Variabile aleatoare şi legi de probabilitate

Definitii

Variabile aleatoare discrete

Variabile aleatoare continue

Exemple de variabile aleatoare

Variabile aleatoareIn teoria probabilitatilor se consideră un experiment aleator căruia i se asociază mulţimea evenimentelor elementare E = {e1, e2, ..., en}

Daca realizarea fiecărui experiment aleator poate fi caracterizat numeric, valorile diferite ale acestor numere constituie o variabila aleatoare. În teoria probabilităţii o variabilă aleatoare, de regulă notată cu X, este definită ca o funcţie care asociază fiecărui eveniment elementar e E un număr real, X(e):

X: E R

În cursul desfăşurării experimentului nu se poate şti ce valoare va lua variabila aleatoare la un moment dat, dar se cunoaşte mulţimea valorilor pe care le poate lua.

O variabilă aleatoare se caracterizează, pe lângă valorile pe care le poate lua, prin probabilităţile cu care poate lua aceste valori.

Tipuri de variabile aleatoare O variabilă aleatoare care ia un număr finit sau

numărabil de valori este numită variabilă aleatoare discretă. Exemple de variabile aleatoare discrete sunt:

numărul de piese defecte într-o şarjă, numărul de încercări reuşite la un test de rezistenţă al

unui material, numărul de molecule de monomer adiţionate într-o

polimerizare.

Dacă variabila aleatoare poate lua orice valoare numerică într-un interval I R, cu o probabilitate definită, atunci acea variabilă este de tip continuu. Exemplu de astfel de variabile:

duratele de staţionare într-un reactor cu agitare, dimensiunile particulelor într-o populaţie de cristale, masele molare ale unui polimer

Legea de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete

Legea de probabilitate, numită şi repartiţie de probabilitate, pentru o variabilă aleatoare discretă este definită prin specificare a tuturor valorilor posibile ale variabilelor aleatoare şi a probabilităţilor corespunzătoare.

n21

n21

ppp

xxx:X

cu respectarea condiţiei : 1pn

1ii

Funcţia de repartiţie Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare discrete X definită

pe E este o funcţieF: R [0, 1]care, pentru orice x R asociază valoarea F(x) = P(X <= x)

1

p1

p1 + p2

p1 + p2 + p3

x1 x2 x3 xn x

Fpentru care F(x1) = P(X x1)

= p1

F(x2) = P(X x2) = P(X = x1 sau X=x2) = p1+p2

F(x3) = P(X x3) = P(X = x1 sau X = x2 sau X=x3) = p1 + p2+p3

Variabile aleatoare continue

În descrierea variabilei aleatoare continue se discută despre corespondenţa dintre intervalele dreptei reale şi probabilităţile corespunzătoare acestor intervale I P(x I), unde X este variabila aleatoare. Valorile unei astfel de variabile aleatoare nu mai pot fi scrise într-un şir, iar, după cum se va arăta în continuare,

P(X = x) = 0 pentru x R Daca ne raportam la statistica descriptiva, in investigarea unui caracter

continuu datele sunt grupate pe clase sau intervale şi evenimente de tipul (X=xk) trebuie înlocuite cu evenimente de tipul ( a<X<b), unde a şi b

sunt numere reale oarecare

Legi de repartitie pentru variabile continue

Densitate de probabilitateO funcţie f definită pe R, continuă pe R sau pe un interval închis

din R, în afara căruia este nulă, se numeşte densitate de probabilitate dacă:

a) f(x) 0 pentru x R

b)

1dxxf

O variabilă aleatoare X este numită continuă dacă există o funcţie de densitate f pentru care functia de repartitie F se poate defini pentru orice x real prin relatia:

( ) ( )x

F x f t dt

Calculul probabilitatilor

( )b a b

a

P a X b F b F a f t dt f t dt f t dt

a

dxxfaF

aXPaF

)()(

)()(

a b x

P(x <a)

P(a < x < b)

f(x)

a

dxxfaXP

b

P X b f x dx

b

a

dxxfbXaP

0bXPbXaPlimba

( ) ( ) ( ) ( )P a X b P a X b P a X b P a X b

Pentru orice număr real b, P(X = b) = 0. Astfel, pentru o variabila aleatoare continua probabilitatea ca aceasta sa ia o valoare anume este nula.

0b

b

dxxf

Ca o consecinţa a cestei definiţii este valabila egalitatea:

Calculul probabilitatii ca variabila aleatoare continua sa ia exact valoarea b presupune ca a tinde catre b:

Media variabilei aleatoare

n

n

ppp

xxxX

21

21: 11

n

iip

n

iii pxXE

1

se numeşte valoarea medie variabilei aleatoare X

În cazul în care variabila aleatoare X poate lua valori într-o mulţime infinita numărabilă de valori x1, x2, x3, ... cărora le corespund probabilităţile p1, p2, p3, ... atunci numărul

1i

ii pxXE

Este media variabilei X daca seria este absolut convergentă

Dacă X este o variabilă aleatoare continuă cu densitatea de probabilitate f, atunci numărul

dxxfxXE )(

se numeşte media variabilei aleatoare X, dacă integrala este convergentă

Dispersia

Dispersia unei variabile aleatoare X este definită ca media variabilei şi se notează cu D(X).

