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VARIABLE ALEATORIA CONTÍNUA

ESTADISTICA DESCRIPTIVAY PROBABILIDADES

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Al terminar la sesión y frente a una situación real, el estudianteidentifica la función de densidad de una variable aleatoria continúa y calcula su esperanza y varianza .

LOGRO

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El precio del litro de gasolina durante los próximos meses se estima

que puede oscilar entre 7 y 10 soles, ¿cuál será el precio esperadode la gasolina para el próximo año?

MOTIVACIÓN

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Recordemos:

Variable aleatoria

  Una variable aleatoria que solo puede tomaruna secuencia finita o infinita numerable devalores es una   variable aleatoria discreta.

  Una variable aleatoria que toma unasecuencia infinita no numerable de valores esuna   variable aleatoria continua.

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Variable aleatoria continua

Definición

Una variable aleatoria es continua si su rango es un conjunto infinito no

numerable de valores.

Una variable aleatoria continua queda definida mediante su función de

densidad o su función de distribución.

= ()

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Variable aleatoria discreta Variable aleatoria contínua

Distribución de probabilidad Función de densidad

Función de distribución Función de distribución

Diferencias

f ( xi ) = 1     1 f x dx

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Ejemplo:

Distribución uniforme:• Instantes aleatorios en un intervalo dado.• Las coordenadas de un punto que se elige al azar en un intervalo dado.•

Experimentos de simulación

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Función de densidad

La función de densidad de probabilidad   f  para una variable

aleatoria continua   X , es la función que satisface:

  1 f x dx

  0 f x  

Pr ( )b

aa X b f x dx

1.

2.

3.

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Sabemos que se cumple

Reemplazando:

Integrando:

Finalmente igualando a uno.

   = 1 = 3

Solución

  1 f x dx

−∞∞ = 1

−∞

∞ =

=

3

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Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada F para una variable aleatoriacontinua X , con función de densidad   f  , se define por:

  Pr   a X b F b F a

 

 xdt t  f   x X  P  x F 

 x

 para)()(

La probabilidad entre un parde puntos a y b está dada por:

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Esperanza de una variable aleatoria contínua

Sea X una variable aleatoria contínua, f su función dedensidad, se define:

  dx x xf   x E    )()(

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Ejemplo

Determinar la media o valor esperado de la distribución cuya función dedensidad de probabilidad está dado por la regla de correspondencia:

 () = 12 − , 0 ≤

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Varianza de una variable aleatoria contínua

Sea X una variable aleatoria contínua, f su función de

densidad, se define:

  dx x f   x E  x xVar    )())(()(  2

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Ejemplo

Calcular la varianza de la distribución cuya función de densidad deprobabilidad está dado por la regla de correspondencia:

 () = 12 −  , 0 ≤

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Responda a las siguientes preguntas:

AUTOEVALUACIÓN

1. ¿Qué es una variable aleatoria contínua?

2. ¿Cuánto es el área debajo de la curva que representa a la

función densidad?

4. ¿La esperanza puede ser interpretado como un

promedio?

3. Indicar algunos ejemplos de variable aleatoria contínua.

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UNIVERSIDAD TECNOLICA DEL PERU

“ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES ”