UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

FACULTE DES SCIENCES

MEMOIRE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MASTER EN

ASTRONOMIE ET ASTROPHYSIQUE

DOMAINE : SCIENCES ET TECHNOLOGIE

MENTION : PHYSIQUE ET APPLICATION

PARCOURS : ASTRONOMIE ET ASTROPHYSIQUE

UTILISATION DES DIFFERENTS REPERES

ASTRONOMIQUES POUR DEFINIR LE

TEMPS ET LES CALENDRIERS

Présenté par :

RAKOTOARISOA Heriniaina Hasina

Devant la commission d’examen composée par :

Présidente : Madame RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo

Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo

Rapporteur : Monsieur RAKOTOMALALA Minoson Sendrahasina

Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo

Examinateurs : Monsieur RANAIVONOMENJANAHARY Flavien

Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo

Monsieur RANDRIANANDRAINA Hery Zo

Maître de Conférences à l’Université d’Antananarivo

Présenté le 23 Juin 2016

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

FACULTE DES SCIENCES

MEMOIRE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MASTER EN

ASTRONOMIE ET ASTROPHYSIQUE

DOMAINE : SCIENCES ET TECHNOLOGIE

MENTION : PHYSIQUE ET APPLICATION

PARCOURS : ASTRONOMIE ET ASTROPHYSIQUE

UTILISATION DES DIFFERENTS REPERES

ASTRONOMIQUES POUR DEFINIR LE

TEMPS ET LES CALENDRIERS Présenté par :

RAKOTOARISOA Heriniaina Hasina

Devant la commission d’examen composée par :

Présidente : Madame RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo

Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo

Rapporteur : Monsieur RAKOTOMALALA Minoson Sendrahasina

Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo

Examinateurs : Monsieur RANAIVONOMENJANAHARY Flavien

Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo

Monsieur RANDRIANANDRAINA Hery Zo

Maître de Conférences à l’Université d’Antananarivo

DEDICACES

Que le créateur soit loué et glorifié

A ma famille

A mes proches et mes amis

REMERCIEMENTS

Premièrement, je tiens à adresser mes sincères remerciements à Monsieur

RAHERIMANDIMBY Marson, Responsable du domaine Sciences et Technologie

de la Facultés des Sciences de l’Université d’Antananarivo et Monsieur

RAKOTONDRAMIARANA Hery Tiana, Responsable de la Mention Physique et

Application pour leur gestion sage et les bonnes conditions d’études qu’ils nous ont

procurées.

Le travail de préparation et d’élaboration d’un mémoire de fin d’études est toujours

un exercice fastidieux et difficile mais rendu plus aisé dans mon cas grâce à la

bienveillance de :

-Monsieur RANDRIANANDRAINA Hery Zo. Maître de conférences à l’université

d’Antananarivo, Responsable du parcours Astronomie et Astrophysique qui fait

partie des membres du jury pour la présentation de ce mémoire en tant

qu’examinateur.

-Monsieur RAKOTOMALALA Minoson Sendrahasina. Professeur Titulaire à

l’université d’Antananarivo, Responsable de Formation et de la Recherche à l’Institut

pour la Maîtrise de l’Energie (IME) et fondateur du parcours Astronomie et

Astrophysique au sien du département de Physique, à qui, je tiens à exprimer mes

vifs remerciements et ma profonde gratitude d’avoir bien voulu être mon encadreur

et pour les précieux conseils qu’il m’a prodigués.

J’aimerai également adresser mes profondes gratitudes à tous les enseignants du

département de physique qui, durant mes années d’études, m’ont généreusement

transmis leurs savoirs. Qu’il me soit permis de citer en particulier :

-Madame RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo. Professeur Titulaire à

l’université d’Antananarivo, qui m’a soutenu depuis le début de ce parcours et qui

me fait l’honneur d’être la Présidente du jury pour la présentation de ce mémoire.

-Monsieur RANAIVONOMENJANAHARY Flavien. Professeur Titulaire à

l’université d’Antananarivo, lui aussi, il m’a soutenu durant ce parcours et qui siège

parmi les membres du jury en tant qu’examinateur.

Enfin, je voudrais témoigner ma sympathie envers ma famille, mes amis et autres

personnes qui m’ont soutenu et aidé, de quelque façon que ce soit, durant la

préparation de ce mémoire. Qu’ils reçoivent ici mes sincères remerciements.

TABLES DES MATIERES

Liste des figures

INTRODUCTION…………………………………………………………………..1

CHAPITRE I : METHODOLOGIE………………………………………………...3

SYSTEME DE REPERE EN ASTRONOMIE…………………………….4

CALCUL DE DISTANCE EN ASTRONOMIE ET LES LOIS DES

MOUVEMENTS….................................…………………………………12

LA MESURE DU TEMPS EN ASTRONOMIE………………………….20

DEFINITION DES CALENDRIERS……………………………………..23

CHAPITRE II : RESULTATS…………………………………………………….29

APPLICATION SUR LES COORDONEES EQUATORIALES ET

ECLIPTIQUE……………………………………………………………..30

APPLICATION SUR LES COORDONNEES TERRESTRES…………31

APPLICATION SUR LES REPERE LOCAUX………….......................31

APPLICATION SUR LA MESURE DE DISTANCES…………..........32

APPLICATION SUR LE CHANGEMENT DE CALENDRIER………..33

CHAPITRE III : DISCUSSIONS…………………………………………………34

CONCLUSION…………………………………………………….......................38

BIBLIOGRAPHIE ET WEBOGRAPHIE………………………………………...39

LISTES DES FIGURES

Figure 1.1 : figure du repère écliptique……………………………………………….4

Figure 1.2 : figure du repère équatorial………………………………………………5

Figure 1.3 : schéma du triangle sphérique……………………………………………6

Figure 1.4 : figure illustrant le changement de coordonnées ………………………...7

Figure 1.5 : schéma des repères locaux……………………………………………..11

Figure 1.6 : figure illustrant la méthode de la parallaxe…………………………….12

Figure 1.7 : figure de la trajectoire planétaire……………………………………….14

Figure 1.8 : figure illustrant la 2eme loi de Kepler…………………………………...14

Figure a.1 : figure illustrant le centre de masse entre deux astres…………………..18

Figure a.2 : figure qui montre la rotation d’une masse fictive autour de la masse

totale…………………………………………………………………………………18

1

INTRODUCTION

De nos jours, le calendrier est quelque chose de banale dont l’aspect extérieur et

décoratif (belles photos de couverture, belles images de pages, qualité de reliure,

etc.) l’emportent sur le contenu. Cette banalité est devenue telle que la question sur la

façon dont il a été conçu n’effleure même pas les esprits. Pourtant, c’est un objet

chargé d’histoires, le produit d’un long processus de recherches et d’observations et

dont l’évolution a pris des millénaires car, à travers les âges, l’homme a toujours

senti le besoin d’un repère pour se situer dans le temps.

En effet, la mesure du temps était une préoccupation très importante dans les

civilisations anciennes, afin d’organiser la vie économique et religieuse dans une

société. Dans les milieux où l’homme vivait, il s’est toujours rendu compte de

l’existence de phénomènes périodiques, comme le retour des saisons, le déplacement

de l'ombre, le cycle lunaire… Ces phénomènes ont été utilisés comme des références.

Au cours du temps, l'homme a toujours focalisé son attention sur ces phénomènes

physiques périodiques, dans le but de mettre en place des dispositifs de mesure de

plus en plus précise du temps, avec des unités adaptées. Dans un premier temps, il

s’est intéressé à la succession des jours et des nuits, ce qui le conduit à étudier les

phénomènes périodiques terrestres, c'est-à-dire la rotation de la terre sur elle-même,

puis la rotation de la terre autour du soleil. De ces observations, il a pu déduire qu’à

peu près, la période de rotation de la terre autour du soleil valait 365 jours. D’où la

naissance des calendriers.

Comme nous venons de citer, il s’agit bien d’étudier les mouvements des corps

célestes tels que les planètes, les étoiles afin de bien comprendre la notion de temps

et des calendriers ; nous avons donc affaire à la mécanique céleste, d’où le but de

notre travail : « La définition de la notion de temps et de calendriers à partir des

différents repères astronomiques ».

