Unitat 8

L’ESFERA

L’Ericsson Globe i l’SkyView

Estocolm

Globen Stockholm, Fredrik Posse / Stryngford Photo(c), CC-BY-SA

2

Índex

Unitat 1: L’ortoedre. L’aula d’un institut.

Unitat 2: El cub. L’Escola Zollverein d’Administració i Disseny.

Unitat 3: El prisma triangular. L’Edifici Fòrum.

Unitat 4: El prisma pentagonal. El Pentàgon.

Unitat 5: La piràmide. L’Hotel Luxor.

Unitat 6: El cilindre. La Torre Westhafen.

Unitat 7: El con. Melbourne Central.

Unitat 8: L’esfera. L’Ericsson Globe.

Unitat 9: Síntesi.

Autors Germán Arbiol Oliver Ramon Miquel Bergadà Marimon Rosa Castillo Cervelló M. Montserrat Córdoba Marsà Andreu Grau Bernadó Palmira Ortiz Escoda Montserrat Siscart Alberich

Els textos i gràfics publicats en aquests materials estan subjectes a una llicència Creative Commons. La llicència completa es pot consultar a http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/es/deed.ca Amb el suport de

3

Unitat 8: L'ESFERA

L’Ericsson Globe i L’SkyView

Suècia

El Globen Arena El Globen Arena d’Estocolm, oficialment

conegut com Ericsson Globe, és un estadi

cobert multifuncional. És l’edifici esfèric més

gran del món i va ser dissenyat pels

arquitectes Svante Berg i Lars Vretblad. La

primera pedra de l'innovador edifici es va

posar el 10 de setembre de 1986. Va ser

construït en un temps rècord de 2 any i mig.

El 19 de febrer 1989, es va inaugurar.

Gràcies a la seva forma única, el Globen és

un símbol d'Estocolm i de Suècia.

El seu interior és adaptable a diferents

esdeveniments, des d’un estadi d’hoquei

sobre gel amb capacitat per a 13.850

persones fins a una sala de concerts amb capacitat per a 16.000.

NordNordWest (c), CC BY-SA 3.0

Estocolm

Globen Stockholm, Fredrik Posse / Stryngford Photo (c), CC-BY-SA 3.0

Globe Bau 2, Knebel

4

Té un diàmetre de 110 m i la seva alçada màxima interior és de 85 metres. La

forma esfèrica es va aconseguir dividint l’edifici en 96 meridians i 19 anells

horitzontals. Té un volum aproximat de 605.000 m³. S’hi van construir grades, fins

a una alçada de 35 m, a tot el seu perímetre interior.

L’SkyView

L’SkyView és una atracció que et

transporta al cim del Globen Arena i

et permet contemplar una

panoràmica de la totalitat de la

ciutat d'Estocolm des de 130 m

sobre el nivell del mar. Està

formada per dues gòndoles

esfèriques de vidre de 4,5 m de

diàmetre, fixades a uns carrils

paral·lels instal·lats en l’estructura

de l'edifici. Cadascuna té una

capacitat per a 14 persones.

L'SkyView es va inaugurar el 2010 i

va suposar reforçar amb 42 tones d'acer el sostre del Globen Arena i després,

afegir-hi 70 tones, corresponents als rails pels quals es desplaça.

Globen, Fredrik Rubensson, CC BY-SA 2.0

Ericsson Globe, Realist, CC0 Public Domain

5

Coneguem el lloc

País/Estat

Localitat

Coordenades geogràfiques (UTM)

Longitud:

Latitud:

Moneda

Fus horari de la localitat

Quina hora li correspondria segons les seves coordenades geogràfiques? UTC (+/-) ..............

Quina hora té en realitat? UTC (+/-) ..............

6

Comprensió lectora

1. Quin és el diàmetre del Globen? 2. Quina és l'alçada interior del Globen? 3. Quan es puja a l’SkyView, des de quina alçada sobre el nivell del mar es pot

observar la ciutat d’Estocolm? 4. Quin és el seu volum? 5. Quantes tones d'acer es van necessitar per a reforçar el Globen abans

d'afegir l'SkyView? 6. Quants temps va passar des de l'inici de la construcció del Globen fins a la

inauguració de l'SkyView?

