v egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/vea_eloadasok/01-eloadas.pdf ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/1.jpg)
Kinematika
Vegeselem analızis
1. eloadas
Pere Balazs
Szechenyi Istvan Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszek
2014. oktober 20.
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 2: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/2.jpg)
Kinematika
Mi az a VegesElem Analızis (VEA)?
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 3: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/3.jpg)
Kinematika
Mi az a VegesElem Analızis (VEA)?
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 4: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/4.jpg)
Kinematika
Mi az a VegesElem Analızis (VEA)?
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 5: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/5.jpg)
Kinematika
Mi az a VegesElem Analızis (VEA)?
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 6: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/6.jpg)
Kinematika
Mi az a VegesElem Analızis (VEA)?
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 7: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/7.jpg)
Kinematika
Mi az a VegesElem Analızis (VEA)?
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 8: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/8.jpg)
Kinematika
Mi az a VegesElem Analızis (VEA)?
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 9: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/9.jpg)
Kinematika
Rugalmassagtani alapok
KinematikaDinamikaAnyagtorvenyekRugalmassagtani peremertek feladat megfogalmazasa
Rugalmassagtani peremertek feladat kozelıto megoldasa
Virtualis munka elveVirtualis elmozdulas elvePotencialis energia minimuma elvLagrange-fele variacios elvRitz-modszer
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 10: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/10.jpg)
Kinematika
A vegeselem modszer felepıtese 3D-s feladatra
Tetraeder, pentaeder es hexaeder vegeselemekElmozdulasok, alakvaltozasok es feszultsegek kozelıtese egyvegeselemenEgy vegeselem alakvaltozasi energiaja es merevsegi matrixaKulso erok munkaja egy vegeselemenEgy vegeselem potencialis energiajaTeljes szerkezet merevsegi matrixa es tehervektoraKinematikai peremfeltetelek figyelembeveteleMegoldas: elmozdulas-, alakvaltozas- es feszultsegmezoeloallıtasa
Specialis terhelesek
Kinematikai terhelesRugalmas agyazas
Kiegeszıtesek a vegeselem modszerhez
Numerikus integralas: Gauss kvadratura
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 11: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/11.jpg)
Kinematika
Mechanikai modellek a vegeselem modszerben
Rud-modellek
Bernoulli-fele rudelmeletTimoshenko-fele rudelmelet
2D-s feladatok
Altalanosıtott sıkfeszultseg feladatSıkalakvaltozasi feladatForgasszimmetrikus feladat
Lemez- es hej-modellek
Mebran elmeletKirchhoff-Love elmeletReissner-Mindlin elmelet
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 12: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/12.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Kinematika:
A kinematika a testek mozgasat, alakvaltozasat ırja le, es nemkeresi a mozgast vagy alakvaltozast letrehozo okokat.
A”kinematika” szo eredete: κινειν (kinein),
jelentese: mozogni.
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 13: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/13.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Elmozdulasok
~u
~ex ~ey
~ez
O
Q
~χ(~r)
Q
kezdeti helyzetpillanatnyi helyzet
~r ~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 14: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/14.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Elmozdulasok
~u
~ex ~ey
~ez
O
Q
~χ(~r)
Q
~r
kezdeti helyzetpillanatnyi helyzet
~r
~r – a deformalatlan test pontjaiba mutato vektor
~r = x~ex + y~ey + z~ez
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 15: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/15.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Elmozdulasok
~ex ~ey
~ez
O
Q
~χ(~r)
Q
kezdeti helyzetpillanatnyi helyzet
~r ~r
~u
~r – a deformalt test pontjaiba mutato vektor
~r = x~ex + y~ey + z~ez
ahol
x = x (x, y, z) y = y (x, y, z) z = z (x, y, z)Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 16: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/16.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Elmozdulasok
~ex ~ey
~ez
O
Q
~χ(~r)
Q
kezdeti helyzetpillanatnyi helyzet
~u
~r ~r
~u = ~r−~r = (x− x)~ex + (y − y)~ey + (z − z)~ez = u~ex + v~ey +w~ez
ahol
u = u (x, y, z) v = v (x, y, z) w = w (x, y, z)Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 17: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/17.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Elmozdulasok
~u
~ex ~ey
~ez
O
Q
Q
kezdeti helyzetpillanatnyi helyzet
~χ(~r)
~r ~r
~χ (~r) – egy vektor-vektor fuggveny, amely megadja a deformalatlantest pontjainak lekepezeset a deformalt test pontjaira. Ez afuggveny nem feltetlenul linearis!
