vectores propios

Sistemas de EDO Lineales

ECUACIONES DIFERENCIALES
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales



EXPRESIN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN

Al plantear los modelos matem-ticos correspondientes a fenme-nos fsicos, surgen los sistemas de ED.

Ejemplo 1:

Determine la cantidad de soluto x1 y x2 para cualquier tiempo t.

Condiciones iniciales:

x1(0) = a

x2(0) = b

Considerando:

F0 =F2 , F2* fijo y

F1 = F0 + F2* V1 y V2 constantes

Planteando los balances de masa, se obtiene:

En el tanque 1:

1

En el tanque 2:

1bis

F0

C0

x1(t)

V1

F1

C1

x2(t)

V2

F2*

C2

F2

C2



Para encontrar las expresiones de x1(t) y x2(t) se deben resolver (1) y (1bis) en forma simultnea, esto es, como un sistema de EDO de primer orden lineal.

2

Expresado en forma matricial, junto con las condiciones iniciales tenemos:

3



Ejemplo 2: Encontrar las corrientes I1 e I2 en el circuito que se muestra en la figura siguiente

Condiciones iniciales:

I1(0) = a

I2(0) = b

R1

L2

R2

K

E

I1

L1

I2

Planteando el modelo matemtico visto para circuitos elctricos en serie:

4

Expresado en forma matricial, junto con las condiciones iniciales tenemos:

5



Podemos inferir que la forma general de los EDO de primer orden es:

6

O en forma vectorial:

7

Conversin a Sistemas de EDO Lineales


CONVERSIN DE UNA EDO DE ORDEN n

A UN SISTEMA DE n EDO DE PRIMER ORDEN

La nica condicin para que una EDO de orden n pueda convertirse en un sistema de n EDO de primer orden es que pueda escribirse en forma normal, es decir de la forma siguiente:

8


Procedimiento a seguir:

Expresada la EDO de orden n en la forma de , definimos las siguientes funciones:

9

Conversin a Sistemas de EDO Lineales

Tomando las segundas igualdades, queda determinado un sistema de EDO de primer orden

10

Solucin de Sistemas de EDO Lineales


SOLUCIN DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Un sistema de EDO de primer orden puede escribirse, en notacin vectorial, como:

11

La solucin de (11) , en un intervalo abierto I que contiene a , ser un vector solucin de la forma , que satisface el sistema (11) en I.

Si es continua en I, se garantiza la existencia de solucin que satisface las condiciones iniciales:

Si adems las derivadas parciales , con i=1,...,n, son continuas en I0 I, entonces se garantiza solucin nica en I0, con .



Teorema de Existencia y Unicidad para Sistemas de EDO de primer orden lineal:

12

Forma matricial:

13

A partir de ahora se tratarn sistemas de EDO de primer orden lineales a coeficientes constantes no homogneos, de la forma:

14

A = matriz de coeficientes constantes.

Si las funciones aij(t) y fi(t) (con i,j = 1, . . . , n) son continuas en I, entonces existe solucin nica , en I, que satisface las condiciones iniciales .



SOLUCIN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN LINEALES NO HOMOGNEOS

Vinculado al sistema (14) existe el sistema de EDO de primer orden homogneo asociado:

15

La solucin general del sistema (14) es:

16

Donde es la solucin particular que satisface (14) y es la solucin homognea del sistema de EDO homogneo asociado (15).



SOLUCIN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN LINEALES HOMOGNEOS

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN

Demostracin

La solucin es:

17

18

Derivando la solucin (18) :

19

Reemplazando (17) en (19)

20

Quedando comprobado el principio de superposicin.

Sean soluciones de (15) en un intervalo I y sean c1, . . . , cn constantes reales, entonces la combinacin lineal es tambin solucin sobre I.

Si , con i = 1, . . . ,n, son solucin de (15), cumplen



Derivando la solucin (18) :

19


20

Quedando comprobado el principio de superposicin.



INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS SOLUCIONES

La determinacin de la independencia lineal se hace a travs del determinante Wronskiano:

21

Si W(t) 0 las soluciones son LI.

Si W(t) 0 las soluciones son LD.

Las soluciones del sistema homogneo (17)deben ser L.I.



CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES

22

Sean soluciones LI de (15) en un intervalo I, entonces

constituye un conjunto fundamental de soluciones y la matriz fundamental de soluciones es:

El Det (soluciones LI) existe .