Dans ce travail, nous allons voir dans une première partie toutes les notions sur les

repères d’espace et de temps utilisés en astronomie. La deuxième partie sera

2

consacrée à l’étude dynamique des corps célestes à partir de quelques lois, et enfin,

nous allons définir la notion de temps et des calendriers existants.

3

CHAPITRE I :

METHODOLOGIE

4

CHAPITRE I : METHODOLOGIE

I.1- SYSTEME DE REPERE EN ASTRONOMIE

La notion de repère est surtout nécessaire en astronomie pour décrire le mouvement

d’un astre et pour évaluer la distance entre la terre et un objet céleste.

I.1.1- LE REPERE CELESTE ECLIPTIQUE

Le repère céleste écliptique est formé par un trièdre directe (Oxyz) tel que (Oxy)

forme le plan de l’orbite Terre-Lune (plan de l’écliptique), l’axe Oz est normale à ce

plan et le mouvement du barycentre Terre-Lune se fait dans le sens directe par

rapport à Oz. L’axe Ox indique la direction du point vernale noté γ (l’une des deux

points d’intersection du plan de l’écliptique et le plan équatorial, cf repère céleste

équatorial). Les coordonnées écliptiques sont : la longitude écliptique notée λ,

comptée de 0 à 360º par rapport à l’axe Ox et la latitude écliptique notée β, comptée

de -90 à 90º par rapport à l’axe Oz. (Figure 1.1)

Figure 1.1 : repère écliptique

x

Y

z Pôle écliptique

Astre

Υ

𝜆

𝛽

Plan de l’écliptique

5

I.1.2- LE REPERE CELESTE EQUATORIAL

Le repère céleste équatorial est formé par un trièdre directe (Oxyz) tel que (Oxy)

forme le plan de l’équateur Terrestre (plan équatorial), l’axe Oz est normale à ce plan

et le mouvement de rotation de la Terre se fait dans le sens directe par rapport à Oz.

L’axe Ox indique la direction du point vernale noté γ (l’une des deux points

d’intersection du plan de l’écliptique et le plan équatorial). Les coordonnées

équatoriales sont : l’ascension droite notée α, comptée de 0 à 24h par rapport à l’axe

Ox et la déclinaison notée δ, comptée de -90 à 90º par rapport à l’axe Oz.

(Figure 1.2)

I.1.3- CHANGEMENT DE REPERE

Nous pouvons constater alors que les deux repères ont un axe en commun, qui est

l’axe Ox, le plan de l’écliptique et le plan équatorial forment un angle suivant cet

axe. Cet angle est appelé l’obliquité de l’écliptique et noté ε, sa valeur est de 23° 26'

21". Nous pouvons passer alors du repère céleste écliptique au repère céleste

équatorial en faisant une rotation autour de l’axe Ox.

Figure 1.2 : repère équatorial

x

Y

z Pôle céleste nord

Astre

Υ

𝛼

𝛿

Plan de l’équateur

6

I.1.4- LES FORMULAIRES TRIGONOMETRIQUES ET LES RELATIONS

ENTRE LES COORDONNEES ECLIPTIQUES ET LES COORDONNEES

EQUATORIALES

Comme il s’agit des coordonnés polaires, nous allons utiliser donc les formules de

trigonométriques sphériques classiques. Soit le triangle sphérique suivant.

(Figure 1.3)

A partir de cette figure, nous aurons les relations suivantes :

𝑠𝑖𝑛𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑠𝑖𝑛𝑏

sin 𝐵=

𝑠𝑖𝑛𝑐

𝑠𝑖𝑛𝐶

𝑐𝑜𝑠𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑐 + 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑐𝑜𝑠𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵

𝑐𝑜𝑠𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶

𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝑐 − 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑠𝑖𝑛𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑐 − 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵

𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐵

𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶

𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐶

(1)

Figure 1.3 : triangle sphérique

A

B

C

a

b

c

7

Considérons maintenant un astre en un point A quelconque de la sphère céleste

(Figure 1.4)

Figure 1.4 : exemple pour un astre quelconque

Nous pouvons constater à partir de cette figure que le point A, le pôle de l’écliptique

E, et le pôle nord céleste P forment un triangle sphérique(𝐸𝑃𝐴).

Nous avons :

L’obliquité, qui est l’arc 𝐸𝑃

la latitude écliptique à partir de son complémentaire qui est l’arc 𝐸𝐴 =𝜋

2− 𝛽

la déclinaison à partir de son complémentaire qui est l’arc 𝑃𝐴 =𝜋

2− 𝛿

la longitude écliptique à partir de son complémentaire qui est l’angle entre

L’arc 𝐸𝑃 et l’arc 𝐸𝐴 =𝜋

2− 𝜆

L’angle entre les deux colures plus l’ascension droite vaut : 𝜋

2+ 𝛼

Calculons par exemple les coordonnées équatoriales en fonction des coordonnées

écliptiques :

A

E

P 휀

𝛿

𝛽

𝛼

8

𝑠𝑖𝑛(𝜋

2−𝛿)

𝑠𝑖𝑛(𝜋

2−𝜆)

=𝑠𝑖𝑛(

𝜋

2−𝛽)

𝑠𝑖𝑛(𝜋

2+𝛼)

𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝛿) = 𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

2− 𝛽) 𝑐𝑜𝑠휀 + 𝑠𝑖𝑛 (

𝜋

2− 𝛽) 𝑠𝑖𝑛휀. 𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

2− 𝜆)

𝑠𝑖𝑛 (𝜋

2− 𝛿) 𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

2+ 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

2− 𝛽) 𝑠𝑖𝑛휀 − 𝑠𝑖𝑛 (

𝜋

2− 𝛽) 𝑐𝑜𝑠휀. 𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

2− 𝜆)

Nous aurons après simplification :

𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜆

𝑠𝑖𝑛𝛿 = 𝑠𝑖𝑛𝛽. 𝑐𝑜𝑠휀 + 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑠𝑖𝑛휀. 𝑠𝑖𝑛𝜆

𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −𝑠𝑖𝑛𝛽. 𝑠𝑖𝑛휀 + 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠휀. 𝑠𝑖𝑛𝜆

Et

𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜆 = 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛿

𝑠𝑖𝑛𝛽 = 𝑠𝑖𝑛𝛿. 𝑐𝑜𝑠휀 − 𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑠𝑖𝑛휀. 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑠𝑖𝑛𝜆 = 𝑠𝑖𝑛𝛿. 𝑠𝑖𝑛휀 + 𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑐𝑜𝑠휀. 𝑠𝑖𝑛𝛼

I.1.5- LES COORDONNEES TERRESTRES

Nous distinguons deux types de coordonnées terrestres qui sont : les coordonnées

géographiques et les coordonnées géocentriques. Dans ces deux types de

coordonnées, la terre est assimilée à un ellipsoïde de révolution. Les coordonnées

géographiques sont constituées par la latitude géographique, notée φ (c’est l’angle

entre la normale à l’ellipsoïde de référence et le plan de l’équateur terrestre), et la

longitude notée L (c’est l’angle formé par le méridien de Greenwich et le méridien

du lieu considéré). Les coordonnées géocentriques sont constituées par la latitude

géocentrique, notée φ’ (c’est l’angle entre la direction allant du centre de la Terre au

(2)

(3)

(4)

9

lieu considéré et le plan de l’équateur terrestre), et la même longitude des

coordonnées géographiques.

Soit φ la latitude géographique, φ' la latitude géocentrique et h l’altitude du lieu, a est

le rayon équatorial terrestre, f est l’aplatissement de l’ellipsoïde terrestre, ρ la

distance entre le centre de la Terre et le lieu exprimé en rayon terrestre équatorial.

