Oδ(a) ⇒ f(x) < M.

L je granicna vrijednost funkcijey = f(x) kadax → +∞ ako

(∀ε > 0)(∃M =M(ε) > 0) x > M ⇒ |f(x)− L| < ε.

L je granicna vrijednost funkcijey = f(x) kadax→ −∞ ako

(∀ε > 0)(∃M =M(ε) < 0) x < M ⇒ |f(x)− L| < ε.


6.3 Neprekidnost

Objekt koji se krece ne može (ma koliko mi to možda željeli u stilu sci-fi filmova)tek tako samo nestati i pojaviti se na drugom mjestu. Stoga ukoliko put objekta ukretanju posmatramo kao krivu, on aje neprekidna, bez rupa,skokova ili prekida.

Ranije smo razmatrali neprekidnost informalno. Medutim, taj pogled je i višenego dobar, kao što vidimo iz definicije

Definicija 6.3.1. Funkcijaf je neprekidna u tackic ukoliko su zadovoljeni slije-deci uslovi:

1. f(c) je definisana.

2. limx→c f(x) postoji.

3. limx→c f(x) = f(c).

Ukoliko je jedan ili više od navedenih uslova nezadovoljen,kažemo da funk-cija f ima prekid u tacki c.

Ako je f neprekidna u svakoj tacki intervala(a, b) onda kažemo da je funk-cija neprekidna na intervalu(a, b). Ukoliko je funkcija neprekidna na intervalu(−∞,∞) onda kažemo da je svuda neprekidna. Primjetite da su prva dvauslovasuvišni!

Primjer. Odrediti da li su slijedece funkcije neprekidne u tacki x = 2:

f(x) =x2 − 4

x− 2, g(x) =

{

x2−4x−2

, x 6= 2

3, x = 2h(x) =

{

x2−4x−2

, x 6= 2

4, x = 2

U primjenama, prekidi obicno signaliziraju pojave važnih fizikalnih fenomena.S obzirom da prekidi imaju znacajne fizikalne interpretacije, važno je da smo umogucnosti identificirati tacke prekida specificnih funkcija i da smo u mogucnostinapraviti opca tvrdenja o osobinama neprekidnosti cijelih familija funkcija.

Uobicajeni pristup da pokažemo da je funkcija neprekidna je da pokažemo daje neprekidna u nekojproizvoljnojtacki. Na primjer, kao što smo vijeli ranije, akoje p(x) polinom i ako jea proizvoljan realni broj da

limx→a

p(x) = p(a).

Stoga, imamo slijedeci rezultat:

Teorema 6.3.2.Polinomi su svugdje neprekidni.

Primjer. Pokazati da je funkcija|x| svuda neprekidna.

6.3. NEPREKIDNOST 85

Teorema 6.3.3.Ukoliko su funkcijef i g neprekidne u tackic, onda

• f + g je neprekidna uc;

• f − g je neprekidna uc;

• f · g je neprekidna uc;

• f

gje neprekidna uc ako jeg(c) 6= 0, a ima prekid uc ako jeg(c) = 0.

Teorema 6.3.4.Racionalna funkcija je neprekidna svuda osim u tackama gdje jeimenioc jednak nuli.

Primjer. Za koje vrijednostix imamo rupu u grafu funkcije x2−9x2−5x+6

?

Ako lim oznacava jednu od granicnih vrijednostilimx→c, limx→c−, limx→c+, limx→+∞

ili limx→−∞. Ako je lim g(x) = L a funkcijaf je neprekidna u tacki L, onda je

lim f(g(x)) = f(L).

To jest,lim(f(g(x))) = f(lim g(x)).

Drugim rijecima, znak granicne vrijednosti može zamijeniti mjesto sa znakomfunkcije, ukoliko je funkcija neprekidna i ukoliko postojigranicna vrijednost iz-raza unutar funkcije.

Primjer. Ispitati neprekidnost funkcije|5− x2|.

Teorema 6.3.5. 1. Ako je funkcijag neprekidna u tackic i ako je funkcijafneprekidna u tackig(c), onda je u kompozicija funkcijaf ◦ g neprekidna utacki c.

2. Ako je funkcijag neprekidna svuda i ako je funkcijaf neprekidna svuda,onda je u kompozicija funkcijaf ◦ g neprekidna svuda.

Stoga na osnovu prethodnog primjera zakljucujemo na primjer da je apsolutnavrijednost neprekidne funkcije neprekidna funkcija!

Teorema 6.3.6(Teorem srednje vrijednosti). Ako jef neprekidna funkcija na za-tvorenom intervalu[a, b] i ako ek bilo koji broj izmedu f(a) i f(b) (inkluzivno),onda postoji najmanje jedan brojx na intervalu[a, b] takav da jef(x) = k.

Primjedba 6.3.7. Ako je f neprekidna na[a, b] i ako suf(a) i f(b) razliciti odnule i suprotnog znaka, ona postoji najmanje jedno rješenjejednacinef(x) = 0 uintervalu(a, b).


Primjer. Naci rješenje (približno) realno jednacinex3 − x− 1 = 0.

Teorema 6.3.8.Ako jec ∈ R proizvoljan broj u domeni specificirane trigonome-trijske funkcije, onda

limx→c

sin x = sin c, limx→c

cosx = cos c, limx→c

tg x = tg c,

limx→c

csc x = csc c, limx→c

sec x = sec c, limx→c

ctg x = ctg c.

Teorema 6.3.9(Teorem stezanja/sendvic/lopovi i policajci). Ako suf, g i h funk-cije koje zadovoljavaju nejednakosti

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)),

za svax u nekom otvorenom intervalu koji sadrži tackuc, sa mogucim izuzetkomu samoj tackic. Akog i h imaju istu granicnu vrijednost kako sex približavac,recimo

limx→c

g(x) = limx→c

= h(x) = L,

onda if mora imati istu granicnu vrijednsot kako sex priližavac, tj.

limx→c

f(x) = L.

Primjedba 6.3.10. Ova teorema takoder vrijedi i za beskonacne granicne vrijed-nosti.

Primjer. Dokazati da je

limx→0

sin x

x= 1, lim

x→0

1− cosx

x= 1.

6.3. NEPREKIDNOST 87

6.3.1 Primjena limesa u ekonomiji

Zadana je cijenap kao funkcija potražnjed:

p(d) =d+ 1

d− 2

Izrazite potražnju kao funkciju cijene i izracunajtelimp→+∞ d(p).

limx→+∞

(

1 +1

x

)x

= e,

odakle smjenom1x= t dobijamo

limx→0

(1 + x)1x = e.

Primjer. Izracunati

limx→0

x

ex − 1

limx→0

sin x

x= 1.

Primjer.

limx→0

sin 2x

x

Poglavlje 7

Diferencijalni ra cun

7.1 Intuitivni uvod u izvode

Mnogi fizikalni fenomeni ukljucuju mijenjajuce kvantitete - brzina rakete, mo-netarna inflacija, broj bakterija u kulturi, intenzitet udara u zemljotresu, naponelektricnog signala i tako dalje. U ovom poglavlju razvitcemo pojamizvodailiderivacije, što je matematicki alat pomocu kojeg se proucavaju stope po kojimase mijenjaju fizikalne vrijednosti.

M

N

P

MN se nazivasekantaili sjecica krivey = f(x). Posmatrajmo△MNP .

tgα =NP

MP=

∆y

∆x

je nagib sjeciceMN . Kako∆x → 0, tackaN ‘klizi’ po grafiku krive y = f(x)prema tacki M .

89

90 POGLAVLJE 7. DIFERENCIJALNI RACUN

Kako∆x → 0 u stvari sjecicaMN teži da zauzme granicni položaj, tj. položajtangentet na krivuy = f(x) u tacki M . Tangens uglaβ je stoga nagib tangentetna krivu u tacki M . Kako∆x→ 0 ondaα→ β, tj. tgα→ tg β.

tg β = lim∆x→0

tgα = lim∆x→0

∆y

∆x= y′(x)

Geometrijska interpretacija prosjecne brzine Ako secestica krece u pozitiv-nom smjeru duž nekes-ose i ako je kriva pozicije u odnosu na vrijemes = f(t),onda je prosjecna brzinacestice izmedu vremenat0 i t1 predstavljena geometrijskipomocu nagiba sekante koja povezuje tacke(t0, f(t0)) i (t1, f(t1)).Geometrijska interpretacija trenutne brzine Ako secestica krece u pozitivnomsmjeru duž nekes-ose i ako je kriva pozicije u odnosu na vrijemes = f(t), ondaje trenutna brzinacestice u vremenut0 predstavljena geometrijski pomocu nagibatangente na krivuf(t) u tacki (t0, f(t0)).

Brzina se može promatrati kao mjera promjene - mjera promjene pozicije uodnosu na vrijeme ili mjera promjenes u odnosu nat. Mjere promjene se mogupojaviti u mnogim primjerima:

• Mikrobiolog je zainteresiran za razinu promjene broja bakterija u kolonijitokom vremena;

• Inžinjer može biti zainteresiran za mjeru promjene dužine metalne šipke uodnosu na promjenu temperature;

• Ekonomista je zainteresiran kako se mijenja cijena proizvodnje u ondosu nakvantitet proizvodnje;

• Medicinski istražitelj je zainteresiran za promjenu radijusa arterije kada sepoveca koncentracija alkohola u krvi...

Definicija 7.1.1. Ako je y = f(x), onda je prosjecna mjera promjeney u od-nosu nax na intervalu[x0, x1] nagibmsek sekantne linije koja povezuje tacke(x0, f(x0)) i (x1, f(x1)) na grafu funkcijef , tj.

msek =f(x1)− f(x0)

x1 − x0.

Definicija 7.1.2. Ako je y = f(x), onda je trenutna mjera promjeney u odnosunax na intervalu[x0, x1] nagibmtan tangente na krivuf u tacki (x0, f(x0)), tj.

mtan = limx1→x0

f(x1)− f(x0)

x1 − x0.

7.2. IZVOD FUNKCIJE JEDNE PROMJENLJIVE 91

Primjer. Ako je data funkcijay = x2 + 1, naci prosjecnu mjeru promjeney uodnosu nax preko intervala[3, 5], trenutnu mjeru promjeney u odnosu nax utacki x = −4 te trenutnu mjeru promjeney u odnosu nax u nekoj proizvoljnojtacki x = x0.

Prethodno smo promatrali nagib tangente na jedan nacin. Sada, zbog kalkulacij-skih potreba i izbjegavanja "viška" promjenljivih, novu promjenljivuh = x1−x0,odakle jasno slijedi da jex1 = x0 + h, pa konzekventnox1 → x0 akoh → 0.Stoga, nagib tangente na krivuf u tacki x0 sada možemo izraziti kao

mtan = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Definicija 7.1.3. Ako je P (x0, y0) tacka na grafu funkcijef , onda jetangentnalinija na graf funkcijef u tackiP ili tangentna linija na graf funkcijef u x0 sedefiniše kao linija kroz tackuP sa nagibom

mtan = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

pod uslovom da ovaj limes postoji, dakako. Ako limes ne postoji, kažemo da krivanema tangentne linije uP .

Iz ove definicije slijedi da je jednacina tangentne linije data sa

y − y0 = mtan(x− x0).

Primjer. Naci tangentu na krivuy = x2 + 1 u tacki x0 = 1.

Primjer. Naci tangentu na krivuy = |x| u tacki x0 = 0.

Definicija 7.1.4(Izvod informalno). Funkcijaf ′ definisana formulom

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

naziva se izvodom ili derivacijom funkcijef u odnosu nax.

7.2 Izvod funkcije jedne promjenljive

Neka jex proizvoljno izabrana unutrašnja tacka razmakaDf , daklex ∈ (a, b).Ako argumentx promijenimo za neko maloh, tadace se promijeniti i vrijednostfunkcijef(x) u novu vrijednostf(x+ h). Mi cemo razliku

∆fdef= f(x+ h)− f(x)

zvati prirastom (priraštajem) funkcijef u tacki x, a velicinu hdef= ∆x prirastom

argumenta.


-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

Slika 7.1: Tangenta na krivux2 + 1 u tacki x0 = 1.

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

Slika 7.2: Moguce ‘tangente’ na krivu|x| u tacki x0 = 0.

Definicija 7.2.1. Derivacija ili izvod funkcijef u tacki x ∈ (a, b) naziva se gra-nicna vrijednost

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h, (7.1)

ukoliko postoji konacna ili beskonacna.

Za derivaciju funkcijef u tacki x, koristi se oznakaf ′(x).Jednako tako derivacija funkcijey = f(x) po promjenljivojx, oznacava se

f ′x, y

′, y′x i df

dx, ali one oznacavaju da je u pitanju derivacija pox, a nije naglašeno

na koju tacku se to odnosi.Ako funkcija f(x) ima derivaciju u svim tackama skupaD ⊆ (a, b), onda

derivacija predstavlja novu funkciju odx, koja je definirana na tome skupu, u


opštem slucaju razlicitom od(a, b). U tackama toga skupa, dakle ta funkcijaf ′,ima konacnu ili pak beskonacnu vrijednost.

Prema tomef ′ : D → R ∪ {−∞,+∞} .

Treba zapaziti da razmak može imati tacaka koje nisu unutrašnje tacke, pa secini da ostaje ne definirana derivacija u takvim tackama. Implicitno su i takvederivacije uvedene datom definicijom, a eksplicitnocemo o tome govoriti u okvirujednostranih derivacija. Postupak nalaženja funkcijef ′ naziva se diferenciranje ilideriviranje funkcijef .

Definicija 7.2.2. Za funkciju y = f(x) kažemo da je diferencijabilna u tackix ∈ (a, b) ako ima konacnu derivaciju u toj tacki.

Stav. Ako jef diferencijabilna funkcija u tacki x ∈ (a, b), tada je ona i neprekidnau istoj tacki.

Ako je f neprekidna funkcija u nekoj tacki ona ne mora biti diferencijabilna utoj tacki, kao što pokazuje slijedeci primjer.

Primjer. Funkcijaf zadana pomocu f(x) =3√x2 je neprekidna naR, ali nije

diferencijabilna u tacki x = 0.

Primjer. Funkcijaf zadana pomocu f(x) = 3√x je neprekidna naR, ali nije

diferencijabilna u tacki x = 0.

Slika 5.1

7.2.1 Pravila diferenciranja funkcije

Teorema 7.2.3.Neka suf, g : (a, b) → R. Tada akof, g ∈ D1(a,b) onda je

f ± g, fg, fg∈ D1

(a,b), (g(x) 6= 0 ).