~χ (~r) = ~χ (x, y, z) = ~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 18: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/18.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
~u
~ex ~ey
~ez
O
~χ(~r)
Q
P
Q
P
∆~r∆~r
~u+∆~u
~r ~r
~χ (~rP ) = ~rPvagy ugyan ez maskent
~χ (~rQ + ∆~r) = ~rQ + ∆~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 19: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/19.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
~u
~ex ~ey
~ez
O
~χ(~r)
Q
P
Q
P
∆~r∆~r
~u+∆~u
~r ~r
Kerdes: Mekkora a ∆~u, ha ~r es ∆~r tetszoleges?
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 20: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/20.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
~u
~ex ~ey
~ez
O
~χ(~r)
Q
P
Q
P∆~r
~r ~r
∆~r
~u+∆~u
~r + ∆~r + (~u+ ∆~u) = ~r + ∆~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 21: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/21.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
~u
~ex ~ey
~ez
O
~χ(~r)
Q
P
Q
P∆~r
~r ~r
∆~r
~u+∆~u
~r + ∆~r + (~u+ ∆~u) = ~r + ∆~r
~r + ∆~r + (~u+ ∆~u) = ~χ (~r)︸︷︷︸~r
+ [~χ (~r + ∆~r)− ~χ (~r)]︸ ︷︷ ︸∆~r
~r + ~u︸ ︷︷ ︸~r
+∆~r + ∆~u = ~χ (~r + ∆~r)
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 22: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/22.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
~u
~ex ~ey
~ez
O
~χ(~r)
Q
P
Q
P∆~r
~r ~r
∆~r
~u+∆~u
~r + ∆~r + (~u+ ∆~u) = ~r + ∆~r
~r + ∆~r + (~u+ ∆~u) = ~χ (~r)︸︷︷︸~r
+ [~χ (~r + ∆~r)− ~χ (~r)]︸ ︷︷ ︸∆~r
~r + ~u︸ ︷︷ ︸~r
+∆~r + ∆~u = ~χ (~r + ∆~r)
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 23: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/23.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
~u
~ex ~ey
~ez
O
~χ(~r)
Q
P
Q
P∆~r
~r ~r
∆~r
~u+∆~u
~r + ∆~r + (~u+ ∆~u) = ~r + ∆~r
~r + ∆~r + (~u+ ∆~u) = ~χ (~r)︸︷︷︸~r
+ [~χ (~r + ∆~r)− ~χ (~r)]︸ ︷︷ ︸∆~r
~r + ~u︸ ︷︷ ︸~r
+∆~r + ∆~u = ~χ (~r + ∆~r)
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 24: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/24.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Sorfejtes a linearis tagokig bezarolag
~χ (~r + ∆~r) ≈ ~χ (~r)︸︷︷︸~r
+∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z + · · ·
⇓
~r + ∆~r + ∆~u = ~r +∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z
⇓
∆~r + ∆~u =∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 25: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/25.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Sorfejtes a linearis tagokig bezarolag
~χ (~r + ∆~r) ≈ ~χ (~r)︸︷︷︸~r
+∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z + · · ·
⇓
~r + ∆~r + ∆~u = ~r +∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z
⇓
∆~r + ∆~u =∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 26: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/26.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Sorfejtes a linearis tagokig bezarolag
~χ (~r + ∆~r) ≈ ~χ (~r)︸︷︷︸~r
+∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z + · · ·
⇓
~r + ∆~r + ∆~u = ~r +∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z
⇓
∆~r + ∆~u =∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 27: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/27.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
∆~r + ∆~u =∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z =
=∂~χ
∂x(~ex · ~ex) ∆x+
∂~χ
∂y(~ey · ~ey) ∆y +
∂~χ
∂z(~ez · ~ez) ∆z =
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ez∆z
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 28: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/28.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
∆~r + ∆~u =∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z =
=∂~χ
∂x(~ex · ~ex) ∆x+
∂~χ
∂y(~ey · ~ey) ∆y +
∂~χ
∂z(~ez · ~ez) ∆z =
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ez∆z
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 29: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/29.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Azonossag
~a(~b · ~c
)=(~a ◦~b
)· ~c
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 30: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/30.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
∆~r + ∆~u =∂~χ
∂x∆x+
∂~χ
∂y∆y +
∂~χ
∂z∆z =
=∂~χ
∂x(~ex · ~ex) ∆x+
∂~χ
∂y(~ey · ~ey) ∆y +
∂~χ
∂z(~ez · ~ez) ∆z =
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ez∆z
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 31: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/31.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ez∆z =
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ez∆z+
+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ez∆z+