Nous avons les relations suivantes :

𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 𝑐𝑜𝑠𝑢 +ℎ

𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑

𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑′ = (1 − 𝑓)𝑠𝑖𝑛𝑢 +ℎ

𝑎𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑡𝑎𝑛𝑢 = (1 − 𝑓)𝑡𝑎𝑛𝜑

I.1.6- LES REPERES LOCAUX

a- LE SYSTEME DE COORDONNEES EQUATORIALES HORAIRES

Auparavant nous avons vu des repères fixes qui ne tiennent pas compte du

mouvement de l’observateur. Considérons maintenant le repère équatorial horaire,

formé par le plan (Oxy) qui est le plan de l’équateur et un axe Oz normale à ce plan,

tel que Oz indique le pôle Nord. Sachons que l’axe Ox indique la direction du

méridien local et que ce système est lié à la Terre.

Avec le repère équatorial horaire, on a les coordonnées équatoriales horaires, qui

sont composées de l’angle horaire, noté H, compté positivement en heures

sexagésimales de 0h à 24h vers l’Ouest à partir du méridien du lieu et la déclinaison,

qui n’est autre que l’angle du repère équatorial.

(5)

10

b- LE TEMPS SIDERAL

Le temps sidéral local, noté TL est l’angle entre la direction du point vernal et le

méridien du lieu considéré. Cet angle est compté positivement vers l’Ouest à partir

du méridien local et exprimé en Heure sexagésimale.

D’où la relation entre l’angle horaire, l’ascension droite et le temps sidéral local :

𝐻 = 𝑇 − 𝛼 (6)

c- L’EFFET D’UN CHANGEMENT DE LONGITUDE

Si nous changeons de longitude, la formule donnant le temps sidéral local TL en un

lieu de longitude L par rapport au temps sidéral à Greenwich TG est :

𝑇𝐿 = 𝑇𝐺 +1

15𝐿 (7)

d- LE REPERE AZIMUTAL

Le repère azimutal est un repère local que nous pouvons définir à n’importe quel

endroit de la terre. Si nous considérons par exemple un lieu de latitude géographique

φ et de longitude géographique L. Nous pouvons avoir en ce lieu un repère azimutal,

tel que le plan (Oxy) est le plan horizontal local et l’axe Oz est la normale à ce plan.

La direction indiquée par l’axe Oz est appelée la direction du zénith et l’axe Ox est

l’intersection du plan horizontal local et le plan du méridien du lieu considéré.

Avec le repère azimutal, nous avons le système de coordonnées azimutales, qui sont

composées par l’azimut, noté a, un angle compté positivement à partir de Ox vers

l’Ouest de 0 à 360º et la hauteur, noté h, qui est compté positivement vers le zénith

de 0 à 90º. Parfois, nous utilisons l’angle entre la direction du zénith et la direction de

l’astre à la place de la hauteur. Cet angle est appelé distance zénithale, noté z, et

compté de 0 à 180º à partir du zénith (Figure 1.5)

11

e- FORMULAIRE LIANT LES COORDONNEES LOCALES

En utilisant la trigonométrie sphérique :

𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝛿 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝛿𝑐𝑜𝑠𝐻

𝑠𝑖𝑛𝑧𝑠𝑖𝑛𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝛿𝑠𝑖𝑛𝐻

𝑠𝑖𝑛𝑧𝑐𝑜𝑠𝑎 = −𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝛿 + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝛿𝑐𝑜𝑠𝐻

𝑧 =𝜋

2− ℎ

La relation inverse

𝑠𝑖𝑛𝛿 = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑧 − 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝑧𝑐𝑜𝑠𝑎

𝑐𝑜𝑠𝛿𝑠𝑖𝑛𝐻 = 𝑠𝑖𝑛𝑧𝑠𝑖𝑛𝑎

𝑐𝑜𝑠𝛿𝑐𝑜𝑠𝐻 = 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝑧 + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝑧𝑐𝑜𝑠𝑎

z

h

a x

y

Z (zénith)

X’

Z’ (Pôle nord céleste)

Sud

Nord

Plan de l’équateur

Plan horizontal

Figure 1.5: figure des repères locaux

(8)

(9)

12

f- QUELQUES DEFINITIONS LIEES AU REPERE AZIMUTAL

La direction du vertical, vers le haut, d'un lieu donné porte le nom de zénith,

et la direction opposée, vers le bas, porte le nom de nadir.

Le demi-cercle reliant le zénith au nadir de la sphère céleste est appelé demi-

cercle d’égal azimut.

Le demi-cercle qui relie le pôle céleste Nord au pôle céleste Sud de la sphère

céleste et contenant le zénith est appelé le méridien supérieur.

Le demi-cercle reliant le pôle céleste Nord au pôle céleste Sud de la sphère

céleste et contenant le nadir est appelé le méridien inférieur.

I.2- CALCUL DE DISTANCE EN ASTRONOMIE ET LES LOIS DES

MOUVEMENTS

I.2.1- CALCUL DE DISTANCE PAR LA METHODE DE LA PARALLAXE

En astronomie, la parallaxe est l’angle sous lequel on pourrait voir une longueur

connue, depuis un astre quelconque. La parallaxe est utilisée pour les étoiles

(proches) : c’est l’angle sous lequel on voit le demi-grand axe de l’orbite terrestre

depuis une étoile. Cette parallaxe d’étoiles a été mise en évidence pour la première

fois en 1838 par F. Bessel.

Soit le figure suivant :

Figure 1.6 : figure illustrant la méthode de la parallaxe

E S

T

𝜛

13

Le demi-grand axe de l’orbite terrestre ST (S pour Soleil et T pour Terre) est vu

depuis une étoile E sous un angle ϖ, appelé parallaxe annuelle de E.

Le triangle STE est rectangle en S. Nous pouvons écrire : tan ϖ = 𝑆𝑇

𝑆𝐸 ,

où ST est le demi-grand axe de l’orbite terrestre et SE la distance cherchée (nous

pouvons considérer que SE et TE sont égales, vu la petitesse de ϖ). Par ailleurs, la

mesure d’angle ϖ, exprimée en radians, est elle aussi très petite, donc tan ϖ = ϖ.

Nous pouvons en déduire :

𝜛 =𝑆𝑇

𝑆𝐸 𝑜𝑢 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 ∶ 𝑆𝐸 =

𝑆𝑇

𝜛 (10)

Nous pouvons exprimer ST en Unités Astronomiques (UA). Donc on obtient :

SE = 1

𝜛 avec ϖ en radian.

Introduisons une nouvelle unité de distance qui est le parsec (pc). On dira qu’une

étoile est située à 1 pc si sa parallaxe est égale à 1 seconde d’arc. En d’autres termes,

depuis cette étoile (située à 1 pc), on verra le demi-grand axe de l’orbite terrestre (1

UA, c’est-à-dire 150 millions de km) sous un angle de 1" (seconde d’arc, 3 600e

partie du degré).

Déduisons de cette définition la valeur de 1 pc en UA

Nous savons que 1 rad = 180

𝜋degrés ; or 1° = 3600″ ;

d’où 1rad = 180 × 3600"

𝜋 = 260 265 ″

Nous pouvons donc en déduire que :

𝑆𝐸 =1

𝜛(𝑟𝑎𝑑)=

1

𝜛(")× 206 265 𝑈𝐴,

en notant avec ϖ (rad) et ϖ (″) respectivement les mesures en radians et en secondes

d’arc de la parallaxe.

Si ϖ = 1″, on obtient SE = 206 265 UA. D’où par définition 1pc = 206 265 UA.