7. Quanta gent pot pujar, en total, entre les dues góndoles de l'SkyView? 8. Quin és el pes total que es va afegir al Globen a l'instal·lar-hi l'SkyView?

Globen, Stockholm, Sweden. kallerna,C BY-SA 3.0

7

Activitats

El Globen Arena 1. El Globen és l’edifici esfèric més

gran del món. Quin seria el seu volum si fos una esfera sencera si sabem que el diàmetre és de 110 m?

2. Quina és la diferència amb el volum que ens diu el text que té el Globen? 3. A què creus que és deguda aquesta diferència?

4. L’expressió 3

)3·(· 2 hRhV

ens permet calcular el volum d’un casquet esfèric,

coneguts el radi de l’esfera (R) i l’alçada del casquet (h). a) Quin és el volum del casquet que li falta

al Globen per ser una esfera?

Globen or Ericsson Globe , bengt-re from Sweden CC BY 2.0

8

b) Quin és el volum real de l’edifici? Compara’l amb les dades del text.

5. Diuen que per omplir el Globen d'aigua, mitjançant una aixeta convencional, es

necessitarien 40 anys. Una aixeta de lavabo o cuina no hauria de treure més de 12 litres d’aigua per minut. L’òptim és un consum inferior als 8 litres per minut.

a) Quants m3 s’omplirien en un any, considerant que cada any té 365 dies i que l’aixeta escollida dóna un cabal màxim de 8 litres per minut?

b) Quants anys es necessitarien per omplir el Globen amb aquesta aixeta oberta? (no cal considerar que hi ha anys de traspàs).

c) Si ens diuen que el temps per omplir-lo és de 40 anys, quin cabal ha de tenir l’aixeta utilitzada? Creus que la proporcionalitat és directa o inversa?

6. La majestuosa esfera de l’Ericsson Globe està construïda utilitzant peces rectangulars de 2,25 m d’alçada, disposades de manera que formen una estructura dividida en meridians i paral·lels.

a) Si l’esfera té 96 fusos, calcula l’amplada de les peces

situades en el cercle de radi màxim (l’equador del Globen).

Sphere wireframe 10deg 6r.svg, Geek3, CC BY 3.0

9

b) Quina superfície tenen aquestes peces rectangulars?

c) Quina serà l’amplada de les peces que es troben a 73 m del terra?

d) En la zona de l’equador hi han distribuïdes finestres

circulars de 1,30 m de diàmetre. Quina és la superfície de cada finestra? I la longitud de la goma posada en tot el perímetre per encaixar i segellar la finestra a la peça rectangular?

e) Quines dimensions hauria de tenir una finestra quadrada que tingués, aproximadament, la mateixa superfície que la finestra circular? Creus que seria possible construir-la de manera que tingués exactament la mateixa superfície?

f) Quines dimensions hauria de tenir una finestra quadrada que tingués el mateix perímetre que la finestra circular?

1,30 m

10

g) Quina de les dues finestres quadrades té la mateixa superfície que la circular? Quina de les dues té el mateix perímetre que la circular?

h) Dibuixa, a escala, la peça rectangular i, dins d’aquest requadre, una

finestra circular al més gran possible i que l’escala sigui 1: número (el número ha de ser múltiple de 10)

7. La part superior de l’edifici té un gran

casquet metàl·lic de 28 m de diàmetre, i tres fileres de claraboies rectangulars col·locades alternativament en el fusos i en tres circumferències concèntriques tal i com es veu en la figura. a) Quantes claraboies rectangulars hi

ha?

Globen, Arild Vågen, CC-BY-SA 4.0

11

b) Quina és l’alçada del casquet metàl·lic?

c) Quina és la seva superfície?