SOLUCIN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN LINEALES HOMOGNEOS A COEFICIENTES CONSTANTES.

23

24

O en forma matricial:

25

Sean soluciones de (23) en un intervalo I, por el principio de superposicin, la solucin es:



Adems se cumple de (25):

26


27

Donde es una Matriz Fundamental de Soluciones que cumple



MTODO DE LOS VALORES PROPIOS

Un sistema de EDO lineal homogneo a coeficientes constantes, puede expresarse en forma genrica como sigue

28

Al observar el sistema vemos que las funciones derivadas pueden verse como la combinacin lineal de las funciones incgnitas, por lo tanto la expresin funcional de stas debe ser tal que no se modifique al derivarla, salvo por una constante. Entonces proponemos a la funcin exponencial como posible solucin.



29

Si (29) es solucin, entonces debe satisfacer el sistema (28), entonces

30

Reemplazando (29) y (30) en (28), resulta:

31

Esta expresin representa un problema de valores propios y vectores propios.

32



Para que se cumpla (32) tenemos dos opciones:

33

A partir de (33) se obtiene la Ecuacin Caracterstica de la matriz A, de donde se obtienen los valores propios .

De aqu surgen tres posibilidades:

Caso I: Valores propios reales y distintos.

Caso II: Valores propios reales e iguales.

Caso III: Valores propios complejos (conjugados).

1) , lo que lleva a la solucin trivial

2) Matriz singular, es decir:

Det



CASO I: VALORES PROPIOS REALES Y DISTINTOS

Sean 1, . . . , n valores propios reales distintos de la matriz de coeficientes A, y sean sus vectores propios asociados , entonces las soluciones (LI) son:

34

La solucin del sistema homogneo (18) es:

35

Para obtener los valores de las constantes ci se imponen las condiciones iniciales.



CASO II: VALORES PROPIOS REALES E IGUALES

Existen dos posibilidades que determinan la forma de la solucin:

I): Valores propios completos.

II): Valores propios defectuosos.

Se dice que el valor propio i de multiplicidad ki es completo si existen ki vectores propios LI, asociados a dicho valor propio.

De lo contrario, se dice que son valores propios defectuosos.

Si solo existen pi vectores propios LI (con pi < ki), entonces al nmero di ( con di = ki pi) de vectores propios LI faltantes se denomina defecto del valor propio i.

El escalar ki se denomina multiplicidad algebraica del valor propio i y pi es la multiplicidad geomtrica del mismo.



I) VALORES PROPIOS COMPLETOS

Las soluciones (LI) son:

36

La solucin del sistema homogneo (18) es:

37



I) VALORES PROPIOS DEFECTUOSOS

Para deducir la solucin partiremos de un sistema de dos EDOL de primer orden homogneo a coeficientes constantes.

38

39

Los valores propios (repetidos) son 1 = 2 = . Si son valores propios defectuosos entonces slo existe un vector propio asociado , entonces una solucin de (38) es:



Como propuesta natural para la segunda solucin surge la de multiplicar por la variable independiente t la solucin obtenida:

40

Si reemplazramos (40) en (38) veramos que no la satisface.

Entonces proponemos:

41

Su derivada es:

42

Reemplazando en (38):

43



A partir de esta ltima igualdad se obtienen dos relaciones:

44

La otra relacin es:

45

Resolviendo esta igualdad obtenemos

Otra alternativa para encontrar las soluciones, sabiendo que los valores propios son defectuosos, se obtiene premultiplicando (45) por la matriz (A-I):

46

Una de ellas, es la que permiti encontrar la primera solucin :



Por (44), resulta:

47

Resumiendo, las soluciones son:

48

La solucin del sistema (38) ser:

49

Para obtener los valores de las constantes ci se imponen las condiciones iniciales.

no es un vector propio ordinario.

Entonces, a partir de (47) se obtiene y de (45) se obtiene



VECTORES PROPIOS GENERALIZADOS

Un Teorema Fundamental del lgebra Lineal establece que toda matriz A, de dimensin n n, tiene n vectores propios generalizados.

Si i es un valor propio de A, entonces un vector propio de rango r asociado a i, es un vector tal que cumple:

50

Si r = 1, entonces es un vector propio ordinario o regular asociado a i.