Još više, za svakox ∈ (a, b) vrijedi:(i) (f ± g)′ (x) = f ′(x)± g′(x);(ii) (fg)′ (x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x);

(iii)

(

f

g

)′

(x) =f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x).

7.2.2 Geometrijsko i fizikalno tumacenje derivacije funkcije

Neka se materijalna tacka krece po pravoj tako da funkcijas = s(t) izražavapredeni put, od neke pocetne tackeO(0, 0), u funkciji od vremenat. Prema tome,u trenutkut materijalna tacka se nalazi u tackiM(t, 0), a u trenutkut+∆t u tackiN(t + ∆t, 0). Predeni put do trenutkat je s(t), a dot + ∆t je s(t + ∆t). Naszanima kako odrediti brzinu te tacke kada je ona u tacki M(t, 0).

Oznacimo savsr srednju brzinu tacke na putuMN , tada je

vsr =s(t +∆t)− s(t)

∆t.

Prirodna definicija trenutne brzine tacke u momentuM je granicna vrijednostsrednje brzine kadaN teži premaM (a to ce se dogoditi ako∆t → 0). Dakle,brzinav(t) u tacki M se definira kao

v(t) = lim∆t→0

s(t+∆t)− s(t)

∆t= s′(t),

tj. prvom derivacijom funkcijes(t) po argumentut. Geometrijski, prva derivacija(konacna ili beskonacna) funkcijef , u tacki x0, predstavlja koeficijent pravcatangente(t) na krivuGf u tacki x0.

Da bismo se u to uvjerili, najprije trebamo definirati tangentu krive.

Definicija 7.2.4. Tangenta na neku krivuGf , u zadatoj tacki (x0, f(x0)) te krive,definira se kao prava koja sadrži tacku (x0, f(x0)) ∈ Gf , a predstavlja granicnipoložaj snopa sjecica (tetiva) krive, koje spajaju tacku(x0, f(x0)) kao stalnu i bilokoju drugu tacku (x, f(x)) na krivoj. Pri tome snop sjecica nastaje pomijeranjemtacke(x, f(x)) po krivoj prema stalnoj tacki (x0, f(x0)).

Ako fiksiramo tackuM(x0, f(x0)) ∈ Gf , tada snop pravih koje prolaze kroz tackuM imaju jednacinu

y − f(x0) = k(x− x0),

gdje sve prave snopa imaju koeficijent pravcak. Prava koja ima koeficijentk =tgα2 = f ′(x), jasno, predstavlja tangentu kriveGf . Naime, koeficijent pravcasjecice(s) je

tgα1 =M1M

′

h=f(x0 + h)− f(x0)

h.


7.2.3 Tablica izvoda

Tablica derivacija

Funkcija Derivacija Vrijedi zaf(x) f ′(x)

1. C = const. 0 x ∈ R

2. x 1 x ∈ R

3. xα αxα−1 α = pq∈ Q, q = 2k − 1;x 6= 0

α = pq> 1, q = 2k − 1;x ∈ R

4. ax ax ln a a ∈ R+\ {1} ;x ∈ R

5. loga x1

x ln aa ∈ R+\ {1} ;x ∈ R+

6. cos x − sinx x ∈ R

7. sinx = cos(π2 − x) cos x x ∈ R

8. tgx =cos(

π2 − x)cos x

1cos2 x

x 6= π2 + kπ; k ∈ Z

9. ctgx = 1tgx

− 1sin2 x

x 6= kπ; k ∈ Z

10. arc cos x − 1√1−x2

|x| < 1

11. arcsinx 1√1−x2

|x| < 1

12. arctg x 11+x2 x ∈ R

13. arcctgx − 11+x2 x ∈ R

14. shx chx x ∈ R

15. thx 1ch2x

x ∈ R

16.arshx =

= ln(x+√1 + x2)

1√1+x2

x ∈ R

17. arhx = 12 ln

1+x1−x

11−x2 |x| < 1

Teorema 7.2.5(Derivacija složene funkcije). Neka su zadate funkcijefig takve da jedefinirana složena funkcija(g ◦ f)(x) = g(f(x)). Neka, dalje, funkcijaf ima konacnuderivaciju u tackix, a funkcijag ima prvu derivaciju u tackif(x). Tada superpozicijag ◦ f ima derivaciju u tackix i vrijedi:

(g ◦ f)′(x) = g(f(x))′ = g′f (f)f′x(x).


Ovaj proces možemo onda nastaviti, tj. na primjer

z = z(w), w = w(y), y = y(x) ⇒ dz

dx=dz

dw

dw

dy

dy

dx

Primjer. Naci izvod funkcijez = 3(3x2 − 2)2.

Primjer. Naci izvod funkcijey = 6√2x− 3.

Primjer. Naci izvod funkcijey = e−2x2.

Teorema 7.2.6(Derivacija inverzne funkcije). Neka funkcijay = y(x) ima derivaciju utackix. Neka dalje, postoji inverzna funkcijax = x(y), koja je neprekidna u tackiy.

Ako jey′(x) 6= 0 tada je funkcijax(y) diferencijabilna i vrijedi

y′x · x′y = 1.

Primjer. Funkcijay = arcsin x zax ∈ (−1,+1) predstavlja inverznu funkciju funkcijex = sin y. Koristeci gornju formulu, možemo odrediti derivaciju funkcijey(x).

7.2.4 Logaritamska derivacija i diferenciranje implicitn e funk-cije

Neke funkcije mogu biti zadane analitickim izrazom koji nije pogodan za odredivanje de-rivacije po definiciji, buduci da se komplikuje izracunavanje odgovarajucih limesa. Takavje primjer funkcije

F (x) = [f(x)]φ(x) , (7.2)

gdje suf i φ diferencijabilne funkcije naE = (a, b), na kome je if(x) > 0.Sa druge strane ako se logaritmira (7.2), onda dobijamo funkciju

Λ(x) = lnF (x) = φ(x) ln [f(x)] . (7.3)

Prema tome, funkcijaF (x) je implicitno zadata pomocu

lnF (x)− φ(x) ln [f(x)] = 0.

Potražimo derivaciju funkcije (7.3) kao superpozicije dvije funkcijeF i ln. Dakle

Λ′(x) =1

F (x)· F ′(x), (7.4)

dobijamo izraz na desnoj straniF ′

F, koji se naziva logaritamska derivacija funkcijeF .

F ′(x) = [f(x)]φ(x)[

φ′(x) ln [f(x)] + φ(x)f ′(x)

f(x)

]

.

7.3. DIFERENCIJAL FUNKCIJE 97

Primjer. Naci izvode funkcijay = xsinx

iy = (x+ 1)2x−1).

Ako je izrazomF (x, y) = 0 implicitno zadata diferencijabilna funkcijay(x), njenase derivacija može odrediti iz relacije

F ′x + F ′

yy′x = 0,

koja diferenciranjem (po promjenljivojx) slijedi iz F (x, y) = 0.Prema tome za derivaciju diferencijabilne funkcijey(x), zadate implicitnoF (x, y) =

0, koristicemo formulu

y′x = −F ′

x

F ′

y. (P8)

Primjer. Naci izvod funkcijex2 + y2 − 5 = 0.

Primjer. Naci izvod funkcijex ln y + y2 lnx+ 3y.

7.3 Diferencijal funkcije

Definicija 7.3.1(Diferencijal funkcije). Diferencijal funkcijef u tacki x u kojoj je funk-cija diferencijabilna, u oznacidf(x) ili df , je proizvod derivacije funkcije i priraštajanezavisno promjenljive u toj tacki, tj.

df(x) = f ′(x)h. (7.5)

Ako uzmemoi(x) = x, onda je prvi diferencijal

di(x) = dx = (x)′h = h;

vidimo da je diferencijal funkcije, koja je identicki x, jednakh zbog toga, po dogovoru,pišemoh = dx.

Prema tome, diferencijal funkcijef , je df = f ′dx. Sad ovu jednakost možemo po-dijeliti sa dx ; odakle dobijamodf

dx= f ′(x), što smo vec uveli u uznakama za prvu

derivaciju funkcije.Geometrijski, diferencijal funkcije u tacki x predstavlja priraštaj tangente, koji se

definira kao dužinaM ′N na slici geometrijske interpretacije.

Teorema 7.3.2.Neka su funkcijef i g diferencijabilne na skupu(a, b). Tada, u tackamaintervala(a, b) gdje jeg 6= 0, vrijedi

(i) d(f ± g) = df ± dg;(ii) d(fg) = (df)g + f(dg);

(iii) d(

fg

)

= (df)g−f(dg)g2

.


7.4 Derivacije i diferencijali višega reda

Pretpostavimo sada da postoji derivacijaf ′(x) neke funkcijef u okolini tackex0 ∈ (a, b).Cesto deriviranjem funkcijef dobijamo funkciju koja, zapravo, i sama ima derivaciju unekoj okolini te ili druge tacke, tj. postoji

limh→0

f ′(x0 + h)− f ′(x0)

h.

Posljednju granicnu vrijednost oznacavamo saf ′′(x0) (koristimo i oznakey′′x(x0), y′′x0

,d2fdx2 (x0)) i zovemodruga derivacija funkcije (ili drugim izvodom funkcije) f u tackix0 ∈ (a, b). Indukcijom možemo uvesti iderivaciju n− toga reda funkcije (n− ti izvodfunkcije) f u tacki x0 ∈ V (x0) ⊆ Df(n−1) , kao

f (n)(x0) = limh→0

f(n−1)(x0+h)−f(n−1)(x0)h

=(

f (n−1)(x0))′, (*)

gdje jen ∈ N. Jasno,f (0)(x0)def.= f(x0).

Dakle,n− ta derivacija funkcijef je prva derivacija funkcijef (n−1) u svakoj unu-trašnjoj tacki x0 ∈ Df(n−1) , za koju postoji limes (*).

Ako se pretpostavi da su funkcijef ′ i f ′′ diferencijabilne u svakoj tacki x ∈ (a, b) =Df ′ , tada za linearno preslikavanjed

dx, vrijedi

ddx

: D1(a,b) → D1

(a,b);

a pretpostavka da postojif (n), n > 1, za svakox ∈ (a, b) znaci da funkcijaf ima svederivacije don− toga reda u svim tackama intervala(a, b). Klasu funkcija koje imaju sve

derivacije don− toga reda u svim tackama skupaE = (a, b), oznacicemoD(n)(a,b), a ako

funkcija ima derivaciju bilo kojeg reda u tackama skupaE = (a, b) onda pripada klasibeskonacno puta diferencijabilnih funkcijaD∞

(a,b).Dakle,ex ∈ D∞

R = D∞(−∞,+∞).

Primjer. Pokazati da funkcijaϕ(x) = ln(1 + x) iman− tu (n ∈ N) derivaciju u svakojtacki skupaE = (−1,+∞).

Definicija 7.4.1. Diferencijal n–toga reda funkcijef , u oznacidnf , jeste prvi diferencijal( n− 1 )–og diferencijala funkcijef , odnosno

dnf(x) = d(

dn−1f(x))

.

Buduci da jedn−1f = f (n−1)(x)dxn−1, to je dnf(x) = f (n)(x)dxn. Ako podijelimo

poslednju jednakost sadxndef.= (dx)n, dobicemo da jef (n) = dnf

dxn , što predstavlja takodeoznaku zan−tu derivaciju funkcijef .

Principom potpune matematicke indukcije, dokazuje se Leibnizova formula zan− tuderivaciju proizvoda dvije funkcije

7.5. DERIVACIJA I IZRACUNAVANJE LIMESA FUNKCIJE 99

(u · v)(n) =u(n)v(0) +

(

n1

)

u(n−1)v′ +

(

n2

)

u(n−2)v′′ + · · ·+(

nn− 1

)

u′v(n−1) + v(n)u(0),

gdje jeu(0) = u(x); v(0) = v(x).

7.5 Derivacija i izracunavanje limesa funkcije

FunkcijaF (x) za neku tacku x = a (koja je tacka nagomilavanja skupaDF ), možepredstavljati izraz koji nije definiran, te se ne može odmah reci kolika bi bila vrijednostF (a), niti pak, koliko je lim

x→aF (x), ako uopšte taj limes postoji.

DakleF (a) prividno nema smisla, ali kadax→ a (x teži premaa) funkcijaF možeimati granicnu vrijednost pacak i beskonacnu. TadaA = lim

x→aF (x) ima smisla i funkcija

F se može dodefinirati u tacki x = a, naprimjer tako da jeF (a) = A. Naravno tackax =a kao iA, može pripadati i skupu{−∞,+∞}. Neodredeni oblici funkcija predstavljajuoblike neodredenosti koji secesto susrecu, pacemo ovdje, dakle za

(

0

0

)

,(∞∞)

, (0 · ∞) , (∞−∞) ,(

00)

,(

∞0)

, (1∞) (7.6)

pokazati kako se mogu pogodnim transformacijama svesti na oblike koji pri racunanjulimesa ne predstavljaju osobito tešku prepreku. Ako jelim

x→af(x) = lim

x→ag(x) = ∞, tada

transformacijom funkcijeF = fg

uF =1g1f

ocito neodredenost oblika(∞∞

)

može se svesti

na oblik(

00

)

.Isto tako, funkcijaF = f · g neodredenog oblika(0 · ∞) u tacki x = a, na ocigledan

nacin prelazi uF = f1g

, tj. u neodredenost oblika(

00

)

.

Transformacijomf − g =1g− 1

f1fg

funkcijaF = f − g, koja u tacki x = a ima oblik

(∞−∞), dobija neodredeni oblik(

00

)

.Ako funkciju F = f g logaritmiramo, dobijamo novu funkcijulnF = g ln(f). Desna

strana u poslednjoj jednakosti pokazuje da nova funkcija može imati samo oblik(0 · ∞),pri svim pretpostavkama kada funkcijaF = f g ima neki od poslednja tri oblika neodrede-nog izraza, pobrojanih u (7.6). Još više, elementarnom transformacijom izlnF = g ln(f)dolazimo do

F = eg ln(f) = e

ln(f)

1g .

Sada, ako je naprimjer,f(a) = 1 i limx→a

g(x) = ∞, ponovo se dobija oblik(

00

)

.


7.5.1 L’Hospitalova pravila

Teorema 7.5.1(Prvo L’Hospitalovo pravilo). Ako f, g neprekidne na nekom segmentu[a, b] i diferencijabilne na(a, b) sa istom domenom i neka jex0 ∈ (a, b).

Ako jef(x0) = g(x0) = 0 i postoji limx→x0

f ′(x)g′(x) , konacan ili beskonacan, tada postoji

i limx→x0

f(x)g(x) . Još više, tada vrijedi

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g′(x).