Enfin, la définition précédente permet d’écrire que si SE est exprimée en pc, on

aura :

𝑆𝐸 =1

𝜛(") (11)

14

I.2.2- LES TROIS LOIS DE KEPLER

1ere loi de Kepler

Le mouvement d’une planète autour du Soleil est plan et son trajectoire est une

ellipse, avec le soleil se trouvant sur l’un des foyers de l'ellipse (Figure 1.7)

Figure 1.7 : Figure d’une trajectoire d’une planète autour du soleil

Remarque

Périhélie : c’est la position de la planète la plus proche du soleil

Aphélie : c’est la position de la planète la plus éloignée du soleil

2eme loi de Kepler

Une ligne reliant une planète au soleil balaie des aires égales en des intervalles de

temps égaux

𝐴1

𝐴2

à 𝑡1

à 𝑡2

à 𝑡3

à 𝑡4

𝑑′𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝐾𝑒𝑝𝑙𝑒𝑟, 𝑠𝑖 𝑡2 − 𝑡1 = 𝑡4 − 𝑡3

⇒ 𝐴1 = 𝐴2

F1 F2

Soleil

Planète

Périhélie Aphélie

Figure 1.8: figure illustrant la 2eme loi de Kepler

15

3eme loi de Kepler

Le carré des périodes de révolution des planètes est proportionnel au cube des demi

grands axes de leurs orbites. Donnée par l’équation :

𝑃3 = 4𝜋2𝑟3

𝐺𝑀 (12)

Démonstration des lois de Kepler :

1ere loi et 2eme loi:

Montrons que le moment cinétique L de la planète est constant

𝐿 = 𝑚𝒗 ∧ 𝒓

𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝑚

𝑑𝒗

𝑑𝑡∧ 𝒓 + 𝑚𝒗 ∧

𝑑𝒓

𝑑𝑡= 0 + 0 = 0

D’où la première partie de la première loi de Kepler, le mouvement d’une planète

autour du soleil est plan. Nous allons maintenant démontrer la deuxième partie

après avoir démontré la loi des aires, qui est la deuxième loi de Kepler.

Considérons la figure suivante :

𝑑𝜃

𝑟𝑑𝜃

𝑑𝑟

𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑑𝐴

16

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2𝑟2

𝑑Ө

𝑑𝑡

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2𝑟𝑣Ө

Etant donné que 𝑟 et 𝑣Өsont perpendiculaires

𝑟𝑣Ө = │𝑟 × 𝑣│ = │𝐿

µ│ =

𝐿

µ

D’où la deuxième loi de Kepler

𝒅𝑨 = 𝑳

𝟐𝒎𝒅𝒕 (𝟏𝟑)

Au cours du mouvement d’une planète autour du soleil, son rayon vecteur varie

constamment, mais l’énergie totale reste constante.

𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝

Avec 𝐸𝑐 =1

2𝑚𝑣2 𝑒𝑡 𝐸𝑝 = −𝐺

𝑀𝑚

𝑟

Où 𝑀: 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑖𝑙, 𝑚: 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛è𝑡𝑒

Avec 𝑣2 = (𝑑𝑟

𝑑𝑡)

2

+ 𝑟2 (𝑑𝜃

𝑑𝑡)

2

𝑑′𝑜ù 𝐸 = 1

2𝑚 [(

𝑑𝑟

𝑑𝑡)

2

+ 𝑟2 (𝑑𝜃

𝑑𝑡)

2

] − 𝐺𝑀𝑚

𝑟

D’après la deuxième loi de Kepler,

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2𝑟2

𝑑Ө

𝑑𝑡= 𝑐𝑡𝑒

D’où 𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝐾

𝑟2

𝑑′𝑜ù 𝐸 =1

2𝑚 [(

𝑑𝑟

𝑑𝑡)

2

+ 𝑟2 (𝐾

𝑟2)

2

] − 𝐺𝑀𝑚

𝑟

𝐸 =1

2𝑚 [(

𝑑𝑟

𝑑𝑡)

2

+𝐾2

𝑟2] − 𝐺

𝑀𝑚

𝑟

Avec 𝑑𝑟

𝑑𝑡=

𝑑𝑟

𝑑𝜃×

𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝐾

𝑟2×

𝑑𝑟

𝑑𝜃

17

𝑑′𝑜ù 𝐸 =1

2𝑚

𝐾2

𝑟2[

1

𝑟2× (

𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2

+ 1] − 𝐺𝑀𝑚

𝑟

Posons 𝑢 =1

𝑟,

𝑑𝑢

𝑑𝑟= −

1

𝑟2

𝑑𝑟

𝑑𝜃 𝑑′𝑜ù

𝑑𝑟

𝑑𝜃= −𝑟2 𝑑𝑢

𝑑𝜃

𝑙′𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐸 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠, 𝐸 =1

2𝑚𝐾2 [(

𝑑𝑢

𝑑𝜃)

2

+ 𝑢2] − 𝐺𝑀𝑚𝑢

En dérivant membre à membre par rapport à 𝜃 et en tenant compte que l’énergie est

constante, nous obtenons l’équation différentielle suivante :

𝑑2𝑢

𝑑𝜃2+ 𝑢 = 𝐺

𝑀

𝐾2

Cette équation a pour solution,

𝑢 =1

𝑟= 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜃0) + 𝐺

𝑀

𝐾2

Avec 𝜃0 = 0

𝑑′𝑜ù 𝑢 =1

𝑟= 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝐺

𝑀

𝐾2

𝑑′𝑜ù 𝑟 =1

𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐺𝑀

𝐾2

On reconnait donc l’équation polaire d’une conique de paramètre 𝜌, et 𝑒

𝑟 =𝜌

𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃 + 1 (14)

Avec 𝜌 =𝐾2

𝐺𝑀 𝑒 = 𝐴𝜌

D’où l’expression de r démontre bien la deuxième partie de la première loi de

Kepler, qui affirme que la trajectoire d’une planète est une ellipse, avec le soleil se

trouvant sur l’un des deux foyers de l’ellipse.

3eme loi

Considérons un système de masse, m1 et m2, de telle sorte que la masse m1 orbite

autour de m2. Soit H le centre de gravité des deux masses et considérons maintenant

qu’ils tournent autour de ce centre de gravité, tels que leurs distances par rapport à G

sont r1 et r2

18

H

m1 m2

Figure a.1 : Figure illustrant le centre de masse entre deux astres

La force de gravitation entre les deux masses est

𝐹 = 𝐺𝑚1𝑚2

(𝑟1 + 𝑟2)2

Multiplions le numérateur et le dénominateur par 𝑚1+ 𝑚2

𝑚1+ 𝑚2

𝐹 = 𝐺𝑀µ

(𝑟1 + 𝑟2)2

Où M = m1 + m2 et µ = 𝑚1𝑚2

𝑚1+ 𝑚2

Nous avons alors l’équation d’un système avec une masse fictive M qui représente la

masse totale du système

Figure a.2 : figure qui montre la rotation d’une masse fictive autour de la masse

totale

Dans un système circulaire, nous avons la relation entre µ et la vitesse angulaire, qui

est donnée par

𝑎µ = 𝜔µ2(𝑟1 + 𝑟2) = 𝐺

𝑀

(𝑟1 + 𝑟2)2

Avec 𝜔µ = 2𝜋

𝑃 où P est la période orbitale

M

𝜇

𝑟1 + 𝑟2

19

Nous obtenons donc 𝑃2

(𝑟1+ 𝑟2)3 = 4𝜋2

𝐺𝑀

D’où la troisième loi de Kepler

𝑃3 = 4𝜋2𝑟3

𝐺𝑀

I.2.3- LA LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE DE NEWTON

Enonçons tout d’abord les trois lois de mouvement de Newton

1ere loi de Newton

En l’absence des forces extérieures, la vitesse d’un système ne change pas :

𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 (15)

2eme loi de Newton

La force agissant sur un objet est proportionnelle à la masse de l'objet et son

accélération résultante. Si l’objet est soumis à n forces :

𝐹 = ∑ 𝐹𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑚𝑎 (16)

3eme loi de Newton

Pour chaque action il y a une réaction égale et opposée. Dans cette loi, l'action et la

réaction sont interprétées comme des forces agissant sur différents objets.

Considérons la force F12 exercée sur un objet 1 par un second objet 2. La troisième

loi de Newton indique que la force F21 exercée sur l'objet 2 par l'objet 1 doit

nécessairement être de la même intensité mais dans le sens opposé.

Mathématiquement, la troisième loi peut être représentée comme suit :

𝐹12 = − 𝐹21 (17)

20

Grâce à ces lois du mouvement, combinées à la troisième loi de Kepler, Newton a

réussi à trouver une expression décrivant la force qui maintient les planètes dans

leurs orbites : La loi de la gravitation universelle de Newton

Cette loi est définie par l’équation :

𝐹 = 𝐺𝑀𝑚

𝑟2 (18)

I.3- LA MESURE DU TEMPS EN ASTRONOMIE

Auparavant, les mouvements de la Terre autour de son axe et autour du Soleil

semblent uniformes, constants, réguliers et paraissent parfaits pour définir une

échelle de temps qui doit être, elle-aussi, uniforme, régulière et constante. Par

conséquent, la rotation de la Terre autour de son axe définit le jour et la révolution de

la Terre autour du Soleil définit l'année.

