uzay geometri 322 sayfa tmoz

UZAY GEOMETRİ Başlıktan korkmayın. Oturduğumuz yerden Dünya ile Mars arasındaki uzaklığı filan ölçecek değiliz. İstersek ölçeriz ama konumuz bu değil. Çünkü bu uzay, o uzay değil. O uzaysa bi-le, işimiz gücümüz gezegenlerle değil, noktalar, doğrular ve düzlemlerle olacak.

P Geometride tüm noktalar kümesine uzay denir. Uzayın bir alt kümesi olan düzlem de yine bir noktalar küme-si gibi düşünülebilir. Masanın yüzeyi, duvarın yüzeyi, kitabın yüzü gibi. Düzlem genel olarak bir paralelkenar çizerek ve P, E, F gibi büyük harflerle gösterilir. Yalnız çizime aldanıp düzlemin sonlu olduğu zannedilmesin, düzlem sınırlı olma-yıp, burada sadece çizim olarak gösterilmiştir. P düzlemi ile notlarımızın bu sayfası aynı düzlemi göstermektedir.

Uzay Geometri TMOZ-OZEL Mustafa YAĞCI

2

P A

d

Bir doğru ile bir düzlemin sadece bir ortak noktası varsa doğ-ru düzlemi kesiyordur.

Şeklimizde d doğrusu ile P düzleminin ara kesiti şekilde gös-terildiği üzere A noktasıdır. Zaten bir doğru ile bir düzlem arasında üç ilişki olabilir, ya doğru düzlemin içindedir ya ke-siyordur ya da dışındadır.


3

PA B

Eğer bir doğru ile bir düzlemin ortak iki noktası varsa, doğru düzlemin içindedir.

Doğru düzlemi kesseydi eğer, tek noktada keserdi. İki ortak noktaları varsa, kesmiyor da olamaz. Dolayısıyla ortak iki nokta varsa, tek bir şans kalıyor, doğrunun o düzlemde olma-sı. Sonuç olarak, ortak iki nokta varsa, aslında ortak sonsuz nokta vardır.


4

P

arakesitdoğrusu

E

İki düzlem eğer kesişiyorlarsa bir doğru boyunca kesişirler.

Bu doğruya arakesit doğrusu denir.

Gazetelikleri ve Kur’an-ı Kerim rahlelerini hayal edebilirsi-niz. Fakat, bu örnekler sınırlı olduğundan arakesit doğru par-çası gibi olur. Buna aldanmayın. Gerçek düzlemler sınırsız olduğundan kesişim de sınırsızdır.


5

Pd

l

Aynı düzlem içinde bulunmayan ve birbirini kesmeyen doğ-rulara aykırı doğrular denir.

Şeklimizde d ∩ l = ∅ olup d ile l aykırı doğrulardır. Küpün ayrıtlarından kaç çiftin aykırı olduğunu hesaplamaya çalışı-nız.


6

P A B C

Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir.

Aynen tek bir üçgen belirttikleri gibi… Bunları şöyle düşün-mekte fayda olabilir: Bir kağıda doğrusal olmayan üç farklı nokta çizin. O noktaları köşe kabul eden üçgeni kim gelirse gelsin aynı çiziyorsa, demek ki o noktalar tek bir üçgen belirtir. Ayrıca bir kağıda kondurulmuş 3 nokta, o kağıdın yüzeyi dı-şında bir düzlem belirtemez. Her üç noktayı içeren bir başka düzlemi gösteremeyeceğinize ikna oluncaya kadar çizmeye ça-lışınız. Zira bir aksiyom olduğundan kanıtı yoktur.


7

P dk

Kesişen iki doğru bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir.

Doğruların üzerindeki tüm noktaları içeren başka bir düzlem olmadığına ikna olana kadar araştırmaya devam ediniz. So-nunda hidayete ereceksiniz.


8

PA d

Bir doğru ile dışındaki bir nokta, bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir.

Hem bu noktayı hem de doğrunun üzerinde bulunan tüm nok-taları içeren başka bir düzlem çizmeye veya hayal etmeye ça-lışınız, başaramayacaksınız.


9

Pd

k

Paralel iki doğru da diğerleri gibi sadece tek bir düzlem be-lirtir.

Aslında bu üstteki kuralın bir versiyonudur. Üst şekildeki A noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstünde farzederseniz, bahsi geçen şartları sağlayan P düzleminden başka düzlem olmadığını göreceksiniz.


10

A B

C

T

Dördü aynı düzlemde olmayan birbirinden farklı en az dört nokta uzay belirtir.

Uzay belirtmeyi aklınızda şöyle canlandırabilirsiniz. Verilen tüm noktaları ya da doğruları içeren bir düzlem bulamayınca, yani bu verileri bir düzleme sığdıramayınca anlıyoruz ki, hep-sini içine alan bir şey ancak üç boyutlu olabilir. Örneğin, yan-daki şekilde ABC düzlemi T’yi içermiyor, BCT düzlemi A’yı içermiyor, ACT düzlemi B’yi içermiyor, ABT düzlemi de C’yi içermiyor.


11

P

A

Bir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir.

Zaten kanıt teoremin içinde gibi. A noktası P düzleminin içinde olmadığından, hem düzlemdeki sonsuz noktayı hem de A noktasını içeren bir düzlem çizmenin mümkünatı yoktur. Var diyorsanız gösterin.


12

P

d

Bir düzlem ile dışındaki bir doğru uzay belirtir.

Bu da üstteki kuralın bir başka versiyonudur. Üst şekildeki A noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstündeymiş gibi düşünü-nüz. Aynı çıkarım kurallarını burada da uygularsınız.


13

P

E

Kesişen ya da paralel olan iki düzlem uzay belirtir.

Her ikisinin de sebebi aşikar sanırım. Hem P’deki, hem de E’deki tüm noktaları içine alan tek bir düzlem olmasına im-kan olmaması.


14

E

P

SA

Bir noktadan birden fazla düzlem geçer.

Geçer dediysek geçebilir manasında dedik. Mesela şekildeki E, P ve S düzlemlerinin ortak noktası A noktasıdır. Bu nokta-dan geçen başka bir düzlemi de siz gösteriniz.


15

P

EST

Bir doğruyu barındıran 1’den çok düzlem vardır.

Yani, bu doğruyu içeren sonsuz farklı düzlemin varlığından sözediliyor. Şekilden de açıkça görüldüğü üzere doğrunun noktalarının tümü T, S, E ve P düzlemlerinin hepsinde de bu-lunuyor. Düzlem sayısını istediğimiz kadar arttırabileceğimizi çoktan anlamış olmalısınız.


16

P

A Bd

E

Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa, bu noktalardan geçen doğru, her iki düzlemin arakesit doğrusudur.

Zaten o olmayacaktı da ben mi olacaktım? Arakesit doğrusu iki düzlemin tüm ortak noktalarını barındırdığından A ve B noktalarını da mecburen içerir.


17

PE

AB

C

İki düzlemin doğrusal olmayan, ortak üç noktası varsa bu iki düzlem çakışıktır.

Doğrusal olmayan üç değişik noktanın sadece tek bir düzlem belirteceğini sezgisel de olsa kanıtlamıştık. O halde bu P ve E düzlemleri aynı düzlemdir aslında, biz de böyle aslında aynı olan şeylere matematikte çakışık deriz.


18

PE

dl

Bir d doğrusu P ve E düzlemlerinin arakesit doğrusuna para-lel ise her iki düzleme de paraleldir.

Şeklimizden bakınız: d // l ise d // (P) ve d // (E) olur. Hatta bu arakesit doğrusunu içeren başka düzlemler de çizersek, o düzlemlere de paralel olur. Birinin de içinde olur.


19

P

d

Bir doğru ile bir düzlemin ortak noktası yoksa, doğru düzleme paraleldir.

Bunu zaten daha önce olabilecek üç şıktan biri olarak açıkla-mıştık. Yineleyelim: Tek bir ortak nokta doğru düzlemi kesi-yordur, en az iki ortak nokta varsa, doğru düzlemin içindedir.


20

Pd

k

Aynı düzlemde bulunan iki doğrunun ortak noktaları yoksa, bu iki doğru paraleldir.

Bu zaten direkt olarak düzlem geometrinin tanımlarından bi-ridir. Kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir.


21

E

P

A

Bir düzleme, dışında alınan bir noktadan yalnız bir paralel düzlem çizilebilir.

Açıklayalım: Düzlemimiz her zamanki gibi P, noktamız da A olsun. A noktasından, P düzleminde kaç farklı paralel doğru çizebiliriz? Sonsuz değil mi? İşte o sonsuz doğrunun oluştur-duğu tek düzlem olan E düzlemi istenen düzlemdir. Başka böyle bir düzlem yoktur.


22

E

P

S

Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir.

Düzlemlerde paralellik bağıntısının geçişken olduğunu söylü-yor. (P) // (E) ve (E) // (S) ise (P) // (S) dir. Haklı da. Aksi dü-şünülebilir mi? E düzlemi ile P düzlemi arasındaki uzaklık sabittir. E ile S düzleminin de. O halde sonuç olarak P ile S düzlemleri arasındaki uzaklık da sabit çıktı. Bu da istediğimi-ze kavuştuk demek!


23

P

E

S

İki düzlem ya paraleldir ya da kesişir.

Bir de çakışık olabilirlerdi hani? E, çakışıklarsa paralellerdir zaten. Unutma, her şey kendine paraleldir.

Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem, diğerini de keser.

P ile S düzlemleri paralel olsun. E düzlemi P düzlemini kesi-yormuş, o halde P’ye paralel değil, o halde mecburen S’ye de paralel değil. Paralel değilse keseceğini söylemiştik zaten.


24

E

P

A

B

d

Paralel iki düzlemden birini kesen doğru, diğer düzlemi de keser.

Yukardaki çıkarım kurallarının hepsi burada da geçerlidir. Uğraşın, yapamazsanız gelin.


25

P

Ad

Düzlemin dışındaki bir noktadan düzleme yalnız bir dik doğru çizilebilir.

Bunu da tersten kanıtlayalım. A noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dikme ayağına B deyin. Başka bir dik daha indi-rin (yok ama siz yine de indirin), onun ayağına da C deyin. ABC üçgeninin iç açılar toplamı 180o’den büyük çıktığı için başka bir dikin indirilemeyeceğini anlamış olmalısınız.


26

P

Ad

Düzlem dışındaki bir noktadan, düzleme dik çizilen bir doğru, düzlemi kestiği noktadan geçen doğruların tümüne dik olur.

Düzlemdeki doğruları bir kalemmiş gibi düşünün ve ufak ufak kalemi çevirmeye başlayın. Her zaman d doğrusuna dik olduğuna ikna olursunuz. Bir parşömen kağıdını hayal edin, kaç derece döndürürseniz döndürün, köşe açılarının dikliği bozulmuyor, değil mi?


27

P

A

Düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan birden fazla düzlem vardır.

Şeklimizdeki A noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dik-me ayağından geçen ve P üzerinde olan sonsuz doğru oldu-ğunu söylemiştik. İnen dikme ile o sonsuz doğrunun her biri-nin oluşturduğu düzlemler istenen düzlemlerdir.


28

P

Ad

Paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, diğerini ya dik keser ya da dik durumlu olur.

Yeni bir kavram var: Dik durumlu olmak. Bu, tam üstünde ol-saydım, seni dik keserdim demek. Ama değilim. Dik durumlu doğrular, aykırıdır.


29

Ad

Bir doğrunun üzerindeki bir noktadan, bu doğruya birden faz-la dik doğru çizilebilir.

Bulunduğunuz odada üç duvarın kesiştiği yeri inceleyin. Siga-ra paketi, kibrit kutusu gibi cisimlerin herhangi bir köşesini göz önüne getirin.

n tane doğru bir düzlemi

en az n + 1 bölgeye,

en çok 2 2

2n n+ + bölgeye

ayırır. Bunun kanıtını permutasyon-kombinasyon notlarında yapmıştık. Unutan tekrar oradan öğrenebilir.


30

UZAYDA BAZI GEOMETRİK YERLER

A

B

d lk

İki noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların kümesi, orta dikme düzlemidir.

Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz farklı doğru çize-bileceğimizi söylemiştik. O halde bir doğru parçasının tam or-ta noktasından, doğruyu dik kesen sonsuz doğru çizilebilir. Bu doğruların hepsini taşıyan öyle bir düzlem vardır ki ona orta dikme düzlemi deriz. Şekilden görebilirsiniz.


31

P

A

B

C

T

A, B, C gibi üçü aynı doğru üzerinde olmayan sabit üç nokta-dan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, bu üç noktadan geçen çemberin merkezinden çember düzlemine çı-kılan dik doğrudur. A, B, C noktaları doğrusal değilse, üçgen belirtirler. Her üçgenin çevrel çemberi olduğu gibi bu üçgenin de vardır. Bu çember, noktaların bulunduğu P düzlemindedir. Çemberin merkezinden P düzlemine çıkılan dikme OT olsun. TOA, TOB ve TOC birer eş dik üçgen olduklarından hipote-nüsleri eşit boyda olmalıdır. O halde |TA| = |TB| = |TC|.