2XEX

222222 22 XEXEXEXEXEXEXEXEXEXD

22 XEXEXD

n

iii pXExXD

1

2))(( Pt o variabila discreta

dxxfXExXD 2))(( Pentru o variabila continua

XDX Abatere medie patratica

Sau:

Câteva proprietăţi ale mediei şi dispersiei În studiul variabilelor aleatoare şi în aplicaţiile acestora în

analiza datelor experimentale este necesară cunoaşterea unor proprietăţi importante ale mediei şi dispersiei variabilelor aleatoare. Enunţăm, fără a le demonstra, c-teva proprietăţi ale mediei şi dispersiei.

Dacă X este o variabilă aleatoare şi a o constantă reală atunci: E(aX) = aE(X) E(a)=a E(X + a) = E(X) + a D(a)=0 D(X + a) = D(X) D(aX) = a2D(X)

( ) 1( ) ( ) 0

X E XE E X E X

σ σ

2

( ) 1( )

X E XD D X

σ σ

MomenteSe numeşte moment de ordinul k al variabilei aleatoare X:

k ki i

i

M x p

( )k kM x f x dx

pentru variabile aleatoare discrete

pentru variabile aleatoare continue

Momentele pot caracteriza repartiţia unei anumite variabile aleatoare, dar pentru o caracterizare care sa se apropie de realitate este necesar un număr mare de momente (pentru o identificare totala ar fi necesare un număr infinit de momente). Tehnica înlocuirii repartiţiei prin momentele sale este utilizata in rezolvarea problemelor de inginerie in care apar variabile aleatore sau se efectuează bilanţuri de populatei (in ingineria polimerilor, cristalizare). Rapoarte de momente succesive sunt utilizate in aceste domenii pentru a caracteriza dimensiuni medii ale cristalelor sau ale polimerului.

Se observa ca momentul de ordin 1 este chiar media E(X)

Momentele centrate sunt momente ale unei variabile aleatore definita ca diferenţa intre variabila aleatoare X si media acesteia. Deoarece media unei variabile aleatoare este o constanta, si X-E(X) este o variabila aleatoare cu aceeaşi densitate de probabilitate ca si a variabilei X.

Momentul centrat de ordin 2 este chiar dispersia.

2( ) ( ( ))D X x E X dx

Variabile aleatoare discrete finite-variabila binomiala

Această variabilă aleatoare poate modela procese stohastice pentru care rezultatul unui experiment are doar două valori posibile: succes sau eşec. De exemplu la verificarea unor standarde de calitate pentru un produs, acesta fiind respectat sau nu.În modelul variabilei binomiale se consideră că testul se aplică unui număr n de probe (n fiind finit şi cunoscut), probele fiind identice.Se notează cu “p” probabilitatea unui succes şi q = 1 – p probabilitatea unui insucces.Rezultatul fiecărei testări este independent de rezultatul testărilor anterioare. Probabilitatea evenimentului ca din n probe k probe să aibă ca rezultat un succes este:

knkkn qpCkXP

Variabila aleatoare binomială se notează B(n,p), iar n şi p se numesc parametrii repartiţiei binomiale.

Variabila aleatoare infinită- Poisson

Dacă in repartiţia binomială B(n,p) in care repartiţia definită cu relaţia, unde q=1-p

knk qpknk

nkXP

)!(!

!)( Binomul lui Newton

se consideră probabilitatea p ca luând valori tot mai mici iar numărul n ia valori foarte mari atunci se poate nota parametrul =np iar probabilitatea P(X=k) tinde către :

!)P(

k

λeλ

kλ

Această repartiţie limită se numeste repartiţia Poisson. Media si dispersia unei variabile aleatoare repartizată Poisson au valoarea .

este singurul parametru al repartiţiei si se poate spune ca probabilitatea pentru o anumita valoare depinde numai de .

Multe situaţii practice pot fi modelate cu repartitia Poisson:

producerea unor accidente când probabilitatea ca ele să se petreacă este mica dar numărul situaţiilor in care se pot produce este mare.

modelarea fenomene controlate de nucleatie întâmplatoare cum sunt de exemplu cristalizarea polimerilor sau transformarile polimorfe în faze solide

procese de policondensare

Variabile aleatoare continuue

Variabila Normala Variabila 2 (Hi patrat) Variabila T (Student) Variabila F (Fisher) Variabila Weibul, etc

Repartiţia normală este cea mai larg utilizată în analiza datelor pentru că:

multe variabile aleatoare care apar în cadrul experimentelor au repartiţie normală

multe repartiţii complexe pot fi aproximate cu o repartiţie normală (exemplu în acest sens este distribuţia binomială)

anumite variabile aleatorii utilizate în verificarea ipotezelor statistice au repartiţie normală

Ipoteza de repartiţie normală este de multe ori adaptată fără discriminare pentru orice rezultate ale unor măsurători experimentale pentru că în acest caz există deja proceduri statistice de analiză bine formulate. În realitate, nu toate rezultatele unor măsurători experimentale afectate de erori aleatoare au o distribuţie normală.

Legea de probabilitate a variabilei normale

O variabilă aleatoare continuă X este repartizată normal cu parametrii şi şi se notează N(,) dacă are ca densitate de probabilitate funcţia

2

2

2

x

e2

1xf

cu x R.

12

1 2

2

2

dxedxxfx

Media si dispersia

2

22( ) *2

xx

E x x f x dx e dx

22

x22 dxe

2

1xdxxfx)x(D

2

2

x

f(x) N(,12)

N(,22)

2 22 1σ σ

Repartitia normala este simetrica fata de medie.

Media este si mod si mediana