Primjer. Izracunati limx→0

cos x−1x2 .

Teorema 7.5.2.Neka su funkcije f i g diferencijabilne u[a,+∞) , a > 0 i pri tome jeg′(x) 6= 0 za x ∈ [a,+∞) i neka je lim

x→∞f(x) = lim

x→∞g(x) = 0. Tada, ako postoji

limx→∞

f ′(x)g′(x) , onda postoji i lim

x→∞f(x)g(x) i vrijedi

limx→∞

f ′(x)

g′(x)= lim

x→∞

f(x)

g(x). (7.7)

Teorema 7.5.3(Drugo L’Hospitaleovo pravilo). Neka su funkcije f i g diferencijabilne uintervalu(a, b), na kome jeg′ 6= 0 i neka je

limx→a+0

f(x) = limx→a+0

g(x) = ∞.

Tada, ako postoji limx→a+0

f ′(x)g′(x) , onda postoji i lim

x→a+0

f(x)g(x) . Još više, vrijedi

limx→a+0

f(x)

g(x)= lim

x→a+0

f ′(x)

g′(x).

Primjer. Naci limese:

limx→0

ex − 1

x, lim

x→+∞

ex + 2x

x2 − 3x+ 1, lim

x→0x lnx.

Primjer. IzracunatiL = limh→0

eh−h−1h2 .

Primjer. Limes limx→∞

x−sinxx+sinx

, primjenom L’Hospitalova pravila, se ne može odrediti.

7.6 Osnovni teoremi diferencijalnog racuna

Definicija 7.6.1. Kažemo da funkcijaf ima u tacki c ∈ Df lokalni maksimumf(c), akopostoji okolinaV (c) ⊆ Df tackec, sa svojstvom da je

f(x)− f(c) ≤ 0, (∀x ∈ V (c)) ; (7.8)

7.6. OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RACUNA 101

vidi sliku a. Funkcijaf ima u tacki d ∈ Df lokalni minimumf(d), ako postoji okolinaV (d) ⊆ Df tacked, tako da vrijedi

f(x)− f(d) ≥ 0, (∀x ∈ V (d)) ; (7.9)

vidi sliku b.Vrijednostif(c) i f(d) su lokalni ekstremumi funkcijef.

Slika a Slika b

Teorema 7.6.2.Neka je funkcijaf definirana naDf = (a, b) i ima derivaciju u okoliniV (x0) ⊆ (a, b) tackex0. Ako jef ′(x) > 0 za svakox ∈ V (x0), tada funkcijaf strogoraste na skupuV = V (x0).

Teorema 7.6.3.Neka je funkcijaf definirana naDf = (a, b) i ima derivaciju u okoliniV (x0) ⊆ (a, b) tackex0. Ako jef ′(x) < 0 za svakox ∈ V (x0), tada funkcijaf strogoopada na skupuV = V (x0).

Teorema 7.6.4(Fermat). Neka je funkcijaf definirana naDf = (a, b) i ima lokalniekstremumf(c) u tackic ∈ (a, b). Tada, ako funkcijaf ima derivaciju u tackic, onda jef ′(c) = 0.

Definicija 7.6.5. Tackua ∈ Df zovemo stacionarnom tackom funkcijef , ako jef ′(a) =0.

Primjer. Pokazati da funkcija može imati lokalni ekstremum, a da derivacija u tacki togaekstremuma ne mora ni postojati.

Posmatrajmo sljedecu funkciju kao primjer:f(x) = 3√x2,Df = [−1,+1].

Buduci da je funkcija parna, onda jeGf simetrican u odnosu nay− osu.


Prema tome za bilo kojeh ∈ V (0), vrijednost funkcije jef(0+h) = 3√h2 > 0 ; f(0) = 0.

Dakle,f(0 + h)− f(0) =

3√h2 > 0, (∀h ∈ V (0)) ,

pa funkcijaf ima lokalni minimum u nuli.Sa druge strane,

limR+h→0

f(0 + h)− f(0)

h= lim

R+h→0

3√h2

h= lim

R+h→0

13√h= +∞.

Medutim, pošto je

limR−h→0

f(0 + h)− f(0)

h= lim

R−h→0

3√h2

h= lim

R−h→0

13√h= −∞,

f ′(0) ne postoji, što je trebalo i pokazati.

Nalaženje ekstrema funkcije

Vidjeli smo da, diferencijabilna funkcija u nekoj tacki, negativne derivacije u okolini (kojaje dio domena funkcije) te tacke, je opadajuca na tome skupu. Analogno, funkcijacija jederivacija pozitivna je rastuca. Ovdjecemo pokazati da vrijedi i obrat.

Teorema 7.6.6.Ako je diferencijabilna funkcijaf(x) rastuca (opadajuca) na intervalu(a, b), tada jef ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0) zax ∈ (a, b).

Prije toga, razmotrimo ponovo funkcijuf(x) = 3√x2 iz primjera 12, na skupuD =

[−1, 1]. Pokazali smo da jef(0) lokalni minimum funkcije, ali da je u isto vrijemef ′(0)ne postoji. Osim toga, uocavamo da je

f ′(x) < 0, zax ∈ [−1, 0) i f ′(x) > 0, zax ∈ (0, 1], tj., prva derivacija mijenja znaku tacki a = 0 u kojoj funkcijaf ima lokalni ekstremum. Da to nije slucajno, pokazuje

Teorema 7.6.7(Prvo pravilo). Pretpostavimo da jeU(a) okolina tackea i f ∈ CU(a).Ako jef(x) diferencijabilna na skupuU(a)\ {a} , tada je u tackia lokalni ekstremumfunkcijef(x) ako funkcijaf ′(x) mijenja znak u tackia. Pri tome

(i) ako jef ′(x) < 0, x ∈ U ∩ (−∞, a) if ′(x) > 0, x ∈ U ∩ (a,∞) ,

7.6. OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RACUNA 103

tada je u tackia lokalni minimum;(ii) ako je f ′(x) > 0, x ∈ U ∩ (−∞, a) if ′(x) < 0, x ∈ U ∩ (a,∞) ,

u tackia je lokalni maksimum.

Primjer. Funkcijaϕ(t) = |2t− 1| ima derivaciju

ϕ′(t) =

{

2, za t > 12

−2, za t < 12

,

pa je jasno da u tacki t = 12 postoji lokalni minimum, koji iznosiϕ(12 ) = 0.

Teorema 7.6.8(Drugo pravilo). Neka jef ′′(x) definirana u stacionarnoj tackic funkcijef(x). Tada ako jef ′′(c) > 0 (f ′′(c) < 0), funkcijaf(x) u stacionarnoj tackic ima lokalniminimum (maksimum).

Primjer. Funkcijaf(x) = x lnx ima u tacki x = e−1 lokalni minimumf(1e) = −1

e.

Zaista, jednacinaf ′(x) = lnx+ 1 = 0, anulira se u tacki x = e−1. Dakle funkcijafima stacionarnu tacku e−1. Osim toga, druga derivacijaf ′′(x) = 1

x, u stacionarnoj tacki,

ima vrijednostf ′′(e−1) = e > 0.

Razmotricemo opšti slucaj, tj. slucaj kada u stacionarnoj tacki c, n prvih derivacijafunkcije f imaju svojstvo

f ′(c) = f ′′(c) = · · · = f (n−1)(c) = 0, f (n)(c) 6= 0. (7.10)

Ako je n = 2k − 1, tj. ako jen neparan broj, funkcija nema lokalnog ekstremuma ustacionarnoj tacki c.

Sa druge strane, ako jen = 2k, tj. n je parno i ako jef (n)(c) > 0 funkcija f imalokalni minimum uc. Jednako tako, ako jef (n)(c) < 0 funkcijaf ima lokalni maksimumu c.

7.6.1 Konveksnost i konkavnost

Definicija 7.6.9. Za funkcijuf : Df → R kažemo da je konveksna na(a, b) ⊆ Df akoza proizvoljno izabranex, y ∈ (a, b) iα, β ∈ R+, α+ β = 1, vrijedi

f (αx+ βy) ≤ αf(x) + βf(y). (7.11)

Funkcija je konkavna na(a, b) ⊆ Df ,tj. ima drugi tip konveksnosti, ako u (7.11) vrijediobrnuta nejednakost.

Teorema 7.6.10.Neka jef ∈ D(1)(a,b). Da bi f bila konveksna na(a, b) potrebno je i

dovoljno da funkcijaf ′ raste na(a, b) .

Neposredna posljedica prethodnog teorema je


Teorema 7.6.11.Neka funkcijaf : Df → R ima drugu derivaciju u svakoj tacki(a, b) ⊆Df . Da bif bila konveksna (konkavna) na(a, b), potrebno je i dovoljno da budef ′′(x) ≥0 (f ′′(x) ≤ 0), za svakox ∈ (a, b) .

Definicija 7.6.12. Neka je funkcijaf(x) definirana u nekoj okoliniU(x0) tacke x0 idiferencijabilna naU(x0)\ {x0}. Tacka P (x0, f(x0)) naziva se prevojna tacka kriveGf

ako funkcijaf(x) na skupovima(−∞, x0) ∩ U(x0)iU(x0) ∩ (x0,+∞) ima razlicit tipkonveksnosti

Potreban uslov da krivaGf funkcije y = f(x), f ′′ ∈ CU(x0) ima prevojnu tacku(x0, f(x0)) u x0, cija jeU(x0) dovoljno mala okolina, jeste anuliranje druge derivacije,tj. f ′′(x0) = 0.

Teorema 7.6.13.Neka jef ∈ D(1)U(x0)

i ima konacnu drugu derivaciju u svim tackama

okolineU(x0)tackex0, osim možda same tackex0. Ako funkcijaf ′′(x) mijenja znak priprolazu argumenta kroz tackux0, tada je(x0, f(x0)) prevojna tacka krivey = f(x).

Teorema 7.6.14.Neka jef ′′(x0) = 0, af ′′′(x0) 6= 0. Tada je(x0, f(x0)) prevojna tackakrive y = f(x).

Primjer. Funkcijaϕ(t) = t2 ln t,Dϕ = (0,∞) mijenja konveksnost naDϕ.

Buduci da jeϕ′(t) = 2t ln t+ t;ϕ′′(t) = 2 ln t+3, to jeϕ′′(t) = 0 zat = e−32 . Osim

toga,ϕ′′(t) > 0 za svakot ∈(

e−32 ,∞

)

, pa je na tome intervalu funkcijaϕ konveksna, a

zbogϕ′′(t) < 0 na

(

0, e−32

)

ona je konkavna na tome dijelu skupaDϕ. Prevoj funkcije

ϕ je, dakle, na osnovu teorema 22, tackaP

(

e−32 ,−3

2e−3

)

.

7.7. PRIMJENA IZVODA U EKONOMIJI 105

7.6.2 Ispitivanje funkcije i crtanje grafika

Ovdjecemo, na izvjestan nacin, sumirati glavne rezultate koje smo u ovoj glavi dokazali iiste iskoristiti u procesu ispitivanja elementarne funkcije f i skiciranja njenog grafikaGf

.U dosadašnjoj analizi funkcija, pokazala se veoma korisnomskica grafika funkcije,

zbog ociglednosti prilikom sagledavanja osobina te funkcije.U cilju odredivanja slike skupaGf ( koja može poslužiti u mnogim prilikama), ele-

mentarne funkcijey = f(x) koja je zadata analitickim izrazom, uobicajeno je koristisljedecu shemu:

I korak. Odrediti oblast definiranostiDf funkcije f .II korak. Ispitati specijalna svojstva funkcije (parnost,periodicnost i sl.).III korak. Ispitati kako se funkcija ponaša na rubovima domena; odrediti asimptote.IV korak. Odrediti nule (tacno ili približno) i znak funkcije.V korak. Odrediti prvu i drugu derivaciju funkcije.VI korak. Odrediti intervale monotonosti funkcije i njene ekstremne vrijednosti.VII korak. Odrediti tip konveksnosti funkcije i njene prevojne tacke.VIII korak. Ispitati i sve ostale specificnosti grafikaGf date funkcijef (položaj

grafika prema asimptotama, presjek sa njima ako postoji i sl.).

7.7 Primjena izvoda u ekonomiji

Sada nas interesuje da gore isneseno primjenimo na ekonomskim funkcijama, posebno usmislu posmatranja monotonosti i ekstrema funkcije.

Primjer. T (Q) = −Q2 + 5Q − 6. Za koje vrijednosti proizvodnje troškovi rastu, a zakoje opadaju?

Lokalni ektremi su tacke od posebne važnosti za odredjivanje neke funkcije. Trebarazlikovati lokalneekstreme odapsolutnihili globalnihektrema. Relativni minimum npr.se postiže u onoj tacki u kojoj dolazi do promjene znaka prvog izvoda iz negativnog upozitivni, dok se relativni maksimum postiže u onoj tacki u kojoj dolazi do promjeneznaka prvog izvoda iz pozitivnog u negativni.

Granicne funkcije u ekonomiji su funkcije koje dobijemo iz vec znanih pomocu iz-voda, tj. granicna funkcija je izvod pocetne funkcije. Dakle

• GT (Q) - funkcija granicnog troška :

GT (Q) = T ′(Q) =dT (Q)

dQ;

• GP (Q) - funkcija granicnog prihoda :

GP (Q) = P ′(Q) =dP (Q)

dQ;


• GD(Q) - funkcija granicne dobiti :

GD(Q) = D′(Q) =dT (Q)

dQ.

Sjetite se da je izvod u stvari granicna vrijednost - stopa promjene za veoma malu pro-

mjenu argumenta(D′(Q) = lim∆Q→0

∆D

∆Q).

Teorema 7.7.1.Prosjecni troškovi su jednaki granicnim troškovima ako su ti prosjecnitroškovi minimalni.

Dokaz Dakle posmatramoT (Q), gdje jeT ′(Q) = 0. Odnosno :

T (Q) =T (Q)

Q⇒ T ′(Q) =

(

T (Q)

Q

)′

=Q · T ′(Q)− T (Q

Q2= 0.

Odavdje slijedi

Q · T ′(Q)− T (Q) = 0 ⇒ QT ′(Q) = T (Q) ⇒ T ′(Q) =T (Q)

Q.

Ali po definiciji granicnog troška, imamo

GT (Q) =T (Q)

Q.

SaQ∗ oznacavamo vrijednost za koju jeT (Q∗) = Tmin. Dakle

T (Q∗) = 0 ⇒ GT (Q∗) = T (Q∗).