32

P

E

S

T

Kesişen düzleme eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu iki düzlemin oluşturduğu iki düzlemli açının açıortay düzle-midir.

S düzlemi üzerinde hangi noktayı alırsanız alın, o noktanın P ve E düzlemlerine olan uzaklıkları eşittir.


33

R RO

C

A B

Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktaların kümesine düzlemde çember, uzayda küre denir.

Üst şekildeki küre, R yarıçaplı olup, O merkezlidir. C küre üzerinde bir nokta ve [AB] çap ise m(ACB) = 90° dir. Bunu zaten çember derslerimizde etraflıca görmüştük.


34

O r

Kürenin bir düzlemle arakesiti bir çemberdir.

Küre kesitinin yüzeyi merkezi O ve yarıçapı r olan bir daire-dir.


35

DİK İZDÜŞÜM

A

A'

f

f 'P

P

A B

A' B'

Bir A noktasından bir P düzlemine çizilen dik doğrunun düz-lemi kestiği A′ noktasına, A noktasının P düzlemindeki dik izdüşümü denir.

Bir noktalar kümesinin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü, bütün noktaların bu düzlem üzerindeki dik izdüşümlerin kü-mesidir. Yani bir doğru parçası ya da bir şeklin bir düzlem üzerindeki izdüşümünü bulmak için şeklin tüm noktalarının izdüşümünü almak gerekir.


36

A'B'

C'D'E'

A B

CDE

Q

P

α

Yandaki izdüşüm şekillerini inceleyiniz. A noktasını dik izdü-şümü A′ noktası f eğrisinin dik izdüşümü f ′ eğrisi, [AB] doğru parçasının izdüşümü [A′B′] doğru parçasıdır.

İki düzlem arasındaki açıya ölçek denir.

(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α’dır.


37

(P) düzlemindeki ABCD dörtgeninin (Q) düzlemindeki izdü-şümü A′B′C′D′ dörtgenidir.

ABCD ve A′B′C′D′ dörtgenleri eş zannedilmesin, değildir!

Yani (P) düzlemindeki bir çemberin izdüşümü, (Q) düzle-minde bir çember olmayabilir. Olmayabilir dedik, çünkü ba-zen olur.

Örneğin, (P) ve (Q) düzlemleri paralel olursa, (P) düzlemin-deki bir şeklin izdüşümü, (Q) düzleminde yine kendisi olur.


38

İzdüşüm Uzunluğunun ve Alanının Bulunması

A' B' Q

P

αA

B

(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemi içindeki [AB]’nin (Q) düzlemindeki dik izdüşümü [A′B′] ise |A′B′| = |AB|·cos α olur. Aslında sebebi çok basit. A noktasından A’B’ doğrusuna bir paralel çizin. BB’ doğrusunu kestiği nokta K olsun. AA’B’K bir dikdörtgen olacağından |A’B’| = |AK| olur. BAK dik üçge-ninde kosinüs tanımı gereği |AK| = |A′B′| = |AB|·cos α.


39

Q

P

α

S

S'

(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemindeki bir bölgenin alanı S, bu bölgenin (Q) düzlemindeki izdüşümü-nün alanı S′ ise S′ = S·cos α olur. Bunu da şöyle açıklayalım: Bir an için P ve Q düzlemlerinin şekilde paralelkenarlarla gösterildiği gibi sınırlı olduklarını farzedelim. Q düzlem parçası da P düzlem parçasının izdü-şümü olsun. S şekli o paralelkenarın kaçta kaçıysa, S’ şekli de aşağıdaki sınırlı Q paralelkenarının da o kadar da o kadarıdır.


40

Q düzlem parçasının alanının P düzlem parçasının alanının cosα katı olduğunu biliyoruz. Kısa kenar uzunluklarının de-ğişmediğine, uzun kenarların da cosα katına çıktığına dikkat ediniz. O halde istenen kanıtlanmıştır.

PARALELLİK AKSİYOMLARI

1. Uzayda paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir. 2. Uzayda bir doğru ve dışında bir nokta verildiğinde veri-

len noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir tek doğru vardır.

3. Paralel iki doğrudan birini bir tek noktada kesen bir düz-

lem, diğer doğruyu da keser. 4. Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru paraleldir.


41

5. Bir düzlemin içindeki bir doğruya paralel olan ve bu düz-lemin dışında bulunan bir doğru bu düzleme paraleldir.

6. Bir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir A nok-

tasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düz-lemin içindedir.

7. Bir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir A nok-

tasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düz-lemin içindedir.

8. Kesişen iki düzlemin her birine paralel olan bir doğru, bu

düzlemlerin arakesit doğrusuna paraleldir. 9. Aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirt-

tiği düzlem ilk düzleme paraleldir.


42

10. Uzayda bir düzlem ve bu düzlemin dışında bir nokta ve-rildiğinde, verilen noktadan geçen ve verilen düzleme pa-ralel olan bir tek düzlem vardır.

11. Paralel iki düzlemin birinin içindeki her doğru diğer düz-

leme paraleldir. 12. Paralel iki düzlemden birine paralel olan bir düzlem diğe-

rine de paraleldir. 13. Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem diğerini de

keser ve arakesit doğruları paraleldir. 14. Paralel iki düzlemden birini kesen bir doğru diğerini de

keser.


43

UZAYDA DOĞRULARIN VE DÜZLEMLERİN DİKLİĞİ

1. Bir düzlemin kesişen iki doğrusuna kesişme noktasında dik olan bir doğru, bu düzleme diktir.

2. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir doğru diğer düz-

leme de diktir. 3. Aynı doğruya farklı noktalardan dik olan iki düzlem bir-

birine paraleldir. 4. Bir noktadan geçen ve bir doğruya dik olan bir tek düz-

lem vardır. 5. Uzayda bir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzak-

lıkta bulunan noktaların kümesi, bu doğru parçasının orta dikme düzlemidir.

6. Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir. 7. Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de

diktir.


44

8. Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.

9. Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme

dik olan bir tek doğru vardır. 10. (Üç Dikme Teoremi): Bir düzlemin dışında bulunan bir

noktadan bu düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya bi-rer dikme çizilirse iki dikme ayağını birleştiren doğru düzlem içindeki doğruya diktir.

11. Bir düzleme dik olan bir doğruyu içinde bulunduran düz-

lemler bu düzleme diktir. 12. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir düzlem diğerine

de diktir. 13. Bir doğru iki düzlemden birine paralel, diğerine dik ise

bu iki düzlem birbirine diktir.


45

UZAY KAVRAMI VE KONUM AKSİYOMLARI

1. Uzayda farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası var-dır.

2. Uzayda bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir

nokta bir düzlem belirtir. 3. Uzayda kesişen farklı iki doğru bir düzlem belirtir. 4. Bir doğru, üzerinde bulunmadığı bir düzlemi keserse ara-

kesiti bir noktadır. 5. Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa bu nokta ortak

doğru üzerindedir. 6. Farklı iki düzlemin en çok bir ortak doğrusu vardır. 7. Farklı iki düzlem kesişirse, bu düzlemlerin arakesiti bir

tek doğrudur.

CEVAPLI TESTLER 1. Aşağıdakilerden hangisi kesin olarak bir düzlem belirt-mez? A) Üç nokta B) İki nokta C) İki doğru D) Kesişen iki doğru E) Bir nokta ile bir doğru


47

2. Beş farklı nokta en çok kaç doğru belirtir? A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6


48

3. Beş farklı nokta en çok kaç düzlem belirtir? A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6


49

4. 3’de herhangi üçü doğrusal olmayan altı nokta kaç düz-

lem oluşturur? A) 25 B) 24 C) 20 D) 18 E) 16


50

5. Aynı düzlemde bulunan 7 farklı doğru düzlemi en az kaç düzlemsel bölgeye ayırır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8


51

6. Aynı düzlemde bulunan 10 doğru düzlemi en çok kaç böl-geye ayırır? A) 56 B) 54 C) 52 D) 50 E) 48


52

7. Uzayda birbirine paralel 3 doğru ile herhangi üçü doğrusal olmayan 4 nokta en çok kaç düzlem belirtir? A) 16 B) 18 C) 19 D) 24 E) 32


53

8. Adedi sabit bir miktar doğru düzlemi en az 9 bölgeye ayırı-yorsa en çok kaç bölgeye ayırır? A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39


54

9. Adedi sabit bir miktar doğru bir düzlemi en çok 46 bölgeye ayırıyorsa, bu doğrular bu düzlemi en az kaç bölgeye ayı-rır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10


55

10. Bir doğru parçasının bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü aşa-ğıdakilerden hangisi olabilir? A) Bir nokta B) Doğru C) İki nokta

D) Işın E) Üçgen


56

11. Bir doğru ile bu doğru üzerinde bulunmayan dört farklı nokta en çok kaç düzlem belirtebilir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15


57

12. Uzayda aykırı iki doğru ve bunların dışında bir nokta verili-yor. Verilen noktadan geçen ve aykırı iki doğrunun her birini de kesen kaç doğru çizilir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) Sonsuz çoklukta


58

13. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Bir doğru üzerinde sonsuz nokta vardır. B) Bir düzlem üzerinde sonsuz nokta vardır. C) Paralel iki düzleme dik sonsuz doğru vardır. D) Bir noktadan geçen sonlu sayıda doğru vardır. E) Bir düzlem üzerinde sosuz doğru vardır.


59

14. Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? A) Bir düzleme içindeki bir P noktasından sadece bir dik doğ-ru çizilebilir. B) Bir doğruya üzerindeki noktadan 3 dik düzlem çizilebilir. C) Paralel iki doğrunun ikisini de kesen bir doğru varsa üç doğru da aynı düzlemdedir. D) Bir düzleme dışındaki bir noktadan bir dikme inilir. E) Bir doğru bir düzleme dik ise, doğruyu içine alan her düz-lemde bu düzleme diktir.


60

15. Aşağıdaki koşullardan hangisi, farklı iki doğrunun paralel olmasına yeter? A) Birbirine paralel farklı iki düzlemin içinde bulunması. B) Birbirine dik iki düzlemin içinde bulunmaları. C) Aynı doğruya dik olmaları. D) Arakesitlerinin boş küme olması E) Aynı doğruya paralel olan iki doğru olması.


61

16. Aşağıdakilerden hangisi doğru değildir? A) Bir düzlemin içinde alınan bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. B) Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. C) Aynı düzleme dik olan doğrular birbirine paraleldir. D) Uzayda bir doğru parçasının, uç noktalarından eşit uzak-lıkta bulunan noktaların kümesi orta dikme doğrusudur. E) Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de diktir.


62

17. Uzay ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Herhangi bir doğru üzerinde sınırlı sayıda nokta vardır. B) Düzlemde bir noktadan sınırlı sayıda doğru geçer. C) Uzayda bir doğrudan sınırlı sayıda düzlem geçer. D) Uzayda bir noktadan sınırlı sayıda düzlem belirlenir. E) Düzlemde bir doğruya paralel sınırsız doğru vardır.


63

18. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tane pa-ralel doğru çizilebilir. B) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek dik-me çizilebilir. C) Düzlemde aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine para-leldir. D) Düzlemde birbirine paralel olan doğrulardan birbirine pa-ralel olan doğru diğerine de paraleldir. E) Düzlemde kesişen iki doğrudan birine dik olan doğru diğe-rine de diktir.


64

19. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Bir doğruya üzerindeki bir noktadan yalnız bir dikme çıkı-lır. B) Paralel iki doğru bir düzlem belirtir. C) Farklı iki noktadan bir doğru geçer. D) Kesişen farklı iki düzlemin bir ortak doğrusu vardır. E) Yalnız bir ortak noktası olan doğrular kesişen doğrulardır.


65

20. 3’de aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A) Aynı düzleme dik iki düzlem birbirine paraleldir. B) Paralel iki doğrudan birini kesen bir düzlem diğerine para-lel olur. C) Aynı düzlemde olup birbirini kesmeyen doğrulara aykırı doğrular denir. D) İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar aynı düzlem üzerin-dedir. E) Bir doğru bir düzleme dik değilse doğrunun bu düzlem üzerindeki dik izdüşümü bir noktadır.


66

21. Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. Paralel iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir. II. Paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğerine de diktir. III. Aynı doğruya dik olan düzlemler birbirine paraleldir. IV. Uzayda paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, di-ğerine ya dik, ya da dik durumludur. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4


67

22. 3’de aşağıdakilerden hangileri yanlıştır?

I. Üç düzlemin arakesit doğruları en fazla 2 tanedir. II. Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar bir düzlem belirtir. III. Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz tane dikme çıkılır. IV. Düzlem üzerinde olmayan bir doğru düzlem içindeki bir doğruya dik ise düzlemle arakesiti bir noktadır. A) I, II, IV B) I, III, IV C) I, IV D) I, II E) II, IV


68

23. 3’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Düzlemde paralel iki doğrudan birine paralel olan herhan-gi bir doğru diğerine de paraleldir. B) Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru birbirine para-leldir. C) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğe-rine de diktir. D) Paralel iki düzlemi üçüncü bir düzlem kesiyor ise oluşan arakesitler birbirine paraleldir. E) Paralel iki doğrudan geçerek kesişen iki düzlemin arakesi-ti, bu doğrulara dik doğrudur.


