variabel acak dan nilai harapan
DESCRIPTION
VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN. Variabel Acak. Didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel acak adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam ruang sampel. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/1.jpg)
VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN
![Page 2: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/2.jpg)
Variabel Acak
Didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan.Variabel acak adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam ruang sampel.Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan.
![Page 3: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/3.jpg)
Variabel acak dapat dibedakan atas :
• Variabel acak diskrit (hasil perhitungan)
• Variabel Acak Kontinu (hasil pengukuran)
![Page 4: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/4.jpg)
Variabel Acak Diskrit
• Variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah, yg umumnya dihasilkan dari perhitungan suatu objek.
• Variabel acak diskrit tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.
• Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak pecahan.
![Page 5: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh-contoh variabel Diskrit
Percobaan Variabel Acak Kemungkinan Nilai V. Acak
Penjualan Mobil
Jenis kelamin Pembeli
0 : Jika Wanita1 : Jika Pria
Penelitian thdp50 produk baru
Jumlah produk yang rusak
0,1,2,3……50
![Page 6: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/6.jpg)
Variabel Acak Kontinu
Variabel Acak Kontinu adalah variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval, atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu.Nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan.
![Page 7: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh variabel kontinu
PercobaanPercobaan Variabel AcakVariabel Acak Kemungkinan Kemungkinan Nilai-nilai Nilai-nilai Variabel AcakVariabel Acak
Membangun Membangun Proyek Proyek perkantoran perkantoran baru setelah 6 baru setelah 6 bulanbulan
Prosentasi Prosentasi proyek yang proyek yang diselesaikandiselesaikan
1000 x
![Page 8: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/8.jpg)
DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT
Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu
probabilitas didistribusikan terharapan nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Notasi
sebagai p(x)
![Page 9: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/9.jpg)
Jumlah Mobil terjual dalam sehari menurut jumlah hari selama 300 hari
Jumlah mobil terjual dlm sehari
Jumlah hari
0 54
1 117
2 72
3 42
4 12
5 3
Total 300
![Page 10: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/10.jpg)
Jika X menyatakan jumlah mobil yg terjual dalam sehari, maka p(0) menyatakan probabilitas 0 mobil terjual per hari, p(1) menyatakan probabilitas 1 mobil terjual perhari dan seterusnya. Berdasarkan informasi yang diperoleh maka probabilitas 0 mobil dalam sehari adalah 54/300 = 0.18.
![Page 11: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/11.jpg)
Secara singkat nilai probabilitas ditabelkan sebagai berikut.
X P(x)
0 0.18
1 0.39
2 0.24
3 0.14
4 0.04
5 0.01
Total
1
![Page 12: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/12.jpg)
Sehingga apabila kita ingin menghitung probabilitas bahwa 3 atau lebih mobil terjual dalam sehari, maka kita hitung
p(3) + p(4) + p(5) = 0.14 + 0.04 + 0.01 = 0.19
![Page 13: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/13.jpg)
Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit
• atau
• Jumlah seluruh
oxp )( 1)(0 xp
1)(xp
![Page 14: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/14.jpg)
Grafik fungsi Probabilitas
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5
East
Distribusi probabilitas diatas dapat dinyatakandengan rumus (fungsi):
P(x) = x/10,
Untuk x = 1,2,3 atau 4 Fungsi distribusi tdk
boleh negatif & syarat sblumnya harus terpenuhi.
![Page 15: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/15.jpg)
FUNGSI PROBABILITAS KUMULATIF VARIABEL ACAK DISKRIT
Digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.Apabila kita ingin mencari probabilitas bahwa mobil yg terjual kurang dari 3, Maka kita akan menjumlahkan semua probabilitas dari nilai 2x yang bersangkutan.