Primjer. Naci lokalne ekstreme funkcijeT (Q) = Q2 − 6Q + 16 koristeci se izvodima.Da li je ovo i globalni ekstrem?

Primjer. Poznata je funkcija ukupnih troškovaT (Q) = Q3 − 6Q2 + 16Q.

(a) Odrediti minimalni prosjecni trošak;

(b) Odrediti minimalni prosjecni trošak koristeci se gornjim teoremom.

Teorema 7.7.2.Dobit je maksimalna na nivou proizvedenih i prodatih proizvodaQ0 nakojem je granicni prihod jednak granicnom trošku.


1 2 3 4

6

8

10

12

14

16

Slika 7.3:Prosjecni trošaki granicni trošakjednaki zaQ∗ = 3

15 20 25 30

1000

2000

3000

Slika 7.4:Granicni trošak, granicni prihodjednaki zaQ∗ = 23, 5, dobit

DokazD(Q) = P (Q)− T (Q) ⇒ D′(Q) = P ′(Q)− T ′(Q) = 0

⇒ P ′(Q∗) = T ′(Q∗) ⇒ GP (Q∗) = GT (Q∗)

Primjer. Neka je data funkcija

T (Q) = Q3 + 40, 25Q2 + 191Q + 1200, P (Q) = 50Q− 2Q2.

(a) Odrediti funkcije ukupne dobiti i nacrtati grafove funkcije T, P,D.

(b) Odrediti za koje vrijednostiQ se ne ostvaruje gubitak.

(c) Verificirajte rezultat iz teorema.

7.7.1 Elasticnost

Elasticnost je sposobnost ekonomske velicine y da reaira manjim ili vecim intenzitetomna promjene u nekoj drugoj velicini x s kojom je ona u funkcionalnoj meduzavisnosti


y = y(x). Racuna se tako da se u omjer stave relativna promjena ekonomskeveliciney(tj. ∆y

yi relativna promjena ekonomske velicinex (tj. ∆x

x).

Tu mjeru oznacavamo sa

Ey,x =

∆yy

∆xx

, (7.12)

ali samo pod uvjetom da su promjene∆x i ∆y beskonacno male velicine, tj.

∆x→ 0,∆y → 0.

Pretpostavimo da jey neprekidna funkcija i kada∆x→ 0 :

lim∆x→0

∆y = lim∆x→0

[y(x+∆y)− y(x)] = lim∆x→0

y(x+∆y)− lim∆x→0

y(x) =

= y( lim∆x→0

(x+∆x))− y(x) = y(x)− y(x) = 0.

Stoga ako jey neprekidna tada imamo∆x → 0 ⇒ ∆y → 0. Buduci da su u formuli(7.12) velicine∆x i ∆y beskonacno male, imamo

Ey,x = lim∆x→0

∆yy

∆xx

= lim∆x→0

x

y· ∆y∆x

=x

ylim

∆x→0

∆y

∆x

odnosno

Ey,x =x

y· dydx

(7.13)

je mjera ili koeficijent elasticnosti funkcijey u tacki x (Marshallova formula). VAŽNO:Ovo je sve uz pretpostavku da jey neprekidna funkcija.

Interpretacija koeficijenta elasticnosti

Pretpostavimo da jex promjenjena za1%, tj.

∆x

x= 1% =

1

100.

Ey,x ≈∆yy

∆xx

=∆y

y· 100

dakleEy,x u tom slucaju predstavlja promjenu ekonomske velicine y u procentima kojanastaje promjenom neovisne velicinex za1%.

Ey,x > 0 ⇒ povecanje promjeney.Ey,x < 0 ⇒ smanjenje promjeney.Ako je |Ey,x| < 1, tada kažemo da je funkcijay neelasticna (to znaci da1% promjene

velicinex izaziva promjenu veliciney manju od1% i to smanjenjem ako je−1 < Ey,x <0, odnosno povecanjem ako je0 < Ey,x < 1).


Ako |Ey,x| > 1, tada kažemo da je funkcija elasticna (to znaci da 1% promjenexizaziva promjeney vecu od1%.

Ako jeEy,x = 0 tada je funkcija perfektno neelasticna.Ako |Ey,x| = ∞, tada je funkcija perfektno elasticna.Ako je |Ey,x| = 1, tada funkcijay ima jedinicnu elasticnost.

Definicija 7.7.3. Podrucje elasticnosti funkcijey je skup

PEL(y) = {x|x ∈ D(y) i |Ey,x| > 1}.

Definicija 7.7.4. Podrucje neelasticnosti funkcijey je skup

PNEEL(y) = {x|x ∈ D(y) i |Ey,x| < 1}.

Primjer. Odrediti koeficijent elasticnosti Paretove funkcije

y(x) =0.4567

x2,3.

Interpretacija: Vidimo da ovaj koeficijent uopce ne zavisi o velicini x, tj. on je−2, 3 nasvim nivoima. Ako sex poveca za1% to prouzrokuje smanjenjey za2.3%.

Generalno govoreci, ako jey(x) = Axα ,

Ey,x = −α.

Primjer. Odrediti koeficijent elasticnosti funkcije

y =2x

2x− 3

i interpretirati rezultat.

Primjer. Izracunati koeficijent elasticnosti funkcije

log y = −0, 23 + 0, 32 log x.

Generalno

Ey,x =x

y

dy

dx=

dyy

dxx

=d(ln y)

d(ln x)=d(log x)

d(log x).

Ey,x =d(ln y)

d(ln x)

ako je funkcija u logaritamskom obliku.

Primjer. Odrediti podrucje elasticnosti i podrucje neelasticnosti funkcije potražnjeQ(p) =−200p + 1000 kao funkcije cijenep.


Primjer. Funkcija izdataka za hranu ima oblik

y(x) =19x

x+ 96

gdje jex dohodak. Izracunati elasticnost izdatka za hranu prema promjeni dohotka do-macinstva i interpretirati rezultat.

Primjer. Zadana je cijenap kao funkcija proizvodnjeQ

p(Q) =1− 10Q

20Q.

Odrediti koeficijent elasticnosti potražnje u odnosu na razinup = 4 i interpretirati rezultat.

Poglavlje 8

Funkcije dvije i više promjenljivih

Zamislimo situaciju u kojoj dva proizvodaA i B i njihove potražnje zavise o cijenamapAi pB. QA je potražnja za proizvodomA, dok jeQB potražnja za proizvodomB.

Onda bi bilo realno ocekivati da su potražnje ovisne o obje cijene, tj.QA(pA, pB) iQB(pA, pB). Naprimjer

QA(pA, pB) = 100− 5pA + 2pB , QB(pA, pB) = 3pA − 1

2p2B

Neka su recimo ukupni troškovi tada

T (QA, QB) = 100 + 21QA + 3QB ,

a prosjecni troškovi proizvodnje proizvodaA i B zajedno su

T (QA, QB) =T (QA, QB)

QA +QB

Opcenito, ako imamon proizvoda sa cijenamap1, p2, . . . , pn ondace odgovarajuce funk-cije potražnje biti

Q1 = Q1(p1, p2, . . . pn)

Q2 = Q2(p1, p2, . . . pn)

...

Qn = Qn(p1, p2, . . . pn)

Ovdje suQi funkcije ili zavisno promjenljive, dok su cijene nezavisnopromjenljive. Op-cenito:

y = f(x1, x2, . . . , xn)

se naziva funkcija san promjenljivih x1, x2, . . . xn. Ovakava funkcija uziman brojeva ivrace jedan broj, tj.

f : Rn 7→ R.

111

112 POGLAVLJE 8. FUNKCIJE DVIJE I VIŠE PROMJENLJIVIH

Specijalno, ako jen = 2, imamo funkcije dvije promjenljive,f(x1, x2) ili f(x, y). Naprimjer

f(x1, x2) = x21 − 3x1x2 + 2x22 − 10,

f(x, y) = x2 − 3xy + 2y2 − 10,

Primjer. Neka je data funkcija proizvodnjeP u nekoj fabrici koja zavisi o uloženom raduL i kapacitetuC:

1. P (L,C) = α · La−1 · Ca - Doublasova funkcija

2. P (L,C) = L2 ln LC+ C2. Ako jeL = 10, aC = 5, tada je

P (10, 5) = 102 ln10

5+ 52 = 100 ln 2 + 25

8.1 Parcijalni izvodi funkcija više promjenljivih

Ako nam je data funkcija više promjenljivihf(x1, x2, . . . , xn), izvod ove funkcije po pro-mjenljivoj x1 dobivamo na uobicajen nacin, dok sve ostale promjenljivex2, x3, . . . držimofiksnim! Opcenito, izvod funkcije poxk nalazimo tako štox1, x2, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xndržimo fiksnim.

Posmatrajmo sada izvod po promjenljivojx1. Slicno kao kod standarnih izvoda, akopostoji limes

lim∆x1

∆f

∆x1=f(x1 +∆x1, x2, . . . , xn)− f(x1, x2, . . . , xn)

∆x1

onda se vrijednost tog limesa nazivaprvi parcijalni izvod funkcijef po promjenljivojx1.Pišemo

∂f

∂x1, f ′x1

, fx1 .

Prilikom izracunavanja ovog izvoda, sve ostale promjenljive su fiksne. Obratno, ∂f∂x2

seizracunava kada se smatra da sux1, x3, . . . , xn fiksne, itd.

Primjer. 1. f(x1, x2) = 3x21 − 2x1x22 + x22 − 10x1 + 5

2. f(x, y) = (2x− 3y)(6xy − 1)

3. f(x1, x2) = (x21 − 2x2) · e−x1x2 .

8.1.1 Parcijalni diferencijali

Ako je kod funkcija jedne promjenljive diferencijal bio definisan kaody = y′dx, zafunkciju n promjenljivih definišemon parcijalnih diferencijala:

d1f =∂f

∂x1dx1

8.1. PARCIJALNI IZVODI FUNKCIJA VIŠE PROMJENLJIVIH 113

d2f =∂f

∂x2dx2

dnf =∂f

∂xndxn

Imamo da jetotalni diferencijal

df = d1f + d2f + . . .+ dnf

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + . . . +

∂f

∂xndxn

Specijalno, zan = 2,

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2

8.1.2 Parcijalni izvodi drugog reda

Generalno govoreci, a kako smo vidjeli iz primjera,∂f∂x1

, ∂f∂, . . . , ∂f

∂xnsu takoder funkcije

više nezavisnih promjenljivihx1, x2, . . . xn. Od svake od njih možemo tražiti izvod pobilo kojoj promjenljivoj, te dobiti parcijalni izvod drugog reda!

∂f

∂x1=

∂

∂x1f(x1, x2, . . . , xn)

∂

∂x1

(

∂f

∂x1

)

=∂2f

∂x1∂x1=∂2f

∂x21.

Ukoliko tražimo drugi parcijalni izvod prvog izvoda, dobijemo mješoviti drugi parcijalniizvod

∂

∂x2

(

∂f

∂x1

)

=∂2f

∂x2∂x1.

∂

∂xn

(

∂f

∂x1

)

=∂2f

∂xn∂x1.

Na isti nacin dobijemo za parcijalni izvod pox2:

∂

∂x1

(

∂f

∂x2

)

=∂2f

∂x1∂x2.

Važnacinjenica : ovi mješoviti izvodi nisu obavezno isti!Ovaj proces onda možemo nastaviti unedogled kako bismo dobili treci, cetvrti, peti,

itd. mješoviti parcijalni izvod, npr. za funkciju dvije promjenljive

∂2f

∂x∂y,∂2f

∂y2,∂3f

∂y∂x2,

∂3f

∂x∂y∂x. . .

Primjenjujemo tacno isti pristup kao prije, dakle ako izvodimo pox1, onda ostale pro-mjenljive držimo fiksnim!


Primjer. Naci sve druge parcijalne izvode funkcije

f(x, y) = xe−xy.

Teorema 8.1.1(Schwartz). Ako suf(x, y) i parcijalni izvodi fx, fy, fxy, fyx definiranei neprekidne u tackin(x, y) i nekoj njenoj okolini, tada su mješoviti parcijalni izvodimedusobno jednaki, tj.

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x

Napomena, Iz prethodnog primjera se vidi da ovaj teorem vrijedi opcenito za bilokoje parcijalne izvode. Važno je koliko se puta derivira po odredenoj promjenljivoj a dapri tome uopce nije bitan poredak deriviranja.

Primjer. z(x, y) = x2 log[y − sin y + yey − ln(2y3 − 13)] + 31

8.2 Primjena diferencijalnog racuna više promjen-ljivih

Neka je sada dozvoljeno da i naše ekonomske funkcije imaju više promjenljivih, npr.

Q1(p1, p2, . . . , pn, k, t),

gdje supi cijene razlicitih proizvoda,k dohodak,t vrijeme. Onda možemo definisatikeoficijentparcijalne elasticnostifunkcijeQ1

EQ1,p1 =p1Q1

∂Q1

∂p1

No možemo posmatrati kako promjene cijena drugih proizvodauticu naQ1. To nazivamokoeficijent ukrštene elasticnosti

EQ1,pi =piQ1

∂Q1

∂pi, i = 2, 3, . . . , n.

S druge strane imamo ikoeficijent dohodovne elasticnosti

EQ1,k =k

Q1

∂Q1

∂k,

te koeficijent elasticnosti u odnosu na vrijeme

EQ1,t =t

Q1

∂Q1

∂t.

Primjer. Izracunati koeficijente parcijalne i ukrštene elasticnosti funkcije

QA(pA, pB) = 50− 3pA + 5pB

na nivou cijenepA = 10 i pB = 4. Interpretirati rezultat.

8.2. PRIMJENA DIFERENCIJALNOG RACUNA VIŠE PROMJENLJIVIH115

Primjer.Q2(p1, p2) = 100 + 2p1 − 4p2

je funkcija potražnje sa cijenamap1, p2

1. Za koje cijenep1 i p2 ova funkcija imaju ekonomskog smisla.

2. Skicirati graf u koordinatnoj ravnip1 i p2.

3. Izracunati stopu promjene prethodne funkcije u odnosu na cijenep1 = 5, p2 = 1.

Funkcija potražnje (ponude)

Qi(p1, p2, . . . , pn).

∂Qi

∂pkje stopa promjene funkcije potražnjeQi u odnosu na cijenupk, (i, k = 1, 2, . . . , n).Ako je ovaj parcijalni izvod veci od nule,Qi je rastuca funkcija u odnosu na cijenu

pk.Ako je ovaj parcijalni izvod manji od nule,Qi je opadajuca funkcija u odnosu na

cijenupk.