69

24. Düzlemde bir d doğrusu ve bu doğrudan 5 cm uzaklıkta bir A noktası veriliyor. A noktasına 8 cm, d doğrusuna 3 cm uzaklıktaki noktala-rın geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) Doğru parçası B) Çember yayı C) Üç nokta

D) İki nokta E) Dört nokta


70


A) Aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir. B) Paralel iki doğruya paralel olmayan üçüncü doğru mutlaka diğer doğruları keser. C) Doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru vardır. D) Paralel iki doğrudan birine paralel olan bir doğru diğerine de paraleldir. E) Doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya birden fazla dik doğru çizilebilir.


71

26. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Paralel iki doğrudan birini dik kesen düzlem diğerine dik-tir. B) Çakışık doğruların ortak en az iki noktası vardır. C) Paralel iki doğru yalnız bir düzlem belirtir. D) İki doğrunun ortak bir noktası var ise bu doğruları üzerin-de bulunduran bir düzlem vardır. E) Birbirini kesmeyen iki doğrunun içinde bulundukları düz-lemler birbirine daima paraleldir.


72

27. 3’de aşağıdakilerden hangisi yanlış olabilir?

A) Bir doğrunun iki düzlem üzerindeki izdüşümü aynı ise bu doğru iki düzlemin açıortay düzlemi içindedir. B) İki noktanın ortak doğruları çakışıktır. C) Bir şeklin verilen bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü ken-disiyle aynı ise şekil düzleme paraleldir. D) iki doğrunun bir düzlemdeki dik izdüşümleri kesişiyorsa doğrularda kesişiyordur. E) Bir doğru kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna dik ise düzlemlerin içinde olmayabilir.


73

28. A, B, C uzayda verilen doğrular ise aşağıdakilerden han-gisi daima doğrudur? A) A ⊥ B ve B ⊥ C ise A // C’ dir.

B) A ⊥ B ve B ⊥ C ise A ⊥ C’dir.

C) A // B ve B ⊥ C ise A ⊥ C’dir.

D) A // B ve A ⊥ C ise B ∩ C = ∅

E) A // C ve A ⊥ B ise C ∩ B ≠ ∅


74

29. 2’de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

A) Aynı doğruya paralel olan iki doğru, birbirine paraleldir. B) Aynı doğruya dik olan iki doğru, birbirine paraleldir. C) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru, diğerine de dik-tir. D) Aynı düzlemde kesişen iki doğrunun iki tane ortak noktası vardır. E) Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, bunlara dik olan doğ-ru parçasının uzunluğudur.


75


A) Bir düzleme dışındaki bir noktadan sadece 1 tane paralel düzlem çizilir. B) İki paralel doğrudan biri kesen doğru diğerini kesmeyebi-lir. C) Dört düzlem uzayı en çok 14 bölgeye ayırır. D) Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir. E) Farklı iki düzlem kesişirse bu düzlemlerin arakesiti bir noktadır.


76

31. Bir E düzlemine teğet ve yarıçap uzunlukları 4 cm olan kürelerin merkezlerinin geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) E’ye dik bir düzlem. B) E’ye paralel bir düzlem. C) E’ye 4 cm uzaklıkta paralel iki düzlem. D) E’ye 4 cm uzaklıkta paralel iki doğru. E) E’ye dik bir doğru.


77


A) Bir noktadan sonsuz doğru geçer. B) Düzlemde farklı üç doğru farklı üç noktada kesişebilir. C) Düzlemde farklı iki doğru ya paraleldir ya da kesişir. D) Bir düzlemde üç doğru düzlemi en az 4, en çok 8 bölgeye ayırır. E) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğe-rine de diktir.


78

33. 3’de iki doğru aynı düzlemin elemanı iseler aşağıdaki-

lerden hangisi söylenemez? A) İki doğru tek noktada kesişebilir. B) İki doğru dik olabilir. C) İki doğru aykırı olabilir. D) İki doğru paralel olabilir. E) İki doğru düzlemi 4 bölgeye ayırabilir.


79


A) Paralel iki düzlem uzay belirtir. B) Kesişen iki düzlem uzay belirtir. C) Bir düzleme dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda paralel doğru çizilebiir. D) Kesişen iki düzlemin bir ortak noktası varsa, düzlemler çakışıktır. E) Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem, diğerine de paraleldir.


80

35. 3’de aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de dik-tir. B) Bir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir. C) İki düzlem bir noktada kesişir. D) Bir doğru düzleme paralel ise düzlemdeki bütün doğrulara da paraleldir. E) Aykırı iki doğru bir düzlem içindedir.


81

36. I. Farklı iki düzlemin arakesiti varsa bu bir doğrudur. II. Bir doğrudan sonsuz tane düzlem geçer. III. Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa bu iki düz lem çakışıktır. Yukarıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II

D)Yalnız III E) I ve III


82

37. 3’de verilen üç düzlem için aşağıdakilerden hangisi yan-

lıştır? A) Üç düzlemin arakesiti yalnız iki nokta olabilir. B) İki düzlem dikse üçüncüsü her ikisine de dik olabilir. C) Düzlemlerin arakesiti bir doğru olabilir. D) Düzlemler üç paralel doğru boyunca kesişebilir. E) Düzlemlerin arakesiti yalnız bir nokta olabilir.


83

38. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem diğerini de ke-ser. B) Paralel iki düzlemden birin kesen doğru diğerini de keser. C) Paralel iki düzlemden birinin içindeki her doğru diğer düz-leme paraleldir. D) Aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirt-tiği düzlem bu düzlemi keser. E) Uzayda bir noktadan geçen ve verilen bir düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.


84


A) Farklı iki noktayı üzerinde bulunduran bir tek doğru var-dır. B) Doğru ile düzlemin bir ortak noktası varsa doğru düzlem içindedir. C) Her doğru üzerinde olmayan en az bir nokta vardır. D) Düzlemde farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası var-dır. E) Farklı iki doğrunun, ortak noktası bu doğruların kesişme noktasıdır?


85

40. Bir düzlemdeki farklı doğrularla ilgili ifadelerden hangisi her zaman yanlıştır? A) Bir düzlemdeki beş doğru bir noktada kesişebilir. B) Bir düzlemdeki dört doğru ikişer ikişer kesişebilir. C) Bir düzlem içindeki dört doğrudan üçü kesişirse, dördüncü doğru bunlara paralel olabilir. D) Bir düzlemdeki dört doğru birbirine paralel olabilir. E) Bir düzlem içindeki doğruların ortak ikişer noktaları varsa bu doğrular çakışıktır.


86

41. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine de diktir. B) Bir düzleme paralel olan bir doğru düzlemin içindeki bir doğruya paraleldir. C) Paralel düzlemlerin üçüncü bir düzlemle arakesitleri birbi-rine paraleldir. D) Bir düzleme paralel bir doğrunun düzlem üzerindeki izdü-şümü noktadır. E) Bir düzleme dik bir doğrunun düzlem üzerindeki izdüşümü bir noktadır.


87

42. I. Paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir. II. Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir. III. 4 paralel doğru ikişer ikişer seçilirse 5 farklı düzlem olu-şur. Yukarıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) I, II ve III


88

43. 3’de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

A) Bir doğruya eşit uzaklıktaki noktalar silindirik bir yüzey oluşturur. B) Uzayda iki aykırı doğruya bir ortak dikme çizilebilir. C) Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine pa-raleldir. D) Aynı düzleme dik olan paralel iki düzlemin üçüncü düz-lemle arakesitleri paraleldir. E) Bir düzleme dik olmayan bir doğrunun bu düzlem üzerin-deki dik izdüşümü yine bir doğrudur.


89

44. 3’de aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna paralel olan bir doğru düzlemlere de ayrı ayrı paraleldir. B) Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de keser. C) Bir düzleme dik olan düzlemler birbirine paraleldir. D) Bir doğru bir düzlem içindeki bir doğruya dikse düzleme de diktir. E) Bir düzleme dik olan d doğrusundan geçen düzlemler diğer düzleme paraleldirler.


90

45. 3’de aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur?

I. Dik düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine dik-

tir. II. Paralel iki doğrudan eşit uzaklıktaki noktalar düzlem be-

lirtir. III. İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar düzlem belirtir. IV. Bir düzlem bir doğruya dik ise bu doğrudan geçen son-

suz düzleme de diktir. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4


91

46. Bir düzlem içindeki farklı üç doğrunun birbirine göre du-rumu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Üç doğru bir noktada kesişebilir. B) Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir. C) İkisi paralel olup, üçüncü doğru bunlardan birine dik ve diğerine paralel olabilir. D) Üç doğru birbirine paralel olabilir. E) Bu üç doğrunun kesim noktaları iki tane olabilir.


92

47. 3’de aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur?

I. Aynı düzleme dik iki düzlem birbirine paralel ise üçüncü düzlemle arakesitleri de paraleldir. II. Bir doğru paralel iki doğrudan birini kesiyor ise diğerini de keser. III. İki düzlem bir düzleme dik ise birbirlerine paraleldir. IV. Bir düzlem içindeki bir şeklin başka bir düzlem üzerin-deki dik izdüşümü aynı ise iki düzlem birbirine paraleldir. V. Kesişen iki düzlem aynı düzleme dik ise bunların arake-siti de aynı düzleme diktir. A) I, II, IV B) I, IV, V C) I,V D) I, II, III E) I, III, V


93

48. Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. Dördü aynı düzlemde olmayan dört nokta uzay belirtir. II. Bir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir. III. Bir düzlemle dışındaki bir doğru uzay belirtir. IV. Farklı iki düzlem uzay belirtir. V. Paralel iki düzlem uzay belirtir. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


94

49. 3’de aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur?

I. Paralel iki düzlemden birine paralel olan doğru diğerine

de paraleldir. II. Birbirine dik olan iki düzlemden birini kesen doğru diğer

düzleme diktir. III. Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de ke-

ser. A) I B) II C) I − III D) III E) II − III


95

50. 3’deki Q ve P düzlemleri için hangisi yanlıştır?

A) Q ve P’nin en az bir ortak noktaları varsa bu iki düzlemin arakesiti bir doğrudur? B) Q ve P’nin doğrusal olmayan üç tane ortak noktaları varsa bu iki düzlemin başka ortak noktaları yoktur. C) ise ancak ve ancak Q P Q P⊂ = ’dir.

D) Q ve P farklı düzlemler ise (Q ∩ P) kümesinin sonsuz çok-lukta elemanı olabilir. E) Q ve P’nin doğrusal üç tane ortak noktaları varsa bu iki düzlem eşit olmayabilir.


96

51. Ölçek açısı 45o olan iki düzlemden birinin içinde bir nokta alınıp, diğer düzleme dikme çiziliyor. Noktanın düzleme uzaklığı 4 birim olduğuna göre nokta-nın arakesit doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir? A) 7 2 B) 6 2 C) 5 2 D) 4 2 E) 3 2


97

52. Ölçek açısı 45o olan iki düzlemden birinde 6 br yarıçaplı dai-renin diğer düzlem üzerindeki izdüşümünün alanı kaç π birimkaredir? A) 14 2 B) 16 2 C) 18 2 D) 20 2 E) 22 2


98

53. P ve E düzlemleri arasındaki ölçek açı 30o dir. P düzlemi içinde alınan 8 cm çaplı bir dairenin E düzlemi üzerindeki izdüşümünün alanı kaç cm2’dir? A) 4π B) 8π C) 12π D) 8 3π E) 16 3π


99

54. Bir düzlemle 30o’lik açı yapan 10 birim uzunluğundaki bir doğru parçasının bu düzlem üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu kaç birimdir? A) 5 3 B) 4 3 C) 3 3 D) 2 3 E) 3


100

55. P ve E düzlemleri arasındaki açı 30o’dir. P düzleminde bulunan ABCD dikdörtgeninin E düzlemi üzerindeki izdüşüm alanı 30 birimkare olduğuna göre Alan(ABCD) kaç birimkaredir? A) 20 B) 20 3 C) 30 D) 30 3 E) 60


101

56. Dik kenarı 3 2 br olan ABC ikizkenar dik üçgeninde A dik köşesinden ABC düzlemine çizilen dikme üzerinde |AP| = 4 br olan P noktası alınıyor. PBC üçgeninin alanı kaç cm2’dir? A) 15 B) 18 C) 28 D)30 E) 36


102

57. ABCD dikdörtgeninin AB’den geçen bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü ABC′D′ karesidir.

A(ABCD) = 23

·A(ABC′D′)

ise iki düzlem arasındaki açı kaç derecedir? A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75


103

58. Kenar uzunluğu 6 3 br olan ABC eşkenar üçgeni ve üçgen düzlemi dışında bir O noktası alınıyor. G üçgenin ağırlık merkezi olup, [OG] ⊥ (ABC) ve |OG| = 8 br ise |OA| kaç birimdir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13


104

59. Dik köşesi A ve dik kenarları 3 2 cm olan ABC ikiz kenar dik üçgeninin düzlemine aynı tarafta B ve C köşelerine dikler çiziliyor. |BB′| = |CC′| = a alındığında AB′C′ üçgeni eşkenar ise a kaç cm olur? A) 9 B) 8 C) 6 2 D) 6 E) 3 2


105

60. Bir ABC eşkenar üçgeninin çevrel çemberinin O merkezinden üçgen düzlemine bir OK dikmesi çiziliyor. Üçgenin bir kenarı 10 3 cm ve |OK| = 69 cm olduğuna göre |KA| kaç cm’dir? A) 18 B) 16 C) 15 D) 13 E) 12


106

61. Bir E düzlemi ve E düzlemine 15 cm uzakta bir P noktası alı-nıyor. P noktasının dikme ayağı O merkez olmak üzere düz-lemde O merkezli 9 cm yarıçaplı bir çember çiziliyor. Çemberin üzerindeki bir A noktasına |AB| = 3 2 br olan [AB] teğeti çizilirse |PB| kaç br olur? A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24


107

62. |AB| = |AC| = 6 br olan ABC ikizkenar üçgeninde m(ABC) = 120° dir. A noktasında ABC düzlemine çıkılan dikme üzerinde |AP| = x olmak üzere P noktası alınıyor. m(CPB) = 90° ise x kaçtır? A) 3 B) 3 2 C) 4 D) 4 2 E) 6


108

63. Yandaki şekilde (E) // (F) ve d1 ∈ (E) d2 ∈ (F) olmak üzere aşağı-dakilerden hangisi yanlıştır? A) d1 doğrusu (F)’ye paraleldir. B) d2 doğrusu (E)’ye paraleldir. C) (E) ve (F)’nin ortak noktası yoktur. D) d1 ve d2 doğruları paralel olabilir. E) d1 ve d2 doğruları daima aykırıdır.

E

F

d

d

1

2


109

64. [AB] doğru parçası (E) düzlemi tara-fından |AC| : |BC| = 3 : 5 olacak şekil-de C noktasında kesilmektedir. Doğru ile düzlem arasındaki açı 45o’dir. [AC]’nin düzlem üzerindeki dik iz-düşümünün uzunluğu 3 2 br ise [BC] kaç birimdir? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

E

A

C

B


110

65. Yandaki şekilde [BC]’nin (E) üzerin-deki izdüşüm uzunlu-ğu 5 br’dir. |CB| = |BL| = 10 br ise |AC| kaç br’dir? A) 20 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45

E

A

BC

K Ld


111

66. Şekilde ABCD kare, [PA] ⊥ (ABCD) olduğuna göre bu şekilde kaç tane dik üçgen vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A

B C

D

P


112

67. Yanda verilen üç boyutlu şekilde kaç tane iki düzlemli açı vardır? A) 20 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10

A

B C

D

P


113

68. Şekilde (ABC) ⊂ E [OA] ⊥ E |AB| = |AC| |BC|= 6 2 br. PBC üçgeninin eşke-nar olması için |PA| kaç br olmalıdır? A) 3 B) 3 2 C) 3 3 D) 3 5 E) 6

A

B

C

P

E

6 2


114

69. Şekilde [AB] ⊥ F

[CD] ⊥ E |AB| = 3 cm |BC| = 6 cm |CD| = 5 cm olduğuna göre düzlemler üzerinde hareket eden bir karınca A’dan D’ye en az kaç cm yol alır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

FE

AB

CD

3

6

5


115

70. Şekilde, [AB] ⊥ F ve [DC] ⊥ E |AB| = 2 cm |BC| = 5 cm |CD| = 3 cm olduğuna göre E ve F düzlemleri çakışık değilse, düzlemler üzerinde hareket etmek koşuluyla A ile B arası en kısa kaç cm’dir? A) 13 B) 15 C) 17 D) 18 E) 20

FE

AB

CD

2

5

3


116

71. d doğrusu E ve F düzlemlerinin ara-kesit doğrusudur. Düzlemlerin ölçek açısı 120o’dir. [AB] ⊥ d, [BC] ⊥ d, |AB| = 3 cm, |BC| = 5 cm Yukarıda verilenlere göre aşağı-dakilerden hangisi |AB|’nin değe-ridir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

FE

A C3 5

120o

B

d


117

72. [PA] ⊥ (E)

[CB] ⊥ [AB] |CB| = 3 cm |PC| = 6 cm |PA| = 3 2 cm Yukarıda verilenlere göre |AB| kaç cm dir? A) 2 B) 3 C) 3 2 D) 3 3 E) 4 2

E

P

AB

C


118

73. Şekildeki düzlemde; [AB] ⊥ (E) [DC] ⊥ (E) |AB| = 6 br |CD| = 9 br |BC| = 8 br olduğuna göre |AD| kaç br’dir? A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 E) 21

E

A

BC

D

P


119

74. Şekilde [PA] ⊥ (E)

o( ) 29m PBA = o( ) 31m PCA = o( ) 58m PDA =

|PB|, |PC| ve |PD| için aşağıdakilerden hangi-si doğrudur? A) |PB| > |PC| > |PD| B) |PB| > |PD| > |PC| C) |PD| > |PC| > |PB| D) |PD| > |PB| > |PC| E) |PC| > |PB| > |PD|

E

P

A

B C

D31

58

29

oo

o


120

75. Şekilde; [PA] ⊥ (E), |PD| < |PC| < |PB| olduğuna göre aşağı-daki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) |AC| < |AB| < |AD| B) |AB| < |AC| < |AD| C) |AD| < |AB| < |AC| D) |AB| < |AD| < |AC| E) |AD| < |AC| < |AB|

E

P

A

B C

D


121

76. Şekildeki üç farklı pa-ralelkenar düzlem par-çasının PA kenarları ortaktır. |PM| = 13 cm |PK| = 6 cm olduğuna göre |PL| = x değerinin alabileceği tamsayı değerleri toplamı kaçtır? A) 76 B) 70 C) 60 D) 57 E) 51

E

P

A

B C

D

K

LM

613

x


122


[CA] ⊥ d |PB| = 13 br |PA| = 12 br |PC| = 200 br olduğuna göre |BC| kaç birimdir? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 9

E

1312200

P

d

AB

C


123


[BA] ⊥ [AC] Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. |PB| = |AB| II. 3PB BA= III. [AP] ⊥ [PC]

IV. [PA] ⊥ [BA] V. |BA| = 2|PB| A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

E

P

A B

d

kC


124

79. Şekilde [AB] ⊥ (E) [BD] ⊥ [DC]

o( ) 30m BAC = o( ) 60m DBC =

|DC| = 2 3 br olduğuna göre |AD| kaç br’dir? A) 8 B) 6 C) 3 13 D) 2 13 E) 13

E

60

30

o

o

P

A

B

C


125

80. Şekildeki (E) düz-lemi [AB]’nin orta dikme düzlemidir. [BP] ∩ (E) = D ve |AD| = 4 br |DP| = 6 br olduğuna göre [BP] kaç br’dir? A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 17

E

A

C

B

D

P


126

81. ABC üçgeninde E düzlemi [AB]’nin orta dikme düzlemi-dir. [DB] ⊥ [AB] |AD| = 34 br, |AB| = 30 br olduğuna göre |PC| kaç br’dir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

E

A

C

BD

P


127

82. [AP] ⊥ E, d ∈ E ve

[PH] ⊥ d |CH| = 5 cm |PA| = 10 cm |PH| = 2 61 cm Yukarıda verilenle-re göre |AC| kaç cm dir? A) 18 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13

E

d

P

AC

H


128

83. Şekilde bir kenarı 4 2 m olan kare şeklindeki bahçe-nin tam ortasına 5 m uzunluğunda bir direk ve köşelerine de 1 m uzunluğun-da dört direk diki-liyor. Direklere şekildeki gibi gerilen elektrik kablosu kaç met-redir? A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36

5

4 2

1

G

P

A

B C

D

NK

L M


129

84. ABC eşkenar üçgeninin G ağırlık merkezinden üçgen düzlemine dik PG dikmesi çi-ziliyor. |PG| = 8 br |AB| = 6 3 br olduğuna göre |PC| + |PB| + |PA| toplamı kaçtır? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 60

A

B CG

P


130

85. Şekildeki ABC eşkenar üçgeninde CD ⊥ AB |CD| = 2 3 cm |BD| = 3 cm ve [PA] ⊥ (ABC) olduğuna göre |CH| kaç cm dir? A) 10 B) 5 C) 5 3 D) 4 E) 3 3

E

P

A

B C

D


131

86. Şekilde ABCD bir karedir. [PQ] ⊥ (ABCD) |BQ| = |QC| |AB| = 4 2 birim |PQ| = 4 birim olduğuna göre Alan(APD) kaç birimkaredir? A) 4 6 B) 16 C) 32 D) 8 6 E) 36

E

A

B C

D

P

Q

44 2


132

87. Şekilde; |AB| = |AC| = 10 br |BC| = 12 br DBEC kare ise A noktasının E köşesine uzak-lığı kaç cm’dir?

A) 32

B) 3 C) 3 32

D) 2 3 E) 5 32

A

B

CD

E

10

1012

60o


133

88. Şekilde ABC eşke-nar üçgeninin (E) düzlemi üzerindeki dik izdüşümü KBC üçgenidir. |BL| = |LC|, |AL| = 2 3 cm

o( ) 30m ALK = olduğuna göre KBC üçgeninin alanı kaç cm2’dir? A) 4 3 B) 4 2 C) 3 2 D) 3 3 E) 2 3

A

B

C

F

K

E

30o

L


134

89. ABC ikizkenar üç-geninde |AB| = |AC| = 10 cm |BC| = 12 cm |AK| = 6 cm [AK] ⊥ E olduğuna göre Çevre(KBC) kaç cm’dir? A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36

A

B

C

F

K

E

10

1012


135

90. ABC eşkenar üç-geninin A köşesi-nin E düzlemi üzerindeki dik iz-düşümü K’dir. [BK] ⊥ [KC] |AC| = 6 2 br olduğuna göre |AK| kaç birimdir? A) 3 B) 2 3 C) 6 D) 6 2 E) 6 3

A

B

CD

F

K

E

6 2


136

91. Şekildeki ABC üçgeni bir kenarı 12 cm olan bir eş-kenar üçgendir. ABC üçgen düz-lemiyle (E) düz-lemi arasındaki açı 60o’dir. ABC üçgeninin dik izdüşümü KBC üçgeni olduğuna göre KBC üçgeninin çevresi kaç birimdir? A) 12 6 13+ B) 18 C) 12 2 13+ D) 20 13 E) 38

A

B

CD

E

12

60o

K

F


137

92. ABC eşkenar üçge-ninin E düzlemi üzerindeki dik iz-düşümü bir dik üç-gendir. |AK| = 12 cm ol-duğuna göre |KB| kaç cm dir? A) 12 B) 12 2 C) 13 2 D) 16 2 E) 18 2

A

B

CD

F

K

E


138

93. [PO], ABCD eşkenar dört-gen düzlemine diktir. |PB| = |AB| = 4 cm

o( ) 30m DBA = olduğuna göre |PA| kaç cm’dir? A) 12 B) 8 C) 4 3 D) 4 2 E) 2 2

A

B C

D

P

O


139

94. ABCD dikdörtgen düzlemi ile DEA ikizkenar üçgen düzlemi birbirine diktir. |AD| = 10 cm |AB| = 39 cm A(DEA) = 30 cm2 olduğuna göre |EC| kaç cm dir? A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 4

E

A

B C

D

E


140

95. Şekilde tepe noktası P olan PBC ikizkenar üçgen düzlemi, ABC eşkenar üçgen düzlemi ile 30o’lik açı yapmaktadır. |PC| = 6 2 cm ve P noktasın-dan inilen dikme eşkenar üçge-nin yüksekliğinin ortasından geçmektedir. Buna göre eşkenar üçgenin çevresi kaç cm dir? A) 30 B) 32 C) 36 D) 4 E) 48

A

B

C

P


141

96. Şekildeki kare düz-lem parçaları kesi-şiyorlar. P : orta nokta G : ağırlık merkezi |BC| = 4 2 cm |PG| = 3 cm olduğuna göre K ile B arasındaki uzaklık kaç cm’dir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 5

E

A

B C

D

P4 2GK L3


142

97. ABCD dikdörtgen düzlemi, CBE ikizkenar dik üçgen düzlemine diktir. |BE| = |CB| = 6 br |EF| = |FB| Alan(AFD) = 15 br2 olduğuna göre |DC| kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

A

B

C

D

EF


143

98. ABC dik üçgeni E düzlemi ile 60o’lik açı yapmaktadır. |BC| = 6 cm,

o( ) 30m A = ise ABC üçgeninin dik izdüşümünün alanı nedir? A) 8 3 B) 9 3 C) 12 3 D) 16 3 E) 18 3

E

A

B

C

K


144

99. |PA| = |PB| olan PAB ikizkenar üçgeninin E düzlemi üzerine dik izdüşümü KAB eşke-nar üçgenidir. [PT] ⊥ [AB], |PK| = 4 cm, |PT| = 8 cm ise KAB üçgeninin çevresi kaç cm’dir? A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24

E

PA

BK

T


145

100. Şekilde ABCD bir kenarı 12 cm olan bir kare, (BEC) üçgeninin taban düzlemi ile ölçek açısı 60o olan bir eş-kenar üçgendir. G noktası EBC üçgeninin ağır-lık merkezi ise Alan(ADG) kaç cm2’dir? A) 3 21 B) 6 21 C) 12 21 D) 5 10 E) 6 10

P

C

DA

B

G

o60

12


146

101. Şekildeki ABCD düzlemi bir kare-dir. ACE düzlemi ile ABCD düzle-mi 60o’lik açı yapmaktadır. |EC| = |AE| = |BC| = 6 2 br ise |ED| kaç br’dir? A) 2 5 B) 3 2 C) 4 2 D) 5 E) 6

A

B C

D

E

6 2

6 2

6 2


147

102. E ve F düzlemleri arasındaki ölçek açı 30o’dir. F düzlemindeki ya-rıçapı 6 cm olan dairenin E düzle-mine dik izdüşümünün alanı kaç π cm2’dir?