(La superfície d’un casquet és hRA ···2 , on R és el radi de l’esfera i h, l’alçada del casquet)

8. L’edifici està exposat a la contaminació atmosfèrica, ja que està situat just al

costat d'una carretera per on circulen 80.000 vehicles diaris. L’any 2015 es va dur a terme una campanya de neteja de l’edifici utilitzant únicament aigua

calenta a pressió. A més a més, tant els contaminants com els metalls pesants i els residus de petroli van ser degudament recollits i eliminats amb l'ajuda de filtres.

Quina superfície es va haver de netejar?

The end is night, dan boss, CC BY-NC-SA 2.0

12

9. El Globen és un edifici multifuncional. Va ser construït per celebrar-hi el campionat mundial masculí d’hoquei sobre gel de l’any 1989.

a) Quin és el radi del cercle de la base de l’edifici?

b) Quina és la superfície d’aquesta base?

c) Si una pista d’hoquei té les dimensions màximes de 61 m x 30 m, dibuixa, a escala, la base del Globen amb la pista d’hoquei centrada.

d) Quin percentatge de superfície de la base no està ocupada per la pista?

NHL Premiere 2011, Reedhawk, CC BY-SA 3.0

13

L'SkyView

10. En la construcció de l’SkyView va ser necessària la intervenció d’helicòpters per transportar el material i d’escaladors professionals per instal·lar-lo. Si les cordes utilitzades pels escaladors estaven collades al punt més alt del Globen, quina longitud havien de tenir per poder baixar fent ràpel fins al terra? (Considera que és una esfera sencera)

11. Els carrils de les góndoles pugen en vertical fins al punt on hi ha l’equador de l’edifici i a partir d’aquest punt segueixen la curvatura de l’esfera. Quina longitud té cada carril si arriben fins al punt més alt de l’esfera?

12. Les góndoles estan calefactades per poder

estar en funcionament tot l’any, tot i les baixes temperatures a què s’arriba a l’hivern. Calcula el volum d’aire escalfat si el recinte calefactat és: a) Tota l’esfera.

Globen gondolbana, Holger.Ellgaard, CC BY-SA 3.0

Globen, Helio Loureiro, CC BY-NC 2.0

"Skyview", gondolbanan på Globen i Stockholm, Holger.Ellgaard, CC BY-SA 3.0

14

b) Només la zona dels passatgers, sabent que l’alçada màxima de l’interior és de 3,30 m.

13. L’SkyView és un mirador espectacular de la ciutat d’Estocolm. Les parets de vidre permeten una visibilitat de 360º quan està en el seu punt més alt. a) Quina és la superfície total exterior de la góndola?

b) Quin percentatge d’aquesta superfície és de vidre, si l’alçada al punt central és de 3,30 m?

14. Al centre de la góndola hi ha un seient circular de 1,40 m de diàmetre i 60 cm d’alçada. a) Dibuixa a escala la vista frontal

d’aquest seient dins de la imatge de la góndola.

3,30m

Globen SkyView, kallerna CC BY-SA 3.0

15

b) Quina és la superfície de la base per on es poden moure els passatgers?

c) Quina superfície mínima, per persona, s’ha considerat necessària, si s’ha limitat la capacitat màxima de l'SkyView a 14 persones?

d) Al punt d’amplada màxima hi ha un passamà d’acer inoxidable, separat 15 cm del vidre. Quina és la seva longitud?

15. Les góndoles surten des d’un recinte cúbic tancat, obert per la part superior i amb una porta lateral que dóna a la porta de la góndola, que permet l’entrada i sortida dels passatgers. La distància mínima entre la paret del recinte i la góndola és de 30 cm.

a) Amb aquesta informació, podries trobar les

dimensions del recinte cúbic?

b) L’obertura circular de la part superior té 20 cm més de radi que la góndola. Un dia de pluja, en què hagin caigut 20 L/m2, quants litres d’aigua entraran per l’obertura?

16

16. Si ens imaginem el Globen com una pilota de bàsquet, quin diàmetre hauria de tenir una bola que fes de SkyView? (La pilota de bàsquet té una circumferència de 76 cm).