Funkcija ukupnih troškova

Ako pretpostavimo da imamo proizvodnju dva dobra sa potražnjamaQ1 i Q2, funkcijaukupnih troškova je

T (Q1, Q2) = V T (Q1, Q2) + FT.

Ocito, kao i prije,FT = T (0, 0). Sada je funkcija prosjecnih troškova medutim

T (Q1, Q2) =T (Q1, Q2)

Q1 +Q2.

∂T∂Qi

je marginalni (granicni) trošak u odnosu na potražnjuQi, i = 1, 2, . . . n.

Primjer. Ako je T (Q1, Q2) = 1 + 10(Q1 + Q2)−1, odrediti koji su fiksni troškovi te

naci funkcije granicnih troškova u odnosu naQ1, a onda u odnosu naQ2. Interpretiratirezultat.

Funkcija ukupnih prihoda i dobiti

Posmatrajmo proizvodnju dva dobracije su potražnjeQ1 i Q2, a cijenep1 i p2. Tada je

P (p1, p2) = Q1p1 +Q2p2 = Q1(p1, p2)p1 +Q2(p1, p2)p2

funkcija ukupnog prihoda kao funkcija cijena, dok je

P (Q1, Q2) = Q1p1(Q1, Q2) +Q2p2(Q1, Q2)


funkcija ukupnog prihoda kao funkcija potražnji.∂P∂Qi

je granicni prihod u odnosu napotražnjuQi, i = 1, 2, . . . , n.

D(Q1, Q2) = P (Q1, Q2)− T (Q1, Q2)

je onda funkcija dobiti, dok je

P (Q1, Q2) =P (Q1, Q2)

Q1 +Q2.

prosjecni prihod.

Primjer. Date su cijene dva dobrap1 i p2 kao funkcije proizvodnjeQ1 i Q2, kao i funkcijaukupnih troškovaT (Q1, Q2)

p1 = 10−Q1, p2 = 20 −Q2, T (Q1, Q2) = 4Q21 +Q2

2 + 10.

Izvesti funkciju dobiti u ovisnosti oQ1, Q2.

8.2.1 Homogene funkcije

Definicija 8.2.1. Za funkciju f = f(x1, x2, . . . , xn) kažemo da je homogena stepenahomogenostiα ako vrijedi

f(λx1, λx2, . . . , λxn) = λαf(x1, x2, . . . , xn).

Primjer.

f(x1, x2, x3) = x21 + 2x22 + 3x1x3.

Primjer. ProizvodnjaP zavisi o uloženom raduL i uloženom kapitaluC:

P (L,C) = L2 lnC

L+ C2.

Ako se oba proizvoda faktora(L,C) istovremeno povecaju za10%, za koliko procenatase promjeni proizvodnja.

Opcenito, za proizvoljnu funkcijuf(x1, x2, . . . , xn) koja je homogena stepena homo-genostiα

∆f

f= (λα − 1) · 100%,

tj. procenat promjene funkcijef kada se svaka promjenljiva uveca zaλ = 1 + p100 . p je

procenat promjene svake promjenljive.

8.3. EKSTREMI FUNKCIJA VIŠE PROMJENLJIVIH 117

Eulerov teorem

Teorema 8.2.2.Neka je funkcijaf homogena funkcija stepena homogenostiα. Tadavrijedi

x1∂f

∂x1+ x2

∂f

∂x2+ . . .+ xn

∂f

∂xn= α · f

Ako cijelu jednakost podijelimo saf , dobijemo ekvivalent:

Teorema 8.2.3.Neka je funkcijaf homogena funkcija stepena homogenostiα. Tada jezbir svih koeficijenata elasticnosti te funkcije jednak stepenu homogenosti funkcijeα ivrijedi

x1f

∂f

∂x1+x2f

∂f

∂x2+ . . .+

xnf

∂f

∂xn= α

Primjer. EP,L+EP,C = 2, gdje jeP (L,C) = L2 ln CL+C2, tj. P je homogena funkcija

stepena homogenostiα = 2.

8.3 Ekstremi funkcija više promjenljivih

Na slican nacin kao što je to bio slucaj kod funkcija jedne promjenljive, sada posmatramolokalneekstreme funkcija više promjenljivih.

Definicija 8.3.1. Za funkciju f = f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) kažemo da ima lokalniminimum u tacki A(a1, a2, . . . , an) ako je ona definisana u nekoj okoliniUA tackeA iako vrijedi da jef(X) > f(A) za svakox ∈ UA.

Definicija 8.3.2. Za funkciju f = f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) kažemo da ima lokalnimaksimum u tacki A(a1, a2, . . . , an) ako je ona definisana u nekoj okoliniUA tackeA iako vrijedi da jef(X) < f(A) za svakox ∈ UA.

Stacionarna tacka je tacka u kojoj su svi parcijalni izvodi funkcije jednaki nuli, tj.

∂f

∂x1=

∂f

∂x2= . . . =

∂f

∂xn= 0.

Primjedba 8.3.3. Stacionarna tacka ne mora biti tacka lokalnog ekstrema.Da li je stacionarna tacka uopce tacka lokalnog ekstrema i ako jeste, da li je maksi-

mum ili minimum, ispituje se po tzv.Silvestrovom kriteriju.

Definicija 8.3.4 (Hessian). Neka jef = f(x1, x2, . . . , xn). Za ovu funkciju definiramoHesseovu matricu iliHessianfunkcije:

H =

f11 f12 . . . f1nf21 f22 . . . f2n...

......

fn1 fn2 . . . fnn

,

gdje su

fij =∂2f

∂xi∂xj, i, j ∈ {1, 2, . . . , n}.


8.3.1 Silvesterov kriterij

1. Ako za Hessian racunat u stacionarnoj tacki funkcijef = f(x1, x2, . . . , xn) vrijedi

D1 = f11 > 0, D2 =

∣

∣

∣

∣

f11 f12f21 f22

∣

∣

∣

∣

> 0, D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

> 0, . . . ,

Dn = |H| > 0 tada je stacionarna tacka tacka lokalnog minimuma.

2. Ako za Hessian racunat u stacionarnoj tacki vrijedi

D1 = f11 < 0, D2 =

∣

∣

∣

∣

f11 f12f21 f22

∣

∣

∣

∣

> 0, D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< 0, . . . ,

tj. Hessian naizmjenicno mijenja znak glavnih minora Hessiana, tada je stacionarnatacka tacka lokalnog maksimuma.

Primjer. Naci lokalne ekstreme funkcijef(x, y) = x2 + y2 − 16.

Primjer. Naci optimalnu kombinaciju proizvodnje u cilju maksimiziranja dobiti iz pri-mjera funkcija prihoda i dobiti:

D(Q1, Q2) = −5Q21 − 2Q2

2 + 10Q1 + 20Q2 − 10

8.3.2 Optimum - vezani (uvjetni) ekstrem

Imamo funkciju ciljaf(x, y) i tražimo ili maksimum ili minimum te funkcije nezavisnihpromjenljivihx, y pod uslovomg(x, y) = 0.Metod supstitucije. Ovaj metod primjenjujemo kada iz uslovag(x, y) = 0 možemojednu od promjenljivih izraziti pomocu one druge, npr.y = ϕ(x), a zatim to zamjenimo(supstituišemo) u jednacinu funkcijef(x, y).

Na taj nacin funkcija postaje funkcija jedne promjenljive za koju znamo kako se odre-duje minimum i maksimum -f(x, y) = f(x, ϕ(x)) = F (x).

Primjer. Zadana je funkcija korisnosti za potrošaca u(Q1, Q2) = Q1Q2, gdje jeQ1

kolicina proizvodaA aQ2 kolicina proizvodaB. Jedinicna cijena proizvodaA je 1KM acijena proizvodaB je 4KM . Ukoliko potršac ima na raspolaganju1200KM koje želi upotpunosti potrošiti, pronadite kolicine proizvodaA i B uz koje se ostvaruje maksimalnakorisnost. Kolika je maksimalna korisnost?

Metod Lagrangeovih multiplikatora Ovaj se metod koristi u slucaju kad iz dodatnoguvjeta ne možemo izraziti jednu nepoznanicu preko druge, ako je u pitanju funkcija ciljasa dvije promjenljive.

8.3. EKSTREMI FUNKCIJA VIŠE PROMJENLJIVIH 119

Dakle ako je funkcija ciljaf(x, y) a dodatni uvjetg(x, y) = 0, umjesto funkcijef(x, y) uvodimo novu funkciju

F (x, y, λ) = f(x, y)− λg(x, y)

i sada se problem svodi na odredivanje ekstrema funckijeF (x, y, λ). Stacionarne tackeodredujemo iz

Fx = fx − λgx = 0

Fy = fy − λgy = 0

Fλ = −g(x, y) = 0.

Dalji postupak je isti kao u slucaju ekstrema sa više promjenljivih kada koristimo Silves-terov kriterij.

Primjer. Maksimizirati funkcijuf(x, y) = x+ y na jedinicnoj kružnici.

Primjer. Riješiti problem

f(x, y) = x2 + y2 −→ ext

x+ y = 1 .

Kao što smo rekli, formiramo prvo lagranžijan

Λ(x, y, λ) = f(x, y)− λg(x, y) = x2 + y2 − λ(x+ y − 1) ,

gdje je sag(x, y) = x+ y − 1 zadata uslovna funkcija.U drugom koraku racunamo gradijent lagranžijana

∇Λ(x, y, λ) =

(

∂Λ

∂x,∂Λ

∂y,∂Λ

∂λ

)

= (2x− λ, 2y − λ, x+ y − 1) .

Sada rješavamo sistem

2x− λ = 0

2y − λ = 0

x+ y − 1 = 0 .

Iz prve dvije jednacine sistema imamo2x = 2y, tj. x = y, pa uvrštavajuci to u trecujednacinu, dobijamox = y = 1

2 i za ove vrijednosti jeλ = 1. Dakle, imamo jednu staci-oarnu tackuX0

(

12 ,

12 , 1)

. Posljedni korak je utvrdjivanje karaktera tackeX0. Racunajucidruge parcijalne izvode, imamo

d2f(X0) = 2dx2 + 2dy2 ,

i vidimo da jed2f(X0) > 0 (kao suma kvadrata), te dakle imamo minimum funkcijef ,pri uslovug, u tacki

(

12 ,

12

)

, i on iznosifmin = 12 .

Poglavlje 9

Integralni ra cun

9.1 Neodredeni integral

9.1.1 Površinski problem

Iako vecina razmišlja o integralu iskljucivo kao o obratu izvoda, osnove integralnog ra-cuna sežu mnogo dalje u prošlost od modernih vremena. Jedan od velikih problema višematematike je:

Definicija 9.1.1. Ako je data realna funkcijaf koja je neprekidna i nenegativna na in-tervalu[a, b], nadjite površinu koja se nalazi izmedu grafa funkcijef i intervala [a, b] nax-osi.

Slika 9.1: Površinski problem

Površinske formule za osnovne geometrijske figure, kao što su pravougaonici, po-ligoni i krugovi idu nazad do najranijih matematickih zapisa. Prvi pravi napredak odnajprimitivnih pokušaja je napravio starogrcki matematicarArhimed(‘Aρχιµηδης), koji

121

122 POGLAVLJE 9. INTEGRALNI RACUN

je razvio genijalnu, ali napornu tehniku, koja se zovetehnika iscrpljenja, kako bi našaopovršine regija koje su ogranicene parabolama, spiralama i raznim drugim krivim.

Do 17-og stoljeca mnogi su matematicari otkrili nacine kako izracunati ove površinekoristeci limese. Medutim, svim ovim metodama je nedostajala generalnost. Veliki na-predak su napravili nezavisno jedan od drugoga Newton i Leibnitz, koji su otkrili da sepovršine mogu dobiti obrcuci proces diferencijacije. Newtonov radDe Analysi per Aequ-ationes Numero Terminorum Infinitasizdat 1711 se smatra pocetkom više matematike.

Slika 9.2: Sir Isaac Newton

Slika 9.3: Gottfried Wilhelm Leibniz

Primjer. Posmatrajmo funkcijuy = cos2 x. Onda znamo da je izvod ove funkcijey′ =−2 cos x sinx = − sin 2x. No šta ako moramo raditi unatrag, odnosno da nam je datafunkcija y′ = − sin 2x i iz nje trebamo pronaci originalnu funkciju?

Ocito, u ovom slucaju jey = cos2 x, ali smo to vec unaprijed znali. U opcem slucaju,to nije tako jednostavno i zahtjeva poseban pristup.

9.1. NEODREÐENI INTEGRAL 123

Slika 9.4: De Analysi per Aequationes ...

Definicija 9.1.2. FunkcijuF definisanu na intervaluI, nazivamoprimitivom ili primitiv-nom funkcijomili prim funkcijomili anti-izvodomili integralomfunkcije f(x), ako je natom intervaluf(x) izvod funkcijeF (x), tj. ako vrijedi relacija

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I. (9.1)

Definicija 9.1.2 se može formulisati tako da umjesto termina“izvod” koristimo termin“diferencijal” i tada vrijedi

d F (x) = F ′(x)dx = f(x)dx, ∀x ∈ I. (9.2)

Primjer. Funkcija 13x

3 je primitiv funkcije f(x) = x2 na intervalu(−∞,∞), zato što jeza svakox ∈ (−∞,∞)

F ′(x) =d

dx

[

1

3x3]

= x2 = f(x).

Primjetite da ovo nije jedini primitiv funkcijef na ovom intervalu. Ako dodamo bilokoju konstantuC na 1

3x3, onda je funkcijaF (x) = 1

3x3 + C takoder primitiv funkcije

f(x) = x2, jer je∀x ∈ (−∞,∞)

F ′(x) = (1

3x3 + C)′ =

1

3(x3)′ + C ′ = x2.

Teorema 9.1.3.Neka jeF (x), na intervaluI, primitiv funkcijef(x). Tada je i funkcijaF (x) + C, gdje jeC proizvoljna konstanta, takoder primitiv funkcijef(x).

Teorema 9.1.4.Neka suF (x) i Φ(x) razliciti primitivi funkcijef(x) na intervaluI. Tadaje

Φ(x) = F (x) + C, C ∈ R. (9.3)


Dokaz Na osnovu pretpostavke teoreme je

F ′(x) = f(x), Φ′(x) = f(x),

odakle slijedi da jeΦ′(x)− F ′(x) = [Φ(x)− F [x]]′ = 0,

odnosno, vrijediΦ(x)− F (x) = C ⇒ Φ(x) = F (x) + C.