A) 18 3 B) 18 32

C) 18 2 D) 18 35

E) 18 25

E

A

B C

D

K L30o

F


148

103. Şekildeki ABCD dik-dörtgeni P düzlemi üzerinde ve [AB] // d’dir. ABCD dikdörtgenin (E) üzerindeki izdü-şümü bir karedir. |AD| = 2|AB| = 8 br ise düzlemler arasındaki açı kaç derecedir? A) 75 B) 60 C) 45 D) 30 E) 15

E

F

A

BC

D

α

d


149

104. Şekildeki (F) ve (E) düzlemleri arasında 45o’lik açı vardır. (F) üzerindeki ABCD eş-kenar dörtgeninin (E) üzerindeki dik izdü-şümü A′B′C′D′ kare-sidir. Karenin bir kenarı 6 cm ise eş-kenar dörtgenin bir kenarı kaç cm’dir? A) 2 6 B) 3 6 C) 4 6 D) 5 6 E) 8

E

F

45

d

ο

A

BC

D


150

105. d ⊥ E |PA| = 15 cm |AB| = 9 cm |PC| = 153 cm Yukarıda verilenlere göre Alan(PBC) kaç cm2 dir? A) 18 B) 20 C) 24 D) 26 E) 28

E

P

AB

C

d


151

106. [PA] ⊥ (E) Şekilde, O merkezli [AB] çaplı çember E düzlemindedir. Dairenin alanı 25π cm2 |CD| = 6 cm |PA| = 6 cm Yukarıda verilenlere göre Alan(PCD) kaç cm2’dir? A) 42 B) 36 C) 32 D) 30 E) 28

E

P

A B

C


152

107. (E) düzlemine [AB] çaplı çember çizilmiş-tir. [PA] ⊥ E |AB| = 2 26 cm |PA| = |AC| = 5 cm olduğuna göre Alan(PCB) kaç cm2 dir? A) 24 2 B) 20 2 C) 19 2 D) 16 2 E) 12 2

E

P

A B

C5

5


153

108. P düzleminin içinde bulunan O merkezli çember, d doğrusu ile A ve B’de kesişmektedir. [DO] ⊥ P, [OC] ⊥ d, |AB| = 8 br, |BD| = 5 br |OC| = 5 br olduğuna göre |OD| kaç br’dir? A) 2 B) 5 C) 7 D) 2 2 E) 3

E

P

OA

Bd


154

109. P düzlemi içinde O merkezli bir çemberin merkezinden düzleme çıkılan dikme üzerinde |OP| = 8 br olan bir P noktası alınıyor. AB çembere teğet, |AB| = 3 br, |PB| = 10 br olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 3 2 B) 4 C) 3 3 D) 2 3 E) 5

E

P

O AB


155

110. E düzleminde; O merkezli çemberin yarıçapı 3,5 br dir. [AB] ⊥ [OA] [OA] = 12,5 br |AB| = 12 br olduğuna göre B nok-tasını çember üzerindeki noktalara birleştiren doğru par-çalarından en uzun ve en kısa olanlarının toplamı kaçtır? A) 20 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

E

OA

B


156

111. Şekilde A ∉ (E) B ∈ (E) P ∈ (E) [AB] ⊥ (E) AC ⊥ d |BP| = 13 birim |PC| = 5 birim |AC| = 15 birim olduğuna göre Alan(ABC) kaç birimkaredir? A) 60 B) 56 C) 54 D) 52 E) 50

E513

9 d

P

A

B C


157

112. Şekilde [PH] ⊥ (E) [HK] ⊥ [BK] |PB| = 13 br

o( ) 30m HPK = |HK| = 6 br olduğuna göre A(PBK) kaç br2’dir? A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 39

E 6

13

P

H K

B


158

113. Şekildeki E düzlemi-nin içinde bir A nok-tası dışında bir B nok-tası veriliyor. Düzlem içinde A’dan geçen doğrulardan bi-ri AX olsun. B’den AX’e çizilen dik doğrunun AX’i kestiği nokta K, B’nin izdüşüm noktası B′ olduğuna göre K noktalarının geometrik yeri nedir? A) [AB] çaplı çember B) [AK] çaplı çember C) [AB′] çaplı çember D) AX doğrusu E) [BB′] çaplı çember

E

B

B'

XK

A

DİKDÖRTGENLER PRİZMASI

114. Eni 3!, boyu 5!, yüksekliği 7! cm olan bir dikdörtgenler priz-masının hacmi kaç cm3 tür? A) 105 B) 8! C) 9! D) 10! E) 105!


160

115. Bir dikdörtgenleri prizmasında bulunan köşe adedi a, ayrıt adedi b, yüzey adedi c olsun. Buna göre a + b + c toplamı kaça eşittir? A) 22 B) 24 C) 26 D) 27 E) 28


161

116. Bir dikdörtgenler prizmasının yüzey köşegenlerinin adedi, ci-sim köşegenlerinin adedinden kaç fazladır? A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2


162

117. Eni ile boyunun uzunlukları 3 ve 4 br olan bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu yüksekliğin uzunlu-ğundan 1 birim fazlaysa, bu prizmanın hacmi kaç br3 tür? A) 144 B) 121 C) 108 D) 96 E) 72


163

118. Aşağıdakilerden hangisi farklı ayrıtlarının uzunlukları a, b, ve c birim olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey ala-nıyla özdeştir? A) (a + b + c)2 − a2 − b2 − c2 B) (a + b + c)2 − a2b2c2 C) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 D) (a + b + c)2 + a2b2c2 E) (a + b + c)2 − a2 + b2 + c2


164

119. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 2, 1 ve 3 sayılarıyla orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 88 br2 olduğuna göre cisim köşe-geninin uzunluğu kaç birimdir? A) 2 14 B) 2 15 C) 2 17 D) 2 19 E) 2 21


165

120. Farklı ayrıtlarının toplamı 6 cm, cisim köşegeni 3 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam alanı kaç cm2 dir? A) 54 B) 45 C) 36 D) 30 E) 27


166

121. 36 cm uzunluğunda bir telden yüzeyleri olmayan ve içi boş bir dikdörtgenler prizması yapılıyor. Bu prizmanın içi dolu olsaydı hacmi en çok kaç cm3 olabi-lirdi? A) 216 B) 125 C) 64 D) 27 E) 8


167

122. Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları 12 br2, 15 br2, 20 br2 ise bu prizmanın hacmi kaç br3 tür? A) 36 B) 45 C) 50 D) 60 E) 64


168

123. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a, b ve c birimdir.

1 1 1 34a b c

+ + =

ve prizmanın tüm alanı 864 br2 olduğuna göre prizmanın hacmi kaç br3 tür? A) 576 B) 570 C) 564 D) 558 E) 552


169

124. Eni 3 cm, boyu 4 cm ve hacmi 60 cm3 olan bir dikdörtgenler prizmasının iç bölgesinde alınan herhangi bir noktanın alt ve üst yüzeylere olan uzaklıklarının toplamı kaç cm dir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8


170

125. Farklı ayrıtları 10, 15, 20 br olan dikdörtgenler prizması şek-linde içi dolu bir cisim hiç parça artmayacak şekilde en çok kaç eş kübe ayrılabilir? A) 64 B) 24 C) 20 D) 12 E) 6


171

126. Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları 2 kat arttırılırsa toplam alanı kaç kat artar? A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 9


172

127. Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları 2 kat arttırılırsa hacmi kaç katına çıkar? A) 3 B) 8 C) 9 D) 26 E) 27


173

128. Bir dikdörtgenler prizmasının tüm köşeleri kaç farklı dik-dörtgen belirtirler? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16


174

129. Yandaki dikdörtgenler priz-masında |AB| = 9 birim |BF| = 12 birim |FK| = 16 birim |AP| = |PD| olduğuna göre |FP| uzunlu-ğu kaç birimdir? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

A

B C

D

E

F K

L

P

16

9

12


175

130. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında |LK| = 2 birim |KF| = 4 birim |FB| = 3 birim |BP| = |PA| olduğuna göre |PK| kaç bi-rimdir? A) 5 B) 26 C) 3 3 D) 2 7 E) 6

A

B C

D

E

F K

L

P

2

3

4


176

131. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında |AP| = |PD| = 4 birim |DL| = 3 birim |LK| = 4 birim |FQ| =6 birim olduğuna göre |PQ| kaç bi-rimdir? A) 5 B) 26 C) 3 3 D) 2 7 E) 29

A

B C

D

E

F K

L

P

Q

44

6

3

4


177

132. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında |BF| = 10 birim |FK| = 11 birim |KL| = 23 birim |LP| = |PD| olduğuna göre |FP| kaç bi-rimdir? A) 12 B) 13 C) 15 D) 17 E) 21

A

B C

D

E

F K

L

P

1123

10


178

133. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında |AB| = 3 birim |BF| = 4 birim |FK| = 12 birim 7·|EP| = 5·|PL| olduğuna göre |CP| kaç bi-rimdir? A) 74 B) 61 C) 5 2 D) 7 E) 6

A

B C

D

E

F K

LP

3

4

12


179

134. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında |AB| = 4 birim |BF| = 5 birim |FK| = 6 birim |FP| = |PE| olduğuna göre |CP| kaç bi-rimdir? A) 65 B) 61 C) 5 2 D) 7 E) 6

A

B C

D

E

F K

LP

4

5

6


180

135. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında FP ⊥ BL |BF| = 5 birim |FK| = 8 birim |KL| = 6 birim olduğuna göre |FP| kaç bi-rimdir? A) 5 B) 10 C) 4 D) 2 5 E) 21

A

B C

D

E

F K

L

P

6

5


181

136. Yandaki dikdörtgenler priz-masında P noktası prizmanın ağırlık merkezidir. Buna göre |PE| = a, |PK| = b ve |PB| = c değerleri hangi şıkta doğru sıralanmıştır? A) a < b < c B) a < c < b C) a < b = c

D) a = b < c E) a = b = c

A

B C

D

E

F K

L

P


182

137. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında P noktası [AD] üzerinde-dir. |AB| = 3 cm |BF| = 4 cm |FK| = 6 cm olduğuna göre Alan(KPF) kaç cm2 dir? A) 15 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36

A

B C

D

E

F K

L

P3

4

6


183

138. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında P noktası [KL] üzerinde hareketli bir noktadır. |AB| = 2 cm |BF| = 3 cm |FK| = 4 cm olduğuna göre Alan(ABP) kaç cm2 dir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

A

B C

D

E

F K

LP

2

3

4


184

139. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında P noktası EFKL dikdört-geninin ağırlık merkezidir. |AP| = 5 br ve |AD| = 6 br ise taralı APD üçgensel bölgesi-nin alanı kaç br2 dir? A) 36 B) 30 C) 24 D) 12 E) 11

A

B CD

E

F K

LP


185

140. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında taralı üçgenin bir köşesi EK ve FL köşegenlerinin ke-sim noktasıdır. |DL| = |LK| = 6 cm |FK| = 8 cm olduğuna göre taralı üçgensel bölgenin alanı kaç cm2 dir? A) 15 B) 18 C) 24 D) 30 E) 48

A

B C

D

E

F K

L6

8

6


186

141. Yandaki dikdörtgenler priz-masında P ve Q alt ve üst yü-zeylerin ağırlık merkezleridir. |BF| = 18 cm |BA| = 10 cm |AD| = 24 cm olduğuna göre taralı üçge-nin alanı kaç cm2 dir? A) 112 B) 117 C) 121 D) 124 E) 130

A

B C

D

E

F K

L

1024

18

P

Q


187

142. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında P noktası ABFE, Q nok-tası da ABCD dörtgeninin ağır-lık merkezleridir. Eğer prizmanın tüm ayrıtları eşit uzunluktaysa PQB üçge-ni aşağıdakilerden hangisi-dir? A) Dik üçgen B) Eşkenar üçgen C) Geniş açılı üçgen

D) 30º-60º-90º üçgeni E) 3-4-5 üçgeni

A

B C

D

E

F K

LP

Q


188

143. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında |AB| = 3 birim |BF| = 4 birim |FK| = 6 birim |DP| = |PL| olduğuna göre Alan(PAF) kaç birimkaredir? A) 14 B) 3 26 C) 15 D) 4 21 E) 5 5

A

BC

D

E

F K

L

P

3

4

6


189

144. Yandaki dikdörtgenler priz-masının içinde bulunan taralı dikdörtgen piramidin hacmi, dikdörtgenler prizmasının hacminin kaçta kaçıdır?