Cuando la dimensin de la matriz A es mayor o igual a tres (n 3) y por lo tanto la posibilidad de mayores valores de multiplicidad algebraica de los valores propios, aparecen cadenas de vectores propios generalizados, cada una de ellas relacionada a un vector propio ordinario asociado a un valor propio mltiple. La suma de estas cadenas es igual a la multiplicidad algebraica del valor propio.



Ejemplo:

51

52

Una cadena de longitud k de vectores propios generalizados con base en el vector propio ordinario es un conjunto de k vectores generalizados,

, que cumplen:

Por ser un vector ordinario, de (51) se deduce que:



ndice de Valores Propios ()

53

Si i es un valor propio de multiplicidad algebraica ki de la matriz A , entonces el menor nmero natural que cumple con lo siguiente se denomina ndice del valor propio i:



SOLUCIN DE SISTEMAS DE EDO

Es posible demostrar que si i es un valor propio de multiplicidad ki, con defecto d = ki 1 se puede encontrar una cadena de longitud ki de vectores propios generalizados y con ellos obtener ki soluciones LI, de la forma:

54

con k= 1,...ki

Las cadenas de vectores propios generalizados dependen del defecto del valor propio, lo cual puede generar complicaciones.



Ejemplo:

Para un valor propio de multiplicidad algebraica 4 (ki = 4), pueden ocurrir los siguientes casos:

1) Si d=0, entonces habr 4 cadenas de longitud 1, es decir, existen 4 vectores propios ordinarios LI.

2) Si d=1, entonces habr 2 cadenas de longitud 1 y una de longitud 2, es decir, existen 3 vectores propios ordinarios LI.

3) Si d=2, entonces habr 2 cadenas de longitud 2 una cadena de longitud 3 y una de longitud 1, es decir, existen 2 vectores propios ordinarios LI.

4) Si d=3, entonces habr una cadena de longitud 4, es decir, existe un solo vector propio ordinario.

La longitud de la cadena ms larga es a lo sumo d +1



Obtencin de las Cadenas de Valores Propios Generalizados

Procedimiento:

1- Determinacin del nmero de cadenas: lo que permite conocer el nmero de vectores propios ordinarios (pi).

55

Adicionalmente, podemos calcular el defecto del valor propio i a partir de di = ki pi.

Conocemos el nmero de cadenas pero no sus longitudes.



2- Clculo del ndice i del valor propio i (para la cadena ms larga)

Se determina a travs de (53)

53



3- Generacin de las cadenas de vectores propios generalizados

Si se cumple

57

La cadena finaliza cuando se encuentra un vector propio ordinario, en este caso .

56

para algn vector , entonces a partir de l generamos una cadena de longitud i ki, resolviendo



Si existen ms cadenas, se repite el procedimiento partiendo de:

58

Si existe un vector , entonces se genera una nueva cadena de longitud i-1.

La suma del nmero de vectores propios generalizados debe ser igual a la multiplicidad algebraica ki del valor propio i .

Cada cadena genera soluciones de la forma de (54).

54

Los vectores de cada cadena son LI y tambin lo son entre cadenas, asegurando as soluciones LI del sistema de EDO de primer orden.



EJEMPLO

Para encontrar los valores propios resolvemos

Det

Encontrar la solucin de con



Ecuacin Caracterstica

Por lo tanto los valores propios son:
Solucin para 6 = 0
Para determinar hacemos

O uno de sus mltiplos

Entonces


Solucin para 2 = 2
Aplicaremos la secuencia de clculo para vectores propios generalizados.

1- Determinacin del nmero de cadenas:

Calculamos

Entonces existen 2 cadenas de vectores propios generalizados 2 vectores propios ordinarios LI, por lo tanto el defecto es: d = k p = 5 2 = 3.



2- Clculo del ndice del valor propio = 2

Sabemos que

Calculamos y determinamos su rango

Entonces



Calculamos y determinamos su rango

entonces , por lo tanto el ndice del valor propio 2 es igual a 3



3- Generamos, si es posible, una cadena de 3 vectores propios generalizados.

Ahora generamos los otros dos vectores de la cadena, uno de ellos vector propio ordinario.

A partir de estas ecuaciones encontramos un mltiplo de l.

Hacemos

Y obtenemos



Seguimos con:

Adems se comprueba que:

Por lo tanto es el vector propio ordinario de la cadena

Con los vectores encontrados generamos 3 soluciones LI del sistema, aplicando (54)

Y obtenemos



Ahora generamos la segunda cadena, buscando un vector que cumpla:

Y encontramos que o un mltiplo de l.