Proces nalaženja primitiva nazivamoanti-izvodenjemili, poznatije, integracijom. Funk-ciju F (x) + C nazivamoneodredeni integral funkcijef(x) i oznacavamo je sa

∫

f(x)dx = F (x) + C,

gdje jeC proizvoljna konstanta.ProduženoS koje se pojavljuje s lijeve strane definicije neodredenog integrala se zove

znak integracije, što je notacija koju je izumio Leibnitz 1675 godine. Funkcija f(x) sezoveintegrandili podintegralni izraz.C se nazivakonstanta integracije.

Pridjev “neodreden” se odnosi nacinjenicu da integracija ne daje jednu, odredenufunkciju, vec citav snop funkcija (zbog konstante integracije).

Primjer. Provjeriti da je∫

lnxxdx = ln2 x

2 + C. Kako je

d

dx

(

ln2 x

2+ C

)

= 2ln x

2· 1x=

lnx

x,

to je prema definiciji neodredenog integrala funkcijaln2 x2 +C neodredeni integral funkcije

lnxx

.

9.1.2 Neke osobine neodredenog integrala

Iz definicije neodredenog integrala direktno slijedi

[∫

f(x)dx

]′

= [F (x) + C]′ = F ′(x) = f(x), (9.4)

d

∫

f(x)dx = d[F (x) + C] = F ′(x)dx = f(x)dx, (9.5)∫

dF (x) =

∫

F ′(x)dx =

∫

f(x)dx = F (x) + C, (9.6)∫

F ′(x)dx =

∫

f(x)dx = F (x) + C. (9.7)


Pravilo 1 Neka jea ∈ R konstanta. Tada vrijedi∫

af(x)dx = a

∫

f(x)dx (9.8)

Pravilo 2 Ako postoje∫

fi(x)dx, i = 1, 2, . . . , n, tada vrijedi

∫

(f1+f2+ . . .+fn)(x)dx =

∫

f1(x)dx+

∫

f2(x)dx+ . . .

∫

fn(x)dx. (9.9)

Pravilo 3 Neka je∫

f(t)dt = F (t) +C. Tada je

∫

f(ax+ b)dx =1

aF (ax+ b) + C. (9.10)

Dokaz. Kako jedF (t)

dt= F ′(t) = f(t),

d

dtF (ax+ b) = a · F ′(ax+ b) = a · f(ax+ b),

imamo da je

d

dt

[

1

aF (ax+ b)

]

=1

aa · F ′(ax+ b) = F ′(ax+ b) = f(ax+ b).

9.1.3 Tablica osnovnih integrala

Integracija je u osnovi pogadanje - nointeligentnopogadanje! Mi u osnovi pokušavamoda pogodimo šta je funkcija iz njenog izvoda. Veliki broj integrala možemo riješiti koris-teci se nekim, osnovnim integralima standardnih funkcija. Ovdje cemo navesti neke odnjih.

1.∫

0 · dx = C;

∫

dx = x+ C,

2.∫

xadx =1

a+ 1xa+1 + C, a 6= 0,−1, a ∈ R,

3.∫

1

xdx = ln |x|+ C,

4.∫

1

1 + x2dx = arc tg x+C;

∫ −1

1 + x2dx = arc ctg x+ C,


5.∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C;

∫ −1√1− x2

dx = arccos x+ C,

6.∫

axdx =ax

ln a+ C,

∫

exdx = ex + C,

7.∫

sinxdx = − cos x+ C;

∫

cos xdx = sinx+ C,

8.∫

1

cos2 xdx = tg x+ C;

∫

1

sin2 xdx = − ctg x+ C,

9.∫

1√x2 ± a2

dx = ln∣

∣

∣x+

√

x2 ± a2∣

∣

∣+ C.

Primjer.∫

cos x

sin2 xdx =

∫

1

sinx

cos x

sinxdx =

∫

csc x ctg xdx = − csc x+ C

Primjer.∫

t2 − 2t4

t4dt =

∫ (

1

t2− 2

)

=

∫

t−2dt+

∫

(−2)dt

=t−1

−1− 2t+ C = −1

t− 2t+ C.

Vjezba. Izracunati slijedece neodredene integrale:

1.∫

(x3 + 2x− 5)dx.

2.∫ √

xdx.

3.∫

sin(3x)dx.

4.∫

1

x+ 3dx.

5.∫

2x+ 5

x2 + 5x+ 1dx.


6.∫

tg2 xdx.

7.∫

x · ex2+1dx.

8.∫

dx

x lnx.

9.∫

2dx

sin 2x.

9.1.4 Integracija metodom smjene

U dosadašnjim primjerima smo se samo koristili osnovnim pravilima i tablicama integrala.Takvi slucajevi su rijetki i u nekim slucajevima uvodenjem smjene nezavisne promjenljivepodintegralne funkcije možemo svesti integral na tablicni slucaj. Neka trebamo izracunati

∫

f(x)dx. (9.11)

Umjesto nezavisne promjenljivex uvedimo novu promjenljivut, i neka je

x = g(t), dx = g′(t)dt. (9.12)

Tada integral (9.11) glasi∫

f [g(t)]g′(t)dt. (9.13)

Teorema 9.1.5.Neka suJ1 i J2 otvoreni integrali u skupuR. Neka jef : J2 7→ R, ∀x ∈J2, neprekidna funkcija naJ2 i neka funkcijag : J1 7→ J2 ima neprekidne izvode naJ1.Tada za svakot ∈ J1 i svakox = g(t) ∈ J2 vrijedi

∫

f(x)dx =

∫

f [g(t)]g′(t)dt. (9.14)

Tacnost tvrdnje prati na osnovu definicije izvoda posredne funkcije i definicije neo-dredenog integrala.

Primjer.∫

sin3 x cos xdx.

Uvodimo smjenusinx = t, cos xdx = dt. Tada posmatrani integral glasi∫

sin3 x cos xdx =

∫

t3dt =1

4t4 +C =

1

4sin4 x+ C.


Vjezba. Izracunati slijedece neodredene integrale:

1.∫

xex2dx.

2.∫

dx

1 + 4xdx.

3.∫

dx√1 + x

dx.

4.∫

cos x

1 + sin2 xdx.

5.∫

sin3 xdx.

9.1.5 Metoda parcijalne integracije

Neka suu = f(x) i v = g(x) funkcije promjenljivex i neka imaju izvodeu′ = f ′(x) iv′ = g′(x). Tada je po pravilu diferenciranja proizvoda

d(u · v) = u dv + v du,

odakle slijedi

u dv = d(u · v)− v du

odnosno

v du = d(u · v)− u dv.

Iz prethodnih jednakosti integracijom dobivamo

∫

u dv = u v −∫

v du (9.15)

odnosno

∫

v du = u v −∫

u dv. (9.16)

Gornje relacije daju pravila parcijalne integracije.


Primjer. Neka treba naci∫

xe2xdx. Uzmimo da je

u = x, du = dx, dv = e2x ⇒ v =

∫

e2xdx =1

2e2x.

Tada je prema relaciji (9.15)∫

xe2xdx =x

2e2x − 1

2

∫

e2xdx =x

2e2x − 1

4e2x + C.

Primjer.∫

x2 lnx =

∣

∣

∣

∣

u = lnx⇒ du = dxx

dv = x2dx⇒ v = 13x

3

∣

∣

∣

∣

=x3 lnx

3− 1

3

∫

x3 · dxx

=x3 lnx

3− 1

3

∫

x2 · dx

=x3 lnx

3− x9

9+ C.

Primjer. Izracunati∫

eax cos(bx)dx.

Oznacimo dati integral saJ i neka je

u = eax, dv = cos(bx)dx.

Tada je

J =

∫

eax cos(bx)dx =

∣

∣

∣

∣

u = eax ⇒ du = aeaxdxdv = cos(bx)dx⇒ v = 1

bsin(bx)

∣

∣

∣

∣

=1

beax sin(bx)− a

b

∫

eax sin(bx)dx.

Ako se za izracunavanje∫

eax sin(bx)dx uzme

u = eax (du = aeaxdx), dv = sin(bx)dx

(

v = −1

bcos(bx)

)

,

tada slijedi

J =1

beax sin(bx)− a

b

[

−1

beax cos(bx) +

a

b

∫

eax cos(bx)dx

]

,

J =1

beax sin(bx) +

a

b2eax cos(bx)− a2

b2J.

Rješavanjem prethodne jednacine poJ dobijamo

J =b sin(bx) + a cos(bx)

a2 + b2· eax,

ili∫

eax cos(bx)dx =b sin(bx) + a cos(bx)

a2 + b2· eax + C.


9.1.6 Integracija racionalnih funkcija

Racionalna funkcija je funkcija oblika:

R(x) =Pn(x)

Qn(x)=

anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x+ a0bmxm + bm−1xm−1 + . . .+ b1x+ b0

Ako je

1. n ≥ m tada je funkcijaR(x) neprava racionalna funkcija;

2. n < m tada je funkcijaR(x) prava racionalna funkcija.

U prvom slucaju, prvo polinomePn(x) i Qm(x) podijelimo, tj.

R(x) =Pn(x)

Qn(x)= Λn−m(x) +

R1(x)

Qm(x).

Drugi dio desne strane ove jednakosti je onda prava racionalna funkcija.

Primjer.2x3 − x2 + x+ 5

x2 − 4x+ 1= 2x+ 7 +

27x− 2

x2 − 4x+ 1.

Izracunavanje integrala racionalne funkcije svodi se na izracunavanje prave racionalnefunkcije. No, prije toga moramo pravu racionalnu funkciju razložiti na prostije racionalnefunkcije, tzv. parcijalne razlomke, a zatim racunati integrale za svaki od tih parcijalnihrazlomaka.

Prostim racionalnim funkcijama zovemo racionalne funkcije oblika

A

(x− α)k(k ∈ N ) (9.17)

gdje suA ia realni brojevi, odnosno

Mx+N

(x2 + px+ q)k(

k ∈ N ; p2 − 4 q < 0)

, (2.26∗)

gdje suM , N, p i q realni brojevi. Svaku pravu racionalnu funkciju možemo predstaviti uobliku (prema fundamentalnoj teoremi algebre):

Pn(x)

Qm(x)=

Pn(x)

(x− a1)k1 · · · (x− aM )kM (x2 + p1x+ q1)l1 · · · (x2 + pNx+ qN )lN,

gdje suki, li ∈ N,M + N = m. Pri tome jep2 − 4q < 0, tj. x2 + px + q se ne možedalje rastaviti na proste realne faktore (nema nula uR).

Posmatrajmo konkretan slucaj. Racionalnu funkciju možemo izraziti kao:

Pn(x)

(x− a)k(x2 + px+ q)m=

A1

x− a+

A2

(x− a)2+ . . .+

Ak

(x− a)k+

+M1x+N1

x2 + px+ q+

M2x+N2

(x2 + px+ q)2+ . . . +

Mmx+Nm

(x2 + px+ q)m.

9.2. ODREÐENI INTEGRAL 131

A1, A2, . . . , An,M1,M2, . . . ,Ml, N1, N2, . . . , Nl su nepoznati koeficijenti koje treba odre-diti. Onda integral

∫

Pn(x)

Qn(x)

se u stvari pretvara uk +m integrala koje vec možemo riješiti standardnim putem!

Primjer.∫

3x2 − x+ 2

(x− 1)2(x2 + 1)

= 2

∫

1

(x− 1)2dx+

1

2

∫

1

x− 1dx+

1

2

∫

1− x

1 + x2dx

= − 2

x− 1+

1

2ln(x− 1) +

1

2arctan x− 1

4ln(x2 + 1) + C.

Napomena: U opštem slucaju, integral oblika∫

Mx+N

x2 + px+ qdx =

∫

Mx+N

(x+ p/2)2 + a2

rješavamo pomocu smjenex+ p2 = at.

9.2 Odredeni integral

Neka je funkcija nam je data funkcijaf(x) i neka procesom izracunavanja neodredenogintegrala možemo naci njen primitiv F (x). U ovoj sekciji cemo se baviti pojmom tzv.odredenog integrala, ali ne teoretskim, vec samo primjenjenim putem. Dakle, necemoformalno definisati odredeni integral, vec samo pomocu njegove veze sa neodredenimintegralom.

Odredeni integralfunkcije f integrabilne na segmentu[a, b] oznacavamo sa

∫ b

a

f(x)dx

Ispostavlja se da je∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)!

Ova formula se po dogovoru zapisuje kao

∫ b

a

f(x)dx = F (x)|ba.

Ova formula se naziva Newton-Leibnitzova formula! Vidimo da nam odredeni integralvraca konkretnu vrijednost, pa stoga i njegovo ime! Osobinu da postoji odredeni integralfunkije na segmentu[a, b] cemo oznacavati saf ∈ I[a, b].


9.2.1 Osobine odredenog integrala

Neka jef ∈ I[a,b]. Tada je, po definiciji

a∫

b

f(x)dx = −b∫

a

f(x)dxiλ∫

λ

f(x)dx =0, λ ∈ [a, b].

Lema 9.2.1. Ako jef ∈ I[a,b] i a ≤ α < β ≤ b, tada jef integrabilna na segmentu[α, β] .

Lema 9.2.2. Neka jea < c < b i neka je funkcijaf integrabilna na[a, b]. Tada vrijedi

b∫

a

f(x)dx =

c∫

a

f(x)dx+

b∫

c

f(x)dx. (9.18)

Teorema 9.2.3.Nekaf, g ∈ I[a,b]. Tada su funkcijef + g, f − g, λ · g integrabilne nasegmentu[a, b], gdje jeλ ∈ R ; pri tome vrijedi

(a)b∫

a

(f(x)± g(x))dx =b∫

a

f(x)dx±b∫

a

g(x)dx,

(b)b∫

a

(λf(x)) dx = λb∫

a

f(x)dx.

Teorema 9.2.4.Neka suf, g ∈ I[a,b] takve da jef(x) ≤ g(x) za svakox ∈ [a, b] , tadavrijedi

b∫

a

f(x)dx ≤b∫

a

g(x)dx. (9.19)

Teorema 9.2.5.Ako jef integrabilna funkcija na segmentu[a, b], tada su integrabilne ifunkcijef+ i |f | ; osim toga, vrijedi nejednakost

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b∫

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤b∫

a

|f(x)| dx. (9.20)

Teorema 9.2.6.Ako jef ∈ C[a,b], tada jef ∈ I[a,b].

Primjer. Izracunati integral

√3∫

−1

dx1+x2 .