I.3.1- DEFINITION DU JOUR

En choisissant une direction fixe dans l’espace, il faut 23h 56mn 4s à un observateur

pour se retrouver dans la même direction après un tour complet de la Terre autour de

son axe (c’est le jour sidéral). Mais cette durée n’est pas facile à mesurer, c’est pour

cela qu’on a choisi le soleil comme repère. C’est le retour du soleil dans la même

direction qui définit le jour, cette rotation dure en moyenne 24 heures. Mais sachons

que pendant la rotation de la terre autour de son axe, il s’est aussi déplacé sur son

trajectoire autour du soleil, ce qui implique que le soleil ne suit pas une direction

fixe. Nous allons donc définir le jour comme étant la durée qui sépare deux passages

consécutifs du Soleil par le méridien local considéré.

Cette durée du jour varie tout au long de l’année à cause de l’inclinaison de l’axe de

la terre par rapport au plan de l’écliptique, l’excentricité de l’orbite terrestre et la

variation de la vitesse de déplacement de la terre sur son orbite. Ainsi, on a défini

une position moyenne du soleil qui va définir le temps solaire moyen par rapport à la

position vraie du soleil, qui détermine le temps solaire vrai.

21

I.3.2- L’EQUATION DU TEMPS

On définit le temps solaire vrai d’un lieu à partir d’un cadran solaire. Par exemple, le

midi indiqué par le cadran solaire est appelé le midi vrai du lieu. On définit ainsi

l’équation du temps comme l’écart entre le midi moyen et le midi vrai. Si l’équation

du temps est positive, cela signifie que le soleil vrai est en retard sur le soleil moyen

et inversement si sa valeur est négative. Par exemple, si on considère que l’équation

du temps en un lieu et à une date donnée vaut +10 minutes, cela signifie qu’il est 12h

10mn du temps solaire moyen lorsque le cadran solaire indique midi vrai.

Comme nous l’avons dit précédemment, la variation de l’équation du temps provient

du faite de l’ellipticité de l’orbite terrestre et de l’obliquité de la terre. En première

approximation, le retard du soleil vrai par rapport au soleil moyen varie

sinusoïdalement avec une période d’une année, et est donné par

l’expression suivante :

Δ𝑇𝐶(𝑑) = 7,678. sin(𝐵(𝑑) + 1,374) (19)

Où 𝐵(𝑑) =2𝜋(𝑑−81)

365 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚é 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛

𝑒𝑡 𝑑 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑜 𝑑𝑢 𝑗𝑜𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙′𝑎𝑛𝑛é𝑒.

Le retard dû à l’obliquité de la terre est donné par l’expression suivante :

Δ𝑇𝑅(𝑑) = −9,87. sin(2𝐵) (20)

D’où la première approximation de l’équation du temps qui est donnée par la somme

des deux expressions précédentes :

Δ𝑇(𝑑) = (9) + (10) (21)

En utilisant ses 1ere et 2eme loi, Kepler a défini l’équation du temps par l’expression

suivante :

22

𝑡 =𝑇

2𝜋(𝜙 − 𝑒. sin(𝜙)) (22)

𝑜ù 𝜙 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑎𝑛𝑜𝑚𝑎𝑙𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑡é 𝑒𝑡 𝑇 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒

𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛.

I.3.3- LES CONSEQUENCES DU MOUVEMENT DE PRECESSION SUR LA

MESURE DU TEMPS

Au cours de son déplacement autour du soleil, la rotation de la terre autour de son

axe n’est pas régulière. Du fait des perturbations gravitationnelles de la lune, du

soleil et des autres planètes, l’axe de rotation de la terre ne reste pas immobile.

Premièrement, il suit un mouvement oscillatoire, périodique et rapide de faible

amplitude autour d’une position moyenne. Ce mouvement est appelé la nutation.

Deuxièmement, l’axe effectue un mouvement de rotation lent tout en restant incliné

par rapport à l’écliptique, ce mouvement est appelé la précession. Dans 26 000 ans,

l’axe de rotation de la terre aura effectué un tour complet.

Comme le plan de l’équateur est lié à cet axe, il subit aussi le mouvement de nutation

et de précession. Par conséquent, la précession va entraîner le déplacement

rétrograde du point vernal le long de l'équateur céleste. En outre, l’origine des

ascensions droites que nous avons choisies sur notre sphère céleste est mobile. De ce

fait, on a choisi un point vernal origine pour pouvoir repérer les étoiles sur notre

sphère céleste en apportant une correction à chaque observation.

I.3.5- DEFINITION DE L’ANNEE

A première vue, l’année est la durée que met la terre pour faire un tour complet du

soleil. Mais il faut savoir qu’il existe quatre types d’année selon la direction choisie

comme origine.

Si on choisit une direction fixe dans l’espace, la terre mettra

365jours 6h 9mn 10s pour revenir dans la même direction. Cette

durée est appelée l’année sidérale.

23

Si on choisit la direction du point vernal, la terre mettra 365jours 5h

48mn 45s pour revenir à ce point. On voit bien que cette durée n’est

pas la même que l’année sidérale, parce que le point vernal s’était

déplacé pendant que la terre tournait (A cause du mouvement de

précession). Cette durée est appelée l’année tropique.

Si on choisit la direction du périhélie de la terre (point de l’orbite de

la terre la plus proche du soleil), la terre mettra 365 jours 6h 13mn

53s pour revenir dans cette direction. Cette durée est appelée l’année

anomalistique.

Si on choisit la direction du nœud de l’orbite de la lune, la terre va

mettre 346 jours 14h 24 mn pour revenir dans cette direction. Cette

durée est appelée l’année draconitique.

Nous venons de voir la mesure de la durée d’une année, mais nous n’avons pas

encore établi la désignation des années. Depuis J.Cassini, en 1696, les astronomes

ont commencé à utiliser une notation algébrique. Ils ont appelé année 0 l’an 1 avant

J.C, et ont compté négativement les années antérieures. Par exemple : l’an 1 avant

J.C = année 0 ; la deuxième année après J.C = année 2… Ce système de

numérotation des années offre deux grands avantages : d’abord, il conserve la règle

de divisibilité par quatre des années bissextiles (par exemple les années -8, -4, 0, 4,

8…), ensuite avec ce système de numérotation, le nombre d’années entre une année

négative et une année positive s’obtient de façon algébrique, par exemple le nombre

d’années entre le 1er janvier -65 et le 1er janvier 2001 est égale à 2001- (-65) = 2066.

I.4- DEFINITION DES CALENDRIERS

Un calendrier est un système de repère pour repérer des dates en fonction du temps.

Il existe trois catégories de calendrier :

Le calendrier lunaire :

Le calendrier lunaire a été fondé à partir des phases lunaires. La durée moyenne

d’un mois doit être approximative d’une lunaison qui est de 29, 5305882 jours

24

(période synodique : c’est le temps mis par la lune pour revenir à la même place dans

le ciel, c'est-à-dire les phases lunaires).

La période sidérale de la lune (période mesurée par rapport à une étoile fixe) peut

être calculée à partir de la troisième loi de Kepler :

𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑛𝑒,𝑇2

𝑎3= 9,78632 × 10−14 𝑠2. 𝑚−3

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 = 384 × 106𝑚

𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑇 = 27,32𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

En utilisant les relations entre la période synodique et la période sidérale :

𝑆 =𝑇 × 𝑃

𝑇 − 𝑃

S : la période synodique de la lune à chercher

T : le période sidérale de lune que nous venons de calculer

P : le période sidérale de la Terre, qui est égale à 365,26 jours

Nous obtenons la période synodique de la lune,

𝑆 = 29,53 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

Le calendrier luni-solaire :

Cette catégorie de calendrier est basée à la fois sur les phases de la lune et sur le

mouvement de la terre par rapport au soleil. En effet, ce sont des calendriers lunaires

qui sont ajustés à l’année solaire à partir des mois intervallaires.