Y cumple con

Por lo tanto es el vector propio ordinario de la segunda cadena:

Obtenemos las dos soluciones faltantes:

Generamos y verificamos que es un vector propio ordinario:



La solucin general es la combinacin lineal de las 6 soluciones obtenidas:



CASO III) VALORES PROPIOS COMPLEJOS (CONJUGADOS)

El valor propio puede expresarse como = i.

Tomando 1 = + i, la solucin tendr la forma :

Aplicando la propiedad distributiva y agrupando, nos queda:

Puede demostrarse que:

59

60

61



Entonces, la solucin del sistema (38) ser

62

Para determinar las constantes ci se imponen las condiciones iniciales.



SOLUCIN DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN A COEFICIENTES CONSTANTES NO HOMOGNEOS. SOLUCIN PARTICULAR

La solucin general de (14) est dada por (16):

16

Tenemos dos mtodos:
Mtodo de los coeficientes indeterminados. Mtodo de variacin de parmetros.
La solucin particular est muy influenciada por la solucin homognea y por la expresin de la funcin



METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

Polinmica, exponencial, seno, coseno, combinacin lineal o producto entre ellas

Debe proponerse una solucin LI con la solucin homognea, teniendo en cuenta las funciones escalares que componen

Si la solucin propuesta es LD con la homognea, debe multiplicarse por un polinomio de grado uno completo, a coeficientes vectoriales de la forma , si sigue siendo LD debe multiplicarse por un polinomio de segundo grado completo y as sucesivamente.



METODO DE VARIACIN DE PARMETROS

Obtendremos algunas relaciones tiles a partir del sistema EDO homogneo asociado.

63

Su solucin es

Derivando

64

Reemplazando (63) y (64) en (15)

15

65



Desarrollo del mtodo de variacin de parmetros

A partir de la solucin homognea proponemos la solucin particular.

funcin a determinar

debe satisfacer el sistema no homogneo.

66

Derivando (66)

Entonces:

67

68




Entonces:

69

70

Despejando

71

La solucin particular, reemplazando (71) en (66), resulta:

72



Alternativamente, si incluimos las condiciones iniciales, (72) queda:

73

La solucin general entonces es:

74

En este caso la solucin general de es:

75

76

77

En particular, si A es a coeficientes constantes y t0 = 0, entonces es posible demostrar que:



LECTURA COMPLEMENTARIA

En el captulo 2 durante el desarrollo del mtodo de variacin de parmetros para una EDOL de orden 2, se impusieron condiciones a cumplir no del todo claras y se mencion que dichas condiciones se cumplen naturalmente al tratar con sistemas de EDOL de primer orden. En este punto buscaremos demostrar que se cumplen dichas condiciones.

Partiendo de una EDOL de segundo orden:

78

El determinante Wronskiano correspondiente es

79

Las soluciones de la EDOL homognea asociada a sern e



Y la matriz fundamental de soluciones es

80

Transformando la EDOL a un sistema de dos EDOL de primer grado:

81

Entonces el sistema es:

82



Las soluciones del sistema de EDOL homogneo asociado a (82) sern:

y

83

Y su matriz fundamental de soluciones es

84

Para encontrar la solucin particular de (82), aplicando el mtodo de variacin de parmetros, usaremos la ecuacin(70)

85



Pero, por (81) :

86

Entonces la expresin (85), reemplazando las igualdades de (86), queda

87

Con un procedimiento similar puede comprobarse la generalizacin del mtodo de Variacin de Parmetros para EDOL de orden n.

Expresin que se obtuvo en el captulo 2, al imponer de manera casi arbitraria la condicin

(

)

(

)

(

)

*

1

21

0021

21

dxt

FF

FCxtxt

dtVV

=+-

(

)

(

)

(

)

(

)

*

2

122

122

122

=--

dxt

FFF

xtxtxt

dtVVV

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

*

1

12

1200

12

*

22

2

1

12

12

=-++

+

=-

dxt

FF

xtxtFC

dtVV

FF

dxt

F

xtxt

dtVV

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

*

12

12

*

22

1

12

'

11001

'

22

2

0

;

00

-

+

-

=+=

FF

VV

FF

F

VV

xtxtFCxa

xtxb

xt

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1112122

2

22221

0

++-=

+-=

dIt

RItLRItRItEt

dt

dIt

RItLRIt

dt

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

'

1

12

2

1

1

11

22

'

2

2

22

1

2

;

0

0

0

It

Et

RR

R

It

L

LL

RR

It

It

LL

I

a

b

I

+

-

=+

-

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

'

111

101

'

0

1

,,...,

.