⊲

√3

∫

−1

dx1+x2 = arctgx

∣

∣

∣−1

√3 = arctg(

√3)− arctg(−1) = π

3 − (−π4 ) =

7π12 .⊳

Glavni metodi izracunavanja neodredenog integrala, metod smjene promjenljive i me-tod parcijalne integracije, mogu se primijeniti i kod izracunavanja odredenog integrala.

9.2. ODREÐENI INTEGRAL 133

Teorema 9.2.7.Neka su funkcijeu(x) i v(x) glatke na segmentu[a, b]. Tada vrijedijednakost

b∫

a

u(x)dv(x) = u(x)v(x)∣

∣

∣

ba −

b∫

a

v(x)du(x). (9.21)

Primjer. Izracunati odredeni integral∫ e

1x2 lnxdx.

Teorema 9.2.8.Neka jef : [A,B] → R neprekidna, a funkcija

φ : [α0, β0] → [A,B]

ima neprekidnu derivacijuφ′(t). Ako je

α, β ∈ [α0, β0] , a = φ(α), b = φ(β),

tada vrijedi jednakostb∫

a

f(x)dx =

β∫

α

f (φ(t))φ′(t)dt. (9.22)

Primjer. Izracunati∫ 1

0

√

1− x2dx.(

=π

4

)

9.2.2 Primjene odredenog integrala

Teorema 9.2.9.Neka je zay = f(x), x ∈ [a, b] prva derivacijaf ′(x) neprekidna funkcijana [a, b] i Γ = (x, f(x)) , x ∈ [a, b]. Tada se otvorena krivay = f(x), x ∈ [a, b] možerektificirati i dužina kriveΓ, L(f ; a, b), izražava se formulom

L(f ; a, b) =

b∫

a

√

1 + (f ′(x))2dx. (9.23)

Teorema 9.2.10.Neka suϕ(t)iψ(t), α ≤ t ≤ β, funkcije cije su prve derivacije ne-prekidne funkcije na[α, β]. Tada se krivaΓ, odredena jednacinamax = ϕ(t), y =ψ(t), α ≤ t ≤ β može rektificirati. Još više, ako jeϕ(α) = ai ϕ(β) = b, tj. ϕ ([α, β]) =[a, b] ⊂ R+ ∪ {0}, njena dužinas(Γ) iznosi

s(Γ) =

β∫

α

√

ϕ′2(t) + ψ′2(t)dt.


Primjer. Naci obim jedinicnog kruga centriranog u nuli.

Sada se konacno možemo vratiti i našem antickom problemu površine ispod krive!Naime površina ispod neke nenegativne krive (do x-ose) na intervalu [a, b] je jednakaodredenom integralu :

P =

∫ b

a

f(x)dx!

Ukoliko se kriva nalazi ispodx ose, onda je površina iznad te krive na intervalu[a, b]jednaka

P = −∫ b

a

f(x)dx.

Primjer. Izracunati površinu lika omedenog krivimy = −x2 + 4x+ 5 i y = x− 5.

9.3. NESVOJSTVENI INTEGRAL 135

9.3 Nesvojstveni integral

Nesvojstveni (ili nepravi) integral je granicna vrijednost odredenog integrala, kada sejedna granicna tacka (ili obje granicne tacke) intervala integracije približava/ju bilo ne-kom odredenom realnom broju ili+∞ ili −∞. Prvi slucaj je kada je desni kraj intervalaintegracije jednak+∞ (slicno i kada je lijevi kraj intervala jednak−∞:

∫ +∞

a

f(x)dx = limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx = limb→+∞

[F (b)− F (a)]

∫ a

−∞f(x)dx = lim

b→−∞

∫ a

b

f(x)dx = limb→−∞

[F (a)− F (b)]

Druga mogucnost je kada funkcija ima prekid u tacki x = c. Tada posmatramo∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx.

No kako posmatrati te individualne integrale? U slucaju prvog integrala:∫ b

c

= limε→0

∫ b

c+ε

f(x)dx,

a u slucaju drugog∫ c

a

= limε→0

∫ c−ε

a

f(x)dx

Primjer.∫ 1

−1

dx

x2


9.4 Primjena integrala u ekonomiji

Sjetimo se granicnih funkcija (prihoda, troškova, dobiti, itd). One su biledefinisane kaoizvodi originalnih funkcija. Koristeci se integralima, možemo naci ukupnu funkciju izgranicne funkcije!

ukupna funkcija=∫

granicna funkcija

Primjer. Zadana je funkcija granicnih troškovaGT (Q) = Q(2 − Q)e−Q+10 i fiksniukupni troškovi su nulaFT = 0. ODrediti funkciju prosjecnih troškova.

Primjer. Zadana je funkcija granicnih troškovaGT (Q) = 8(Q−2), fiksni troškovi su10,dok je funkcija potražnje data kao funkcija cijeneQ = −p + 2. Izvesti funkciju ukupnedobiti.

Poglavlje 10

Diferencijalne jednacine

Citav problem izvoda kao takvih je naravno izrastao iz potreba fizikalne prirode - u 17.stoljecu, Europski matematicari kao što su Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fer-mat, Blaise Pascal, John Wallis i drugi su diskutovali idejuizvoda.

Kokretno, u djelima “Methodus ad disquirendam maximam et minima” i “De tan-gentibus linearum curvarum”, Fermat je razvio metodu pomocu koje su se mogli odreditimaksimumi, minimumi i tangente razlicitih krivih, koja je u stvari bila ekvivalentna dife-renciranju. Naravno, tek djeloDe Analysi per Aequationes Numero Terminorum InfinitasIsaaca Newtona se smatra pravim pocetkom analize, iako je ostalo neobjavljeno za njego-vog života.

Naravno,kalkuluskao takav je izrastao pod paskom Newtona i Leibniza. Newton jeto kalkulusa došao tokom istraživanja fizike i geometrije, te je kalkulus smatrao naucnimopisom stvaranja kretanja i velicina. U suprotnosti, Leibniz se fokusirao na problem tan-genti i smatrao je da je kalkulus metafizicno objašnjenje promjene. Sve ove metode kojesu nezavisno jedan od drugoga razvili Newton i Leibniz su naravno proistekle iz potrebemodernih naucnika za novim alatima kojima mogu riješiti probleme iz fizike, pogotovu uoblastima mehanike i optike.

Diferencijalne jednacinesu pocele sa Lebnizom, bracom Bernoulli i drugima od1680tih godina, ne zadugo od Newtonovih ‘fluksionalnih jednacina’ iz 1670tih. 1676 god.Isaac Newton je riješio svoju prvu diferencijalnu jednacinu, dok je 1693. god. GottfriedLeibniz rijšio svoju prvu diferencijalnu jednacinu i te iste godine Newton objavljuje svojeprethodne rezultate metoda riješavanja diferencijalnih jednacina i ta godina se opcenitouzima kao pocetak teorije diferencijalnih jednacina kao zasebne matematicke grane.

Švicarski matematicari, braca Jacob i Johann Bernoulli su bili medu prvim interpre-tatorima Leibnizove verzije diferencijalnog racuna, koji se nisu slagali sa Newtonovimrezultatima i smatrali su ih plagijatima Leibnizovog rada.

Navodno je prva knjiga o diferencijalnim jednacinama bila knjiga talijanskog mate-maticara Gabrielea Mafredia iz 1707. god. pod naslovom ‘O konstrukciji diferencijalnihjednacina prvog reda’ (De constructionae aequationum differentialium primi gradus). Ve-cina radova o obicnim i parcijalnim diferencijalnim jednacinama objavljenih tokom 18.

137

138 POGLAVLJE 10. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

stoljeca su razvijali Leibnizov pristup, te je teorija znacajno uzapredovala zahvaljujuciLeonhardu Euleru, Danielu Bernoulliu, Josephu Lagrangeu iPierreu Laplaceu.

10.1 Obicne diferencijalne jednacine

Naše izucavanje ove problematike zapocet cemo pregledom metoda za nalaženje rješenjaobicnih diferencijalnih jednacina u zatvorenoj formi, zatimcemo posmatrati rješenja uformi stepenih redova, te neke aproksimativne metoda.

Diferencijalne jednacine su, najjednostavnijim rijecnikom receno, jednacine koje sa-drže izvode! Obicne diferencijalne jednacine (ODE) kao što samo ime kaže sadrže samoobicne izvode, a ne parcijalne i opisuju odnose izmedu ovih izvoda zavisne promjenljive,koju obicno oznacavamo sax. Rješenje ODE je stoga funkcija odx i obicno se oznacavasay(x).

Definicija 10.1.1. Obilna diferencijalna jednacina (n-tog reda) je jednacina oblika

f(x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0,

gdje jex nezavisna promjenljiva,y nepoznata funkcija, ay′, y′′, . . . su izvodi nepoznatefunkcije.

Kako bi ODE imala rješenje zatvorenog oblika, moramo moci izraziti y(x) koristecise elemetarnim funkcijama odx. Rješenja nekih jednacina se ne mogu napisati u takvojformi, no tada se možda mogu zapisati na neki drugaciji nacin.

Ocito, obicne diferencijalne jednacine mogu se podijeliti na zgodan nacina u razli-cite kategorije, prema njihovim karakteristikama. Primarno grupiranje koje koristimo jeprema redu jednacine. Red jednacine je jednostavno najveci red izvoda koji se pojavljujeu jednacini.

Takoder, možemo podijeliti ODE prema stepenu - tj. prema stepenuna koji je izvodnajveceg reda dignut nakon racionalizacije jednacine.

d3y

dx3+ x

√

dy

dx+ x2 + y = 0

je treceg reda i drugog stepena, jer se nakon racionalizacije pojavljuje

(

d3y

dx3

)2

. Prvo

cemo se prisjetiti nekih metoda za rješavanje ODE prvog reda. tj. rješavatcemo problem

y′ = f(x, y) , (10.1)

sa pocetnim (inicijalnim) uslovomy(x0) = y0 .

10.1. OBICNE DIFERENCIJALNE JEDNACINE 139

10.1.1 Jednacina sa razdvojenim promjenljivim

Jednacina sa razdvojenim promjenljivimje jednacina kod koje se u (10.1) desna stranamože napisati kao proizvod dviju funkcija od kojih jedna zavisi samo odx, a druga samoody, tj. jednacina koja ima formu

y′ = f(x)g(y) . (10.2)

Sljedecim teoremom dati su uslovi za postojanje i jedinstvenost rješenja jednacine (10.2).

Teorema 10.1.2.Neka je funkcijaf(x) neprekidna na intervalu(a, b) i neka je funkcijag(y) neprekidna i razlicita od nule na intervalu(c, d). Tada postoji jedinstveno rješenjejednacine (10.2) koje zadovoljava polazni uslovy(x0) = y0 (x0 ∈ (a, b) , y0 ∈ (c, d)) idefinisano je u nekoj okolini tackex0.

Primjer. Riješiti jednacinu: xy′ =y

y + 1. Jednacinu dovodimo u oblik

y′ =y

x(y + 1),

iz koga uocavamo da je data jednacina sa razdvojenim promenljivima (f(x) = 1x

, g(y) =y

y+1 ). Razdvajamo promjenljive koristeci jednakosty′ = dydx

,

(y + 1)dy

y=dx

x.

Sada integralimo posljednju jednacinu i rješavanjem integrala na lijevoj i desnoj stranidobijamo rješenje diferencijalne jednacine,y + ln y = lnx+ C .

Primjer. Odrediti ono rješenje diferencijalne jednaciney′ = 6y2x koje zadovoljava uslovy(1) = 1

25 . Data diferencijalna jednacina je jednacina sa razdvojenim promjenljivima.Zato prvo razdvojimo promjenljive

y′ =dy

dx= 6y2x ⇐⇒ dy

y2= 6xdx .

Nakon integriranja posljednje jednakosti∫

y−2dy = 6

∫

xdx ,

dobijamo

−1

y= 3x2 + C ,

odnosno, rješenje diferencijalne jednacine jey(x) = − 1

3x2 + C, gdje jeC proizvoljna

realna konstanta. Za razneC imamo razlicite funkcije rješenja, što je prikazano na sli-kama 10.1 i 10.2. Naci ono rješenje koje zadovoljava uslovy(1) = 1

25 , znaci od svih

funkcija izabrati onu za koju jeC odredjen ovim uslovom, tj.1

25= − 1

3 + C, odakle

nakon kraceg racuna dobijamoC = −28, ciji je graf dat na Slici 10.3.


1

2

3

−1

1 2−1−2

C = −2 —C = −3 —C = −4 —C = −5 —

Slika 10.1: Grafovi rješenja zaC < 0

1

2

3

−1

1 2−1−2

C = 2 —C = 3 —C = 4 —C = 5 —

Slika 10.2: Grafovi rješenja zaC > 0

1

2

3

−1

1 2 3 4−1−2−3−4

Slika 10.3: Graf funkcijey(x) = − 13x2−28

10.1.2 Primjena u ekonomiji

Koristeci se ovim, možemo naci funkciju iz njenog koeficijenta elasticnosti.

10.2. LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNACINA PRVOG REDA 141

Primjer. Odrediti funkciju ukupnih prihodaP (Q) ako je

EP,Q =2Q+ 1

Q+ 1,

a uz jedinicnu potražnju ukupni prihod jednak10.

Primjer. Odrediti funkciju prosjecnih troškovaT (Q) ako je

ET,Q =Q

(2−Q)(Q− 1),

a uz proizvodnjuQ = 3 ukupni troškovi iznose4.

10.2 Linearna diferencijalna jednacina prvog reda

Diferencijalnu jednacina oblika

y′ + f(x)y = g(x) , (10.3)

gdje suf i g proizvoljne neprekidne funkcije, nazivamolinearna diferencijalna jednacina.Posmatrajmo sljedecu tehniku nalaženja rješenja jednacine (10.3), neocekivana ali

jako korisna. Pomnožimo nekom funkcijomµ(x) jednacinu (10.3) dakle,

µ(x)y′ + µ(x)f(x)y = µ(x)g(x) . (10.4)

Neocekivanu ulogu ove funkcijeµ(x), kakva god ona bila, pojacajmo i zahtjevom

µ(x)f(x) = µ′(x) . (10.5)

Stavljajuci (10.5) u (10.4), dobijamo

µ(x)y′ + µ′(x)y = µ(x)g(x) , (10.6)

i primjecujemo da je tada izraz na lijevoj strani izvod proizvoda, tj.