17. Un dels records que es vol vendre del Globen són espelmes esfèriques. N’hi ha de diferents diàmetres: de 3, de 6 i de 9 cm. Es volen vendre en una capsa, de forma cúbica i de mida única, on s’hi puguin ajustar boles iguals dels tres tipus. a) Quines han de ser les dimensions mínimes de la capsa per

encabir, de manera ajustada, qualsevol dels tres tipus d’espelmes?

b) Si volguéssim la que pesi menys, quina et sembla que hauríem d’agafar? Raona la resposta.

c) Completa la taula i calcula el volum de la capsa que queda buit, quan hi tenim les boles posades en cadascun dels casos:

Càlculs

Capsa amb espelmes de

3 cm

Capsa amb espelmes de

6 cm

Capsa amb espelmes de

9 cm

Nombre d’espelmes en una capsa

Volum ocupat per una espelma

Volum ocupat per les espelmes

Volum buit

17

18. En la pàgina web de l’SKyView trobem les següents tarifes per viatge

a) Quin percentatge de descompte fan als grups de 14 persones quan lloguen

la góndola de manera privada?

b) Quantes SEK ens costarà si hi pugem un grup de 27 alumnes d’ESO? A quants € equivalen?

RESUM FORMULARI

Circumferència i Cercle Esfera Casquet

Longitud: Superfície: Superfície:

Superfície: Volum: Volum:

Cal que identifiquis cadascuna de les variables de les fórmules

European Banknotes, Curtis Perry, CC BY-NC-SA 2.0

18

El Sistema Solar a escala

19. Suècia disposa del Sistema Solar, fet a escala, més gran del món. El van començar a construir Nils Brenning i Gösta Gahm a escala 1:20 milions. El Sol està representat per l’Ericsson Globe i els planetes es troben situats a diferents llocs del país.

Wikilmages CC0 Public Domain

The Sweden Solar System, Wikipedia CCA-SA

A la Viquipèdia trobem les següents dades referents al Sistema Solar

Dades dels principals cossos del Sistema Solar

Nom Diàmetre

(km) Massa

(Terra=1)

Distància al Sol (UA)

Període orbital

Any del descobriment

Mercuri 4.879 0,055 0,39 88 dies a l'antiguitat

Venus 12.104 0,816 0,72 224,7 dies a l'antiguitat

Terra 12.756 1 1 365,25 dies -

Mart 6.794 0,108 1,52 687 dies a l'antiguitat

Júpiter 142.984 318 5,2 11,86 anys a l'antiguitat

Saturn 120.536 95 9,54 29,42 anys a l'antiguitat

Urà 51.118 14,5 19,18 83,75 anys 1781

Neptú 49.528 17,1 30,06 163,72 anys 1846

Sol 1.392.000 332.946 0

a l'antiguitat

(1 UA =1,4960 ·10¹¹ m) (Massa Terra = 5,972 ·1024 Kg)

19

Utilitza un full de càlcul per a fer aquestes activitats

a) Calcula a quina distància es troben del Globen les maquetes dels planetes del Sistema Solar, si l’escala utilitzada és 1:20 milions.

Nom Distància

al Sol (UA)

Distància al Globe (Km)

Mercuri 0,39

Venus 0,72

Terra 1

Mart 1,52

Júpiter 5,2

Saturn 9,54

Urà 19,18

Neptú 30,06

Sol 0

b) Si es volgués fer una representació del Sistema Solar a Catalunya, a la

mateixa escala, situant el Sol a Barcelona, localitza una població on es podrien situar cadascun dels planetes següents.

(pots utilitzar la web http://www.distanciasentreciudades.com/

Nom Població

Catalunya Dades del mapa © 2017. Google, Inst. Geogr. Nacional

Mercuri

Venus

Terra

Mart

Júpiter

Saturn

Urà

Neptú

Sol

Mercury, Peter Varhelyi; photo

아침놀 Joongi Kim

CC BY-SA 2.0

20

c) Calcula quines serien les dimensions dels planetes i del Sol en aquesta escala.

d) Calcula la massa dels planetes en aquesta escala si la densitat fós la mateixa que la dels planetes originals.(Massa Terra = 5,972 ·1024 Kg)

Nom Massa

(Terra=1)

Massa (Kg)

Mercuri 0,055

Venus 0,816

Terra 1

Mart 0,108

Júpiter 318

Saturn 95

Urà 14,5

Neptú 17,1

Sol 332.946

20. Si el Globen representés el Sol fet a escala, quina escala seria? Coincideix

amb l’escala en què s’han calculat les distàncies i les mides dels planetes?