Le calendrier solaire :

Le calendrier solaire est basé sur le mouvement de la terre autour du soleil. Pour la

plupart des calendriers solaires, la durée d’une année est celle de l’année tropique,

qui est environ 365,242201 jours. Cette durée peut être calculée en sachant la durée

d’une année par rapport à une direction fixe (année sidérale).

En effet, l’année sidéral se calcule à partir da la troisième loi de Kepler :

𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒,𝑇𝑠

2

𝑎3= 3,98483. 10−11𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠2. 𝑘𝑚−3

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 = 149600. 103𝑘𝑚

25

𝑑′𝑜ù, 𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑇𝑠 = 365,26 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

Cette durée est la durée d’une année par rapport à une direction fixe, mais l’année

que nous cherchons est la durée d’une année par rapport à la direction du point

vernal. Or nous savons que le point vernal se déplace à cause du mouvement de

précession. De ce fait, l’année tropique s’obtient en diminuant 28,8 mn l’année

sidérale, d’où :

𝑇 = 365,24 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

Il existe plusieurs types de calendriers selon ces catégories, et nous allons voir

quelques-uns, après avoir défini brièvement la période Julienne.

I.4.1- LA PERIODE JULIENNE

La période julienne est une façon de numéroter sans discontinuité les jours depuis le

lundi -4712 à 12 h. On appelle date julienne la durée écoulée depuis le 1er janvier

-4712 à 12h. On exprime cette durée en jour et en fraction décimale de jour. C’est la

partie entière qu’on nomme date julienne. Il est nécessaire de connaitre la période

julienne pour pouvoir passer d’un calendrier à un autre.

I.4.2- LE CALENDRIER JULIEN

Il faut tout d’abord noter qu’il n’y a aucun rapport entre les datations en jours Juliens

et les dates du calendrier julien.

Le calendrier julien est un calendrier solaire introduit par Jules César en 46 avant J.C

afin de remplacer le calendrier romain républicain. Le calendrier Julien est composé

de deux sortes d’années : 365 jours d’années communes divisées en 12 mois et 366

jours d’années bissextiles. Les années bissextiles sont divisibles par quatre. Les mois

du calendrier juliens sont : janvier (31 jours), février (28 jours ou 29 jours si l’année

est bissextile), mars (31 jours), avril (30 jours), mai (31 jours), juin (30 jours), juillet

(31 jours), août (31 jours), septembre (30 jours), octobre (31 jours), novembre (30

jours), et décembre (31 jours).

26

I.4.3- LE CALENDRIER GREGORIEN

Pour le calendrier Julien, la durée moyenne d’une année est de 365,25 jours, alors

que la vraie durée pour l’année tropique est de 365,242190 jours. De ce fait, les dates

des saisons se décalent de 3 jours environ tous les 400 ans. Pour cette raison, le

calendrier Grégorien a été mis en place afin d’apporter une correction sur le calcul

des années bissextiles du calendrier julien.

Le calendrier Grégorien a gardé une grande partie de la structure du calendrier

Julien et la règle de divisibilité par quatre des années bissextiles, à l’exception des

années séculaires qui ne sont bissextiles que si leur millésime est divisible par 400.

Ainsi, 1600 et 2000 sont des années bissextiles tandis que 1700, 1800 et 1900 ne le

sont pas.

I.4.4- LE CALENDRIER MUSULMAN

L’an un du calendrier musulman est le 16 juillet 622 après J.C (le premier jour de

l’hégire). C’est un calendrier lunaire comportant 12 mois de 29 ou 30 jours. Une

année de ce calendrier compte 354 jours (une année comportant ce nombre de jour

est appelée année commune) ou 355 jours (une année comportant ce nombre de jour

est appelée année abondante).

Il faut noter que le calendrier musulman est tranché par cycle. Un cycle compte 30

ans de telle sorte qu’il comprenne 19 années communes et 11 années abondantes.

En effet, le mois lunaire débute lorsque la lune se situe sur une ligne droite entre la

terre et le soleil. Un an est défini comme étant la durée qui sépare deux nouvelles

lunes. Cette durée varie selon la saison. Par exemple, au solstice d’été, la durée d’un

mois est de 29,27 jours tandis qu’elle est de 29,84 au solstice d’hiver. En moyenne,

cette durée vaut 29,53 jours. Depuis des millénaires, les astronomes se sont convenus

du faite que les mois de 30 jours et de 29 jours se succédaient en alternance. Ce qui

fait qu’en deux mois, la durée de jours écoulés est de 59. Comparant cette valeur à la

valeur moyenne, on peut constater qu’il y a une différence de 44 minutes entre les

deux valeurs en un mois. Cet écart atteint un jour en 2,73 ans. Donc pour compenser

cet écart, il faut ajouter un jour au dernier mois de l’année : cette année est une année

27

abondante. Dans un cycle, les années abondantes sont les années numérotées 2, 5, 7,

10, 13, 16, 18, 21, 24, 26, 29.

I.4.5- LES DEMARCHES A SUIVRE POUR PASSER D’UN CALENDRIER A UN

AUTRE

Il y a deux grandes étapes à suivre pour passer d’un calendrier à un autre :

Convertir la date donnée d’un calendrier en jours juliens

Convertir ces jours juliens en date d’un autre calendrier

Exemple d’algorithme pour passer du calendrier grégorien au calendrier

musulman et inversement

Algorithme 1 : Algorithme de changement d’une date du calendrier

grégorien en jours juliens

Soit A l’année, M le numéro du mois et Q le numéro du jour du mois

Si M > 2, A et M sont inchangés

Si M = 1 ou 2, on remplace A par A-1 et M par M + 12

S = partie entière de (A/100)

B = 2 – S + parie entière de (S/4)

Et enfin, jours juliens = partie entière de (365,25(A + 4716)) + parie entière

de (30,6001(M+1)) + Q + B - 1524

Algorithme 2 : Algorithme de changement d’une date du calendrier

musulman en jours juliens

Jours juliens = partie entière de ((10631*A + 58442583)/30) + partie entière de

((325*M – 320)/11) + Q - 1

28

Algorithme 3 : Algorithme de changement des jours juliens en une date du

calendrier grégorien

Appelons jj les jours juliens, et soit Z la partie entière de jj et F la partie

fractionnaire :

Si Z < 2 299 161, on fait S = Z

Si Z >= 2 299 161

Y = partie entière de ((Z – 1867216,25)/36524,25)

S = Z + 1 + Y – partie entière de (Y/4)

On calcul ensuite

B = S + 1524

C = partie entière de ((B – 122,1)/365,25)

D = parie entière de (365,25*C)

E = partie entière de ((B – D)/30,6001)

Le numéro du jour est donné par

Q = B – D – partie entière de (30,6001*E) + F

Le numéro du mois est donné par

M = E – 1 si E < 14

M = E – 13 si E = 14 ou 15

L’année est donnée par

A = C – 4716 si M > 2

A = C – 4715 si M = 1 ou 2

Algorithme 4 : Algorithme de changement des jours juliens en une date du

calendrier musulman

A = partie entière de ((30*jj – 58442554)/10631)

X = jj – partie entière de ((10631*A + 58442583)/30)

M = partie entière de ((11*X + 330)/325)

Y = X – partie entière de ((325*M – 320)/11)

Q = Y + 1

29

CHAPITRE II :

RESULTATS

30

CHAPITRE II : RESULTATS

II.1- APPLICATION SUR LES COORDONEES EQUATORIALES ET

ECLIPTIQUE

Dans cette application, nous allons calculer les coordonnées équatoriales du soleil le

1er janvier 2012 à 0h UTC, en sachant ses coordonnées écliptiques. Pour cela,

supposons que la latitude du soleil β soit nulle. Tout d’abord rappelons-nous les

formules qui lient les coordonnées équatoriales aux coordonnées écliptiques.

𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜆

𝑠𝑖𝑛𝛿 = 𝑠𝑖𝑛𝛽. 𝑐𝑜𝑠휀 + 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑠𝑖𝑛휀. 𝑠𝑖𝑛𝜆

𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −𝑠𝑖𝑛𝛽. 𝑠𝑖𝑛휀 + 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠휀. 𝑠𝑖𝑛𝜆

Si β est nulles, ce système devient :

𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝜆

𝑠𝑖𝑛𝛿 = 𝑠𝑖𝑛휀. 𝑠𝑖𝑛

𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠휀. 𝑠𝑖𝑛𝜆

La longitude apparente λ du soleil est de 279º 57’ 30’’ et l’obliquité de l’écliptique à

cet instant est de 23º 26’ 12,7’’. Il faut noter que l’ascension droite doit être exprimée

en heure, minute, et seconde d’angle, et la déclinaison en degré, minute et seconde

d’angle :

𝜆 = 279° 57′30′′ = 293, 375°

휀 = 23° 26′12,7′′ = 29,552916°

D’où 𝑠𝑖𝑛𝛿 = −0,4527d’où 𝛿 = 26,9170° = 26° 3′ 40,08′′

𝑡𝑎𝑛𝛼 = 0,8699 d’où 𝛼 = 41,0200° = 2ℎ 44′ 4,8′′

31

II.2- APPLICATION SUR LES COORDONNEES TERRESTRES

Cette application consiste à calculer les coordonnées géocentriques de la ville

d’Antananarivo, connaissant ses coordonnées géographiques (latitude géographique :

18°54′49″ Sud, longitude : 47°32′10″ Est, et altitude : 1274 m). Rappelons tout

d’abord les relations qui lient les coordonnées terrestres :

𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 𝑐𝑜𝑠𝑢 +ℎ

𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑

𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑′ = (1 − 𝑓)𝑠𝑖𝑛𝑢 +ℎ

𝑎𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑡𝑎𝑛𝑢 = (1 − 𝑓)𝑡𝑎𝑛𝜑

Sachons que

f = 1/298 ,257222 et a = 6378137 m

𝜑 = 18°54′49″ Sud = 18.9136800 𝑆𝑢𝑑

𝐿 = 47°32′10″Est = 47.5361300 Est

En utilisant les relations qui lient les coordonnées terrestres, on a

𝑡𝑎𝑛𝑢 = −0,00114854 𝑑′𝑜ù 𝑢 = −0,06580

𝑡𝑎𝑛𝜑′ = −0,3426

d’où 𝜑′ = 18,9114599° 𝑆𝑢𝑑

II.3- APPLICATION SUR LES REPERE LOCAUX

Dans cette application, nous allons calculer le temps sidéral local à Antananarivo le

30 mars 2010 à 18h 3mn 42s UTC, l’heure UTC étant le temps moyen de Greenwich.

Sachons que le temps sidéral à Greenwich à 0h UTC est de 12h 29min 7s et la

longitude d’Antananarivo est de 47°32′10″ Est.

Le calcul va se faire en deux étapes. D’abord, nous allons calculer le temps sidéral

local à Greenwich à 18h 3mn 42s UTC. Ensuite, nous allons appliquer la formule

32

𝑇𝐿 = 𝑇𝐺 +1

15𝐿

Où 𝑇𝐿 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 temps sidéral local à Antananarivo le 30 Mars 2010 à 18h 3mn 42s,

𝑇𝐺 est le temps sidéral local à Greenwich le 30 Mars 2010 à 18h 3mn 42s,

L est la longitude d’Antananarivo.

Sachons que le temps sidéral local varie de 24h en 23h 56mn 4s de temps moyen

(23h 56mn 4s = 23,9344h).

18h 3mn 42s étant égales à 18, 0616h. En 23,9344h, le temps sidéral local varie de

24h. Donc en 18,0616h, il varie de 18,1111h. D’où le temps sidéral local de

Greenwich à 18h 3mn 42s :

𝑇𝐺 = 12ℎ 29𝑚𝑛 7𝑠 + 18,1111ℎ = 12,4852ℎ + 18,1111ℎ = 30,5963ℎ

et

𝑇𝐿 = 30,5963ℎ + 1

1547.5361300ℎ = 33,7653ℎ

II.4- APPLICATION SUR LA MESURE DE DISTANCES

Dans cette application, nous allons calculer le demi-grand axe d’Uranus en utilisant

la troisième loi de Kepler. D’après la troisième loi de Kepler, le cube du demi-grand

axe « a » d’une orbite planétaire, divisé par le carré de la période de révolution

sidérale «T» est une constante pour toutes les planètes du système solaire.

𝑎3

𝑇2= 𝑐𝑡𝑒 =

𝑎𝑡3

𝑇𝑡2 𝑜ù 𝑎𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑖 − 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑎𝑥𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑇𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑎 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒

D’où 𝑎𝑢3 = 𝑇𝑢

2 ×𝑎𝑡

3

𝑇𝑡3

Donc 𝑎𝑢 = √𝑇𝑢2 ×

𝑎𝑡3

𝑇𝑡3 ,

𝑎𝑢 Désignant le demi-grand axe d’Uranus, et 𝑇𝑢 sa période de révolution.

Numériquement, 𝑎𝑢 = 2 870 658 186 𝑘𝑚.

33

II.5- APPLICATION SUR LE CHANGEMENT DE CALENDRIER

Convertissons par exemple la date 21 Avril 2016 du calendrier Grégorien en une date

du calendrier Musulman. Pour cela, nous allons utiliser l’algorithme 1 et 4 que nous

avons vu dans le chapitre consacré à la méthodologie.

En suivant l’algorithme 1, nous avons:

M = 4, A = 2016, Q = 21

S = partie entière de (A/100) = 20

B = 2 – S + parie entière de (S/4) = 486

Et nous obtenons: jours Juliens = partie entière de (365,25(A + 4716)) + parie entière

de (30,6001(M+1)) + Q + B – 1524 = 2458863 + 153 + 21 + 486 – 1524 = 2457999.

En suivant maintenant l’algorithme 4, nous avons:

A = partie entière de ((30*jj – 58442554)/10631) = 1438

X = jj – partie entière de ((10631*A + 58442583)/30) = 334

M = partie entière de ((11*X + 330)/325) = 12

Y = X – partie entière de ((325*M – 320)/11) = 9

Q = Y + 1= 10

D’où, 21 Avril 2016 du calendrier Grégorien = 10 décembre 1438 du calendrier

musulman.

34

CHAPITRE III :

DISCUSSION

35

CHAPITRE III : DISCUSSION

Dans ce dernier chapitre, nous allons mettre en valeur l’essence de ce livre. Pour ce

faire, nous allons apporter notre analyse et notre discussion sur le concept du temps

et des calendriers à partir de la mécanique céleste. En effet, nous allons voir les

variations sur la mesure du temps en fonction des repères choisies.

Comme notion de temps astronomiques, nous avons vu la durée d’un jour, le mois et

l’année. Dans tous les concepts de temps que nous avons vu auparavant, nous avons

pu constater deux grandes catégories de temps : le temps mesuré à partir d’une

direction fixe (temps sidéral) et le temps mesuré à partir d’une direction mobile.

Nous allons apporter notre discussion alors sur la différence entre les deux catégories

de temps du point de vu de la mécanique céleste. Considérons en premier la durée

d’un jour, nous avons vu le jour sidéral et le jour solaire. Sachons que le jour sidéral

vaut 23h 56mn 4s, soit 23.934h et le jour solaire vaut en moyenne 24h.

L’augmentation pour la valeur du jour solaire est due au fait que la terre se déplace

par rapport au soleil pendant qu’elle tourne sur elle-même. Tandis que pour le jour

sidéral, sa valeur peut être trouvée à partir des lois de Kepler. Nous avons dit aussi

que la valeur de 24h pour le jour solaire est une valeur moyenne. La variation de

cette valeur est surtout causée par l’ellipticité de l’orbite terrestre, du point de vu de

la mécanique céleste, la terre tourne vite quand elle est proche du soleil.

Nous allons voir maintenant la durée d’un mois, nous avons vu deux types de durés

pour le mois : le mois sidéral qui vaut 27,32jours (durée mesurée à partir d’une

direction fixe) et le mois synodique qui vaut 29, 5305882jours. L’augmentation de la

valeur pour le mois synodique est causée par le déplacement de la terre sur son orbite

autour du soleil, mais ce déplacement est négligeable par rapport à la direction d’une

étoile fixe dans le ciel.