![Page 16: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/16.jpg)
Rumus Probabilitas Kumulatif Variabel Diskrit
Dimana : menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X=x yang merupakan jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai x sama atau kurang dari x
p(x)Xx)P(XF(X)
x)P(XF(x)
![Page 17: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/17.jpg)
Probabilitas Kumulatif dari jumlah Mobil terjual dalam
Sehari
X F(X)
0 0.18
1 0.57 (=0.18+0.39)
2 0.81 (=0.57+0.24)
3 0.95 (=0.81+0.14)
4 0.99 (=0.95+0.04)
5 1.00 (=0.99+0.01)
![Page 18: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/18.jpg)
Jadi jika fungsi kumulatif disajikan dalam bentuk grafik adalah sebagai berikut :
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 1 2 3 4 5
East
![Page 19: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/19.jpg)
Fungsi Probabilitas Bersama (Joint Probability)
Pada Variabel acak dan distribusi probabilitas telah dibatasi hanya untuk ruang sample berdimensi satu, dalam arti bahwa hasil-hasil yg diperoleh sari suatu percobaan merupakan nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu peubah (variabel) acak. Dalam prakteknya banyak kondisi yang menghendaki kita untuk mencatat.
![Page 20: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/20.jpg)
Sehingga untuk dinyatakan dalam bentuk formula kita ambil suatu contoh yaitu X dan Y adalah dua variabel acak diskrit, distribusi probabilitas bersamanya dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi f(x,y) bagi sembarang nilai (x,y) yang dapat diambil oleh peubah acak X dan Y. Sehingga dalam kasus variabel acak diskrit tersebut dinyatakan dalam :
![Page 21: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/21.jpg)
• Formula Fungsi Probabilitas Bersama
f(x,y) = p(X=x, Y=y)Dimana : f(x,y) adalah pernyataan peluang
bahwa x dan y terjadi secara brsamaan.
![Page 22: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/22.jpg)
Variabel DiskritHasil Lemparan Dadu Dua kali
X\Y 1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66
![Page 23: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/23.jpg)
Distribusi Probabilitas Bersama, p(x,y)
X\Y 1 2 3 4 5 6
1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
![Page 24: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/24.jpg)
Nilai Harapan dan Varians dari Variabel Acak Diskrit
• Nilai Harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil ( outcome ).
![Page 25: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/25.jpg)
Nilai Harapan Variabel Acak Diskrit
• E ( X )= x = xi.f (x)atau
• E ( X )= x = (xi.P(x))Dimana :Xi = nilai ke i dari variabel acak XP(xi) = probabilitas terjadinya xi
![Page 26: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh :
X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama 1 minggu. P(X) = probabilitas X = x.
X 0 1 2 3
P(x) 0,125 0,375 0,375 0,125
Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan.
![Page 27: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/27.jpg)
Varians dan Simpangan Baku
Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu :
Var (X) = 2 = E(X2) ––(E(X))2
Var (X) = 2 = (x – ) 2. P(x) = Var (X)
![Page 28: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/28.jpg)
Nilai Harapan dari Fungsi Probabilitas Bersama.
E[h(x,y) = h(x,y) p(x,y)
dimana :h(x,y) = sembarang fungsi dari X dan Yp(x,y) = probabilitas terjadinya X dan Y secara bersama-sama.
![Page 29: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/29.jpg)
Contoh :Apabila diketahui p(x,y) sebagai berikut :
X\Y 0 1 2 3 4 P(x)
2 0 0,1 0,1 0,2 0 0,4
3 0,1 0 0,1 0 0,2 0,4
4 0,1 0,1 0 0 0 0,2
q(y) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1a) Carilah nilai E (X+Y)b) Carilah nilai E (X) + E (Y)c) Carilah nilai E (XY)
![Page 30: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/30.jpg)
Kovarians
• Kovarians adalah suatu pengukuran yang menyatakan variasi bersama dari dua variabel acak.
• Kovarians antara 2 variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan xy dan didefinisikan sebagai berikut :
![Page 31: VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081415/568150b7550346895dbed213/html5/thumbnails/31.jpg)
),()]()][([1
iii
N
iixy yxp YEYXEX
Dimana :Xi = nilai variabel acak X ke iYi = nilai variabel acak Y ke ip(xi,yi) = probabilitas terjadinya xi dan yii = 1, 2, 3, …., n
Persamaan Kovarians