.

.,

.

.

.

,,...,

n

nn

nnn

xtftxtxt

xtb

xtb

xtftxtxt

=

=

=

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

10

',,...,,,

===

rrr

rrr

n

xtftxtxtftxtxtb

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

,,',...,

-

=

nn

xtftxtxtxt

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

'

12

'

23

'

34

'

12

'

''

'''

.

.

.

,,,...,

n

nn

xtxt

xtxtxt

xtxtxt

xtxtxt

xtxtftxtxtxt

=

==

==

==

==

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

'

12

'

23

'

12

,,,...,

=

=

=

M

nn

xtxt

xtxt

xtftxtxtxt

(

)

(

)

(

)

(

)

0

',,

==

rr

rrr

xtftxtxtb

(

)

(

)

,

i

ftxt

x

r

r

(

)

00

,

r

tbI

(

)

(

)

,

r

r

ftxt

(

)

r

xt

(

)

0

=

r

r

xtb

(

)

0

,

r

tb

(

)

(

)

(

)

(

)

12

,,...,

=

r

T

n

xtxtxtxt

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

'

101

111112211

'

221122222

'

1122

0

...

.

...

;

.

.

...

=

=++++

=++++

=++++

=

M

nn

nn

nnnnnnn

nn

xtb

xtatxtatxtatxtft

xtatxtatxtatxtft

xtatxtatxtatxtft

xtb

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

',

=+=

rr

rrr

t

xtxtftxtb

A

(

)

(

)

(

)

(

)

0

',

=+=

rr

rrr

A

xtxtftxtb

(

)

(

)

'

=

A

rr

xtxt

(

)

(

)

(

)

=+

rrr

hp

xtxtxt

(

)

r

p

xt

(

)

r

h

xt

(

)

(

)

'

jj

=

A

rr

ii

tt

(

)

(

)

(

)

11

...

jj

=++

rrr

nn

xtctct

(

)

(

)

(

)

''

11

'...

jj

=++

rrr

nn

xtctct

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1111

'......

jjjj

=++=++=

AAAA

rrrrrr

nnnn

xtctctctctxt

(

)

j

r

i

t

(

)

(

)

1

,...,

jj

rr

n

tt

(

)

(

)

11

...

jj

++

rr

nn

ctct

(

)

(

)

(

)

1

n

Wttt

jj

=

MM

rr

L

MM

(

)

j

r

i

t

(

)

(

)

0

=

tWt

j

(

)

1

-

t

j

(

)

(

)

1

jj

=

rr

L

n

tt

(

)

t

j

(

)

(

)

(

)

0

'

=

=

A

rr

r

r

xtxt

xtb

(

)

(

)

(

)

11

...

jj

=++

rrr

hnn

xtctct

(

)

(

)

=

rr

h

xttc

j

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

00

1

00

1

0

-

-

=

=

=

rr

rr

r

r

h

h

xttc

ctxt

ctb

j

j

j

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

0

h

h

xtttb

xttb

-

=

=

r

r

r

r

jj

(

)

(

)

(

)

1

0

ttt

-

=

jj

(

)

0

=

I

t

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

'

101

11111221

'

22112222

'

1122

0

0

...

.

...

;

.

.

...

';

nn

nn

nnnnnn

nn

xtb

xtaxtaxtaxt

xtaxtaxtaxt

xtaxtaxtaxt

xtb

xtxtxtb

=

=+++

=+++

=+++

=

==

A

M

r

rrr

(

)

,

l

l

=

rr

r

t

n

xtve

v

(

)

'

l

l

=

rr

t

xtve

l

l

r

t

ve

l

=

r

t

ve

A

l

=

rr

vv

A

(

)

0

v

l

=

A-I

r

r

(

)

0

ll

==

A-IA-I

(

)

l

A-I

0

=

r

r

v

(

)

0

=

r

r

xt

1

,...,

rr

n

vv

(

)

(

)

1

11

l

l

=

=

rr

M

rr

n

t

t

nn

xtve

xtve

(

)

1

11

...