A) 12

B) 13

C) 14

D) 23

E) 35

A

B C

D

E

F K

L


190

145. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında P noktası ABCD yüzeyi üzerindedir. Buna göre taralı üçgen pira-midin hacmi dikdörtgenler prizmasının hacminin kaçta kaçıdır?

A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

A

B C

D

E

F K

L

P


191

146. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında P, Q, R, S noktaları bu-lundukları ayrıtların orta nok-taları olup, T noktası ABCD yüzeyindedir. Buna göre taralı piramidin hacmi prizmanın hacminin kaçta kaçıdır?

A) 12

B) 13

C) 14

D) 16

E) 18

A

B CD

E

F K

LP Q

RS

T


192

147. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında |DL| = 9 birim |LK| = 12 birim |KF| = 16 birim olduğuna göre cos LFA kaça eşittir?

A) 35

B) 45

C) 725

D) 1215

E) 1325

A

B C

D

E

F K

L12

9

16


193

148. Boyutları a, b, c birim olan yandaki dikdörtgenler prizma-sının içinde rastgele bir P nok-tası alınıyor. Bu P noktasının küpün tüm yüzeylerine olan uzaklıkları-nın toplamı kaç birimdir? A) a·b·c B) a + b + c C) 2a + 2b + 2c

D) a2 + b2 + c2 E) ab + ac + bc

A

B CD

E

F K

LP

a

b

c


194

149. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında, P noktası [AD] üzerinde hareketli bir noktadır. |BF| = 6 birim |FK| = 12 birim |KL| = 2 7 birim olduğuna göre |FP| + |PK| toplamı en az kaç olabilir? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

A

B C

D

E

F K

L

P

12

6

2 7


195

150. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında, P noktası [CK] üzerinde hareketli bir noktadır. |FK| = 8 birim |KL| = 4 birim |LD| = 5 birim olduğuna göre |FP| + |PD| toplamı en az kaç olabilir? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 17

A

B C

D

E

F K

LP

5

48


196

151. Yandaki dikdörtgenler priz-masında Pε[CK] ve Qε[DL] veriliyor. |BF| = 11 birim |FK| = 21 birim |KL| = 18 birim ise |FP| + |PQ| + |QA| topla-mı en az kaç olabilir? A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64

A

B C

D

E

F K

LP

Q11

2118


197

152. Yandaki dikdörtgenler prizma-sında Pε[BC], Qε[AD] ve Rε[EL] veriliyor. |AB| = 4 birim |BF| = 6 birim |FK| = 15 birim olduğuna göre |FP| + |PQ| + |QR| + |RK| toplamı en az kaç olabilir? A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

A

B C

D

E

F K

L

P

Q

R6

4

15


198

KÜP

153. Aşağıdakilerden hangisi bir ayrıtının uzunluğu tamsayı olan bir küpün hacmi olamaz? A) 1331 B) 1000 C) 729 D) 512 E) 432


199

154. Bir küpün yüzey köşegenin boyu bir ayrıtının boyunun kaç katıdır? A) 2 B) 3 C) 2 D) 5 E) 3


200

155. Bir küpün herhangi bir cisim köşegeninin boyunun bir ayrıtı-nın boyuna oranı aşağıdakilerden hangisinin tanjantıdır?

A) 2π B)

3π C)

4π D)

6π E)

12π


201

156. Bir ayrıtı 4 birim olan bir küpün yüzey köşegeninin cisim köşegeni üzerindeki dik izdüşümü kaç birim olur?

A) 6 35

B) 8 33

C) 9 34

D) 10 33

E) 12 35


202

157. Hacmiyle alanı sayısal olarak birbirlerine eşit olan bir küpün cisim köşegeni kaç birimdir? A) 6 B) 6 2 C) 6 3 D) 12 E) 12 3


203

158. 48 cm uzunluğunda bir tel bükülerek bir küp yapılırsa, oluşan kübün hacmi kaç cm2 olur? A) 27 B) 64 C) 125 D) 216 E) 343


204

159. Farklı ayrıtları 2, 3, 4 br olan dikdörtgenler prizması şeklin-deki tuğlalardan en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir küp meydana getirilebilir? A) 12 B) 24 C) 72 D) 288 E) 576


205

160. Yandaki küpte BD ve DK köşe-genlerinin belirttiği BDK açısı-nın ölçüsü kaç derecedir? A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 90°

A

B C

D

E

F K

L


206

161. Yandaki küpte BE ve BD köşe-genlerinin belirttiği DBE açısı-nın ölçüsü kaç derecedir? A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 90°

A

B C

D

E

F K

L


207

162. Yandaki küpte P, Q, R noktaları üzerinde bulundukları karelerin ağırlık merkezleridir. Buna göre PQR açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 45° B) 60° C) 75° D) 90° E) 120°

A

B C

D

E

F K

LP

Q

R


208

163. Yandaki küpte P ve Q üzerinde bulundukları karelerin ağırlık merkezleridir. Buna göre PQ uzunluğu küpün bir ayrıt uzunluğunun kaç ka-tıdır?

A) 12

B) 22

C) 13

D) 23

E) 2

A

B C

D

E

F K

LP

Q


209

164. Yandaki küpün içinde rastgele bir P noktası alınıyor. P’nin küpün tüm yüzlerine olan uzaklıkları toplamı kaç ayrıt uzunluğunun toplamına eşittir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

A

B C

D

E

F K

LP


210

165. Yandaki küpte P noktası AD ay-rıtı üzerindedir. |BA| = 6 birim |AP| = 3 birim olduğuna göre |FP| kaç birim-dir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

A

B C

D

E

F K

L

P36


211

166. Yandaki küpte P noktası KL ayrı-tının üzerindedir. |FK| = 4 birim |KP| = 2 birim olduğuna göre |AP| kaç birim-dir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

A

B C

D

E

F K

L

P2

4


212

167. Yandaki küpte P noktası FK ayrıtı üzerindedir. |FP| = 4 birim |PK| = 2 birim olduğuna göre |AP| kaç bi-rimdir? A) 66 B) 77 C) 88 D) 99 E) 10

A

B C

D

E

F K

L

P 24


213

168. Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte AK cisim köşegenidir. F köşesinden AK doğrusuna indirilen dikme ayağı P ise |FP| kaç br dir? A) 4 B) 2 6 C) 5 D) 4 2 E) 6

A

B C

D

E

F K

LP6


214

169. Yandaki küpün toplam alanı, ta-ranmış bölge alanının kaç ka-tıdır? A) 3 B) 2 3 C) 3 2 D) 4 E) 4 3

A

B C

D

E

F K

L


215

170. Yandaki küpte P noktası [BA] ayrıtının orta noktasıdır. Taralı bölgenin alanı 2 br2 olduğuna göre küpün alanının kaç br2 dir? A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 72

A

B C

D

E

F K

L

P


216

171. Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte P noktası [AD] üzerinde hareketli bir noktadır. Buna göre taralı bölgenin alanı kaç br2 dir? A) 9 B) 9 2 C) 18 D) 18 2 E) 36 2

A

B C

D

E

F K

L

P

6


217

172. P noktası kübün taban yüzeyinin ağırlık merkezidir. |DL| = 6 cm olduğuna göre APD üçgensel bölgesinin alanı kaç cm2 dir? A) 9 B) 9 5 C) 18 D) 18 5 E) 45

A

B C

D

E

F K

L

P

6


218

173. Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küp-te P ve Q noktaları sırasıyla AD ve FK ayrıtları üzerindedir. |FQ| = |QK| |PD| = 2·|PA| olduğuna göre taralı bölgenin alanı kaç br2 dir? A) 15 B) 15 2 C) 18 D) 15 3 E) 30 2

A

B C

D

E

F K

L

P

Q


219

174. Yandaki küpte P noktası kübün ağırlık merkezidir. Buna göre cos LPF kaçtır?

A) – 12

B) – 22

C) – 13

D) – 23

E) 32

−

A

B C

D

E

F K

L

P


220

175. Bir ayrıtının uzunluğu 8 br olan yandaki küpte, CKLD yüzeyinin ağırlık mer-kezi olan P’nin ABKL düzle-mine en kısa uzaklığı kaçtır? A) 2 B) 2 C) 2 2 D) 4 E) 4 2

A

B C

D

E

F K

L

P


221

176. Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte P noktası kübün ağırlık merkezi-dir. Buna göre taranmış kare pi-ramidin hacmi kaç br3 tür? A) 6 B) 18 C) 36 D) 54 E) 72

A

B C

D

E

F K

L

P6


222

177. Yandaki küpte P ve R bulun-dukları ayrıtların orta noktaları-dır. Küpün hacmi 12 br3 olduğu-na göre taralı cismin hacmi kaç br3 tür? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

A

B C

D

E

F K

L

P

R


223

178. Yandaki küpte P, R, S bulunduk-ları ayrıtların orta noktalarıdır. Kübün hacmi taralı piramidin hacminin kaç katıdır? A) 48 B) 36 C) 32 D) 24 E) 16

A

B C

D

E

F K

L

PR

S


224

179. Yandaki küpte |KP| = |PL| |RK| = 2·|FR| olarak veriliyor. Buna göre küpün hacmi taralı piramidin hacminin kaç katı-dır? A) 24 B) 18 C) 15 D) 12 E) 9

A

B C

D

E

F K

L

PR


225

180. Yandaki küpte P noktası [KL] üzerindedir. |AP| + |PB| toplamının en kü-çük değeri küpün bir ayrıtının kaç katıdır? A) 2 B) 5 C) 6 D) 3 E) 2 3

A

B C

D

E

F K

L

P


226

181. Yandaki küpte P noktası [KC] ayrıtının üzerindedir. |FP| + |PD| toplamının en kü-çük değeri küpün bir ayrıtı-nın kaç katıdır? A) 2 B) 5 C) 6 D) 3 E) 2 3

A

B C

D

E

F K

LP


227

182. Bir ayrıtı 2 cm olan yandaki küp-te Qε [KC] ve Pε[LD] olarak ve-riliyor. Buna göre |FQ| + |QP| + |PA| toplamı en az kaç cm olabilir? A) 4 2 B) 6 C) 2 10 D) 4 3 E) 7

A

B C

D

E

F K

L

P

Q


228

183. Bir ayrıtı a br olan yandaki küpte Pε[BC], Rε[AD] ve Qε[EL] ola-rak veriliyor. Buna göre |FP| + |PR| + |RQ| + |QK| toplamı en az kaç a’dır? A) 15 B) 4 C) 17 D) 3 2 E) 5

A

B C

D

E

F K

L

P

R

Q


229

184. Bir ayrıtının uzunluğu 15 br olan yandaki küpün A köşesinden C köşesine P ve Q noktalarına uğ-rayarak gitmek zorunda olan bir karıncanın yolunu en kısa ya-pan P ve Q noktaları için |QZ| = x kaç br dir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10

A B

CD

X Y

ZT

P

Q

15

x


230

DİĞER DİK PRİZMALAR 185. Bir kare dik prizmanın yüksekliği, taban kenarının 2 katına eşittir. Bu prizmanın alanı sayısal olarak hacmine eşit olduğuna göre hacmi kaç birim küptür? A) 244 B) 246 C) 248 D) 250 E) 252


231

186. Yandaki kare dik prizmada P nokta-sı [BC] ayrıtı üzerindedir. |BF| = 7 birim |FK| = |KL| = 5 birim olduğuna göre |FP| + |PD| toplamı en az kaç olabilir? A) 17 B) 5 2 7+ C) 74 5+ D) 13 E) 149

A

B C

D

E

F K

L7

55

P


232

187. Yandaki kare dik prizmada P nok-tası [BF] ayrıtı üzerindedir. |AO| = |OE| |DL| = 10 birim |FK| = |KL| = 6 birim olduğuna göre |KP| + |PO| top-lamı en az kaç olabilir? A) 17 B) 3 5 6+ C) 41 10+ D) 136 E) 13

A

B C

D

E

F K

L

O

6

10

P


233

188. Bir taban ayrıtı 4 birim, yüksekliği 8 birim olan yandaki kare dik priz-manın içi bir miktar sıvı ile dolu-dur. Sıvının yüksekliği 6 birim olup, prizma uzun ayrıtı üzerine dev-rildiğinde suyun yüksekliği kaç birim olur?

A) 4 B) 72

C) 3 D) 83

E) 52

A

B C

D

E

F K

L4

6

2H

4


234

189. İki kare dik prizma şekildeki gibi birbirlerine yapıştırılmış-lardır. Prizmaların yüzeylerinden ayrılmamak üzere A’dan B’ye en kısa mesafenin uzunluğu şekildeki verilere göre kaç birimdir? A) 25 B) 26 C) 27 D) 30 E) 36

7

94

9

A

B

74


235

190. Şekildeki eşkenar üçgen tabanlı üçgen prizmada |AB| = 4 birim |AD| = 8 birim olduğuna göre prizmanın hacmi kaç br3 tür? A) 36 3 B) 34 3 C) 32 3 D) 30 3 E) 28 3

A B

C

A' B'

C'


236

191. Şekildeki dik üçgen tabanlı üçgen prizmada |AB| = 3 birim |BC| = 4 birim olup prizmanın hacmi 42 br3 oldu-ğuna göre alanı kaç br2 dir? A) 54 B) 66 C) 78 D) 82 E) 96

A

B

C

A' C'

B'


237

192. Şekildeki üçgen dik prizmanın alt ve üst yüzeylerinin kenar orta noktaları alına-rak taralı olan üçgen dik prizma elde edilmiştir. Buna göre ABC tabanlı üçgen priz-manın hacmi taralı prizmanın hac-minin kaç katıdır?

A) 4 B) 72

C) 3 D) 83

E) 52

A B

C

A' B'

C'


238

193. Şekildeki üçgen dik prizmanın taban ay-rıtlarının uzunlukları şekildeki gibi 13, 14 ve 15 br olarak verilmiştir. Bu üçgen prizmanın içine sığabilecek en büyük hacimli daire tabanlı priz-manın (silindirin) taban yarıçapı kaç birim olur?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 52

E) 2

A B

C

A' B'

C'

15

1314


239

194.

5

820

2

5

Dikdörtgenler prizması şeklindeki içi boş bir tahta kasaya ikizkenar yamuk tabanlı bir dik prizma eklenerek bir tabut el-de edilmiştir. Uzunluklar şekildeki gibiyse tabutun hacmi kaç br3 tür? A) 580 B) 570 C) 560 D) 540 E) 480


240

SİLİNDİR

195. Bir silindirin yüksekliğini 2 katına, taban yarıçapını 3 katına çıkarırsak, hacmi kaç kat artar? A) 6 B) 9 C) 12 D) 17 E) 18


241

196. O ve O′ dik silindirin taban merkezleridir. |DB| = 6 birim |OB| = 4 birim olduğuna göre silindirin hacmi kaç br3 tür? A) 78π B) 84π C) 90π D) 96π E) 102π

A BO

C DO'

4

6


242

197. Yan şekilde görülen büyük silindirin taban yarıçapı küçük silindirin taban çapıdır. Buna göre silindirlerin hacimleri oranı kaçtır?

A) 12

B) 13

C) 14

D) 16

E) 18

A B

C D

O

P


243

198. Bir silindirin içine yan şekildeki gibi konulabilecek en büyük kare dik prizma konulmuştur. Silindirin hacmi, kare prizmanın hacminin kaçta kaçıdır?

A) 2π

B) 1π

C) π4

D) 56

E) 58

A B

C D


244

199. Yüksekliği 16 br olan şe-kildeki silindirin içinde h yüksekliğinde bir miktar su vardır. Aynı silindir eğilip şe-kildeki konuma getiril-diğinde su miktarı de-ğişmediğine göre h kaç birimdir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14

16

4

h


245

200. Yandaki şekilde O ve O′ dik silindirin ta-ban merkezleridir. |BC| = 6 birim olup şekildeki silindirin yanal alanı 36π br2 ise hacmi kaç br3 tür? A) 84π B) 72π C) 66π D) 60π E) 54π

A BO

C DO'

6


246

201. Yandaki dik silindirin taban yarıçapı r, yüksekliği h’dir. Bu silindirin yanal alanının taban alan-ları toplamının 3 katı olması için h ile r arasında hangi bağıntı olmalıdır? A) h = r B) h = 2r C) h = 3r D) h = 4r E) h = 5r

A BO

C D

r

h


247

202. Taban yarıçapı 6 br, yüksekliği 4π br olan yandaki silindirde P noktası silindirin ta-ban çevresi üzerindedir. Buna göre |AP| + |PB| toplamı en az kaç olabilir? A) 5π B) 5 C) 10π D) 10 E) 20π

A B

C DP


248

203. Taban yarıçapı 3 br ve yüksekliği 8π br olan yandaki silindirde A köşesinden C köşesine silindir yüzeyi üzerinden (şe-kildeki gibi) en kısa mesafe kaç br dir? A) 10π B) 12π C) 15π D) 20π E) 25π

A B

C D

P


249

204. Taban yarıçapı 3 br ve yüksekliği 16π br olan yandaki silindirde Q noktası [DB]’nin orta noktasıdır. B köşesinden Q noktasına silindir yüzeyi üzerinden şekildeki gibi en kısa mesafe kaç br dir? A) 5π B) 6π C) 9π D) 10π E) 12π

A B

C D

QP


250

205.

Taban yarıçapı 6π

br ve yanal alanı 96 br2

olan şekildeki silindir üzerindeki bir hare-ketli A noktasından D noktasına ulaşıyor. A ve D noktaları arasında hareketlinin alacağı en kısa yolun uzunluğu kaç cm dir? A) 10 B) 13 C) 15 D) 17 E) 8 5

A BO

C D


251

206. Şekildeki dik silindirin taban yarıçapı 2 cm, yüksekliği 4π cm dir. A köşesinden yola çıkan bir hareketlinin silindirin yan yüzeyi üzerinden bir tur atarak D noktasına ulaşacağı en kısa yol kaç π cm dir? A) 3 2 B) 4 2 C) 5 2 D) 6 2 E) 7 2

A BO

C D

2

4π


252

207. Şekildeki dik silindirin taban yarıçapı 8 cm, yüksekliği 7π cm dir. A köşesinden yola çıkan bir hareketli-nin silindirin yan yüzeyi üzerinden D noktasına ulaşacağı en kısa yol kaç π cm dir? A) 34 B) 32 C) 30 D) 26 E) 25

A BO

C D

8

7π


253

208. Şekildeki dik silindirin taban yarıçapı 12 cm, yüksekliği 20π cm dir. |CE|= |EA| A köşesinden E noktasına yüzey üze-rinden şekildeki yolu izleyerek gitmek isteyen bir hareketlinin alacağı en kısa yol kaç π cm dir? A) 26 B) 30 C) 34 D) 40 E) 50

A BO

C D

12

20πE


254

209. O, dik silindirin taban merkezi ve [AB] çaptır. |AE| = 3 birim |EB| = 4 birim |BD| = 4 birim Şekle göre CEB üçgensel bölgesinin alanı kaç br2 dir? A) 4 B) 6 C) 7,5 D) 10 E) 12,5

A B

C D

4

EO


255

210. E noktası yandaki dik silindirin taban çemberi üzerindedir. Buna göre BED açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 60o B) 75o C) 90o D) 105o E) 120o

A D

B CEα


256

211.

A BO

C D

A BO

C D

r

8h

A BO

C D

r r

9h 10h

Yukardaki üç silindirin taban yarıçapları aynı olup taban ve tavanları aynı hizadadır. Anadoğrusu 8h olan silindirin hacmi V1, 9h olanın V2, 10h olanın V3 ise aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) V1 < V2 < V3 B) V1 > V2 > V3 C) V1 = V2 < V3

D) V1 = V2 > V3 E) V1 = V2 = V3


257

212. Yandaki eğik silindirin taban düzle-miyle yaptığı açının ölçüsü 75º’dir. Bu silindirin taban alanı 3 1− cm2 ve anadoğrusu 2 2 cm olduğuna göre hacmi kaç cm3 tür? A) 2 B) 2π C) 2 2 D) 2 2π E) 2 6 2 2−

A B

C D

75o

2 2


258

213. Eni 2 cm buyu 5 cm olan dikdörtgen şeklinde-ki bir levha kendisine 2 cm uzaklıktaki d doğ-rusu etrafında 360º döndürülüyor. Dikdörtgenin dönme esnasında taradığı bölgenin hacmi kaç cm3 tür? A) 20π B) 40π C) 60π D) 70π E) 80π

d

2

5

2


259

214. Boyutları yanda verilen iki dikdörtgen d doğrusu etrafında 360º döndürülüyor. Taranan bölgenin hacmi aşağıdakilerden hangisidir? A) 24π B) 40π C) 48π D) 56π E) 60π

d

2

5

3

4


260

PİRAMİTLER 215. Yanda (P, ABC) dik üçgen piramidi görülmektedir. P ⊥ AC P ⊥ AB olup, m(PBA) = 45o ve m(ABC) = 60o olduğuna göre m(APC) kaç dere-cedir? A) 15o B) 30o C) 45o D) 60o E) 75o

4560o

o

αP

A

B

C


261

216. Çevresi 18 birim olan ABC eşkenar üçgeninin ağırlık merkezi G’den üçgen düzlemine çıkılan dikme çıkılıp bu dikme üze-rinde |KG| = 2 birim olacak şekilde bir K noktası alınıyor. Buna göre |AK| kaç birimdir? A) 2 2 B) 2 3 C) 4 2 D) 4 E) 5


262

217. Şekildeki piramit tabandan itibaren yüksekliğin 2/3’ü oranında tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Oluşan kesik piramidin hacmi 208 br3 ise pirami-din hacmi kaç br3 tür? A) 208 B) 216 C) 218 D) 224 E) 226

A B

CD

E FGH

P


263

218. Yanda dikdörtgen ta-banlı bir piramit görül-mektedir. |PA| = 2 br |PB| = 5 br |PC| = 11 br |PD| = x br olduğuna göre x kaç-tır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

25

11

x

A

B C

D

P


264

219. Şekildeki kare tabanlı düzgün piramidin yüksekliği 8 birim ve taban çevresi 48 birimdir. Buna göre piramidin tüm ala-nı kaç br2 dir? A) 384 B) 386 C) 390 D) 400 E) 412

A B

CD

T

8


265

220. Yandaki (P, ABCD) kare dik piramidinin tüm ayrıt-ları birbirine eşit uzunluk-ta olduğuna göre yan yüz-lerin tabanla yaptığı açı ölçüsünün tanjantı kaç-tır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 2 2

A

B C

D

P


266

221. Şekilde bütün ayrıtlarının uzunlukları birbirine eşit olan düzgün kare piramit çizilmiş-tir. |AB| = 4 3 cm Buna göre A’dan C’ye şekil-deki yüzeyler üzerinden alı-nan en kısa yol kaç cm dir? A) 21 B) 20 C) 18 D) 15 E) 12

A B

CD

T

P

4 3


267

222. Yanda görülen (P, ABCD) kare dik piramidi için |BC| = 12 br ve |PD| = 10 br olarak veril-miştir. Q∈(ABCD) olmak üzere |PQ| kaç farklı tamsayı değeri alabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A

B C

D

P

Q

10

12

12


268

DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ 223. Tüm ayrıtları toplamı 12 birim olan düzgün dörtyüzlünün alanı kaç bi-rim karedir? A) 2 3 B) 4 3 C) 6 2 D) 8 3 E) 10 3

12

T

A B

C


269

224. Bir ayrıtı 6 birim olan düzgün dörtyüzlünün yüksekliği kaç bi-rimdir? A) 2 6 B) 3 6 C) 4 6 D) 5 6 E) 6 6

6

T

A B

C


270

225. Şekildeki piramit bir düzgün dörtyüz-lüdür. G, tabanın ağırlık merkezidir. [TG] ⊥ [AH] |GH| = 3 birim Buna göre dörtyüzlünün hacmi kaç birim küptür? A) 48 6 B) 54 6 C) 60 6 D) 72 6 E) 84 6

3

T

A B

CG H


271

226. Yanda (P, ABC) düzgün dört-yüzlüsü verilmiştir. X ve Y noktaları sırasıyla PA ve AC ayrıtlarının orta noktalarıdır. |BC| = 4 br olduğuna göre BXY üçgensel bölgesinin ala-nı kaç br2 dir? A) 2 B) 3 C) 11 D) 4 E) 3 3

P

A

B C

X

Y4


272

227. Bir düzgün dörtyüzlüde yan yüzle-rin taban düzlemiyle yaptığı açı ölçüsünün tanjantı kaçtır? A) 2 B) 2 2 C) 6 D) 2 3 E) 4

T

A B

CP


273

DÜZGÜN SEKİZYÜZLÜ 228. Bir düzgün sekizyüzlünün kaç köşegeni vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


274

229. Tüm ayrıtları toplamı 24 birim olan düzgün sekizyüzlünün yüksekliği kaç birimdir? A) 2 2 B) 3 2 C) 4 2 D) 5 2 E) 6 2