+
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ez∆z =
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 32: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/32.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ez∆z =
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· ~ez∆z+
+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· ~ez∆z+
+
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ex∆x+
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ey∆y +
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· ~ez∆z =
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 33: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/33.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· (~ex∆x+ ~ey∆y + ~ez∆z) +
+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· (~ex∆x+ ~ey∆y + ~ez∆z) +
+
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· (~ex∆x+ ~ey∆y + ~ez∆z) =
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex +
∂~χ
∂y◦ ~ey +
∂~χ
∂z◦ ~ez
)· (∆x~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez)
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 34: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/34.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex
)· (~ex∆x+ ~ey∆y + ~ez∆z) +
+
(∂~χ
∂y◦ ~ey
)· (~ex∆x+ ~ey∆y + ~ez∆z) +
+
(∂~χ
∂z◦ ~ez
)· (~ex∆x+ ~ey∆y + ~ez∆z) =
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex +
∂~χ
∂y◦ ~ey +
∂~χ
∂z◦ ~ez
)· (∆x~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez)
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 35: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/35.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
∆~r + ∆~u =
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex +
∂~χ
∂y◦ ~ey +
∂~χ
∂z◦ ~ez
)· (∆x~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez) =
=↓~χ ◦(∂
∂x~ex +
∂
∂y~ey +
∂
∂z~ez
)
︸ ︷︷ ︸∇
· (∆x~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez)︸ ︷︷ ︸∆~r
=
=↓~χ ◦ ∇ ·∆~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 36: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/36.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
∆~r + ∆~u =
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex +
∂~χ
∂y◦ ~ey +
∂~χ
∂z◦ ~ez
)· (∆x~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez) =
=↓~χ ◦(∂
∂x~ex +
∂
∂y~ey +
∂
∂z~ez
)
︸ ︷︷ ︸∇
· (∆x~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez)︸ ︷︷ ︸∆~r
=
=↓~χ ◦ ∇ ·∆~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 37: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/37.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
∆~r + ∆~u =
=
(∂~χ
∂x◦ ~ex +
∂~χ
∂y◦ ~ey +
∂~χ
∂z◦ ~ez
)· (∆x~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez) =
=↓~χ ◦(∂
∂x~ex +
∂
∂y~ey +
∂
∂z~ez
)
︸ ︷︷ ︸∇
· (∆x~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez)︸ ︷︷ ︸∆~r
=
=↓~χ ◦ ∇ ·∆~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 38: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/38.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Mivel~χ (~r) = ~r es ~r = ~r + ~u
⇓
∆~r + ∆~u =↓~r ◦ ∇ ·∆~r =
∂~r
∂~r·∆~r =
∂
∂~r(~r + ~u) ·∆~r =
=
(∂~r
∂~r+∂~u
∂~r
)·∆~r =
∂~r
∂~r︸︷︷︸I
·∆~r +∂~u
∂~r·∆~r = ∆~r +
∂~u
∂~r·∆~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 39: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/39.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Mivel~χ (~r) = ~r es ~r = ~r + ~u
⇓
∆~r + ∆~u =↓~r ◦ ∇ ·∆~r =
∂~r
∂~r·∆~r =
∂
∂~r(~r + ~u) ·∆~r =
=
(∂~r
∂~r+∂~u
∂~r
)·∆~r =
∂~r
∂~r︸︷︷︸I
·∆~r +∂~u
∂~r·∆~r = ∆~r +
∂~u
∂~r·∆~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 40: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/40.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Mivel~χ (~r) = ~r es ~r = ~r + ~u
⇓
∆~r + ∆~u =↓~r ◦ ∇ ·∆~r =
∂~r
∂~r·∆~r =
∂
∂~r(~r + ~u) ·∆~r =
=
(∂~r
∂~r+∂~u
∂~r
)·∆~r =
∂~r
∂~r︸︷︷︸I
·∆~r +∂~u
∂~r·∆~r = ∆~r +
∂~u
∂~r·∆~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 41: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/41.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
∆~r + ∆~u = ∆~r +∂~u
∂~r·∆~r
⇓
∆~u =∂~u
∂~r·∆~r
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 42: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/42.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Definıcio
Az elmozdulas fuggveny gradienset derivalttenzornak nevezzuk.
∂~u
∂~r= ~u ◦ ∇ = D
D =∂~u
∂x◦ ~ex +
∂~u
∂y◦ ~ey +
∂~u
∂z◦ ~ez
[D]
(xyz)
=
∂u∂x
∂u∂y
∂u∂z
∂v∂x
∂v∂y
∂v∂z
∂w∂x
∂w∂y
∂w∂z
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 43: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/43.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Definıcio
Az elmozdulas fuggveny gradienset derivalttenzornak nevezzuk.