l

l

=++

rrr

n

t

t

hnn

xtcvecve

(

)

(

)

11

l

l

=

=

rr

M

rr

t

t

nn

xtve

xtve

(

)

11

...

ll

=++

rrr

tt

hnn

xtcvecve

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

'

1111122

101

'

202

2211222

0

;

';

=+

=

=

=+

==

r

rrr

xtaxtaxt

xtb

xtb

xtaxtaxt

xtxtxtb

A

(

)

11

l

=

rr

t

xtve

1

r

v

(

)

(

)

211

l

==

rrr

t

xttxtvte

(

)

212

ll

=+

rrr

tt

xtvteve

(

)

'

2112

lll

ll

=++

rrrr

ttt

xtvevteve

1

l

r

t

ve

1

l

l

+

r

t

vte

2

l

l

+

r

t

ve

1

l

=

r

t

vte

A

2

l

+

r

t

ve

(

)

12112

ll

++=+

rrrrr

vvvtvtv

AA

(

)

11

1

0

l

l

=

=

rr

r

r

vv

v

A

A-I

(

)

122

21

l

l

+=

-=

rrr

rr

vvv

vv

A

AI

2

r

v

(

)

(

)

2

21

ll

-=-

rr

vv

AIAI

(

)

1

r

xt

(

)

2

2

0

l

-=

r

r

v

AI

(

)

(

)

(

)

11

212

l

l

=

=+

rr

rrr

t

t

xtve

xtvtve

(

)

(

)

11212

ll

=++

rrrr

tt

h

xtcvecvtve

1

r

v

(

)

(

)

1

0

0

AI

AI

r

i

r

i

v

v

-

-=

-

r

r

r

r

l

l

v

r

(

)

(

)

(

)

(

)

1

12

21

1

.

.

.

0

AI

AI

AI

AI

ikk

ikk

i

i

vv

vv

vv

v

-

--

-=

-=

-=

-=

rr

rr

rr

r

r

l

l

l

l

(

)

0

AI

k

ik

v

-=

r

r

l

1

v

r

{

}

1

,...,

k

vv

rr

(

)

(

)

AIAI

iii

rangornk

-=-=-

hh

ll

nn

(

)

(

)

2

1

2

1

1

...

1!2!

i

k

t

k

kkk

vt

vt

tvtve

k

-

-

-

=++++

-

r

r

rrr

l

j

(

)

(

)

AIAI

iii

pnrangonr

=--=--

ll

(

)

(

)

1

0

0

AI

AI

i

i

i

i

i

i

v

v

-

-=

-

r

r

r

r

h

h

h

h

l

l

(

)

(

)

(

)

1

21

1

.

.

.

0

AI

AI

AI

ii

i

i

i

vv

vv

v

-

-=

-=

-=

rr

rr

r

r

hh

l

l

l

1

v

r

i

v

r

h

(

)

(

)

1

2

0

0

AI

AI

i

i

i

i

w

w

-

-

-=

-

r

r

r

r

h

h

l

l

A

-

--

--

=

311100

111100

002011

000211

000011

000011

(

)

(

)

'

A

xtxt

=

rr

(

)

5

20

-

=

ll

1,2,...,56

2;0

==

ll

(

)

6

666

t

tvev

F==

r

rr

l

6

v

r

(

)

[

]

666

000011

0

A-I

T

vv

-

==

r

rr

l

(

)

[

]

6

000011

T

t

-

F=

r

()

A

I

-

---

--

-

-

-=

111100

111100

000011

000011

000011

000011

2

(

)

(

)

2642

i

pnrangonr

=--=--=-=

AIAI

l

(

)

(

)

651

iii

rangornk

-=-=-=-=

AIAI

hh

ll

()

A

I

-

-

-=

2

002200

002200

000000

000000

000022

000022

2

(

)

2

221

AI

r

-=

(

)

2

2

AI

-

(

)

1

241

AI

r

-=

()

A

I

-

-

-=

3

000000

000000

000000

000000

000044

000044

2

(

)

3

21

AI

r

-=

(

)

3

2

-

AI

(

)

(

)

3

3

31

3

20

20

AI

AI

v

v

-

-=

-

r

r

r

r

[

]

2

112200

T

v

--

=

r

(

)

32

2

AI

vv

-=

rr

[

]

3

000111

T

v

=

r

(

)

21

2

AI

vv

-=

rr

(

)