Nom Diàmetre

(km) Diàmetre

(m)

Mercuri 4.879

Venus 12.104

Terra 12.756

Mart 6.794

Júpiter 142.984

Saturn 120.536

Urà 51.118

Neptú 49.528

Sol 1.392.000

21

21. Construcció d’una esfera utilitzant rectangles a) Retalla 12 rectangles de paper, de 15 cm x 2 cm.

b) Fes dos forats a cada rectangle a 1 cm dels extrems.

c) Uneix els 12 rectangles pels forats utilitzant uns reblons de plàstic que

permetin una mica de mobilitat als rectangles.

d) Doblega amb la mà les tires de paper fins a obtenir un semicercle.

e) Separa les tires, una a una, deixant el mateix espai entre elles.

f) Quines millores proposaries que permetessin obtenir una esfera més

perfecta?

22

DIÀMETRE DEL GLOBEN ARENA

AMB EL GEOGEBRA

23

22. Diàmetre del Globen Arena

1. Insereix la imatge següent al geogebra. Pots obtenir-la aquí:

http://www.cfmoller.com/p/-en/stockholm-globe-arena-i2347.html

2. Dibuixa la circumferència del contorn del Globen:

a) Marca tres punts del contorn

b) Utilitza l’eina circumferència que passa per tres punt per dibuixar la

circumferència que més s’aproxima al Globen Arena. (Pots moure

els punts per ajustar la circumferència a la imatge).

3. Troba el centre de la circumferència buscant el circumcentre (intersecció de

mediatrius):

a) Utilitza l’eina “mediatriu que passa per dos punts” :

troba la mediatriu entre A i B

troba la mediatriu entre B i C

b) Busca la intersecció entre les dues mediatrius . Aquest és el centre

de la circumferència.

4. Dibuixa un radi utilitzant l’eina “segment” i fixa’t en la seva longitud.

Calcula l’escala de la imatge del geogebra sabent que el diàmetre del

Globen és de 110 metres.

5. Busca el punt més alt del Globen:

a) Dibuixa la recta perpendicular a l’eix X i que passi pel centre de la

circumferència

b) Troba el punt d’intersecció de la recta anterior amb la circumferència

(punt d’alçada màxima).

6. Dibuixa un punt situat 85 metres per sota del punt d’alçada màxima:

a) Calcula la longitud del segment que cal dibuixar utilitzant l’escala de

l’apartat 3.

b) Una manera de trobar el punt és dibuixant una circumferència de centre

el punt més alt i de radi el resultat de l’apartat anterior i després buscant

el punt d’intersecció.

c) Coincideix amb la base del dibuix?

7. Dibuixa el casquet que li falta per a ser una esfera

a) Dibuixa una recta paral·lela a l’eix X que passi pel punt trobat a

l’apartat anterior.

24

b) Troba els punts d’intersecció amb la circumferència.

c) Dibuixa el segment que uneix els punts d’intersecció. Quina és la seva

longitud?

d) Troba el radi del casquet utilitzant l’escala de l’apartat 4. Coincideix amb

el que has trobat a la pregunta 10 de la unitat?

8. Repeteix els apartats anteriors amb una imatge real del Globen per

exemple

https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Globen_2013-06-

24.jpg#/media/File:Globen_2013-06-24.jpg

Globen arena, Johan Fredriksson , CC BY-SA 3.0

Coincideix la línia del terra amb la base del casquet?

9. Troba el radi del casquet del SkyView utilitzant el mateix procés. (Pots utilitzar aquesta imatge o bé qualsevol altra).