∂~u
∂~r= ~u ◦ ∇ = D
D =∂~u
∂x◦ ~ex +
∂~u
∂y◦ ~ey +
∂~u
∂z◦ ~ez
[D]
(xyz)
=
∂u∂x
∂u∂y
∂u∂z
∂v∂x
∂v∂y
∂v∂z
∂w∂x
∂w∂y
∂w∂z
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 44: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/44.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Definıcio
Az elmozdulas fuggveny gradienset derivalttenzornak nevezzuk.
∂~u
∂~r= ~u ◦ ∇ = D
D =∂~u
∂x◦ ~ex +
∂~u
∂y◦ ~ey +
∂~u
∂z◦ ~ez
[D]
(xyz)
=
∂u∂x
∂u∂y
∂u∂z
∂v∂x
∂v∂y
∂v∂z
∂w∂x
∂w∂y
∂w∂z
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 45: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/45.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
A derivalttenzor felbontasa szimmetrikus es ferden szimmetrikus re-szekre
D =1
2
(D +DT
)︸ ︷︷ ︸
A
+1
2
(D −DT
)︸ ︷︷ ︸
Ψ
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 46: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/46.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Tetel
Ha az u, v es w sokkal kisebb mint a test jellemzo meretei , azaz azelmozdulasok nagyon kicsik, akkor az A jo kozelıtessel az alakvalto-zast ırja le, a Ψ pedig a tengely koruli szogelfordulast.
A az alakvaltozasi tenzor,
Ψ a forgato tenzor.
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 47: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/47.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Definıcio
Az
A =1
2
(D +DT
)=
1
2(~u ◦ ∇+∇ ◦ ~u)
egyenletet kinematikai egyenletnek nevezzuk.
A kinematikai egyenlet kapcsolatot teremt az elmozdulasok es azalakvaltozasok kozott.
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 48: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/48.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Elemi trieder
Q
~ez
~ex ~ey
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 49: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/49.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
A derivalttenzor szemleltetese
∆~u = D ·∆~r = A ·∆~r + Ψ ·∆~r
Ha∆~r = ~ex ⇒ ∆~ux = A · ~ex + Ψ · ~ex = ~αx + ~βx
∆~r = ~ey ⇒ ∆~uy = A · ~ey + Ψ · ~ey = ~αy + ~βy
∆~r = ~ez ⇒ ∆~uz = A · ~ez + Ψ · ~ez = ~αz + ~βz
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 50: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/50.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Derivalttenzor szemleltetese
Q
~ez
~ex
∆~ux~βx
~αx
~ey ~αy
~βy
~αz
~βz
∆~uz
∆~uy
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 51: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/51.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Forgas szemleltetese
[Ψ]
(xyz)
=
0 12
(∂u∂y − ∂v
∂x
)12
(∂u∂z − ∂w
∂x
)
12
(∂v∂x − ∂u
∂y
)0 1
2
(∂v∂z − ∂w
∂y
)
12
(∂w∂x − ∂u
∂z
)12
(∂w∂y − ∂v
∂z
)0
=
=
0 −ψz ψy
ψz 0 −ψx
−ψy ψx 0
Megjegyzes:~βn = Ψ · ~n = ~ψ × ~n.
ahol~ψ = ψx~ex + ψy~ey + ψz~ez
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 52: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/52.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Forgas szemleltetese
~ex
~βy
~βz
~ez
Q
~βx−ψy
ψz
~ey
ψx
−ψz
ϕy
ϕzϕz
ϕx
ϕx
ϕy
ψy
−ψx
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 53: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/53.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Alakvaltozasok szemleltetese
[A]
(xyz)
=
∂u∂x
12
(∂u∂y + ∂v
∂x
)12
(∂u∂z + ∂w
∂x
)
12
(∂v∂x + ∂u
∂y
)∂v∂y
12
(∂v∂z + ∂w
∂y
)
12
(∂w∂x + ∂u
∂z
)12
(∂w∂y + ∂v
∂z
)∂w∂z
vagy tomorebben
A =1
2(~u ◦ ∇+∇ ◦ ~u)
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 54: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/54.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Alakvaltozas szemleltetese
12
(∂v∂z
+ ∂w∂y
)∂w∂z
12
(∂u∂z
+ ∂w∂x
)
12
(∂v∂x
+ ∂u∂y
) ∂u∂x
12
(∂w∂x
+ ∂u∂z
)
12
(∂u∂y
+ ∂v∂x
)
∂v∂y
12
(∂w∂y
+ ∂v∂z
)
Q
~ex ~ey
~αz
~ez
~αx~αy
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 55: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/55.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Ha a kezdetben egysegnyi hosszusagu szakaszok hossza csak kis mer-tekben valtozik meg es a koordinata-tengelyek kezdetben kilencvenfokos szoge csak kis mertekben csokken vagy novekszik, azaz
∂u
∂x� 1
∂v
∂y� 1
∂w
∂z� 1
es
1
2
(∂u
∂y+∂v
∂x
)� 1
1
2
(∂v
∂z+∂w
∂y
)� 1
1
2
(∂w
∂x+∂u
∂z
)� 1
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 56: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/56.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
akkor a fajlagos nyulasok az
εx ≈∂u
∂xεy ≈
∂v
∂yεz ≈
∂w
∂z
osszefuggesekkel, a szogtorzulasok pedig a
1
2γxy =
1
2γyx = arc tg
(1
2
(∂u
∂y+∂v
∂x
))≈ 1
2
(∂u
∂y+∂v
∂x
)
1
2γyz =
1
2γzy = arc tg
(1
2
(∂v
∂z+∂w
∂y
))≈ 1
2
(∂v
∂z+∂w
∂y
)
1
2γzx =
1
2γxz = arc tg
(1
2
(∂w
∂x+∂u
∂z
))≈ 1
2
(∂w
∂x+∂u
∂z
)
osszefuggesekkel kaphatok.Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 57: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/57.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
[A]
(xyz)
=
∂u∂x
12
(∂u∂y + ∂v
∂x
)12
(∂u∂z + ∂w
∂x
)
12
(∂v∂x + ∂u
∂y
)∂v∂y
12
(∂v∂z + ∂w
∂y
)
12
(∂w∂x + ∂u
∂z
)12
(∂w∂y + ∂v
∂z
)∂w∂z
≈
≈
εx12γxy
12γxz
12γyx εy
12γyz
12γzx
12γzy εz
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 58: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/58.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Alakvaltozasok
Alakvaltozas szemleltetese
12γyz
εy
12γxz
12γyx
εx
12γzx
εy
12γzy
12γxy
Q
~ex ~ey
~αz
~ez
~αx~αy
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 59: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/59.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Kinematikai egyenlet
Skalar egyenletek
εx =∂u
∂x, εy =
∂v
∂y, εz =
∂w
∂z
γxy =∂u
∂y+∂v
∂x
γyz =∂v
∂z+∂w
∂y
γzx =∂w
∂x+∂u
∂z
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 60: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/60.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Kompatibilitas
∇× / A =1
2(~u ◦ ∇+∇ ◦ ~u) /×∇
∇×A×∇ = ∇×(
1
2(~u ◦ ∇+∇ ◦ ~u)
)×∇ =
=1
2
(∇× ~u ◦ ∇ ×∇︸ ︷︷ ︸
~0
+∇×∇︸ ︷︷ ︸~0
◦~u×∇)
= 0
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 61: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/61.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Kompatibilitas
∇× / A =1
2(~u ◦ ∇+∇ ◦ ~u) /×∇
∇×A×∇ = ∇×(
1
2(~u ◦ ∇+∇ ◦ ~u)
)×∇ =
=1
2
(∇× ~u ◦ ∇ ×∇︸ ︷︷ ︸
~0
+∇×∇︸ ︷︷ ︸~0
◦~u×∇)
= 0
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 62: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/62.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Kompatibilitas
∇× / A =1
2(~u ◦ ∇+∇ ◦ ~u) /×∇
∇×A×∇ = ∇×(
1
2(~u ◦ ∇+∇ ◦ ~u)
)×∇ =
=1
2
(∇× ~u ◦ ∇ ×∇︸ ︷︷ ︸
~0
+∇×∇︸ ︷︷ ︸~0
◦~u×∇)
= 0
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas
![Page 63: V egeselem anal zis 1. el}oad asperebal/oktatas/oravazlatok/VEA_eloadasok/01-eloadas.pdf · Kinematikai peremfelt etelek gyelembev etele Megold as: elmozdul as-, alakv altoz as- es](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041712/5e48b32f99ef1f1593382881/html5/thumbnails/63.jpg)
KinematikaElmozdulas mezoAlakvaltozasokKompatibilitas
Kompatibilitas
Kompatibilitasi egyenlet
Az∇×A×∇ = 0
egyenletet kompatibilitasi egyenletnek nevezzuk.
Pere Balazs Vegeselem analızis 1. eloadas