Nous allons voir maintenant la durée d’une année. A ce propos, nous avons vu quatre

types d’années : l’année sidérale, qui vaut 365jours 6h 9mn 10s, l’année tropique qui

vaut 365jours 5h 48mn 45s, l’année anomalistique qui vaut 365 jours 6h 13mn 53s et

36

l’année draconitique qui vaut 346 jours 14h 24 mn. Nous pouvons constater que ces

quatre types d’années sont tous différents en fonction de la direction choisie pour

faire la mesure. Nous allons nous intéresser au plus sur l’année tropique, car c’est

l’année utilisée dans les calendriers solaires. L’année tropique est une durée mesurée

à partir de la direction du point vernal, alors que le point vernal se déplace. Ce

déplacement est causé par le mouvement de précession et de nutation, donc nous

devons apporter une correction sur la mesure de l’année tropique. En brefs alors la

mesure du temps dépend du repère choisi et que toute durée mesurée à partir d’une

direction fixe dans l’espace peut être calculée à partir des lois de Kepler.

Comme nous venons de parler des notions de temps, dans le cadre de la mécanique

céleste classique, nous pouvons aussi parler des notions de temps du point de vu un

peu plus théorique en parlant de la relativité restreinte. Par exemple, la définition de

la durée d’un jour, la durée d’un mois, la durée entre les deux passages du soleil par

le méridien, la durée entre la succession répétitive d’un phénomène astronomique

(éclipse, phase lunaire, etc.), la notion de temps utilisée était universelle et constante,

c’est à dire que la mesure du temps est indépendante du référentiel dans lequel on fait

la mesure, ou encore, la vitesse de rotation d’une horloge est toujours la même

quelque soit le référentiel de mesure de temps. Nous pouvons donc dire par exemple

que la durée d’une heure sur terre est la même que la durée d’une heure sur la lune.

Mais vers la fin du 19eme siècle, suite à une découverte sur la confrontation entre la

mécanique classique et l’électromagnétisme, Albert Einstein a réussi à établir la

théorie de la relativité, dans laquelle il affirme la relativité entre le temps et l’espace,

c'est-à-dire que le temps et l’espace sont dépendants l’un de l’autre. Dans le chapitre

méthodologie, nous avons défini la notion de temps interprété par la relativité

restreinte à l’aide la transformation de Lorentz :

𝑥′ = Γ(𝑥 − 𝑣𝑡)

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧

𝑡′ = Γ(𝑡 −𝑣

𝑐2𝑥)

37

𝑎𝑣𝑒𝑐 Γ =1

√1 −𝑣2

𝑐2

Dans les transformations classiques 𝑡 = 𝑡′, ce qui est différent de celle de la

transformation de Lorentz. Nous avons vu également, dans le chapitre méthodologie

sur cette notion de temps défini par la relativité restreinte, que si on considère deux

événements se passant au même endroit mais à deux instants différents, on peut

constater que la durée entre ces deux événements n’est pas la même selon le

référentiel de mesure.

Nous pouvons donc dire que d’après cette théorie, le temps mesuré dans un

référentiel au repos n’est pas le même que celui qui est mesuré dans un référentiel en

mouvement. Autrement dit, le temps et l’espace sont donc relatifs.

38

CONCLUSION

Cette étude nous a permis de mettre en évidence les notions de temps et des

calendriers à partir de la mécanique céleste. En effet, l’homme a mesuré le temps

auparavant à l’aide de la périodicité des phénomènes naturels tels que le lever du

soleil, les phases lunaires, la répétition des saisons chaque année etc. tout en sachant

que ces phénomènes sont tous d’origine astronomique, c'est-à-dire qu’ils trouvent

leurs origines dans les mouvements des astres : d’où la définition du temps et des

calendriers à partir de la mécanique céleste.

Ainsi nous avons défini la durée d’un jour en un lieu donné comme étant la durée

écoulée entre les deux passages successifs du soleil par le méridien du lieu. Cette

durée varie tout au long de l’année selon les saisons ou plus précisément selon les

différentes positions de la terre par rapport au soleil sur sa trajectoire. Nous avons

aussi défini la durée d’un mois comme étant la durée écoulée entre deux nouvelles

lunes successives. Cette durée varie aussi tout au long de l’année à cause de la

variation de la distance de la terre par rapport au soleil, car d’après les lois de Kepler,

la trajectoire de la terre autour du soleil est une ellipse dont le soleil occupe l’un des

deux foyers. En outre, nous avons défini la durée d’une année comme étant la durée

écoulée pendant que la terre ait fait un tour complet du soleil. C’est ainsi qu’on peut

distinguer quatre types d’années selon l’origine à partir de laquelle on compte le

début de l’année : l’année sidérale, l’année tropique, l’année anomalistique et l’année

draconitique.

Une fois les notions de temps définies, on a pu définir ensuite les calendriers. Nous

avons vu qu’il existe deux grandes catégories de calendriers, à savoir les calendriers

lunaires qui sont établis à partir des phases lunaires, et les calendriers solaires qui

sont basés sur les mouvements de la terre autour du soleil. La durée d’une année

utilisée dans les calendriers est celle de l’année tropique, qui est de 365j 5h 48mn

45s.

39

BIBLIOGRAPHIE

[1] J. Kovalevsky: Introduction à la Mécanique Céleste, Armand Colin, 1963

[2] D. Brouwer& G. Clemence: Methods of Celestial Mechanics, Academic press,

1961

[3] H. Poincaré: Les nouvelles méthodes de la mécanique céleste, Dover, 1892, 1957

[4] H. Goldstein: Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, 1980;

[5] Tisserand, Traité de mécanique céleste, Gauthier-Villars, 1960 ;

[6] H. Goldstein: Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, 1980

[7] Les méthodes modernes de la mécanique céleste, Ed. D. Benest& C. Froeschlé,

Editions frontières, 1990

WEBOGRAPHIE

[1] https://media4.obspm.fr/public/AMC/pages_mctc/impression.html

Consultée le 01/06/16

[2] https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_c%C3%A9leste

Consultée le 01/06/16

[3] http://astronomie.coursgratuits.net/mecanique-celeste/

Consultée le 01/06/16

[4] http://www.astrosurf.com/quasar95/exposes/mecanique_celeste.pdf

Consultée le 01/06/16

[5] https://lagrange.oca.eu/IMG/pdf/Meca1_-_L1_-_Ch-_Benoist_-_notes.pdf

Consultée le 01/06/16

40

TITRE : Utilisation des repères astronomiques pour définir le temps et les

calendriers

RESUME :

Le présent mémoire a pour but de définir les notions de temps et de calendriers à

partir de la mécanique céleste. Nous avons défini le temps selon les aspects

dynamiques du mouvement de la terre, c'est-à-dire la nature de sa trajectoire, la

variation de sa vitesse de rotation, les mélanges de mouvements tels que la

précession et la nutation. Ces aspects dynamiques sont démontrés à partir de lois

physiques telles que les lois de Kepler. Une fois le temps défini, on a défini les

calendriers.

Mots clés : temps et calendriers, mouvement de précession, lois de Kepler, lunaison,

année.

TITLE: Use of astronomical markers to set time and calendars

ABSTRACT:

This memory aims to define the notions of time and calendars from celestial

mechanics. We have defined the notion of time according to the dynamic aspects of

the movement of the earth, that is to say, the nature of its trajectory, the change of its

rotation speed, the mixture of movements such as precession and nutation. These

dynamic aspects are demonstrated from the physical rules such as Kepler's laws.

Once the time has been set, calendars were defined.

Keywords: time and calendars, precession motion, Kepler's laws, lunation, year

L’impétrant :

Nom : RAKOTOARISOA

Prénom : Heriniaina Hasina

Téléphone : +261331160094

E-mail : rakotoarisoa1024@gmail.com

L’encadreur :

Monsieur RAKOTOMALALA Minoson Sendrahasina

Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo