vectores
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C 2 C 2 MAGNITUDES FÍSICAS.MAGNITUDES FÍSICAS.
• Magnitudes fMagnitudes fíísicas escalares y sicas escalares y vectoriales. Algebra vectorial.vectoriales. Algebra vectorial.
•EjemplosEjemplos
Bibliog. Sears, FBibliog. Sears, Física universitaria 1999, ísica universitaria 1999,
Hewitt, Física conceptual 1999Hewitt, Física conceptual 1999
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Magnitudes Magnitudes físicasfísicas
por su naturaleza
Escalares
Vectoriales
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Magnitudes Magnitudes físicasfísicas
Escalares
Vectoriales
Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad
Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección
y su sentido
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Magnitudes Magnitudes físicasfísicas
Masa, densidad, temperatura, energía,
trabajo, etc
Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.
Escalares
Vectoriales
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SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico
x(t)x(t)
y(t)y(t)
z(t)z(t)
Se le asocia Se le asocia
• ObservadorObservador• Sistema de Sistema de CoordenadasCoordenadas
y
x
z
• RelojReloj
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Movimiento planoMovimiento plano
Coordenadas Cartesianas
y (m)
x (m)O
origenabcisa
ordenada (x,y)
Q (-2,2)
P (8,3)
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Coordenadas Polares
O
origen
(r,)
Movimiento planoMovimiento plano
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Relacion entre (x,y) y (r,)
y (m)
x (m)O
origenabcisa
ordenada (x,y)
r
θcosrx θrseny
θtanxy22 yxr
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VectoresVectores
Notación A
Módulo A > 0
A
Dirección θ,
x
y
z
θ
Ap
x
y
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Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores
• Dados A y B, si A = B entonces A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo
A
B
C
CBA
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Suma de Suma de VectoresVectores
BA
R
BA C
C
Ley del polígono
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El vector resultante es aquel que vector que va
desde el origen del primer vector hasta el extremo del
ultimo
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A
B
C
D
Entonces si se tiene los siguientes vectores
El vector resultante de la suma de todos ellos será:
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A B
C
D
DCBAR
R
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Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores
A
Opuesto-A
Nulo 0 = A + ( )-A
Vector unitario
AA
μ
ˆAA
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Propiedades Propiedades de la suma de de la suma de
VectoresVectores
Ley Conmutativa
ABBAR
Ley Asociativa
C)BA)CBAR
((
Diferencia
B-AR
)B(-AR
A B A
-BR
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Ley conmutativa
¿Como se explica esta regla?
Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para
encontrar el vector suma
BR = A+B
A
B R = B+A
(Método paralelogramo)
B R = A+B
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Multiplicación de un vector por un escalar
Dado dos vectores ByA
Se dicen que son paralelos si BA
BAsi
0
BAsi
0BAsi
1
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A
B
AB
21
A
B
AB
41
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Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores
A B
CA B
CR = 2
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Vectores unitarios en el plano
ijx
y
i Vector unitario en la dirección del eje x+
j Vector unitario en la dirección del eje y+
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Vectores unitarios en el espacio
xy
z
i j
k
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Representación Representación de un vectorde un vector
x
y
z
θ
A
Ax
Ay
Az
θsenAAx cosθsenAsenAy
θcosAAz 222zyx AAAAA
kAjAiAA zyx
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Observaciones:
Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado
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Determínese la resultante de los siguientes vectores
A4u 3u
B
BAR
7u
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+
A
B
8u 4u =
BAR
4u
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Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?
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4u
3uA B
La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla
BAR
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A
B
yA
xA
xB
yB
4u
3u
5u
6u
8u
10u
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yA
xA
xB
yB
4u3u
6u8u
yx AAA
yx BBB
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yy BA
xx BA
10u
5u
yyxx BABAR
Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante uR 55510 22
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yA
xA
xB
yB
xCyC
xD
yD
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yyyyy DCBAR
xxxxx DCBAR
xR
yR
15 u5 u
yx RRR
105R
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xy
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
A
Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por
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xy
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
A
k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ
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Producto Producto escalar de dos escalar de dos
vectoresvectoresθABBA cos
cosθAAB Proyección de A sobre B
cosθBBA
Proyección de B sobre A
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1ˆˆ ii1ˆˆ jj
0ˆˆ ji
0ˆˆ kj0ˆˆ ki
xAiA
1ˆˆ kk
yAjA ˆ
zAkA ˆZZYYXX BABABABA
![Page 39: Vectores](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022030307/58e4a19a1a28abf5428b6367/html5/thumbnails/39.jpg)
Producto Producto vectorial de dos vectorial de dos
vectoresvectores BAC
θABC sen
0ii
0ˆˆ jj
0ˆˆ kk
kji ˆˆˆ ikj ˆˆˆ
jik ˆˆˆ
![Page 40: Vectores](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022030307/58e4a19a1a28abf5428b6367/html5/thumbnails/40.jpg)
)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx
YZZYX BABAC
zxxzy BABAC
xyyxz BABAC
Demostrar:
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Determinese la suma de los siguientes vectores:Ejemplo 1:
k5j8i3A ˆˆˆ
kji-5B ˆ3ˆ2ˆ
kji4C ˆ2ˆ7ˆ
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Ejemplo 2:
8m
10m
5m
A
B
C
Determine la suma de los vectores indicados
x
y
z
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Ejemplo 9
Dados los vectores:
k3j5i4B
k5j3i3A
Determine :a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambose) el ángulo que forman entre sí.Tarea 9c, 9d y 10