1

20

AI

v

-=

r

r

1

v

r

{

}

,,

vvv

123

rrr

(

)

2

11

t

tve

F=

r

r

(

)

(

)

2

212

t

tvtve

F=+

r

rr

(

)

1

2

22

3123

t

tvtvtve

F=++

r

rrr

[

]

1

220000

T

v

=

r

(

)

(

)

2

5

21

5

20

20

AI

AI

v

v

-

-=

-

r

r

r

r

[

]

5

000011

T

v

=

r

(

)

[

]

544

002200

2

AI

T

vvv

-

-==

rrr

(

)

4

20

AI

v

-=

r

r

4

v

r

{

}

,

vv

45

rr

(

)

2

44

t

tve

F=

r

r

(

)

(

)

2

545

t

tvtve

F=+

r

rr

4

v

r

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

112233445566

tctctctctctct

F=F+F+F+F+F+F

rrrrrrr

(

)

(

)

(

)

(

)

cos

ab

laa

bb

+

=+=++

rr

rrr

it

ttt

veabieabietiesent

coscos

aaaa

bbbb

=-++

rr

rr

tttt

aetbesentaiesentbiet

(

)

(

)

coscos

aaaa

bbbb

=-++

rr

rr

tttt

aetbesentiaesentbet

(

)

(

)

1

2

cos

cos

aa

aa

bb

bb

=-

=+

r

rr

r

rr

tt

tt

xtaetbesent

xtaesentbet

(

)

(

)

(

)

12

coscos

aa

bbbb

=-++

rr

rrr

tt

h

xtcatbsentecasentbte

()

ft

r

()

ft

r

2

++

r

rr

atbtc

+

r

r

atb

()

ft

r

(

)

(

)

'

=

A

rr

xtxt

(

)

(

)

=

rr

h

xttc

j

(

)

(

)

=

rr

'

h

xt'tc

j

(

)

(

)

(

)

(

)

=

=

rr

A

A

'tctc

'tt

jj

jj

(

)

(

)

h

xttc

=

rr

j

(

)

(

)

(

)

=

rr

p

xttut

j

()

ut

r

()

p

xt

r

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=+

rrr

'

p

xt'tuttu't

jj

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

+=+

r

rrr

A

'tuttu'ttutft

jjj

(

)

(

)

r

A

tut

j

(

)

(

)

(

)

(

)

+=

rr

A

tu'ttut

jj

(

)

+

r

ft

(

)

(

)

(

)

=

r

r

tu'tft

j

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

-

-

=

=

r

r

r

r

u'ttft

uttftdt

j

j

(

)

(

)

(

)

(

)

1

-

=

r

r

p

xtttftdt

jj

(

)

(

)

(

)

(

)

0

1

-

=

r

r

t

p

t

xttsfsds

jj

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

11

0

--

=+

rr

r

t

t

xtttbtsfsds

jjjj

(

)

(

)

(

)

1

-

=-

tsts

jjj

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

11

0

1

0

0

--

-

=+

=+-

rr

r

rr

r

t

t

t

xtttbtsfsdt

xtttbtsfsdt

jjjj

jjj

(

)

(

)

(

)

(

)

0

=+-

rr

r

t

t

xttbtsfsdt

WW

(

)

0

=

I

t

j

(

)

(

)

(

)

=

tt

j

W

(

)

(

)

(

)

(

)

++=

y''tay'tbytFt

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

12

12

=

ytyt

Wt

ytyt

''

(

)

1

yt

(

)

2

yt

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

12

12

=

ytyt

t

ytyt

j

*

''

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

''

'''

=

==

==--+

ytvt

ytvtwt

ytwtawtbvtFt

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{

0

'

01

'

'

=+

--

=+

r

rr

A

vtvt

Ft

wtwt

ba

xtxtft

(

)

(

)

(

)

1

1

2

=

r

vt

xt

wt

(

)

(

)

(

)

2

2

2

=

r

vt

xt

wt

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

12

12

=

vtvt

t

wtwt

j

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

12

12

2

0

=

'

'

ut

vtvt

Ft

wtwt

ut

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

11

22

11

21

=

=

=

=

'

'

vtyt

vtyt

wtyt

wtyt

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

12

1

12

2

0

=

'

''

'

ytyt

ut

Ft

ytyt

ut

(

)

(

)

(

)

(

)

1122

0

+=

''

ytutytut

vectores propios

Documents