T

AB C

D

P


275

230. Alanı 16 3 birim kare olan bir düz-gün sekizyüzlünün bir ayrıtı kaç bi-rimdir? A) 5 2 B) 4 2 C) 3 2 D) 2 2 E) 2

T

AB C

D

P


276

231. Uzun köşegeni 4 2 birim olan düzgün sekizyüzlünün bir kenarı kaç birimdir? A) 2 6 B) 2 5 C) 4 D) 2 2 E) 6


277

232. Bir düzgün sekizyüzlünün köşeleri kaç kare belirtir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


278

233. Bir ayrıtı a birim olan düzgün sekizyüzlünün hacmini aşağı-daki ifadelerden hangisi verir?

A) 322

a B) 323

a C) 324

a D) 326

a E) 328

a


279

KONİ 234. Yanda görülen dik koni için aşa-ğıdakilerden hangisi doğrudur? A) |PA| = |PB| < |PC| = |PD| B) |PD| < |PA| < |PB| < |PC| C) |PD| < |PB| < |PA| < |PC| D) |PA| = |PB| = |PC| = |PD| E) |PD| < |PB| = |PA| < |PC|

A B

P

C

D


280

235. Yandaki dik koninin anadoğrusu ta-ban çapına eşittir. Buna göre |PC| + |PB| + |PD| topla-mı silindir yüksekliğinin kaç katı-dır? A) 3 B) 2 C) 2 2 D) 3 E) 2 3

A B

P

OC

D


281

236. Şekildeki dik konide O noktası ta-ban çemberinin merkezidir. |PB| = 10 birim, |AO| = 8 birim Verilenlere göre koninin hacmi kaç br3 tür? A) 120π B) 122π C) 124π D) 126π E) 128π

A B

P

O8

10


282

237. Şekildeki dik konide O noktası taban çemberinin merkezidir. OC ⊥ PB |PC| = 16 birim |CB| = 9 birim olduğuna göre koninin hacmi kaç π br3 tür? A) 900 B) 1200 C) 1500 D) 1800 E) 2100

A B

P

O

C


283

238. Yandaki dik koninin taban merkezi O olsun. PAO üçgensel bölgesinin alanı 12 br2 olup, yüksekliği 8 br ise koni-nin hacmi kaç br3 tür? A) 72π B) 64π C) 48π D) 36π E) 24π

A B

P

O


284

239. Yandaki dik konide Q noktası PO yüksekliğinin orta noktasıdır. Buna göre taralı dik koninin hacmi, büyük dik koninin hacmi-nin kaçta kaçıdır?

A) 12

B) 13

C) 14

D) 23

E) 34

A B

P

O

Q


285

240. O noktası dik koninin taban çemberi-nin merkezidir. Buna göre dik koninin hacmi eğik koninin hacminin kaç katıdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

A B

P

O


286

241. Yandaki dik konide C ve D orta noktalardır. Taralı olan kısım su ile doludur. 10 cm3 daha su konunca koni do-luyorsa, içindeki su kaç cm3 tür? A) 10 B) 20 C) 30 D) 70 E) 80

A B

P

O

C D


287

242. Bir silindirin üstüne taban yarıçapı aynı fakat yüksekliği 2 katı olan bir koni yerleştirilmiştir. Oluşan cismin hacmi silindirin hacminin kaç katıdır?

A) 32

B) 43

C) 53

D) 2 E) 3

A B

P

CD


288

243. Yandaki dik konide D ve E noktaları orta noktalardır. Koninin hacmi silindirin kaç katı-dır?

A) 43

B) 32

C) 2 D) 83

E) 3

A B

P

CD


289

244. Yan şekilde görülen dik koninin taban çapı, silindirin taban yarıçapına eşittir. Tepe noktası da silindirin üst yüzeyi üstündedir. Buna göre silindirin hacmi koninin hacminin kaç katıdır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 18

A B

C D

O

P


290

245. Yan şekilde görülen dik koninin taban çapı, silindirin taban yarıçapına eşittir. Koninin yüksekliği silindirin yüksek-liğinin yarısı ise hacimlerinin oranı kaçtır? A) 8 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24

A B

C D

O

P


291

246. Şekilde silindir içine yerleştirilmiş bir pi-ramit görülmektedir. Piramidin tepe nokta-sı olan P silindirin üst taban merkezidir. Tabanı da silindirin tabanı olan dairenin yarısıdır. Buna göre silindirin hacmi, taralı pira-midin hacminin kaç katıdır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

A B

C DP


292

247. Şekildeki dik konide

23

rl=

olduğuna göre koninin açılımında beliren daire diliminin merkez açısı kaç derecedir? A) 165 B) 172 C) 180 D) 210 E) 240

A B

P

Or


293

248. Şekildeki dik konide |AP| = 10 birim |AO| = 5 birim Şekildeki koninin açılımından oluşacak daire diliminin merkez açısı kaç derecedir? A) 105 B) 112 C) 120 D) 136 E) 180

A B

P

O

10

5


294

249. Yandaki dik konide m(OPA) = 30o ise koninin açık halindeki daire di-liminin merkez açısı kaç derece-dir? A) 165 B) 172 C) 180 D) 210 E) 240

A B

P

O


295

250. Ana doğrusu 6 cm olan dik koninin tabanındaki A noktasından B noktası-na ulaşan bir karıncanın izlediği yol çizilmiştir. |OB| = 1 cm Buna göre karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm dir? A) 3 2 B) 4 2 C) 5 2 D) 6 2 E) 7 2

A B

P

O

CD


296

251. Ana doğrusu 8 cm olan dik koninin tabanındaki A noktasından şekildeki yolu izleyerek C noktasına ulaşan bir karıncanın aldığı yol 48 cm dir. |PD| = |DB| Verilenlere göre koninin taban ya-rıçapı kaç cm dir?

A) 113

B) 83

C) 73

D) 53

E) 43

A B

P

O

C


297

252. Şekildeki dik koninin tabanındaki A noktasından şekildeki yolu izleyen bir karınca C noktasına uğramak şartıyla D noktasına ulaşıyor. |PD| = 1 cm |DA| = 7 cm |OB| = 2 cm Buna göre karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm dir? A) 57 B) 59 C) 61 D) 65 E) 67

A B

P

O

DC

7

1

2


298

253. Şekildeki dönel koninin ana doğrusu 18 cm ve taban yarıçapı 3 cm dir. |PF| = 6 cm Koninin tabanındaki A noktasın-dan koninin ana doğrusu üzerinde-ki F noktasına şekildeki gibi gitmek isteyen karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm dir? A) 2 14 B) 14 C) 2 11 D) 6 7 E) 6 5

A B

P

O

D C6


299

254. Şekildeki koni tabandan itibaren yüksekliğin 2/3’ü oranında tabana bir paralel bir düzlemle kesiliyor. Oluşan kesik koninin hacmi 104 br3 ise tüm koninin hacmi kaç br3 tür? A) 104 B) 108 C)109 D) 112 E) 113

A B

P

O

C D


300

255. Şekildeki dik konide |PD| = 2|DB| Verilenlere göre üstteki koninin hacminin alttaki kesik koninin hacmine oranı kaçtır?

A) 317

B) 427

C) 819

D) 964

E) 27242

A B

P

O

C D


301

256. O ve P taban merkezleri |PC| = 2 birim |PO| = 4 birim |OB| = 6 birim Şekildeki kesik koninin yanal alanı kaç br2 dir? A) 24 2π B) 28 2π C) 32 2π D) 36 2π E) 40 2π

A B

CD

O

P2

4

6


302

257.

10 birim

8 birim

5 birim

π

π

Şekilde açık hali ile verilen kesik koninin yüksekliği kaç birimdir? A) 3 B) 4 C) 3 2 D) 2 5 E) 2 6


303

258. Tabanı 4 br yüksekliği 6 br olan bir dik üç-gen kendisine uzaklığı 2 br olan bir d doğru-su etrafında 180o döndürülüyor. Dik üçgenin taradığı bölgenin hacmi kaç birimküptür? A) 17π B) 51π C) 102π D) 204π E) 408π

2 4

6

2d


304

KÜRE 259. Yarıçapı 3 3π birim olan kürenin hacmi kaç br3 tür? A) 4π B) 4π 2 C) 12π D) 12π2 E) 4π4


305

260. Çapı 6 birim olan kürenin alanı kaç birim karedir? A) 144π B) 72π C) 36π D) 24π E) 20π


306

261. Hacmi 12π10 br3 olan kürenin alanı kaç br2 dir? A) 144π5 B) 72π6 C) 36π7 D) 24π8 E) 20π9


307

262. Alanı 100π birim kare olan kürenin hacmi kaç birimküptür?

A) 500π3

B) 511π3

C) 610π3

D) 670π3

E) 700π3


308

263. İçi dolu bir kürenin bir düzlemle arakesiti aşağıdakiler-den hangisidir? A) Kare B) Dikdörtgen C) Elips

D) Çember E) Daire


309

264. Çapı 10 birim olan küre, merkezinden 3 birim uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde oluşan kesit alanı kaç br2 olur? A) 2π B) 4π C) 8π D) 16π E) 32π


310

265. Yarıçapı 10 birim olan kürenin, merkezinden 6 birim uzak-lıktaki kesitinin alanı kaç birim karedir? A) 32π B) 36π C) 40π D) 56π E) 64π


311

266. Yarıçapı 5 birim olan kürenin, merkezinden 3 birim uzaklık-taki kesitini taban kabul eden 6 birim yükseklikteki koninin hacmi kaç birimküptür? A) 24π B) 26π C) 28π D) 30π E) 32π


312

267. Yarıçapı 10 birim olan kürenin, merkezinden a birim uzak lıktaki kesitinin alanı 36π birimkare ise a kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12


313

268. Şekildeki taban çapı 12 birim ve yüksekliği 8 birim olan koninin içindeki kürenin koni tabanına ve yüzeylere teğet olduğu bilinmek-tedir. Buna göre kürenin yarıçapı kaç birimdir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A B

C


314

269. Yüksekliği 8 birim olan yandaki dik koninin içine, tabanına ve koni yüze-yine teğet olacak şekilde bir küre yer-leştirilmiştir. Koninin taban alanı 36π br2 ise kü-renin yüzey alanı kaç birim kare-dir? A) 27π B) 30π C) 36π D) 40π E) 45π

A B

P

O

M


315

270. Şekilde taban yarıçapı 6 cm olan dik koninin tepe noktası ve taban çem-beri, kürenin yüzeyindedir. Dik koninin hacmi 216π cm3 oldu-ğuna göre kürenin yarıçapı kaç cm dir? A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15

A B

P

O6


316

271. Şekildeki ana doğrusu 10 birim olan koninin içine atılan 36π br3 hacimli kürenin koni tabanına teğet olduğu bilinmektedir. Buna göre koninin taban yarı-çapı kaç birimdir? A) 3 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

A B

C


317

272. Şekildeki 36π br3 hacimli küre kesik koninin tabanlarına teğet olduğuna göre kesik koninin yüksekliği kaç birimdir? A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15

A B

CD


318

273. Şekildeki koni ve kürenin yarıçapları eşit olup 3 birim-dir. Koni ağzına kadar su ile doldurulup küreye boşal-tıldığında kürenin yüzde kaçı dolar? A) 75 B) 60 C) 55 D) 50 E) 40

A B

C

A BO 33


319

274. Şekildeki silindirin içine, birbirine ve si-lindirin yüzeyine teğet olacak şekilde yüzey alanı 16π br2 olan iki eş küre yer-leştirilmiştir. |AB| = 4 2 3+ birim olduğuna göre silindirin çapı kaç bi-rimdir?

A) 6 B) 92

C) 4 D) 2 3 E) 52

A B

C D


320

275. Bir ayrıtının uzunluğu 2π br olan bir küpün üst yüzeyinin ağırlık merkezine yarıçapı 10 br olan O merkezli bir küre konulmuştur. Küpün A köşesinde bulunan bir karınca küp ve küre yüze-yini kullanarak A’dan kürenin en üst noktasına gidecektir. Alacağı yol en az kaç br dir? A) 10π B) 2 10π C) 3 10π D) 4 10π E) 5 10π

2π

10

A

O


321

276. 4 br yarıçaplı yarımküre şeklin-deki kapalı cismin merkezi olan A noktasından küpün en alt noktası olan B’ye cisim yüzeyi üzerinden en kısa mesafe kaç br dir? A) 2π + 4 B) 4π + 4 C) 8π + 4 D) 2π + 8 E) 4π + 8

A

B

4


322

277. Bir küreye D ve E noktalarından ba-tırılan şişler küreden B ve C noktala-rından çıkmaktadır. |CE| = 5, |EA| = 4, |AD| = 3 ve |DB| = x birim olduğuna göre x kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

A B

C

D

E4

5

3 x

uzay geometri 322 sayfa tmoz

Documents

aadakilerden hangisi yanltr

yandaki dikdrtgenler prizmasnda

yandaki dik konide

doru dzlemin iindedir

ekildeki dik konide

farkl nokta en

lsnn tanjant katr

ka cm2 dir