µ(x)y′ + µ′(x)y = (µ(x)y)′ , (10.7)

te stavljajuci (10.7) u (10.6), dobijamo

(µ(x)y)′ = µ(x)g(x) . (10.8)

Integrirajmo sada jednacinu (10.8), imamo∫

(µ(x)y)′dx =

∫

µ(x)g(x)dx ,

odnosno, primjenjujuci poznato pravilo za neodredjeni integral, slijedi

µ(x)y + C =

∫

µ(x)g(x)dx . (10.9)


Kako nam je cilj naci funkciju y(x), onda iz (10.9) lagano racunamo

y(x) =

∫

µ(x)g(x)dx + C

µ(x), (10.10)

pri cemu smo iskoristilicinjenicu da je konstanta integracijeC nepoznata, pa smo njenzapis na desnoj strani, jednostavnosti radi, zapisali sa+C, a ne kako bi racun dao sa−C.Posljednom jednacinom mi smo dobili rješenje jednacine (10.3). Ostaje "samo" da seodgonetne, a šta je ona neocekivana funkcijaµ(x). Iz jednacine (10.5) imamo

µ′(x)

µ(x)= f(x) ⇐⇒ (lnµ(x))′ = f(x) .

Opet, integrirajuci posljednju jednakost, dobijamo

lnµ(x) +D =

∫

f(x)dx ,

pa po istom principu kao malo prije, možemo pisati

lnµ(x) =

∫

f(x)dx+D .

Eksponencirajuci obje strane posljednje jednakosti, i koristeci pravila stepenovanja, imamo

µ(x) = e∫f(x)dx+D = eDe

∫f(x)dx .

Kako je ieD konstanta, ne gubeci na opštosti, konacno imamo

µ(x) = De∫f(x)dx , (10.11)

i uobicejeno se ovakve funkcije sa ovakvom ulogom nazivajuintegracioni faktor. Stav-ljajuci (10.11) u (10.10), slijedi

y(x) =

∫

De∫f(x)dxg(x) + C

eD∫f(x)dx

= e−∫f(x)dx

(∫

e∫f(x)dxg(x) +

C

D

)

,

pa konacno uzimajuci da jeCD

nova konstantaC, dobijamo krajnji oblik rješenja jednacine(10.3)

y(x) = e−∫f(x)dx

(∫

e∫f(x)dxg(x) +C

)

.

Sve ovo gore receno iskazujemo tvrdjenjem

Teorema 10.2.1.Neka suf(x) i g(x) neprekidne funkcije na intervalu(a, b). Tada postojijedinstveno rješenje jednacine (10.3) koje zadovoljava polazni uslovy(x0) = y0 (x0 ∈(a, b) , y0 ∈ R) i definisano je u(a, b). Rješenje jednacine je dato sa

y(x) = e−∫f(x)dx

(

C +

∫

g(x)e∫f(x)dxdx

)

10.3. DIFERENTNE JEDNACINE 143

Primjer. Riješiti diferencijalnu jednacinu: y′ + xy − x3 = 0 i odrediti ono rješenje kojezadovoljava uslovy(0) = 1. Dovedimo jednacinu na zahtijevani oblik

y′ + xy = x3 .

To je linearna jednacina kod koje jef(x) = x i g(x) = x3. Sada je rješenje dato sa

y(x) = e−∫xdx

(

C +

∫

x3e∫xdxdx

)

= e−x2

2

(

C +

∫

x3ex2

2 dx

)

= e−x2

2

(

C + (x2 − 2)ex2

2

)

1

2

3

−1

−2

−3

1 2−1−2

C = −1C = 0C = 1C = 2C = 3C = 4C = 5

Slika 10.4: Grafik funkcijey(x) = e−x2

2

(

C + (x2 − 2)ex2

2

)

Postavljeni uslov daje nam jednacinu poC

1 = 1 · (C + (0− 2) · 1) ,

iz koje dobijamoC = 3, a to je graf obojen crvenom bojom na Slici 10.4.

10.3 Diferentne jednacine

Definicija 10.3.1. Jednacina oblika

xn+1 = f(xn), (n = 0, 1, 2, . . .) (10.12)

gdje jef : I 7→ I neka funkcija aI je interval, naziva sediferentna jdnacina prvog reda.


Definicija 10.3.2. Jednacina oblika

xn+1 = anxn + bn, (n = 0, 1, 2, . . .) (10.13)

se nazivalinearnomdiferentnom jednacinom prvog reda, pricemu su(an) i (bn) unaprijedznani nizovi.

Primjer. xn+1 = 2nxn − n2

Ako je bn = 0,∀n ∈ {0, 1, 2, . . .}, tj.

xn+1 = anxn, (10.14)

onda se to nazivahomogenomlinearnom diferentnom jednacinom prvog reda.Kako je

xn+1 = anxn = an(an−1xn−1) = anan−1(an−2xn−2) = . . . ,

imamo da je

xn = an−1an−2 . . . a1a0x0 =n−1∏

i=0

aix0

Ovo xn =∏n−1

i=0 aix0 predstavlja opce rješenje homogene diferentne jednacine (10.14).Umjestox0 možemo pisati ic - konstanta.

Primjer. 1. xn+1 = 3xn;

2. xn − 3n+13n+7xn = 0.

Ako sada posmatramo jednacinu xn+1 = anxn + bn, možemo to promatranje razdi-jeliti na slucajeve u zavisnosti od toga da li su(an) i bn konstante:

xn+1 = anxn + b (10.15)

xn+1 = axn + bn (10.16)

xn+1 = axn + b (10.17)

Opce rješenje diferentne jednacine (10.13) je

xn =

(

n−1∏

i=0

ai

)

x0 +n−1∑

r=0

(

n−1∏

i=r+1

ai

)

br

Opce rješenje jednacine (10.15) je

xn =

(

n−1∏

i=0

ai

)

x0 + bn−1∑

r=0

(

n−1∏

i=r+1

ai

)


Opce rješenje jednacine (10.16) je

xn = anx0 +n−1∑

r=0

an−k−1br

opce rješenje jednacine (10.17) je

xn =

{

x0 + n · b za a = 1(

x0 − b1−a

)

an + b1−a

za a 6= 1

10.3.1 Primjena diferentnih jednacina u ekonomiji

Obracun kamate

Ako je saA0 oznacen ulog novca (zajam), a sar% oznacena kamatna stopa po principusloženog ukamacivanja.

An oznacava iznos novca nakonn-tog obracunskog perioda. Kako odreditiAn?

A0

A1 = A0 + rA0 = A0(1 + r)

A2 = A1 + rA1 = A1(1 + r) = A0(1 + r)(1 + r) = A0(1 + r)2

· · ·An = (1 + r)nA0

Ako se kamata izražava u procentima, onda de facto imamo

An = (1 +p

100)nA0

Primjer. Pretpostavimo da se konstantna suma novcaR deponuje na kraju svakog obra-cunskog perioda u nekoj banci, pricemu se na taj novac primjenjuje složeni kamatniracun sa stopomr po svakom obracunskom periodu. Izvesti formulu kolicine novca nakrajun-tog obracunskog perioda. Poseban slucajR = 1000KM , r = 5%.

Primjer. Odrediti broj godina potrebnih da se odredena suma novca uloženog u bankuudvostruci ako se na nju primjenjuje složeno ukamacivanje sar = 2%.

Amortizacija

Amortizacija je u osnovi plan otplate zajma. Ona omogucava uklanjanje zajmovno opte-recenje tokom odredenog fiksnog perioda vremena tako što se naprave mjesecne ili peri-odicne isplate. Ove isplate koje secine u regularnim periodicnim ratama su sacinjene odmjesecne kamatne stope i dijela principalnog balansa, tj. dijelakoji smanjuje ukupni diostvarnog duga. Visina mjesecnih (periodicnih) isplata ostaje ista tokom cijelog trajanjazajma.


U ranom periodu života zajma otplacivanje stvarnog duga je mali, dok je kamataveoma visoka. U kasnijem dijelu zajma, situacija se obrce.

Neka je stogap0 iznos zajma, dok jer kamatna stopa u procentima. Onda se amorti-zacioni plan zasniva na diferentnog jednacini prvog reda

pn+1 = pn + rpn − gn,

gdje jegn iznos rate otplate. Sjetimo se da je rješenje ovog tipa diferentne jednacine

pn = (1 + r)np0 −n−1∑

k=0

(1 + r)n−k−1gk

= (1 + r)np0 −n−1∑

k=0

(1 + r)n

(1 + r)k+1gk

= (1 + r)np0 − (1 + r)nn−1∑

k=0

1

(1 + r)k+1gk

No po konstrukciji znamo da jegk odnosno iznos rate otplate fiksan, odnosno konstantan!Daklegk = G. Stoga

pn = (1 + r)np0 − (1 + r)nG

n−1∑

k=0

1

(1 + r)k+1

Po klasicnom geometrijskom nizu, imamo da je

n−1∑

k=0

1

(1 + r)k+1=

1− 1(1+r)n

r

Stoga je

pn = (1 + r)np0 − (1 + r)nG1− 1

(1+r)n

r,

pn = (1 + r)np0 − [1− (1 + r)n] · Gr

Sada, znamo da ako jen broj perioda otplate zajma,pn = 0, jer više otplata nece biti!Dakle

0 = (1 + r)np0 − [1− (1 + r)n] · Gr

[1− (1 + r)n] · Gr

= (1 + r)np0

G =(1 + r)np0(1 + r)n − 1

· r

Tako da imamo da je mjesecna (periodicna) otplata

G =p0r

1− 1(1+r)n

(10.18)


Primjer. Napraviti amortizacioni plan ako je pocetni zajam100$, broj obracunskih peri-odan = 5 a kamatna stopa iznosi5%.

Mjesec Neplaceni dug Anuitet Kamata Otplata glavnice1 100 $ 23,10 $ 5,00 $ 18,10 $2 81,90 $ 23,10 $ 4,10 $ 19,00 $3 62,90 $ 23,10 $ 3,15 $ 19,95 $4 42,95 $ 23,10 $ 2,15 $ 20,95 $5 22,00 $ 23,10 $ 1,10 $ 22,00 $

ukupno 115,50 $ 15,50 $ 100,00 $

Model nacionalnog dohotka

Model nacionalnog dohotka je model koji se koristi slijedecim promjenljivim:

Yt − nacionalni dohodak

Ct − potrošnja

It − investicije

Nacionalni dohodat je zbir potrošnje i investicija, tj.

Yt = Ct + It

Sa druge strane, potrošnja je i funkcija nacionalnog dohotka na slijedeci nacin

Ct = c+mYt (c > 0, 0 < m < 1).

Promjena nacionalnog dohotka se može mjeriti investicijom:

∆Yt = rIt

∆Y = Yt+1 − Yt = rIt = r(Yt − Ct) = r(Yt − c−mYt).

Dakle,

Yt+1 = Yt + rYt − rc− rmYt = [1 + r(1−m)]Yt − rc

Iz ovoga onda možemo izvestiYt, paYt−1 pa sve doY0, tj- u pitanju je diferentna jedna-cina. Ravnotežno stanje nastupa kada je zadovoljen uslov

Y ∗ =b

1− a=

−rc1− 1− r(1−m)

=c

1−m


10.3.2 Diferentne jednacine višeg reda sa konstantnim koefici-jentima

Diferentna jednacinak-tog reda ima oblik:

xn+k + p1xn+k−1 + p2xn+k−2 + . . . + pkxn = rn (10.19)

gdje jern neki zadani niz brojeva. Ako jern = 0,∀n onda se jednacina (10.19) nazivahomogenom. Ukoliko jern 6= 0 za bilo kojen, (10.19) se naziva nehomogenom.

xn+k + p1xn+k−1 + p2xn+k−2 + . . .+ pkxn = 0 (10.20)

Pretpostavimo da je rješenje oblikaxn = λn. Dakle

λn+k + p1λn+k−1 + p2λn+k−2 + . . .+ pkλn = 0/ : λn

λk + p1λk−1 + p2λk−2 + . . .+ pk−1λ+ pk = 0. (10.21)

Jednacina (10.21) je karakteristicna jednacina diferentne jednacine (10.20).Imamo slijedece slucajeve:1)λ1, λ2, . . . , λk su rješenja (10.21) i sva su medusobno razlicita i realni brojevi. Tada

je fundamentalni skup (FS) rješenja (10.20)

{λn1 , λn2 , . . . , λnk}.

Opce rješenje diferentne jednacine (10.20) je

xn = c1λn1 + c2λ

n2 + . . .+ ckλ

nk =

k∑

i=1

ciλni ,

gdje suc1, c2, . . . , ck su proizvoljne konstante.

Primjer. xn+2 − 5xn+1 + 6x1 = 0.

Primjer. xn+2 − 5xn+1 + 4xn = 0 (n = 0, 1, . . .) uz pocetni uvjetx0 = 1x1 = 0.

2) drugi slucaj je ukoliko imamo rješenja karakteristicne jednacineλi ∈ R sa višestu-košcumi > 1. Tada dio fundamentalnog skupa koji se odnosi naλi ima oblik

{λni , nλni , . . . , nm1−1λni }.

Primjer. xn+3 − 5xn+2 + 8xn+1 − 4xn = 0.

3) Ukoliko λ nije realan broj, tada slucaj ne promatramo, jer smo samo zainteresovaniza realni slucaj.


10.3.3 Nehomogena linearna diferentna jednacina višeg reda

Posmatramo ponovno jednacinu (10.19), tj.

xn+k + p1xn+k−1 + p2xn+k−2 + . . .+ pkxn = rn.

Neka jern = P(n)an, gdje jePm(n) polinom pon stepenam.

xn+k + p1xn+k−1 + p2xn+k−2 + . . .+ pkxn = P(n)an.

Opce rješenje ovoga jexn = xk + xp, gdje jexk rješenje koje odgovara homogenomdijelu jednacine, axp neko konkretno (partikularno) rješenje diferentne jednacine (10.19).Postoje dvije situacije kako se odredujexp :

1. Ako a nije rješenje odgovarajuce karakteristicne jednacine, tada se partikularnorješenje traži kaoxp = Qm(n)an, gdje jeQm(n) polinom s nepoznatim koefici-jentima koje treba odrediti a odreduje se tako što se to rješenjexp uvrsti u jednacinu(10.19).

2. Ako je a rješenje odgovarajuce karakteristicne jednacine s višestukošcu mi, tadase partikularno rješenje traži u obliku

xp = nmiQm(n)an,

gdje je postupak za odredivanje nepoznatih koeficijenata u polinomuQm(n) pot-puno isti kao u prethodnom slucaju.

Primjer.xn+2 + 3xn+1 − 4xn = n3n.

vedad pašic´ prirodno-matematicki fakultetˇ univerzitet u ... · pdf...

Documents